最新文档-高数下册复习-PPT精品文档
《高数总复习》PPT课件
2021/4/24
3
期末答疑安排：
十八周周一-周五(6月23日-6月27日) 时间：9：00-11：00，3：00-5：00 地点：新一教B座2楼教员休息室
2021/4/24
4
第七章、空间解析几何与向量代数
(一)向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的积
向量的 表示法
数量积
2021/4/24
向量积
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
f (x)的形式及其 特解形式
2021/4/24
12
1.二次曲面的特点(如旋转曲面方程的特点).
球面,椭球面 椭圆抛物面 双曲抛物面(马鞍面) 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面 利用二次曲线得到旋转曲面或柱面
yoz坐标面上的曲线 f ( y, z) 0绕z轴旋转一周的 旋转曲面方程为 f ( x2 y2 , z) 0,
高斯公式
P
(
x
Q y
R )dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
一定是封闭曲面才能用高斯公式
例 模拟题(一)三题4,模拟题(一)四题2,
2021/4/24
24
9.无穷级数的敛散性,绝对收敛,条件收敛.
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
在微积分的微分法的几何应用中取到二次曲面 在重积分,曲线曲面积分中取到二次曲面
2021/4/24
13
2.多元函数,偏导数和全微分,方向导数存在性 及其之间的关系,计算方法.
ห้องสมุดไป่ตู้
函数连续
函数可导
函数可微
高等数学-下期末复习提纲 PPT课件
易得最大值、最小值分别为 f (3, 0) 9, f (0, 0) 0 .
第四章 多元函数积分学
重 点 二重积分计算(直角系与极坐标)、三重积分计算 (直角系、柱坐标系、球坐标系)、利用三重积分 求物体体积与质量.
再见！
x0
ln(
y
x)
y 1
y 1
x
ln(1
0)
1
1 02
1.
例8、设
z
4x3
3x2
y
3xy 2
x
y
,
求
2z x2
,
2z .
yx
解 z 12x2 6xy 3y 2 1,
x
z 3x2 6xy 1;
例7、求下列函数的极限
(1)
lim (x2
x0
y2
)sin
x2
1
y2
;
y0
解
lim( x 2
x0
y2 ) sin
x2
1
y2
lim u sin 1
u0
u
0,
其中u
=
x2
y2；
y0
(2) limln( y x)
y
.
xy01
1 x2
解
lim
与球面
所围立体.
《高数课总复习下册》课件
2
例题二
解析：使用方法与策略对复杂的多项式函数和向量的题目进行解析，培养学生的 分析问题和解题能力。
3
例题三
解析：通过计算曲线积分和曲面积分的题目，加深对它们的理解，提高应用技能。
解题技巧和策略
• 理清思路，先抓住问题的关键点。 • 多思考特殊情况和边界条件。 • 熟练掌握公式和计算方法。 • 通过多做习题提高解题速度和准确性。 • 培养逻辑思维和数学建模能力。 • 积极讨论和合作，共同解决问题。
第四章：无穷级数
研讨数列极限、函数连续性和可积性；学习无穷 级数的收敛性和求和方法。
重要知识点回顾
一元函数微分 学
多元函数微分 学
重积分与曲线 积分
1. 极限与连续 2. 导数与微分 3. 函数的极值与最值 4. 高阶导数与泰
勒公式
1. 偏导数与全微分 2. 多元函数的极
值与条件极值 3. 隐函数与参数方程 4. 方向导数和梯度
《高数课总复习下册》 PPT课件
本PPT课件旨在对《高数课总复习下册》进行全面复习，提供课程目标、大 纲、重要知识点回顾、典型例题解析、解题技巧与策略、应试技巧与注意事 项，以及总结和复习策略。
课程目标
1 深入理解知识点
帮助学生全面理解下册的重要数学知识点，掌握核心概念。
2 提高解题能力
培养学生的解题思维和分析问题的能力，增强解决实际问题的能力。
1. 重积分的概念 和性质
2. 累次积分的计 算方法
3. 曲线积分的概 念和计算方法
4. 曲面积分的概 念和计算方法
无穷级数
1. 数列的极限和 收敛性
2. 函数的连续性 和可积性
3. 幂级数和傅里 叶级数
4. 泰勒级数和麦 克劳林级数
高等数学下册第十章课件.ppt
(2) 若D为Y -型区域
则
说明:
即先对y后对x积分
即先对x后对y积分
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(4) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
(3) 若积分区域既是X-型区域又是Y -型区域
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
记作
第五节 三重积分（一）
利用直角坐标计算三重积分
方法1 投影法 (“先一后二” )
如图，
第五节 三重积分（一）
划分：
记作
第五节 三重积分（一）
化为三次积分
区域
方法2 截面法 (“先二后一”)
第五节 三重积分（一）
记作
于是
注：方法一和方法二的可看作由上下两个曲面所围成.即平行于z轴且穿过内部的直线与的边界曲面相交不多于两点.
直角坐标系
柱面坐标系
球面坐标系
说明:
三重积分类似于二重积分也可以利用对称性计算.
变量可分离.
围成 ;
第六节 三重积分（二）
例 求
解 原式
第六节 三重积分（二）
几种的图形
第六节 三重积分（二）
三重积分的应用 1.物体的质心
设物体占有空间域 ,
有连续密度函数
则
设空间有n个质点,
其质量分别
例 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1 将D看作X-型区域, 则
解法2 将D看作Y-型区域, 则
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 计算
其中D 是抛物线
高等数学下册总复习-PPT课件
1.向量的运算及方向余弦，平面与直线(包括坐标轴)
的位置关系。 2.平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程。
3.二元函数的极限。 4.二元函数的连续、偏导数存在、可微及偏导数连续 之间的关系。 5.多元隐函数求导，曲面的切平面方程。 6.复合函数求导( 特别是抽象函数的求导问题 )
。
7.方向导数，多元函数的条件极值问题。
或, 参数方程 (如, 圆柱螺线)
空间直线与平面的方程 空间平面
一般式
点法式 截距式
ห้องสมุดไป่ตู้
n A ,B ,C
(x 0, y 0, z 0)
2 2 2 ( A B C 0 ) Ax By Cz D 0
A ( x x ) B ( y y ) C ( z z ) 0 0 0 0
2 2 4 . 求曲面在 z ax by 上点 ( x ,y ,z ) 处的切平 0 0 0
2 2 2 5. 求曲面 3 x y z 3 在 ( 1 ,1 ,1 ) 处的切平面与
2 2 5. 求 f(x ,y )4 (xy )x y 的极值点，并 极大值点还是 . 极小值点
P
3、自点 (2, 3, -5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂 足的平面方程. 4．试求空间直 线
x 2z 5 y 6z 7
的对称式方 程
第九章
多元函数微分法
1. 分析复合结构
显示结构 (画变量关系图) 隐式结构
2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意: 正确使用求导符号
高等数学复习
8.二重积分的计算，对称性的应用，积分次序的交换。
高等数学数学PPT课件精选全文完整版
归转化思想。
做
学生进行练习训练，个人独立思考与分组讨论相结合。
训
学生上黑板演示解题过程，其他学生点评，教师分析总结。
01
课程尚处于建设阶段，教学资源有待于进 一步完善，现有教学资源还没有得到充分 利用。
进一步开拓更多的学习资源，团队教师增 进针对教学方法和教学资源建设与利用方 面的交流。
பைடு நூலகம்
02
教学内容和教学设计在不断变化的社会需 求、学生思想，以及不断产生的新技术面 前有些滞后。
教学问题
转变传统的教学理念和改变旧的教学模式 探索、建立了新的教学模式和教学方法。
教学对象
教学对象为一年级学生，对大学学习环境、学习 方式需要有一定的适应期 。 教师向学生介绍大学学习的特点与方法，帮助学 生尽快度过适应期。
教学特色
通过不同形式的自主学习 、探究活动，让 学生体验
数学发现和创造的历程，发展他们的创 新意识 。
课程内容及授课学时数（1学期，共64课时）
序号 1 2 3 4 5 6
课程内容 第一章 函数的极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 导数应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 空间解析几何
授课学时 12 12 6 16 16 2
导向
依据
度
专业
满足 专业培养目
标
必需 够用
理论知识以“必需、够用”为原则,教学内 容体现“专业性”
教学内容的针对性
专业理论知识需求
后续课程学习要求
教学内容的适用性
高等数学基本要求 教学内容的针对性
淡化严格论证 强化数学应用 注重数学软件
符合课程目标
教学内容选择 辅助多媒体教学 自主学习能力
高等数学下册第九章课件.ppt
(2) lim lim f (x, y) xx0 y y0 lim lim f (x, y) y y0 xx0 一般地，A1 A2
(x, y) (x0, y0 ) (x, y) (x0, y0 )
f A1
f A2
第一节 多元函数
例
设
f
(x,
y)
xy
x2 x2
y2 y2
称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
第一节 多元函数
多元函数的极限
定义 设 n 元函数 f (P), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一
切 P D U (P0, ), 都有
解 函数 xy 的定义域为 D x, y xy 0 , 0,0 为 xy 1 1
D 的聚点.由积的极限运算法则,得
lim
xy
xy( xy 1 1) lim
( x, y)(0,0) xy 1 1 ( x, y)(0,0)
xy
lim ( xy 1 1) 2 . ( x, y)(0,0)
f (x)
A
0,
0,当0
x xo
时，有
f (x)－A ＜
f (xo -0) f (xo 0) A
f (x) A (lim 0) xxo
ank x0 (ank x0 ) f (ank ) A
lim
xx0
f
(x)
A ()0 U (x0, ),
f
(x)
()0
x x0 P0 P ，因此，
f (x, y) f (x0 , y0 ) cos x cos x0
高数下册总复习PPT课件
m
n
p
则
L
//
s
n
Am Bn Cp 0
L在 上 Am Bn Cp 0, ( x0, y0, z0 )
L
s
//
n
ABC
mn p
sin
| Am Bn Cp |
,
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
0 ,
2
第1页/共47页
（3）曲面在某点处的法线方程的确定
要点：I：曲面在某点处的法线方程的确定
要点：I、方向导数与梯度的计算 II ：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；
III ：隐函数的偏导数的计算；
IV ：多元函数极值（条件极值和无条件极值）；
例1：设 z 1 f ( xy) y( x y) , 求 2z .
x
xy
答案： 2z y f ( xy) ( x y) y( x y)
xy
D
其中 D 由直线 y = x , y = 1 , 及x = 1 所围平面区域
第25页/共47页
( 2 ) 3
例 4 计算 ( x2 y2 )dxdy ，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
所确定的二元函数，求
dz,
2z .
xy
解：两边取全微分 e x yd( xy) 2dz ezdz 0,
整理并解得
dz
ye xy ez 2
dx
x ez
dy, 2
z x
ye xy ez 2
,
2z xy
y
(
ye xy ez 2
)
(
ye
xy
)'y
高数下期末复习提纲ppt课件
直线的参数方程
A x B y C z D 0 1 1 1 1 A x B y C z D 0 2 2 2 2
x x y y z 1 1 z 1 , 直线L1 : m n p 1 1 1
空间直线的一般方程
x x y y z 2 2 z 2 , 直线L2 : m n p 2 2 2
几何意义：混合积的绝对值表示以 向量 a 为棱的平行六面体体积. ,b ,c
[ a b c ] ( a b ) c bx cx
ax
ay by cy
az bz . cz
混合积的坐标表达式 a b c ] 0 . ,b ,c共面 [ (1) 三个非零向量 a (2) 轮换对称性 bc [ a ] [ a ] [ c a . bc b]
点到平面的距离公式
11、直线的方程 设直线过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )且平行于向量 s ( m , n, p)
x x y y z z 0 0 0 m n p
直线的对称式方程
x x 0 mt y y 0 nt z z pt 0
9、平面的点法式方程
平面 过定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，法向量 n ( A, B , C )
A ( x x ) B ( y y ) C ( z z ) 0 0 0 0
平面的点法式方程 A xB yC zD 0 平面的一般式方程
: A x B y C z D 0 , : A x B y C z D 0 ,
11 1 1 1
22 2 2 2
高数下课件复习课
所围成立体的表面，取内侧.
−16π
1. 设 Σ：x2 + y2 + z2= a2 (z ≥ 0)，Σ1 为 Σ 在第一 卦限的部分，则有 ( C )
(A) ∫∫ xdS Σ
(C) ∫∫ zdS Σ
4= ∫∫ xdS； (B) ∫∫ ydS 4∫∫ xdS；
3 3
2. 设 f ( x, y, z) = 3 + x2 + y2 + z2，则
gradf (1,−1,2) = .
(1,− 1,2) 3 33
3. 函数 u = ( x − y)2 + (z − x)2 − 2( y − z)2 在点 M (1,2,2) 处方向导数的最大值为. 2 6
x2 + y2 + z2 − 3 x = 0
空间曲面的切平面与法线 (隐式、显式). 7. 多元函数的极值、最值和条件极值 (注意区分).
12
2
1
1. 设 f ( x, y) =( x + y)[( x − 1)3 y 3 + x 3 ( y − 1)3 ]，
则在 (0,1) 处两个偏导数 fx (0,1), f y (0,1) 的情况为 ( D )
Σ1
Σ
Σ1
4= ∫∫ xdS； (D) ∫∫ xyzdS 4∫∫ xyzdS.
Σ1
Σ
Σ1
2. 设 A (= xy, yz, zx)，则 grad(divA) . (1,1,1)
正项级数 1. 常数项级数 任意项级数 2. 幂级数的收敛半径、收敛区间、阿贝尔定理. 3. 幂级数的和函数. 4. 将函数展开成幂级数. 5. 将函数展开成傅里叶级数.
高数下册复习资料
高等数学(向量代数—＞无穷级数）知识点向量与空间几何向量:向量表达((a^ｂ）);向量运算(向量积)；向量旳方向和投影空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面);直线方程(参数方程和投影方程)平面方程：点法式(法向量)、一般式、截距式；平面夹角和距离直线方程：一般式、对称式（方向向量)、参数式;直线夹角；平面交线(法向量积)切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线多元函数微分学多元函数极限：趋近方式，等阶代换偏微分和全微分：高阶微分(持续则可等);复合函数求导(Jacobi行列式)；多元函数极值：偏导数鉴定；拉格朗日乘数法(条件极值)重积分二重积分：直角坐标和极坐标;对称性;换元法三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标;对称性重积分旳应用:曲面面积;质心;转动惯量;引力曲线与曲面积分曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分（参数方程);格林公式面积积分:对面积积分；坐标面积积分;高斯公式无穷级数级数收敛：通项极限正项级数:调和级数;比较法和比较极限法；根值法;极限法；绝对收敛和条件收敛幂级数:收敛半径和收敛域;和函数;麦克劳林级数(二次展开)Foｕrier级数:傅里叶系数(高次三角函数积分);奇偶延拓；正弦和余弦级数;一般周期旳傅里叶级数矢量分析与场论（空间场基础)方向导数与梯度方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦梯度(grad)：方向导数旳最值;梯度方向；物理意义（热导方向与电场方向) 格林公式:曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向 全微分原函数：场旳还原；折线积分 通量与散度高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐;向量体现(通量） 散度（div ）:通量旳体积元微分；物理意义（有源场（电场)) 环流量与旋度斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分;向量积定向；行列式体现;向量体现;物理意义(环通量）旋度(r ｏt):行列式斯托克斯公式;物理意义（有旋场(磁场))第八章 向量与解析几何向量代数定义 定义与运算旳几何体现在直角坐标系下旳表达向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 旳模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+ c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠,则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y za a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴旳夹角分别为αβγ，，,则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos法向量000((((x y z n F x F x F x =(((x y n f f x =--或00(((x y n f x f x =第十章 重积分量质量＝面密度⨯面积21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤(3)运用积分区域旳对称性与被积函数旳奇偶性当Ｄ有关y 轴对称时,(有关x 轴对称时，有类似结论）110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)D f x y x f x y f x y I f x y dxdyf x y x f x y f x y D D ⎧⎪⎪-=-⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩⎰⎰对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分P141—例2应用该性质更以便计算环节及注意事项1． 画出积分区域2． 选择坐标系 原则:域边界应尽量多为坐标轴,被积函数有关坐标变量易分离3． 拟定积分顺序 原则:积分区域分块少,累次积分好算为妙 4． 拟定积分限 措施：图示法 先积一条线,后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充足运用对称性,奇偶性三重积分⎰⎰⎰Ω=dvz y x f I ),,(空间立体物旳(1) 运用直角坐标⎩⎨⎧截面法投影法投影⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωbay x z y x z x y x y z z y x f y x V z y x f ),(),()()(2121d ),,(d d d ),,(P15９—例1Ｐ１60—例2（2） 运用柱面坐标 cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩相称于在投影法旳基础上直角坐标转换成极坐标 合用范畴:错误!积分区域表面用柱面坐标表达时方程简朴；如 旋转体 ○，2被积函数用柱面坐标表达时变量易分离．如2222()()f x y f x z ++21()()(,,)d d d (cos ,sin ,)d b r ar f x y z V z f z βθαθθρθρθρρΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰P １61—例３第十一章曲线积分与曲面积分所有类型旳积分：错误!定义：四步法——分割、替代、求和、取极限；○２性质：对积分旳范畴具有可加性，具有线性性；错误!对坐标旳积分,积分区域对称与被积函数旳奇偶性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y d
y2(x)
xyc1(yy)D1x(x)2(y)
o a x bx
（2）二重积分中二次积分的交换次序；
（3）利用极坐标计算二重积分；
D f(x ,y )d x d y D f( r c o s,r s in) r d r d
复习课
第八章 空间解析几何与向量代数
1、向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量.
重要概念: 向量的模、单位向量、 零向量、 2、向量的线性运算 3、向量的表示法
向量的分解式： a a x i a y j a zk 向量的坐标表示式： a {a x,a y,a z}
对称式方程 参数式方程
xx0 yy0 zz0 mn p
x y
x0 y0
m n
t t
z z 0 p t
(x0,y0,z0)为直线上一点; s(m ,n,p)为直线的方向向量.
8 平面方程
z
n
平面的点法式方程
A(xx0)B(yy0)
C(zz0)0
设z
x3
f (xy,
y ),(
f
具 有 二 阶 连 续 偏)，导 数
x
求z , 2z , 2z . y y2 xy
4、空间曲线的切线及法平面
求曲线的切线及法平面 (关键: 抓住切向量)
5、空间曲面的切平面、法向量 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量)
6、可微函数的方向导数与梯度计算
3、多元函数的一阶、二阶偏导数、全微分计算
zu(x,y), dzudxudy x y
z f ( u ,v ) ,u u ( x ,y ) ,v v ( x ,y )
ux
z
v
zzuzv x ux vx
y
zzuzv y uy vy
ffcosfcosfcos.
l x
y
z
其 中 ,,为 l的 方 向 角 .
gradf f(x,y) x f,
f, y
f z
7、拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值、最值 • 极值的必要条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) • 求解最值问题
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式
a b a x b x a y b y a z b z
两向量夹角余弦的坐标表示式
co s
axbxaybyazb z
ax2ay2az2 bx2by2b z2
ab
a x b x a yb y a zb z 0
5 向量积 (叉积、外积)
向量模长的坐标表示式 |a |ax2ay2a z2
向量方向余弦的坐标表示式
cos
ax
ax2ay2az2
cos
ay
ax2ay2az2
cos
az
ax2ay2az2
(c2 o c s2 o c s2 o 1 s )
4 数量积 (点积、内积)
a b |a |b ||cos 其中
bx by bz
6 特殊二次曲面的特性及其作图：
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2y2z21 x2y2z2
x2 a2
ay22
cz22
1
(2) 圆柱面 (3) 抛物柱面
x2y2 R2
x 2 2 py ( p 0)
(4) 椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
（1）椭球面
的平面方程.
2 求过点(1, 1, 1)且与直线
L:
x3y2z10 2xy10z30
垂直的平面方程.
3 求过点(1, 1, 1)且与直线
L:
x3y2z10 2xy10z30
平行的直线方程.
4 求以 M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ),M 2 (x 2 ,y 2 ,z2)端点的线段的
y2 )
xy 1 1
x0 y0
y
x x0 x2 y2 y0
2、多元函数的连续、偏导数和可微的关系
函数连续
函数可微
函数偏导连续
函数偏导存在
讨论函数
f(x, y)
xy , x2 y2
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在点(0, 0)处的连续性，偏导数存在性，可微性
x2 a2
by22
cz22
1
（2）椭圆抛物面
x2 y2 z
2 p 2q ( p与q同号 )
（4）单叶双曲面
（3）马鞍面
x2 a2
by22
cz22
1
x2 y2 z 2p 2q
( p与q同号 )
7 空间直线
一般式方程 A A21xxB B21yyC C12zzD D1200
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平面的一般方程
A B x C y D z 0
M0 M
o
y
n M 0({ x A 0,,B y0 ,,C z} 0)
z c
平面的截距式方程 x yz 1 a bc
o xa
by
1 求过点(1, 1, 1 ) 和直线
L:
x3y2z10 2xy10z30
求 z4x2 5y2 在限制条件 2x2 y2 1时的最 大值和最小值.
第十章 重积分
1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）
（1）二重积分在直角坐标下的计算；
f(x,y) dxdy
D
b
dx
2(x)
f(x,y)dy
a
1(x)
d
dy
2(y)
f(x,y)dx
c
1(y)
|c | |a |b ||s in其中
为a
与b
的夹角
c
的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合右手系.
向量积的坐标表达式
ab(aybzazby)i(azbxaxbz) j
(axbyaybx)k
a
b
i ax
j ay
k az
a//
b
ax ay az bx by bz
垂直平分面的方程 .
第九章 多元函数微分法及其应用
1、多元函数的极限计算 1) 用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则 2) 利用有界函数与无穷小乘积的性质
3) 利用变量对换化为一元函数极限
4) 利用夹逼准则与两个重要极限
lim
x0 y0
x sin ay
lim(xsin
1
ysin
1 )
sin( x2 lim