2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (8)
2015全国高中数学联赛广东初赛试题及答案
y − y1 =
y2 − y1 ( x − x1 ). 当 y = 0 时， x2 − x1
2 x2 − x1 y2 − y12 y2 yy y1 + 1 = − 1 2 , y1 + x1 = − y2 − y1 2 p ( y2 − y1 ) 2p 2p yy ………. 5 分 所以 | OC |= − 1 2 . 2p 另一方面，抛物线在 A、B 两点的切线方程分别为： yy1 = p ( x + x1 ), yy2 = p ( x + x2 ), yy ………. 10 分 求得其交点的横坐标为 x3 = 1 2 . 于是 | OC | + x3 = 0 . 2p
2 2
最小值, 当且仅当 ∆ = a − 4 < 0 . 所以 1 < a < 2 .
2
4. 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 = 0, an +1 = an + 1 + 2 an + 2 , 则 该 数 列 的 通 项 公 式
an = ______________.
【答案】 an = n + 2 − 1 − 2 . 【 解 析 】 因 为 an +1 + 2 = an + 2 + 2 an + 2 + 1 =
，有概率 在 0 ≤ x1 , x2 ≤ 1 上考虑满足上述条件的 （x1 , x2）
P=∫
1
0
6 3 α −β 7. 已知 sin α + sin β = , 则 cos , cos α + cos β = = ______________. 2 3 3
【答案】1/4. 【解析】平方求和, 再用倍角公式即得.
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
2015年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷(含答案)(完整资料).doc
（2）若 ，求PM的值。
2015年全国初中数学联赛（初二组）初赛试题
参考解答
一、选择题
1．D.
2．C.
3．A 延长FD至点G，使得DG=BE.显然△ABE≌△ADG.
∴AE=AG.易证△FAG≌△FAE. ∴FG=FE. ∴△ECF的周长=CF+FE+EC=CF+FG+EC=CF+FD+DG+EC=（CF+FD）+（BE+EC）=CD+BC=2.选A.
C、2或 D、2或
6、已知2015年3月13日是星期五，则 天之后是星期（ ）
A、一 、二C、三D、四
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
7、计算： .
8、已知 ，则 的值为.
9、如图，在四边形ABCD中， ， ， ， ， ，则BD的值为.
10、如果关于x的不等式组 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）的个数为.
10.12. 即是 .因为原不等式组的整数解仅为1，2，3,所以 即 .所以 可以取9,10,11共3个数， 可以取1,2,3,4共4个数. 所以适合原不等式组的整数 组成的有序数对 的个数为 个.
三、解答题
11．解：∵a2+2ab+b2-6a-6b+9=0，……………………………………..…………………5分
∵AP=PC,CM=ME, ∴PM∥ 且PM= .………………………………….……….20分
∴PQ=PM, PQ⊥PM.
∴△MPQ为等腰直角三角形.
∴PM=PQ=2.5. .…………………………………………………………………………….25分
2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题及参考标准答案
２015年福建省高中数学竞赛暨２０15年全国高中数学联赛(福建省赛区）预赛试卷（考试时间:2０15年５月２4日上午9:0０-11：3０，满分16０分）一、填空题(共10小题,每小题6分，满分6０分。
请直接将答案写在题中的横线上）1.设集合403x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，,从集合A 中随机抽取一个元素x ,记2x ξ=,则随机变量ξ的数学期望E ξ= 。
2．已知()()f x x g x =+,其中()g x 是定义在R 上，最小正周期为2的函数。
若()f x 在区间[)24，上的最大值为1，则()f x 在区间[)1012，上的最大值为 。
3.1F 、2F 为椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点,若椭圆C 上存在一点P ,使得12PF PF ⊥,则椭圆离心率e 的取值范围为 。
4.已知实数x ,y ,z 满足2222324x y z ++=，则23x y z ++的最小值为 。
5.已知函数2()cos 2xf x x π=,数列{}n a 中，()(1)n a f n f n =++(*n N ∈），则数列{}n a 的前１0０项之和100S = 。
6．如图,在四面体ABCD 中,2DA DB DC ===,DA DB ⊥，DA DC ⊥,且DA 与平面ABC 所成角的余弦值为63R = 。
７.在复平面内,复数1z 、2z 、3z 的对应点分别为1Z 、2Z 、3Z 。
若122z z ==120OZ OZ ⋅=，1231z z z +-=,则3z 的取值范围是 。
８.已知函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点1x ，2x (12x x <），则a 的取值范围为 。
９．已知2()2x f x m x nx =⋅++,若{}{}()0(())0x f x x f f x φ===≠,则m n +的取值范围为 。
2015 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
AB AC ， EF BC ，则 C B ____________.
【答】 60 .
E
作 EM BC 于点 M ， FN BC 于点 N ， FP EM 于点 P .
∵ E 、 F 分别为△ ABD 、△ ACD 的外心，∴ M 、 N 分别为 BD 、CD 的中
点.又 EF BC ，∴ PF MN 1 BC 1 EF ，∴ PEF 30 .
6. 设 n 是小于 100 的正整数且使 5n2 3n 5 是 15 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和是（ ）
A.285. 【答】D.
B.350.
C.540.
D.635.
∵ 5n2 3n 5 是 15 的倍数，∴ 5 | (5n2 3n 5) ，∴ 5 | 3n ，∴ 5 | n ，设 n 5m （ m 是正整数），
∴符合条件的所有正整数 n 的和是（2＋8＋14＋…＋86＋92＋98）＋（4＋10＋16＋…＋82＋88＋94）
＝1634. 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1．题目和解答与（A）卷第 1 题相同. 2. 三边长均为整数且周长为 24 的三角形的个数为________. 【答】12.
C E
B
G
∴ GF 11， GE 10 ，∴ EF GE2 GF 2 221 .
4. 已知 O 为坐标原点，位于第一象限的点 A 在反比例函数 y 1 (x 0) 的图象上，位于第二象限的 x
点 B 在反比例函数 y 4 (x 0) 的图象上，且 OA OB ，则 tan ABO 的值为 x
同理可知： C 不小于 9, D 不小于 12, E 不小于 15, F 不小于 18.
因此，第三列所填 6 个数字之和 A ＋ B ＋ C ＋ D ＋ E + F 3 6 9 12 15 18 63.
全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)
全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)第三届全国大学生数学竞赛预赛试题一． 计算下列各题（共3小题，每小题各5分，共15分）（1）.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭； （2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； （3）已知()2ln 1arctan ttx e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d ydx。
二．（10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。
三．（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()'"0,0,0f f f 均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=。
四．（17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
五．（16分）已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,Px y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S的正法向的方向余弦。
计算：（1）(),,S zdS x y z ρ⎰⎰；（2）()3S z x y z dS λμν++⎰⎰六．（12分）设f(x)是在(),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，其中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛。
七．（15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数f(x)，满足()()021f f ==，()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、？请说明理由。
2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (16)
2015年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛一、 填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分,请将答案填在答题卡的相应位置.1.对于任意实数x ,符号[]x 表示不超过x 的最大整数;符号{}x 表示x 的小数部分,即{}[]x x x =-,则2320142014201420142014++++=2015201520152015⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭2.已知129,,,a a a 为1,2,,9 的任意一个排列,则123456789a a a a a a a a a ++=3.已知12345,,,,x x x x x 是正整数,任取四个数后求和得到的数组成的集合为{44,45,46,47},则这五个数为4.设,x y 是实数,且满足:33(1)2015(1)1(1)2015(1)1x x y y ⎧-+-=-⎪⎨-+-=⎪⎩,则x y += 5.已知复数z 满足||3z z i +=+(其中i 为虚数单位)则z =6.已知数列{}n x满足1x =111n n nx x x ++=-,则1001401x x -= 7.函数3sin 2cos x y x-=-的最大值是 8.已知正三棱锥P ABC -的底面边长为1,点P 到底面ABC则该三棱锥的内切球的半径为二、 本大题共3小题,共56分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.9(本小题满分16分)设a 和b 是两个整数,如果a b -能够被正整数n 整除,则称a 和b 是模n 同于的,记作(mod )a b n ≡,已知正整数a 满足3(mod 4)a ≡,求证:22x y a +=无整数解.10(本小题满分20分) 已知椭圆22:195x y E +=的左焦点为1F ,过1F 的直线l 交椭圆E 于,A B 两点,点Q 的坐标为9(,0)2-,若QB AB ⊥ ,求直线l 的斜率.11(本小题满分20分)有九个同学聚会,已知每两个人恰好和同一个人喝过酒.证明:其中恰好有一个人喝所有人喝过酒,并且其他人每人恰好和两个人喝过酒.。
2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (6)
2015年全国高中数学联赛湖北省预赛一、 填空题:本大题共10小题,每小题9分,共90分,请将答案填在答题卡的相应位置.1.若对于任意实数x ,都有|||1|2x a x a +-+≤恒成立,则实数a 的最小值是2.将5名大学生村官分配到某乡镇的三个村就职,若每个村至少一名,则不同的分配方案种数为3.若23260126(2)x x a a x a x a x --=++++ ,则135a a a ++=4.已知顶角为20的等腰三角形的底边长为a ,腰长为b ,则332a b ab += 5.设*1220151220152,51(),{,,,}{,,,}n n n a b n n N S a a a b b b ==-∈= ,则集合S 中的元素个数为 6.已知点P 在直角ABC ∆所在的平面内,90,BAC CAP ∠=∠ 为锐角, ||2,2,1AP AP AC AP AB =⋅=⋅= ,当||AB AC AP ++ 取得最小值时,tan CAP ∠=7.已知正三棱柱P ABC -的底面的边长为6,则该三棱锥的内切球的半径为8.函数()1)f x =的值域为9.已知12,F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点,,A B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点,点P 在线段AB 上,则12PF PF ⋅ 的最小值为10.使得12p +和212p +都是完全平方数的最大质数p 为 二、 本大题共3小题,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.11(本小题满分20分) 设平面点集2218{(,)|()()0},{(,)|(1)(1)1}25A x y y x y B x y x y x=--≥=-+-≤,若 (,)x y A B ∈ ,求2x y -的最小值.12(本小题满分20分)设n T 是数列{}n a 的前n 项之积,满足*1,.n n T a n N =-∈(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设22212n n S T T T =+++ ,求证:111123n n n a S a ++-<<-.13(本小题满分20分)过直线2130x y -+=上一动点(A A 不在y 轴上)作抛物线28y x =的两条切线,,M N 为切点,直线 ,AM AN 分别与y 轴交于点,B C .(Ⅰ)证明:直线MN 恒过一定点;(Ⅱ)证明:ABC ∆的外接圆恒过一定点,并求该圆半径的最小值.12(本小题满分14分)(Ⅰ)(Ⅱ)13(本小题满分15分) (Ⅰ)(Ⅱ)14(本小题满分15分) (Ⅰ)(Ⅱ)。
2015全国高中数学联赛江苏预赛试题及答案
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4，当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4．2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π24处的值是 ．解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－32．3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2．4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ．解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42625，所求的概率是72625．5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2c 2＝1有相同的离心率e ，则e 的值是 ．解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2b 2，解得e ＝－1＋52．6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是 ．（第6题图） A 1解：记四棱锥B 1－ABCD 的体积为V ．如图，DE ＝23DB 1，从而V 1＝23V ．又V ＝13V 2，所以V 1V 2＝29．7．若实数集合A ＝{31x ，65y }与B ＝{5xy ，403}仅有一个公共元素，则集合A ∪B 中所有元素之积的值是 ．解：因为31x ×65y ＝5xy ×403＝2015xy ．若xy ≠0，则集合A 和集合B 中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy ＝0，从而A ∪B 中所有元素之积的值为0． 8．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin α，cos α)．向量x 1，x 2，…，x 7中有3个为a ，其余为b ；向量y 1，y 2，…，y 7中有2个为a ，其余为b ．则7∑i =1x i y i 的可能取值中最小的为 ．解：因为a ·a ＝b ·b ＝1，a ·b ＝0，所以7∑i =1x i y i 的最小值为2．9．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 ． 解：如图，设幻方正中间的数为x ，则由题意知a ＝－2012，从而对角线上三个数的和为x －2011．因此b ＝x －2014，c ＝－4026，d ＝－2013，e ＝x ＋2014． 由b ＋e ＋x ＝x －2011，解得x ＝－20112．这9个数的和为3×(－20112－2011)＝－180992，所以幻方中其余6个数之和为－180992－2018＝－221352．10．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是满足x ≥0，y ≥0，x ＋y ＋[x ]＋[y ]≤19的点(x ，y )形成的区域（其中[x ]是不超过x 的最大整数）．则区域D 中整点的个数为 ． 解：区域D 中整点的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55．（第9题图） 12 2015（第9题图）e c d ab1 2 2015x （第6题图）A 1二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．在等比数列{a n }中，a 2＝2，q 是公比．记S n 为{a n }的前n 项和，T n 为数列{a 2n }的前n 项和．若S 2n ＝2T n ，求q 的值．解：若q ＝1，则a n ＝a 2＝2，a 2n ＝4，则S 2n ＝4n ，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．若q ＝－1，则a n ＝2×(－1)n ，a 2n ＝4，则S 2n ＝0，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．……………………………… 5分若q ≠±1，则a n ＝2q n －2，a 2n ＝4q 2n －4，从而S 2n ＝2q ×(1－q 2n )1－q ，T n ＝4q 2×(1－q 2n )1－q 2． ……………………………… 15分由S 2n ＝2T n ，则4q (1＋q )＝1，q 2＋q －4＝0，解得q ＝－1±172．综上，q 的值为－1＋172和－1－172． ……………………………… 20分12．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD ＝CE ．∠BAC 的外角平分线与△ADE 的外接圆交于A 、P 两点．求证：A 、P 、B 、C 四点共圆．证明：如图，连结PD ，PE ，PC ．因为四边形APDE 是圆内接四边形, 所以∠P AD ＝∠PED ，∠P AF ＝∠PDE ． 又因为AP 是∠BAC 的外角平分线， 所以∠P AD ＝∠P AF ， 从而∠PED ＝∠PDE ，故PD ＝PE ． ……………………………… 10分 又∠ADP ＝∠AEP ， 所以∠BDP ＝∠CEP ．又因为BD ＝CE ，所以△BDP ≌△CEP ，从而∠PBD ＝∠PCE ，即∠PBA ＝∠PCA ，ABCDP(第12题图)EA BC DP (第12题图)EF所以A 、P 、B 、C 四点共圆． ……………………………… 10分13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1、圆O 2都与直线l ：y ＝kx 及x 轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P (2，2)，求直线l 的方程． 解：由题意，圆心O 1，O 2都在x 轴与直线l若直线l 的斜率k ＝tanα， 设t ＝tan α2，则k ＝2t1－t 2．圆心O 1，O 2在直线y ＝tx 上， 可设O 1(m ，mt )，O 2(n ，nt )．交点P (2，2)在第一象限，m ，n ，t ＞0． ……………………………… 4分 所以⊙O 1：(x －m )2+(y －mt )2=(mt )2，⊙O 1：(x －n )2+(y －nt )2=(nt )2，所以⎩⎨⎧(2－m )2＋(2－mt )2＝(mt )2，(2－n )2＋(2－nt )2＝(nt )2，即⎩⎨⎧m 2－(4＋4t )m ＋8＝0，n 2－(4＋4t )n ＋8＝0，……………… 8分所以 m ，n 是方程X 2－(4+4t )X ＋8=0的两根，mn ＝8．由半径的积(mt )(nt )＝2，得t 2＝14，故t ＝12．……………………………… 16分所以 k ＝2t 1－t 2＝11－14＝43，直线l ：y ＝43x ． ……………………………… 20分14．将正十一边形的k 个顶点染红色，其余顶点染蓝色． （1）当k ＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k 取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由． 解：（1）设正十一边形的顶点A 1，A 2，A 3，…，A 11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形．以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以A i (i ＝1，2，3，…，11)为顶角顶点的等腰三角形有11－12＝5个，这些三角形均不是等边三角形，即当j ≠i 时，以A j 为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形．故所有的等腰三角形共有5×11＝55个． …………………… 5分当k ＝2时，设其中A m ，A n 染成红色，其余染成蓝色．以A m 为顶角顶点的等腰三角形有5个，以A m 为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以A m ，A n 为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(5＋10)×2－3＝27个．注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55－27＝28个． ………………………… 10分（2）若11个顶点中k 个染红色，其余11－k 个染蓝色．则这些顶点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有k (k －1)2条，两端点染蓝色的有(11－k )(10－k )2条，两端点染一红一蓝的有k (11－k )条．并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形．把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x 1个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x 2个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x 3个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x 4个，则按顶点颜色计算连线段，3x 1＋x 3＝3×k (k －1)2， ①3x 2＋x 4＝3×(11－k )(10－k )2， ②2x 3＋2x 4＝3×k (11－k )， ③由①＋②得 3(x 1＋x 2)＋x 3＋x 4＝32[k (k －1)＋(11－k )(10－k )]，用③代入得 x 1＋x 2＝12[ k (k －1)＋(11－k )(10－k )－k (11－k )]＝12(3k 2－33k ＋110)．当k ＝5或6时，(x 1＋x 2)min ＝12(5×4＋6×5－5×6)＝10．即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k ＝5或6．………… 20分。
2015预赛山东省大学生数学竞赛(专科)试卷
绝密★启用前山东省大学生数学竞赛（专科）预赛试卷（非数学类，2015）考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分一、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在题中横线上。
） 1. 已知函数x x f 11111)(++=，其定义域为___________. 2. 213lim 21-++--→x x x x x =___________. 3. 设函数)(x f 在a x =处可导，且41)()2(lim 0=--→a f h a f h h ，则)(a f '=_____ 4. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(t t y t t x 所确定，则dx dy =__________. 5. 如果等式⎰+-=--c e dx e x f x x 11)(，则)(x f =___________. 6. ⎰--+1122)1(dx x x =___________.注意：1．答题前，请竞赛选手将密封线内的项目填写清楚。
2．将答案直接答在试卷相应题目的位置，答错位置不得分。
线封密身份证号：所在院校：专业：二、综合题（本题共7小题，每题10分，共70分，请写出相应演算步骤。
）1. 已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,0,2arcsin 1)(2tan x ae x x e x f x x在0=x 连续，求a .2. 设函数)(x y y =由方程x y x y x sin )ln(32+=+确定，求0=x dx dy .3. 证明恒等式：)11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π.4. 设)(x f 的一个原函数为2x e ，求⎰''dx x f x )(.5. 已知⎰-++=102)(111)(dx x f x xx f ，求⎰10)(dx x f .6. 设⎰⎰+++=x x dt t dt t x F 102021111)(，求)(x F .7. 求曲线122=+y x 与x y 232=所围成的两个图形中较小的一块绕x 轴旋转所得旋转体的体积。
历届全国大学生数学竞赛预赛试题
全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算()ln(1)d yx y x y ++=⎰⎰，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足22()3()d 2f x x f x x =--⎰，则()f x =.3．曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy.二、（5分）求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(xf 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A x x f x =→)(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且ne u n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.八、（10分）求-→1x 时，与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++L ，其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （3）设0s >，求0(1,2,)sx n n I e x dx n ∞-==⎰L .（4）设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g gx y∂∂+∂∂. （5）求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离.二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞'=>，lim ()0x f x β→-∞'=<，且存在一点0x ，使得0()0f x <. 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定，且22d 3d 4(1)y x t =+， 其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切，求函数()t ψ.四、（15分）设10,nn n k k a S a =>=∑，证明：（1）当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛；（2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n n na S α+∞=∑发散.五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球2222221x y z a b c ++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕l 旋转.（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值. 六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422d ()d 0Lxy x x yx y ϕ+=+⎰Ñ的值为常数.（1）设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x yx yϕ+=+⎰Ñ； （2）求函数()x ϕ；（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d ()d C xy x x yx y ϕ++⎰Ñ.2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）（1）求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；（2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； （3）已知()2ln 1arctan ttx e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d d yx.二、（本题10分）求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解. 三、（本题15分）设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h →++-=. 四、（本题17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值. 五、（本题16分）已知S 是空间曲线22310x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）（取上侧），∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面，(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦. 计算： （1）()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰；（2）()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰ 六、（本题12分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、（本题15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满足(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，2()d 1f x x ≤⎰?请说明理由.2012年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）. （1）求极限21lim(!)n n n →∞. （2）求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个互相垂直的平面1π和2π，使其中一个平面过点(4,3,1)-. （3）已知函数(,)ax byz u x y e+=，且20ux y∂=∂∂. 确定常数a 和b ，使函数(,)z z x y =满足方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂.（4）设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d L x y u x x u u y +++⎰在右半平面与路径无关，求(,)u x y .（5）求极限1lim x x x t +. 二、（本题10分）计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、（本题10分）求方程21sin 2501x x x=-的近似解，精确到0.001.四、（本题12分）设函数()y f x =二阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求330()lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距.五、（本题12分）求最小实数C ，使得满足10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x都有10f dx C ≤⎰.六、（本题12分）设()f x 为连续函数，0t >. 区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面 2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分. 定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰，求()F t 的导数()F t ''.七、（本题14分）设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数，证明：（1）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->，则级数1n n a ∞=∑收敛； （2）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，则级数1n n a ∞=∑发散.2013年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.2.证明广义积分0sin d xx x+∞⎰不是绝对收敛的. 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值. 4.过曲线0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34，求点A 的坐标.二、（满分12分）计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.三、（满分12分）设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且()lim 0x f x x→=.证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛.四、（满分12分）设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m ≤⎰.五、（满分14分）设∑是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分()()()333d d 2d d 3d d I xx y z y y z x z z x y∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑，使积分I 的值最小，并求该最小值.六、（满分14分）设22d d ()()a aC y x x y I r x y -=+⎰，其中a 为常数，曲线C 为椭圆222x xy y r ++=，取正向.求极限lim ()a r I r →+∞. 七、（满分14分）判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑L 的敛散性，若收敛，求其和.2014年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是 .2.设有曲面22:2S z x y =+和平面022:=++z y x L . 则与L 平行的S 的切平面方程是 .3.设函数()y y x =由方程21sin d 4y xt x tπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰所确定.求d d x y x== .4.设1(1)!nn k kx k ==+∑，则=∞→n n x lim . 5.已知13()lim 1xx f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则=→20)(lim x x f x . 二、（本题12分）设n 为正整数，计算21d 1cos ln d d n eI x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、（本题14分）设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤. 证明：对任意]1,0[∈x ，有22|)('|BA x f +≤. 四、（本题14分）（1）设一球缺高为h ，所在球半径为R . 证明该球缺体积为2)3(3h h R -π，球冠面积为Rh π2；（2）设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，方向指向球外，求第二型曲面积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++⎰⎰.五、（本题15分）设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得⎰-=b a nn n dx x f ab x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim . 六、（本题15分）设2222212n n n n A n n n n =++++++L ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n A n 4lim π.2015年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）（1）极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭L . （2）设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y yx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠则z z x y xy∂∂+=∂∂ .（3）曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面与曲面所围区域的体积是 . （4）函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是 .（5）设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()20xt u x e dt +∞-=⎰，则()u x 的初等函数表达式是 .二、（12分）设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程. 三、（12分）设()f x 在(),a b 内二次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ∀∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，则()f x 在(),a b 内无穷次可导. 四、（14分）求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、（16分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()11000,1f x dx xf x dx ==⎰⎰. 试证：（1）[]00,1x ∃∈使()04f x >； （2）[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、（16分）设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤. 若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：()221,4x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰.2016年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，满分30分） 1、若()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，则()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 2、若()10f =，()1f '存在，求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()2x z f e y =，若z z x∂=∂，求()f x 在0x >的表达式.4、设()sin 2xf x ex =，求02n a π<<，()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、（14分）设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，()()()2300d d aaf x xf x x >⎰⎰.三、（14分）某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M xy z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，证明：()10111lim 2nn k k n f x dx f n n →∞=⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰.五、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()10d 0I f x x =≠⎰，证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112f x f x I+=. 六、（14分）设()f x 在(),-∞+∞可导，且()()(2f x f x f x =+=.用级数理论证明()f x 为常数.2017年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、1. 已知可导函数满足⎰+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ，则()f x .2． 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c为非零常数. 则21xx yy w w c-. 4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则240(sin )lim x f x x →. 5. 不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-⎰. 6. 记曲面222z x y =+和224z x y =--围成空间区域为V ，则三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰.二、（本题满分14分) 设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度α，定义一元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>. 证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值.三、(本题满分14分) 设曲线Γ为在2221x y z ++=，1x z +=，0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段. 求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、(本题满分15分) 设函数()0f x >且在实轴上连续，若对任意实数t ，有||()1t x ef x dx +∞---∞≤⎰，则,()a b a b ∀<，2()2ba b a f x dx -+≤⎰. 五、(本题满分15分) 设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (15)
2015年全国高中数学联赛天津市预赛一、选择题:本大题共6小题,每小题6分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设,,A B C 是三个集合,则B 和C 都是A 的子集是()()A B A C B C = 成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必邀条件2.方程||1y =A.一个圆B.两个半圆C.一个椭圆D.两个圆3.用[]x 表示不大于x 的最大整数,方程2[]20x x --=共有( )个不同的实数根A.1B.2C.3D.44.方程35711x x x x ++=共有( )个不同的实数根A.0B.1C.2D.35.在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线,则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率是A.730B.920C.715D.815 6.设ABC ∆的周长为12,内切圆的半径为1,则A.ABC ∆必为直角三角形B.ABC ∆必为锐角三角形C.ABC ∆必为直角三角形或锐角三角形D.该三角形不能确定为何种三角形 二、填空题:本大题共6小题,每小题9分,共54分,请将答案填在题后的横线上.7.在正四棱锥P ABCD -中,四个侧面都是等边三角形,用θ记该四棱锥的侧面与底面所成的二面角,则tan θ=8.设数列{},{}n n a b 都是等差数列,,n n A B 分别是数列{},{}n n a b 的前n 项和,若539n n A n B n -=+,则88a b = 9.设O 是坐标原点,点A 是抛物线2114x y =+上的一个动点,点B 是抛物线24y x =+上的一个动点,则OAB ∆的面积的最小值是10.设201512k k S k ==⋅∑,则S 除以100的余数是11.设复数44cos sin 77z i ππ=+,则23243||111z z z z z z ++=+++ (用数字作答) 12.设,,,a b c d 都是实数,且满足234a b c d +++则22222()a b c d a b c d +++++++的最小值是三、解答题:本大题共3小题,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13(本小题满分20分)设1()f x x x =+.求证:对任意(2x ∈,有(())2f f x x <<.14(本小题满分20分)已知正ABC ∆内接于抛物线2,x y ABC =∆的重心G 落在双曲线1xy =上,求点G 的坐标.15(本小题满分20分)设数列{}n a 满足:121141,8,,2,3,4,n n n a a a a a n n+-===+= . (Ⅰ)证明:存在常数0C >,使得对任意正整数n ,都有2;n a Cn ≤ (Ⅱ)证明:对任意正整数n ,都有143n n a a n +-≤+.。
历届全国大学生数学竞赛预赛试卷
全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）2009 年第一届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类） 一、填空题（每题5 分，共 20 分）( x y)ln(1y)1．计算xdxdy ____________，此中地区D 由直线 x y 1 与两坐标轴D1 x y所围成三角形地区 .2．设 f ( x) 是连续函数，且知足f ( x) 3 x22f ( x)dx 2 ，则 f ( x) ____________.3．曲面 zx 2 y 22 平行平面 2x2 y z0 的切平面方程是 __________.24．设函数 yy( x) 由方程 xe f ( y )e yln 29 确立，此中 f 拥有二阶导数，且 f1 ，则d 2 y ________________.dx2二、（ 5 分）求极限 lim (e xe 2 xe nxen) x，此中 n 是给定的正整数 .x 01 三、（ 15 分）设函数 f ( x) 连续， g ( x)f ( xt)dt ，且 limf (x)A ， A 为常数，求 g (x) 并x 0x议论 g (x) 在 x 0处的连续性 .四、（15 分）已知平面地区 D {( x, y) | 0x, 0 y} ， L 为 D 的正向界限，试证：（1） xe sin y dyye sin x dx xe sin y dyye sin x dx ；LL（2） xe sin y dyye sin y dx 5 2 .L2五、（ 10 分）已知 y 1 xe x e 2 x ， y 2 xe x e x ， y 3 xe x e 2 x e x 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（ 10 分）设抛物线 y ax 2 bx 2 ln c 过原点 . 当 0 x 1时， y 0 ，又已知该抛物线与 x 轴及直线 x 1所围图形的面积为1. 试确立 a, b, c ，使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V 最小 .3七、（ 15 分） 已知 u n ( x) 知足 u n ( x)u n (x)x n 1e x n 1,2,L，且 u n (1)e，求函数项级数nu n ( x) 之和 .n 1八、（ 10 分）求 x1 时，与x n 2 等价的无量大批 .n 02010 年第二届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、（ 25 分，每题5 分）（ 1）设 x n (1 a)(1 a 2 )L (1 a 2 n ) ，此中 | a | 1, 求 lim x n .n1 x 2（ 2）求 lim e x 1 .xx（ 3）设 s 0 ，求 I ne sx x n dx(n1,2,L ) .（ 4）设函数 f (t) 有二阶连续导数， rx2y 2, g(x, y)f 1，求2g2g .rx 2y 2（ 5）求直线 l 1 : xy 0与直线 l 2 : x 2y 1z3的距离 .z 0421二、（ 15 分）设函数 f (x) 在 ( ,) 上拥有二阶导数，而且f (x) 0 ， lim f (x)0 ，xlim f ( x)0 ，且存在一点 x 0 ，使得 f ( x 0 )0 . 证明：方程 f ( x)0 在 (,) 恰有两个实x根 .x 2t t 223三、（ 15 分）设函数 yf ( x) 由参数方程d yy(t ) (t1) 所确立，且 dx 24(1 t )，此中 (t) 拥有二阶导数，曲线y(t ) 与 yt 2eu 2du3在 t 1出相切，求函数(t) .12e四、（ 15 分）设 a nn0, S na k ，证明：k1（1）当1时，级数a n 收敛；n 1 S n（2）当1且 s n( n) 时，级数a n 发散 .n 1 S n五、（ 15 分）设 l 是过原点、方向为 ( , , ) ，（此中2221) 的直线，平均椭球x 2y 2 z 2 1（此中 0c b a ，密度为1）绕 l 旋转 .a2b2c2（ 1）求其转动惯量；（ 2）求其转动惯量对于方向 ( , , ) 的最大值和最小值 .六、 (15 分) 设函数 ( x) 拥有连续的导数，在环绕原点的随意圆滑的简单闭曲线C2 xydx ( x)dy 0 的值为常数 .上，曲线积分?Lx 4y 2（1）设 L 为正向闭曲线 (x 2) 2y 21 ，证明 ?L2xydx(x)dy ；x 4y 2（ 2）求函数 ( x) ；（ 3）设 C 是环绕原点的圆滑简单正向闭曲线，求?C 2xydx ( x)dy .x 4y 22011 年第三届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、计算以下各题（此题共3 小题，每题各5 分，共 15 分）1（ 1）求 limsin x 1 cosx ；x 0x（ 2）. 求 lim1 1 (1)；nn 1n 2n n2t，求 d 2y 2.（ 3）已知xln 1eytdxt arctane二、（此题 10 分）求方程2x y 4 dx x y 1 dy 0的通解 .三、（此题 15 分）设函数 f (x) 在 x 0 的某邻域内拥有二阶连续导数，且 f 0 , f 0 , f 0均不为 0，证明：存在独一一组实数k 1,k 2 , k 3 ，使得lim k 1 fh k 2 f 2h 2 k 3 f 3hf 00 .h 0h222 四、（此题 17 分）设1 :xyz1 ，此中 a b c0 ， 2 : z 2x22， 为 1 与2的222yabc交线，求椭球面 1 在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.五、（此题 16 分）已知 S 是空间曲线x 2 3y21绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部分z 0（ z 0 ）（取上侧）， 是 S 在 P( x, y, z) 点处的切平面，(x, y, z) 是原点到切平面 的距离，,, 表示 S 的正法向的方向余弦 . 计算：（ 1）z dS ；（ 2） z x3 ydz SSx, y, zS六、（此题 12 分）设 f ( x) 是在 ( ,) 内的可微函数，且f (x)mf (x) ，此中 0 m 1 ，任取实数 a 0 ，定义 a nln f (a n 1), n 1,2,... ，证明：(a na n 1 ) 绝对收敛 .n 1七、（此题 15 分）能否存在区间0,2上的连续可微函数f ( x) ，知足 f (0) f (2)1，f ( x) 1 ，2f (x)d x 1?请说明原因 .2012 年第四届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、（本大题共 5 小题，每题6 分，共 30 分）解答以下各题 （要求写出重要步骤） .1（ 1）求极限 lim( n!) n 2 .n（ 2）求经过直线 l :2 x y 3z 2 0 的两个相互垂直的平面 1和 2 ，使此中一个平面5x 5 y 4z 3 0过点 (4, 3,1).（ 3）已知函数 zu( x , y)eaxby，且2u0 . 确立常数 a 和 b ，使函数 z z(x , y) 知足方程 xy2z zz. x yxzy（ 4）设函数 uu( x) 连续可微， u(2) 1 ，且 ( x 2 y)udx ( xu 3 )udy 在右半平面与路径无L关，求 u (x , y) .（ 5）求极限 lim 3xx 1sin tdt .xxt cost二、（此题 10 分）计算e 2x sin x dx .三、（此题 10 分）求方程 x 2sin12x 501的近似解，精准到 0.001.x四、（此题 12 分）设函数 yf (x) 二阶可导，且 f ( x)0 ， f (0)0 ， f(0) 0 ，求3limx f (u )3 ，此中 u 是曲线 y f (x) 上点 P( x , f ( x)) 处的切线在 x 轴上的截距 .x 0f ( x)sin u五、（此题 12 分）求最小实数 C ，使得知足1f (x) dx 1 的连续函数 f ( x) 都有1f ( x )dxC .六、（此题 12 分）设 f ( x) 为连续函数， t 0 . 地区 是由抛物面 zx 2 y 2 和球面x 2y 2 z 2t 2 ( z 0) 所围起来的部分 . 定义三重积分 F (t ) f ( x 2 y 2 z 2 )d v ，求 F (t) 的导数 F (t) .七、（此题 14 分）设a n 与b n 为正项级数，证明：n 1n 1（ 1）若（ 2）若lima n1 ，则级数a n 收敛；na n 1b n b n 1n 1lima n1 ，且级数b n 发散，则级数a n 发散 .na n 1b nb n 1n 1n 12013 年第五届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、解答以下各题（每题 6 分，共 24 分，要求写出重要步骤）1. 求极限 lim 12nsin1 .4nn2. 证明广义积分sin x dx 不是绝对收敛的 .x3. 设函数 y y(x) 由 x 33x 2 y 2 y 32 确立，求 y( x) 的极值 .4. 过曲线 y3x (x0) 上的点 A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为3，求点 A4的坐标 .x二、（满分 12 分）计算定积分Ixsin x arctane2dx .1 cos x三、（满分 12 分）设 fx 在 x 0 处存在二阶导数 f (0) ，且 limf x0 . 证明：级数1 收敛 .fx 0xn 1n四、（满分 12 分）设 f ( x), f (x)m 0(a xb) ，证明b2 .a sin f ( x)dxm五、（满分 14 分 ） 设是一个圆滑关闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分Ix 3x dydz2 y3 y dzdx3 z 3 z dxdy . 试确立曲面 ，使积分 I 的值最小，并求该最小值 .六、（满分 14 分）设 I a (r )ydx xdy ，此中 a 为常数，曲线 C 为椭圆x 2 xy y 2r 2 ，取正向 . 求极C( x2y 2 )a限 lim I a (r ) .r11L1七、（满分14 分）判断级数2 n的敛散性，若收敛，求其和 .n 1 n 1 n22014 年第六届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、填空题（共有 5 小题，每题 6 分，共 30 分）1. 已知 y 1e x 和 y 1 xe x 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是.2. 设有曲面 S : z x 2 2y 2 和平面 L : 2x 2 y z 0 . 则与 L 平行的 S 的切平面方程是 .3. 设函数 yy x t dt 所确立 . 求 dy.y(x) 由方程 xsin 214 dx x 04. nk ，则 lim x n设 x n.1)!k 1(kn1f (x)5. 已知 lim1 xf ( x)x3.e ，则 limx 2x 0xx 01二、（此题 12 分）设 n 为正整数，计算Ie 2 nd 1 cos lndx.dxx三、（此题 14 分）设函数 f (x) 在 [0,1] 上有二阶导数，且有正常数A, B 使得 f (x)A ，| f "( x) |B . 证明：对随意 x[ 0,1] B，有 | f '(x) | 2 A.2四、（此题 14 分）（ 1）设一球缺高为h ，所在球半径为 R . 证明该球缺体积为(3R h)h 2 ，球冠面积3为 2 Rh ；（ 2）设球体 ( x 1) 2 ( y 1) 2 ( z 1) 2 12被平面 P : xy z 6 所截的小球缺为，记球缺上的球冠为 ，方向指向球外，求第二型曲面积分I xdydz ydzdx zdxdy .五、（此题 15 分）设 f 在 [ a,b] 上非负连续，严格单增，且存在 x n [a,b] ，使得[ f ( x n )]n1b[ f (x)]n dx . 求 lim x n . b a a n六、（此题 15 分）设 A nnnLn，求 lim nA n . 22222n 1 n2n nn42015 年第七届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、填空题（每题6 分，共 5 小题，满分 30 分）sinsin 2sin（ 1）极限 lim n nn.Lnnn 2 1 n 2 2 n 2（ 2）设函数 zz x, y 由方程 Fxz, y z0 所决定，此中 F u,v 拥有连续偏导y x数，且 xF uyF v0 则 x z y z .xy（ 3）曲面 z x 2y 2 1在点 M 1, 1,3 的切平面与曲面所围地区的体积是 .（ 4）函数 fx3,x 5,0 在5,5 的傅立叶级数在 x0 收敛的是 .0, x 0,5（ 5）设区间 0,上的函数 u x 定义域为 u xe xt 2 dt ，则 u x 的初等函数表达式是 .二、（ 12 分）设 M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程.三、（ 12 分）设 fx在 a,b 内二次可导，且存在常数, ，使得对于x a,b ，有f xf xfx，则 f x 在 a, b 内无量次可导 .四、（ 14 分）求幂级数n 3 2 x 1 n的收敛域及其和函数 .n 0n 1 !五、（ 16 分）设函数 f x 在 0,1 上连续，且1f x dx11 . 试证：0 0, xf x dx（ 1） x 0 0,1 使 f x 0 4 ；（ 2） x 10,1 使 f x 14 .五、（ 16 分）设f x, y 在x2y21上有连续的二阶偏导数，且f xx2 2 f xy2 f yy2M .若f 0,0 0, f x 0,0 f y 0,0 0 ，证明： f x, y dxdy M .x2 y 2 142016 年第八届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、填空题（每题 5 分，满分 30 分）1nf a1、若f x在点 x a 可导，且f a0，则lim n__________.f an2、若f10， f1存在，求极限 I lim f sin 2 x cosx tan3 x2.x 0x1 sin xe3、设f x有连续导数，且 f 1 2 ，记 z f e x y2，若zz ，求f x 在x 0的表达式. x4、设f x e x sin2 x ，求 0a n， f40.25、求曲面z x2y2平行于平面 2 x 2 y z0 的切平面方程.2二、（ 14 分）设f x在0,1上可导， f00 ，且当 x0,1，0f x1，试证当 a0,1 ，a 2a3x dx .0 fx dx0f三、（ 14 分）某物体所在的空间地区为: x2y22z2x y2z，密度函数为 x2y2z2，求质量 M x2y2z2dxdydz .四、（ 14 分）设函数f x在闭区间0,1上拥有连续导数，f00 ， f 1 1 ，证明： lim n1f x dx1n k 1.n0n k 1n2五、（ 14 分）设函数f x在闭区间0,1 上连续，且 I 10 ，证明：在0,1内存0f x dx在不一样的两点 x1, x2，使得11 2 .f x1 f x2I六、（ 14 分）设f x 在,可导，且 f x f x 2 f x3. 用 Fourier 级数理论证明 f x 为常数.2017 年第九届全国大学生数学比赛初赛试卷（非数学类）一、1.已知可导函数() 知足cos xf (x)2x f (t) sin tdt x1，则 f ( x) =_________.????0．求lim sin2n2n .2n3. 设w f (u, v) 拥有二阶连续偏导数，且u=x cy，v=x+cy ，此中c为非零常数.则wxx1=_________.c2wyy4.设f (x)有二阶导数连续，且 f (0) f '(0)0, f "(0) 6 ，则 lim f (sin2 x)=____.x4x 05. 不定积分I e sin x sin 22x dx=________.(1 sin x)6.记曲面 z2 x2 y2和z4 x2 y2围成空间地区为 V ，则三重积分zdxdydz=___________.V二、（此题满分14 分 ) 设二元函数 f ( x, y)在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度，定义一元函数g (t ) f (t cos , t sin ) .若对任何都有dg (0)0且 d 2 g(0) 0 .证明f (0,0)是 f ( x, y) 的极小值. dt dt 2三、 ( 此题满分 14 分 ) 设曲线为在x2y2z21，x z1， x 0, y 0, z 0上从 A(1,0,0) 到 B(0,0,1) 的一段.求曲线积分I ydx zdy xdz .四、 ( 此题满分 15 分 ) 设函数f ( x)0 且在实轴上连续，若对随意实数t ，有e |t x|f ( x) dx 1 ，则 a, b( a b) ，b b a 2 .f (x)dxa2五、 ( 此题满分 15 分 ) 设{ a n}为一个数列，p 为固定的正整数。
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2015年全国高中数学联赛吉林省预赛
一、选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数12
1(),1
4()log ,1x x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩,则[(1)]f f -等于
A.2
B.2-
C.14
D.12
- 2.“实数,,,a b c d 依次成等差数列”是“a d b c +=+”成立的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必邀条件
3.若方程()2f x =在(,0)-∞内有解,则函数()y f x =的图象可能是
A. B. C. D. 4.已知向量,a b 的夹角为60 ,
且||1,|2|a a b =-= 则||b 等于
B.32
C. D.2 5.已知函数()||f x x x =,若对任意的1x ≥都有()()0f x m mf x ++<恒成立,则实数m 的取值范围是
A.(,1)-∞-
B.(,1]-∞-
C.(,2)-∞-
D.(,2]-∞-
6.若函数3()43f x x x =-在(,2)a a +上存在最大值,则实数a 的取值范围是
A.5(,1)2--
B.5(,1]2--
C.51(,)22--
D.51(,]22
-- 二、本大题共6小题,每小题5分,共30分,请将答案填在题后的横线上.
7.已知四棱锥S ABCD -的底面是边长为2的正方形,SD ⊥平面ABCD ,且SD AB =,则四棱锥S ABCD -的外接球的表面积是
8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且*43()n n S a n N =-∈,则数列{}n a 的通项公式是
9.已知函数()sin()sin()(0)24f x x x ππωωω=+
+>的最小正周期为π,则()f x 在区间[0,]2π
上的值域为
10.如图,在四棱锥E ABCD -中,底面ABCD 是正方形,AE ⊥平面CDE ,已知
3,AE DE F ==为线段DE 上的一点,二面角E B C
F --与二面角F BC D --的大小相等,则DF 的长为
11.从0,1,2,,9 这10个数字值取出三个不同的数字组成四位数(其中的一个数字
用两次),如5224,则这样的四位数共有 个
12.非空集合280(,)|10220ax y A x y x y x ay ⎧-+≥⎫⎧⎪⎪⎪=--≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+-≤⎩⎩
⎭,当(,)x y A ∈时,目标函数z y x =-既
存在最大值又存在最小值,则实数a 的取值范围是
三、解答题:本大题共4小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13(本小题满分15分)
在ABC ∆中,角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,已知2,3c C π==
.
(Ⅰ)求ABC ∆的周长的最大值;
(Ⅱ)若2sin 2sin(2)sin A B C C ++=,求ABC ∆的面积.
14(本小题满分25分) 已知椭圆2
2:14
x G y +=,直线l 交椭圆G 于,A B 两点,且||2AB =,判断直线l 与圆221x y +=的位置关系,并给出证明.
15(本小题满分25分) 已知不等式1ln (1)0x a x --≥对任意的1x ≥均成立,求实数a 的取值范围.
16(本小题满分25分)
已知集合{|12014}A x N x ⊆∈≤≤,设实数123123,,,,,x x x λλλ满足:
(1)123,,{1,0,1}λλλ∈-且不全为0;
(2)123,,x x x A ∈
(3)若i j x x =,则1(1,3)i j i j λλ≠-≤≤
如果所有形如123x x x 和112233x x x λλλ++的数均不是2014的倍数,那么称A 为“好集”,求“好集”A 所含元素个数的最大值.。