3.3-幂函数教案1 高中数学必修一 苏教版
高中数学3.3幂函数教案苏教版必修1
．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能常见幂函数的概念、图象和性质；一、问题情境情境：我们以前学过这样的函数：y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 1，试作出它们的图象，并观察其性质．问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？二、数学建构1．幂函数的定义：一般的我们把形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是变量，指数α是常数．2．幂函数y ＝x α图象的分布与α 的关系：对任意的α∈ R ，y ＝x α在第I 象限中必有图象；若y ＝x α为偶函数，则y ＝x α在第II 象限中必有图象；若y ＝x α为奇函数，则y ＝x α在第III 象限中必有图象；X=1y=1y=XIIIIII对任意的α∈ R ，y ＝x α的图象都不会出现在第VI 象限中． 3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)： （1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；α≤0时，图象过只过定点(1，1)．（2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减．三、数学运用例1 写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性 （1）y ＝12x ； （2）y ＝2x -；（3）y ＝22x x -+； （4）y ＝1122x x-+．例2 比较下列各题中两个值的大小． （1）1.50.5与1.70.5（2）3.141与π1（3）(－1.25)3与(－1.26)3（4）314与221例3 幂函数y ＝x m；y ＝x n；y ＝x 1与y ＝x 在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判断实数m ，n 与常数－1，0，1的大小关系． 练习：（1）下列函数：①y ＝0.2x ；②y ＝x 0.2；③y ＝x 3；④y ＝3·x 2．其中是xyOy ＝x y ＝x m y ＝x -1 y ＝x n为本精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.3 幂函数》1
《幂函数》教学设计常州市第二中学蒋理一、教学需求分析1、适用对象分析适用于高一已经学习了函数的概念和图象以及指数函数，对数函数这两大类函数的学生，由学习上述两类函数的经验，从定义域，值域，奇偶性，单调性，定点这5个相同的角度来自我学习一类新的函数，从而化解了学习的难度。
2、学习内容分析参照指、对函数的学习经验，通过ece，几何画板作图从五个角度直观分析函数，找出三类幂函数的异同，并且利用总结出的性质比较幂函数的大小关系。
3、教学目标分析（1）三维教学目标分析A、过程目标：通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力，使学生体会数形结合的思想。
B、知识技能目标：了解幂函数的概念，会画幂函数2132,1y=x=y==-,的图象，并能结合这几个x=,x,,yxxyy幂函数的图象，了解幂函数的图象的变化情况和性质。
C、情感目标：通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。
利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。
（2）教学重难点分析教学重点：幂函数的概念和性质。
教学难点：幂函数的单调性与幂函数的关系。
4、教学教法分析（1）教法分析利用软件绘制幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，类比指数函数，对数函数的研究方法，从定义域，值域，奇偶性，单调性，定点这五个角度来学习一类新的函数。
（2）学法分析通过软件绘制的幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，直观感知五类常见的幂函数，回忆指数函数，对数函数的学法，类比总结幂函数的性质。
（3）教学用具分析利用ece 软件和几何画板作图让学生直观感知幂函数的图象。
二．教学设计。
2023年高中数学幂函数教学教案(7篇)
2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。
力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。
情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。
（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。
2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。
（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。
为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。
问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。
函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。
）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。
将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。
教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。
苏教版高中数学必修一幂函数教案
【课题】幂函数的性质与图像【执教者】：关雅南（上海师范大学附属外国语中学）【教学目标】：知识和技能：理解幂函数的概念，掌握幂函数的性质与图像并能简单应用。
过程和方法：通过研究性质培养学生分析归纳的思维能力，体会从特殊到一般的研究问题的数学方法和数形结合的数学思想。
情感、态度和价值观：培养学生积极探究、合作交流的学习品质，激发学生的学习兴趣和探究热情。
【教学重点】：幂函数的性质与图像【教学难点】：幂函数性质与图像特征的归纳【教学过程】：一． 创设情境，引入新知回顾初中阶段所学的正比例函数如y=x,反比例函数如y=x1即y=1-x ，二次函数如y=2x ，另外正方体的体积y 关于边长x 的函数解析式为y=3x ,正方形的边长y 关于面积x 的函数关系式为y=x 即y=21x ，分析这些函数有什么共同特征？解析式右边为幂的形式，底数为自变量，系数为1.这些函数可统一写成y=k x 的形式，引出幂函数的定义。
二． 幂函数定义一般地，函数y=k x （k 为常数，k ∈Q ）叫做幂函数（power function ） 概念巩固：判断下列函数是否为幂函数？（1） y=x 3.0 （2）y=21_x （3）y=3x +x (4) y=23x三． 研究特殊的幂函数的性质与图像的方法例题：研究函数y=21_x 的定义域、奇偶性和单调性，并且作出它的图像。
（师生共同探究此幂函数性质，课件演示利用描点法作出的函数图像，并观察此幂函数性质在图像上的体现）。
自主探究： 研究函数y=32x 的定义域、奇偶性、单调性和最大值或最小值。
（在课堂练习单上独立完成，投影演示，师生共同评价）四． 合作探究一般的幂函数性质与图像特征1.教师演示：在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21_x、 y=2-x 和y=31_x 的图像，认真观察图像，体会其中蕴含的函数性质。
2.小组讨论： 归纳幂函数（k π0）的性质和图像特征（1） 在第一象限单调性如何？（2） 有无公共点?（3） 图像与坐标轴的位置关系？（4） 图像的象限分布有何特点？特点由什么确定？3.类比探究：在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21x 、 y=32x 和y=31x 的图像，幂函数y=23x 、 y=2x 和y=3x 的图像，类比探究当0πk π1和k φ1时幂函数性质五． 课堂巩固、简单应用练习：比较下列两组数的大小 ①253_________251.3 ② (-0.96)31__________ (-0.95)31_六． 课堂小结今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获？七． 布置作业：课本81页：习题4.1写一篇题为《幂函数研究方法初探》的数学小论文。
高中数学“幂函数”教学设计
高中数学“幂函数”教学设计作者：***来源：《江苏教育·中学教学版》2024年第05期【关键词】高中数学；方法引领；教学设计；幂函数【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2024）19-0043-04【作者简介】杨玲玲，江苏省句容市第三中学（江苏句容，212400）教师，一级教师。
一、教学内容分析本节课的内容选自苏教版普通高中数学教材必修一第6章第1节，是第5章《函数》内容的延续和深化，也是函数思想方法应用的具体化。
学生在初中时已经接触过y = x，y = x2，y = x-1等函数，对这些函数有一定的认知基础和研究经验。
教学时，教师可以引导学生梳理已有经验，帮助学生学会从数和形两个角度来研究幂函数的性质。
这样的研究方式对后续内容的学习起着引领、指导和组织的作用，能够帮助学生建立研究函数模型的方法范式，从而实现数学知识和方法的自然延拓。
二、教学目标设置1.了解幂函数的概念，会画出y = x，y = x2，y = x3，y = x-1，y = x[12]等幂函数的图象；2.了解几个常见的幂函数的性质，会利用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数幂值的大小；3.经历探究幂函数图象与性质的过程，明确研究一类函数模型的基本方法，进一步体会数形结合、特殊与一般等数学思想，培养直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养。
三、学情分析1.学生已有的认知基础本节课的授课对象是江苏省四星级普通高中高一学生，在知识结构上，他们在初中时已经研究了一次函数、二次函数、反比例函数等初等函数，在高中又学习了函数的概念及简单性质，已经积累了研究函数的初步知识基础。
在经验方法上，他们经历了对y = x，y = x2，y = x-1等函数的初步学习，已经拥有了研究函数的基本经验，并具备一定的观察、分析、抽象、概括能力。
2.达成目标所需的认知基础在探究幂函数性质的过程中，需要学生对数形结合思想有较深刻的认识和理解，有较强的直观想象、逻辑推理能力和良好的独立思考、合作交流等学习习惯。
高中数学3.3幂函数教案苏教版必修1
3.3 幂函数教学目标：1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质；2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力；3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．教学重点：常见幂函数的概念、图象和性质；教学难点：幂函数的单调性及其应用．教学方法：采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性，教师利用实物投影仪及计算机辅助教学．教学过程：一、问题情境情境：我们以前学过这样的函数：y ＝x，y＝x2，y＝x1，试作出它们的图象，并观察其性质．问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？二、数学建构1．幂函数的定义：一般的我们把形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是变量，指数α是常数．2．幂函数y＝x α图象的分布与α的关系：对任意的α∈ R，y＝xα在第I象限中必有图象；若y＝xα为偶函数，则y＝xα在第II象限中必有图象；若y＝xα为奇函数，则y＝xα在第III象限中必有图象；对任意的α∈ R，y＝xα的图象都不会出现在第VI象限中．3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：（1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；α≤0时，图象过只过定点(1，1)．（2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减．三、数学运用例1 写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性（1）y＝12x；（2）y＝2x-；（3）y＝22x x-+；（4）y＝1122x x-+．例2 比较下列各题中两个值的大小．（1）1.50.5与1.70.5（2）3.141与π1（3）(－1.25)3与(－1.26)3（4）314与221例3 幂函数y＝x m；y＝x n；y＝x1与y＝x在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判断实数m，n与常数－1，0，1的大小关系．练习：（1）下列函数：①y＝0.2x；②y＝x0.2；③y＝x3；④y＝3·x2．其中是幂函数的有（写出所有幂函数的序号）．（2）函数122(2)y x x-=-的定义域是．（3）已知函数21()(1)a af x a x+-=-，当a＝时，f(x)为正比例函数；当a＝时，f(x)为反比例函数；当a＝时，f(x)为二次函数；当a＝时，f(x)为幂函数．（4）若a＝231()2，b＝231()5，c＝131()2，则a，b，c三个数按从小到大的顺序排列为．四、要点归纳与方法小结1．幂函数的概念、图象和性质；2．幂值的大小比较方法．五、作业课本P90-2，4，6．x 1。
高中数学必修一 《3 3 幂函数》精品说课课件
y＝x2 _R__ _[_0_，__＋__∞__) _偶__
y＝x3
1
y x2
_R__ [_0_，__＋__∞__)
_R__ _[0_，__＋__∞__)_
_奇__ __非__奇__非__偶__
y＝x－1 {_x_|_x_≠__0_} {_y_|_y_≠__0_}
2
解 y x3 3 x2 ，定义域为R，在[0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，
故其图象如下：
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)幂函数的定义. (2)几个常见幂函数的图象. (3)幂函数的性质. 2.方法归纳： (1)运用待定系数法求幂函数的解析式. (2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想. 3.常见误区：对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)为幂函数，其它 形式都不是幂函数.
1.以下结论正确的是 A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
√D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
12345
2.下列不等式成立的是
√
1
1 2
A. 3
跟踪训练 1 (1)已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点12， 22，则 k＋α 等于
1 A.2
B.1
√3
C.2
D.2
解析 由幂函数的定义知k＝1. 又 f 12＝ 22，所以12α＝ 22， 解得 α＝12，从而 k＋α＝32.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于
高中数学新教材《3.3幂函数》说课稿(经典、完美)
9
引入概念:（5min）
（2）引导学生对幂函数做出定义：
一般地，函数 y xa 叫作幂函数，其中x是
自变量，a是常数。
10
• （3）引导学生用列表描点法，应用函数的性质
，如奇偶性，定义域等，在直角坐标系内作出幂
函数
1
y x, y x2 , y x3, y x 2 , y x1
设计意图
使学生强化认识，更深刻地理解 球的体积和表面积的公式及其应用 并且逐渐地培养学生形成良好的个 性。
19
4、布置作业（2min） P79 1、2
设计意图：巩固知识并及时反馈教学信息，了解学生对幂函数图像 性质的掌握程度。
20板书设计：Fra bibliotek幂函数
1、幂函数定义
根据函数单调性判断
2、幂函数与指数
同指数的幂函数的大 小的方法
函数、的区别
3、幂函数的图像 及简单的性质
例一
练习1、2 作业
设计意图：简洁明了，重点突出，使学生更好地掌握这节课的重点知识。
21
22
的图像最后，
利用电脑软件画出以上几个函数的图像并展示给
学生：
(8min)
11
图像：
12
让同学们一起观察与谈论，共同得出各函数的定义 域，值域，奇偶性，单调性等，并填入表格：
13
(5min)
（5）让学生通过观察图像与表格，分组讨论，探究幂 函数的性质和图像的变化规律，引导学生得出幂函 数的性质：
1. 所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图像都过点（1， 1）
2. 如果a＞0，则幂函数的图像通过原点，并在区间［0，＋∞） 上是增函数．
3. 如果a＜0，则幂函数在（0，＋∞）上是减函数，在第一象内， 当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地趋近y轴；当 ｘ趋向于＋∞时，图像在x轴上方无限地趋近x轴．
高中数学幂函数的教案
高中数学幂函数的教案
一、教学目标：
1. 理解幂函数的基本概念和特点；
2. 掌握幂函数的图像特征和性质；
3. 能够解决幂函数相关的问题。
二、教学重点：
1. 幂函数的定义和基本特点；
2. 幂函数的图像性质。
三、教学难点：
1. 幂函数的特殊情况的解决方法；
2. 幂函数的应用问题的解决。
四、教学过程：
1. 导入：通过实际生活中的例子引入幂函数的概念，引发学生的兴趣。
2. 概念讲解：介绍幂函数的定义和基本特点，解释幂函数的图像特征和性质。
3. 实例演练：通过案例分析，让学生运用所学知识解决幂函数相关的问题。
4. 拓展应用：引导学生探讨幂函数在实际问题中的应用，开拓思维。
五、课堂讨论：组织学生讨论幂函数的特殊情况和解决方法，促进学生之间的交流和思考。
六、练习测试：布置与幂函数相关的习题，检验学生对知识的掌握程度。
七、总结反思：引导学生总结本节课的重点知识，反思学习过程中的问题和感悟。
八、课后复习：提醒学生及时复习幂函数相关知识，完成作业，并准备下节课内容。
九、教学手段：采用多媒体教学、案例分析、讨论互动等方式，激发学生学习兴趣。
十、教学评估：根据学生的学习情况和表现，及时调整教学策略，确保教学效果。
十一、教学延伸：鼓励学生主动学习，拓展幂函数相关知识，提高数学思维能力。
以上是高中数学幂函数的教案范本，仅供参考。
祝教学顺利！。
(新教材)高中数学必修第一册第3章 3.3 幂函数
跟踪训练 1 (1)已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点12， 22，则 k＋α 等于
1 A.2
B.1
√3
C.2
D.2
解析 由幂函数的定义知k＝1. 又 f 12＝ 22，所以12α＝ 22， 解得 α＝12，从而 k＋α＝32.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于
(2)下列关于函数 y＝xα 与 y＝αxα∈－1，12，2，3的图象正确的是
√
反思
感悟 (1)幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在 第一象限内的图象. ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂 函数f(x)在其他象限内的图象. (2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同， 所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同.同时，注意分类讨论思想的应用.
A.1
√B.2
C.3
D.4
解析 幂函数有①⑥两个.
(2)已知 y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3 是幂函数，求m，n的值.
解 由题意得m2n2－＋32＝m－0，2＝1，
m＝－3， m＝1，
解得n＝32
或n＝32.
所以 m＝－3 或 1，n＝32.
反思
感悟 判断函数为幂函数的方法 (1)自变量x前的系数为1. (2)底数为自变量x. (3)指数为常数.
在(0，＋∞)上_减__， _增__
在(－∞，0)上_减__
知识点三 一般幂函数的图象特征
1.所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 (1,1) . 2.当α>0时，幂函数的图象通过 原点 ，并且在区间[0，＋∞)上是 增 函数.特别地，当 α>1时，幂函数的图象 下凸 ；当0<α<1时，幂函数的图象 上凸 . 3.当 α<0 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数. 4.幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称. 5.在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序， 幂指数按从 小 到 大 的顺序排列.
数学苏教版必修1 幂函数的导数 教案
幂函数的导数教学目标：掌握常数函数与幂函数的导数的求法 教学重点：公式1)'(-=n n nx x )(Q n ∈的推导 教学过程一、复习：导数的概念及其几何意义 二、引入新课 1. 0'=C (C 为常数)说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数C y =的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0. 证明：()y f x ==C ，∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=C －C=0∴x y∆∆=0，y '=C ′=x y x ∆∆→∆0lim =0，∴y '=0.2. 1)'(-=n n nx x (Q n ∈)说明：实际上，此公式对R n ∈都成立，但证明较复杂，所以这里只给出了*N n ∈的证明以供教师参考证明：()y f x ==n x∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=()n nx x x +∆-=nx +1C n 1n x -Δx+2C n 2n x -(Δx)2+…+n n C ()n x ∆－n x =1C n 1n x -Δx+2C n 2n x - (Δx)2+…+n n C ·()n x ∆x y ∆∆=1C n 1n x -+2C n 2n x -Δx+…+n n C ·1()n x -∆ ∴y '=()nx '=x y x ∆∆→∆0lim=lim→∆x （1C n 1n x -+2C n 2n x -Δx+…+n n C ·1()n x -∆）=1C n 1n x -=n 1n x -∴y '=1)'(-=n n nx x3、例子例1 求 (1)(x3)′ (2)(21x )′ (3)(x )′解：(1) (x3)′=3x3－1=3x2；(2) (21x )′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3(3)x x x x x 212121)()(2112121==='='-- 例2质点运动方程是51t s =, 求质点在2=t 时的速度．解：∵51t s =，∴ 6555)()1(---='='='t t t s ,∴6452562-=⨯-='-=t s ．答：质点在2=t 时的速度是645-．。
苏教版高中数学必修1幂函数教案1
幂函数教学目标：知识与技能 通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用。
过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质；培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的能力。
情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，培养学生合作交流的意识。
教学重点：重点 从五个具体幂函数图象中认识幂函数的一些性质。
难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。
教学关键：揭示出幂函数y x α=的图象的规律。
教学准备：多媒体课件，几何画板。
教学方式：引导教学法、探索讨论法、多媒体教学法。
学法指导：操作实验、自主探索、合作交流。
教学程序与环节设计：的函数，其中x是自变量，是α常数。
函数与指数函数的异同。
组织探究材料一：幂函数定义及其图象。
一般地，形如αxy=)(Ra∈的函数称为幂函数，其中α为常数。
例1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）y =1x2（2）y=2x2 （3）y=x2 + x（4）y = 2x （5）y=1下面我们举例学习这类函数的一些性质。
利用几何画板作出下列函数的图象：（1）xy=；（2）21xy=；（3）2xy=；（4）1-=xy；（5）3xy=．师：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，其特征可归纳为“两个1”，即：系数为1，只有1项。
引导学生注意辨析。
生：观察所图象，体会幂函数的变化规律。
归纳概材料二：幂函数的图象变化规律归纳（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都经过点（1，1）；（2）当0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在第一象限图象逐渐上升；当0<α时，幂函数的图象在第一象限逐渐下降。
在第一象限内，当x从右边趋向原点时，师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的图象变化规律和性质。
高中数学教案《幂函数
高中数学教案《幂函数》章节一：幂函数的定义与性质教学目标：1. 理解幂函数的定义；2. 掌握幂函数的性质；3. 能够运用幂函数的性质解决问题。
教学内容：1. 幂函数的定义：函数形式为f(x) = x^a，其中a 为实数，a ≠0；2. 幂函数的性质：a) 当a > 0 时，函数在x > 0 时单调递增，在x < 0 时单调递减；b) 当a < 0 时，函数在x > 0 时单调递减，在x < 0 时单调递增；c) 当a = 0 时，函数为常值函数f(x) = 1；d) 幂函数的图像是一条经过原点的曲线，且当x 趋向于正无穷或负无穷时，函数值趋向于正无穷或负无穷。
教学活动：1. 引入幂函数的概念，引导学生理解幂函数的定义；2. 通过示例，引导学生掌握幂函数的性质；3. 布置练习题，巩固学生对幂函数性质的理解。
章节二：幂函数的图像与性质教学目标：1. 学会绘制幂函数的图像；2. 理解并掌握幂函数的性质；3. 能够运用幂函数的性质解决问题。
教学内容：1. 幂函数的图像特点：a) 当a > 0 时，图像从左下到右上递增；b) 当a < 0 时，图像从左上到右下递减；c) 当a = 0 时，图像为一条水平线。
2. 幂函数的性质：a) 奇偶性：当a 为奇数时，函数为奇函数；当a 为偶数时，函数为偶函数；b) 单调性：当a > 0 时，函数在定义域内单调递增；当a < 0 时，函数在定义域内单调递减；c) 周期性：幂函数一般没有周期性。
教学活动：1. 通过示例，引导学生学会绘制幂函数的图像；2. 通过示例，引导学生理解并掌握幂函数的性质；3. 布置练习题，巩固学生对幂函数图像与性质的理解。
章节三：幂函数的应用教学目标：1. 学会运用幂函数解决实际问题；2. 能够运用幂函数的性质解决数学问题。
教学内容：1. 幂函数在实际问题中的应用：a) 速度与时间的关系：v = at^2；b) 温度与摄氏度的关系：T = (t t0)^3。
高中数学苏教版高一必修1教案 3.3幂函数
2.4 幂函数整体设计教材分析幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数，幂函数模型在生活中是比较常见的，和许多生活实例都有密切的联系，幂函数的解析式虽然简单，但是幂函数的性质却是非常复杂的.因此,在研究幂函数的概念和性质时,可以组织学生通过生活实例了解幂函数的概念，并通过计算机画出它们的图象，观察总结幂函数图象的变化情况和性质，尤其是幂指数a的不同取值对幂函数单调性的影响.通过几个常见的幂函数图象加深学生对幂函数概念的理解.对于幂函数和指数函数这两类函数的解析式学生容易混淆，因此在引出幂函数的概念后要组织学生结合具体的例子比较分析它们的异同，并组织学生讨论：在我们学过的函数里面，哪些函数是幂函数？通过对幂函数的学习，能让学生熟练利用幂函数的性质比较两个或是多个不同指数式的大小问题和求变量范围的问题，同时，借助于几个例子加深对幂函数概念的理解也是本节研究的一个重要方面.三维目标1.通过具体实例引入幂函数的概念，会画几个常见的幂函数图象，并结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质.2.通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象能力和识图能力.通过利用幂函数图象解决有关问题，使学生加深对函数概念的理解，在这一过程中培养学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力.3.在教学过程中，通过学生相互交流，来加深对幂函数概念和性质的理解，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.重点难点教学重点：幂函数概念以及常见幂函数的图象和性质.教学难点：①幂指数的变化对函数图象的影响.②数形结合解决大小比较以及求含参数的问题.课时安排2课时教学过程第一课时幂函数(一)导入新课问题1：小明买一元钱一支的笔ω支，那么他需要付的钱数p(元)和他买的笔的数量之间的关系如何？问题2：小车从静止开始做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，试写出其位移s和时间t的关系.问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V与边长a的关系如何？问题4：如果正方形的面积为S，则正方形的边长a和面积S的关系如何？问题5：如果小华t s内骑自行车行进了1 km，那么他骑车的平均速度是多少？分析：对于问题1，它们的关系为p=ω，根据函数的定义可知，这里的p是ω的函数；对于问题2，因为初速度为零，根据位移和时间的关系以及加速度的关系，可以得到以下关系：s=t 2，这里s 是时间t 的函数；对于问题3中的正方体的体积V 与边长a 的关系很简单，即V=a 3，这里V 是a 的函数；对于问题4，由正方形的面积S 和边长a 的关系可以得到S=a 2，所以正方形的边长a 和面积S 的关系为a=S 21，这里边长a 是面积S 的函数；问题5中的平均速度为v=t -1 km/s ，这里的平均速度v 是时间t 的函数. 合作探究：以上是我们生活中经常遇到的几个函数模型，你能发现上述几个函数解析式的共同点吗？分析：由上述的p=ω；s=t 2；V=a 3；a=S 21；v=t -1这几个函数模型，我们可以发现，解析式的右边都是指数式，而且底数都是自变量.如果设自变量为x ，因变量为y ，则以上的解析式就有以下具体的函数式：y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21；y=x -1.这几个函数式满足y=x α这种形式，我们把此类函数叫幂函数，这就是今天我们将要所学的又一类重要的基本初等函数模型.推进新课 新知探究1.一般地，我们把形如y=x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 是常数. 思考：幂函数与指数函数有什么区别？(组织学生回顾指数函数的概念，明确二者的区别，得出如下结论) 结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式来看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数；对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数.2.请同学们在同一个坐标系内画出y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21；y=x -1的函数图象(提示学生画图要列表、描点、连线)，条件好的学校可以利用计算机几何画板画出上述的几个函数图象.注：y=x ，y=x 2这两个函数图象以前学过，学生很容易就可以画出，可以不用列表描点了，关键是y=x 3；y=x 21；y=x -1这三个函数图象该如何绘制呢？老师可以边巡视边提示. 教师用多媒体显示如下图表，请学生完成下列表格的内容：y=x y=x 2y=x 3y=x 21y=x -1定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 图象范围合作探究：根据上表的内容并结合图象，试总结y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21；y=x -1的共同性质(学生交流，老师结合学生的回答组织学生总结出如下性质).1.图象均过(1，1)点，特别的，y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21的图象过原点和(1，1)点，而y=x -1的图象过定点(1，1)点.2.在第一象限，y=x ；y=x 2；y=x 3；y=x 21是单调递增的，其中y=x 2，y=x 3在(1，1)点的右侧是高于y=x 的图象的，y=x 21在(1，1)点的右侧是低于y=x 的图象的，而y=x -1是单调递减的.3.y=x ；y=x 3；y=x -1是奇函数，y=x 2是偶函数，y=x 21为非奇非偶函数.注：y=x -1在区间(-∞，0)和(0，+∞)是减函数，能否说y=x -1在定义域内是减函数呢？答案是否定的，原因如下：如果说y=x -1在定义域内是减函数，根据函数单调性的定义，对于定义域(-∞，0)∩(0，+∞)内任意的值，当x 1，x 2∈(-∞，0)∪(0，+∞)且x 1＜x 2有y 1＞y 2，但是在-2＜1时，却有(-2)-1＜(1)-1不能满足减函数的定义.注意：当函数f(x)的定义域不连续时，如果它在两个区间上都单调递增或单调递减，不能说函数在定义域上单调递增或单调递减，需分区间分别叙述函数f(x)在各个区间上的单调性.应用示例例1 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性. (1)y=x 23；(2)y=x 32；(3)y=x23 ；(4)y=x -2.问题1：观察以上函数的解析式，你能发现解析式中对于自变量x 都有哪些限制条件吗？ (学生进行交流，并得出如下结论)结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数的解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据“分式的分母不能为0”这一限制条件来求出对应函数的定义域.问题2：如何来判断函数的奇偶性呢？ (学生进行交流，并得出如下结论)结论：首先要看函数的定义域是否关于数0对称，然后根据定义域内的任意自变量x 是否有f(-x)=f(x)，或f(-x)=-f(x)来进行判断.下面请同学们根据我们的分析给出完整的解答过程，老师进行课堂评价.解：(1)函数y=x 23即y=3x ，其定义域为［0，+∞)，所以它既不是奇函数也不是偶函数，在(0，+∞)上单调递增.(2)函数y=x 32即y=32x ，其定义域为R ，是偶函数，它在区间(0，+∞)上单调递增，在区间(-∞，0)上单调递减. (3)函数y=x23-即y=31x ，由x 3＞0得其定义域为(0，+∞)，所以它既不是奇函数也不是偶函数，在(0，+∞)上单调递减. (4)函数y=x -2即y=21x，由x 2≠0得其定义域为(-∞,0)∪(0，+∞)，因此函数y=x -2在定义域上是偶函数，在区间(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减.探究：请同学们根据我们以上的分析，把上述函数图象的大概形状画出来.并总结归纳幂函数的指数变化时对幂函数定义域的影响.(学生讨论交流，老师结合学生的交流内容，总结并简单板书如下) (1)α∈N +时，x ∈R ；(2)α∈Z 且α≤0时，x ∈(-∞，0)∪(0，+∞)； (3)α=mn(其中m ，n 互质，且m ，n ∈N +)时，若m 是偶数，则x ∈{非负实数}，若m 是奇数，则x ∈R . (4)α=-mn(其中m ，n 互质，且m ，n ∈N +)时，若m 是偶数，则x ∈{正实数}，若m 是奇数，则x ∈(-∞，0)∪(0，+∞). 点评：这两个变式考查了幂函数的定义和幂函数图象特征的综合应用，尤其是幂指数的值对幂函数的单调性以及奇偶性的影响，这是学生在充分掌握幂函数的图象和性质的基础上才能解决的问题. 合作探究：我们研究的几个常见幂函数的性质，这些性质是否也适用于其他的幂函数？ (师生共同探究，师使用几何画板软件，画出函数y=x α的图象，改变指数α的值，组织学生观察、分析所得到的函数图象，在动态变化过程中让学生了解幂函数的性质，得出如下结论)知识拓展：幂函数y=x α图象的基本特征是：当α＞0时，图象过原点和(1，1)点，且在第一象限随x 的增大而上升，当α＞1时，在(1，1)点的右侧是高于y=x 的图象的，即图象越靠近y 轴；当0＜α＜1时，在(1，1)点的右侧是低于y=x 的图象的，即图象越靠近x 轴；当α＜0时，图象不过原点而过(1,1)点，且在第一象限随x 的增大而下降.可以用一句话来概括：幂函数在第一象限的图象，当幂指数越大时，函数图象也越高.例2 根据下列条件对于幂函数y=x α的有关性质的叙述，分别指出幂函数y=x α的图象具有下列特点时的α的值，其中α∈{-2,-1,21-,31,21,1,2,3}. (1)图象过原点，且在第一象限随x 的增大而上升；(2)图象不过原点，不与坐标轴相交，且在第一象限随x 的增大而下降； (3)图象关于y 轴对称，且与坐标轴相交； (4)图象关于y 轴对称，但不与坐标轴相交；(5)图象关于原点对称，且过原点； (6)图象关于原点对称，但不过原点.解：(1)因为幂函数y=x α的图象过原点，可知幂指数为正数.又函数图象随x 的增大而上升，所以α=31，21，1，2，3. (2)因为幂函数y=x α的图象不过原点，可知幂指数不大于0.又函数图象不与坐标轴相交且在第一象限随x 的增大而下降，所以α=-2，-1，21-. (3)因为幂函数y=x α的图象关于y 轴对称，所以此幂函数为偶函数，又与坐标轴相交，可知幂指数α=2.(4)因为幂函数y=x α的图象关于y 轴对称，所以此幂函数为偶函数，但不与坐标轴相交，所以幂指数α=-2.(5)因为幂函数y=x α的图象关于原点对称，所以此幂函数为奇函数，又图象过原点，所以α=31，1，3. (6)因为幂函数y=x α的图象关于原点对称，所以此幂函数为奇函数，又图象不过原点，所以α=-1.点评：通过本例的训练，加深学生对幂函数的学习和认识，对于我们生活中常见的幂函数有了更深刻的了解，我们可以根据幂函数的幂指数的具体值，来判定幂函数图象过定点，在第一象限的单调性，在定义域上的奇偶性；也可根据幂函数图象过定点，在第一象限的单调性，以及在定义域上的奇偶性来判定幂指数的具体取值，达到了这样的学习要求，就掌握了幂函数的概念和图象，从而达到我们的教学目标. 例3 已知函数y=42215x x --，(1)求函数的定义域、值域； (2)判断函数的奇偶性； (3)求函数的单调区间.分析：这是个幂函数的复合函数形式，本例中的函数的基本形式是开偶次方根，故定义域只要根式下大于或等于0即可，值域要先求根式下面二次函数的值域，然后再开方；对于复合函数奇偶性的判断，要先求定义域，定义域首先要关于原点对称，然后根据对定义域内的任意自变量x 是否有f(-x)=f(x)，或f(-x)=-f(x)来进行判断，满足前者为偶函数，满足后者为奇函数；对于复合函数单调区间的求解，则要在定义域内根据内函数和外函数的单调性来综合判断.解：令t=15-2x-x 2，则y=4t .(1)由15-2x-x 2≥0⇒-5≤x≤3，得函数的定义域为［-5，3］；而t=15-2x-x 2=16-(x+1)2∈［0，16］，所以函数的值域为［0，2］.(2)因为函数的定义域为［-5，3］不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数.(3)因为函数的定义域为［-5，3］，对称轴为x=-1，所以当x ∈［-5，-1］时，t 随x 的增大而增大；当x ∈［-1，3］时，t 随x 的增大而减小.又因为y=4t 在t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大，所以函数y=42215x x --的单调增区间为［-5，-1］，单调减区间为［-1，3］. 知能训练一、课本第73页练习1、2.解答：1.(1)幂函数y=x 4的定义域为R ，为偶函数；(2)幂函数y=x 41的定义域为［0，+∞)，既不是奇函数也不是偶函数；(3)幂函数y=x -3定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，为奇函数. 2.该函数的单调增区间为(-∞，+∞).二、补充练习1.下列函数中，是幂函数的是( ) A.y=2x B.y=2x 2 C.y=x1D.y=2x 分析：由幂函数的定义知，形如y=x α的形式. 答案：C2.下列结论正确的是( ) A.幂函数的图象一定过原点B.当α＜0时，幂函数y=x α是减函数C.当α＞1时，幂函数y=x α是增函数D.函数y=x 2既是二次函数，也是幂函数分析：对于A ，只有幂指数α＞0时，幂函数的图象过原点；对于B ，当α＜0时，幂函数y=x α在第一象限是减函数；对于C ，当α＞1时，幂函数y=x α在第一象限是增函数，而不能说整个函数是增函数；对于D ，显然是对的. 答案：D3.下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是( )A.y=2x 3B.y=x 2C.y=x1D.y=-2x 23分析：由幂函数的图象特征可得. 答案：A 4.函数y=(x 2-2x)21-的定义域是( )A .{x|x≠0或x≠2} B.(-∞，0)∪(2，+∞) C.(-∞，0］∪［2，+∞) D.(0，2) 分析：由函数y=(x 2-2x)21-=xx 212-可得，x 2-2x ＞0.答案：B5.对于函数y=x 2和y=x 21有下列说法：a.两个函数都是幂函数；b.两个函数在第一象限都是单调递增的；c.它们的图象关于直线y=x 对称；d.两个函数都是偶函数；e.两个函数都经过(0，0)、(1，1)点；f.两个函数的图象都是抛物线形；g.两个函数互为反函数. 其中正确的是______________(把你认为正确的都写上).分析：由y=x 2和y=x 21这两个幂函数的图象特征可以观察出a 、b 、e 、f 是正确的. 答案：a 、b 、e 、f 课堂小结1.幂函数的概念及其和指数函数表达式的区别.2.常见幂函数的图象特征.3.幂指数取值不同时对函数图象的影响.4.给出幂函数能求出其幂函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性，求函数的单调区间等问题. 作业1.课本第73页习题2.4的1、3.2.借助有关数学软件，通过研究，写一篇“幂指数对幂函数性质的影响”的小论文.要求要详细，如定点，单调性，奇偶性等.设计感想这节课是幂函数的第一课时，主要教学目标就是幂函数的概念和图象以及常见幂函数的性质.本来学生对幂函数的概念比较陌生，但是本课时采用了从生活实例导入，让学生感受幂函数就在我们身边，从而增近学生和幂函数的距离，这是本节的一大亮点.由实例得到的函数模型引出课题，即幂函数的概念，它的形式和指数函数在形式上有些相似，但是又不同，试让学生比较两个函数的区别，从而让学生把两者区分开.并采用通过几个常见幂函数的图象来研究幂函数的图象特征，尤其是幂指数的变化对幂函数性质的影响，这要靠教师在课堂上利用计算机演示给学生看，让学生深刻地理解和掌握幂函数的概念和图象. 本节采用三个例题来加强幂函数概念的理解，例1是求幂函数的定义域，并指出幂函数的单调性，奇偶性；例2是在学生充分了解幂函数的图象和性质的基础上设计的，根据幂函数图象的过定点、关于坐标轴或原点对称来确定题目中所给出的幂指数的具体值.例3是对例2的补充和加深，难度比较大，老师可根据学生的情况选择性地讲解.在作业中设计了让学生通过自己利用数学软件画出幂函数的图象来自己研究幂函数的性质，并通过写小论文“幂指数对幂函数性质的影响”来加深学生自主学习的能力，并加深对幂函数的理解和掌握.(设计者：王银娣)第二课时 幂函数(二)导入新课 复习导入上节课我们学习了幂函数的概念以及常见幂函数的图象和性质，请同学们回顾一下有关知识.1.定义：形如y=x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.2.幂函数y=x α的性质：当α＞0时：①图象都过点(0，0)和(1,1)；②函数在区间(0,+∞)上是增函数，即图象在第一象限是单调递增的；③当x ＞1时，指数大的图象在上方；当0＜x ＜1时，指数大的图象在下方.当α＜0时：①图象不过原点而过(1,1)点；②函数在区间(0,+∞)上是减函数，即图象在第一象限是单调递减的；③在第一象限内，图象向上无限接近y 轴，向右无限接近x 轴；④当x ＞1时，指数大的图象在上方；当0＜x ＜1时，指数大的图象在下方.无论指数正负如何，他们都有共同的性质：①图象都过点(1,1)；②当x ＞1时，指数大的图象在上方；当0＜x ＜1时，指数大的图象在下方. 应用示例思路1 例1 幂函数y=x 43，y=x 31，y=x34-的定义域分别M 、N 、P ，则( )A.M ⊆N ⊆PB.N ⊆M ⊆PC.M ⊆P ⊆ND.以上都不对分析：把上述三个幂函数的定义域分别求出来，看定义域之间的包含关系即可. 解：因为y=x 43=43x ，所以x≥0，即得M=［0，+∞)；函数y=x 31的定义域为R ，即N=R ；函数y=x34-=341x，可得x≠0，于是P=(-∞，0)∪(0，+∞).所以选D.点评：求幂函数的定义域时，需先把分数指数幂化为根式，然后令根式有意义，列出相应的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到函数的定义域.以下总结当α为有理数时函数y=x α的定义域的情况：(1)当α=0时，y=x α的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)； (2)当α是正整数时，y=x α的定义域是R ； (3)当α是正分数时，设α=qp(p ，q 为互质的正整数，且q ＞1)，如果q 是奇数，定义域是R ；如果q 是偶数，此时定义域为［0，+∞)；(4)当α是负整数时，设y=x α定义域是(-∞，0)∪(0,+∞)； (5)当α是负分数时，设α=-qp(p ，q 为互质的正整数，且q ＞1)，如果q 是奇数，则定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)；如果q 是偶数，定义域是(0,+∞).例2 已知函数满足f(x)=ax 5+bx 3+cx-10，且f(3)=10，求f(-3)的值. 解：令g(x)=ax 5+bx 3+cx ，则f(x)=g(x)-10对于任意实数x ，都有 g(-x)=a(-x)5+b(-x)3+c(-x)=-(ax 5+bx 3+cx)=-g(x)，故g(x)为奇函数.因为f(3)=10，即f(3)=g(3)-10=10，得g(3)=20，于是有g(-3)=-20，所以f(-3)=g(-3)-10=-20-10=-30.点评：学会用整体思想考虑，考查整体的奇偶性进而求值.出现的误区：不能准确采用整体思想考虑，导致不知如何着手.例3 求下列各式中参数a 的取值范围： (1)a 43＞0.543；(2)(-2)32＞(2a+4)32.解：(1)因为a≥0，又幂函数y=x 43为区间(0，+∞)上的增函数，由a 43＞0.543可得a ＞0.5，所以a 的取值范围是(0.5，+∞).(2)方法一：函数y=x 32为偶函数，在［0，+∞)上为单调递增，在(-∞，0)上单调递减. 故有⎩⎨⎧<+≥+242042a a 或⎩⎨⎧->+<+242042a a ，解得-2≤a ＜-1或-3＜a ＜-2，综上可得参数a 的范围是-3＜a ＜-1.方法二：函数y=x 32为偶函数，在［0，+∞)上为单调递增，在(-∞，0)上单调递减.所以自变量离y 轴越远则函数值就越大，由(-2)32＞(2a+4)32，可得|2a+4|＜2，解得-3＜a ＜-1，所以参数a 的范围是(-3，-1).点评：当幂指数相同时，根据幂函数的单调性，只要比较自变量的大小即可.求参数的问题时，要找准相应的幂函数，先看定义域，根据幂函数的奇偶性和单调性建立不等式或不等式组，遇到幂函数是偶函数时，要注意分区间进行讨论. 例4 证明：y=x 在区间(0,+∞)上是增函数. 证明：任取x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1＜x 2，则有 f(x 1)-f(x 2)=212121212121))((x x x x x x x x x x x x +-=++-=-，因为0＜x 1＜x 2，所以x 1-x 2＜0，21x x +＞0，则有2121x x x x +-＜0.所以f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)，所以y=x 在区间(0,+∞)上是增函数.点评：在对两个函数值进行作差比较时，要化简到最简.本题中对根式作差采用的是分子有理化，因为这样就可以利用题意中x 1＜x 2这个条件，直接进行判断.思路2 例1 图中曲线是幂函数y=x α在第一象限的图象，已知α可取±2，±21四个值，则相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为( )A.-2,21-,21,2 B.2,21,21-,-2 C.21-,-2,2,21 D.2,21,-2,21- 分析：因为曲线C 3,C 4的图象是递减的，所以α3＜0，α4＜0.又因为在(1,+∞)上，C 3的图象高于C 4的图象，故α4＜α3＜0，于是有α3=21-，α4=-2；C 1，C 2的图象是递增的，所以C 1＞0，C 2＞0.又因为在(1，+∞)上，C 1的图象高于C 2的图象，故α1＞α2＞0，所以α1=2，α2=21.综上可得. 答案：B例2 点(3，3)在幂函数y=f(x)的图象上，点(-22，81)在幂函数y=g(x)的图象上，试解下列不等式：(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＜g(x).解：设f(x)=x α，g(x)=x β.因为点(3,3)在幂函数y=f(x)的图象上，所以(3)α=3，解得α=2；同样由点(-22，81)在幂函数y=g(x)的图象上，得(-22)β=81，解得β=-2.所以f(x)=x 2，g(x)=x -2.(1)由f(x)＞g(x)，可得x 2＞x -2，即x 4＞1，所以|x|＞1，得x ＜-1或x ＞1. 所以不等式f(x)＞g(x)的解集为(-∞，-1)∪(1，+∞).(2)由f(x)＜g(x)，可得x 2＜x -2，即可得0＜x 4＜1，所以-1＜x ＜0或0＜x ＜1. 所以不等式f(x)＜g(x)的解集为(-1，0)∪(0，1).点评：在求不等式f(x)＜g(x)的解集时，应特别注意g(x)的定义域，要注意x≠0. 例3 求下列各式中参数a 的范围： (1)(a+1)31-＜(3-2a)31-；(2)(a-1)32-＞(2+a)32-.分析：已知同指数的两个幂值的大小，可以利用幂函数的单调性进行比较自变量即可，但是要注意幂函数的定义域、单调性和奇偶性. 解：(1)因为幂函数y=x31-的单调减区间为(-∞，0)和(0,+∞)，故要分下列情况讨论：⎩⎨⎧>-<+⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-<+⎪⎩⎪⎨⎧+<->->+.023,01123,023,01123,023,01a a a a a a a a a a 或或解上面的不等式组：得32＜a ＜23或a ＜-1.综上可得a 的范围是(-∞，-1)∪(32，23). (2)函数y=x32-为偶函数，在(0,+∞)上为单调递减，在(-∞，0)上单调递增.由(a-1) 32-＞(2+a)32-可得0＜|a-1|＜|2+a|，解得a ＞21-，且a≠1.所以a 的范围是(21-，1)∪(1,+∞). 点评：利用幂函数的单调性求参数的问题时，需注意：找准相应的幂函数，准确判断幂函数的奇偶性和单调性；定义域不要遗漏；注意分类讨论的思想. 例4 判断函数y=x -+1的单调性并给出证明.解：因为-x≥0，得x≤0，即函数的定义域为(-∞，0］，在定义域内任取x 1，x 2，且x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)=)1(121+--+-x x =211221x x x x x x -+--=---，因为x 1＜x 2≤0，故有-x 1＞-x 2≥0，所以x 2-x 1＞0，21x x -+-＞0， 所以2112x x x x -+--＞0，即f(x 1)-f(x 2)＞0，所以f(x 1)＞f(x 2).所以函数y=x -+1为在定义域(-x ，0］上的减函数. 例5 已知幂函数y=322--n n x(n ∈N )为偶函数，它的图象与坐标轴都无交点，求自然数n 的值.解：因为函数y=322--n n x(n ∈N )的图象与坐标轴都无交点，于是有n 2-2n-3≤0，即得-1≤n≤3，n ∈N ，所以n 可取-1，0，1，2，3，又此函数为偶函数，故指数为非负偶数.当n=-1或n=3时，y=x 0满足题意；当n=0或n=2时，y=x -3，不满足题意，故舍去；当n=1时，y=x -4满足题意.综上可得：n 可取-1，1，3.点评：不要漏掉n=-1或n=3的情况，即函数解析式为y=x 0的情况，教师在教学时要结合图象讲解. 知能训练1.在下列四个函数(1)y=x 31,(2)y=x 21,(3)y=x -2,(4)y=x 0中为偶函数的是( )A.(1)B.(1)(3)C.(3)(4)D.(1)(2)(3)(4) 2.当x ∈(0,1)时，幂函数y=x n (n ∈Q)的图象在直线y=x 的上方，则n 的取值范围为( ) A.n ＜1 B.n ＞1 C.0＜n ＜1 D.0≤n ＜1 3.若0＜m ＜n ＜1，则( )A.m -m ＞m -nB.m -m ＞n -nC.m n ＞n nD.n m ＞m m 4.函数y=1+1-x 的图象可以看成由幂函数y=x 21的图象( ) A.向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的 B.向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到的 C.向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的 D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的5.已知函数g(x)的图象与函数f(x)=x 23+1的图象关于直线y=x 对称，则g(9)的值等于( )A.2B.4C.28D.2 6.若(x-1)-2＞(2+x)-2，则x 的取值范围是____________. 答案：1—5:C 、A 、D 、C 、B ；6. 答案：(21-，1)∪(1,+∞). 点评：此练习是在掌握幂函数性质的基础上的加深练习，对知识起巩固作用. 课堂小结1.利用幂函数的单调性比较几个数值的大小；2.幂函数的单调性；3.幂函数的奇偶性；4.运用幂函数的单调性以及奇偶性求解一些含参数的问题. 作业课本第73页习题2.4第2、4、5题.设计感想本节课是幂函数的第二节课时，主要研究根据幂函数的性质，比较两个或多个同指数的指数式的大小问题、利用幂函数的单调性求参数的问题、用定义证明单调性问题、复合函数的定义域、值域以及单调区间等问题. 设计思路一选取的例题比较基础，但考查的知识点很全面，有利于学生对幂函数的基本性质的掌握，适合普通班的教学.设计思路二也解决了利用幂函数的单调性进行大小比较、求解参数、单调性证明等问题，但是在例题的选取上作了精心的挑选.对学生的审题、解题能力要求比较高，适合中等以上的学生学习.在教学过程中老师可利用学校的教学资源进行多媒体教学，数形结合授课学生比较容易接受.通过利用幂函数的图象和性质解决有关问题，使学生加深对幂函数概念的理解，在这一过程中培养学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力，同时增强学生数学交流能力.习题详解课本第73页习题2.41.(1)因为函数y=x 21在定义域［0，+∞)上单调递增，且0＜5.23＜5.24，所以5.2321＜5.2421；(2)因为函数y=x -1在定义域(0，+∞)上单调递减，且0＜0.26＜0.27，所以0.26-1＞0.27-1；(3)因为函数y=x 3在定义域R 上单调递增，且-0.72＞-0.75，所以(-0.72)3＞(-0.75)3. 2.(1)因为y=x 32=32x ，所以函数的定义域为R ； (2)因为y=x 65=65x ，所以函数的定义域为［0，+∞)； (3)因为y=x54-=541x ，所以函数的定义域为(-∞，0)∪(0,+∞)；(4)因为y=x23-=231x，所以函数的定义域为(0，+∞).3.如图，根据已知可得函数y=x 32的定义域为R ，由函数奇偶性的定义可得函数y=x 32是偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，且在区间(-∞，0］上单调递减，在区间［0，+∞)上单调递增.4.如图，函数y=x 21的图象和函数y=x 31的图象的共同点是：都过点(0，0)，(1，1)；且在定义域内是增函数.不同点是：y=x 21是非奇非偶函数，y=x 31是奇函数.函数y=x -1的图象和函数y=x -2的图象的共同点是：都过点(1,1)，且在区间(0，+∞)上是减函数.不同点是：y=x -1是奇函数，y=x -2是偶函数.5.设正比例常数为k ，车身长为l ，则d=klv 2.依题意得1.44×4=k·602×4，解得k=0.000 4，所以d=0.000 4v 2·4=0.001 6v 2=0.5×4，则v=252km/h.所以d=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<.225,0016.0,2250,22v v v。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.3 幂函数》01
?幂函数?教学设计一、教材分析幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学〔必修1〕第二章第四节的内容。
该教学内容在人教版试验修订本〔必修〕中已被删去。
标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。
故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。
?标准?将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。
其中，学生在初中已经学习了=、=2、=-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。
现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。
学生已经了解了函数的根本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了根本思路和方法。
因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。
该内容安排一课时。
二、教学目标鉴于上述对教材的分析和新课程的理念确定如下教学目标：⑴掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。
⑵能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。
⑶加深学生对研究函数性质的根本方法和流程的经验。
⑷培养学生观察、分析、归纳能力。
了解类比法在研究问题中的作用。
三、教学方法和教具的选择基于对课程理念的理解和对教材的分析，运用问题情境可以使学生较快的进入数学知识情景，使学生对数学知识结构作主动性的扩展，通过问题的导引，学生对数学问题探究，进行数学建构，并能运用数学知识解决问题，让学生有运用数学成功的体验。
本课采用教师在学生原有的知识经验和方法上，引导学生提出问题、解决问题的教学方法，表达以学生为主体，教师主导作用的教学思想。
教具：多媒体。
制作多媒体课件以提高教学效率。
四、教学重点和难点重点是从具体幂函数归纳认识幂函数的一些性质并作简单应用。
难点是引导学生概括出幂函数性质。
五、教学流程基于新课程理念在教学过程中的表达，教学流程的基线为：1考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和根本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的根本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开。
高中数学教案《幂函数》
教学计划：《幂函数》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解幂函数的概念，掌握幂函数的一般形式及其图像特征；能够识别并绘制基本幂函数的图像；理解幂函数在特定区间内的单调性、奇偶性等基本性质。
2.过程与方法：通过观察、分析幂函数的图像，引导学生发现幂函数的性质；通过小组合作、讨论交流，培养学生探究问题的能力和团队合作精神；通过实例分析，提高学生运用幂函数解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的观察力和数学思维能力；通过幂函数的学习，让学生体会数学中的对称美、变化美，增强对数学美的感受力；培养学生的严谨治学态度和科学探索精神。
二、教学重点和难点●教学重点：幂函数的概念、一般形式及其图像特征；幂函数的基本性质（如单调性、奇偶性）及其判断方法。
●教学难点：理解幂函数图像与性质之间的关系，能够准确判断幂函数在特定区间内的性质；运用幂函数性质解决实际问题。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●情境创设：通过生活中的实例（如细胞分裂、面积与边长的关系等）引出幂的概念，进而引出幂函数的概念。
●问题导入：提出“这些关系能否用函数来表示？它们具有怎样的图像特征？”等问题，激发学生的好奇心和探究欲。
●明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握幂函数的概念、图像特征及基本性质。
2. 讲授新知（约15分钟）●定义讲解：详细讲解幂函数的概念和一般形式，强调底数为常数且不为0，指数为自变量。
●图像特征：利用多媒体展示基本幂函数（如y=x, y=x², y=x³, y=√x, y=1/x等）的图像，引导学生观察并总结它们的共同特征和不同点。
●性质阐述：结合图像，阐述幂函数在特定区间内的单调性、奇偶性等基本性质，并给出判断方法。
3. 观察探究（约10分钟）●图像分析：引导学生分组观察并分析更多幂函数的图像，记录它们的特征，并尝试从图像中判断幂函数的性质。
●小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自观察到的图像特征和判断结果，相互纠正错误，共同探究幂函数性质的图像表示方法。
必修1部优精品优课■3.3 幂函数
va 4、如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S与边长a的关系如何？ 2 sa
以上5个问题中的函数具有怎样的共同特征？
3
5、如果小华t秒内骑自行车行进了1km，那么他骑车的速度 v是多少km/s？
vt
1
(1) 、幂的形式
（2）、幂的底数是变量，幂的指数是常数
生成概念
幂函数
一般地，我 们把形如 y x 的函数称为幂函数。 其中， x 是自变量， 是常数。
小组讨论
问题1：幂函数与指数函数有什么区别？
幂 函 数： 底数是自变量，指数是常数。 指数函数： 底数是常数，指数是自变量。
问题2：判别下列函数中哪几个是幂函数？
1 (1) y 2 x 1 (4) y x (2) y 2 x 2 (5) y x 0 (3) y x 2 1
（1）、（4）、（5）是幂函数。
2
m 1) x32m是幂函数 , 且在（0， ）上是增函数，
求实数 m的值。
解： 函数f ( x) (m2 m 1) x32m是幂函数
m2 m 1 1 , 即 m 2 或 m 1
又∵函数在（0，+∞）上是增函数
∴3-2m >0
∴m= -1
检测反馈
（高中数学 必修1）
授课教师
杨永广
江苏教育出版社
普通高中课程标准实验教科书
问题情境
几个常见的具体问题
1、小明买一元一支的笔w支，那么他需要付的钱数p（元）和购买的笔 的数量之间的数量关系如何？
pw
2、小车从静止开始做加速度为2m/s2的匀加速直线运动，试写出其位移 s和时间t的关系。 2
st
3、如果正方体的边长为a，那么正方的体积V与边长a的关系如何？
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【课题】3.3幂函数(1)（2课时）
【教学目标】
知识目标：
⑴复习整数指数幂的知识；
⑵了解n次根式的概念；
⑶理解分数指数幂的定义.
能力目标：
⑴掌握根式与分数指数幂之间的转化；
⑵会利用计算器求根式和分数指数幂的值；
⑶培养计算工具使用技能.
【教学重点】
分数指数幂的定义．
【教学难点】
根式和分数指数幂的互化．
【教学设计】
⑴通过复习二次根式而拓展到n次根式，为分数指数幂的介绍做好知识铺垫；
⑵复习整数指数幂知识以做好衔接；
⑶利用课件介绍分数指数幂的概念，字母动感闪耀强化位置关系；
⑷加大学生动手计算的练习，巩固知识；
⑸小组讨论、学习计算器的使用，培养计算工具使用技能．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】。