一元二次方程实际问题 (2)
人教版九年级上第21章《一元二次方程》实际应用题练习含答案
《一元二次方程》实际应用题专项练习（一）1．今年国庆中秋双节同庆，某店推出了莲蓉蛋黄月饼和流心芝士月饼两种月饼，其中莲蓉蛋黄月饼每盒成本15.5元售价40元，流心芝士月饼每盒成本18元售价48元．两种月饼均为整盒出售，不售散装．中秋节前，莲蓉蛋黄月饼和流心芝士月饼共销售了400盒，销售总额为17440元．（1）中秋节前，莲蓉蛋黄月饼卖了多少盒？（2）为迎接双节，中秋当日该店大促销，莲蓉蛋黄月饼“买一送一”（买一盒送一盒）但销售单价不变，其当日销量（不算赠品）达到中秋前售卖的莲蓉蛋黄月饼总销量的；流心芝士月饼每盒销售单价减少，其当日销量比中秋节前流心芝士月饼总销量增加了5a%．中秋当日两种月饼的销售利润为2736元，求a的值．2．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．经调查发现，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该衬衫每件降价5元，则当天该衬衫的销量为件，当天可获利元；（2）设每件衬衫降价x元，则商场日销售量增加件，每件衬衫盈利元（用含x的代数式表示）；（3）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利200元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？3．随着现代互联网技术的广泛应用和快递行业的高速发展，网上购物的人越来越多，“双十一”当天更是成为了全民狂欢的网购节．据统计，某天猫官方旗舰店在2017年和2019年“双十一”当天的订单量分别为20万件和45万件，现假设该旗舰店每年“双十一”当天的订单量增长率相同．（1）求该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率；（2）如果该旗舰店的客服平均每人每天最多可以处理0.2万件订单，那么该旗舰店现有的250名客服能否当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单？如果不能，请问至少还需要增加多少名客服？4．“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品．某药店销售普通口罩和N95口罩，今年3月份的进价如表：普通口罩N95口罩进价（元/包）8 20（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩售价贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．5．“疫情”期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD，如图所示，矩形一边利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米），另外三边用9米长的建筑材料围成，为方便进出，在与围墙平行的一边要开一扇宽度为1米的小门EF，求AB的长度为多少米？6．今年某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件．为了促进疫情期间的市民消费，从而扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销．经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝10cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，AP＝CQ？（2）经过几秒后，△PBQ的面积等于15cm2？8．10月份，是柚子上市的季节，柚子味酸甜，略带苦味，含有丰富的维生素c和大量的营养元素．有健胃补血，降血糖等功效，百果园大型水果超市的红心柚与沙田柚这两种水果很受欢迎，红心柚售价12元/千克，沙田柚售价9元/千克．（1）若第一周红心柚的销量比沙田柚的销量多200千克，要使这两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红心柚多少千克？（2）若该水果超市第一周按照（1）中红心柚和沙田柚的最低销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红心柚售价降低了a%，销量比第一周增加了a%，沙田柚的售价保持不变，销量比第一周增加了a%，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了%，求a的值．9．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？10．如图，有一道长为10m的墙，计划用总长为54m的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD．若花圃ABCD面积为72m2，求AB的长．参考答案1．解：（1）设中秋节前，莲蓉蛋黄月饼卖了x盒，则流心芝士月饼卖了（400﹣x）盒，依题意得：40x+48（400﹣x）＝17440，解得：x＝220．答：中秋节前，莲蓉蛋黄月饼卖了220盒．（2）依题意得：（40﹣2×15.5）×220×+[48（1﹣）﹣18]×（400﹣220）（1+5a%）＝2736，整理得：3a2+25a﹣148＝0，解得：a1＝4，a2＝﹣（不合题意，舍去）．答：a的值为4．2．解：（1）30+2×5＝40（件），（50﹣5）×40＝1800（元）．故答案为：40；1800．（2）设每件衬衫降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件衬衫盈利（50﹣x）元．故答案为：2x；（50﹣x）．（3）设衬衫的单价应降m元，则每件衬衫盈利（50﹣m）元，商场日销售量为（30+2m）件，依题意得：（50﹣m）（30+2m）＝2000，整理得：m2﹣35m+250＝0，解得：m1＝10，m2＝25，又∵要尽快减少库存，∴m＝25．答：衬衫的单价应降25元．3．解：（1）设该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率为x，依题意得：20（1+x）2＝45，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．答：该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率为50%．（2）45×（1+50%）＝67.5（万件）．∵0.2×250＝50（万件），50＜67.5，∴该旗舰店现有的250名客服不能当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单． 设需要增加m 名客服，依题意得：0.2×（250+m ）≥67.5，解得：m ≥87，又∵m 为正整数，∴m 的最小值为88．答：该旗舰店现有的250名客服不能当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单，至少还需要增加88名客服．4．解：（1）设普通口罩每包的售价为x 元，N 95口罩每包的售价为y 元．依题意得：，解得：． 答：普通口罩每包的售价为12元，N 95口罩每包的售价为28元．（2）设普通口罩每包的售价降低m 元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m ）元，日均销售量为（120+20m ）包．依题意得：（12﹣m ﹣8）（120+20m ）＝320，整理得：m 2+2m ﹣8＝0，解得：m 1＝2，m 2＝﹣4（不合题意，舍去），∴12﹣m ＝10．答：此时普通口罩每包的售价为10元．5．解：设AB ＝x 米，则BC ＝（9+1﹣2x ）米，根据题意可得，x （10﹣2x ）＝12，解得x 1＝3，x 2＝2，当x ＝3时，AD ＝4＜5，当x ＝2时，AD ＝6＞5，∵可利用的围墙长度仅有5米，∴AB 的长为3米．答：AB 的长度为3米．6．解：设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x 元，由题意，得（360﹣x﹣280）（5x+60）＝7200，解得：x1＝8，x2＝60．∵有利于减少库存，∴x＝60．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．7．解：（1）设经过x秒后，AP＝CQ，则AP＝xcm，CQ＝（10﹣2x）cm，依题意，得：x＝10﹣2x，解得：x＝．答：经过秒后，AP＝CQ．（2）设经过y秒后，△PBQ的面积等于15cm2，则BP＝（8﹣y）cm，BQ＝2ycm，依题意，得：（8﹣y）×2y＝15，化简，得：y2﹣8y+15＝0，解得：y1＝3，y2＝5．答：经过3秒或5秒后，△PBQ的面积等于15cm2．8．解：（1）设第一周销售红心柚x千克．则沙田柚（x﹣200）千克，根据题意得：12x+9（x﹣200）≥6600，解得：x≥400．答：第一周至少销售红心柚400千克；（2）根据题意得：12（1﹣a%）×400（1+a%）+9×200（1+a%）＝6600（1+%），∴a1＝45，a2＝0（舍去）．答：a的值为45．9．解：（1）设每人每轮传染x人，依题意，得：1+x+（1+x）•x＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去），∵8＜10，∴最初的这名病毒携带者不是“超级传播者”；（2）81×（1+8）＝729（人），答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有729人成为新冠肺炎病毒的携带者．10．解：设AB的长是xm，则BC的长是（18﹣x）m．根据题意，得x（18﹣x）＝72，解这个方程，得x1＝6，x2＝12，当x＝6时，18﹣x＝12＞10（不合题意，舍去）．当x＝12时，18﹣x＝6符合题意．答：AB的长是12m．《一元二次方程》实际应用题专项练习（二）1．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？2．全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：（1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天．①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．3．万州区某民营企业生产的甲、乙两种产品，已知2件甲商品的出厂总价与3件乙商品的出厂总价相同，3件甲商品的出厂总价比2件乙商品的出厂总价多150元．（1）求甲、乙商品的出厂单价分别是多少元？（2）为促进万州经济持续健康发展，为商家搭建展示平台，为行业创造交流机会，2019年万州区举办了多场商品展销会．外地一经销商计划购进甲商品200件，购进乙商品的数量是甲的4倍，恰逢展销会期间该企业正在对甲商品进行降价促销活动，甲商品的出厂单价降低了a%，该经销商购进甲的数量比原计划增加了2a%，乙的出厂单价没有改变，该经销商购进乙的数量比原计划减少了，结果该经销商付出的总货款与原计划的总货款恰好相同，求a的值（a＞0）．4．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长为24m，宽为12m，在温室内，沿前侧内墙保留2m宽的空地，其它三侧内墙各保留等宽的通道．当通道的宽为多少时，蔬菜种植区域的面积是210m2？5．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递总件数分别为10万件和14.4万件，现假定该公司每月投递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投0.5万件，那么该公司现有的29名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问需要至少增加几名业务员？6．温润有度，为爱加温．近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台，每台A型号暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元．（1）若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？（2）由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完．该商场在12上旬又购进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台A型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠a%，A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加a%，每台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠a%，B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最低购进量增加a%，A、B两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比（1）问中最低销售额增加了a%，求a的值．7．柚子糖度高、酸味低，有益身体健康，深受大家喜爱．某水果店在去年8月份购进福建蜜柚和泰国青柚共900个，福建蜜柚进价为6元/个，泰国青柚进价为20元个，两种柚子的总进价不超过12400元．（1）该水果店去年8月份购进福建蜜柚最少多少个？（2）今年8月份，该水果店用和去年8月份相同的进价购进两种柚子，福建蜜柚购进数量为去年8月份购进数量的最小值，售价为16元/个．泰国青柚购进数量为去年8月份购进数量的最大值，售价为30元/个，两种柚子全部卖出．今年9月份，该水果店购进与上个月数量相同，进货单价相同的福建蜜柚．为了进一步占领市场份额，水果店对福建蜜柚进行了降价促销，它的售价在上个月的基础上先降价a%，再“买三送一”（每买3个就免费赠送1个，即4个装成一袋，一袋以3个的价格出售，但消费者只能整袋购买）．受各种因素的影响，与上个月相比，泰国青柚的进价下降40%，进货量下降a%，售价上涨2a%．两种柚子卖完后，该水果店今年9月份销售两种柚子的总利润比上个月上涨，求a的值．8．为实现“先富带动后富，从而达到共同富裕”，某县为做好“精准扶贫”，2017年投入资金1000万元用于教育扶贫，以后投入资金逐年增加，2019年投入资金达到1440万元．（1）从2017年到2019年，该县投入用于教育扶贫资金的年平均增长率是多少？（2）假设保持这个年平均增长率不变，请预测一下2020年该县将投入多少资金用于教育扶贫？9．草根学堂院内有一块长30m，宽20m的矩形空地，准备将其建成一个矩形花坛，要求在花坛中修建三条长方形的矩形小道（如图），剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？（注：所有小道宽度相等）10．今年8月双福国际农贸市场某水果批发商用2.2万元购得“象牙芒”和“红富士苹果”共400箱，其中，“象牙芒”、“红富士”的数量比为5：3．已知每箱“象牙芒”的售价是每箱“红富士”的售价的2倍少10元，预计3月可全部销售完．（1）该批发商想通过本次销售至少盈利8000元，则每箱“象牙芒”至少卖多少元？（总利润＝总销售额﹣总成本）（2）实际销售时，受中央“厉行节约”号召的影响，在保持（1）中最低售价的基础上，“象牙芒”的销售下降了%，售价下降了a%；“红富士”的销售量下降了a%，但售价不变．结果导致“象牙芒”、“红富士”的销售总额相等．求a的值．参考答案1．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（22，36），（24，32）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80（20≤x≤28）．故答案为：y＝﹣2x+80（20≤x≤28）．（2）依题意，得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，整理，得：x2﹣60x+875＝0，解得：x1＝25，x2＝35（不合题意，舍去）．答：每本纪念册的销售单价是25元．2．解：（1）设每天增长的百分率为x，依题意，得：500（1+x）2＝720，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率为20%；（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，解得：m1＝4，m2＝25，又∵在增加产能同时又要节省投入，∴m＝4．答：应该增加4条生产线；②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50a）万件/天，依题意，得：（1+a）（1500﹣50a）＝15000，化简得：a2﹣29a+270＝0，∵△＝（﹣29）2﹣4×1×270＝﹣239＜0，方程无解．∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件．3．解：（1）设甲商品的出厂单价是x元/件，则乙商品的出厂单价是x元/件，根据题意得：3x﹣2×x＝150，解得：x＝90，∴x ＝60．答：甲、乙商品的出厂单价分别是90、60元．（2）由题意得：， 解得：a 1＝0（舍去），a 2＝15．答：a 的值为15．4．解：设通道的宽为xm ，则蔬菜种植区域为长（24﹣2﹣x ）m ，宽（12﹣2x ）m 的矩形， 依题意，得：（24﹣2﹣x ）（12﹣2x ）＝210，整理，得：x 2﹣28x +27＝0，解得：x 1＝1，x 2＝27（不合题意，舍去）．答：当通道的宽为1m 时，蔬菜种植区域的面积是210m 2．5．解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ，根据题意，得10（1+x ）2＝14.4解得x 1＝0.2，x 2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为20%．（2）由（1）得，14.4×1.2＝17.28（万件），29×0.5＝14.5，14.5＜17.28，故不能完成任务．因为（17.28﹣14.5）÷0.5＝5.56，所以还需要至少增加6名业务员．答：需要至少增加6名业务员．6．解：（1）设购进x 台A 型号暖风机，则购进（900﹣x ）台B 型号暖风机， 依题意，得：600x +900（900﹣x ）≥690000，解得：x ≤400．答：至多购进400台A 型号暖风机．（2）依题意，得：600（1﹣a %）×400（1+a %）+900（1﹣a %）×（900﹣400）（1+a %）＝690000（1+a%），整理，得：150a﹣12a2＝0，解得：a1＝12.5，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为12.5．7．解：（1）设该水果店去年8月份购进福建蜜柚x个，则购进泰国青柚（900﹣x）个，依题意，得：6x+20（900﹣x）≤12400，解得：x≥400．答：水果店去年8月份购进福建蜜柚最少400个．（2）由（1）可知：今年8月份，该水果店购进福建蜜柚400个、泰国青柚500个．依题意，得：[16（1﹣a%）×﹣6]×400+[30（1+2a%）﹣20×（1﹣40%）]×500（1﹣a%）＝[（16﹣6）×400+（30﹣20）×500]×（1+），整理，得：90a﹣3.6a2＝0，解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为25．8．解：（1）设该地投入教育扶贫资金的年平均增长率为x，根据题意，得：1000（1+x）2＝1440，解得：x＝0.2或x＝﹣2.2（舍），答：从2017年到2019年，该地投入教育扶贫资金的年平均增长率为20%；（2）2020年投入的教育扶贫资金为1440×（1+20%）＝1728万元．9．解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532．整理，得x2﹣35x+34＝0．解得，x1＝1，x2＝34．∵34＞20（不合题意，舍去），∴x＝1．答：小道进出口的宽度应为1米．10．（1）设象牙芒有5x箱，则红富士有3x箱，根据题意得：5x+3x＝400，解得x＝50，则象牙芒有250箱，红富士有150箱．设每箱象牙芒y元，则250（2y﹣10）+150y﹣22000≥8000．解得：y≥50，∴2y﹣10≥90答：每箱“象牙芒”至少卖90元；（2）根据题意得：250（1﹣a%）•90（1﹣a%）＝150（1﹣a%）•50，令t＝a%，整理，得：4t2﹣5t+1＝0，……（7分）解得：t＝1（不合题意，舍去）或t＝0.25，∴a＝25．答：a的值为25．。
实际问题与一元二次方程(2)测试卷
（时间：60分钟，满分67分）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（每题3分）1.如图，公园要在一块长为100米，宽为 80 米的矩形场地上修建三条宽度相等的道路，其中两条 纵向，一条横向，横向道路与纵向道路垂直．剩余部分摆放不同的花卉，要使摆放花卉面积为7488m 2，则道路的宽为多少米？设道路的宽为 x 米，则可列方程为（ ）A ．100×80-100x-80×2x=7488B ．（100-2x ）（80-x ）=7488C ．（100-2x ）（80-x ）+2x 2=7488D ．100x+80×2x=5122．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（ ）．A ．76448010080100=--⨯x xB ．7644)80)(100(=--x xC ．35680100=+x xD ．7644)80)(100(2=+--x x x ．3．某中学准备建一个面积为2375m 的矩形游泳池，且游泳池的周长为80m ．设游泳池的长为m x ，则可列方程（ ）A ．x （80－x ）＝375B ．x （80＋x ）＝375C ．x （40－x ）＝375D ．x （40＋x ）＝3754．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为（ ）A ．x （5+x ）= 6B ．x （5 – x ）= 6C ．x （10 – x ）= 6D ．x （10 - 2x ）= 65．餐桌的桌面是长160厘米、宽100厘米的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．小明设四周垂下的边宽x 厘米，则应列方程为（ ） A ．()()1601001601002x x ++=⨯⨯ B ．()()160210021601002x x ++=⨯⨯ C ．()()160100160100x x ++=⨯ D ．()2160100160100x x +=⨯ 二、填空题（每题3分）6.已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件可列出方程：7．如图所示，在一块正方形空地上，修建一个正方形休闲广场，其余部分（即阴影部分）铺设草坪，已知休闲广场的边长是正方形空地边长的一半，草坪的面积为147m 2，则休闲广场的边长是 m 。
一元二次方程与实际问题
一元二次方程与实际问题一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c是已知的实数常数。
它在数学中被广泛应用，尤其在解决实际问题时，具有重要的意义。
一元二次方程与实际问题的关联在于它可以描述许多物理、经济、工程和自然科学现象。
下面将介绍一些常见的实际问题，并用一元二次方程解决它们。
1. 自由落体问题：考虑一个物体从高度h自由落下，并以初速度为0的条件下落。
重力以加速度g=9.8m/s²的恒定速度使物体加速下落。
通过运用运动学公式，可以将物体的下落时间t与下落距离h之间的关系表示为：h=gt²/2。
整理得到ht²-2h=0，这是一个一元二次方程。
通过求解该方程，可以得到物体下落的时间和下落的距离。
2. 抛物线轨迹问题：许多物理和运动问题都涉及抛物线轨迹。
例如，一个抛射物体的运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
给定抛射角度θ和初速度v，可以得到抛射物体的运动轨迹方程y=x*tanθ - (g*x²) /(2v²*cos²θ)。
这是一个一元二次方程，其中x表示水平方向的距离，y表示竖直方向的高度。
通过解这个方程，可以计算出物体在不同时间和位置的高度。
3. 经济成本问题：一元二次方程也可以用于经济领域的成本分析。
例如，考虑一个企业的总成本函数C(x)=ax²+bx+c，其中x表示生产的数量，a、b、c是已知的实数常数。
通过求解C'(x)=0，即求解一阶导数为零的方程，可以找到企业的最低成本点。
这个点对应的x值就是企业的最优生产数量。
以上只是一些例子，实际应用一元二次方程的问题非常广泛。
通过将实际问题转化为数学模型，应用一元二次方程的解法，可以更好地理解和解决各种现实问题。
21.3实际问题和一元二次方程(变化率)
1998 1999 2000 2001
解：设2002年,2003年两年绿地面积的年平均 增长率为x，根据题意，得 60 (1＋x)2＝72.6 ． (1＋x)2=1.21． ∴1＋x=±1.1． ∴ x1 = 0.1=10%, x2 =－2.1(不合题意,舍去)
答： 2002年,2003年两年绿地面积的年平均增长率 为10%．
例1：雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的 营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？
分析：今年到后年间隔2年，
2
今年的营业额×（1+平均增长率） =后年的营业额。
解：平均每年增长的百分率为x,
根据题意得：
28(10x)240.23
(1x)2 1.44
1+x=±1.2
解得： xLeabharlann 2.2（舍去）x2 0.2
答：平均每年的增长20%
增长率与方程
1.甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该 公司缴税的年平均增长率为多少?
解 :设每年平均增长率为x,根据题意,得
40(1 x)2 48.4.
解这个方程 : (1 x)2 1.21, (1 x) 1.1, x 1 1.1,
x1 1 1.1 10%; x2 1 1.1 0(不 合 题 意, 舍 去). 答 : 每 年 的 平 均 增 长 率 为10%.
探究2
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨 乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步, 现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙 种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均
500(10x)2 3000
解方程,得
x10.2,2 x2 5 1.7(7 不 5 合 ,舍 题 )去
实际问题与一元二次方程知识点总结及重难点精析
实际问题与一元二次方程知识点总结及重难点精析一、知识点总结1.在九年级数学中，实际问题与一元二次方程这一章知识点主要包括：一元二次方程的基本概念、性质及其在实际问题中的应用。
2.一元二次方程的基本概念：一元二次方程是一个含有未知数x 的整式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。
其中a、b、c为常数，a≠0.且x的最高次数为2.3.一元二次方程的性质：一元二次方程有四个性质，分别是：(1) 有两个解，即x1和x2;(2) 两解的和为-b/a;(3) 两解的积为c/a;(4) 判别式△=b²-4ac，当△>0时，方程有两个不相等的实数解;当△=0时，方程有两个相等的实数解;当△<0时，方程没有实数解。
4.一元二次方程的应用：在实际问题中，一元二次方程通常用于解决一些二次关系的问题，比如物体的运动轨迹、建筑物的面积和体积、经济利润最大化等问题。
二、重难点精析在本章节中，重难点主要包括如何将实际问题转化为数学问题、一元二次方程的解法以及根的性质和应用。
1.如何将实际问题转化为数学问题：在解决实际问题时，需要从题目中提取出有用的信息，并转化为数学语言。
这需要学生具备一定的阅读理解能力和数学建模能力。
2.一元二次方程的解法：一元二次方程的解法有公式法和因式分解法两种。
公式法是通过公式直接求解，但需要学生记忆公式。
因式分解法是通过将方程左边分解成两个一次因式的乘积，再分别令每个因式等于0来求解。
这种方法更直观易懂，但需要学生掌握因式分解的技巧。
3.根的性质和应用：根的性质包括前面提到的两个解的和、积和判别式。
这些性质在解决实际问题时具有重要应用。
例如，利用判别式可以判断方程是否有实数解，从而确定实际问题是否有解;利用两解的和可以计算实际问题的某些物理量，如位移等。
三、总结通过以上知识点总结和重难点精析，我们可以看到实际问题与一元二次方程这一章知识点的重要性和应用价值。
22.3 实际问题与一元二次方程(2)
设长方形框的边宽为xcm,依题意 得 依题意,得 解:设长方形框的边宽为 设长方形框的边宽为 依题意 X
上一节，我们学习了解决“平均增 上一节，我们学习了解决“平均增 下降)率问题 长(下降 率问题”，现在，我们要 下降 率问题” 现在， 学习解决“面积、体积问题。 学习解决“面积、体积问题。
探究3 探究
在长方形钢片上冲去一个长方形， 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四 周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽 周宽相等的长方形框。 2 为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm ，求这个 长方形框的框边宽。 长方形框的框边宽。 分析: 分析 本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积 本题关键是如何用 的代数式表示这个长方形框的面积 X X X X
1 解: (1) 方案 ：长为9 米，宽为 米; 方案1： 宽为7米 7
∴ b2 − 4ac = (−16)2 − 4 × 1 × 65 = −4 < 0
方案2：长为 米 宽为4米 方案3： 方案 ：长为16米，宽为 米; 方案 ：长=宽=8米; 宽 米 注：本题方案有无数种 （2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花 ）在长方形花圃周长不变的情况下， 圃面积不能增加2平方米 平方米. 圃面积不能增加 平方米 由题意得长方形长与宽的和为16米 设长方形花圃 由题意得长方形长与宽的和为 米.设长方形花圃 的长为x米 则宽为（16-x） 的长为x米，则宽为（16-x）米. x(16-x)=63+2， ， x2-16x+65=0， ， ∴此方程无解. 此方程无解 在周长不变的情况下， ∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能 增加2平方米 增加 平方米
实际问题与一元二次方程
实际问题与一元二次方程<1>握手（单循环）问题：二分之一n（n-1）=握手总次数例：某校七年级举行乒乓球单循环赛比赛(参加比赛的每一个选手都与其他所有选手各比赛一场），共比赛32场，求有多少个学生？<2>送照片：n(n-1)=总张数例：初三毕业晚会时每人互相送照片一张，一共要90张照片，有多少人？<3>勾股定理问题：a平方+b平方=c平方例：一个直角三角形的斜边长7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，求两条直角边的长度？<4>多边形对角线条数：二分之一n（n-3）=总条数例：一个多边形有14条对角线，那么这个多边形边数是多少？<5>连续两次增长(降低)百分率：a（1+或减x）平方=以后的量例：甲工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份到一月份平均增长的百分率为多少?<6>镶边问题：(a+2x)（b+2x)=总面积例：在一幅长70cm宽50cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边，如果使金色纸边的面积是1300平方厘米，求金色纸边的宽度？<7>最大利润问题:(一件利润)件数=总利润例:某百货大楼服装柜在销售者发现：“某”牌童装平均每天可售出20件,每件利润40元为了迎接国庆节市场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加利润,如果每件降价4元,那么平均每天多售出8件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元那么每件童装应降价多少？<8>传染病问题：1+x+x(1+x)=总人数，两轮后：（1+x）平方=总人数例:某养鸡场突发流感疫情，一只带病毒的小鸡经过两天的传染后，使鸡场共有169只小鸡感染患病，在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？<9>树枝分叉：1+x+x平方=总枝数例:一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?。
《用一元二次方程解决问题(2)》参考课件
学习目标：
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次 方程解决有关实际问题中的利润问题，能检验所 得的结果是否符合实际意义。
一、预习尝试：
某商场从厂家以每件80元的价格购进一批衬衫, 若每件的售价为120元，则可卖出200件， 商若场每全件卖部衬一售衫件出售衬这价衫批 降的衬1利元衫润，，是则则多每总少件利？衬润衫是的多利少润？为多少？ 若每件衬衫售价降2元，则每件衬衫的利润为多少？ 若每件衬衫售价降3元，则每件衬衫的利润为多少？
(2)根据:“如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游 费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元”
a.设的x人,比30人多了多少人？（x－30）人 b.降了多少元? 10(x-30)元 c.实际人均费用是多少? [800－10(x－30)]元 5.本题实际意义是:人均旅游费用不得低于500元.
3.这个问题的等量关系是什么?： 首先知道总费用是28000元 即有等量关系“人均费用×人数=28000元”
4.人数可设未知数x人,人均费用呢? (1)根据:“如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元”
则总费用不超过30×800=24000＜28000;而现用 28000元,所以人数应超过30人
课堂练习:
1、某种服装，每件利润为30元时,平均每 天可销售20件，若每件降价1元，则每天可 多售6件。如果每天要盈利1600元，每件 应降价多少元？
2、某商店经销一批小家电,每个小家电成本 40元,经市场预测,定价为50元时,可销售200 个,定价每增加1元,销售量将减少10个,如果 商店进货后全部销售完,赚了2000元,问该小 家电定价是多少?
解: 设这次旅游可以安排x人参加,根据题意得: [800－10(x－30)]·x = 28000
一元二次方程的实际应用题
一元二次方程的实际应用题（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。
4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。
5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。
6.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？8.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子）。
4.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
实际问题与一元二次方程(循环问题)
乙
甲
乙
丙
丙
双循环：每两个队间进行两场比赛的赛制
例如：甲乙丙三队参加比赛 甲
乙 甲
丙
丙 乙
甲 乙
丙
学校要组织一次篮球联赛， 赛制为单循 环形式， 计划安排15 场比赛， 问应邀 请多少个球队参加比赛？
若举办一次足球联赛，赛制为双循环形式， 一共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
变式练习
1、在一个QQ 群里有n 个网友在线，每个 网友都向其他网友发出一条信息，共有20
条信息，则n 为（ C ）
A 、10 B、6 C、5 D、4
这件事为双循环还是单循环？
双循环
变式练习
2、一个小组有若干人，新年互送贺卡若全 组共送了72 张，则这个小组共有多少人？ 这件事为双循环还是单循环？
实际问题与一元二次方程 （二）循环问题
一、列一元二次方程解应用 题的一般步骤
（1）审：找出题中关键信息 （2）设： 设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； （3）找： 找出等量关系； （4）列： 列出一元二次方程； （5）解： 求出所列方程的解； （6）验： 检验方程的解是否正确，是否符合题意； （7）答： 作答。
双循环
变式练习
3、一次开会时，同事们见面后，倍感亲切 ，相互握手恭贺，这次共握手28 次，一共 有多少人参加开会？
这件事为双循环还是单循环？
单循环
作业：P22,第6题
P25,第2题
传播问题计算公式
1. 有一人患了流感，经过两轮传染后 共有121 人患了流感，每轮传染中平均 一个人传染了几个人？
1 x
2 121
学校要组织一次篮球联赛， 赛制为单循 环形式， 计划安排15 场比赛， 问应邀 请多少个球队参加比赛？
利用一元二次方程解决实际问题
(利用一元二次方程解决实际问题) 一元二次方程是一个形式如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。
它的解可以通过使用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求得。
利用一元二次方程，我们可以解决许多实际问题，如求解物体的运动轨迹、解决几何问题等等。
下面将通过几个实际问题的例子来说明如何利用一元二次方程解决实际问题。
例1：一个石头从100米高的地方自由落下，求石头落地时的速度和落地时间。
解：根据物体自由落体运动的规律，石头落地时的速度可以通过一元二次方程求解。
设石头落地时的速度为v，落地时间为t，则有以下等式：100 = 0.5 * g * t^2 （物体自由落体的位移公式）v = g * t （物体自由落体的速度公式）其中，g为重力加速度，取9.8 m/s^2。
将第二个等式代入第一个等式中，得到：100 = 0.5 * (v/t) * t^2200 = v * t将上述方程组代入一元二次方程的标准形式ax^2+bx+c=0中，得到：t^2 - (200/v) * t + 0 = 0根据一元二次方程的求根公式，可以解得：t = (200/v)/2 = 100/v将t代入第二个等式中，得到：v = g * (100/v)v^2 = 100 * gv = √(100 * g) ≈ 31.3 m/s所以，石头落地时的速度约为31.3 m/s，落地时间为t = 100/v ≈ 3.2 s。
例2：一个花瓶从楼顶上掉下来，从花瓶掉到地面的时间为5秒，求楼顶的高度。
解：根据物体自由落体运动的规律，花瓶掉到地面的时间可以通过一元二次方程求解。
设楼顶的高度为h，则有以下等式：h = 0.5 * g * t^2其中，g为重力加速度，取9.8 m/s^2，t为花瓶掉到地面的时间，取5秒。
将上述方程代入一元二次方程的标准形式ax^2+bx+c=0中，得到：0.5 * g * t^2 - h = 0根据一元二次方程的求根公式，可以解得：h = 0.5 * g * t^2 = 0.5 * 9.8 * 5^2 = 122.5 m所以，楼顶的高度为122.5米。
用一元二次方程解决问题(2)教案
一元二次方程的应用（2）【知识梳理】1、列一元二次方程解应用题的一般步骤：和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．2、列方程解应用题的关键：(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．3、列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的题型：销售、利润问题【例题精讲】例1．曲靖市某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.9折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.4元，请问哪种方案更优惠？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格列方程解答即可．（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案②更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率是x，依题意得，4000（1﹣x）2=3240解之得：x=0.1=10%或x=1.9（不合题意，舍去）所以，平均每次下调的百分率是10%．（2）方案①优惠=100×3240×（1﹣99%）=3240元方案②优惠=100×1.4×12×2=3360元故选择方案②更优惠．【教法】讲授法【学法】学练结合法例2：“便民”水泥代销点销售某种水泥，每吨进价为250元．如果每吨销售价定为290元时，平均每天可售出16吨．（1）若代销点采取降低促销的方式，试建立每吨的销售利润y（元）与每吨降低x（元）之间的函数关系式．（2）若每吨售价每降低5元，则平均每天能多售出4吨．问：每吨水泥的实际售价定为多少元时，每天的销售利润平均可达720元．【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列一次函数关系式．【分析】（1）未采取降低促销方式前每吨水泥的利润为290﹣250=40元，代销点采取降低促销的方式后每吨水泥的利润为（40﹣x）元；（2）先求出降价后每天售出水泥的吨数，再乘以每天的利润正好等于720元，解方程即可求出降低的价钱，从而求得每吨水泥的实际售价．【教法】讲授法【学法】学练结合法例3．某服装店专营一批进价为每件200元的品牌衬衫，每件售价为300元，每天可售出40件，若每件降价10元，则每天多售出10件，请根据以上信息解答下列问题：（1）为了使销售该品牌衬衫每天获利4500元，并且让利于顾客，每件售价应为多少元；（2）该服装店将该品牌的衬衫销售完，在补货时厂家只剩100件库存，经协商每件降价a 元，全部拿回．按（1）中的价格售出80件后，剩余的按八折销售，售完这100件衬衫获利50%，求a的值．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）表示出每件商品的利润和销量进而得出等式求出答案；（2）分别表示出100件商品的利润进而得出等式求出答案．（2）根据题意可得：250×80+250×80%×（100﹣80）=（200﹣a）×100（1+50%），解得：a=40，答：a的值为40．【教法】讲授演示法【学法】学练结合法【变式练习】1.为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每个粽子的定价为x元，由于每天的利润为800元，根据利润=（定价﹣进价）×销售量，列出方程求解即可．【解答】解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．∵售价不能超过进价的200%，∴x≤3×200%．即x≤6．∴x=5．答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．【教学】讲授法【学法】自主探究学习2.某厂生产一种旅行包，每个旅行包的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过550个．（1）设销售商一次订购量为x个，旅行包的实际出厂单价为y元，写出当一次订购量超过100个时，y与x的函数关系式；（2）求当销售商一次订购多少个旅行包时，可使该厂获得利润6000元？（售出一个旅行包的利润=实际出厂单价﹣成本）【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）可根据关键语“当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低0.02元．”来列函数式．（2）根据（1）中得到的关系式和“利润=实际出厂单价﹣成本”进行求解．【解答】解：（1）y=60﹣（x﹣100）×0.02=62﹣0.02x（100＜x≤550）；（2）根据题意可列方程为：6000=[60﹣（x﹣100）0.02]x﹣40x，整理可得：x2﹣1100x+300000=0．（x﹣500）（x﹣600）=0x1=500，x2=600（舍去）销售商订购500个时，该厂可获利润6000元．【教法】练习法与讲授法结合【学法】学练结合法。
九年级数学 第二章 一元二次方程专题训练(二)一元二次方程的实际应用作业
第四页，共二十二页。
二、增长率与利润问题 4．(2018·眉山)我市某楼盘准备以每平方 6000 元的均价对外销售，由于国务 院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产 开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方 4860 元的均价开盘销售，则 平均每次下调的百分率是( C ) A．8% B．9% C．10% D．11%
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解：(1)以 O 为原点，OA 所在直线为 y 轴，汽车行驶的路线为 x 轴，作出坐标系． 设当台风中心在 M 点，汽车从 N 点开始受到影响， 设运动时间是 t 小时，过 M 作 MC⊥x 轴，作 MD⊥y 轴． 则△ADM 是等腰直角三角形， AM＝20 2t，则 AD＝DM＝ 22AM＝20t，M 的坐标是(20t，160－20t)，N 的坐标是 (40t，0)． 汽车受到影响，则 MN＝120 千米， 即(40t－20t)2＋(160－20t)2＝1202， 整理，得 t2－8t＋14＝0. 解得 x1＝4－ 2，x2＝4＋ 2. 答：汽车行驶了(4－ 2)小时后受到第台十八页风，共影二十响二页。
第十二页，共二十二页。
9．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12 m 的住房墙， 另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一 个 1 m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80 m2?
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一元二次方程的实际应用问题
一元二次方程的实际应用问题
一元二次方程是一种重要的数学工具，它可以用来解决许多实际应用问题。
以下是一些常见的一元二次方程实际应用问题的例子：
1.几何问题：例如，已知一个矩形的周长为 20 厘米，长比宽多
2 厘米，求这个矩形的长和宽。
设矩形的宽为 x 厘米，则长为 x+2 厘米。
根据矩形的周长公式2\times(长+宽)，可列出方程：
所以，矩形的宽为 4 厘米，长为 6 厘米。
2.经济问题：例如，某商品的进价为每件 20 元，售价为每件 30 元。
如果每天能卖出 200 件，问每天的利润是多少？
设每天的销售量为 x 件，则每天的利润为(30-20)x 元。
根据每天的销售量为 200 件，可列出方程：
3.物理问题：例如，一个物体从高处自由落体，经过时间 t 落地。
已知物体下落的高度为 h，重力加速度为 g，求物体下落的时间t。
根据自由落体公式 h=gt^2/2，可列出方程：
以上只是一些简单的例子，实际上，一元二次方程可以应用于各种各样的实际问题中，例如物理学、工程学、经济学、生物学等等。
一元二次方程解决实际问题
一元二次方程解决实际问题一元二次方程是数学中的一个重要概念，它在解决实际问题时发挥着重要的作用。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
在实际问题中，一元二次方程可以用来描述各种物理、经济以及自然现象。
下面将介绍一些常见的实际问题，并且展示如何使用一元二次方程来解决它们。
1. 抛物线的运动轨迹：当一个物体在空中自由落体时，它的运动轨迹是一个抛物线。
假设一个物体从高度h处自由落体，忽略空气阻力，则它的运动可以用一元二次方程来描述。
根据物体在t秒钟后的高度可以得到方程h = -gt^2 + vt + h0，其中g为重力加速度，v为初速度，h0为初始高度。
通过解一元二次方程，可以计算出物体在任意时刻的高度。
2. 金融利息的计算：在金融领域，利息的计算经常涉及到一元二次方程。
例如，假设你存入银行一笔本金P，年利率为r，存款时间为t年。
在t年后，你的存款总额可以表示为P(1 + rt)。
如果你希望在t年后的存款总额达到一定的目标金额A，那么可以建立一元二次方程P(1 + rt) = A，通过解方程可以计算出需要的存款金额P。
3. 最大值和最小值问题：在一些实际问题中，需要找到一个函数的最大值或者最小值。
例如，假设你想要修建一个长方形花园，但是只有一定的围墙长度。
设花园的宽度为x，长度为y，则围墙长度为2x + 2y。
如果围墙长度为L，那么可以建立一元二次方程2x + 2y = L，并通过解方程可以找到使得花园面积最大的宽度和长度。
通过以上例子可以看出，一元二次方程在解决实际问题时具有广泛的应用。
它可以用来描述抛物线的运动轨迹、计算金融利息、寻找最大值和最小值等等。
因此，掌握解一元二次方程的方法是非常重要的，它能够帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。
1.4 用一元二次方程 解决问题(2)
四、走进中考
• (2014，贵州安顺，10分)天山旅行社为吸引游客 组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游， 推出了如下收费标准（如图所示）：
某单位组织员工去具有喀斯特地貌特 征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社 旅游费用27000元，请问该单位这次共有多 少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树 风景区旅游？
• 2.龙湾风景区旅游信息
旅游人数 收费标准
不超过30人 超过30人
人均收费800元 每增加1人，人均收费 降低10元，但人均收 费不低于500元
某公司组织一批员工到该风景区旅 游，共支付给旅行社28000元.你能 确定参加这次旅游的人数吗？
分析：
旅游人数 不超过30人 超过30人 收费标准 人均收费800元 每增加1人，人均收费降低10元，但 人均收费不低于500元.
2.某商场销售一批衬衫，平均每天可销售20
件,每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利， 商场采取了降价措施.假设在一定的范围内， 衬衫的单价每降低1元，商场平均每天多售出 2件.如果商场通过销售这批衬衫每天盈利 1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
பைடு நூலகம்
分析：设衬衫的单价降了x元，则商 2x 件，实际 场平均每天可多售出____ 20+2x) 件，每件衬衫盈利 每天销售（ _______ (40-x) 元.根据公式“总利润=销 ________ 售量×单件利润”建立方程.
1.4 用一元二次方程 解决问题（2）
一、导学
• 1.某商场销售一批衬衫，平均每天可销 售20件.假设在一定的范围内，衬衫的单 价每降低1元，商场平均每天可多售出2 件，那么，每降低2元，每天可多售出 4 件； ___ 如果衬衫的单价每降低 x元，每天 2x 件，每天销售________ (20+2x) 可多售出_____ 件.
实际问题与一元二次方程(第2课时增长、下降率问题)-九年级数学上册(人教版)
合作探究
人教版数学九年级上册
探究 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙 种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲 种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品年的平成均下本降是额36等00元，哪
同于年平均下降
种药品成本的年平均下降率较大？ 率（百分数）吗？
分析： 甲种药品成本的年平均下降额为：(5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为：(6000-3600)÷2=1200(元)
例2 某公司去年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,
一月、二月、三月的营业额共950万元,如果平均每月营业额的
增长率相同,求这个增长率．
分析：设这个增长率为x，则二月份的营业额为 200(1+x) 万元，三月
份的营业额为 200(1+x) 万元. 2 解：设这个增长率为x.根据题意，得 200+200(1+x)+200(1+x)2=950 整理方程，得：4x2+12x-7=0，
小试牛刀
人教版数学九年级上册
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平 均每月增长率是x,列方程__5_0_0_(_1_+_x_)_2=_7_2_0__. 2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额 为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x, 则可列方程为_2_(_1_+_x_)_+_2_(_1_+_x_)_2=_8__. 3.某市开展“科技下乡”活动三年来,接受科技培训的人员累计 达95万人次,第一年培训了20万人次,设接受科技培训的人次的年 平均增长率为x,则列出的方程是2_0_+_2_0_(_1+_x_)_+_2_0_(_1_+_x)2=95 .
12实际问题与一元二次方程(2)
解：设平均每次技术改革成本的下降率为 x，则
120(1-x)2=76.8
解得：x1＝0.2，x2＝1.8 (舍去) 答：平均每次技术改革成本的下降率为20%.
a(1＋x)2 1、原来为a，连续增长两次，增长率均为x，增长后为________ 2、原来为a，连续下降两次，下降率均为x，下降后为________ a(1－x)2
②若价格下降20%，现价______ 64 元. ③若先上涨20％再下降20%，现价______ 76.8 元. ④若现价88元，则上涨率是_____ 10% . ⑤若现价68元，则下降率是_____ 15% .
1、向阳村2010年人均年收入为12000元，2012年的人均年收入为14520元，பைடு நூலகம்求人均收入的年平均增长率. 1、设人均收入的年平均增长率是x，请用含x的式子表示
早一分钟进教室，你就抢占了学习的先机；
早一分钟进入学习状态，你就赢得了成功。
张磊
1、理解增长率、下降率的概念.
2、会利用一元二次方程解决生活中常见的增降率问题 .
3、培养同学们学数学用数学的能力.
课堂要求：积极参与课堂，10次中考9次考，希同学们认真对待！
一件衣服，原价80元
①若价格上涨20%，现价______ 96 元.
规则：同学们在练习册上完成题目，之后确定两名同学进行投影展示，一题两分！
第一轮
练习册：29面 预习练习1-2、当堂训练1、2、3
规则：同学们在练习册上完成题目，之后确定两名同学进行投影展示，第5题满分 4分，第6题满分6分！
第二轮
练习册 29面：第5题、第6题
你对本节课所学的内容存在疑问吗？欢迎提出 来，共同讨论！
12000(1＋x) ①2011年人均年收入：__________________ 12000(1＋x)2 ②2012年人均年收入：__________________
实际问题与一元二次方程(第2课时 )
4. 商店里某种商品在两个月里降价两次，现 在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之几？
解：设平均每月降价的百分率为x. 依题意，(1-x)2=1-36% 解得x1=0.2，x2=1.8(舍去) 答：平均每月降价20%.
5. 某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其 中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月的 增长率相同.求二、三月份各应发行图书多少万册？
本节课我们学习增长/下降率问题.
推进新课
知识点1
有关增长/下降率的问题
探究2 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？
终成本=原成本×(1－下降率)2
6000(1-y)2=3600
⑤解决下面的问题，它与探究2有什么不同？ 某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求平均年增长率.
解：设总产值的年平均增长率为x. 依题意100(1+x)2=121， 解得:x1=0.1，x2=-2.1(舍去)， ∴年平均增长率为10%.
解：设平均每月的增长率为x. 依题意，32+32(1+x)+32(1+x)2=122. 解得x1=0.25，x2=-3.25(舍去). 二月份发行图书32×(1+0.25)=40(万册) 三月份发行图书32×(1+0.25)2=50(万册) 答：二月份发行图书40万册，三月份发行图书50万册.
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1000 (1 x)2 2250
(1 x)2 2.25 1 x 1.5或1 x 1.5
x1 50%或x2 2.5%
13.青山村种的水稻，2010年平均每公顷产7200kg，2012年平 均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率。
解：设年平均增长率为x 7200 (1 x)2 8450
1 n n2 111
n2 n 110 0
(n 10)(n 11) 0
n1 10或n2 11(不合题意，舍去 )
3.在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了 45次手，则参加这次聚会的同学一共有多少人？
n(n 1) 45 2
n2 n 90 0
6.如果两个连续奇数的积为143，求这两个奇数分别 是多少？
解：设这两个连续奇数 为x, (x 2)
x(x 2) 143
x2 2x 143
x2 2x 1 144 (x 1)2 144
x 1 12或x 1 12 x1 11或x2 -13
答：两个连续奇数为11和13或 -11和 -13
3(1 x)2 108
9.周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式， 每两队之间都赛一场，计划安排28场比赛，应邀请多 少支球队参加比赛？
解：设应邀请x支球队参加比赛
1 x(x 1) 28 2
x2 x 56 0
(x 8)(x 7) 0 x1 8或x2 7
(n 10)(n 9) 0 n1 10或n1 9
4.因为防寒不当，有一人患了流感，经过2轮传染后， 共有169人患了流感， （1）求每一轮传染中，平均一人传染了几人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过3轮传染后，共 有多少人患上流感？
(1 x)2 169 1 x 13或1 x 13 x1 12; x2 14
18.一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18 条对角线的多边形？如果存在他是几边形，如果不存在说明得出 结论的道理。
20.将进货单价为40的商品，按50元出售时，每月可 售出500个，经市场调查发现，该商品每涨价一元， 其销量减少10个，为了每月在该件商品中赚8000元， 则售价应定为多少元？
增长率问题
11.某商品的售价为100元，连续两次降价x%后，售价 降低了36元，求x的值
10（0 1 x%）2 64
1- x% 0.8
x% 20%或x% 120%
12.某街道办10月份，发放宣传资料1000份，为加大 宣传力度，经过两个月后，12月份发放宣传资料， 2250份，且每月增长率相同，则这个增长率是多少？
14.一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7平方厘米， 求斜边的长。
15.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同， 所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
16.分别用公式法和因式分 解法解方程 x2 6x 9 (5 2x)2
17.有一根20米长的绳，怎样用它围成一个面积为24㎡的矩形？
x1 10, x2 12(不合题意舍，去 )
答：平均一个人传染了10个人
1.某种植物的一个主干长出若干数目的枝干，每个支 干又长出相同数目的小分支，主干，支干，小分支的 总数为57，求每个枝干长出多少个小分支？
解：设主干有x个小分支，根据题意列方程得
1 x x2 57
x2 x 56 0
21.某种商品的标价为400元每件，经过两次降价后 的价格为324元每件，并且两次降价的百分率相同， （1）求该种商品每次降价的百分率， （2）若该种商品进价为300元每件，两次降价共售 出此商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于 3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少 件？
10.在一次病毒传播中，每楼平均一人会传染x个人， 若一个人患病，则经过两轮传染后共有81人患病， （1）求x的值， （2）若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人 数会不会超过700人？
x(x 1) x 1 81 x8
81 818 729 729 700 超过700 人
169（112） 2197
字问题
5.有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后， 得到的新的两位数与原两位数之积为1612，则原来的 两位数为多少？
设个位数字为x，十位数字为8-x
10(8 x) x10 x 8 x 1612
x1 6或x2 2 原来两位数是62或26
1.某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米10000元降至每 平方米8100元，设每次降价的百分率相同，求降价的百分率是 多少？
2.一件工艺品进价为100元，标价135元，每天可售出100件，根据 销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要 使顾客尽量得到优惠且每天获得的利润为3596元，求每件工艺品 需降价多少元？
7.两个连续自然数的和的平方，比它的平方和大144， 求这两个数
解：设这两个自然数为 x, x 1
(x x 1)2 x2 (x 1)2 144
x1 9(不合题意，舍去 )；x2 8
答：这两个数是9和8
8.已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为 108人，求平均每人每轮传染多少人？
3.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快
减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现每件商品每
降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元，
（1）商场日销售量增加
件；每件商品盈利
元；
（用含x的代数式表示）
（2）.在上述条件不变，销售正常的情况下，每件商品降价多少
元时，商场日盈利可达到2100元。
(x 7)(x 8) 0
x1 7, x2 8(不合题意舍，去 )
答：每个枝干长出7个小分支
2.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博 转发的方式传播，他设计了如下的传播规则，将倡议 书发表在自己的微博上，再邀请n个好友，转发倡议 书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同 的好友，转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播 后，共有111人，参与了传播活动，求n的值
一元二次方程的实际问题
传播问题
探究一：有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了 流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中，平均一个人传染了x个人 第一轮后共有 1+x 人患了流感 第二轮后共有1+x+x(x+1人) 患了流感
1 x x(1 x) 121 (1 x)2 121