分形与RS分析
分形理论在材料科学中的应用
分形理论在材料科学中的应用分形理论是一种追求深刻而统一的自然解释的数学分支，其研究的对象是那些几何结构像自我相似的物体。
分形理论从诞生起就与材料科学密不可分，它在材料科学中的应用是广泛而深刻的。
材料科学是一门研究物质结构性质和性能的学科，材料学的发展离不开新理论、新技术的探索和开发。
分形理论作为一种先进的数学理论，发展迅速，在材料科学中的应用也日益广泛，本文将探讨分形理论在材料科学中的应用。
一、分形几何理论简介分形几何学课程的主要目标是回答什么是分形，以及在什么情况下什么样的对象可以被称为分形。
常见的分形物体包括科赫曲线、曼德勃罗集、谢尔宾斯基地毯等。
在讨论分形时，一个基本的概念是“自相似”，描述同一对象中的小结构类似于大结构。
自相似的对象是由被称为“自相似维数”的特殊尺寸描述的。
自相似维度介于整数维度和集合的哈斯多夫维度之间。
哈斯多夫维度是被认为是分形集合最重要的指标之一，它给出了一个度量对象粗糙度的方法，可以用于分类不同形状、硬度与裂缝的固体材料。
二、分形理论在材料科学中的应用（一）材料表面形貌的分形特征材料的表面形貌是材料科学中一个常见而重要的研究对象。
通过建立表面拓扑模型，测量表面拓扑参数，描述表面形貌，可以对材料的摩擦、润湿性、光学特性、尺寸效应等性质进行定量分析。
分形理论研究表明，材料表面的粗糙度和自相似特征与材料的结构性质相关。
对于金属、陶瓷、高分子材料和纳米材料等材料，分形理论可以用于描述其表面自相似维数，预测其表面性质和材料工艺的可行性。
（二）材料内部结构分析材料科学中，材料内部的结构也是一个重要的研究方向。
分形理论可以分析材料内部的结构及其形成原因，常用于研究材料中的晶体缺陷、孔隙、裂缝、界面等，并通过研究分形维数预测材料的物理性质与力学性能。
从分形物理学角度来看，分形维度可以量化多相材料中的结构，例如多孔介质、颗粒团簇或复合材料的孔隙和颗粒的分布。
对于孔隙研究，孔隙的分形维度能够揭示材料的孔隙形状及其沟通性，预测材料的力学性能，同时也可用于描述氧化物、半导体和金属膜中界面多孔性质。
浅谈分形
浅谈分形曼德布罗（B. B. Mandelbrot）说过：“云不是球形的，山不是锥形的，海岸不是圆形的。
”在自然界中，许多物体的形状和现象是十分复杂的：纵横交错的江河流域，婉转悦耳的古琴音乐中的旋律，蜿蜒盘旋的山岳高峰，星际空间物质的分布，尘粉无规则运动的轨迹，人体复杂的血管分布，如此等等。
像如此不定型的东西，在欧式几何中是无法解释分析的。
因此“分形”应运而生。
说到分形（fractal），先来看看分形的定义。
分形这个词最早是分形的创始人曼德布罗提出来的，他给分形下的定义就是：分形是由一些与其整体以某种方式相似的部分所组成的形体。
很显然，在曼德布罗的分形定义中，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。
但是迄今为止，分形还没有非常具体明确的科学定义。
1989年法尔科内提出类似但较为全面的定义:（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。
（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
定义总是抽象的，下面先介绍几种理想的或典型的分形结构，以便对定义中的分形集,自相似性,分形维数,拓扑维数,迭代等有所了解,从而对分形有具体而形象的认识。
（1）康托尔集（Cantor set）。
假设一条为单位长度的线段，将其设为基本区间[0,1]，把它三等分，分点分别为1/3，2/3，去掉该线段中间的三分之一，这样留下的部分将是两段长度分别为三分之一的线段，总长度为2/3，用集合表示为[0,1/3] ∪[2/3,1]。
接下去我们再把这两条线段分别去掉中间的三分之一，这时留下的部分将是四条长度各为九分之一的线段，总长度为4/9,用集合表示为[0,1/9] ∪[2/9,1/3] ∪[2/3,7/9]∪[8/9,1]。
分形理论及其应用
ln 4 ln 3
1.2618
显然，L(r)与N(r)之间的关系是 L(r) N(r) r
所以海岸线的维数大于它的拓扑维1而小于它所在
的空间维2。长度L(r)随测量尺度r的变小而变长，在 r→0时，L(r)→∞。当海岸线分形的自相似变换程度 复杂性有所增加时，海岸线的分维也会相对地增加。
若r取得太大，所有点对的距离都不会超过它，
C(r)=1，lnC(r)=0。测量不出相点之间的关联。
适当缩小测量尺度r，可能在r的一段区间内有
C(r) r D
如果这个关系存在，D就是一种维数，把它称
为关联维数，用D2表示，即
ln C(r)
D2
lim
r 0
ln r
▪标度律与多重分形
(1)标度律
X1
X X
2 3
X
4
： (x1，x2， ，xm ) ： (x2，x3， ，xm1 ) ： (x3，x4， ，xm2 ) ： (x4，x5， ，xm3 )
把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一 条轨线。因为点与点之间的距离越近，相互关联
的程度越高。设由时间序列在m维相空间共生成
Cantor集合 ，考虑多重分形，把同样的均匀质量棒
从其左端3/5处一分为二，然后把左段压缩为长度
r1=1/4，其质量P1=3/5，而右段保持原长度r2=2/5，其 质量P2=2/5；第二步按着上述的比例对两段分别进行 同样的变换就得到4段，左两段的长度分别为 r12 r1r2 质量分别为 P12 ，P1P2 ，右两段的长度分别为 ， r2r1 r22 ， 质量分别为 ， P2P1 P22 ；如此操作下去就会得到一个不 均匀的Cantor集合。在这个集合中分布着众多长宽相
分形理论及其应用
分形理论及其应⽤分形⼏何及其在城市研究中的应⽤⼀、分形概述1975年，著名科学家曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）发表了其专著《分形：形态、机遇和维数》，这标志着分形⼏何学的诞⽣。
分形⼏何学是相对于传统欧⽒⼏何学的不⾜⽽建⽴的，由此发展起来的分形理论是现代⾮线性科学研究中的⼀门新兴数学分⽀，在众多学科领域中有着⼴泛的应⽤。
普通的⼏何对象，具有整数维数。
零维的点、⼀维的线、⼆维的⾯、三维的体、四维的时空等。
⽽分形则是具有⾮整数的分维的⼏何对象。
其主要的价值是在极端有序和极端混沌之间提供了⼀种可能性。
其显著的特征是：看来⼗分复杂的事物，事实上⼤多数均可⽤公含很少参数的简单公式来表达。
1、科赫曲线分形⼏何学的研究对象是不光滑的、不规则的，甚⾄⽀离破碎的空间⼏何形态。
分形的典型例⼦，科赫曲线（Koch Curve）便是以初等数学⽅法构造的⼀类处处不可导。
构造过程如下图：取长度为1的直线段，称为初始元（initiator），将该线段的中间1/3⽤⼀个隆起等边三⾓形的另两边替代，得到⼀条由四个等长直线段构成的折线，称为⽣成元（generator）。
再将⽣成元中的四个直线段中的每⼀个，都⽤⼀个缩⼩为1/3的⽣成元代替，从⾯形成了⼀条有次级隆起的折线。
这样⼀直进⾏下去，得到科赫曲线。
显然，科赫曲线的“内部”结构与整体相似。
2．⾃相似性与标度不变性如果⼏何对象的⼀个局部放⼤后与其整体相似，这种性质称为⾃相似性，⽐如树。
地质现象的描述离不开标度，在地质上，对⼀些地质现象拍照时，⼀定要放上⼀个能表⽰尺度⼤⼩的物体，如⼀枚硬币，⼀把锤⼦等。
因为，如果没有这些东西，就很难在确定这些照⽚是反映什么尺度范围内的现象，可能是10⽶还是10公⾥等。
当观测标度变化时，⼏何体的许多性质保持不变，称为标度不变性。
具有⾃相似性或标度不变性的⼏何对象，我们说它们是分形的。
3.分形的定义1．部分以某种形式与整体相似的形状叫做分形。
（B.B.Mandelbrot）2．分形集合是这样⼀种集合，它⽐传统⼏何学研究的所有集合更加的不规则，⽆论是放⼤还是缩⼩，这种集合的不规则性仍然是明显的。
基于R／S分析的股市风格分形特征研究
构建适度风格 漂移策略 以获取 短期超额收 益提 供 了决策参考与理论 支持 。
关 键 词 ： 多重 分 形 Ｒ Ｓ分 析 ；Ｈ ｒ 指 数 ；分 形 特 征 ；风 格 资 产 指 数 ／ ｕｓ ｔ 中 图 分 类 号 ：Ｆ ３ ． １ ８ ０ ９ 文 献标 识 码 ：Ａ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｏｌＳ ｏｃ ａ ｋ ｔＳ ｙ ｅ Ｆｒ ｃａ ｓ Ｂａ ｅ ｎ ｕ ｔｆ ａ ｔ Ｓ ａ ｙ ｉ ｓ ａ ｃ ｉ ｔ ｋ Ｍ ｒ ｅ ｔ ｌ ａ ｔ ｌ ｓ ｄ ｏ Ｍ ｌｉｒ ｅａｉＲ／ Ａｎ ｌ ｓｓ ＸＵ ｎ， Ｓ Ｌｉ ＯＮＧ ａ ｇ— ｈ ｉ ＧＵＯ ｅ —ｗｅ Ｇｕ ｎ ｕ。 Ｗ ｎ ｉ
（ ｃｏｌｆＢ ｓ ｅ ｄ ｉｉｒｔ ｎ Ｓ ｕｈＣ ｉａＵ ｉ ｒｔ ｏ ｅｈｏ ｇ ， ｕ ｎｚｏ ６ ０ Ｃ ｉ ） Ｓｈ ｏ ｏ ｕｉ ｓ Ａ ｍ ｎ ｔ ｉ ，ｏｔ ｈｎ ｎｖ ｓｙｆ Ｔｃｎｌ ｙ Ｇ ａｇｈｕ５０ ４ ， ｈｎ ｎｓ ｓａｏ ｅｉ ｏ １ ａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｔ ｉ ｐ ｐ ｒａ ａｙ ｅ ｈ ｒｃ ａ ｔｕ ｔ ｒ ｈ ｒｃ ｅ ｓｉｓｏ ｅ Ｃ ｉｅ ｅ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔｌ ａ ｅ ｎ ｍｕ ｉ ａ － ｈ ｓ ａ ｅ ｎ ｌｚ ｓ ｔｅ ｆａ ｔｌｓｒ ｃｕ ｅｃ ａａ ｔｒ ｔ ｆ ｈ ｈ ｎ ｓ ｔ ｋ ｍａｋ ｔ ｙｅ ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ｆ ｃ ｉ ｃ ｔ ｏ ｓ ｒ
分形原理及其应用
分形原理及其应用分形是一种几何形状，其结构在不同的尺度上具有相似性。
分形原理是指自然界中许多复杂的现象都可以用分形来描述和解释。
分形原理的应用涉及到许多领域，包括科学、工程、艺术等。
本文将介绍分形原理的基本概念，并探讨其在不同领域的应用。
首先，分形原理的基本概念是指在不同的尺度上具有相似性的几何形状。
这种自相似性使得分形能够描述自然界中许多复杂的现象，如云彩、树叶、河流等。
分形的自相似性意味着无论是在整体上还是在局部上观察，其形状都是相似的，这使得分形成为描述自然界复杂结构的有效工具。
其次，分形原理在科学领域有着广泛的应用。
例如，在地理学中，分形可以用来描述地形的起伏和分布规律。
在气象学中，分形可以用来描述云彩的形状和分布。
在生物学中，分形可以用来描述植物的分支结构和叶片形状。
在物理学中，分形可以用来描述复杂的物理现象，如分形噪声和分形结构的磁性材料等。
此外，分形原理在工程领域也有着重要的应用。
例如，在通信领域，分形天线可以实现多频段和宽带的性能。
在图像处理领域，分形压缩技术可以实现对图像的高效压缩。
在材料科学领域，分形可以用来描述复杂材料的结构和性能。
最后，分形原理在艺术领域也有着独特的应用。
许多艺术家将分形原理运用到他们的作品中，创作出具有分形特征的艺术作品。
这些作品不仅具有美学价值，还能够展现出分形原理的奇妙之处。
总之，分形原理是一种描述自然界复杂结构的有效工具，其应用涉及到科学、工程、艺术等多个领域。
通过对分形原理的深入理解和应用，我们可以更好地理解自然界的复杂现象，同时也可以创造出更多具有分形特征的创新产品和艺术作品。
希望本文能够为读者对分形原理的理解和应用提供一些帮助。
RS分析法
R/S分析法（R/S analysis method）目录[隐藏]• 1 R/S分析法简介• 2 R/S分析法的实证检验及结果• 3 参考文献[编辑]R/S分析法简介R/S分析法通常用来分析时间序列的分形特征和长期记忆过程，最初由英国水文学家赫斯特(Hurst,1951年)在研究尼罗河水坝工程时提出的方法。
后来，它被用在各种时间序列的分析之中。
曼德尔布罗特（Mandelbrot）在1972年首次将R/S分析应用于美国证券市场，分析股票收益的变化，彼得斯（Peters）把这种方法作为其分形市场假说最重要的研究工具进行了详细的讨论和发展，并做了很多实证研究。
R/S分析方法的基本内容是：对于一个时间序列{x t}，把它分为A个长度为N的等长子区间，对于每一个子区间，设：(1)其中，M n为第n个区间x u的平均值，X t,n为第n个区间的累计离差。
令：R = max(X t,n) −min(X t,n)(2)若以S表示x u序列的标准差，则可定义重标极差R/S，它随时间而增加。
Hurst通过长时间的实践总结，建立了如下关系：H(3)R / S = K(n)对（3）式相边取对数，得到（4）式：log(R / S)n = Hlog(n) + log(K)(4)因此，对log(n)和log(R / S)n进行最小二乘法回归就可以估计出H的值。
在对周期循环长度进行估计时，可用V n统计量，它最初是Hurst用来检验稳定性，后来用来估计周期的长度。
(5)计算H值和V n的目的是为了分析时间序列的统计特性。
Hurst指数可衡量一个时间序列的统计相关性。
当H=0.5时，时间序列就是标准的随机游走，收益率呈正态分布，可以认为现在的价格信息对未来不会产生影响，即市场是有效的。
当0.5≤H<1时，存在状态持续性，时间序列是一个持久性的或趋势增强的序列，收益率遵循一个有偏的随机过程，偏倚的程序有赖于H 比0.5大多少，在这种状态下，如果序列前一期是向上走的，下一期也多半是向上走的。
分形用途及意义
分形用途及意义分形是指一种通常由几何图形或动态系统生成的特殊图形，具有自相似性质。
这种自相似性使得分形能够在各种尺度上表现出相似的结构和形态。
分形理论不仅在数学和物理学领域中得到了广泛的应用，而且在生物学、地理学、经济学、艺术和文学等领域也得到了广泛的研究和应用。
分形的应用可谓是广泛而深远的，下面我们将对分形的用途及意义进行详细分析。
首先，分形在科学领域中具有重要的应用价值。
在数学和物理学领域，分形理论被广泛应用于描述自然界中的各种复杂现象，如云雾的形态、河流的分布、山脉的形态等。
分形结构能够更好地描述这些复杂现象的特征，并且为科学家提供了一种更为直观和有效的分析方法，有助于深入理解自然界的规律。
此外，分形理论还被广泛应用于信号处理、图像处理、数据压缩等领域，为相关技术的发展做出了重要贡献。
其次，分形对于生物学领域也有着重要的意义。
生物体内的血管、树木的分枝、植物的叶片等都呈现出明显的分形结构，分形理论被应用于分析这些生物体的形态特征和生长规律，为研究生物体的结构与功能提供了新的视角和方法。
分形理论的研究还为生物进化和生物多样性等问题提供了新的启示，为生物学领域的研究开辟了新的方向。
第三，分形在地理学领域也有着重要的应用价值。
地球表面的山脉、河流、湖泊等自然地貌都呈现出分形结构，分形理论被应用于分析地理信息系统中的地形数据、地貌特征等，为地理学家提供了一种更为有效和直观的分析工具，有助于更好地理解地球表面的形态特征和演化规律。
此外，分形还被应用于气候模拟、自然灾害预测等方面，为地理学的研究和实践提供了新的方法和技术支持。
第四，分形在经济学领域也具有重要的意义。
金融市场中的价格波动、股票价格的涨跌、经济指标的变动等都呈现出分形结构，分形理论被应用于分析经济现象的复杂性和随机性，为经济学家提供了一种更为有效和直观的分析工具，有助于更好地理解经济现象的特征和规律。
此外，分形还被应用于金融风险管理、商业预测等方面，为经济学的研究和实践提供了新的方法和技术支持。
分形建模的种类
分形建模的种类
分形建模是一种数学和计算机图形学领域的技术，用于创建具有自相似性和重复模式的复杂结构。
以下是一些常见的分形建模方法和种类：
1. 递归分形：通过反复应用一个基本形状或规则来生成整个结构。
例如，科赫曲线和谢尔宾斯基三角形就是通过递归分形生成的。
2. 噪声函数分形：使用随机性噪声函数来创建分形效果。
这种方法常用于模拟自然界中的地形、云彩等复杂的非规则形状。
3. 约化细节分形：通过去除或简化复杂结构的细节来创建分形。
这种方法常用于生成树木、植物和其他有机形态。
4. IFS（Iterated Function System）分形：使用一组仿射变换来迭代地变换和缩放基本形状，以生成分形图案。
IFS分形可用于创建类似分形几何图形的艺术作品。
5. 分形地图生成：利用分形算法生成逼真的地形地貌图像。
这种方法可以用于游戏开发、虚拟现实和电影特效等领域。
6. 分形压缩：利用分形的自相似性特征来压缩图像和视频数据。
这种方法可以实现高效的图像压缩，同时保持图像的细节和质量。
RS分析法
R/S分析法（R/S analysis method）目录[隐藏]• 1 R/S分析法简介• 2 R/S分析法的实证检验及结果• 3 参考文献[编辑]R/S分析法简介R/S分析法通常用来分析时间序列的分形特征和长期记忆过程，最初由英国水文学家赫斯特(Hurst,1951年)在研究尼罗河水坝工程时提出的方法。
后来，它被用在各种时间序列的分析之中。
曼德尔布罗特（Mandelbrot）在1972年首次将R/S分析应用于美国证券市场，分析股票收益的变化，彼得斯（Peters）把这种方法作为其分形市场假说最重要的研究工具进行了详细的讨论和发展，并做了很多实证研究。
R/S分析方法的基本内容是：对于一个时间序列{x t}，把它分为A个长度为N的等长子区间，对于每一个子区间，设：(1)其中，M n为第n个区间x u的平均值，X t,n为第n个区间的累计离差。
令：R = max(X t,n) −min(X t,n)(2)若以S表示x u序列的标准差，则可定义重标极差R/S，它随时间而增加。
Hurst通过长时间的实践总结，建立了如下关系：H(3)R / S = K(n)对（3）式相边取对数，得到（4）式：log(R / S)n = Hlog(n) + log(K)(4)因此，对log(n)和log(R / S)n进行最小二乘法回归就可以估计出H的值。
在对周期循环长度进行估计时，可用V n统计量，它最初是Hurst用来检验稳定性，后来用来估计周期的长度。
(5)计算H值和V n的目的是为了分析时间序列的统计特性。
Hurst指数可衡量一个时间序列的统计相关性。
当H=0.5时，时间序列就是标准的随机游走，收益率呈正态分布，可以认为现在的价格信息对未来不会产生影响，即市场是有效的。
当0.5≤H<1时，存在状态持续性，时间序列是一个持久性的或趋势增强的序列，收益率遵循一个有偏的随机过程，偏倚的程序有赖于H 比0.5大多少，在这种状态下，如果序列前一期是向上走的，下一期也多半是向上走的。
分形分析的几个重要原理
分形分析的几个重要原理金融市场的分形分析方法依据分形的基本原理和市场的分形特性，其方法最大的优点是可以准确完整地界定市场的主流趋势性质，也就是市场变化的稳定方向；并且可以较准确地界定市场的趋势边界以找到最好的进场位置，从而融入并顺应趋势交易。
它的可信度以及客观全面的分析方法源自几个重要的原理。
其一是市场的极端最大化原理。
这主要指的是市场的自激励、自扩张、自强化作用。
这是众多的交易者可以直接从市场中经验到的作用。
作为开放系统的金融交易市场，只要有机会，只要出现明确的趋势，就会吸引交易者并活跃成交。
一个盈利者会带动3—5个交易者入市，而3—5个交易者同样会成倍数地吸引更多的交易者，使趋势不断被强化。
最后，所有对趋势有推动作用的题材和资金全部被发掘完毕，市场走到自己的反面，也就是极端最大化的地方。
在这个地方，市场对立的交易双方会进行性质截然相反的交换（交易就是交换），而迅速改变市场性质。
这就是物极必反。
但是相反的交换一旦开始，就会立即扭转为相反的趋势。
相反的交换又会产生新的自激励作用，新的趋势又开始运行了。
市场就是以这种形式寻求价值发现的。
分形是有主体和层次的。
在极端最大化的地方，分形的主体和层次会发生极其强烈的分形矛盾，市场会用分形来预示市场到了极端最大化的地方。
分形结构、分形边界、分形空间等都可以明确预示市场的极端。
但在趋势未到极端最大化之前，任何对趋势的主观臆断都是违背市场真相的。
市场是不受控制的，没有谁可以改变市场的极端最大化的作用机制。
有了这样的原理机制，就可以运用分形对市场的趋势做完整的界定，找到市场的主流趋势分形，而避免发生根本的市场错误。
其二，偏差与反偏差的必然交替原理。
趋势绝不是一条直线，市场更不是通常的线性事物。
对于主流趋势而言，市场由偏差和反偏差组成。
与趋势同方向的偏差会不断出现，也就是趋势在运行中短时间向前走得太远的偏差，或者叫正偏差。
反偏差就是向趋势相反方向出现的偏差。
反偏差相对于趋势而言是一种错误。
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用分形理论是20世纪70年代提出的一种数学理论，主要研究自相似的几何形状和其性质。
它的核心思想是无论怎样放大或缩小，该形状的部分都与整体具有相似特征。
分形理论在机械工程领域具有广泛的应用，可以帮助解决一些复杂的工程问题。
分形理论在机械设计中的应用主要体现在形状和结构设计方面。
传统的机械设计更多采用简单的几何形状和结构，而分形理论可以对形状和曲线进行更加精确的描述，使得机械设备的形状更加复杂和多样化。
在车辆设计中，利用分形理论可以设计出具有空气动力学特性的车身外形，减少风阻、提高燃油经济性。
在机械零件的设计中，可以利用分形理论设计出更加紧凑的零件结构，减少材料的使用量。
分形理论在机械工程中的应用还体现在摩擦学研究中。
机械设备的摩擦磨损是一个非常重要的问题，分形理论可以帮助研究摩擦界面的粗糙度分布。
利用分形理论可以更加准确地描述接触面的几何形状和粗糙度，并预测机械设备的摩擦性能。
分形理论还可以研究摩擦表面的磨痕形状和分布，帮助解决机械设备的磨损问题。
分形理论在机械振动和噪声控制中也有重要的应用。
机械设备在运行过程中会产生振动和噪声，分形理论可以帮助分析和预测振动和噪声的特性。
利用分形理论可以对振动信号进行分析和处理，提取出有用的信息，并进行噪声控制，降低机械设备的振动和噪声水平。
在风力发电设备和动力机械等领域中，分形理论被广泛应用于振动和噪声控制研究。
分形理论是一种重要的数学理论，具有广泛的应用价值。
在机械工程中，分形理论可以帮助设计更复杂和多样化的形状和结构，研究和控制摩擦磨损和振动噪声问题，提高机械设备的性能和可靠性。
未来随着科学技术的不断发展，分形理论的应用将会更加广泛和深入。
自然界中分形模式的数学建模
自然界中分形模式的数学建模一、分形模式的数学基础分形几何是一种描述自然界中复杂形状的数学理论，它由数学家本华·曼德布罗特于1975年提出。
分形的核心概念是自相似性，即在不同的尺度上观察一个对象，其形状和结构具有相似性。
分形模式具有无限复杂的边界，但可以用简单的数学公式来描述。
1.1 分形的定义与特性分形是具有非整数维数的几何形状，它们在所有尺度上都表现出自相似性。
分形的维数通常大于其拓扑维数，这是通过分形维数的计算公式来确定的。
分形的一个重要特性是它们具有无限的细节，这意味着无论放大多少倍，分形的局部总是呈现出与整体相似的复杂结构。
1.2 分形的数学模型分形可以通过多种数学模型来描述，其中最著名的是曼德布罗特集合和朱利亚集合。
这些集合是通过复数迭代过程产生的，它们展示了分形的自相似性和复杂性。
此外，还有基于迭代函数系统的分形模型，如科赫曲线、谢尔宾斯基地毯和分形布朗运动等。
1.3 分形的度量分形的度量包括分形维数、分形尺度和分形的豪斯多夫维数等。
分形维数是描述分形复杂性的一个关键参数，它通常通过盒维数或相似维数来计算。
分形尺度则涉及到分形在不同尺度上的表现，而豪斯多夫维数则是一种更为通用的度量方法，适用于不规则形状的维数计算。
二、自然界中的分形现象自然界中充满了分形模式，从微观到宏观，从植物的叶片到山川河流的地形，都可以找到分形的影子。
2.1 分形在植物学中的应用植物的许多部分都表现出分形特性，如树木的分枝、叶片的脉络和花朵的排列等。
这些分形结构有助于植物更有效地进行光合作用和水分吸收。
例如，树木的分枝模式遵循一种分形规律，使得每一片叶子都能获得充足的阳光。
2.2 分形在地质学中的应用地球表面的地形也常常呈现出分形特性。
山脉、河流和海岸线等自然地貌，其形状和结构在不同尺度上都具有自相似性。
例如，河流的分支模式和海岸线的曲折度都可以用分形理论来描述。
2.3 分形在生物学中的应用在生物学中，分形模式同样普遍存在。
分形理论在摩擦学研究中的应用
分形理论在摩擦学研究中的应用随着科技和经济的发展，工程材料的摩擦性能成为影响产品品质和生产效率的关键因素之一。
由于摩擦学研究的复杂性和多样性，从传统的微观或宏观角度来理解摩擦现象已经无法满足需求。
因此，分形理论作为一种新的描述自相似性的数学理论，被广泛应用于摩擦学研究中，成为了一种新的研究方法。
分形理论是指在一定的尺度下，其形态具有与整体相似的特点，并且适用于自然和人工系统中的许多复杂的非线性问题。
分形理论在摩擦学研究中的应用有两个层面：其一是分形几何学和复杂网络理论的应用，其二是分形分析和量化的应用。
首先，分形几何学和复杂网络理论的应用可以帮助我们进一步理解摩擦学的复杂性和非线性性。
通过构建复杂网络模型，研究不同尺寸下的摩擦特性，可发现摩擦力随着尺寸的变化而呈现不同的分形特性，即满足分形几何学的自相似性。
而且，通过构建复杂网络模型，还可进一步研究多尺度摩擦现象的内部关联性和整体行为。
例如，研究合金表面形态的多尺度结构与其摩擦性能的关系，可有效探究合金材料的摩擦磨损机理和优化设计。
其次，分形分析和量化的应用可以帮助我们更精确地描述和预测摩擦性能。
通过对摩擦曲线和摩擦力信号的分形分析，可以得到摩擦系统的分形维数和分形特性，从而实现对摩擦性能进行精准的描述和预测。
例如，分形分析可用于研究钢铁表面的摩擦磨损机理，预测扭曲角的变化和材料表面的耐疲劳性能。
总之，分形理论在摩擦学研究中的应用是一种新的研究思路和方法，将为我们进一步理解摩擦现象和解决相关问题提供有力的支持。
由于分形理论具有非线性、全面和多尺度的特性，应用前景非常广泛，并将在未来的研究中发挥更加重要的作用。
除了分形理论外，还有许多其他的数学方法也可以应用于摩擦学研究中，如统计力学、计算流体力学、非线性动力学等。
但是，分形理论作为一种新兴的数学理论，具有独特的优势和突出的特点。
其主要优势在于适用于自然和人工系统中的许多复杂的非线性问题，并且能够提供更全面和精确的描述和预测。
分形理论和股票价格
分形理论和股票价格分形理论的创始人美籍法国数学家Mandelbrot1967年在美国《科学》杂志上发表了“英国的海岸线有多长”的划时代的论文。
1975年他出版了分形几何的第一部著作《分形：形状、机遇和维数》，标志着分形理论的诞生。
分形是用以描述那种不规则的、破碎的、琐屑的几何特征。
分形是相对于整形而言的，它的基本特征是不可微性、不可切性、不光滑性，甚至是不连续性。
很多学者研究了我国股票市场的混沌特征，不仅说明了股市运行过程中的混沌特征，而且还给出了混沌特征的数量指标。
但他们并没有给出混沌吸引子的结构，而它却是混沌状态的基本特征，是描述混沌的基本工具。
混沌吸引子具有分形结构，混沌与分形是密切相关的。
本论文以上海股市为例，来分析我国股票市场的分形特征。
股市混沌吸引子的分形维我国股市具有复杂的混沌结构，而且我们还给出了股票指数收益率序列的混沌结构的数量指标。
“这些数量指标都是混沌度的特征指标”。
混沌的另一个特征是具有混沌吸引子，吸引子是一个分形，而分形维是刻划分形最重要的指标。
分形维数有多种定义，两种最常用的分形维数是豪斯道夫(Hausdorff)维数和盒维数。
1983年，Grassberger和Procaccia利用了嵌入理论和相空间重构技术，提出了从时间序列直接计算关联维数的算法。
本文也是用此法来计算我国股市混沌吸引子的分形维。
设{xk:k=1,…N}是观测某一系统得到的时间序列，将其嵌入到m 维欧氏空间中，得该空间中的点集，其元素为：xn(m,τ)=(xn,xn+τ,…,xn+(m-1)τ),n=1,…Nm，其中：Nm=N-(m-1)τ.从Nm个点中任选一个点xi计算其余每个点到该点的距离rij，对所有xi(i=1,…，Nm)重复这一过程，可得到关联积分函数其中的H(x)当x>0时取1，当x≤0时取0，关联维数D为当r→0时函数logCm(r)/logr的极限。
Grassberger和Procaccia证明了当嵌入维数大于分形维时，所求的分形维不因嵌入维数的增加而增加。
分析分形是市场分析的必经之路1.2.3.4.5.6.7.9.
分析分形是市场分析的必经之路1.2.3.4.5.6.7.9.姚⼯讲分形（1）：分析分形是市场分析的必经之路（1）发布时间：2018-05-04 ⽂章来源：量学⼤讲堂受“最⼩努⼒原则”的制约，⼈们⾯对复杂问题总是⽤⼀种简化的办法进⾏线性化处理。
这虽然不是很精确，但也能满⾜当时⼈们的需求。
遗憾的是这种措施仅能解决⼈们⾯对世界的⼤约5%左右的问题，现在⼤学的课程花费95%的时间学习的就是这种解决问题的知识。
随着社会的发展，⼈们不得不⾯对像⽣命系统，社会系统以及⽓象预报，⾦融市场分析这类复杂系统的，看似带有随机性的复杂问题。
⾯对这类问题，像以前那样地简化，线性化的处理⽅法是⾛不下去了！这使得⼈们对现实世界的认知彷徨了相当长的⼀段时间。
直⾄上世纪60年代后期伴随着⾮线性动⼒学研究的进展，⼈们先后发现了耗散结构理论，混沌理论和分形理论。
这些前沿科学理论的相继发现对⼈们的世界观和⽅法论形成了巨⼤地冲击，使⼈们对真实的⾮线性世界的认知发⽣了⾰命性变⾰。
市场分形分析⽅法就是在这种背景下逐步出现的。
美国⼈的脚步⽐较快，⽐尔.威廉姆先⽣⾸先出版了《混沌操作法》，此书离分形分析还⽐较远，但是它论述了⾦融交易市场是⼀个混沌系统，以及市场价格沿着最⼩阻⼒⽅向运⾏。
这对⼈们认识市场是有帮助的；埃德加E⽐德斯先⽣写了⼀本书《分形市场分析》，这本书距真正的分形分形进了⼀⼤步，因为它的时间序列R/分析从数理上证明了“市场是有长期记忆功能的”，这可是个不得了的结论，对⾦融交易分析产⽣了巨⼤影响；曼德博罗先⽣是分形⼏何的祖师爷，他通过“曼德博罗集合”向世⼈展⽰了黄⾦分割率及其衍⽣⽐率是⾃然界客体向前演进过程中遵循的⼀种⼗分重要分形维度，是⼀种极其普遍的⾃然现象。
这也对⾦融市场分析产⽣了重⼤影响！⼀度风靡世界的“⾼频交易”就是俄罗斯⼈应⽤分形分形的杰作。
现在看来分形市场分析是正确解读市场的必经之路。
另：请参阅《⼈类⾏为与最⼩努⼒原则——⼈类⽣态学引论》——齐普夫（美哈佛教授）姚⼯讲分形（2）：分析分形是市场分析的必经之路（2）发布时间：2018-05-04 ⽂章来源：量学⼤讲堂北⼤博雅特训班刚把我推为“量学三⽼”之⾸，今天突然封了我在178448⽹站的账号，逻辑上似乎出了点问题。
分形的基本原理
混沌理论之分形交易系统的基本原理分形也叫碎形，英文叫Fractal---交易的起始！一、分形原理分形是利用简单的多空原理而形成。
当市场上涨的时候，买方追高价的意愿很高，形成价格不断上升，随着价格不断上升买方意愿也将逐渐减少，最后价格终于回跌。
然后市场进入一些新的资讯（混沌）影响了交易者的意愿，此时市场处于低价值区，买卖双方都同意目前的价格区，但对于价格却有不同的看法，当买方意愿再度大于卖方意愿时价格就会上涨，如果这个买方的动能足以超越向上分形时，我们将在向上分形上一档积极进场。
下跌时原理亦同。
二、分形结构分形是由至少五根连续的K线所组成。
向上的分形中间的K线一定有最高价，左右两边的K 线分别低于中间K线的高点；向下的分形中间的K线一定有最低价，左右两边的K线分别高于中间K线的低点；你可以现在举起手，观察自己五根手指的结构，就是典型的向上分形。
这是最典型的也是最基本的分形结构；若中间的K线同时高于和低于左右两边的K线，那么它即是一个向上的分形又是一个向下的分形。
需要注意的是如果当天的K线最高点或最低点与前面一根K线的高点或低点相同时，需要等待后一根K线进行确认。
分形是证券混沌操作法的入场系统，也是鳄鱼苏醒时的第一个入场信号。
一个分形产生后，随后的价格如果有能力突破分形的高点或低点，我们便开始进场。
在证券混沌操作法中，一个有效的分形信号，必须高于或低于颚鱼线的牙齿。
当有效的分形被突破后，只要价格仍然在鳄鱼线唇吻的上方或下方，我们便只在下一个分形被突破时进行顺势交易。
分辨向上分形时我们只在乎高点的位置，观察向下分形时则只在乎低点的位置。
在找寻分形时必须注意几点：1.如果某一天的K线最高价与前一天K线的最高价相同，那么该天的K线将不列入五根手指头之内，此时就需等待第六根K线的确认。
2.向上与向下分形可由一根K线来完成，因为它都符合上下分形的结构原理。
3.向上与向下分形可共享周边的K线。
三、分形的用法分形可以透露许多市场行为结构的演变讯息，当市场在高高低低之间波动时，我们可以藉由了解分形的行为而改善我们的交易绩效。
MATLAB程序设计 分形技术—移动平均Hurst指数计算
分形技术—移动平均Hurst指数计算Hurst指数是分形技术在金融量化分析中的典型应用。
分形是以非整数维形式充填空间的形态特征。
分形可以说是来自于一种思维上的理论存在。
1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
1 Hurst指数简介基于重标极差(R/S)分析方法基础上的赫斯特指数(H)研究是由英国水文专家H．E．Hurst(1900—1978)在研究尼罗河水库水流量和贮存能力的关系时，发现用有偏的随机游走(分形布朗运动)能够更好地描述水库的长期存贮能力，并在此基础上提出了用重标极差(R/S)分析方法来建立赫斯特指数(H)，作为判断时间序列数据遵从随机游走还是有偏的随机游走过程的指标。
赫斯特指数有三种形式：1．如果H=0.5，表明时间序列可以用随机游走来描述；2．如果0.5<H≤1，表明黑噪声(持续性)即暗示长期记忆的时间序列；3．如果0≤H<0.5，表明粉红噪声(反持续性)即均值回复过程。
也就是说，只要H ≠0.5，就可以用有偏的布朗运动(分形布朗运动)来描述该时间序列数据。
Mandelbrot 在1972 年首次将R/S分析应用于美国证券市场，分析股票收益的变化，Peters 把这种方法作为其分形市场假说最重要的研究工具进行了详细的讨论和发展，并做了很多实证研究。
经典的金融理论一般认为股票市场是有效的，已有的信息已经充分在股价上得到了反映，无法帮助预测未来走势，下一时刻的变动独立于历史价格变动。
因此股市变化没有记忆。
实际上中国股市并非完全有效，在一定程度上表现出长期记忆性（Long TermMemory）。
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之一
——非线性科学三大理论前沿
2010年10月
前言
一、非线性复杂系统
（一）什么是分形（FRACTAL）
（二）自相似性(self-similarity)
（三）标度不变性(scale invariant)
二、非欧氏几何学（分形几何学） 三、分形理论的应用 参考文献
分形理论
——非线性科学三大理论前沿之一
总结欧氏几何的测量可以看到：第一类几何图形的测 量是以长度为基础；第二类几何图形也是以长度（两点 间的距离r ）为基础的，平面图形以圆为基础，空间图形 以球为基础。所以，在欧氏几何中对规整几何图形的测 量，可以用下式来表示：
分形是一门新的学科，它的历史很短，目前正处在发展之 中，它涉及面广但还不够成熟，然而分形理论具有强大的生命 力。
一、非线性复杂系统
Mandelbrot 1924- 2010
（一）什么是分形（fractal）
“分形”这个名词是由美国IBM公司研究中心物理 部研究员暨哈佛大学数学教授曼德勃罗特（Benoit B.Mondelbrot）在1975年首次提出（创造）的，其原 义是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体，这个名 词是参照了拉丁文fractus(弄碎的)后造出来的。它含有英 文中frature(分裂)fraction（分数）的双重意义。
koch曲线是分形的，因为它是自相似的。自相似性就 是跨尺度的对称。它意味着递归，在一个图形内部还有图形。 从图1.5（e）中可以清楚看到这一点。自相似性指的是，把 要考虑的图形的一部分放大，其形状与整体相同。设想把图 1. 5（e）中的koch曲线区间[0,1/3]中的图形放大3倍，放 大后的图形与原来的曲线形状完全相同。把区间[2/3,1]放 大3倍，也会得到同样的结果。虽然区间[1/3,1/2] ， [1/2,2/3]的图形是倾斜的，但是把它放大，也会得到同样 的结果。若把区间[0,1/9]的图形放大9倍，同样也可以产生 与原来相同的图形。对更小的部分进行放大也是如此，不论 多小部分，若把它放大到适当大小，应该能得出与原来相同 的图形。
下面给出“分形”的两个定义，在物理上易于理解，但 不够精确，也不够数学化。
定义1（Mandelbrot,1986）,部分以某种形式与整体相似 的形状叫分形。A fractal is a shape made of parts similar to the whole in
some way”
定义2（Edgar,1990），分形集合是这样一种集合，它比 传统几何学研究的所有集合还更加不规则（irregular）,无论 是放大还是缩小，甚至进一步缩小，这种集合的不规则性仍 然是明显的。
下二点： (1)长度= l , 面积= 2,l 体积= 3（l正方体）；
(2)长度（半径3
3
由上面两式可以看到，长度、面积和体积的量纲是长 度单位的1、2和3次方，它们恰好与这些几何图形存在空 间的欧氏维数相等，而且均为整数。
除了正方体和球以外的那些几何图形的体积，都可以 用正方体或球来进行测量。
对于“特征长度”这一名词，作一简单的说明，自然 界存在的所有物体的形状和人类迄今所考虑的一切图形， 大致可分为如下两种：具有特征长度的图形和不具有特征 长度的图形。对于特征长度，并没有严格的定义，一般认 为能代表物体的几何特征的长度，就称之为该物体的特征 长度。如一个球的半径、正方体的边长、人的身高、汽车 的长度，这些都是各个物体的特征长度，它们很好地反映 了这些物体的几何特征。对具有特征长度的物体的形状， 对它们即使稍加简化，但只要其特征长度不变，其几何性 质也不会有太大的变化。如竖起一个代替人的、与人具有 相同高度的圆柱，那么从远处去看，也不会有太大的差错； 如果再精细一点，以小圆柱代替手和腿，以矩形代替身躯， 以球代替头，那么就会很像人了。换句话说，关于这类物 体,可以用几何学上熟知的矩形体、圆柱、球等简单形状加 以组合，就能很好地与其构造近似。
分形具有广阔的应用前景, 在分形发展的过程中，许多传 统的科学难题，由于分形的引入而取得显著进展。分形作为 一种新的概念和方法正在许多领域应用探索。美国著名物理 学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能称为科学的文 化人。正因为分形饱含哲理，概念新颖，且应用前景宽广， 才能引起人们的浓厚兴趣。
（二）自相似性
二、非欧氏几何学（分形几何学）
欧几里德几何学（简称欧氏几何学），是一门具有 2000多年历史的数学分支，它是以规整几何图形为研究图 象。所谓规整几何图形就是我们熟悉的点、直线与线段；平 面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各种三角形以及 正多边形等。空间中的正方体、长方体、正四面体等。另外 一类就是曲线或由曲面所组成的几何图形，平面上的圆与椭 圆，空间中的球、椭球、圆柱以及圆台等。这些点、直线、 平面图形、空间图形的维数（欧氏维数）分为为0、1、2、 和3。对规整几何图形的几何测量是指长度（边长、周长以 及对角线长等）、面积与体积的测量。所以在欧氏几何测量 中，可以把上述两类几何图形（分别以正方体和球作为代表） 归纳为如
由上面我们可以看到，自然界的分形，其自相似性并不 是严格的，而是，在统计意义下的自相似性，海岸线也是其 中一个例子。凡是满足统计自相似性的分形称之为无规分形。 另外，还有所谓有规分形,这类分形, 由于它是按一定的数学 法则呈现，因此具有严格的自相似性。所谓koch曲线，就 是属于有规分形, 如图1.5所示。
图1.1 布达拉宫中藏族壁画中的云的形状 图1.2 日本传统绘画中对海浪的描述
图1.3 山脉的复杂形态
另外，在科学研究中，对许多非规则性对象建模分 析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对 象，都需要 一种新的几何学来描述。
所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态， 是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分 形的几何，称为分形几何，又称为描述大自然的几何。
分形概念始现于数学家曼德勃罗 1967年发表于美国《科学》杂志一篇论 文
“英国海岸线有多长”
其实，我国在山西五台山南山寺的影壁墙上的碑文中， 早在清朝时代就有了“日月光明，分形变化”的语句。
人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。在 历史上，科学技术的发展与几何学的进步始终是密切相 关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述客观世 界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、射影几 何、微分几何等，它们能有效地描述三维世界的许多现 象，如各种工业产品的现状，建筑的外形和结构等。但 是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。 例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、 闪电、海浪等等，例如图1.1、图1.2和图1.3所示。用欧 几里德几何学是无能为力的。
分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的 空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的 局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间 或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似 性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简 单地和整体完全重合。
所以具有自相似特性的物体（系统），必定满足标度不变 性，或者说这类物体没有特性长度。上面介绍的koch曲线是 具有严格的自相似性的有规分形，无论将它放大与缩小多少 倍，它的基本几何特性都保持不变，很显然，它具有标度不 变性。
因此,可以看到,自相似性与标度不变性是密切相关的。自相 似性和标度不变性是分形的两个重要特性。
Koch曲线
图1.5 三次koch曲线
它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一段 用夹角为600的二条等长（1/3）的折线来代替，形成一个 生成单元，如图1.5(b).然后再把每一条直线段用生成单元 进行代替，经过无穷多次迭代后就呈现一条无穷多弯曲的 koch曲线。用它来模拟自然界中的海岸线是相当理想的。
图1.4 人体小肠的自相似结构
一棵大树由许多树枝和树叶组成，若把一根树枝与该 棵大树相比，在构成形式上完全相似。又会发现该树枝上分 叉长出来的更小的细枝条，仍具有大树构成的特点。当然， 这只能是在一定尺度上呈现相似性，不会无限扩展下去。另 外，树枝与树枝之间，树叶与树叶之间，也呈现出明显的自 相似性。再仔细观察树叶的叶脉，也可以发现类似的自相似 结构。
MATLAB 代码
function koch0(P,N) if nargin==0,P=[0 0;1 0];N=3;end n=max(size(P))-1; A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; for k=1:N p1=P(1:n,:);p2=P(2:n+1,:); d=(p2-p1)/3; q1=p1+d;q3=p1+2*d;q2=q1+d*A'; n=4*n;II=1:4:n-3; P(II,:)=p1;P(II+4,:)=p2; P(II+1,:)=q1;P(II+2,:)=q2;P(II+3,:)=q3; end plot(P(:,1),P(:,2)),axis off axis image
物质系统之间的自相似性在生物界也广泛地存在着。以人 为例，人是由类人猿进化到一定程度的产物，解剖学研究表 明，人体中的大脑、神经系统、血管、呼吸系统、消化系统 等在结构上都具有高度的自相似性。图1.4是人体小肠的结 构，由图可以看到，当以不同的放大倍数观察小肠结构时， 即从a到e较大的形态与较小的形态之间的相似表明小肠结构 具有自相似性。
人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以 存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学， 以及社会科学等众多的科学之中，可以存在于物质系统的多 个层次上，它是物质运动、发展的一种普遍的表现形式，即 是自然界普遍的规律之一。下面举几个例子来说明自相似性。
太阳系的构造与原子的结构作一对比，就会发现这两个 系统在某些方面具有惊人的相似。虽然这两个系统在自然界 中尺度相差如此悬殊，但它们物质系统之间存在着自相似的 性质。