信息学奥赛必读--二叉树及其应用PPT课件
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树及二叉树.ppt
二叉树的链接存储
仅定义结点的类型即可。结点之间的关系通过指针实现。
A B
L E
C
F
D
G
IH
标准形式：（二叉链表）
data left right
广义标准形式：（三叉链表）
data left right Parent
二叉树的链接存储
例：
A
B
C
D
E
G F
A
B∧
C∧
∧ D /\
E
∧F ∧
∧G ∧
二叉树的ADT
B
E
F
D
3层：结点个数 23-1=22 个
证：k = 1 时成立，设 k = i-1 时成立 则当 k = i 时在二叉树的第 i 层上至多有
2 i-1-1 * 2 = 2 i-1 个结点
A
•性质2：高度为 k 的二叉树至多有2 k- 1 个结点
证：利用性质 1 ，将第 1 层至第 k 层的最多的结点数进行相加： L
•满二叉树:
每层结点
A
数最多
•完全二叉树:
1、满二叉树 A
2、从满二叉树 最底层从右向左
L
C
依次去掉若干结 点形成的
L
C
B
E
F
D
B
E
F
D
PQR S U VWX PQR S U
性质4：具有 n 个结点的完全二叉树高度为 log2n + 1 证：根据性质 2 和完全二叉树的定义：设其高度为 k 2k-1-1< n <= 2k -1 2k-1 < n + 1 <= 2k 2k-1 <= n < 2k 故：k-1 <= log2n < k ; 原命题得证。
树和二叉树精品PPT课件
A
2
1
●3
4
B5 D
6●
7●
C
●
●E F ● ●
●●
T[16] 8
9 10
11 12
13 14
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
AB0 CD0 0 0 0 E F 0 0 0 0
若一双般亲二结叉点树在必数组须中按i下完2标h全-处1=二，2叉其4-左树1 孩=的子1形5在式2*存i处储，右，孩将子造在成2*存i+1储处的。浪费。
有n2个度为2的结点，则：n0=n2+1
1
2
3
4 89
5
10
11
6
7
12
13 14 15
n0=8 n2=7
性质1：二叉树的第i层上至多有2 i-1（i 1）个结点。
证明：根据二叉树的特点，结论是显然的。 性质2：深度为h的二叉树中至多含有2h-1个结点。
证明：深度为h的二叉树最多有h层，根据性质1，只要将第1层 到第h层的最大结点数相加，就可得到整个二叉树中结点的最 大值。
cA
B
5
B
C
C
InsertChild(T,p,LR,c);
初始条件：二叉树T存在，p指向T中某个结点，LR为0或1，非空二叉树c，插入c为T中p所指结点的左或右子树。p所指结
点的原有左或右子树则成为c的右子树。
T1
p
T1
p
2
3
LR=1
2
3
4 56 cA B
信息技术奥赛辅导树与二叉树
子结点与父结点：把每一个结点的一个或多个后件称为该点的子结点； 反之，这个结点称为其子结点的父结点，同一个父结点的子结点之间互 称为兄弟。
树的度：树中各结点的度的最大值，度不为0的结点为非终端结点同， 又叫分支结点。
树的深度：树中结点的最大 层次称为树的深度或高度。 图中树的深度为4。
森林：N>0或N=0棵互不相交 的树的集合组成森林。图中 将根结点A去掉，其中三棵 子树就组成一个森林。
1+2+4+…+2m-1=2m-1(等比数列前M项和)
此树的深度h=4，共有24-1=15个节点。
9
算 法 与 数 据结构
满二叉树与完全二叉树
满二叉树是指除最后一层外，每一层上的所有结点都有
两个子结点。
完全二叉树是指这样的二叉树：除最后一层外，每一层
上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边
的若干结点。
1a
2b
c3
d ef g
4
5
6
7
真题讲解： （2010年第十六届奥赛 单选）
完全二叉树的顺序存储方案，是指将完全二叉树的结点从上到下、从左到右依
次存放到一个顺序结构的数组中。假定根结点存放在数组的1号位置上，则第k
号结点的父结点如果存在的话，应当存放在数组中的（ ）号位置
A. 2k
B. 2k+1
C. k/2下取整
注意：满二叉树是完全二叉树，完全二叉树不一定是满
二叉树。
若一棵完全二叉树的结点数n为偶数，则叶子
结点数为结点数除以2（即：n/2），若结点数为奇数，
则
10
满二叉树的特点： 每一层上都含有最大结点数。
11 11
完全二叉树的特点：除最后一层外，每一层都取最大 结点数，最后一层结点都集中在该层最左边的若干位置
树的度：树中各结点的度的最大值，度不为0的结点为非终端结点同， 又叫分支结点。
树的深度：树中结点的最大 层次称为树的深度或高度。 图中树的深度为4。
森林：N>0或N=0棵互不相交 的树的集合组成森林。图中 将根结点A去掉，其中三棵 子树就组成一个森林。
1+2+4+…+2m-1=2m-1(等比数列前M项和)
此树的深度h=4，共有24-1=15个节点。
9
算 法 与 数 据结构
满二叉树与完全二叉树
满二叉树是指除最后一层外，每一层上的所有结点都有
两个子结点。
完全二叉树是指这样的二叉树：除最后一层外，每一层
上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边
的若干结点。
1a
2b
c3
d ef g
4
5
6
7
真题讲解： （2010年第十六届奥赛 单选）
完全二叉树的顺序存储方案，是指将完全二叉树的结点从上到下、从左到右依
次存放到一个顺序结构的数组中。假定根结点存放在数组的1号位置上，则第k
号结点的父结点如果存在的话，应当存放在数组中的（ ）号位置
A. 2k
B. 2k+1
C. k/2下取整
注意：满二叉树是完全二叉树，完全二叉树不一定是满
二叉树。
若一棵完全二叉树的结点数n为偶数，则叶子
结点数为结点数除以2（即：n/2），若结点数为奇数，
则
10
满二叉树的特点： 每一层上都含有最大结点数。
11 11
完全二叉树的特点：除最后一层外，每一层都取最大 结点数，最后一层结点都集中在该层最左边的若干位置
《二叉树的概念》课件
过程中进行一些特定的操作。
05
二叉树的应用
Chapter
在数据结构中的应用
二叉搜索树
二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的每个节点的左子树上的所有元素都小于 该节点，右子树上的所有元素都大于该节点。这种数据结构可以用于快速查找 、插入和删除操作。
AVL树和红黑树
这两种二叉树都是自平衡二叉搜索树，它们通过调整节点的左右子树的高度来 保持树的平衡，从而在插入、删除等操作时具有较好的性能。
VS
详细描述
平衡二叉树的特点是，它的左右子树的高 度差不会超过1，且左右子树都是平衡二 叉树。平衡二叉树的性质还包括，它的所 有叶节点的层数相等，且所有非叶节点的 左右子树的高度差不超过1。平衡二叉树 的查找、插入和删除操作的时间复杂度为 O(log n)，其中n为节点数。
04
二叉树的遍历
Chapter
决策树
在机器学习和人工智能领域，决策树 是一种重要的分类和回归方法。其基 础结构就是二叉树，通过构建决策树 ，可以解决分类和回归问题。
THANKS
感谢观看
代码表示法
总结词：严谨规范
详细描述：使用编程语言的语法结构来表示二叉树，每个节点用对象或结构体表示，节点间的关系通 过指针或引用表示，严谨规范，易于编写和调试。
03
二叉树的性质
Chapter
深度最大的二叉树
总结词
深度最大的二叉树是指具有最大 可能深度的二叉树。
详细描述
在二叉树中，深度最大的二叉树 是满二叉树，即每个层级都完全 填满，没有空缺的节点。满二叉 树的深度等于其节点总数减一。
02
二叉树的表示方法
Chapter
图形表示法
总结词：直观明了
详细描述：通过图形的方式展示二叉树的结构，每个节点用圆圈或方框表示，节 点间的关系用线段表示，直观易懂，易于理解。
05
二叉树的应用
Chapter
在数据结构中的应用
二叉搜索树
二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的每个节点的左子树上的所有元素都小于 该节点，右子树上的所有元素都大于该节点。这种数据结构可以用于快速查找 、插入和删除操作。
AVL树和红黑树
这两种二叉树都是自平衡二叉搜索树，它们通过调整节点的左右子树的高度来 保持树的平衡，从而在插入、删除等操作时具有较好的性能。
VS
详细描述
平衡二叉树的特点是，它的左右子树的高 度差不会超过1，且左右子树都是平衡二 叉树。平衡二叉树的性质还包括，它的所 有叶节点的层数相等，且所有非叶节点的 左右子树的高度差不超过1。平衡二叉树 的查找、插入和删除操作的时间复杂度为 O(log n)，其中n为节点数。
04
二叉树的遍历
Chapter
决策树
在机器学习和人工智能领域，决策树 是一种重要的分类和回归方法。其基 础结构就是二叉树，通过构建决策树 ，可以解决分类和回归问题。
THANKS
感谢观看
代码表示法
总结词：严谨规范
详细描述：使用编程语言的语法结构来表示二叉树，每个节点用对象或结构体表示，节点间的关系通 过指针或引用表示，严谨规范，易于编写和调试。
03
二叉树的性质
Chapter
深度最大的二叉树
总结词
深度最大的二叉树是指具有最大 可能深度的二叉树。
详细描述
在二叉树中，深度最大的二叉树 是满二叉树，即每个层级都完全 填满，没有空缺的节点。满二叉 树的深度等于其节点总数减一。
02
二叉树的表示方法
Chapter
图形表示法
总结词：直观明了
详细描述：通过图形的方式展示二叉树的结构，每个节点用圆圈或方框表示，节 点间的关系用线段表示，直观易懂，易于理解。
二叉树.ppt
• 初始化二叉树
• 合并两棵二叉树 二叉树的大部分运算都是围绕结点进行的
• 访问某个结点的左子结点、右子结点、父结点
• 访问结点存储的数据。
4.3 二叉树的抽象数据类型
二叉树结点抽象数据类型BinaryTreeNode是带有参数
T 的模板，T是存储在结点中的数据类型
每个元素结点都有leftchild()和rightchild()左右子结点结构
4.3 二叉树的抽象数据类型
public: BinaryTreeNode(); //缺省构造函数 BinaryTreeNode(const T& ele);//拷贝构造函数
//给定了结点值和左右子树的构造函数
BinaryTreeNode(const T& ele, BinaryTreeNode<T>* l, BinaryTreeNode<T>* r); T value() const;//返回当前结点的数据 //返回当前结点指向左子树
BinaryTreeNode<T>* leftchild() const;
4.3 二叉树的抽象数据类型
//设置当前结点的左子树 void setLeftchild(BinaryTreeNode<T>*) ; //设置当前结点的右子树
void setRightchild(BinaryTreeNode<T>*) ;
定该抽象数据类型的存储方式 template <class T> class BinaryTree { private: //二叉树根结点指针
பைடு நூலகம்
BinaryTreeNode<T>* root;
二叉树类(共14张PPT)
链表实现
实现链表需要两个步骤，首先定义链表结构， 其次在程序中动态地生成结点，并与前一个 结点链接。 链表的操作主要有创建、插入以及删除等。
class list { protected:
peo* head; //链表头指针 public: list(void); ~list(); void insert(peo*);//插入结点 void del(const char*);//删除结点 void ser(const char*);//查询结点 void display();//显示结点 };
第11章 C++应用
11.1 栈类 11.2 矩阵类 11.3 链表类 11.4 二叉树类
11.1 栈类
栈是只允许在表的一端进行插入和删除等操 作的线性表，栈允许操作的一端称为栈顶， 另一端称为栈底。栈中元素的数量达到上限 称为栈满，栈中没有元素称为栈空。
栈的存储方式有顺序存储和链式存储两种。 顺序存储用一维数组的形式实现，而链式存 储用链表的形式实现。
friend ostream& operator <<(ostream& out,matrix &m); private:
int row;//矩阵行数
int col;//矩阵列数 double **p;//指向指针的指针
};
11.3 链表类
线性表的存储结构有顺序和链式两种方式。 顺序存储能够较为快捷地访问表中任意元素， 然而其空间利用率不高，做插入或删除操作 时需要移动大量元素。
每一个结点包含数据域和next指针，next node *left;//左子树
node *right;//右子树
};
二叉树类
第5章树和二叉树3演示课件
A BC D EF G
HI
(a) 树
HI
(b) 加线后
图5-17 树转换为二叉树的操作过程
15
A BC D EF G
A B
E
C
D F
HI
H
G
(c) 抹线后
I
(d) 旋转后
图5-17 树转换为二叉树的操作过程
16
2. 二叉树还原为树
分以下三步: (如图所示) ? (1)加线:若当前结点是双亲结点的左孩
子,则将该结点的右孩子,右孩子的右孩 子都分别与其双亲结点连线. ? (2)抹线:抹掉原二叉树中所有双亲结点 与右孩子的连线. ? (3)调整:将结点按层次排列,形成树.
17
A B
A B
E
C
D F
E
C
D F
H
G
H
G
I (a) 二叉树
I
(b) 加线后
图5-18 二叉树转换为树的操作过程
18
A B
E
}NodeType;
11
R?
A
R
?D
?B
AB C
? E?
C?
DE F
F?
GH I
?G ?H
图5-16 树T的孩子兄表示存储结构
? I ?12
5.3.2 树、森林与二叉树的转换
一、树与二叉树的转换 1、树转换为二叉树 可按以下步骤进行: ? (1)加线:在兄弟结点之间加连线. ? (2)抹线:抹掉除最左孩子之外该结点与其
的双亲则操作不便 .
9
3.孩子兄弟表示法 又称为二叉树 (或二叉链表 )表示法,即以二叉链表
作为树的存储结构，链表中结点结构如下 :
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-
6
树的儿子兄弟表示法
在一棵树中，拥有同一个父结点的结点互称为兄弟。 我们不妨假设树中每个结点的子结点是有序的（就 像二叉树一样），则我们可以将一棵树这样转化成 二叉树：
二叉树中每个结点对应原树的每个结点 对于二叉树中的某个结点 它的左子结点对应原树中该结点的第一个子结点； 它的右子结点对应原树中该结点的下一个兄弟。
那么第一次要合并多少个点呢？ 首先每次合并会让树的总数减少k-1棵，而最后还有n棵。
那么完成了第一次合并后，剩下的树的个数正好模k-1 后等于1。那么第一次合并的树的个数就应该是(n2)mod(k-1)+2。 而当k=2时，k-1=1，此时第一次合并的个数总是为2。
-
16
改进算法
1. 根据给定的n个权值wl，w2，…，wn构成n棵k叉树的森林 F={T1，T2，…，Tn}。其中每棵k叉树Ti中都只有一个权 值为wi的根结点，其左右子树均空。进行第一次合并操作 选出最小的(n-2)mod(k-1)+2颗根节点权值最小的树进行合 并成一棵新树,该树根的权值为选出来的树的权值之和。
二叉树及其应用
雅礼 朱全民
-
1
二叉树
二叉树是一种特殊的树型结构， 它的特点是每个节点至多只有两 个子节点。
二叉树每个节点的子树有左右之 分，其次序不能任意颠倒。
二叉树也有特殊形式，例如满二 叉树、完全二叉树等。
例如右图就是一棵二叉树，并且 是一棵完全二叉树。
-
2
二叉树的存储结构
常用的存储结构 type bitree=^node node=record data :datatype; lchild,rchild:bitree; end;
并将该数的根节点权之为左右儿子权值之 和 4.继续第二步，直到剩下一棵树为止
-
11
讨论
最优k叉树就是指在一个节点最多可以有k个叶子节 点的时候，假设有n（n>=k）个权值 {w1,w2,….wn},试构造出一棵有ｎ个叶子节点的k 叉树。每个叶子节点有一个不同的权值ｗi。其中 树的带权路径长度最小的那棵树叫做最优k叉树。
2. 在森林F中选出k棵根结点权值最小的树(当这样的树不止k 棵树时，可以从中任选出k棵），将这k棵树合并成一棵新 树，为了保证新树仍是k叉树，需要增加一个新结点作为新 树的根，并将所选的k棵树的根分别作为新根的孩子，将这 k个孩子的权值之和作为新树根的权值。
3. 对新的森林F重复(2)，直到森林F中只剩下一棵树为止。这 棵树便是最优k叉树。
2. 在森林F中选出k棵根结点权值最小的树(当这样的 树不止k棵树时，可以从中任选k棵)，将这k棵树 合并成一棵新树，为了保证新树仍是k叉树，需要 增加一个新结点作为新树的根，并将所选的k棵树 的根分别作为新根的左右孩子，将这k个孩子的权 值之和作为新树根的权值。
3. 对新的森林F重复(2)，直到森林F中只剩下一棵树 为止。这棵树便是最优k叉树。
-
3
二叉树的遍历
遍历( 先序遍历, 中序遍历, 后序遍历) Proc preorder(bt:bitree); if bt<>Nil then [ visit(bt^) preorder(bt^.lchild); preorder(bt^.rchild); ] endP
-
4
二叉树的性质
在二叉树的第i层上最多有2i-1个结点 深度为K的二叉树最多有2k-1个结点 在二叉树中,叶子结点的总数总比为度数为2的结点多1 有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号,则对任意一结点
-
14
反例
假设k=3,当n=5时，这样做是对的。但是当n=4时， 用刚才的方法得到的“最优3叉树”，但是，明显 右图的那颗树会比左图的那颗树优。
-
15
分析原因
• 错误的原因：主要是左边的这棵树它并没有排满。可以 把第3层的一个节点拉到第2层去，而这样做肯定会让 WPL更小。
那么肯定要让第一次合并的时候，少合并几个点，后面 的操作就和上面所说得算法一样。并且让最后一次合并 能合并n棵树。从而让上面排满。
-
7
树的儿子兄弟表示法
原树
转化后的树
-
8
树的儿子兄弟表示法
这样我们可以类似于二叉树的链式结构写出树的儿 子兄弟表示法的存储结构： TYPE tree = ^node; node = record data : datatype; parent, child, brother : tree; // 分别记录父亲、第一个儿子、下一个兄弟 end;
i,有 (1)如果i=1,则结点i是二查树的根，无双亲；如果i>1，则
双亲是[i/2] (2)如果2i>n，则结点i无左孩子，否则左孩子为2i (3)如果2i+1>n，则结点i无右孩子，否则右孩子为2i+1
-
5
树、森林转化为二叉树
用“孩子兄弟表示法”可以将任意一棵树转化为二 叉树的形式
森林转化为二叉树
-
9
最优二叉树(哈夫曼树)
给定m个实数w1, w2,…, wm,(m>=2) ,要求一个具有m个外 部节点的扩充二叉树，每个外部ki节点有一个wi与之对应， 作为它的权,使得带权外部路径长度
m
w ili
i1
最小，其中li是从根法
1.构造m个只有1个节点的树 2.找两个最小的权 3.以这两个节点为左右儿子构造一个二叉树，
怎么构造??
-
12
分析
最优k叉树必须具备的性质： 1. 每个节点如果不是叶子节点，那么一定有k个儿子
节点。 2. 权值大的节点不能在比权值小的节点下方。就是
权值大的节点到树根的长度要小于等于权值小的 节点到树根的长度。
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13
算法
1. 根据给定的n个权值wl，w2，…，wn构成n棵k叉 树的森林F={T1，T2，…，Tn}，其中每棵k叉树Ti 中都只有一个权值为wi的根结点，其左右子树均 空。
如果F={T1, T2, …,Tm}是森林，则可按如下规则转 化为一棵二叉树。
1)若F为空，即m=0,则B为空树
2)若F非空，即m<>0,则B的根root即为森林中第一 棵树的根root(T1),B的左子树为从T1中子树森林 F1={T11, T12, …,T1i}转换而成的二叉树；其右子树 Rb 是从森林F={T2, …,Tm}中转换出来的二叉树