2009--2010学年上学期八年级竞赛数学试题(含答案)

2009--2010学年上学期八年级竞赛
数 学 试 题
（总分100分）
一、选择题（每小题5分，共30分）
1、已知三点A （2,3),B(5，4)，C （-4，1）依次连接这三点，则（ ） A.构成等边三角形 B.构成直角三角形 C.构成锐角三角形 D.三点在同一直线上
2、边长为整数，周长为20的三角形个数是（ ） A.4个 B.6个 C.8个 D.12
3．已知a+b+c≠0，且a+b c =b+c a =a+c
b =p ，则直线y=px+p 不经过（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4．若交换代数式中的任意两个字母，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c 就是一个完全对称式.已知三个代数式：①a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)；②ab c ac b bc a 2
2
2
++；③ac bc ab c b a ---++2
2
2
．其中是完全对称式的( ) A ．只有①② B ．只有①③
C ．只有②③
D ．有①②③
5．已知
=++++++++2009
20091
3312211112222 （ ） A.1 B.20092008 C ．20102009 D ．2009
2010
6．下图是韩老师早晨出门散步时,离家的距离y 与时间x 之间的函数图象,若用黑点
表示韩老师家的位置,则韩老师散步行走的路线可能是（ ）
二、填空题（每小题5分，共30分）
7．已知正数a,b,c, 满足ab+a+b=bc+b+c=ca+c+a=99,则(a+1)(b+1)(c+1)= . 8．当x ＝3时，函数y=33
++qx px 的值是2005，则当x ＝－3时，函数y=33
++qx px 的值为 .
9．已知62-+x x 是多项式122
34-+++-+b a bx ax x x 的因式，则=a ，
=b .
10．如图，已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A ＝30°，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有 . 11．一次函数1
1
1+++-
=k x k k y （k 为正整数）的图像与x 轴、y 轴的交点是O B A ,,为原点.设Rt △ABO 的面积是k S ，则
2009321S S S S ++++ = .
12．如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC ＝120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则△AMN 的周长为 .
三、解答题（每小题10分，共40分）
13．阅读下列解题过程：
2545)
4()5()45()
45()45()45(14512
2
-=-=--=
-⨯+-⨯=
+；
56)
5()6(56)
56()56()56(15
612
2
-=--=-⨯+-⨯=+．
请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子=-+1
1n n ；
（2）利用上面所提供的解法，请化简
9
1014
513
412
311
21++
+++
++
++
+ 的值．
第6题图
C B
A
14．已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点. 求证：△CMN 是等边三角形.
15．设关于x 的一次函数11b x a y +=与22b x a y +=，则称函数
)()(2211b x a n b x a m y +++=（其中1=+n m ）为此两个函数的生成函数．
（1）当x=1时，求函数1y x =+与y=2x 的生成函数的值；
（2）若函数11b x a y +=与22b x a y +=的图象的交点为P ，判断点P 是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．
16．我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售。

按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满。

根据下表提供的信息，解答以下问题：
脐橙品种 A B C
每辆汽车运载量（吨） 6 5 4
每吨脐橙获得（百元）12 16 10
（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．
2009--2010学年上学期八年级竞赛
参考答案
1． D 提示：AB 的解析式为y=13 x+7
3
当x= -4时，y=1，即点C 在直线AB 上，∴选D
2． C 提示：设三进行三边为a 、b 、c 且a≥b≥c ，a+b+c=20，⇒a≥7，
又b+c ＞a ，2a ＜20⇒a ＜10，又7≤a≤9，可列出（a 、b 、c ） 有：（9，9，2）（9，8，3）（9，7，4）（9，6，5）
（8，8，4）（8，7，5）（8，6，6）（7，7，6）共八组，选C
3． D 提示：
⎪⎭
⎪
⎬⎫
=+=+=+bp a c ap c a cp b a 20)()(2=⇒⎭⎬⎫≠++++=++⇒p c b a c b a p c b a
因此，直线y=px+p 不可能通过第四象限，选D
4． D. 提示：分别在这三个代数式中交换任意两个字母，其代数式都不变， 5． C 提示：对分母进行因式分解 6． D 提示：结合图形分析
7． 1000 提示：利用因式分解及开方运算 8． －1999 提示：利用整体思想 9． 16，3 提示：多项式除多项式
10． 6个 提示：利用等腰三角形的性质两腰相等 11．
4020
2009
提示：求出k S 找出一般规律 12． 6 提示：利用全等三角形，在MN 上取一点P ，使得PM=BM 13．（1）1--n n （2）110-
14．证明：∵△ACD ≌△BCE
∴AD=BE,AM=BN 又∵△AMC ≌△BNC ∴CM=CN,∠ACM=∠BCN
又∠NCM=∠BCN-∠BCM ∠ACB=∠ACM-∠BCM ∴∠NCM=∠ACB=60° ∴△CMN 是等边三角形
15．解： （1） 当x =1时，)2()1(x n x m y ++=
)12()11(⨯++=n m n m 22+=)(2n m +=，
∵ 1=+n m ， ∴ 2=y ．
（2）点P 在此两个函数的生成函数的图象上． 设点P 的坐标为（a ， b ），∵
b b a a =+⨯11， b b a a =+⨯22，
∴ 当x = a 时，)()(2211b x a n b x a m y +++=
)()(2211b a a n b a a m +⨯++⨯=nb mb +=b n m b =+=)(，
即点P 在此两个函数的生成函数的图象上．
16．解：（1）根据题意，装运A 种脐橙的车辆数为x ，装运B 种脐橙的车辆数为y ，那么装运C 种脐橙的车辆数为()y x --20，则有：
()10020456=--++y x y x 整理得：202+-=x y
（2）由（1）知，装运A 、B 、C 三种脐橙的车辆数分别为x 、202+-x 、x ，
由题意得：⎩⎨
⎧≥+-≥4
2024
x x ，解得：4≤x ≤8，因为x 为整数，
所以x 的值为4、5、6、7、8，所以安排方案共有5种。

方案一：装运A 种脐橙4车，B 种脐橙12车，C 种脐橙4车； 方案二：装运A 种脐橙5车，B 种脐橙10车，C 种脐橙5车； 方案三：装运A 种脐橙6车，B 种脐橙8车，C 种脐橙6车； 方案四：装运A 种脐橙7车，B 种脐橙6车，C 种脐橙7车； 方案五：装运A 种脐橙8车，B 种脐橙4车，C 种脐橙8车； （3）设利润为W （百元）则：
()160048104162025126+-=⨯+⨯+-+⨯=x x x x W
∵048<-=k ∴W 的值随x 的增大而减小
要使利润W 最大，则4=x ，故选方案一
1600448+⨯-=最大W ＝1408（百元）＝14.08（万元）
答：当装运A 种脐橙4车，B 种脐橙12车，C 种脐橙4车时，获利最大，最大利润为14.08万元．。