武汉大学近世代数-2002真题
近世代数模拟试题及答案
近世代数模拟试题二一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ）A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------。
多所高校近世代数题库及部分答案
多所高校近世代数题库及部分答案一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ × ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（× ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。
（√ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
（√ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ × ）6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。
（ √ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。
（√ ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。
（√ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（× ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。
（ × ）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（② ）①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ ）①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ；③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
近世代数期末考试卷与答案
近世代数期末考试卷与答案近世代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x =ο，则称a 为---------。
数学分析与高等代数考研真题详解--武汉大学卷
−
n+1
n
−
x x x x l xl x xl x =
−
n+ p
n+ p−1 +…+
－
n+1
< 2[
n
2 n+ p
1
+ ... +
−
] 2
1
n +1
l x x l l l x x <
2( − 2 l −1
)
1
1
n
=M
−n
(M=
2− 2 l −1
1)
显然由柯西收敛准则知，对于 ∀ε > 0 ， ∃N > 0 ，使得 n>N 时
wwwboss163com博士家园二零一零年二月博士家园系列内部资料数学分析与高等代数考研真题详解武汉大学考研数学专卷目录9501年数学分析试题解答电子版在随书附赠的光盘中2002年招收硕士研究生入学考试数学分析试题2002年招收硕士研究生入学考试数学分析试题解答2002年招收硕士研究生入学考试高等代数试题2002年招收硕士研究生入学考试高等代数试题解答2003年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2003年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答2004年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2004年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答2005年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答2005年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2006年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2007基础数学复试题2008年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2008年招收硕士研究生入学考试线性代数试题及解答2009年数学分析试题及解答电子版在随书附赠的光盘中2009年高等代数试题及解答电子版在随书附赠的光盘中2009博士家园系列内部资料武汉大学博士家园系列内部资料2002年数学分析答案由归纳法知n123
近世代数期末考试试题和答案解析
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
近世代数试题库
近世代数一、单项选择题1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A ⋂=（ ）A 、{1，2，3，4}B 、{2，3，6，7}C 、{2，3}D 、{1，2，3，5，6，7}答案：C2、循环群与交换群关系正确的是（ ）A 、循环群是交换群B 、交换群是循环群C 、循环群不一定是交换群D 、以上都不对答案：A3、下列命题正确的是（ ）A 、n 次对换群n S 的阶为!nB 、整环一定是域C 、交换环一定是域D 、以上都不对答案：A 4、关于陪集的命题中正确的是（ ）设H 是G 的子群，那么A 、对于,,bH aH ∀有φ=⋂bH aH 或bH aH = B 、H a H aH ∈⇔= C 、H b a bH aH ∈⇔=-1 D 、 以上都对答案：D5、设A=R （实数域）， B=R+（正实数域） f :a→10a a ∈A 则 f 是从A 到B 的（ ）A 、单射B 、满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射答案：D6、有限群中的每一个元素的阶都（ ）A 、有限B 、无限C 、为零D 、为1答案：A7、整环（域）的特征为（ ）A 、素数B 、无限C 、有限D 、或素数或无限答案：D8、若S 是半群,则( )A 、任意,,,S c b a ∈都有a(bc)=(ab)cB 、任意,,S b a ∈都有ab=baC 、必有单位元D 、任何元素必存在逆元答案：A9、在整环Z 中，6的真因子是（ ）A 、1,6±±B 、2,3±±C 、1,2±±D 、3,6±±答案：B10、偶数环的单位元个数为（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无数个答案：A11、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ ）A 、集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；B 、n A A A ,,,21 的次序不能调换；C 、n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
近世代数期末考试试题和答案解析
近世代数期末考试试题和答案解析一、单项选择题（本大题共5小题，每小题 3 分，共15 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。
A、a B 、a,e C 、e,a3D 、e,a,a32、下面的代数系统（G，*）中，（）不是群A、G为整数集合，* 为加法 B 、G为偶数集合，* 为加法C、G为有理数集合，* 为加法 D 、G为有理数集合，* 为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b} C 、a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3 =1324），则3=（）22A、2 1 B 、 1 2 C 、2 2 D 、 2 15、任意一个具有2 个或以上元的半群，它（）。
A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----- 同构。
2、一个有单位元的无零因子称为整环。
43、已知群G中的元素a的阶等于50，则a4的阶等于 -- 。
4、a 的阶若是一个有限整数n，那么G与-- 同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B= 。
6、若映射既是单射又是满射，则称为------------ 。
7、叫做域 F 的一个代数元，如果存在 F 的a0,a1, ,a n使得a0 a1a n n 08、a是代数系统（ A,0）的元素，对任何x A均成立x a x，则称a为--- 。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、------ 。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P 是---- 。
近世代数的答案
近世代数习题解答第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1 所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([ 即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群.证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n nn===⇒=---111)()(若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a Θ的阶等于1-a 的阶(2)a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈K K K ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: nma a = )(n m 〈 故 e amn =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G 但231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的回答是回有的},3,2,1{K =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τ b ax x +→:λ d cx x +→:τλ d cb cax d b ax c x ++=++→)( d cb ca +,是有理数 0≠ca Θ 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 则 :ε x x → (4) :τ b ax + )(1:1ab x a x -+→-τ 而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x :2τ x x 2→ :21ττ )1(2+→x x :12ττ 12+→x x 故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元. 证 :1τ )(1a a τ→ :2τ )(2a a τ→那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ= =→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ 故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元 :ε )(a a a ε=→ :ετ )()]([a a a ττε=→τ:τε )()]([a a a τετ=→ ∴ τεετ=4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。
《近世代数》习题及答案
《近世代数》作业一．概念解释1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元二．判断题1．Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。
2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。
3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。
4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。
5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。
6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是：1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。
7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。
8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。
9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。
10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。
11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。
12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。
13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。
（ ）14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。
（ ）15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。
（ ）三．证明题1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。
武汉大学高等代数真题
E AT 也可逆
即证 (E AT )(E A) (A E)(E AT )
化简得： E A AT AT A A AAT E AT
而 AAT AAT E
即证
四、解：由于
Er
0
CB1 A C A
Es
O
B
若 k 1, 那么 r(A) 2
若 k 1, 那么 r(A) 3
（2）若 k 1，那么有 dimN(A) 4 r(A) 4 2 2
这时把 k 1带入矩阵，并用初等行变换将这个矩阵化为简化行阶梯矩阵为
1 0 1 0
0
1
1
1
1 0 0 0
那么有 r(A) r(T) r() 1 而 (a1, a2 ,, an ) 是 n(n 2) 维非零向量，可知 r(A) 1 ，则有 r(A) 1 那么 Ax 0 的解空间的维数为 n r(A) n 1，注意到 A 是可对角化的，那么它的特征值
0 的重数必为 n 1，不妨设它的最后一个特征值为 ，那么有 tr(A) (n1) 0
同理可证其他情况也成立，所以1 不能由2 ,3 , 4 线性表示
三、解：要证 (E A)(E A)1 [(E A)(E A)1]T [(E A)1]T (E AT ) 考虑到 E A 为可逆矩阵，则 E A (E A)T E AT 0 ，所以
0
0
B
所以
A
C
1
A
O
B
近世代数自考2002下
23．设R是实数环，则 (A) 是多项式环R[x]中的素元。
A．2x + 4
B．x2 7
C．x3 6 D．4x2 + 8x + 4
24．令Q为有理数域，问 ((B)。
A．1
B．2
C．3
D． 4
25．假设 F是有理数域，那么复数i在F上的极小多项式是(D)
A．x + 1
B．x2 + x + 1 C．x2 x + 1 D．x2 + 1
二、填空题 (每小题2分，共20分)
26． 设映射为A到B的单射，为B到c的单射，那么 是 A到C的单 映射。 27．设A = {a, b, c}，A上的代数运算○由运算表给出
则(a○b)○c = a 。 28．设 是A的一个一一变换，则1 [(a)] = a ，其中a是A的一个元。 29． 设G是群，a, bG，则(ab)1 = b1a1 。 30． 包含n个元的集合的全体置换作成的群叫 n次对称 群 。 31．设有限群G与有限群同态，它们的元素个数分别为m、n，则m、n的 大小关系为
14．设 R是整环，则(A)。
A．R上的多项式环R[x]一定是整环 B．R上的多项式环R[x]不一定
是整环
C．R上的多项式环R[x]有零因子 D．R上的多项式环R[x]一定不是
整环
15．设Z12是模12的剩余类环，则(C)中集合是Z12的子环。
A．{[2], [4], [6], [8], [10]}
三、计算题(一) (9分)
36．设 Z8是模8的剩余类加群，求出Z8的所有子群，[3], [2]生成的子群 分别是什么？ 解：Z8的所有子群是：
([0]) = {[0]}; ([1]) = ([3]) = ([5]) = ([7]) = {[0], [1], [2] , [3] , [4] , [5] , [6] , [7]} ([2]) = ([6]) = {[0], [2] , [4] , [6]}
近世代数期末考试试题和答案解析
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
近世代数考题整理
一、二、(45分)单项选择题和填空题的知识点:1. 任何有限群G 的子群H 的阶数是G 阶数的因子2. 任何素数阶数的群是循环群，而循环群是交换群3. 群的定义是什么？给出一些集合和集合上的运算，能判断集合关于运算是不是群。
P31-32第一定义：一个不空集合G 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群(1) G 对于这个乘法来说是闭的(2) 结合律成立a(bc)=(ab)c ，对于G 的任意三个元a,b,c 都对(3) 对于G 的任意两个元a,b 来说，方程ax=b 和ya=b 都在G 里有解 第二定义：一个不空集合G 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群(1) G 对于这个乘法来说是闭的(2) 结合律成立a(bc)=(ab)c ，对于G 的任意三个元a,b,c 都对(3) G 里至少存在一个左单位元e ，能让ea = a ，对于G 的任何元a 都成立(4) 对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个左逆元a -1，能让a -1a = e4. 什么是一个群G 的生成元，给出一个子集合会判断该子集是不是子群若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的乘方，我们就把G 叫做循环群，也说G 是由a 所生成，并且用符号G=(a)来表示，a 叫做G 的一个生成元P635. 什么叫做结合律？给出一个集合和集合上的运算，会判断该运算是不是可结合的。
一个集合A 的代数运算o 适合结合律，对于A 的任意三个元a,b,c 来说，都有（a o b ）o c = a o （b o c ）6. 已知群G 的元素a 的阶是n, 那么m a 的阶是(,)n n m 。
7. 环、整环、除环、域的定义。
环：一个集合R 叫做环(1)R 是一个加群，R 对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群(2)R 对于另一个乘法的代数运算来说是闭的(3)这个乘法适合结合律：a(bc)=(ab)c ，不管a,b,c 是R 的哪三个元(4)两个分配律都成立a(b+c)=ab+ac ，(b+c)a=ba+ca ，不管a,b,c 是R 的哪三个元整环：一个环R 叫做整环，假如(1) 乘法适合交换律ab =ba(2)R有单位元1：1a = a1 = a(3)R没有零因子：ab=0 →a = 0或b=0a,b可以是R的任意元，整数环是整环除环：一个环R叫做一个除环(1)R至少包含一个不等于零的元(2)R有一个单位元(3)R的每一个不等于零的元有一个逆元域：一个交换除环叫做一个域(1)一个除环没有零因子。