2020届北京市石景山区高三上学期期末考试数学试题
2019-2020年北京市石景山区高三上学期期末考试数学(理)试卷(有答案)【优质版】
石景山区第一学期高三年级期末试卷数学（理）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{2,1,0,1,2}A,{|01}Bx x ≤≤,那么AB 等于（）A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．[0,1]2．若34i zi ，则||z （）A ．2B ．3C ．4D ．53．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（）A ．5B ．3C ．9D ．74．下列函数中既是奇函数又在区间(0,)上单调递减的是（）A ．xy eB ．ln()yx C ．3yxD ．1yx5．由直线10xy ，50x y和1x 所围成的三角形区域（包括边界），用不等考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟．2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B 铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．1k a b 2kk2ka 2b k输出k是否开始结束式组可表示为（）A ．10,50,1xy xy x B ．10,50,1xy xy x C ．10,50,1xy xy xD ．10,50,1xy xy x6．一个几何体的三视图如右图所示．已知这个几何体的体积为8，则h（）A ．1B ．2C ．3D ．67．将函数2(3)yx图象上的点2(,(3))P t t向左平移m(m >0)个单位长度得到点Q ．若Q 位于函数2y x 的图象上，则以下说法正确的是（）A ．当2t 时，m 的最小值为3B ．当3t 时，m 一定为3C ．当4t时，m 的最大值为3D ．tR ，m 一定为38．六名同学A 、B 、C 、D 、E 、F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A 、B 各参加了3局比赛，C 、D 各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过，那么F 在第一天参加的比赛局数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在7(3)x的展开式中，5x 的系数是（结果用数值表示）．10．已知ABC △中，=3AB ，=1BC ，sin =3cos C C ，则ABC △的面积为．11．若双曲线2214xym的渐近线方程为32yx ，则双曲线的焦点坐标是．12．等差数列{}n a 中，12a ，公差不为零，且1a ，3a ，11a 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于．侧视图正视图4h俯视图313．有以下4个条件：①a b ；②||||a b ；③a 与b 的方向相反；④a 与b 都是单位向量．其中a //b 的充分不必要条件有．（填正确的序号）．14．已知函数11,1,()4ln ,1x x f x x x，①方程()f x x 有________个根；②若方程()f x ax 恰有两个不同实数根，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数π()2sin()sin 3cos22f x x x x ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在ππ[,]126上的最大值．16．（本小题共13分）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18-36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：微信群数量频数频率0至5个006至10个300.311至15个300.316至20个a c20个以上5b合计1001（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市．．大．3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列学生．．中随机抽取和数学期望EX．17．（本小题共14分）如图1，等腰梯形BCDP 中，BC ∥PD ，BAPD 于点A ，3PDBC ，且1ABBC．沿AB 把PAB △折起到P AB △的位置（如图2），使90P AD．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AC ；（Ⅱ）求二面角AP DC 的余弦值；（Ⅲ）线段P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面P CD ．若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．图1图218．（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)xy C a b ab的离心率为32，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于轴的对称点为B ．直线B A 与轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．19．（本小题共14分）已知函数2()11x f x x，2()(0)a xg x x e a．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；BCAPDB A CP ′ABCD（Ⅱ）若对任意12,[0,2]x x ，12()()f x g x 恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题共13分）集合M 的若干个子集的集合称为集合M 的一个子集族．对于集合{1,2,3}n 的一个子集族D 满足如下条件：若,A D BA ，则BD ，则称子集族D 是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族D 并计算此时(1)AAD的值（其中A 表示集合A 中元素的个数，约定0；AD表示对子集族D 中所有成员A 求和）；（Ⅱ）D 是集合{1,2,3}n 的任一“向下封闭的”子集族，对AD ,记max kA ，()max(1)AA Df k （其中ma 表示最大值），（ⅰ）求(2)f ；（ⅱ）若k 是偶数，求()f k ．石景山区第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 12345678答案CDADABBD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()2cos sin 3cos2f x x x x……１分sin 23cos2xx……２分π2sin(2)3x，……４分因此)(x f 的最小正周期为π．…………６分（Ⅱ）当ππ[,]126x 时，ππ2π2633x，………８分题号9 10 11 12 13 14答案18932(7,0)4①③1,11[,)4e当ππ232x，πsin(2)3x有最大值1．………10分即π12x时，()f x 的最大值为2．……………13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）030305100a 解得35a ，5110020b，35710020c．…………………３分（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ，则114060210016()33C C P A C．所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633．……………7分（Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为25P．X 的所有可能取值0，1，2，3．……………8分则0033270()(1)2255125P XC ，1123541()(1)2255125P XC ，2213362()(1)2255125P XC ，33383()(22551)125P XC ．其分布列如下：X123P2712554125361258125所以，2754368601231251251251255EX．……………13分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为90P AD ，所以P A ⊥AD ．因为在等腰梯形中，AB ⊥AP ，所以在四棱锥中，AB ⊥AP ．又ADAB A ，所以P A ⊥面ABCD ．因为CD 面ABCD ，所以P A ⊥CD ．……３分因为等腰梯形BCDE 中，ABBC ，3PDBC ，且1ABBC．所以2AC ，2CD ，2AD ．所以222ACCDAD ．所以AC ⊥CD ．因为P A AC =A , 所以CD ⊥平面P AC ．……５分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，PA ⊥面ABCD ，AB ⊥AD ，如图，建立空间直角坐标系，A 0,0,0，B 1,0,0，C 1,1,0，D 0,2,0，P 0,0,1．…………５分所以(1,0,0)AB，(1,1,1)P C．由（Ⅰ）知，平面P AD 的法向量为(1,0,0)AB，设(,,)nx y z 为平面P CD 的一个法向量，则n CD n P C ,即00x y xyz，再令1y ，得(1,1,2)n ．cos ,AB n =AB nAB n=66．所以二面角AP DC 的余弦值为66．…………９分（Ⅲ）若线段P A 上存在点M ，使得BM ∥平面P CD ．依题意可设AM AP ,其中01．所以(0,0,)M ，(1,0,)BM．由（Ⅱ）知，平面P CD 的一个法向量(1,1,2)n．因为BM ∥平面P CD ，所以BMn ，所以120BM n ，解得12．所以，线段P A 上存在点M ，使得BM ∥平面P CD …………………14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a ．又因为32c ea，所以3c ，221bac．所以椭圆C 的标准方程为：2214xy．……………………５P B A CP ’ABCD xyz分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n ．设直线AB ：(1)(0)y k x k．……………………６分联立22(1)440y k x x y和，得：2222(14)8440k x k xk．所以2122814kx x k，21224414kx x k．……………８分直线AB 的方程为121112()y y yy xx x x ，……………９分令0y，解得112122111212()y x x x y x y nx y y y y (11)分又1122(1),(1)y k x y k x ，所以121212()42x x x x nx x ．所以直线B A 与轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()x x x f x x x 2222211111．……２分当x 变化时，()f x ，()f x 的变化情况如下表：x (,)1(,)11(,)1()f x ()f x 所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)11，单调递减区间是(,)1，(,)1．…………５分（Ⅱ）依题意，“对于任意12,[0,2]x x ，12()()f x g x 恒成立”等价于“对于任意[0,2]x，minmax ()()f x g x 成立”．由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，因为(0)1f ，2(2)115m f ，所以函数()f x 的最小值为(0)1f ．所以应满足max ()1g x ．………………………………………………７分因为2()e axg x x ，所以2()(+2)e axg x ax x ．………８分因为0a，令()0g x 得，10x ，22x a．（ⅰ）当22a，即10a 时，在[0,2]上()0g x ，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e ag x g ．由24e1a得，ln 2a，所以1ln 2a ．……………11分（ⅱ）当202a ，即1a时,在2[0,)a上()0g x ，在2(,2]a上()0g x ，所以函数()g x 在2[0,)a 上单调递增，在2(,2]a上单调递减，所以max2224()()eg x g a a ．由2241ea 得，2ea，所以1a ．……………13分综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]．……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族{,{1},{2},{1,2}}D……２分此时112(1)(1)(1)(1)(1)0AA D…………４分（Ⅱ）设{1,2,3}n 的所有不超过k 个元素的子集族为kD （ⅰ）易知当2DD 时，(1)AA D达到最大值，所以21122(1)32(2)(1)(1)(1)122n n n n nn f C C n…６分（ⅱ）设D 是使得max kA 的任一个“向下封闭”的子集族，记'''DDD ，其中'D 为不超过2k元的子集族，''D 为1k 元或k 元的子集则(1)AA D='''''(1)(1)(2)(1)AAAA DA DA Df k ………8 分现设''D有l （kn l C ）个{1,2,3}n 的k 元子集，由于一个1k 元子集至多出现在1n k个{1,2,3}n 的k 元子集中，而一个k 元子集中有1k kC个1k 元子集，故l 个k 元子集至少产生11k k lC nk个不同的1k 元子集．''11(1)(1)(1)111k Ak k k knnnA DlCkkl l C CCn k n k n k 1(1)(2)()Ak k nnA Df kCC f k 由（ⅰ）得11221()(1)(1)(1)(1)(1)kkk ii nnnni f k CCCC …13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
1【石景山区】2019-2020高三数学
石景山区2019—2020学年第一学期高三期末试卷数 学本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}02A x x =≤≤，{}1,0,2,3B =-，则A B =A. {}0,1,2B. {}0,2C. {}1,3-D. {}1,0,1,2,3-2. 复数21i z =+的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中既是奇函数，又在区间01（，）上单调递减的是A. 3()f x x =B. ()lg ||f x x =C. ()f x x =-D. ()cos f x x =4. 已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若()-⊥a b b ，则实数m =A. 1-B. 1C. 2D. 2-5. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石6. 已知3log 4a =，πlog 3b =，c =a ，b ，c 的大小关系是A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<7. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差8. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为A. 81 B. 71 C. 61 D. 51 9. 在等差数列{}n a 中，设,,,k l p r *∈N ，则k l+ A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要必要条件D. 既不充分也不必要条件 10. 关于曲线:C 224x xy y ++=．给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线C 上任意一点到原点的距离都不大于；③ 曲线C 上任意一点到原点的距离都不小于2．其中，正确结论的个数是A.0B. 1C. 2D. 3 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11. 在62()x x -的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 12. 已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 ． 13. 已知数列{}*()n a n n +∈N 为等比数列，11a =，22a =，则3a =________.14. 已知平面,,αβγ．给出下列三个论断：①αβ⊥；②αγ⊥；③β∥γ．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____．15. 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14bc a ， 2sin 3sin B C ，则cos A 的值为_______．16. 已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题：① 线段AB 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++； ② 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ③ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=.其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17. （本小题13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （Ⅰ）若2π0<<α，且53sin =α，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 的单调递减区间.18.（本小题13分）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)．（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X ，求X 的分布列；（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．19.（本小题14分）已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，O G F E 、、、分别是AD BC PD PC 、、、 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．20.（本小题14分）已知函数()e x f x ax =-.（a ∈R ）（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若3a =，()f x 的图象与y 轴交于点A ，求()y f x =在点A 处的切线方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当0x >时，2()31f x x x >-+恒成立．21. （本小题13分）已知椭圆222:12x y C a+=过点(2,1)P ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），直线PA 关于l 的对称直线PB 与椭圆交于另一点B ．设O 为坐标原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．22.（本小题13分）已知由*()n n ∈N 个正整数构成的集合1212{,,,}(,3)n n A a a a a a a n =<<<≥， 记12A n S a a a =+++，对于任意不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m .（Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）求证：“n a a a ,,,21 成等差数列”的充要条件是“2)1(+=n n S A ”； （Ⅲ）若2020=A S ，求n 的最小值，并指出n 取最小值时n a 的最大值.。
2019-2020学年北京石景山高三上学期期末数学试卷+参考答案+评分标准
石景山区2019—2020学年第一学期高三期末试卷数 学本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}02A x x =≤≤，{}1,0,2,3B =-，则A B =I A. {}0,1,2 B. {}0,2C. {}1,3-D. {}1,0,1,2,3-2. 复数21iz =+的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 下列函数中既是奇函数，又在区间01（，）上单调递减的是 A. 3()f x x =B. ()lg ||f x x =C. ()f x x =-D. ()cos f x x =4. 已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若()-⊥a b b ，则实数m = A. 1-B. 1C. 2D. 2-5. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石6. 已知3log 4a =，πlog 3b =，c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A. a b c << B. a c b << C. b c a << D. b a c <<7. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差8. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为 A. 81B. 71C. 61D.519. 在等差数列{}n a 中，设,,,k l p r *∈N ，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 关于曲线:C 224x xy y ++=．给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于 ③ 曲线C 上任意一点到原点的距离都不小于2． 其中，正确结论的个数是 A.0B. 1C. 2D. 3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11. 在62()x x-的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 12. 已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 ．13. 已知数列{}*()n a n n +∈N 为等比数列，11a =，22a =，则3a =________.14. 已知平面,,αβγ．给出下列三个论断：①αβ⊥；②αγ⊥；③β∥γ．以其中 的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____． 15. 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=， 2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______．16. 已知向量1e u r ，2e u u r是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+u u u r u r u u r时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题：① 线段AB 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++； ② 向量OA u u u r 平行于向量OB u u u r的充要条件是1221x y x y =；③ 向量OA u u u r 垂直于向量OB u u u r的充要条件是12120x x y y +=.其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. （本小题13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （Ⅰ）若2π0<<α，且53sin =α，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 的单调递减区间.18.（本小题13分）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)． （Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X ，求X 的分布列； （Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．19.（本小题14分）已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，O G F E 、、、分别是AD BC PD PC 、、、 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．20.（本小题14分）已知函数()e x f x ax =-.（a ∈R ） （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若3a =，()f x 的图象与y 轴交于点A ，求()y f x =在点A 处的切线方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当0x >时，2()31f x x x >-+恒成立．21. （本小题13分）已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l上），直线PA 关于l 的对称直线PB 与椭圆交于另一点B ．设O 为坐标原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．22.（本小题13分）已知由*()n n ∈N 个正整数构成的集合1212{,,,}(,3)n n A a a a a a a n =<<<L L ≥， 记12A n S a a a =+++L ，对于任意不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m . （Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）求证：“n a a a ,,,21Λ成等差数列”的充要条件是“2)1(+=n n S A ”； （Ⅲ）若2020=A S ，求n 的最小值，并指出n 取最小值时n a 的最大值.石景山区2019-2020学年第一学期高三期末数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 11．160-； 12．1； 13． 5；14．①③⇒② 或②③⇒①； 15. 14-； 16. ①② ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题13分） 解：（Ⅰ）因为 20πα<<，且53sin =α， 所以 4cos 5α==. ……………2分 所以 ()434128131=555225250f α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭. ……………5分 （Ⅱ）()()21cos sin cos 21cos sin cos 2-+⋅=-+=x x x x x x x f ……………8分 所以函数()x f 的最小正周期2ππ2T ==. ……………9分 由ππ3π2π22π+242k x k ,k +≤+≤∈Z ， 解得π5πππ+88k x k ,k +≤≤∈Z . ……………11分 所以函数()x f 的单调递减区间π5πππ+88k ,k ,k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z . ……………13分 )42sin(22)2cos 2(sin 212122cos 12sin 21π+=+=-++=x x x x x )42sin(22)2cos 2(sin 212122cos 12sin 21π+=+=-++=x x x x x解：（Ⅰ）X 可能的取值为0，1，2，3. ……………1分每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为16p =. 0331125(0)(1)6216P X C ==-=， 1231175(1)(1)66216P X C ==⋅-=， 2231115(2)()(1)66216P X C ==⋅-=，33311(3)()6216P X C ===，……………5分所以X 的分布列为：……………6分（Ⅱ）设“第i 盘游戏获得15分”为事件A i (i ＝1，2)，则12905()()(1)(2)21612P A P A P X P X ===+===. ……………8分 所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为12951()()144P A P A -= 因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为95144. ……………10分 （Ⅲ）设每盘游戏得分为Y .由（ⅠY 的数学期望为1512151202161221636EY =-⨯+⨯+⨯=-. ……12分 这表明，获得分数Y 的期望为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． ……………13分（Ⅰ）证明:因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 ⊥PO AD . 又因为⊥CD 平面PAD ，⊂PO 平面PAD ，所以⊥PO CD . D CD AD =⋂，⊂CD AD ，平面ABCD ，所以⊥PO 面ABCD . ……………4分 （Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则)32,0,0(),0,4,0(),0,0,2(),0,4,2(),0,4,2(),0,0,2(),0,0,0(P G D C B A O --， )3,0,1(),3,2,1(--F E ，)3,2,1(),0,2,0(-=-=，设平面EFG 的法向量为),,,(z y x m =⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-,032,02z y x y令1=z ，则 )10,3(，=，又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ所以21cos ==θ. 所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为3π. ……………9分（Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6， 设]1,0[,∈=λλ，PA GP PM GP GM λ+=+=，所以))1(32,4,2(λλ--=. ……………11分所以76423,cos |6πsin2+->=<=λλ， …………13分整理得02322=+-λλ，无解，所以，不存在这样的点M . ………14分20.（本小题14分）解：（Ⅰ）()x f x e a '=-， ……………1分当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增， ……………3分 当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =. 当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. …5分 （Ⅱ）令0x =，得1y =，则()0,1A ， …………6分因为()e 3x f x '=-，所以()0132f '=-=-， …………7分 所以在A 点处的切线方程为12(0)y x -=--，即21y x =-+. ………9分 （Ⅲ）证明：令()22()(3+1)=e 1x g x f x x x x =----，则()e 2x g x x '=-.令()e 2x h x x =-，则()e 2x h x '=-， 当0ln2x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，当ln2x >时，()0h x '>，()h x 单调递增； …………11分 所以()()ln2ln2e 2ln222ln20h x h ≥=-=->，即()0g x '>恒成立.所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增，所以()()01010g x g >=--=，………13分所以2e 10x x -->，即当0x >时，()231f x x x >-+恒成立． …………14分21.（本小题13分）解：（Ⅰ）由椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ， 可得24112a +=，解得28a =． …………2分 所以222826c ab =-=-=， …………3分所以椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率e == …………5分（Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行． …………6分证明如下：由题意，设直线:1(2)PA y k x -=-，:1(2)PB y k x -=--，设点A11,)x y （，B 22,)x y （， 由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得 22241)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=（， …………8分 所以128(21)2+41k k x k -=+，所以21288241k k x k --=+，同理2228+8241k k x k -=+， 所以1221641k x x k -=-+， …………10分 由1121y kx k =-+，2221y kx k =-++， 有121228()441k y y k x x k k -=+-=-+， 因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上，所以121212AB y y k x x -==-， 又12OP k =，故AB OP k k =，所以直线AB 与直线OP 平行． …………13分22. （本题13分）解:（Ⅰ）由条件知A S ≤1，必有A ∈1，又n a a a <<<Λ21均为整数，11=a . ……2分A S ≤2，由A S 的定义及n a a a <<<Λ21均为整数，必有A ∈2，22=a .……………4分（Ⅱ）必要性：由“n a a a ,,,21Λ成等差数列”及11=a ,22=a得),,2,1(n i i a i Λ==此时},,3,2,1{n A Λ=满足题目要求 从而)1(21321+=++++=n n n S A Λ. ……………6分 充分性：由条件知,21n a a a <<<Λ且均为正整数，可得),,,3,2,1(n i i a i Λ=≥ 故)1(21321+=++++≥n n n S A Λ，当且仅当),,3,2,1(n i i a i Λ==时，上式等号成立. 于是当)1(21+=n n S A 时，),,3,2,1(n i i a i Λ==，从而n a a a ,,,21Λ成等差数列. 所以“n a a a ,,,21Λ成等差数列”的充要条件是“)1(21+=n n S A ”. ……8分 （Ⅲ）由于含有n 个元素的非空子集个数有12-n ，故当10=n 时，10231210=-， 此时A 的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m ，不符合要求. 而用11个元素的集合}1024,512,256,128,64,32,16,8,4,2,1{=A 的非空子集的元素之和可以表示2047,2046,,3,2,1Λ共2047个正整数.因此当2020=A S 时，n 的最小值为11. ……………10分 当2020=A S 时，n 的最小值为11.记102110a a a S +++=Λ则20201110=+a S 并且11101a S ≥+.事实上若11101a S <+，11111022020a a S <+=，则101011>a ，10101110<<a S ， 所以1010=m 时无法用集合A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符. 于是122020111110-≥+=a a S ，得2202111≤a ，*11N a ∈，所以101011≤a . 当101011=a 时}1010,499,256,128,64,32,16,8,4,2,1{=A 满足题意所以当2020=A S 时，n 的最小值为11，此时n a 的最大值1010. ……13分【若有不同解法，请酌情给分】。
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北京市石景山区2020届第一学期高三期末数 学本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}02A x x =≤≤，{}1,0,2,3B =-，则A B =A. {}0,1,2B. {}0,2C. {}1,3-D. {}1,0,1,2,3-2. 复数21iz =+的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中既是奇函数，又在区间01（，）上单调递减的是 A. 3()f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x =4. 已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若()-⊥a b b ，则实数m = A. 1-B. 1C. 2D. 2-5. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石6. 已知3log 4a =，πlog 3b =，c =a ，b ，c 的大小关系是A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<7. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差8. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为 A. 81B. 71C. 61D.519. 在等差数列{}n a 中，设,,,k l p r *∈N ，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 关于曲线:C 224x xy y ++=．给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于； ③ 曲线C 上任意一点到原点的距离都不小于2． 其中，正确结论的个数是 A.0B. 1C. 2D. 3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11. 在62()x x-的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 12. 已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 ．13. 已知数列{}*()n a n n +∈N 为等比数列，11a =，22a =，则3a =________.14. 已知平面,,αβγ．给出下列三个论断：①αβ⊥；②αγ⊥；③β∥γ．以其中 的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____． 15. 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b ca ， 2sin 3sin BC ，则cos A 的值为_______．16. 已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题：① 线段AB 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++； ② 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =；③ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. （本小题13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （Ⅰ）若2π0<<α，且53sin =α，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 的单调递减区间.18.（本小题13分）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)． （Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X ，求X 的分布列； （Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．19.（本小题14分）已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，O G F E 、、、分别是AD BC PD PC 、、、 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．C20.（本小题14分）已知函数()e x f x ax =-.（a ∈R ） （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若3a =，()f x 的图象与y 轴交于点A ，求()y f x =在点A 处的切线方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当0x >时，2()31f x x x >-+恒成立．21. （本小题13分）已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l上），直线PA 关于l 的对称直线PB 与椭圆交于另一点B ．设O 为坐标原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．22.（本小题13分）已知由*()n n ∈N 个正整数构成的集合1212{,,,}(,3)n n A a a a a a a n =<<<≥，记12A n S a a a =+++，对于任意不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m . （Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）求证：“n a a a ,,,21 成等差数列”的充要条件是“2)1(+=n n S A ”； （Ⅲ）若2020=A S ，求n 的最小值，并指出n 取最小值时n a 的最大值.石景山区2020届第一学期高三期末数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 11．160-； 12．1； 13． 5；14．①③⇒② 或②③⇒①； 15. 14-； 16. ①② ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题13分） 解：（Ⅰ）因为 20πα<<，且53sin =α， 所以 4cos 5α==. ……………2分 所以 ()434128131=555225250f α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭. ……………5分 （Ⅱ）()()21cos sin cos 21cos sin cos 2-+⋅=-+=x x x x x x x f ……………8分 所以函数()x f 的最小正周期2ππ2T ==. ……………9分 由ππ3π2π22π+242k x k ,k +≤+≤∈Z ， 解得π5πππ+88k x k ,k +≤≤∈Z . ……………11分 所以函数()x f 的单调递减区间π5πππ+88k ,k ,k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z . ……………13分 )42sin(22)2cos 2(sin 212122cos 12sin 21π+=+=-++=x x x x x )42sin(22)2cos 2(sin 212122cos 12sin 21π+=+=-++=x x x x x解：（Ⅰ）X 可能的取值为0，1，2，3. ……………1分每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为16p =. 0331125(0)(1)6216P X C ==-=， 1231175(1)(1)66216P X C ==⋅-=， 2231115(2)()(1)66216P X C ==⋅-=，33311(3)()6216P X C ===， ……………5分所以X 的分布列为：……………6分（Ⅱ）设“第i 盘游戏获得15分”为事件A i (i ＝1，2)，则12905()()(1)(2)21612P A P A P X P X ===+===. ……………8分 所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为12951()()144P A P A -= 因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为95144. ……………10分 （Ⅲ）设每盘游戏得分为Y .由（Ⅰ）知，的分布列为：Y 的数学期望为12551512151202161221636EY =-⨯+⨯+⨯=-. ……12分 这表明，获得分数Y 的期望为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． ……………13分（Ⅰ）证明:因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 ⊥PO AD . 又因为⊥CD 平面PAD ，⊂PO 平面PAD ，所以⊥PO CD . D CD AD =⋂，⊂CD AD ，平面ABCD ，所以⊥PO 面ABCD . ……………4分 （Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则)32,0,0(),0,4,0(),0,0,2(),0,4,2(),0,4,2(),0,0,2(),0,0,0(P G D C B A O --，)3,0,1(),3,2,1(--F E ，)3,2,1(),0,2,0(-=-=EG EF ，设平面EFG 的法向量为),,,(z y x m =⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-,032,02z y x y令1=z ，则 )10,3(，=m ，又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=n ，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ所以21||||cos ==n m n m θ. 所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为3π. ……………9分（Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6， 设]1,0[,∈=λλPA PM ，PA GP PM GP GM λ+=+=，所以))1(32,4,2(λλ--=GM . ……………11分所以76423,cos |6πsin2+->=<=λλm GM ， …………13分整理得02322=+-λλ，无解，所以，不存在这样的点M . ………14分20.（本小题14分）解：（Ⅰ）()xf x e a '=-， (1)分当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增， ……………3分 当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =. 当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. …5分 （Ⅱ）令0x =，得1y =，则()0,1A ， …………6分因为()e 3x f x '=-，所以()0132f '=-=-， …………7分 所以在A 点处的切线方程为12(0)y x -=--，即21y x =-+. ………9分 （Ⅲ）证明：令()22()(3+1)=e 1x g x f x x x x =----，则()e 2x g x x '=-.令()e 2x h x x =-，则()e 2x h x '=-， 当0ln2x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，当ln2x >时，()0h x '>，()h x 单调递增； …………11分 所以()()ln2ln2e 2ln222ln20h x h ≥=-=->，即()0g x '>恒成立.所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增，所以()()01010g x g >=--=，………13分所以2e 10x x -->，即当0x >时，()231f x x x >-+恒成立． …………14分21.（本小题13分）解：（Ⅰ）由椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ，可得24112a +=，解得28a =． …………2分 所以222826c ab =-=-=， …………3分所以椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率e ==． …………5分（Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行． …………6分证明如下：由题意，设直线:1(2)PA y k x -=-，:1(2)PB y k x -=--，设点A11,)x y （，B 22,)x y （， 由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得 22241)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=（， …………8分所以128(21)2+41k k x k -=+，所以21288241k k x k --=+，同理2228+8241k k x k -=+， 所以1221641kx x k -=-+， …………10分由1121y kx k =-+，2221y kx k =-++， 有121228()441ky y k x x k k -=+-=-+，因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上，所以121212AB y y k x x -==-，又12OP k =，故AB OP k k =，所以直线AB 与直线OP 平行． …………13分22. （本题13分）解:（Ⅰ）由条件知A S ≤1，必有A ∈1，又n a a a <<< 21均为整数，11=a . ……2分A S ≤2，由A S 的定义及n a a a <<< 21均为整数，必有A ∈2，22=a .……………4分（Ⅱ）必要性：由“n a a a ,,,21 成等差数列”及11=a ,22=a得),,2,1(n i i a i ==此时},,3,2,1{n A =满足题目要求 从而)1(21321+=++++=n n n S A . ……………6分 充分性：由条件知,21n a a a <<< 且均为正整数，可得),,,3,2,1(n i i a i =≥ 故)1(21321+=++++≥n n n S A ，当且仅当),,3,2,1(n i i a i ==时，上式等号成立. 于是当)1(21+=n n S A 时，),,3,2,1(n i i a i ==，从而n a a a ,,,21 成等差数列. 所以“n a a a ,,,21 成等差数列”的充要条件是“)1(21+=n n S A ”. ……8分 （Ⅲ）由于含有n 个元素的非空子集个数有12-n ，故当10=n 时，10231210=-， 此时A 的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m ，不符合要求. 而用11个元素的集合}1024,512,256,128,64,32,16,8,4,2,1{=A 的非空子集的元素之和可以表示2047,2046,,3,2,1 共2047个正整数.因此当2020=A S 时，n 的最小值为11. ……………10分 当2020=A S 时，n 的最小值为11.记102110a a a S +++=则20201110=+a S 并且11101a S ≥+.事实上若11101a S <+，11111022020a a S <+=，则101011>a ，10101110<<a S ， 所以1010=m 时无法用集合A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符. 于是122020111110-≥+=a a S ，得2202111≤a ，*11N a ∈，所以101011≤a .当101011=a 时}1010,499,256,128,64,32,16,8,4,2,1{=A 满足题意 所以当2020=A S 时，n 的最小值为11，此时n a 的最大值1010. ……13分【若有不同解法，请酌情给分】。
2020届北京市石景山区高三上学期期末考试数学试题(含答案)
石景山区2020届高三第一学期期末考试试题数学本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 已知集合 A x0WxW2,B 1,0,2,3 ，则 AI B复数z 上-的共轲复数在复平面内对应的点所在象限为 1 i卜列函数中既是奇函数，又在区间 （0,1）上单调递减的是夹谷约为7 .艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效 评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是 A.中位数B.平均数C.方差D.极差8 . 一个正方体被一个平面截去一部分后，A. 0,1,2B. 0,2C. 1,3D. 1,0,1,2,31.2.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限4.5.一3A. f(x) xB. f(x) lg|x|C. f (x) xD. f(x) cosx已知向量a 5, m , b 2, 2 ,若a A. 1B. 1C.D.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮, 有人送来米 1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷 28粒，则这批米内3.6.A. 134 石B. 169石C. 338石D. 1365 石已知 a log 3 4 , b log 3c 的大小关系是A. a b cB. a cC.D. b a c42一 ... ............. ............ . 」 1 在△ ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知b- c= — a,剩余部分的三视图如右图，则截去部分 体积与原正方体体积的比值为 A. B.C. D.9.在等差数列｛a n ｝中，设k,l, p,r N ,则kA.充分而不必要条件B.C.充要必要条件D. l p r 是 a k a l a p a 「的必要而不充分条件 既不充分也不必要条件10.关于曲线C : x 2 xy y 2 4 .给出下列三个结论:① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线C 上任意一点到原点的距离都不大于 ③曲线C 上任意一点到原点的距离都不小于 2.其中，正确结论的个数是 A. 0B. 1C.D. 3二、填空题共 11.在（X 12.13. 14.第二部分（非选择题共6小题，每小题5分，共30分. 2、6八 । ……-）的二项展开式中，常数项等于x110 分）2x 2已知双曲线标准万程为 一 y 2 1 ,则其焦点到渐近线的距离为3一，.、“一， ， …*、已知数列a n n （n N ）为等比数歹U, 已知平面,.给出下列三个论断：①a 1.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论, 写出一个正确的命题: 15.2sinB = 3sinC ,则 cosA 的值为16 .已知向量er, e 2是平面内的一组基向量，。
2019-2020年北京市石景山区高三上学期期末数学
石景山区2019—2020学年第一学期高三期末试卷数 学本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}02A x x =≤≤，{}1,0,2,3B =-，则A B =A. {}0,1,2B. {}0,2C. {}1,3-D. {}1,0,1,2,3-2. 复数21iz =+的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中既是奇函数，又在区间01（，）上单调递减的是 A. 3()f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x =4. 已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若()-⊥a b b ，则实数m = A. 1-B. 1C. 2D. 2-5. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石6. 已知3log 4a =，πlog 3b =，c =a ，b ，c 的大小关系是A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<7. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差8. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为 A. 81B. 71C. 61D.519. 在等差数列{}n a 中，设,,,k l p r *∈N ，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 关于曲线:C 224x xy y ++=．给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于； ③ 曲线C 上任意一点到原点的距离都不小于2． 其中，正确结论的个数是 A.0B. 1C. 2D. 3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11. 在62()x x-的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 12. 已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 ．13. 已知数列{}*()n a n n +∈N 为等比数列，11a =，22a =，则3a =________.14. 已知平面,,αβγ．给出下列三个论断：①αβ⊥；②αγ⊥；③β∥γ．以其中 的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____． 15. 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=， 2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______．16. 已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题：① 线段AB 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++； ② 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =；③ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. （本小题13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （Ⅰ）若2π0<<α，且53sin =α，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 的单调递减区间.18.（本小题13分）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)． （Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X ，求X 的分布列； （Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．19.（本小题14分）已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，O G F E 、、、分别是AD BC PD PC 、、、 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．C20.（本小题14分）已知函数()e x f x ax =-.（a ∈R ） （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若3a =，()f x 的图象与y 轴交于点A ，求()y f x =在点A 处的切线方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当0x >时，2()31f x x x >-+恒成立．21. （本小题13分）已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l上），直线PA 关于l 的对称直线PB 与椭圆交于另一点B ．设O 为坐标原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．22.（本小题13分）已知由*()n n ∈N 个正整数构成的集合1212{,,,}(,3)n n A a a a a a a n =<<<≥，记12A n S a a a =+++，对于任意不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m . （Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）求证：“n a a a ,,,21 成等差数列”的充要条件是“2)1(+=n n S A ”； （Ⅲ）若2020=A S ，求n 的最小值，并指出n 取最小值时n a 的最大值.。
北京市石景山区普通高中2020届高三毕业班上学期期末考试数学答案
解得 ,符合题意,
所以当 为线段 中点时,直线 与平面 所成角的大小为 ．
………………14分
18.（本小题13分）
解：（Ⅰ）由题可知, 的所有可能取值为 , , ．
； ； ．
所以 的分布列为
………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ．
若小明先回答 问题,记 为小明的累计得分,则 的所有可能取值为 , , ．
选条件②： ．
（Ⅰ）
,
所以 最小正周期是 ．………………7分
（Ⅱ）因为 ,
所以 ≤ ≤ ,
所以 ≤ ≤ ,
当 ,即 时, 有最小值 ．………………13分
17．（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为四棱锥 中, ,
所以 ,
因为 , ,
所以 ．………………4分
（Ⅱ）因为 , ,所以 ,
又因为 ,所以 ,
因为 , ,
14． （答案不唯一）；15．①③．
三、解答题：本大题共6个小题,共80分．解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
16．（本小题13分）
解：选条件①： ；
（Ⅰ）
,
所以 的最小正周期是 ．………………7分
（Ⅱ）因为 ,
所以 ≤ ≤ ,
所以 ≤ ≤ ,
所以 ≤ ≤ ,
当 ,即 时, 有最小值 ．……………13分
因为 ， 为正实数，且 所以 ≥ ，故 ≥ ，
则数列 从 开始以后的各项为 ，
当 ≥ 时 ， 与 为“趋势递减数列”矛盾，故假设不成立， 的项中没有 .
再证明充分性：
得 ，
因为 的项中没有 ，所以对于任意正整数 ， ，于是 ，
所以 .
当 时， ，
当 时， ，
2019-2020年北京市石景山区高三上学期期末考试数学(理)试卷(有答案)-名校密卷
石景山区第一学期高三年级期末试卷数 学（理）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|01}B x x =≤≤,那么A B 等于（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．[0,1] 2．若34iz i+=，则||z =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．53．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）A ．5B ．3C ．9D ．74．下列函数中既是奇函数又在区间(0,)+∞A ．x y e -=B ．ln()y x =-C ．3y x =D ．1y x=5．由直线10x y -+=，50x y +-=和1x =所围成的三角形区域（包括边界），用不等式组可表示为（ ）A ．10,50,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩B ．10,50,1x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩C ．10,50,1x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩D ．10,50,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩6．一个几何体的三视图如右图所示．已知这个几何体的体积为8，则h =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．67．将函数2(3)y x =-图象上的点2(,(3))P t t -向左平移m (m >0)个单位长度得到 点Q ．若Q 位于函数2y x =的图象上，则以下说法正确的是（ ） A ．当2t =时，m 的最小值为3 B ．当3t =时，m 一定为3 C ．当4t =时，m 的最大值为3D ．t ∀∈R ，m 一定为38．六名同学A 、B 、C 、D 、E 、F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A 、B 各参加了3局比赛，C 、D 各参加了4局比赛，E 参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过，那么F 在第一天参加的比赛局数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在7(3)x -的展开式中，5x 的系数是 （结果用数值表示）．10．已知ABC △中，AB =1BC ，sin C C ，则ABC △的面积为．11．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是 ．侧视图正视图俯视图12．等差数列{}n a 中，12a =，公差不为零，且1a ，3a ，11a 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 ．13．有以下4个条件：①a b =；②||||a b =；③a 与b 的方向相反；④a 与b 都是单位向量．其中a //b 的充分不必要条件有 ．（填正确的序号）．14．已知函数11,1,()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，①方程()f x x =-有________个根；②若方程()f x ax =恰有两个不同实数根，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数π()2sin()sin 22f x x x x =-⋅+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在ππ[,]126-上的最大值． 16．（本小题共13分）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18-36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b，的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市．．大学生．．．中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．17．（本小题共14分）如图1，等腰梯形BCDP 中，BC ∥PD ，BA PD ⊥于点A ，3PD BC =，且1AB BC ==． 沿AB 把PAB △折起到P AB '△的位置（如图2），使90P AD '∠=︒． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AC '； （Ⅱ）求二面角A P D C '--的余弦值；（Ⅲ）线段P A '上是否存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．图1图218．（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于轴的对称点为B '．直线B A '与轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．19．（本小题共14分）B CAPDB ACP′ABCD已知函数2()11x f x x =++，2()(0)a xg x x e a =<． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题共13分）集合M 的若干个子集的集合称为集合M 的一个子集族．对于集合{1,2,3}n 的一个子集族D满足如下条件：若,A D B A ∈⊆，则B D ∈，则称子集族D 是“向下封闭”的． （Ⅰ）写出一个含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族D 并计算此时(1)AA D∈-∑的值（其中A 表示集合A 中元素的个数，约定0φ=；A D∈∑表示对子集族D 中所有成员A 求和）；（Ⅱ）D 是集合{1,2,3}n 的任一“向下封闭的”子集族，对A D ∀∈,记max k A =，()max (1)AA Df k ∈=-∑（其中ma 表示最大值），（ⅰ）求(2)f ；（ⅱ）若k 是偶数，求()f k ．石景山区第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()2cos sin 2f x x x x =⋅+ ……1分sin 22x x =+ ……2分π2sin(2)3x =+， ……4分因此)(x f 的最小正周期为π． …………6分 （Ⅱ）当ππ[,]126x ∈-时，ππ2π2633x ≤+≤， ………8分 当ππ232x +=，πsin(2)3x +有最大值1． ………10分 即π12x =时，()f x 的最大值为2． ……………13分 16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）030305100a ++++=解得35a =，5110020b ==，35710020c ==．…………………3分 （Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ，则114060210016()33C C P A C ==． 所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633． ……………7分 （Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为25P =． X 的所有可能取值0，1，2，3． ……………8分则()033270()(1)2255125P X C ==-=，()1123541()(1)2255125P X C ==-=， ()2213362()(1)2255125P X C ==-=，()333083()(22551)125P X C ==-=．其分布列如下：所以，01231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为90P AD '∠=︒，所以P A '⊥AD ．因为在等腰梯形中，AB ⊥AP ，所以在四棱锥中，AB ⊥AP '． 又AD AB A ⋂=，所以P A '⊥面ABCD ． 因为CD 面ABCD ，所以P A '⊥CD ．……3分因为等腰梯形BCDE 中，AB BC ⊥，3PD BC =，且1AB BC ==．所以AC =CD 2AD =．所以222AC CD AD +=． 所以AC ⊥CD ．因为P A 'AC =A , 所以CD ⊥平面P AC '． ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P A '⊥面ABCD ，AB ⊥如图，建立空间直角坐标系，A ()0,0,0，B ()1,0,0，C ()1,1,0，D ()0,2,0，P '()0,0,1．…………5分所以(1,0,0)AB =，(1,1,1)P C '=-．由（Ⅰ）知，平面P AD '的法向量为AB 设(,,)n x y z =为平面P CD '的一个法向量，则0n CD n P C ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即00x y x y z -+=⎧⎨+-=⎩，再令1y =，得(1,1,2)n =．cos ,AB n =AB n AB n⋅⋅=6所以二面角A P D C '--的余弦值为6…………9分 （Ⅲ）若线段P A '上存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．依题意可设AM AP λ'=,其中01λ≤≤．所以(0,0,)M λ，(1,0,)BM λ=-． 由（Ⅱ）知，平面P CD '的一个法向量(1,1,2)n =． 因为BM ∥平面P CD '，所以BM n ⊥，所以120BM n λ⋅=-+=，解得12λ=． 所以，线段P A '上存在点M ，使得BM ∥平面P CD '…………………14分 18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为2c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分 联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-， 所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()x x x f x x x --+'==++2222211111．……2分当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-11，单调递减区间是(,)-∞-1，(,)+∞1． …………5分（Ⅱ）依题意，“对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “对于任意[0,2]x ∈，min max ()()f x g x ≥成立”．由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，因为(0)1f =，2(2)115m f =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =． 所以应满足max ()1g x ≤．………………………………………………7分因为2()e ax g x x =，所以2()(+2)e axg x ax x '=．………8分 因为0a <，令()0g x '=得，10x =，22x a =-． （ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时， 在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e a g x g ==．由24e 1a ≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-． ……………11分 （ⅱ）当202a<-<，即1a <-时, 在2[0,)a -上()0g x '≥，在2(,2]a-上()0g x '<， 所以函数()g x 在2[0,)a-上单调递增，在2(,2]a -上单调递减， 所以max 2224()()e g x g a a =-=． 由2241e a ≤得，2ea ≤-，所以1a <-． ……………13分 综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-． ……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族{,{1},{2},{1,2}}D φ= ……2分 此时0112(1)(1)(1)(1)(1)0AA D∈-=-+-+-+-=∑ …………4分 （Ⅱ）设{1,2,3}n 的所有不超过k 个元素的子集族为k D（ⅰ）易知当2D D =时，(1)A A D ∈-∑达到最大值， 所以201122(1)32(2)(1)(1)(1)122n n n n n n f C C n --+=-+-+-=-+= …6分 （ⅱ）设D 是使得max k A =的任一个“向下封闭”的子集族，记'''D D D =，其中'D 为不超过2k -元的子集族，''D 为1k -元或k 元的子集 则(1)A A D ∈-∑= '''''(1)(1)(2)(1)A A A A D A D A D f k ∈∈∈-+-≤-+-∑∑∑ ………8 分现设''D 有l （k n l C ≤）个{1,2,3}n 的k 元子集，由于一个1k -元子集至多出现在1n k -+个{1,2,3}n 的k 元子集中，而一个k 元子集中有1k k C -个1k -元子集，故l 个k 元子集至少产生11k k lC n k --+个不同的1k -元子集． ''11(1)(1)(1)111k Ak k k k n n n A D lC k k l l C C C n k n k n k --∈-≤-=-≤-=--+-+-+∑ 1(1)(2)()A k k n n A D f k C C f k -∈-≤--+=∑由（ⅰ）得011221()(1)(1)(1)(1)(1)kk ki i n n nn i f k C C C C ==-+-+-++-=-∑…13分 【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
北京市石景山区2020届高三数学上学期期末考试试题文
石景山区 2020 学年第一学期高三期末试卷数学（文）本试卷共 6 页，满分为150 分，考试时间为120 分钟．请务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共 40分）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1.已知会合 P { x R | x ≥ 0}，Q {1, 0 ,1, 2}，则PI Q＝A.{1, 2}B. {0, 2}C. {0,1}D.{0,1, 2}2.设 i 是虚数单位，复数z2i，则 z 对应的点位于1iA.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限开始3.阅读右侧的程序框图，运转相应的程序，则输出 n 的值为n0,a1A.3n n1B.4a2aC.5D. 6否a > 20是输出 n 出结束4.以下函数中为偶函数的是A.y ln | x |B.y| ln x |C.y x cos xD.y x cos x5.某四周体的三视图以下图，该四周体的体积为A.4 33B.8 33C. 4 3D.8 36.r(1,3r(3,1) ，则以下关系正确的选项是已知向量 a22), b22r r rA.rB.r r(a b )b(a b )aC.r r r rD.r r r r(a b)(a b )(a b ) ∥ (a b )7.在△ABC中，a6,c4, A 60，则 tanC 的值是A.3B.2C.6D. 2 3238.对于 x 的不等式ax2| x1|3a ≥ 0的解集是(,) ，则实数a的取值范围是A. [1,) B. [1,) C. [1,) D. [1, ) 63212第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9.已知角的终边经过点 P( 3,4) ，则 sin__________ ．x1≤ y,10.若变量 x , y 知足拘束条件 y≤ 2x,则 z2x y 的最小值等于_________．x y ≤ 6,11.若直线 3x 4 y2220) 订交于A,B两点，且5 0 与圆 x y r(rAOB120 （ O 为坐标原点），则r =__________．12.写出“ x 1≤ 2 ”建立的一个充足不用要条件___________________________ ．x13.已知抛物线 y 2 4 x 的准线为 l ， l 与双曲线x2y21的两条渐近线分别交于4A,B 两点，则线段 AB 的长度为_____________．14.2020 年个税改革方案中专项附带扣除等内容将于2020 年全面实行．可是，为了让老百姓尽早享遇到减税盈利，自 2020 年 10 月至 2020 年 12 月，先将薪资所得税起征额由3500 元 / 月提升至5000 元/ 月，并按新的税率表（见附录）计算纳税．依据税法例定，小王2020 年 9 月和 10 月税款计算状况分别以下:月纳税起征应纳合用速算税后税款份所得额额税额税率扣除数薪资960003500250010%1051455855106000500010003%0305970（有关计算公式为：应纳税额=纳税所得额–起征额，税款 =应纳税额合用税率–速算扣除数，税后薪资 =纳税所得额–税款）（ 1）某员工甲2020 年 9 月应纳税额为 2000 元，那么他9 月份的税款为（ 2）某员工乙2020 年 10 月税后薪资为 14660 元，则他享受减税盈利为___元；____ 元．附录：原税率表（履行至2020 年 9 月）新税率表（ 2020年 10 月起履行）速算速算应纳税额税率应纳税额税率扣除数扣除数不超出 1500 元3%0 元不超出 3000 元3%0 元1500 元至 450010%105 元3000 元至 1200010%210 元元元4500 元至 900020%555 元12000 元至 2500020%1410 元元元9000 元至 3500025%1005 元25000 元至 3500025%2660 元元元三、解答题共 6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题 13 分）函数 f ( x) Asin( x)( A 0,0,| |) 的部分图象以下图.2（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期及分析式；（Ⅱ）设 g( x) f ( x) cosx ，求函数 g( x) 在区间 [0 , ] 上的最小值.2y4π13O πx116.（本小题 13 分）3已知 S{ a}的前n 项和，且a1,S6.n 为等差数列n13（Ⅰ）求数列 { a n } 的通项公式；（Ⅱ）设b n 2a n， T 为数列 { b } 的前n项和，能否存在m N*，使得 T S 44？若存在，n n m =20求出 m 的值；若不存在，说明原因．17.（本小题13 分）2018年 9 月，某校高一年级新入学有360 名学生，此中200名女生，160名男生．学校计划为家远的高一重生供给10 间女生宿舍和8 间男生宿舍，每间宿舍可住 2 名同学．该校“数学与统计”社团的同学为认识全体高一学生家庭居住地与学校的距离状况，按照性别进行分层抽样，此中共抽取20 名女生家庭居住地与学校的距离数据（单位：km ）如下：5678454346（Ⅰ）依据以上样本数据推测，若女生甲家庭居住地与学校距离为8.3 km ，她能否能住宿？说明原因；（Ⅱ）经过计算获得女生家庭居住地与学校距离的样本均匀值为 5.1 km，男生家庭居住地与学校距离的样本均匀值为 4.875km ，则全部样本数据的均匀值为多少？（Ⅲ）已知某班有4 名女生安排在两间宿舍中，此中有一对双胞胎，假如随机分派宿舍，求双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率．18.（本小题 14 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为2的正方形，△ BCF 为正三角形，EF 4且 EF ∥ AB ， EF FB ，G,H分别为BC,EF的中点.E H F（Ⅰ）求证：GH ∥平面 EAD ；（Ⅱ）求证：FG平面ABCD；D（Ⅲ）求三棱锥G ADE 的体积.CGA B19.（本小题 14 分）已知椭圆 E : x2y21 a b 0 的一个极点为 (0,3) ，离心率为1.22a b2（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点的直线l1交椭圆于 A 、 B 两点，过原点的直线l2交椭圆于 C 、 D 两点.2CD若 l1∥ l2，求证：为定值.AB20.（本小题 13 分）已知函数 f ( x) ( x a)ln x ．（Ⅰ）当 a0 时，求 f (x) 在 x 1 处的切线方程；（Ⅱ）当 a0 时，若 f (x) 有极小值，务实数a的取值范围．石景山区 2020 学年第一学期高三期末数学（文）试卷答案及评分参照一、选择题：本大题共8 个小题，每题5 分，共 40 分．题号 1 23 4 5 6 7 8答案DBCAACBC二、填空题：本大题共 6 个小题，每题5 分，共 30 分．9． 4；10． 4 ；11． 2 ；512． x2 ；（答案不独一） 13. 1 ； 14.95 ， 1155．三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题 13 分） 解：（Ⅰ）由图可得A1,T 4，因此T2 ,1 .2 3 3当 x3时， f (x)1 ，可得 sin() 1 ，3Q | |2, .6f (x) sin( x) .6（Ⅱ） g (x)f ( x) cos x sin( x) cos x sin xcos cos xsin cos x6663 1 ) .sin xcos x sin( x226Q 0 ≤ x ≤ ,≤ x ≤ .26 63当 x，即 x 0 时， g( x)166 有最小值为.216. （本小题 13 分）解：（Ⅰ）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 S 3a 1 a 2 a 3 3a 13d 6 ，又 a 1 1 ，因此 d1 ， a nn .（Ⅱ）由于 b n2a n2n ，因此 { b n } 为等比数列 .因此 T n2(1 2n ) 2n 12 .1 2假定存在 m N * ，使得 T m = S 2044 .20(1 20) 210 ，S202因此 2m 12 210 44 ，即 2m 1256 ，因此 m 7 知足题意 .17. （本小题 13 分）解：（Ⅰ）能住宿 .（Ⅱ）依据分层抽样的原则，抽取男生样本数为16 人.全部样本数据均匀值为201620 16 5 .（Ⅲ）解法一：记着宿的双胞胎为A 1, A 2 ，其余住宿女生为B 1, B 2 .考虑 A 1 的室友，共有 A 2 ,B 1 , B 2 三种状况， 因此双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为1.3解法二：记着宿的双胞胎为A 1, A 2 ，其余住宿女生为B 1, B 2 .随机分派宿舍，共有[( A 1 , A 2 ),( B 1 ,B 2 )],[( A 1 , B 1 ),( A 2 , B 2 )],[( A 1 , B 2 ),( A 2 , B 1 )] 三种状况，知足题意得有 [( A 1 , A 2 ),( B 1 ,B 2 )] 一种状况，因此双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为1 .318. （本小题 14 分） （Ⅰ）证明：取AD 的中点 M ，连接 EM ，MG ，∵四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， G 为 BC 的中点，∴MG∥= AB ，∵ H 为 EF 的中点，且 EF = 4，∴ EH=1EF=2，又 EF ∥ AB ， 2∴ MG∥= EH ，∴四边形 MGHE 为平行四边形，EH FD CM GAB∴EM∥=HG ，又 EM平面 EAD ，GH 平面 EAD ，∴ GH ∥平面 EAD ．（Ⅱ）证明：∵EF ∥AB ，EF FB ，∴AB FB，在正方形 ABCD 中 ABBC ，且 BC I FB = B ，∴ AB 平面 FBC ，∵FG平面FBC ，∴ AB FG ，又 △ BCF 为正三角形， G 为 BC 的中点，∴ FG BC又 ABI BC= B∴ FG 平面 ABCD ．（Ⅲ）∵ EF ∥ AB，∴ EF ∥平面 ABCD ， ∵ FG 平面 ABCD ，∴ FG 为三棱锥 E ADG 的高，∵ △ BCF 为正三角形， G 为 BC 的中点，∴ FG= 3，∴V G ADE =V E ADG1S △ ADGFG=123 2 3 ．3 3319. （本小题 14 分）解：（Ⅰ）依题意，b 3 .由a2b21，得 a2 4 b2 4 .a23∴椭圆 E 的方程为x2y2 1 . 43（Ⅱ）证明：（1）当直线AB的斜率不存在时，易求AB3， CD2 3 ，2则CD 4. AB（ 2）当直线AB的斜率存在时，设直线 AB 的斜率为 k ，依题意 k0，则直线 AB 的方程为 y k x 1 ，直线 CD 的方程为ykx .设 A x1 , y1， B x2 , y2， C x3 , y3， D x4 , y4，x2y218k2 x 4k 24312 0，由得 3 4k2 x2y k x1则x1x28k2，x1 x24k 212 ，34k234k 2 AB1k 2x1x28k224k21212 1k2k 214.334k 234k24k2x2y2121243，则 x3x4.由43整理得 x34k234k 2 y kxCD 1 k 2 x3x4 43 1k 2. 34k 2CD 248 1k 234k 2∴ 4 .AB34k212 1k 22CD综合（ 1）（ 2）， 4 为定值.AB20.（本小题 13 分）解：（Ⅰ）当 a0 时，f (x)xln x ，f ( x)ln x 1 .f (1)1, f (1)0 ，因此 f ( x) 在 x 1 处的切线方程为y x 1 .（Ⅱ） f ( x) 有极小值函数 f ( x) 有左负右正的变号零点 .f ( x)ln x x a 1aln x1 x x令 g( x)f( x) ，则1a x a g ( x)x2x 2x令 g (x)0 ，解得x a .x, g ( x), g( x) 的变化状况以下表：x(0,a)a(a, )g ( x)–0+g( x)减极小值 ln a 2增①若 ln a 2 ≥ 0 ，即a≥e2，则g ( x)≥0，因此 f ( x)不存在变号零点，不合题意.②若 ln a20 ，即a e2时， g(a)ln a 2 0 ， g (1) a 1 0.因此 x0( a,1) ，使得 g ( x0 ) 0 ；且当 x( a, x0 ) 时，g( x)0 ，当x( x0 ,1) 时，g( x) 0 .因此当 x( a,1) 时，x, f( x), f ( x) 的变化状况以下表：x( a, x0 )x0( x0 ,1)f ( x)–0+f (x)减极小值增因此0a e 2.【如有不一样解法，请酌情给分】。
2019-2020石景山高三期末数学
石景山区2020届第一学期高三期末数 学本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}02A x x =≤≤，{}1,0,2,3B =-，则A B =A. {}0,1,2B. {}0,2C. {}1,3-D. {}1,0,1,2,3-2. 复数21iz =+的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中既是奇函数，又在区间01（，）上单调递减的是 A. 3()f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x =4. 已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若()-⊥a b b ，则实数m = A. 1-B. 1C. 2D. 2-5. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石6. 已知3log 4a =，πlog 3b =，c =a ，b ，c 的大小关系是A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<7. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差8. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为 A. 81B. 71C. 61D.519. 在等差数列{}n a 中，设,,,k l p r *∈N ，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 关于曲线:C 224x xy y ++=．给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于； ③ 曲线C 上任意一点到原点的距离都不小于2． 其中，正确结论的个数是 A.0B. 1C. 2D. 3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11. 在62()x x-的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 12. 已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 ．13. 已知数列{}*()n a n n +∈N 为等比数列，11a =，22a =，则3a =________.14. 已知平面,,αβγ．给出下列三个论断：①αβ⊥；②αγ⊥；③β∥γ．以其中 的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____． 15. 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=， 2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______．16. 已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题：① 线段AB 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++； ② 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =；③ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. （本小题13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （Ⅰ）若2π0<<α，且53sin =α，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 的单调递减区间.18.（本小题13分）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)． （Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X ，求X 的分布列； （Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．19.（本小题14分）已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，O G F E 、、、分别是AD BC PD PC 、、、 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．C20.（本小题14分）已知函数()e x f x ax =-.（a ∈R ） （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若3a =，()f x 的图象与y 轴交于点A ，求()y f x =在点A 处的切线方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当0x >时，2()31f x x x >-+恒成立．21. （本小题13分）已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l上），直线PA 关于l 的对称直线PB 与椭圆交于另一点B ．设O 为坐标原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．22.（本小题13分）已知由*()n n ∈N 个正整数构成的集合1212{,,,}(,3)n n A a a a a a a n =<<<≥，记12A n S a a a =+++，对于任意不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m . （Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）求证：“n a a a ,,,21 成等差数列”的充要条件是“2)1(+=n n S A ”； （Ⅲ）若2020=A S ，求n 的最小值，并指出n 取最小值时n a 的最大值.石景山区2020届第一学期高三期末数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 11．160-； 12．1； 13． 5；14．①③⇒② 或②③⇒①； 15. 14-； 16. ①② ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题13分） 解：（Ⅰ）因为 20πα<<，且53sin =α， 所以 4cos 5α==. ……………2分 所以 ()434128131=555225250f α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭. ……………5分 （Ⅱ）()()21cos sin cos 21cos sin cos 2-+⋅=-+=x x x x x x x f ……………8分 所以函数()x f 的最小正周期2ππ2T ==. ……………9分 由ππ3π2π22π+242k x k ,k +≤+≤∈Z ， 解得π5πππ+88k x k ,k +≤≤∈Z . ……………11分 所以函数()x f 的单调递减区间π5πππ+88k ,k ,k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z . ……………13分 )42sin(22)2cos 2(sin 212122cos 12sin 21π+=+=-++=x x x x x )42sin(22)2cos 2(sin 212122cos 12sin 21π+=+=-++=x x x x x解：（Ⅰ）X 可能的取值为0，1，2，3. ……………1分每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为16p =. 0331125(0)(1)6216P X C ==-=， 1231175(1)(1)66216P X C ==⋅-=， 2231115(2)()(1)66216P X C ==⋅-=，33311(3)()6216P X C ===，……………5分所以X 的分布列为：……………6分（Ⅱ）设“第i 盘游戏获得15分”为事件A i (i ＝1，2)，则12905()()(1)(2)21612P A P A P X P X ===+===. ……………8分 所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为12951()()144P A P A -= 因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为95144. ……………10分 （Ⅲ）设每盘游戏得分为Y .由（ⅠY 的数学期望为12551512151202161221636EY =-⨯+⨯+⨯=-. ……12分 这表明，获得分数Y 的期望为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． ……………13分（Ⅰ）证明:因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 ⊥PO AD . 又因为⊥CD 平面PAD ，⊂PO 平面PAD ，所以⊥PO CD . D CD AD =⋂，⊂CD AD ，平面ABCD ，所以⊥PO 面ABCD . ……………4分 （Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则)32,0,0(),0,4,0(),0,0,2(),0,4,2(),0,4,2(),0,0,2(),0,0,0(P G D C B A O --，)3,0,1(),3,2,1(--F E ，)3,2,1(),0,2,0(-=-=，设平面EFG 的法向量为),,,(z y x m =⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-,032,02z y x y令1=z ，则 )10,3(，=，又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=n ，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ所以21||||cos ==n m θ. 所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为3π. ……………9分（Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6， 设]1,0[,∈=λλPM ，PA GP PM GP GM λ+=+=，所以))1(32,4,2(λλ--=. ……………11分所以76423,cos |6πsin2+->=<=λλ， …………13分整理得02322=+-λλ，无解，所以，不存在这样的点M . ………14分20.（本小题14分）解：（Ⅰ）()xf x e a '=-， (1)分当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增， ……………3分 当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =. 当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. …5分 （Ⅱ）令0x =，得1y =，则()0,1A ， …………6分因为()e 3x f x '=-，所以()0132f '=-=-， …………7分 所以在A 点处的切线方程为12(0)y x -=--，即21y x =-+. ………9分 （Ⅲ）证明：令()22()(3+1)=e 1x g x f x x x x =----，则()e 2x g x x '=-.令()e 2x h x x =-，则()e 2x h x '=-， 当0ln2x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，当ln2x >时，()0h x '>，()h x 单调递增； …………11分 所以()()ln2ln2e 2ln222ln20h x h ≥=-=->，即()0g x '>恒成立.所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增，所以()()01010g x g >=--=，………13分所以2e 10x x -->，即当0x >时，()231f x x x >-+恒成立． …………14分21.（本小题13分）解：（Ⅰ）由椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ，可得24112a +=，解得28a =． …………2分 所以222826c ab =-=-=， …………3分所以椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率e ==． …………5分（Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行． …………6分证明如下：由题意，设直线:1(2)PA y k x -=-，:1(2)PB y k x -=--，设点A11,)x y （，B 22,)x y （， 由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得 22241)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=（， …………8分所以128(21)2+41k k x k -=+，所以21288241k k x k --=+，同理2228+8241k k x k -=+， 所以1221641kx x k -=-+， …………10分由1121y kx k =-+，2221y kx k =-++， 有121228()441ky y k x x k k -=+-=-+，因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上，所以121212AB y y k x x -==-，又12OP k =，故A B O P k k =，所以直线AB 与直线OP 平行． …………13分22. （本题13分）解:（Ⅰ）由条件知A S ≤1，必有A ∈1，又n a a a <<< 21均为整数，11=a . ……2分A S ≤2，由A S 的定义及n a a a <<< 21均为整数，必有A ∈2，22=a .……………4分（Ⅱ）必要性：由“n a a a ,,,21 成等差数列”及11=a ,22=a得),,2,1(n i i a i ==此时},,3,2,1{n A =满足题目要求 从而)1(21321+=++++=n n n S A . ……………6分 充分性：由条件知,21n a a a <<< 且均为正整数，可得),,,3,2,1(n i i a i =≥ 故)1(21321+=++++≥n n n S A ，当且仅当),,3,2,1(n i i a i ==时，上式等号成立. 于是当)1(21+=n n S A 时，),,3,2,1(n i i a i ==，从而n a a a ,,,21 成等差数列. 所以“n a a a ,,,21 成等差数列”的充要条件是“)1(21+=n n S A ”. ……8分 （Ⅲ）由于含有n 个元素的非空子集个数有12-n ，故当10=n 时，10231210=-， 此时A 的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m ，不符合要求. 而用11个元素的集合}1024,512,256,128,64,32,16,8,4,2,1{=A 的非空子集的元素之和可以表示2047,2046,,3,2,1 共2047个正整数.因此当2020=A S 时，n 的最小值为11. ……………10分 当2020=A S 时，n 的最小值为11.记102110a a a S +++=则20201110=+a S 并且11101a S ≥+.事实上若11101a S <+，11111022020a a S <+=，则1011>a ，10101110<<a S ， 所以1010=m 时无法用集合A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符. 于是122020111110-≥+=a a S ，得2202111≤a ，*11N a ∈，所以101011≤a .当101011=a 时}1010,499,256,128,64,32,16,8,4,2,1{=A 满足题意 所以当2020=A S 时，n 的最小值为11，此时n a 的最大值1010. ……13分【若有不同解法，请酌情给分】。
2020.1北京市石景山区高三年级第一学期期末-数学试题答案
石景山区2020届高三第一学期期末数 学本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}02A x x =≤≤，{}1,0,2,3B =-，则A B =I A. {}0,1,2 B. {}0,2C. {}1,3-D. {}1,0,1,2,3-2. 复数21iz =+的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中既是奇函数，又在区间01（，）上单调递减的是 A. 3()f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x =4. 已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若()-⊥a b b ，则实数m = A. 1-B. 1C. 2D. 2-5. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石6. 已知3log 4a =，πlog 3b =，5c =，则a ，b ，c 的大小关系是A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<7. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差8. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为 A. 81B. 71C. 61D.519. 在等差数列{}n a 中，设,,,k l p r *∈N ，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 关于曲线:C 224x xy y ++=．给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线C 上任意一点到原点的距离都不大于22； ③ 曲线C 上任意一点到原点的距离都不小于2． 其中，正确结论的个数是 A.0B. 1C. 2D. 3主（正）视图 左（侧）视图俯视图第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11. 在62()x x-的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 12. 已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 ．13. 已知数列{}*()n a n n +∈N 为等比数列，11a =，22a =，则3a =________.14. 已知平面,,αβγ．给出下列三个论断：①αβ⊥；②αγ⊥；③β∥γ．以其中 的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____． 15. 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=， 2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______．16. 已知向量1e u r ，2e u u r是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+u u u r u r u u r时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题：① 线段AB 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++； ② 向量OA u u u r 平行于向量OB u u u r的充要条件是1221x y x y =；③ 向量OA u u u r 垂直于向量OB u u u r的充要条件是12120x x y y +=.其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. （本小题13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （Ⅰ）若2π0<<α，且53sin =α，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 的单调递减区间.18.（本小题13分）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)． （Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X ，求X 的分布列； （Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．19.（本小题14分）已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，O G F E 、、、分别是AD BC PD PC 、、、 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．20.（本小题14分）已知函数()e x f x ax =-.（a ∈R ） （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若3a =，()f x 的图象与y 轴交于点A ，求()y f x =在点A 处的切线方程；OEF G PC D BA（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当0x >时，2()31f x x x >-+恒成立．21. （本小题13分）已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），直线PA关于l 的对称直线PB 与椭圆交于另一点B ．设O 为坐标原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．22.（本小题13分）已知由*()n n ∈N 个正整数构成的集合1212{,,,}(,3)n n A a a a a a a n =<<<L L ≥，记12A n S a a a =+++L ，对于任意不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m . （Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）求证：“n a a a ,,,21Λ成等差数列”的充要条件是“2)1(+=n n S A ”； （Ⅲ）若2020=A S ，求n 的最小值，并指出n 取最小值时n a 的最大值.石景山区2020届第一学期高三期末数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BACBBDACDC二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 11．160-； 12．1； 13． 5；14．①③⇒② 或②③⇒①； 15. 14-； 16. ①② ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题13分） 解：（Ⅰ）因为 20πα<<，且53sin =α， 所以 24cos 1sin 5αα=-=. ……………2分 所以 ()434128131=555225250f α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭. ……………5分 （Ⅱ）()()21cos sin cos 21cos sin cos 2-+⋅=-+=x x x x x x x f ……………8分 所以函数()x f 的最小正周期2ππ2T ==. ……………9分 由ππ3π2π22π+242k x k ,k +≤+≤∈Z ， 解得π5πππ+88k x k ,k +≤≤∈Z . ……………11分 所以函数()x f 的单调递减区间π5πππ+88k ,k ,k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z . ……………13分 18. （本小题13分）解：（Ⅰ）X 可能的取值为0，1，2，3. ……………1分每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为16p =. 0331125(0)(1)6216P X C ==-=， 1231175(1)(1)66216P X C ==⋅-=， 2231115(2)()(1)66216P X C ==⋅-=，33311(3)()6216P X C ===，……………5分所以X 的分布列为：……………6分（Ⅱ）设“第i 盘游戏获得15分”为事件A i (i ＝1，2)，则12905()()(1)(2)21612P A P A P X P X ===+===. ……………8分 X0 1 2 3 P125216 2572 572 1216)42sin(22)2cos 2(sin 212122cos 12sin 21π+=+=-++=x x x x x )42sin(22)2cos 2(sin 212122cos 12sin 21π+=+=-++=x x x x x所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为12951()()144P A P A -= 因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为95144. ……………10分 （Ⅲ）设每盘游戏得分为Y .由（Ⅰ）知，Y 的分布列为：Y 12-15 120P125216 512 1216 Y 的数学期望为12551512151202161221636EY =-⨯+⨯+⨯=-. ……12分 这表明，获得分数Y 的期望为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． ……………13分19.（本小题14分）（Ⅰ）证明:因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 ⊥PO AD . 又因为⊥CD 平面PAD ，⊂PO 平面PAD ，所以⊥PO CD . D CD AD =⋂，⊂CD AD ，平面ABCD ，所以⊥PO 面ABCD . ……………4分（Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则)32,0,0(),0,4,0(),0,0,2(),0,4,2(),0,4,2(),0,0,2(),0,0,0(P G D C B A O --，)3,0,1(),3,2,1(--F E ，)3,2,1(),0,2,0(-=-=EG EF ，设平面EFG 的法向量为),,,(z y x m =⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-,032,02z y x y令1=z ，则 )10,3(，=m ， ……………6分 又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=n ，……………7分 设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ， 所以21||||||cos =⋅=n m n m θ. 所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为3π. ……………9分（Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6， 设]1,0[,∈=λλPA PM ，PA GP PM GP GM λ+=+=，所以))1(32,4,2(λλ--=GM . ……………11分所以76423,cos |6πsin2+->=<=λλm GM ， …………13分整理得02322=+-λλ，无解，所以，不存在这样的点M . ………14分20.（本小题14分）解：（Ⅰ）()xf x e a '=-， ……………1分当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增， ……………3分OzyxEFG PC DBA当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =. 当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x(,ln )a -∞ ln a(ln ,)a +∞()f x '– 0 + ()f x减极小值增所以0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. …5分 （Ⅱ）令0x =，得1y =，则()0,1A ， …………6分因为()e 3x f x '=-，所以()0132f '=-=-， …………7分 所以在A 点处的切线方程为12(0)y x -=--，即21y x =-+. ………9分 （Ⅲ）证明：令()22()(3+1)=e 1x g x f x x x x =----，则()e 2x g x x '=-.令()e 2x h x x =-，则()e 2x h x '=-， 当0ln2x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，当ln2x >时，()0h x '>，()h x 单调递增； …………11分 所以()()ln2ln2e 2ln222ln20h x h ≥=-=->，即()0g x '>恒成立.所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增，所以()()01010g x g >=--=，………13分所以2e 10x x -->，即当0x >时，()231f x x x >-+恒成立． …………14分21.（本小题13分）解：（Ⅰ）由椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ，可得24112a +=，解得28a =． …………2分 所以222826c ab =-=-=， …………3分所以椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率63222e ==． …………5分（Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行． …………6分证明如下：由题意，设直线:1(2)PA y k x -=-，:1(2)PB y k x -=--，设点A11,)x y （，B 22,)x y （， 由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得 22241)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=（， …………8分所以128(21)2+41k k x k -=+，所以21288241k k x k --=+，同理2228+8241k k x k -=+， 所以1221641kx x k -=-+， …………10分 由1121y kx k =-+，2221y kx k =-++， 有121228()441ky y k x x k k -=+-=-+，因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上，所以121212AB y y k x x -==-，又12OP k =，故AB OP k k =，所以直线AB 与直线OP 平行． …………13分22. （本题13分）解:（Ⅰ）由条件知A S ≤1，必有A ∈1，又n a a a <<<Λ21均为整数，11=a . ……2分A S ≤2，由A S 的定义及n a a a <<<Λ21均为整数，必有A ∈2，22=a .……………4分（Ⅱ）必要性：由“n a a a ,,,21Λ成等差数列”及11=a ,22=a得),,2,1(n i i a i Λ==此时},,3,2,1{n A Λ=满足题目要求从而)1(21321+=++++=n n n S A Λ. ……………6分 充分性：由条件知,21n a a a <<<Λ且均为正整数，可得),,,3,2,1(n i i a i Λ=≥故)1(21321+=++++≥n n n S A Λ，当且仅当),,3,2,1(n i i a i Λ==时，上式等号成立.于是当)1(21+=n n S A 时，),,3,2,1(n i i a i Λ==，从而n a a a ,,,21Λ成等差数列.所以“n a a a ,,,21Λ成等差数列”的充要条件是“)1(21+=n n S A ”. ……8分（Ⅲ）由于含有n 个元素的非空子集个数有12-n ，故当10=n 时，10231210=-，此时A 的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m ，不符合要求.而用11个元素的集合}1024,512,256,128,64,32,16,8,4,2,1{=A 的非空子集的元素之和可以表示2047,2046,,3,2,1Λ共2047个正整数.因此当2020=A S 时，n 的最小值为11. ……………10分 当2020=A S 时，n 的最小值为11.记102110a a a S +++=Λ则20201110=+a S 并且11101a S ≥+.事实上若11101a S <+，11111022020a a S <+=，则101011>a ，10101110<<a S ， 所以1010=m 时无法用集合A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符.于是122020111110-≥+=a a S ，得2202111≤a ，*11N a ∈，所以101011≤a . 当101011=a 时}1010,499,256,128,64,32,16,8,4,2,1{=A 满足题意所以当2020=A S 时，n 的最小值为11，此时n a 的最大值1010. ……13分【若有不同解法，请酌情给分】。
2020北京石景山高三(上)期末数学答案
2020北京石景山高三（上）期末数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2} B．{0，2} C．{﹣1，3} D．{﹣1，0，1，2，3}2．（4分）复数z＝的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（4分）下列函数中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递减的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝lg|x| C．f（x）＝﹣x D．f（x）＝cos x4．（4分）已知向量＝（5，m），＝（2，﹣2），若（﹣）⊥，则实数m＝（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣25．（4分）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134 石B．169 石C．338 石D．1 365 石6．（4分）已知a＝log34，b＝logπ3，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c7．（4分）艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数B．平均数C．方差D．极差8．（4分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（）A．B．C．D．9．（4分）在等差数列{a n}中，设k，l，p，r∈N*，则k+l＞p+r是a k+a l＞a p+a r的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要必要条件D．既不充分也不必要条件10．（4分）关于曲线C：x2+xy+y2＝4．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不大于；③曲线C上任意一点到原点的距离都不小于2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）在（x﹣）6的二项展开式中，常数项等于．（用数字作答）12．（5分）已知双曲线标准方程为﹣y2＝1，则其焦点到渐近线的距离为．13．（5分）已知数列为等比数列，a1＝1，a2＝2，则a3＝．14．（5分）已知平面α，β，γ．给出下列三个论断：①α⊥β；②α⊥γ；③β∥γ．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为．16．（5分）已知向量，是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝x+y 时，则称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），对于下列命题：①线段AB的中点的广义坐标为（，）；②向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1；③向量垂直于向量的充要条件是x1x2+y1y2＝0．其中，真命题是．（请写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（13分）已知函数．（Ⅰ）若，且，求f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期，及函数f（x）的单调递减区间．18．（13分）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分（即获得﹣12分）．（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．19．（14分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△P AD是正三角形，CD⊥平面P AD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段P A上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．20．（14分）已知函数f（x）＝e x﹣ax．（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝3，f（x）的图象与y轴交于点A，求y＝f（x）在点A处的切线方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当x＞0时，f（x）＞x2﹣3x+1恒成立．21．（13分）已知椭圆过点P（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．22．（13分）已知由n（n∈N*）个正整数构成的集合A＝{a1，a2，…，a n}（a1＜a2＜…＜a n，n≥3），记S A＝a1+a2+…+a n，对于任意不大于S A的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）求证：“a1，a2，…，a n成等差数列”的充要条件是“”；（Ⅲ）若S A＝2020，求n的最小值，并指出n取最小值时a n的最大值．2020北京石景山高三（上）期末数学参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，0，2，3}，∴A∩B＝{0，2}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴，则复数z＝的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（1，1），所在象限为第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：y＝x3在（0，1）上单调递增，不满足条件，y＝lg|x||是偶函数，在（0，1）上单调递增，不满足条件．y＝﹣x为奇函数，在（0，1）上单调递减，满足条件．y＝cos x是偶函数又在区间（0，+∞）上不单调，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．4．【分析】结合向量数量积的性质的坐标表示即可求解．【解答】解：∵＝（5，m），＝（2，﹣2），∴＝（3，m+2），∵（﹣）⊥，则3×2﹣2（m+2）＝0，∴m＝1．故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于基础试题．5．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×＝169石，故选：B．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．6．【分析】利用对数函数的性质求解．【解答】解：∵1＝log33＜log34＜log39＝2，∴1＜a＜2，∵0＜logπ3＜logππ＝1，∴0＜logπ3＜1，∴0＜b＜1，又∵＞2，∴c＞2∴c＞a＞b，故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．7．【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、极差的定义，分析可得答案．【解答】解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故选：A．【点评】本题考查数据的中位数、平均数、方差、极差的定义，属于基础题．8．【分析】利用三视图，判断几何体是在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，截去四面体A﹣A1B1D1，利用体积公式求值．【解答】解：由三视图得，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，截去四面体A﹣A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为a，则V三棱锥＝×a3＝a3，故正方体的体积为：a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为：．故选：C．【点评】本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公式解答．9．【分析】先化简命题，再讨论充要性．【解答】解：在等差数列{a n}中，a k+a l＞a p+a r，则a1+（k﹣1）d+a1＞a1+（p﹣1）d+a1+（r﹣1）d，（k+1）d＞（p+r）d，若d＜0，则k+l＜p+r，则k+l＞p+r是k+l＜p+r的既不充分也不必要条件，即k+l＞p+r是a k+a l＞a p+a r的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查充要性，以及解不等式，属于基础题．10．【分析】在①中，x＝0时，y＝±2；y＝0时，x＝±2，x＝2时，y＝﹣2，y＝2时，x＝﹣2，从而曲线C恰好经过6个整点；在②中，曲线C上任意一点到原点的距离d＝＝≤；③曲线C上任意一点到原点的距离d＝＝不一定小于2．【解答】解：关于曲线C：x2+xy+y2＝4，在①中，x＝0时，y＝±2；y＝0时，x＝±2；x＝2，y＝﹣2；y＝2，x＝2．∴曲线C恰好经过6个整点（0，2），（0，﹣2），（2，0），（﹣2，0），（2，﹣2），（﹣2，2），故①正确；在②中，曲线C上任意一点到原点的距离：d＝＝≤，故②正确；③曲线C上任意一点到原点的距离：当yx＜0时，d＝＝＞2，故③错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查函数的性质、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：（x﹣）6的二项式展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得常数项为•（﹣2）3＝﹣160，故答案为：﹣160．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）．渐近线方程为y＝±x，即y﹣x＝0，所以焦点到其渐近线的距离d＝＝1．故答案为：1．【点评】本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．13．【分析】根据题意，设b n＝a n+n，求出b1、b2的值，计算可得数列的公比，进而可得b3的值，变形可得答案．【解答】解：根据题意，数列为等比数列，设b n＝a n+n，其首项b1＝a1+1＝2，b2＝a2+2＝4，则其公比q＝＝＝2，则有b3＝a3+3＝8，解可得a3＝5，故答案为：5．【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属于基础题．14．【分析】由α⊥β，β∥γ．利用面面垂直的判定定理得α⊥γ．【解答】解：平面α，β，γ．给出下列三个论断：①α⊥β；②α⊥γ；③β∥γ．∵α⊥β，β∥γ．∴由面面垂直的判定定理得α⊥γ，∴以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题为：①③⇒②．故答案为：①③⇒②．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．【分析】由条件利用正弦定理求得a＝2c，b＝，再由余弦定理求得cos A＝的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c＝a①，2sin B＝3sin C，∴2b＝3c②，∴由①②可得a＝2c，b＝．再由余弦定理可得cos A＝＝＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．16．【分析】运用向量的中点坐标公式、共线向量、向量垂直的充要条件直接求解．【解答】解：在①中，∵点A、B的广义坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），∴由中点坐标公式得线段AB的中点的广义坐标为（，），故①正确；在②中，∵点A、B的广义坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），∴向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1，故②正确；在③中，∵点A、B的广义坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），基底不一定垂直，也不一定为单位向量，∴向量垂直于向量的充要条件不是x1x2+y1y2＝0，故③错误．故答案为：①②．【点评】本题考查命题真假的判断，考查向量的坐标运算，共线向量的知识，向量垂直和平行的充要条件等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．【分析】（I）由已知结合同角平方关系可求cosα，然后直接代入即可求解，（II）先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为，且，所以cosα＝，所以，（Ⅱ），＝，＝，＝，所以函数f（x）的最小正周期，由，解得，k∈Z，所以函数f（x）的单调递减区间．【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角函数化简中的应用及正弦函数性质的简单应用．18．【分析】（I）X的可能取值为0，1，2，3．每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为P＝．利用二项分布列的计算公式即可得出．（Ⅱ）设“第i盘游戏获得分15分”为事件A i（i＝1，2），利用互斥事件与对立事件的概率计算公式即可得出．（Ⅲ）设每盘游戏得分为Y．由（Ⅰ）知Y的分布列，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）X可能的取值为0，1，2，3．每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为P＝．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝××＝，P（X＝2）＝••＝，P（X＝3）＝＝，所以X的分布列为：X0 1 2 3P（Ⅱ）设“第i盘游戏获得”为事件A i（i＝1，2），则．所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为．因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为．（Ⅲ）设每盘游戏得分为Y．由（Ⅰ）知，Y的分布列为：Y﹣12 15 120PY的数学期望为．这表明，获得分数Y的期望为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．【点评】本题考查了二项分布列、互斥事件与对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．【分析】（I）因为PO⊥AD，又CD⊥平面P AD，得到PO⊥CD，进而证明结论；（II）以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，平面EFG的法向量，又平面ABCD的法向量，利用夹角公式求出即可；（III）假设线段P A上存在点M，设，由直线GM与平面EFG所成角为，得到关于λ的方程，解方程判断即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为△P AD是正三角形，O是AD的中点，所以PO⊥AD．又因为CD⊥平面P AD，PO⊂平面P AD，所以PO⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ABCD，所以PO⊥面ABCD；（Ⅱ）如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则，，，设平面EFG的法向量为，由，得令z＝1，则，又平面ABCD的法向量，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ，所以．所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为；（Ⅲ）假设线段P A上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，设，由，所以．所以＝，整理得2λ2﹣3λ+2＝0，无解，所以，不存在这样的点M．【点评】考查线面垂直的判定，向量法求二面角和线面所成的角的余弦值，考查运算能力，中档题．20．【分析】（Ⅰ）求出导函数f'（x）＝e x﹣a，通过当a≤0时，当a＞0时．判断导函数的符号，得到函数的单调区间．（Ⅱ）求出求出切线的向量，切点坐标，然后求解在A点处的切线方程．（Ⅲ）令g（x）＝f（x）﹣（x2﹣3x+1）＝e x﹣x2﹣1，则g'（x）＝e x﹣2x．令h（x）＝e x﹣2x，则h'（x）＝e x ﹣2，判断函数的单调性，求解函数的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f'（x）≥0恒成立，所以f（x）在R上单调递增，当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝lna．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：x（﹣∞，lna）lna（lna，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）减极小值增所以a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（Ⅱ）令x＝0，得y＝1，则A（0，1），因为f'（x）＝e x﹣3，所以f'（0）＝1﹣3＝﹣2，所以在A点处的切线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣0），即y＝﹣2x+1．（Ⅲ）证明：令g（x）＝f（x）﹣（x2﹣3x+1）＝e x﹣x2﹣1，则g'（x）＝e x﹣2x．令h（x）＝e x﹣2x，则h'（x）＝e x﹣2，当0＜x＜ln2时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞ln2时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；所以h（x）≥h（ln2）＝e ln2﹣2ln2＝2﹣2ln2＞0，即g'（x）＞0恒成立．所以g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（0）＝1﹣0﹣1＝0，所以e x﹣x2﹣1＞0，即当x＞0时，f（x）＞x2﹣3x+1恒成立．【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，函数的最值的求法，构造法的应用；基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．是难题．21．【分析】（Ⅰ）将点P代入椭圆方程，求出a，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线P A：y﹣1＝k（x﹣2），PB：y﹣1＝﹣k（x﹣2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），分别求出x1﹣x2，y1﹣y2，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系【解答】解：（Ⅰ）由椭圆方程椭圆过点P（2，1），可得a2＝8．所以c2＝a2﹣2＝8﹣2＝6，所以椭圆C的方程为+＝1，离心率e＝＝，（Ⅱ）直线AB与直线OP平行．证明如下：设直线P A：y﹣1＝k（x﹣2），PB：y﹣1＝﹣k（x﹣2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由得（4k2+1）x2+8k（1﹣2k）x+16k2﹣16k﹣4＝0，∴2x1＝，∴x1＝同理x2＝，所以x1﹣x2＝﹣，由y1＝kx1﹣2k+1，y2＝﹣kx2+2k+1有y1﹣y2＝k（x1+x2）﹣4k＝﹣，因为A在第四象限，所以k≠0，且A不在直线OP上．∴k AB＝＝，又k OP＝，故k AB＝k OP，所以直线AB与直线OP平行．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．22．【分析】（Ⅰ）考虑元素1，2，结合新定义S A，可得所求值；（Ⅱ）从两个方面证明，结合等差数列的性质和求和公式，即可得证；（Ⅲ）由于含有n个元素的非空子集个数有2n﹣1，讨论当n＝10时，n＝11时，结合条件和新定义，推理可得所求．【解答】解：（Ⅰ）由条件知1≤S A，必有1∈A，又a1＜a2＜…＜a n均为整数，a1＝1，2≤S A，由S A的定义及a1＜a2＜…＜a n均为整数，必有2∈A，a2＝2；（Ⅱ）证明：必要性：由“a1，a2，…，a n成等差数列”及a1＝1，a2＝2，得a i＝i（i＝1，2，…，n）此时A＝{1，2，3，…，n}满足题目要求，从而；充分性：由条件知a1＜a2＜…＜a n，且均为正整数，可得a i≥i（i＝1，2，3，…，n），故，当且仅当a i＝i（i＝1，2，3，…，n）时，上式等号成立．于是当时，a i＝i（i＝1，2，3，…，n），从而a1，a2，…，a n成等差数列．所以“a1，a2，…，a n成等差数列”的充要条件是“”；（Ⅲ）由于含有n个元素的非空子集个数有2n﹣1，故当n＝10时，210﹣1＝1023，此时A的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m，不符合要求．而用11个元素的集合A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024}的非空子集的元素之和可以表示1，2，3，…，2046，2047共2047个正整数．因此当S A＝2020时，n的最小值为11．记S10＝a1+a2+…+a10，则S10+a11＝2020并且S10+1≥a11．事实上若S10+1＜a11，2020＝S10+a11＜2a11，则a11＞1010，S10＜a11＜1010，所以m＝1010时无法用集合A的非空子集的元素之和表示，与题意不符．于是2020＝S10+a11≥2a11﹣1，得，，所以a11≤1010．当a11＝1010时，A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，499，1010}满足题意，所以当S A＝2020时，n的最小值为11，此时a n的最大值1010．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的性质和求和公式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．。
2020届北京市石景山区高三上学期期末考试数学试题
2020届北京市房山区高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2,3B =，则A B =I （ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-【答案】C【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】∵集合{}12A x x =-≤≤，B ＝{0，1，2，3}， ∴A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：C ． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．已知复数=z z 的虚部为（ ）A ．13B ．3C ．13-D ．3-【答案】B【解析】利用复数的代数形式的运算法则，先求出z ，由此利用复数的定义能求出z 的虚部． 【详解】i i133z ===+,故z 的虚部为3 故选：B 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的合理运用． 3．等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，n S 为{}n a 的前n 项和，则7S =（ ） A ．28 B ．21C ．14D ．7【答案】C【解析】利用等差数列下角标性质求得4a ，再利用求和公式求解 【详解】等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，则4436,2a a =∴=则74714S a == 故选：C 【点睛】本题考查等数列的前n 项公式，考查化简、计算能力，熟练运用等差数列下角标性质是关键，属于基础题． 4．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55 B ．80C ．90D ．110【答案】D【解析】利用抽样比求解 【详解】设该样本中获得A 或B 等级的学生人数为x ，则1540110200100x x +=∴= 故选：D 【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】A【解析】将三视图还原，利用三棱锥体积公式求解【详解】三视图还原为如图所示的三棱锥：侧面SBC⊥底面ABC，且SBC∆为等腰三角形，ABC∆为直角三角形，故体积112221323V=⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查三视图及锥体体积，考查空间想象能力，是基础题6．若点5π5π(cos,sin)66M在角α的终边上，则tan2α=（）A3B．3C3D．3【答案】D【解析】先求出点M的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求出tanα的值,再利用二倍角公式求解【详解】5π5π(cos,sin)66M即为31,22M⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，则2333tan tan23113αα-=∴==-故选：D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，以及二倍角公式，属于容易题．7．已知双曲线C的方程为2214yx-=，点P，Q分别在双曲线的左支和右支上，则直线PQ的斜率的取值范围是（）A ．(2,2)-B ．11(,)22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．11(,)(,)22-∞-+∞U【答案】A【解析】利用直线PQ 的斜率与渐近线比较求解 【详解】由题双曲线的渐近线斜率为2±，当直线PQ 的斜率为(2,2)-时，满足题意，当直线PQ 的斜率(,2)(2,)-∞-+∞U 为时，交双曲线为同一支，故选：A 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查渐近线斜率，是基础题8．设a r ，b r 均为单位向量，则“a r 与b r 夹角为π3”是“||a b +=r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积的应用，利用平方法求出向量夹角，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由“|a b +rr|=|a r|2+|b r|2+2a r •b =r3，即1+1+2a r •b =r 3，得2a r •b =r 1，a r •12b =r ，则cosθ112112a b a b ⋅===⨯rr r r， 则a r与b r夹角θ3π=，即“a r 与b r 夹角为3π”是“|a b +r r|=的充分必要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义结合向量数量积的应用进行化简是解决本题的关键．9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在平面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹为（ ）A．两个点B．线段C．圆的一部分D．抛物线的一部分【答案】BD M垂直，取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，在正方体【解析】先找到一个平面总是保持与1ABCD﹣A1B1C1D1中，可得AF⊥面DMD1，MD1⊥平面AEF即可得出．【详解】D M垂直，如图，先找到一个平面总是保持与1取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，AF,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D D⊥AF，则有AF⊥面DMD1，同理MD1⊥AE，则MD1⊥平面AEF易证DM⊥AF，1又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面AEF与面BCC1B1的交线段EF．故选：B【点睛】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1 田径综合赛项目及积分规则表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可【详解】由题，甲各项得分为：100米跑60-15=45分；跳高60+4=64；掷实心球60+15=75；则总分为45+64+75=184 乙各项得分为：100米跑60+20=80分；跳高60+10=70；掷实心球60-5=55，则总分为80+70+55=205丙各项得分为：100米跑60+5=65分；跳高60+6=66；掷实心球60+10=70，则总分为65+66+70=201丁各项得分为：100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；掷实心球60+5=65，则总分为55+62+65=182,综上，乙得分最多故选：B【点睛】本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题二、填空题11．已知两点()2,0A ，()0,2B ，则以线段AB 为直径的圆的方程为_____________． 【答案】()()22112x y -+-=【解析】根据中点坐标公式求圆心为（1，1），求两点间距离公式求AB ，写出圆的标准方程即可。
2020-2021学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷(有答案)
2020-2021学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={1,2，3}，B ={−1,0，2，3}，则A ∩B =( )A. {0,1，2}B. {0,2}C. {2,3}D. {−1,0，1，2，3}2. 复数(1−i)2=( )A. 0B. 1C. 2iD. −2i3. (x +1)5的展开式中x 的系数为( )A. 1B. 5C. 10D. 154. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A. 23B. 2C. √3D. √335. 若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是( )A. 6B. 7C. 8D. 96. “φ=π”是“函数y =sin(2x +φ)为奇函数的”( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 直线l ：y =kx +1与圆C ：x 2+(y −1)2=4的位置关系是( )A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定8. 等差数列{a n }的首项为1，公差不为0，若a 1，a 2，a 4成等比数列，则{a n }前5项的和为( )A. 10B. 15C. 21D. 289. 已知函数f(x)={2x,x ≥0,−x,x <0,则函数y =f(x)−2|x|的零点个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 310.斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD(ABBC =√5−12)中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长为半径作圆弧BE⏜；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作圆弧EG⏜；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线．记圆弧BE⏜，EG⏜，GI⏜的长度分别为l，m，n，对于以下四个命题：①l=m+n；②m2=l⋅n；③2m=l+n；④2m =1l+1n．其中正确的是()A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.函数f(x)=√x+1+lnx的定义域为______ ．12.已知平面向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(4,y)，且a⃗//b⃗ ，则实数y=______ ．13.已知双曲线的两个焦点为(−3,0)，(3,0)，一个顶点是(√6,0)，则C的标准方程为______ ；C的焦点到其渐近线的距离是______ ．14.若函数f(x)=sin(ωx)+cos(ωx+π3)的一个周期是π，则常数ω的一个取值可以为______ ．15.从4G到5G通信，网络速度提升了40倍.其中，香农公式C=Wlog2(1+SN)是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．根据香农公式，以下说法正确的是______ .(参考数据：lg5≈0.6990)①若不改变信噪比SN，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍；②若不改变信道带宽W和信道内信号的平均功率S，而将高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍；③若不改变带宽W，而将信噪比S从255提升至1023，C增加了25%；N④若不改变带宽W，而将信噪比S从999提升至4999，C大约增加了23.3%．N三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，M，N分别为棱PD，BC的中点，PA=AB=2．(Ⅰ)求证：MN//平面PAB；(Ⅱ)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．17.在△ABC中，c=2，C=30°.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：(Ⅰ)a的值；(Ⅱ)△ABC的面积．条件①：2b=√3a；条件②：A=45°；条件③：b=2√3．18.在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查.被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分.调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分.随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：男生评分结果的频数分布表为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)为进一步改善食堂状况，从评分在[50,70)的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”的人数为X，求X的分布列；(Ⅲ)以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32，且经过点D(0,1)．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知点A(−1,0)和点B(−4,0)，过点B的动直线l交椭圆C于M，N两点(M在N 左侧)，试讨论∠BAM与∠OAN的大小关系，并说明理由．20.设函数f(x)=alnx+1x，a∈R．(Ⅰ)设l是y=f(x)图象的一条切线，求证：当a=0时，l与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)−x在定义域上单调递减，求a的取值范围．21.对于数列{a n}，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{a n}为P数列．(Ⅰ)数列{a n}为−1，1，3，5，7，数列{b n}为−1,12,−14,18.判断数列{a n}，{b n}是否为P数列，并说明理由；(Ⅱ)设数列{a n}是首项为2的P数列，其前n项和为S n(n∈N∗).求证：当n≥2时，S n>2n；(Ⅲ)设无穷数列{a n}是首项为a(a>0)，公比为q的等比数列，有穷数列{b n}，{c n}是从{a n}中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T1，T2.若T1=T2.判断{a n}是否为P数列，并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={1,2，3}，B={−1,0，2，3}，∴A∩B={2,3}．故选：C．进行交集的运算即可．本题考查了列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：(1−i)2=1−2i+i2=−2i．故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题3.【答案】B【解析】解：(x+1)5的展开式中x的系数为C54=5．故选：B．由二项展开式的通项即可求解．本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥的底面为俯视图三角形，面积为S=12×2×2=2，棱锥的高ℎ=1，∴棱锥的体积V=13Sℎ=13×2×1=23．故选：A．棱锥的底面积为俯视图三角形的面积，棱锥的高为1，代入体积公式计算即可．本题考查了棱锥的三视图和体积计算，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=−1，抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，可得x M=9，则M到y轴的距离是：9．故选：D．求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．6.【答案】A【解析】解：若函数y=sin(2x+ϕ)为奇函数，则ϕ=kπ，k∈Z，∴“ϕ=π”是“函数y=sin(2x+ϕ)为奇函数的”充分不必要条件．故选：A．函数奇偶性的性质，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的性质是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：直线l：y=kx+1过点P(0,1)，而P(0,1)是圆C：x2+(y−1)2=4的圆心，∴直线l：y=kx+1与圆C：x2+(y−1)2=4的位置关系是相交．故选：B．由直线l过定点圆C的圆心，可知直线与圆相交．本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．8.【答案】B【解析】解：等差数列{a n}的首项为1，公差不为0，若a1，a2，a4成等比数列，则a22=a1a4，即(1+d)2=1×(1+3d)，解得d=1，∴S5=5×1+5×4=15，2故选：B．根据a1，a2，a4成等比数列，求出公差d，然后求出{a n}前5项的和．本题考查了等比数列的性质和等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：函数y=f(x)−2|x|的零点个数即y=f(x)与y=2|x|的图象交点的个数，分别作出函数y=f(x)与y=2|x|的图象，结合图象可知两交点为(1,2)，(2,4)，所以函数y=f(x)−2|x|的零点个数是2．故选：C．根据函数y=f(x)−2|x|的零点个数即y=f(x)与y=2|x|的图象交点的个数，只需作出两函数图象即可．本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，解题的关键是转化成两图象的交点个数．10.【答案】A【解析】解：不妨设AB=√5−1，则BC=2，所以l=14×2π×(√5−1)=(√5−1)π2，因为ED=3−√5，所以m=14×2π×(3−√5)=(3−√5)π2，同理可得n=14×2π×(2√5−4)=(2√5−4)π2，所以l=m+n，m2=l⋅n，2m≠l+n，2m ≠1l+1n，故正确的是①②．故选：A．不妨取AB=√5−1，得到BC=2，利用题中给出的信息，分别求出l，m，n，然后分别验证选项是否成立即可．本题考查了新定义问题，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．11.【答案】(0,+∞)【解析】解：由题意得：{x +1≥0x >0，解得：x >0，故函数f(x)的定义域是(0,+∞)， 故答案为：(0,+∞)．根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．12.【答案】2【解析】解：∵a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(4,y)，且a ⃗ //b ⃗ ， ∴2y −4=0， 解得：y =2． 故答案为：2．根据平面向量的共线定理列方程求出y 的值．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．13.【答案】x 26−y 23=1 √3【解析】解：∵双曲线C 的两个焦点为(−3,0)，(3,0)，一个顶点是(√6,0)， ∴设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，且a =√6，c =3，∴b 2=9−6=3， ∴C 的方程为：x 26−y 23=1．故其渐近线为y =±√22x ，即x ±√2y =0，∴C 的焦点到其渐近线的距离为：d =√12+(√2)2=√3，故答案为：x 26−y 23=1，√3．设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，则a =2，c =3，由此能求出C 的方程，再求焦点到其渐近线的距离即可．本题考查双曲线的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．14.【答案】2(答案不唯一)【解析】解：因为f(x)=sinωx+12cosωx−√32sinωx=(1−√32)sinωx+12cosωx=√(1−√32)2+(12)2sin(ωx+θ)=√2−√3sin(ωx+θ)，(tanθ=2+√3)，所以周期T=2πω=π，解得ω=2，故答案为：2，．利用辅助角公式化简函数的解析式，根据周期的公式即可求解．本题考查了三角函数的周期，涉及到辅助角公式的应用，属于基础题．15.【答案】①③④【解析】解：对于①，若不改变信噪比SN ，而将信道带宽W增加一倍，即2Wlog2(1+SN)=2C，则C增加一倍，所以①正确，对于②，若不改变信道带宽W和信道内信号的平均功率S，而将高斯噪声功率N降低为原来的一半，即Wlog2(1+SN2)=Wlog2(1+2SN)≠Wlog2[1+2SN+(SN)2]=2Wlog2(1+SN)，所以②错误，对于③，若不改变带宽W，而将信噪比SN从255提升至1023，则Wlog2(1+1023) Wlog2(1+255)−1=log2210log228−1=108−1=14，所以C增加了25%，所以③正确，对于④，若不改变带宽W，而将信噪比SN从999提升至4999，则Wlog2(1+4999) Wlog2(1+999)−1=log25000log21000−1=lg5000lg1000−1=lg5+lg10003−1=lg53≈0.233，所以④正确．故答案为：①③④．计算2Wlog2(1+SN )=2C可判断①的正误，计算Wlog2(1+S N2)=Wlog2(1+2SN)≠2Wlog2(1+SN )判断②的正误，计算Wlog2(1+1023)Wlog2(1+255)−1可判断③的正误，计算Wlog2(1+4999)Wlog2(1+999)−1判断④的正误．本题主要考查了对数的实际应用，解决本题的关键在于理解“香农公式”，将问题转化为对数的运算，同时要注意换底公式的应用，是中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)证明：在四棱锥P −ABCD 中，取PA 的中点E ，连接EB 、EM ， 因为 M 是PD 的中点， 所以 EM//AD ，且EM =12AD ．又因为 底面ABCD 是正方形，N 是BC 的中点， 所以 BN//AD ，且BN =12AD ．所以 EM−//BN ．所以 四边形MNBE 是平行四边形． 所以 MN//EB ．由于 EB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， 所以 MN//平面PAB ．( II)因为 底面ABCD 是正方形，所以 AB ⊥AD ． 又因为 PA ⊥平面ABCD ．所以以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴，如图建立空间直角坐标系．A(0,0，0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0，2)，M(0,1，1)，N(2,1，0)．PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，−2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)， 设平面PCD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)． 有：{m ⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +y −z =0,x =0,令y =1，则z =1， 所以m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)．MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−1)． 设直线MN 与平面PCD 所成角为θ．有：sinθ=|cos〈MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ 〉|=|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ ||MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√5×√2=√1010． 所以 直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为√1010．【解析】(Ⅰ)取PA 的中点E ，连接EB 、EM ，证明四边形MNBE 是平行四边形．然后证明MN//平面PAB ．(II)如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD 的法向量，求出MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−1).利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题．17.【答案】解：选择条件①：2b =√3a ．(Ⅰ)在△ABC中，因为2b=√3a，所以b=√32a．因为c=2，C=30°．根据余弦定理：cosC=a2+b2−c22ab ，得cos30°=a2+(√32a)2−42a⋅√32a=√32，整理，得a2=16，由于a>0，所以a=4．(Ⅱ)由(I)可知，b=√32a=2√3．因为a=4，c=2，所以a2=b2+c2．所以A=90°．因此，△ABC是直角三角形．所以S=12bc=12×2√3×2=2√3．选择条件②：A=45°．解：(Ⅰ)在△ABC中，因为A=45°，C=30°，c=2．根据正弦定理：asinA =csinC，所以a=csinAsinC =2sin45°sin30∘=2×√2212=2√2．(Ⅱ)在△ABC中，因为sinB=sin(A+C)．所以sinB=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=√6+√24．所以S=12acsinB=12×2√2×2×√6+√24=√3+1．选择条件③：不给分【解析】选择条件①：2b=√3a．(Ⅰ)在△ABC中，c=2，C=30°.利用余弦定理：cosC=a2+b2−c22ab，即可得出a．(Ⅱ)由(I)可知，b=√32a=2√3.利用勾股定理的逆定理可得：A=90°.即可得出面积．选择条件②：A=45°．(Ⅰ)在△ABC 中，A =45°，C =30°，c =2.利用正弦定理可得a ．(Ⅱ)在△ABC 中，根据sinB =sin(A +C).利用和差公式可得sinB =sin(30°+45°)，可得S =12acsinB ．本题考查了解三角形、正弦定理余弦定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)因为(0.005+a +0.020+0.040+0.020)×10=1，所以 a =0.015．(Ⅱ)依题意，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3． P(X =0)=C 30⋅C 33C 63=120， P(X =1)=C 31⋅C 32C 63=920，P(X =2)=C 32⋅C 31C 63=920， P(X =3)=C 33⋅C 30C 63=120．所以随机变量X 的分布列为：(Ⅲ)设事件A =“随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”． 因为样本人数200人，其中男生共有80人， 所以样本中女生共有120人． 由频率分布直方图可知，女生对食堂“比较满意”的人数共有：120×0.020×10=24人． 由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人，24+16200=15．所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为P(A)=15．【解析】(Ⅰ)利用频率分布直方图列方程，能求出a ．(Ⅱ)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列．(Ⅲ)设事件A =“随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”.因为样本人数200人，其中男生共有80人，从而样本中女生共有120人．由频率分布直方图可知，女生对食堂“比较满意”的人数共有24人．由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人，由此能求出随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率．本题考查频率、离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查频率分布直方图、超几何分布、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)由已知b =1，e =c a =√32，又a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1． 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)依题意设直线l 的方程为y =k(x +4)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 联立{x 24+y 2=1,y =k(x +4), 消去y ，得(4k 2+1)x 2+32k 2x +64k 2−4=0，则△=16(1−12k 2)>0，解得−√36<k <√36. (∗)则x 1+x 2=−32k 24k 2+1，x 1x 2=64k 2−44k 2+1．若x 1=−1，则y 1=±√32，k =±√36与(∗)式矛盾，所以x 1≠−1．同理x 2≠−1．所以直线AM 和AN 的斜率存在，分别设为k AM 和k AN ．因为k AM +k AN =y 1x 1+1+y2x 2+1=k(x 1+4)1+k(x 2+4)2=2k +3k 1+3k2=2k +3k(x 1+x 2+2)(x 1+1)(x 2+1)=2k +3k(x 1+x 2+2)x 1x 2+x 1+x 2+1=2k +3k(−32k 21+4k 2+2)64k 2−41+4k 2+−32k 21+4k 2+1=2k +3k(−24k 2+2)36k 2−3=0，所以k AM =−k AN ． 所以∠BAM =∠OAN ．【解析】(Ⅰ)利用已知条件求出b ，结合离心率求解a ，即可得到椭圆方程． (Ⅱ)依题意设直线l 的方程为y =k(x +4)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).联立{x 24+y 2=1,y =k(x +4), 消去y ，得(4k 2+1)x 2+32k 2x +64k 2−4=0，求出M ，N 的坐标，然后求解k AM +k AN .的表达式，推出结果即可．本题考查椭圆的简单性质，以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)证明：当a =0时，f(x)=1x ,x >0，f′(x)=−1x 2，设f(x)图象上任意一点P(x 0,1x 0)，切线l 斜率为k =f′(x 0)=−1x 02．过点P(x 0,1x 0)的切线方程为y −1x 0=−1x 02(x −x 0)．令x =0，解得y =2x 0；令y =0，解得x =2x 0．切线与坐标轴围成的三角形面积为S =12|2x 0|⋅|2x 0|=2．所以l 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关； (Ⅱ)由题意，函数g(x)的定义域为(0,+∞)． 因为g(x)在(0,+∞)上单调递减，所以g′(x)=ax −1x 2−1≤0在(0,+∞)上恒成立， 即当x ∈(0,+∞)，a ≤x +1x 恒成立， 所以a ≤(x +1x )min ，因为当x ∈(0,+∞)，x +1x ≥2，当且仅当x =1时取等号． 所以当x =1时，(x +1x )min =2， 所以a ≤2．所以a 的取值范围为(−∞,2]．【解析】(Ⅰ)求得a =0时，f(x)的导数，设出切点，可得切线的斜率和方程，分别令x =0，y =0，求得l 与坐标轴的交点，由三角形的面积公式计算可得证明；(Ⅱ)求得g(x)的导数，可得g′(x)=ax −1x 2−1≤0在(0,+∞)上恒成立，再由参数分离和基本不等式求得最值，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)数列{a n }不是P 数列，数列{b n }是P 数列．对于数列{a n }，−1+1+3+5>7，所以数列{a n }不是P 数列； 对于数列{b n }，−1<12,−1+12<−14,−1+12−14<18， 所以数列{b n }是P 数列．(Ⅱ)证明：由题意知，a n+1>S n，即S n+1−S n>S n，即S n+1>2S n．又因为S1=a1=2>0，所以S n>0．所以当n≥2时，S n=S n Sn−1⋅S n−1S n−2⋅…⋅S2S1⋅S1>2n，命题得证．(Ⅲ)数列{a n}不是P数列．理由如下：假设数列{a n}是P数列，则a2=aq>a得q>1，所以数列{a n}是单调递增数列，且a n>0，n∈N∗．(1)若数列{b n}中的元素都在数列{c n}中，则T1<T2；(2)若数列{c n}中的元素都在数列{b n}中，则T1>T2；(3)若数列{b n}和数列{c n}有部分公共元素，将数列{b n}和{c n}的公共元素去掉得到新的数列{b n′}和{c n′}，不妨设数列{b n′}和{c n′}中的最大元素a m在数列{c n′}中，则数列{a n}的前m−1项和S m−1<a m．因为a n>0，n∈N∗，所以数列{b n′}中的所有项和小于等于S m−1．所以数列{b n′}中的所有项和小于a m．所以T1<T2．综上(1)(2)(3)知T1≠T2.与已知T1=T2矛盾，所以数列{a n}不是P数列．【解析】(Ⅰ)数列{a n}不是P数列，数列{b n}是P数列．利用新定义判断即可即可．(Ⅱ)由题意知，a n+1>S n，推出S n+1>2S n.然后利用累乘法，判断证明即可．(Ⅲ)数列{a n}不是P数列．利用反证法，转化推出矛盾结论，即可得到结果．本题考查数列的应用，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力，反证法的应用，是难题．。
2019-2020年北京市石景山区高三上学期期末考试数学(理)试卷(有答案)
石景山区第一学期高三年级期末试卷数 学（理）（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|01}B x x =≤≤,那么A B 等于（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．[0,1] 2．若34iz i+=，则||z =（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．53．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）A ．5B ．3C ．9D ．74．下列函数中既是奇函数又在区间(0,)+∞A ．x y e -=B ．ln()y x =-C ．3y x =．x5．由直线10x y -+=，50x y +-=和1x =所围成的三角形区域（包括边界），用不等式组可表示为（ ）A ．10,50,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩B ．10,50,1x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩C ．10,50,1x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩D ．10,50,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩6．一个几何体的三视图如右图所示．已知这个几何体的体积为8，则h =（A ．1B ．2C ．3D ．67．将函数2(3)y x =-图象上的点2(,(3))P t t -向左平移m (m >0)个单位长度得到 点Q ．若Q 位于函数2y x =的图象上，则以下说法正确的是（ ） A ．当2t =时，m 的最小值为3 B ．当3t =时，m 一定为3 C ．当4t =时，m 的最大值为3D ．t ∀∈R ，m 一定为38．六名同学A 、B 、C 、D 、E 、F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A 、B 各参加了3局比赛，C 、D 各参加了4局比赛，E 参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过，那么F 在第一天参加的比赛局数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在7(3)x -的展开式中，5x 的系数是 （结果用数值表示）．10．已知ABC △中，AB =1BC ，sin C C ，则ABC △的面积为．11．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是 ．12．等差数列{}n a 中，12a =，公差不为零，且1a ，3a ，11a 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 ．13．有以下4个条件：①a b =；②||||a b =；③a 与b 的方向相反；④a 与b 都是单位向量．其侧视图正视图俯视图中a //b 的充分不必要条件有 ．（填正确的序号）．14．已知函数11,1,()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，①方程()f x x =-有________个根；②若方程()f x ax =恰有两个不同实数根，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数π()2sin()sin 22f x x x x =-⋅． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在ππ[,]126-上的最大值． 16．（本小题共13分）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18-36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市．．大学生．．．中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．17．（本小题共14分）如图1，等腰梯形BCDP 中，BC ∥PD ，BA PD ⊥于点A ，3PD BC =，且1AB BC ==． 沿AB 把PAB △折起到P AB '△的位置（如图2），使90P AD '∠=︒． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AC '； （Ⅱ）求二面角A P D C '--的余弦值；（Ⅲ）线段P A '上是否存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．图1图218．（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于轴的对称点为B '．直线B A '与轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．19．（本小题共14分）已知函数2()11xf x x =++，2()(0)a x g x x e a =<． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．B CAP DACP′ABCD20．（本小题共13分）集合M 的若干个子集的集合称为集合M 的一个子集族．对于集合{1,2,3}n 的一个子集族D 满足如下条件：若,A D B A ∈⊆，则B D ∈，则称子集族D 是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族D 并计算此时(1)AA D∈-∑的值（其中A 表示集合A 中元素的个数，约定0φ=；A D∈∑表示对子集族D 中所有成员A 求和）；（Ⅱ）D 是集合{1,2,3}n 的任一“向下封闭的”子集族，对A D ∀∈,记max k A =，()max (1)AA Df k ∈=-∑（其中ma 表示最大值），（ⅰ）求(2)f ；（ⅱ）若k 是偶数，求()f k ．石景山区第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()2cos sin 2f x x x x =⋅+ ……1分sin 22x x =+ ……2分π2sin(2)3x =+， ……4分因此)(x f 的最小正周期为π． …………6分 （Ⅱ）当ππ[,]126x ∈-时，ππ2π2633x ≤+≤， ………8分 当ππ232x +=，πsin(2)3x +有最大值1． ………10分 即π12x =时，()f x 的最大值为2． ……………13分 16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）030305100a ++++=解得35a =，5110020b ==，35710020c ==．…………………3分 （Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ，则114060210016()33C C P A C ==． 所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633． ……………7分 （Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为25P =． X 的所有可能取值0，1，2，3． ……………8分则()033270()(1)2255125P X C ==-=，()1123541()(1)2255125P X C ==-=， ()2213362()(1)2255125P X C ==-=，()333083()(22551)125P X C ==-=．其分布列如下：所以，01231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为90P AD '∠=︒，所以P A '⊥AD ．因为在等腰梯形中，AB ⊥AP ，所以在四棱锥中，AB ⊥AP '． 又AD AB A ⋂=，所以P A '⊥面ABCD ． 因为CD 面ABCD ，所以P A '⊥CD ．……3分因为等腰梯形BCDE 中，AB BC ⊥，3PD BC =，且1AB BC ==． 所以ACCD =，2AD =．所以222AC CD AD +=． 所以AC ⊥CD ．因为P A 'AC =A , 所以CD ⊥平面P AC '． ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P A '⊥面ABCD ，AB ⊥AD 如图，建立空间直角坐标系，A ()0,0,0，B ()1,0,0，C ()1,1,0，D ()0,2,0，P '()0,0,1．…………5分所以(1,0,0)AB =，(1,1,1)P C '=-．由（Ⅰ）知，平面P AD '的法向量为(1,0,0)AB =，设(,,)n x y z =为平面P CD '的一个法向量，则00n CD n P C ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即00x y x y z -+=⎧⎨+-=⎩，再令1y =，得(1,1,2)n =．cos ,AB n =AB n AB n⋅⋅=6所以二面角A PD C '--的余弦值为6． …………9分 （Ⅲ）若线段P A '上存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．依题意可设AM AP λ'=,其中01λ≤≤．所以(0,0,)M λ，(1,0,)BM λ=-． 由（Ⅱ）知，平面P CD '的一个法向量(1,1,2)n =． 因为BM ∥平面P CD '，所以BM n ⊥， 所以120BM n λ⋅=-+=，解得12λ=． 所以，线段P A '上存在点M ，使得BM ∥平面P CD '…………………14分 18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为2ce a ==，所以c =1b ==． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分 联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-， 所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()x x x f x x x --+'==++2222211111．……2分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 单调递减区间是(,)-∞-1，(,)+∞1． …………5分（Ⅱ）依题意，“对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “对于任意[0,2]x ∈，min max ()()f x g x ≥成立”．由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， 因为(0)1f =，2(2)115mf =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =． 所以应满足max ()1g x ≤．………………………………………………7分因为2()e axg x x =，所以2()(+2)e axg x ax x '=．………8分因为0a <，令()0g x '=得，10x =，22x a=-． （ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时， 在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e a g x g ==．由24e 1a ≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-． ……………11分 （ⅱ）当202a<-<，即1a <-时, 在2[0,)a -上()0g x '≥，在2(,2]a-上()0g x '<， 所以函数()g x 在2[0,)a -上单调递增，在2(,2]a -上单调递减， 所以max 2224()()e g x g a a =-=． 由2241e a ≤得，2ea ≤-，所以1a <-． ……………13分 综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-． ……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族{,{1},{2},{1,2}}D φ= ……2分 此时0112(1)(1)(1)(1)(1)0A A D ∈-=-+-+-+-=∑ …………4分（Ⅱ）设{1,2,3}n 的所有不超过k 个元素的子集族为k D（ⅰ）易知当2D D =时，(1)AA D∈-∑达到最大值， 所以201122(1)32(2)(1)(1)(1)122n nn n n n f C C n --+=-+-+-=-+= …6分 （ⅱ）设D 是使得max k A =的任一个“向下封闭”的子集族，记'''D D D =，其中'D 为不超过2k -元的子集族，''D 为1k -元或k 元的子集 则(1)AA D ∈-∑= '''''(1)(1)(2)(1)A A AA D A D A D f k ∈∈∈-+-≤-+-∑∑∑ ………8 分 现设''D 有l （k n l C ≤）个{1,2,3}n 的k 元子集，由于一个1k -元子集至多出现在1n k -+个{1,2,3}n 的k 元子集中，而一个k 元子集中有1k k C -个1k -元子集，故l 个k 元子集至少产生11k k lC n k --+个不同的1k -元子集． ''11(1)(1)(1)111k Ak k k k n n n A D lC k k l l C C C n k n k n k --∈-≤-=-≤-=--+-+-+∑ 1(1)(2)()A k k n n A D f k C C f k -∈-≤--+=∑由（ⅰ）得011221()(1)(1)(1)(1)(1)kk ki i n n nn i f k C C C C ==-+-+-++-=-∑…13分 【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
北京市石景山区2019-2020学年第一学期高三期末试卷数学试题及答案和答题卡
解：（Ⅰ） X 可能的取值为 0 ，1， 2 ， 3 .
……………1 分
每次抛掷骰子，出现“6 点”的概率为 p 1 . 6
P(X
0)
C30(1
1)3 6
125 216
，
P( X
1)
C31
1 (1 6
1)2 6
75 216
，
P( X
2)
C32
(
1 6
)2
(1
（Ⅰ）证明:因为△ PAD 是正三角形， O 是 AD 的中点，所以 PO ^ AD .
又因为 CD ^ 平面 PAD ， PO Ì 平面 PAD ，所以 PO ^ CD .
AD Ç CD = D ， AD，CD Ì 平面 ABCD ，
所以 PO ^ 面 ABCD .
……………4 分
（Ⅱ）如图，以 O 点为原点分别以 OA 、 OG 、 OP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空
2
5
所以 cos
1 sin2
4
.
5
所以
f
4 5
3 5
4 5
1 2
28 25
1 2
=
31 50
.
（Ⅱ） f x cos xsin x cos x 1 cos x sin x cos2 x 1
11 22
ssiinn22ຫໍສະໝຸດ x……………1 分
当 a 0 时， f (x) 0 恒成立，所以 f (x) 在 R 上单调递增， ……………3 分
当 a 0 时，令 f (x) 0 ，解得 x ln a .
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石景山区2020届高三第一学期期末数学本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）-、选择题共10小题，每小题4分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合A x0w x w 2 , B 1,0,2,3，则Al BA. 0,1,2B. 0,2C. 1,3D. 1,0,1,2,32. 复数z —的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为1 iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 下列函数中既是奇函数，又在区间（0,1）上单调递减的是3A. f(x) XB.f(x)lg|x|C.f(x) xD.f (x) cosx4.已知向量a 5, m,b2, 2，若a b b，则实数mA. 1B.1C.2D.25.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮, 有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒立，则这批米内夹谷约为A. 134 石B.169石C.338石D.1365 石6.已知a log34 , b log n3, c 5 , 则a , b, c的大小关系: H.A是A. a b cB.a c bC. b c aD.b a c7. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是A.中位数B.平均数C.方差D.极差8. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分4页 3第体积与原正方体体积的比值为A. B. C.左（侧）视图D.9.在等差数列｛a .｝中，设k,l,p,r N ，则k l P r 是 a kaiapar的A.充分而不必要条件C.充要必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件10.关于曲线 C ：x 2 xy y 2 4 .给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线C 上任意一点到原点的距离都不大于 2 2 ;③ 曲线C 上任意一点到原点的距离都不小于 2 .其中，正确结论的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.2 611. 在（x -）的二项展开式中，常数项等于 ______________ .（用数字作答）x2x 212.已知双曲线标准方程为y 1 ,则其焦点到渐近线的距离为.313.已知数列a nn （n N *）为等比数列，a 1 1, a ?2，则a 3___________ .14.已知平面，，.给出下列三个论断：①：②：③ // .以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ___1 2sinB = 3sinC ，则 cosA 的值为 _________ .ir ur16. 已知向量e1, e2是平面内的一组基向量，0为内的定点，对于内任意uur ir ur一点P，当OP xe, ye2时，则称有序实数对（x, y）为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为（x i,yj、（X2,y2），对于下列命题：①线段AB的中点的广义坐标为（仝圣,上丝）；2 2uur uur②向量0A平行于向量0B的充要条件是x,y2 x2y,；uuu uuu③向量0A垂直于向量0B的充要条件是x,x2 y, y2 0 .其中，真命题是. （请写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17. (本小题13分)1 已知函数f(x) cosx(sin x cosx) .2n 3(I)若0 ，且sin —,求f()的值；2 5(n)求函数f (x)的最小正周期，及函数f(x)的单调递减区间.18. (本小题1—分)一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“ 6点”则扣除12分(即获得—12分)•(I)设每盘游戏中出现“ 6点”的次数为X,求X的分布列；(n)玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；(川)玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了•请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.19. (本小题14分)已知在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△ PAD是正三角形，CD 平面PAD , E、F、G、O 分别是PC、PD、BC、AD 的中点.(I)求证：PO平面ABCD ；(n)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小; (川)线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为n，若存在，求线段PM6的长度；若不存在，说明理由.20. (本小题14分)已知函数f (x) e x ax. ( a R ) PC(I)求函数f(x)的单调区间；(n)若a 3, f (x)的图象与y 轴交于点A ，求y f(x)在点A 处的切线方程; (川)在(n)的条件下，证明：当 x 0时，f(x) x 2 3x 1恒成立.21. (本小题13分)2 2已知椭圆C:笃 — 1过点P(2,1).a 2 (I)求椭圆C 的方程，并求其离心率；(n)过点P 作x 轴的垂线I ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上(点A 不在直线l 上)，直线PA 关于I 的对称直线PB 与椭圆交于另一点 B •设0为坐标原点，判断直线 AB 与直线OP 的位置关系， 并说明理由.22. (本小题13分)已知由n(n N *)个正整数构成的集合 A ｛印耳丄 舄｝(印a ? L a n ,n > 3), 记S A a 1 a 2 L a n ，对于任意不大于 S A 的正整数m ，均存在集合 A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m . (I)求a 「a 2的值;(川)若S A 2020，求n 的最小值，并指出n 取最小值时务的最大值.(n)求证：“ a 1,a 2,,為成等差数列”的充要条件是S An(n 1) ”.;2每次抛掷骰子，出现16点”的概率为P 1.1 3 P(X 0) C 3(16) 125216P (X 1)(1 -1)2 6 675 216石景山区2020届第一学期高三期末数学试卷答案及评分参考、选择题：本大题共 10个小题，每小题 4分，共40分.11. 160 ;12 . 1; 13 .5 ; 14. ①③ ②或②③ ①； 15.1 -; 16. ①②. 4三、 解答题：本大题共 6个小题, 共 80分•解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题13分）解：（I ）因为 0所以cos所以f ，且 sin -2518. （本小题13分）解：（I ） X 可能的取值为0, 1, 2, 3.(n) f x cosx sinx cosx - 2輛做 1 c 0s2x 12 222sin(2x 4)所以函数f x 的最小正周期Tcosx sin x2cos x1 細荻 cos2x)2 nn . 2由2k nn n 3n — 2x - 2k n + ,k Z ,242解得k n n x k n + 5 n ,k Z .88所以函数fn5 nx 的单调递减区间k n ,k n + ,k Z8 811分13分4 3 41 28 1 = 31 5 5 52 25 2 = '501 sin24（n ）设“第i 盘游戏获得15分”为事件A （i = 1, 2），则（川）设每盘游戏得分为 Y .由（I ）知，Y 的分布列为:1255 1 5 Y 的数学期望为 EY 1215 120 . ……12分216 12 21636这表明，获得分数Y 的期望为负.因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.13分P(X2) C 32(6)2 (1 1)15216 ， P(X3 i 33)叫)1 216P （A ） P （A 2） P （X 1） P （X所以“两盘游戏中至少有一次获得 因此，玩两盘游戏至少有一次获得 2)90 5 216 1215分”的概率为1P(A)P(AJ 95 1449515分的概率为 ......... 10分14419. （本小题14分）（I）证明：因为△ PAD是正三角形，0是AD的中点，所以PO AD .又因为CD 平面PAD，P0 平面PAD，所以PO CD .AD CD D，AD，CD 平面ABCD ,所以PO 面ABCD . ................ 4分（H）如图，以0点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则O(O,O,O),A(2,O,O),B(2,4,O),C( 2,4,0),D( 2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,2、3),E( 1,2, .3), F( 1,0, .3)，EF (0, 2,0), EG (1，2,3),（川）假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为-,6 设PM PA, [0,1],GM GP PM GP PA，所以GM (2 , 4,2.3(1 )) . .................. 11 分n ---- ' —v 3所以sin |cos GM,m , ............. 13分6 2,4 26 7整理得2 2 3 2 0 ,无解，所以，不存在这样的点M • ......... 14分20. （本小题14分）解：（I）f （x） e x a ,当a 0时，f (x) 0恒成立，所以f(x)在R上单调递增,当a 0时，令f (x) 0，解得x Ina.当x变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表:所以a 0时，f (x)在(，1 n a)上单调递减，在(In a,)上单调递增.…5分(n)令x 0，得y 1，则A 0,1 , ............. 6 分因为f x e x3，所以f 0 1 3 2 , ............. 7分所以在A点处的切线方程为y 1 2(x 0)，即y 2x 1. ......... 9分2 x 2(川)证明：令g x f(x) (x 3x+1)=e x 1 ,则g x e x2x.令h x e x2x，贝y h x e x2 ,当0x1 n2时，h x 0 , h x单调递减，当x In2时，h x 0 , h x单调递增； ...... 11分所以h x h In2 e ln22In2 2 2In2 0，即g x 0 恒成立.所以g x在上单调递增，所以g x g 0 1010, 13分所以e x x21 0 ,即当x 0时,2x x 3x 1恒成立.14分21. (本小题13分)I a2可得412 a 21, 解得8 a2所以 2 c 2 a b2826,2分•3分1，离心率e、.6 仝2.2 22 2解：(I)由椭圆C:笃工1过点P(2,1),2 2所以椭圆C的方程为—丄8 2(n)直线AB 与直线OP 平行.设点 A(X i , y i ), B (X 2, y 2),2 2x y 由 8 y kx(本题13分)(i)由条件知1 S A ，必有1 A ，又a 1a 2a n 均为整数，a 1 1.……2分2 S A ，由S A 的定义及a 1 a 2a .均为整数，必有 2 A ,a ?2 .(n)必要性：由“a 1,a 2, ,a .成等差数列”及 印1, a ? 2得a i i(i 1,2, ,n)此时A {1,2,3,,n}满足题目要求1 从而 S A 123 n n(n 1).............. 6 分2充分性：由条件知a 1 a 2a n ,且均为正整数，可得 a i i(i 1,2,3, , n), 1 故S A 1 2 3 n —n(n 1)，当且仅当a i i(i 1,2,3,,n)时，上式等号成立21于是当S An(n 1)时，a i i(i 1,2,3, ,n)，从而a 1,a 2, , a n 成等差数列.21证明如下：由题意，设直线 PA: y 1k(x 2), PB:y1 k (X 2),2 1得 2k 12 2(4k 1)X28k(1 2k )X 16k 16k所以2+X i8k (2 k 1) 2 ，4k 1所以X i8k 2 4k 2 18k 2，同理x 228k +8k 2 4 k 2 1所以x 1 X 2 16k 4k 2 110由y i kX 1 kX 2 2k 1 ,有y 1y 2k (X-i X 2 ) 4k4k 2 8k 一?因为A 在第四象限，所以k0,且 A 不在直线OP 上，所以 k AB 7X 1 x 2又k oP -，故k ABk oP ,所以直线2AB 与直线OP 平行.22.解:所以“ a i,a2, ,a n成等差数列”的充要条件是“S A— n(n 1) ” . ……8分2(川)由于含有n个元素的非空子集个数有2n[，故当n 10时，210 1 1023 ,此时A的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m，不符合要求.而用11个元素的集合A {1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024}的非空子集的元素之和可以表示1,2,3, ,2046,2047 共2047个正整数•因此当S A 2020时，n的最小值为11. ................ 10分当S A 2020时，n的最小值为11.记S10 a-i a2a10则S10 an 2020并且S|0 1 an.事头上右S10 1 an, 2020 S10 an 2an，则an 1010 , S10 an 1010 ,所以m 1010时无法用集合A的非空子集的元素之和表示，与题意不符.2021 *于是2020S]0 an 2an 1，得an , a“ N，所以an 1010.2当a111010 时A {1,2,4,8,16,32,64,128,256,499,1010}满足题意所以当S A 2020时，n的最小值为11,此时a n的最大值1010. ……13分【若有不同解法，请酌情给分】。