2020届河南省顶级高三尖子生11月诊断性检测数学(理)试卷 PDF版
2020届高三第十一次考试数学(理)河南省顶级名校答案
设
AQ
a
,b,
c
是平面
ACM
的一个法向量
则 AQAM 2xb 2 2x c 0
AQ AC 2a 2b 0
a b
∴
c
2x 2x 2
b
令 b 2x 2 ，则 AQ 2x 2, 2x 2, 2x ，它背向二面角
又∵平面
ACD
的法向量
AP
0,
0,
2
，它指向二面角
这样，二面角 M AC D 的大小为 60
1
2 时， e 3
x22 x1x2
x22 x22
x12 x12
，∴
x2 x1
1
e3 ，令 q
x2 x1
1
e3
0 ，则 q
1，
∵
x1
1，∴下面证明对任意的正整数
n，
xn
n1
e3
.
①当 n 1 ，2 时，显然成立；
k 1
k
②假设对任意的 n k 时， xk e 3 ，下面证明 n k 1 时， xk1 e 3 ；
a2
分
（Ⅱ）又
A 2, 0 ,
B 0,1 ，所以
k AB
1 2
.由 CD
/
/
AB
，可直线 CD
的方程为
y
1 2
x
m
.由已知得
M
2m,
0,
N
0,
m
，设
C
x1,
y1 ,
D
x2 ,
y2
.
由
x2 4
y2
1
，得：
y
1 2
x
m
x2 2mx 2m2 2 0 . 2m2 4 2m2 2 0 m2 2 ，所以
【数学】河南省开封市杞县二高2020届高三11月质量检测试卷(理)(扫描版)(解析版)
河南省开封市杞县二高2020届高三11月质量检测数学试卷（理）一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 A = {)2(log |2+=x y x } ,B = {1<x <0|x }，则C A B =（ ） A. (-2,1) B. (-2,0]∪[1，+∞) C. (1, +∞)D. (-2,0)∪(1，+∞)2.已知向量)4,2(),8,1(xb a ==，若b a ∥，则=x （ ） A.-2 B.-1 C.1D.23.下列说法正确的个数为①若|>|b a ，则22>b a ;②若d c b a >,>，则d c a -b >-；③若d c b a >,>，则bd ac >;④若0＜c ,0>>b a ，则b>a cc （ ） A. 1 B. 2C. 3D.44.已知曲线x x y ln 322-=的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为（ ） A. 3 B. 2C. 1D. 215.设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ） A .若βαβα//,,n m ⊂⊥,则n m ⊥ B .若βα//,βα⊂⊂n m ,，则n m // C .若n m ⊥，n m //，β⊂n ，则βα⊥D .若α⊥m ，n m //，β//n ，则βα⊥6.若不等式0>7-12x -x 42与关于x 的不等式0>q px x 2++的解集相同，则0q ＜px -2+x 的解集是（ ）A. {27>x |x 或21-<x } B. {27<x <21|-x } C. {27-<x |x 或21>x } D. {21<x <27|-x }7.函数)2<<2,0>)(sin()(πϕπωϕω+=x x f 的最小正周期是π，若将函数的图象沿x 轴向左平移4π个单位长度后，所得图象关于直线3π=x 对称，则函数)(x f 的解析式为（ ）A. )322sin()(π+=x x fB. )322sin()(π-=x x fC. )32sin()(π+=x x fD. )32sin()(π-=x x f8.关于x 的不等式: 0)>0(a <3a 4ax -x 22+的解集为),(21x x ，则2121x x ax x ++的最小值是（ ） A.36B. 332C. 334D. 3629.在数列{n a }中，)11ln(,011na a a n n ++==+，则{n a }的通项公式为（ ） A. n a n ln = B. )1ln()1(+-=n n a n C. n n a n ln = D.2ln -+=n n a n10.函数)(cos )1()(ππ≤≤--=x x xx x f 且0≠x 的图象可能为（ ）11.已知定义在R 上的函数)(x f 在（2，+∞)上是增函数，若)2()(+=x f x g 是奇函数，且0)2(=-g ,则不等式0)(≥x f 的解集是（ ）A. [-4,0] ∪[2，+∞)B. [-4，-2)∪[0，+4）C. [0,2] ∪ [4,+∞)D. [-2,4]12.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段AA 上，若直线OP 与平面A 1C 1所成的角为θ，则θsin 的取值范围是（ ）A. ]33,32[B. ]21,31[C. ]33,43[D. ]31,41[二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省名校联盟2020届高三数学11月教学质量检测试题 理(含答案)
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（1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最大值．
-4-
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
已知 a，b 为正数，且满足 a＋b＝1．
（1）求证：（1＋ 1 ）（1＋ 1 ）≥ 9 ；
a
b
（2）求证：（ a ＋ 1 ）（ b ＋ 1 ）≥ 25 ．
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#>?@A$B?CD&E²#HµÇ´mÈÉ´! #RT$UV*!#*!"Dz#'WX*!'#*!"&*!#*!"'§*!'#"&*!#*#") UV*!#'!"Dz#'WX*!'#'!"&*!#'!"'§*!'#"&*!#'#"! d*!#*#"&*!#'#"'*!#*-"&*!#"'WX*!#"X-VÈÉH²#! UV*!'#'!"&*!#'!"'WX*!'#'!*-"&*!#'!*-"'Ê*!'#*+"&*!#*+"' WX*!#*+"Dz#! !!!#'($( #>?@A$B?CD&E¶«ËG9 #RT$+ÌÍ&Î+.KÍ'Ïy!ÐÑÒÓ+Ô+ÕÖ×ØÙ'ÚÛ+ÐÑÒÓÜ+Ô!ÕÖ×ØÙ' ÝÍ+Ô(Þ#V (+"2--&-3$).MÍ'Ïy#ÐÑÒÓÜ+Ô#ÕÖ×ØÙ'ÚÛ#ÐÑÒÓÜ+Ô !ÕÖ×ØÙ'ÝÍ+Ô(Þ#V(2#"(# ##-(2! #(# #! !2- -&!$3$9OH+Ô(0}!,"$Þ9 !#!#'($( #>?@A$B?CD&E8ß²#H´;! #RT$UV*!'#"&4)5!'#"(4)5!#'##"&4)5#(4)5!'##"&'4)5#(4)5##&'*!#"'WX3&
河南省顶级名校2019-2020学年高三尖子生11月诊断性检测数学(理)试卷及答案解析
河南省顶级名校2019-2020学年高三尖子生11月诊断性检测数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上。
第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合{}1,1,3,5,7,9U =-，{}1,5A =，{}1,5,7B =-，则()U C AB =（ ）A ．{}3,9B ．{}1,5,7C ．{}1,1,3,9-D ．{}1,1,3,7,9-2．已知空间三条直线,,l m n ，若l 与m 垂直，l 与n 垂直，则（ ） A ．m 与n 异面 B ．m 与n 相交C ．m 与n 平行D ．m 与n 平行、相交、异面均有可能3．复数z 满足|1||3|z z -=+，则||z （ ） A ．恒等于1B ．最大值为1，无最小值C ．最小值为1，无最大值D ．无最大值，也无最小值4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm) ，则该几何体的表面积(单位：cm 2)是（ ）A ．16B ．32C ．44D ．645．已知0x y +>，则“||2||222x y x y +>+”是“0x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．函数y ＝ln |x |·cos (2π－2x )的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知两个不相等的非零向量a ，b ，满足1a =，且a 与b －a 的夹角为60°，则b 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎣⎭ C ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．()1,+∞8．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是（ ）A ．存在x ，y ∈(0，1)，E (ξ)>12B ．对任意x ，y ∈(0，1)，E (ξ)≤14C ．对任意x ，y ∈(0，1)，D (ξ)≤E (ξ)D ．存在x ，y ∈(0，1)，D (ξ)>149．设函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，若()()()02233441f f f <==<，则()()15f f +的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,410．已知F 1，F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，使得点F 2到直线PF 1的距离为a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．1,2⎛ ⎝⎭ B ．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C ．(D ．)+∞11．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，现将△ABC 沿着对角线AC 翻折，则直线EF 与平面ACD 所成角的正切值最大值为（ ）ABC ．3D ．212．己数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝lna n ＋1na ＋1，记S n ＝[a 1]＋ [a 2]＋···＋[a n ]，[t ]表示不超过t 的最大整数，则S 2019的值为（ ） A ．2019 B ．2018 C ．4038 D ．4037第II 卷（非选择题）二、填空题13．[]22-,上随机地取一个数k ，则事件“直线y=kx 与圆()2259x y -+=相交”发生的概率为_________。
河南省2020—2021学年高三尖子生11月联合诊断性测理科综合试卷
河南省2020—2021学年高三尖子生11月联合诊断性测试理科综合试卷本试卷共300分，考试时间150分钟。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Fe 56 Co 59一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列叙述中可以正确区分出自养生物和异养生物的是A．只有异养生物需要环境中的化合物B．细胞呼吸为异养生物所特有的代谢C．只有异养生物的细胞中含有线粒体D．只有自养生物能依靠无机养分生活2．下列关于氨基酸和蛋白质的叙述错误的是A．蛋白质功能的不同可能取决于氨基酸的种类、数目和排序不同B．改变蛋白质的一个氨基酸可能改变整个蛋白质的空间结构C．氨基酸仅通过脱水缩合的方式就可以形成具有生物学功能的蛋白质D．脊椎动物中血红蛋白一条多肽链的氨基酸差异越小，亲缘关系越近3．同一个生物体内的细胞存在着形态、结构和功能上的差异，但所有体细胞的细胞核中的遗传物质都是相同的，其原因是A．细胞是生命活动的基本单位，细胞核是细胞生命活动的控制中心B．细胞核是遗传信息库，具有控制细胞代谢和遗传的功能C．经过有丝分裂将复制完的DNA精确均分的结果D．DNA主要存在于细胞核内，细胞核是遗传物质贮存和复制的场所4．将T2噬菌体感染大肠杆菌后立即合成的RNA分离出来，分别与T2噬菌体和大肠杆菌的DNA进行分子杂交，结果发现这种RNA只能与T2的DNA杂交形成杂种链，而不能和大肠杆菌的DNA 杂交，下列说法错误的是A．分子杂交依据碱基互补配对原则B．新合成的RNA是以T2噬菌体的DNA为模板合成的C．大肠杆菌被感染后，其自身的RNA合成停止D．新合成的RNA可以作为大肠杆菌合成自身蛋白质的模板5．多巴胺是脑神经细胞分泌的一种神经递质，使人产生兴奋愉悦的情绪，多巴胺发挥作用后由转运载体运回突触前神经元。
而吸食毒品可卡因后，可卡因会与多巴胺竞争转运体而导致机体持续兴奋。
2020届河南省顶级高三考前信息卷数学(理)试卷Word版含解析
2020届河南省顶级高三考前信息卷数学（理）试卷一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分。
1．设，则是为纯虚数的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知集合，，则集合中元素的个数为A ．4B ．3C ．2D ．13．函数ln ()x xf x e=的大致图像是A ．B ．C ．D ．4．已知向量a r ，b r 满足1a =r，2b =r ，3a b -=r r ，则a r 与b r 的夹角为A ．3π B ．6π C ．23π D ．4π 5．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是A ．B ．C ．D ．6．在△ABC 中，则sin ∠BAC=A ．B ．C ．D ．7．执行如图所示的程序框图，若将判断框内“S>100?”改为关于n 的不等式“n ≥n 0”，且要求输出的结果不变，则正整数n 0的取值为A ．4B ．5C ．6D ．78．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，现从中任选两门，其中“礼”和“书”至少有一门被选出来的概率为A ．15 B ．25 C ．35 D ．459．在三棱锥中，，，，，平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的半径为A ．B ．C ．D ．10．若函数在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23ππ上单调递增，则正数的最大值为A ．18 B ．16C ．14 D ． 1311．已知定义在上的偶函数满足，当[]1,0∈x 时，．函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为A ．3B ．4C ．5D ．612．已知双曲线上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足，设，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈6,12ππα，则该双曲线离心率的取值范围为A ．B ．C ．D ．二、填空题：本答题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省2020届高三11月质量检测数学(理)试卷
数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列集合中不同于另外三个集合的是（） A.{}3|1x x =B.{}4|1x x = C.{1}D.1|1x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭答案：B 【分析】计算每个集合中的元素再判断即可.解：{}4|1{1,1}x x ==-,另外三个集合都是{1}, 故选：B ．点评：本题主要考查集合中元素的求解,属于基础题型. 2.下列说法正确的是（） A.若a b >，则44ac bc > B.若a b <，则2211a b> C.若a b c >>，则222a b c >> D.若a b >，c d >，则a c b d +>+答案：D 【分析】根据不等式的性质或者举反例逐个选项判断即可. 解：对于A 选项,若0c,则命题错误．故A 选项错误；对于B 选项,取2a =-,1b =-,则满足a b <,但2211a b <,故B 选项错误； 对于C 选项,取1a =,2b =-,3c =-,则满足a b c >>,但222a b c <<,故C 选项错误； 对于D 选项,由不等式的性质可知该选项正确． 故选：D ．点评：本题主要考查了不等式的性质,属于基础题型.3.已知向量(,3)a x =，(2,7)b =-，若()a b b -⊥，则实数x 的值为（） A.-16 B.67-C.67D.16答案：A 【分析】根据向量坐标的运算与垂直的数量积为0求解即可.解：因为(,3)(2,7)(2,4)a b x x -=--=+-,且()a b b -⊥,所以()(2,4)(2,7)a b b x -⋅=+-⋅-=2(2)(4)70x -++-⨯=,解得16x =-． 故选：A ．点评：本题主要考查了向量的坐标运算与向量垂直则数量积为0,属于基础题型. 4.若函数21()x f x e +=，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（）A.220x y ++=B.220x y -+=C.220x y +-= D.220x y --=答案：B 【分析】 先求出12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再求导代入12x =-求得在切点出的切线斜率,再根据点斜式求解方程即可.解：依题意,得0112f e ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,21()2x f x e '+=,则切线的斜率为122f '⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以切线方程为1122y x ⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即220x y -+=．故选：B ．点评：本题主要考查了导数的几何意义,属于基础题型. 5.下列命题中正确的是（）A.若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行B.若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面C.若不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D.不共线的四点可以确定一个平面 答案：C 【分析】根据线面平行与垂直的判定与性质,或举出反例逐个判断即可.解：在A 中,从正方体的一个顶点出发的三个平面是两两相交,但他们的交线互相垂直,故A 错误；在B 中,从正方体的一个顶点出发的三条棱可以确定三个平面,故B 错误；在C 中,不同的两条直线均垂直于同一个平面,则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行,故C 正确；在D 中,若四点连线构成两条异面直线,这时四点不能确定一个平面,故D 错误． 故选：C ．点评：本题主要考查了线面垂直与平行的性质与判定,属于基础题型.6.若关于x 的不等式20x ax b +-<（a ，b 为常数）的解集为(2,1)-，则不等式230bx ax +->的解集是（）A.3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B.3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C.3(,1),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭答案：A 【分析】根据不等式20x ax b +-<（a ,b 为常数）的解集为(2,1)-可知2,1x =-为方程20x ax b +-=的两根即可求得,a b ,再求解230bx ax +->即可.解：由20x ax b +-<解集为(2,1)-,可得211(2)12a b -=-+=-⎧⎨-=-⨯=-⎩,解得12a b =⎧⎨=⎩．∴所求不等式230bx ax +->即为2230x x +->,解得32x <-或1x >． 即不等式230bx ax +->的解集是3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 故选：A ．点评：本题主要考查了二次不等式的解集的性质,属于基础题型.7.函数()3sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则将()f x 的图象向右平移4π个单位长度，所得函数图象的一个对称中心是（） A.,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,03π⎛-⎫⎪⎝⎭答案：D 【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为2π即可得()3sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期,再求得平移后的函数表达式,再求解对称中心即可.解：由题意．函数()f x 的最小正周期为π,则2ππω=,解得2ω=,所以()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度．所得函数3sin 246y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭．令2()3x k k ππ-=∈Z ,得()26k x k ππ=+∈Z , 所以所得函数图象的一个对称中心是,03π⎛-⎫⎪⎝⎭．点评：本题主要考查了三角函数图像的平移与基本性质,属于中等题型. 8.已知实数a ，b 满足0b >，||1a b +=，则120192019||a a b++的最小值为（）A.2018B.2019C.2020D.2021答案：D 【分析】 将12019||a a +拆成12019||2019||a a a +,再根据||1ab +=构造12019(||)2019||a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的结构,利用基本不等式从而求得最小值.解：因为0b >,||1a b +=,所以12019120192019||2019||2019||2019||a a a ab a a b a ++=++=+1201912019||(||)20192019||2019||20192019||a b a a b a b a a b ⎛⎫+⋅+=++++ ⎪⎝⎭1120192019≥-++20192021+=, 当且仅当0a <,2019||2019||b a a b =,即12020a =-,20192020b =时等号成立．故选：D ．点评：本题主要考查了基本不等式的运用与构造,属于中等题型. 9.在单调递减的等比数列{}n a 中，已知3a ，5a 为一元二次方程2204081729x x -+=的两个根，则其前n 项和为（）A.31729n -B.131243n +-C.1313n n --D.1313n n+- 答案：C由3a ,5a 为一元二次方程2204081729x x -+=与单调递减的等比数列{}n a 可求得35,a a 进而求得13q =.再利用求和公式求前n 项和即可. 解：设等比数列{}n a 的公比为q ,由已知得352081a a +=,35354,729a a a a =>, 所以329a =,5281a =,2532918129a q a ==⨯=,又数列{}n a 单调递减,所以13q =, 3122929a a q ==⨯=,所以其前n 项和为11213311313n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=-．故选：C ．点评：本题主要考查了等比数列的性质与求和,属于基础题型. 10.函数()ln 2(1)2(1)x x f x x x ⎡⎤=--⎢⎥-+⎣⎦的图象大致是（）A. B. C.D.答案：B 【分析】先求得()ln 2(1)2(1)x x f x x x ⎡⎤=--⎢⎥-+⎣⎦求得定义域,排除A,D,再分析当1x >时的单调性即可.详解】22(1)(1)11()ln ln ln ln ln 2(1)2(1)2(1)(1)1x x x x x x x x f x x x x x x x x x ⎡⎤+---⎛⎫=--=-=-==- ⎪⎢⎥-+-+-⎝⎭⎣⎦, 由10x x->得10x -<<或1x >,即函数()f x 的定义域为(1,0)(1,),故A,D 错误；当1x >时,1y x x =-为增函数,所以1()ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为增函数,所以排除C ．故选：B ．点评：本题主要考查了函数图像的判定,属于基础题型.11.在三棱锥A BCD -中，BCD 3BAC π∠=，二面角A BC D --的大小为θ，且1cos 3θ=-，则三棱锥A BCD -体积的最大值为（）答案：B 【分析】画图分析,设AB x =,AC y =,在BCD 中利用BAC ∠对应的余弦定理求得,x y 的关系式,再表达出三棱锥A BCD -体积关于,x y 的关系式利用基本不等式求解即可. 解：设AB x =,AC y =,因为3BAC π∠=,所以2223BC x y xy =+-=,所以223x y xy =+-2xy xy xy ≥-=,即3xy ≤,当且仅当x y ==过A 作AO ⊥平面BCD ,垂足为O ,作AE BC ⊥垂足为E ,连接OE ,则AEO πθ∠=-,所以sin()sin AO AE AE πθθ=-=3AE ==,又11sin 223BC AE xy π⋅=,所以12AE xy =,所以3AO xy =≤所以1133344A BCD BCDV SAO AO -=⋅=⋅⋅⋅≤．故选：B ．点评：本题主要考查了基本不等式在立体几何中的运用,需要根据题意建立未知量的关系,再根据关系选用合适的基本不等式求解.属于中等题型.12.已知定义域为R 的函数2log (1),1()1,12,1x x f x x x +>-⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞，则()123f x x x b c ++++=（）A.2log 5B.2log 6C.3D.2答案：A 【分析】对每个分段中的函数表达式讨论,即可得11x =-,再根据只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞,可分析得()1,2f x =为2()()0f x bf x c --=的根,进而求得3b =,2c =-．再求()123f x x x b c ++++即可.解：当1x >-时．函数()f x 单调递增,则关于x 的方程2()()0f x bf x c --=在(1,)-+∞内至多只有两个解,所以1x =-必为其中一解,即11x =-．故当1x =-时,2()()0f x bf x c --=,此时由函数()1f x =,得10b c --=；①若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解,则当1x <-时, ()2f x =也一定满足2()()0f x bf x c --=,代入得420b c --=．②联立①②,解得3b =,2c =-．当1x >-时,2()log (1)=+f x x ,由2()()0f x bf x c --=即2()3()20f x f x -+=,得22log 2(1)3log (1)20x x +-++=,解得2log (1)1x +=或2log (1)2x +=,解得21x =或33x =．所以()1232(11332)(4)log 5f x x x b c f f ++++=-+++-==． 故选：A ．点评：本题主要考查了分段函数的运用以及复合函数的问题,需要根据题意分析每个根满足的条件与具体值等.属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，448a b ==，则33a b +=________． 答案：293【分析】根据等差等比数列的性质先求得公比公差,再求得33a b +即可. 解：由4137173733a a d d a -==⇒=⇒=,34182b q q b ==⇒=,34b =,则331729433a b +=+=． 故答案为：293点评：本题主要考查了等差等比数列的基本性质与运用,属于基础题型.14.若命题“0x R ∃∈，使得201k x >+成立”是假命题，则实数k 的取值范围是________． 答案：(,1]-∞ 【分析】由题意先找到等价命题“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”,再求21x +的最小值即可. 解：“0x R ∃∈,使得201k x >+成立”是假命题等价于“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”是真命题．因为211x +≥,即21x +的最小值为1,要使“21k x ≤+恒成立”,只需()2min1k x ≤+,即1k ≤．故答案为：(,1]-∞点评：本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于简单题型.15.若x ，y 满足约束条件2201220x y y x y -+≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为________．答案：-7 【分析】画出可行域,再判断3z x y =+取最小值时的点即可.解：画出约束条件2201220x y y x y -+≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩,表示的平面区域（阴影部分）如图所示：平移直线30x y +=,由图形知,当目标函数3z x y =+过点M 时取得最小值,由2201x y y -+=⎧⎨=-⎩,解得(4,1)M --．代入得min (4)3(1)7z =-+⨯-=-．所以3z x y =+的最小值为―7． 故答案为：-7点评：本题主要考查了线性规划的不等式问题,属于基础题型.16.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2Q .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2Q 的表面积为______. 答案：29π 【分析】先求出球O 1的半径，再求出球2Q 的半径，即得球2Q 的表面积.解：由题得AC=5,设球O 1的半径为r ，由题得11345)34,122r r r r ++=⨯⨯∴=（. 所以棱柱的侧棱为22r.，所以球2Q 的表面积为2429ππ⋅=. 故答案：29π点评：本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知在ABC 中.,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2228a b c ，ABC 的面积为(1)求角C 的大小;(2)若c =,求 sin A sin B +的值. 答案：（1）3π；（2）32【分析】(1)由三角形的面积为12absinC =，由余弦定理以及2228a b c +-=得到28abcos C =，进而可求出tan C ，得到角C ；(2)由(1)的结果，先求出ab ，根据c =，即可求出a b +，再由正弦定理可得sin sin sin sin a C b CA B c c+=+，即可求出结果.解：（1）由ABC ∆的面积为12absinC =，由2228a b c +-=及余弦定理可得28abcos C =，故tan 3C π==;(2)∵,2cos 8,83C ab C ab π==∴=又2228,23a b c c +-==，可得6a b += 由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==,得()sin sin sin 3sin sin 2a Cb C C A B a bc c c +=+=+= 点评：本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型. 18.城市中大量公园的兴建意味着建筑让位，还地于民，城市公共空间被越来越充分地打开．这种打开不只是物理意义上的空间开放，而是使城市公园不仅供民众用来休憩、娱乐、锻炼，还用于相互交往、传播文化、锤炼公民意识，让城市与人建立更好的连接，推动城市回归人本．某城市计划在靠近环城公路Ax ，Ay 的P 处建一所职业技校，且配套修建一条道路BC ，并把三条路围成的三角形区域开辟为休闲公园（如图）．经测量P 到Ax ，Ay 的距离PE ，PF 分别为4km ，3km ，若,2BAC πθθπ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3sin 4θ=，km AB x =，km AC y =．（1）试建立x ，y 间的等量关系；（2）为尽量减少土地占用，试问如何确定B 点的位置，才能使得该公园的面积最小？并求最小面积． 答案：（1）3434x y xy +=；（2）当8km AB =时，最小面积为232km 【分析】 (1)根据ABCABPAPCSSS=+建立等量关系即可.(2)由(1)有3434x y xy +=,表达出公园的面积38ABCS xy =,再利用基本不等式求解即可. 解：（1）因为Р到Ax ．Ay 的距离分别为4,3．所以4PE =,3PF =．因为11143(43)222ABC ABP APCSSSx y x y =+=⋅⋅+⋅⋅=+,① 又1324ABC S xy =⨯,②,所以3434x y xy +=．（2）因为43212x y xy +≥所以32124xy xy ≥,解得2563xy ≥．当且仅当43x y =时,取“＝”,即8x =,323y =．所以38ABC S xy =有最小值32．所以当8km AB =时,该公园的面积最小,最小面积为232km ．点评：本题主要考查了基本不等式的实际运用,需要根据题目条件列出对应的表达式,再根据变量间的关系选用合适的基本不等式即可.属于中等题型.19.已知函数()4(sin cos )cos 2(0)f x x x x ωωωω=-+>图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭，设函数()f x 的最小正周期为T ． （1）求T 的最大值；（2）当T 取最大值时，若82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，04πα<<，求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．答案：（1）π；（2 【分析】(1)利用降幂公式与辅助角公式求得()24f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭,再根据一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭求得41()k k ω=+∈Z ,再求T 的最大值即可.(2)由(1)有()24π⎛⎫=-⎪⎝⎭f x x ,利用82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭求得sin 24α=,再求得cos2α,利用降幂公式求解sin ,cos αα与sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭即可. 解：（1）由题意得()4(sin cos )cos 2f x x x x ωωω=-+24sin cos 4cos 2x x x ωωω=-+2sin22cos2x x ωω=-24x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭,所以2()84k k ππωπ⋅-=∈Z ,得41()k k ω=+∈Z ．又0>ω,所以ω最小值为1．所以T 的最大值为22ππ=．（2）由（1）知,()24π⎛⎫=-⎪⎝⎭f x x ,若82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则2284ππαα⎡⎤⎛⎫+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即sin 24α=．因为04a π<<,所以022πα<<．所以3cos24α==．所以sin 44αα====．所以1sin sin cos cos sin 44442424πππααα+⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭． 点评：本题主要考查了三角恒等变换中的公式,包括降幂公式、辅助角公式等.需要根据题目中角度的关系选用合适的公式,属于中等题型.20.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足126n n a S +=+，且16a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：23123111133333nnT T T T ++++<⋅⋅⋅⋅. 答案：(Ⅰ)16323n n n a -=⋅=⋅；(Ⅱ)试题分析：（Ⅰ）根据1n n n a S S -=-得出{}n a 是等比数列，从而可得{}n a 的通项；（Ⅱ）求出n T ，利用裂项法计算2312311113333n nT T T T ++++⋅⋅⋅⋅得出结论. 试题解析：(Ⅰ)由已知得当2n ≥时，()1122n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=， 又2112626183n a S a a =+=+==.所以{}n a 是以16a =为首项，3为公比的等比数列，所以16323n nn a -=⋅=⋅.(Ⅱ)由(Ⅰ)得1123nn a =⋅，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，1111163114313n n nT ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-⎪⎝⎭-. 所以()()()()111111431431146331313131313131n n n n n n n n n n n T +++++-⋅⎛⎫==⋅<=- ⎪⋅-------⎝⎭.所以2312311113333n nT T T T ++++⋅⋅⋅⋅122311111116313131313131n n +⎛⎫<-+-+⋯⋯+- ⎪------⎝⎭11163231n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭.得证点睛：本题主要考查了等比数列的证明，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}na 和{}nb 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.21.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，SAB 是等边三角形．SAB ⊥底面ABCD ，23AB =，3BC =，1AD =，点M 是棱SB 上靠近点S 的一个三等分点．（1）求证：AM平面SCD ；（2）求二面角S CD B --的大小． 答案：（1）见解析；（2）60︒ 【分析】(1)取棱SC 上靠近点S 的一个三等分点N ,再证明AM ND ∥即可.(2)作SO AB ⊥,垂足为点O .再建立空间直角坐标系,分别求平面SCD 的一个法向量与平面BCD 一个法向量,利用法向量夹角的余弦值求二面角S CD B --的大小即可.解：（1）证明：取棱SC 上靠近点S 的一个三等分点N ,连接MN ,DN , 因为13SM SN SB SC ==,所以MN BC 且13MN BC =．因为AD BC ∥,所以MN AD ．又因为3BC =,1AD =,所以13AD BC MN ==．所以四边形MNDA 是平行四边形． 所以AMND ∥．又因为AM ⊄平面SCD ,ND ⊂平面SCD ,所以//AM 平面SCD ．（2）作SO AB ⊥,垂足为点O ．如图所示．因为SAB 是等边三角形,所以点O 是线段AB 的中点．因为侧面SAB ⊥底面ABCD , 侧面SAB底面ABCD AB =,SO AB ⊥,SO ⊂二侧面SAB ,所以SO ⊥底面ABCD ．所以以点O 为原点,OA 为x 轴,过点O 且平行于EC 的射线为y 轴,OS 为z 轴,建立如上图所示的空间直角坐标系O xyz -．因为23AB =3BC =,1AD =,SAB 是等边三角形, 所以132AO BO AB ===3sin 602332SO AS ︒=⋅==． 所以点(0,0,0)O ,3,0,0)A ,(3,1,0)D ,(3,3,0)C ,(0,0,3)S ,所以(3,1,3)SD =-,(3,3,3)SC =--．设平面SCD 的一个法向量为(,,)x y z =m ,则由00m SD m SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得3303330x y z x y z +-=-+-=⎪⎩,解得3232x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 令2z =,得平面SCD 的一个法向量为(3,3,2)m =．易知平面BCD 一个法向量为(0,0,1)n =．设二面角S CD B --的大小是θ,易知θ是锐角,则||1cos ||||2m n m n θ⋅===．又0180θ︒︒≤≤,所以60θ︒=．所以二面角S CD B --的大小是60︒．点评：本题主要考查了空间中平行垂直的证明与性质等,同时也考查了建立空间直角坐标系求解二面角的问题,属于中等题型. 22.已知函数1()2(2)x f x ea x -=-+，()(1ln )()g x a x a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 答案：（1）当2a ≤-时,()f x 在R 上单调递增,当2a >-时,()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）(,2]-∞ 【分析】(1)求导得1()2(2)x f x ea '-=-+,再分(2)0a -+≥与(2)0a -+<两种情况讨论即可.(2)将()()f x g x ≥中()g x 移至左边,再构造新函数1()ln 2(2)x h x a x e a x a -=+-++,根据第(1)问的结论,分2a ≤与2a >两种情况讨论()h x 的最小值即可. 解：（1）1()2(2)x f x ea x -=-+的定义域是R ,则1()2(2)x f x ea '-=-+．当(2)0a -+≥,即2a ≤-时,()0f x '>对任意x ∈R 恒成立,故函数()f x 在R 上单调递增 当(2)0a -+<,即2a >-时,令()0f x '<,得2ln12a x +<+；令()0f x '>,得2ln12a x +>+, 故函数()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上,当2a ≤-时,()f x 在R 上单调递增,当2a >-时,()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）()()f x g x ≥,即12(2)(1ln )x e a x a x --+≥-+,得1ln 2(2)0x a x e a x a -+-++≥．令1()ln 2(2)x h x a x ea x a -=+-++,则112(2)()2(2)x x a xe a x a h x e a x x-'--++=+-+=． 由（1）知,函数122x y ex -=-在区间(1,)+∞上单调递增,所以当1x >时,1022220x e x e -->-=,即在(1,)+∞上,恒有1x e x ->．所以在(1,)+∞上22(2)(2)(1)()x a x a x a x h x x x'-++-->=． ①当2a ≤时,()0h x '≥在区间[1,)+∞上恒成立,即()h x 在[1,)+∞上单调递增,所以()(1)0h x h ≥=（符合题意）；②当2a >时,由12(2)()x xe a x a h x x-'-++=,得12()2x a h x e x ''-=-+,且()h x ''在[1,)+∞上单调递增,又(1)20h a ''=-<,1210h ''=->,故()h x ''在上存在唯一的零点0x ,当[)01,x x ∈时,()0h x ''<,即()h x '在()01,x x ∈上单调递减,此时()(1)0h x h ''≤=,知()h x 在()01,x x ∈上单调递减,此时()(1)0h x h <=与已知矛盾（不合题意）． 综上,a 的取值范围是(,2]-∞．点评：本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与最值问题,同时也考查了利用导数解决恒成立问题与最值问题等,需要求导分情况进行最值的讨论,属于难题.。
2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考数学(理)试题(解析版)
（Ⅱ）若 ， ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）取 中点为 ，根据几何关系，求证四边形 为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；
（Ⅱ）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.
2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求解一元二次不等式解得集合 ，根据集合的交运算即可求得结果.
【详解】
，
故 .
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的运算、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属基础题.
6．已知幂函数 的图象过点 ，且 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意求得参数 ，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.
【详解】
依题意，得 ，故 ，
故 ， ， ，
则 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.
如下图所示：
不妨设 ，则 ，
所以 ， ， ， ， .
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 所以
可取 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 .
故可得直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.
19．已知椭圆 ： ，不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点.
河南省2020届高三数学尖子生11月诊断性检测试题文
．
2
15．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着
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广泛的应用，其定义为：R(x)
=
1
p
,当x
=
q p
( p, q都是正整数,
q 是既约真分数) p
，若函数
f
(x)
是定义
0,当x = 0,1或[0,1]上的无理数
在 R 上 的 奇 函 数 ， 且 对 任 意 x 都 有 f (2 − x) + f (x) = 0 ， 当 x [0,1] 时 ， f (x) = R(x) ， 则
（1）当 a = −1 时，求曲线 y = f (x) 在点 M (1, f (1)) 处的切线方程；
（2）当 a 1 时，求证：函数 g(x) = f (x) +1 恰有两个零点．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分．作答时请写清题号．
第 19 题
BE = 2a .
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………………………1 分
在梯形 ABCD 中， CBA = 90 ， AB = BC = a ， CD = 2a ， 所以 BD = 5a ， AD = 2a ， AC = 2a ，所以在 Rt △ DAE 中， DE = 3a .…………2 分
Tn
= 1
1 31
+
2
1 32
+
2
1 33
+
2
1 34
+
+
2
1 3n
− (2n
−1)
1 3n+1
河南省九师联盟2020届高三数学11月质量检测试题理(含解析)
河南省九师联盟2020届高三数学11月质量检测试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列集合中不同于另外三个集合的是（ ） A. {}3|1x x =B. {}4|1x x =C. {1}D.1|1x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】 【分析】计算每个集合中的元素再判断即可.【详解】{}4|1{1,1}x x ==-,另外三个集合都是{1}, 故选：B ．【点睛】本题主要考查集合中元素的求解,属于基础题型. 2.下列说法正确的是（ ） A. 若a b >，则44ac bc > B. 若a b <，则2211a b> C. 若a b c >>，则222a b c >> D. 若a b >，c d >，则a c b d +>+【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质或者举反例逐个选项判断即可. 【详解】对于A 选项,若0c,则命题错误．故A 选项错误；对于B 选项,取2a =-,1b =-,则满足a b <,但2211a b <,故B 选项错误； 对于C 选项,取1a =,2b =-,3c =-,则满足a b c >>,但222a b c <<,故C 选项错误； 对于D 选项,由不等式的性质可知该选项正确． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质,属于基础题型.3.已知向量(,3)a x =，(2,7)b =-，若()a b b -⊥，则实数x 的值为（ ） A. -16 B. 67-C.67D. 16【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标的运算与垂直的数量积为0求解即可.【详解】因为(,3)(2,7)(2,4)a b x x -=--=+-,且()a b b -⊥,所以()(2,4)(2,7)a b b x -⋅=+-⋅-=2(2)(4)70x -++-⨯=,解得16x =-． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算与向量垂直则数量积为0,属于基础题型. 4.若函数21()x f x e+=，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ）A. 220x y ++=B. 220x y -+=C. 220x y +-=D.220x y --=【答案】B 【解析】 【分析】 先求出12f ⎛⎫-⎪⎝⎭,再求导代入12x =-求得在切点出的切线斜率,再根据点斜式求解方程即可. 【详解】依题意,得0112f e ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,21()2x f x e '+=,则切线的斜率为122f '⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以切线方程为1122y x ⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即220x y -+=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,属于基础题型. 5.下列命题中正确的是（ ）A. 若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行B. 若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面C. 若不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D. 不共线的四点可以确定一个平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行与垂直的判定与性质,或举出反例逐个判断即可.【详解】在A 中,从正方体的一个顶点出发的三个平面是两两相交,但他们的交线互相垂直,故A 错误；在B 中,从正方体的一个顶点出发的三条棱可以确定三个平面,故B 错误；在C 中,不同的两条直线均垂直于同一个平面,则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行,故C 正确；在D 中,若四点连线构成两条异面直线,这时四点不能确定一个平面,故D 错误． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了线面垂直与平行的性质与判定,属于基础题型.6.若关于x 的不等式20x ax b +-<（a ，b 为常数）的解集为(2,1)-，则不等式230bx ax +->的解集是（ ） A. 3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B. 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 3(,1),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式20x ax b +-<（a ,b 为常数）的解集为(2,1)-可知2,1x =-为方程20x ax b +-=的两根即可求得,a b ,再求解230bx ax +->即可.【详解】由20x ax b +-<解集为(2,1)-,可得211(2)12a b -=-+=-⎧⎨-=-⨯=-⎩,解得12a b =⎧⎨=⎩．∴所求不等式230bx ax +->即为2230x x +->,解得32x <-或1x >．即不等式230bx ax +->的解集是3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次不等式的解集的性质,属于基础题型. 7.函数()3sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则将()f x 的图象向右平移4π个单位长度，所得函数图象的一个对称中心是（ ） A. ,04π⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,04π⎛⎫-⎪⎝⎭C. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.,03π⎛-⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为2π即可得()3sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期,再求得平移后的函数表达式,再求解对称中心即可.【详解】由题意．函数()f x 的最小正周期为π,则2ππω=,解得2ω=,所以()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度．所得函数3sin 246y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭．令2()3x k k ππ-=∈Z ,得()26k x k ππ=+∈Z , 所以所得函数图象的一个对称中心是,03π⎛-⎫⎪⎝⎭． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数图像的平移与基本性质,属于中等题型. 8.已知实数a ，b 满足0b >，||1a b +=，则120192019||a a b++的最小值为（ ）A. 2018B. 2019C. 2020D. 2021【答案】D 【解析】 【分析】 将12019||a a +拆成12019||2019||a a a +,再根据||1ab +=构造12019(||)2019||a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的结构,利用基本不等式从而求得最小值.【详解】因为0b >,||1a b +=,所以12019120192019||2019||2019||2019||a a a ab a a b a ++=++=+1201912019||(||)20192019||2019||20192019||a b a a b a b a a b ⎛⎫+⋅+=++++ ⎪⎝⎭1120192019≥-++20192021+=, 当且仅当0a <,2019||2019||b a a b =,即12020a =-,20192020b =时等号成立．故选：D ．【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用与构造,属于中等题型.9.在单调递减的等比数列{}n a 中，已知3a ，5a 为一元二次方程2204081729x x -+=的两个根，则其前n 项和为（ ）A. 31729n -B. 131243n +-C. 1313n n --D. 1313n n+- 【答案】C 【解析】 【分析】由3a,5a为一元二次方程22040 81729x x-+=与单调递减的等比数列{}n a可求得35,a a进而求得13 q=.再利用求和公式求前n项和即可.【详解】设等比数列{}n a的公比为q,由已知得352081a a+=,35354,729a a a a=>,所以329a=,5281a=,2532918129aqa==⨯=,又数列{}na单调递减,所以13q=,3122929aaq==⨯=, 所以其前n项和为11213311313nnn-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=-．故选：C．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质与求和,属于基础题型.10.函数()ln2(1)2(1)x xf xx x⎡⎤=--⎢⎥-+⎣⎦的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得()ln2(1)2(1)x xf xx x⎡⎤=--⎢⎥-+⎣⎦求得定义域,排除A,D,再分析当1x>时的单调性即可.详解】22(1)(1)11 ()ln ln ln ln ln 2(1)2(1)2(1)(1)1x x x x x x x xf x xx x x x x x x ⎡⎤+---⎛⎫=--=-=-==-⎪⎢⎥-+-+-⎝⎭⎣⎦, 由10x x->得10x -<<或1x >,即函数()f x 的定义域为(1,0)(1,),故A,D 错误；当1x >时,1y x x =-为增函数,所以1()ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为增函数,所以排除C ．故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数图像的判定,属于基础题型.11.在三棱锥A BCD -中，BCD 是边长为3的等边三角形，3BAC π∠=，二面角A BC D --的大小为θ，且1cos 3θ=-，则三棱锥A BCD -体积的最大值为（ ）A.36B.6 C.3 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】画图分析,设AB x =,AC y =,在BCD 中利用BAC ∠对应的余弦定理求得,x y 的关系式,再表达出三棱锥A BCD -体积关于,x y 的关系式利用基本不等式求解即可. 【详解】设AB x =,AC y =,因为3BAC π∠=,所以2223BC x y xy =+-=,所以223x y xy =+-2xy xy xy ≥-=,即3xy ≤,当且仅当3x y ==时等号成立．过A 作AO ⊥平面BCD ,垂足为O ,作AE BC ⊥垂足为E ,连接OE ,则AEO πθ∠=-, 所以sin()sin AO AE AE πθθ=-=122193AE AE =-=,又11sin 223BC AE xy π⋅=,所以12AE xy =,所以22AO xy =≤,所以113633344A BCD BCDV SAO AO -=⋅=⋅⋅⋅≤．【点睛】本题主要考查了基本不等式在立体几何中的运用,需要根据题意建立未知量的关系,再根据关系选用合适的基本不等式求解.属于中等题型.12.已知定义域为R 的函数2log (1),1()1,12,1x x f x x x +>-⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞，则()123f x x x b c ++++=（ ）A. 2log 5B. 2log 6C. 3D. 2【答案】A 【解析】 【分析】对每个分段中的函数表达式讨论,即可得11x =-,再根据只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞,可分析得()1,2f x =为2()()0f x bf x c --=的根,进而求得3b =,2c =-．再求()123f x x x b c ++++即可.【详解】当1x >-时．函数()f x 单调递增,则关于x 的方程2()()0f x bf x c --=在(1,)-+∞内至多只有两个解,所以1x =-必为其中一解,即11x =-．故当1x =-时,2()()0f x bf x c --=,此时由函数()1f x =,得10b c --=；①若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解,则当1x <-时, ()2f x =也一定满足2()()0f x bf x c --=,代入得420b c --=．②联立①②,解得3b =,2c =-．当1x >-时,2()log (1)=+f x x ,由2()()0f x bf x c --=即2()3()20f x f x -+=,得22log 2(1)3log (1)20x x +-++=,解得2log (1)1x +=或2log (1)2x +=,解得21x =或33x =．所以()1232(11332)(4)log 5f x x x b c f f ++++=-+++-==．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用以及复合函数的问题,需要根据题意分析每个根满足的条件与具体值等.属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，448a b ==，则33a b +=________． 【答案】293【解析】 【分析】根据等差等比数列的性质先求得公比公差,再求得33a b +即可. 【详解】由4137173733a a d d a -==⇒=⇒=,34182b q q b ==⇒=,34b =,则331729433a b +=+=． 故答案为：293【点睛】本题主要考查了等差等比数列的基本性质与运用,属于基础题型.14.若命题“0x R ∃∈，使得201k x >+成立”是假命题，则实数k 的取值范围是________．【答案】(,1]-∞ 【解析】 【分析】由题意先找到等价命题“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”,再求21x +的最小值即可.【详解】“0x R ∃∈,使得201k x >+成立”是假命题等价于“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”是真命题．因为211x +≥,即21x +的最小值为1,要使“21k x ≤+恒成立”,只需()2min1k x ≤+,即1k ≤．故答案为：(,1]-∞【点睛】本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于简单题型.15.若x ，y 满足约束条件2201220x y y x y -+≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为________．【答案】-7 【解析】 【分析】画出可行域,再判断3z x y =+取最小值时的点即可.【详解】画出约束条件2201220x y y x y -+≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩,表示的平面区域（阴影部分）如图所示：平移直线30x y +=,由图形知,当目标函数3z x y =+过点M 时取得最小值,由2201x y y -+=⎧⎨=-⎩,解得(4,1)M --．代入得min (4)3(1)7z =-+⨯-=-．所以3z x y =+的最小值为―7． 故答案为：-7【点睛】本题主要考查了线性规划的不等式问题,属于基础题型.16.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2Q .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2Q 的表面积为______. 【答案】29π 【解析】 【分析】先求出球O 1的半径，再求出球2Q 的半径，即得球2Q 的表面积. 【详解】由题得AC=5,设球O 1的半径为r ，由题得11345)34,122r r r r ++=⨯⨯∴=（. 所以棱柱的侧棱为22r.所以球2Q 的表面积为2429ππ⋅=. 故答案：29π【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知在ABC 中. ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2228a b c ，ABC 的面积为(1)求角C 的大小;(2)若c =,求 sin A sin B +的值. 【答案】（1）3π；（2）32【解析】 【分析】(1)由三角形的面积为得到12absinC =，由余弦定理以及2228a b c +-=得到28abcos C =，进而可求出tan C ，得到角C ；(2)由(1)的结果，先求出ab ，根据c =a b +，再由正弦定理可得sin sin sin sin a C b CA B c c+=+，即可求出结果.【详解】（1）由ABC ∆的面积为 12absinC =，由2228a b c +-=及余弦定理可得28abcos C =，故tan 3C π==;(2)∵,2cos 8,83C ab C ab π==∴=又2228,a b c c +-==6a b += 由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==,得()sin sin sin 3sin sin 2a Cb C C A B a bc c c +=+=+= 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.18.城市中大量公园的兴建意味着建筑让位，还地于民，城市公共空间被越来越充分地打开．这种打开不只是物理意义上的空间开放，而是使城市公园不仅供民众用来休憩、娱乐、锻炼，还用于相互交往、传播文化、锤炼公民意识，让城市与人建立更好的连接，推动城市回归人本．某城市计划在靠近环城公路Ax ，Ay 的P 处建一所职业技校，且配套修建一条道路BC ，并把三条路围成的三角形区域开辟为休闲公园（如图）．经测量P 到Ax ，Ay 的距离PE ，PF 分别为4 km ，3 km ，若,2BAC πθθπ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3sin 4θ=，km AB x =，km AC y =．（1）试建立x ，y 间的等量关系；（2）为尽量减少土地占用，试问如何确定B 点的位置，才能使得该公园的面积最小？并求最小面积．【答案】（1）3434x y xy +=；（2）当8km AB =时，最小面积为232km 【解析】 【分析】 (1)根据ABCABPAPCSSS=+建立等量关系即可.(2)由(1)有3434x y xy +=,表达出公园的面积38ABCS xy =,再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为Р到Ax ．Ay 的距离分别为4,3．所以4PE =,3PF =．因为11143(43)222ABC ABP APCSSSx y x y =+=⋅⋅+⋅⋅=+,① 又1324ABC S xy =⨯,②,所以3434x y xy +=．（2）因为43212x y xy +≥所以32124xy xy ≥,解得2563xy ≥．当且仅当43x y =时,取“＝”,即8x =,323y =．所以38ABCS xy =有最小值32． 所以当8km AB =时,该公园的面积最小,最小面积为232km ．【点睛】本题主要考查了基本不等式的实际运用,需要根据题目条件列出对应的表达式,再根据变量间的关系选用合适的基本不等式即可.属于中等题型.19.已知函数()4(sin cos )cos 2(0)f x x x x ωωωω=-+>图象的一个对称中心为,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，设函数()f x 的最小正周期为T ． （1）求T 的最大值；（2）当T 取最大值时，若82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，04πα<<，求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）π；（2 【解析】 【分析】(1)利用降幂公式与辅助角公式求得()24f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭,再根据一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭求得41()k k ω=+∈Z ,再求T 的最大值即可.(2)由(1)有()24π⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ,利用82f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭求得sin 24α=,再求得cos2α,利用降幂公式求解sin ,cos αα与sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭即可.【详解】（1）由题意得()4(sin cos )cos 2f x x x x ωωω=-+24sin cos 4cos 2x x x ωωω=-+2sin22cos2x x ωω=-24x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭,所以2()84k k ππωπ⋅-=∈Z ,得41()k k ω=+∈Z ．又0>ω,所以ω最小值为1．所以T 的最大值为22ππ=．（2）由（1）知,()24π⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ,若82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则22842ππαα⎡⎤⎛⎫+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即sin 2α=．因为04a π<<,所以022πα<<．所以3cos24α==．所以sin 44αα====．所以1sin sin cos cos sin 44442424πππααα+⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换中的公式,包括降幂公式、辅助角公式等.需要根据题目中角度的关系选用合适的公式,属于中等题型.20.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足126n n a S +=+，且16a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：23123111133333nnT T T T ++++<⋅⋅⋅⋅. 【答案】(Ⅰ) 16323n nn a -=⋅=⋅；(Ⅱ)【解析】试题分析：（Ⅰ）根据1n n n a S S -=-得出{}n a 是等比数列，从而可得{}n a 的通项；（Ⅱ）求出n T ，利用裂项法计算2312311113333n nT T T T ++++⋅⋅⋅⋅得出结论. 试题解析：(Ⅰ)由已知得当2n ≥时，()1122n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=， 又2112626183n a S a a =+=+==.所以{}n a 是以16a =为首项，3为公比的等比数列，所以16323n nn a -=⋅=⋅.(Ⅱ)由(Ⅰ)得1123n n a =⋅，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，1111163114313nn nT ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-⎪⎝⎭-. 所以()()()()111111431431146331313131313131n n n n n n n n n n n T +++++-⋅⎛⎫==⋅<=- ⎪⋅-------⎝⎭.所以2312311113333n nT T T T ++++⋅⋅⋅⋅ 122311111116313131313131n n +⎛⎫<-+-+⋯⋯+- ⎪------⎝⎭ 11163231n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭.得证点睛：本题主要考查了等比数列的证明，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.21.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，SAB 是等边三角形．SAB ⊥底面ABCD ，23AB =，3BC =，1AD =，点M 是棱SB 上靠近点S 的一个三等分点．（1）求证：AM平面SCD ；（2）求二面角S CD B --的大小． 【答案】（1）见解析；（2）60︒ 【解析】 【分析】(1) 取棱SC 上靠近点S 的一个三等分点N ,再证明AM ND ∥即可.(2) 作SO AB ⊥,垂足为点O .再建立空间直角坐标系,分别求平面SCD 的一个法向量与平面BCD 一个法向量,利用法向量夹角的余弦值求二面角S CD B --的大小即可.【详解】（1）证明：取棱SC 上靠近点S 的一个三等分点N ,连接MN ,DN , 因为13SM SN SB SC ==,所以MN BC 且13MN BC =．因为AD BC ∥,所以MN AD ．又因为3BC =,1AD =,所以13AD BC MN ==．所以四边形MNDA 是平行四边形．所以AM ND ∥．又因为AM ⊄平面SCD ,ND ⊂平面SCD ,所以//AM 平面SCD ．（2）作SO AB ⊥,垂足为点O ．如图所示．因为SAB 是等边三角形,所以点O 是线段AB 的中点．因为侧面SAB ⊥底面ABCD , 侧面SAB底面ABCD AB =,SO AB ⊥,SO ⊂二侧面SAB ,所以SO ⊥底面ABCD ．所以以点O 为原点,OA 为x 轴,过点O 且平行于EC 的射线为y 轴,OS 为z 轴,建立如上图所示的空间直角坐标系O xyz -．因为23AB =3BC =,1AD =,SAB 是等边三角形, 所以132AO BO AB ===3sin 602332SO AS ︒=⋅==． 所以点(0,0,0)O ,3,0,0)A ,3,1,0)D ,(3,3,0)C ,(0,0,3)S ,所以(3,1,3)SD =-,(3,3,3)SC =--．设平面SCD 的一个法向量为(,,)x y z =m ,则由00m SD m SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得3303330x y z x y z +-=+-=⎪⎩,解得332x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 令2z =,得平面SCD 的一个法向量为3,3,2)m =．易知平面BCD 一个法向量为(0,0,1)n =． 设二面角S CD B --的大小是θ,易知θ是锐角,则222|||(3,3,2)(0,0,1)|1cos ||||2(3)321m n m n θ⋅⋅===++⨯．又0180θ︒︒≤≤,所以60θ︒=．所以二面角S CD B --的大小是60︒．【点睛】本题主要考查了空间中平行垂直的证明与性质等,同时也考查了建立空间直角坐标系求解二面角的问题,属于中等题型. 22.已知函数1()2(2)x f x ea x -=-+，()(1ln )()g x a x a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）当2a ≤-时,()f x 在R 上单调递增,当2a >-时,()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）(,2]-∞ 【解析】 【分析】(1)求导得1()2(2)x f x ea '-=-+,再分(2)0a -+≥与(2)0a -+<两种情况讨论即可.(2)将()()f x g x ≥中()g x 移至左边,再构造新函数1()ln 2(2)x h x a x e a x a -=+-++,根据第(1)问的结论,分2a ≤与2a >两种情况讨论()h x 的最小值即可. 【详解】（1）1()2(2)x f x ea x -=-+的定义域是R ,则1()2(2)x f x ea '-=-+．当(2)0a -+≥,即2a ≤-时,()0f x '>对任意x ∈R 恒成立,故函数()f x 在R 上单调递增 当(2)0a -+<,即2a >-时,令()0f x '<,得2ln12a x +<+；令()0f x '>,得2ln12a x +>+, 故函数()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上,当2a ≤-时,()f x 在R 上单调递增,当2a >-时,()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）()()f x g x ≥,即12(2)(1ln )x e a x a x --+≥-+,得1ln 2(2)0x a x e a x a -+-++≥．令1()ln 2(2)x h x a x ea x a -=+-++,则112(2)()2(2)x x a xe a x a h x e a x x-'--++=+-+=． 由（1）知,函数122x y ex -=-在区间(1,)+∞上单调递增,所以当1x >时,1022220x e x e -->-=,即在(1,)+∞上,恒有1x e x ->．所以在(1,)+∞上22(2)(2)(1)()x a x a x a x h x x x'-++-->=． ①当2a ≤时,()0h x '≥在区间[1,)+∞上恒成立,即()h x 在[1,)+∞上单调递增,所以()(1)0h x h ≥=（符合题意）；②当2a >时,由12(2)()x xe a x a h x x-'-++=,得12()2x a h x e x ''-=-+,且()h x ''在[1,)+∞上单调递增,又(1)20h a ''=-<,1210h ''=->,故()h x ''在上存在唯一的零点0x ,当[)01,x x ∈时,()0h x ''<,即()h x '在()01,x x ∈上单调递减,此时()(1)0h x h ''≤=,知()h x 在()01,x x ∈上单调递减,此时()(1)0h x h <=与已知矛盾（不合题意）． 综上,a 的取值范围是(,2]-∞．【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与最值问题,同时也考查了利用导数解决恒成立问题与最值问题等,需要求导分情况进行最值的讨论,属于难题.。
河南省顶级2020届高三尖子生11月诊断性检测理综试卷 Word版含答案
D．E 球与 D 球用导线相连，二者均带电 21．如图所示，粗糙的水平面上有一根右端固定的轻弹簧，其左端自由伸长到 b 点，质量为 2kg 的滑
块从 a 点以初速度 v0=6m/s 开始向右运动，与此同时，在滑块上施加一个大小为 20N，与水平方 向夹角为 53°的恒力 F，滑块将弹簧压缩至 c 点时，速度减小为零，然后滑块被反弹至 d 点时， 速度再次为零，已知 ab 间的距离是 2m，d 是 ab 的中点，bc 间的距离为 0.5m，g 取 10m/s2，sin53°=0.8， cos53°=0.6，则下列说法中正确的是
法正确的是
A．简单离子的半径：Y＞W＞X
B．最高价氧化物对应水化物的碱性：Y﹤W
C．单质的熔点：Z＞W＞X
D．Y、Z 的氧化物均不能溶解于水中，且均为碱性氧化物
10．CuSO4 是一种重要的化工原料，其制备途径及性质如图所示（假设恰好完全反应）。下列说法正
确的是
稀硫酸 硝酸 1
1100 C
混合气体X
为惰性电极。下列说法不正确的是 A．若交换膜为质子交换膜，则 NaOH 溶液的浓度逐渐变大，
需要定期更换 B．若交换膜为阳离子交换膜，b 电极区会产生红褐色沉淀 C．电极 a 为阳极 D．反应池中处理 H2S 的反应是 H2S +2Fe3+=2Fe2++S↓+2H+ 13．常温下，向浓度均为 0.1mol·L−1、体积均为 100mL 的两种一元酸 HA、HB 的溶液中，分别加入
一定条件下和 H2 反应，共消耗 6molH2。
A．①②③⑥
B．①②⑤
C．①④⑤⑥
D．①②④⑤⑥
9．W、X、Y、Z 为元素周期表中的主族元素，且原子序数均不大于 20，W 的原子序数最大，X 位于
2020届河南省八市重点高中联盟领军考试高三11月数学(理)试题(解析版)
2020届河南省八市重点高中联盟领军考试高三11月数学（理）试题一、单选题1．已知集合(){}|ln 2A x y x ==+，{}2|60B x x x =--≥，则A B =I （ ）A ．()2,-+∞B ．[)2,-+∞C ．()3,+∞D ．[)3,+∞ 【答案】D【解析】分别计算出集合A B 、,再由交集的运算计算出A B I ，可得答案. 【详解】解：由已知可得:{|20}{|2}A x x x x =+>=>-，{}|(3)(2)0B x x x =-+≥{|2x x =≤-或}3x ≥，所以[)3,A B ∞=+I .故选：D. 【点睛】本题主要考查交集的运算，求出集合A B 、是解题的关键.2．下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ） A ．1y x=-B ．22y x =C ．sin 2y x =D ．lg y x =-【答案】D【解析】根据偶函数及函数单调性的定义对各个选项一一进行判断，可得答案. 【详解】解：对于A ，函数1y x=-是奇函数，在区间()0,∞+上单调递增，不符合题意； 对于B ，函数22y x =是偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，不符合题意；对于C ，函数sin 2y x =是奇函数，在区间()0,∞+上不是单调函数，不符合题意； 对于D ，函数lg y x =-是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递减，符合题意. 故选：D. 【点睛】本题主要考查具体函数的单调性与奇偶性的判断，属于基础题型. 3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()22x x f f x'=-，则()2f '=（ ）A ．165B ．165-C ．516D ．516-【答案】B【解析】求导，可得()()222f x xf x ''=--，代入2x =，可得()2f '的值. 【详解】 由()()22x x f f x '=-求导得()()222f x xf x ''=--.令2x =，得()()2424f f ''=--，解得()1526f '=-.故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的定义及运算，属于基础题型.4．若0.3log 4a =，0.40.3b =，0.34c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】A【解析】由指数函数、对数函数的性质判断,,a b c 所在的范围，可得其大小关系. 【详解】解：可得0303log 4log 10a =<=，0.4000.30.31b <=<=， 0.30441c =>=，所以a b c <<,故选：A. 【点睛】本题主要考查函数值大小的比较，熟悉指数函数、对数函数的性质判断出,,a b c 所在的范围是解题的关键.5．函数()3x xx e f e x -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()3x xx e f ex -=-，可得()()f x f x -=，可得函数()f x 是偶函数，排除选项A ，C ，又当0x >时，()0f x >，排除选项D ，可得答案. 【详解】解：由已知可得函数的定义域为{|0}x x ≠，()()33x xx x x x f x e e e ef x ---===---，所以函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，可排除选项A ，C ； 又当0x >时，30x >，210x x xxe e ee---=>，所以()0f x >，可排除选项D ， 故选：B. 【点睛】本题考查函数图像的识别和判断、函数奇偶性等知识，注意数形结合思想的运用.6．已知变量,x y 满足约束条件240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最小值为（ ）A ．4-B ．0C ．3D ．4【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可. 【详解】解：作出约束条件240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的可行域，如图所示.由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线32y x =，可知当直线过点()0,2A 时，z 取得最小值，为0224-⨯=-. 故选：A. 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解释解题的关键.7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，5AD =，,E F 分别为111,DD C D 的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A ．15B 15C 715D 715【答案】C【解析】取1CC 的中点G ，连接,BG FG .易得//AE FG ，所以FBG ∠是异面直线AE 与BF 所成的角（或其补角），在FBG △中，分别求出BG 、 FG 、BF 的值，由余弦定理可得cos FBG ∠的值. 【详解】解：如图，取1CC 的中点G ，连接,BG FG .易得//AE FG ，所以FBG ∠是异面直线AE 与BF 所成的角（或其补角）.在FBG △中，()2222516BG BC CG =+=+=2211FG C F C G =+22112=+=，2211BF C F C B =+=()22215210++=由余弦定理，可得222cos 2BG BF FG FBG BG BF +-∠=⋅⋅715302610==⨯⨯. 故选：C. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，求出FBG ∠是异面直线AE 与BF 所成的角（或其补角）并进行计算是解题的关键.8．已知等差数列{}n a 为递增数列，且满足146,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项和n S 最小时，n 的值为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．9或10【答案】D【解析】由题意等差数列{}n a 为递增数列，且满足146,,a a a 成等比数列，可得190a d +=即100a =，可得当当9n =或10时，n S 最小，可得答案.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为等差数列{}n a 为递增数列，所以0d >.又因为146,,a a a 成等比数列，所以2416a a a =，即()()211135a d a a d +=+，化简得190a d +=，即100a =，结合等差数列{}n a 为递增数列，可得129,,,a a a L 都小于10a ，即都小于0，所以当9n =或10时，n S 最小. 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与基本量的计算、等差数前n 项和的最值问题，考查数学计算能力与分析能力.9．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．当4πx =-时，函数()f x 取最小值 B ．()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()f x 在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 的图象可由2sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位得到 【答案】B【解析】根据函数图像可求出A 、ω、ϕ的值，可得()f x 的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案. 【详解】解：由图象得，2A =，5241243T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则23T πω==. 又5212f π⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以5332()122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，所以2()4k k Z πϕπ=+∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，所以()2sin 34x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 对于A ，当4πx =-时，24f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，为函数最小值，故A 正确； 对于B ，当12x π=时，2sin 3212124f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数图象关于直线12x π=对称，不关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 错误；对于C ，由232242k x k πππππ-+≤+≤+，可得22()43123k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，令0k =，可得412x ππ-≤≤，所以()f x 在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确； 对于D ，由2sin 34y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位得到2sin 364y x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 34x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的知识，掌握()()sin f x A x =+ωϕ的图像与性质及参数的含义求出()f x 的表达式是解题的关键.10．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，2BD =，以BD 为折痕将ABD △折起，使点A 到达点P 的位置，且2PC =，则空间四面体P BCD -的外接球的表面积为（ ）A ．5πB ．4πC ．3πD ．52π【答案】A【解析】根据空间四面体棱长特征，将其补成长方体，可得四面体P BCD -的外接球也是该长方体的外接球，由长方体的外接球的性质可得其外接球的半径，可得该四面体外接球的表面积. 【详解】解：根据空间四面体棱长特征，将其补成长方体，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，2222224,4,2,a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩所以2225a b c ++=，由上图可知，四面体P BCD -的外接球也是该长方体的外接球，设外接球的半径为R ，根据长方体的性质知，2222(2)5R a b c =++=．故该四面体外接球的表面积为224(2)5S R R πππ===． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球问题，将四面体P BCD -的外接球转化为长方体的外接球进行计算是解题的关键.11．在ABC V 中，2AB =，点,D E 在AB 上，且AD DE EB ==，若3CA CB ⋅=u u u r u u u r，则CD CE ⋅u u u r u u u r的值是（ ）A ．359B ．329C ．113D ．53【答案】A【解析】设AB 的中点为O ,由3CA CB ⋅=u u u r u u u r，可得223CA CB CO OA ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，同时由题意可得24CO =u u u r ，13OD =u u u r ，可得22CD CE CO OD ⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得答案.【详解】解：如图，设AB 的中点为O .因为()()CA CB CO OA CO OB ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()CO OA CO OA =+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 223CO OA =-=u u u r u u u r .因为112OA AB ==u u u r u u u r ，所以24CO =u u u r .又因为AD DE EB ==，所以OD OE =-u u u r u u u r ，21133OD AO AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，所以()()CD CE CO OD CO OE ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()CO OD CO OD =+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22135499CO OD =-=-=u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，由题意求出24CO =u u u r ，13OD =u u u r 是解题的关键.12．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，则不等式()1xf x e -≥的解集为（ ）A ．(],1-∞B ．(],e -∞C ．[)1,+∞D ．[),e +∞【答案】C【解析】由()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，可得()()0f x f x +'>，令()()xg x e f x =⋅，对其求导可得()0g x '>，可得函数()g x 在R 上单调递增，可得()1g e =，()()1g x g ≥可得原不等式的解集.【详解】 解：解：因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x +'>. 令()()xg x e f x =⋅，则()()()0xg x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1g e =，不等式()1xf x e -≥，可变形为()xe f x e ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1xf x e -≥的解集为[)1,+∞. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及解不等式，由题意构造出函数()()x g x e f x =⋅进行求解是解题的关键.二、填空题13．己知向量()2,4a =-r ，()1,3b m =-r，若()2a b a -⊥r r r ，则9log m =__________.【答案】32【解析】由题意计算可得2(5,11)a b m -=--r r，由()2a b a -⊥r r r ，可得()20a b a -⋅=r r r ，代入可得m 的值，可得答案. 【详解】解:由已知可得2(5,11)a b m -=--r r，因为()2a b a -⊥r r r ，所以()()225a b a m -⋅=-r r r()4110-⨯-=，解得27m =，所以993log log 272m ==, 故答案为：32. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算、向量垂直性质，考查运算求解能力，属于基础题型. 14．比萨斜塔建造于1173年8月，是人类历史上著名的建筑奇迹.已知比萨斜塔的倾斜角度为3.99度，偏移距离为4.09米，圆形地基面积为285平方米.若比萨斜塔可近似看成圆柱体，则其侧面积约为__________平方米.（结果保留整数.参考数据：sin3.990.07︒≈，9.7≈，3π≈）【答案】3399【解析】由题意计算出比萨斜塔的高度为h 与圆形地基的半径r ，由圆柱体侧面积公式2S rh π=代入各数据可得答案.【详解】解：设比萨斜塔的高度为h 米，则由已知可得 4.09 4.0958.4sin 3.990.07h =≈≈︒米.设圆形地基的半径为r 米，则2285r π=，解得9.7r ≈≈，所以比萨斜塔的侧面积为2239.758.43399S rh π=≈⨯⨯⨯≈平方米， 故答案为：3399. 【点睛】本题主要考查圆柱体侧面积的计算，相对不难，求出比萨斜塔的高度为h 与圆形地基的半径r 是解题的关键.15．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足：11a =，1,21n n a a n +-=-，nS=__________.【答案】21222nn n++--【解析】将1,21n na a n+-=-变形为()()112n na n a n+++=+，可得数列{}na n+是公比为2的等比数列，可得数列{}na n+的通项公式，可得数列{}n a的通项公式，可得nS的值.【详解】解：由121n na a n+-=-，可得()()112n na n a n+++=+，所以数列{}na n+是公比为2的等比数列，又112a+=所以2nna n+=，所以2nna n=-，所以()222212nnS n=+++-+++L L()()2211212n n n-+=--21222nn n++=--. 【点睛】本题主要考查由递推式求数列通项公式及数列前n项的和，构造出数列{}na n+，后求出数列{}n a的通项公式进行求解是解题的关键.16．如图，在平面四边形ACBD中，ABCV是等边三角形，且22AD BD==，则ACDV面积的最大值为__________.31【解析】设ADBα∠=，BADβ∠=，由余弦定理可得254cosABα=-，23cos4ACACβ+=,由正弦定理可得sinsinACαβ=，由1sin23ACDS AC ADπβ⎛⎫=⋅⋅+⎪⎝⎭△，对其进行化简由三角函数性质，可得其最大值. 【详解】解：设ADB α∠=，BAD β∠=，则由余弦定理，可得22221AB =+-22cos 54cos αα⨯⨯=-，22221cos 22AB AB β+-=⨯⨯234AC AC +=.又由正弦定理，可得sin sin BD AB βα=，即sin sin ACαβ=，所以 1sin 23ACD S AC AD πβ⎛⎫=⋅⋅+ ⎪⎝⎭△1sin 2AC ββ⎛⎫=⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭21sin 324AC AC AC AC α⎛⎫+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭213sin 24AC α+=154cos 3sin 24αα-+=+1sin 2αα=-sin 3πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又因为0απ<<，故当56πα=时，ACD ∆1，1. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形的面积公式，考查学生的运算求解能力，属于中档题.三、解答题17．在平面直角坐标系中，已知量cos ,sin 3a πθθ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ，sin ,cos 3b πθθ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ，其中,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）若//a b r r ，求tan 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）若1sin 24θ=，求a b ⋅r r 的值. 【答案】（1）1（2）116【解析】（1）由//a b r r，可得cos cos sin sin 33ππθθθθ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 203πθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 由题意求出θ的值，可得tan 6πθ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）由题意可得22πθπ<<，可求出cos2θ的值，可得sin cos sin cos 33a b ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⋅=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r 112sin 2sin 2223πθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭代入sin 2θ，cos2θ可得答案. 【详解】解：（1）因为//a b r r ， 所以cos cos sin sin 33ππθθθθ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 203πθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 因为42ππθ<<，所以22633πππθ<-<. 所以232ππθ-=，解得512πθ=. 所以5tan tan 6126πππθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 14π==. （2）因为42ππθ<<，所以22πθπ<<.又因为1sin 24θ=，所以cos 2θ==. 所以sin cos sin cos 33a b ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⋅=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r 112sin 2sin 2223πθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭112sin 2sin 2cos 223πθθ=+12cos 2sin 23πθ-1sin 224θθ=114444⎛⎫=⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭116=. 【点睛】本题主要考查平面向量平行的性质、平面向量的数量积及三角函数的恒等变换等知识，考查学生的综合计算能力，属于中档题.18．在ABC V 中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，且2cos 2b cC a-=. （1）求A ； （2）若b =cos 3B =，求ABC V 的面积. 【答案】（1）3A π=（2【解析】（1）由正弦定理，将2cos 2b cC a-=进行化简可得1sin cos sin sin 2A C CB +=，将sin sin()B AC =+代入进行化简可得cos A 的值，可得答案； （2）由cos 3B =可得sin B 的值，由直线定理计算出a 的值，同时由sin sin()C A B =+可得sin C 的值，代入1sin 2ABC S ab C =V 可得答案. 【详解】解：（1）因为2cos 2b cC a-=， 由正弦定理，可得2sin sin cos 2sin B C C A -=，即1sin cos sin sin 2A C CB +=.又因为sin sin()B A C =+=sin cos cos sin A C A C +， 所以1sin cos sin 2C A C =. 又因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =. 又因为0A π<<，所以3A π=.（2）因为0B π<<，cos 3B =，所以sin 3B ==.由正弦定理，可得sin 3sin 23b ABa ===.又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=33163623236+⨯+⨯=. 所以1sin 2ABC S ab C ==△1336233222268++⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，及三角函数的恒等变换等知识，注意定理的灵活运用及运算准确.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，,E F 分别为,PA BD 的中点，2PD AD ==.（1）求证：//EF 平面PBC ； （2）求二面角D EF P --的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）223【解析】（1）连接AC ，易得//EF PC ，由线面平行的判定定理可得//EF 平面PBC ； （2）以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线为坐标轴，由空间向量法可得二面角D EF P --的余弦值，可得其二面角D EF P --的正弦值.【详解】证明：（1）连接AC .因为四边形ABCD 为正方形，所以F 也是AC 中点.因为E 为PA 中点，所以//EF PC . 又PC ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ， 所以//EF 平面PBC .（2）因为PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形， 所以,,AD CD PD 两两垂直.以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)D ，(1,0,1)E ，(1,1,0)F ，(0,0,2)P ，所以(1,0,1)DE =u u u r ，(0,1,1)EF =-u u u r ，(1,0,1)PE =-u u u r.设平面DEF 的一个法向量为()111,,m x y z =u r，则11110,0,DE m x z EF m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v vu u u v v 令11x =，则111y z ==-， 所以(1,1,1)m =--u r.设平面PEF 的一个法向量为()222,,n x y z =r，则22220,0,PE n x z EF n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v vu u u v v ，令21x =，则221y z ==， 所以(1,1,1)n =r.所以1cos ,3m n m n m n⋅〈〉==-⋅u r ru r r ur r ，所以sin ,3m n 〈〉==u r r ，即二面角D EF P --的正弦值为3. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理及向量法求二面角，考查学生的空间想象能力与运算求解能力.20．2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，同时带动了垃圾桶的销售.某垃圾桶生产和销售公司通过数据分析，得到如下规律：每月生产x 只垃圾桶的总成本()G x 由固定成本和生产成本组成，其中固定成本为100万元，生产成本为()2150100R x x x =+.（1）写出平均每只垃圾桶所需成本()f x 关于x 的函数解析式，并求该公司每月生产多少只垃圾桶时，可使得平均每只所需成本费用最少？（2）假设该类型垃圾桶产销平衡（即生产的垃圾桶都能卖掉），每只垃圾桶的售价为a元，a 满足(),xa m m n R n=+∈.若当产量为15000只时利润最大，此时每只售价为300元，试求,m n 的值.（利润=销售收入-成本费用）【答案】（1）每只的成本费用为250元.（2）250m =，300n =. 【解析】（1）由题意写出生产成本()G x 的表达式，可得()()f x G x x=，利用基本不等式计算()f x 的最小值，并求出所对应的x 的值；（2）由题意可得利润函数()()g x ax G x =-，结合题意列出方程，可得,m n 的值. 【详解】解：（1）由题意知，生产成本为()21100000050100G x x x =++， 所以()()100000050100G x x x f x x==++.又()100000050100x x f x =++≥50250=， 当且仅当1000000100x x=，即10000x =时，()f x 取得最小值250元. 即该公司生产1万只垃圾桶时，使得每只平均所需成本费用最少，且每只的成本费用为250元.（2）由已知可得，利润()()x ax G x x m n g x ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭21100000050100x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭()211501000000100x m x n ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭.因为当产量为15000只时利润最大，此时每只售价为300元，所以110,10015000300,5015000,112100n m n m n ⎧⎪⎪-<⎪⎪⎪+=⎨⎪-⎪-=⎪⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩解得250m =，300n =. 【点睛】本题主要考查函数模型的实际应用及基本不等式在最值问题的应用，考查学生分析问题和解决实际问题的能力，属于中档题.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，数列{}n b 满足112b a =，且11n n n b a b n++=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若11n n n b c a +=-，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）21n a n =-.2nn b =.（2）()2,3-【解析】（1）由1n n n a S S -=-代入计算可得21n a n =-；将21n a n =-代入11n n n b a b n ++=，可得12n nb b +=，可得2n n b =； （2）由11n n n b c a +=-，可得{}n c 的通项公式，由错位相减法可得n T 的值，由()112nn n n T λ--<+，可得()21142nn λ--<-，分n 为偶数与奇数进行讨论，可得实数λ的取值范围.【详解】（1）由已知可得111a S ==.当2n ≥时，2n S n =，21(1)n S n -=-，所以121n n n a S S n -=-=-.显然11a =也满足上式， 所以21n a n =-.因为11n n n b a b n ++=，所以12112n n b n b n+-+==. 又1122b a ==，所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列. 所以2nn b =.（2）由（1）可得112212n n n n n b c a n n-+===-，所以112n n nc -=. 所以21231222n n n T -=++++L ， 所以23111231222222n n n n n T --=+++++L ， 两式作差，得231111*********n n n n T -=+++++-L 1122212212n n n n n -+=-=-- 所以1242n n n T -+=-.不等式()112n n n n T λ--<+，化为()21142nn λ--<-.当n 为偶数时，则2142n λ-<-.因为数列2142n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递增，所以222min 1144322n --⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭. 所以3λ<.当n 为奇数时，即2142n λ--<-，即2142n λ->-.因为2142n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递减，所以212max 1144222n --⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭. 所以2λ>-.综上可得：实数λ的取值范围是()2,3-. 【点睛】本题主要考查等差数列等比数列通项公式的求法、错位相减法求数列的和及数列与不等式的综合，考查学生的运算求解能力，需注意解题方法的积累，属于中档题. 22．已知函数()()e ln 1xa f x x =++.（1）若()f x 在点()()0,0f 处的切线与直线210x y -+=平行，讨论()f x 的单调性； （2）若当[)0,x ∈+∞时，()()()1ln 11a x f x ax ≥-+++恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）函数()f x 在()1,-+∞上单调递增.（2）(],2-∞【解析】（1）求出()f x 的导数，求出切线的斜率，由两直线平行可得a 的值，代入()f x 可得其单调性；（2）由()()()1ln 11a x f x ax ≥-+++，可得当[0,)x ∈+∞时，()ln 110x e x ax ++--≥恒成立，设()()ln 11x g x e x ax =++--，对其求导可得()11x g x e a x '=+-+，令()11x h x e x =++，则()()211x h x e x '=-+，对()h x '进行分析可得()0h x '>，()2g x a '≥-，分2a ≤，2a >进行讨论，可得实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）由已知得()1xa e x f x =++'，则()010a f e a +='+=. 又因为直线210x y -+=的斜率为2， 所以12a +=，解得1a =.所以()()ln 1xf x e x =++，定义域为()1,-+∞.所以()101xe xf x =+>+'， 所以函数()f x 在()1,-+∞上单调递增.（2）当[0,)x ∈+∞时，()()()1ln 11a x f x ax ≥-+++恒成立， 即当[0,)x ∈+∞时，()ln 110xe x ax ++--≥恒成立.令()()ln 11xg x e x ax =++--，则()11xg x e a x '=+-+. 令()11xh x e x =++，则()()211x h x e x '=-+.第 21 页 共 21 页 当0x ≥时，e 1x >，()21011x <≤+，所以()0h x '>，所以函数()()0y h x x =≥为增函数.所以()()02h x h ≥=，所以()2g x a '≥-.①当2a ≤时，20a -≥，所以当2a ≤时，()0g x '≥，所以函数()()0y g x x =≥为增函数，所以()()00g x g ≥=，故对0x ∀≥，()()()1ln 11a x f x ax ≥-+++恒成立；②当2a >时，11a ->，当0x ≥时，1011x <≤+， ()11x g x e a x '=+-+1x e a ≤+-， 当()()0,ln 1x a ∈-，知10x e a +-<，即()0g x '<.所以函数()y g x =，()()0,ln 1x a ∈-为减函数.所以当()0ln 1x a <<-时，()()00g x g <=.从而()()()1ln 11a x f x ax <-+++，这与题意不符.综上，实数a 的取值范围为(],2-∞.【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线在某点的切线方程、利用导数研究函数的单调性及恒成立的问题，考查了分类讨论的思想，综合性大，属于难题.。
河南省2020—2021学年高三尖子生11月联合诊断性测理科数学答案
理科数学答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 14. [][)4,0,e −+∞15. 3 16.23 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17.解：（1）()433cos sin +⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=πx x x f =43sin 23cos 21sin +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−x x x ……2分 =43sin 232sin 412+−x x =43432cos 432sin 41+−+x x =⎪⎭⎫⎝⎛+32sin 21πx ……4分 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+34,332πππx ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,2332sin πx ，()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∈21,43x f .()x f ∴的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡−21,43.……6分（2）2132sin 214=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛πA A f ， ⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πA ，可得3π=A ……8分设x DC =，则x AD 3=，x BD 7=，由余弦定理，()()21232723cos 222=⨯⨯−+=x xx A ，解得1=x 或2=x .……10分又11sin 2422ABC S AB AC A x ∆=⋅⋅=⨯⨯=， ∴ABC ∆的面积为32或34.……12分 18.解：（1）当1=n 时，11=a .当2≥n 时，()()12213211321+⋅−=−+⋅⋅⋅+++−−n n n a n a a a ①，……2分由()12132321+⋅−=+⋅⋅⋅+++nn n na a a a ②，②-①可得：12−⋅=n n n na ，()221≥=−n a n n ，……4分1201==a ，符合12−=n n a . 综上，12−=n n a .……5分（2）()2-111212222112n n n n S ⋅−=++++==−−……7分则⎪⎭⎫⎝⎛−+=−=−1211211221n n n n n S a ，当1≥n 时，有1212−≥−n n 成立， 所以有⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤−121121n n n S a 1122n =+……10分 从而21-121-1212212121222211⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++≤+⋅⋅⋅++n n n n n n S a S a S a111222nn n ⎛⎫=+−≤+ ⎪⎝⎭，所以，122211+≤+⋅⋅⋅++n S a S a S a n n ，即证.……12分19.解：（1）连接DB ，在ABD ∆中，3cos 2222=∠⋅−+=DAB AB AD AB AD BD ， 则3=BD ．所以，222AB BD AD =+，即 2π=∠ADB ,DB AD ⊥.……2分又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD 平面ABE AB =，且AB EB ⊥，所以⊥EB 平面ABCD .……3分因为⊂AD 平面ABCD ，所以AD EB ⊥.……4分由DB AD ⊥，AD EB ⊥，B EB DB = ，且⊂BE DB ,平面DBE ， 所以有⊥AD 平面DBE ……5分因为⊂DE 平面DBE ，所以DE AD ⊥，又因为BC AD //，所以DE BC ⊥.…6分 （2）解法一：过C 点作CG AB ⊥交AB 的延长线于G ，连接EG ,//,,33AD BC DAB CBG ππ∠=∴∠=，由90CGB ∠=，可得：31sin 6023,cos 6021,22CG BC BG BC =⋅=⨯==⋅=⨯=901=∠=EBG ，BE ，EG ∴=平面ABCD ⊥平面ABE ， 面ABCD 面ABE =AB , AB CG ⊥，∴CG ABE ⊥面，又EG ⊂平面ABE ，CG EG ∴⊥22290,5CGE CE CG GE ∴∠=∴=+=5=∴CE ，由（1）可知，DE AD ⊥，4222=−=∴AD AE DE ，即2=DE ，由（1）可知，⊥AD 平面DBE ，所以AD BD ⊥，BD ∴=BC AD // ， BC BD ∴⊥2227,CD BD BC ∴=+=即7=CD ，可知：222cos 2DC CE DE DCE DC CE +−∠===⋅, 351935161sin =−=∠DCE ， 21935195721sin 21=⨯⨯⨯=∠⨯⨯⨯=∆DCE CE DC S DCE .……9分 3312323131C =⨯⨯⨯=⨯⋅=∆−BE S V D B BCD E 由等体积：CDE B BCD E V V −−=，所以，=33，代入：h ⋅⋅=2193133， 解得1932=h ，设直线BC 与平面DCE 所成角为θ，则sin 19h BC θ===.……12分解法二：以B 为原点，分别以BE BA ,所在直线为y x ,轴，过B 作垂线为z 轴，建立空间直角坐标系B xyz −．过点C 作CG AB ⊥交AB 的延长线于点G ，过点D 作DF AB ⊥交AB 于点F ，//BC,3AD CBG DAB π∴∠=∠=，又1,2AD BC ==，sin1sin 2323DF CG ππ∴=⨯==⨯=，1cos 1,cos 21323AF BG ππ=⨯==⨯=，h S CDE ⨯⋅∆31又132,2,22AB BF AB AF =∴=−=−=(3,,0,,22C D ⎛⎫∴− ⎪ ⎪⎝⎭又()()()2,0,0,0,0,0,0,1,0A B E ．()(531,1,3,,0,,22EC DC BC ⎛⎫∴=−−=−=− ⎪ ⎪⎝⎭.……8分设平面DCE 的法向量为()z y x n ,,=，由,00⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n DC n EC 有⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+−−0232503z x z y x ，令3=z ， 则⎪⎭⎫⎝⎛=3,512,53n ……10分设直线BC与平面DCE 所成角为θ，则sin cos =192n BC θn,BC n BC⋅===⋅⨯，即直线BC 与平面DCE 所成角的正弦值为1957.……12分 20.解：（1）由已知可知直线AB 的斜率必存在，设直线AB 的斜率为k （0k ≠），抛物线x y 42=的焦点()0,1F ，则()1−=x k :y l AB与抛物线相联立，()()0421422222=++−⇒⎩⎨⎧−==k x k x k x k y x y设()()2211,,,y x B y x A ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+142212221x x k k x x221442kx x AB +=++=……2分， 同理，244CD k =+,则四边形ACBD 的面积为()()，32228128141142121S 2222=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=k k k k CD AB 当且仅当1±=k 时，四边形ACBD 的面积的最小值为32……4分 （2）设点()()()()()()()()02,,02,,02,,02,4424332322221121<><>t t t D t t t C t t t B t t t A ，则43212,2t t k t t k CD AB +=+=.，考虑到点()B F A ,0,1,共线，则12221121−=+⇒=t tt t k k AF AB ，从而121−=t t ……6分 同理143−=t t .由于CD AB ⊥,从而,1224321−=+⋅+=⋅t t t t k k CD AB 故()().44321−=++t t t t 由于直线()12:43−+=x t t y CD ，则点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−−434,1t t N ，由于.42143t t t t +=+− 故()21,1t t N +−.……8分由于()12111212121211111112t t t t t t t t t t t k AN=++=+−=++−=，从而直线AN 的方程为()121121t t x t y +−=，即111y x t t =+，从而点Q 的横坐标为21t x Q −=. 由此211t FQ +=.又()1211121122222t t t t t t y y B A +=+=−=−，从而()()()222211111121111022AQB A B t t t S FQ y y t t t ∆+++=⋅−=⨯=>.……10分12211−=t t k AF由于()113112141122112121t t t t t t t t S ΔAQB++=++=+=，令()1131112t t t t f ++=，则()()()21212121214121211'113123123t t t t t t t t t f +−=−+=−+=， 可知()1t f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,33上单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛330，上单调递减， 所以，当且仅当331=t 时，AQB ∆面积的最小值为9316……12分 21.解： （1）设()()()112ln 12ln 111>+−+=+−+−−=−x x x e x x x x f x h x()211'−+=∴−x e x h x ，()21''1x e x h x −=∴−1>x 110,121<<>∴−x e x ()0121''>−=∴−xe x h x ……2分 ()x h '∴在()+∞,1上单调递增，又()01'=h 1>∴x 时，()x h '()01'=>h ……4分()12ln 1+−+=−x x e x h x 在()+∞,1上单调递增，又()01=h 1>∴x 时，()()01=>h x h故当1>x 时，()12ln 11−+−>−−x x x x f ， ∴()()132ln 112+−>−−−x x x x x f …6分（2） ()()2121+−=x a xe x g x∴()()()()()a e x x a e x x g xx−+=+−+=111'当0=a 时，易知函数()x g 只有一个零点，不符合题意:……7分当0<a 时，在()1,−∞−上，()0'<x g ，()x g 单调递减；在()+∞−,1上，()0'>x g ，()x g 单调递增；又()011<−=−eg ，且()021>−=a e g 不妨取4−<b 且()a b −<ln 时，()()()02122112122ln >⎪⎭⎫ ⎝⎛++−=+−>−b b a b a be b g a ()[]+∞→−∞→x g x ，或者考虑：当，所以函数()x g 有两个零点，0a ∴<符合题意.……9分当0>a 时，由()()()01'=−+=a e x x g x得1−=x 或a x ln =（i ）当1ln −=a 即ea 1=时，在()+∞∞−,上，()0'≥x g 成立， 故()x g 在()+∞∞−,上单调递增，所以函数()x g 至多有一个零点，不符合题意.……10分 （ii ）当1ln −<a 即ea 10<<时，在()a ln ,∞−和()+∞−,1上，()0'>x g ，()x g 单调递 增；在()1,ln −a 上，()0'<x g ，()x g 单调递减：又()011<−=−eg ， 且()()()01ln 211ln 21ln ln 22<+−=+−=a a a a a a a g ， 所以函数()x g 至多有一个零点()x g ，不符合题意.……11分 （iii ）当ea a 11ln >−>即时，在()1,−∞−和()+∞,ln a 上()0'>x g ，()x g 单调递增； 在()a ln ,1−上()0'<x g ，()g x 单调递减又()011<−=−eg ，所以函数()x g 至多有一个零点，不符合题意. 综上所述，实数a 的取值范围是()0,∞−.……12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：极坐标与参数方程]（10分）解： （1）22sin2,02cos2====ππy x ，∴P 的直角坐标为()2,0P ……2分 由⎩⎨⎧==ϕϕsin 2cos 3y x ，得2sin 3cos y ,x ==ϕϕ .∴曲线C 的普通方程为14922=+y x ……4分（2）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−=ty t x 22222代入14922=+y x 36222922422=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−⇒t t ， 化简得21336360t t +−=……6分 设A ，B 对应的参数分别为21,t t ， 则1336,13362121−=⋅−=+t t t t ……8分 ∵P 点在直线l 上，∴()13221213364133642212212121=⨯+⎪⎭⎫⎝⎛=−+=−=+=+t t t t t t t t PB PA……10分23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）解：（1）0,,>c b a ，336316332abc abc c b a ≥⇒≥++∴……2分162131613=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∴abc ……4分当且仅当3132===c b a ，即91,61,31===c b a 时，abc 取到最大值为1621……5分 （2）013132>−−=+∴=++b a c b c b a ，()()()414114141141341−−−++=−−+−−−++=−−+++=++++∴ba b a b a b a b a b a b a b a c b b a b a ……7分()()[]()5114141411≥+−−+++−−=−⎪⎭⎫ ⎝⎛−−++−−++=b a b a b a b a b a b a b a b a ……9分 当且仅当()b a b a +=−−21，即31=+b a 时， ()cb b a b a 341++++取得最小值为5……10分．。
2020届河南省名校联盟高三11月教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届河南省名校联盟高三11月教学质量检测试题数学（理）一、单选题1．已知集合{|20}A x x =-<，2{|20}B x x x =--<，则A B =I （ ）A ．()2-∞，B ．()1-∞，C ．(21)-，D ．(12)-， 【答案】D【解析】先求出集合={|12}B x x -<<，再与集合A 求交, 【详解】本题主要考查集合的运算和一元二次不等式的解法． 因为{|20}={|2}A x x x x =-<<，2{|20}B x x x =--<={|12}x x -<<，所以{|12}B x x A -<<⋂=． 故选：D 【点睛】本题考查解二次不等式，考查集合的交集。
属于基础题. 2．复平面内表示复数1212iz i-+＝的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出z 的坐标得答案． 【详解】因为212i (12i)34i 12i (12i)(12i)55z --===--++-， 所以复数1212i z i -=+所对应的复平面内的点为34,55Z ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限． 故选：C . 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，复数的运算，属于基础题．3．设两个单位向量a b r r ，的夹角为23π，则34a b +=r r （ ）A ．1B CD ．7【答案】B【解析】由222349+24+16a b a a b b +=⋅r rr r r r ，然后用数量积的定义，将a b r r，的模长和夹角代入即可求解. 【详解】2222349+24+16=9+24cos 16133a b a a b b π+=⋅+=r r r r r r ，即34a b +=r r故选：B 【点睛】本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题.4．设有不同的直线a ，b 和不同的平面α，β，给出下列四个命题： ①若//a α，//b α，则//a b ； ②若//a α，//a β，则//αβ； ③若a α⊥，b α⊥，则//a b ； ④若a α⊥，a β⊥，则//αβ． 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解即可． 【详解】对于①，若a ∥α，b ∥α，则直线a 和直线b 可以相交也可以异面，故①错误； 对于②，若a ∥α，a ∥β，则平面a 和平面β可以相交，故②错误； 对于③，若a ⊥α，b ⊥α，则根据线面垂直性质定理，a ∥b ，故③正确； 对于④，若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β成立； 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查推理判断能力，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（ ）A．这14天中有7天空气质量优良B．这14天中空气质量指数的中位数是103C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日【答案】B【解析】根据题目给出的折线图的信息对选项进行逐一判断即可得到答案.【详解】这14天中空气质量指数小于100的有7天，所以这14天中有7天空气质量优良，故选项A正确；这14天中空气质量指数的中位数是86121103.52+=，故选项B不正确；从10月11日到10月14日，空气质量指数越来越小，所以空气质量越来越好，故选项C正确；连续三天中空气质量指数离散程度最大的是10月5日至10月7日，所以连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日，故选项D正确．故选：B【点睛】本题主要考查统计中对折线图的认识，属于基础题.6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中（）A．甲不是海南人B．湖南人比甲年龄小C．湖南人比河南人年龄大D．海南人年龄最小【答案】D【解析】通过分析，排除即可．【详解】由于甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，可知湖南人不是甲乙，故丙是湖南人； 由于丙比海南人年龄大，湖南人比乙年龄小，可知甲是海南人； 故：乙（河南人）的年龄＞丙（湖南人）的年龄＞甲（海南人）的年龄； 所以ABC 错，D 对． 故选：D ． 【点睛】本题考查简单的逻辑推理，属于基础题．7．已知数列{}n a 对于任意正整数m ，n ，有m n m n a a a +=+，若201a =，则2020a =（ ） A ．101 B ．1C ．20D ．2020【答案】A【解析】由m n m n a a a +=+，得11n n a a a +-=，所以数列{}n a 是以1a 为首项，1a 为公差的等差数列，从而得到答案. 【详解】由m n m n a a a +=+，令1m = 得11n n a a a +-=， 所以数列{}n a 是以1a 为首项，1a 为公差的等差数列， 从而1n a na =．因为201a =，所以1120a =，2020101a =． 故选：A 【点睛】本题主要考查等差数列的概念，数列的递推关系，属于基础题.8．函数()3sin 3x f x x =+的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题首先可根据()3sin 3x f x x =+得出()3sin 3x f x x 骣琪-=-+琪桫，然后即可判断出函数是奇函数并排除B 项，然后利用导数判断函数的单调性，问题得解。
2020届河南省高三上-八市重点高中11月领军考试【理数】--Du
a
//
b
，求
tan(
3
)
的值；
3
42
（2）若
sin
2
1
，求
a
6 b 的值.
4
18.(12 分) 在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a,b, c ，且 cos C 2b c . 2a
（1）求 A；
（2）若 b 2, cos B 3 ，求 ABC 的面积. 3
100 （1）写出平均每只垃圾桶所需成本 f (x) 关于 x 的函数解析式，并求该公司每月生产多少只垃
圾桶时，可使得平均每只所需成本费用最少？ （2）假设该类型垃圾桶产销平衡（即生产的垃圾桶都能卖掉），每只垃圾桶的售价为 a 元， a 满足 a m x (m, n R) .若当产量为 15000 只时利润最大，此时每只售价为 300 元，求 m，
绝密★启用前
2020 届河南省高三上八市重点高中领军考试 理科数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第Ⅰ卷
2019.11.09
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1. 已知集合 A {x | y ln(x 2)}, B {x | x2 x 6 0} ，则 A B
Tn
n 2n1
对一切 n
N*
恒
成立，求实数 的取值范围.
22.（12 分）已知函数 f (x) ex a ln(x 1). （1）若 f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线与直线 2x y 1 0 平行，讨论 f (x) 的单调性； （2）若当 x [0,) 时， f (x) (a 1) ln(x 1) ax 1 恒成立，求实数 a 的取值范围.
2020届河南省顶级名校高三尖子生11月诊断性检测数学(理)试题(解析版)
本题主要考查了复数的概念，复数的模，属于中档题
.
4．某几何体的三视图如图所示 (单位： cm) ，则该几何体的表面积 (单位： cm 2)是 ( )
A ． 16 【答案】 B
B． 32
C． 44
D ． 64
【解析】 由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，
PA
底面 ABC ．然后由直角三角形面积公式求解．
5．已知 x y 0 ，则 “2|x| x 2 2|y| y2 ”是 “x 0”的（ ）
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充分必要条件 【答案】 A
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 构造函数 f (x ) 2|x| x 2 ,利用函数的奇偶性和单调性，结合充分条件和必要条
件的定义进行判断即可 . 【详解】 设 f (x ) 2|x| x 2 ，
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所以 x | y |， 则 x 0 成立，即充分性成立， 当 x 2, y 2 时，满足 x y 0 ，且 x 0 ，
但 f (x) f ( y) ，即必要性不成立，
故 “2|x| x2 2|y| y 2 ”是“x 0 ”的充分不必要条件 .
故选： A 【点睛】 本题主要考查了充分条件和必要条件的判断， 题的关键，属于中档题 .
则函数 f (x) 是偶函数，当 x 0时， f ( x) 2x x2 为增函数，
若 2|x| x 2 2|y| y2 ，即 f ( x) f ( y)
可得 | x |> | y | ，
平方得 x2 y2 ，即 ( x y)( x y) 0 ，
由 x y 0，
可得 x y 0 ， 即 x y ，且 x y ，
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19．(12 分) 已知甲盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球，现从甲，乙 两个盒内各任取 2 个球．
（1）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；
5 2
，+
( ) C． 1，5
( ) D． 5，+
11．如图，在菱形 ABCD 中，ABC = 60 ，E，F 分别是边 AB，CD 的中点，现将 ΔABC 沿着对角线 AC 翻折，则直线 EF 与平面 ACD 所成角的正切值最大值为
A． 2
21
B．
3
3
C．
3
2
D．
2
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（第 11 题图）
．
15．已知数列 an 满足 an + an+1 = 15 − 2n ，其前 n 项和为 Sn ，若 Sn S8 恒
（第 14 题图）
成立，则 a1 的取值范围为
．
16．已知 P 为椭圆 C：
x2 4
+
y2 3
= 1 上一个动点， F1 、 F2 是椭圆 C 的左、右焦点，O 为坐标原点，O 到椭圆 C 在 P
21．（12 分）已知函数 f (x) = ln x − ax ， a R ．
l
x
（1）若函数 f (x) 有且只有两个零点，求实数 a 的取值范围；
（2）设函数 f (x) 的两个零点为 x1, x2 ，且 x1 x2 ，求证 x1 + x2 2e ．
Hale Waihona Puke B． (1，2)C． (2,3)
D． (3,4)
( ) 10．已知 F1, F2 分别为双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1 a 0,b 0
的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 P，使得点
F2 到直线 PF1 的距离为 a ，则该双曲线的离心率的取值范围是
A． 1，25
B．
A．恒等于 1
B．最大值为 1，无最小值
C．最小值为 1，无最大值
D．无最大值，也无最小值
4．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的表面积（单位： cm2 ）是
A．16
B．32
C．44
D．64
5．已知 x + y 0 ，则“ 2|x| + x2 2|y| + y2 ”是“ x 0 ”的
（2）设 为取出的 4 个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望．
20．(12 分)如图，斜率为 k 的直线 l 与抛物线 y2 = 4x 交于 A 、 B 两点，直线 PM 垂
直平分弦 AB ，且分别交 AB 、 x 轴于 M 、 P ，已知 P (4, 0) ．
（1）求 M 点的横坐标； （2）求 △PAB 面积的最大值．
D．4037
( ) 13．在 − 2,2 上随机地取一个实数 k ，则事件“直线 y = kx 与圆 x − 5 2 + y2 = 9 相交”发生的概率
为
．
14．如图，在 ABC 中， AB AC ， BC = 2 3 ， A = 60 ，ABC 的面积
等于 2 3 ，则角平分线 AD 的长等于
理科数学试卷
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知集合U = −1,1, 3,5, 7, 9 , A = {1,5} , B = −1,5,7，则 CU (A B) =
A．
0， 3 2
B．
3 2
,1
8．已知随机变量 的分布列为：
C．
3 2
,+
D． (1，+ )
x
y
P
y
x
则下列说法正确的是
A．存在 x，y(0,1) ， E( ) 1
2
C．对任意 x，y(0,1) ， D( ) E( )
B．对任意 x，y(0,1) ， E( ) 1
12．已知数列
an
满足 a1
= 1， an+1
=
ln an
+
1 an
+1，记 Sn
=
a1
+ a2
++ an
，t
表示不超过 t 的
最大整数，则 S2019 的值为
A．2019
B．2018
C．4038
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
A． 充分不必要条件 C． 充分必要条件
6．函数 y= ln x cos( − 2 x) 的图像可能是 2
B． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
A
B
C
D
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7．已知两个不相等的非零向量 a,b ，满足 a = 1，且 a 与 b − a 的夹角为 60 ，则 b 的取值范围是
（1）求函数 f (x) 的单调递增区间；
（2）在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别是 a , b , c ，若 f (B) = 3，b = 3 ，求 ABC
面积的最大值．
18．（12 分）如图，已知四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AD//BC，BC=2AD， AD⊥CD，PD⊥平面 ABCD，E 为 PB 的中点．
点处的切线距离为 d，若
PF1
PF2
=
24 ，则 d
7
=
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作
答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
17．（12 分）已知函数 f (x) = sin x − 3 cos x
4
D．存在 x，y(0,1) ， D( ) 1
4
9．设函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a,b, c, d R 且 a 0) ，若 0 2 f (2) = 3 f (3) = 4 f (4) 1 ，则
f (1)+ f (5) 的取值范围是
A． (0，1)
A．3, 9
B．1, 5, 7
C． −1,1, 3, 9
D．−1,1, 3, 7, 9
2．已知空间三条直线 l, m, n ，若 l 与 m 垂直， l 与 n 垂直，则
A． m 与 n 异面
B． m 与 n 相交
C． m 与 n 平行
D． m 与 n 平行、相交、异面均有可能
3．复数 z 满足 z −1 = z + 3 ，则 z