10-11高数A2(A)卷答案

（答案要注明各个要点的评分标准）一、 填空题：（每小题3分，共15分）1.22y x y -+；2.2x xy e Ce-=+；3.3π ；4.121(1),(,)21n nn x x n -∞=-∈-∞+∞-∑；5. (4,5,3)--二、选择题：（每小题3分，共15分）1) B. 2) D. 3) A. 4) C. 5) C.一、 填空题：（每小题3分，共15分）1.22y x y -+；2.2x xy e Ce-=+；3.3π ；4.121(1),(,)21n nn x x n -∞=-∈-∞+∞-∑；5. (4,5,3)--二、选择题：（每小题3分，共15分）1) B. 2) D. 3) A. 4) C. 5) C.一、 填空题：（每小题3分，共15分）1.22y x y-+；2.2x xy e Ce-=+；3.3π ；4.121(1),(,)21n nn x x n -∞=-∈-∞+∞-∑；5. (4,5,3)--二、选择题：（每小题3分，共15分）1) B. 2) D. 3) A. 4) C. 5) C.三、（共21分）1、解：122z f f x∂''=+∂ ---------------------------------------------3分 2z x y∂=∂∂2111222232z f f f x y∂''''''=--+∂∂ ------------------------------------- 7分2 、解：曲线y x =与1y x=的交点为（1,1） ------------------------------------------------1分所以22D x ydxdy ⎰⎰22112xxdx x ydy =⎰⎰， -----------------------------------------------------------4分24126(1))5x dx =-=⎰ -----------------------------------------------------------------7分3、解 33,,2P x y Q y z R =+=+=,取221:1,1z x y ∑=+≤,取上侧,记∑与1∑所围成区域为Ω,则由Gauss 公式知得 --------------------------------2分13322()()2()3()P Q R x y dydz y z dzdx dxdy dvxyzx y dv∑+∑ΩΩ∂∂∂++++=++∂∂∂=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ------------------3分原式122333()()()2x y dv x y dydz y z dzdx dxdy Ω∑=+-++++⎰⎰⎰⎰⎰ -------------------5分21120134032176()210xyD d d dz dxdyd πρθρρρππρρρπ=⋅--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ --------------------------------7分1、解 取1:0,11L y x =-≤≤,方向从B （-1,0）点到A （1,0）22332,2P y x y Q x xy x =++=++ ------------------------------------------------------2分记L 与1L 所围成区域为D ,则由Green 公式知:12232(32)(2)()(32132)2L L DDDQ P y x y dx x xy x dy d xyx y x y d d σπσσ+∂∂+++++=-∂∂=++--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ - --------------------5分122311(32)(2)22422L y x y dx x xy x dydx πππ-=-+++++=-=-⎰⎰原式 ---------------7分2、解（1）求对应的齐次方程230y y y '''++=的通解Y ：特征方程为22310r r ++=，则其特征根为121,12r r =-=- ------2分∴齐次方程的通解为1212x x Y C eC e --=+（1C 与2C 为任意常数） ----------------------3分（2）求原方程的特解*y ：由于1λ=不是特征根，则令*()xy ax b e =+，代入原方程得2(2)3()()(61)x x x x ax a b e ax a b e ax b e x e +++++++=+即67661ax a b x ++=+，从而有66761a a b =⎧⎨+=⎩，即11a b =⎧⎨=-⎩ ∴*(1)xy x e =- ---6分 ∴原方程的通解为：1212(1)x x x y C eC e x e --=++-（1C 与2C 为任意常数） --------7分3、解 2(,,)f x y z xy z =（1）22(1,1,1)(1,1,2)(,2,)|(2,4,1)graduf y z xyz xy --==- ---------2分（2）令(1,1,1)l AB ==，则其方向余弦为cos ,cos cos 333αβγ===，从而有(1,1,2)|2c o s 4c o s c o 3f lαβγ-∂=-+=∂ --------------------------5分（3）由方向导数和梯度的关系可知：当沿梯度(1,1,2)(2,4,1)gradf -=-方向时，方向导数-----------------------------------7分1、解：11lim11111n n R n →∞+==++，即幂级数的收敛半径为1 ---------2分 而级数11(1)n n∞=+∑，11(1)(1)n n n∞=+-∑都发散，所以幂级数的收敛域为(1,1)---------------4分设幂级数在区间(1,1)-内的和函数为()s x ，则101111011()1()111xnnn n n n xxn n x s x x x x dxnx x xdx x dx xxx∞∞∞-===∞-==+=+-=+=+---∑∑∑⎰∑⎰⎰----------------6分=ln(1)1x x x--- ----------------8分2、解：∑的方程为z =xy D ：2220x x y -+≤或22(1)1x y -+≤于是该曲面的面积为：xyD A =⎰⎰----------------4分xyD ==⎰⎰----------------8分1、证明：（1）若正项数列{}n a 是单调递减数列，则数列{}n a 必有界，因为单调有界数列存在极限，设lim n n a a →∞=，又因为级数1(1)nn n a ∞=-∑发散，所以0a ≠，从而0a >于是111lim(())111nnn na a→∞=<++，由根值审敛法知11()1n n na ∞=+∑收敛； ----------------3分（2） 若正项数列{}n a 是单调递增数列 ，则 111()()11n n na a ≤++ ，1111a <+所以111()1nn a ∞=+∑为收敛的等比级数，再有比较审敛法知11()1n n na ∞=+∑收敛 -----------6分另一证法：若正项数列{}n a 是单调有界数列，则lim n n a →∞存在，设lim n n a a →∞=，因为级数1(1)nnn a∞=-∑发散，所以0a ≠，从而0a >于是111lim(())111nnn na a→∞=<++，由根值审敛法知11()1n n na ∞=+∑收敛； ----------------3分若正项数列{}n a 是单调无界数列，则lim n n a →∞=+∞于是11lim(())011nnn na →∞=<+，由根值审敛法知11()1n n na ∞=+∑收敛； ----------------6分2、证明：将方程22(,)0F x az y bz --=两边同时关于x 求偏导数得12(2)0zzF x abF x x∂∂''--=∂∂， 于是1122xF z xaF bF '∂=∂''+ ， ----------------2分类似可得：2122yF z y aF bF '∂=∂''+， ----------------4分左边121212222xF yF z z aybxaybxxy xy aF bF aF bF ''∂∂=+=+=∂∂''''++=右边所以结论成立。

---------6分。