人教A版高中数学必修二_章节练习题
人教A版高中数学必修二第9章章末检测(含答案)
第九章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)1．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层随机抽样的方法抽取样本．某中学共有学生2 000名，从中抽取了一个样本量为200的样本，其中男生103名，则该中学共有女生为( )A ．1 030名B ．97名C ．950名D ．970名【答案】D 【解析】由题意，知该中学共有女生2 000×200－103200＝970(名)．故选D ．2．(2020年北京期末)艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是( )A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A 【解析】根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，与7个原始评分相比，不变的中位数．故选A ．3．(2020年河北月考)已知某校高一、高二年级学生人数均为600人，参加社团的高一和高二的人数比为2∶3，现从参加社团的同学中按分层抽样的方式抽取45人，则抽取的高二学生人数为( )A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】C 【解析】由分层抽样的性质可得，抽取的高二学生人数为45×32＋3＝27.故选C ．4．(2020年永州月考)在样本频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的13，且中间一组的频数为10，则这个样本量是( )A ．20B ．30C ．40D ．50【答案】C 【解析】所有长方形的面积和为1，因为中间小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的13，所以中间的面积为14，又中间一组的频数为10，所以样本容量为10÷14＝40.故选C ．5．(2019年惠州期末)某地区连续六天的最低气温(单位：℃)为：9,8,7,6,5,7，则该六天最低气温的平均数和方差分别为( )A ．7和53B ．8和83C ．7和1D ．8和23【答案】A 【解析】由题意，六天最低气温的平均数x ＝16×(9＋8＋7＋6＋5＋7)＝7，方差s 2＝16×[(9－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2]＝53.故选A ．6．假设从高一年级全体同学(500人)中随机抽出60人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将500名同学按000,001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第11列的数开始，按三位数连续向右读取，最先抽出的4名同学的号码是(下面摘取了此随机数表第7行和第8行)( )84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 63016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 A ．455 068 047 447 B ．169 105 071 286 C ．050 358 074 439 D ．447 176 335 025【答案】B 【解析】由随机数表法的随机抽样的过程可知最先抽出的4名同学的号码为169,105,071,286.7．(2020年阜阳期末)某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为( )图1图2A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250＋450＋100＝800(万元)，其中水费支出250(万元)，∴去年的水费开支占总开支的百分比为250800×20%＝6.25%.故选A ．8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D 【解析】A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在C 中也有可能；B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数；D 中，因为平均数为2，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不可能为3.故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列叙述正确的是( )A ．极差与方差都反映了数据的集中程度B ．方差是没有单位的统计量C ．标准差比较小时，数据比较分散D ．只有两个数据时，极差是标准差的2倍【答案】AD 【解析】由极差与方差的定义可知A 正确；方差是有单位的，其单位是原始数据单位的平方，B 错误；标准差较小时，数据比较集中，C 错误；只有两个数据x 1，x 2时，极差等于|x 2－x 1|，平均数为x 1＋x 22，所以方差s 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 1＋x 222＝14(x 1－x 2)2，则标准差s 2＝12|x 2－x 1|，D 正确．故选AD ．10．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个样本量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的学生有60人，则下列说法正确的是( )A ．样本中支出在[50,60)元的频率为0.03B ．样本中支出不少于40元的人数有132C ．n 的值为200D ．若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在[50,60)元【答案】BC 【解析】A 中，样本中支出在[50,60)元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A 错误；B 中，样本中支出不少于40元的人数有0.0360.03×60＋60＝132，故B 正确；C 中，n ＝600.3＝200，故C 正确；D 中，若该校有2 000名学生，则可能有600人支出在[50,60)元，故D 错误．故选BC ．11．某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是()A．与2016年相比，2019年一本达线人数有所增加B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍C．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加【答案】AD【解析】依题意，设2016年高考考生人数为x，则2019年高考考生人数为1.5x，由24%·1.5x－28%·x＝8%·x＞0，故选项A正确；由(40%·1.5x－32%·x)÷32%·x ＝0.875，故选项B不正确；由8%·1.5x－8%·x＝4%·x＞0，故选项C不正确；由28%·1.5x －32%·x＝10%·x＞0，故选项D正确．故选AD．12．给出三幅统计图如图所示：A．从折线统计图能看出世界人口的变化情况B．2050年非洲人口将达到大约15亿C ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D ．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢【答案】AC 【解析】从折线统计图能看出世界人口的变化情况，故A 正确；从条形统计图中可知2050年非洲人口大约将大于15亿，故B 错误；从扇形统计图中可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C 正确；由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D 错误．故选AC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个样本量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．【答案】12 【解析】抽取的男运动员的人数为2148＋36×48＝12. 14．将样本量为100的某个样本数据拆分为10组，若前七组的频率之和为0.79，而剩下的三组的频率依次相差0.05，则剩下的三组中频率最高的一组的频率为________．【答案】0.12 【解析】设剩下的三组中频率最高的一组的频率为x ，则另两组的频率分别为x －0.05，x －0.1.因为频率总和为1，所以0.79＋(x －0.05)＋(x －0.1)＋x ＝1，解得x ＝0.12.15．12,13,25,26,28,31,32,40的25%分位数为________．【答案】19 【解析】因为8×25%＝2,8×80%＝6.4，所以25%分位数为x 2＋x 32＝13＋252＝19.16．下图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校共有学生3 000人，由统计图可得该校共捐款为________元．【答案】37 770 【解析】由扇形统计图可知，该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人．由条形统计图知，该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元，所以共捐款15×960＋13×990＋10×1 050＝37 770(元)．四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取110，应如何抽样？若知道男生、女生的身高显著不同(男生30人，女生20人)，应如何抽样？解：从50名学生中抽取110，即抽取5人，采用简单随机抽样法(抽签法或随机数法)．若知道男生、女生的身高显著不同，则采用分层抽样法，按照男生与女生的人数比为30∶20＝3∶2进行抽样，则男生抽取3人，女生抽取2人．18．(2020年辽宁学业考试)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)．已知上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．(1)求直方图中x的值；(2)如果上学所需时间在[60,100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿．解：(1)由直方图可得到20x＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1，解得x＝0.012 5.(2)由直方图可知，新生上学所需时间在[60,100]的频率为0.003×2×20＝0.12，所以800×0.12＝96(名)．所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿．19．某汽车制造厂分别从A，B两种轮胎中各随机抽取了8个进行测试，列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1 000 km)：轮胎A96112971081001038698轮胎B10810194105969397106(1)分别计算(2)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的极差、方差；(3)根据以上数据，你认为哪种型号轮胎的性能更加稳定？解：(1)A 轮胎行驶的最远里程的平均数为18×(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98)＝100，中位数为12×(100＋98)＝99.B 轮胎行驶的最远里程的平均数为18×(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106)＝100，中位数为12×(101＋97)＝99.(2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为112－86＝26，方差为18×[(－4)2＋122＋(－3)2＋82＋02＋32＋(－14)2＋(－2)2]＝55.25，B 轮胎行驶的最远里程的极差为108－93＝15，方差为18×[82＋12＋(－6)2＋52＋(－4)2＋(－7)2＋(－3)2＋62]＝29.5，(3)根据以上数据，A 轮胎和B 轮胎的最远行驶里程的平均数相同，但B 轮胎行驶的最远里程的极差和方差相对于A 轮胎较小，所以B 轮胎性能更加稳定．20．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96,106](单位：厘米)，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．(1)求出x 的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出总样本量N 的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据及(2)中的条件，求出样本中身高位于[98,104)的人数．解：(1)由题意(0.050＋0.100＋0.150＋0.125＋x )×2＝1，解得x ＝0.075. (2)设样本中身高小于100厘米的频率为p 1，则p 1＝(0.050＋0.100)×2＝0.300. 而p 1＝36N ，∴N ＝36p 1＝360.300＝120.(3)样本中身高位于[98,104)的频率p 2＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴身高位于[98,104)的人数n ＝p 2N ＝0.750×120＝90.21．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计．请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：组号 分组 频数 频率 1 [50,60) 4 0.08 2 [60,70) 8 0.16 3 [70,80) 10 0.20 4 [80,90) 16 0.32 5 [90,100] 合计—(1)填充频率分布表中的空格；(2)如图，不具体计算频率组距，补全频率分布直方图；(3)估计这900名学生竞赛的平均成绩(结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解：(1)40.08＝50，即样本量为50.第5组的频数为50－4－8－10－16＝12，从而第5组的频率为1250＝0.24.又各小组频率之和为1，所以频率分布表中的四个空格应分别填12,0.24,50,1.(2)设第一个小长方形的高为h 1，第二个小长方形的高为h 2，第五个小长方形的高为h 5，则h 1h 2＝48＝12，h 1h 5＝412＝13. 补全的频率分布直方图如图所示．(3)50名学生竞赛的平均成绩为x ＝4×55＋8×65＋10×75＋16×85＋12×9550＝79.8≈80(分)．所以估计这900名学生竞赛的平均成绩约为80分．22．共享单车入驻泉州一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放5 000份调查问卷，回收到有效问卷3 125份，现从中随机抽取80份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：表(一)使用者年龄段25岁以下26岁～35岁36岁～45岁45岁以上人数2040 1010表(二)使用频率 0～6次/月7～14次/月15～22次/月23～31次/月人数510 205表(三)满意度 非常满意(9～10)满意(8～9)一般(7～8)不满意(6～7)人数1510105(1)依据上述表格完成下列三个统计图形：(2)某城区现有常住人口30万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数．解：(1)(2)由表(一)可知年龄在26岁～35岁之间的有40人，占总抽取人数的12，所以30万人口中年龄在26岁～35岁之间的约有30×12＝15(万人)．由表(二)可知，年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的有10人，占总抽取人数的14，所以年龄在26岁～35岁之间的15万人中，每月使用共享单车在7～14次之间的约有15×14＝154(万人)．。
人教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》测试题(含答案)
由于 ，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而 .
因为ON的斜率为3，所以 的斜率为 ，故 的方程为 .
又 ，O到 的距离为 ， ，所以 的面积为 .
21．(1).由已知得过点 的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为 ,即 .
则圆心 到直线的距离为 ,
A． B．
C． D．
5．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
6．已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
7．已知方程 ，则 的最大值是（ ）
A．14－ B．14＋ C．9D．14
A．4B．6C． D．
12．已知直线 ： 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）
A．2B． C．6D．
二、填空题
13．已知两点 ，以线段 为直径的圆的方程为________________.
14．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_______
15．已知 为直线 上一点，过 作圆 的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
当 的斜率不存在， 的斜率等于0时， 与圆 不相交， 与圆 不相交.
当 、 的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设 、 的方程分别为 ，即 .
因为 到 的距离 ，
到 的距离 ，所以 到 的距离与 到 的距离相等.
所以圆 与圆 的半径相等，所以 被圆 截得的弦长与 被圆 截得的弦长恒相等.
综上所述，过点 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.
人教A版高中数学必修二第三章直线与方程 测试题(含答案)
高中数学 直线方程测试题一选择题（共55分，每题5分）1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（ ）A.3B.-2C. 2D. 不存在2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．072=+-y xB ．012=-+y xC ．250x y --=D ．052=-+y x3. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）A B C D4．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =（ ）A ．32-B ．32C ．23-D ．23 5.过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线的方程是( )112121112112211211211211...()()()()0.()()()()0y y x x A y y x x y y x x B y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y --=----=-------=-----=6、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1、K 2、K 3则（ ） A 、K 1﹤K 2﹤K 3 B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 27、直线2x+3y-5=0关于直线y=x 对称的直线方程为（ ）A 、3x+2y-5=0B 、2x-3y-5=0C 、3x+2y+5=0D 、3x-2y-5=08、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0L 1 L 2 x o L 39、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ）A.a=2,b=5;B.a=2,b=5-;C.a=2-,b=5;D.a=2-,b=5-.10、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ）A (3,-1)B (-1,3)C (-3,-1)D (3,1)11、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ）A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=0二填空题（共20分，每题5分）12. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ___________；13两直线2x+3y －k=0和x －ky+12=0的交点在y 轴上，则k 的值是14、两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是 。
人教A版高中数学必修二-章节练习题
第二章单元测试1．下列命题正确的是………………………………………………（ ） A ．三点确定一个平面 B ．经过一条直线和一个点确定一个平面 C ．四边形确定一个平面 D ．两条相交直线确定一个平面2．若直线a 不平行于平面α，且α⊄a ，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与a 异面 B ．α内不存在与a 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与a 平行 D ．α内的直线与a 都相交 3．平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………（ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交或异面 4．平面α与平面β平行的条件可以是…………………………（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．直线βα//,//a a 且直线a 不在α内，也不在β内C ．直线α⊂a ，直线β⊂b 且β//a ，α//bD ．α内的任何直线都与β平行5．下列命题中，错误的是…………………………………………（ ） A ．平行于同一条直线的两个平面平行 B ．平行于同一个平面的两个平面平行 C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 6．已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是…………………………………………（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．07．下列命题中错误的是……………………………………（ ） A ．如果平面βα⊥，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB ．如果平面βα⊥，那么平面α一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面τα⊥，τβ⊥，l =⋂βα，那么τ⊥l 8．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中 ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 异面 ③CN 与BM 成 60 ④DM 与BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．②④ C ．③④ D ．②③④9．不共面的四点可以确定平面的个数为 （ ） A ． 2个 B ． 3个 C ． 4个 D ．无法确定 10．已知直线a 、b 与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是 （ ） A ．a ⊥α且a ⊥β B ．α⊥γ且β⊥γ C ．a ⊂α，b ⊂β，a ∥b D ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β 11．下列四个说法 ①a //α，b ⊂α,则a // b ②a ∩α＝P ，b ⊂α，则a 与b 不平行 ③a ⊄α，则a //α ④a //α，b //α，则a // b 其中错误的说法的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12．如图，A —BCDE 是一个四棱锥，AB ⊥平面BCDE ，且四边形BCDE 为矩形，则图中互相垂直的平面共有（ ）A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组13．（12分）已知正方方体111'D C B A ABCD -，求：（1）异面直线11CC BA 和的夹角是多少？ （2）B A 1和平面11B CDA 所成的角？（3）平面11B CDA 和平面ABCD 所成二面角的大小？AB CDEFMN C A 1B 11P A BCDCABPMN14．（12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，PA 垂直于平面ABC ，AC ⊥BC ． 求证：BC ⊥平面PAC ．15.（10分）如图：AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于B A ,的任意一点，求证： PAC BC 平面⊥16．（12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，若ABCD 是平行四边形．求证：MN ∥平面PAD ．,M N 分别是17． 如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,SA BD 上的点，且SM AM =NDBN， 求证：//MN 平面SCDA BCP O17.（14分）如图正方形ABCD 中，O 为中心，P O ⊥面ABCD ，E 是PC 中点， 求证：（1）PA ||平面BDE ； （2）面PAC ⊥面BDE.18．（14分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面 C 1DF ？并证明你的结论．19．在正方体ABCD A B C D E F BB CD -11111中，、分别是、的中点 （1）证明：AD D F ⊥1； （2）求AE D F 与1所成的角； （3）证明：面面AED A FD ⊥11．必修2第三章《直线与方程》单元测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０°2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=A 、 -3B 、-6C 、23- D 、323.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）（A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）274. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ） Ａ m ＝－３，n ＝１０ Ｂ m ＝３，n ＝１０ Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=06.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（ ）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是（A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定 9. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有 A. k 1<k 3<k 2 B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 110.已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ）（A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.已知点)4,5(-A 和),2,3(B 则过点)2,1(-C 且与B A ,的距离相等的直线方程为 . 12．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 . 13．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 . 14．原点Ｏ在直线Ｌ上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线Ｌ的方程为 . 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的 16.直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0距离是7的直线的方程; 没有公共点，求实数m 的值. ②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是1053的直线的方程.*17.已知直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线l 的方程.参考答案：1.A ；2.B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.D ；7.A ；8.C ；9.A ；10.A. 11.x+4y-7=0或x=-1;12.x+y-3=0或2x-y=0;13.261;14.2x-y+5=0; 15. (1)3x+4y+23=0或3x+4y-47=0;(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0. 16.m=0或m=-1;17.x=1或3x-4y-3=0.必修2第四章《圆与方程》单元测试题一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-4 2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ） (A)22 (B)4 (C)24 (D)23.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D)1±=a4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ）(A)5 (B) 3 (C)10 (D) 55.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( )(A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为A 、1，-1B 、2，-2C 、1D 、-17.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A 、x y 3=B 、x y 3-=C 、x y 33=D 、x y 33-= 8.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是A 、(x-3)2+(y+1)2=4B 、(x+3)2+(y-1)2=4C 、(x-1)2+(y-1)2=4D 、(x+1)2+(y+1)2=4 9．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与 该圆的位置关系是（ ）A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为 .12.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______. 13.过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________. 14.过圆x 2+y 2-x+y-2=0和x 2+y 2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为 . 2+y 2-8x=0的弦OA 。
人教A版新课标高中数学必修二第二章单元测试题(含答案)
高二周末检测题一、选择题1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2 .垂直于同一条直线的两条直线一定 ( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 3．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( )A ．三条交线为异面直线B ．三条交线两两平行C ．三条交线交于一点D ．三条交线两两平行或交于一点4. 在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、 能相交于点P ，那么 （ ）A 、点P 必在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面BCD 内 D 、点P 必在平面ABC 外5．若平面α⊥平面β，α∩β＝l ，且点P ∈α，P ∉l ，则下列命题中的假命题是( )A ．过点P 且垂直于α的直线平行于βB ．过点P 且垂直于l 的直线在α内C ．过点P 且垂直于β的直线在α内D ．过点P 且垂直于l 的平面垂直于β 6．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1； ②EF ∥AC ； ③EF 与AC 异面； ④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P A ⊥面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC的中点，则图中直角三角形的个数是( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．69．如右图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( ) A ．与AC 、MN 均垂直相交 B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直D ．与AC 、MN 均不垂直10、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V11．(2009·海南、宁夏高考)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ，平行则四边形ABCD 一定是 .14．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的平面角大小为 .15．如下图所示，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕．Q PC'B'A'C BA使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD与CD的关系为________．(2)∠BAC＝________.16．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形．②四边形BFD′E有可能是正方形．③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形．④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)三、解答题17、如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.18．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．19．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．21．如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.高二周末检测题答一、选择题 1-5 BDDAB 6-10 DDBAB 11-12 DC 二、填空题13、菱形 14、90° 15、(1)BD ⊥CD (2)60° 16、①③④ 三、解答题17、证明：(1)∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点，∴EF ∥AD .又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ， ∴直线EF ∥面ACD .(2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .在△BCD 中，∵CD ＝CB ，F 为BD 的中点，∴CF ⊥BD . ∵CF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC ， 又∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面EFC ⊥平面BCD .18、[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ， ∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角． ∴tan ∠PME ＝PEEM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.19[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件． [证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20.(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DP A中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝5 5，因此AD和平面ABE所成角的正弦值为5 5.21[分析] (1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.[解] (1)证明：连接AE，如下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， 又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ， ∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴CA 2＋CB 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE . (3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22， ∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.。
人教A版高中数学必修二第六章章末检测(含答案)
第六章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知AB →＝(3,0)，那么|AB →|等于( ) A ．2 B ．3 C ．(1,2)D ．5【答案】B 【解析】∵AB →＝(3,0)，∴|AB →|＝32＋02＝3.故选B ．2．若OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，则AB →＝( ) A ．(－2,3) B ．(0,1) C ．(－1,2)D ．(2，－3)【答案】D 【解析】OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，所以AB →＝OB →－OA →＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3)．3．已知向量a ＝(3，k )，b ＝(2，－1)，a ⊥b ，则实数k 的值为( ) A ．－32B ．32C ．6D ．2【答案】C 【解析】∵向量a ＝(3，k )，b ＝(2，－1)，a ⊥b ，∴6－k ＝0，解得k ＝6.故选C ．4．(2019年长沙期末)设a ＝⎝⎛⎭⎫sin α，33，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．75°D ．45°【答案】B 【解析】由a ＝⎝⎛⎭⎫sin α，33，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13且a ∥b ，则13sin α－33cos α＝0，解得tan α＝ 3.又α为锐角，所以α＝60°.故选B ．5．(2020年宜宾模拟)已知向量a ＝(2，m )，b ＝(4，－2)，且(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m ＝( )A ．－4B ．4C ．±2D ．±4【答案】D 【解析】∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝4＋m 2－16－4＝0，解得m ＝±4.故选D ．6．已知|a|＝|b|＝2，a·b ＝－2，若|c －a －b|＝1，则|c|的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，32 B ．⎣⎡⎦⎤12，52 C ．[2,3]D ．[1,3]【答案】D 【解析】∵已知|a|＝|b|＝2，a·b ＝－2，|c －a －b|＝1＝|c －(a ＋b )|≥|c|－|a ＋b|，∴|c|≤1＋|a ＋b|.又|a ＋b|＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝4＋2·(－2)＋4＝2.∴|c|≤3.再根据|c －a －b|＝|c －(a ＋b )|≥|a ＋b|－|c|，可得|c|≥|a ＋b|－1＝2－1＝1，故有1≤|c|≤3.故选D ．7．(2019年宝鸡期末)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝30°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．x ＞2B ．0＜x ＜2C ．2＜x ＜3D ．2＜x ＜4【答案】D 【解析】由AC ＝b ＝2，要使三角形有两解，就是要使以C 为圆心，半径为2的圆与BA 有两个交点．当A ＝90°时，圆与AB 相切；当A ＝30°时交于B 点，也就是只有一解，∴30°＜A ＜150°，且A ≠90°，即12＜sin A ＜1.由正弦定理可得a sin B ＝b sin A ，可得a ＝x ＝b sin Asin B＝4sin A ．∵4sin A ∈(2,4)，∴x 的取值范围是(2,4)．故选D ．8．若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形【答案】A 【解析】设BC 的中点为D ，则MB →＋MC →－2MA →＝2MD →－2MA →＝2AD →.∵满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，∴CB →·2AD →＝0.∴CB →⊥AD →.∴△ABC 的形状是等腰三角形．故选A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．以下关于正弦定理或其变形正确的有( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件D ．在△ABC 中，asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C【答案】ACD 【解析】对于A ，由正弦定理，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，可得a ∶b ∶c＝2R sin A ∶2R sin B ∶2R sin C ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故正确；对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误；对于C ，在△ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，正确；对于D ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，可得右边＝b ＋c sin B ＋sin C ＝2R sin B ＋2R sin Csin B ＋sin C＝2R ＝左边，故正确．故选ACD ．10．对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有( ) A ．若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C ＜1，则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为32或34【答案】CD 【解析】对于A ，sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形，故A 不对；对于B ，由sin A ＝cos B ，∴A －B＝π2或A ＋B ＝π2，△ABC 不一定是直角三角形；对于C ，sin 2A ＋sin 2B ＜1－cos 2C ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2＜c 2，则△ABC 为钝角三角形，C 正确；对于D ，由正弦定理，得sin C ＝c ·sin B b ＝32，而c ＞b ，∴C ＝60°或C ＝120°，则A ＝90°或A ＝30°，则S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.D 正确．故选CD ．11．对于任意的平面向量a ，b ，c ，下列说法错误的是( ) A ．若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥cB ．(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·cC ．若a·b ＝a·c ，且a ≠0，则b ＝cD ．(a·b )·c ＝a·(b·c )【答案】ACD 【解析】a ∥b 且b ∥c ，当b 为零向量时，则a 与c 不一定共线，即A 错误；由向量数量积的分配律得(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ，即B 正确；因为a·b ＝a·c ，则a·(b －c )＝0，又a ≠0，则b ＝c 或a ⊥(b －c )，即C 错误；取a ，b ，c 为非零向量，且a 与b 垂直，b 与c 不垂直，则(a·b )·c ＝0，a·(b·c )≠0，即D 错误．故选ACD ．12．已知e 1，e 2是两个单位向量，λ∈R 时，|e 1＋λe 2|的最小值为32，则下列结论正确的是( )A ．e 1，e 2的夹角是π3B ．e 1，e 2的夹角是π3或2π3C ．|e 1＋e 2|＝1或 3D ．|e 1＋e 2|＝1或32【答案】BC 【解析】∵e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1＋λe 2|的最小值为32，∴(e 1＋λe 2)2的最小值为34.设e 1，e 2的夹角为θ，(e 1＋λe 2)2＝λ2＋2λcos θ＋1＝(λ＋cos θ)2＋1－cos 2θ，∴1－cos 2θ＝34，则e 1与e 2的夹角为π3或2π3.∴|e 1＋e 2|2＝1或3，则|e 1＋e 2|＝1或 3.故选BC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．【答案】12 【解析】AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.14．在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．【答案】311 【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC→－AB →)＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB→＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ3×3＋2λ3×4－13×9－23×3＝－4⇒λ＝311.15．(2020年绵阳模拟)2019年10月1日，在庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以722千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为________千米(结果保留根号)．【答案】235 【解析】由题设条件可得线AC 平行于东西方向，∠ABD ＝60°，∠CBD＝75°，AC ＝72260，∴∠ABC ＝135°，∠BAC ＝30°.在△ABC 中，BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ⇒BCsin 30°＝652sin 135°⇒BC ＝652×1222＝65.在直角△BCE 中，tan ∠CBE ＝CE BC ＝h BC ⇒h ＝BC ·tan ∠CBE ＝65×tan 30°＝235(km)． 16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋2c )cos B ＋b cos A ＝0，b ＝3，△ABC 的周长为3＋23，则△ABC 的面积是________．【答案】334 【解析】已知(a ＋2c )cos B ＋b cos A ＝0，则(sin A ＋2sin C )cos B ＋sin B cosA ＝0，整理得sin A cosB ＋cos A ·sin B ＋2sinC cos B ＝0，解得cos B ＝－12.由于0＜B ＜π，所以B ＝2π3.因为△ABC 的周长为3＋23，则a ＋b ＋c ＝3＋23，由于b ＝3，则a ＋c ＝2 3.由于b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos B ，解得ac ＝3.故S △ABC ＝12ac sin B ＝334.四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )，且AD →∥BC →. (1)求实数n 的值；(2)若AC →⊥BD →，求实数m 的值．解：因为AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )， 所以AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(3,3＋m ＋n )．(1)因为AD →∥BC →，所以AD →＝λBC →，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，3＋m ＋n ＝λm ，解得n ＝－3.(2)因为AC →＝AB →＋BC →＝(2,3＋m )，BD →＝BC →＋CD →＝(4，m －3)，又AC →⊥BD →，所以AC →·BD →＝0，即8＋(3＋m )(m －3)＝0，解得m ＝±1.18．已知非零向量a ，b 满足|a|＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝34.(1)求|b |；(2)当a·b ＝－14时，求向量a 与a ＋2b 的夹角θ的值．解：(1)根据条件，(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝1－b 2＝34，∴b 2＝14.|b|＝12.(2)∵a·b ＝－14，∴a·(a ＋2b )＝a 2＋2a·b ＝1－12＝12，|a ＋2b|＝(a ＋2b )2＝1－1＋1＝1.cos θ＝a·(a ＋2b )|a||a ＋2b |＝121×1＝12.θ∈[0，π]，∴θ＝π3.19．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知b sin A ＝a sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3. (1)求角B 的大小； (2)求ca的取值范围．解：(1)∵b sin A ＝a sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3， ∴sin B sin A ＝sin A ⎝⎛⎭⎫12sin B ＋32cos B .又sin A ≠0，化为12sin B －32cos B ＝0，∴tan B ＝ 3.又B ∈(0，π)，解得B ＝π3.(2)由(1)可得A ＋C ＝π－B ＝2π3，又△ABC 为锐角三角形，∴0＜C ＝2π3－A ＜π2，0＜A ＜π2.∴π6＜A ＜π2.∴c a ＝sin Csin A＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝32tan A ＋12∈⎝⎛⎭⎫12，2.∴ca的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2. 20．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．(1)解：延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，所以AG →＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a＝13(b －2a )，BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)可知BE →＝23BF →，又因为BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．21．(2020年绵阳模拟)已知△ABC 中三个内角A ，B ，C 满足2cos B ＝sin(A ＋C )＋1. (1)求sin B ；(2)若C －A ＝π2，b 是角B 的对边，b ＝3，求△ABC 的面积．解：(1)∵2cos B ＝sin(A ＋C )＋1，sin(A ＋C )＝sin B ，∴2cos B ＝sin B ＋1.又sin 2B ＋cos 2B ＝1，化为3sin 2B ＋2sin B －1＝0，结合1＞sin B ＞0，解得sin B ＝13.(2)C －A ＝π2，又A ＋B ＋C ＝π，可得2A ＝π2－B ，C 为钝角．∴sin 2A ＝cos B ．又b ＝3，∴a sin A ＝c sin C ＝313＝3 3.∴a ＝33sin A ，c ＝33sin C ．∵B 为锐角，∴cos B ＝223.∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×33sin A ×33sin C ×13＝92sin A ·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝92sin A cos A ＝94sin 2A ＝94cos B ＝94×223＝322.∴△ABC 的面积为322. 22．(2020年哈尔滨月考)已知函数f (x )＝32sin x cos x －14cos 2x －14. (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝855，D 为边AB 上一点，CD ＝2，B 为锐角，且f (B )＝0，求∠BDC 的正弦值．解：(1)f (x )＝32sin x cos x －14cos 2x －14＝34sin 2x －14cos 2x －14＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－14，要求函数f (x )的单调递减区间，令2x －π6∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，得x ∈⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )． (2)由于f (B )＝0，即12sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6－14＝0，解得B ＝π6或π2(舍去)，由B ＝π6，在△BCD 中，CD sin π6＝BCsin ∠BDC ，所以sin ∠BDC ＝8552·12＝255.。
高中数学人教A版(2019)必修二 第六章 平面向量及其应用 单元试卷
高中数学人教A 版（2019）必修二 第六章 平面向量及其应用 单元试卷一、单选题(共14题；共55分)1．（3分）已知Rt △ABC ，AB=3，BC=4，CA=5，P 为△ABC 外接圆上的一动点，且 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y 的最大值是（ ） A ．54B ．43C ．√176D ．532．（4分）已知向量 a ⇀ ， b ⇀ 的夹角为 60° ， |a ⇀|=1 且 c ⇀=−2a ⇀+tb ⇀(t ∈R) ，则 |c ⇀|+|c ⇀−a ⇀|的最小值为（ ） A ．√13B ．√19C ．5D ．9√1343．（4分）下列说法中：⑴若向量a →∥b →，则存在实数λ，使得a →=λb →；⑵非零向量a →，b →，c →，d →，若满足d →=(a →·c →)b →−(a →·b →)c →，则a →⊥d →⑶与向量a →=(1，2)，b →=(2，1)夹角相等的单位向量c →=(√22，√22)⑷已知△ABC ，若对任意t ∈R ，|BA →−tBC →|≥|AC →|，则△ABC 一定为锐角三角形。
其中正确说法的序号是( ) A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(2)4．（4分）如图，在 ΔABC 中，点 M ， N 分别为 CA ， CB 的中点，若 AB =√5 ， CB =1 ，且满足 3AG⇀⋅MB ⇀=CA ⇀2+CB ⇀2 ，则 AG ⇀⋅AC ⇀ 等于（ ）A ．2B ．√5C ．23D ．835．（4分）定义域为[a ，b ]的函数y =f (x )图像的两个端点为A 、B ，M(x ，y)是函数y =f (x )图象上任意一点，其中x =λa +(1−λ)b ，λ∈(0，1)．已知向量ON →=λOA →+(1−λ)OB →，若不等式|MN |→≤k 恒成立，则称函数y =f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数y =x −1x 在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[0，+∞)B ．[112，+∞)C ．[32+√2，+∞)D ．[32−√2，+∞)6．（4分）已知集合M ={1，2，3}，N ={1，2，3，4}，定义函数f ：M →N ． 若点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))，△ABC 的外接圆圆心为D ，且DA →+DC →=λDB →(λ∈R ) ，则满足条件的函数f (x )有（ ） A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个7．（4分）点P 是△ABC 内一点且满足4PA →+3PB →+2PC →=0→，则△PBC,△PAC,△PAB 的面积比为（ ） A ．4:3:2B ．2:3:4C ．1:1:1D ．3:4:68．（4分）已知向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足 |OA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ，μ∈R) ，若M 为AB 的中点，并且 |MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ，则λ+μ的最大值是（ ） A ．1−√3B ．1+√2C ．√5D ．1+√39．（4分）在 ΔABC 中， ∠C =900，|AB|=6 ，点 P 满足 |CP|=2 ，则 PA⇀⋅PB ⇀ 的最大值为（ ） A ．9B ．16C ．18D ．2510．（4分）点M 是 △ABC 的边BC 上任意一点，N 在线段AM 上，且 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 x +y =13 ，则 △NBC 的面积与 △ABC 的面积的比值是 ( )A ．B ．C ．D ．11．（4分）如图，在半径为2的扇形 AOB 中， ∠AOB =3π4， P 是弧 AB 上的一个三等分点， M,N 分别是线段 OA ， OB 上的动点，则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为（ ）A ．√2B ．2C ．4D ．4√212．（4分）在 ΔABC 中， E ， F 分别为 AB ， AC 的中点， P 为 EF 上的任一点，实数x ， y 满足 PA ⇀+xPB ⇀+yPC ⇀=0⃗ ，设 ΔABC 、 ΔPBC 、 ΔPCA 、 ΔPAB 的面积分别为 S 、 S 1 、 S 2 、 S 3 ，记 Si S=λi （ i =1,2,3 ），则 λ2⋅λ3 取到最大值时， 2x +y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．−32D ．3213．（4分）定义域为[a ，b ]的函数y =f (x )图象上两点A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，M(x ，y)是y =f (x )图象上任意一点，其中x =λa +(1−λ)b ，λ∈[0，1].已知向量ON →=λOA →+(1−λ)OB →，若不等式|MN →|≤k 对任意λ∈[0，1]恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数y =x −1x 在[1，3]上“k 阶线性近似”，则实数的k 取值范围为( )A ．[0，+∞)B ．[112，+∞)C ．[43−23√3，+∞)D ．[43+23√3，+∞)14．（4分）在中，已知,则为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形二、填空题(共11题；共43分)15．（4分）已知非零平面向量 a ⃗ ,b ⃗ 不共线，且满足 a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ 2=4 ，记 c ⃗ =34a ⃗ +14b ⃗ ，当 b ⃗ ,c ⃗ 的夹角取得最大值时， |a −b⃗ | 的值为 ． 16．（4分）已知O 是锐角△MBC 的外接圆圆心，A 是最大角，若cosB sinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m 的取值范围为 。
高中数学人教A版(2019)必修二 第六章 平面向量及其应用 章节检测试卷
高中数学人教A 版（2019）必修二 第六章 平面向量及其应用 章节检测试卷考试时间：90分钟 满分：120分(共14题；共42分)1．（3分）下列说法正确的是（ ）A ．零向量没有方向B ．向量就是有向线段C ．只有零向量的模长等于0D ．单位向量都相等2．（3分）下列说法中，正确的是（ ）A ．任意两个单位向量都是相等的向量B ．若A ，B 是平面内的两个不同的点，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ．若向量 a ⃗ //b ⃗ ， b ⃗ //c ⃗ ，则 a⃗ //c ⃗ D ．零向量与任意向量平行3．（3分）下列说法正确的是（ ）A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小4．（3分）如果 a⃗ ， b ⃗ 是两个单位向量，则 a ⃗ 与 b ⃗ 一定（ ） A ．相等 B ．平行 C ．方向相同 D ．长度相等5．（3分）已知两点 A(5,3) ， B(2,7) ，则与向量 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是（ ） A ．(−35,45)B ．(35,−45)C ．(−45,35)D ．(45,−35)6．（3分）已知向量 a ⇀=(√3, 1) ，则 |a⇀|= （ ） A ．1 B ．√2 C ．√3 D ．27．（3分）已知平面向量 a⃗ 、 b ⃗ 的夹角为135°，且 a ⃗ 为单位向量， b ⃗ =(1，1) ，则 |a +b ⃗ |= （ ） A ．√5B ．3+√2C ．1D ．3−√28．（3分）已知向量 a ⇀ 和 b ⇀ 的夹角为 120° , |a ⇀|=1,|b ⇀|=3 ,则 |a ⇀−b ⇀|= ( ).2 / 10A ．2√3B ．√15C ．4D ．√139．（3分）已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为 60∘ ，那么 |a +3b| 等于（ ）A ．√7B ．√10C ．√13D ．410．（3分）与向量 d⃗ =(12，5) 平行的单位向量为（ ） A ．(1213,5)B ．(−1213,−513)C ．(1213,513) 或 (−1213,−513)D ．(±1213,±513) 11．（3分）在 ΔABC 中， AB =AC ， ∠BAC =π5 ，则向量 AB⇀ 与 BC ⇀ 的夹角为（ ） A ．B ．C ．D ．12．（3分）已知两点 A(2,−1),B(5,3) ，则与向量 AB⇀ 同向的单位向量是（ ） A ． B ． C ． D ．13．（3分）设向量 a ⇀=(x ，−4) ， b ⇀=(1，−x) ，若向量 a ⇀与 b ⇀ 同向，则 x = （ ） A ．0B ．-2C ．±2D ．214．（3分）设 e 1⇀ ， e 2⇀ 是平面向量 a ⇀的一组基底，则能作为平面向量 a ⇀ 的一组基底的是（ ）A ．e 1⇀−e 2⇀ ， e 2⇀−e 1⇀B ．e 2⇀+2e 1⇀ ， e 1⇀+12e 2⇀C ．2e 2⇀−3e 1⇀ ， 6e 1⇀−4e 2⇀D ．e 1⇀+e 2⇀ ， e 1⇀−e 2⇀(共8题；共32分)15．（4分）向量 a ⃗ =(√3sinx,sinx),b ⃗ =(cosx,sinx),x ∈[0,π2] ，且 |a |=|b ⃗ | ，则x= .16．（4分）已知向量 a →=(1,√3),b →=(2,0) ，则 |a →−2b →|=17．（4分）设向量a →=(−1,2)， b →=(2x,−1) ，若 a →//b →，则 x = .18．（4分）已知向量 a ⇀=(2,1) ， a ⇀⋅b ⇀=10 ， |a ⇀+b ⇀|=5√2 ，则 |b⇀|= . 19．（4分）已知向量 a ⃗ =(1,−2) ， b ⃗ =(−2,m) ， c ⃗ =(−1,2) ，若 (a +b ⃗ )//c ，则m = .20．（4分）已知 a ⃗ ， b ⃗ 为单位向量，且 a ⃗ ， b ⃗ 所成角为 π3，则 |2a +b ⃗ | 为 ．21．（4分）向量 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角为 π3 ，若对任意的t ∈R ，| a ⃗ −tb ⃗ |的最小值为 √3 ，则| a⃗ |= ． 22．（4分）设 e 1⃗⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗⃗ 是两个不共线的向量，已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗⃗ +me 2⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗⃗ ，若A ，B ，C 三点共线，则实数m= ．(共4题；共46分)23．（10分）已知 a ⃗ =（x ，1）， b ⃗ =（4，﹣2）． （Ⅰ）当 a⃗ ∥ b ⃗ 时，求| a ⃗ + b ⃗ |； （Ⅱ）若 a⃗ 与 b ⃗ 所成角为钝角，求x 的范围． 24．（12分）已知向量 a ⃗ ，b ⃗ 是夹角为 600 的单位向量， c ⃗ =3a ⃗ +2b ⃗ ，d ⃗ =ma ⃗ −4b⃗ 。
高中数学人教A版必修二第十章《概率》知识点题目
高中数学人教A版必修二第十章《概率》知识点题目学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合A=，，从A，B中各取一个数，则这两数之和等于5的概率是（）A．B．C．D．2．分别投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=“两枚骰子的点数都是奇数”，事件B=“两枚骰子的点数都是偶数”，事件C=“两枚骰子点数之和为奇数”，则事件与事件C（）A．不互斥B．互斥但不对立C．互为对立D．以上说法都不对3．下列事件中随机事件的个数为（）①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；④一个三角形的大边对小角，小边对大角.A．1 B．2 C．3 D．44．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（）.A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；B．小概率事件很少发生，不用怕；C．小概率事件就是不可能事件，不会发生；D．大概率事件就是必然事件，一定发生．5．九龙壁位于北京故宫紫禁城宁寿官区皇极门外，背倚宫墙而建的单面疏璃影壁，乾隆三十七年（1772年）改建宁寿宫时烧造.壁上9龙以高浮雕手法制成，纵贯壁心的山崖奇石将9条蟠龙分隔于5个空间，黄色正龙居中，左右两侧各有蓝白两龙，再向外两侧各有双龙，一紫一黄，现从三黄两蓝两白两紫九条龙中任选两条深入研究，则所选取的两条龙颜色不同的概率为（）A．B．C．1 D．6．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，在AB，CD，EF，GH 这四条线段中任意选择两条，那么所在直线是异面直线的概率是（）A．B．C．D．7．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”，“恰有一次击中飞机”，“至少有一次击中飞机”，下列关系不正确的是（）A．B．C．D．8．设，是两个事件，以下说法正确的是（）A．若，则事件与事件对立B．若，则事件与事件互斥C．若，则事件与事件互斥D．若，则事件与事件相互独立二、多选题9．从分别写有、、、、以及、、、的张纸条中任意抽取两张，有如下随机事件：“恰有一张写有数字”，“恰有一张写有字母”，“至少有一张写有数字”，“两张都写有数字”，“至多有一张写有字母”.下列结论正确的有（）A．B．C．D．10．连掷一枚均匀的骰子两次，向上的点数分别为m，n，记，则下列说法错误的是（）A．事件“”的概率为B．事件“是奇数”与“”互为对立事件C．事件“”与“”为互斥事件 D．事件“且”的概率为11．盒子里有形状大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中先后不放回地任取2个球，每次取1个．设“两个球颜色相同”为事件A，“两个球颜色不同”为事件B，“第1次取出的是红球”为事件C，“第2次取出的是红球”为事件D．则（）A．A与B互为对立事件B．A与C相互独立C．C与D互斥D．B与C相互独立12．袋中装有2个红球，2个蓝球，1个白球和1个黑球，这6个球除颜色外完全相同.从袋中不放回的依次摸取3个，每次摸1个，则下列说法正确的是（）A．“取到的3个球中恰有2个红球”与“取到的3个球中没有红球”是互斥事件但不是对立事件B．“取到的3个球中有红球和白球”与“取到的3个球中有蓝球和黑球”是互斥事件C．取到的3个球中有红球和蓝球的概率为0.8D．取到的3个球中没有红球的概率为0.2三、填空题13．现有语文､数学､英语､物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为___________.14．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.15．一个数字不重复的三位数的百位、十位、个位上的数字依次记为，，，当且仅当，，中有两个不同数字的和等于剩下的一个数字时，称这个三位数为“有缘数”（如213，341等）．现从1，2，3，4这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数，则这个三位数为“有缘数”的概率是______．16．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，则所有数对中满足的概率为___________．17．抛掷两枚质地均匀的骰子（标注为①号和②号），事件“①号骰子的点数大于②号骰子的点数”发生的概率为___________．18．把一个正方体的表面涂上红色，在它的长、宽、高上等距离地各切三刀，则大正方体被分割成了个大小相等的小正方体，将这些小正方体均匀地搅混在一起.如果你从这些小正方体中随意地取出个，则这个小正方体至少有一个面涂有红色的概率为_______.四、解答题19．抛掷一枚骰子和一枚硬币，写出样本空间.20．一个工人看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三台机床不需要照顾的概率为，，，在一小时的过程中，试求：(1)三台机床都不需要照顾的概率；(2)恰有两台机床需要照顾的概率；(3)至少有一台机床需要照顾的概率.21．袋子里有6个大小､质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球.(1)写出样本空间；(2)求取出两球颜色不同的概率；(3)求取出两个球中至多一个黑球的概率.22．某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过、、三道工序加工而成的，、、三道工序加工的元件合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，不进入市场．(1)生产一个元件，分别求该元件为一等品和二等品的概率；(2)若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率.23．奋发学习小组共有3名学生，在某次探究活动中，他们每人上交了1份作业，现各自从这3份作业中随机地取出了一份作业.(1)每个学生恰好取到自己作业的概率是多少？(2)每个学生不都取到自己作业的概率是多少？(3)每个学生取到的都不是自己作业的概率是多少？24．高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图，如图所示．(1)试估计这次竞赛成绩的众数和平均数；(2)已知100名学生落在第二组的平均成绩是32，方差为7，落在第三组的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数和总方差；(3)已知年级在第二组和第五组两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组的概率。
人教A版高中数学选择性必修第二册4.2等差数列 经典例题及配套练习题
4.2 等差数列4.2.1等差数列的概念例1（1）已知等差数列*a n+的通项公式为a n=5−2n，求*a n+的公差和首项；（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由a n−a n;1=d即可求出公差d；（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.解：（1）当n⩾2时，由*a n+的通项公式a n=5−2n，可得a n;1=5−2(n−1)=7−2n.于是d=a n−a n;1=(5−2n)−(7−2n)=−2.把n=1代入通项公式a n=5−2n，得a1=5−2×1=3.所以，*a n+的公差为−2，首项为3.（2）由已知条件，得d=5−8=−3.把a1=8，d=−3代入a n=a1+(n−1)d，得a n=8−3(n−1)=11−3n.把n=20代入上式，得a20=11−3×20=−49.所以，这个数列的第20项是−49.例2 −401是不是等差数列−5，−9，−13，……的项？如果是，是第几项？分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看−401是否能使这个方程有正整数解.解：由a1=−5，d=−9−(−5)=−4，得这个数列的通项公式为a n=−5−4(n−1)=−4n−1.令−4n−1=−401，解这个关于n的方程，得n=100.所以，−401是这个数列的项，是第100项.练习1．判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差．（1）95，82，69，56，43，30；（2）1，1.1，1.11，1.111，1．1111，1.11111；（3）1，－2，3，－4，5，－6；（4）1，1112，56，34，23，712，12．【答案】（1）是等差数列，公差为−13；（2）不是等差数列；（3）不是等差数列；（4）是等差数列，公差为−112.【分析】根据等差数列的定义对（1）、（2）、（3）、（4）逐个分析即可求解.【详解】解：（1）由82−95=69−82=56−69=43−56=30−43=−13，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数−13，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为−13；（2）通过观察可知，1.1−1=0.1，1.11−1.1=0.01，⋯该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（3）通过观察可知，−2−1=−3，3−(−2)=5，⋯该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（4）由1112−1=56−1112=34−56=23−34=712−23=12−712=−112，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数−112，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为−112.2．求下列各组数的等差中项：（1）647和895；（2）−1213和2435.【答案】（1）771；（2）9215.【分析】由等差中项的定义直接求解即可.【详解】（1）设647和895的等差中项为a，则a=647:8952=771，故647和895的等差中项为771；（2）设−1213和2435的等差中项为b，则b=;1213:24352=9215，故−1213和2435的等差中项为9215.3．已知在等差数列*a n+中，a4+a8=20，a7=12．求a4．【答案】a4=6【分析】设等差数列的公差为d，由等差数列通项公式性质知a4+a8=2a6，求得a6=10，进而求得公差d，即可得解.【详解】设等差数列的公差为d，则在等差数列*a n+中，a 4+a 8=2a 6=20，∴a 6=10∴d =a 7−a 6=12−10=2 ∴a 4=a 7−3d =12−6=64．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 【答案】10.5，14，17.5【分析】利用等差数列通项公式能求出插入的这3个数．【详解】解：∵在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列， ∴ {a 1=7a 5=a 1+4d =21 ，解得d =3.5， ∴a 2=7+3.5=10.5， a 3=7+2×3.5=14， a 4=7+3×3.5=17.5，∴插入的这3个数为10.5，14，17.5．例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d （d 为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d 的取值范围.分析：这台设备使用n 年后的价值构成一个数列*a n +.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于(220×5%=)11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.可以利用*a n +的通项公式列不等式求解.解：设使用n 年后，这台设备的价值为a n 万元，则可得数列*a n +.由已知条件，得 a n =a n;1−d(n ⩾2).由于d 是与n 无关的常数，所以数列*a n +是一个公差为−d 的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以a 1=220−d ，于是 a n =a 1+(n −1)(−d)=220−nd . 根据题意，得{a 10⩾11,a 11<11,即{220−10d ⩾11,220−11d <11,解这个不等式组，得19<d⩽20.9.所以，d的取值范围为19<d⩽20.9.例4已知等差数列*a n+的首项a1=2，公差d=8，在*a n+中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列*b n+.（1）求数列*b n+的通项公式.（2）b29是不是数列*a n+的项？若是，它是*a n+的第几项？若不是，说明理由.分析：（1）*a n+是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为*b n+中的项，就可以利用等差数列的定义得出*b n+的通项公式；（2）设*a n+中的第n项是*b n+中的第c n项，根据条件可以求出n 与c n的关系式，由此即可判断b29是否为*a n+的项.解：（1）设数列*b n+的公差为d′.由题意可知，b1=a1，b5=a2，于是b5−b1=a2−a1=8.因为b5−b1=4d′，所以4d′=8，所以d′=2.所以b n=2+(n−1)×2=2n.所以，数列*b n+的通项公式是b n=2n.（2）数列*a n+的各项依次是数列*b n+的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列*c n+，则c n=4n−3.令4n−3=29，解得n=8.所以，b29是数列*a n+的第8项.例5 已知数列*a n+是等差数列，p，q，s，t∈N∗，且p+q=s+t.求证a p+a q=a s+a t. 分析：只要根据等差数列的定义写出a p，a q，a s，a t，再利用已知条件即可得证.证明：设数列*a n+的公差为d，则a p=a1+(p−1)d，a q=a1+(q−1)d，a s=a1+(s−1)d，a t=a1+(t−1)d.所以a p+a q=2a1+(p+q−2)d，a s+a t=2a1+(s+t−2)d.因为p+q=s+t，所以a p+a q=a s+a t.练习5．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用a n表示第n排的座位数吗？第10排有多少个座位？【答案】a n=2n+13；a10=33【分析】可将每排座位数看成等差数列，列出通项公式.【详解】由条件可知，每排的座位数，看成等差数列，首项a1=15，d=2，则a n=15+(n−1)×2=2n+13，a10=2×10+13=33.综上可知，a n=2n+13，第10排的座位数a10=33个.6．画出数列a n={18,n=1a n;1−3,1<n≤6的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率. 【答案】图象见解析，−3【分析】由递推关系a n={18,n=1a n;1−3,1<n≤6，求出a n(1≤n≤6)值，然后再作出图象，在根据斜率公式即可求出通过图象上所有点的直线的斜率.【详解】根据递推关系a n={18,n=1a n;1−3,1<n≤6，可知a1=18,a2=15,a3=12,a4= 9,a5=6,a6=3，作出数列a n={18,n=1a n;1−3,1<n≤6的图象，如下图所示：通过图象上所有点的直线的斜率a6;a16;1=3;185=−3.7．在等差数列*a n+中，a n=m，a m=n，且n≠m，求a m;n．【答案】2n【分析】利用等差数列的通项公式，解出a1、d，代入a m;n即可. 【详解】设等差数列*a n+的公差为d则{a n=a1+(n−1)d=ma m=a1+(m−1)d=n ⇒{a1=m+n−1d=−1所以a m;n=a1+(m−n−1)d=m+n−1−m+n+1=2n8．已知数列*a n+，*b n+都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列*c n+满足c n=a n+2b n．（1）数列*c n+是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．（2）若*a n+，*b n+的公差都等于2，a1=b1=1，求数列*c n+的通项公式．【答案】（1）数列*c n+是等差数列，证明见解析；（2）c n=6n−3.【分析】（1）根据等差数列的定义即可证得结论；（2）由等差数列的通项公式运算即可得解.【详解】（1）数列*c n+是等差数列，证明：因为数列*a n+，*b n+都是等差数列，公差分别为d1，d2，所以a n=a1+(n−1)d1,b n=b1+(n−1)d2，又因为c n=a n+2b n=(a1+2b1)+(n−1)(d1+2d2)，故c n:1−c n=,(a1+2b1)+n(d1+2d2)-−,(a1+2b1)+(n−1)(d1+2d2)-=d1+2d2，而c1=a1+2b1，所以数列*c n+是以a1+2b1为首项，d1+2d2为公差的等差数列.（2）由（1）知：数列*c n+是以a1+2b1为首项，d1+2d2为公差的等差数列，而c1=a1+2b1=3，d1+2d2=6，所以c n=3+6(n−1)=6n−3.9．已知一个无穷等差数列*a n+的首项为a1，公差为d．（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？【答案】（1）是等差数列，首项为a1+md，公差为d；（2）是等差数列，首项为首项为a1，公差为2d；（3）是等差数列，首项为a1+6d，公差为7d；猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.【分析】（1）由题意可知，新的数列为：a m:1, a m:2, a m:3,⋯，可知新等差数列的首项及公差；（2）由题意可知，新的数列为：a1, a3, a5,⋯,a2n:1,⋯，可知新等差数列的首项及公差；（3）由题意可知，新的数列为：a7, a14, a21,⋯,a7n,⋯，可知新等差数列的首项及公差，进而得到猜想.【详解】（1）由题意可知，将无穷等差数列*a n+的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列为：a m:1, a m:2, a m:3,⋯，这个新数列是等差数列，首项为a m:1=a1+md，公差为d.（2）由题意可知，取出无穷等差数列*a n+中的所有奇数项，组成一个新的数列为：a1, a3, a5,⋯,a2n:1,⋯，这个新数列是等差数列，首项为a1，公差为2d.（3）由题意可知，取出无穷等差数列*a n+中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列为：a7, a14, a21,⋯,a7n,⋯，这个新数列是等差数列，首项为a7=a1+6d，公差为a14−a7=7d. 猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.4.2.2等差数列的前n项和公式例6 已知数列*a n+是等差数列.（1）若a1=7，a50=101，求S50；（2）若a1=2，a2=52，求S10；（3）若a1=12，d=−16，S n=−5，求n.分析：对于（1），可以直接利用公式S n=n(a1:a n)2求和；在（2）中，可以先利用a1和a2的值求出d，再利用公式S n=na1+n(n;1)2d求和；（3）已知公式S n=na1+n(n;1)2d中的a1，d和S n，解方程即可求得n.解：（1）因为a1=7，a50=101，根据公式S n=n(a1:a n)2，可得S50=50×(7:101)2=2700.（2）因为a1=2，a2=52，所以d=12.根据公式S n=na1+n(n;1)2d，可得S10=10×2+10×(10;1)2×12=852.（3）把a1=12，d=−16，S n=−5代入S n=na1+n(n;1)2d，得−5=12n+n(n;1)2×.−16/.整理，得n2−7n−60=0.解得n=12，或n=−5（舍去）.所以n=12.例7已知一个等差数列*a n+前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式（2）后，可得到两个关于a1与d的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a1和d.解：由题意，知S10=310，S20=1240.。
新课标人教A版高中数学必修二第三章《直线中有关对称问题的两种主要类型》专题练习
有关对称问题的两种主要类型1、点关于点的对称问题：① 若两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点P (x 0，y 0)对称，则P 是线段AB 的中点，并且⎩⎨⎧ x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．2、点关于线的对称问题：①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点为A ′(m ，n )，则有错误!②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决题型一：关于点对称问题1、点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点P ′的坐标为(2a －x 0，2b －y 0)；2、直线3x －y －4＝0关于点(2，－1)的对称直线l 的方程为3x －y －10＝0.3、与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x ＋3y ＋8＝0题型二：关于线的对称问题1、点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标(－2,5)2、一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，则反射光线的方程为y ＝3(x ≤78)3、已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )4、已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为x －y ＋1＝05、光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是6、点P (a ，b )关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，则a ＋b 等于－17、点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是(－4，－1)8、直线l ：x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线方程为x ＋y －1＝09、已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为1210、直线l ：x －y ＋1＝0关于y 辆对称的直线方程为x ＋y －1＝011、点A (3，－4)与点B (5,8)关于直线l 对称，则直线l 的方程为x ＋6y －16＝012、直线2x ＋3y －6＝0关于点A (1，－1)对称的直线方程为__2x ＋3y ＋8＝0题型三：利用对称性求最值1、已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)．(1)在直线l 上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|P A ||最大．解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎨⎧ n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)． 因为P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l的交点，解⎩⎨⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2,3)． (2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|P A ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|P A ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎨⎧ y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝10， 故所求的点P 的坐标为(12,10)．2、在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得：(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大；(2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．（1）（2）解：(1)如图，B 关于l 的对称点B ′(3,3)． 直线AB ′的方程为2x ＋y －9＝0，由⎩⎨⎧ 2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝5，即P (2,5)． (2)如图，C 关于l 的对称点C ′(35，245)， :由图象可知：|P A |＋|PC |≥|AC ′|.当P 是AC ′与l 的交点P (117，267)时“＝”成立， ∴P (117，267)．。
人教版高中数学必修2第二章测试题A组及答案解析
人教版高中数学必修2第二章测试题A组及答案解析第二章点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.设 $\alpha$，$\beta$ 为两个不同的平面，$l$，$m$ 为两条不同的直线，且 $l\subset\alpha$，$m\subset\beta$，有如下的两个命题：①若 $\alpha\parallel\beta$，则 $l\parallel m$；②若 $l\perp m$，则 $\alpha\perp\beta$。
那么()。
A。
①是真命题，②是假命题B。
①是假命题，②是真命题C。
①②都是真命题D。
①②都是假命题2.如图，ABCD为正方体，下面结论错误的是()。
A。
BD $\parallel$ 平面CBB。
AC $\perp$ BDC。
AC $\perp$ 平面CBD。
异面直线AD与CB角为60°3.关于直线 $m$，$n$ 与平面 $\alpha$，$\beta$，有下列四个命题：① $m\parallel\alpha$，$n\parallel\beta$ 且$\alpha\parallel\beta$，则 $m\parallel n$；② $m\perp\alpha$，$n\perp\beta$ 且 $\alpha\perp\beta$，则$m\perp n$；其中真命题的序号是()。
A。
①②B。
③④C。
①④D。
②③4.给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线 $l_1$，$l_2$ 与同一平面所成的角相等，则$l_1$，$l_2$ 互相平行④若直线 $l_1$，$l_2$ 是异面直线，则与 $l_1$，$l_2$ 都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是()。
A。
1B。
2C。
3D。
45.下列命题中正确的个数是()。
①若直线 $l$ 上有无数个点不在平面 $\alpha$ 内，则$l\parallel\alpha$②若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行，则 $l$ 与平面$\alpha$ 内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行，则 $l$ 与平面$\alpha$ 内的任意一条直线都没有公共点A。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册全册同步练习
（2019新教材）人教A 版高中数学必修第二册全册同步练习6．1 平面向量的概念[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a |a|.A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的．2．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．3．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB →＝OC →B.AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →|D.AD →＝FC →解析：选D.由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →的方向不同，故AD →≠FC →，故选D. 4．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．模相等的向量 C ．平行向量D ．起点相同的向量解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O 到三个顶点A ，B ，C 的距离相等，所以AO →，BO →，CO →是模相等的向量．5．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤解析：选B.①|a |>|b |不正确，a 是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a ∥b ，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a 是非零向量，故|a |>0正确；④|b |＝1，故④不正确；⑤a|a |是与a 同向的单位向量，不一定与b 同向，故不正确．6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 答案：27．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →长度的最小值为________．解析：根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 的长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为532.答案：5328．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线， 所以AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， 所以m ＝0. 答案：09.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图． (1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC →共线的向量；(2)求证：BE →＝FD →.解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC →共线的向量有：CF →，BC →，CB →，BF →，FB →，ED →，DE →，AE →，EA →，AD →，DA →.(2)证明：在▱ABCD 中，AD 綊BC . 又E ，F 分别为AD ，BC 的中点， 所以ED 綊BF ，所以四边形BFDE 是平行四边形， 所以BE 綊FD ， 所以BE →＝FD →.10．已知在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，求AD →与BC →分别满足什么条件时，四边形ABCD 满足下列情况．(1)四边形ABCD 是等腰梯形； (2)四边形ABCD 是平行四边形． 解：(1)|AD →|＝|BC →|，且AD →与BC →不平行．因为AB →∥CD →，所以四边形ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形ABCD 为等腰梯形，则|AD →|＝|BC →|，同时两向量不平行．(2)AD →＝BC →(或AD →∥BC →)．若AD →＝BC →，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形．[B 能力提升]11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是 ( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C ．BD →的模恰为DA →模的3倍 D ．CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．12.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →解析：选D.由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →.13．如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D .若AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，则DB →的模为________．解析：如图，延长CD ，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于点E . 因为∠ACD ＝∠BCD ＝∠AED ， 所以|AC →|＝|AE →|. 因为△ADE ∽△BDC ，所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC →|，故|DB →|＝32.答案：3214．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求向量AD →的模．解：(1)作出向量AB →，BC →，CD →， 如图所示．(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)．所以|AD →|＝5 5.[C 拓展探究]15．如图，A 1，A 2，…，A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2，…，A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的2倍的向量有多少个？解：模等于半径的向量只有两类，一类是OA →i (i ＝1，2，…，8)，共8个；另一类是A i O →(i ＝1，2，…，8)，也有8个．两类共计有16个．以A 1，A 2，…，A 8中四点为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一个是正方形A 1A 3A 5A 7，另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍，故模为半径的2倍的向量共有4×2×2＝16(个)．6.2 向量的运算[A 基础达标]1．在三角形ABC 中，BA →＝a ，CA →＝b ，则CB →＝( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋bD ．－a －b解析：选B.CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋(－BA →)＝b －a .2．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →解析：选B.EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →＝EO →－FO →＝－OE →－FO →.故选B. 3．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A.DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 4．给出下列各式： ①AB →＋CA →＋BC →； ②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →－AO →； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A.①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0；②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③AD →－OD →－AO →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0. 5．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB →＝BC →；②|AB →|＝|BC →|；③|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|；④|AD →＋CD →|＝|CD →－CB →|. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选C.由菱形的图形，可知向量AB →与BC →的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|AB →－CD →|＝|AB →＋DC →|＝2|AB →|，|AD →＋BC →|＝2|BC →|，且|AB →|＝|BC →|，所以|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|，即③正确；因为|AD →＋CD →|＝|BC →＋CD →|＝|BD →|，|CD →－CB →|＝|CD →＋BC →|＝|BD →|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.6．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝______，|a －b |＝________． 解析：若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，所以|a |＝|－b |＝1，因为a 与－b 共线，所以|a －b |＝2.答案：0 27．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .答案：b －a －a －b 8．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →； ④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中正确命题的序号为________． 解析：①因为OD →＋OE →＝OM →， 所以OD →＝OM →－OE →，正确；②因为OM →－OD →＝OE →，所以OM →＋DO →＝OE →，正确； ③因为OE →＝－EO →，所以OD →－EO →＝OM →，正确； ④因为－OM →＝－OD →－OE →，所以MO →＝DO →＋EO →，正确． 答案：①②③④9.如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：(1)AC →；(2)AD →；(3)AD →－AB →；(4)AB →＋CF →； (5)BF →－BD →.解：(1)AC →＝OC →－OA →＝c －a . (2)AD →＝AO →＋OD →＝OD →－OA →＝d －a . (3)AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b .(4)AB →＋CF →＝OB →－OA →＋OF →－OC →＝b －a ＋f －c . (5)BF →－BD →＝OF →－OB →－(OD →－OB →)＝OF →－OD →＝f －d . 10．如图所示，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .(1)用a ，b 表示AC →，DB →；(2)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ 解：(1)AC →＝AD →＋AB →＝b ＋a ，DB →＝AB →－AD →＝a －b . (2)由(1)知a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →. 因为a ＋b 与a －b 所在直线垂直，所以AC ⊥BD .又因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为菱形， 所以|a |＝|b |.所以当|a |＝|b |时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直．[B 能力提升]11．给出下面四个结论：①若线段AC ＝AB ＋BC ，则向量AC →＝AB →＋BC →； ②若向量AC →＝AB →＋BC →，则线段AC ＝AB ＋BC ； ③若向量AB →与BC →共线，则线段AC ＝AB ＋BC ； ④若向量AB →与BC →反向共线，则|AB →－BC →|＝AB ＋BC . 其中正确的结论有________．解析：①由AC ＝AB ＋BC 得点B 在线段AC 上，则AC →＝AB →＋BC →，正确． ②三角形内AC →＝AB →＋BC →，但AC ≠AB ＋BC ，错误．③AB →，BC →反向共线时，|AC →|＝|AB →＋BC →|≠|AB →|＋|BC →|，也即AC ≠AB ＋BC ，错误． ④AB →，BC →反向共线时，|AB →－BC →|＝|AB →＋(－BC →)|＝AB ＋BC ，正确． 答案：①④12．已知|OA →|＝a ，|OB →|＝b (a >b )，|AB →|的取值范围是[5，15]，则a ，b 的值分别为______． 解析：因为a －b ＝||OA →|－|OB →||≤|OA →－OB →|＝|AB →|≤|OA →|＋|OB →|＝a ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝5.答案：10 513．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，则|AB →－BC →|＝________． 解析：如图，在△ABD 中， AB ＝BD ＝1， ∠ABD ＝120°，AB →－BC →＝AB →＋CB → ＝AB →＋BD →＝AD →.易求得AD ＝3，即|AD →|＝ 3. 所以|AB →－BC →|＝ 3. 答案：314．如图所示，点O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a ，b ，c ，d 的方向(用箭头表示)，使a ＋b ＝BA →，c －d ＝DC →，并画出b －c 和a ＋d .解：因为a ＋b ＝BA →，c －d ＝DC →，所以a ＝OA →，b ＝BO →，c ＝OC →，d ＝OD →.如图所示，作平行四边形OBEC ，平行四边形ODF A .根据平行四边形法则可得，b －c ＝EO →，a ＋d ＝OF →.[C 拓展探究]15．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b .求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明：因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， 所以CA ＝CB .又M 是斜边AB 的中点， 所以CM ＝AM ＝BM . (1)因为CM →－CA →＝AM →， 又|AM →|＝|CM →|，所以|a －b |＝|a |. (2)因为M 是斜边AB 的中点， 所以AM →＝MB →，所以a ＋(a －b )＝CM →＋(CM →－CA →)＝CM →＋AM →＝CM →＋MB →＝CB →，因为|CA →|＝|CB →|， 所以|a ＋(a －b )|＝|b |.向量的数量积[A 基础达标]1．已知▱ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD →与CD →的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选D.如图，AD →与CD →的夹角为∠ABC ＝150°.2．已知单位向量a ，b ，则(2a ＋b )·(2a －b )的值为( ) A. 3 B.5 C ．3D ．5解析：选C.由题意得(2a ＋b )·(2a －b )＝4a 2－b 2＝4－1＝3.3．(2019·北京市十一中学检测)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选C.因为a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝2π3.4．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则|a |＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．12解析：选C.因为(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2 ＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2 ＝|a |2－2|a |－96＝－72. 所以|a |2－2|a |－24＝0.解得|a |＝6或|a |＝－4(舍去)．故选C.5．(2019·广东佛山质检)如图所示，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，则AB →·BC →等于( )A ．－32B ．32C ．－32D ．32解析：选C.因为△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，所以BC ＝3，所以AB →·BC →＝1×3×cos 150°＝－32.6．若向量a 的方向是正南方向，向量b 的方向是北偏东60°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )＝________．解析：设a 与b 的夹角为θ，则θ＝120°，所以(－3a )·(a ＋b )＝－3|a |2－3a ·b ＝－3－3×1×1×cos 120°＝－3＋3×12＝－32.答案：－327．已知向量a 与b 的夹角是π3，且|a |＝1，|b |＝2，若(3a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________．解析：根据题意得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝1，因为(3a ＋λb )⊥a ，所以(3a ＋λb )·a ＝3a 2＋λa ·b ＝3＋λ＝0，所以λ＝－ 3.答案：－38．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________． 解析：因为AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝60°.又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．答案：等边三角形9．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12.(1)求向量a ，b 的夹角； (2)求|a －b |.解：(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝12，所以a 2－b 2＝12，即|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，所以|b |＝22.设向量a ，b 的夹角为θ， 因为a ·b ＝12，所以|a |·|b |cos θ＝12，所以cos θ＝22，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，所以向量a ，b 的夹角为45°. (2)因为|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝12，所以|a －b |＝22. 10．已知|a |＝2|b |＝2，e 是与b 方向相同的单位向量，且向量a 在向量b 方向上的投影向量为－e .(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 解：(1)由题意知|a |＝2，|b |＝1.又a 在b 方向上的投影向量为|a |cos θ e ＝－e ， 所以cos θ＝－12，所以θ＝2π3.(2)易知a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝－1，则(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)因为λa ＋b 与a －3b 互相垂直， 所以(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， 所以λ＝47.[B 能力提升]11．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形解析：选D.因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →， 所以AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)， 所以AB →·CB →＝BC →2，所以BC →·(BC →＋AB →)＝0， 所以BC →·AC →＝0，所以AC ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形．12．若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a －b 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D.由|a ＋b |＝|a －b |可得a·b ＝0，由|a －b |＝2|a |可得3a 2＝b 2，所以|b |＝3|a |，设向量a －b 与b 的夹角为θ，则cos θ＝（a －b ）·b |a －b ||b |＝－|b |22|a |·3|a |＝－3|a |223|a |2＝－32，又θ∈[0，π]，所以θ＝5π6.13．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC →＝2BD →，则AD →·BC →＝________．解析：由DC →＝2BD →，所以BD →＝13BC →，BC →＝AC →－AB →，故AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝⎣⎡⎦⎤AB →＋13·（AC →－AB →）·(AC →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →·(AC →－AB →) ＝13AB →·AC →＋13AC →2－23AB →2 ＝13|AB →||AC →|cos 120°＋13|AC →|2－23|AB →|2＝13×2×1×⎝⎛⎭⎫－12＋13×1－23×22＝－83. 答案：－8314．设向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角， 得（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 化简即得2t 2＋15t ＋7<0，画出y ＝2t 2＋15t ＋7的图象，如图． 若2t 2＋15t ＋7<0， 则t ∈⎝⎛⎭⎫－7，－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 但此时夹角不是钝角，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142. 所以所求实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12. [C 拓展探究]15．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →. (1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP →的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AD →·DC →＝0， 由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →.所以AP →·BP →＝()AD →＋DP →·()BC →＋CP→ ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13DC →·⎝⎛⎭⎫AD →－23DC →＝AD →2－13AD →·DC →－29DC →2＝36－29×81＝18.(2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－23AB → ＝AD →2－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6， 所以18－13AB →·AD →＝6，所以AB →·AD →＝36. 设AB →与AD →的夹角为θ，又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ， 所以54cos θ＝36，即cos θ＝23.所以AB →与AD →夹角的余弦值为23.平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示[A 基础达标]1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( )A ．(1，－2)B ．(7，6)C ．(5，0)D ．(11，8)解析：选D.因为OA →＝(4，2)，OB →＝(3，4)， 所以2OA →＋OB →＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．2．设向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( ) A ．－112B.112 C ．－292D.292解析：选C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，x λ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14，所以λ＋x ＝－292，故选C.3．已知MA →＝(－2，4)，MB →＝(2，6)，则12AB →等于( )A ．(0，5)B ．(0，1)C ．(2，5)D ．(2，1)解析：选D.12AB →＝12(MB →－MA →)＝12(2，6)－12(－2，4)＝(2，1)．4．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3，2)D ．(1，3)解析：选A.设点D (m ，n )，则由题意得(4，3)＝2(m ，n －2)＝(2m ，2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，72，故选A. 5．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A.15B.13C.25D.23解析： 选C.如图所示，因为∠AOC ＝45°， 所以设C (x ，－x )， 则OC →＝(x ，－x )．又因为A (－3，0)，B (0，2)， 所以λOA →＋(1－λ)OB → ＝(－3λ，2－2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3λ－x ＝2－2λ⇒λ＝25.6．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________． 解析：设O 为坐标原点，因为OA →＝(－1，－5)，AB →＝3a ＝(6，9)，故OB →＝OA →＋AB →＝(5，4)，故点B 的坐标为(5，4)．答案：(5，4)7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，c ＝(4，1)，若用a 和b 表示c ，则c ＝________． 解析：设c ＝x a ＋y b ，则(x ，2x )＋(－2y ，3y )＝(x －2y ，2x ＋3y )＝(4，1)．故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝4，2x ＋3y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 所以c ＝2a －b . 答案：2a －b8．已知A (－1，2)，B (2，8)．若AC →＝13AB →，DA →＝－23AB →，则CD →的坐标为________．解析：AC →＝13AB →＝13(3，6)＝(1，2)，DA →＝－23AB →＝－23(3，6)＝(－2，－4)，DC →＝DA →＋AC →＝(－1，－2)， 所以CD →＝(1，2)． 答案：(1，2)9．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. 10．已知向量AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求λ与y 的值． 解：(1)设B (x 1，y 1)，因为AB →＝(4，3)，A (－1，－2)， 所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B (3，1)．同理可得D (－4，－3)， 设BD 的中点M (x 2，y 2)， 则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1.所以M ⎝⎛⎭⎫－12，－1. (2)由PB →＝(3，1)－(2，y )＝(1，1－y )， BD →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)， 又PB →＝λBD →(λ∈R )，所以(1，1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎨⎧λ＝－17，y ＝37.[B 能力提升]11．对于向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，定义m n ＝(x 1x 2，y 1y 2)．已知a ＝(2，－4)，且a ＋b ＝ab ，那么向量b 等于( )A.⎝⎛⎭⎫2，45 B.⎝⎛⎭⎫－2，－45 C.⎝⎛⎭⎫2，－45 D.⎝⎛⎭⎫－2，45 解析：选A.设b ＝(x ，y )，由新定义及a ＋b ＝ab ，可得(2＋x ，y －4)＝(2x ，－4y )，所以2＋x ＝2x ，y －4＝－4y ，解得x ＝2，y ＝45，所以向量b ＝⎝⎛⎭⎫2，45. 12．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ＝______．解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA→＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23.答案：2313．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．解析：PQ →－P A →＝AQ →＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q 是AC 的中点，所以AQ →＝QC →，所以PC →＝PQ →＋QC →＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP →＝2PC →，所以BC →＝BP →＋PC →＝3PC →＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)14．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .解：如图，以O 为原点，向量OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系．因为|a |＝2，所以a ＝(2，0)．设b ＝(x 1，y 1)，所以x 1＝|b |·cos 150°＝1×⎝⎛⎭⎫－32＝－32，y 1＝|b |sin 150°＝1×12＝12，所以b ＝⎝⎛⎭⎫－32，12.同理可得c ＝⎝⎛⎭⎫－32，－332. 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，所以⎝⎛⎭⎫－32，－332＝λ1(2，0)＋λ2⎝⎛⎭⎫－32，12＝(2λ1－32λ2，12λ2)， 所以⎩⎨⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，解得⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－3 3.所以c ＝－3a －33b .[C 拓展探究]15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)． (1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求OP →的坐标；(2)若OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，且点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，试求m －n 的值． 解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，因为P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以点P 的坐标为(2，2)， 故OP →＝(2，2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)． 所以AB →＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，AC →＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)， 因为OP →＝mAB →＋nAC →，所以(x 0，y 0)＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ，两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图象上， 所以y 0－x 0＝1，所以m －n ＝1.两向量共线的充要条件及应用[A 基础达标]1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B.因为平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以1×m －(－2)×2＝0，解得m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．2．已知a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，若b ∥a ，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：选A.因为b ∥a ，所以2sin α＝cos α，所以sin αcos α＝12，所以tan α＝12.3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值是( )A ．－72B ．－12C ．－43D ．－83解析：选B.v ＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u ＝(1，2)＋k (0，1)＝(1，2＋k )．因为u ∥v ，所以2(2＋k )－1×3＝0，解得k ＝－12.4．若AB →＝i ＋2j ，DC →＝(3－x )i ＋(4－y )j (其中i ，j 的方向分别与x ，y 轴正方向相同且为单位向量).AB →与DC →共线，则x ，y 的值可能分别为( )A ．1，2B ．2，2C ．3，2D ．2，4解析：选B.由题意知，AB →＝(1，2)，DC →＝(3－x ，4－y )． 因为AB →∥DC →，所以4－y －2(3－x )＝0，即2x －y －2＝0.只有B 选项，x ＝2，y ＝2代入满足．故选B.5．已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9，1) B ．(9，－1) C ．(9，1)D ．(－9，－1)解析：选C.设点C 的坐标是(x ，y )， 因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝⎛⎭⎫8，12－(1，－3)＝⎝⎛⎭⎫7，72， AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)， 所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7，经检验可知点(9，1)符合要求，故选C.6．已知向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，则实数x 的值为________．解析：因为向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 答案：17．已知A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)，给出下列结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.其中，正确结论的序号为________．解析：①因为OC →＝(－2，1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →＝(0，2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4，0)，OB →－2OA →＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以④正确．答案：①③④8．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“⊕”为m ⊕n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设m ＝(p ，q )，若(1，2)⊗m ＝(5，0)，则(1，2)⊕m 等于________．解析：由(1，2)⊗m ＝(5，0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，所以(1，2)⊕m ＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)．答案：(2，0)9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． 因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12.所以当k ＝－12时，k a －b 与a ＋2b 共线．(2)因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，λ∈R ， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.10．(1)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求M ，N 及MN →的坐标；(2)已知P 1(2，－1)，P 2(－1，3)，P 在直线P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|.求点P 的坐标．解：(1)法一：由A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，可得CA →＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，CB →＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，所以CM →＝3CA →＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2CB →＝2(6，3)＝(12，6)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．则CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)，CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)， 所以x 1＝0，y 1＝20，x 2＝9，y 2＝2，即M (0，20)，N (9，2)，所以MN →＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)． 法二：设点O 为坐标原点，则由CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，可得OM →－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)， 从而OM →＝3OA →－2OC →，ON →＝2OB →－OC →， 所以OM →＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON →＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，即点M (0，20)，N (9，2)，故MN →＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)． (2)①当点P 在线段P 1P 2上时，如图a ：则有P 1P →＝23PP 2→，设点P 的坐标为(x ，y )，所以(x －2，y ＋1)＝23(－1－x ，3－y )，所以⎩⎨⎧x －2＝23（－1－x ），y ＋1＝23（3－y ），解得⎩⎨⎧x ＝45，y ＝35.故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，35. ②当点P 在线段P 2P 1的延长线上时，如图b ：则有P 1P →＝－23PP 2→，设点P 的坐标为(x ，y )，所以(x －2，y ＋1)＝－23(－1－x ，3－y )，所以⎩⎨⎧x －2＝－23（－1－x ），y ＋1＝－23（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－9.故点P 的坐标为(8，－9)．综上可得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，35或(8，－9)．[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D.因为a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1，1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然，c 与d 不平行，排除A 、B.若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1，1)，d ＝a －b ＝－(－1，1)，即c ∥d 且c 与d 反向．12．已知向量a ＝(－2，3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1，2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2. 又B 点在坐标轴上， 则1－2λ＝0或3λ＋2＝0， 所以B ⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0. 答案：⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0 13.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2，6)，B (6，4)，C (5，0)，D (1，0)，则直线AC 与BD 交点P 的坐标为______．解析：设P (x ，y )，则DP →＝(x －1，y )，DB →＝(5，4)，CA →＝(－3，6)，DC →＝(4，0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP →＝λDB →＝(5λ，4λ)． 又因为CP →＝DP →－DC →＝(5λ－4，4λ)， 由CP →与CA →共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0. 解得λ＝47，所以DP →＝47DB →＝⎝⎛⎭⎫207，167， 所以P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167. 答案：⎝⎛⎭⎫277，16714．(2019·江苏扬州中学第一学期阶段性测试)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)．(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．解：(1)当m ＝8时，OC →＝(8，3)，设OC →＝xOA →＋yOB →，则x (2，－1)＋y (3，0)＝(2x ＋3y ，－x )＝(8，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝8，－x ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝143，所以OC →＝－3OA →＋143OB →.(2)因为A ，B ，C 三点能构成三角形，所以AB →，AC →不共线，又AB →＝(1，1)，AC →＝(m －2，4)，所以1×4－1×(m －2)≠0，所以m ≠6.[C 拓展探究]15．已知平面上有A (－2，1)，B (1，4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC ，点E 在CD 上，且CE →＝14ED →，求E 点的坐标．解：因为AC →＝12BC →，所以2AC →＝BC →，所以2AC →＋CA →＝BC →＋CA →， 所以AC →＝BA →.设C 点坐标为(x ，y )，则(x ＋2，y －1)＝(－3，－3)，所以x ＝－5，y ＝－2， 所以C (－5，－2)．因为CE →＝14ED →，所以4CE →＝ED →，所以4CE →＋4ED →＝5ED →，所以4CD →＝5ED →. 设E 点坐标为(x ′，y ′)，则4(9，－1)＝5(4－x ′，－3－y ′)．所以⎩⎪⎨⎪⎧20－5x ′＝36，－15－5y ′＝－4，解得⎩⎨⎧x ′＝－165，y ′＝－115.所以E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－165，－115.平面向量数量积的坐标表示[A 基础达标]1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D.2a －b ＝(4，2)－(－1，k )＝(5，2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2，1)·(5，2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．0 B ．1 C ．－2D ．2解析：选D.2a －b ＝(3，n )，由2a －b 与b 垂直可得(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，所以n 2＝3，所以|a |＝2.3．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．25 C ．8D ．82解析：选D.易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选D.因为b ∥c ，所以－3x ＝(－3)×1，所以x ＝3，所以b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4)．所以a －b 与b 的夹角的余弦值为b ·（a －b ）|a －b ||b |＝－124×23＝－32，所以a －b 与b 的夹角为150°.5．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使得AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C.设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，所以当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. 此时点P 的坐标为(3，0)．6．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，则m ＝________． 解析：a ＋b ＝(m ＋1，－3)＋(1，m －1)＝(m ＋2，m －4)， a －b ＝(m ＋1，－3)－(1，m －1)＝(m ，－2－m )， 因为(a ＋b )⊥(a －b )，所以(a ＋b )·(a －b )＝0， 即(m ＋2，m －4)·(m ，－m －2)＝0， 所以m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，解得m ＝－2. 答案：－27．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(λ，12)，且|λa ＋b |＝132，则λ＝________．解析：由已知易得λa ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，λ＋12，则(－λ)2＋⎝⎛⎭⎫λ＋122＝134，解得λ＝1或λ＝－32. 答案：1或－328．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为______． 解析：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝（2cos θ－3）2＋（2sin θ）2＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2 θ＝7－43cos θ， 当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 答案：2＋39．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)． (1)求a －b 及|a －b |；(2)若k a ＋b 与a －b 垂直，求实数k 的值． 解：(1)a －b ＝(4，0)，|a －b |＝42＋02＝4. (2)k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －b ＝(4，0)， 因为k a ＋b 与a －b 垂直，所以(k a ＋b )·(a －b )＝4(k －3)＋(2k ＋2)·0＝0， 解得k ＝3.10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3， 故c ＝(－3，3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cosθ＝a ·b |a |·|b |＝22，所以θ＝π4.[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C.设a 与c 的夹角为θ，依题意，得 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝ 5. 设c ＝(x ，y )，因为(a ＋b )·c ＝52，所以x ＋2y ＝－52.又a ·c ＝x ＋2y ，所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5×5＝－525＝－12，所以a 与c 的夹角为120°.12．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM →·EC →的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎣⎡⎦⎤12，32D.[]0，1解析：选C.以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x ，0)，0≤x ≤1.因为M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1，1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC →＝(1－x ，1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 13．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值为________．解析：法一：(定义法)如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB → ＝BC →·CA →＋CA →·AB →＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A ) ＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25.法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系， 则A (3，0)，B (0，0)，C (0，4)．所以AB →＝(－3，0)，BC →＝(0，4)，CA →＝(3，－4)． 所以AB →·BC →＝－3×0＋0×4＝0， BC →·CA →＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA →·AB →＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝0－16－9＝－25. 法三：(转化法)因为|AB →|＝3，|BC →|＝4，|AC →|＝5， 所以AB ⊥BC ，所以AB →·BC →＝0，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝CA →·(AB →＋BC →) ＝CA →·AC →＝－|AC →|2＝－25. 答案：－2514．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)． (1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角； (2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围． 解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)， 所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)， 所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b |·|a |＝643＝32.因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为π6.(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a －t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，2 3 ]．[C 拓展探究]15．已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值．解：(1)证明：因为A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)，所以AB →＝(1，1)，AD →＝(－3，3)． AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， 所以AB →⊥AD →，所以AB ⊥AD .(2)因为AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， 所以AB →＝DC →.设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)．又因为AB →＝(1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.所以点C 的坐标为(0，5)．所以AC →＝(－2，4)．又BD →＝(－4，2)，所以|AC →|＝25，|BD →|＝25， AC →·BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1625×25＝45.故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.正弦定理[A 基础达标]1．在△ABC 中，一定成立的式子是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．a cos A ＝b cos BC ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得a sin B ＝b sin A . 2．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝( ) A.π3 B.π6 C.π3或2π3D.π6或5π6解析：选C.由正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ，所以sin A (2sin B －3)＝0.因为0<A <π，0<B <π，所以sin A ≠0，sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3. 3．(2019·济南检测)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若A ＝60°，c ＝6，a ＝6，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解解析：选B.由等边对等角可得C ＝A ＝60°，由三角形的内角和可得B ＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．4．在△ABC 中，若c ＝3，C ＝60°，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝( )A ．6B ．23C ．2D ．3解析：选C.利用正弦定理的推论，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝c sin C ＝3sin 60°＝2.5．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)代入已知条件，得sin 2A tan B ＝sin 2B tan A ，则sin 2A sin B cos B ＝sin A sin 2Bcos A.因为sin A sin B ≠0，所以sin A cos B ＝sin Bcos A，所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．。
新课标人教A版高中数学必修二第三章第2节《直线的点斜式方程与斜截式方程》专题练习
直线的点斜式方程与斜截式方程知识点一：直线的点斜式方程思考1：直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，那么x ，y 应满足什么关系？答案：由斜率公式得k ＝y －y 0x －x 0，则x ，y 应满足y －y 0＝k (x －x 0)．思考2： 经过点P 0(x 0，y 0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？ 答案：斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P 0斜率不存在的直线为x ＝x 0. 结论梳理：知识点二 直线的斜截式方程思考1：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，得到的直线l 的方程是什么？答案：将k 及点(0，b )代入直线方程的点斜式得：y＝kx ＋b .思考2：方程y ＝kx ＋b ，表示的直线在y 轴上的截距b 是距离吗？b 可不可以为负数和零？ 答案：y 轴上的截距b 不是距离，可以是负数和零． 结论梳理斜截式已知条件斜率k 和直线在y 轴上的截距b图示方程式 y ＝kx ＋b 适用条件斜率存在备注：（1）横截距：令0=y ，解出；横截距：令0=x ，解出y ；（2）直线过点)0,(a ，即横截距为a ,直线过点),0(b ，即纵截距为b .题型一：直线的点斜式方程例1、写出下列直线的点斜式方程．1、过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程：y －(－2)＝－33(x －4) 点斜式 已知条件点P (x 0，y 0)和斜率k图示方程形式 y －y 0＝k (x －x 0) 适用条件斜率存在2、过点A (2，－1)且斜率为33的直线的点斜式方程是y ＋1＝33(x －2) 3、若过原点的直线l 的斜率为－3，则直线l 的方程是3x ＋y ＝04、与直线3x －2y ＝0的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为y －3＝32(x ＋4)5、经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2斜率的2倍的直线方程是y －1＝2(x ＋1) 6、经过点D (1,2)，且与x 轴垂直：x ＝1（没有点斜式方程） 7、经过点(－3,1)且平行于y 轴的直线方程是x ＝－3 8、一直线l 1过点A (－1，－2)，其倾斜角等于直线l 2：y ＝33x 的倾斜角的2倍，则l 1的点斜式方程为y ＋2＝3(x ＋1)9、直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，点(1 007，b )在直线l 上，则b 的值为__2_015__. 10、已知直线l 过点P (2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，则直线l 的方程为x －2y ＝011、经过点A (2,5)，且与直线y ＝2x ＋7平行： y －5＝2(x －2) 12、经过点C (－1，－1)，且与x 轴平行：y －(－1)＝0.13、直线y ＝2x ＋1绕着其上一点P (1,3)逆时针旋转90°后得到直线l ，则直线l 的点斜式方程是y －3＝－12(x －1)题型二：直线的斜截式方程1、在x 轴上截距为2，在y 轴上截距为－2的直线方程为x －y ＝22、直线y ＝－2x －7在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a ＝－72、b ＝－73、已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为y ＝3x －24、倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是y ＝3x ＋3或y ＝3x －35、已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的方程是y ＝－2x －2.6、过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为__2x －y ＝0或x ＋y －3＝0__.7、已知直线l 的方程为y －m ＝(m －1)(x ＋1)，若l 在y 轴上的截距为7，则m ＝48、在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是y ＝3x －6或y ＝－3x －6 9、经过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是x ＋y ＝2或y ＝x10、已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y ＝kx ＋b 上的两点，则k ＝__－2__，b ＝__－2__ 11、直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系如图所示，则有( A )A ．k 1＜k 2且b 1＜b 2B ．k 1＜k 2且b 1＞b 2C ．k 1＞k 2且b 1＞b 2D ．k 1＞k 2且b 1＜b 2题型三：过定点问题1、方程y ＝k (x －2)表示( C )A ．通过点(－2,0)的所有直线B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 2、直线y ＝k (x －2)＋3必过定点，该定点坐标是(2，3)已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有的直线恒过定点(3,1) 3、不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点(－2,1)题型四：图像分析1、直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( B ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <02、直线y ＝ax －1a的图象可能是( B )3、直线y ＝kx ＋b 经过第二、三、四象限，则有( D ) A ．k >0，b <0 B ．k >0，b >0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <04、直线y ＝kx ＋2(k ∈R )不过第三象限，则斜率k 的取值范围是(－∞，0]5、已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为[32，＋∞)题型五：综合题型1、下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程为x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确的为②③ 2、已知直线y ＝－33x ＋5的倾斜角是直线l 的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l 的方程.(1)过点P (3，－4)；(2)在x 轴上截距为－2；(3)在y 轴上截距为3.答案：直线y ＝－33x ＋5的斜率k ＝tan α＝－33，∴α＝150°， 故所求直线l 的倾斜角为30°，斜率k ′＝33. (1) y ＝33x －3－4；(2) y ＝33x ＋233；(3) y ＝33x ＋3. 11、过点()2,1,且只经过两个象限的直线的方程是x y 21=、2=x 、1=y 12、ΔABC 的顶点是A(0,5)、B(1,-2)、C(-5,4)，则BC 边上的中线所在的直线方程为52+=x y 13、若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 为2或－1214、将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得直线为y ＝－13x ＋1315、直线l 经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．答案： y ＝－x ＋1或y ＝－23x .16、已知，直线l 的方程为4x-y+8=0（1）求直线l 的斜率、在y 轴上的截距 （2）求直线l 与坐标轴围成的三角形的面积 答案：（1）8,4==y k ；（2）8=S17、已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的斜截式方程．答案：y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.18、斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是y ＝34x ±319、已知斜率为－43的直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求l 的方程．答案：y ＝－43x ±4.20、(选做题)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1． (1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围． 解：(1)证明：由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)． 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1)． (2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）≥0，f （3）≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0.解得－15≤k ≤1．所以，实数k 的取值范围是－15≤k ≤1．。
人教A版(2019)高中数学必修第二册第六章、第七章检测试题及参考答案
高中数学必修第2册第六章、第七章综合测试一、单选题（共8小题）1. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )A. a2＝b2＋c2＋2bc cos AB. a2＝b2＋c2＋bc cos AC. a2＝b2＋c2－2bc cos AD. a2＝b2＋c2－bc cos A2. 如果将直角三角形的三边分别增加同样的长度，那么新三角形的形状是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 由增加的长度确定3. 已知复数z＝－i，则复平面内对应的点Z的坐标为( )A. (0，－1)B. (－1,0)C. (0,0)D. (－1，－1)4. 设复数z1＝，z2＝6，则z1z2为( )A. 3iB. 3C. －3iD. 35. “复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点位于第三象限”是“a≥0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若(1＋i)＝1－i，则z＝( )A. 1－iB. 1＋iC. －iD. i7. 在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E为BC的中点,则等于()A. B. C. D.8. 已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于( )A. (－1，－2)B. (1，－2)C. (－1,2)D. (1,2)二、多选题（共4小题）9. 如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是( )A. ||＝||B. 与共线C. 与共线D. ＝10. 已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则·(＋)的值可能是( )A. －2a2B. －a2C. －a2D. －a211. 下列各式中结果为零向量的是( )A. ＋＋＋B. ＋＋C. ＋＋＋D. －＋－12. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有( )A. sin(B＋C)＝sin AB. cos(B＋C)＝cos AC. 若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形D. 若a2＋b2<c2，则△ABC为锐角三角形三、填空题（共4小题）13. 已知|a|＝|b|＝1，且a⊥b，若|a＋b＋m|≤1恒成立，则|m|的取值范围是________．14. 方程x2－2x＋5的复数根为________．15. 设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是________.16. 小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则S△OAB＝|x1y2－x2y1|.试用上述成果解决问题：已知A(1，1)，B(2，3)，C(4，5)，则S△ABC＝______.四、解答题（共6小题）17. 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.18. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．19. 在△ABC中，已知A＝15°，B＝45°，c＝3＋，解这个三角形．20. 如图所示，四边形ABCD是矩形，点A和B对应的复数分别为－1＋2i,1＋i，并且|BA|∶|DA|＝1∶，求点C和点D分别对应的复数．21. 设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，(1)z∈R；(2)z 是纯虚数；(3)z是零．22. 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)＋＋；(2)＋＋＋.参考答案1. 【答案】C【解析】由余弦定理的结构特征易知选C.2. 【答案】A【解析】设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，三条边均增加同样的长度m，三边长度变为a＋m，b＋m，c＋m，此时最长边为c＋m，设该边所对角为θ，则由余弦定理，得cosθ＝＝.因为m2>0，a＋b－c>0，所以cosθ>0，所以θ为锐角，其他各角必为锐角，故新三角形是锐角三角形．3. 【答案】A【解析】由z＝－i可知，复平面内对应的点Z的坐标为(0，－1)．4. 【答案】A【解析】z1z2＝×6＝3＝3i.5. 【答案】A【解析】易得z＝＝－a－3i，则z在复平面内对应的点位于第三象限⇔a>0.又a>0⇒a≥0，a≥0D⇒/a>0，所以“a>0”是“a≥0”的充分不必要条件，即“z在复平面内对应的点位于第三象限”是“a≥0”的充分不必要条件．6. 【答案】D【解析】由(1＋i)＝1－i，得＝＝＝－i，故z＝i.7. 【答案】A【解析】=-=8. 【答案】D【解析】为使物体平衡，则合力为零，即F4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．9. 【答案】ABD【解析】由向量相等及共线的概念，由∠EDB与∠HED不一定相等可知C选项不一定正确．10. 【答案】BCD【解析】建立如图所示的平面直角坐标系．设P(x，y)，因为A(0，a)，B(－a,0)，C(a,0)，则＝(－x，a－y)，＝(－a－x，－y)，＝(a－x，－y)．所以·(＋)＝(－x，a－y)·[(－a－x，－y)＋(a－x，－y)]＝(－x，a－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y2－2ay＝2x2＋22－a2≥－a2，当且仅当x＝0，y＝a时取等．故选项B，C，D满足，故选BCD.11. 【答案】BD【解析】由向量加法的法则得A：＋＋＋＝＋＋＝，故结果不为零向量；B：＋＋＝＋＝0，结果为零向量；C：＋＋＋＝＋＝，结果不为零向量；D：－＋－＝＋－(＋)＝－＝0，结果为零向量．12. 【答案】AC【解析】依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B不正确；因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得cos C＝＝0，而0<C<π，即有C＝，则△ABC为直角三角形，C正确；因为a2＋b2<c2，则cos C＝<0，而0<C<π，即有<C<π，则△ABC为钝角三角形，D不正确．13. 【答案】[－1，＋1]【解析】建立平面直角坐标系(图略)，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，a＋b＝(1,1)，m＝(x，y)，a＋b＋m＝(x＋1，y＋1)．由题意可知(x＋1)2＋(y＋1)2≤1，|m|表示以点(－1，－1)为圆心，1为半径的圆面(包括边界)上的动点与原点连线段的长度，易知|m|的最大值为＋1，最小值为－1.14. 【答案】1±2i【解析】由求根公式得x＝＝＝1±2i.15. 【答案】[0，3]【解析】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，d min＝0，当点A与点C(2，0)重合时，d max＝3，所以0≤|z＋1|≤3.16. 【答案】1【解析】因为A(1,1)，B(2,3)，C(4,5)，所以＝(1,2)，＝(3,4)，又当＝(x1，y1)，＝(x2，y2)时，S△OAB＝|x1y2－x2y1|，所以S△ABC＝×|1×4－3×2|＝1.17. 【答案】证明方法一设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0.又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE.方法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0，2)，E(1,0)，F(2,1)，则＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0.所以⊥，即AF⊥DE.18. 【答案】解(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴cos A＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)∵在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝，∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，∴∴b＝c＝，又∵a＝，∴△ABC为等边三角形．19. 【答案】解由三角形内角和定理，得C＝180°－(A＋B)＝180°－(15°＋45°)＝120°.由正弦定理，得a＝＝＝＝＝，b＝＝＝＝＝＝＋.20. 【答案】解要求出点C对应的复数，即求出向量对应的复数，结合图形并注意到＝＋，可以先求向量对应的复数．向量可以看成向量的长度扩大为原来的倍，并绕点B按顺时针方向旋转90°后得到，又向量对应的复数为(－1＋2i)－(1＋i)＝－2＋i，故向量对应的复数为(－2＋i)··[cos(－90°)＋isin(－90°)]＝＋2i.于是点C对应的复数为(＋2i)＋(1＋i)＝(＋1)＋(2＋1)i.同理可得点D对应的复数是(－1)＋(2＋2)i.21. 【答案】解(1)z∈R，只需a2－7a＋6＝0，所以a＝1或a＝6.(2)z是纯虚数，只需所以a＝－2.(3)因为z＝0，所以所以a＝1.22. 【答案】解(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.。
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第二章单元测试1．下列命题正确的是………………………………………………（ ） A ．三点确定一个平面 B ．经过一条直线和一个点确定一个平面 C ．四边形确定一个平面 D ．两条相交直线确定一个平面2．若直线a 不平行于平面α，且α⊄a ，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与a 异面 B ．α内不存在与a 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与a 平行 D ．α内的直线与a 都相交 3．平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………（ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交或异面 4．平面α与平面β平行的条件可以是…………………………（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．直线βα//,//a a 且直线a 不在α内，也不在β内C ．直线α⊂a ，直线β⊂b 且β//a ，α//bD ．α内的任何直线都与β平行5．下列命题中，错误的是…………………………………………（ ） A ．平行于同一条直线的两个平面平行 B ．平行于同一个平面的两个平面平行 C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 6．已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确的个数是…………………………………………（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．07．下列命题中错误的是……………………………………（ ） A ．如果平面βα⊥，那么平面α内所有直线都垂直于平面β B ．如果平面βα⊥，那么平面α一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面τα⊥，τβ⊥，l =⋂βα，那么τ⊥l 8．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中 ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 异面 ③CN 与BM 成60 ④DM 与BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是（A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④9．不共面的四点可以确定平面的个数为 （ ） A ． 2个 B ． 3个 C ． 4个 D ．无法确定 10．已知直线a 、b 与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是 （ ） A ．a ⊥α且a ⊥β B ．α⊥γ且β⊥γ C ．a ⊂α，b ⊂β，a ∥b D ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β 11．下列四个说法 ①a //α，b ⊂α,则a // b ②a ∩α＝P ，b ⊂α，则a 与b 不平行 ③a ⊄α，则a //α ④a //α，b //α，则a // b 其中错误的说法的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12．如图，A —BCDE 是一个四棱锥，AB ⊥平面BCDE ，且四边形BCDE 为矩形，则图中互相垂直的平面共有（ ）A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组13．（12分）已知正方方体111'D C B A ABCD -，求：（1）异面直线11CC BA 和的夹角是多少？ （2）B A 1和平面11B CDA 所成的角？（3）平面11B CDA 和平面ABCD 所成二面角的大小？14．（12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，PA 垂直于平面ABC ，AC ⊥BC ． 求证：BC ⊥平面PAC ．15.（10分）如图：AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于B A ,的任意一点，求证： PAC BC 平面⊥AA 1BP16．（12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，若ABCD 是平行四边形．求证：MN ∥平面PAD ．17． 如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SM AM =NDBN， 求证：//MN 平面SCD17.（14分）如图正方形ABCD 中，O 为中心，P O ⊥面ABCD ，E 是PC 中点， 求证：（1）PA ||平面BDE ； （2）面PAC ⊥面BDE.18．（14分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面 C 1DF ？并证明你的结论．19．在正方体ABCD A B C D E F BB CD -11111中，、分别是、的中点 （1）证明：AD D F ⊥1；（2）求AE D F 与1所成的角； （3）证明：面面AED A FD ⊥11．必修2第三章《直线与方程》单元测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０°2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=A 、 -3B 、-6C 、23- D 、323.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）（A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）274. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ） Ａ m ＝－３，n ＝１０ Ｂ m ＝３，n ＝１０ Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=06.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（ ）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定 9. 如图1，直线l1、l2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有 A. k 1<k 3<k 2 B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 110.已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ）（A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.已知点)4,5(-A 和),2,3(B 则过点)2,1(-C 且与B A ,的距离相等的直线方程为 . 12．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 . 13．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 . 14．原点Ｏ在直线Ｌ上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线Ｌ的方程为 . 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的 16.直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0距离是7的直线的方程; 没有公共点，求实数m 的值. ②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是1053的直线的方程.*17.已知直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线l 的方程.参考答案：1.A ；2.B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.D ；7.A ；8.C ；9.A ；10.A. 11.x+4y-7=0或x=-1;12.x+y-3=0或2x-y=0;13.261;14.2x-y+5=0; 15. (1)3x+4y+23=0或3x+4y-47=0;(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0. 16.m=0或m=-1;17.x=1或3x-4y-3=0.必修2第四章《圆与方程》单元测试题一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-4 2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ） (A)22 (B)4 (C)24 (D)23.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a 4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ）(A)5 (B) 3 (C)10 (D) 55.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( )(A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为A 、1，-1B 、2，-2C 、1D 、-17.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A 、x y 3=B 、x y 3-=C 、x y 33=D 、x y 33-= 8.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是A 、(x-3)2+(y+1)2=4B 、(x+3)2+(y-1)2=4C 、(x-1)2+(y-1)2=4D 、(x+1)2+(y+1)2=4 9．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与该圆的位置关系是（ ）A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为 .12.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______. 13.过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________. 14.过圆x 2+y 2-x+y-2=0和x 2+y 2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为 .15.过原点O 作圆x 2+y 2-8x=0的弦OA 。