高中数学选修一第3章 导数及其应用课件ppt3.1.3
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(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.3.3
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(3)函数f(x)在闭区间[a，b]上图象连续不断，是f(x)在闭区 间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个， 而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有，函数的最大 值一定不小于它的最小值．
函数在闭区间上的最值可在端点处取 ③×
得，也可以在内部取得 ④ × 单调函数在开区间(a，b)内无最值
答案： A
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为
10，则其最小值为( )
A．－10
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)若 a<0，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
所以当 x＝0 时，f(x)取得最小值， 所以 f(0)＝b＝－29.
数学 选修1-1
x
－3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1)
f′(x)
＋
0
－
0＋
f(x)
－60
极大 值4
极小 极大 值3 值4
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60；
1 (1,2) 2 0－
－ 5
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件
第三章 §3.1 导 数
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
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课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.1.3
切线方程为y－__f_(_x0_)_＝__f′_(_x_0)_(_x－__x_0_)_____．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
函数y＝f(x)的导函数
确定
导数
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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合作探究 课堂互动
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合作探究 课堂互动
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答案： x＋y－2＝0
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第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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过点P的切线
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
(1)求曲线在点P处的切线的斜率； (2)求曲线在点P处的切线方程．
[思路点拨]
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
标．
(3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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函数y＝f(x)的导函数
确定
导数
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答案： x＋y－2＝0
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过点P的切线
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第三章 导数及其应用
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(1)求曲线在点P处的切线的斜率； (2)求曲线在点P处的切线方程．
[思路点拨]
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第三章 导数及其应用
标．
(3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐
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高中数学人教A版选修1-1课件：3.1.3《导数的几何意义》
x x0
x0
x
所以，斜率为 k f (2) y |x2 2 2 4 ．
故点 A(2, 4) 处切线方程为： y 4 4(x 2) ，即 4x y 4 0 ．
变式训练 2 求过点 P(3,5) 且与曲线 y x2 相切的直线方程．
[错解] y lim y lim (x x)2 x2 2x ．
记作： f (x) 或 y ，即： f (x) y lim f (x x) f (x) ．
x0
x
注：函数 f (x) 在 x0 处的导数 f (x0 ) 就是函数 f (x) 的导（函）
数 f (x) 在 x0 处的函数值．
h
l0 l1
O
t0
t1
t2
t
l2
图3.1 3
解:我们用曲线h t 在t0 , t1 , t2 处的切线,刻画曲 线h t 在上述三个时刻附近的变化情况.
导数的几何意义
提出问题
动画演示02:50-03:40
y
y fx
/edu/ppt/
ppt_playVideo.action?mediaVo.
resId=54800cd9956ed1ed6016a
1c2 y
y fx
P1 T
P2 T
P
O
x
O
x
1
2
y
y fx
[正解] 法一： y lim y lim (x x)2 x2 2x .
x x0
x0
x
设所求切线的切点为 A(x0, y0 ) ．
点 A 在曲线 y x2 上， y0 x02 ． 又 A 是切点，过点 A 的切线的斜率 y |xx0 2x0 ． 所求切线方程为 y x02 2x0 (x x0 ) ， 将点 P(3,5) 代入切线方程得 x0 1或5 ． 切点坐标为 (1,1) 或 (5, 25) ，
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.3.1
又∵x>0，∴0<x< 33.
∴f(x)的单调递增区间为(
33，＋∞)，单调递减区间为(0，
3 3 ).
解析答案
(4) f(x)＝x3－3tx. 解 f′(x)＝3x2－3t. 令f′(x) ＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t， ∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)； 当 t>0 时，解 x2＞t 得 x＞ t或 x＜－ t；
导数
单调递_增__
f′(x) ≥0
单调递_减__
f′(x)≤0
常函数
f′(x)＝0
思考 在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？ 答案 必要不充分条件.
答案
知识点二 利用导数求函数的单调区间 求可导函数单调区间的基本步骤： (1)确定定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
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题型探究
题型一 利用导数判断函数的单调性
例1 证明
证明：函数 f(x)＝sinx x在区间π2，π上单调递减.
f′(x)＝xcos
x－sin x2
x ，又
x∈π2，π，
则cos x<0，∴xcos x－sin x<0，
∴f′(x)<0，∴f(x)在π2，π上是减函数.
12345
解析答案
12345
2.f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( D )
解析 由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数； 当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)为减函数； 当x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.1.1~3.1.2
解析答案
题型二 物体运动的瞬时速度 例2 一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线 运动，求这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度. 解 设在t＝2 s附近的时间增量为Δt， 则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2. 因为ΔΔst＝8＋2Δt，Δlit→m0 ΔΔst＝Δlit→m0 (8＋2Δt)＝8， 所以这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s.
，即 f′(x0)＝lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；
③0.1；④0.01. 解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3. ①当 Δx＝2 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当 Δx＝1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当 Δx＝0.1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当 Δx＝0.01 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
lim
题型二 物体运动的瞬时速度 例2 一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线 运动，求这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度. 解 设在t＝2 s附近的时间增量为Δt， 则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2. 因为ΔΔst＝8＋2Δt，Δlit→m0 ΔΔst＝Δlit→m0 (8＋2Δt)＝8， 所以这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s.
，即 f′(x0)＝lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；
③0.1；④0.01. 解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3. ①当 Δx＝2 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当 Δx＝1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当 Δx＝0.1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当 Δx＝0.01 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
lim
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.1.3
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
自主学习
知识点一 导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处 的切线的 斜率 .也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0) .相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) .
知识点二 函数的导函数
当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，
称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数).f′(x)也记作y′，
fx＋Δx－fx
即 f′(x)＝y′＝lim Δ重点突破
题型一 已知过曲线上一点求切线方程
例1 若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值.
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑-思考内化
思 维 导 图 &超 级 记 忆 法 &费 曼 学 习 法
1
外脑-体系优化
知 识 体 系 &笔 记 体 系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段 前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
x0＋1 ΔΔxx－x10＝－x120，
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
自主学习
知识点一 导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处 的切线的 斜率 .也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0) .相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) .
知识点二 函数的导函数
当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，
称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数).f′(x)也记作y′，
fx＋Δx－fx
即 f′(x)＝y′＝lim Δ重点突破
题型一 已知过曲线上一点求切线方程
例1 若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值.
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑-思考内化
思 维 导 图 &超 级 记 忆 法 &费 曼 学 习 法
1
外脑-体系优化
知 识 体 系 &笔 记 体 系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段 前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
x0＋1 ΔΔxx－x10＝－x120，
高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件新人教A版选修1_1
• (2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数
f（x0＋Δ x）－f（x0）
就 是 切 线 PT 的 斜 率 Δkx ， 即 k ＝
____________________＝ f′(x0)．
• 2．导函数的概念 f′(x)
• (1)定义：当x变化时，_____便是x的一个函数，
f（x＋Δ x）－f（x）
所以 2x30－3x20＋1＝(x0－1)2(2x0＋1)＝0， 解得 x0＝1 或 x0＝－12.(6 分) 第二步，求切点横坐标 故所求直线斜率为 k＝3x20－3＝0 或 k＝3x20－3＝－94， 于是 y－(－2)＝0·(x－1)或 y－(－2)＝－94(x－1)， 即 y＝－2 或 y＝－94x＋14.(10 分) 故过点 P(1，－2)的切线方程为 y第＝三－步2 ，或求y＝过－P的94x切＋线14.(方12程分)
• (1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解 析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的 位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
• (2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的 关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求 斜率，已知斜率也可以求切线，切点的坐标是 常设的未知量．
◎变式训练 • 3．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线 y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行， 求a的值．
即 f′(x0)＝3x20＋2ax0－9＝3x0＋a32－9－a32. 当 x0＝－a3时，f′(x0)取最小值－9－a32. ∵斜率最小的切线与 12x＋y＝6 平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a32＝－12. 解得 a＝±3.又 a<0，∴a＝－3.
短板补救案·核心素养培优
人教A版高中数学选修1-1课件：3.1.3导数的几何意义 (共19张PPT)
第三章 导数及其应用
y f ( x)
y
Q Q Q P T
o
x
1.平均变化率定义是什么？几何意义 是什么？
2.函数y=f(x)在x=x0时的瞬时变化率是什么？ 瞬时变化率又叫什么？几何意义又是什么 呢？
y
y f ( x)
相交
o
P
x
再来一次
直线PQ的斜率为
k PQ ( y0 y) y0 y xQ xP ( x0 x) x0 x yQ yP
PQ无限靠近切线PT
k PT lim k PQ
x 0
y lim x 0 x
1．割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？ fxn－fx0 提示：割线PPn的斜率是kn＝ ，当点Pn沿着曲 xn－x0 线无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率k.
2．本节定义的切线与以往学习的切线的定义有什么不 同？ 提示：这里是利用极限思想，即用割线的极限位置定 义曲线的切线．这种定义曲线切线的方法适用于各种曲 线．hl0源自l1ot4 t3 t0
t1
t2
l2
1．导数的几何意义是指：曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的 切线的斜率就是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，而切线的斜 率就是切线倾斜角的正切值． 2．由导数值判断函数在某点的变化情况：当f′(x)>0 时，函数图象应是上升的，f′(x)越大，图象上升越快，越 “陡峭”；当f′(x)<0时，函数图象是下降的，且k越小， 下降越快．
【例 2】
1 3 4 已知曲线 y＝3x ＋3.
(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程．
曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－ 1，则切线方程为( A．y＝9x C．y＝9x＋26 ) B．y＝9x－26 D．y＝9x＋6或y＝9x－26
y f ( x)
y
Q Q Q P T
o
x
1.平均变化率定义是什么？几何意义 是什么？
2.函数y=f(x)在x=x0时的瞬时变化率是什么？ 瞬时变化率又叫什么？几何意义又是什么 呢？
y
y f ( x)
相交
o
P
x
再来一次
直线PQ的斜率为
k PQ ( y0 y) y0 y xQ xP ( x0 x) x0 x yQ yP
PQ无限靠近切线PT
k PT lim k PQ
x 0
y lim x 0 x
1．割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？ fxn－fx0 提示：割线PPn的斜率是kn＝ ，当点Pn沿着曲 xn－x0 线无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率k.
2．本节定义的切线与以往学习的切线的定义有什么不 同？ 提示：这里是利用极限思想，即用割线的极限位置定 义曲线的切线．这种定义曲线切线的方法适用于各种曲 线．hl0源自l1ot4 t3 t0
t1
t2
l2
1．导数的几何意义是指：曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的 切线的斜率就是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，而切线的斜 率就是切线倾斜角的正切值． 2．由导数值判断函数在某点的变化情况：当f′(x)>0 时，函数图象应是上升的，f′(x)越大，图象上升越快，越 “陡峭”；当f′(x)<0时，函数图象是下降的，且k越小， 下降越快．
【例 2】
1 3 4 已知曲线 y＝3x ＋3.
(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程．
曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－ 1，则切线方程为( A．y＝9x C．y＝9x＋26 ) B．y＝9x－26 D．y＝9x＋6或y＝9x－26
高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件新人教A版选修1-1
2．函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0， f(x0))处__切__线__的__斜__率___，在点 P 的切线方程为__y_－__f_(x_0_)＝__f_′(_x_0_)(_x_－__x_0)____．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( ) (3)若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)×
＝y′＝__Δl_ixm_→_0 ______Δ_x_________.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)与导函数 f′(x)之间是有区别的．( ) (2)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．( ) (3)函数 f(x)＝x2 的导数是 f′(x)＝2x.( ) (4)函数 f(x)＝0 没有导函数．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
求切点坐标
过曲线 y＝x2 上哪一点的切线满足下列条件？ (1)平行于直线 y＝4x－5； (2)垂直于直线 2x－6x＋5＝0； (3)倾斜角为 135°. 【精彩点拨】 本题考查曲线的切线的有关问题．解题的关键是设出切点 的坐标，求出切线的斜率．
解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息 得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知 识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．
导数几何意义的应用
[小组合作型]
如图 3－1－3，点 A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点 E 作 OB 的 垂线 l.记△AOB 在直线 l 左侧部分的面积为 S，则函数 S＝f(x)的图象为下图中的 ()
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( ) (3)若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)×
＝y′＝__Δl_ixm_→_0 ______Δ_x_________.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)与导函数 f′(x)之间是有区别的．( ) (2)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．( ) (3)函数 f(x)＝x2 的导数是 f′(x)＝2x.( ) (4)函数 f(x)＝0 没有导函数．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
求切点坐标
过曲线 y＝x2 上哪一点的切线满足下列条件？ (1)平行于直线 y＝4x－5； (2)垂直于直线 2x－6x＋5＝0； (3)倾斜角为 135°. 【精彩点拨】 本题考查曲线的切线的有关问题．解题的关键是设出切点 的坐标，求出切线的斜率．
解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息 得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知 识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．
导数几何意义的应用
[小组合作型]
如图 3－1－3，点 A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点 E 作 OB 的 垂线 l.记△AOB 在直线 l 左侧部分的面积为 S，则函数 S＝f(x)的图象为下图中的 ()
(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.1.1、2
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求平均变化率
(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化 率，其中Δx的值为：
① 2；②1；③ 0.1；④ 0.01. (2)思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的 平均变化率有怎样的变化趋势？ [思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达 式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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导数的概念
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的_瞬__时__变化率称为函数 y＝f(x)在 __x_＝__x_0__处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，
即 f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝__Δlix_m→_0__f_x_0＋__Δ_Δ_xx_－__f__x0___.
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第三章 导数及其应用
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求平均变化率的步骤： (1)先计算函数值的改变量 Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再计算自变量的改变量 Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率ΔΔyx＝fxx11－ －fx0x0.
数学 选修1-1
Δy Δx.
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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(2)导函数的函数值法，即先利用导数的定义求出导函数 f′(x)，再把 x＝x0 代入 f′(x)得 f′(x0)．
求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导数，再计 算这点的导数值．
人教A版数学选修1-1课件第三章导数及其应用3.1.3
『规律方法』 1.f ′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0， f(x0))切线的斜率．
2．若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零， 可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数y ＝f(x)在(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处 的导数都小于零，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)上呈下降趋 势，y＝f(x)在(a，b)单调递减．当函数y＝f(x)在(a，b)上的 导数值都等于零时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y轴的直 线的一部分．
＝Δlixm→0[－(Δx)2－3x20－3x0·Δx]＝－3x20.
∴2x0＝－3x20，∴x0＝0 或 x0＝－23.
『规律方法』 求切点坐标可以按以下步骤进行： (1)设出切点坐标； (2)利用导数求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
＝ lim Δx→0
12x＋14Δx＝12x，
∵点 P4，74不在抛物线 y＝14x2 上， ∴点 P 不是切点．
设切点为(x0，y0)，则 y0＝14x20.
∴过切点(x0，y0)的切线的斜率为 k＝12x0. 又∵切点过4，74和(x0，y0)两点， ∴12x0＝xy00－－744＝14xx002－－474. 解得 x0＝1，或 x0＝7. ∴过4，74的切线的斜率为12和72， 切线方程为 y－74＝12(x－4)和 y－74＝72(x－4) 即 2x－4y－1＝0 和 14x－4y－49＝0.
命题方向2 ⇨求切线方程
典例 2 已知曲线C：f(x)＝x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；
(2)求过点(1,1)与曲线C相切的直线方程．
高中数学人教版选修1-1 3.1.3导数的几何意义 课件1
(2)两者的联系：在 x＝x0 处的导数 f′(x0)是导函数 f′(x) 在 x＝x0 处的函数值，因此求函数在某一点处的导数.
课堂互动
1.导数几何意义的理解
例题 1 若函数 y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数 y ＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
【思路探究】 (1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导 函数在区间[a，b]上是增函数，说明 y＝f(x)图象的切线有什么 特点？
重点难点
重点：导数的几何意义，求曲线上过一点处的切线方程． 难点：“以直代曲”的数学思想方法；以及切线定义的理 解——在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理 解．
教学设计
教学建议
为了更好的完成本节课的教学目标，帮助学生理解本节课 内容，突出重点，突破难点，宜设计了如下的教法和学法：
(1)教学设计：探讨教学法，即教师通过问题→诱导→演示 →讨论→探索结果→归纳总结．
【提示】 点 Pn 趋近于点 P 时，割线 PPn 趋近于过点 P 的 切线 PT.
3．第 2 题图中割线 PPn 的斜率 kn＝fxxnn－－xf0x0，当点 Pn 无 限趋近于点 P 时，此斜率与切线 PT 的斜率有何大小关系？
【提示】 kn 无限趋近于切线 PT 的斜率．
1．设点 P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))是曲线 y＝f(x)上不同的点， 当点 Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，f(x0)) 时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为 过点 P 的 切线 ，且 PT 的斜率 k＝lixn→m x0 fxxnn－－fxx00＝ f′(x0) ．
课堂互动
1.导数几何意义的理解
例题 1 若函数 y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数 y ＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
【思路探究】 (1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导 函数在区间[a，b]上是增函数，说明 y＝f(x)图象的切线有什么 特点？
重点难点
重点：导数的几何意义，求曲线上过一点处的切线方程． 难点：“以直代曲”的数学思想方法；以及切线定义的理 解——在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理 解．
教学设计
教学建议
为了更好的完成本节课的教学目标，帮助学生理解本节课 内容，突出重点，突破难点，宜设计了如下的教法和学法：
(1)教学设计：探讨教学法，即教师通过问题→诱导→演示 →讨论→探索结果→归纳总结．
【提示】 点 Pn 趋近于点 P 时，割线 PPn 趋近于过点 P 的 切线 PT.
3．第 2 题图中割线 PPn 的斜率 kn＝fxxnn－－xf0x0，当点 Pn 无 限趋近于点 P 时，此斜率与切线 PT 的斜率有何大小关系？
【提示】 kn 无限趋近于切线 PT 的斜率．
1．设点 P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))是曲线 y＝f(x)上不同的点， 当点 Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，f(x0)) 时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为 过点 P 的 切线 ，且 PT 的斜率 k＝lixn→m x0 fxxnn－－fxx00＝ f′(x0) ．
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义》赛课课件_2
个确定的数.这样，当x变化时，f ' x0
便是x的一个函数，我们称它为f(x)的 导函数. 简称导数.
随堂练习
1．曲线y=x2在x=0处的（ D ） A．切线斜率为1 B．切线方程为y=2x C．没有切线 D．切线方程为y=0
2．已知曲线y=2x2上的一点A(2，8)，则点
A处的切线斜率为（ C ）
y
P
M
x
1j
x
-1 O 1
解 : k = lim f(x0 + Δx) - f(x0 )
Δx→0
Δx
= lim (1 + Δx)2 + 1- (1 + 1)
Δx→0
Δx
= lim 2Δx + (Δx)2 = 2.
Δx→0
Δx
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
例3
如图1.1- 3,它表
旧知回顾
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
f (x0 ) 或 y|x=x0 , 即
f
(x
0
)
=
lim
Δx→0
f(x
0
+
Δx) Δx
f(x
0
)
= lim f(x) - f(x0 ) x→x0 x - x0
（1）求函数的增量 Δy = f(x0 + Δx) - f(x0 ).
开动脑筋，想象一下PPn的
动态变化效果吧？
y=f(x)
割
线
y
Q
T 切线
P o
结点论P处:当的割Q点线与无切限线逼存近在什P点么时关系,此？时 x 直线PQ就是P点处的切线PT.
便是x的一个函数，我们称它为f(x)的 导函数. 简称导数.
随堂练习
1．曲线y=x2在x=0处的（ D ） A．切线斜率为1 B．切线方程为y=2x C．没有切线 D．切线方程为y=0
2．已知曲线y=2x2上的一点A(2，8)，则点
A处的切线斜率为（ C ）
y
P
M
x
1j
x
-1 O 1
解 : k = lim f(x0 + Δx) - f(x0 )
Δx→0
Δx
= lim (1 + Δx)2 + 1- (1 + 1)
Δx→0
Δx
= lim 2Δx + (Δx)2 = 2.
Δx→0
Δx
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
例3
如图1.1- 3,它表
旧知回顾
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
f (x0 ) 或 y|x=x0 , 即
f
(x
0
)
=
lim
Δx→0
f(x
0
+
Δx) Δx
f(x
0
)
= lim f(x) - f(x0 ) x→x0 x - x0
（1）求函数的增量 Δy = f(x0 + Δx) - f(x0 ).
开动脑筋，想象一下PPn的
动态变化效果吧？
y=f(x)
割
线
y
Q
T 切线
P o
结点论P处:当的割Q点线与无切限线逼存近在什P点么时关系,此？时 x 直线PQ就是P点处的切线PT.
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1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是( ) A．在点x0处的斜率 B．在点(x0，f(x0))处切线与x轴所夹锐角的正切值 C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率 D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率 解析： 由导数的几何意义知，选项C正确．
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第三章 导数及其应用
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3.1.3 导数的几何意义
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(2)“导函数”：如果函数 f(x)在开区间(a，b)内每一点都可
导，就说 f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)内每一
个确定的值 x0，都对应着一个导数 f′(x0)，这样就在开区间(a， b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x)在开区间(a，
b)内的导函数，记作 f′(x)或 y′，即 f′(x)＝y′＝li m
Δx→0
ΔΔyx＝liΔmx→0
fx＋Δx－fx
Δx
.
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(3)导函数也简称导数．所以
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(4)函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在 点 x＝x0 处的函数值，f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.
所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数， 再计算这点的导函数值．
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＝ lim
Δx→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
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＝ lim
Δx→0
－2＋2 Δx－－22 Δx
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[提示] 割线AB的斜率kAB无限接近于曲线在点A处的切线 的斜率k，k＝f′(x0)．
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导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x) 在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．
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1．了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间 的关系，通过函数的图象理解导数的几何意义．
2．了解导函数的概念，会求导函数． 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方 程．
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第三章 导数及其应用
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设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋近于A时，割 线 AB 的 斜 率 kAB 与 曲 线 在 点 A 处 的 切 线 的 斜 率 k 之 间 有 什 么 关 系？与f′(x0)有什么关系？
切线方程为__y_－__f(_x_0)_＝__f_′(_x_0_)(_x_－__x_0)___．
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第三章 导数及其应用
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函数y＝f(x)的导函数
从求函数 f(x)在 x＝x0 处导数的过程可以看到，当 x＝x0 时， f′(x0)是一个_确__定___的数．这样，当 x 变化时，f′(x)便是 x 的 一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称__导__数__)．y＝f(x)的导 函数有时也记作 y′， fx＋Δx－fx
解析： ∵ΔΔyx＝3x＋ΔΔxx2－3x2＝6x＋3Δx， ∴y′|x＝1＝lim (6＋3Δx)＝6.
Δx→0
通过验证得点 A(1,3)在曲线 y＝3x2 上． ∴曲线在点 A(1,3)处的切线斜率为 6. ∴所求的切线方程为 y－3＝6(x－1)， 即 6x－y－3＝0. 答案： 6x－y－3＝0
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第三章 导数及其应用
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4．求曲线 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程． 解析： ∵点(－2，－1)在曲线 y＝2x上，
∴曲线 y＝2x在点(－2，－1)处的切线斜率就等于 y＝2x在点(－
2，－1)处的导数．
∴k＝f′(－2)
即 f′(x)＝y′＝_Δlix_m→_0______Δ__x_____.
数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 选修1-1
第三章 导数及其应用
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“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间 的区别与联系
(1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量 与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数．
＝2 处的导数．
f′(2)＝ lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
22＋Δx2－2×22 Δx
＝ lim
Δx→0
8Δx＋Δ2xΔx2＝8，故选 C.
答案： C
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第三章 导数及其应用
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3．已知曲线y＝3x2，则在点A(1,3)处的曲线的切线方程为 ____________．
答案： C
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第三章 导数及其应用
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2．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为
()
A．4
B．16
C．8
D．2
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解析： 曲线在点 A 处的切线的斜率就是函数 y＝2x2 在 x