第17章机械波

已知波动方程如下，求波长、周期和波速. 例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速
y = (5cm) cosπ [(2.50s -1 )t − (0.01cm -1 ) x].
解：方法一（比较系数法）. 方法一（比较系数法）
t x y = A cos 2π ( − ) T λ
把题中波动方程改写成
比较得
u
解 （2）由（1） u = γRT ρ ） ）
−1
u=
1 .4 × (8 . 31 J ⋅ mol ⋅ K )( 273 K ) = 331 m ⋅ s −1 2 .89 × 10 − 2 kg ⋅ mol
−1
1.4 × (8.31 J ⋅ mol ⋅ K )(293 K ) u= = 343 m ⋅ s −1 2.89 ×10−2 kg ⋅ mol
2 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点 一定时， 相对其平衡位置的位移，即此刻的波形. 相对其平衡位置的位移，即此刻的波形 波具有空间的周期性） y ( x, t ) = y ( x + λ , t ) （波具有空间的周期性）
x1 t x1 ϕ1 = ω (t − ) + ϕ = 2 π ( − ) + ϕ u T λ x2 t x2 ϕ2 = ω (t − ) + ϕ = 2 π ( − ) + ϕ u T λ
x
9.2 平面简谐波 波动方程
第九章 机械波
如果原点的 初相位不 初相位不为零
y
A
O
u
λ
x
x = 0 ,ϕ ≠ 0 − A
点 O 振动方程
yO = A cos(ωt + ϕ ) x 波 y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] u 沿 x 轴正向 u 函 x 数 y = A cos[ω (t + ) + ϕ ] u 沿 x 轴负向 u
第九章 机械波
9.1 机械波的产生和传播
第九章 机械波
波动是振动的传播过程. 波动是振动的传播过程 振动是激发波动的波源. 振动是激发波动的波源 机械波 机械振动在弹性介质中的传播 机械振动在弹性介质中的传播. 弹性介质中的传播 波动 两 类 波 的 不 同 之 处 电磁波 交变电磁场在空间的传播 交变电磁场在空间的传播. 两 类 2 传播 机械波的传播 波 传播振动的介质; 传播振动的介质 的 2 共 2 同 电磁波的传播 2 特 介质. 介质 征 2
ν
空气中的波长
340 m ⋅ s −1 = 1 .7 m λ1 = = ν1 200 Hz u1
在水中的波长
λ2 =
ν2
u2
u1
= 0.17 m
1450 m ⋅ s λ1′ = = ν1 200 Hz u2
−1
′ = 7.25 m λ2 =
ν2
= 0.725m
9.1 机械波的产生和传播
第九章 机械波
9.1 机械波的产生和传播
第九章 机械波
波 波 1 波源 波源 2 . .
机 械 波
+
波 波 .
9.1 机械波的产生和传播
第九章 机械波
二 横波与纵波 横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波 横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. 垂直的波 （仅在固体中传播 ）
特征：具有交替出现的波峰和波谷 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
x2 − x1 u= = 250 cm ⋅ s −1 t 2 − t1
9.2 平面简谐波 波动方程
第九章 机械波
轴正方向传播， 例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A = 1.0m ， = 2 . 0 s ， = 2.0m . 在 t = 0 时坐标 T λ 原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求 1）波动方程 ） 解 写出波动方程的标准式
第九章 机械波
波函数
x y = A cos ω (t − ) u
点 O 振动方程
y A
O
u
P
−A
x
*
λ
x
y o = A cos ω t x = 0 ,ϕ = 0
相位落后法
落后的相位 点 P 比点 O 落后的相位
∆ϕ = ϕ p −ϕO = −2π λ x x x ϕ p = −2π = −2π = −ω λ Tu u x y p = A cos ω (t − ) 点 P 振动方程 u
λ
9.2 平面简谐波 波动方程
第九章 机械波
二 波函数的物理意义
x t x y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] = A cos[2 π( − ) + ϕ ] u T λ
1 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动 固定时， 方程， 振动的相位差. 方程，并给出该点与点 O 振动的相位差
波程差
∆x21 = x2 − x1
∆ϕ = 2π ∆x
∆ϕ12 = ϕ1 −ϕ2 = 2π
x2 − x1
λ
= 2π
∆x21
λ
λ
9.2 平面简谐波 波动方程
第九章 机械波
3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方 均变化， 向的运动情况（行波） 向的运动情况（行波）.
y
O
u
t
时刻
t + ∆t 时刻
假如在空气中传播时， 例2 假如在空气中传播时，空气的压缩与膨胀过程 进行得非常迅速，以致来不及与周围交换热量， 进行得非常迅速，以致来不及与周围交换热量，声波的 传播过程可看作绝热过程. 传播过程可看作绝热过程 （1）视空气为理想气体，试证声速 u 与压强 p 的关 ）视空气为理想气体， 系为 u = γ p ρ ，与温度 T 的关系为 u = γ RT M . 为气体摩尔热容之比， 为密度， 式中γ 为气体摩尔热容之比，ρ 为密度，R 为摩尔气体常 为摩尔质量. 数，M 为摩尔质量
ν
ν =1 T
波动过程中，某一振动状态（ 波速 ：波动过程中，某一振动状态（即 振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）. 振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）
u
u=
注意
λ
T
= λν
λ = = Tu ν
u
周期或频率只决定于波源的振动! 周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！ 波速只决定于媒质的性质！
9.2 平面简谐波 波动方程
第九章 机械波
波动方程的其它形式
t x y(x,t) = Acos[2 π( − ) +ϕ] T λ y(x,t) = Acos(ωt − kx +ϕ)
质点的振动速度， 质点的振动速度，加速度 角波数 k =
2π
∂y x v = = −ωAsin[ω(t − ) +ϕ] ∂t u 2 ∂ y x 2 a = 2 = −ω Acos[ω(t − ) +ϕ] ∂t u
∆x
x x
t x y = A cos 2 π ( − ) ϕ (t , x) = ϕ (t + ∆t , x + ∆x) T λ t x t + ∆t x + ∆x ∆t ∆x = ∆x = u∆t 2π ( − ) = 2π ( − ) T λ T λ T λ
9.2 平面简谐波 波动方程
第九章 机械波
9.1 机械波的产生和传播
第九章 机械波
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. 纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波 平行的波 可在固体、液体和气体中传播） （可在固体、液体和气体中传播）
特征：具有交替出现的密部和疏部 特征：具有交替出现的密部和疏部.
9.1 机械波的产生和传播
第九章 机械波
y = (5cm) cosπ [(2.50s )t − (0.01cm ) x].
解：方法二（由各物理量的定义解之）. 方法二（由各物理量的定义解之） 波长是指同一时刻 波长是指同一时刻 t ，波线上相位差为 2π 的两 点间的距离. 点间的距离
π [(2.50s-1 )t − (0.01cm-1 ) x1 ] −π [(2.50s-1 )t −
平面简谐波 . 令 原点O 原点 的初相为 零，其振动方程 时间推 迟方法
yO = Acosωt
yO = Acosωt
点O 的振动状态
t-x/u时刻点 的运动 时刻点O
点P 振动方程
x y P = A cos ω (t − ) u
=
x ∆t = u
点P
t 时刻点 P 的运动
9.2 平面简谐波 波动方程
三 波长 波的周期和频率 波速 A O −A
y
u
λ
x
λ
沿波的传播方向，两个相邻的、 波长 λ ：沿波的传播方向，两个相邻的、相 的振动质点之间的距离， 位差为 2π 的振动质点之间的距离，即一个完整 波形的长度. 波形的长度
9.1 机械波的产生和传播
第九章 机械波
周期 T ：波前进一个波长的距离所需要 的时间. 的时间 周期的倒数， 频率 ：周期的倒数，即单位时间内波 动所传播的完整波的数目. 动所传播的完整波的数目
如声音的传播速度
9.1 机械波的产生和传播
第九章 机械波
四 波线 波面 波前 波前 波面
λ λ
*
球面波
波线
平面波
9.1 机械波的产生和传播
第九章 机械波
在室温下， 例1 在室温下，已知空气中的声速 u1 为340 m/s， ， 求频率为200 Hz和2000 Hz 水中的声速 u 2 为1450 m/s ，求频率为 和 的声波在空气中和水中的波长各为多少？ 的声波在空气中和水中的波长各为多少？ 频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在 和 解 由 λ = u ，频率为