2020年九年级上学期第一次月考数学试题 (127)
内蒙古包头市第三十六中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题
内蒙古包头市第三十六中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1.下列方程是关于x 的一元二次方程的是( )A .33x x +=B .2230x x --=C .()270x x x -+=D .20ax bx c ++=2.用配方法解一元二次方程2870x x ++=,则方程可变形为( )A .()2816x -=B .()2857x +=C .()249x -=D .()249x += 3.如图,正方形ABCD 中,以对角线AC 为一边作菱形AEFC ,则∠F AB 等于( ).A .22.5°B .45°C .30°D .135°4.用如图所示的A 、B 两个转盘进行“配紫色”游戏(红色和蓝色在一起配成紫色),A 转盘是二等分,B 转盘是三等分,分别转动两个转盘各一次(指针指向分界线则重新转动转盘),则配成紫色的概率为( )A .16B .14 C .13 D .125.观察下面的表格,一元二次方程2 1.4x x -=的一个近似解是( )A . 0.11B .1.6C .1.7D .1.86.若m 是一元二次方程2520x x --=的一个实数根,则220255m m -+的值是( ) A .2020 B .2027 C .2021 D .20237.如图是某公园在一长35m ,宽23m 的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥,它的面积恰好为原矩形湖面面积的15,求人行观景曲桥的宽.若设人行观景曲桥的宽为m x ,则x 满足的方程为( )A .()()135********x x --=⨯⨯ B .()()2352322335x x x --+=⨯C .()()4352323355x x --=⨯⨯ D .()()35232335x x --=⨯8.下列命题中,真命题是( )A .两对角线相等的四边形是矩形B .两对角线互相垂直的四边形是菱形C .两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D .一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形9.把一张长方形纸片ABCD 按如图方式折叠,使顶点B 和点D 重合,折痕为EF .若4AB =,8BC =,则DF 的长为( )A .3B .4C .4.8D .510.把边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45︒得到正方形AB C D ''',边B C ''与DC 交于点O ,则四边形AB OD '的面积为( )A .2B .C 1D .2二、填空题11.一元二次方程2230x x -+=的两根分别为1x 和2x ,则12122x x x x +-为.12.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 5 个红球和若干白球,通过多次摸球试 验后,发现摸到红球的频率约为 0.25,估计袋中白球有个.13.关于x 的一元二次方程22(3)95m x m x x -+=+化为一般形式后不含一次项,则m 的值为 . 14.如图,在矩形ABCD 中,,P Q 分别是,BC DC 上的点,,E F 分别是AP PQ ,的中点.12,5BC DQ ==,在点P 从B 移动到C (点Q 不动)的过程中,则线段EF =.15.如图,在ABC V 中,8AB =,12BC =,点D 、E 分别是边AB AC 、的中点,点F 是线段DE 上的一点,连接AF BF 、,若90AFB ∠=︒,则线段EF 的长为.16.如图,45BOD ∠=︒,BO DO =,点A 在OB 上,四边形ABCD 是矩形,连接AC ,BD 交于点E ,连接OE 交AD 于点F .下列4个判断:①OE BD ⊥;②30ADB ∠=︒;③DF =;④若点G 是线段OF 的中点,则AEG △为等腰直角三角形,其中,判断正确的是.(填序号)三、解答题17.(1)210x x --=;(2)()()2323x x x -=-;(3)()()1312x x -+=.18.广东多地推进林长制,筑牢粤北生态屏障,通过三“长”联动,实现点“绿”成金.现将质地大小完全相同,上面依次标有“点”“绿”“成”“金”字样的四个彩球放入同一个不透明的袋子.(1)叶子在袋子中随机摸出一个彩球,摸中标有“绿”字彩球的概率为;(2)若叶子在袋子中随机摸出一个彩球不放回,再摸出一个彩球,请用画树状图或列表法求出两次摸球能拼出“成金”的概率.19.已知关于x 的方程22210x kx k -+-=.(1)若方程有一根为5,求k 的值;(2)求证:不论k 取何值,方程总有两个不相等的实数根.20.如图,在平行四边形ABCD 中,过点D 作DE AB ⊥于点E ,CF AE =,连接AF(1)求证:四边形BFDE 是矩形;(2)若AF 平分DAB ∠,3CF =,5DF =,求四边形BFDE 的面积.21.如图,某小区建一长方形电动车充电棚,一边靠墙(墙长15米),另三边用总长25米的栏杆围成,留1米宽的门,若想要建成面积为80平方米的电动车充电棚,则车棚垂直于墙的一边的长为多少米?22.物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时,一月份销售256件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上,三月底的销售量达到400件.设二、三这两个月销售量的月平均增长率不变.(1)求二、三这两个月销售量的月平均增长率.(2)从四月份起,商场决定采用降价促销的方式回馈顾客,经调查发现,该商品每降价1元,销售量增加5件,当商品降价多少元时,商场获利4250元?23.ABC V 中,90B ??,5cm AB =,6cm BC =,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动,与此同时,点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm/s 的速度移动.如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发,当点Q 运动到点C 时,两点停止运动.设运动时间为t 秒.(1)填空:BQ =__________,PB =__________(用含t 的代数式表示);(2)是否存在t 的值,使得PBQ V 的面积等于24cm ?若存在,请求比此时t 的值;若不存在,请说明理由.(3)是否存在t 的值,使得5cm PQ =?若存在,请求出此时t 的值;若不存在,请说明理由.。
精品解析:山西省实验中学2019-2020学年九年级上学期10月月考数学试题(解析版)
山西省实验中学2019-2020学年第一学期九年级第一次阶段性测评九年级数学一、选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)1.下列方程是一元二次方程的是( )A. x 2+2y =1B. x 3﹣2x =3C. x 2+21x =5D. x 2=0 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件:未知数的最高次数是2;二次项系数不为0;是整式方程;含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.【详解】解:A 、x 2+2y =1是二元二次方程,故A 错误;B 、x 3﹣2x =3是一元三次方程,故B 错误;C 、x 2+21x =5是分式方程,故C 错误; D 、x 2=0是一元二次方程,故D 正确;故选:D .【点睛】本题考查了一 元二次方程的定义,掌握其定义 是解题的关键.2.把一元二次方程x (x +1)=3x +2化为一般形式,正确的是( )A. x 2+4x +3=0B. x 2﹣2x +2=0C. x 2﹣3x ﹣1=0D. x 2﹣2x ﹣2=0【答案】D【解析】【分析】方程移项变形即可得到结果.【详解】一元二次方程的一般形式为20ax bx c ++=x(x+1)=3x+2x2+x﹣3x﹣2=0,x2﹣2x﹣2=0故选:D.【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式,难度较小.3.下列说法中不正确的是()A. 四边相等的四边形是菱形B. 对角线垂直的平行四边形是菱形C. 菱形的对角线互相垂直且相等D. 菱形的邻边相等【答案】C【解析】【分析】根据菱形的判定与性质即可得出结论.【详解】解:A.四边相等的四边形是菱形;正确;B.对角线垂直的平行四边形是菱形;正确;C.菱形的对角线互相垂直且相等;不正确;D.菱形的邻边相等;正确;故选:C.【点睛】本题考查了菱形判定与性质以及平行四边形的性质;熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键.4.一元二次方程2x2+x﹣3=0的根的情况是()A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定【答案】B【解析】试题分析:在方程2x 2+x ﹣3=0中,△=12﹣4×2×(﹣3)=25>0,∴该方程有两个不相等的实数根.故选B .考点:根的判别式5.如图,某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室,饲养室一面靠墙(假设墙足够长),另三面用总长58米的建筑材料围成.若设该长方形垂直于墙的一边长为x 米,则下列方程正确的为( )A. ()58200x x -=B. ()29200x x -=C. ()292200x x -=D. ()582200x x -=【答案】D【解析】【分析】 根据题意用含x 的代数式表示出饲养室的宽,由矩形的面积=长×宽列式.【详解】解:∵垂直于墙的边长为xm ,∴平行于墙的一边为(58-2x )m .根据题意得:x (58-2x )=200,故选:D .【点睛】利用矩形的性质,正确理解题意,然后根据题意列出方程即可解决问题.6.下列说法中,正确的有( )个.①对角线互相垂直的四边形是菱形;②一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形;③有一个角是直角的四边形是矩形;④对角线相等且垂直的四边形是正方形;⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形。
北师大版2019-2020学年河南省郑州外国语中学九年级(上)第一次月考数学试卷解析版
2019-2020学年河南省郑州外国语中学九年级(上)第一次月考数学试卷一.选择题(每小题3分,共24分)1.(3分)下列条件中,能判断四边形是菱形的是()A.对角线互相垂直且相等的四边形B.对角线互相垂直的四边形C.对角线相等的平行四边形D.对角线互相平分且垂直的四边形2.(3分)把一元二次方程x(x+1)=3x+2化为一般形式,正确的是()A.x2+4x+3=0B.x2﹣2x+2=0C.x2﹣3x﹣1=0D.x2﹣2x﹣2=03.(3分)若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1=0的两根,且等腰三角形三边长分别为a、b、4,则n的值为()A.8B.7C.8或7D.9或84.(3分)一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的五个小球,这些球除标号外都相同,从中随机摸出两个小球,则摸出的小球标号之和大于5的概率为()A.B.C.D.5.(3分)为执行“均衡教育“政策,某区2017年投入教育经费2500万元,预计到2019年底三年累计投入1.2亿元,若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x,则下列方程正确的是()A.2500(1+2x)=12000B.2500(1+x)2=1200C.2500+2500(1+x)+2500(1+2x)=12000D.2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=120006.(3分)下列数中,能与6,9,10组成比例的数是()A.1B.74C.5.4D.1.57.(3分)如图,菱形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,若AC=6,菱形ABCD的面积为24,则OE长为()A.2.5B.3.5C.3D.48.(3分)如图,将矩形ABCD的一个角翻折,使得点D恰好落在BC边上的点G处,折痕为EF,若EB为∠AEG 的平分线,EF和BC的延长线交于点H.下列结论中:①∠BEF=90°;②DE=CH;③BE=EF;④△BEG和△HEG的面积相等;⑤若,则.以上命题,正确的有()A.2个B.3个C.4个D.5个二.选择题(每小题3分,共18分)9.(3分)已知=,则=.10.(3分)在长8cm,宽6cm的矩形中,截去一个矩形,使留下的矩形与原矩形相似,那么留下的矩形面积是cm2.11.(3分)若(m﹣1)x m(m+2)﹣1+2mx﹣1=0是关于x的一元二次方程,则m的值是.12.(3分)在一个不透明的袋子中装有20个蓝色小球、若干个红色小球和10个黄色小球,这些球除颜色不同外其余均相同,小李通过多次摸取小球试验后发现,摸取到红色小球的频率稳定在0.4左右,若小明在袋子中随机摸取一个小球,则摸到黄色小球的概率为.13.(3分)如图,在菱形OBCD中,OB=1,相邻两内角之比为1:2,将菱形OBCD绕顶点O顺时针旋转90°,得到菱形OB′C′D′视为一次旋转,则菱形旋转45次后点C的坐标为.14.(3分)如图,菱形ABCD的边长为4,∠B=120°.点P是对角线AC上一点(不与端点A重合),则线段AP+PD 的最小值为.15.(3分)矩形纸片ABCD,AB=9,BC=6,在矩形边上有一点P,且DP=3.将矩形纸片折叠,使点B与点P 重合,折痕所在直线交矩形两边于点E,F,则EF长为.三.解答题(共55)16.(8分)用适当的方法解下列方程:(1)x(x﹣2)=x﹣2;(2)3x2﹣1=2x+5;17.某商场在促销活动中规定,顾客每消费100元就能获得一次抽奖机会.为了活跃气氛,设计了两个抽奖方案:方案一:转动转盘A一次,转出红色可领取一份奖品;方案二:转动转盘B两次,两次都转出红色可领取一份奖品.(两个转盘都被平均分成3份)如果你获得一次抽奖机会,你会选择哪个方案?请用相关的数学知识说明理由.18.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若∠ADF:∠FDC=3:2,DF⊥AC,求∠BDF的度数.19.在一元二次方程中,有著名的韦达定理:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果方程有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=﹣,x1•x2=(说明:定理成立的条件△≥0).比如方程2x2﹣3x﹣1=0中,△=17,所以该方程有两个不等的实数解.记方程的两根为x1,x2,那么x1+x2=,x1•x2=﹣,请根据阅读材料解答下列各题:(1)已知方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1、x2,且x1>x2,求下列各式的值:①x12+x22;②;(2)已知x1,x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.①是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.②求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值.20.如图(1),△ABC为等腰三角形,AB=AC=a,P点是底边BC上的一个动点,PD∥AC,PE∥AB.(1)用a表示四边形ADPE的周长为;(2)点P运动到什么位置时,四边形ADPE是菱形,请说明理由;(3)如果△ABC不是等腰三角形(图2),其他条件不变,点P运动到什么位置时,四边形ADPE是菱形(不必说明理由).21.随着生活水平的不断提高,越来越多的人选择到电影院观看电影,体验视觉盛宴,并且更多的人通过网上平台购票,既快捷又能享受更多优惠.某电影城2019年从网上购买3张电影票的费用比现场购买2张电影票的费用少10元;从网上购买5张电影票的费用和现场购买1张电影票的费用共200元.(1)求该电影城2019年在网上购票和现场购票每张电影票的价格为多少元?(2)2019年五一当天,该电影城按照2019年网上购票和现场购票的价格销售电影票,当天售出的总票数为500张.五一假期过后,观影人数出现下降,于是电影城决定从5月5日开始调整票价:现场购票价格下调,网上购票价格不变.结果发现,现场购票每张电影票的价格每降低2元,售出总票数就比五一当天增加4张.经统计,5月5日售出的总票数中有60%的电影票通过网上售出,其余通过现场售出,且当天票房总收入为17680元,试求出5月5日当天现场购票每张电影票的价格为多少元?22.如图1,平面直角坐标系中,B、C两点的坐标分别为B(0,3)和C(0,﹣),点A在x轴正半轴上,且满足∠BAO=30°.(1)过点C作CE⊥AB于点E,交AO于点F,点G为线段OC上一动点,连接GF,将△OFG沿FG翻折使点O落在平面内的点O′处,连接O′C,求线段OF的长以及线段O′C的最小值;(2)如图2,点D的坐标为D(﹣1,0),将△BDC绕点B顺时针旋转,使得BC⊥AB于点B,将旋转后的△BDC沿直线AB平移,平移中的△BDC记为△B′D′C′,设直线B′C′与x轴交于点M,N为平面内任意一点,当以B′、D′、M、N为顶点的四边形是菱形时,求点M的坐标.2019-2020学年河南省郑州外国语中学九年级(上)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题(每小题3分,共24分)1.【解答】解:A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形,此选项错误;B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,此选项错误;C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形,此选项错误;D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,此选项正确;故选:D.2.【解答】解:x(x+1)=3x+2x2+x﹣3x﹣2=0,x2﹣2x﹣2=0故选:D.3.【解答】解:∵等腰三角形三边长分别为a、b、4,∴a=b,或a、b中有一个数为4.当a=b时,有b2﹣4ac=(﹣6)2﹣4(n+1)=0,解得:n=8;当a、b中有一个数为4时,有42﹣6×4+n+1=0,解得:n=7,故选:C.4.【解答】解:画树状图如图所示:∵共有20种等可能的结果,两次摸出的小球的标号之和大于5的有12种结果,∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为=;故选:C.5.【解答】解:设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x,由题意得,2500+2500×(1+x)+2500(1+x)2=12000.故选:D.6.【解答】解:A、10×1≠6×9,1不能与6,9,10组成比例,故错误;B、6×74≠9×10,74不能与6,9,10组成比例,故错误;C、5.4×10=6×9,5.4能与6,9,10组成比例;故正确;D、1.5×10≠6×9,1.5不能与6,9,10组成比例,故错误.故选:C.7.【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,AC=6,菱形ABCD的面积为24,∴S菱形ABCD=AC•BD=×6DB=24,解得:BD=8,∴AO=OC=3,OB=OD=4,AO⊥BO,又∵点E是AB中点,∴OE是△DAB的中线,在Rt△AOD中,AB==5,则OE=AD=2.5.故选:A.8.【解答】解:①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF,∵EB为∠AEG的平分线,∴∠AEB=∠GEB,∵∠AED=180°,∴∠BEF=90°,故正确;②可证△EDF∽△HCF,DF>CF,故DE≠CH,故错误;③只可证△EDF∽△BAE,无法证明BE=EF,故错误;④可证△GEB,△GEH是等腰三角形,则G是BH边的中线,∴△BEG和△HEG的面积相等,故正确;⑤过E点作EK⊥BC,垂足为K.设BK=x,AB=y,则有y2+(2y﹣2x)2=(2y﹣x)2,解得x1=y(不合题意舍去),x2=y.则,故正确.故正确的有3个.故选:B.二.选择题(每小题3分,共18分)9.【解答】解:∵=,∴可设a=2k,b=3k(k≠0),∴==.故答案为.10.【解答】解:设宽为x,∵留下的矩形与原矩形相似,∴=,解得x=.∴截去的矩形的面积为×6=21cm2,∴留下的矩形的面积为48﹣21=27cm2,故答案为:27.11.【解答】解:由题意,得m(m+2)﹣1=2且m﹣1≠0,解得m=﹣3,故答案为:﹣3.12.【解答】解:设袋子中红色小球有x个,根据题意,得:=0.4,解得x=20,经检验x=20是分式方程的解,则在袋子中随机摸取一个小球,摸到黄色小球的概率=,故答案为:.13.【解答】解:∵四边形OBCD是菱形,相邻两内角之比为1:2,∴∠C=∠BOD=60°,∠D=∠OBC=120°.根据旋转性质可得∠OB′C′=120°,∴∠C′B′H=60°.过C′作C′H⊥y轴于点H,如图所示:在Rt△C′B′H中,B′C′=1,∴B′H=B'C=,C′H=B'H=.∴OH=1+=.∴C′坐标为(,﹣),∵360°÷90°=4,∴菱形4次旋转一周,4次一个循环,∵45÷4=11……1,∴菱形旋转45次后点C与点C'重合,坐标为(,﹣);故答案为:(,﹣).14.【解答】解:如图,作PE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,∵四边形ABCD是菱形∴∠DAC=∠CAB,AB=BC,且∠B=120°∴∠CAB=30°∴PE=AP,∠DAF=60°∴∠FDA=30°,且DF⊥AB∴AF=AD=2,DF=AF=2∵AP+PD=PE+DP∴当点D,点P,点E三点共线且垂直AB时,PE+DP的值最小,最小值为DF,∴线段AP+PD的最小值为2故答案为:215.【解答】解:如图1,当点P在CD上时,∵PD=3,CD=AB=9,∴CP=6,∵EF垂直平分PB,∴四边形PFBE是正方形,EF过点C,∴EF=6,如图2,当点P在AD上时,过E作EQ⊥AB于Q,∵PD=3,AD=6,∴AP=3,∴PB===3,∵EF垂直平分PB,∴∠1=∠2,∵∠A=∠EQF,∴△ABP∽△EFQ,∴,∴,∴EF=2,综上所述:EF长为6或2.故答案为:6或2.三.解答题(共55)16.【解答】解:(1)∵x(x﹣2)﹣(x﹣2)=0,∴(x﹣2)(x﹣1)=0,则x﹣2=0或x﹣1=0,解得:x1=2,x2=1.(2)整理,得:3x2﹣2x﹣6=0,∵x=3,b=﹣2,c=﹣6,∴△=(﹣2)2﹣4×3×(﹣6)=76>0,则x ==, 即x 1=,x 2=.17.【解答】解:方案一:∵转盘A 被平均分成3份,其中红色区域占1份, ∴转出红色可领取一份奖品的概率为:方案二:∵转盘B 被平均分成3份,分别为红1,红2,蓝,可列表:由表格可知,一共有9种结果,每种结果出现的可能性相同,其中两次都转出红色的结果有4种,分别是(红1,红1 ),(红1,红2),(红2,红1),(红2,红2).∴P (获得奖品).<∴选择方案二18.【解答】(1)证明:∵AO =CO ,BO =DO ,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴∠ABC =∠ADC ,∵∠ABC +∠ADC =180°,∴∠ABC =∠ADC =90°,∴四边形ABCD 是矩形;(2)解:∵∠ADC =90°,∠ADF :∠FDC =3:2,∴∠FDC =36°,∵DF ⊥AC ,∴∠DCO=90°﹣36°=54°,∵四边形ABCD是矩形,∴CO=OD,∴∠ODC=∠DCO=54°,∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°.19.【解答】解:(1)∵x2﹣3x﹣2=0,△=(﹣3)2﹣4×(﹣2)=17>0∴x1+x2=3,x1•x2=﹣2①x+x=(x1+x2)2﹣2x1•x2=32﹣2×(﹣2)=9+4=13②=(2)∵方程有两个实数根,∴△=(﹣4k)2﹣4•4k(k+1)>0∴k<0,x1+x2=1,x1•x2=①∵(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=2x12﹣5x1x2+2x22=2(x12+2x1x2+x22)﹣9x1x2=2(x1+x2)2﹣9x1x2∴2﹣9=解得:k=,与k<0矛盾∴不存在k的值,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立.②+﹣2===∵+﹣2=的值为整数∴k+1=±1或±2或±4又∵k<0∴k=﹣2或﹣3或﹣520.【解答】解:(1)∵PD∥AC,PE∥AB∴四边形ADPE为平行四边形∴AD=PE,DP=AE,∵AB=AC∴∠B=∠C,∵DP∥AC∴∠B=∠DPB∴DB=DP∴四边形ADPE的周长=2(AD+DP)=2(AD+BD)=2AB=2a 故答案为:2a(2)当P为BC中点时,四边形ADPE是菱形.理由如下:连结AP∵PD∥AC,PE∥AB∴四边形ADPE为平行四边形∵AB=AC,P为BC中点∴∠P AD=∠P AE∵PE∥AB∴∠P AD=∠APE∴∠P AE=∠APE∴EA=EP∴四边形ADPE是菱形(3)P运动到∠A的平分线上时,四边形ADPE是菱形,∵PD∥AC,PE∥AB,∴四边形ADPE是平行四边形,∵AP平分∠BAC,∴∠1=∠2,∵AB∥EP,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴AE=EP,∴四边形ADPE是菱形.21.【解答】解:(1)设该电影城2019年在网上购票每张电影票的价格为x元,现场购票每张电影票的价格为y元,依题意,得:,解得:.答:该电影城2019年在网上购票每张电影票的价格为30元,现场购票每张电影票的价格为50元.(2)设5月5日当天现场购票每张电影票的价格为m元,则当天售出的总票数为[500+×(50﹣m)]张,依题意,得:(1﹣60%)m[500+×(50﹣m)]+30×60%×[500+×(50﹣m)]=17680,整理,得:m2﹣255m+8600=0,解得:m1=40,m2=215(舍去).答:5月5日当天现场购票每张电影票的价格为40元.22.【解答】解:(1)如图1中,∵∠AOB=90°,∠OAB=30°,∴∠CBE=60°,∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,∠BCE=30°,∵C(0,﹣),∴OC=,OF=OC•tan30°=,CF=2OF=3,由翻折可知:FO′=FO=,∴CO′≥CF﹣O′F,∴CO′≥,∴线段O′C的最小值为.(2)①如图2中,当B′D′=B′M=BD==时,可得菱形MND′B′.在Rt△AMB′中,AM=2B′M=2,∴OM=AM﹣OA=2﹣3,∴M(3﹣2,0).②如图3中,当B′M是菱形的对角线时,由题意B′M=2OB=6,此时AM=12,OM=12﹣3,可得M(3﹣12,0).③如图4中,当B′D′是菱形的对角线时,可得B′M=,AM=,OM=3﹣,所以M(3﹣,0).④如图5中,当MD′是菱形的对角线时,MB′=B′D′=,可得AM=2,OM=OA+AM=3+2,所以M(3+2,0).综上所述,满足条件的点M的坐标为(3﹣2,0)或(3﹣12,0)或(3﹣,0)或(3+2,0).。
北京师大附属实验中学2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学试卷(含解析)
2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学试卷一、选择题(本题共30分,每小题3分)1.已知⊙O的半径为4,点O到直线m的距离为3,则直线m与⊙O公共点的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个2.如图,AB是⊙O的直径,AB⊥CD于E,AB=10,CD=8,则BE为()A.2 B.3 C.4 D.3.53.正六边形内接于圆,它的边所对的圆周角是()A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°4.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,点D在BA的延长线上,CD与⊙O交于另一点E,DE=OB=2,∠D=20°,则的长度为()A.πB.πC.πD.π5.已知:如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B点,C为⊙O上一点,∠ACB=65°,则∠APB等于()A.65°B.50°C.45°D.40°6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=45°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,若BC=4,则图中阴影部分的面积为()A.π+1 B.π+2 C.2π+2 D.4π+17.一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π,则这个圆锥底面圆的半径为()A.6 B.12 C.24 D.28.点P为⊙O内一点,且OP=4,若⊙O的半径为6,则过点P的弦长不可能为()A.12 B.C.8 D.10.59.如图,AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是()A.3cm B.cm C.2.5cm D.cm10.如图,AB是⊙O的直径,且AB=10,弦MN的长为8,若弦MN的两端在圆上滑动时,始终与AB相交,记点A、B到MN的距离分别为h1,h2,则|h1﹣h2|等于()A.5 B.6 C.7 D.8二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)11.如图,点A、B、C在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠CBD=75°,则∠AOC=.12.在△ABC中,∠BAC=80°,∠C=60°,若点O为△ABC的外心,则∠AOC的度数是;若点P为△ABC的内心,则∠APC的度数是.13.在⊙O中,AB是⊙O的直径,AB=8cm,==,M是AB上一动点,CM+DM的最小值是cm.14.扇形的圆心角是120°,面积是3πcm2,则扇形的弧长是cm,将此扇形卷成一个圆锥,则底面圆的半径为cm.15.如图所示,△ABC是⊙O的内接三角形,AD⊥BC于D点,且AC=5,DC=3,AB=,则⊙O的直径等于.16.下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程.如图1,已知圆上一点A,画过A点的圆的切线.画法:(1)如图2,将三角板的直角顶点放在圆上任一点C(与点A不重合)处,使其一直角边经过点A,另一条直角边与圆交于B点,连接AB;(2)如图3,将三角板的直角顶点与点A重合,使一条直角边经过点B,画出另一条直角边所在的直线AD.所以直线AD就是过点A的圆的切线.请回答:该画图的依据是.三、解答题(共7小题,满分46分)17.(1)如图中,AB是半圆的直径,点C在半圆外,请仅用无刻度的直尺画出△ABC的三条高的交点;(2)已知⊙O如图所示.①求作⊙O的内接正方形(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);②若⊙O的半径为4,则它的内接正方形的边长为.18.如图,已知AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连结BC.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=10,∠CBD=36°,求的长.19.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC=4,求⊙O的直径.20.在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心,以R长为半径画圆,若⊙C 与AB边只有一个公共点,求R的取值范围.21.如图,⊙O外接于正方形ABCD,P为弧AD上一点,且AP=1,PC=3,求正方形ABCD 的边长和PB的长.22.如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D 为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,AC=FC.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)已知圆的半径R=5,EF=3,求DF的长.23.在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,P是坐标系内任意一点,点P到⊙O的距离S P的定义如下:若点P与圆心O重合,则S P为⊙O的半径长;若点P与圆心O不重合,作射线OP交⊙O于点A,则S P为线段AP的长度.图1为点P在⊙O外的情形示意图.(1)若点B(1,0),C(1,1),,则S B=;S C=;S D=;(2)若直线y=x+b上存在点M,使得S M=2,求b的取值范围;(3)已知点P,Q在x轴上,R为线段PQ上任意一点.若线段PQ上存在一点T,满足T 在⊙O内且S T≥S R,直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值.参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.已知⊙O的半径为4,点O到直线m的距离为3,则直线m与⊙O公共点的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法,可得结论.【解答】解:∵d=3<半径=4∴直线与圆相交∴直线m与⊙O公共点的个数为2个故选:C.2.如图,AB是⊙O的直径,AB⊥CD于E,AB=10,CD=8,则BE为()A.2 B.3 C.4 D.3.5【分析】连接OC构建Rt△COE.利用圆的直径与半径的数量关系、垂径定理求得OC=5,CE=4;然后根据勾股定理求得OE=2;最后利用线段间的和差关系求得BE=OB﹣OE求得BE的长度即可.【解答】解:连接OC.∵AB是⊙O的直径,AB=10,∴OC=OB=AB=5;又∵AB⊥CD于E,CD=8,∴CE=CD=4(垂径定理);在Rt△COE中,OE=3(勾股定理),∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2,即BE=2;故选:A.3.正六边形内接于圆,它的边所对的圆周角是()A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°【分析】作出图形,求出一条边所对的圆心角的度数,再根据圆周角和圆心角的关系解答.【解答】解:圆内接正六边形的边所对的圆心角=360°÷6=60°,根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半,边所对的圆周角的度数是60×=30°或180°﹣30°=150°.故选:D.4.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,点D在BA的延长线上,CD与⊙O交于另一点E,DE=OB=2,∠D=20°,则的长度为()A.πB.πC.πD.π【分析】连接OE、OC,如图,根据等腰三角形的性质得到∠D=∠EOD=20°,根据外角的性质得到∠CEO=∠D+∠EOD=40°,根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CEO=40°,根据外角的性质得到∠BOC=∠C+∠D=60°,根据求弧长的公式得到结论.【解答】解:连接OE、OC,如图,∵DE=OB=OE,∴∠D=∠EOD=20°,∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°,∵OE=OC,∴∠C=∠CEO=40°,∴∠BOC=∠C+∠D=60°,∴的长度==π,故选:A.5.已知:如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B点,C为⊙O上一点,∠ACB=65°,则∠APB等于()A.65°B.50°C.45°D.40°【分析】连接OA,OB.根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可.【解答】解:连接OA,OB,∵PA、PB切⊙O于点A、B,∴∠PAO=∠PBO=90°,由圆周角定理知,∠AOB=2∠ACB=130°,∴∠APB=360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣130°=50°.故选:B.6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=45°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,若BC=4,则图中阴影部分的面积为()A.π+1 B.π+2 C.2π+2 D.4π+1【分析】连接DO、AD,求出圆的半径,求出∠BOD和∠DOA的度数,再分别求出△BOD 和扇形DOA的面积即可.【解答】解:连接OD、AD,∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=45°,∴∠C=45°,∴∠BAC=90°,∴△ABC是Rt△BAC,∵BC=4,∴AC=AB=4,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,BO=DO=2,∵OD=OB,∠B=45°,∴∠B=∠BDO=45°,∴∠DOA=∠BOD=90°,∴阴影部分的面积S=S△BOD+S扇形DOA=+=π+2.故选:B.7.一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π,则这个圆锥底面圆的半径为()A.6 B.12 C.24 D.2【分析】利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长计算.【解答】解:设底面圆半径为r,则2πr=12π,化简得r=6.故选:A.8.点P为⊙O内一点,且OP=4,若⊙O的半径为6,则过点P的弦长不可能为()A.12 B.C.8 D.10.5【分析】过点P最长的弦是圆的半径,最短的弦是与OP垂直的弦,所以过点P的弦最长是12,最短是.【解答】解:如图所示,OP⊥AB,则AB是过点P最短的弦,∴AP=BP,OA=6,OP=4,在Rt△AOP中,AP=,所以AB=.由于8<,所以过点P的弦长不可能为8.故选:C.9.如图,AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是()A.3cm B.cm C.2.5cm D.cm【分析】根据垂径定理得出AB的长,进而利用中位线定理得出OF即可.【解答】解:连接AB,OB,∵AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,BD=8cm,AE=2cm,在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2,即AB=,∵OA=OC,OB=OC,OF⊥BC,∴BF=FC,∴OF=.故选:D.10.如图,AB是⊙O的直径,且AB=10,弦MN的长为8,若弦MN的两端在圆上滑动时,始终与AB相交,记点A、B到MN的距离分别为h1,h2,则|h1﹣h2|等于()A.5 B.6 C.7 D.8【分析】设AB、NM交于H,做OD⊥MN于D,连接OM,利用垂径定理及勾股定理可求出OD,再推△AFH∽△ODH∽△BEH,然后就可利用OH表示BE、AN,从而可求出答案.【解答】解:设AB、NM交于H,作OD⊥MN于D,连接OM.∵AB是⊙O的直径,且AB=10,弦MN的长为8,∴DN=DM=4,∵MO=5,∴OD=3.∵BE⊥MN,AF⊥MN,OD⊥MN,∴BE∥OD∥AF,∴△AFH∽△ODH∽△BEH,∴即,即=,∴(AF﹣BE)=﹣2,∴|h1﹣h2|=|AF﹣BE|=6.故选:B.二.填空题(共6小题)11.如图,点A、B、C在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠CBD=75°,则∠AOC=150°.【分析】首先在优弧AC上取点E,连接AE,CE,由圆的内接四边形的性质,可得∠CBD =∠E,由圆周角定理可求得∠AOC的度数.【解答】解:在优弧AC上取点E,连接AE,CE,∵∠ABC=180°﹣∠E,∠ABC=180°﹣∠CBD,∠CBD=75°,∴∠E=∠CBD=75°.∴∠AOC=2∠E=150°,故答案为:150°.12.在△ABC中,∠BAC=80°,∠C=60°,若点O为△ABC的外心,则∠AOC的度数是80°;若点P为△ABC的内心,则∠APC的度数是110°.【分析】先根据三角形内角和计算出∠ABC=40°,若点O为△ABC的外心,利用圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC;若点P为△ABC的内心,利用角平分线的性质和三角形内角和得到∠APC=90°+∠ABC.【解答】解:∵∠BAC=80°,∠C=60°,∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣80°﹣60°=40°,若点O为△ABC的外心,则∠AOC=2∠ABC=80°;点P为△ABC的内心,则∠APC=90°+∠ABC=90°+×40°=110°.故答案为80°,110°.13.在⊙O中,AB是⊙O的直径,AB=8cm,==,M是AB上一动点,CM+DM的最小值是8 cm.【分析】作点C关于AB的对称点C′,连接C′D与AB相交于点M,根据轴对称确定最短路线问题,点M为CM+DM的最小值时的位置,根据垂径定理可得=,然后求出C′D为直径,从而得解.【解答】解:如图,作点C关于AB的对称点C′,连接C′D与AB相交于点M,此时,点M为CM+DM的最小值时的位置,由垂径定理,=,∴=,∵==,AB为直径,∴C′D为直径,∴CM+DM的最小值是8cm.故答案为:8.14.扇形的圆心角是120°,面积是3πcm2,则扇形的弧长是2πcm,将此扇形卷成一个圆锥,则底面圆的半径为 1 cm.【分析】根据扇形的面积公式S=即可求得半径,然后根据扇形的面积公式S=lr,即可求得弧长.利用圆的周长公式求出底面圆的半径.【解答】解:设扇形的半径是rcm,则=3π,解得:r=3,设扇形的弧长是l,则×3l=3π,解得:l=2π(cm),将此扇形卷成一个圆锥,设底面圆的半径为Rcm,则2πR=2π,解得R=1,故答案为2π,1.15.如图所示,△ABC是⊙O的内接三角形,AD⊥BC于D点,且AC=5,DC=3,AB=,则⊙O的直径等于.【分析】连接AO并延长到E,连接BE.设AE=2R,则∠ABE=90°,∠AEB=∠ACB,∠ADC=90°,利用勾股定理求得AD===4;再证明Rt△ABE∽Rt△ADC,得到=,即2R===5.【解答】解:如图,连接AO并延长到E,连接BE.设AE=2R,则∠ABE=90°,∠AEB=∠ACB;∵AD⊥BC于D点,AC=5,DC=3,AB=,∴∠ADC=90°,AD===4;在Rt△ABE与Rt△ADC中,∠ABE=∠ADC=90°,∠AEB=∠ACB,∴Rt△ABE∽Rt△ADC,∴=,即2R===5;∴⊙O的直径等于.16.下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程.如图1,已知圆上一点A,画过A点的圆的切线.画法:(1)如图2,将三角板的直角顶点放在圆上任一点C(与点A不重合)处,使其一直角边经过点A,另一条直角边与圆交于B点,连接AB;(2)如图3,将三角板的直角顶点与点A重合,使一条直角边经过点B,画出另一条直角边所在的直线AD.所以直线AD就是过点A的圆的切线.请回答:该画图的依据是90°的圆周角所对的弦是直径,经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【分析】画法(1)的依据为圆周角定理,画法(2)的依据为切线的判定定理.【解答】解:利用90°的圆周角所对的弦是直径可得到AB为直径,根据经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线可判断直线AD就是过点A的圆的切线.故答案为90°的圆周角所对的弦是直径,经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三.解答题(共7小题)17.(1)如图中,AB是半圆的直径,点C在半圆外,请仅用无刻度的直尺画出△ABC的三条高的交点;(2)已知⊙O如图所示.①求作⊙O的内接正方形(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);②若⊙O的半径为4,则它的内接正方形的边长为4.【分析】(1)半圆与AC、BC分别交于点D、E,利用圆周角定理得到BD⊥AC,AE⊥BC,BD与AE相交于P,延长CP交AB于F,利用三角形三条高线相交于一点可判断CF⊥AB;(2)①先作直径MP,再过点O作MP的垂线得到直径NQ,则四边形MNPQ满足条件;②利用正方形的性质求解.【解答】解:(1)如图1,AE、BD、CF为所作;(2)①如图2,正方形MNPQ为所作;②因为四边形MNPQ为正方形,所以MN=PM=×8=4.故答案为4.18.如图,已知AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连结BC.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=10,∠CBD=36°,求的长.【分析】(1)根据平行线的性质得出∠AEO=90°,再利用垂径定理证明即可;(2)根据弧长公式解答即可.【解答】证明:(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD,∴AE=ED;(2)∵OC⊥AD,∴,∴∠ABC=∠CBD=36°,∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,∴.19.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC=4,求⊙O的直径.【分析】连接BO并延长交圆O与点D,连接AD,根据BD是直径,易证△ABD为直角三角形;∠D=∠C=30°.则BD=2AB=8.【解答】解:连接BO并延长交圆O于点D,连接AD,∵∠BAC=120°,AB=AC=4,∴∠C=30°,∴∠BOA=60°.又∵OA=OB,∴△AOB是正三角形.∴OB=AB=4,∴BD=8.∴⊙O的直径为8.20.在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心,以R长为半径画圆,若⊙C 与AB边只有一个公共点,求R的取值范围.【分析】过C作CD⊥AB于D,根据勾股定理得到AB=5cm,根据三角形的面积公式得到CD==,然后根据圆心到AB的距离与半径的关系即可得到结论.【解答】解:过C作CD⊥AB于D,∵∠C=90°,BC=4cm,AC=3cm,∴AB=5cm,∴CD==,若边AB与⊙C只有一个公共点,r的取值范围是r=或3<r≤4.21.如图,⊙O外接于正方形ABCD,P为弧AD上一点,且AP=1,PC=3,求正方形ABCD 的边长和PB的长.【分析】连接AC,作AE⊥PB于E,由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠D =∠BCD=90°,∠ACB=45°,由圆周角定理得出AC是⊙O的直径,△ABC是等腰直角三角形,得出∠APC=90°,AC=AB,由勾股定理得出AC==,得出AB=,由圆周角定理得出∠APB=∠ACB=45°,证出△APE是等腰直角三角形,得出PE=AE=AP=,再由勾股定理得出BE==,即可得出PB的长.【解答】解:连接AC,作AE⊥PB于E,如图所示:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠D=∠BCD=90°,∠ACB=45°,∴AC是⊙O的直径,△ABC是等腰直角三角形,∴∠APC=90°,AC=AB,∴AC===,∴AB==,∵∠APB=∠ACB=45°,AE⊥PB,∴△APE是等腰直角三角形,∴PE=AE=AP=,∴BE===,∴PB=PE+BE=+.22.如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D 为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,AC=FC.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)已知圆的半径R=5,EF=3,求DF的长.【分析】(1)连结OA、OD,如图,根据垂径定理的推理,由D为BE的下半圆弧的中点得到OD⊥BE,则∠D+∠DFO=90°,再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA,根据对顶角相等得∠CFA=∠DFO,所以∠CAF=∠DFO,加上∠OAD=∠ODF,则∠OAD+∠CAF=90°,于是根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线;(2)由于圆的半径R=5,EF=3,则OF=2,然后在Rt△ODF中利用勾股定理计算DF 的长.【解答】(1)证明:连结OA、OD,如图,∵D为BE的下半圆弧的中点,∴OD⊥BE,∴∠D+∠DFO=90°,∵AC=FC,∴∠CAF=∠CFA,∵∠CFA=∠DFO,∴∠CAF=∠DFO,而OA=OD,∴∠OAD=∠ODF,∴∠OAD+∠CAF=90°,即∠OAC=90°,∴OA⊥AC,∴AC是⊙O的切线;(2)解:∵圆的半径R=5,EF=3,∴OF=2,在Rt△ODF中,∵OD=5,OF=2,∴DF==.23.在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,P是坐标系内任意一点,点P到⊙O的距离S P的定义如下:若点P与圆心O重合,则S P为⊙O的半径长;若点P与圆心O不重合,作射线OP交⊙O于点A,则S P为线段AP的长度.图1为点P在⊙O外的情形示意图.(1)若点B(1,0),C(1,1),,则S B=0 ;S C=﹣1 ;S D=;(2)若直线y=x+b上存在点M,使得S M=2,求b的取值范围;(3)已知点P,Q在x轴上,R为线段PQ上任意一点.若线段PQ上存在一点T,满足T 在⊙O内且S T≥S R,直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值.【分析】(1)根据点的坐标和新定义解答即可;(2)根据直线y=x+b的特点,结合S M=2,根据等腰直角三角形的性质解答;(3)根据T在⊙O内,确定S T的范围,根据给出的条件、结合图形求出满足条件的线段PQ长度的最大值.【解答】解:(1)∵点B(1,0),∴S B=0,∵C(1,1),∴S C=﹣1,∵,∴S D=,故答案为:0;﹣1;;(2)设直线y=x+b与分别与x轴、y轴交于F、E,作OG⊥EF于G,∵∠FEO=45°,∴OG=GE,当OG=3时,GE=3,由勾股定理得,OE=3,此时直线的解析式为:y=x+3,∴直线y=x+b上存在点M,使得S M=2,b的取值范围是﹣3≤b≤3;(3)∵T在⊙O内,∴S T≤1,∵S T≥S R,∴S R≤1,∴线段PQ长度的最大值为1+2+1=4.。
【解析版】本溪十二中2020届九年级上第一次月考数学试卷(样卷全套)
辽宁省本溪十二中2020届九年级上学期第一次月考数学试卷一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,满分30分)1.(3分)下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A.等腰梯形B.平行四边形C.正方形D.正五边形2.(3分)下列各式:①x2+x3=x5 ;②a3•a2=a6 ;③;④;⑤(π﹣1)0=1,其中正确的是()A.④⑤B.③④C.②③D.①④3.(3分)下列各式与是同类二次根式的是()A.B.C.D.4.(3分)下列命题是假命题的是()A.四个角相等的四边形是矩形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.对角线垂直的四边形是菱形D.对角线垂直的平行四边形是菱形5.(3分)如图,△ABC中,AB=4,AC=3,AD、AE分别是其角平分线和中线,过点C作CG⊥AD于F,交AB于G,连接EF,则线段EF的长为()A.B.1C.D.76.(3分)将点P(﹣2,3)向上平移3个单位得到点P1,点P2与点P1关于原点对称,则P2的坐标是()A.(2,6) B.(2,﹣6) C.(2,﹣3) D.(2,0)7.(3分)希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动,通过对学生的随机抽样调查得到一组数据,如图是根据这组数据绘制的不完整的统计图,则下列说法中,不正确的是()A.被调查的学生有2020B.被调查的学生中喜欢教师职业的有40人C.被调查的学生中喜欢其他职业的占40%D.扇形图中,公务员部分所对应的圆心角为72°8.(3分)如图,四边形ABCD、BEFD、EGHD均为平行四边形,其中C、F两点分别在EF、GH上.若四边形ABCD、BEFD、EGHD的面积分别为a、b、c,则关于a、b、c的大小关系,下列何者正确?()A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.a=b=c9.(3分)如图所示,将一个圆盘四等分,并把四个区域分别标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,只有区域I为感应区域,中心角为60°的扇形AOB绕点0转动,在其半径OA上装有带指示灯的感应装置,当扇形AOB与区域I有重叠(原点除外)的部分时,指示灯会发光,否则不发光,当扇形AOB任意转动时,指示灯发光的概率为()A.B.C.D.10.(3分)如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=12020点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD 上的任意一点,则PK+QK的最小值为()A.1B.C.2D.+1二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)11.(3分)数据显示,今年高校毕业生规模达到727万人,比去年有所增加.数据727万人用科学记数法表示为人.12.(3分)将直线y=x向上平移个单位后得到直线y=x+7.13.(3分)一个平行四边形的一条边长为3,两条对角线的长分别为4和,则它的面积为.14.(3分)关于x的不等式组的整数解共有3个,则a的取值范围是.15.(3分)矩形纸片ABCD中,已知AD=8,AB=6,E是边BC上的点,以AE为折痕折叠纸片,使点B落在点F处,连接FC,当△EFC为直角三角形时,BE的长为.16.(3分)若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有不相等的实数根,则k的取值范围是.17.(3分)小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶,周日再去买时,恰遇超市搞优惠酬宾活动,同样的牛奶,每袋比周三便宜0.5元,结果小明只比上次多用了2元钱,却比上次多买了2袋牛奶.若设他上周三买了x袋牛奶,则根据题意列得方程为.18.(3分)如图,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上,从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8,4),阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n,则S n的值为.(用含n的代数式表示,n为正整数)三、计算题(本题满分12分)19.(12分)(1)解方程:x2+2x﹣6=0(2)先化简,再求值:﹣÷,其中x2﹣9=0.四、解答题(每小题12分,共24分)202012分)在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1,2,3,4四个小球,除数字不同外,小球没有任何区别,每次实验先搅拌均匀.(1)若从中任取一球,球上的数字为偶数的概率为多少?(2)若从中任取一球(不放回),再从中任取一球,请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率.(3)若设计一种游戏方案:从中任取两球,两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜,否则为乙胜,请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗?说明理由.21.(12分)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣2(m+1)x+m2+5=0的两实数根.(1)若(x1﹣1)(x2﹣1)=28,求m的值;(2)已知等腰△ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长.五、解答题(22题10分,23题12分,共22分)22.(10分)李经理按市场价格10元/千克在我市收购了2020千克蘑菇存放入冷库中,据预测,该品种蘑菇市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批蘑菇每天支付费用合记340元,且蘑菇在冷库中最多保存12020同时平均每天有6千克蘑菇损坏不能出售.(1)若存放x天后,将这一批蘑菇一次性出售,所得销售总金额为;(2)李经理想获得22500元的利润,需将这批蘑菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用)23.(12分)小明和爸爸进行登山锻炼,两人同时从山脚下出发,沿相同路线匀速上山,小明用8分钟登上山顶,此时爸爸距出发地280米.小明登上山顶立即按原路匀速下山,与爸爸相遇后,和爸爸一起以原下山速度返回出发地.小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1(米)、y2(米)与小明出发的时间x(分)的函数关系如图.(1)图中a=,b=;(2)求小明的爸爸下山所用的时间.六、解答题(本题满分12分)24.(12分)如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.(1)求证:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;(3)若EB=4,则△BAE的面积为.七、解答题(本题满分12分)25.(12分)如图,已知△BAD≌△BCE,∠BAD=∠BCE=90°,∠ABD=∠BEC=30°,点M 为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.(1)如图1,当A,B,E三点在同一直线上时,判断AC与CN数量关系为;(2)将图1中△BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时,(1)中的结论是否仍成立?若成立,试证明之,若不成立,请说明理由;(3)将图1中△BCE绕点B逆时针旋转一周,旋转过程中△CAN能否为等腰直角三角形?若能,直接写出旋转角度;若不能,说明理由.八、解答题(本题满分14分)26.(14分)如图,在平面直角坐标系中,以点A坐标为(6,0),点B坐标为(0,8),动点P 从点A开始沿折线AO﹣OB﹣BA运动,点P在AO,OB,BA边上运动的速度分别为每秒3,4,5个单位,直线l从与OA重合的位置开始,以每秒个单位的速度沿OB方向平行移动,即移动过程中保持l∥OA,且分别与OB,AB边交于E,F两点,同时出发,设运动时间为t秒,当点P与点F相遇时,点P和直线l同时停止运动.(1)线段AB所在直线的表达式为;点F横坐标为(用t的代数式表示);(2)设△APE的面积为S(S≠0),请求出点P和直线l运动过程中S与t的函数关系式;(3)在点P和直线l运动过程中,作点P关于直线l的对称点,记为点Q,若形成四边形PEQF 是菱形,请直接写出t的值.辽宁省本溪十二中2020届九年级上学期第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,满分30分)1.(3分)下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A.等腰梯形B.平行四边形C.正方形D.正五边形考点: 中心对称图形;轴对称图形.分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.解答:解:A、等腰梯形是轴对称图形,不是中心对称图形,故A选项错误;B、平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,故B选项错误;C、正方形是轴对称图形,也是中心对称图形,故C选项正确;D、正五边形是轴对称图形,不是中心对称图形,故D选项错误.故选:C.点评:本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.2.(3分)下列各式:①x2+x3=x5 ;②a3•a2=a6 ;③;④;⑤(π﹣1)0=1,其中正确的是()A.④⑤B.③④C.②③D.①④考点: 二次根式的性质与化简;合并同类项;同底数幂的乘法;零指数幂;负整数指数幂.分析:利用合并同类项、同底数幂的乘法、二次根式的化简、负指数幂与零指数幂的性质求解即可求得答案.解答:解:①x2+x3≠x5 ,故错误;②a3•a2=a5,故错误;③=|﹣2|=2,故错误;④=3,故正确;⑤(π﹣1)0=1,故正确.故正确的是:④⑤.故选A.点评:此题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、二次根式的化简、负指数幂与零指数幂的性质.此题比较简单,解题的关键是掌握指数的变化.3.(3分)下列各式与是同类二次根式的是()A.B.C.D.考点: 同类二次根式.分析:利用同类二次根式的性质与定义分别化简二次根式进而判断得出即可.解答:解:A、=2,故不与是同类二次根式,故此选项错误;B、=2,故不与是同类二次根式,故此选项错误;C、=5,故不与是同类二次根式,故此选项错误;D、=2,故,与是同类二次根式,故此选项正确;故选:D.点评:此题主要考查了同类二次根式的定义,正确化简二次根式是解题关键.4.(3分)下列命题是假命题的是()A.四个角相等的四边形是矩形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.对角线垂直的四边形是菱形D.对角线垂直的平行四边形是菱形考点: 命题与定理.分析:根据矩形的判定对A、B进行判断;根据菱形的判定方法对C、D进行判断.解答:解:A、四个角相等的四边形是矩形,为真命题,故A选项不符合题意;B、对角线相等的平行四边形是矩形,为真命题,故B选项不符合题意;C、对角线垂直的平行四边形是菱形,为假命题,故C选项符合题意;D、对角线垂直的平行四边形是菱形,为真命题,故D选项不符合题意.故选:C.点评:本题考查了命题与定理:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.5.(3分)如图,△ABC中,AB=4,AC=3,AD、AE分别是其角平分线和中线,过点C作CG⊥AD于F,交AB于G,连接EF,则线段EF的长为()A.B.1C.D.7考点: 三角形中位线定理;等腰三角形的判定与性质.专题: 几何图形问题;压轴题.分析:由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形,所以F为GC中点,再由已知条件可得EF为△CBG的中位线,利用中位线的性质即可求出线段EF的长.解答:解:∵AD是其角平分线,CG⊥AD于F,∴△AGC是等腰三角形,∴AG=AC=3,GF=CF,∵AB=4,AC=3,∴BG=1,∵AE是中线,∴BE=CE,∴EF为△CBG的中位线,∴EF=BG=,故选:A.点评:本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.6.(3分)将点P(﹣2,3)向上平移3个单位得到点P1,点P2与点P1关于原点对称,则P2的坐标是()A.(2,6) B.(2,﹣6) C.(2,﹣3) D.(2,0)考点: 关于原点对称的点的坐标;轴对称图形.分析:首先利用平移变化规律得出P1(﹣2,6),进而利用关于原点对称点的坐标性质得出P2的坐标.解答:解:∵点P(﹣2,3)向上平移3个单位得到点P1,∴P1(﹣2,6),∵点P2与点P1关于原点对称,∴P2的坐标是:(2,﹣6).故选:B.点评:此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的平移规律,正确把握坐标变化性质是解题关键.7.(3分)希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动,通过对学生的随机抽样调查得到一组数据,如图是根据这组数据绘制的不完整的统计图,则下列说法中,不正确的是()A.被调查的学生有2020B.被调查的学生中喜欢教师职业的有40人C.被调查的学生中喜欢其他职业的占40%D.扇形图中,公务员部分所对应的圆心角为72°考点: 条形统计图;扇形统计图.分析:通过对比条形统计图和扇形统计图可知:喜欢的职业是公务员的有40人,占样本的2020所以被调查的学生数即可求解;各个扇形的圆心角的度数=360°×该部分占总体的百分比,乘以360度即可得到“公务员”所在扇形的圆心角的度数,结合扇形图与条形图得出即可.解答:解:A.被调查的学生数为=2020人),故此选项正确,不符合题意;B.根据扇形图可知喜欢医生职业的人数为:202015%=30人,则被调查的学生中喜欢教师职业的有:202030﹣40﹣20200=40(人),故此选项正确,不符合题意;C.被调查的学生中喜欢其他职业的占:×100%=35%,故此选项错误,符合题意.D.“公务员”所在扇形的圆心角的度数为:(1﹣15%﹣202010%﹣×100%)×360°=72°,故此选项正确,不符合题意;故选:C.点评:本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1,直接反映部分占总体的百分比大小.8.(3分)如图,四边形ABCD、BEFD、EGHD均为平行四边形,其中C、F两点分别在EF、GH上.若四边形ABCD、BEFD、EGHD的面积分别为a、b、c,则关于a、b、c的大小关系,下列何者正确?()A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.a=b=c考点: 平行四边形的性质.分析:利用平行四边形的性质以及三角形同底等高面积相等,进而得出答案.解答:解:连接EH,∵四边形ABCD、BEFD、EGHD均为平行四边形,∴S△BDC=S△BDE,S△DEF=S△DEH,∴四边形ABCD、BEFD、EGHD的面积分别为a、b、c,则a=b=c.故选:D.点评:此题主要考查了平行四边形的性质,得出S△BDC=S△BDE,S△DEF=S△DEH是解题关键.9.(3分)如图所示,将一个圆盘四等分,并把四个区域分别标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,只有区域I为感应区域,中心角为60°的扇形AOB绕点0转动,在其半径OA上装有带指示灯的感应装置,当扇形AOB与区域I有重叠(原点除外)的部分时,指示灯会发光,否则不发光,当扇形AOB任意转动时,指示灯发光的概率为()A.B.C.D.考点: 几何概率.专题: 压轴题.分析:假设扇形区域逆时针转动,当OB越过OE时,指示灯开始发光,当OB越过OC时,指示灯停止发光,此过程中扇形转过的角度为90°+60°=150°,据此可计算出指示灯发光的概率.解答:解:如图,∵当扇形AOB落在区域I时,指示灯会发光;假设扇形区域逆时针转动,当OB越过OE时,指示灯开始发光,当OB越过OC时,指示灯停止发光,此过程中扇形转过的角度为90°+60°=150°.∴指示灯发光的概率为:=.故选C.点评:本题主要考查了几何概率,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.得到指示灯发光的区域是解题的关键,本题难度中等.10.(3分)如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=12020点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD 上的任意一点,则PK+QK的最小值为()A.1B.C.2D.+1考点: 轴对称-最短路线问题;菱形的性质.专题: 压轴题;探究型.分析:先根据四边形ABCD是菱形可知,AD∥BC,由∠A=12020知∠B=60°,作点P关于直线BD的对称点P′,连接P′Q,PC,则P′Q的长即为PK+QK的最小值,由图可知,当点Q与点C重合,CP′⊥AB时PK+QK的值最小,再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可.解答:解:∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∵∠A=12020∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣1202060°,作点P关于直线BD的对称点P′,连接P′Q,P′C,则P′Q的长即为PK+QK的最小值,由图可知,当点Q与点C重合,CP′⊥AB时PK+QK的值最小,在Rt△BCP′中,∵BC=AB=2,∠B=60°,∴P′Q=CP′=BC•sinB=2×=.故选:B.点评:本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)11.(3分)数据显示,今年高校毕业生规模达到727万人,比去年有所增加.数据727万人用科学记数法表示为7.27×106人.考点: 科学记数法—表示较大的数.专题: 常规题型.分析:科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.解答:解:将727万即7 270 000用科学记数法表示为:7.27×106.故答案为:7.27×106.点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.12.(3分)将直线y=x向上平移7个单位后得到直线y=x+7.考点: 一次函数图象与几何变换.分析:直接根据“上加下减”的原则进行解答.解答:解:由“上加下减”的原则可知,将直线y=x向上平移7个单位所得直线的解析式为:y=x+7.故答案为:7.点评:本题考查的是一次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键.13.(3分)一个平行四边形的一条边长为3,两条对角线的长分别为4和,则它的面积为4.考点: 菱形的判定与性质;勾股定理的逆定理;平行四边形的性质.专题: 计算题.分析:根据平行四边的性质,可得对角线互相平分,根据勾股定理的逆定理,可得对角线互相垂直,根据菱形的判定,可得菱形,根据菱形的面积公式,可得答案.解答:解:∵平行四边形两条对角线互相平分,∴它们的一半分别为2和,∵22+()2=32,∴两条对角线互相垂直,∴这个四边形是菱形,∴S=4×2=4.故答案为:4.点评:本题考查了菱形的判定与性质,利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形,菱形的面积是对角线乘积的一半.14.(3分)关于x的不等式组的整数解共有3个,则a的取值范围是﹣3≤a<﹣2.考点: 一元一次不等式组的整数解.专题: 计算题.分析:首先确定不等式组的解集,先利用含a的式子表示,根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解,根据解的情况可以得到关于a的不等式,从而求出a的范围.解答:解:由不等式①得x>a,由不等式②得x<1,所以不等式组的解集是a<x<1,∵关于x的不等式组的整数解共有3个,∴3个整数解为0,﹣1,﹣2,∴a的取值范围是﹣3≤a<﹣2.点评:考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.15.(3分)矩形纸片ABCD中,已知AD=8,AB=6,E是边BC上的点,以AE为折痕折叠纸片,使点B落在点F处,连接FC,当△EFC为直角三角形时,BE的长为3或6.考点: 翻折变换(折叠问题).专题: 分类讨论.分析:分两种情况:①当∠EFC=90°时,先判断出点F在对角线AC上,利用勾股定理列式求出AC,设BE=x,表示出CE,根据翻折变换的性质可得AF=AB,EF=BE,然后在Rt△CEF 中,利用勾股定理列出方程求解即可;②当∠CEF=90°时,判断出四边形ABEF是正方形,根据正方形的四条边都相等可得BE=AB.解答:解:①当∠EFC=90°时,如图1,∵∠AFE=∠B=90°,∠EFC=90°,∴点A、F、C共线,∵矩形ABCD的边AD=8,∴BC=AD=8,在Rt△ABC中,AC===10,设BE=x,则CE=BC﹣BE=8﹣x,由翻折的性质得,AF=AB=6,EF=BE=x,∴CF=AC﹣AF=10﹣6=4,在Rt△CEF中,EF2+CF2=CE2,即x2+42=(8﹣x)2,解得x=3,即BE=3;②当∠CEF=90°时,如图2,由翻折的性质得,∠AEB=∠AEF=×90°=45°,∴四边形ABEF是正方形,∴BE=AB=6,综上所述,BE的长为3或6.故答案为:3或6.点评:本题考查了翻折变化的性质,勾股定理,正方形的判定与性质,此类题目,利用勾股定理列出方程求解是常用的方法,本题难点在于分情况讨论,作出图形更形象直观.16.(3分)若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有不相等的实数根,则k的取值范围是k>且k≠1.考点: 根的判别式;一元二次方程的定义.分析:根据一元二次方程的定义和△的意义得到k﹣1≠0且△=4﹣4(k﹣1)×(﹣2)>0,然后求出两个不等式的公共部分即可.解答:解:根据题意得k﹣1≠0且△=4﹣4(k﹣1)×(﹣2)>0,解得k>,所以k的范围为k>且k≠1.故答案为k>且k≠1.点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.17.(3分)小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶,周日再去买时,恰遇超市搞优惠酬宾活动,同样的牛奶,每袋比周三便宜0.5元,结果小明只比上次多用了2元钱,却比上次多买了2袋牛奶.若设他上周三买了x袋牛奶,则根据题意列得方程为(x+2)(﹣0.5)=12.考点: 由实际问题抽象出分式方程.分析:关键描述语为:“每袋比周三便宜0.5元”;等量关系为:周日买的奶粉的单价×周日买的奶粉的总数=总钱数.解答:解:设他上周三买了x袋牛奶,则根据题意列得方程为:(x+2)(﹣0.5)=12.故答案为:(x+2)(﹣0.5)=12.点评:此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系.18.(3分)如图,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上,从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8,4),阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n,则S n的值为24n﹣5.(用含n的代数式表示,n为正整数)考点: 正方形的性质;一次函数图象上点的坐标特征.专题: 压轴题;规律型.分析:根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°,从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形,再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n 个正方形的边长,然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可.解答:解:∵函数y=x与x轴的夹角为45°,∴直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形,∵A(8,4),∴第四个正方形的边长为8,第三个正方形的边长为4,第二个正方形的边长为2,第一个正方形的边长为1,…,第n个正方形的边长为2n﹣1,由图可知,S1=×1×1+×(1+2)×2﹣×(1+2)×2=,S2=×4×4+×(4+8)×8﹣×(4+8)×8=8,…,S n为第2n与第2n﹣1个正方形中的阴影部分,第2n个正方形的边长为22n﹣1,第2n﹣1个正方形的边长为22n﹣2,S n=•22n﹣2•22n﹣2=24n﹣5.故答案为:24n﹣5.点评:本题考查了正方形的性质,三角形的面积,一次函数图象上点的坐标特征,依次求出各正方形的边长是解题的关键,难点在于求出阴影S n所在的正方形和正方形的边长.三、计算题(本题满分12分)19.(12分)(1)解方程:x2+2x﹣6=0(2)先化简,再求值:﹣÷,其中x2﹣9=0.考点: 分式的化简求值;解一元二次方程-公式法.分析:(1)根据公式法求出x的值即可;(2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出x的值代入进行计算即可.解答:解:(1)∵△=(2)2﹣4×1×(﹣6)=4,∴x=,即x1=﹣3,x2=;(2)原式=﹣÷=•=•=,∵x2﹣9=0,∴x=3或x=﹣3,当x=﹣3时原式无意义,∴当x=3时,原式==0.点评:本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.四、解答题(每小题12分,共24分)202012分)在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1,2,3,4四个小球,除数字不同外,小球没有任何区别,每次实验先搅拌均匀.(1)若从中任取一球,球上的数字为偶数的概率为多少?(2)若从中任取一球(不放回),再从中任取一球,请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率.(3)若设计一种游戏方案:从中任取两球,两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜,否则为乙胜,请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗?说明理由.考点: 游戏公平性;概率公式;列表法与树状图法.分析:(1)由不透明的口袋里装有分别标有数字1,2,3,4四个小球,球上的数字为偶数的是2与4,利用概率公式即可求得答案;(2)首先画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球上的数字之和为偶数的情况,利用概率公式即可求得答案;(3)分别求得甲胜与乙胜的概率,比较概率,即可得出结论.解答:解:(1)∵不透明的口袋里装有分别标有数字1,2,3,4四个小球,球上的数字为偶数的是2与4,∴从中任取一球,球上的数字为偶数的概率为:=;(2)画树状图得:∵共有12种等可能的结果,两个球上的数字之和为偶数的有(1,3),(2,4),(3,1),(4,2)共4种情况,∴两个球上的数字之和为偶数的概率为:=;(3)∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(3,4),(4,3)共6种情况,∴P(甲胜)=,P(乙胜)=,∴P(甲胜)=P(乙胜),∴这种游戏方案设计对甲、乙双方公平.点评:本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.21.(12分)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣2(m+1)x+m2+5=0的两实数根.(1)若(x1﹣1)(x2﹣1)=28,求m的值;(2)已知等腰△ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长.考点: 根与系数的关系;三角形三边关系;等腰三角形的性质.专题: 代数几何综合题.分析:(1)利用(x1﹣1)(x2﹣1)=x1•x2﹣(x1+x2)+1=m2+5﹣2(m+1)+1=28,求得m的值即可;(2)分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长.解答:解:(1)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣2(m+1)x+m2+5=0的两实数根,∴x1+x2=2(m+1),x1•x2=m2+5,∴(x1﹣1)(x2﹣1)=x1•x2﹣(x1+x2)+1=m2+5﹣2(m+1)+1=28,解得:m=﹣4或m=6;当m=﹣4时原方程无解,∴m=6;(2)①当7为底边时,此时方程x2﹣2(m+1)x+m2+5=0有两个相等的实数根,∴△=4(m+1)2﹣4(m2+5)=0,解得:m=2,∴方程变为x2﹣6x+9=0,解得:x1=x2=3,。
江西省金溪县第二中学2024届九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)
金溪二中2024届九年级第一次月考试题数学试题本试卷满分120分,考试时间120分钟,一、选择题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)每小题只有一个正确的选项.1.下列方程是一元二次方程的是()A .x 2−2x =0 B .x +1=2 C .x 2+y =0 D .x 3+2x 2=12.菱形不具备的性质是()A .是轴对称图形B .是中心对称图形C .对角线互相垂直D .对角线一定相等3.关于x 的方程x 2﹣mx ﹣1=0根的情况是( )A .有两个相等的实数根B .有两个不相等的实数根C .没有实数根D .不能确定4.用配方法解方程x 2+2x =1,变形后的结果正确的是()A .(x +1)2=1B .(x +1)2=0C .(x +1)2=2D .(x +1)2=15.如图,已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点,过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线,垂足分别为点E 、F .若∠ABC =120°,AB =6,则PE−PF 的值为()A . B .2 C .3 D .36.为庆祝神舟十三号航天员顺利返回、神舟十四号载人飞船成功发射,小明同学在数学兴趣活动课上用图1的“七巧板”,设计拼成了图2的飞船,则飞船模型面积与矩形框的面积之比为()A .1:3B .1:2C .3:5D .8:25二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)7.方程2x 2+x =1的常数项是_______.8.在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,且AC =5,BD =12,则AB =________.9.已知矩形相邻两边长是一元二次方程x 2−5x +2=0的两个根,那么这个矩形的周长是_______.10.用一条长40cm 的绳子围成一个面积为64cm 2的矩形.则该矩形的宽为____cm .11.如图是一张矩形纸片ABCD ,点M 是对角线AC 的中点,点E 在BC 边上,把△DCE 沿直线DE 折叠,使点C 落在对角线AC 上的点F 处,连接DF ,EF .若MF =AB ,则∠DAF =_______.12.若a 是方程x 2-4x +3=0的根,b 是4的平方根,则a 2-ab +b +2的值为图2⑦①①②②③③④④⑤⑤⑥⑥⑦第6题图图1第11题图F第5题图ABC D P E_________________.三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)13.(1)用适当的方法解一元二次方程:(x -1)(2x -3)=x -1.(2)如图,在正方形 ABCD 中,点E 、F 分别在CD 、AD 上,且△BEF 是等边三角形.求证:CE =AF 14.当x 取何值时,多项式x 2﹣6x ﹣16的值与4+2x 的值互为相反数?15.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k +1)x +k 2+1=0有两个不等实数根x 1,x 2.(1)求k 的取值范围;(2)若x 1x 2=5,求k 的值.16.金溪日新超市销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销量,增加盈利,该店采取了降价措施.经过一段时间后,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价6元,则平均每天销售数量为________件;(2)为尽快减少库存,要使该商店每天销售利润为1200元,每件商品应降价多少元?17.如图,□ABCD ≌□AEFG ,C 、B 、E 、F 点在同一条线上,请仅用无刻度的直尺按下列要求画图.(1)在图1中,画出线段AB 的中点;(2)在图2中,画出菱形AMNQ ,使点M 、N 、Q 分别在AB 、BE 、AE 上.四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)18.如图1,在正方形ABCD 中,E 点是AD 延长线上的一点,F 点是BC 上一点,EG ⊥AF ,AE =AF ,则EG 与AB 的数量关系是___________;变式:若F 点在CB 的延长线上,E 点在DA 的延长线上,EG ⊥AF ,AE =AF ,EG 与AB 的数量关系还成立吗?在图2中完成画图,并说明理由.F DA CBEGABC DEF图2GDABCEADB C19.如图,在△ABC 中,EF ∥AC ,DE ∥BC ,CE ⊥AB ,F 点是BC 的中点.(1)求证:四边形CDEF 是菱形.(2)若EB =6,CE =8,求菱形CDEF 的面积.20.设一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的两个根为x 1、x 2,若该方程的一个根与另一个根的2倍的和为0,我们就称这个一元二次方程为“两根相反倍数”方程.(1)如果方程2x 2+3x +2m -3=0是“两根相反倍数”方程,则m =______;(2)如果方程x 2+2x +c =0是“两根相反倍数”方程,求2x 1-x 1 x 2的值.五、(每小题9分,共18分)21.如图,C 是直线l 上的两点,AC ⊥l ,点B 是直线l 上的一个动点,且在C 点右侧,以AB 为边在直线l 的上方作□ABDE ,若AC =3,AE =12,BE +CB =17.(1)若四边形ABDE 为矩形时,求CB 的长;(2)若四边形ABDE 为菱形时,求CB 的长.22.如图,图1是一个用总长65dm 的木板制作的矩形置物架,图2是它的简化图.已知:矩形置物架ABCD 是由一个正方形EHKL ,四个全等的矩形BENM 、矩形LKSR 、矩形RSGF 、矩形HCQP ,两个全等的矩形AMNF 、矩形PQDG 组成的,设正方形的边长LE =x(dm).(1)则AB = ___________dm ,FR =___________dm(用含x 的代数式表示);(2)当x =4dm 时,则矩形ABCD 的面积为 _____________dm 2;(3)为了便于置放物品,EH 的高度不得超过4dm ,若矩形ABCD 的面积为99(dm 2),求x 的值.CA BFDEA B CDE F G H M N P Q R SL KAlCBDE第19题图第18题图图1六、(本大题共1小题,共12分)23.探究1:(1)如图1,在菱形ABCD 中,AB =8,∠ABC =60°,P 点为射线BC 上一动点,DE ⊥AP于E ,连接BE ,PD .当PD =AD 时,BE =_______________;探究2:(2)如图2,在矩形ABCD 中,AB =8,BC =10,P 为为射线BC 上一点,DE ⊥AP 于E ,连接BE ,PD .当PD =AD 时,BE =_______________;拓展探究:(3)如图3,在□ABCD 中,AB =6,BC =8,∠ABC =60°,P 点为射线BC 上一点,DE ⊥AP于E ,连接BE ,PD .(数据:≈6)①若BE ∥PD ,则S △ADE ____S △PCD ;(填“>”或“=”或“<”)②若PD =AD ,求BE 的长.图1图2A BCDEP 图1图3A P BCDEABCDEP图2数学参考答案一、选择题1.A;2.D;3.B;4.C;5.C;6.D;二、填空题7.-1;8.6.5;9.10;10.4;11.18°;12.3或7或15三、解答题13.(1)解:(x-1)(2x-3)-(x-1)=0(x-1)(2x-3-1)=0x1=1,x2=2…………………………………3分(2)证明:∵正方形ABCD∴∠A=∠C=90°AD=AC∵△DEF为等边三角形∴DF=DE∴Rt△ADF≌Rt△CDE(HL)∴AF=CE…………………………………6分14.解:依题意得x2-6x-16+4+2x=0…………………………2分x2-4x-12=0(x-6)(x+2)=0x1=6,x2=-2…………………………………5分当x为6或-2时,多项式x2﹣6x﹣16的值与4+2x的值互为相反数…………………………………6分15.(1)解:△=(2k+1) 2-4(k2+1)=4k-3,∵方程有两个不等实数根,∴4k-3>0,∴k>(2)根据根与系数的关系得:x1x2=k2+1=5.k=±2∵k>∴k=2…………………………………6分16.解:(1)由题意得,若降价6元,则平均每天销售数量为20+6×2=32件…………………………………2分(2)设每件商品应降价x元,由题意得,(40-x)(20+2x)=1200,整理得:x2-30x+200=0,解得x=10或x=20,∵要尽快减少库存,∴x=20,∴每件商品应降价20元.………………………6分17.解:(1)如图1,点M为所求的AB的中点;……………3分(2)如图2,四边形AMNQ为所求的菱形.……………6分四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)18.解(1)EG =AB…………………………………3分(2)如图(画出图形)…………………………………4分EG =AB 仍成立:…………………………………5分∵正方形ABCD∴∠ABF =∠ABC =90°, DE ∥CF∴∠EAG =∠AFB…………………………………6分∵EG ⊥AF ∴∠AGE =90°∴∠AGE =∠ABF在△AEG 和△FAB 中∠AGE =∠ABF ∠EAG =∠AFB AE =AF∴△AEG ≌△FAB∴EG =AB…………………………………8分19.(1)证明:∵EF ∥AC ,DE ∥BC ,∴四边形CDEF 为平行四边形∵CE ⊥AB ,F 点是BC 的中点∴EF =CF∴四边形CDEF 为菱形…………………………………4分(2)S △BCE =×6×8=24∵CE ⊥AB ,F 点是BC 的中点,∴S △CEF =S △BCE =12,∴S 菱形CDEF =2S △CEF =24…………………………………8分20.(1)m =-3…………………………………3分(2)分两种情况设x 1+2x 2=0,则x 1=-2x 2根据根与系数的关系得:x 1+x 2=-2,x 1+2x 2=0A DB C图2G E F G ABC D EF图2QN MMGABC DEF图1MG ABC D EF图2N Q解得:x 2=2,x 1=-42x 1-x 1x 2=-8-(-4×2)=-8+16…………………………………4分设x 2+2x 1=0,则x 2=-2x 1根据根与系数的关系得:x 1+x 2=-2,x 1+2x 2=0解得:x 1=2,x 2=-42x 1-x 1x 2=4-(-4×2)=4+16…………………………………8分五、(每小题9分,共18分)21.解:(1)∵矩形ABDE ∴∠BAE =90°设CB =x ,则BE =17-x 由勾股定理得:x 2+32=(17-x)2-122x =4………………5分(2)∵菱形ABDE∴AB =AE ∴x 2+32=122解得:x =3…………………………………9分22.解:(1)AB =…………………………………2分FR =…………………………………3分(2)111cm 2…………………………………6分(3)根据题意得:3x·=99………………………7分化简得:7x 2-65x +4×33=0 (x -3)(7x -44)=0解得:x 1=3,x 2=………………………8分∵EH 的高度不得超过4dm∴x =3………………………9分六、(本大题共1小题,共12分)23.(1)4或4…………………………………………3分(2)2或4…………………………………………5分(3)①延长BE 交AD 于F 点∵□ABCD∴AD ∥BC ,AD =BC图3A P BCDEF∵BE ∥DP∴四边形BPDF 为平行四边形∴DF =BP ∴AF =CP ∴S △ABF =S △PCDS △FDE +S △PBE =S □ABCD∵S △ABE +S △PBE =S □ABCD∴S △ABE =S △FDE∴S △ADE =S △AFE +S △FDE =S △AFE +S △ABE =S △ABF =S △PCD ……………………7分②分两种情况分析当P 点在线段BC 上时,延长BE 交AD 于G 点,过G 点作GH ⊥BA 交BA 的延长于H 点,过D 点作DF ⊥BC 于F 点.∵AD =PD ,DE ⊥AP ∴AE =EG易得:AG =BP ∵□ABCD ∴AB ∥CD∴∠DCF =∠ABC =60°在Rt △CDF 中CF =CD =3,DF =3在Rt △PDF 中PF ==≈6∴PC =PF -CF =3∴PB =BC -CP =5∴AG =5在Rt △AGH 中AH=AG=GH=在Rt △BGH 中BG ==BE =…………………………………………9分当P 点射线CP 上时延长BE 交AD 至G 点,使EG =BE ,过G 点作GH ⊥BC 交BC 于H 点,过D 点作DF ⊥BC 于F 点,连PG .∵AD =PD ,DE ⊥AP ∴AE =EG 易得:PG =AB ,PG ∥AB 在Rt △PGH 中图4A P BDEFHG图5PH=3,GH=3在Rt△CDF中CF=3,DF=3在Rt△PDF中PF==≈6BH=BC+CF+PF+PH=20在Rt△BGHF中BG==BE=…………………………………………11分综上可知:BE的长为或.…………………………………………12分。
2019-2020学年吉林省第二实验学校九年级(上)第一次月考数学试卷(含解析)印刷版
2019-2020学年吉林省第二实验学校九年级(上)第一次月考数学试卷一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.(3分)下列各数中,最小的数是()A.﹣1B.﹣6C.2D.32.(3分)下列几何体的主视图与众不同的是()A.B.C.D.3.(3分)2019年6月5日,长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术试验,该火箭重58000kg,将数58000用科学记数法表示为()A.58×103B.5.8×103C.0.58×105D.5.8×1044.(3分)不等式组的解集是()A.x≥2B.x>﹣2C.x≤2D.﹣2<x≤25.(3分)抛物线y=3(x﹣1)2+1的顶点坐标是()A.(1,1)B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)6.(3分)观察图中尺规作图痕迹,下列结论错误的是()A.PQ为∠APB的平分线B.P A=PBC.点A、B到PQ的距离不相等D.∠APQ=∠BPQ7.(3分)函数y1=ax2+bx+c与y2=x的图象如图所示,当y1<y2时,自变量x的取值范围是()A.1<x<3B.x<1C.x>3D.x<1或x>38.(3分)如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A、B在同一水平面上).为了测量A、B两地之间的距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A、B两地之间的距离为()A.800sinα米B.800tanα米C.米D.米二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分9.(3分)计算:=.10.(3分)一元二次方程x2﹣5x+3=0根的判别式的值为.11.(3分)如图,对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为.12.(3分)已知二次函数y=ax2﹣2x+c的图象如图所示,则点P(a,c)在第象限.13.(3分)如图,以△ABC的顶点A为圆心,以BC长为半径作弧;再以顶点C为圆心,以AB长为半径作弧,两弧交于点D;连结AD、CD.若∠B=65°,则∠ADC的大小为度.14.(3分)如图,在平面直角坐标系中,点A是抛物线y=a(x﹣3)2+k与y轴的交点,点B是这条抛物线上另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的菱形ABCD的周长为.三、解答题(本大题共10小题,共78分)15.(6分)已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A(0,3),B(﹣4,﹣)两点.(1)求b,c的值.(2)二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?若有,求公共点的坐标;若没有,请说明情况.16.(6分)小明和小刚相约周末到净月潭国家森林公园去徒步,小明和小刚的家分别距离公园1600米和2800米,两人分别从家中同时出发,小明骑自行车,小刚乘公交车,已知公交车的平均速度是骑自行车速度的3.5倍,结果小刚比小明提前4min到达公园,求小刚乘公交车的平均速度.17.(6分)如图所示,直线AC∥DE,DA⊥AC,隧道BC在直线AC上.某施工队要测量隧道BC的长,在点D处观测点B,测得∠BDA=45°,在点E处观测点C,测得∠CEF=53°,且测得AD=600米,DE=500米,试求隧道BC的长.【参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈】18.(7分)如图,菱形EFGH的顶点E、G分别在矩形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在矩形ABCD 的对角线BD上.(1)求证:BG=DE;(2)若AB=3,BC=4,则菱形EFGH的面积最大值是.19.(7分)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,﹣3),该图象与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.(1)求该二次函数的表达式;(2)求tan∠ABC.20.(7分)图①、图②是两个7×7网格,网格中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点,请仅用无刻度的直尺按要求作图(保留作图痕迹,不写作法).(1)在图①网格内画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上,且∠MON=90°;(2)在图②网格内以OM为边画一个OMPQ,使OMPQ面积等于5且点P、Q均在格点上.(画出一种即可)21.(8分)如图①,甲、乙两车同时从A地出发,分别匀速前往B地与C地,甲车到达B地休息一段时间后原速返回,乙车到达C地后立即返回.两车恰好同时返回A地.图②是两车各自行驶的路程y(千米)与出发时间x(时)之间的函数图象.根据图象解答下列问题:(1)甲车到达B地休息了时;(2)求甲车返回A地途中y与x之间的函数关系式;(3)当x为何值时,两车与A地的路程恰好相同.(不考虑两车同在A地的情况)22.(9分)教材呈现:如图是华师版八年级下册数学教材第75页的部分内容.请根据教材的内容,运用此性质解决下列问题:如图①,Rt△ABC与Rt△EDC是两个全等的三角形,当两个三角形完全重合时,将△EDC绕直角顶点C顺时针旋转60°,点D恰好落在AB边上,连结DE,BE.【探究】(1)求证:DE∥BC.(2)判断S△ADC与S△BCE的大小关系S△ADC S△BCE(填”>””<”或”=”);【应用】如图②,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB的中线,过点D作DE∥BC交AC于点F,交CD的垂线CE于点E,连结BE,AE.若S△BCE=2,EF=4FD,则四边形ADCE的面积为23.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,BD⊥AB,AB=3,BD=4.动点P从点A出发,沿AC方向以每秒个单位长度的速度向终点C运动,过点P作PE⊥直线AB于点E.设点P的运动时间为t.(1)用含t的代数式表示线段PE的长;(2)当线段PE被线段BC平分时,求t的值;(3)设△APE与△ABC重合部分图形的面积为S,求S与t的函数关系式;(4)点Q是射线PE上一点,在点P的运动过程中,始终保持PQ=1,将△AEQ沿AQ翻折,使点E 的对应点为E′,直接写出当点E′落在直线AD上时t的值.24.(12分)已知,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B 的左侧),顶点为C,与y轴交点为D.(1)求点C和点A的坐标;(2)把y=x2﹣4x+3(x≥0)的图象沿着y轴翻折,翻折前与翻折后共同组成的图形记为“W”.①点E为“W”上一点,当△EAB的面积等于3时,求点E的横坐标;②点P在“W”,点Q在x轴上,当以点P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形时,直接写出点Q的坐标;③点M为y=x2﹣4x+3(x≥0)上一点,作点M关于y轴的对称点N,以MN为边向上作正方形MNRS,当直线MD把正方形面积分为1:5两部分时,求点M的横坐标m的值.2019-2020学年吉林省第二实验学校九年级(上)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.(3分)下列各数中,最小的数是()A.﹣1B.﹣6C.2D.3【分析】根据①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小.即可判断出答案.【解答】解:四个选项中,最小的数是﹣6.故选:B.2.(3分)下列几何体的主视图与众不同的是()A.B.C.D.【分析】根据主视图是从正面看到的图象判定则可.【解答】解:A、主视图是下面两个正方形,上面一个正方形相叠;B、主视图是下面两个正方形,上面一个正方形相叠;C、主视图是下面两个正方形,上面一个正方形相叠;D、主视图上下都是两个正方形相叠.故选:D.3.(3分)2019年6月5日,长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术试验,该火箭重58000kg,将数58000用科学记数法表示为()A.58×103B.5.8×103C.0.58×105D.5.8×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n 是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:将数58000用科学记数法表示为5.8×104.故选:D.4.(3分)不等式组的解集是()A.x≥2B.x>﹣2C.x≤2D.﹣2<x≤2【分析】先求出两个不等式的解集,再求其公共解.【解答】解:,解①得:x>﹣2,解②得:x≤2,则不等式组的解集是:﹣2<x≤2.故选:D.5.(3分)抛物线y=3(x﹣1)2+1的顶点坐标是()A.(1,1)B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)【分析】已知抛物线顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k).【解答】解:∵抛物线y=3(x﹣1)2+1是顶点式,∴顶点坐标是(1,1).故选A.6.(3分)观察图中尺规作图痕迹,下列结论错误的是()A.PQ为∠APB的平分线B.P A=PB C.点A、B到PQ的距离不相等D.∠APQ=∠BPQ 【分析】根据角平分线的作法进行解答即可.【解答】解:∵由图可知,PQ是∠APB的平分线,∴A,B,D正确;∵PQ是∠APB的平分线,P A=PB,∴点A、B到PQ的距离相等,故C错误.故选:C.7.(3分)函数y1=ax2+bx+c与y2=x的图象如图所示,当y1<y2时,自变量x的取值范围是()A.1<x<3B.x<1C.x>3D.x<1或x>3【分析】求y1<y2的自变量x的取值范围,从图上看就是二次函数图象在一次函数图象下方时,横坐标x的取值范围.【解答】解:y1<y2的自变量x的取值范围,从图上看就是二次函数图象在一次函数图象下方时,横坐标x的取值范围,从图上看当1<x<3时二次函数图象在一次函数图象下方,所以1<x<3.故选:A.8.(3分)如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A、B在同一水平面上).为了测量A、B两地之间的距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A、B两地之间的距离为()A.800sinα米B.800tanα米C.米D.米【分析】在Rt△ABC中,∠CAB=90°,∠B=α,AC=800米,根据tanα=,即可解决问题;【解答】解:在Rt△ABC中,∵∠CAB=90°,∠B=α,AC=800米,∴tanα=,∴AB==.故选:D.二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分9.(3分)计算:=.【分析】原式利用二次根式乘法法则计算即可得到结果.【解答】解:原式==,故答案为:10.(3分)一元二次方程x2﹣5x+3=0根的判别式的值为13.【分析】直接利用根的判别式△=b2﹣4ac求出答案.【解答】解:一元二次方程x2﹣5x+3=0根的判别式的值是:△=(﹣5)2﹣4×3=13.故答案为:13.11.(3分)如图,对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为直线x=2.【分析】点(1,0),(3,0)的纵坐标相同,这两点一定关于对称轴对称,那么利用两点的横坐标可求对称轴.【解答】解:∵点(1,0),(3,0)的纵坐标相同,∴这两点一定关于对称轴对称,∴对称轴是:x==2.故答案为:直线x=2.12.(3分)已知二次函数y=ax2﹣2x+c的图象如图所示,则点P(a,c)在第二象限.【分析】观察图形得抛物线开口向下,抛物线与y轴的交点在x轴的上方,根据二次函数图形与系数的关系得到a<0,c>0,即可判断P点所在的象限.【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0;∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方,∴c>0.∴点P(a,c)在第二象限.故答案为二.13.(3分)如图,以△ABC的顶点A为圆心,以BC长为半径作弧;再以顶点C为圆心,以AB长为半径作弧,两弧交于点D;连结AD、CD.若∠B=65°,则∠ADC的大小为65度.【分析】根据作法可得AB=CD,BC=AD,然后利用“边边边”证明△ABC和△CDA全等,再根据全等三角形对应角相等解答.【解答】解:∵以点A为圆心,以BC长为半径作弧;以顶点C为圆心,以AB长为半径作弧,两弧交于点D,∴AB=CD,BC=AD,在△ABC和△CDA中,,∴△ABC≌△CDA(SSS),∴∠ADC=∠B=65°.故答案为:65.14.(3分)如图,在平面直角坐标系中,点A是抛物线y=a(x﹣3)2+k与y轴的交点,点B是这条抛物线上另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的菱形ABCD的周长为24.【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得线段AB的长度,从而可以求得菱形ABCD的周长.【解答】解:∵在平面直角坐标系中,点点A是抛物线y=a(x﹣3)2+k与y轴的交点,∴点A的横坐标是0,该抛物线的对称轴为直线x=3,∵点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴,∴点B的横坐标是6,∴AB=6,∴菱形ABCD的周长为:6×4=24,故答案为:24.三、解答题(本大题共10小题,共78分)15.(6分)已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A(0,3),B(﹣4,﹣)两点.(1)求b,c的值.(2)二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?若有,求公共点的坐标;若没有,请说明情况.【分析】(1)把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值;(2)利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点,由题意得到方程﹣x2+x+3=0,通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标.【解答】解:(1)把A(0,3),B(﹣4,﹣)分别代入y=﹣x2+bx+c,得,解得;(2)由(1)可得,该抛物线解析式为:y=﹣x2+x+3.△=()2﹣4×(﹣)×3=>0,所以二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴有公共点.∵﹣x2+x+3=0的解为:x1=﹣2,x2=8∴公共点的坐标是(﹣2,0)或(8,0).16.(6分)小明和小刚相约周末到净月潭国家森林公园去徒步,小明和小刚的家分别距离公园1600米和2800米,两人分别从家中同时出发,小明骑自行车,小刚乘公交车,已知公交车的平均速度是骑自行车速度的3.5倍,结果小刚比小明提前4min到达公园,求小刚乘公交车的平均速度.【分析】设小明骑自行车的平均速度为x米/分钟,则小刚乘公交车的平均速度为3.5x米/分钟,根据时间=路程÷速度结合小刚比小明提前4min到达公园,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论.【解答】解:设小明骑自行车的平均速度为x米/分钟,则小刚乘公交车的平均速度为3.5x米/分钟,依题意,得:﹣=4,解得:x=200,经检验,x=200是原方程的解,且符合题意,∴3.5x=700.答:小刚乘公交车的平均速度为700米/分钟.17.(6分)如图所示,直线AC∥DE,DA⊥AC,隧道BC在直线AC上.某施工队要测量隧道BC的长,在点D处观测点B,测得∠BDA=45°,在点E处观测点C,测得∠CEF=53°,且测得AD=600米,DE=500米,试求隧道BC的长.【参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈】【分析】作EM⊥AC于M,解直角三角形即可得到结论.【解答】解:在Rt△ABD中,AB=AD=600,作EM⊥AC于M,则AM=DE=500,∴BM=100,在Rt△CEM中,tan53°=,∴CM=800,∴BC=CM﹣BM=800﹣100=700(米)答:隧道BC长为700米18.(7分)如图,菱形EFGH的顶点E、G分别在矩形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在矩形ABCD 的对角线BD上.(1)求证:BG=DE;(2)若AB=3,BC=4,则菱形EFGH的面积最大值是.【分析】(1)证明△BFG≌△DHE(AAS),即可得出BG=DE;(2)当点F与B重合,点H与D重合时,菱形EFGH的面积最大,由菱形的性质得出EG⊥BD,BE =DE=BG,设BE=DE=x,则AE=4﹣x,在Rt△ABE中,由勾股定理得出方程32+(4﹣x)2=x2,解得x=,得出CG=AE=4﹣=,菱形EFGH的面积最大值=矩形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDG的面积,即可得出答案.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠FBG=∠HDE,∵四边形EFGH是菱形,∴FG=EH,∠EFG=∠EHG,∠GFH=∠EFG,∠EHF=∠EHG,∴∠GFH=∠EHG,∴∠BFG=∠DHE,在△BFG和△DHE中,,∴△BFG≌△DHE(AAS),∴BG=DE;(2)解:当点F与B重合,点H与D重合时,菱形EFGH的面积最大,如图所示:∵四边形EFGH是菱形,∴EG⊥BD,BE=DE=BG,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,设BE=DE=x,则AE=4﹣x,在Rt△ABE中,由勾股定理得:32+(4﹣x)2=x2,解得:x=,∴CG=AE=4﹣=,∴菱形EFGH的面积最大值=矩形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDG的面积=3×4﹣2×××3=;故答案为:.19.(7分)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,﹣3),该图象与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.(1)求该二次函数的表达式;(2)求tan∠ABC.【分析】(1)由题意可设抛物线解析式为:y=a(x﹣4)2﹣3,将A(1,0)代入解析式来求a的值.(2)由锐角三角函数定义解答.【解答】解:(1)由题意可设抛物线解析式为:y=a(x﹣4)2﹣3,(a≠0).把A(1,0)代入,得0=a(1﹣4)2﹣3,解得a=.故该二次函数解析式为y=(x﹣4)2﹣3;(2)令x=0,则y=(0﹣4)2﹣3=.则OC=.因为二次函数图象的顶点坐标为(4,﹣3),A(1,0),则点B与点A关系直线x=4对称,所以B(7,0).所以OB=7.所以tan∠ABC===,即tan∠ABC=.20.(7分)图①、图②是两个7×7网格,网格中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点,请仅用无刻度的直尺按要求作图(保留作图痕迹,不写作法).(1)在图①网格内画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上,且∠MON=90°;(2)在图②网格内以OM为边画一个OMPQ,使OMPQ面积等于5且点P、Q均在格点上.(画出一种即可)【分析】(1)利用数形结合的思想解决问题即可.(2)利用数形结合的思想解决问题即可(答案不唯一).【解答】解:(1)如图,△MON即为所求.(2)四边形OMPQ即为所求.21.(8分)如图①,甲、乙两车同时从A地出发,分别匀速前往B地与C地,甲车到达B地休息一段时间后原速返回,乙车到达C地后立即返回.两车恰好同时返回A地.图②是两车各自行驶的路程y(千米)与出发时间x(时)之间的函数图象.根据图象解答下列问题:(1)甲车到达B地休息了3小时;(2)求甲车返回A地途中y与x之间的函数关系式;(3)当x为何值时,两车与A地的路程恰好相同.(不考虑两车同在A地的情况)【分析】(1)根据题意和图象中的数据可以求得甲车到达B地休息了多长时间;(2)根据函数图象中的数据可以求得甲车返回A地途中y与x之间的函数关系式;(3)根据函数图象中的数据可以求得甲乙的速度,从而可以解答本题.【解答】解:(1)由题意可得,甲车到达B地休息了:7﹣2﹣2=3(小时),故答案为:3小;(2)设甲车返回A地途中y与x之间的函数关系式是y=kx+b,,得,即甲车返回A地途中y与x之间的函数关系式是y=80x﹣240;(3)甲车的速度为160÷2=80km/h,乙车的速度为:420÷7=60km/h,令60x=160,得x=,令60x=210+(210﹣160),得x=,当x为或时,两车与A地的距离恰好相同.22.(9分)教材呈现:如图是华师版八年级下册数学教材第75页的部分内容.请根据教材的内容,运用此性质解决下列问题:如图①,Rt△ABC与Rt△EDC是两个全等的三角形,当两个三角形完全重合时,将△EDC绕直角顶点C顺时针旋转60°,点D恰好落在AB边上,连结DE,BE.【探究】(1)求证:DE∥BC.(2)判断S△ADC与S△BCE的大小关系S△ADC=S△BCE(填”>””<”或”=”);【应用】如图②,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB的中线,过点D作DE∥BC交AC于点F,交CD的垂线CE于点E,连结BE,AE.若S△BCE=2,EF=4FD,则四边形ADCE的面积为10【分析】【探究】(1)由旋转的性质可得CB=CD,∠CBD=∠CDE,∠BCD=60°,可得△BCD是等边三角形,可得∠CBD=60°=∠BCD=∠CDE,可得DE∥BC;(2)由平行线之间的距离处处相等,且底相同,可得S△BCE=S△BCD,通过证明AD=BD,可得S△BCD =S△ADC,可得S△ADC=S△BCE;【应用】由中线的性质可求S△BCD=S△ADC,由平行线的性质可求S△BCE=S△BCD=S△ADC=2,由三角形面积公式可求S△ACE=8,即可求解.【解答】证明:【探究】(1)∵将△EDC绕直角顶点C顺时针旋转60°,∴CB=CD,∠CBD=∠CDE,∠BCD=60°,∴△BCD是等边三角形,∴∠CBD=60°,∵∠CDE=60°=∠CBD,∴∠BCD=∠CDE,∴DE∥BC;(2)∵DE∥BC,∴S△BCE=S△BCD,∵∠ACB=90°,∠CBD=∠BCD=60°,∴∠A=∠ACD=30°,∴AD=CD,∴AD=BD,∴S△BCD=S△ADC,∴S△ADC=S△BCE,故答案为:=;【应用】∵CD是斜边AB的中线,∴S△BCD=S△ADC,∵DE∥BC,∠ACB=90°,∴S△BCE=S△BCD=S△ADC=2,∠AFD=∠ACB=90°,∵S△ACD=AC×DF=2,S△ACE=×AC×EF,且EF=4DF,∴S△ACE=8,∴四边形ADCE的面积=S△ADC+S△ACE=10,故答案为:10.23.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,BD⊥AB,AB=3,BD=4.动点P从点A出发,沿AC方向以每秒个单位长度的速度向终点C运动,过点P作PE⊥直线AB于点E.设点P的运动时间为t.(1)用含t的代数式表示线段PE的长;(2)当线段PE被线段BC平分时,求t的值;(3)设△APE与△ABC重合部分图形的面积为S,求S与t的函数关系式;(4)点Q是射线PE上一点,在点P的运动过程中,始终保持PQ=1,将△AEQ沿AQ翻折,使点E 的对应点为E′,直接写出当点E′落在直线AD上时t的值.【分析】(1)证明△APE∽△AOB,可得=,由此即可解决问题.(2)如图2中,当PE被BC平分时,设PE交BC于F.由PF∥OB,BF=CF,推出OP=PC=OC,求出AP即可解决问题.(3)分两种情形:①如图3﹣1中,当0<t≤1时,重叠部分是△APE,根据S=•AE•PE求解.②如图3﹣2中,当1<t≤2时,重叠部分是四边形ABFP,根据S=S△APE﹣S△BFE求解即可.(4)分两种情形:①如图4﹣1中,当点E′落在DA的延长线上时,作BM⊥AD于M,在AD上截取AN,使得AN=AB,连接BN.证明∠EAQ=∠BNM,推出tan∠EAQ=tan∠BNM,可得=,由此构建方程即可解决问题.②如图4﹣2中,当点E′落在AD的延长线于E′,作MN⊥AD于N.由BM∥QE,推出△ABM∽△AEQ,可得=,由此构建方程即可解决问题.【解答】解:(1)如图1中,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD=BD=2,∵BD⊥AB,PE⊥AB,∴OA===,PE∥BD,∴△APE∽△AOB,∴=,即=,解得:PE=2t;(2)如图2中,当PE被BC平分时,设PE交BC于F.∵PF∥OB,BF=CF,∴OP=PC=OC=,∴AP=OA+OP=,∴t=.(3)①如图3﹣1中,当0<t≤1时,重叠部分是△APE,S=•AE•PE=•3t•2t=3t2.②如图3﹣2中,当1<t≤2时,重叠部分是四边形ABFP,S=S△APE﹣S△BFE=3t2﹣•(3t﹣3)•(4t﹣4)=﹣3t2+12t﹣6.综上所述,S=.(4)①如图4﹣1中,当点E′落在DA的延长线上时,作BM⊥AD于M,在AD上截取AN,使得AN=AB,连接BN.在Rt△ABD中,AD===5,∵S△ABD=•AB•BD=•AD•BM,∴BM==,∴AM=MN===,∴NM=AN﹣AM=3﹣=,∵∠E′=∠AEQ=90°,QE=QE′.AQ=AQ,∴Rt△AQE≌Rt△AQE(HL),∴∠QAE=∠QAE′,∵∠E′AE=∠ABN+∠ANB,∠ANB=∠ABN,∴∠EAQ=∠BNM,∴tan∠EAQ=tan∠BNM,∴=,∴=,∴t=.②如图4﹣2中,当点E′落在AD的延长线于E′,作MN⊥AD于N.∵∠QAB=∠QAE′,MB⊥AB,MN⊥AD,∴BM=MN,∠ABM=∥ANM=90°,∵AM=AM,∴△AMN≌△AMB(HL),∴AB=AN=3,设BM=MN=x,则DM=4﹣x,在Rt△DMN中,则有(4﹣x)2=x2+22,解得x=,∵BM∥QE,∴△ABM∽△AEQ,∴=,∴=,解得t=2,综上所述,满足条件的t的值为s或2s.24.(12分)已知,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B 的左侧),顶点为C,与y轴交点为D.(1)求点C和点A的坐标;(2)把y=x2﹣4x+3(x≥0)的图象沿着y轴翻折,翻折前与翻折后共同组成的图形记为“W”.①点E为“W”上一点,当△EAB的面积等于3时,求点E的横坐标;②点P在“W”,点Q在x轴上,当以点P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形时,直接写出点Q的坐标;③点M为y=x2﹣4x+3(x≥0)上一点,作点M关于y轴的对称点N,以MN为边向上作正方形MNRS,当直线MD把正方形面积分为1:5两部分时,求点M的横坐标m的值.【分析】(1)y=x2﹣4x+3,令x=0,则y=3,令y=0,则x=1或3,即可求解;(2)①△EAB的面积S=×AB×|y E|=2×|y E|=3,则y E=±3,即可求解;②分DA是平行四边形的一条边、DA是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可;③直线MD把正方形面积分为1:5两部分时,则S△MKS=S正方形MNRS,即可求解.【解答】解:(1)y=x2﹣4x+3,令x=0,则y=3,令y=0,则x=1或3,故点A、B、C、D的坐标为:(1,0)、(3,0)、(2,﹣1)、(0,3),答:点C和点A的坐标分别为:(0,3)、(1,0);(2)y=x2﹣4x+3(x≥0)的图象沿着y轴翻折,翻折后的抛物线表达式为:y=x2+4x+3,①△EAB的面积S=×AB×|y E|=2×|y E|=3,则y E=±3,即:x2﹣4x+3=±3或x2+4x+3=±3,解得:x=0或4或﹣4;答:点E的横坐标为:0或4或﹣4;②设点P(m,n),n=m2±4m+3,点Q(s,0),﹣﹣﹣﹣当DA是平行四边形的一条边时,当x≥0时,点D向右平移1个单位向下平移3个单位得到A,同样,点P(Q)向右平移1个单位向下平移3个单位得到Q(P),故:m+1=s,n﹣3=0或m﹣1=s,n+3=0,且n=m2﹣4m+3,解得:m=0或4(舍去0),故s=5,即点Q(5,0);当x<0时,同理可得:点Q(﹣3,0);当DA是平行四边形的对角线时,当x≥0时,m+s=1,n+0=3,且n=m2﹣4m+3,解得:s=5,即点Q(5,0);当x<0时,同理可得:点Q(﹣3,0);综上,Q的坐标为:(5,0)或(﹣3,0);③如下图:设边RS交直线AC于点K,设点M(m,m2﹣4m+3),则点N(﹣m,m2﹣4m+3),则MN=2m,直线MD函数表达式中的k值为:k ==m﹣4,tan∠MA=﹣k=4﹣m=tanα,则∠RSM=α,直线MD把正方形面积分为1:5两部分时,则S△MKS =S正方形MNRS,即×2m ×=×(2m)2,解得:m=1.第21页(共21页)。
广东省东莞市莞城区三校联考2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题(wd无答案)
广东省东莞市莞城区三校联考2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题(★) 1. 若关于x的方程ax 2+3x+1=0是一元二次方程,则a满足的条件是( )A.a≤B.a0C.a≠0D.a≤(★) 2. 用配方法解方程,下列配方正确的是()A.B.C.D.(★★) 3. 若方程有实数根,则常数的值可以是()A.B.C.D.(★★★) 4. 二次函数图象向左平移6个单位,再向下平移2个单位后,所得图象的函数表达式是()A.B.C.D.(★★★) 5. 在同一坐标系中,二次函数与一次函数的图象可能是()A.B.C.D.(★★★) 6. 要组织一次排球邀请赛,参赛的每个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划7天,每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请个队参赛,则满足的关系式为()A.B.C.D.(★★) 7. 已知 x 1, x 2是一元二次方程 x 2+ x﹣3=0的两个根,则 x 1+ x 2﹣ x 1 x 2的值为()A.1B.2C.3D.4(★★★) 8. 小明在研究抛物线(为常数)时,得到如下结论,其中正确的是()A.无论取何实数,的值都小于0B.该抛物线的顶点始终在直线上C.当时,随的增大而增大,则D.该抛物线上有两点,,若,,则(★★★) 9. 已知二次函数 y= ax 2+ bx+ c自变量 x与函数值 y之间满足下列数量关系:x245y0.380.386则(a+ b+ c)(+ )值为()A.24B.36C.6D.4(★★★) 10. 二次函数 y= ax 2+ bx+ c(a≠0)的图象如图所示, c<﹣1,其对称轴为直线 x =﹣1,与 x轴的交点为( x 1,0)、( x 2,0),其中0< x 1<1,有下列结论:① abc>0;②﹣3< x 2<﹣2;③4 a﹣2 b+ c<﹣1;④ a﹣ b> am 2+ bm(m≠﹣1);其中,正确的结论个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(★★★) 11. 关于的一元二次方程有一个根是,则的值是_______.(★) 12. 一元二次方程的解为__________.(★★) 13. 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是21,则每个支干长出_____.(★★★) 14. 如图,抛物线与轴交于点,过点与轴平行的直线交抛物线于点、,则线段的长为 .(★★★) 15. 一个小球从水平面开始竖直向上发射,小球的高度 h(m)关于运动时间 t(s)的函数表达式为,其图象如图所示.若小球在发射后第2 s与第6 s时的高度相等,则小球从发射到回到水平面共需时间________(s).(★★★)16. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查发现,售价在40元至60元范围内,这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就将减少10个.为实现平均每月10000元的销售利润,则这种台灯的售价应定为________元.(★★★★) 17. 扫地机器人能够自主移动并作出反应,是因为它发射红外信号反射回接收器,机器人在打扫房间时,若碰到障碍物则发起警报.若某一房间内A、B两点之间有障碍物,现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中(如图),已知点A,B的坐标分别为(0,4),(6,4),机器人沿抛物线y=ax 2﹣4ax﹣5a运动.若机器人在运动过程中只触发一次报警,则a的取值范围是_____.三、解答题(★★) 18. 解方程:(1)(2)(★★★) 19. 如图,二次函数 y=( x-2) 2+ m的图象与 y轴交于点 C,点 B是点 C关于该二次函数图象的对称轴对称的点,已知一次函数 y= kx+ b的图象上的点 A(1,0)及 B .(1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)根据图象,写出满足 kx+ b ( x-2)2+ m的 x的取值范围.(★★★) 20. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间,前六天的总营业额为450万元,第七天的营业额是前六天总营业额的12%.(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额;(2)去年,该商店7月份的营业额为350万元,8、9月份营业额的月增长率相同,“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等.求该商店去年8、9月份营业额的月增长率.(★★★) 21. 小张准备进行如下实验操作:把一根长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于13cm 2则这两个正方形的边长是多少?(2)小张认为,这两个正方形的面积之和不可能等于11cm 2你认为他的说法正确吗?请说明理由.(★★★) 22. 已知关于的一元二次方程,其中、、分别为三边的长.如果是方程的根,试判断的形状,并说明理由;如果是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.(★★★) 23. 已知,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为,点的坐标为(1)求抛物线过点时顶点的坐标(2)点的坐标记为,求与的函数表达式;(3)已知点的坐标为,当取何值时,抛物线与线段只有一个交点(★★★) 24. 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.(★★★★) 25. 二次函数的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点C,顶点为E.(1)求这个二次函数的表达式,并写出点E的坐标;(2)如图①,D是该二次函数图象的对称轴上一个动点,当BD的垂直平分线恰好经过点C时,求点D的坐标;(3)如图②,P是该二次函数图象上的一个动点,连接OP,取OP中点Q,连接QC,QE,CE,当△CEQ的面积为12时,求点P的坐标.。
辽宁省鞍山市铁东区华育外国语实验学校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)
2022-2023学年辽宁省鞍山市铁东区华育外国语实验学校九年级(上)第一次月考数学试卷考试注意事项:1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律,并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理;2、监考教师发卷后,在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息;考试中途考生不准以任何理由离开考场;3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ,不准用规定以外的笔答卷,不准在答卷上作任何标记。
考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题(每题3分,共24分)1.如图是四款新能源汽车的标志,其中是中心对称图形的是()A.B.C.D.2.下列各式中,y是x的二次函数的是()A.y=3x B.y=x2+(3﹣x)xC.y=(x﹣1)2D.y=ax2+bx+c3.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,BD=3,DE=6,则BC的长为()A.10B.15C.18D.164.把方程3x2+x=2(x﹣2)化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为()A.3,1,4B.3,﹣1,4C.3,﹣1,﹣4D.3,4,﹣1 5.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是()A.B.C.D.6.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,设每个支干长出x个小分支,则下列方程中正确的是()A.1+x2=91B.(1+x)2=91C.1+x+x2=91D.1+(1+x)+(1+x)2=917.如图,已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合,若点A的对应点是点C,则这个旋转中心的坐标为()A.(5,2)B.(1,5)C.(4,2)D.(1,5)或(4,2)8.在同一直角坐标系中,当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是()A.B.C.D.二、填空题(每题3分,共24分)9.在平面直角坐标系中,点A(﹣2,1)与点B关于原点对称,则点B的坐标为.10.若一元二次方程x2﹣4x﹣2=0的两个实数根为m,n,则的值为.11.已知点A(﹣3,y1)、B(﹣1,y2)、C(2,y3)在抛物线y=﹣2x2,则y1,y2,y3的大小关系是(用“<”连接).12.如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,若AE=1,=.13.如果关于x的一元二次方程(x﹣3)(mx﹣n)=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的3倍,则的值为.14.如图,在平面直角坐标系xOy中,三角板的直角顶点P的坐标为(2,2),一条直角边与x轴的正半轴交于点A,另一直角边与y轴交于点B,三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中,当△POA为等腰三角形时,则点B的坐标是.15.关于抛物线y=﹣x2,给出下列说法:①物线开口向下,顶点是原点;②当x>1时,y随x的增大而减小;③当﹣1<x<2时,﹣4<y<﹣1;④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点,则m+n=0.其中正确的说法有.16.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E为边BC中点,连接DE交AC于点F,把线段DF绕点D顺时针旋转90°得DG,连接AG、FG,点M为线段FG的中点,连接AM、OM、BG,下列结论正确的有.①FA2+FC2=FG2②AM=BG③=④三、解答题:(17题8分,18题8分,19题一-24题各10分,25题12分,26题14分)17.(8分)解下列方程:(1)2x2+8x+3=0(配方法);(2)3t2﹣t﹣3=0.18.(8分)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中每个小正方形的边长为1个单位长度,按要求作图:(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1.(2)画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2.19.如图,AD、BC相交于点P,连接AC、BD,且∠1=∠2,AC=3,CP=2,DP=1,求BD的长.20.关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围.(2)若方程两实根x1,x2满足|x1|+|x2|=x1•x2,求k的值.21.如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE,垂足为F.(1)求证:△ABE∽△DFA;(2)若AB=9,BC=6,求EF的长.22.一块长30cm,宽12cm的矩形铁皮.(1)如图1,在铁皮的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒,如果设切去的正方形的边长为xcm,则可列方程为.(2)由于实际需要,计划制作一个有盖的长方体盒子,为了合理使用材料,某学生设计了如图2的裁剪方案,空白部分为裁剪下来的边角料,其中左侧两个空白部分为正方形,问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子(盒盖与盒底的大小形状完全相同)?如果能,请你求出裁去的左侧正方形的边长;如果不能,请说明理由.23.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是斜边AC的中点,连接DB,线段AE⊥线段BD交BC于点E,交DB于点G,垂足为点G.(1)求证:EB2=EG•EA;(2)联结CG,若∠CGE=∠DBC,求证:BE=CE.24.“南国梨”素有“梨中之王”美称,主产于中国辽宁省的鞍山,某南国梨种植基地2020年种植64亩,到2022年的种植面积达到100亩.(1)求该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率.(2)某超市调查发现,当“南国梨”的售价为8元/千克时,每周能售出400千克,售价每千克上涨0.5元,每周销售量减少10千克,已知该超市“南国梨”的进价为6元/千克,为了维护消费者利益,物价部门规定,该水果售价不能超过17元/千克.若使销售“南国梨”每周获利2400元,则售价应多少元/千克?25.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,E是线段BC上一动点(不与B、C重合),连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转与∠BAC相等的角度,得到线段AF,连接EF,点M和点N分别是边BC,EF的中点.(1)如图1,若∠BAC=120°,当点E是BC边的中点时,=,直线BE与MN相交所成的锐角的度数为度.(2)如图2,若∠BAC=120°,当点E是BC边上任意一点时(不与BC重合),上述两个结论是否成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.(3)若∠BAC=60°,AB=6,点E在直线BC上运动,=,若其它条件不变,过点C作CP∥MN,交直线EF于P,直接写出P到BC的距离.26.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+3与x轴,y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2经过AB的中点D.(1)直接写出抛物线解析式;(2)如图1,在直线AB上方,y轴右侧的抛物线上是否存在一点M,使S△ABM=,若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图2,点C是OB中点,连接CD,点P是线段AB上的动点,将△BCP沿CP翻折,使点B落在点B'处,当PB'平行于x轴时,请直接写出BP的长.参考答案一、选择题(每题3分,共24分)1.如图是四款新能源汽车的标志,其中是中心对称图形的是()A.B.C.D.【分析】根据中心对称图形的概念,把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,进行判断即可.解:A.是中心对称图形,故此选项符合题意;B.不是中心对称图形,故此选项不合题意;C.不是中心对称图形,故此选项不合题意;D.不是中心对称图形,故此选项不合题意;故选:A.【点评】本题考查的是中心对称图形的概念,正确掌握相关定义是解题关键.2.下列各式中,y是x的二次函数的是()A.y=3x B.y=x2+(3﹣x)xC.y=(x﹣1)2D.y=ax2+bx+c【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可.解:A.y是x的一次函数,不是二次函数,故本选项不符合题意;B.y=x2+(3﹣x)x=x2+3x﹣x2=3x,y是x的一次函数,不是二次函数,故本选项不符合题意;C.y是x的二次函数,故本选项符合题意;D.当a=0时,y不是x的二次函数,故本选项不符合题意;故选:C.【点评】本题考查了二次函数的定义,能熟记二次函数的定义是解此题的关键,注意:形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫二次函数.3.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,BD=3,DE=6,则BC的长为()A.10B.15C.18D.16【分析】通过证明△ADE∽△ABC,可得,即可求解.解:∵AD=2,BD=3,∴AB=5,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,∴,∴BC=15,故选:B.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,证明三角形相似是解题的关键.4.把方程3x2+x=2(x﹣2)化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为()A.3,1,4B.3,﹣1,4C.3,﹣1,﹣4D.3,4,﹣1【分析】将原方程转化为一般形式,进而可得出a,b,c的值.解:将原方程转化为一般形式为3x2﹣x+4=0,∴a=3,b=﹣1,c=4.故选:B.【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式,熟练掌握将给定一元二次方程转化为一般形式的方法是解题的关键.5.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是()A.B.C.D.【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可.解:A.∵AB∥CD∥EF,∴=≠,故本选项不符合题意;B.∵AB∥CD∥EF,∴=,故本选项不符合题意;C.∵AB∥CD∥EF,∴=,故本选项不符合题意;D.∵AB∥CD∥EF,∴=,故本选项符合题意;故选:D.【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理,能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键.6.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,设每个支干长出x个小分支,则下列方程中正确的是()A.1+x2=91B.(1+x)2=91C.1+x+x2=91D.1+(1+x)+(1+x)2=91【分析】根据题意,可以列出相应的方程:主干+支干+小分支=91,进而得出答案.解:由题意可得,1+x+x•x=1+x+x2=91.故选:C.【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程.7.如图,已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合,若点A的对应点是点C,则这个旋转中心的坐标为()A.(5,2)B.(1,5)C.(4,2)D.(1,5)或(4,2)【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心.解:观察图象可知,旋转中心P的坐标为(4,2).故选:C.【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转,解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心.8.在同一直角坐标系中,当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是()A.B.C.D.【分析】根据ab>0,可以得到a>0,b>0或a<0,b<0,然后分类讨论y=ax2与y=ax+b的图象所在的象限,本题得以解决.解:∵ab>0,∴a>0,b>0或a<0,b<0,当a>0,b>0时,函数y=ax2的图象开口向上,顶点在原点,函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限,故选项A、B错误,不符合题意;当a<0,b<0时,函数y=ax2的图象开口向下,顶点在原点,函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,故选项C错误,不符合题意,选项D正确,符合题意;故选:D.【点评】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和二次函数的性质解答.二、填空题(每题3分,共24分)9.在平面直角坐标系中,点A(﹣2,1)与点B关于原点对称,则点B的坐标为(2,﹣1).【分析】关于原点的对称点,横纵坐标都变成原来相反数,据此求出点B的坐标.解:在平面直角坐标系中,点A(﹣2,1)与点B关于原点对称,则点B的坐标为(2,﹣1).故答案为:(2,﹣1).【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点:两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(﹣x,﹣y).10.若一元二次方程x2﹣4x﹣2=0的两个实数根为m,n,则的值为﹣2.【分析】先根据根与系数的关系得到m+n=4,mn=﹣2,然后利用整体代入的方法计算.解:根据题意得m+n=4,mn=﹣2,所以原式==﹣2.故答案为﹣2.【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=.11.已知点A(﹣3,y1)、B(﹣1,y2)、C(2,y3)在抛物线y=﹣2x2,则y1,y2,y3的大小关系是y1<y3<y2(用“<”连接).【分析】先分别计算出自变量为﹣3、﹣1和2所对应的函数值,然后比较函数值的大小即可.解:当x=﹣3时,y1=﹣2x2=﹣18;当x=﹣1时,y2=﹣2x2=﹣2;当x=2时,y3=﹣2x2=﹣8,所以y1<y3<y2.故答案为:y1<y3<y2.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式.12.如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,若AE=1,=.【分析】由矩形的性质得出∠ABC=90°,AD∥BC,利用勾股定理求出BC=4,利用相似三角形的性质,即可求出结果.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AD∥BC,∵AB=3,AC=5,∴BC==4,∵AD∥BC,∴∠EAF=∠BCF,∠AEF=∠CBF,∴△EAF∽△BCF,∴=,故答案为:.【点评】本题考查了矩形的性质,相似三角形的判定与性质,掌握矩形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.13.如果关于x的一元二次方程(x﹣3)(mx﹣n)=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的3倍,则的值为2或18.【分析】利用一元二次方程的定义及因式分解法解一元二次方程,可求出方程的两根,结合其中一个根为另一个根的3倍,即可求出的值.解:∵关于x的一元二次方程(x﹣3)(mx﹣n)=0有两个实数根,∴m≠0,且原方程的解为x1=3,x2=.当3是的3倍时,3=3×,∴=1,∴=2;当是3的3倍时,=3×3,∴=2×3×3=18.∴的值为2或18.故答案为:2或18.【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及一元二次方程的定义,利用因式分解法求出原方程的两个根是解题的关键.14.如图,在平面直角坐标系xOy中,三角板的直角顶点P的坐标为(2,2),一条直角边与x轴的正半轴交于点A,另一直角边与y轴交于点B,三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中,当△POA为等腰三角形时,则点B的坐标是(0,2)或(0,0)或(0,4﹣2).【分析】分三种情况:①当OA=AP时,由已知可得B(0,2);②当AP=OP时,B 与O重合,即B(0,0);③当OP=OA=2时,过P作PM⊥x轴于M,作PN⊥y 轴于N,证明△PNB≌△PMA(ASA),可得BN=AM=2﹣2,即有OB=NO﹣BN=4﹣2,故B(0,4﹣2).解:①当OA=AP时,如图:∵P的坐标为(2,2),∴此时A(2,0),∵∠APB=90°,∴B(0,2);②当AP=OP时,如图:∵P的坐标为(2,2),∴∠POA=∠PAO=45°,∴∠P=90°,∴此时B与O重合,即B(0,0);③当OP=OA=2时,过P作PM⊥x轴于M,作PN⊥y轴于N,如图:∵∠APB=90°,∴∠NPB=90°﹣∠BPM=∠MPA,∵NP=MP=2,∠PNB=∠PMA,∴△PNB≌△PMA(ASA),∴BN=AM=2﹣2,∴OB=NO﹣BN=2﹣(2﹣2)=4﹣2,∴B(0,4﹣2),综上所述,点B的坐标是(0,2)或(0,0)或(0,4﹣2).【点评】本题考查平面直角坐标系中的旋转,解题的关键是分类画出图形,讨论得到答案.15.关于抛物线y=﹣x2,给出下列说法:①物线开口向下,顶点是原点;②当x>1时,y随x的增大而减小;③当﹣1<x<2时,﹣4<y<﹣1;④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点,则m+n=0.其中正确的说法有①②④.【分析】由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标,进一步可得出其增减性,可得出答案.解:∵y=﹣x2,∴①抛物线开口向下,顶点是原点,故①正确;②抛物线开口向下,对称轴为x=0,当x>1时,y随x的增大而减小,故②正确;③当﹣1<x<2时,﹣4<y≤0,故③错误;④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点,可知这两点关于y轴对称,所以m+n=0,故④正确.所以正确的有①②④,故答案为:①②④.【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y =a(x﹣h)2+k中,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k).16.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E为边BC中点,连接DE交AC于点F,把线段DF绕点D顺时针旋转90°得DG,连接AG、FG,点M为线段FG的中点,连接AM、OM、BG,下列结论正确的有①③④.①FA2+FC2=FG2②AM=BG③=④【分析】由四边形ABCD是正方形,得AD=CD,∠ADC=∠BCD=90°,则∠DCA=∠DAC=45°,由旋转得DG=DF,∠GDF=90°,则∠ADG=∠CDF,即可证明△ADG≌△CDF,得AG=CF,∠DAG=∠DCF=45°,则∠FAG=90°,所以FA2+FC2=FA2+AG2=FG2,可判断①正确;作GI⊥AB交BA的延长线于点I,设AB=AD=BC=DC=2m,则BE=CE=BC=m,由勾股定理得DE=m,AC=2m,则OC=OD=OA=m,再证明△CEF∽△ADF,得===,则AG=CF=AC=m,DF=DE=m,FG=DF =m,再求得BG=m,由∠FAG=90°,点M为线段FG的中点,得AM =FM=GM=FG,可知AM≠BG,可判断②错误;因为OF=m﹣m=m,所以=,可判断③正确;连接DM,作MH⊥OA于点H,则DM=AM=FG,再证明△OMD≌△OMA,得∠DOM=∠AOM=∠AOD=45°,根据三角形的中位线定理求得HM=AG=m,则OM =HM=m,所以=,可判断④正确,于是得到问题的答案.解:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADC=∠BCD=90°,∴∠DCA=∠DAC=45°,由旋转得DG=DF,∠GDF=90°,∴∠ADG=∠CDF=90°﹣∠ADE,∴△ADG≌△CDF(SAS),∴AG=CF,∠DAG=∠DCF=45°,∴∠FAG=90°,∴FA2+AG2=FG2,∴FA2+FC2=FG2,故①正确;作GI⊥AB交BA的延长线于点I,设AB=AD=BC=DC=2m,∵点E为边BC中点,∴BE=CE=BC=m,∴DE==m,AC==2m,∵OC=OA=AC=m,OD=OB=BD,且AC=BD,∴OC=OD=OA=m,∵CE∥AD,∴△CEF∽△ADF,∴====,∴AG=CF=AC=m,DF=DE=m,∴FG===DF=×m=m,∵∠I=90°,∠IAG=90°﹣∠DAG=45°,∴∠IGA=∠IAG=45°,∴AI=GI,∴2AI2=2GI2=AI2+GI2=AG2=(m)2=m2,∴AI=GI=m,∴BG==m,∴FG≠BG,∵∠FAG=90°,点M为线段FG的中点,∴AM=FM=GM=FG,∴AM≠BG,故②错误;∵OF=m﹣m=m,∴==,故③正确;连接DM,作MH⊥OA于点H,则DM=AM=FG,∵AD⊥BD,∴∠AOD=90°,∵OD=OA,DM=AM,OM=OM,∴△OMD≌△OMA(SSS),∴∠DOM=∠AOM=∠AOD=45°,∵∠FHM=∠FAG=90°,∴HM∥AG,∴==1,∴FH=AH,∴HM=AG=×m=m,∵∠HMO=∠HOM=45°,∴HO=HM,∴OM===HM=×m=m,∴==,故④正确,故答案为:①③④.【点评】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识,此题综合性强,难度较大,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.三、解答题:(17题8分,18题8分,19题一-24题各10分,25题12分,26题14分)17.(8分)解下列方程:(1)2x2+8x+3=0(配方法);(2)3t2﹣t﹣3=0.【分析】(1)利用解一元二次方程﹣配方法,进行计算即可解答;(2)利用解一元二次方程﹣公式法,进行计算即可解答.解:(1)2x2+8x+3=0,x2+4x+=0,x2+4x=﹣,x2+4x+4=﹣+4,(x+2)2=,x+2=±,x+2=或x+2=﹣,x1=﹣2,x2=﹣﹣2;(2)3t2﹣t﹣3=0,∵Δ=(﹣)2﹣4×3×(﹣3)=2+36=38>0,∴t=,∴t1=,t2=.【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法,配方法,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.18.(8分)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中每个小正方形的边长为1个单位长度,按要求作图:(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1.(2)画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2.【分析】(1)根据中心对称的性质作图即可.(2)根据旋转的性质作图即可.解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.(2)如图,△A2B2C2即为所求.【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称,熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键.19.如图,AD、BC相交于点P,连接AC、BD,且∠1=∠2,AC=3,CP=2,DP=1,求BD的长.【分析】先由∠1=∠2,∠APC=∠BPD,证明△APC∽△BPD,然后列比例式求出BD 的长.解:∵∠1=∠2,∠APC=∠BPD,∴△APC∽△BPD,∴=,BD===,∴BD的长为.【点评】此题考查相似三角形的判定与性质,难度不大,是很好的练习题.20.关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围.(2)若方程两实根x1,x2满足|x1|+|x2|=x1•x2,求k的值.【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可得Δ=(2k+1)2﹣4(k2+1)=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3>0,求出k的取值范围;(2)首先判断出两根均小于0,然后去掉绝对值,进而得到2k+1=k2+1,结合k的取值范围解方程即可.解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ=(2k+1)2﹣4(k2+1)=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3>0,解得:k>;(2)∵k>,∴x1+x2=﹣(2k+1)<0,又∵x1•x2=k2+1>0,∴x1<0,x2<0,∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣(x1+x2)=2k+1,∵|x1|+|x2|=x1•x2,∴2k+1=k2+1,∴k1=0,k2=2,又∵k>,∴k=2.【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用,(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)Δ<0⇔方程没有实数根;(4)x1+x2=﹣;(5)x1•x2=.21.如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE,垂足为F.(1)求证:△ABE∽△DFA;(2)若AB=9,BC=6,求EF的长.【分析】(1)由矩形性质得AD∥BC,进而由平行线的性质得∠AEB=∠DAF,再根据两角对应相等的两个三角形相似;(2)由E是BC的中点,求得BE,再由勾股定理求得AE,再由相似求AF,即可求EF.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠B=90°,∴∠DAF=∠AEB,∵DF⊥AE,∴∠AFD=∠B=90°,∴△ABE∽△DFA;(2)解:∵E是BC的中点,BC=6,∴BE=3,∵AB=9,∴AE==3,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=4,∵△ABE∽△DFA,∴=,=,AF=,∴EF=AE﹣AF=.【点评】本题主要考查了矩形的性质,相似三角形的性质与判定,勾股定理,关键是证明三角形相似.22.一块长30cm,宽12cm的矩形铁皮.(1)如图1,在铁皮的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒,如果设切去的正方形的边长为xcm,则可列方程为(30﹣2x)(12﹣2x)=144;.(2)由于实际需要,计划制作一个有盖的长方体盒子,为了合理使用材料,某学生设计了如图2的裁剪方案,空白部分为裁剪下来的边角料,其中左侧两个空白部分为正方形,问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子(盒盖与盒底的大小形状完全相同)?如果能,请你求出裁去的左侧正方形的边长;如果不能,请说明理由.【分析】(1)设切去的正方形的边长为xcm,则折成的方盒的底面为长(30﹣2x)cm,宽为(12﹣2x)cm的矩形,根据矩形的面积公式,即可得出关于x的一元二次方程,此问得解;(2)设切去的正方形的边长为ycm,则折成的长方体盒子的底面为长(﹣y)cm,宽为(12﹣2y)cm的矩形,根据矩形的面积公式,即可得出关于y的一元二次方程,解之取其较小值即可.解:(1)设切去的正方形的边长为xcm,则折成的方盒的底面为长(30﹣2x)cm,宽为(12﹣2x)cm的矩形,依题意,得:(30﹣2x)(12﹣2x)=144.故答案为:(30﹣2x)(12﹣2x)=144;(2)设切去的正方形的边长为ycm,则折成的长方体盒子的底面为长(﹣y)cm,宽为(12﹣2y)cm的矩形,依题意,得:(﹣y)(12﹣2y)=104,整理,得:y2﹣21y+38=0,解得:y1=2,y2=19(不合题意,舍去),∴y=2.答:能折出底面积为104cm2的有盖盒子,正方形的边长为2cm.【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.23.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是斜边AC的中点,连接DB,线段AE⊥线段BD交BC于点E,交DB于点G,垂足为点G.(1)求证:EB2=EG•EA;(2)联结CG,若∠CGE=∠DBC,求证:BE=CE.【分析】(1)根据相似三角形的判定与性质可得结论;(2)由直角三角形的性质得BD=AC=CD,再由相似三角形的判定与性质可得EC2=GE•EA,结合(1)的结论可得答案.【解答】证明:(1)∵AE⊥BD,∴∠BGE=90°,∵∠ABC=90°,∴∠BGE=∠ABE,∵∠BEG=∠AEB,∴△ABE∽△BGE,∴=,即EB2=EG•EA;(2)在Rt△ABC中,点D是斜边AC的中点,∴BD=AC=CD,∴∠DBC=∠DCB,∵∠CGE=∠GEC,∴∠CGE=∠DCB,∵∠GEC=∠GEC,∴△GEC∽△CEA,∴=,∴EC2=GE•EA,由(1)知EB2=EG•EA,∴EC2=EB2,∴BE=CE.【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质,掌握相似三角形的判定与性质是解决此题关键.24.“南国梨”素有“梨中之王”美称,主产于中国辽宁省的鞍山,某南国梨种植基地2020年种植64亩,到2022年的种植面积达到100亩.(1)求该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率.(2)某超市调查发现,当“南国梨”的售价为8元/千克时,每周能售出400千克,售价每千克上涨0.5元,每周销售量减少10千克,已知该超市“南国梨”的进价为6元/千克,为了维护消费者利益,物价部门规定,该水果售价不能超过17元/千克.若使销售“南国梨”每周获利2400元,则售价应多少元/千克?【分析】(1)设该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为x,利用该南国梨种植基地2022年种植面积=该南国梨种植基地2020年种植面积×(1+该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率)2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;(2)设售价为y元/千克,则每千克的销售利润为(y﹣6)元,每周能售出(560﹣20y)千克,利用总利润=每千克的销售利润×每周的销售量,即可得出关于y的一元二次方程,解之取其符合题意的值即可得出结论.解:(1)设该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为x,依题意得:64(1+x)2=100,解得:x1=0.25=25%,x2=﹣2.25(不符合题意,舍去).答:该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为25%.(2)设售价为y元/千克,则每千克的销售利润为(y﹣6)元,每周能售出400﹣10×=(560﹣20y)千克,依题意得:(y﹣6)(560﹣20y)=2400,整理得:y2﹣34y+288=0,解得:y1=16,y2=18(不符合题意,舍去).答:售价应为16元/千克.【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.25.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,E是线段BC上一动点(不与B、C重合),连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转与∠BAC相等的角度,得到线段AF,连接EF,点M和点N分别是边BC,EF的中点.(1)如图1,若∠BAC=120°,当点E是BC边的中点时,=,直线BE与MN相交所成的锐角的度数为60度.(2)如图2,若∠BAC=120°,当点E是BC边上任意一点时(不与BC重合),上述两个结论是否成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.(3)若∠BAC=60°,AB=6,点E在直线BC上运动,=,若其它条件不变,过点C作CP∥MN,交直线EF于P,直接写出P到BC的距离2.【分析】(1)证明AC⊥EF,利用直角三角形30度角的性质证明即可;(2)结论成立.如图2中,连接AM,AN.证明△BAE∽△MAN,推出∠B=∠AMN=30°,==2,可得结论;(3)如图3中,连接AM,AN,过点P作PH⊥BC于点H.证明△BAE∽△MAN,推出==,∠AMN=∠ABE=60°,利用平行线分线段成比例定理求出PC,可得结论.解:(1)如图1中,∵AB=AC,BM=CM,∴AM⊥CB,∠BAM=∠CAM=∠BAC=60°,∵∠EAF=∠BAC=120°,∴∠CAE=∠CAF=60°,∵AE=AF,∴AC⊥EF,EN=FN,∵∠C=∠B=30°,∴EC=2MN,∠FEC=60°∴BE=2MN,直线BE与MN相交所成的锐角的度数为60°.故答案为:,60;(2)结论成立.理由:如图2中,连接AM,AN.∵AB=AC,BM=CM,∴AM⊥CM,∵∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAM=60°,∴AB=2AM,同法可证AE=2AN,∠EAN=60°,∴∠BAM=∠EAN=60°,∴∠BAE=∠MAN,∵==2,∴△BAE∽△MAN,∴∠B=∠AMN=30°,==2,∴=,∠NMC=60°,∴直线BE与MN相交所成的锐角的度数为60°;(3)如图3中,连接AM,AN,过点P作PH⊥BC于点H.∵△ABC,△AEF都是等边三角形,BM=CM,EN=FN,∴AM⊥BC,AN⊥EF,∴==,∵∠BAM=∠EAN=30°,∴∠BAE=∠MAN,∴△BAE∽△MAN,∴==,∠AMN=∠ABE=60°,∵∠AMC=90°,∴∠NMC=30°,∵AB=6,BE:EC=1:2,∴BE=2,EC=4,∵BM=CM=3,∴EM=1,∴MN=,∵MN∥CP,∴=,∠PCH=∠NMC=30°,∴=,∴CP=4,∴PH=PC=2,∴点P到BC的距离为2.故答案为:2.【点评】本题属于几何变换综合题,考查了等腰三角形的性质,等边三角形的性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于思考常考题型.26.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+3与x轴,y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2经过AB的中点D.(1)直接写出抛物线解析式;(2)如图1,在直线AB上方,y轴右侧的抛物线上是否存在一点M,使S△ABM=,若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图2,点C是OB中点,连接CD,点P是线段AB上的动点,将△BCP沿CP翻折,使点B落在点B'处,当PB'平行于x轴时,请直接写出BP的长.【分析】(1)根据题意可得B(0,3),A(4,0),根据抛物线y=ax2经过AB的中点D,可得D(2,),进而可得抛物线解析式;(2)过点M作MN∥y轴交AB于点N,设M(m,m2),则N(m,﹣m+3),所以MN=m2+m﹣3,根据S△ABM=S△BMN+S△AMN=MN•OA=,列出方程求解即可解决问题;(3)根据点P是线段AB上的动点,将△BCP沿CP翻折,使点B落在点B'处,当PB'平行于x轴时,设PB′交y轴于点E,设P(x,﹣x+3),则EP=x,OE=﹣x+3,可得BE=x,根据勾股定理可得PB=x,然后根据翻折可得CB′=CB=,PB=PB′=x,根据勾股定理求出x的值,进而可以解决问题.解:(1)∵直线y=﹣x+3与x轴,y轴分别相交于A、B两点,令x=0,则y=3,∴B(0,3),令y=0,则x=4,∴A(4,0),∵抛物线y=ax2经过AB的中点D,∴D(2,),将D(2,)代入抛物线y=ax2,得a=,∴抛物线解析式为y=x2;(2)如图1,在直线AB上方,y轴右侧的抛物线上存在一点M,使S△ABM=,理由如下:过点M作MN∥y轴交AB于点N,设M(m,m2),则N(m,﹣m+3),∴MN=m2﹣(﹣m+3)=m2+m﹣3,∵S△ABM=,∴S△ABM=S△BMN+S△AMN=MN•OA=,∴(m2+m﹣3)×4=,整理得m2+2m﹣15=0,解得m1=3,m2=﹣5(舍去),∴M点坐标为(3,);(3)如图,点P是线段AB上的动点,将△BCP沿CP翻折,使点B落在点B'处,当PB'平行于x轴时,设PB′交y轴于点E,∵B(0,3),∴OB=3,设P(x,﹣x+3),则EP=x,OE=﹣x+3,∴BE=OB﹣OE=3﹣(﹣x+3)=x,∵点C是OB中点,∴OC=BC=,∴PB2=BE2+PE2=(x)2+x2=x2,∴PB=x(负值舍去),根据翻折可知:CB′=CB=,PB=PB′=x,在Rt△CB′E中,CE=OC﹣OE=﹣(﹣x+3)=x﹣,B′E=PB′﹣PE=x﹣x=x,根据勾股定理得:CE2+B′E2=CB′2,∴(x﹣)2+(x)2=()2,整理得x2﹣x=0,解得x1=,x2=0(舍去),∴PB=x=×=,答:BP的长为.【点评】本题属于二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式,坐标系中图形的面积计算方法,轴对称的性质,勾股定理,一元二次方程,解本题的关键是判断出CD平行于x轴.。
吉林省长春市东北师大附中实验学校2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学试卷解析版
吉林省长春市东北师大附中实验学校2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学试卷一、选择题(每小题3分,共24分)1.(3分)若关于x的方程是ax2﹣3x+2=0是一元二次方程,则()A.a>0B.a≥0C.a=1D.a≠02.(3分)方程x(x+2)=0的根是()A.x=2B.x=0C.x1=0,x2=﹣2D.x1=0,x2=23.(3分)用配方法解方程x2+6x﹣1=0,配方后的方程是()A.(x+3)2=10B.(x﹣3)2=10C.(x+3)2=8D.(x﹣3)2=84.(3分)抛物线y=x2﹣2x+5的对称轴是()A.直线x=2B.直线x=﹣1C.直线x=﹣2D.直线x=15.(3分)抛物线y=2x2向右平移2个单位,再向下平移1个单位,所得到的抛物线是()A.y=2(x﹣2)2+1B.y=2(x﹣1)2﹣2C.y=2(x+2)2﹣1D.y=2(x﹣2)2﹣16.(3分)已知点A(﹣2,a),B(,b),C(,c)都在二次函数y=﹣x2+2x+3的图象上,那么a、b、c的大小是()A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<b<a7.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为()A.B.C .D .8.(3分)如图,已知矩形ABCD 的长AB 为5,宽BC 为4,E 是BC 边上的一个动点,AE ⊥EF ,EF 交CD 于点F .设BE =x ,FC =y ,则点E 从点B 运动到点C 时,能表示y 关于x 的函数关系的大致图象是( )A .B .C .D .二、填空题(每小题3分,共18分)9.(3分)若抛物线y =(2﹣a )x 2+3x ﹣2有最大值,则a 的取值范围是 .10.(3分)抛物线y =2(x ﹣1)2+8的顶点坐标是 .11.(3分)二次函数y =2x 2+mx +8的图象顶点在x 轴上,则m 的值是 .12.(3分)赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数关系式为y=﹣,当水面离桥拱顶的高度DO 是4米时,这时水面宽度AB 为 米.13.(3分)若二次函数y =ax 2+bx +c (a <0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为x =﹣1,则使函数值y >0成立的x 的取值范围是 .14.(3分)如图,菱形ABCD 的三个顶点在二次函数y =ax 2﹣2ax +(a <0)的图象上,点A 、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点,则点D的坐标为.三、解答题:(本大题共10小题,共78分)15.(6分)解方程:2x2﹣3x﹣1=0.16.(6分)某地2016年为做好“精准扶贫”,投入资金1280万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2018年投入资金2880万元,则从2016年到2018年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?17.(6分)如图,已知二次函数的顶点为(2,﹣1),且图象经过A(0,3),图象与x轴交于B、C两点.(1)求该函数的解析式;(2)连结AB、AC,求△ABC面积.18.(7分)某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内,柱高为1m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图(1)所示.根据设计图纸已知:在图(2)中所示直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=﹣x2+2x+1.(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他因素,那么水池的半径至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内?19.(7分)长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程,大桥建筑类型为斜拉式高架桥,小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°,拉索AB的长AB=152米,主塔处桥面距地面CD=7.9米,试求出主塔高BD的长.(结果精确到0.1米,参考数据:sin31°=0.52,cos31°=0.86,tan31°=0.60)20.(7分)如图,抛物线y=ax2﹣x﹣与x轴正半轴交于点A(3,0),以OA为边在x轴上方作正方形OABC,延长CB交抛物线于点D,再以BD为边向上作正方形BDEF.(1)求a的值;(2)求点F的坐标.21.(8分)甲、乙两名学生在同一小区居住,一天早晨,甲、乙两人同时从家出发去同一所学校上学.甲骑自行车匀速行驶.乙步行到公交站恰好乘上一辆公交车,公交车沿公路匀速行驶,公交车的速度分别是甲骑自行车速度和乙步行速度的2倍和5倍,下车后跑步赶到学校,两人同时到达学校(上、下车时间忽略不计).两人各自距家的路程y(m)与所用的时间x(min)之间的函数图象如图所示.(1)求a、b的值;(2)当乙学生乘公交车时,求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);(3)如果乙学生到学校与甲学生相差1分钟,直接写出他跑步的速度.22.(9分)一名在校大学生利用“互联网+”自主创业,销售一种产品,这种产品的成本价10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件,市场调查发现,该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?23.(10分)如图,在等腰三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2cm,点M(不与A、B重合)从点A出发沿AB方向以cm/s的速度向终点B运动.在运动过程中,过点M作MN⊥AB,交射线BC于点N,以线段MN为直角边作等腰直角三角形MNQ,且∠MNQ=90°(点B、Q位于MN两侧).设△MNQ与△ABC重叠部分图形面积为S(cm2),点M的运动时间为t(s).(1)用含t的代数式表示线段MN的长,MN=.(2)当点N与点C重合时,t=.(3)求S与t之间的函数关系式.24.(12分)如图,已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3,且与x轴相交于A、B两点(B 点在A点的右侧),与y轴交于C点.(1)A点的坐标是;B点坐标是;(2)直线BC的解析式是:;(3)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点(不与B、C重合),是否存在点P,使△PBC的面积最大.若存在,请求出△PBC的最大面积,若不存在,试说明理由;(4)若点M在x轴上,点N在抛物线上,以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点M点坐标.参考答案与试题解析一、选择题(每小题3分,共24分)1.解:由x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程,得a≠0.故选:D.2.解:x(x+2)=0,⇒x=0或x+2=0,解得x1=0,x2=﹣2.故选:C.3.解:x2+6x﹣1=0,移项得x2+6x=1,方程两边同加上9得x2+6x+9=10,配方得(x+3)2=10,故选:A.4.解:∵抛物线y=x2﹣2x+5=(x﹣1)2+4,∴该抛物线的对称轴是直线x=1,故选:D.5.解:由“左加右减”的原则可知,抛物线y=2x2向右平移2个单位所得抛物线是y=2(x﹣2)2;由“上加下减”的原则可知,抛物线y=2(x﹣2)2向下平移1个单位所得抛物线是y=2(x﹣2)2﹣1.故选:D.6.解:当x=﹣2时,a=﹣x2+2x+3=﹣(﹣2)2+2×(﹣2)+3=﹣5;当x=时,b=﹣x2+2x+3=﹣()2+2×+3=;当x=时,c=﹣x2+2x+3=﹣()2+2×+3=﹣;所以a<c<b.故选:C.7.解:∵二次函数图象开口方向向上,∴a>0,∵对称轴为直线x=﹣>0,∴b<0,∵与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴y=ax+b的图象经过第一三象限,且与y轴的负半轴相交,反比例函数y=图象在第一三象限,只有B选项图象符合.故选:B.8.解:∵BC=4,BE=x,∴CE=4﹣x.∵AE⊥EF,∴∠AEB+∠CEF=90°,∵∠CEF+∠CFE=90°,∴∠AEB=∠CFE.又∵∠B=∠C=90°,∴Rt△AEB∽Rt△EFC,∴,即,整理得:y=(4x﹣x2)=﹣(x﹣2)2+∴y与x的函数关系式为:y=﹣(x﹣2)2+(0≤x≤4)由关系式可知,函数图象为一段抛物线,开口向下,顶点坐标为(2,),对称轴为直线x=2.故选:A.二、填空题(每小题3分,共18分)9.解:∵抛物线y=(2﹣a)x2+3x﹣2有最大值,∵2﹣a<0,∴a>2,故答案为a>2.10.解:抛物线y=2(x﹣1)2+8的顶点坐标是(1,8),故答案为:(1,8).11.解:∵二次函数y=2x2+mx+8的图象顶点在x轴上,∴=0,解得:m=±8,故答案为:±8.12.解:当y=﹣4时,﹣4=﹣,解得,x1=﹣10,x2=10,∴当水面离桥拱顶的高度DO是4米时,这时水面宽度AB为:10﹣(﹣10)=20(米),故答案为:20.13.解:如图所示:∵图象经过点(2,0),且其对称轴为x=﹣1,∴图象与x轴的另一个交点为:(﹣4,0),则使函数值y>0成立的x的取值范围是:﹣4<x<2.故答案为:﹣4<x<2.14.解:∵y=ax2﹣2ax+的对称轴是x=1,与y轴的交点坐标是(0,)∴点B的坐标是(0,)∵菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=ax2﹣2ax+(a<0)的图象上,点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点,∴点B与点D关于直线x=1对称,∴点D的坐标为(2,).故答案为:(2,).三、解答题:(本大题共10小题,共78分)15.解:2x2﹣3x﹣1=0,a=2,b=﹣3,c=﹣1,∴△=9+8=17,∴x=,x1=,x2=.16.解:设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据题意,得1280(1+x)2=2880,解得:x1=0.5,x2=﹣2.5(不合题意,应舍去),答:该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.17.解:(1)设该二次函数的解析式为y=a(x﹣h)2+k(a≠0).∵顶点为(2,﹣1),∴y=a(x﹣2)2﹣1.又∵图象经过A(0,3)∴a(0﹣2)2﹣1=3,即a=1,∴该抛物线的解析式为y=(x﹣2)2﹣1;(2)当y=0时,(x﹣2)2﹣1=0,解得x1=1,x2=3,∴C(3,0),B(1,0),∴BC=3﹣1=2,=BC•OA=×2×3=3.∴S△ABC18.解:(1)y=﹣x2+2x+1=﹣(x﹣1)2+2,∴当x=1时,y=2,最大答:最大高度是2米;(2)当y=0时,﹣(x﹣1)2+2=0,解得x1=+1,x2=﹣+1,∴B(+1,0)答:那么水池的半径至少为+1时,才能使喷出的水流都落在水池内.19.解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sin A=,∴BC=AB•sin A=152×sin31°=152×0.52=79.04,∴BD=BC+CD=79.04+7.9=86.94≈86.9(米)答:主塔BD的高约为86.9米.20.解:(1)把A(3,0)代入y=ax2﹣x﹣中,得a=;(2)∵A(3,0)∴OA=3∵四边形OABC是正方形∴OC=OA=3当y=3时,,即x2﹣2x﹣9=0解得x1=1+,x2=1﹣<0(舍去)∴CD=1+在正方形OABC中,AB=CB同理BD=BF∴AF=CD=1+∴点F的坐标为(3,1+).21.解:(1)∵甲骑自行车的速度为1000÷5=200m/min.∴公交车的速度为400m/min,乙步行的速度为80 m/min.∴a=5×80=400,b=(10﹣5)×400+400=2400;(2)当乙学生乘公交车时,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.,解得,当乙学生乘公交车时,y与x之间的函数关系式是y=400x﹣1600;(3)当乙先到达学校时,乙跑步速度为:(3000﹣2400)÷(3000÷200﹣10﹣1)=150m/min,当甲先到达学校时,乙跑步速度为:(3000﹣2400)÷(3000÷200﹣10+1)=100m/min,答:乙跑步的速度为100 m/min或150 m/min.22.解:(1)设y与x的函数解析式为y=kx+b,将(10,30)、(16,24)代入,得:,解得:,所以y与x的函数解析式为y=﹣x+40(10≤x≤16);(2)根据题意知,W=(x﹣10)y=(x﹣10)(﹣x+40)=﹣x2+50x﹣400=﹣(x﹣25)2+225,∵a=﹣1<0,∴当x<25时,W随x的增大而增大,∵10≤x≤16,∴当x=16时,W取得最大值,最大值为144,答:每件销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元.23.解:(1)如图1中,在Rt△ABC中,∵CA=CB=2cm,∠ACB=90°,∴AB=2cm,∠B=45°,∵AM=t,∴BM=2﹣t,∵MN⊥AB,∴△NMB是等腰直角三角形,∴MN=BM=2﹣t.故答案为2﹣t.(2)如图1中,作CH ⊥AB 于H ,则AH =BH ,当点N 与C 重合时,AM =AH =,∴t =, ∴t =1s 时,点N 与点C 重合.故答案为1.(3)①如图2中,当0<t ≤1时,重叠部分是△EFK .S =•EF •KM =t 2.②如图3中,当1<t ≤时,重叠部分是四边形MNFK .S =S △MNQ ﹣S △FQK =(2﹣t )2﹣•(4﹣2t ﹣t )2=﹣t 2+8t ﹣4.③如图4中,当<t <2时,重叠部分是△MNQS=(2﹣t)2=t2﹣4t+4.综上所述,S=.24.解:(1)∵抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3,∴﹣=3,解得:a=﹣,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4.当y=0时,﹣x2+x+4=0,解得:x1=﹣2,x2=8,∴点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(8,0).故答案为(﹣2,0),(8,0).(2)当x=0时,y=4,∴点C的坐标为(0,4).设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0).将B(8,0)、C(0,4)代入y=kx+b,,解得:,∴直线BC的解析式为y=﹣x+4.故答案为y=﹣x+4.(3)假设存在,设点P的坐标为(x,﹣x2+x+4),过点P作PD∥y轴,交直线BC于点D,则点D的坐标为(x,﹣x+4),如图所示.∴PD=﹣x2+x+4﹣(﹣x+4)=﹣x2+2x,=PD•OB=×8•(﹣x2+2x)=﹣x2+8x=﹣(x﹣4)2+16.∴S△PBC∵﹣1<0,∴当x=4时,△PBC的面积最大,最大面积是16.∵0<x<8,∴存在点P,使△PBC的面积最大,最大面积是16.(4)如图,当AC为平行四边形的边时,点N的纵坐标的绝对值为4,可得N1(N2)(6,4),M2(4,0),N3(3﹣,﹣4),N4(3+,﹣4),可得M3(5﹣,0),M4(5+,0),当AC为对角线时,可得M1(﹣8,0),综上所述,满足条件的点M的坐标为(﹣8,0),(4,0),(5+,0),(5﹣,0).。
2020-2021学年上海市宝山区九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市宝山区九年级上学期第一次月考数学试卷一、选择题(本大题共6小题,共18.0分)1.若点C是线段AB的中点,则CA与BA的比值是()A. 1B. 2C. 12D. 232.设ab =32,下列变形正确的是()A. ba =32B. a2=b3C. 3a=2bD. 2a=3b3.在设计人体雕像时,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,可以增加美感,按此比例,如果雕像的身高为3米,设雕像的上部为x米,根据其比例关系可得其方程应为()A. x2−9x+9=0B. x2−3x+9=0C. x2+9x−9=0D. x2−6x+9=04.下列命题中是真命题的是()A. 五边形的外角和等于360B. 如果,那么C. 同位角相等D. 一个锐角与一个钝角的和等于一个平角5.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE//BC.若AE∶EC=3∶1,AD=6,则BD等于…………………………()A. 2B. 4C. 6D. 86.下列四个命题中:①相等的角是对顶角;②从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离;③平行于同一条直线的两条直线互相平行;④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等,其中真命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题(本大题共12小题,共36.0分)7.如果x2=y3=z5,那么x+3y−zx−3y+z=______ .8.在△ABC中,∠C=90°,AB=12.那么它的重心G到斜边中点的距离是______.9.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF//BC交AB于点E,交AC于点F,OD⊥AC交AC于点D,连接AO.给出以下四个结论:①若∠BAC=80°,∠BOC=120°;②EOAE =FOAF;③AO平分∠BAC;④若AE+AF=8,OD=3,则S△AEF=12.其中正确的有______.(把所有正确结论的序号都选上)10.已知两个直角三角形的三边长分别为1、2、m和3、6、n,若这两个直角三角形不相似,则m+n的值为______ .11.若△ABC∽△A′B′C′,∠A=40°,∠C=110°,则∠B′的度数为______.12.如图,如果l1//l2//l3,AC=12,DE=3,EF=5,那么BC=______ .13.已知点A(7,0),B(0,m),且直线AB与坐标轴围成的三角形面积等于14,则m的值是______.14.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,且点D,E分别在边AB,AC上,则BDAD的值为______.15.如图所示,两根竖直的电线杆AB长为6,CD长为3,AD交BC于点E,则点E到地面的距离EF的长是______.16.如图,已知DE为△ABC的中位线,△ADE的面积为3,则四边形DECB的面积为______ .17.有一张长方形纸片ABCD,如图(1),将它折叠,使AD边落在AB边上,折痕为AE,如图(2);再将∠A折叠,使点A与点B重合,折痕为MN,如图(3).如果AD=4cm,MD=1cm,那么DB= ______ cm.18.在▱ABCD中,E为CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AGE处,AG与CE交于点F.若∠B=50°,∠DAE=16°,则∠FEG度数为______ .三、计算题(本大题共1小题,共6.0分)19.如图①,已知Rt△ABC,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点.作正方形DEFG,使点A、C分别在DG和DE上,连接AE,BG.(1)请直接写出:线段BG和AE的数量关系是;(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α(0°<α≤360°),请问(1)中的结论是否仍然成立?利用图②证明你的结论。
湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题
湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A .B .C .D .2.新冠病毒的大小为0.000000125米,用科学记数法表示为()A .61.2510-⨯B .71.2510-⨯C .81.2510-⨯D .91.2510-⨯3.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,半径为3cm ,若BC =3cm ,则∠A 的度数为()A .30°B .25°C .15°D .10°4.已知⊙O 的直径是8,圆心O 到直线a 的距离是3,则直线a 和⊙O 的位置关系是()A .相离B .相交C .相切D .外切5.如图,菱形中,对角线AC 、BD 交于点O ,E 为AD 边中点,菱形ABCD 的周长为28,则OE 的长等于()A.12︒10.如图,抛物线半径的圆上的动点,二、填空题三、解答题19.已知:在ABC 中,=AB AC ,90∠<︒A .(1)找到ABC 的外心,画出ABC 的外接圆(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写过程)(2)若ABC 的外接圆的圆心O 到BC 边的距离为8,12BC =,请求出O 的面积.20.如图,AD 是⊙O 的弦,AB 经过圆心O ,交⊙O 于点C ,∠DAB =∠B =30°.(1)求证:直线BD 与⊙O 相切;(2)连接CD ,若CD =5,求AB 的长.21.如图,在平行四边形ABCD 中,点E ,F 分别在边AB ,CD 上,且四边形BEDF 为正方形.(1)求证AE CF =;(2)已知平行四边形ABCD 的面积为20,5AB =.求CF 的长.22.学校开展大课间活动,某班需要购买A 、B 两种跳绳.已知购进10根A 种跳绳和5根B 种跳绳共需175元:购进15根A 种跳绳和10根B 种跳绳共需300元.(1)求购进一根A 种跳绳和一根B 种跳绳各需多少元?(2)设购买A 种跳绳m 根,若班级计划购买A 、B 两种跳绳共45根,所花费用不少于548元且不多于560元,则有哪几种购买方案?(3)在(2)的条件下,哪种购买方案需要的总费用最少?最少费用是多少元?23.如图,以线段AB 为直径作O ,交射线AC 于点C ,AD 平分CAB ∠交O 于点D ,过点D 作直线DE AC ⊥于点E ,交AB 的延长线于点F .连接BD 并延长交AC 于点M .(1)求抛物线解析式及点D的坐标;的位置关系,并证明你的猜想;(2)猜测直线CM与D(3)抛物线对称轴上是否存在点P,若将线段CP绕点P顺时针旋转90︒,使C点的对应点C'恰好落在抛物线上?若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.。
河南省商丘市永城市实验中学2023-2024学年上学期九年级第一次月考数学试题
河南省商丘市永城市实验中学2023-2024学年上学期九年级第一次月考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题C .3m <-或1m >D .30m -<<或21m -<<9.函数y =ax 2﹣2x +1和y =ax +a (a 是常数,且a ≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是()A .B .C .D .10.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示,对称轴是直线1x =,下列结论:①0abc <;②30a c +>;③()220a c b +-<;④()a b m am b +≤+;⑤240b ac -<.其中结论正确的个数为()个.A .1个B .2个C .3个D .4个三、解答题16.用适当的方法解下列方程:(1)2510x x +-=;(2)()()752652x x x +=+;(3)2320x x +=;(4)228=0x x --.17.已知抛物线()232y a x =-+经过点()12-,.(1)求a 的值:(2)若点()()120,4,A y B y 、都在该抛物线上,试比较1y 与2y 的大小.18.已知关于x 的方程()27120x x a -+-=有两个不相等的实数根.(1)求a 的取值范围;(2)当a 取满足条件的最小整数值时,求方程的根.19.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线223y x x =--与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C .(1)求顶点D 的坐标;(2)求ABC 的面积.20.随着“共享经济”的概念迅速普及,共享汽车也进入了人们的视野,某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车,全天包车的租金定为每辆份的全天包车数为25次,在租金不变的基础上,四、五月的全天包车数持续走高,五月份的全天包车数达到64次.(1)若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变,(2)从六月份起,该公司决定降低租金,尽可能地让利顾客,经调查发现,租金每降价元,全天包车数增加1.6次,当租金降价多少元时,公司将获利21.在初中阶段的函数学习中,我们经历了性质—运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时,我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象,同时,我们也学习了绝对值的意义:结合上面经历的学习过程,现在来解决下面的问题:在函数34y kx =--中,当(1)求这个函数的表达式;(2)在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象.(3)已知函数132y x =-的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式13432kx x --≤-的解集______(1)当t为何值时,PBQ。
重庆市第八中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题及参考答案
重庆八中2023—2024学年上期初三年级第一学月考试数学试题(全卷共四个大题,满分150分,考试时间120分钟)一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)在每个小题的下面,都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1.tan45°的值为( )A.1B.1−2.下列图案中是中心对称图形的是( )A. B. C. D.3.估计的值在( ) A.3到4之间B.4到5之间C.5到6之间D.6到7之间4.如图,AF 是BAC ∠的角平分线,DF AC ,若60BDF ∠=°,则1∠的度数为( )A.20°B.25°C.30°D.45°5.一辆汽车的速度()km /h 与时间()min 之间的变化关系如图所示,则下列说法正确的是( )A.速度是自变量,时间是因变量B.汽车在3min 加时,行驶的路程为30kmC.汽车在3~8min 加应时停止运动D.汽车最快的速度是30km /h6.如图,在平面直角坐标系中,已知()12,8A ,()6,4D ,()2,3E ,ABC △与DEF △位似,原点O 是位似中心,则B 点的坐标是( )A.()4,5B.()4,6C.()5,6D.()5,57.二次函数()20y ax bx c a ++≠的顶点坐标为()1,m ,其部分图象如图所示.以下结论错误的是( )A.0a >B.0abc >C.240ac b −<D.30a c +<8.下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的,照此规律排列下去,第1个图形中小正方形的个数是3个,第2个图形中小正方形的个数是8个,第3个图形中小正方形的个数是15个,则第5个图形中小正方形的个数是( )A.24B.30C.35D.489.如图,ABC △为等腰直角三角形,BD AB ⊥于点B ,CE AD ⊥于点E ,连接BE ,设CAE x ∠=,若2CE AE =,则ABE ∠可表示为( )A.12x B.152x+°C.45x −°D.60x °−10.数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题,比如12x x −表示在数轴上数1x ,2x 对应的点之间的距离.现定义一种“F 运算”,对于若干个数,先将每两个数作差,再将这些差的绝对值进行求和.例如:对1−,1,2进行“F 运算”,得1112126−−+−−+−=.下列说法:①对m ,1−进行“F 运算”的结果是3,则m 的值是2;②若2x y <<,对于2,x ,y 进行“F 运算”的结果是8,则y 的值是8; ③对a ,a ,b ,c 进行“F 运算”,化简的结果可能存在6种不同的表达式. 其中正确的个数为( ) A.0B.1C.2D.3二、填空题:(本大题8个小题,每小题4分,共32分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.11.计算:01−=______. 12.从六边形ABCDEF 的顶点A 出发,可以画出______条对角线。
重庆市第二外国语学校2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学模拟试卷 含答案解析
重庆市第二外国语学校2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学模拟试卷含答案解析一.选择题(共12小题)1.﹣8的立方根是()A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.22.如图,这个几何体的左视图正确的是()A.B.C.D.3.下列四个选项中,既是轴对称又是中心对称的图形是()A.矩形B.等边三角形C.正五边形D.正七边形4.若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的面积之比为4:25,则△ABC与△DEF周长之比为()A.4:25 B.2:5 C.5:2 D.25:45.下列命题正确的是()A.四条边都相等的四边形一定是正方形B.一组对边平行,另一组对边相等的四边形一定是平行四边形C.菱形的两条对角线互相垂直平分D.对角线相等的四边形一定是矩形6.已知a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根,则代数式2a2﹣6a+3的值是()A.6 B.5 C.D.7.如图,在平行四边形ABCD中,点E是CD边上一点,DE:EC=2:3,连接AE、BE、BD,且AE、BD交于点F.若S△DEF=2,则S△ABE=()A.15.5 B.16.5 C.17.5 D.18.58.函数y=kx+1与函数y=在同一坐标系中的大致图象是()A.B.C.D.9.某工厂一月份生产机器100台,计划二、三月份共生产250台,设二、三月份的生产平均增长率为x,则根据题意列出的方程是()A.100(1+x)=250B.100(1+x)+100(1+x)2=250C.100(1﹣x)2=250D.100(1+x)2=25010.如图,菱形ABCD中,AC交BD于点O,DE⊥BC于点E,连接OE,若∠ABC=140°,则∠OED=()A.20°B.30°C.40°D.50°11.如图,在平面直角坐标系中,▱AOBC的边AO在x轴上,经过点C的反比例函数y=(k ≠0)交OB于点D,且OD=2BD,若▱AOBC的面积是6,则k的值是()A.B.C.D.12.使得关于x的不等式组有且只有4个整数解,且关于x的分式方程=﹣8的解为正数的所有整数a的值之和为()A.11 B.15 C.18 D.19二.填空题(共6小题)13.一元二次方程x(x﹣2)=0的解是.14.若线段AB=2,且点C是AB的黄金分割点且AC>BC,则BC等于.15.如图,在平行四边形ABCD中,BE⊥AD,BF⊥CD垂足分别为E,F,若CF=3,DE=2,∠A=60°,则平行四边形ABCD的周长为.16.全国开展扫黑除悉专项斗争是党中央的重大决策,是以习近平同志为核心的党中央作出的重大决策部署,为期三年,一年治标、两年治根,三年治本.为了让更多的民众参与进来,某社区举办了“扫黑除恶”的知识竞答活动,并对答对问题的人员发放小礼品.现打算从报名参加知识竞答活动的三男两女中随机抽取2人知识竞答,则抽取到的两人刚好是1男1女的概率是.17.如图,在正方形ABCD的边AB上取一点E,连接CE,将△BCE沿CE翻折,点B恰好与对角线AC上的点F重合,连接DF,若BE=1,则△CDF的面积是.18.重庆渴乐自驾游公司在元旦节推出四条自驾线路,为调查客户对各条线路的喜欢情况,微信群里做了一次“我最期待的自驾线路”问卷调查(群里每个人都进行了调查且只选择一条线路),统计后发现选湘西的人数比选毕棚沟的少6人;选邛海的人数不仅比选毕棚沟的多,且为整数倍:选毕棚沟与邛海的人数之和是选择湘西和北海的人数之和的4倍;选北海和邛海的人数之和比选湘西与毕棚沟的人数之和多22人,则该微信群里参与调查的共人.三.解答题(共8小题)19.用适当的方法解下列一元二次方程:(1)2x2+3x﹣1=0.(2)x2﹣8x=84.20.如图,四边形ABCD是正方形,点A的坐标是(0,1),点B的坐标是(0,﹣2),反比例函数y=的图象经过点C,一次函数y=ax+b的图象经过A、C两点,两函数图象的另一个交点E的坐标是(m,3).(1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式.(2)求出m的值,并根据图象回答:当x为何值时,一次函数的值大于反比例函数的值.(3)若点P是反比例函数图象上的一点,△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,求点P坐标.21.为调查我市民上班时最常用的交通工具的情况随机抽取了部分市民进行调查,要求被调查者从“A:自行车,B:电动车,C:公交车,D:家庭汽车;E.其他”中选择最常用的一项.将所有调查结果整理后绘制成如下不完整计图,请结合统计图回答下列问题:(1)本次一共调查了名市民;扇形统计图中B项对应的圆心角是度;(2)补全条形统计图;(3)若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随或画树状图的方法,求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率.22.如图,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面镜子,向后退到B 处,恰好在镜子中看到楼的顶部E;再将镜子放到C处,然后后退到D处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O,A,B,C,D在同一条直线上),测得AC=2m,BD=2.1m,如果小明眼睛距地面髙度BF,DG为1.6m,试确定楼的高度OE.23.近期猪肉价格不断走高,引起了民众与政府的高度关注,当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时,政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.据统计:从今年年初至7月20日,猪肉价格不断走高,7月20日比年初价格上涨了60%.某市民于某超市今年7月20日购买2.5千克猪肉花100元钱.(1)问:那么今年年初猪肉的价格为每千克多少元?(2)某超市将进货价为每千克30元的猪肉,按7月20日价格出售,平均一天能销售出100千克,经调查表明:猪肉的售价每千克下降1元,其日销售量就增加20千克,超市为了实现销售猪肉每天有1120元的销售利润,为了尽可能让顾客优惠应该每千克定价为多少元?(3)7月21日,某市决定投入储备猪肉并规定其在原销售价的基础上下调a%出售,某超市按规定价出售一批储备猪肉,该超市在非储备猪肉的价格不变情况下,该天的两种猪肉总销量比7月20日增加了a%,且储备猪肉的销量占总销量的,两种猪肉销售的总金额比7月20日提高了a%,求a的值.24.如图,在正方形ABCD中,点P为AD延长线上一点,连接AC、CP,F为AB边上一点,满足CF⊥CP,过点B作BM⊥CF,分别交AC、CF于点M、N(1)若AC=AP,AC=4,求△ACP的面积;(2)若BC=MC,证明:CP﹣BM=2FN.25.阅读材料:各类方程的解法求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化,把未知转化为已知.用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2﹣2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x﹣2)=0,解方程x=0和x2+x﹣2=0,可得方程x3+x2﹣2x=0的解.(1)问题:方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0,x2=,x3=;(2)拓展:用“转化”思想求方程=x的解;(3)应用:如图,已知矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B,沿草坪边沿BA,AD走到点P处,把长绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.26.如图,已知四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,对角线AC=10cm.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)如图(2),若动点Q从点C出发,在CA边上以每秒5cm的速度向A点匀速移动,同时动点P从点B出发,在BC边上以每秒4cm的速度向C点匀速移动,运动时间为t 秒(0≤t<2),连接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值;(3)如图(3),若点Q在对角线AC上,CQ=4cm,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止.设点P运动了t秒,请你探索:从运动开始,经过多少时间,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形?请求出所有可能的结果.参考答案与试题解析一.选择题(共12小题)1.﹣8的立方根是()A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2【分析】依据立方根的定义解答即可.【解答】解:﹣8的立方根是﹣2.故选:B.2.如图,这个几何体的左视图正确的是()A.B.C.D.【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在左视图中.【解答】解:从几何体的左面看所得到的图形是:故选:C.3.下列四个选项中,既是轴对称又是中心对称的图形是()A.矩形B.等边三角形C.正五边形D.正七边形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解:A、矩形是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确;B、等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;C、正五边形是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;D、正七边形是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误.故选:A.4.若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的面积之比为4:25,则△ABC与△DEF周长之比为()A.4:25 B.2:5 C.5:2 D.25:4【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△ABC与△DEF的相似比,然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可.【解答】解:∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为4:25,∴它们的相似比为2:5,∴△ABC与△DEF的周长比为2:5.故选:B.5.下列命题正确的是()A.四条边都相等的四边形一定是正方形B.一组对边平行,另一组对边相等的四边形一定是平行四边形C.菱形的两条对角线互相垂直平分D.对角线相等的四边形一定是矩形【分析】根据正方形、平行四边形、矩形的判定定理、菱形的性质定理判断即可.【解答】解:四条边都相等、四个角相等的四边形一定是正方形,A是假命题;一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,B是假命题;菱形的两条对角线相互垂直平分,C是真命题;对角线相等的平行四边形一定是矩形,D是假命题;故选:C.6.已知a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根,则代数式2a2﹣6a+3的值是()A.6 B.5 C.D.【分析】根据方程的根的定义,把x=a代入方程求出a2﹣3a的值,然后整体代入代数式进行计算即可得解.【解答】解:∵a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根,∴a2﹣3a﹣1=0,整理得,a2﹣3a=1,∴2a2﹣6a+3=2(a2﹣3a)+3=2×1+3=5.故选:B.7.如图,在平行四边形ABCD中,点E是CD边上一点,DE:EC=2:3,连接AE、BE、BD,且AE、BD交于点F.若S△DEF=2,则S△ABE=()A.15.5 B.16.5 C.17.5 D.18.5【分析】根据已知可得到相似三角形,从而可得到其相似比,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△ABE,△BEF的面积即可.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DE∥AB,∴△DFE∽△BFA,∵DE:EC=2:3,∴DE:AB=2:5,DF:FB=2:5,∵S△DEF=2,∴S△ABF=,S△BEF=5,∴S△ABE=+5=,故选:C.8.函数y=kx+1与函数y=在同一坐标系中的大致图象是()A.B.C.D.【分析】根据一次函数和反比例函数的特点,k≠0,所以分k>0和k<0两种情况讨论.当两函数系数k取相同符号值,两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案.【解答】解:分两种情况讨论:①当k>0时,y=kx+1与y轴的交点在正半轴,过一、二、三象限,y=的图象在第一、三象限;②当k<0时,y=kx+1与y轴的交点在正半轴,过一、二、四象限,y=的图象在第二、四象限.故选:A.9.某工厂一月份生产机器100台,计划二、三月份共生产250台,设二、三月份的生产平均增长率为x,则根据题意列出的方程是()A.100(1+x)=250B.100(1+x)+100(1+x)2=250C.100(1﹣x)2=250D.100(1+x)2=250【分析】主要考查增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果设二、三月份的生产平均增长率为x,那么首先可以用x表示二、三月份共生产的机器100(1+x)+100(1+x)2,然后可得出的方程为100(1+x)+100(1+x)2=250.【解答】解:依题意得二、三月份共生产的机器100(1+x)+100(1+x)2,∴方程为100(1+x)+100(1+x)2=250.故选:B.10.如图,菱形ABCD中,AC交BD于点O,DE⊥BC于点E,连接OE,若∠ABC=140°,则∠OED=()A.20°B.30°C.40°D.50°【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE=BE=OD,根据菱形性质可得∠DBE=∠ABC=70°,从而得到∠OEB度数,再依据∠OED=90°﹣∠OEB即可.【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∴O为BD中点,∠DBE=∠ABC=70°.∵DE⊥BC,∴在Rt△BDE中,OE=BE=OD,∴∠OEB=∠OBE=70°.∴∠OED=90°﹣70°=20°.故选:A.11.如图,在平面直角坐标系中,▱AOBC的边AO在x轴上,经过点C的反比例函数y=(k ≠0)交OB于点D,且OD=2BD,若▱AOBC的面积是6,则k的值是()A.B.C.D.【分析】作BE⊥x轴于点E,DF⊥x轴于点F,则DF∥BE,△ODF∽△OBE,根据相似三角形对应边成比例得出===,设D(2x,),表示出B(3x,),C(,),根据▱AOBC的面积是6,列出方程(3x﹣)•=6,即可求出k的值.【解答】解:作BE⊥x轴于点E,DF⊥x轴于点F,则DF∥BE,∴△ODF∽△OBE,∴===.设D(2x,),则B(3x,),C(,),∵▱AOBC的面积是6,∴(3x﹣)•=6,解得k=.故选:D.12.使得关于x的不等式组有且只有4个整数解,且关于x的分式方程=﹣8的解为正数的所有整数a的值之和为()A.11 B.15 C.18 D.19【分析】解不等式组得到4<a≤10,由关于x的分式方程=﹣8的解为正数,得到a<8且a≠7,于是确定出a的整数值,从而得到结论.【解答】解:解不等式组得≤x<4,∵关于x的不等式组有且只有4个整数解,∴﹣1<≤0,解得4<a≤10,解方程=﹣8得x=,∵方程的解为正数,∴8﹣a>0且8﹣a≠1,解得:a<8且a≠7,所以在4<a≤10的范围内符合条件的整数有5、6,则整数a的值之和为11,故选:A.二.填空题(共6小题)13.一元二次方程x(x﹣2)=0的解是x1=0,x2=2 .【分析】利用因式分解法解方程.【解答】解:x=0或x﹣2=0,所以x1=0,x2=2.故答案为:x1=0,x2=2.14.若线段AB=2,且点C是AB的黄金分割点且AC>BC,则BC等于3﹣.【分析】根据黄金比值为计算即可.【解答】解:∵点C是AB的黄金分割点,AC>BC,∴AC=AB=﹣1,则BC=AB﹣AC=2﹣(﹣1)=3﹣,故答案为:3﹣.15.如图,在平行四边形ABCD中,BE⊥AD,BF⊥CD垂足分别为E,F,若CF=3,DE=2,∠A=60°,则平行四边形ABCD的周长为28 .【分析】根据平行四边形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可.【解答】解:∵平行四边形ABCD,∠A=60°,∴∠C=60°,∵CF=3,BF⊥CD,∴BC=6,∵DE=2,∴AE=6﹣2=4,∵BE⊥AD,∴AB=8,∴平行四边形ABCD的周长=(6+8)×2=28,故答案为:2816.全国开展扫黑除悉专项斗争是党中央的重大决策,是以习近平同志为核心的党中央作出的重大决策部署,为期三年,一年治标、两年治根,三年治本.为了让更多的民众参与进来,某社区举办了“扫黑除恶”的知识竞答活动,并对答对问题的人员发放小礼品.现打算从报名参加知识竞答活动的三男两女中随机抽取2人知识竞答,则抽取到的两人刚好是1男1女的概率是.【分析】根据题意可以画出相应的树状图,从而可以求得相应的概率.【解答】解:由题意可得,则抽取到的两人刚好是1男1女的概率是:=,故答案为:.17.如图,在正方形ABCD的边AB上取一点E,连接CE,将△BCE沿CE翻折,点B恰好与对角线AC上的点F重合,连接DF,若BE=1,则△CDF的面积是1+.【分析】由折叠可得EF=BE=1,∠CFE=∠B=90°,且∠FAE=45°可得AF=1,AE=,即可求对角线BD的长,则可求△CDF面积【解答】解:如图连接BD交AC于O∵ABCD为正方形∴∠ABC=90°,AB=BC,AC⊥BD,DO=BO,∠BAC=45°∵△BCE沿CE翻折,∴BE=EF=1,BC=CF,∠EFC=90°∵∠BAC=45°,∠EFC=90°∴∠EAF=∠AEF=45°∴AF=EF=1∴AE=∴AB=+1=BC=CF∴BD=AB=2+∴OD=∵S△CDF=×CF×DO∴S△CDF==18.重庆渴乐自驾游公司在元旦节推出四条自驾线路,为调查客户对各条线路的喜欢情况,微信群里做了一次“我最期待的自驾线路”问卷调查(群里每个人都进行了调查且只选择一条线路),统计后发现选湘西的人数比选毕棚沟的少6人;选邛海的人数不仅比选毕棚沟的多,且为整数倍:选毕棚沟与邛海的人数之和是选择湘西和北海的人数之和的4倍;选北海和邛海的人数之和比选湘西与毕棚沟的人数之和多22人,则该微信群里参与调查的共50 人.【分析】根据题意,可以列出相应的方程组,从而可以求得总人数,注意k为正整数,人数为正整数.【解答】解:设湘西、毕棚沟、邛海、北海的人数分别为a人、b人、c人、d人,解得,,∴a+b+c+d=4+10+30+6=50,故答案为:50.三.解答题(共8小题)19.用适当的方法解下列一元二次方程:(1)2x2+3x﹣1=0.(2)x2﹣8x=84.【分析】(1)先求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可;(2)整理后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.【解答】解:(1)2x2+3x﹣1=0,b2﹣4ac=32﹣4×2×(﹣1)=17,x=,x1=,x2=;(2)整理得:x2﹣8x﹣84=0,(x+6)(x﹣14)=0,x+6=0,x﹣14=0,x1=﹣6,x2=14.20.如图,四边形ABCD是正方形,点A的坐标是(0,1),点B的坐标是(0,﹣2),反比例函数y=的图象经过点C,一次函数y=ax+b的图象经过A、C两点,两函数图象的另一个交点E的坐标是(m,3).(1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式.(2)求出m的值,并根据图象回答:当x为何值时,一次函数的值大于反比例函数的值.(3)若点P是反比例函数图象上的一点,△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,求点P坐标.【分析】(1)先根据A点和B点坐标得到正方形的边长,则BC=3,于是可得到C(3,﹣2),然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式;(2)将点E的坐标(m,3)代入反比例函数的解析式即可求出m的值,根据图象找出一次函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可;(3)设P(t,﹣),根据三角形面积公式和正方形面积公式得到×1×|t|=3×3,然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标.【解答】解:(1)∵点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(0,﹣2),∴AB=1+2=3,∵四边形ABCD为正方形,∴BC=AB=3,∴C(3,﹣2),把C(3,﹣2)代入y=,得k=3×(﹣2)=﹣6,∴反比例函数解析式为y=﹣;把C(3,﹣2),A(0,1)代入y=ax+b,得,解得,∴一次函数解析式为y=﹣x+1;(2)∵反比例函数y=﹣的图象过点E(m,3),∴m=﹣2,∴E点的坐标为(﹣2,3);由图象可知,当x<﹣2或0<x<3时,一次函数落在反比例函数图象上方,即当x<﹣2或0<x<3时,一次函数的值大于反比例函数的值;(3)设P(t,﹣),∵△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,∴×1×|t|=3×3,解得t=18或t=﹣18,∴P点坐标为(18,﹣)或(﹣18,).21.为调查我市民上班时最常用的交通工具的情况随机抽取了部分市民进行调查,要求被调查者从“A:自行车,B:电动车,C:公交车,D:家庭汽车;E.其他”中选择最常用的一项.将所有调查结果整理后绘制成如下不完整计图,请结合统计图回答下列问题:(1)本次一共调查了2000 名市民;扇形统计图中B项对应的圆心角是54 度;(2)补全条形统计图;(3)若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随或画树状图的方法,求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率.【分析】(1)根据D组的人数以及百分比,即可得到被调查的人数,再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可;(2)由各选项人数和等于总人数求出C选项的人数,从而补全图形;(3)根据甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种画树状图或列表,即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率.【解答】解:(1)本次调查的总人数为500÷25%=2000人,扇形统计图中,B项对应的扇形圆心角是360°×=54°,故答案为:2000,54;(2)选择公交车人数为800人,补全条形统计图如图所示(3)列表如下:A B C DA(A,A)(B,A)(C,A)(D,A)B(A,B)(B,B)(C,B)(D,B)C(A,C)(B,C)(C,C)(D,C)D(A,D)(B,D)(C,D)(D,D)由表可知共有16种等可能结果,其中甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的结果有4种,所以甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率为.22.如图,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面镜子,向后退到B 处,恰好在镜子中看到楼的顶部E;再将镜子放到C处,然后后退到D处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O,A,B,C,D在同一条直线上),测得AC=2m,BD=2.1m,如果小明眼睛距地面髙度BF,DG为1.6m,试确定楼的高度OE.【分析】根据题意得到△GDC∽△EOC和△FBA∽△EOA,利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可.【解答】解:令OE=a,AO=b,CB=x,则由△GDC∽△EOC得,即,整理得:3.2+1.6b=2.1a﹣ax①,由△FBA∽△EOA得,即,整理得:1.6b=2a﹣ax②,将②代入①得:3.2+2a﹣ax=2.1a﹣ax,∴a=32,即OE=32,答:楼的高度OE为32米.23.近期猪肉价格不断走高,引起了民众与政府的高度关注,当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时,政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.据统计:从今年年初至7月20日,猪肉价格不断走高,7月20日比年初价格上涨了60%.某市民于某超市今年7月20日购买2.5千克猪肉花100元钱.(1)问:那么今年年初猪肉的价格为每千克多少元?(2)某超市将进货价为每千克30元的猪肉,按7月20日价格出售,平均一天能销售出100千克,经调查表明:猪肉的售价每千克下降1元,其日销售量就增加20千克,超市为了实现销售猪肉每天有1120元的销售利润,为了尽可能让顾客优惠应该每千克定价为多少元?(3)7月21日,某市决定投入储备猪肉并规定其在原销售价的基础上下调a%出售,某超市按规定价出售一批储备猪肉,该超市在非储备猪肉的价格不变情况下,该天的两种猪肉总销量比7月20日增加了a%,且储备猪肉的销量占总销量的,两种猪肉销售的总金额比7月20日提高了a%,求a的值.【分析】(1)利用单价=总价÷数量可求出7月20日猪肉的单价,设今年年初猪肉的价格为每千克x元,根据年初与7月20日猪肉单价间的关系,可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论;(2)设每千克降价y元,则日销售(100+20y)千克,根据总利润=每千克的利润×销售数量,即可得出关于y的一元二次方程,解之即可得出y值,再将其较大值代入(40﹣y)中即可求出结论;(3)设该超市7月20日售出m千克猪肉,根据销售总金额=销售单价×销售数量,即可得出关于a的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.【解答】解:(1)今年7月20日猪肉的价格=100÷2.5=40(元/千克).设今年年初猪肉的价格为每千克x元,依题意,得:(1+60%)x=40,解得:x=25.答:今年年初猪肉的价格为每千克25元.(2)设每千克降价y元,则日销售(100+20y)千克,依题意,得:(40﹣30﹣y)(100+20y)=1120,整理,得:y1=2,y2=3,∵尽可能让顾客优惠,∴y=3,∴40﹣y=37.答:应该每千克定价为37元.(3)设该超市7月20日售出m千克猪肉,依题意,得:40(1﹣a%)×(1+a%)m+40×(1+a%)m=(1+a%)×40m,整理,得:a2﹣20a=0,解得:a1=0(舍去),a2=20.答:a的值为20.24.如图,在正方形ABCD中,点P为AD延长线上一点,连接AC、CP,F为AB边上一点,满足CF⊥CP,过点B作BM⊥CF,分别交AC、CF于点M、N(1)若AC=AP,AC=4,求△ACP的面积;(2)若BC=MC,证明:CP﹣BM=2FN.【分析】(1)根据题意求出AP、CD,根据三角形的面积公式计算即可;(2)在CF上截取FN=NG,连接BG,证明△BCF≌△DCP、△BCG≌△ABM,根据全等三角形的性质、等腰三角形的三线合一证明.【解答】解:(1)∵AC=AP,AC=4,∴AP=.AD=CD=4∴S△ACP=AP×CD=××4=7;(2)在CF上截取FN=NG,连接BG,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB=CD,∠CBF=∠CDP=∠BCF+∠FCD=90°,又∵CF⊥CP,∴∠DCP+∠FCD=90°,∴∠BCF=∠BCD,在△BCF和△DCP中,,∴△BCF≌△DCP,∴CF=CP,∵BC=MC,BM⊥CF,∴∠BCF=∠ACF=∠BCA=22.5°,∴∠CFB=67.5°,∵FC⊥BM,FN=NG∴BF=BG∴∠FBG=45°,∠FBN=22.5°∴∠CBG=45°,在△BCG和△BAN中,,∴△BCG≌△ABM,∴BM=CG,∴CF﹣CG=FG,∵BF=BG,BM⊥CF,∴FN=NG,∴CP﹣BM=2FN.25.阅读材料:各类方程的解法求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化,把未知转化为已知.用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2﹣2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x﹣2)=0,解方程x=0和x2+x﹣2=0,可得方程x3+x2﹣2x=0的解.(1)问题:方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0,x2=﹣2 ,x3= 1 ;(2)拓展:用“转化”思想求方程=x的解;(3)应用:如图,已知矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B,沿草坪边沿BA,AD走到点P处,把长绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.【分析】(1)因式分解多项式,然后得结论;(2)两边平方,把无理方程转化为整式方程,求解,注意验根;(3)设AP的长为xm,根据勾股定理和BP+CP=10,可列出方程,由于方程含有根号,两边平方,把无理方程转化为整式方程,求解,【解答】解:(1)x3+x2﹣2x=0,x(x2+x﹣2)=0,x(x+2)(x﹣1)=0所以x=0或x+2=0或x﹣1=0∴x1=0,x2=﹣2,x3=1;故答案为:﹣2,1;(2)=x,方程的两边平方,得2x+3=x2即x2﹣2x﹣3=0(x﹣3)(x+1)=0∴x﹣3=0或x+1=0∴x1=3,x2=﹣1,当x=﹣1时,==1≠﹣1,所以﹣1不是原方程的解.所以方程=x的解是x=3;(3)因为四边形ABCD是矩形,所以∠A=∠D=90°,AB=CD=3m设AP=xm,则PD=(8﹣x)m因为BP+CP=10,BP=,CP=∴+=10∴=10﹣两边平方,得(8﹣x)2+9=100﹣20+9+x2整理,得5=4x+9两边平方并整理,得x2﹣8x+16=0即(x﹣4)2=0所以x=4.经检验,x=4是方程的解.答:AP的长为4m.26.如图,已知四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,对角线AC=10cm.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)如图(2),若动点Q从点C出发,在CA边上以每秒5cm的速度向A点匀速移动,同时动点P从点B出发,在BC边上以每秒4cm的速度向C点匀速移动,运动时间为t 秒(0≤t<2),连接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值;(3)如图(3),若点Q在对角线AC上,CQ=4cm,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止.设点P运动了t秒,请你探索:从运动开始,经过多少时间,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形?请求出所有可能的结果.【分析】(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形,根据勾股定理的逆定理得到∠B=90°,根据矩形的判定定理证明结论;(2)作QE⊥BC于E,证明△CQE∽△CAB,根据相似三角形的性质用t表示出QE、CE,证明△ABP∽△BEQ,根据相似三角形的性质列出比例式,代入计算得到答案;(3)分CP=CQ、QP=QC、P′C=P′Q三种情况,根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质列式计算即可.【解答】(1)证明:∵AB∥DC,AB=DC,∴四边形ABCD是平行四边形,AB2+BC2=62+82=100,AC2=100,∴AB2+BC2=AC2,∴∠B=90°,∴平行四边形ABCD为矩形;(2)解:作QE⊥BC于E,由题意得CQ=5t,BP=4t,∵QE⊥BC,AB⊥BC,∴QE∥AB,∴△CQE∽△CAB,∴=,即=,解得,QE=3t,∴EC==4t,∴BE=8﹣4t,∵AP⊥BQ,AB⊥BC,∴∠BAP=∠EBQ,又∠ABP=∠BEQ,∴△ABP∽△BEQ,∴=,即=,解得,t=;(3)当CP=CQ=4时,BP=8﹣4=4,则点P运动了4秒;当QP=QC时,作QE⊥BC于E,由(2)可知,△CQE∽△CAB,=,即=,解得,CE=3.2,。
2020-2021学年陕西省宝鸡一中九年级(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年陕西省宝鸡一中九年级(上)第一次月考数学试卷1.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是()+x=3 B. x2+2x−3=0A. 2xC. 4x+3=xD. x2+x+1=x2−2x2.用配方法解方程x2+6x+4=0时,原方程变形为()A. (x+3)2=9B. (x+3)2=13C. (x+3)2=5D. (x+3)2=43.一元二次方程x2−6x+5=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值是()A. 6B. −6C. 5D. −54.下列说法正确的是()A. 矩形对角线相互垂直平分B. 对角线相等的菱形是正方形C. 两邻边相等的四边形是菱形D. 对角线分别平分对角的四边形是平行四边形5.一个不透明袋子中装有1个红球,2个绿球,除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个球,然后放回摇匀,再随机摸出一个.下列说法中,错误的是()A. 第一次摸出的球是红球,第二次摸出的球一定是绿球B. 第一次摸出的球是红球,第二次摸出的不一定是红球C. 第一次摸出的球是红球的概率是13D. 两次摸出的球都是红球的概率是196.如果顺次连接一个四边形的各边中点所得到的四边形是矩形,那么这个四边形一定是()A. 矩形B. 菱形C. 对角线垂直的四边形D. 对角线相等的四边形7.如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,G是边BC的一点,DG=2,F是AG上一点,且∠BFC=90°,E是边BC的中点,若EF//AB,则BC的长为()A. 5B. 6C. 7D. 88.如图,一块长方形绿地的长为100m,宽为50m,在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2,则根据题意可列出方程()A. 5000−150x=4704B. 5000−150x−x2=4704C. 5000−150x+x22=4704D. (100−x)(50−x)=47049.在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4.若随机摸出一个小球后不放回,再随机摸出一个小球,则两次取出小球标号的和等于5的概率为()A. 14B. 23C. 13D. 31610.如图所示,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=2,E,F两点分别从A,B两点同时出发,以相同的速度分别向终点B,C移动,连接EF,在移动的过程中,EF的最小值为()A. 1B. √2C. 32D. √311.若关于x的方程x2+ax+a=0有一个根为−3,则a的值是______.12.某楼盘2013年房价为每平方米8100元,经过两年连续降价后,2015年房价为7600元.设该楼盘这两年房价平均降低率为x,根据题意可列方程为______.13.如果关于x的一元二次方程k2x2−(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是______.14.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为______.15.解下列一元二次方程(1)x2+4x−8=0(2)(x−3)2=5(x−3)16.尺规作图:如图,已知△ABC,求作菱形AEDF,使点E、D和F分别在边AB、BC、AC上.(保留作图痕迹,不写作法)17.如图,正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E、F,满足BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,求证:△ABE≌△ADF.18.阅读下面的例题,范例:解方程x2−|x|−2=0,解:(1)当x≥0时,原方程化为x2−x−2=0,解得:x1=2,x2=−1(不合题意,舍去).(2)当x<0时,原方程化为x2+x−2=0,解得:x1=−2,x2=1(不合题意,舍去).∴原方程的根是x1=2,x2=−2请参照例题解方程x2−|x−1|−1=0.19.设△ABC的三边长为a,b,c,其中a,b是方程x2−(c+2)x+2(c+1)=0的两个实数根.(1)判断△ABC是否为直角三角形?是说明理由.(2)若△ABC是等腰三角形,求a,b,c的值.20.如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;(2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.21.箱子里有4瓶果汁,其中有一瓶是苹果汁,其余三瓶都是橙汁,它们除口味不同外,其他完全相同.现从这4瓶果汁中一次性取出2瓶.(1)请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来;(2)求抽出的2瓶果汁中恰好抽到苹果汁的概率.22.如图,已知一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行,途中接到台风警报,台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动,距台风中心20√10海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A处时,测得台风中心移到位于点A正南方向B处,且AB=100海里,若这艘轮船自A处按原速度继续航行,在途中会不会遇到台风?若会,试求轮船最初遇到台风的时间;若不会,请说明理由.23.某公司设计了一款工艺品,每件的成本是40元,为了合理定价,投放市场进行试销:据市场调查,销售单价是50元时,每天的销售量是100件,而销售单价每提高1元,每天就减少售出2件,但要求销售单价不得超过65元.(1)若销售单价为每件60元,求每天的销售利润;(2)要使每天销售这种工艺品盈利1350元,那么每件工艺品售价应为多少元?24.已知,如图1,BD是边长为1的正方形ABCD的对角线,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G.(1)求证:△BCE≌△DCF;(2)求CF的长;(3)如图2,在AB上取一点H,且BH=CF,若以BC为x轴,AB为y轴建立直角坐标系,问在直线BD上是否存在点P,使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的P点坐标;若不存在,说明理由.25.已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边长分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.(1)如图①,当∠MAN点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:______;(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.答案和解析1.【答案】B【解析】解:A、是分式方程,不是整式方程,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;B、是一元二次方程,故本选项符合题意;C、是一元一次方程,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;D、是一元一次方程,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;故选:B.根据一元二次方程的定义(只含有一个未知数,并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程,叫一元二次方程)逐个判断即可.本题考查了一元二次方程的定义,能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键.2.【答案】C【解析】解:由x2+6x+4=0可得:x2+6x=−4,则x2+6x+9=−4+9,即:(x+3)2=5,故选:C.把常数项4移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数−2的一半的平方.本题主要考查配方法解一元二次方程,配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.3.【答案】A【解析】解:根据题意得x1+x2=6.故选:A.直接利用根与系数的关系求解.本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=−ba ,x1x2=ca.4.【答案】B【解析】解:A.矩形的对角线相等,故A说法错误;B.对角线相等的菱形是正方形,正确;C.两组邻边分别相等的四边形是菱形,故C说法错误;D.每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形,也是平行四边形,故D说法错误;故选:B.根据矩形的性质可得A错误;先判定四边形是菱形,再判定是矩形就是正方形可得B 正确;此题主要考查了平行四边形,以及特殊的平行四边形的判定,关键是熟练掌握各种四边形的判定方法.5.【答案】A【解析】解:A、第一次摸出的球是红球,第二次摸出的球不一定是绿球,故本选项错误;B、第一次摸出的球是红球,第二次摸出的不一定是红球,故本选项正确;C、∵不透明袋子中装有1个红球,2个绿球,∴第一次摸出的球是红球的概率是13,故本选项正确;D、共用9种等情况数,分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿,则两次摸出的球都是红球的概率是19,故本选项正确;故选:A.根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案.此题考查了概率的求法,解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.6.【答案】C【解析】解:AC⊥BD,E,F,G,H是AB,BC,CD,DA的中点,∵EH//BD,FG//BD,∴EH//FG,同理;EF//HG,∴四边形EFGH是平行四边形.∵AC⊥BD,∴EH⊥EF,∴四边形EFGH是矩形.所以顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形.故选:C.有一个角是直角的平行四边形是矩形,根据此可知顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形.本题考查矩形的判定定理和三角形的中位线的定理,并掌握根据矩形定义判定矩形的方法.7.【答案】D【解析】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB//CD,AB=CD=5,∴CG=CD−DG=5−2=3,∵E是边BC的中点,且∠BFC=90°,BC,∴EF=12∵EF//AB,AB//CG,E是边BC的中点,∴F是AG的中点,∴EF是梯形ABCG的中位线,∴2EF=AB+CG,∴BC=AB+CG=5+3=8;故选:D.BC,证出EF是梯形ABCG的中位线,依据直角三角形斜边上中线的性质,得EF=12的2EF=AB+CG,即可得出答案.本题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及梯形中位线定理;熟练掌握平行四边形的性质和梯形中位线定理是解题的关键.8.【答案】D【解析】解:依题意,得:(100−x)(50−x)=4704,故选:D.由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.9.【答案】C【解析】解:用列表法表示所有可能出现的结果情况如下:共有12种可能出现的结果,其中“和为5”的有4种,∴P(和为5)=412=13.故选:C.用列表法表示所有可能出现的结果,从中找出两次和为5的结果数,进而求出相应的概率.考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率,使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的,即为等可能事件.10.【答案】D【解析】解:连接DB,作DH⊥AB于H,如图,∵四边形ABCD为菱形,∴AD=AB=BC=CD,而∠A=60°,∴△ABD和△BCD都是等边三角形,∴∠ADB=∠DBC=60°,AD=BD,在Rt△ADH中,AH=1,AD=2,∴DH=√3,在△ADE和△BDF中{AD=BD∠A=∠FBD AE=BF,∴△ADE≌△BDF,∴∠2=∠1,DE=DF∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠ADB=60°,∴△DEF为等边三角形,∴EF=DE,而当E点运动到H点时,DE的值最小,其最小值为√3,∴EF的最小值为√3.故选:D.连接DB,作DH⊥AB于H,如图,利用菱形的性质得AD=AB=BC=CD,则可判断△ABD和△BCD都是等边三角形,再证明△ADE≌△BDF得到∠2=∠1,DE=DF,接着判定△DEF为等边三角形,所以EF=DE,然后根据垂线段最短判断DE的最小值即可.本题考查了菱形的性质:菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.也考查了等边三角形的判定与性质.11.【答案】4.5【解析】解:把x=−3代入方程x2+ax+a=0得9−3a+a=0,解得a=4.5.故答案为:4.5.把x=−3代入方程x2+ax+a=0得9−3a+a=0,然后解关于a的方程即可.本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.12.【答案】8100×(1−x)2=7600【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的应用,注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的.找到关键描述语,找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.该楼盘这两年房价平均降低率为x,则第一次降价后的单价是原价的1−x,第二次降价后的单价是原价的(1−x)2,根据题意列方程解答即可.【解答】解:设该楼盘这两年房价平均降低率为x,根据题意列方程得:8100×(1−x)2=7600,故答案为:8100×(1−x)2=7600.13.【答案】k>−1且k≠04【解析】【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k2≠0且△=(2k+1)2−4k2>0,然后求出两个不等式解的公共部分即可.【解答】解:根据题意得△=(2k+1)2−4k2>0且k2≠0,且k≠0.解得k>−14且k≠0.故答案为k>−1414.【答案】2√7【解析】解:如图,过点A和点E作AG⊥BC,EH⊥BC于点G和H,得矩形AGHE,∴GH=AE=2,∵在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,∴BG=3,AG=3√3=EH,∴HC=BC−BG−GH=6−3−2=1,∵EF平分菱形面积,∴EF经过菱形的对称中心,∴FC=AE=2,∴FH=FC−HC=2−1=1,在Rt△EFH中,根据勾股定理,得EF=√EH2+FH2=√27+1=2√7.故答案为:2√7.过点A和点E作AG⊥BC,EH⊥BC于点G和H,可得矩形AGHE,再根据菱形ABCD 中,AB=6,∠B=60°,可得BG=3,AG=3√3=EH,由题意可得,FH=FC−HC= 2−1=1,进而根据勾股定理可得EF的长.本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形性质、勾股定理,解决本题的关键是掌握菱形的性质.15.【答案】解:(1)∵x2+4x−8=0,∴x2+4x=8,则x2+4x+4=8+4,即(x+2)2=12,∴x+2=±2√3,∴x1=−2+2√3,x2=−2−2√3;(2)∵(x−3)2=5(x−3),∴(x−3)2−5(x−3)=0,则(x−3)(x−3−5)=0,∴x−3=0或x−8=0,解得x1=3,x2=8.【解析】(1)利用配方法求解可得;(2)利用因式分解法求解可得.本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.16.【答案】解:如图,菱形AEDF为所作.【解析】先作AD平分∠BAC交BC于D,再作AD的垂直平分线交AB于E,交AC于F,则可证明AD、EF互相垂直平分,则四边形AEDF满足要求.本题考查了作图−复杂作图−复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了菱形的判定与性质.17.【答案】解:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABE=∠ADF,在△ABE与△ADF中{AB=AD∠ABE=∠ADF BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).【解析】根据正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90°,由等角的补角性质得∠ABE=∠ADF,最后根据SAS证明即可.本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质,补角的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.18.【答案】解:x2−|x−1|−1=0,(1)当x≥1时,原方程化为x2−x=0,解得:x1=1,x2=0(不合题意,舍去).(2)当x<1时,原方程化为x2+x−2=0,解得:x1=−2,x2=1(不合题意,舍去).故原方程的根是x1=1,x2=−2.【解析】分为两种情况:(1)当x≥1时,原方程化为x2−x=0,(2)当x<1时,原方程化为x2+x−2=0,求出方程的解即可.本题考查了解一元二次方程的应用,解此题的关键是能正确去掉绝对值符号.19.【答案】解:(1)△ABC是直角三角形.理由如下:根据题意得a+b=c+2,ab=2(c+1)=2c+2,∴(a+b)2=(c+2)2,即a2+2ab+b2=c2+4c+4,∴a2+4c+4+b2=c2+4c+4,∴a2+b2=c2,∴△ABC是以c为斜边的直角三角形;(2)∵△ABC是等腰三角形,∴a=b,且c=√2a,∴a+a=√2a+2,∴a=2+√2,∴b=2+√2,c=2+2√2.【解析】(1)根据根与系数的关系得到a+b=c+2,ab=2(c+1)=2c+2,把第一个等式两边平方,整理可得到a2+b2=c2,根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以c 为斜边的直角三角形;(2)由于△ABC是等腰直角三角形,则a=b,且c=√2a,利用a+b=c+2可计算出a,于是可得到b、c的值.本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程的两根为x1,x2,则x1+x2=−ba ,x1⋅x2=ca.也考查了勾股定理的逆定理和等腰直角三角形性质.20.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,O是BD的中点,∴AB//DC,OB=OD,∴∠OBE=∠ODF,在△BOE和△DOF中,{∠OBE=∠ODF OB=OD ∠BOE=∠DOF ,∴△BOE≌△DOF(ASA),∴EO=FO,∴四边形BEDF是平行四边形;(2)解:当四边形BEDF是菱形时,BD⊥EF,设BE=x,则DE=x,AE=6−x,在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2,∴x2=42+(6−x)2,解得:x=133,∵BD=√AD2+AB2=2√13,∴OB=12BD=√13,∵BD⊥EF,∴EO=√BE2−OB2=2√133,∴EF=2EO=4√133.【解析】本题主要考查了矩形的性质,菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质,熟练掌握矩形的性质和勾股定理,证明三角形全等是解决问的关键.(1)根据平行四边形ABCD的性质,判定△BOE≌△DOF(ASA),得出四边形BEDF的对角线互相平分,进而得出结论;(2)在Rt△ADE中,由勾股定理得出方程,解方程求出BE,由勾股定理求出BD,得出OB,再由勾股定理求出EO,即可得出EF的长.21.【答案】解:(1)设这四瓶果汁分别记为A、B、C、D,其中苹果汁记为A,画树状图如图所示,共有12种等可能结果;(2)共有12种等可能结果,抽出的2瓶果汁中恰好抽到苹果汁的有6种结果,∴抽出的2瓶果汁中恰好抽到苹果汁的概率=612=12.【解析】(1)画出树状图即可;(2)共有12种等可能结果,抽出的2瓶果汁中恰好抽到苹果汁的有6种结果,由概率公式即可得出答案.此题考查了列表法与树状图法,以及概率公式,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.22.【答案】解:设途中会遇到台风,且最初遇到的时间为th,此时轮船位于C处,台风中心移到E处,连接CE,则AC=20t,AE=AB−BE=100−40t,AC2+AE2=EC2.∴(20t)2+(100−40t)2=(20√10)2400t2+10000−8000t+1600t2=4000t2−4t+3=0(t−1)(t−3)=0,解得t1=1,t2=3(不合题意舍去).答:最初遇到的时间为1h.【解析】设途中会遇到台风,且最初遇到台风的时间为t小时,此时轮船位于C处,台风中心移到E处,连接CE,根据勾股定理列方程求解即可.此题用到了路程公式和勾股定理.找到关键描述语,找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.23.【答案】解:(1)(60−40)×[100−(60−50)×2]=1600(元).答:每天的销售利润为1600元.(2)设每件工艺品售价为x元,则每天的销售量是[100−2(x−50)]件,依题意,得:(x−40)[100−2(x−50)]=1350,整理,得:x2−140x+4675=0,解得:x1=55,x2=85(不合题意,舍去).答:每件工艺品售价应为55元.【解析】(1)根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量,即可求出结论;(2)设每件工艺品售价为x元,则每天的销售量是[100−2(x−50)]件,根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.24.【答案】(1)证明:如图1,在△BCE和△DCF中,{BC=DC∠BCE=∠DCF=90°CE=CF,∴△BCE≌△DCF(SAS);(2)证明:如图1,∵BE平分∠DBC,BD是正方形ABCD的对角线,∴∠EBC=12∠DBC=22.5°,由(1)知△BCE≌△DCF,∴∠EBC=∠FDC=22.5°(全等三角形的对应角相等);∴∠BGD=90°(三角形内角和定理),∴∠BGF=90°;在△DBG和△FBG中,{∠DBG=∠FBG BG=BG∠BGD=∠BGF,∴△DBG≌△FBG(ASA),∴BD=BF,DG=FG(全等三角形的对应边相等),∵BD =√AB 2+AD 2=√2,∴BF =√2,∴CF =BF −BC =√2−1;(3)解:如图2,∵CF =√2−1,BH =CF∴BH =√2−1,①当BH =BP 时,则BP =√2−1,∵∠PBC =45°,设P(x,x),∴2x 2=(√2−1)2,解得x =1−√22或−1+√22, ∴P(1−√22,1−√22)或(−1+√22,−1+√22); ②当BH =HP 时,则HP =PB =√2−1,∵∠ABD =45°,∴△PBH 是等腰直角三角形,∴P(√2−1,√2−1);③当PH =PB 时,∵∠ABD =45°,∴△PBH 是等腰直角三角形,∴P(√2−12,√2−12), 综上,在直线BD 上存在点P ,使得以B 、H 、P 为顶点的三角形为等腰三角形,所有符合条件的P 点坐标为(1−√22,1−√22)、(−1+√22,−1+√22)、(√2−1,√2−1)、(√2−12,√2−12).【解析】本题是四边形的综合题,考查了正方形的性质,三角形全等的判定和性质,等腰三角形的判定,熟练掌握性质定理是解题的关键.(1)利用正方形的性质,由全等三角形的判定定理SAS 即可证得△BCE≌△DCF ;(2)通过△DBG≌△FBG 的对应边相等知BD =BF =√2;然后由CF =BF −BC =即可求得;(3)分三种情况分别讨论即可求得.25.【答案】(1)AH =AB(2)数量关系成立.如图②,延长CB 至E ,使BE =DN .∵ABCD 是正方形,∴AB =AD ,∠D =∠ABE =90°,在Rt △AEB 和Rt △AND 中,{AB =AD∠ABE =∠ADN BE =DN,∴Rt △AEB≌Rt △AND ,∴AE =AN ,∠EAB =∠NAD ,∴∠EAM =∠NAM =45°,在△AEM 和△ANM 中,{AE =AN∠EAM =∠NAM AM =AM,∴△AEM≌△ANM ,∴S △AEM =S △ANM ,EM =MN ,∵AB 、AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高,∴AB =AH ;(3)如图③分别沿AM 、AN 翻折△AMH 和△ANH ,得到△ABM 和△AND ,∴BM =2,DN =3,∠B =∠D =∠BAD =90°,分别延长BM 和DN 交于点C ,得正方形ABCD ,由(2)可知,AH =AB =BC =CD =AD ,设AH =x ,则MC =x −2,NC =x −3,在Rt △MCN 中,由勾股定理,得MN 2=MC 2+NC 2,∴52=(x −2)2+(x −3)2,解得x 1=6,x 2=−1(不符合题意,舍去)∴AH =6.【解析】解:(1)如图①AH =AB ,∵四边形ABCD 是正方形,∴AB =AD ,∠B =∠D =90°,在△ABM 与△ADN 中,{AB =AD∠B =∠D BM =DN,∴△ABM≌△ADN ,∴∠BAM =∠DAN ,AM =AN ,∵AH ⊥MN ,∴∠MAH =12MAN =22.5°,∵∠BAM +∠DAN =45°,∴∠BAM =22.5°,在△ABM 与△AHM 中,{∠BAM =∠HAM∠B =∠AHM =90°AM =AM,∴△ABM≌△AHM ,∴AB =AH ;故答案为:AH =AB ;(2)见答案(3)见答案【分析】(1)由三角形全等可以证明AH =AB ,(2)延长CB 至E ,使BE =DN ,证明△AEM≌△ANM ,能得到AH =AB ,(3)分别沿AM 、AN 翻折△AMH 和△ANH ,得到△ABM 和△AND ,然后分别延长BM 和DN 交于点C ,得正方形ABCE ,设AH =x ,则MC =x −2,NC =x −3,在Rt △MCN 中,由勾股定理,解得x .本题考查了正方形的性质,全等三角形的性质和判定,勾股定理,翻折的性质,此题比较典型,具有一定的代表性,且证明过程类似,同时通过做此题培养了学生的猜想能力和类比推理能力.。
2020-2021学年甘肃省兰州十一中教育集团九年级(上)第一次月考数学试卷 解析版
2020-2021学年甘肃省兰州十一中教育集团九年级(上)第一次月考数学试卷一.选择题(共12小题,每小题3分)1.(3分)下列方程中,是一元二次方程是()A.2x+3y=4B.x2=0C.x2﹣2x+1>0D.=x+22.(3分)若菱形的两条对角线长分别为8和6,则这个菱形的面积是()A.96B.48C.24D.123.(3分)一元二次方程x2﹣6x﹣1=0配方后可变形为()A.(x﹣3)2=8B.(x﹣3)2=10C.(x+3)2=8D.(x+3)2=10 4.(3分)将一枚硬币抛掷两次,则这枚硬币两次正面都向上的概率为()A.B.C.D.5.(3分)某药品经过两次降价,每瓶零售价由168元降为108元,已知两次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x,根据题意列方程得()A.168(1﹣x)2=108B.168(1﹣x2)=108C.168(1﹣2x)=108D.168(1+x)2=1086.(3分)矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A.对角线相等B.对角线平分一组对角C.对角线互相平分D.对角线互相垂直7.(3分)Rt△ABC中,∠C=90°,锐角为30°,最短边长为5cm,则最长边上的中线是()A.5cm B.15cm C.10cm D.2.5cm8.(3分)在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球,除颜色外其他都相同,小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回,通过多次试验后发现,摸到黑球的频率稳定在0.2左右,则布袋中黑球的个数可能有()A.11B.13C.24D.309.(3分)关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实根,则实数k的取值范围是()A.k≤1B.k<1C.k≤1且k≠0D.k<1且k≠0 10.(3分)如图,E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q,PR⊥BR于点R,则PQ+PR的值是()A.2B.2C.2D.11.(3分)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0没有实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是()A.B.C.D.12.(3分)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:①若a+b+c=0,则b2﹣4ac≥0;②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根;③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则其中正确的()A.只有①②B.只有①②④C.①②③④D.只有①②③二.填空题(共4小题,共12分)13.(3分)如果(m+2)x|m|+x﹣2=0是关于x的一元二次方程,那么m的值为.14.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的高,点E为AC的中点,连接DE.若△ABC的周长为20,则△CDE的周长为.15.(3分)一个不透明的布袋里装有2个白球,1个黑球,它们除颜色外其余都相同.从中任意摸出1个球.不放回.再摸出1个球,则两次摸到的球都是白球的概率是.16.(3分)已知a2﹣2a﹣1=0,b2+2b﹣1=0,且ab≠1,则的值为.三.解答题(共12小题,共72分)17.(8分)用你喜欢的方法解方程.(1)x2﹣6=0;(2)3x2+8x﹣3=0;(3)x(x﹣4)+x﹣4=0;(4)2x2﹣3x=x2﹣6x﹣5.18.(4分)关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.19.(4分)已知:如图,在矩形ABCD中,E为AD上一点,EF⊥CE,交AB于点F,DE =2,矩形的周长为16,且CE=EF.求AE的长.20.(5分)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0①有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)设方程①的两个实数根分别为x1,x2,当k=1时,求x12+x22的值.21.(5分)箱子里有4瓶牛奶,其中有一瓶是过期的.现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶.(1)请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来;(2)求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率.22.(5分)如图,若要建一个矩形鸡场,鸡场的一面靠墙,墙长18米,墙对面有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成,篱笆总长33米,且围成的鸡场面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米?23.(6分)如图,点E,F分别是锐角∠A两边上的点,分别以点E,F为圆心,以AF,AE的长为半径画弧,两弧相交于点D,连接DE,DF.(1)请你判断所画四边形的形状,并说明理由;(2)若AE=AF,请判断此四边形的形状,并说明理由.24.(6分)如图,点A、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.(1)求证:四边形BCEF是平行四边形;(2)若∠DEF=90°,DE=8,EF=6,当AF为时,四边形BCEF是菱形.25.(6分)某校在一次大课间活动中,采用了三种活动形式:A跑步,B跳绳,C做操,该校学生都选择了一种形式参与活动.(1)小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查,根据调查统计结果,列出了两幅不完整的统计图,利用图中所提供的信息解决以下问题:①小杰共调查统计了人;②请将图1补充完整;③图2中C所占的圆心角的度数是;(2)假设被调查的甲、乙两名同学对这三项活动的选择是等可能的,请你用列表格或画树状图的方法求一下两人中至少有一个选择“A”的概率.26.(6分)2010年在广州举行的亚运会前夕,某商场在销售中发现:亚运会吉祥物“乐洋洋”平均每天可售出20套,每套盈利40元.为了迎接亚运会,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存.经市场调查发现:如果每套降价5元,那么平均每天就可多售出10套.(1)如果每套降价5元,商场每天在销售吉祥物上盈利多少元?(2)若要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元,那么每套应降价多少元?27.(8分)如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是Rt△ABC 和Rt△BED边长,易知,这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.请解决下列问题:(1)写出一个“勾系一元二次方程”;(2)求证:关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根;(3)若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根,且四边形ACDE 的周长是6,求△ABC面积.28.(9分)已知:如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于6cm2?(2)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,PQ的长度等于5cm?(3)在(1)中,△PQB的面积能否等于8cm2?说明理由.2020-2021学年甘肃省兰州十一中教育集团九年级(上)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题(共12小题,每小题3分)1.(3分)下列方程中,是一元二次方程是()A.2x+3y=4B.x2=0C.x2﹣2x+1>0D.=x+2【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案.【解答】解:A.是二元一次方程,本选项不符合题意;B.未知数的最高次数是2,本选项符合题意;C.不是方程,本选项不符合题意;D.是分式方程,本选项不符合题意;故选:B.2.(3分)若菱形的两条对角线长分别为8和6,则这个菱形的面积是()A.96B.48C.24D.12【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∴S=×6×8=24.故选:C.3.(3分)一元二次方程x2﹣6x﹣1=0配方后可变形为()A.(x﹣3)2=8B.(x﹣3)2=10C.(x+3)2=8D.(x+3)2=10【分析】根据配方法即可求出答案.【解答】解:∵x2﹣6x﹣1=0,∴x2﹣6x=1,∴(x﹣3)2=10,故选:B.4.(3分)将一枚硬币抛掷两次,则这枚硬币两次正面都向上的概率为()A.B.C.D.【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率.【解答】解:列树状图可得,概率为,故选C.5.(3分)某药品经过两次降价,每瓶零售价由168元降为108元,已知两次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x,根据题意列方程得()A.168(1﹣x)2=108B.168(1﹣x2)=108C.168(1﹣2x)=108D.168(1+x)2=108【分析】设每次降价的百分率为x,根据降价后的价格=降价前的价格(1﹣降价的百分率),则第一次降价后的价格是168(1﹣x),第二次后的价格是168(1﹣x)2,据此即可列方程求解.【解答】解:设每次降价的百分率为x,根据题意得:168(1﹣x)2=108.故选:A.6.(3分)矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A.对角线相等B.对角线平分一组对角C.对角线互相平分D.对角线互相垂直【分析】利用矩形、菱形和正方形的性质对各选项进行判断.【解答】解:矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分.故选:C.7.(3分)Rt△ABC中,∠C=90°,锐角为30°,最短边长为5cm,则最长边上的中线是()A.5cm B.15cm C.10cm D.2.5cm【分析】根据含30度角的直角三角形性质求出AB,根据直角三角形斜边上中线性质求出即可.【解答】解:∵∠C=90°,∠B=30°,∴AB=2AC=10cm,∵CD是AB的中线,∴CD=AB=5cm.故选:A.8.(3分)在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球,除颜色外其他都相同,小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回,通过多次试验后发现,摸到黑球的频率稳定在0.2左右,则布袋中黑球的个数可能有()A.11B.13C.24D.30【分析】在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,设出未知数列出方程求解.【解答】解:设袋中有黑球x个,由题意得:=0.2,解得:x=13,经检验x=13是原方程的解,则布袋中黑球的个数可能有13个.故选:B.9.(3分)关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实根,则实数k的取值范围是()A.k≤1B.k<1C.k≤1且k≠0D.k<1且k≠0【分析】由二次项系数非零结合根的判别式△≥0,即可得出关于k的一元一次不等式组,解之即可得出结论.【解答】解:∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实根,∴,解得:k≤1且k≠0.故选:C.10.(3分)如图,E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q,PR⊥BR于点R,则PQ+PR的值是()A.2B.2C.2D.【分析】连接BP,设点C到BE的距离为h,然后根据S△BCE=S△BCP+S△BEP求出h=PQ+PR,再根据正方形的性质求出h即可.【解答】解:如图,连接BP,设点C到BE的距离为h,则S△BCE=S△BCP+S△BEP,即BE•h=BC•PQ+BE•PR,∵BE=BC,∴h=PQ+PR,∵正方形ABCD的边长为4,∴h=4×=2.故选:A.11.(3分)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0没有实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是()A.B.C.D.【分析】由根的系数结合根的判别式△<0,即可得出k、b同号,再利用一次函数图象与系数的关系找出k>0、b>0或k<0、b<0时,一次函数y=kx+b的图象经过的象限,此题得解.【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0没有实数根,∴△=(﹣2)2﹣4×1×(kb+1)=﹣4kb<0,∴k、b同号.当k>0、b>0时,一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限;当k<0、b<0时,一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限.故选:A.12.(3分)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:①若a+b+c=0,则b2﹣4ac≥0;②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根;③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则其中正确的()A.只有①②B.只有①②④C.①②③④D.只有①②③【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论,可得答案.【解答】解:①若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的解,由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△=b2﹣4ac≥0,故①正确;②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根,∴△=b2﹣4ac=0﹣4ac>0,∴﹣4ac>0,则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2﹣4ac>0,∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根,故②正确;③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则ac2+bc+c=0,∴c(ac+b+1)=0若c=0,等式仍然成立,但ac+b+1=0不一定成立,故③不正确;④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则由求根公式可得:x0=或x0=∴2ax0+b=或2ax0+b=﹣∴故④正确.故选:B.二.填空题(共4小题,共12分)13.(3分)如果(m+2)x|m|+x﹣2=0是关于x的一元二次方程,那么m的值为2.【分析】根据一元二次方程的定义可得:|m|=2,且m﹣2≠0,再解即可.【解答】解:由题意得:|m|=2且m+2≠0,解得m=±2,m≠﹣2,∴m=2,故答案为:2.14.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的高,点E为AC的中点,连接DE.若△ABC的周长为20,则△CDE的周长为10.【分析】根据等腰三角形的三线合一得到BD=DC,根据直角三角形的性质得到DE=AC=EA,根据三角形的周长公式计算,得到答案.【解答】解:∵AB=AC,AD为BC边上的高,∴BD=DC,∵△ABC的周长为20,∴AB+AC+BC=20,∴AC+CD=10,在Rt△ADC中,点E为AC的中点,∴DE=AC=EA,∴△CDE的周长=CD+CE+DE=CD+CE+AE=CD+AC=10,故答案为:10.15.(3分)一个不透明的布袋里装有2个白球,1个黑球,它们除颜色外其余都相同.从中任意摸出1个球.不放回.再摸出1个球,则两次摸到的球都是白球的概率是.【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次摸到的球都是白球的情况数,然后根据概率公式即可得出答案.【解答】解:根据题意画图如下:共有6种等可能的情况数,其中两次摸到的球都是白球的有2种,则两次摸到的球都是白球的概率是=;故答案为:.16.(3分)已知a2﹣2a﹣1=0,b2+2b﹣1=0,且ab≠1,则的值为3.【分析】先变形b2+2b﹣1=0得到()2﹣2•﹣1=0,则a和可看作方程x2﹣2x﹣1=0的两根,然后根据根与系数的关系求解.【解答】解:∵b2+2b﹣1=0,∴b≠0,方程两边同时除以b2变形为()2﹣2•﹣1=0,∵ab≠1,∴a和可看作方程x2﹣2x﹣1=0的两根,∴a+=2,∴=a+1+=2+1=3.故答案为:3.三.解答题(共12小题,共72分)17.(8分)用你喜欢的方法解方程.(1)x2﹣6=0;(2)3x2+8x﹣3=0;(3)x(x﹣4)+x﹣4=0;(4)2x2﹣3x=x2﹣6x﹣5.【分析】(1)用直接开平方法求解即可;(2)用因式分解法求解即可;(3)用因式分解法求解即可;(4)用公式法求解求解即可.【解答】解:(1)∵x2﹣6=0,∴x=±.即x1=,x2=﹣;(2)∵3x2+8x﹣3=0,∴(3x﹣1)(x+3)=0,∴3x﹣1=0,x+3=0,即x1=,x2=﹣3;(3)∵x(x﹣4)+x﹣4=0;∴(x﹣4)(x+1)=0,∴x﹣4=0,x+1=0,即x1=4,x2=﹣1;(4)2x2﹣3x=x2﹣6x﹣5.∴x2+3x+5=0,△=b2﹣4ac=9﹣20<0,∴原方程没有实数根.18.(4分)关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案.【解答】解:∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1=0有实数根,∴b2﹣4ac=4﹣4(2m﹣1)≥0,解得:m≤1,∵m为正整数,∴m=1,∴原方程可化为x2﹣2x+1=0,则(x﹣1)2=0,解得:x1=x2=1.19.(4分)已知:如图,在矩形ABCD中,E为AD上一点,EF⊥CE,交AB于点F,DE =2,矩形的周长为16,且CE=EF.求AE的长.【分析】由题意可证△AEF≌△ECD,可得AE=CD,由矩形的周长为16,可得2(AE+DE+CD)=16,可求AE的长度.【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠D=90°∵EF⊥CE∴∠CEF=90°∴∠CED+∠AEF=90°∵∠CED+∠DCE=90°∴∠DCE=∠AEF∵CE=EF,∠A=∠D,∠DCE=∠AEF∴△AEF≌△DCE∴AE=DC由题意可知:2(AE+DE+CD)=16 且DE=2∴2AE=6∴AE=320.(5分)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0①有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)设方程①的两个实数根分别为x1,x2,当k=1时,求x12+x22的值.【分析】(1)由方程有两个不相等的实数根知△>0,列不等式求解可得;(2)将k=1代入方程,由韦达定理得出x1+x2=﹣3,x1x2=1,代入到x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2可得.【解答】解:(1)∵方程有两个不相等的实数根,∴△=(2k+1)2﹣4k2=4k+1>0,解得:k>﹣;(2)当k=1时,方程为x2+3x+1=0,∵x1+x2=﹣3,x1x2=1,∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=9﹣2=721.(5分)箱子里有4瓶牛奶,其中有一瓶是过期的.现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶.(1)请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来;(2)求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率.【分析】(1)设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D,其中过期牛奶为A,画树状图可得所有等可能结果;(2)从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数,再根据概率公式计算可得.【解答】解:(1)设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D,其中过期牛奶为A,画树状图如图所示,由图可知,共有12种等可能结果;(2)由树状图知,所抽取的12种等可能结果中,抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果,所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为=.22.(5分)如图,若要建一个矩形鸡场,鸡场的一面靠墙,墙长18米,墙对面有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成,篱笆总长33米,且围成的鸡场面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米?【分析】先设养鸡场的宽为xm,得出长方形的长,再根据面积公式列出方程,求出x的值即可,注意x要符合题意.【解答】解:设养鸡场的宽为xm,根据题意得:x(33﹣2x+2)=150,解得:x1=10,x2=7.5,当x1=10时,33﹣2x+2=15<18,当x2=7.5时33﹣2x+2=20>18,(舍去),答:养鸡场的宽是10m,长为15m.23.(6分)如图,点E,F分别是锐角∠A两边上的点,分别以点E,F为圆心,以AF,AE的长为半径画弧,两弧相交于点D,连接DE,DF.(1)请你判断所画四边形的形状,并说明理由;(2)若AE=AF,请判断此四边形的形状,并说明理由.【分析】(1)根据题意得出ED=AF,AE=DF,进而利用平行四边形的判定解答即可;(2)由AE=AF=ED=DF,根据四条边都相等的四边形是菱形,即可证得:四边形AEDF 是菱形;【解答】解:(1)四边形AEDF是平行四边形,理由如下:根据题意可得:ED=AF,AE=DF,∴四边形AEDF是平行四边形;(2)四边形AEDF是菱形.理由如下:根据题意可得:ED=AF,AE=DF,∵AE=AF,∴AE=AF=ED=DF,∴四边形AEDF是菱形;24.(6分)如图,点A、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.(1)求证:四边形BCEF是平行四边形;(2)若∠DEF=90°,DE=8,EF=6,当AF为时,四边形BCEF是菱形.【分析】(1)由AB=DE,∠A=∠D,AF=DC,易证得△ABC≌DEF(SAS),即可得BC=EF,且BC∥EF,即可判定四边形BCEF是平行四边形;(2)由四边形BCEF是平行四边形,可得当BE⊥CF时,四边形BCEF是菱形,所以连接BE,交CF与点G,求出FG的长,则可求出答案.【解答】(1)证明:∵AF=DC,∴AC=DF,在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(SAS),∴BC=EF,∠ACB=∠DFE,∴BC∥EF,∴四边形BCEF是平行四边形;(2)解:如图,连接BE,交CF于点G,∵四边形BCEF是平行四边形,∴当BE⊥CF时,四边形BCEF是菱形,∵∠DEF=90°,DE=8,EF=6,∴DF===10,∴FG=CG=BC•cos∠BCA=6×=,∴AF=CD=DF﹣2FG=10﹣=.故答案为:.25.(6分)某校在一次大课间活动中,采用了三种活动形式:A跑步,B跳绳,C做操,该校学生都选择了一种形式参与活动.(1)小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查,根据调查统计结果,列出了两幅不完整的统计图,利用图中所提供的信息解决以下问题:①小杰共调查统计了160人;②请将图1补充完整;③图2中C所占的圆心角的度数是45°;(2)假设被调查的甲、乙两名同学对这三项活动的选择是等可能的,请你用列表格或画树状图的方法求一下两人中至少有一个选择“A”的概率.【分析】(1)①用参与B项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数;②用总人数乘以参加A项目的人数的百分比得到参与A项目的人数,然后补全条形统计图;③用360度乘参与C项目的百分比得到以图2中C所占的圆心角的度数;(2)画树状图展示9种等可能的结果数,找出两人中至少有一个选择“A”的结果数,然后根据概率公式求解.【解答】解:(1)①40÷25%=160,所以小杰共调查统计了160人;②参加A项目的人数为160×62.5%=100(人),图1补充完整为:③图2中C所占的圆心角的度数=360°×=45°;故答案为160;45°;(2)画树状图为:共有9种等可能的结果数,其中两人中至少有一个选择“A”的结果数为5,所以两人中至少有一个选择“A”的概率=.26.(6分)2010年在广州举行的亚运会前夕,某商场在销售中发现:亚运会吉祥物“乐洋洋”平均每天可售出20套,每套盈利40元.为了迎接亚运会,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存.经市场调查发现:如果每套降价5元,那么平均每天就可多售出10套.(1)如果每套降价5元,商场每天在销售吉祥物上盈利多少元?(2)若要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元,那么每套应降价多少元?【分析】(1)根据利润=售价﹣进价,且每套降价5元,那么平均每天就可多售出10套,可列式求解.(2)设每套应降价x元,果每套降价5元,那么平均每天就可多售出10套,若要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元,可列方程求解.【解答】解:(1)商场每天在销售吉祥物上盈利是:(40﹣5)(20+10)=1050 元(1分)(2)设每套应降价x元,依题意得:(40﹣x)(20+2x)=1200 (3分)整理得:x2﹣30x+200=0解得:x1=10,x2=20 (5分)∵尽快减少库存,∴x2=20 (6分)答:若要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元,那么每套应降价20元.(7分)27.(8分)如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是Rt△ABC 和Rt△BED边长,易知,这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.请解决下列问题:(1)写出一个“勾系一元二次方程”;(2)求证:关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根;(3)若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根,且四边形ACDE 的周长是6,求△ABC面积.【分析】(1)直接找一组勾股数代入方程即可;(2)通过判断根的判别式△的正负来证明结论;(3)利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值,根据完全平方公式求得ab 的值,从而可求得面积.【解答】(1)解:当a=3,b=4,c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0;(2)证明:根据题意,得△=(c)2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2(a2+b2)﹣4ab=2(a﹣b)2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根;(3)解:当x=﹣1时,有a﹣c+b=0,即a+b=c∵2a+2b+c=6,即2(a+b)+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4,a+b=2∵(a+b)2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S△ABC=ab=1.28.(9分)已知:如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于6cm2?(2)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,PQ的长度等于5cm?(3)在(1)中,△PQB的面积能否等于8cm2?说明理由.【分析】(1)设经过x秒钟,△PBQ的面积等于6平方厘米,根据点P从A点开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,表示出BP和BQ的长可列方程求解.(2)根据PQ=5,利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2,求出即可;(3)通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2.【解答】解:(1)设经过x秒以后△PBQ面积为6×(5﹣x)×2x=6整理得:x2﹣5x+6=0解得:x=2或x=3答:2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2(2)当PQ=5时,在Rt△PBQ中,∵BP2+BQ2=PQ2,∴(5﹣t)2+(2t)2=52,5t2﹣10t=0,t(5t﹣10)=0,t1=0(舍弃),t2=2,∴当t=2时,PQ的长度等于5cm.(3)设经过x秒以后△PBQ面积为8,×(5﹣x)×2x=8整理得:x2﹣5x+8=0△=25﹣32=﹣7<0∴△PQB的面积不能等于8cm2.。
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图12019----2020学年度北师大版九年级上学期第一次月考数学试卷(考试时间:100分钟,满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列方程是关于x 的一元二次方程的是( ) A .02=++c bx ax B .162-+x xC .02142333=--x x D .032)3(22=-++x x m 2.分别以下列四组数为一个三角形的边长① 6,8,10 ② 5,12,13 ③ 8,15,16④ 4,5,6,其中能构成直角三角形的有( )A .①④B .②③C .①②D .②④ 3.有三条公路相交如图1,现计划修建一个油库,要求到三条公路的距离相等,则符合条件的油库的位置有( )A .1处B .2处C .3处D .4处4.根据下表的对应值,判断方程02=++c bx ax (c b a a ,,,0≠为常数)的一个解x 的范围是( )x3.23 3.24 3.25 3.26 c bx ax ++2-0.06-0.020.030.09A .3<x <3.33B .3.23<x <3.24C .3.24<x <3.25 D. 3.25<x <3.26 5.方程0422=-+x x 的根的情况是( )A .有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根C. 有一个实数根D.没有实数根6.关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( ) A .1->k B. 1>k C. 0≠k D. 1->k 且0≠k 7.已知等腰三角形的一个内角为30°,则这个等腰三角形的顶角..为( ) A. 30° B. 75° C. 75°或120° D. 30°或120°8.九年级(2)的每个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张,若全班有x 名学生,根据题意列方程为( )A.2550)1(=+x xB.2550)1(=-x xC.2550)1(2=+x xD.25502)1(⨯=-x x 9.如图2,在△ABC 与△DEF 中,已有条件AB =DE,还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ,不能..添加的一组条件是( ) A .∠B =∠E ,BC =EF B. BC =EF ,AC =DFC . ∠A =∠D ,∠B =∠E D. ∠A =∠D ,BC =EF 10.如图3,在等腰△ABC 中,AB =AC ,∠A =30°,线段AC 的垂直平分线交AC 于D ,交AB 于E ,连接CE ,则∠BCE 等于( )A.70°B.60°C.45°D.50° 二、填空题(每小题4分,共24分)11.22____)(_____8-=+-x x x12.已知等腰△ABC 的腰AB =AC =10㎝,底BC =12㎝,则∠A 的平分线长是________㎝。
13.032)2(2=+-+x x a 是关于x 的一元二次方程,则a 所满足的条件是_______________。
14.某三角形ABC 空地种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a 元,则购买这种草皮至少需要_____元。
15.如图4,OC 平分∠AOB ,CE ⊥OA ,CF ⊥OB ,若24cm S OCF =∆,OF =4㎝ ,则CE =___________。
16.一个相框的长,宽分别是10㎝,6㎝,若在四边外围镶上等宽的金边,使新面积是旧面积的23,求金边的宽,若设宽为x ㎝,则列得方程为___________,化为一般形式是____________。
三、解答题(一)(每小题5分,共15分) 17.解方程:25)3(2=-x图3A BC DEF图2 OABC EF┐图4150° ︶ A BCD20m 30m 第14题图18.解方程:03122=+-x x (配方法)19.解方程:03522=--y y (公式法)四、解答题(二)(每小题8分,共24分)20.已知如图5,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,AD ⊥AC ,DC =6 求BD 的长。
21.已知AD 为∠BAC 的平分线,点O 在AD 上,OE ⊥BD 于E ,OF ⊥CD 于F ,且OE =OF ,请猜想AB 与CA 有什么数量关系?并说明理由。
ABC图5图622.如图7,△ABC 是等边三角形,CE =21BC . (1)作出△ABC 的中线BD (尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法、证明) (2)连接DE ,求证:△BDE 是等腰三角形五、解答题(三)(每小题9分,共27分)23.如图8,在△ABC 中,∠B =2∠C ,AD ⊥BC 于D ,作AC 的垂直平分线,分别交于AC 于G ,交CD 于H ,连接AH 。
求证:(1)AB =AH (2)CD =AB +BD图7ABCDG H ┐图824.如图9,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6㎝,BC =8㎝,点P ,Q 同时从A ,B 两点出发,分别沿AC ,BC 方向向点C 匀速运动,它们的速度都是1㎝/s ,那么几秒后,P ,Q两点之间的距离为52㎝?25.(1)如图A ,点O 是线段AD 的中点,分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ,连接AC 和BD ,相交于点E ,连接BC .求∠AEB 的大小; (2)如图B ,△OAB 固定不动,保持△OCD 的形状和大小不变,将△OCD 绕点O 旋转(△OAB 和△OCD 不能重叠),求∠AEB 的大小.ABC P Q图9图AF图BF密 封 线学校 班级 姓名 座号 2013~2014学年度第一学期九年级第一次质检数学答题卷(考试时间:100分钟,总分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分) 二、填空题(每小题4分,共24分)11.22____)(_____8-=+-x x x ;12. ________ ;13. _____________ 14._______;15. ___________ ;16. _________________________ , _________________________三、解答题(一)(每小题5分,共15分)17.解方程:25)3(2=-x18.解方程:03122=+-x x (配方法)19.解方程:03522=--y y (公式法)四、解答题(二)(每小题8分,共24分) 20. 21.ABC图5图622.五、解答题(三)(每小题9分,共27分)23.图7AB C DGH┐图8密 封 线24. 25.BC Q图9图A图B参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)二、填空题(每小题4分,共24分)11.24 , 4 ; 12. 8 ; 13. 2-≠a ; 14. a 150 ; 15. 2㎝ ; 16. 61023)210)(26(⨯⨯=++x x , 0758030032422=-+=-+x x x x 或 三、解答题(一)(每小题5分,共15分)17.解:5)3(±=-x ∴ 5353-=-=-x x 或 ∴ 2,821-==x x18.解:3122-=-x x 22263612+-=+-x x 33)6(2=-x∴ 336±=-x ∴ 336336-=-=-x x 或 ∴ 633,63321-=+=x x19.解:∵ 3,5,2-=-==c b a ∴ 0492425)3(24)5(422>=+=-⨯⨯--=-ac b∴ 4752249)5(±=⨯±--=x ∴ 21,321-==x x四、解答题(二)(每小题8分,共24分) 20.解:∵ AB =AC ,∠BAC =120°∴ ∠B =∠C =30°∵ AD ⊥AC ,即∠DAC =90°∴ ∠BAD =120°-90°=30° ∴ BD =AD在Rt △DAC 中,∠C =30°∴ AD =21DC 3621=⨯= ∴ BD =3 21.解:AB =AC理由:∵ OE ⊥BD ,OF ⊥DC ,且OE =OF∴ DA 为∠BDC 的角平分线 ∴ ∠BDA =∠CDA又∵AD 为∠BAC 的角平分线, 即∠BAD =∠CAD题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCDCADDBDDAB C图5图62又∵AD =AD ∴ △BAD ≌△CAD (ASA ) ∴ AB =AC22.解:(1)作图略(4分)(2)∵ △ABC 为等边三角形 ∴ ∠ABC =∠ACB =60° ∵ BD 是△ABC 的中线 ∴ ∠DBC =21∠ABC =30° ∵ CE =21BC =21AC ∴ CE =CD ∴ ∠E =∠CDE ∵ ∠BCA =∠E +∠CDE =60°∴ ∠E =30° ∴ ∠DBE =∠E =30° ∴ △BDE 是等腰三角形 五、解答题(三)(每小题9分,共27分) 23.解:(1)证明:∵ HG 为AC 的垂直平分线∴ HA =HC ∴ ∠C =∠CAH ∴ ∠AHB =∠C +∠CAH =2∠C ∵ ∠B =2∠C ∴ ∠AHB =∠B ∴ AB =AH(2)证明:∵ AD ⊥HB ,AH =AB ∴ HD =DB∵ AH =HC ,AH =AB ∴ AB =CH ∴ CD =CH +HD =AB +DB 24.解:设x 秒后,PQ =52㎝,则PC =)6(x -㎝,QB =)8(x -㎝,由勾股定理得:222)52()8()6(=-+-x x整理得:040142=+-x x 解得:0,421==x x (不合舍去)答:4秒后,PQ =52㎝25.解:(1)∵△OAB 和△OCD 是等边三角形,OA =OD ∴ OD =OB ,∠DOC =∠AOB =60° ∴ ∠DOB =180°-∠AOB =120°∠BDO =∠DBO =︒︒︒=-302120180 同理可得:∠OAC =30°∴ ∠AEB =∠BDA +∠EAD =30°+30°=60° (2)依题意知:OB =OD ,OC =OA ∵ ∠DOC +∠COB =∠AOB +∠BOC ∴ ∠BOD =∠AOC∴ △DOB ≌△COA ∴ ∠DBO =OACAB图7ABCDG H ┐图8BC Q图9图A图B∵∠EFB=∠AFO∴△AOF∽△BEF∴∠AEB=∠AOB=60°2。