2007考研数学基础班--高等数学讲义3

(a > 0)
17．
x2 ± a2
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三．换元积分法和分部积分法
1．第一换元积分法（凑微分法）
设
∫ f (u )du = F (u ) + C ，又 ϕ (x ) 可导，则
2
（10） （11） （12） （13）
∫ f (cot x )csc
xdx = − ∫ f (cot x )d (cot x )
∫ f (sec x )sec x tan xdx = ∫ f (sec x )d (sec x ) ∫ f (csc x )csc x cot xdx = − ∫ f (csc x )d (csc x )
A ( x − x0 ) ± l 2 ， A < 0 时，先化为
2
[
]
(− A)[l 2 − (x − x0 )2 ] 然后再作下列三种三角替换之一：
根式的形式 所作替换 三角形示意图（求反函数用）
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∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
dx a −x
2 2 2
= arcsin
x +C a
(a > 0) (a > 0)
15．
∫a
dx x 1 = arctan + C 2 a a +x
16．
∫a
∫
2
dx 1 a+x = ln +C 2 2a a − x −x
dx = ln x + x 2 ± a 2 + C
(a > 0)
f (arccos x ) 1− x2
dx = − ∫ f (arccos x )d (arccos x )
（15） （16）
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
f (arctan x ) dx = ∫ f (arctan x )d (arctan x ) 1+ x2 f (arc cot x ) dx = − ∫ f (arc cot x )d (arc cot x ) 1+ x2 1⎞ ⎛ f ⎜ arctan ⎟ x⎠ ⎝ dx = − ∫ 2 1+ x f ln x + x 2 + a 2 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ f ⎜ arctan ⎟d ⎜ arctan ⎟ x⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x 2 + a 2 d ln x + x 2 + a 2
∫
f (arcsin x ) 1− x2 dx = ∫ f (arcsin x )d (arcsin x )
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（14）
∫
或 或
则（1） F ′( x )dx = F ( x ) + C （2）
∫ dF (x ) = F (x ) + C
d
[∫ f (x)dx]′ = f (x)
∫ ∫
[∫ f (x)dx] = f (x)dx
（3） kf ( x )dx = k f ( x )dx （4）
∫ [ f (x ) ± g (x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g (x )dx
I 上的原函数， f ( x ) 在区间 I 中的全体原函数称为 f ( x ) 在区间 I 的不定积分，记以 ∫ f ( x )dx 。其中 ∫ 称
为积分号， x 称为积分变量， f ( x ) 称为被积函数， f ( x )dx 称为被积表达式。
2．不定积分的性质
设
∫ f (x )dx = F (x ) + C ，其中 F (x ) 为 f (x ) 的一个原函数， C 为任意常数。 ∫
其中 t = ϕ
−1
(x ) 为 x = ϕ (t ) 的反函数。
ax + b x x 或由 e 构成的代数式的根式，例如 ae + b 等。 cx + d
第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数， 通过换元把根式去掉， 其常见的变量替换分为两大类： 第一类：被积函数是 x 与 n ax + b 或 x 与 n
arcsin x ， arctan x 为 u ( x ) ，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。
ax
（3） e
sin bx ， e ax cos bx 情形，进行二次分部积分法后要移项，合并。
（4）比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微分法，使尽量多的因子和 dx 凑成 dv( x ) 。
⎟ ∫ f⎜ ⎝ x⎠ x ⎛ 1 ⎞ dx
2
（4）
⎛1⎞ ⎛1⎞ = − ∫ f ⎜ ⎟d ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠
（5）
dx ∫ f ( x ) x = 2∫ f ( x )d ( x )
（6）
∫ f (a )a
x
x
dx =
∫ f (e )e
x
1 f ax d ax ln a ∫
( ) ( ) (a > 0, a ≠ 1)
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最新下载() 中国最大、最专业的学习资料下载站 或 u ( x )v ′( x )dx = u ( x )v( x ) − u ′( x )v( x )dx
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∫
∫
使用分部积分法时被积函数中谁看作 u ( x ) 谁看作 v ′( x ) 有一定规律。 （1） Pn ( x )e ， Pn ( x ) sin ax ， Pn ( x ) cos ax 情形， Pn ( x ) 为 n 次多项式， a 为常数，要进行 n 次分部
=t+
a a−t a a − a2 + x2 + C = x 2 + a 2 + ln +C ln 2 a+t 2 a + a2 + x2
dx x2 +1
例 3．
∫x
(x > 0) = ∫
x2
dx ⎛1⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ x⎠
2
= −∫
⎛1⎞ d⎜ ⎟ ⎝ x⎠ ⎛1⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ x⎠
2
令
（20）
∫ f (x ) dx = ln f (x ) + C
( f (x ) ≠ 0)
2．第二换元积分法 设 x = ϕ (t ) 可导，且 ϕ ′(t ) ≠ 0 ，若 则
∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt = G(t ) + C ，
−1
∫ f (x )dx
令x = ϕ (t )
∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt = G(t ) + C = G[ϕ (x )] + C
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a2 − x2
x = a sin t
a2 + x2
x = a tan t
x2 − a2
x = a sec t
值得注意：如果既能用上述第二换元积分法，又可以用第一换元积分法，那么一般用第一换元积分法 比较简单。 例 1． x x − a dx =
2 2
∫
1 x2 − a2 d x2 − a2 ∫ 2
3
(
)
(x
)
2
令x 2 − a 2 = u
1 1 1 u du = u 2 + C = ∫ 2 3 3
− a2
)
3
+C
例 2．
∫
x2 + a2 1 1 x2 + a2 t dx = ∫ dt 2 d x2 + a2 令 x2 + a2 = t ∫ 2 2 2 2 2 t −a x x
(
=∫
⎡ t2 a2 ⎤ 1 dt = + dt 2 2 ⎥ ∫⎢ t 2 − a2 ⎣ t −a ⎦
只要令根式 n g ( x ) = t ，解出 x = ϕ (t ) 已经不再有根式，那么就作这种变量替换 x = ϕ (t ) 即可。 第二类：被积函数含有
Ax 2 + Bx + C
( A ≠ 0) ，如果仍令
Ax 2 + Bx + C = t 解出 x = ϕ (t ) 仍是
根号，那么这样变量替换不行，要作特殊处理，将 A > 0 时先化为
2
∫ cos ∫ sin
1
2
x x
dx = tan x + C
7． csc xdx =
2
∫
1
2
dx = − cot x + C
8． tan x sec xdx = sec x + C 9． cot x csc xdx = − csc x + C 10． tan xdx = − ln cos x + C 11． cot xdx = ln sin x + C 12． sec xdx = ln sec x + tan x + C 13． csc xdx = ln csc x − cot x + C 14．
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第三章
一元函数积分学
不定积分
§3．1 甲 内容要点
一．基本概念与性质
1．原函数与不定积分的概念 设函数 f ( x ) 和 F ( x ) 在区间 I 上有定义，若 F ′( x ) = f ( x ) 在区间 I 上成立，则称 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间