2013秋重庆南开中学九上期末数学试题
九年级数学上册重庆市南开中学届九年级上学期半期考试数学试题(解析版)(北师大版)
重庆市南岸区南开（融侨）中学2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题1.-2的相反数是（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数求解即可.【详解】的相反数是2.故选A.【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数.2.下列图形中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念判断．【详解】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形．故选：D．【点睛】考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A. a＞bB. |a|＜|b|C. a+b＜0D. a＜﹣b【答案】B【解析】【分析】根据数轴上点的位可得：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，然后对每个选项进行判断即可.【详解】解：由图可得：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a＜b，|a|＜|b|，a+b＞0，a＞﹣b．故选：B．【点睛】本题考点：实数与数轴.4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则计算得出答案．【详解】解：A、无法计算，故此选项错误；B、7m-4m=3m，故此选项错误；C、a5•a3=a8，正确；D、（a3）2=a6，故此选项错误；故选：C．【点睛】考查了二次根式的加减运算以及同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A. 对国庆期间来渝游客满意度的调查B. 对我校某班学生数学作业量的调查C. 对全国中学生手机使用时间情况的调查D. 环保部门对嘉陵江水质情况的调查【答案】B【解析】【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】解：A．对国庆期间来渝游客满意度的调查适合抽样调查，不符合题意；B．对我校某班学生数学作业量的调查适合全面调查，符合题意；C．对全国中学生手机使用时间情况的调查适合抽样调查，不符合题意；D．环保部门对嘉陵江水质情况的调查适合抽样调查，不符合题意；故选：B．【点睛】考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6.不等式组的解集为（）A. ﹣1≤x＜2B. ﹣1＜x＜2C. x≤﹣1D. x＜2【答案】A【解析】【分析】分别解不等式，找出解集的公共部分即可.【详解】由①得：x<2，由②得：故不等式组的解集为：.故选：A.【点睛】考查解一元一次不等式组，首先求出两个不等式的解集，再根据求不等式组的解集规律：大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着，确定不等式组的解集7.如图，已知AB∥CD，∠BEG=58°，∠G=30°，则∠HFG的度数为（）A. 28°B. 29°C. 30°D. 32°【答案】A【解析】【分析】由平行线内错角相等可得∠BEG=∠FHE，再由三角形外角和定理可求解∠HFG的度数.【详解】解：由AB∥CD可得∠BEG=∠FHE=58°，再由三角形外角和定理可得∠HFG=∠FHE-∠G=58°-30°=28°，故选择A.【点睛】本题考查了平行线中的内错角相等.8.市政府决定对一块面积为2400m2的区域进行绿化，根据需要，该绿化工程在实际施工时增加了施工人员，每天绿化的面积比原计划增加了20%，结果提前5天完成任务．设计划每天绿化xm2，则根据意可列方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设计划每天绿化xm2，根据“结果提前5天完成任务”列出方程．【详解】解：设计划每天绿化xm2，则实际每天绿化的面积为（1+20%）xm2，则根据意可列方程：．故选：C．【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，根据关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC，BD交于点O，过点O作OG⊥AB于点G．延长AB至E，使BE=AB，连接OE交BC于点F，则BF的长为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由OG∥BC可知即可求解．【详解】解：∵OG∥BC，∴，其中：OG=BC=3，BE=AB=2，GE=BG+BE=6解得：BF=1，故选：B．【点睛】考查的是矩形性质，涉及到平行线分线段成比例，是一道基本题．10.如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边△ABC的顶点A，B，且原点O刚好落在AB上，已知点C 的坐标是（3，3），则k的值为（）A. 3B. ﹣C. ﹣D. ﹣3【答案】D【解析】【分析】由对称性可知：OA＝OB，由△ABC是等边三角形得三线合一知，OC⊥AB，再根据C点坐标，求出OC,OB 的长，即可求出B点坐标，再代入即可求出k值.【详解】解：由对称性可知：OA＝OB，∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，∵C（3，3），∴OC＝3，∴OB＝OC＝，∴B（，﹣），把B点坐标代入y＝，得到k＝﹣3，故选：D．【点睛】此题主要考查反比例函数的图像和性质，解题的关键是利用反比例函数的对称性与等边三角形的三线合一.11.Surface平板电脑（如图①）因体积小功能强备受好评，将Surface水平放置时，侧面示意图如图②所示，其中点M为屏幕AB的中点，支架CM可绕点M转动，当AB的坡度i=时，B点恰好位于C点的正上方，此时一束与水平面成37°的太阳光刚好经过B，D两点，已知CM长12cm，则AD的长（）cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A. B. C. D. 20【答案】B【解析】【分析】在Rt△ABC中，解直角三角形求出BC，AC，再在Rt△BCD中，求出CD即可解决问题；【详解】解：在Rt△ACB中，∵AM=BM，CM=12cm，∴AB=2CM=24cm，∵BC：AC=，设AC=x，则BC=x，则有（x）2+x2=242，∴x=12，BC=12，在Rt△BCD中，CD=，∴AD=CD-AC=16-12，故选：B．【点睛】考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（-1，0），（3，0）两点，则下列说法：①abc＜0；②a-b+c=0；③2a+b=0；④2a+c＞0；⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，其中正确的结论是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】①abc＜0，由图象知c＜0，a、b异号，所以，①错误；②a-b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；③2a+b=0，函数对称轴x=-=1，故正确；④2a+c＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a＜0，∴2a+c＜0，故错误；⑤若A （x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，把A、B、C坐标大致在图上标出，可知正确．【详解】解：①abc＜0，由图象知c＜0，a、b异号，所以，①错误；②a-b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；③2a+b=0，函数对称轴x=-=1，故正确；④2a+c＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a＜0，∴2a+c＜0，故错误；⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，把A、B、C坐标大致在图上标出，可知正确；故选：D．【点睛】考查图象与二次函数系数之间的关系，要会求对称轴、x=±1等特殊点y的值．二、填空13.写一个比大的无理数______．【答案】【解析】【分析】根据实数的大小比较即可求出答案．【详解】解：因为3〉2，所以〉.故答案为：（答案不确定，比大就行）【点睛】考查实数比较，解题的关键是熟练掌握实数比较大小，本题属于基础题型．14.计算：3tan45°++3﹣2=_____．【答案】【解析】【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】原式=3×1+（﹣3）+=3﹣3+=故答案是：．【点睛】考查了实数运算，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．15.周末，爸爸带亮亮到璧山枫香湖儿童公园游玩，游乐区内有红、紫、黄三种颜色的攀爬网和蓝、绿两种颜色的组合木层，由于时间关系，爸爸要求亮亮只能在三种举爬网和两种组合木层中各选一种游玩，那么亮亮选择红色攀爬网和绿色组合木层的概率是______．【答案】【解析】【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到亮亮选择红色攀爬网和绿色组合木层的概率．【详解】解：由题意可得，选择的所有可能性是：（红，蓝），（红，绿），（紫，蓝），（紫，绿），（黄，蓝），（黄，绿），故亮亮选择红色攀爬网和绿色组合木层的概率是，故答案为：.【点睛】考查列举法求概率，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．16.如图，将二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折，翻折前后的图象组成一个新图象M，若直线y=b和图象M有四个交点，结合图象可知，b的取值范围是______．【答案】0＜b＜4．【解析】【分析】利用折叠的性质确定翻折所得抛物线解析式为y=-（x-6）2+4（x≥4），再求出抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）和抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（8，0），（4，0），从而利用函数图象得到当0＜b＜4时，直线y=b和图象M有四个交点．【详解】解：二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折所得抛物线解析式为y=-（x-6）2+4（x≥4）当y=0时，y=-（x-2）2+4=0，解得x1=0，x2=4，则抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（8，0），（4，0），所以当0＜b＜4时，直线y=b和图象M有四个交点．故答案是：0＜b＜4．【点睛】考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17.甲骑自行车从A地到B地，甲出发1分钟后乙骑平衡车从A地沿同一条路线追甲，追上甲时，平衡车电量刚好耗尽，乙立即手推平衡车返回A地，速度变为原速度的，甲继续向B地骑行，结果甲、乙同时到达各自的目的地并停止行进，整个过程中，两人均保持各自的速度匀速行驶，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的部分关系如图所示，则A，B两地相距的路程为______米．【答案】2040【解析】【分析】根据题意，可知甲出发1分钟后甲、乙两人相距120米，由此求出甲骑自行车的速度为120米/分．再根据甲出发3.5分钟时，两人相距45米，求出乙的速度，然后求出乙追上甲的时间，乙返回的时间，进而求出A，B两地相距的路程．【详解】解：由图可知，甲骑自行车的速度为120米/分．设乙的速度为v米/分，则有（3.5-1）（v-120）=120-45，解得v=150．设乙用x分钟追上了甲，则有（150-120）x=120，解得x=4．乙追上甲行驶的路程为：150×4=600（米），乙返回的速度为150×=50（米/分），乙返回的时间：=12（分），A，B两地相距的路程为120×（1+4+12）=2040（米）．故答案是：2040．【点睛】考查了一次函数的应用，路程、速度与时间的关系，以及追击问题的相等关系．求出甲的速度是本题的突破口，得到乙的速度是本题的关键．18.某公司有A，B，C三种货车若干辆，A，B，C每辆货车的日运货量之比为1：2：3，为应对双11物流高峰，该公司重新调配了这三种货车的数量，调配后，B货车数量增加一倍，A，C货车数量各减少50%，三种货车日运货总量增加25%，按调配后的运力，三种货车在本地运完一堆货物需要t天，但A，C两种货车运了若干天后全部被派往外地执行其它任务，剩下的货物由B货车运完，运输总时间比原计划多了4天，且B货车运输时间刚好为A，C两种货车在本地运输时间的6倍，则B货车共运了______天．【答案】24【解析】【分析】设出调配前A，B，C三种货车的辆数以及每辆货车的日运货量，再根据题目的条件列出关系式求解即可得出答案．【详解】解：根据比例设A，B，C每辆货车的日运货量为m，2m，3m，调配前A，B，C三种货车分别为a辆，b辆，c辆，则调配后A，C类货车分别为0.5a辆，0.5c辆，B类货车为2b辆，依题意，得：（am+2bm+3cm）（1+25%）=0.5am+2b×2m+0.5c×3m，①t（0.5am+2b×2m+0.5c×3m）=（t+4）×（2b×2m）+（0.5am+0.5c×3m）×②由①，得0.5a+1.5c=b，代入②，5bt=4b（t+4）+b×，解得t=20，∴t+4=24．故答案是：24．【点睛】考查列代数式．用字母表示出A，B，C每辆货车的辆数以及日货运量来建立等量关系是解题的关键．三、计算题19.先化简，再求值：（x2-4x+4）•（+），其中x=2sin45°．【答案】-2【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再代入原式进行计算即可．【详解】解：原式=（x-2）2•[+]=（x-2）2•=x-2，当x=2sin45°=2×=时，原式=-2．【点睛】考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20.近期，第八届“重庆车博会“在会展中心盛大开幕，某汽车公司推出降价促销活动，销售员小王提前做了市场调查，发现车辆的销量y（辆）与售价（万元/辆）存在如下表所示的一次函数关系：售价x（万元/辆）…20 19.8 19.6 19.4 19.2 19 …销量y（辆）… 5 6 7 8 9 10 …（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若每辆车的成本为11万元，在每辆车售价不低于15万元的前提下，每辆车的售价定为多少万元时，汽车公司获得的总利润W（万元）有最大值？最大值是多少？【答案】（1）y=-5x+105；（2）每辆车的售价定为16万元时，汽车公司获得的总利润W有最大值，最大值是125万元．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润=（售价-进价）×销售量”列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式：将（20，5），（19，10）代入，得：y=kx+b，，解得：，则y=-5x+105；（2）根据题意知，W=（x-11）y=（-5x+105）（x-11）=-5x2+160x-1155=-5（x-16）2+125，∵x≥15，∴当x=16时，W取得最大值，最大值为125，答：每辆车的售价定为16万元时，汽车公司获得的总利润W有最大值，最大值是125万元．【点睛】考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，理解题意找到蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式．21.如图是小西设计的“作已知角∠AOB的平分线”的尺规作图过程：①在射线OB上取一点C；②以点O为圆心，OC长为半径作弧，交射线OA于点D；③分别以点C，D为圆心，OC长为半径作弧，两弧相交于点E；④作射线OE．则射线OE即为∠AOB的角平分线．请观察图形回答下列问题：（1）由步骤②知，线段OC，OD的数量关系是______；连接DE，CE，线段CO，CE的数量关系是______；（2）在（1）的条件下，若∠EOC=25°，求∠ECB的度数．【答案】（1）OC=OD，CO=CE．（2）50°．【解析】【分析】（1）利用基本作图，可得结论；（2）利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；【详解】解：（1）由作图可知：OD=OC，CO=CE，故答案为：OC=OD，CO=CE．（2）∵CO=CE，∴∠COE=∠CEO=25°，∴∠ECB=∠COE+∠CEO=50°．【点睛】考查作图-基本作图，等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．22.在建设港珠澳大桥期间，大桥的规划选线须经过中华白海豚国家级自然保护区---区域A或区域B．为实现白海豚“零伤亡，不搬家”的目标，需合理安排施工时间和地点，为此，海豚观察员在相同条件下连续出海20天，在区域A，B两地对中华白海豚的踪迹进行了观测和统计，过程如下，请补充完整．（单位：头）【收集数据】连续20天观察不同中华白海豚每天在区域A，区域B出现的数目情况，得到统计结果，并按从小到大的顺序排列如下：区域A0 1 3 4 5 6 6 6 7 8 8 9 11 14 15 15 17 23 25 30B 1 1 3 4 6 6 8 9 11 12 14 15 16 16 16 17 22 25 26 35【整理、描述数据】（1）按如下数段整理、描述这两组数据，请补充完整：海豚数x 0≤x≤78≤x≤1415≤x≤2122≤x≤2829≤x≤35区域A 9 5 3 ______ ______区域B 6 5 5 3 1（2）两组数据的极差、平均数、中位数，众数如下表所示观测点极差平均数中位数众数区域A a 10.65 b c区域B 34 13.15 13 16请填空：上表中，极差a=______，中位数b=______，众数c=______；（3）规划者们选择了区域A为大桥的必经地，为减少施工对白海豚的影响，合理安排施工时间，估计在接下来的200天施工期内，区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内？【答案】（1）2，1；（2）30，8，6；（3）22≤x≤35.【解析】【分析】（1）根据题目中的数据，可以将表格补充完整；（2）根据题目中的数据可以分别求得a、b、c的值；（3）根据样本估计整体，集合表格中的数据可以求得区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内．【详解】解：（1）由收集数据中的数据可得，22≤x≤28时，中华白海豚在区域A出现的数目为：2，29≤x≤35时，中华白海豚在区域A出现的数目为：1，故答案为：2，1；（2）由收集数据中的数据可得，a=30-0=30，b=8，c=6，故答案为：30，8，6；（3）200×=30（天），答：区域A大约有30天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内．【点睛】考查极差、用样本估计总体、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的中位数、众数、极差．23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且点B的横坐标为-3．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接AO，求△AOC的面积；（3）在△AOC内（不含边界），整点（横纵坐标都为整数的点）共有______个．【答案】（1）；（2）6；（3）4.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出点B坐标即可解决问题；（2）利用方程组求出点A坐标，根据三角形的面积公式计算即可；（3）在△AOC内部的整数点有：（-1，1），（0，1），（0，2），（0，3）共有4个；【详解】解：（1）∵点B在直线y=2x+4上，点B的横坐标为-3，∴B（-3，-2），∵点B在y=上，∴k=6，∴反比例函数的解析式为y=．（2）由，解得或，∴A（1，6），∵C（-2，0），∴S△AOC=×2×6=6．（3）如图，观察图象可知：在△AOC内部的整数点有：（-1，1），（0，1），（0，2），（0，3）共有4个，故答案为4．【点睛】考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.如图1，在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥AD于点E，过AE上一点F作FH⊥CD于点H，交CE 于点K，且KE=DE．（1）若AB=13，且cos D=，求线段EF的长；（2）如图2，连接AC，过F作FG⊥AC于点G，连接EG，求证：CG+GF=EG．【答案】（1）12；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）首先解直角三角形求出EC，再证明△FEK≌△CED（AAS），推出EF=CE=12即可解决问题；（2）如图，作EM⊥AC于M，EN⊥GF交GF的延长线于N，连接CF．证明△EGN≌△EGM（AAS），推出EN=EM，∵GN=GM，EF=EC，推出Rt△ENF≌Rt△EMC（HL），推出FN=CM，推出CG+GF=GM+CM+GN-FN=2GM=EG；【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=13，∵CE⊥AD，FH⊥CD，∴∠FHC=∠CED=90°，在Rt△CDE中，∵cos D==，∴DE=5，∴CE==12，∵∠FEK=∠CED=90°，∠FKE=∠CKE，∴∠EFK=∠ECD，∵EK=DE，∴△FEK≌△CED（AAS），∴EF=CE=12．（2）证明：如图，作EM⊥AC于M，EN⊥GF交GF的延长线于N，连接CF．∵FG⊥AC，CE⊥AD，∴∠FGC=∠FEC=90°，∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF=45°，∴∠FGC+∠FEC=90°，∴E，F，G，C四点共圆，∴∠FGE=∠ECF=45°，∠EGC=∠EFC=45°，∴∠EGN=∠EGM，∵∠EMG=∠ENG=90°，EG=EG，∴△EGN≌△EGM（AAS），∴EN=EM，∵GM=GN，EF=EC，∴Rt△ENF≌Rt△EMC（HL），∴FN=CM，∴CG+GF=GM+CM+GN-FN=2GM=EG．【点睛】考查平行四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．25.阅读下列两则材料，回答问题：材料一：平面直角坐标系中，对点A（x1，y1），B（x2，y2）定义一种新的运算：A⊗B=x1x2+y1y2．例如：若A（1，2），B（3，4），则A⊗B=1×3+2×4=11材料二：平面直角坐标系中，过横坐标不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）的直线的斜率为k AB=．由此可以发现若k AB==1，则有y1-y2=x1-x2，即x1-y1=x2-y2．反之，若x1，x2，y1，y2满足关系式x1-y1=x2-y2，则有y1-y2=x1-x2，那么k AB=═1．（1）已知点M（-4，6），N（3，2），则M⊗N=______，若点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），且满足关系式x1+y1=x2+y2，那么k AB=______；（2）横坐标互不相同的三个点C，D，E满足C⊗D=D⊗E，且D点的坐标为（2，2），过点D作DF∥y轴，交直线CE于点F，若DF=8，请结合图象，求直线CE与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】（1）0，-1；（2）8或72．【解析】【分析】（1）根据材料一和材料二计算即可；（2）由C⊗D=D⊗E，且D点的坐标为（2，2），得出x1+y1=x2+y2，即可得出直线CE的斜率为k CE=-1，从而得出直线CE与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，然后根据图象即可求得．【详解】解：（1）根据新的运算，M⊗N=-4×3+6×2=0；∵点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），且满足关系式x1+y1=x2+y2，∴y1-y2=-（x1-x2），∴k AB==-1；故答案为0，-1；（2）设点C，E的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），∵C⊗D=D⊗E，且D点的坐标为（2，2），∴2x1+2y1=2x2+2y2，即x1+y1=x2+y2，由（1）可知：直线CE的斜率为k CE=-1，如图所示，则直线CE与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∵DF=8，∴围成的三角形的直角边的长为4或12，∴直线CE与坐标轴围成的三角形的面积为8或72．【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标符合解析式．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+6．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为线段BC上方抛物线上的任意一点，连接MB，MC，点N为抛物线对称轴上任意一点，当M到直线BC的距离最大时，求点M的坐标及MN+NB的最小值；(3)在(2)中，点M到直线BC的距离最大时，连接OM交BC于点E，将原抛物线沿射线OM平移，平移后的抛物线记为y′，当y′经过点M时，它的对称轴与x轴的交点记为H．将△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B1O2E2，在平面内是否存在点F，使以点C，H，B1，F 为顶点的四边形是以B1H为边的菱形．若存在，直接写出点B1的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+6；(2)点M的坐标及MN+NB的最小值分别为：（3，），；(3)存在，此时，点B1的横坐标为18．【解析】【分析】（1）直线BC的解析式为y=-x+6，则B（6，0）、C（0，6），把B、C坐标代入二次函数表达式，解得：y=-x2+2x+6；（2）设M横坐标为t，则M到直线BC的距离为d==；点B关于对称轴的对称点为A，则AM为MN+NB的最小值，即可求解；（3）OM所在直线方程为：y=x，当抛物线沿OM直线平移时，设顶点向右平移2m，则向上平移了5m，新顶点坐标为（2+2m，8+5m），则y′=-（x-2-2m）2+（8+5m），把点M（3，）代入上式，解得：m=，则H（9，0）．①假设：平行四边形处于CF′HB′1位置时，该四边形为菱形，则B′1的y坐标为6，则其x 坐标为9+2，而B′1C=9+2，B′1H=4，即：B′1C≠B′1H，CF′HB′1不是菱形；②假设：平行四边形处于CHB1F位置时，该四边形为菱形，则B1的横坐标为2OH=18．【详解】(1)直线BC的解析式为y＝﹣x+6，则B（6，0）、C（0，6），把点B、C坐标代入二次函数表达式，解得：y＝﹣x2+2x+6，此时，顶点坐标为（2，8），A（﹣2，0）；(2)设M横坐标为t，则M到直线BC的距离为d＝＝，∴当t＝3时，d最大，则M（3，），点B关于对称轴的对称点为A，则AM为MN+NB的最小值，AM＝＝；∴点M的坐标及MN+NB的最小值分别为：（3，），；(3)OM所在直线方程为：y＝x，当抛物线沿OM直线平移时，设顶点向右平移2m，则向上平移了5m，新顶点坐标为（2+2m，8+5m），则y′＝﹣（x﹣2﹣2m）2+（8+5m），把点M（3，）代入上式，解得：m＝，（m＝0舍去），则H（9，0），△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，此时，直线BO1的k值为，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B1O2E2，直线B1H的k也为，则B1H所在的直线方程为：y＝x﹣9，①假设：平行四边形处于CF′HB′1位置时，该四边形为菱形，则B′1的y坐标为6，则其x坐标为9+2，而B′1C＝9+2，B′1H＝4，即：B′1C≠B′1H，CF′HB′1不是菱形；②假设：平行四边形处于CHB1F位置时，该四边形为菱形，则B1的横坐标为2OH＝18．故：存在，此时，点B1的横坐标为18．【点睛】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．。
重庆南开中学初2013级12-13学年度九年级(上)期末考试物理试题
重庆南开中学初2013级九年级(上)期末考试物理试题(全卷共4个大题满分80分与化学共用120分钟)一．选择题(每题只有一个正确选项，每题2分，共20分)1．如下图所示四幅图中，由凝华而形成的自然现象是( )A．春天来了冰雪消融B．夏天，草叶上形成的“露珠”C．冬天，草叶上形成的“冰挂”D．北方冬天的雾凇l题图2．下列数据中最接近实际情况的是( )A．人体觉得舒适的环境温度为35℃B．汽油机的效率为100％C．家用电饭煲的额定功率为800W D．人体的安全电压为36v3．某档案馆的保密室进出门有下列要求：甲乙两资料员必须同时用各自的钥匙(S甲、S乙分别表示甲、乙两资料员的钥匙)使灯亮才能进入保密室；而馆长只要用自己的钥匙(S馆长表示馆长的钥匙)使灯亮就可以进入保密室。
下列电路中符合上述要求的是( )A．B．C．D．3题图4．如图所示的四个装置，关于它们分别用来演示哪个物理现象的描述，正确的是( )A．B．C．D．4题图A．图A可用来演示电流的磁效应B．图B可用来演示磁场对通电导线的作用C．图C可用来演示电磁感应现象D．图D可用来演示电荷间的相互作用5．下列有关热和能的说法中，正确的是( )A．炽热的铁水具有内能，冰冷的铁块不具有内能B．汽油机的压缩冲程中，主要是用热传递的方法增加了气缸内物质的内能C．机械能为零的物体，内能一定也为零D．汽车发动机用水做冷却物质，是因为水的比热容较大6．用电高峰期，会看到家里的白炽灯泡比正常发光要暗一些．这是因为，用电高峰期并联用电器增多，造成( )A．电路中的总电阻增大B．电路中的总电流减小C．白炽灯泡的实际功率减小D．白炽灯泡的额定功率减小7．物理研究中常常会用到“控制变量法”、“等效替代法”、“类比法”、“转换法”、“模型法”等研究方法，下列情况中用到类比法的是( )A．伏安法测电阻的实验B．把电流比作水流C．研究串并联电路中的总电阻D．用磁感线来描述磁场的分布8．如右图，电源电压不变，两只电表均完好，开关s闭合后，发现只有一只电表的指针发生偏转，若电路中只有一个灯泡出现了故障，则可能是( )A．电压表指针发生偏转，灯泡L1短路B．电压表指针发生偏转，灯泡L1断路C．电流表指针发生偏转，灯泡L2短路D．电流表指针发生偏转，灯泡L1断路9．光敏电阻的特点是有光照射它时阻值变小．如图所示是某小区门口利用光敏电阻设计的行人监控装置，R1为光敏电阻，R2为滑动变阻器，A、B间接监控装置．则( )A．当有人通过通道而遮蔽光线时，A、B间电压降低B．当有人通过通道而遮蔽光线时，通过R1的电流变大C．当仅增大R2连入电路中的阻值时，通过R1的电流变大D当仅增大R2连入电路中的阻值时，可降低．A、B间的电压10．某同学设计了如图所示的双向开关电路，电源电压保持不变，灯L1标有“3v 3w”字样，灯L2标有“9v 4．5W”字样．当开关拨至2位置且滑片滑到A端时，灯L2恰好正常发光．下列说法正确的是(不计灯丝电阻随温度的变化)( )A．电源电压为12vB．L2正常发光时，电路中的电流为2AC．要使L1正常发光，滑动变阻器接入电路的阻值应为80D．当灯L1、L2分别正常发光时，两次电路的总功率之比为2：l二．填空题(每空1分，共17分)11．如下图所示，是丹麦物理学家——在1820年所做的实验，在这个实验中，当导线中有电流通过时，小磁针会发生偏转，这个现象表明通电导体周围存在着_______________________。
重庆南开中学2009—2010学年度初2010级九年级上期末考试
重庆南开中学2009—2010学年度初2010级九年级(上)期末考试数 学 试 卷(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中. 1．2的倒数是( )A ．12B ．2-C ．12-D ．22．下列运算正确的是( )A ．2()2a b a b --=--B ．2()2a b a b --=-+C ．2()22a b a b --=-+D ．2()22a b a b --=--3x 的取值范围是( )A ．4x >-B ．4x <-C ．4x ≠-D ．4x ≥-4．某甲型H1N1流感确诊病人在医院隔离观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解这位病人7天体温的( )A ．众数B ．频数C ．平均数D ．方差 5．如图，已知直线//,115,25,AB CD C A ∠=∠=点E 、 F C 、在一条直线上，则E ∠=( ) A ．70° B ．80° C ．90° D ．100°6．按左图中第一、二两行图形的平移、轴对称及旋转等变换规律，填入第三行“？”处的图形应是( )7．一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示， 则其主视图的面积为( )A ．6B ．8C ．12D ．24E AFCD（5题图）A BCD左视图俯视图8．如图，量角器外沿上有A B C 、、三点，A 处、 B 处对应的量角器刻度分别是30°、70°，则 ACB ∠的度数为( )A ．50°B ．40°C ．30°D ．20°9．如图，三个大小相同的正方形拼成六边形ABCDEF ，一动点P 从点A 出发沿着A B C →→→D E →方向匀速运动，最后到达点.E 运动过程中PEF ∆的面积S 随时间t 变化的图象大致是( )10．如图，在ABC ∆中，60,A ∠=,ABC ACB ∠∠的平分线分别交AC AB 、于点,,D E CE BD 、相交于点,F 连 接.DE 下列结论： ①1cos ;2BFE ∠=②;AB BC = ③1;2DE BC = ④点F 到ABC ∆三边的距离相等；⑤.BE CD BC +=其中正确的结论是( )A ．②③④B ．②④⑤C ．①④⑤D ．①③④二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)在每小题中，请将正确答案直接填在题后的横线上.11．两个相似三角形周长的比为2:3，则其对应的面积比为______________.12．长度单位1纳米910-=米，目前发现一种新型病毒直径为25100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是____________米. 13．分式方程2512x x=-的解为_________________. 14．一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为5cm 的圆环，当滚到与坡面BC 开始相切时停止.其中40,AB cm =BC 与水平面的夹角为60°.其圆心所经过的路线长是_______cm (结果保留根号).15．小明准备了五张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面分别写有整数-5、-4、-3、-2、-1，将这五张卡片写有整数的一面向下放在桌面上. 从中任意抽取一张，以卡片上的数作为关于x的不等式30ax +>(其中0a ≠)中的系数,a 则使该不等式有正整数解的概率是____________.A B CDD E(9题图)ACDEF(10题图)CAB60° 40cm （14题图）o计2010年1月份后半月的销售收入比上月同期增长25%，并且预计1月份全月的销售收入比上月增长22.2%，则上月全月的销售收入为___________亿元.三、解答题：(本大题4个小题，每小题6分，共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.17．计算：()320111()( 3.14)2π----+⨯--18．解方程：2250x x +-=19．作图：请你在下图中作出一个以线段AB 为斜边的等腰.Rt ABC ∆ (要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论) 已知：求作：20．某校初三年级音乐期末测试已结束，为了解全年级情况，以该年级(1)班学生的测试成绩为样本,按A ，B ，C ，D 四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：ABC(说明：A 级：90分～100分(均含最小值、最大值，后同)；B 级：75分～89分；C 级：60分～74分；D 级：60分以下)(1)请把条形统计图补充完整；(2)扇形统计图中D 级所在的扇形的圆心角度数是_______________； (3)样本中测试成绩的中位数落在__________级；(4)若该年级有1100名学生，请你用此样本估计音乐期末测试中A 级和B 级的学生人数约为____________人.四、解答题：(本大题4个小题，每小题10分，共40分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.21．先化简，再求值：222221(),11a a a a a a a -+-÷-+- 其中a是方程2702x x --=的解.22．如图，已知一次函数12y kx =+的图象与y 轴交于点,C 与反比例函数2my x=的图象相交于点,A 点A 的横坐标为1. 过A 作AD y ⊥轴于点,D 且tan 1.ACD ∠=(1)求这两个函数的解析式及两图象的另一交点B 的坐标；(2)观察图象，直接写出使函数值12y y ≥的自变量x 的取值范围.23．图1是一个可以自由转动的转盘，被分成了面积相等的三个扇形，分别标有数-1，-2，-3，甲转动一次转盘，转盘停止后指针指向的扇形内的数记为A (如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形为止). 图2是背面完全一样、牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌，把四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上，乙随机抽出一张牌的牌面数字记为.B 计算A B +的值.(1)用树状图或列表法求0A B +=的概率；(2)甲乙两人玩游戏，规定：当A B +是正数时，甲胜；否则，乙胜. 你认为这个游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平.24．如图所示，在直角梯形ABCD 中，90,//,,BCD AD BC CD BC ∠==E 是CD 上一点，.BE AC ⊥(1)求证：AD EC =A BCDE(2)当点E在CD上什么位置时，AB BE成立？并说明理由.五、解答题：(本大题2个小题，第25小题10分，第26小题12分，共22分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.25．为了参加市教委举行的“争创绿色学校，美化校园环境”的活动，某区教委决定委托园林公司对所辖甲、乙两所学校进行校园绿化工作. 已知甲校有如图1所示的矩形内阴影部分空地需铺设草坪，乙校有如图2所示的平行四边形内阴影部分空地需铺设草坪(图1，图2中数据单位均为“米”). 在A B、两地分别有同种草皮4500米2和2500米2出售，且售价一样. 若园林公司向A B、两地购买草皮，其路程和运费单价表如下：路费、运费单价表(注：运费单价表示每平方米草皮运送1千米所需要的人民币)(1)分别求出图1、图2的阴影部分面积；(2)若甲校从A地购买x米2的草皮(x取整数)，因路程关系，甲校从A地购买的草皮数不超过甲校从B地购买的草皮数，乙校从B地购买的草皮数大于甲校从B地购买的草皮数的1,5那么甲校乙校从A B 、两地购买草皮的方案有多少种？(3)在(2)的条件下，请你设计出总运费最低的草皮运送方案，并说明理由.26．如图，已知直线112y x =-+分别交y 轴、x 轴于,A B 两点，以线段AB 为边向上作正方形,ABCD 过点,,A D C 的抛物线21y ax bx =++与直线的另一交点为点.E(1)点C 的坐标为______________；点D 的坐标为_______________.并求出抛物线的解析式.(2)AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止. 设正方形落在x 轴下方部分的面积为,S 求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；(3)在(2)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上,C E 两点间的抛物线弧所扫过的面积.图1 图2。
重庆南开中学2024年九年级上学期9月月考模拟数学试卷+答案
重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学9月第一次考试模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a+2a2＝3a3C．（﹣3ab）2•2ab2＝﹣18a3b4D．6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b23．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sin A的是（）A．B．C．D．4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（）A．1：2B．1：4C．4：9D．1：35．（4分）下列命题中，不一定是真命题的是（）A．平行四边形的两条对角线长度相等B．菱形的两条对角线互相垂直C．矩形的两条对角线长度相等且互相平分D．正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分6．（4分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（）A．B．C．D．7．（4分）估算的值（）A．在3和4之间B．在4和5之间C．在2和3之间D．在5和6之间8．（4分）①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（）A．50B．60C．64D．729．（4分）已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（）10．（4分）在多项式a+b﹣c﹣d﹣e中，除首尾项a、﹣e外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式a+b﹣c﹣d﹣e进行．例如：+b“消减操作”为|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，﹣c与﹣d同时“消减操作”为|a+b|﹣|﹣e|，…，下列说法：①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；③若可以去掉的三项+b，﹣c，﹣d满足：（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝42，则2b+c﹣d的最大值为14．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）已知，△ABC中，∠A是锐角，sin A＝，则∠A的度数是．12．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是．13．（4分）如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD的度数为．14．（4分）已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于．15．（4分）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1，）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A点，则k＝．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为．17．（4分）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在边BC的点F处，如果BC ＝10，，那么EC＝．18．（4分）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多1，则称这样的四位数为“多一数”，如：9675，9﹣7＝6﹣5+1，9765是“多一数”；又如：6973，∵6﹣7≠9﹣3+1，∴6973不是“多一数”．现有一个“多一数”M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d（1≤c≤a≤9，0≤d≤b≤9），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，若，F（M）能被6整除，则a﹣c＝；规定，若G（M）为完全平方数，则满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差是．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）因式分解：9（x+y）2﹣25（x﹣y）2；（2）计算：．20．（10分）解方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0；（2）．21．（10分）在第18章学习了三角形的中位线定理后，小明对这一知识进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：（1）用直尺和圆规，作线段CD的垂直平分线，垂足为点F，连接EF，连接AF并延长AF交线段BC的延长线于点M（只保留作图痕迹）；（2）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，F为CD中点，连接EF．猜想：EF∥AD∥BC，且．证明：∵F是CD中点，∴．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．请你根据该探究过程完成下面命题：连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且．22．（10分）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍．（1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；（2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．23．（10分）如图矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF），动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF 的面积为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；（2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）．24．（10分）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC＝72cm，BC＝54cm，两轮轮轴的距离AB＝90cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行．（参考数据：）（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；（2）若FG的长度为80cm，∠EHG＝60°，求购物车把手F到AB的距离．（结果精确到0.1）25．（10分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点M、N是y轴上的动点（M在N上方）且满足MN＝1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值；（3）点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP＝∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件的P 点的横坐标．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，过A作AD⊥BC于点D．（1）如图1，过D作DE⊥AB于点E，连接CE，若AE＝2，求线段CE的长；（2）如图2，H为平面内一点，连接AH、CH，在△AGH中，AG＝AH，∠GAH＝120°，延长AG与CB交于点F，过点H作HP∥AF交BC于点P，若C、H、G在一条直线上，求证：BF＝CP；（3）如图3，M为AD上一点，连接BM，N为BM上一点，若，，∠BAN﹣∠CBN＝30°，连接CN，请直接写出线段CN的长．重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学9月第一次考试模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；是中心对称图形的只有B．故选：B．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a+2a2＝3a3C．（﹣3ab）2•2ab2＝﹣18a3b4D．6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b2【解答】解：a2•a3＝a5，故A错误，不符合题意；a与2a2不能合并，故B错误，不符合题意；（﹣3ab）2•2ab2＝18a3b4，故C错误，不符合题意；6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b2，故D正确，符合题意；故选：D．3．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sin A的是（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△ACD中，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sin A＝．故选：B．4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（）A．1：2B．1：4C．4：9D．1：3【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC和△A′B′C′的周长之比为1：3，故选：D．5．（4）A．平行四边形的两条对角线长度相等B．菱形的两条对角线互相垂直C．矩形的两条对角线长度相等且互相平分D．正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分【解答】解：A、平行四边形的两条对角线长度不一定相等，故本选项命题不一定是真命题，符合题意；B、菱形的两条对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；C、矩形的两条对角线长度相等且互相平分，是真命题，不符合题意；D、正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分，是真命题，不符合题意；故选：A．6．（4分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（）A．B．C．D．【解答】解：设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是：．故选：D．7．（4分）估算的值（）A．在3和4之间B．在4和5之间C．在2和3之间D．在5和6之间【解答】解：∵25＜31＜36，∴5＜＜6，∴3＜﹣2＜4．故选：A．8．（4分）下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（）A．50B．60C．64D．72【解答】解：观察图形发现第一个图形有8个正方形，第二个图形有8+7＝15个正方形，第三个图形有8+7×2＝22个正方形，…第n个图形有8+7（n﹣1）＝7n+1个正方形，当n＝9时，7n+1＝7×9+1＝64个正方形．故选：C．9．（4分）已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（）A．2αB．45°+αC．22.5°+αD．90°﹣α【解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD，交DA的延长线于N，设EF与AD交于T，如图所示：则∠N＝∠EMB＝∠EMA＝90∵四边形ABCD和DEFG都是正方形，∴∠BEF＝∠BAD＝∠EFG＝∠ADC＝∠EDG＝90°，DE＝EF，∴∠N＝∠EMA＝∠MAN＝90°，∴四边形AMEN为矩形，∴∠1+∠DTE＝90°，∠2+∠FTA＝90°，∵∠DTE＝∠FTA，∴∠1＝∠2，在△DME和△FNE中，，∴△DME≌△FNE（AAS），∴EM＝EN，∴AE平分∠DAN，∴∠EAD＝45°，∴∠EAF＝∠BAD+∠EAD＝90°+45°＝135°，∴∠2＝180°﹣∠EAF﹣AEF＝180°﹣135°﹣α＝45°﹣α，∴∠1＝∠2＝45°﹣α，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝45°，∴∠EDH＝∠1+∠ADB＝45°﹣α+45°＝90°﹣α，∴∠HDG＝∠EDG﹣∠EDH＝90°﹣（90°﹣α）＝α，∴∠BHF＝∠DHG＝90°﹣∠HDG＝90°﹣α．故选：D．10．（4分）在多项式a+b﹣c﹣d﹣e中，除首尾项a、﹣e外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式a+b﹣c﹣d﹣e进行．例如：+b“消减操作”为|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，﹣c与﹣d同时“消减操作”为|a+b|﹣|﹣e|，…，下列说法：①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；③若可以去掉的三项+b，﹣c，﹣d满足：（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝42，则2b+c﹣d的最大值为14．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①﹣d“闪减操作”后的式子|a+b﹣c|﹣|﹣e|，﹣c﹣d“闪减操作”后的式子|a+b|﹣|﹣e|对这两个式子作差，得（|a+b﹣c|﹣|﹣e|）﹣（|a+b|﹣|﹣e）＝|a+b﹣c|﹣|﹣e|﹣|a+b|+|﹣e|＝|a+b﹣c|﹣|a+b|，结果不含与e相关的项，∴①正确；②若每种操作只闪退一项，则分三种情况：+b闪减操作”后的结果|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，当a≥0，﹣c﹣d﹣e≥0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝a+c+d+e，当a≥0，﹣c﹣d﹣e≤0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝a﹣c﹣d﹣e，当a≤0，﹣c﹣d﹣e≥0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝﹣a+c+d+e，当a≤0，﹣c﹣d﹣e≤0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝﹣a﹣c﹣d﹣e，﹣c“闪减操作”后的结果|a+b|﹣|﹣d﹣e|，当a+b≥0，﹣d﹣e≥0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝a+b+d+e，当a+b≥0，﹣d﹣e≤0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝a+b﹣d﹣e，当a+b≤0，﹣d﹣e≥0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝﹣a﹣b+d+e，当a+b≤0，﹣d﹣e≤0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|﹣a﹣b﹣d﹣e，﹣d“闪减操作”后的结果|a+b﹣c|﹣|﹣e|，当a+b﹣d≥0，﹣e≥0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝a+b﹣c+e，当a+b﹣d≥0，﹣e≤0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝a+b﹣c﹣e，当a+b﹣d≤0，﹣e≥0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝﹣a﹣b+c+e，当a+b﹣d≤0，﹣e≤0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝﹣a﹣b+c﹣e，共有12种不同的结果，∴②错误；③∵|+b|+|+b+2|＝|b﹣0|+|b﹣（﹣2）|，在数轴上表示点b与0和﹣2的距离之和，∴当距离取最小值0﹣（﹣2）＝2时，b的最小值为﹣2，同理|﹣c+1|+|﹣c+4|＝|1﹣c|+|4﹣c|，在数轴上表示点c与1和4的距离之和，∴当距离取最小值4﹣1＝3时，c的最小值为1，|﹣d+1|+|﹣d﹣6|＝|1﹣d|+|﹣6﹣d|，在数轴上表示点d与1和﹣6的距离之和，∴当距离取最小值1﹣（﹣6）＝7时，d的最小值为﹣6，∴当|+b|+|+b+2|，|﹣c+1|+|﹣c+4|，|﹣d+1|+|﹣d﹣6|都取最小值时，（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝2×3×7＝42，∴③正确，故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）已知，△ABC中，∠A是锐角，sin A＝，则∠A的度数是30° ．【解答】解：∵∠A是锐角，sin A＝，∴∠A＝30°，故答案为：30°．12．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是6．【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，∴（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6，∴这个多边形的边数是6．故答案为：6．13．（4分）如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD的度数为142° ．【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝38°，∴∠ADP＝∠1＝38°，∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴∠BPD+∠ADP＝180°，∴∠BPD＝180°﹣38°＝142°．故答案为：142°．14．（4分）已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于5．【解答】解：根据题意得a2﹣a＝1，b2﹣b＝1，所以3a2+2b2﹣3a﹣2b＝3a2﹣3a+2b2﹣2b＝3（a2﹣a）+2（b2﹣b）＝3+2＝5．故填515．（4分）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1，）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A点，则k＝8．【解答】解：如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D，∵BA⊥OB于点B，∴∠ABD＝90°．∵线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，∴∠ABB′＝60°，∴∠B′BD＝90°﹣60°＝30°．∵点B′的坐标为（1，），∴OD＝1，B′D＝，∴BB′＝2B′D＝2，BD＝＝3，∴OB＝1+3＝4，AB＝BB′＝2，∴A（4，2），∴k＝4×2＝8．故答案为：8．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为8．【解答】解：，解得：，∴，解得2＜a≤5.5，解分式方程得y＝2a﹣5，∵y的值解为正数，∵2a﹣5＞0，且2a﹣5≠3，∵a＞2.5且a≠4，∴满足条件的整数a的值有3和5，∴3+5＝8．故答案为：8．17．（4分）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在边BC的点F处，如果BC ＝10，，那么EC＝3．【解答】解：∵四边形ABCD∴AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠的性质可得AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，，∴，∴CF＝BC﹣BF＝4，在Rt△ABF，由勾股定理得，∴，∵∠BAF+∠BF A＝90°＝∠BF A+∠CFE，∴∠BAF＝∠CFE，∴在Rt△EFC中，，∴，故答案为：3．18．（4分）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多1，则称这样的四位数为“多一数”，如：9675，9﹣7＝6﹣5+1，9765是“多一数”；又如：6973，∵6﹣7≠9﹣3+1，∴6973不是“多一数”．现有一个“多一数”M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d（1≤c≤a≤9，0≤d≤b≤9），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，若，F（M）能被6整除，则a﹣c＝5；规定，若G（M）为完全平方数，则满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差是2222．【解答】解：根据题意可知0≤a﹣c≤8，a﹣c＝b﹣d+1．M＝1000a+100b+10c+d，N＝1000c+100d+10a+b．＝，＝，＝10（a﹣c）+b﹣d＝10（a﹣c）+a﹣c﹣1，＝11（a﹣c）﹣1，∵F（M）能被6整除，∴a﹣c＝5．∵c≥1，∴a≥6．当a＝6时，c＝1．∵a﹣c＝b﹣d+1，∴d＝b﹣4．∴，∵G（M）为完全平方数，∴b＝3．∴d＝﹣1（舍去）．同理，当a＝7时，c＝2，M＝7420；当a＝8时，c＝3，M＝8531；当a＝9时，c＝4，M＝9642；∴满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差＝9642﹣7420＝2222．故答案为：5；2222．三．解答题（共8小题，满分78分）（1）因式分解：9（x+y）2﹣25（x﹣y）2；（2）计算：．【解答】解：（1）9（x+y）2﹣25（x﹣y）2＝（3x+3y+5x﹣5y）（3x+3y﹣5x+5y）＝﹣4（4x﹣y）（x﹣4y）；（2）＝1﹣•＝1﹣＝＝﹣．20．（10分）解方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0；（2）．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2移项得x2﹣2x＝2，配方得x2﹣2x+1＝2+1，即（x+1）2＝3，开方得，解得；；（2），去分母，得m﹣4+m+2＝0，解得m＝1，经检验，m＝1是原方程的根．21．（10分）在第18章学习了三角形的中位线定理后，小明对这一知识进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：（1）用直尺和圆规，作线段CD的垂直平分线，垂足为点F，连接EF，连接AF并延长AF交线段BC的延长线（2）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，F为CD中点，连接EF．猜想：EF∥AD∥BC，且．证明：∵F是CD中点，∴DF＝CF．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CMF．在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．请你根据该探究过程完成下面命题：连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底边之和的一半．【解答】（1）解：如图所示．.（2）证明：∵F是CD中点，∴DF＝CF．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CMF．在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底边之和的一半．故答案为：DF＝CF；∠AFD＝∠MFC；；等于两底边之和的一半．22．（10分）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍．（1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；（2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．【解答】解：（1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是1.5x元，根据题意得：﹣＝20，解得：x＝14，经检验，x＝14是所列方程的解，且符合题意，∴1.5x＝1.5×14＝21（元）．答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元；（2）第一次购买大罗非的数量是840÷21＝40（斤）．根据题意得：14（80﹣40﹣2m）+（21﹣m）（40+2m）＝1340，整理得：m2+13m﹣30＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣15（不符合题意，舍去）．答：m的值为2．23．（10分）如图矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF），动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF 的面积为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；（2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）．【解答】解：（1）当0≤x≤3时，y1＝＝4x，当3＜x≤5时，y1＝﹣×6×（2x﹣6）﹣＝﹣4x+24，∴y1＝；（2）函数y1，y2的图象如图：函数y1的性质：当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3＜x≤5时，y随x的增大而减小；（3）由两个函数图像可知，当y1≤y2时x的取值范围为0＜x≤2.1或x＝5．24．（10分）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC＝72cm，BC＝54cm，两轮轮轴的距离AB＝90cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行．（参考数据：）（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；（2）若FG的长度为80cm＝60°，求购物车把手F到AB的距离．（结果精确到0.1）【解答】解：（1）AC⊥BC，理由如下：∵AC＝72cm，BC＝54cm，AB＝90cm，∴AC2+BC2＝722+542＝8100，AB2＝8100，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC．（2）过F作FN⊥AB交AB延长线于N，过C作CM⊥AB于M，延长DG交FN于K，∵EH∥DG∥AB，∴GK⊥FN，∴四边形MNKC是矩形，∴NK＝CM，∵△ABC的面积＝AB•CM＝AC•BC，∴90CM＝72×54，∴CM＝43.2（cm），∴NK＝CM＝43.2（cm），∵EH∥DG，∴∠FGK＝∠EHG＝60°，∴sin∠FGK＝sin60°＝＝，∵FG＝80cm，∴FK＝40≈69.28（cm），∴FN＝FK+NK＝69.28+43.2≈112.5（cm）．∴购物车把手F到AB的距离约是112.5cm．25．（10分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点M、N是y轴上的动点（M在N上方）且满足MN＝1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值；（3）点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP＝∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件的P 点的横坐标．【解答】解：（1）根据题意可知点A（m，﹣3）在直线和双曲线的图象上，∴，解得m＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣2，﹣3），代入双曲线得：k＝（﹣2）×（﹣3）＝6，由图象可知点B与点A关于原点对称，∴B（2，3）；（2）过点B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，作点B关于y轴的对称点点B'，并向下平移一个单位记为B''，连接B''C，则BE∥CF，B'B''＝1，∴△DCF∽△DBE，∴，∵BC＝2CD，B（2，3），B'（﹣2，3），B''（﹣2，2），∴，BE＝3，∴CF＝1，即点C的纵坐标为1，∵点C在反比例函数的图象上，∴C（6，1），B''C＝，∴MB+MN+NC的最小值即为B'B''+B''C＝1+；（3）当∠ODP＝∠DOB时，当DP在x轴下方时，DP∥AB，设直线BC的解析式为y＝kx+b，由（2）可知：B（2，3），C（6，1），∴解得，∴，当y＝0时，，解得x＝8，∴D（8，0），∵DP∥AB，直线AB的解析式为，∴设直线DE的解析式为，把D（8，0）代入得：12+m＝∴m＝﹣12，∴，由P是直线DE与反比例函数的交点可得：，解得，此时点P在第三象限，符合题意，当DP在x轴上方时，则与下方的DP关于x轴对称，可得直线DP的解析式为：，再解方程组得，此时点P在第一象限，两个都符合题意，∴点P的横坐标为：．．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，过A作AD⊥BC于点D．（1）如图1，过D作DE⊥AB于点E，连接CE，若AE＝2，求线段CE的长；（2）如图2，H为平面内一点，连接AH、CH，在△AGH中，AG＝AH，∠GAH＝120°，延长AG与CB交于点F，过点H作HP∥AF交BC于点P，若C、H、G在一条直线上，求证：BF＝CP；（3）如图3，M为AD上一点，连接BM，N为BM上一点，若，，∠BAN﹣∠CBN＝30°，连接CN，请直接写出线段CN的长．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，AD⊥BC，∴∠BAD＝60°，∴AD＝2AE＝4，∴AB＝2AD＝8，BD＝AD＝4，∴BE＝AB﹣AE＝6，∴EF＝BE＝3，BF＝BE＝3，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴CF＝2BD﹣BF＝8﹣3＝5，∴CE＝＝2，（2）证明：∵∠ABC＝30°，AB＝AC，∴∠BAC＝120°，又∵∠GAH＝120°，∴∠F AB＝∠CAH，∵AH＝AG，∴∠AHG＝30°＝∠ABC，∴∠ABF＝∠AHC，∴△ABF∽△AHC，∴＝，∵PH∥FG，∴△CHP∽△CGF，∴＝，又∵△ABC∽△AGH，∴＝，∴＝，∴＝，∵＝，∴＝＝+1＝+1＝，∴CP＝FB；（3）延长BM交AC于F，延长AN到E，使NE＝BN，连接BE，如图3：∵∠BAN﹣∠CBN＝30°，∴∠BAN＝∠CBN+30°，∴∠BNE＝∠BAN+∠ABN＝∠CBN+∠ABN+30°＝60°，∵NE＝BN，∴△BEN是等边三角形，∴∠E＝60°，∵∠ANB＝180°﹣∠BNE＝120°＝∠BAC，∴△ABN∽△FBA，∴＝＝，∠BAE＝∠AFB，∴△ANF∽△BEA，∴＝＝，∴FN＝＝＝，∴BF＝FN+BN＝，∴AB2＝BN•BF＝5+，过F作FG⊥BC于F，过N作NH⊥BC于H，∵∠ACB＝30°，∴FG＝FC＝（AB﹣AF）＝AB，CG＝AB，∴BG＝BC﹣CG＝AB﹣AB＝AB，∵NH∥CF，∴＝＝＝，∴NH＝AB，BH＝AB，∴CH＝BC﹣BH＝AB，∴CN2＝CH2+NH2＝9，∴CN＝3．。
南开中学初2013级12-13学年(上)开学摸底——数学
重庆南开中学初2013级九年级（上）摸底考试数学试题（全卷共30个小题，时间120分钟，满分150分）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1、sin 30的值是（ ）A 、12B 、2CD 、12、下列多项式能分解因式的是（ ）A 、22x y +B 、22x y --C 、222x xy y -+-D 、22x xy y -+3、中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目——墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池。
类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以两种不同形状的“姿势”穿过“墙”上的两个空洞，则该几何体为（ ）4、下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）A 、调查人们在使用iphone4S 中容易出现的问题B 、调查重庆中学生对“钓鱼岛”事件的关注度C 、调查“中国好声音”的收视情况D 、调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品5、已知反比例函数()0ky k x =≠，当0x >时，y x 随的增大而增大，则一次函数y kx k =-的图象经过（ ）A 、一、二、四象限B 、一、二、三象限C 、一、三、四象限D 、二、三、四象限6、某人驾车从A 地沿高速公路前往B 地，中途在服务区休息了一段时间。
出发时油箱中剩油40升，到达B 地后发现油箱中剩油4升，则从A 地出发后到达B 地的过程中，油箱所剩油量y （升）与时间t （小时）之间的函数图像大致是（ ）7、如图，幼儿园计划用30m 的围栏靠墙围成一个面积为2100m 的矩形小花园（墙长为15m ），则与墙垂直的边x 为（ ）A 、10B 、10m 或5mC 、5mD 、5m 或8m8、如图，在Rt ABC ∆中，90,3,4ACB BC AC ∠=== ，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A 、32B 、76C 、256D 、29、如图，矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，点A 落在BC 边上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，点A 落在BC 边上的点F 处，则tan FAB ∠=（ ）A1 B1 C1 D10、如图，正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，且2CE BE =。
重庆市南开中学九年级上册期末精选试卷检测题
重庆市南开中学九年级上册期末精选试卷检测题一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，求t的值；（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t 47758．【解析】【分析】（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，列出方程、解方程即可解答；（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝12×6×6＝18，∵AP＝t，CP＝6﹣t，∴△PBC与△PAD的面积和＝12t2+12×6×（6﹣t），∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，∴12t2+12×6×（6﹣t）＝18×79，解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣12t2＝72t2＝8，解得：t1＝477，t2＝﹣477（不合题意，舍去），②如图2，当2≤t≤3时，S＝12×6×6﹣12t2﹣12（6﹣2t）2＝12t﹣25t2＝8，解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝45（不合题意，舍去），③如图3，当3≤t≤6时，S＝126×6﹣12t2＝8，解得：t1＝25，t2＝﹣25（不合题意，舍去），综上，t的值为477或25时，重叠面积为8．【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.2．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；（2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.【详解】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x，()2517.2x +=，解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去），答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=（万册）， 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5 5.6%0.44100%10%7.2⨯+⨯=， 答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.3．有n 个方程：x 2+2x ﹣8=0；x 2+2×2x ﹣8×22=0；…x 2+2nx ﹣8n 2=0．小静同学解第一个方程x 2+2x ﹣8=0的步骤为：“①x 2+2x=8；②x 2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x 1=4，x 2=﹣2．” （1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．（2）用配方法解第n 个方程x 2+2nx ﹣8n 2=0．（用含有n 的式子表示方程的根）【答案】（1）⑤；（2）x 1=2n ，x 2=﹣4n ．【解析】【分析】（1）根据移项要变号，可判断；（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.【详解】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为⑤；（2）x 2+2nx ﹣8n 2=0，x 2+2nx=8n 2，x 2+2nx+n 2=8n 2+n 2，（x+n ）2=9n 2，x+n=±3n ，x 1=2n ，x 2=﹣4n ．4．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A ，B 两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表： A 型销售数量（台）B 型销售数量（台） 总利润（元） 5 10 2 000（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知A型空气净化器的净化能力为300 m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200 m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为200 m２，室内墙高3 m．该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至少要购买A型空气净化器多少台？【答案】（1）每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元；（2）为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台；（3）至少要购买A型空气净化器2台.【解析】解：（1）设每台A型空气净化器的利润为x元，每台B型空气净化器的利润为y元，根据题意得：5102000,200, {{ 1052500.100. x y xx y y+==+==解得答：每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元. （2）设购买A型空气净化器m台，则购买B型空气净化器（100﹣m）台，∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，∴100-m≥2m，解得：m≤100. 3设销售完这100台空气净化器后的总利润为W元.根据题意，得W=200m+100（100﹣m）=100m+10000.∵要使W最大，m需最大，∴当m=33时，总利润最大，最大利润为W：100×33+10000=13300（元）.此时100﹣m=67.答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台.（3）设应购买A型空气净化器a台，则购买B型空气净化器（5﹣a）台，根据题意得：12[300a+200(5-a)]≥200×3.解得：a≥2.∴至少要购买A型空气净化器2台.5．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，2）；②P（﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x=-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；②ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1x=-，∴{312a b ccba++==-=-，解得：1{23abc=-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x=--+=2(1)4x-++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x=--+=，解得3x=-或1x=，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223y x x=--+上，∴设点P（x，223x x--+），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232y x x=--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P（21-，2）；②设P(x，y)，则223y x x=--+，∵ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x⨯⨯⨯+++-=333222x y-+=2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．已知函数2266()22()x ax a x a y x ax a x a ⎧-+>=⎨-++≤⎩（a 为常数，此函数的图象为G ） （1）当a ＝1时，①直接写出图象G 对应的函数表达式②当y=-1时，求图象G 上对应的点的坐标（2）当x >a 时，图象G 与坐标轴有两个交点，求a 的取值范围 （3）当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时，直接写出a 的取值范围【答案】（1）①2266(1)22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩，②(1,1),(32,1),(32,1)--+--；（2）0a <或2635a <<；（3）314125a --<，1153a <<，1123a <<-【解析】【分析】（1）①将1a =代入函数解析式中即可求出结论；②分1x >和1x ≤两种情况，将y=-1分别代入求出x 的值即可；（2）根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可；（3）先求出266y x ax a =-+的对称轴为直线6321a x a -=-=⨯，顶点坐标为()23,96a a a -+，222y x ax a =-++的对称轴为直线()221a x a =-=⨯-，顶点坐标为()2,2a a a +，然后根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可．【详解】（1）①1a =时，2266(1)22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩②当1x >时，2661x x -+=-2670x x -+=1233x x ==当1x ≤时，2221x x -++=-2230x x --=121,3x x =-=（舍）∴坐标为(1,1),(31),(31)----（2）当0a <时266()y x ax a x a =-+>与y 轴交点坐标(0,6)a ，266y x ax a =-+对称轴为直线6321a x a -=-=⨯，过点(1,1) ∴x ＞a ＞3a ，此时图像G 与坐标轴有两个交点（与x 轴一个交点，与y 轴一个交点） 当0a ≥时，266()y x ax a x a =-+>的图像与y 轴无交点顶点坐标为()23,96a a a -+当x a =时，256y a a =-+＞0①，且2960a a -+<②时，此时图像G 与x 轴有两个交点 将①的两边同时除以a ，解得65a <； 将②的两边同时除以a ，解得23a >∴2635a << 即当2635a <<时，图像G 与坐标轴有两个交点， 综上，0a <或2635a << （3）266y x ax a =-+的对称轴为直线6321a x a -=-=⨯，顶点坐标为()23,96a a a -+222y x ax a =-++的对称轴为直线()221a x a =-=⨯-，顶点坐标为()2,2a a a + ①当a ＜0时， ()222y x ax a x a =-++≤中，当x=a 时，y 的最大值为22a a +由()210a +≥可得221a a +≥-，即此图象必有一个点到x 轴的距离为1而()266y x ax a x a =-+>必过（1,1），即此图象必有一个点到x 轴的距离为1，此时x ＞3a ，y ＞225666a a a a a a ⋅+=-+-当2221561a a a a ⎧+<⎨-+<-⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有两个交点解得：315a --<； 当2221561a a a a ⎧+>⎨-+>-⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴有两个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有一个交点解得：315a +-+<<，与前提条件a ＜0不符，故舍去； ②当a ≥0时， ()222y x ax a x a =-++≤中，当x=a 时，y 的最大值为22a a +，必过点（-1，-1），即此图象必有一个点到x 轴的距离为1而()266y x ax a x a =-+>，此时当x=3a 时，y 的最小值为296a a -+，由()2310a --≤可得2961a a -+≤，即此图象必有一个点到x 轴的距离为1当222221561961961a a a a a a a a ⎧+<⎪-+>⎪⎨-+>-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有两个交点解得：115a <<-+且13a ≠； 当222221561961961a a a a a a a a ⎧+<⎪-+<⎪⎨-+<-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有两个交点此不等式无解，故舍去；当222221561961961a aa aa aa a⎧+>⎪-+<⎪⎨-+>-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴有两个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有一个交点此不等式无解，故舍去；综上：315a--<或1153a<<或113a<<-【点睛】此题考查的是二次函数的性质和分段函数的应用，此题难度较大，掌握二次函数的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．7．在平面直角坐标系中，点(),p tq与(),q tp()0t≠称为一对泛对称点．（1）若点()1,2，()3,a是一对泛对称点，求a的值；（2）若P，Q是第一象限的一对泛对称点，过点P作PA x⊥轴于点A，过点Q作QB y⊥轴于点B，线段PA，QB交于点C，连接AB，PQ，判断直线AB与PQ的位置关系，并说明理由；（3）抛物线2y ax bx c=++()0a＜交y轴于点D，过点D作x轴的平行线交此抛物线于点M（不与点D重合），过点M的直线y ax m=+与此抛物线交于另一点N．对于任意满足条件的实数b，是否都存在M，N是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点(),M MM x y，(),N NN x y探究当My＞Ny时Mx的取值范围；若不是，请说明理由．【答案】（1）23；（2）AB∥PQ，见解析；（3）对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M(x M，y M)，N(x N，y N)，当y M＞y N时，x M的取值范围是x M＜1且x M≠0【解析】【分析】（1）利用泛对称点得定义求出t的值，即可求出a.（2）设P，Q两点的坐标分别为P（p,tq），Q（q,tp），根据题干条件得到A（p,0），B （0,tp），C（p,tp）的坐标，利用二元一次方程组证出k1=k2，所以AB∥PQ.（3）由二次函数与x轴交点的特征，得到D点的坐标；然后利用二次函数与一元二次方程的关系，使用求根公式即可得到答案.【详解】（1）解：因为点（1，2），（3，a）是一对泛对称点，设3t＝2解得t＝23所以a＝t×1＝23（2）解：设P，Q两点的坐标分别为P（p,tq），Q（q,tp），其中0＜p＜q，t＞0.因为PA⊥x轴于点A，QB⊥y轴于点B，线段PA，QB交于点C，所以点A，B，C的坐标分别为：A（p,0），B（0,tp），C（p,tp）设直线AB，PQ的解析式分别为：y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2，其中k1k2≠0.分别将点A（p,0），B（0,tp）代入y＝k1x＋b1，得111pk b tpb tp+=⎧⎨=⎩. 解得11k tb tp=-⎧⎨=⎩分别将点P（p,tq），Q（q,tp）代入y＝k2x＋b2，得2222pk b tpqk b tp+=⎧⎨+=⎩. 解得22k tb tp tp=-⎧⎨=+⎩所以k1＝k2.所以AB∥PQ（3）解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）交y轴于点D，所以点D的坐标为（0,c）.因为DM∥x轴，所以点M的坐标为（x M,c），又因为点M在抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）上.可得ax M 2＋bx M＋c＝c，即x M（ax M＋b）＝0.解得x M＝0或x M＝－ba.因为点M不与点D重合，即x M≠0，也即b≠0，所以点M的坐标为（－ba,c）因为直线y＝ax＋m经过点M，将点M（－ba,c）代入直线y＝ax＋m可得，a·（－ba）＋m＝c.化简得m＝b＋c所以直线解析式为：y＝ax＋b＋c.因为抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝ax＋b＋c交于另一点N，由ax2＋bx＋c＝ax＋b＋c，可得ax2＋（b－a）x－b＝0.因为△＝（b－a）2＋4ab＝（a＋b）2，解得x1＝－ba，x2＝1.即x M＝－ba，x N＝1，且－ba≠1，也即a＋b≠0.所以点N的坐标为（1,a＋b＋c）要使M（－ba,c）与N（1,a＋b＋c）是一对泛对称点，则需c＝t ×1且a＋b＋c＝t ×（－ba ）.也即a＋b＋c＝（－ba ）·c也即（a＋b）·a＝－（a＋b）·c.因为a＋b≠0，所以当a＝－c时，M，N是一对泛对称点.因此对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形.此时点M的坐标为（－ba,－a），点N的坐标为（1,b）.所以M，N两点都在函数y＝bx（b≠0）的图象上.因为a＜0，所以当b＞0时，点M，N都在第一象限，此时 y随x的增大而减小，所以当y M＞y N时，0＜x M＜1；当b＜0时，点M在第二象限，点N在第四象限，满足y M＞y N，此时x M＜0.综上，对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M（x M,y M），N（x N,y N），当y M＞y N时，x M的取值范围是x M＜1且x M≠0.【点睛】本题主要考察了新定义问题，读懂题意是是做题的关键；主要考察了二元一次方程组，二次函数、一元二次方程知识点的综合，把握题干信息，熟练运用知识点是解题的核心.8．如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣34，1916）．（3）1539(,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M【解析】【分析】（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.【详解】解：如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．∴4016440a ba b-+=⎧⎨++=⎩解得13ab=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣32）2+254．∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．连接CD，∴CD∥x轴，∴∠DCB＝∠OBC＝45°，∴∠DCB＝∠OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）∴∠DBC＝∠GBC．设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得k＝﹣14，b＝1，∴BP解析式为y BP＝﹣14x+1．y BP＝﹣14x+1，y＝﹣x2+3x+4当y＝y BP时，﹣14x+1＝﹣x2+3x+4，解得x1＝﹣34，x2＝4（舍去），∴y＝1916，∴P（﹣34，1916）．（3）1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M理由如下，如图B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线32x=，设N(32，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,∴4-32=0-m，∴m=52-∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴1539 (,)24M--；或∴0-32=4-m，∴m=11 2∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴21139 (,) 24M-；第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，∴322 2m∴m=5 2∴﹣m2+3m+4=21 4∴3521 (,) 24M综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M.【点睛】本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.9．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A 在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3)（2）△ABP最大面积s=1927322288⨯=; P（12，﹣34）（3）存在；25【解析】【分析】（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组211y xy x⎧=⎨=+⎩﹣即可；（2）设P（x，x2﹣1）．过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1），所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB，，用含x的代数式表示为S△ABP=﹣x2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，用k分别表示点E的坐标，点F的坐标，以及点C的坐标，然后在Rt△EOF中，由勾股定理表示出EF的长，假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，设点N为OC中点，连接NQ，根据条件证明△EQN∽△EOF，然后根据性质对应边成比例，可得关于k的方程，解方程即可.【详解】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A （﹣1，0），B （2，3）．（2）设P （x ，x 2﹣1）．如答图2所示，过点P 作PF ∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F （x ，x+1）．∴PF=y F ﹣y P =（x+1）﹣（x 2﹣1）=﹣x 2+x+2．S △ABP =S △PFA +S △PFB =PF （xF ﹣xA ）+PF （xB ﹣xF ）=PF （xB ﹣xA ）=PF∴S △ABP=（﹣x 2+x+2）=﹣（x ﹣12）2+278 当x=12时，yP=x 2﹣1=﹣34． ∴△ABP 面积最大值为，此时点P 坐标为（12，﹣34）． （3）设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，则E （﹣1k ，0），F （0，1），OE=1k，OF=1． 在Rt △EOF 中，由勾股定理得：EF=22111=k k +⎛⎫+ ⎪⎝⎭．令y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k=0，即（x+k ）（x ﹣1）=0，解得：x=﹣k 或x=1．∴C （﹣k ，0），OC=k ．假设存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°． 设点N 为OC 中点，连接NQ ，则NQ ⊥EF ，NQ=CN=ON=2k ．∴EN=OE﹣ON=1k﹣2k．∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，∴NQ ENOF EF=，即：1221kkkk-=，解得：k=±25，∵k＞0，∴k=25．∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=25．考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.10．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数2y ax bx c=++（其中a、b、c 是常数，且a≠0）的图像经过点A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果:3:2ABD BCDS S∆∆=，求tan∠DBC的值；（3）如果点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．【答案】（1）243y x x=-+-；（2）32；（3）E（2，73-）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，把A、B、C三点代入解析式，即可得到答案；（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，利用面积的比得到32ADDC=，然后求出DH和BH，即可得到答案；（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，先证明△OAB∽△OFA，求出点F的坐标，然后求出直线AF的方程，即可求出点E的坐标.【详解】解：（1）将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入20y ax bx c a=++≠（）得，03,0934,300a ba bc=+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x=-+-．（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，则11:():():3:222ABD BCDS S AD h DC h AD DC∆∆=⋅⋅==，又∵DH//y轴，∴25CH DC DHOC AC OA===．∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH为等腰直角三角形，∴26355CH DH==⨯=．∴64255BH BC CH=-=-=．∴tan∠DBC=32DHBH=.（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，∵∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA．∴△OAB∽△OFA，∴13 OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73 -）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为．（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AD，∴AD＝2BC＝12，∴△ABD的面积＝12AD•BC＝1212×6＝36，故答案为：36；（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，∴∠H＝∠C＝90°，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，∴∠PQH＝∠BPC，∴△PQH≌△BPC（AAS），∴PH＝BC，QH＝CP，∵AC＝BC，∴PH＝AC，∴CP＝AH，∴QH＝AH，∴∠HAQ＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴AB⊥AQ；（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°，∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，∴∠EAC＝30°，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，∵点C和点D关于AF对称，∴AD＝AC＝6，∵∠AND＝90°，∴DN＝12AD＝126＝3，∴CM+NM最小值为3．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．12．我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=23，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【答案】（1）①12；②4；（2）AD=12BC，证明见解析；（3）存在，证明见解析，39．【解析】【分析】（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=12AB′即可解决问题；②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；（2）结论：AD=12BC．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；（3）存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°，即可；【详解】解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AB=AB′=AC′，∵DB′=DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=120°，∴∠B′=∠C′=30°，∴AD=12AB′=12BC，故答案为12．②如图3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，∵AB=AB′，AC=AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC=B′C′，∵B′D=DC′，∴AD=12B′C′=12BC=4，故答案为4．（2）结论：AD=12 BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC=AM，∴AD=1BC．2（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵3，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，∴EM=1BM=7，2∴DE=EM﹣DM=3，∵AD=6，∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，PB=PC，在Rt△CDF中，∵3CF=6，∴tan∠3∴∠CDF=60°=∠CPF，易证△FCP≌△CFD，∴CD=PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP=90°，∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°，∴∠BPC=120°，∴∠APD+∠BPC=180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，DN=3，∴PN=2222++=39．DN PD=(3)6【点睛】本题考查四边形综合题．13．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，且BE=DF，点P是AF的中点，点Q是直线AC与EF的交点，连接PQ，PD．（1）求证：AC垂直平分EF；（2）试判断△PDQ的形状，并加以证明；（3）如图2，若将△CEF绕着点C旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）△PDQ是等腰直角三角形；理由见解析（3）成立；理由见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，由BE=DF，得出CE=CF，△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明∠DPQ=90°，即可得出结论；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明点A、F、Q、P四点共圆，由圆周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，∵BE=DF，∴CE=CF，∴AC垂直平分EF；（2）解：△PDQ是等腰直角三角形；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∴∠DAP=∠ADP，∵AC垂直平分EF，∴∠AQF=90°，∴PQ=AF=PA，∴∠PAQ=∠AQP，PD=PQ，∵∠DPF=∠PAD+∠ADP，∠QPF=∠PAQ+∠AQP，∴∠DPQ=2∠PAD+2∠PAQ=2（∠PAD+∠PAQ）=2×45°=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形；（3）成立；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∵BE=DF，BC=CD，∠FCQ=∠ACD=45°，∠ECQ=∠ACB=45°，∴CE=CF，∠FCQ=∠ECQ，∴CQ⊥EF，∠AQF=90°，∴PQ=AF=AP=PF，∴PD=PQ=AP=PF，∴点A、F、Q、P四点共圆，∴∠DPQ=2∠DAQ=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形．考点：四边形综合题．14．(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．22．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），得AD=BE ，∠EBC=∠CAD ，延长BE 交AD 于点F ，由垂直定义得AD ⊥BE ．（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图1中，∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD延长BE 交AD 于点F ，∵BC ⊥AD ，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF ，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ．∴AD=BE ，AD ⊥BE ．故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ．（2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH ，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD ⊥BE ，∴AD=BE ，AD ⊥BE ．（3）如图3中，作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，∴PC=BE ，图3-1中，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值2，图3-2中，当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值2，∴22，即22【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．15．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′B′O′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．（1）如图1，若α=90°，则AB= ，并求AA′的长；（2）如图2，若α=120°，求点O′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，直接写出点P′的坐标．【答案】（1）10，102；（2）（33，9）；（3）123545（，）【解析】试题分析：(1)、如图①，先利用勾股定理计算出AB=5，再根据旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，则∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；(3)、由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y=x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D 和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．试题解析：(1)、如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′=BA=5；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴BH=BO′=，O′H=BH=，∴OH=OB+BH=3+，∴O′点的坐标为（）；（3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，。
重庆市南开中学校2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题
重庆市南开中学校2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题一、单选题1．下列式子中是分式的是（ ） A ．23B ．2xC ．2πD ．3x2．以下运动图标中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．反比例函数k y x =的图象经过点()2,3-，则下列各点中在ky x=上的是（ ） A ．()2,3B ．()2,3-C ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()2,3--4．下列说法正确的是（ ） A ．平行四边形的邻边平行且相等 B ．矩形的对角线互相垂直C ．菱形的四个内角都是直角D ．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等5．勾股树又称毕达哥拉斯树，是毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的可以无限衍生的图形，如图是勾股树的前三种衍生图．图①中共有3个正方形，图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，……，按照这一规律，图⑥中正方形的个数为（ ）A ．255B ．127C ．126D ．636．如图，ABC V 和A B C '''V 是以点O 为位似中心的位似图形．若:1:2OA AA '=，则ABC V 与A B C '''V 的面积比是（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:97．已知(m =，则实数m 的范围是（ ） A ．12m <<B ．23m <<C ．34m <<D ．45m <<8．在物理学中，压强p 等于物体所受压力F 的大小与受力面积S 之比，即FpS=．小明将底面积为2m S 、重100N 的均匀长方体铁块A 和底面积为()21m S +、重150N 的均匀长方体铁块B 放置在水平桌面上，A 、B 两个铁块对桌面的压强之比为2:1，求底面积S 为多少？则可列方程（ ） A ．10015021S S =⨯+ B ．10015021S S ⨯=+ C ．10015021S S=⨯+ D ．10015021S S⨯=+ 9．如图，正方形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，将BA 绕点B 顺时针旋转60︒，得到BE ，连接AE DE 、，过A 作AF BE ⊥于点F ．若DE =AF =（ ）A1 B ．3C D ．10．已知多项式2232A x x =--，多项式21B x mx =-+． ①当0A =时，代数式220241xx x --的值为4048；②当3m =时，若22225B A B A --+-+≥，则x 的取值范围是12x ≤或136x ≥； ③当0m =时，若p 、q 为自然数，且整式p B q A ⋅-⋅所有项的系数和不超过10，则p q -的值有9种可能．以上说法正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．若34x y =，则x yx+=． 12．若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是．13．重庆因其魔幻建筑，被网友称为“8D 魔幻城市”，小南与小开打算来重庆旅游，他们将分别在A 、B 、C 、D 四家旅行社中随机选择一家，小南与小开选择同一家旅行社的概率为． 14．若m ，n 是一元二次方程210x x --=的两个实数根，则代数式2232n mn m -+=． 15．黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C 、D 两点都是线段AB 的黄金分割点．若2AC =，则AB 的长为．（结果保留根号）16．若关于x 的一元一次不等式组234223x m x +≤⎧⎪+⎨<-⎪⎩的解集是2x <-，且关于y 的分式方程322m yy y-=--有非负整数解，则符合条件的所有整数m 的和为． 17．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 边的四等分点（AE ED >），连接BE ，将矩形沿BE 折叠，点C 落在点C '处，点D 落在点D ¢处，BC '与AD 交于点F ，连接C E '．若4BC =，2AB =，则EF =，点F 到C E '的距离为．18．如果一个四位正整数的各数位上的数字互不相同且均不为0，且满足十位数字比千位数字大6，个位数字比百位数字大4，那么称这个四位数为“清活数”．记“清活数”M 的千位数字和个位数字之积与百位数字和十位数字之积的和为()F M ．例如：四位数1276，∵716=+，624=+，∴1276是“清活数”，()1276162720F =⨯+⨯=；四位数3295，∵936=+，但524≠+，∴3295不是“清活数”．若38a b 为“清活数”，则()38F a b =．若N 为“清活数”，且()F N 能被12整除，则满足条件的N 的最大值与最小值的平均数为．三、解答题 19．因式分解： (1)236x y xy +； (2)2249a b -． 20．解方程： (1)2250x x +-=； (2)22341x x x x-=--． 21．先化简，再求值：2222111x x x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中3x =．22．如图，在菱形ABCD 中．(1)尺规作图：作BAC ∠的角平分线AE 交BC 于点E ，并在线段AB 上截取AF CE =，连接CF ．（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）所作图形中，求证：CF 平分ACB ∠． 证明：∵菱形ABCD ∴AB =__________ ∴ACB BAC ∠=∠ 在ACE △和CAF V 中∵AC AC =，ACB BAC ∠=∠，CE = ______∴()SAS ACE CAF V V≌ ∴CAE ∠=__________ ∵AE 平分BAC ∠ ∴12CAE BAC ∠=∠∵ACB BAC ∠=∠ ∴ACF ∠=__________ ∴CF 平分ACB ∠．23．北关中学在七、八年级各选取10名学生参加学校举办的“我爱我校”知识竞赛．竞赛成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x 表示，共分成四组：A ．85x <；B ．8590x ≤<；C ．9095x ≤<；D ．95100x ≤≤）七年级10名学生的成绩：82，84，90，92，93，93，93，93，100，100 八年级10名学生的成绩在C 组中的数据是：91，91，93，94 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表八年级选取的学生竞赛成绩统计图根据以上信息回答下列问题：(1)a =______，b =_______，c =______． (2)哪个年级的学生成绩更好？请说明理由．(3)若该校七年级有700人，八年级有800人，均参加此次知识竞赛，估计成绩优秀（90x ≥）的学生共有多少人？24．巴黎奥运会的吉祥物“弗里热”玩偶共有两种尺寸．分别为大款和小款，小渝购置了一定数量的两款玩偶，各自花费2400元，已知大款比小款单价高90元，小款数量是大款数量的85． (1)请问大，小款单价各多少元？(2)为了送给其他的朋友，小渝决定再买一定数量的吉祥物，此时，在第一次购买的基础上，小款的单价减少了m 元，购买数量增加了23m 个，大款的单价不变，购买数量减少了14m 个，总费用为4800元，请求出m 的值．25．如图1，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，4AB =，3AD =，6BC =．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿折线A D C →→方向匀速运动，到达点C 时停止运动，点Q 以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿C B →方向匀速运动，到达点B 时停止运动．两点同时出发，设点P 运动时间为x 秒，CPQ V 的面积为y ．(1)请直接写出y 与x 之间的函数关系式及对应的x 的取值范围；(2)在如图2所示的平面点角坐标系中画出y 的图象，并写出函数y 的一条性质； (3)结合你所画的函数图象，当6y ≤时，请直接写出x 的取值范围_______．26．如图1，在平面直角坐标系中，直线l ：2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴的正半轴上，且3OC OB =．(1)求直线BC 的表达式；(2)点P 是线段BC 上一动点，点E 是直线AB 上一动点，点F 为x 轴上一动点，过P 作PQ AB ⊥于Q ，连接PE EF 、，当PQ =PE EF +的最小值；(3)如图2，在（2）问条件下，点M 为直线AB 上一动点，当QPM ACB BAC ∠=∠+∠时，直接写出所有符合条件的点M 的坐标．27．如图，在等腰Rt ABC △中，AB AC =，在AC 边上取一点D ，连接BD ，点E 为BD 上一点，以BE 为斜边向下作等腰Rt BEF △．(1)如图1，连接AE AF 、，AF 交BD 于G ，若AE 垂直平分DG ，设ABD α∠=，求AFE ∠的度数（用含α的代数式表示）；(2)如图2，连接AF CE 、，以A 为顶点，在AF 右侧作45FAM ∠=︒，AM 交CE 于点M ，求证：CM EM =；(3)如图3，连接AE CE 、，设EF 与BC 交于点O ，若AE BD ⊥，4AB =，点D 从点A 运动到点C 的过程中，当CE 的长度取得最小值时，请直接写出COE V的面积．。
【精品】2013-2014年重庆市南开中学初三上学期数学期末试卷与答案
2013-2014学年重庆市南开中学初三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑．1．（4分）3的相反数是（）A．﹣3B．﹣C．3D．2．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）计算（a3b）2结果正确的是（）A．a9b B．a9b2C．a3b2D．a6b24．（4分）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．100°5．（4分）计算4sin60°的结果是（）A．2B．2C．3D．26．（4分）已知关于x的方程2x﹣a﹣5=0的解是x=﹣2，则a的值为（）A．1B．﹣1C．9D．﹣97．（4分）甲、乙、丙三个旅游团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这三个团游客年龄的方差分别是S甲2=1.4，S乙2=18.8，S丙2=25，导游小方最喜欢带游客年龄相近的团队，若在这三个团中选择一个，则他应选（）A．甲队B．乙队C．丙队D．哪一个都可以8．（4分）已知相交两圆的半径分别为3和7，则它们的圆心距可能是（）A．3B．4C．6D．109．（4分）如图，在▱ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF=（）A．4：9B．2：5C．4：5D．2：310．（4分）如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第8个图形中花盆的个数为（）A．56B．64C．72D．9011．（4分）如图，有一个球体正好与一个足够大的平面相切．现在固定球体不动，让平面匀速上升，则下面能反映球体被平面所截得的圆（阴影部分）的面积S与移动时间t之间关系的大致图象是（）A．B．C．D．12．（4分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，与x轴交于A、B 两点，交y轴于点C，且OB=OC．则下列结论不正确的是（）A．a＞1B．c＜a C．ac+1=b D．1＜b＜2二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答卷中对应的横线上．13．（4分）重庆长江客运索道起于渝中区长安寺，横跨长江至南岸上新街，全长1166米，有万里长江第一条空中走廊之称．2014年1月1日，完成改造的长江索道重新开放，当日载客置达17850人次，创出了1987年10月建成以来的历史新高．将数据17850用科学记数法表示为．14．（4分）分式方程的解为x=．15．（4分）在一次九年级学生视力检查中，随机检查了8个人的右眼视力，结果如下：4.0，4.2，4.5，4.0，4.4，4.5，4.0，4.8，则这组数据的中位数是．16．（4分）临近新春，北关工艺厂新推出一种扇形纸扇，其展开图如图胼示．已知外侧竹条AB、AC的夹角为120°，且AB=AC=30cm，AD=AE=10cm，则阴影部分面积是cm2．17．（4分）如图，为某立方体骰子的表面展开图．掷此骰子一次，记朝上一面的数为x，朝下一面的数为y．记作点（x，y）．若小华前两次掷得的两个点所确定的直线过点P（4，7），则他第三次掷得的点也在这条直线上的概率为．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴的正半轴上，OA=AB，边OB的中点C在双曲线y=上，将△OAB沿OB翻折后，点A的对应点A′，正好落在双曲线y=上．若△OAB的面积为6，则k=．三、解答题（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题．必须给出丛要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．19．（7分）计算：﹣12014+﹣3tan30°+|2﹣6|+（﹣）﹣2．20．（7分）如图，在边长为l的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点分别在网格的格点上．（1）将四边形ABCD向左平移3个单位得到四边形A1B1C1D1，请在网格中画出四边形A1B1C1D1；（2）连结AD1、AC1，将△AC1D1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2C1D2，请在网格中画出△A2C1D2．四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答卷中对应的位置上．21．（10分）先化简，再求值：，其中，x是方程x2+2x﹣2=0的解．22．（10分）随着中招体育考试的临近，为更好地了解同学们的锻炼情况，体育老师在初三某班抽取了部分同学进行了一次模拟考试，并将考试结果分成“优秀”、“良好”、“一般”和“差”四类，分别用A、B、C、D表示，并将考试结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）一共有同学参加了此次模拟考试，其中男生名，女生名；（2）请将上面的条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，题意老师想从A类和D类同学里分别选取一位同学进行“互帮互助”，请用列表法或画树形图的方法，求出所选两位男生或两位女生的概率．23．（10分）“不览夜景，未到重庆．”乘游船夜游两江，犹如在星河中畅游，是一个近距离认识重庆的最佳窗口．“两江号”游轮经过核算，每位游客的接待成本为30元．根据市场调查，同一时间段里，票价为40元时，每晚将售出船票600张，而票价每涨1元，就会少售出10张船票．（1）若该游轮每晚获得10000元利润的同时，适当控制游客人数，保持应有的服务水准，则票价应定为多少元？（2）春节期间，工商管理部门规定游轮船票单价不能低于44元，同时该游轮为提高市场占有率，决定每晚售出船票数量不少于540张，则票价应定为多少元，才能使每晚获得的利润最多？24．（10分）如图，▱ABCD中，E在AD边上，AE=DC，F为▱ABCD外一点，连接AF、BF，连接EF交AB于G，且∠EFB=∠C=60°．（1）若AB=6，BC=8，求▱ABCD的面积；（2）求证：EF=AF+BF．五、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题都丛须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．25．（12分）如图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y=2的垂线，垂足为E．①用含y的代数式表示CD2，并猜想CD2与DE2之间的数量关系，请给出证明；②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．26．（12分）如图1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm．在Rt△DEF 中，∠DFE=90°，EF=6cm，DF=8cm．点C、B、E、F在同一直线上，且B、F 两点重合．现固定△ABC不动，将△DEF沿直线BC以1cm/s的速庋向点C运动．当点F到达点C时，△DEF停止运动．设运动的时间是t（s）．其中t＞0．（l）当t=时，点D落在线段AB上；（2）设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S．请直接写出S与t的函数关系式及t的取值范围；（3）如图2，当点F开始运动时，点P同时从点F出发，在折线FD﹣DE上以2cm/s的速度向点E运动，设DE、DF两边分别与AB边交于M、N两点．①求t为何值时，△PMN为等腰三角形？②如图3，当点P在边DF上运动时，求线段CP的中点Q所经过的路径长度．2013-2014学年重庆市南开中学初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑．1．（4分）3的相反数是（）A．﹣3B．﹣C．3D．【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．【解答】解：根据概念，3的相反数在3的前面加﹣，则3的相反数是﹣3．故选：A．2．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．3．（4分）计算（a3b）2结果正确的是（）A．a9b B．a9b2C．a3b2D．a6b2【分析】根据积的乘方法则进行计算．【解答】解：（a3b）2=（a3）2•b2=a6b2．故选：D．4．（4分）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．100°【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠D，从而得到∠CAD=∠D，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D，∴∠CAD=∠D，在△ACD中，∠C+∠D+∠CAD=180°，∴80°+∠D+∠D=180°，解得∠D=50°．故选：A．5．（4分）计算4sin60°的结果是（）A．2B．2C．3D．2【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：原式=4×=2．故选：D．6．（4分）已知关于x的方程2x﹣a﹣5=0的解是x=﹣2，则a的值为（）A．1B．﹣1C．9D．﹣9【分析】将x=﹣2代入方程即可求出a的值．【解答】解：将x=﹣2代入方程得：﹣4﹣a﹣5=0，解得：a=﹣9．故选：D．7．（4分）甲、乙、丙三个旅游团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这三个团游客年龄的方差分别是S甲2=1.4，S乙2=18.8，S丙2=25，导游小方最喜欢带游客年龄相近的团队，若在这三个团中选择一个，则他应选（）A．甲队B．乙队C．丙队D．哪一个都可以【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2=1.4，S乙2=18.8，S丙2=25，∴S甲2最小，∴他应选甲队；故选：A．8．（4分）已知相交两圆的半径分别为3和7，则它们的圆心距可能是（）A．3B．4C．6D．10【分析】根据两圆相交时圆心距与两圆半径之间的数量关系进行解答．【解答】解：∵7﹣3=4，7+3=10，∴相交时，4＜圆心距＜10，∴只有C中6满足．故选：C．9．（4分）如图，在▱ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF=（）A．4：9B．2：5C．4：5D．2：3【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∵DE：EC=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴DE：AB=2：5，DF：FB=2：5∴S△DEF ：S△EBF=2：5，故选：B．10．（4分）如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第8个图形中花盆的个数为（）A．56B．64C．72D．90【分析】由题意可知，三角形每条边上有3盆花，共计3×3﹣3盆花，正四边形每条边上有4盆花，共计4×4﹣4盆花，正五边形每条边上有5盆花，共计5×5﹣5盆花，…则正n变形每条边上有n盆花，共计n×n﹣n盆花，结合图形的个数解决问题．【解答】解：∵第一个图形：三角形每条边上有3盆花，共计32﹣3盆花，第二个图形：正四边形每条边上有4盆花，共计42﹣4盆花，第三个图形：正五边形每条边上有5盆花，共计52﹣5盆花，…第n个图形：正n+2边形每条边上有n盆花，共计（n+2）2﹣（n+2）盆花，则第8个图形中花盆的个数为（8+2）2﹣（8+2）=90盆．故选：D．11．（4分）如图，有一个球体正好与一个足够大的平面相切．现在固定球体不动，让平面匀速上升，则下面能反映球体被平面所截得的圆（阴影部分）的面积S与移动时间t之间关系的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意列出S与t的函数关系式，由函数关系式来确定其图象．【解答】解：如图，设球体的半径为R．则由垂径定理知：该截面的球体被平面所截得的圆（阴影部分）的半径为AC=AD．在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD2=OA2﹣OD2=R2﹣（R﹣t）2=t2+2Rt．所以S=πAD2=πt2+2πRt（t≥0），显然，该函数是二次函数，其图象是抛物线在x轴上方的部分．故选：D．12．（4分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，与x轴交于A、B 两点，交y轴于点C，且OB=OC．则下列结论不正确的是（）A．a＞1B．c＜a C．ac+1=b D．1＜b＜2【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=﹣1，即﹣=﹣1，进而得出a，b的关系，再将（﹣c，0）代入求出a，c的关系，进而分别得出答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=﹣1，∴﹣=﹣1，整理得b=2a，由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标为（0，c），又因OC=OB，所以B（﹣c，0），把它代入y=ax2+bx+c，即ac2﹣bc+c=0，两边同时除以c，即得到ac﹣b+1=0，所以ac+1=b，故选项C正确，不合题意；∵b=2a，ac+1=b，∴a=，∵0＜c＜1，∴＜a＜1，故选项A错误符合题意；∴1＜b＜2，故选项D正确，不合题意；∵由x=﹣1时，图象顶点坐标纵坐标小于0，则a﹣b+c＜0，b=2a，∴﹣a+c＜0，∴c＜a，故选项B正确，不合题意；故选：A．二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答卷中对应的横线上．13．（4分）重庆长江客运索道起于渝中区长安寺，横跨长江至南岸上新街，全长1166米，有万里长江第一条空中走廊之称．2014年1月1日，完成改造的长江索道重新开放，当日载客置达17850人次，创出了1987年10月建成以来的历史新高．将数据17850用科学记数法表示为 1.785×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将17850用科学记数法表示为：1.785×104．故答案为：1.785×104．14．（4分）分式方程的解为x=﹣3．【分析】观察可得这个分式方程的最简公分母为（x+1）（x﹣1），去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．【解答】解：两边都乘以（x+1）（x﹣1），得x﹣1=2（x+1），解方程得x=﹣3．经检验x=﹣3是原方程的根．15．（4分）在一次九年级学生视力检查中，随机检查了8个人的右眼视力，结果如下：4.0，4.2，4.5，4.0，4.4，4.5，4.0，4.8，则这组数据的中位数是 4.3．【分析】先将这组数据从小到大排序，再取中间两数的平均数，即可得出答案．【解答】解：将这组数据从小到大排序后为：4.0、4.0、4.0、4.2、4.4、4.5、4.5、4.8，则中位数为：=4.3，故答案为：4.3．16．（4分）临近新春，北关工艺厂新推出一种扇形纸扇，其展开图如图胼示．已知外侧竹条AB、AC的夹角为120°，且AB=AC=30cm，AD=AE=10cm，则阴影部分面积是cm2．【分析】分析题干知，贴纸的面积等于大扇形的面积﹣小扇形的面积．【解答】解：由题意得：S大扇形﹣S小扇形=﹣=（cm2）．故答案为：．17．（4分）如图，为某立方体骰子的表面展开图．掷此骰子一次，记朝上一面的数为x，朝下一面的数为y．记作点（x，y）．若小华前两次掷得的两个点所确定的直线过点P（4，7），则他第三次掷得的点也在这条直线上的概率为．【分析】根据一次函数的性质，找出符合点在这条直线上的点的个数，即可根据概率公式求解．【解答】解：∵每掷一次可能得到6个点的坐标分别是（其中有两个点是重合的）：（1，1），（1，1），（2，3），（3，2），（3，5），（5，3），通过描点和计算可以发现，经过（1，1），（2，3），（3，5），三点中的任意两点所确定的直线都经过点P（4，7），∴小明第三次掷得的点也在直线l上的概率是：=．故答案为：．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴的正半轴上，OA=AB，边OB的中点C在双曲线y=上，将△OAB沿OB翻折后，点A的对应点A′，正好落在双曲线y=上．若△OAB的面积为6，则k=4．【分析】根据折叠的性质推知四边形OA′BA是菱形，故A′B∥OA，且A′B=OA．所以设A（a，0），B（b，c），则A′（b﹣a，c），C（b，c）．然后利用三角形面积公式得到：ac=12，所以由反比例函数k的几何意义列出等式k=（b﹣a）•c=b×c，则bc=ac=×12=16，解得k=bc=4．【解答】解：如图，∵OA=AB，△OAB沿OB翻折后，点A的对应点A′，∴四边形OA′BA是菱形，∴A′B∥OA，且A′B=OA．∴设A（a，0），B（b，c），则A′（b﹣a，c），又∵点C是OB的中点，∴C（b，c）．∵△OAB的面积为6，∴a•c=6，则ac=12．又∵点A′、C在双曲线y=上（由图示知，双曲线位于第一象限，则k＞0），∴k=（b﹣a）•c=b×c，则bc=ac=×12=16，∴k=bc=4故答案是：4．三、解答题（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题．必须给出丛要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．19．（7分）计算：﹣12014+﹣3tan30°+|2﹣6|+（﹣）﹣2．【分析】先分别根据有理数乘方的法则、数的开方法则、负整数指数幂的运算法则及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=﹣1+3﹣3×+6﹣2+9=﹣1+3﹣+6﹣2+9=14．20．（7分）如图，在边长为l的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点分别在网格的格点上．（1）将四边形ABCD向左平移3个单位得到四边形A1B1C1D1，请在网格中画出四边形A1B1C1D1；（2）连结AD1、AC1，将△AC1D1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2C1D2，请在网格中画出△A2C1D2．【分析】（1）利用平移的性质得出各对应点的坐标进而得出答案；（2）利用旋转的性质得出各对应点的坐标进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：四边形A1B1C1D1，即为所求；（2）如图所示：△A2C1D2，即为所求．四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答卷中对应的位置上．21．（10分）先化简，再求值：，其中，x是方程x2+2x﹣2=0的解．【分析】将括号内部分通分后相加，再将除法化为乘法后进行解答．然后将方程x2+2x﹣2=0转化为x2=﹣2x+2，然后整体代入．【解答】解：原式=÷（﹣+）=÷=﹣×=﹣．由x2+2x﹣2=0得，x2=﹣2x+2，则原分式=﹣=﹣=2．22．（10分）随着中招体育考试的临近，为更好地了解同学们的锻炼情况，体育老师在初三某班抽取了部分同学进行了一次模拟考试，并将考试结果分成“优秀”、“良好”、“一般”和“差”四类，分别用A、B、C、D表示，并将考试结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）一共有40同学参加了此次模拟考试，其中男生18名，女生22名；（2）请将上面的条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，题意老师想从A类和D类同学里分别选取一位同学进行“互帮互助”，请用列表法或画树形图的方法，求出所选两位男生或两位女生的概率．【分析】（1）由条形统计图中B类男女人数之和为20，在扇形统计图中所占的百分比为50%，即可求出参加测试的总人数；再由C类男生6人，所占的百分比为25%，由总人数乘以25%求出C类的男女总人数，即可求出女生的人数，A、B、C及D类女生人数相加即可求出女生的总人数，进而确定出男生的总人数；（2）补全条形统计图，如图所示；（3）A类中的男生为1，2，女生为3，4，5，6，D类中男生为7，8，女生为9，10，列表得到所有等可能的结果的个数，找出符合题意的结果个数，即可求出所选两位男生或两位女生的概率．【解答】解：（1）由条形统计图中B中男生与女生的人数之和为8+12=20人，及扇形统计图中B所占的百分比为50%，得到参加测试的学生人数为20÷50%=40（人），∵C在扇形统计图中所占的百分比为25%，∴C男女总人数为40×25%=10人，又男生6人，∴C中女生4人，∴女生的总人数为4+12+4+2=22人，男生为40﹣22=18人；故答案为：40；18；22；（2）补充条形统计图，如图所示：（3）设A类中的男生为1，2，女生为3，4，5，6，D类中男生为7，8，女生为9，10，列表如下：1234567（1，7）（2，7）（3，7）（4，7）（5，7）（6，7）8（1，8）（2，8）（3，8）（4，8）（5，8）（6，8）9（1，9）（2，9）（3，9）（4，9）（5，9）（6，9）10（1，10）（2，10）（3，10）（4，10）（5，10）（6，10）一共有24种等可能的结果，其中符合条件的有12种结果，则P（两位男生或两位女生）==．23．（10分）“不览夜景，未到重庆．”乘游船夜游两江，犹如在星河中畅游，是一个近距离认识重庆的最佳窗口．“两江号”游轮经过核算，每位游客的接待成本为30元．根据市场调查，同一时间段里，票价为40元时，每晚将售出船票600张，而票价每涨1元，就会少售出10张船票．（1）若该游轮每晚获得10000元利润的同时，适当控制游客人数，保持应有的服务水准，则票价应定为多少元？（2）春节期间，工商管理部门规定游轮船票单价不能低于44元，同时该游轮为提高市场占有率，决定每晚售出船票数量不少于540张，则票价应定为多少元，才能使每晚获得的利润最多？【分析】（1）设票价应定为x元，售票数量为[600﹣10（x﹣40）]张，由票价﹣成本=利润建立方程求出其解即可；（2）设每晚获得的利润为W元，售票数量为[600﹣10（x﹣40）]张，由票价﹣成本=利润表示出W与x之间的关系，由二次函数的性质求出其解即可；【解答】解：（1）设票价应定为x元，由题意，得（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]=10000，解得：x1=80，x2=50．∵适当控制游客人数，保持应有的服务水准，∴x=80．答：为适当控制游客人数，保持应有的服务水准，则票价应定为80元；（2）设每晚获得的利润为W元，由题意，得W=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]，=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x2﹣130）﹣30000，=﹣10（x﹣65）2+12250．∵，∴44≤x≤46．∵a=﹣10＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴x=65的左侧，W随x的增大而增大．=8640元．∴x=46时，W最大答：票价应定为46元时，最大利润为8640元．24．（10分）如图，▱ABCD中，E在AD边上，AE=DC，F为▱ABCD外一点，连接AF、BF，连接EF交AB于G，且∠EFB=∠C=60°．（1）若AB=6，BC=8，求▱ABCD的面积；（2）求证：EF=AF+BF．【分析】（1）过D作DM⊥BC，利用60度角的三角函数可求出DM的长，即平行四边形的高，再根据平行四边形的面积公式计算即可；（2）在EF上找点K使得FK=BF，并连接BK，BE，首先证明△ABE是等边三角形，进而证明△ABF≌△BEK，利用全等三角形的性质即可证明EF=AF+BF．【解答】解：（1）过D作DM⊥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=6，∵∠C=60°，∴DM=DC•sin60°=3，∴▱ABCD的面积=BC•DM=24；（2）在EF上找点K使得FK=BF，并连接BK，BE，∵四边形ABCD平行四边形，∴∠A=60°，CD=AB，∴AE=AB，∴△ABE是等边三角形，∵∠EFB=60°，FK=BF，∴△BFK是等边三角形，∴BK=BF，∵∠ABF+∠ABK=60°，∠ABK+∠KBE=60°，∴∠ABF=∠KBE，在△ABF和△BEK中，，∴△ABF≌△BEK（SAS），∴AF=EK，∴EF=BF+AF．五、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题都丛须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．25．（12分）如图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y=2的垂线，垂足为E．①用含y的代数式表示CD2，并猜想CD2与DE2之间的数量关系，请给出证明；②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入B点的坐标求解即可．（2）①由坐标系两点间的距离公式不难得到CD2和DE2的表达式，再将（1）的抛物线解析式代入CD2的表达式中，用y替换掉x后，比较两者的大小关系即可；②∠EDC是钝角，那么点D一定在x轴的上方，且抛物线对称轴的左右两侧各一个（它们关于抛物线对称轴对称），延长ED交x轴于F，在Rt△CDF中，∠DCF=30°，那么DC=2DF、CF=DF，设出DF的长后，可以表示出CD、DE的长，由EF=ED+DF=2即可得出DF的长，从而求出点D的坐标．【解答】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）2+1，代入B（4，0），得：a（4﹣2）2+1=0，解得：a=﹣∴抛物线的解析式：y=﹣（x﹣2）2+1．（2）①猜想：CD2=DE2；证明：由D（x，y）、C（2，0）、E（x，2）知：CD2=（x﹣2）2+y2，DE2=（y﹣2）2；由（1）知：（x﹣2）2=﹣4（y﹣1）=﹣4y+4，代入CD2中，得：CD2=y2﹣4y+4=（y﹣2）2=DE2．②由于∠EDC=120°＞90°，所以点D必在x轴上方，且抛物线对称轴左右两侧各有一个，以左侧为例：延长ED交x轴于F，则EF⊥x轴；在Rt△CDF中，∠FDC=180°﹣120°=60°，∠DCF=30°，则：CD=2DF、CF=DF；设DF=m，则：CF=m、CD=DE=2m；∵EF=ED+DF=2m+m=2，∴m=，DF=m=，CF=m=，OF=OC﹣CF=2﹣，∴D（2﹣，）；同理，抛物线对称轴右侧有：D（2+，）；综上，存在符合条件的D点，且坐标为（2﹣，）或（2+，）．26．（12分）如图1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm．在Rt△DEF 中，∠DFE=90°，EF=6cm，DF=8cm．点C、B、E、F在同一直线上，且B、F 两点重合．现固定△ABC不动，将△DEF沿直线BC以1cm/s的速庋向点C运动．当点F到达点C时，△DEF停止运动．设运动的时间是t（s）．其中t＞0．（l）当t=秒时，点D落在线段AB上；（2）设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S．请直接写出S与t的函数关系式及t的取值范围；（3）如图2，当点F开始运动时，点P同时从点F出发，在折线FD﹣DE上以2cm/s的速度向点E运动，设DE、DF两边分别与AB边交于M、N两点．①求t为何值时，△PMN为等腰三角形？②如图3，当点P在边DF上运动时，求线段CP的中点Q所经过的路径长度．【分析】（1）作出此时的图形，由平移性质可知BF就是运动的路程，用t表示出BF，再利用相似三角形的线段比例关系列出方程，解之即可；（2）求重叠部分面积的关键是要弄清楚重叠部分的几何形状，观察△DEF的整个运动过程可以发现：0＜t≤6重叠部分是一个四边形，6＜t≤重叠部分是一个五边形，＜t≤12重叠部分是一个直角梯形，对三种情况分别用割补法求之即可；（3）①△PMN要为等腰三角形，分PN=PM，NP=NM，MP=MN三种情况分别计算即可．②要求Q点所经过的路径的长度，也就是求运动过程中Q点的轨迹的长度．既然要求轨迹，那么首先要弄清楚轨迹的形状．此问的难点在于P点同时具有水平方向与竖直方向上的速度，这使得问题有点“偏物理”，给分析也带来一定难度．对于这个问题，有以下两种处理思路：第一种，利用极端原理简化处理，由于运动都是匀速直线动，所以我们可以断定Q点的路径是直线型的，这样以来，我们就可简化处理，也就是不必关心中间过程，找到初始时刻Q点的位置（就是BC的中点），再找到终点时刻（即P点到达D点时）Q点的位置，连接起始点与终点线段就是Q点的路径长度，．第二种，对于上一种，虽然可以算出正确答案，但总感觉逻辑上有所欠缺，因为我们事先断定轨迹是直的而不是曲的．本质上讲这是一个轨轨问题，需要借助解析手段才能严格说明为什么Q点的轨迹是直的而不是弯的．为此，我们以C点为坐标原点，CA为y轴，CB为x轴建立坐标系，将P点的坐标用t表示，Q点的坐标也可以用t表示，这样我们清晰地说明Q点始终在一直线上，这条直线的解析式也是可以求出来的，整个运动过程的时间也就是P点走完FD所用的时间，即4秒，这样Q点轨迹长度就迎刃而解了．【解答】解：（1）如图D1，当D点落在AB上时，tan∠ABC=，即，解得（秒）．﹣S （2）当0＜t≤6时，如图D2﹣1，此时重叠部分为四边形GHEF，且S=S△BEG，△BFH∵AC=9，BC=12，∴AB=15，∴sin ∠ABC=，∵EG=BE=（6+t ），BG=BE=（6+t ）， ∴S △BEG =BG ×EG=（6+t ）2，∵FH=BF=t ，∴S △BFH =BF ×FH=t 2， ∴S=S △BEG ﹣S △BFH =（6+t ）2﹣t 2=﹣t 2+t +；当6＜t ≤时，如图D2﹣2，此时重叠部分为五边形JKFCL ，且S=S 梯KFCA ﹣S △AJL ，∵BF=t ， KF=t ， CF=12﹣t ， CE=t ﹣6，CL=CE=（t ﹣6），AL=AC ﹣CL=9﹣（t ﹣6）=﹣t +17，AJ=AL=﹣t +，LJ=AL=﹣t +，∴S 梯KFCA =（KF +AC ）×CF=（t +9）×（12﹣t ）=﹣t 2+54，S△AJL=AJ×LJ=（﹣t+）（﹣t+）=t2﹣t+，∴S=S梯KFCA ﹣S△AJL=﹣t2+54﹣（t2﹣t+）=﹣t2+t﹣，当＜t≤12时，如图D2﹣3，此时重叠部分为直角梯形DFCO，∵CE=t﹣6，CO=CE=（t﹣6），CF=12﹣t，∴S=S△DEF ﹣S△CEO=×8×6﹣×（t﹣6）×（t﹣6）=﹣t2+8t，综合所述，S=（3）①Ⅰ、若PM=PN，如图D3﹣1﹣1，∵BF=t，。
重庆市南开中学2009--2010学年度上期初三期末试题(无答案)
重庆市南开中学2009--2010学年度上期初三期末试题物理试卷(全卷共四个大题满分80分，与化学共用120分钟完卷)一、选择题(每小题只有一个选项符合题意，将正确选项前的字母填入题后的括号中，每小题2分，共20分。
)1．安全用电是保证人民生命财产安全的基本常识。
如图l所示，符合安全用电的是( )2．在雪山高原上，边防战士生活非常艰苦，经常从野外取雪加热至沸腾，供饮水和使用，如图2所示能正确描述这个过程的图像是( )3．下列说法中正确的是( )A．冷水和热水混合后，冷水升高的温度一定等于热水降低的温度B．同一杯水温度从90℃降到50℃放出的热量，比从40℃降到0℃时放出的热量要多些C．夏天水池边的干泥土烫而池中的水却凉，是由于水的比热容大于干泥土的比热容D．质量相同的不同物质，吸收相同热量后，末状态温度高的比热容小4．如图3所示是有关电与磁实验的装置图，其中用来研究磁场对电流作用的是( )5．如图4所示，电源电压为6V且保持不变，定值电阻的阻值为10Ω，滑动变阻器的最大阻值为20Ω，当开关闭合，滑片由b端向a端移动的过程中．以下说法正确的是( )A．当滑片移到a端时，电流表示数为0.2AB．当滑片移到中点时，电压表示数为2 VC．电压表示数与电流表示数的比值不变D．电压表的示数减少6．如图5所示，电源电压不变，闭合开关后，灯泡L1、L2都发光。
一段时间后其中一只灯泡突然熄灭，另一只灯泡仍然发光；而电压表V1的示数变小，V2的示数变大，则产生这一现象的原因是( )A．灯L1开路B．灯L2开路C．灯L1短路D．灯L2短路7．如图6所示，在探究串联电路电压的实验中，小高同学连接完电路，当开关断开时，发现电压表示数为6V，合上开关后，发现电压表示数变为2V。
对这一电路分析正确的是( )A．L1电压与L2电压之比为3：lB．L1电阻与L2电阻之比为3：1C．L1电流与L2电流之比为2：1D．L1功率与L2功率之比为2：l8．将分别标有“6V 9W”和“6 V 3W”的两个灯L1、L2串联接在12 V电源上，则( ) A．两灯都能正常发光B．灯L1比灯L2亮C．两灯都比正常发光时暗D．灯L2可能被烧毁9．如图7所示电路中，电源电压不变，闭合开关剐舌，当滑动变阻器尺’的滑片，向右移动时，下列判断错误的是( )A．电流表A1的示数变小，电压表V的示数变大B．电流表A2的示数变小，电压表V的示数不变C．电阻R消耗的功率不变D．电路的总功率变小10．如图8所示，，电源电压保持不变，R为定值电阻，在a、b两接线柱上接一个标有“6V 2W”的灯泡，闭合开关S，灯泡恰好正常发光；如果在a、b两接线柱间换一个标“6V 3W”的灯泡，闭合开关S后，这只灯泡消耗的功率( )A．大于3瓦B．小于3瓦C．等于3瓦D．不能确定二、填空题（将正确答案填在题中的横线上，每空1分，共21分。
2012-2013学年九年级上期末数学试卷
A．
B．
C．
D．
考点： 简单组合体的三视图． 分析： 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 解答： 解：先细心观察原立体图形的位置， 从正面看去，是一个矩形，矩形左上角缺一个角， 从左面看，是一个正方形， 从上面看，也是一个正方形， 故选 A． 点评： 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 5．（3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2，BC=3，∠ABC、∠BCD 的平分线分别 交 AD 于点 E、F，则 EF 的长是（ ）
.
A． 3
B．2
C．1.5
D． 1
考点： 平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质． 专题： 数形结合． 分析： 根据平行四边形的性质可知∠DFC=∠FCB，又因为 CF 平分∠BCD，所以∠DCF=∠FCB ，则∠DFC=∠DCF，则 DF=DC，同理可证 AE=AB，那么 EF 就可表示为 AE+FD﹣BC=2AB﹣BC，继而可得出答案． 解答： 解：∵平行四边形 ABCD， ∴∠DFC=∠FCB， 又 CF 平分∠BCD， ∴∠DCF=∠FCB，
A．△ACE
B．△ADF
C．△ABD
D．四边形 BCED
考点： 视点、视角和盲区． 分析： 根据盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，E 是视点，找到 在 E 点处看不到的区域即可． 解答： 解：由图片可知，E 视点的盲区应该在△ABD 的区域内． 故选：C． 点评： 此题主要考查了视点、视角和盲区，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲 区的定义进行判断． 8．（3 分）若反比例函数图象经过点（﹣1，6），则下列点也在此函数上的是（ ）
重庆市南开中学2016届九年级上期末数学试卷含答案解析
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2015-2016 学年重庆市南开中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂7
A．两人恰好同时到达欢乐谷 B．高铁的平均速度为 240千米/时 C．私家车的平均速度为 80千米/时 D．当小王到达成都车站时，小丽离欢乐谷还有 50千米 11．将 1、 、 、 按如图所示的方式排列，若规定（m，n）表示第 m 排从左往右第 n 个数， 则（7，5）表示的数是（ ）
A．1 B． C． D．
A．1 B．2 C． D． 10．成渝高铁的开通，给重庆市民的出行带来了极大的方便，元旦期间，小丽和小王相约到成都欢 乐谷游玩，小丽乘私家车从重庆出发 1 小时后，小王乘坐高铁从重庆出发，先到成都东站，然后坐 出租车去欢乐谷，他们离开重庆的距离 y（千米）与乘车 t（小时）的关系如图所示，结合图象， 下列说法不正确的是（ ）
2．下列四个字母既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．N B．K C．Z D．X 3．运算（﹣mn2）3 的结果是（ ） A．﹣m3n5 B．m3n6 C．﹣m3n6 D．
m3n5 4．分式方程
的解为（ ） A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4 5．南开中学举行了首届“南开故事会”讲故事比赛，有 12名学生参加了决赛，他们决赛的最终成 绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己是否进入前 6 名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这 12名学生成绩的（ ） A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数 6．如图，在△ABC中，AB=AC，过点 A 作 AD∥BC，若∠1=65°，则∠BAC的大小为（ ）
重庆南开中学初2013级初三上学期半期考试数学试题
重庆南开中学初2013级初三上学期半期考试数 学 试 题（全卷共5个大题，满分150分，考试时间120分钟）参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为2bx a=-。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上对应题目的正确答案标号涂黑。
1、sin 60的值为（ ）A 、12B 、22C 、1D 32、下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A B C D 3、已知O 的半径为5，点P O 在内，则OP 的长度可能为（ ）A 、3B 、5C 、7D 、84、下列运算正确的是（ ） A 、426x x x ⋅=B 、235x x x += C 、623x x x ÷= D 、()246xx =5、下列调查中，适合用普查方式的是（ ） A 、了解美制“毒刺”导弹的杀伤半径B 、了解我国民众对“中日钓鱼岛争端”的看法C 、了解嘉陵江的水质情况D 、了解某班学生对“鸟叔”的知晓率6、如图，//AB CD ，点E CD 在上，EG AB 与交于,F DF EG F ⊥于，若25D ∠=，则GFB ∠的度数是（ ） A 、25B 、55C 、65D 、757、如图，正方形纸片ABCD 的边长为3，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，将AB 、AD 分别沿AE 、AF 折叠，点B 、D 恰好都落在点G 处，已知1BE =，则EF 的长为（ ） A 、32B 、52C 、94D 、38、按照如图所示的方法铺设黑、白两色的小正方形地砖，第1个图案中有1块黑色小正方形地砖，第2个图案中有5块黑色小正方形地砖，第3个图案中有13块黑色小正方形地砖，……，则第9个图案中黑色小正方形地砖的块数是（ ） A 、85块 B 、113块 C 、145块 D 、181块 9、某人开车从家里去机场，出门后沿直线公路匀速开往机场，途经一环形交通转盘时（如图），忽然觉得好像忘了拿什么东西，于是绕环形转盘环行以便回忆是否忘拿了东西。
重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷(含答案)
重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的为（ ）A．B．C．D．2．（4分）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A．x2＝x B．C．x2﹣4＝0D．x2+2x+4＝03．（4分）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）A．k＞3B．k＞0C．k＜3D．k＜04．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ADE是以点A为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A 在x轴上，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（﹣2，2），则点D的坐标是（ ）A．（﹣3，4）B．（﹣4，6）C．（﹣4，5）D．（﹣3，5）5．（4分）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）A．y＝10（1+x）3B．y＝10+10（1+x）+10（1+x）2C．y＝10+10x+x2D．y＝10（1+x）26．（4分）估计的值应在（ ）A．8和9之间B．9和10之间C．10和11之间D．11和12之间7．（4分）若，则的值为（ ）A．B．1C．1.5D．38．（4分）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑩中共有n个小三角形，这里的n＝（ ）A．87B．74C．62D．539．（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD的交于点O，点E为边AB上一动点，连接DE，作CF⊥DE 于点F，连接OF，若∠BDE＝α，则∠DOF的度数为（ ）A．2αB．30°+αC．45°﹣αD．60°﹣2α10．（4分）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n 个数记为a n（n为正整数），已知a1＝x．并规定：a n+1＝，T n＝a1•a2•a3…a n，S n＝a1+a2+a3+…+a n．则：①a2＝a5；②T1+T2+T3+…+T1000＝；③对于任意正整数k，T3k+3（S3k﹣S3k+2）＝T3k﹣T3k﹣1﹣T3k﹣2成立，以上结论中正确的有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：（）﹣1+（π﹣2）0＝ ．12．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0的一个根是2，则m2＝ ．13．（4分）一个不透明的箱子里装有a个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出a的值为 ．14．（4分）若一个多边形的内角和为720°，则从该多边形一个顶点出发可画的对角线条数是 ．15．（4分）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为 ．16．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞0，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ．17．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE 的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为 ．18．（4分）若一个四位自然数A，满足百位数字与千位数字的平方差恰好是A去掉千位与百位数字后得的两位数，则称这个四位数A为“活泼数”，例如A＝2521，因为52﹣22＝21，故2521是一个“活泼数”；若一个四位自然数B，各个数位上的数字互不相等且满足十位数字比千位数字大1，个位数字比百位数字大1，则称这个四位数B为“可爱数”，例如1425，因为2﹣1＝1，5﹣4＝1，故1425是一个“可爱数”，对于一个“活次数”，规定：，对于一个“可爱数”B＝，规定：G（B）＝p﹣n，则F（5611）×G（3142）＝ ；当B的百位数字为4时，若是整数，则所有满足条件的奇数四位数A 的和是 ．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）（1）解方程：（2）解不等式组：．20．（10分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．21．（10分）学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规，过点B作∠ABC的角平分线，交AC于点F，连接BE、DF．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，DE平分∠ADC，交AC于点E．求证：四边形BEDF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，① ，∴∠DAC＝∠BCA．∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBA，∴，．∵∠ADC＝∠CBA，∴② ，∴△ADE≌△CBF（ASA）．∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC．∴③ ，∴四边形BEDF是平行四边形．同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④ ．22．（10分）教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养．某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：0≤x＜60），将数据进行分析，得到如下统计：①八年级B组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80．②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：分组A B C D E频数14b28136③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：年级平均数中位数众数七年级81.379.582八年级81.3c83请你根据以上信息，回答下列问题：（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可）（3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？23．（10分）四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝12，DC＝6，BC＝8．动点P从A点出发，沿A→B方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线A→D→C方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，y1＝AP+DQ．（1）请直接写出y1关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）若函数y2＝x+b的图象跟函数y1的图象有两个交点，请直接写出b的取值范围．24．（10分）新学期学校门口开了一家文具店，为了更好的迎接同学们，商家购进了一批笔记本和签字笔．商家用1600元购买笔记本，800元购买签字笔，每本笔记本比每支签字笔的进价贵6元，且购进签字笔的数量是笔记本的2倍．（1）求商家购买每本笔记本和每支签字笔的进价？（2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本14元，签字笔的售价为每支5元时，平均每天可售出20本笔记本，40支签字笔．据调查，笔记本的售价每降低0.5元平均每天可多售出5本，且开学活动力度大，降价幅度不低于10%．商家在保证签字笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔记本和签字笔平均每天的总获利为270元，则每本笔记本的售价为多少元？25．（10分）如图，直线y＝x+2分别与x轴，y轴交于点A，点C，点P是反比例函数y＝（k≠0）图象与直线AC在第一象限内的交点，过点P作PB⊥x轴于点B，且AB＝6．（1）求反比例函数的表达式；（2）点D是直线PB右侧反比例函数图象上一点，且S△APD＝，直线PD交y轴于点E，点M，N是直线AC 上两点，点M在点N的左侧且MN＝AP，求EM+DN的最小值及此时点N的坐标；（3）在（2）的条件下，点F为反比例函数图象上一点，若∠PEF﹣∠PAB＝45°，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标．26．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点（点D不与B，C重合），连接AD．（1）如图1，∠ADB＝105°，CD＝，求BD的长度；（2）如图2，D为BC中点，E为平面内一点，连接DE，CE，AE，BE，将线段DE绕D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF，∠FAC+∠ECB＝90°，G为线段EC上一点，AG⊥CE，求证：CE＝AF+2AG；（3）如图3，P，H为射线AD上两个点，∠BHA＝90°，AP＝2BH，将△BNP沿直线BP翻折至△BHP所在平面内得到△BKP，直线PK与直线AB交于点T．若，当线段BP取得最小值时，请直接写出△APT的面积．重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的为（ ）A．B．C．D．【答案】D2．（4分）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A．x2＝x B．C．x2﹣4＝0D．x2+2x+4＝0【答案】B3．（4分）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）A．k＞3B．k＞0C．k＜3D．k＜0【答案】A4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ADE是以点A为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A 在x轴上，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（﹣2，2），则点D的坐标是（ ）A．（﹣3，4）B．（﹣4，6）C．（﹣4，5）D．（﹣3，5）【答案】B5．（4分）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）A．y＝10（1+x）3B．y＝10+10（1+x）+10（1+x）2C．y＝10+10x+x2D．y＝10（1+x）2【答案】B6．（4分）估计的值应在（ ）A．8和9之间B．9和10之间C．10和11之间D．11和12之间【答案】B7．（4分）若，则的值为（ ）A．B．1C．1.5D．3【答案】A8．（4分）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑩中共有n个小三角形，这里的n＝（ ）A．87B．74C．62D．53【答案】B9．（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD的交于点O，点E为边AB上一动点，连接DE，作CF⊥DE 于点F，连接OF，若∠BDE＝α，则∠DOF的度数为（ ）A．2αB．30°+αC．45°﹣αD．60°﹣2α【答案】C10．（4分）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n 个数记为a n（n为正整数），已知a1＝x．并规定：a n+1＝，T n＝a1•a2•a3…a n，S n＝a1+a2+a3+…+a n．则：①a2＝a5；②T1+T2+T3+…+T1000＝；③对于任意正整数k，T3k+3（S3k﹣S3k+2）＝T3k﹣T3k﹣1﹣T3k﹣2成立，以上结论中正确的有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：（）﹣1+（π﹣2）0＝ 3 ．【答案】3．12．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0的一个根是2，则m2＝ 1 ．【答案】1．13．（4分）一个不透明的箱子里装有a个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出a的值为 20 ．【答案】20．14．（4分）若一个多边形的内角和为720°，则从该多边形一个顶点出发可画的对角线条数是 3 ．【答案】3．15．（4分）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为 ．【答案】．16．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞0，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ﹣8 ．【答案】﹣8．17．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE 的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为 ．【答案】．18．（4分）若一个四位自然数A，满足百位数字与千位数字的平方差恰好是A去掉千位与百位数字后得的两位数，则称这个四位数A为“活泼数”，例如A＝2521，因为52﹣22＝21，故2521是一个“活泼数”；若一个四位自然数B，各个数位上的数字互不相等且满足十位数字比千位数字大1，个位数字比百位数字大1，则称这个四位数B为“可爱数”，例如1425，因为2﹣1＝1，5﹣4＝1，故1425是一个“可爱数”，对于一个“活次数”，规定：，对于一个“可爱数”B＝，规定：G（B）＝p﹣n，则F（5611）×G（3142）＝ ；当B的百位数字为4时，若是整数，则所有满足条件的奇数四位数A的和是 83600 ．【答案】；83600．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）（1）解方程：（2）解不等式组：．【答案】见试题解答内容20．（10分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．【答案】，1．21．（10分）学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规，过点B作∠ABC的角平分线，交AC于点F，连接BE、DF．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，DE平分∠ADC，交AC于点E．求证：四边形BEDF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，① AD∥BC ，∴∠DAC＝∠BCA．∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBA，∴，．∵∠ADC＝∠CBA，∴② ∠ADE＝∠CBF ，∴△ADE≌△CBF（ASA）．∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC．∴③ ∠DEA＝∠BFC ，∴四边形BEDF是平行四边形．同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④ 这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的四边形是平行四边形 ．【答案】AD∥BC，∠ADE＝∠CBF，∠DEA＝∠BFC；这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的四边形是平行四边形．22．（10分）教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养．某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：0≤x＜60），将数据进行分析，得到如下统计：①八年级B组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80．②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：分组A B C D E频数14b28136③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：年级平均数中位数众数七年级81.379.582八年级81.3c83请你根据以上信息，回答下列问题：（1）a＝ 10 ，b＝ 39 ，c＝ 80 ；（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可）（3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？【答案】（1）10，39，80；（2）八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大；（3）七、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有718人．23．（10分）四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝12，DC＝6，BC＝8．动点P从A点出发，沿A→B方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线A→D→C方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，y1＝AP+DQ．（1）请直接写出y1关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）若函数y2＝x+b的图象跟函数y1的图象有两个交点，请直接写出b的取值范围．【答案】（1）y1＝；（2）作图见解答过程；当0≤x≤5时，函数值随x的增大而减小；当5＜x≤8时，函数值随x的增大而增大（答案不唯一）；（3）0＜b≤6．24．（10分）新学期学校门口开了一家文具店，为了更好的迎接同学们，商家购进了一批笔记本和签字笔．商家用1600元购买笔记本，800元购买签字笔，每本笔记本比每支签字笔的进价贵6元，且购进签字笔的数量是笔记本的2倍．（1）求商家购买每本笔记本和每支签字笔的进价？（2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本14元，签字笔的售价为每支5元时，平均每天可售出20本笔记本，40支签字笔．据调查，笔记本的售价每降低0.5元平均每天可多售出5本，且开学活动力度大，降价幅度不低于10%．商家在保证签字笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔记本和签字笔平均每天的总获利为270元，则每本笔记本的售价为多少元？【答案】（1）商家购买每本笔记本的进价是8元，每支签字笔的进价是2元；（2）每本笔记本的售价为11元．25．（10分）如图，直线y＝x+2分别与x轴，y轴交于点A，点C，点P是反比例函数y＝（k≠0）图象与直线AC在第一象限内的交点，过点P作PB⊥x轴于点B，且AB＝6．（1）求反比例函数的表达式；（2）点D是直线PB右侧反比例函数图象上一点，且S△APD＝，直线PD交y轴于点E，点M，N是直线AC 上两点，点M在点N的左侧且MN＝AP，求EM+DN的最小值及此时点N的坐标；（3）在（2）的条件下，点F为反比例函数图象上一点，若∠PEF﹣∠PAB＝45°，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标．【答案】（1）反比例函数解析式为y＝；（2）EM+DN的最小值为3，此时N（4，4）；（3）符合条件的点F的横坐标为或﹣5+．26．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点（点D不与B，C重合），连接AD．（1）如图1，∠ADB＝105°，CD＝，求BD的长度；（2）如图2，D为BC中点，E为平面内一点，连接DE，CE，AE，BE，将线段DE绕D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF，∠FAC+∠ECB＝90°，G为线段EC上一点，AG⊥CE，求证：CE＝AF+2AG；（3）如图3，P，H为射线AD上两个点，∠BHA＝90°，AP＝2BH，将△BNP沿直线BP翻折至△BHP所在平面内得到△BKP，直线PK与直线AB交于点T．若，当线段BP取得最小值时，请直接写出△APT的面积．【答案】（1）；（2）证明过程详见解答；（3）．。
重庆南开中学2024年九年级上学期数学期中模拟试卷
重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列各式中是分式的是（）A．B．C．D．22．（4分）大学校徽是学校的一种标志、一种形象，诠释了大学特有的历史、理念和追求，是大学文化的一个重要组成部分．如图是北京大学、中国人民大学、浙江大学、南京邮电大学的校徽图案，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）反比例函数y＝经过点（﹣1，﹣4），则反比例函数的解析式为（）A．y＝﹣4x B．y＝C．y＝﹣D．y＝4x4．（4分）估计2×（2﹣）的值应在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间5．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝1：2，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（）A．8B．16C．24D．326．（4分）∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（）A．B．C．D．7．（4分）已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为（）A．B．C．D．8．（4分）下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（）A．63B．64C．80D．819．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，连接AE、AF、EF，有EF＝BE+DF，∠BAE＝∠EFC，若DF＝2的长为（）A．8B．C．D．10．（4分）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c过（﹣1，﹣4），则下列结论：①abc＜0；②对于任意的m，均有am2+bm+c+6＞0；③﹣5a+c＝﹣4；④若ax2+bx+c≥﹣4，则x≥﹣1；⑤；其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：tan45°﹣sin30°＝．12．（4分）一个多边形的内角和与外角和的差为540°，则它的边数为．13．（4分）已知一元二次方程（k+3）x2﹣4x+2＝0有实数解，则k的取值范围是．14．（4分）若二次函数y＝2x2﹣4x+7，当0＜x≤3时，y的取值范围是．15．（4分）如图，点A在反比例函数图象的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x 轴正半轴上，且OC＝2AB，点D为OB的三等分点（DB＜OD），若△ADC的面积为5，则k的值为．16．（4分）若数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣2）x+1在直线x＝1右侧，y随x增大而增大，那么满足以上所有条件的整数a的和为．17．（4分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边的四等分点（AE＞ED），连接BE，将矩形沿BE折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，BC′与AD交于点F，连接C′E．若BC＝4，AB＝2，则EF ＝，点F到C′E的距离为．18．（4分）如果一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同，且千位上的数字与个位上的数字之和等于10，则称M为“国泰民安数”．将M的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数M′．并规定D（M）＝M﹣M′．四位自然数M＝1000a+100b+10c+d（1≤a≤9，0≤b，c，d≤9且a，b，c，d 为整数）为“国泰民安数”，且为正整数），D（M）＝k2﹣693（k为正整数），则a+b＝，在此条件下，若M除以6余4，则满足条件的M的最大值与最小值的差为．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）（a﹣2b）（a+2b）﹣a（a﹣2b）；（2）（x+1﹣）÷．20．（10分）2024年3月28日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校八、九年级进行了校园安全知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：0≤x＜70），部分信息如下：八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100．九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：80，80，80，80，82．根据以上信息，解答下列问题：八九年级抽取学生竞赛成绩统计表年级平均数众数中位数优秀率八年级71a7030%九年级7180b c%（1）请填空：a＝，b＝，c＝；（2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的校园安全知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若该校八、九年级参加本次竞赛活动的共有1000人，请估计该校八、九两个年级共有多少人成绩为优秀．21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，∠ABC的角平分线交AC于点E．（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ADC的角平分线，交AC于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）问所作的图形中，连接BF、DE，求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB CD，∠ABC＝，∴∠BAE＝∠DCF．又∵BE、DF分别平分∠ABC、∠CDA．∴，．∴∠ABE＝∠CDF，在△BAE和△DCF中：，∴△BAE≌△DCF（ASA），∴BE＝DF，∠AEB＝，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，∴，∵BE∥DF，∴BE＝DF，BE∥DF．∴四边形BEDF是平行四边形（）（填依据）．22．（10分）博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，“博物馆热”背后是人们对精神文化多样化的需求、对中华优秀传统文化的认同．一学习小组计划到某博物馆参观学习．（1）为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花360元组私家讲解团，后又临时增加3名同学，实际的团费虽然增加了60元，但实际的人均费用只为原来的人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数；（2）该博物馆的参观路线全长3.6千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体验”两个部分，他们参观“经典讲解”部分的平均速度是1米/秒，是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共1.5小时，求“经典讲解”部分参观路线的长度为多少千米？23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线D→A→B方向运动，到达点B时停止运动，设点P的运动时间为x秒，△BCP的面积记为y．（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；（2（3）结合函数图象，若直线与该函数图象有且仅有两个交点，则b的取值范围是．24．（10分）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．（1）求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）（2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：，，）25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+5ax+b经过点D（﹣1，﹣5），且交x轴于A（﹣6，0），B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，点P在直线AD下方抛物线上运动，过点P作PE⊥AD，PF⊥DM，求PE+PF的最大值，以及此时点P的坐标．（3）将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得∠CAG＝45°，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程．26．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点（点D不与B，C重合），连接AD．（1）如图1，∠ADB＝105°，CD＝，求BD的长度；（2）如图2，D为BC中点，E为平面内一点，连接DE，CE，AE，BE，将线段DE绕D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF，∠F AC+∠ECB＝90°，G为线段EC上一点，AG⊥CE，求证：CE＝AF+2AG；（3）如图3，P，H为射线AD上两个点，∠BHA＝90°，AP＝2BH，将△BNP沿直线BP翻折至△BHP 所在平面内得到△BKP，直线PK与直线AB交于点T．若，当线段BP取得最小值时，请直接写出△APT的面积．重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列各式中是分式的是（）A．B．C．D．2【解答】解：，和2都是整式，为分式．故选：C．2．（4分）大学校徽是学校的一种标志、一种形象，诠释了大学特有的历史、理念和追求，是大学文化的一个重要组成部分．如图是北京大学、中国人民大学、浙江大学、南京邮电大学的校徽图案，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、图形是轴对称图形，故A符合题意；B、C、D中的图形不是轴对称图形，故B、C、D不符合题意故选：A．3．（4分）反比例函数y＝经过点（﹣1，﹣4），则反比例函数的解析式为（）A．y＝﹣4x B．y＝C．y＝﹣D．y＝4x【解答】解：由题意，将点（﹣1，﹣4）代入反比例函数解析式y＝，∴﹣4＝．∴k＝4．∴反比例函数的解析式为y＝．故选：B．4．（4分）估计2×（2﹣）的值应在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间【解答】解：2×（2﹣）＝2×2﹣2×＝4﹣2，∵36＜48＜49，∴6＜＜7，∴6＜4＜7，∴4＜4﹣2＜5，∴估计2×（2﹣）的值应在4和5之间，故选：B．5．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝1：2，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（）A．8B．16C．24D．32【解答】解：∵OA：AD＝1：2，∴OA：OD＝1：3，∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴＝＝，∴△ABC的周长：△DEF的周长1：3，∵△ABC的周长为8，∴△DEF的周长为24，故选：C．6．（4分）∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接CD，如图：，CD＝，AC＝，∵∴∠ADC＝90°，∴tan∠BAC＝＝．故选：D．7．（4分）已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，∴m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，∴m+n＝，mn＝﹣，∴+＝＝＝＝﹣．故选：B．8．（4分）下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（）A．63B．64C．80D．81【解答】解：由所给图形可知，第①个图形中●的个数为：3＝22﹣1；第②个图形中●的个数为：8＝32﹣1；第③个图形中●的个数为：15＝42﹣1；…，所以第n个图形中●的个数为（n+1）2﹣1．当n＝8时，（n+1）2﹣1＝92﹣80（个），即第⑧个图形中●的个数为80个．故选：C．9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，连接AE、AF、EF，有EF＝BE+DF，∠BAE＝∠EFC，若DF＝2，求AB的长为（）A．8B．C．D．【解答】解：如图，延长CB到G，使得BG＝DF，连接AG，过点A作AH⊥EF于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∴∠GAF＝∠BAD＝90°，∵EF＝EB+DF．∴EF＝BE+BG＝EG，在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG＝∠EAF＝45°，∵AB⊥EG，AH⊥EF，∴AB＝AH，在Rt△AEB和Rt△AEH中，，∴△AEB≌△AEH（HL），∴∠BAE＝∠EAH，∵∠DAH+∠DFH＝180°，∠EFC+∠DFH＝180°，∴∠EFC＝∠DFH，∵∠BAE＝∠EFC，∴∠BAE＝∠EAH＝∠DAH＝30°，∴∠BAG＝∠EAG﹣∠BAE＝45°﹣30°＝15°，在AB上取一点T，使得GT＝AT，连接GT．∵TA＝TG，∴∠TGA＝∠TAG＝15°，∴∠GTB＝∠AGT+∠TAG＝30°，∵BG＝DF＝2，∴GT＝AT＝4，TB＝2，∴AB＝AT+TB＝4+2．故选：C．10．（4分）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c过（﹣1，﹣4），则下列结论：①abc＜0；②对于任意的m，均有am2+bm+c+6＞0；③﹣5a+c＝﹣4；④若ax2+bx+c≥﹣4，则x≥﹣1；⑤；其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：由题知，令抛物线的解析式为y＝a（x+3）2﹣6，将点（﹣1，﹣4）代入函数解析式得，4a﹣6＝﹣4，解得a＝，所以抛物线的函数解析式为y＝（x+3）2﹣6＝，所以a＝，b＝3，c＝，则abc＜0．故①正确．因为抛物线的顶点纵坐标为﹣6，且开口向上，所以对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），其纵坐标不小于﹣6，即am2+bm+c≥﹣6，所以am2+bm+c+6≥0．故②错误．由①中的过程可知，﹣5a+c＝﹣5×+（）＝﹣4．故③正确．因为抛物线经过点（﹣1，﹣4），且对称轴为直线x＝﹣3，所以点（﹣5，﹣4）也在抛物线上，又因为抛物线开口向上，所以当ax2+bx+c≥﹣4时，x≥﹣1或x≤﹣5．故④错误．因为a＝，所以a＜．故⑤正确．故选：B．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：tan45°﹣sin30°＝．【解答】解：原式＝1﹣＝．故答案为：．12．（4分）一个多边形的内角和与外角和的差为540°，则它的边数为7．【解答】解：设这是一个n边形，则180°（n﹣2）﹣360°＝540°，解得n＝7，答：它的边数是7．故答案为：7．13．（4分）已知一元二次方程（k+3）x2﹣4x+2＝0有实数解，则k的取值范围是k≤﹣1且k≠﹣3．【解答】解：∵一元二次方程（k+3）x2﹣4x+2＝0有实数解，∴k+3≠0且Δ≥0，即Δ＝16﹣8（k+3）≥0，解得k≤﹣1，∴k的取值范围为k≤﹣1且k≠﹣3．故答案为：k≤﹣1且k≠﹣3．14．（4分）若二次函数y＝2x2﹣4x+7，当0＜x≤3时，y的取值范围是5≤y≤13．【解答】解：y＝2x2﹣4x+7＝2（x﹣1）2+5，∴对称轴是直线x＝1，且当x＝1时，y取最小值是5．又当x＝0时，函数值为7，当x＝3时，函数值为13，∴5≤y≤13，故答案为：5≤y≤13．15．（4分）如图，点A在反比例函数图象的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x 轴正半轴上，且OC＝2AB，点D为OB的三等分点（DB＜OD），若△ADC的面积为5，则k的值为．【解答】解：设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，点D为OB的三等分点（DB＜），∴BD＝b，OD＝b，∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，∴（a+2a）×b＝a×b+5+×2a×b，∴ab＝，把A（a，b）代入双曲线y＝，∴k＝ab＝．故答案为：．16．（4分）若数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣2）x+1在直线x＝1右侧，y随x增大而增大，那么满足以上所有条件的整数a的和为3．【解答】解：由分式方程得x＝4﹣a，∵分式方程有正整数解，∴a＝0，1，2，∵关于x的二次函数y＝x2+（a﹣2）x+1在直线x＝1右侧，y随x增大而增大，∴﹣≤1，解得a≥0，∴a＝0，1，2，∴满足以上所有条件的整数a的和为3，故答案为：3．17．（4分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边的四等分点（AE＞ED），连接BE，将矩形沿BE折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，BC′与AD交于点F，连接C′E．若BC＝4，AB＝2，则EF＝，点F到C′E的距离为．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∠A＝90°，∵E为AD边的四等分点，∴DE＝×4＝1，∴AE＝3，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵将矩形沿BE折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，∴∠CBE＝∠FBE，∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，∵AB2+AF2＝BF2，∴22+（3﹣EF）2＝EF2，∴EF＝；∴C′F＝4﹣＝，∵将矩形沿BE折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，∴C′D′＝CD＝2，∠D′＝∠D＝∠C＝∠D′C′F＝90°，D′E＝DE＝1，∴EC′＝＝，过F作FH⊥C′E于H，∴∠FHC′＝∠D′＝90°，∵∠C′FH+∠FC′H＝∠FC′H+∠D′C′E＝90°，∴∠C′FH＝∠D′C′E，∴△C′FH∽△EC′D′，∴＝，∴＝，∴FH＝．故答案为：，．18．（4分）如果一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同，且千位上的数字与个位上的数字之和等于10，则称M为“国泰民安数”．将M的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数M′．并规定D（M）＝M﹣M′．四位自然数M＝1000a+100b+10c+d（1≤a≤9，0≤b，c，d≤9且a，b，c，d 为整数）为“国泰民安数”，且为正整数），D（M）＝k2﹣693（k为正整数），则a+b＝14，在此条件下，若M除以6余4，则满足条件的M的最大值与最小值的差为1878．【解答】解：∵M＝1000a+100b+10c+d，千位上的数字与个位上的数字之和等于10，∴M＝1000a+100b+10c+10﹣a＝999a+100b+10c+10，∴M′＝1000a+100（10﹣a）+10c+b＝900a+10c+b+1000，∴D（M）＝M﹣M′＝99a+99b﹣990；∵D（M）＝k2﹣693，∴99a+99b﹣990＝k2﹣693，∴k2＝99a+99b﹣297＝9×11×（a+b﹣3），∵1≤a≤9，0≤b，c，d≤9且a，b，c，d为整数，∴﹣2≤a+b﹣3≤15，∴a+b﹣3＝11，∴a+b＝14，∴b＝14﹣a，且5≤a≤9，5≤b≤9，∴M＝1000a+100b+10c+10﹣a＝999a+100b+10c+10＝999a+100（14﹣a）+10c+10＝899a+10c+1410＝149a×6+6c+235×6+5a+4c＝6×（149a+c+235）+5a+4c；∵M除以6余4，而25≤5a+4≤81，∴5a+4c＝28或34或40或46或52或58或64或70或76；当5a+4c＝28时，不符合题意，舍去，当5a+4c＝34时，解得，此时b＝8，d＝4，∴M＝6814，当5a+4c＝40时，解得，此时b＝6，d＝2，∴M＝8602，当5a+4c＝46时，解得：，此时b＝8，d＝4，不符合题意；当5a+4c＝52时，解得：，此时b＝6，d＝2，∴M＝8632，当5a+4c＝58时，解得：，此时b＝8，d＝4，∴M＝6874，当5a+4c＝64时，解得：，此时b＝6，d＝2，不符合题意；当5a+4c＝70时，不符合题意；当5a+4c＝76时，解得：，此时b＝6，d＝2，∴M＝8692，∴8692﹣6814＝1878；故答案为：14，1878．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）（a﹣2b）（a+2b）﹣a（a﹣2b）；（2）（x+1﹣）÷．【解答】解：（1）a2﹣4b2﹣a2+2ab＝﹣4b2+2ab；（2）原式＝[﹣]÷＝•＝．20．（10分）2024年3月28日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校八、九年级进行了校园安全知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：0≤x＜70），部分信息如下：八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100．九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：80，80，80，80，82．根据以上信息，解答下列问题：八九年级抽取学生竞赛成绩统计表年级平均数众数中位数优秀率八年级71a7030%九年级7180b c%（1）请填空：a＝70，b＝80，c＝55；（2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的校园安全知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若该校八、九年级参加本次竞赛活动的共有1000人，请估计该校八、九两个年级共有多少人成绩为优秀．【解答】解：（1）八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是70分，故众数a＝70；九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为80、80，故中位数为，九年级的优秀率为．故答案为：70，80，55．（2）九年级成绩相对更好，理由如下：九年级测试成绩的众数、中位数和优秀率大于八年级．（3）（人），答：估计该校八、九两个年级大约共有425人成绩为优秀．21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，∠ABC的角平分线交AC于点E．（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ADC的角平分线，交AC于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）问所作的图形中，连接BF、DE，求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB CD，∠ABC＝∠CAD，∴∠BAE＝∠DCF．又∵BE、DF分别平分∠ABC、∠CDA．∴，．∴∠ABE＝∠CDF，在△BAE和△DCF中：，∴△BAE≌△DCF（ASA），∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∵BE∥DF，∴BE＝DF，BE∥DF．∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填依据）．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB CD，∠ABC＝∠CAD，∴∠BAE＝∠DCF．又∵BE、DF分别平分∠ABC、∠CDA．∴，．∴∠ABE＝∠CDF，在△BAE和△DCF中：，∴△BAE≌△DCF（ASA），∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∵BE∥DF，∴BE＝DF，BE∥DF．∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填依据）．故答案为：∠CDA，∠ABE＝∠CDF，∠CFD．∠BEF＝∠DFE，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．22．（10分）博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，“博物馆热”背后是人们对精神文化多样化的需求、对中华优秀传统文化的认同．一学习小组计划到某博物馆参观学习．（1）为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花360元组私家讲解团，后又临时增加3名同学，实际的团费虽然增加了60元，但实际的人均费用只为原来的人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数；（2）该博物馆的参观路线全长3.6千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体验”两个部分，他们参观“经典讲解”部分的平均速度是1米/秒，是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共1.5小时，求“经典讲解”部分参观路线的长度为多少千米？【解答】解：（1）设该学习小组实际参观博物馆的同学有x人，根据题意得：＝×，解得x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，答：该学习小组实际参观博物馆的同学有15人；（2）设“经典讲解”部分参观路线的长度为y千米，1米/秒＝36千米/小时，根据题意得：++＝，解得y＝3，答：“经典讲解”部分参观路线的长度为3千米．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线D→A→B方向运动，到达点B时停止运动，设点P的运动时间为x秒，△BCP的面积记为y．（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，若直线与该函数图象有且仅有两个交点，则b的取值范围是3≤b ＜5．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵点D是AC的中点，∴AD＝＝2，当0≤x≤2时，∵PD＝x，∴CP＝2+x，∴y＝＝（2+x）×3＝x+3；当2＜x≤7时，如图1，过P作PH⊥BC于H，则PH∥AC，∴△PBH∽△ABC，∴，∴，∴PH＝，∵y＝＝×3×＝﹣x+；综上所述，y＝；（2）如图2，函数的图象如图所示；当0≤x≤2是y随x的增大而增大；（3）如图，当直线与经过点（0，3）时，3＝b，则b＝3，当直线经过点（2，6）时，6＝×2+b，则b＝5，结合图象可知，直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围是3≤b＜5，故答案为：3≤b＜5．24．（10分）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．（1）求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）（2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：，，）【解答】解：（1）如图1，作BE⊥AD于点E，由题意得，∠A＝45°，∠ABD＝∠ABW+∠WBD＝90°+15°＝105°，∴∠D＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝30°，在Rt△ABE中，AB＝60，∠A＝45°，∴BE＝AB＝30，在Rt△BDE中，∠D＝30°，∴BD＝2BE＝60，∴小山B与亭台D之间的距离米；（2）如图2，作DF⊥BA于点F，交AB的延长线于点F，作CG⊥BA，交AB的延长线于点G，由（1）知，BD＝60，∠BED＝90°，∠ADB＝30°，∴DE＝60•cos30°＝60＝30，∴AD＝AE+DE＝30，由题意得，∠ABC＝∠ABW+∠WBC＝90°+30°＝120°，∴∠CBG＝180°﹣∠CBA＝60°，则在Rt△AFD中，∠A＝45°，AD＝30+30，∴DF＝（30＝（30＝30+30，在Rt△BCG中，∠CBG＝60°，CG＝DF＝30+30，∴BG＝＝10，BC＝2BG＝20+60，∴米，米，∵141.2＜154.6且两人速度一致，∴小玲先到．答：小玲先到达寺庙C处．25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+5ax+b经过点D（﹣1，﹣5），且交x轴于A（﹣6，0），B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，点P在直线AD下方抛物线上运动，过点P作PE⊥AD，PF⊥DM，求PE+PF的最大值，以及此时点P的坐标．（3）将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得∠CAG＝45°，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣3；（2）过点P作PH∥y轴交AD于点H，如图1，由点A、D的坐标得，直线AD和x轴正半轴的夹角为45°，直线AD的表达式为：y＝﹣x﹣6，则∠MDA＝∠PHE＝45°，则PH＝PE，设点P（x，x2+x﹣3），则点（x，﹣x﹣6），则PE+PF＝PH+（x F﹣x P）＝（﹣x﹣6﹣x2﹣x+3）+（﹣1﹣x）＝﹣x2﹣x﹣4，∵，故PE+PF有最大值为，此时点P的坐标为：（﹣，﹣）；（3）原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度，相当于将抛物线向左平移1个单位、向上平移个单位，如图2，则新抛物线的表达式为：y＝x2+x+①，当点G在x轴下方时，设直线AG交y轴于点N，过点N作NT⊥AC于点T，由点A、C（0，﹣3）的坐标得：AC＝，在△ACN中，tan∠ACO＝tan∠TCN，∠CAN＝45°，AC＝，设CT＝x，则NT＝2x，则AT＝NT，即2x＝x+，则x＝，则CN＝x＝15，则点N（0，﹣18），由点A、N的坐标得，直线AN的表达式为：y＝﹣3x﹣18②，联立①②得：x2+x+＝﹣3x﹣18，解得：x＝（不合题意的值已舍去）；当点G在x轴上方时，同理可得：直线AG的表达式为：y＝x+2③，联立①③得：x2+x+＝x+2，解得：x＝（不合题意的值已舍去）；综上，符合条件的点G的横坐标为：或．26．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点（点D不与B，C重合），连接AD．（1）如图1，∠ADB＝105CD＝，求BD的长度；（2）如图2，D为BC中点，E为平面内一点，连接DE，CE，AE，BE，将线段DE绕D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF，∠F AC+∠ECB＝90°，G为线段EC上一点，AG⊥CE，求证：CE＝AF+2AG；（3）如图3，P，H为射线AD上两个点，∠BHA＝90°，AP＝2BH，将△BNP沿直线BP翻折至△BHP 所在平面内得到△BKP，直线PK与直线AB交于点T．若，当线段BP取得最小值时，请直接写出△APT的面积．【解答】（1）解：如图1，作DE⊥AC于E，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，在Rt△CDE中，CD＝，∠C＝45°，∴DE＝CE＝，在Rt△ADE中，∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝105°﹣45°＝60°，DE＝，∴AE＝，∴AC＝AE+CE＝，在Rt△ABC中，AC＝，∠C＝45°，∴BC＝＝，∴BD＝BC﹣CD＝；（2）证明：如图2，设AD和CE交于点O，∴AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，∴AD＝BD＝CD＝BC，∵线段DE绕D顺时针旋转90°得到线段DF，∴∠EFD＝90°，DE＝DF，∴∠ADB＝EDF＝90°，∴∠ADF＝∠BDE，∴△ADF≌△BDE（SAS），∴∠EBD＝∠F AB，BE＝AF，CAF+∠CAD，∴∠EBA+45°＝∠CAF+45°，∴∠EAB＝∠CAF，∵∠ADC＝90°，∴∠BCE+∠COD＝90°，∵∠AOE＝∠COD，∴∠BCE+∠AOE＝90°，∵∠BCE+∠CAF＝90°，∴∠CAF＝∠AOE，∴∠EBA＝∠AOE，∴点E、B、O、A共圆，∴∠BEC＝∠BAD＝45°，∴∠BEC＝，EH＝，EH＝BH，AB＝AC，∴点E在以A为圆心，AB为半径的圆上，∴AE＝AC＝AB，∵AG⊥CE，∴EG＝CG＝CE，∵EH＝BH，AE＝AB，∴AH是BE的垂直平分线，∴∠EAH＝∠BAH，∠AEH＝∠ABH，∵BH∥AG，∴∠BAG＝∠ABH，∴∠GAH＝∠BAH+∠BAG＝∠EAH+∠AEH，∵∠AHG＝∠EAH+∠AEH，∴∠GAH＝∠AHG，∴AG＝GH，∴EG＝EH+GH＝AF+AG，∴2EG＝AF+2AG，∴CE＝；（3）如图3，作CE⊥AD于E，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC+∠ACE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAH+∠CAE＝90°，∴∠BAH＝∠ACE，∵AB＝AC，∠AEC＝∠AHB＝∴△ACE≌△BAH（AAS），∴AE＝BH，∵AP＝2BH，∴AP＝2AE，∴CP＝CA＝，∴点P在以C为圆心，为半径的圆上运动，设BC交⊙C于点P′，∴当点P运动在P′处时，BP最小，如图4，作AH⊥BC于H，∵BC＝AC＝，∴AH＝BC＝，BP＝BC﹣PC＝，∴S△APC＝＝，∵∠ABP＝∠C＝45°，∠BPT＝∠BPH＝∠APC，∴△BPT∽△CP A，∴，∴，∴S△BPT＝，∵S△ABC＝AC2＝，∴S△APT＝＝．。
重庆市南开中学九年级数学上学期段考试题(一)(含解析)
重庆市南开中学2015-2016学年九年级数学上学期段考试题（一）一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1．9的算术平方根是（）A．B．C．3 D．±32．使有意义的x的取值范围是（）A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．x≠﹣4 D．x≥﹣43．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF为（）A．2：3 B．4：9 C．：D．3：24．二次函数y=2x2﹣6x+8的顶点坐标为（）A．B．C．D．5．下列说法正确的是（）A．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式B．一个游戏的中奖概率是0.1，则做10次这样的游戏一定会中奖C．为了调查中秋节期间市场上月饼质量情况，应该采用抽样调查的方式D．若甲组数据的方差S甲2=0.01，乙组数据的方差S乙2=0.1，则乙组数据比甲级稳定6．把抛物线y=x2向右平移3个单位，然后再向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣3）2﹣2 B．y=（x﹣3）2+2 C．y=（x+3）2+2 D．y=（x+3）2﹣27．如图，在△ABC中，AB=AC=13，AD为BC边上的中线，BC=10，DE⊥AC于点E，则tan∠CDE的值等于（）A．B．C．D．8．关于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象有下列命题，其中错误的是（）A．当c=0时，函数的图象经过原点B．当b=0时，函数的图象关于y轴对称C．若函数的图象过点A（1，2），B（7，2），则它的对称轴为直线x=3D．当c＞0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根9．如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点H，AB=5，且tan∠EFC=，那么AH的长为（）A．5 B．C．10 D．10．观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（）A．31 B．46 C．51 D．6611．如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A⇒B⇒C⇒D⇒A运动一周，则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C． D．12．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），则下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③2a﹣b=0；④a＞2；⑤4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．不等式组的解集为．14．已知∠α是锐角，且，则∠α= ．15．分式方程的解为x= ．16．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1y2（填“＞”、“＜”或“=”）．17．如图，某校A位于工地O的正西方向，且OA=200m，一辆红岩大货车从O点出发，以每秒10米的速度沿北偏西53°方向行驶，已知货车的噪声污染半径为130m，则学校受噪声污染的时间为秒．（已知sin53°=0.80，tan37°=0.75）18．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字﹣2，﹣1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同．现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P的横坐标，将该数的平方作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y=﹣x2+2x+5与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是．19．如图，AB是菱形AEBF的对角线，A（﹣1，0），B（7，0），P是线段AB上任意一点（不含端点A，B），过A、P两点的抛物线y1和过P、B两点的抛物线y2的图象开口均向上，它们的顶点分别为线段AE、BE上的C、D两点，当AE=BE=5时，这两个二次函数的最小值之和等于．20．如图，在正方形ABCD时，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．则下列结论：①△ABE≌△DCF；②DP2=PH•PB；③；④．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．三、解答题：（本大题共3个小题，21题6分，22题6分，23题8分．共20分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．21．计算：（﹣1）2016﹣|﹣7|+．22．计算：sin30°•tan60°﹣tan45°+．23．先化简，再求值：，其中a=cos45°．四、解答题：（本大题共6个小题，24题8分，25题8分，26题l0分，27题10分，28题l0分，29题12分，共58分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．24．如图，在△ABC中，sin∠B=，AD⊥BC于点D，∠DAC=45°，AC=，求线段BD的长．（结果保留根号）25．如图所示，抛物线与直线交于A，B两点．（1）A点坐标为，B点坐标为；（2）当自变量x的取值范围为时，y1的值随x的增大而增大；（3）当﹣1≤x＜2时，函数y1的取值范围为；（4）当自变量x的取值范围为时，y1＜y2．26．为了提高学生身体素质，北关中学开展了课间跑步活动，初三年级针对同学们在这个活动中完成的跑步圈数展开调查，随机抽取了部分学生了解情况，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图（未画完整），请结合图中的信息解答下列问题：（1）这次调查中，一共调查了名学生；（2）请补全两幅统计图；（3）某班学生有5个跑5圈，其中3名男生，2名女生，现从这5名学生中任意抽取2名来带领其他同学训练，求恰好抽到一男一女的概率．27．某文具盒每周的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/个）10 11 12 13 …每周销量（个）20 18 16 14 …已知该文具盒的进价为6元/个，设售价为x元/个，每周销量为y个．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）设每周的销售利润为W元，求出W与x的函数关系式；（3）若要使该文具盒的每周利润达到96元，且销量更大，销售单位应定为多少元？28．伴随着重庆九龙电厂的永久关停，主城区的大气环境质量得到了进一步改善，曾被无数川美学子画过的黄桷坪大烟囱（如图1所示）也将于2016年拆除．听闻九龙坡区文管所将对大烟囱进行测绘，长江对面的北关中学九年级数学兴趣小组也想估算该烟囱的高度．他们在江边一斜坡上D处测得大烟囱顶端B的仰角是12°，再沿斜坡向下走80米到达坡底A处，在A处测得大烟囱顶端B的仰角是14°，若坡角∠FAE=30°，F，A，C在同一直线上，如图2所示，求大烟囱BC的高度（结果保留整数，参考数据：sin12°≈0.20，cos12°≈0.98，tan12°≈0.20，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，）．29．如图1，二次函数y=﹣x2+x+3的图象与x轴的分别交A、B两点，与y轴交于点C，连接AB，AC．（1）求线段AB的长，∠ABC的正切值；（2）若点Q是该二次函数图象位于线段AC右上方部分的一点，且△QAC的面积为△AOC面积的，求点Q的坐标；（3）如图2，D是线段BC上一动点，连接AD，过点D作DE⊥AC所在直线于点F，取AD的中点F，连接PE、PF①请问点D在线段BC上的运动过程中，∠EPF的大小是否改变？说明理由；②连接EF，求△PEF周长的最小值．2015-2016学年重庆市南开中学九年级（上）段考数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1．9的算术平方根是（）A．B．C．3 D．±3【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根的定义求解即可．【解答】解：∵32=9，∴9的算术平方根是3．故选：C．【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．使有意义的x的取值范围是（）A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．x≠﹣4 D．x≥﹣4【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解．【解答】解：使式子有意义，则4+x≥0，即x≥﹣4时．则x的取值范围是x≥﹣4，故选D．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．3．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF为（）A．2：3 B．4：9 C．：D．3：2【考点】相似三角形的性质．【分析】因为两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以．【解答】解：因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，所以S△ABC：S△DEF=（）2=，故选B．【点评】本题比较容易，考查了两个相似三角形面积比等于相似比的平方的性质．4．二次函数y=2x2﹣6x+8的顶点坐标为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质．【分析】先把y=2x2﹣6x+8进行配方得到抛物线的顶点式y=2（x﹣）2+，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标．【解答】解：∵y=2x2﹣6x+8=2（x﹣）2+，∴顶点坐标为（，）．故选：C．【点评】此题考查二次函数的性质，利用配方法得到顶点式是解决问题的关键．5．下列说法正确的是（）A．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式B．一个游戏的中奖概率是0.1，则做10次这样的游戏一定会中奖C．为了调查中秋节期间市场上月饼质量情况，应该采用抽样调查的方式D．若甲组数据的方差S甲2=0.01，乙组数据的方差S乙2=0.1，则乙组数据比甲级稳定【考点】方差；全面调查与抽样调查；概率的意义．【分析】根据方差的意义以及全面调查和抽样调查的概念分别对每一项进行判断，即可得出答案．【解答】解：A、为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用抽查的方式，故本选项错误；B、一个游戏的中奖概率是0.1，则做10次这样的游戏中奖的可能性很大，但不是一定会中奖，故本选项错误；C、为了调查中秋节期间市场上月饼质量情况，应该采用抽样调查的方式，故本选项正确；D、若甲组数据的方差S甲2=0.01，乙组数据的方差S乙2=0.1，则甲组数据比乙组稳定，故本选项错误；故选C．【点评】此题考查了方差的意义以及全面调查和抽样调查的概念，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6．把抛物线y=x2向右平移3个单位，然后再向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣3）2﹣2 B．y=（x﹣3）2+2 C．y=（x+3）2+2 D．y=（x+3）2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y=x2的顶点为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（3，﹣2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（3，﹣2），所以平移后抛物线的解析式为y=（x﹣3）2﹣2．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7．如图，在△ABC中，AB=AC=13，AD为BC边上的中线，BC=10，DE⊥AC于点E，则tan∠CDE的值等于（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．【分析】由△ABC中，AB=AC=13，AD为BC边上的中线，BC=10，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得AD⊥BC，再利用勾股定理，求得AD的长，那么在直角△ACD中根据三角函数的定义求出tan ∠CAD，然后根据同角的余角相等得出∠CDE=∠CAD，于是tan∠CDE=tan∠CAD．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=13，AD为BC边上的中线，BC=10，∴AD⊥BC，CD=BC=5，∴AD==12，∴tan∠CAD==．∵AD⊥BC，DE⊥AC，∴∠CDE+∠ADE=90°，∠CAD+∠ADE=90°，∴∠CDE=∠CAD，∴tan∠CDE=tan∠CAD=．故选A．【点评】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．8．关于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象有下列命题，其中错误的是（）A．当c=0时，函数的图象经过原点B．当b=0时，函数的图象关于y轴对称C．若函数的图象过点A（1，2），B（7，2），则它的对称轴为直线x=3D．当c＞0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根【考点】二次函数的性质．【分析】利用二次函数的性质，根据二次函数解析式的系数与图象的关系，逐一分析判断即可．【解答】解：A、二次函数y=ax2+bx+c中令x=0代入得到y=c=0，即函数经过原点，正确；B、当b=0时，函数是y=ax2+c，函数的图象关于y轴对称，正确；C、若函数的图象过点A（1，2），B（7，2），则它的对称轴为直线x=4，错误；D、图象的开口向下，则a＜0，又c＞0，△=b2﹣4ac＞0，方程必有两个不相等的实根，正确．故选：C．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数中a，b，c符号的确定方法以及与图象的关系是解决问题的关键．9．如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点H，AB=5，且tan∠EFC=，那么AH的长为（）A．5 B．C．10 D．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】根据线段中点的定义可得CE=DE，根据矩形的对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE=∠CFE，然后利用“角角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=AD，然后利用tan∠EFC求出BF，再利用勾股定理列式求出AF，再求出△ADH和△FBH相似，根据相似三角形对应边成比例求出，再求解即可．【解答】解：∵E为CD的中点，∴CE=DE=AB=，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE=∠CFE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AE=EF，AD=CF，∴BF=BC+CF=AD+CF∵tan∠EFC=，∴BF=10，在Rt△ABF中，AF===15，∵AD∥BC，∴△ADH∽△FBH，∴===，∴AH=AF=×15=5．故选A．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．10．观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（）A．31 B．46 C．51 D．66【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型．【分析】由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，...由此规律得出第n个图有1+1×3+2×3+3×3+ (3)个点．【解答】解：第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．所以第5个图中共有点的个数是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46．故选：B．【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，利用规律解决问题．11．如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A⇒B⇒C⇒D⇒A运动一周，则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C． D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题；动点型．【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．【解答】解：由于点P是在正方形的边上移动，所以P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示为D．故选D．【点评】本题是一道动点的函数问题．主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置时的函数关系，进而得出图象．12．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），则下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③2a﹣b=0；④a＞2；⑤4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可．②根据二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得△=0，即b2﹣4a（c+2）=0，b2﹣4ac=8a ＞0，据此解答即可．③首先根据对称轴x=﹣=﹣1，可得b=2a，据此判断出2a﹣b=0即可．④根据b2﹣4ac=8a，b=2a，可得4a2﹣4ac=8a，得出a=c+2，由于c＞0，即可确定出a的取值范围．④根据对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，可得x=﹣2时，y＞2，据此判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴左边，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c+2＞2，∴c＞0，∴abc＞0，∴结论①不正确；∵二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，∴△=0，即b2﹣4a（c+2）=0，∴b2﹣4ac=8a＞0，∴结论②不正确；∵对称轴x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴2a﹣b=0，∴结论③正确；∵b2﹣4ac=8a，b=2a，∴4a2﹣4ac=8a，∴a=c+2，∵c＞0，∴a＞2，∴结论④正确；∵对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，∴x=﹣2时，y＞2，∴4a﹣2b+c+2＞2，∴4a﹣2b+c＞0．∴结论⑤正确．综上，可得正确结论的个数是3个：③④⑤．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．二、填空题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．不等式组的解集为3＜x≤4．【考点】解一元一次不等式组．【专题】探究型．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x≤4，由②得，x＞3，故此不等式组的解集为：3＜x≤4．故答案为：3＜x≤4．【点评】本题考查的是求一元一次不等式组的解集，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．14．已知∠α是锐角，且，则∠α= 30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】解：∵∠α是锐角，且，∴∠α=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．15．分式方程的解为x= ﹣3 ．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】观察可得这个分式方程的最简公分母为（x+1）（x﹣1），去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．【解答】解：两边都乘以（x+1）（x﹣1），得x﹣1=2（x+1），解方程得x=﹣3．经检验x=﹣3是原方程的根．【点评】解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，具体方法是方程两边同时乘以最简公分母，在此过程中有可能会产生增根，增根是转化后整式的根，不是原方程的根，因此要注意检验．16．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1＞y2（填“＞”、“＜”或“=”）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的增减性，进而可得出结论．【解答】解：∵a=1＞0，∴二次函数的图象开口向上，由二次函数y=（x﹣1）2+1可知，其对称轴为x=1，∵x1＞x2＞1，∴两点均在对称轴的右侧，∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵x1＞x2＞1，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点的位置是解答此题的关键．17．如图，某校A位于工地O的正西方向，且OA=200m，一辆红岩大货车从O点出发，以每秒10米的速度沿北偏西53°方向行驶，已知货车的噪声污染半径为130m，则学校受噪声污染的时间为10 秒．（已知sin53°=0.80，tan37°=0.75）【考点】几何变换综合题．【分析】算出学校从刚开始受到噪声污染到污染刚好消失这段时间内货车行驶的路程，再除以货车的速度就是学校受污染的时间．【解答】解：设货车在B点时刚好对学校产生污染，在D点时污染刚好消失，如图所示，过点A作AC⊥BD于C，连接AD、AB，则AD=AB=130m，由题意知∠AOC=37°，∠CAO=53°，∵AO=200m，∴sin∠CAO=sin53°==，∴OC=160m，在Rt△ACO中，∵AC2=AO2﹣OC2，∴AC=120m，在Rt△ACB中，∵BC2=AB2﹣AC2，∴BC=50m，∵AB=AD，AC⊥BD，∴CD=BC=50m，∴BD=100m，∴t===10s．即：学校受噪声污染的时间为10秒．【点评】本题主要考查了对称变换、等腰三角形的性质、锐角三角形函数、解直角三角形，勾股定理等知识点，难度中等．找到并求出整个污染过程中，货车的行驶路程是解答本题的关键．18．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字﹣2，﹣1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同．现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P的横坐标，将该数的平方作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y=﹣x2+2x+5与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是．【考点】概率公式；抛物线与x轴的交点．【分析】画出抛物线图象，确定各点横坐标所对应的纵坐标，与P点纵坐标比较即可．【解答】解：如图，﹣2，﹣1，0，1，2的平方为4，1，0，1，4．点P的坐标为（﹣2，4），（﹣1，1），（0，0），（1，1），（2，4）；描出各点：﹣2＜1﹣，不合题意；把x=﹣1代入解析式得：y1=2，1＜2，故（﹣1，1）在该区域内；把x=0代入解析式得：y2=5，0＜5，故（0，0）在边界上，不在区域内；把x=1代入解析式得：y3=6，1＜6，故（1，1）在该区域内；把x=2代入解析式得：y4=5，4＜5，故（2，4）在该区域内．所以5个点中有3个符合题意，点P落在抛物线y=﹣x2+2x+5与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是．【点评】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式：P（A）=．19．如图，AB是菱形AEBF的对角线，A（﹣1，0），B（7，0），P是线段AB上任意一点（不含端点A，B），过A、P两点的抛物线y1和过P、B两点的抛物线y2的图象开口均向上，它们的顶点分别为线段AE、BE上的C、D两点，当AE=BE=5时，这两个二次函数的最小值之和等于﹣3 ．【考点】二次函数综合题．【分析】由图可知，两个二次函数最小值分别为C、D两点到x轴的距离的相反数，因此只需求出C、D两点到x轴的距离即可．过C、D作x轴的垂线，垂足分别M、N，过E点作x的垂线，垂足为H，可以证明C、D两点到x轴的距离之和就等于EH，于是问题得到解决．【解答】解：如图：过点C作CM垂直x轴于点M，过点D作DN垂直x轴于点N，过点E作EH垂直x轴于点H，过点C 作CG垂EH于点G，连接CP、DP，由抛物线对称性可知：CA=CP，DP=DB，∵AE=EB，∴CE=PD=BD，从而易证△CEG与△PDN全等，∴EG=DN，显然CGHM是矩形，∴CM=GH，∴EH=CM+DN，∵A（﹣1，0），B（7，0），∴AB=8，∴AH=HB=4，∵AE=5，∴EH=3，∵C、D均在第四象限，∴两个二次函数的最小值之和等于﹣3．【点评】本题是二次函数与几何的综合，考查了二次函数的对称性、菱形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性、矩形的判定与性、勾股定理等众多知识点，设计巧妙，是一道好题，作为一道填空题而言，有一定难度．本题的关键在于将求两个二次函数的最小值之和转化为求两个顶点到x轴的距离之和，体现化归与转化的数学思想．20．如图，在正方形ABCD时，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．则下列结论：①△ABE≌△DCF；②DP2=PH•PB；③；④．其中正确的是①②④（写出所有正确结论的序号）．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF，∠A=∠ADC，AB=CD，证得△ABE ≌△DCF，故①正确；由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP∽△BPH，得到===故③错误；由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到=，PB=CD，等量代换得到PD2=PH•PB，故②正确；根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积﹣△BCD的面积，得到，故④正确．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△DCF，故①正确；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH，∴===，故③错误；∵∠PDH=∠PCD=30°，∵∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CDP，∴=，∴PD2=PH•CD，∵PB=CD，∴PD2=PH•PB，故②正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°∴PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2，S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=×4×2+×2×4﹣×4×4=4+4﹣8=4﹣4，∴．故答案为：①②④．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质以及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PE及PF的长，再根据三角形的面积公式得出结论．三、解答题：（本大题共3个小题，21题6分，22题6分，23题8分．共20分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．21．计算：（﹣1）2016﹣|﹣7|+．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用算术平方根及零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=1﹣7+3+5=2．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．计算：sin30°•tan60°﹣tan45°+．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值带入求解．【解答】解：原式=×﹣1+1﹣=．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．23．先化简，再求值：，其中a=cos45°．【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=﹣•=﹣===，当a=cos45°=时，原式=．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题：（本大题共6个小题，24题8分，25题8分，26题l0分，27题10分，28题l0分，29题12分，共58分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．24．如图，在△ABC中，sin∠B=，AD⊥BC于点D，∠DAC=45°，AC=，求线段BD的长．（结果保留根号）【考点】解直角三角形；勾股定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据垂直可得∠ADB=∠ADC，然后在Rt△ACD中，利用∠DAC的余弦求出AD的长度，在Rt△ABD 中，利用∠B的正弦求出AB的长度，再根据勾股定理列式求解即可得到BD的长短．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ACD中，∵∠DAC=45°，AC=10，∴AD=AC•cos45°=10×=10，在Rt△ABD中，∵sin∠B==，∴AB=2AD=2×10=20，∴BD===10．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，根据垂直得到直角三角形是解题的关键，解决此类题目要熟练掌握特殊角的三角函数值．25．如图所示，抛物线与直线交于A，B两点．（1）A点坐标为（﹣，﹣），B点坐标为（3，﹣9）；（2）当自变量x的取值范围为x＜0 时，y1的值随x的增大而增大；（3）当﹣1≤x＜2时，函数y1的取值范围为﹣1≤y≤0，﹣4＜y≤0；（4）当自变量x的取值范围为x＜﹣或x＞3 时，y1＜y2．。
重庆南开中学初2013级九年级上期末考试数学试题及答案
重庆南开中学初2013级九年级上期期末考试数 学 试 题（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项。
参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24(,)24b ac b aa--，对称轴为2b x a=-。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上对应题目的正确答案标号涂黑。
1、27-的立方根是（ ）A 、3-B 、3±C 、D 、±2、下列运算正确的是（ ） A 、1052a a a += B 、()437a a =C 、()222x y x y -=-D 、()336x x x ⋅-=-3、从今年1月1日起实施号称“史上最严厉”的交通规则，下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（ ）4、如图，//A B C D ，直线E F 分别交,AB CD 于点,E F ，E G 平分A EF ∠，若50EFG ∠=，则A E G ∠的度数是（ ）A 、50B 、60C 、65D 、705、下列说法正确的是（ ）A 、“若a 是实数，则0a >”，该事件为必然事件B 、调查全国34个省会城市的 2.5P M 污染值，适合抽样调查C 、有一组数据：3,4,5,6,6。
这组数据的众数是6D 、从全市中学生中抽取500名学生调查视力情况，其中抽取的样本是500名学生6、如图，A B C ∆内接于,45,4O C AB ∠== ，则O 的半径是（ ）A 、2B 、C 、4D 、7、关于x 的一元二次方程()22110k x x k -++-=的一个根是0x =，则k 的值是（ ） A 、1-B 、1C 、1-或1D 、128、如图，将矩形纸片A B C D 沿E F 折叠，使点B CD 与的中点'B 重合，若2,3AB BC ==，则'B C F ∆的面积是（ ） A 、23B 、43C 、53D 、29、如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象过点()1,2，则下列结论错误的是（ ）A 、2a b c ++=B 、20a b ->C 、1b >D 、20a c -<10、如图，网格中的每个四边形都是正方形。
重庆一中2013届上学期初中九年级期末考试数学试卷
重庆市重庆一中2013届上学期初中九年级期末考试数学试卷（全卷共五个大题26小题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卷中相应的位置上.1．在3,0,3,3--四个数中，最小的数是（ ）A. 3B. 0C. 3- D .-3 2．下列运算正确的是（ ）A ．224a a a +=B ．22()ab ab = C ．236()a a = D ．22a a a ⋅=3. 已知一次函数y x b =+的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ） A.-2 B.-1 C.0 D.24．如图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70︒，∠C ＝40︒，则∠E 等于 （ ）Ａ．20° Ｂ．30° C ．35° Ｄ．40° 5．下图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）6. 下列说法正确的是（ ） A ．随机事件发生的可能性是50%B ．一组数据2，2，3，6的众数和中位数都是2C ．为了解某市5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生作为样本D ．若甲组数据的方差20.31S =甲，乙组数据的方差20.02S =乙，则乙组数据比甲组数据稳定7.如图，⊙O 的直径CD=20，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD 于M ，OM ：OD=3：5．则AB 的长是 （ ）A ．8B ．12C ．16D ．8218．下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共有11个矩形，……，按此规律，第⑧个图形中矩形的个数为（ ）A ．38B ．41C ．44D ．489．如图，已知A 、B 是反比例函数ky x=(k >0,x >0)图象上的两点，BC ∥x 轴,交y 轴于点C ．动 点P 从坐标原点O 出发，沿O →A →B →C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ．过P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ，设四边形OMPN 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）10．如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,2)-和(1,0)，下列结论中：①0abc >；②20a b +<；③221(2)2a cb +<④1a >；⑤32ac +<；其中正确的结论有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．5二、 填空题 （本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将答案填在答题 卡相应位置的横线上．11. 某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m ，用科学记数法表示为 m. 12．分解因式：3221218x x x -+=13．如图，1∠、2∠、3∠、4∠是五边形ABCDE 的4个外角，若130A ∠=︒，则1234∠+∠+∠+∠=________．14. 小明用一张半径为24cm 的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm ，那么这张扇形纸板的面积是 2cm ．15．已知平面直角坐标系内A 、B 两点的坐标分别为)0,0(A 和(2,2)B ，现有四张正面分别标有数字－2，0，2 ，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数记为x ，将卡片放回后再从中任取一张，将该卡片上的数字记为y ，记P 点的坐标为(,)P x y ，则以P 、A 、B 三点所构成的三角形为等腰直角三角形的概率为 ．16．一小船由A 港到B 港顺流需行9小时，由B 港到A 港逆流需行12小时.一天，小船从早晨6点30分从A 港出发顺流行至B 港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，就立刻返回寻找，2小时后找到救生圈，则救生圈掉入水中的时间为三、解答题 （本大题4个小题，每小题6分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．17．计算：0111(22013)9()3tan 302----+-+18．解不等式521163x x ++-<，并把它的解集在数轴上表示出来．19．如图，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，AB 平分∠DAE ，AE ⊥BE ，垂足为E ．求证：AD ＝AE ．20．如图，ABC △中，90C ∠=︒，4BD =，AD BC =，3sin 5CAD ∠=，求ABC ∆的面积四、解答题 （本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演 算过程或推理步骤．21．先化简，再求值：24)2122(+-÷+--x x x x ，其中x 满足方程123x x =+．22. 已知一次函数b kx y +=与双曲线xy 4=在第一象限交于A 、Ｂ两点，A 点横坐标为1，B 点横坐标为４.(1)求一次函数的解析式； (2)根据图象指出不等式xb kx 4>+的解集；(3)点E 是x 轴正半轴上一点，过E 点作x 轴的垂线分别交直线和双曲线于C 、D 两点，已知△OCD 的面积为1, 求点E 的坐标.23．为了充分展示我校学生的精神风貌，加快学生成长成才的步伐，引导和激励广大学生刻苦学习，学校为了鼓励其中表现突出的同学，每周进行“校园之星”评选活动．初2014级对本年级上学期这五周的获奖人数进行了统计，并制成了如下不完整的折线统计图． （1）已知该年级这五周获选“校园之星”的平均人数为5人，求该年级这五周获选“校园之星”人数的中位数，并将折线统计图补充完整．（2）该年级第五周评出的４位“校园之星”中男女同学各有2人，校广播站小记者打算从中随机选出2位同学进行采访，请你用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1男1女的概率．24. 如图，正方形ABCD 中，M 为AD 边上的一点，连接BM ，过点C 作CN//BM ，交AD 的延长线于点N ，在CN 上截取CE=BC ，连接BE 交CD 于F ，（1）若60AMB ∠=︒，23CE =DF 的长度； （2）求证：BM=DN+CF25.某大型生活超市销售一种进口奶粉A ，从去年1至7月，这种奶粉的进价一路攀升，每罐A 奶粉的进价1y 与月份x （17x ≤≤，且x 为整数），之间的函数关系式如下表 ：月份x1 2 3 4 5 6 7 1y （元/千克）230240250260270280290A 的进价2y 与月份x （812x ≤≤，且x 为整数）之间存在如下图所示的变化趋势.（1）请观察表格和图像，用所学过的一次函数、反比例函数、二次函数的有关知识分别直 接写出1y 与x 和2y 与x 的函数关系式.（2）若去年该奶粉的售价为每罐360元，且销售该奶粉每月必须支出（除进价外）的固定 支出为4000元，已知该奶粉在1月至7月的销量1p （罐）与月份x 满足：130240p x =+； 8月至12月的销量2p （罐）与月份x 满足：230750p x =-+；则该奶粉在第几月销售时， 可使该月所获得的利润最大？并求出此时的最大利润.（3）今年1月到4月，受到国际方面因素的影响，该进口奶粉的进价进行调整，每月进价 均比去年12月的进价上涨15元，且每月的固定支出（除进价外）增加了15%，已知该进 口奶粉的售价在去年的基础上提高了%m （m <100），与此同时每月的销量均在去年12月 的基础上减少了0.2%m ，这样销售下去要使今年1至4月的总利润为122000元，试求出m 的值.（m 取整数值）（参考数据：2532809,= 2542916=， 2553025=，2563136=）26．已知，Rt ABC ∆和Rt ADE ∆中，90ABC ADE ∠=∠=︒,30CAB ∠=︒,60DAE ∠=︒, AD=3，AB=63AB ，AD 在同一直线上，把图1中的ADE ∆沿射线AB 平移，记平移中的ADE ∆为'A DE ∆（如图2），且当点D 与点B 重合时停止运动，设平移的距离为x ．（1）当顶点E 恰好移动到边AC 上时，求此时对应的x 值；（2）在平移过程中，设'A DE ∆与Rt ABC ∆重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与x 之间的函数关系式以及相应的自变量x 的取值范围；（3）过点C 作CF//AE 交AB 的延长线于点F ，点M 为直线BC 上一动点，连接FM ，得到MCF ∆，将MCF ∆绕点C 逆时针旋转60︒，得到''M CF ∆（M 的对应点为'M ，F 的对应点为'F ），问'FMM ∆3'AM 的长度，若不能，请说明理由．数学答案一．选择题（每小题4分，共40分）二、填空题（每小题4分，共24分）四、解答题（共40分）21.解:原式24122()224x xx x x-+=-⋅++-………………………………3分216224x xx x-+=⋅+-(4)(4)22(4)x x xx x+-+=⋅+--4x =-- ………………………………7分 ∵123x x =+ ∴32x x += ∴3x = ……………8分 经检验:3x =是原方程的解. ……………9分 ∴当3x =时,原式347=--=-. …………………10分23．解：（1）设该年级第三周的获奖人数为x 人．则554665=++++x ．解得4x =． …………………2分∴该年级这五周获选“校园之星”人数的中位数为5人．………3分 补图如下：………4分（2）设1A 、2A 为男同学，1B 、2B 为女同学．画树状图如下：或列表：1A2A 1B 2B1A （1A ，2A ） （1A ，1B ） （1A ，2B ）2A （2A ，1A ）（2A ，1B ） （2A ，2B ）1B （1B ，1A ） （1B ，2A ）（1B ，2B ）2B（2B ，1A ） （2B ，2A ） （2B ，1B ）8分所以，所选两位同学恰好是1男1女的概率为32128==P ． ………10分 当8≤x ≤12时，W 2x x =---+-(3605255)(30750)4000 =150x 2-6900x +74750．∵b a --=-=6900232300，又23x <，∴W 2随x 增大而减小，∴x =8时，W 2有最大值，max W =29150．∴在第3月时，可获最大利润32300．…………………………………………………6分（3）⨯+-+⋅-⨯+--⨯+4[360(1m%)(31515)](3012750)(10.2m%)44000(115%)＝122000 令m %=t ，原方程化为 t +--=1(112t)(1)305． 整理得-+=212t 59t 100 ∴t ±±=≈59300159552424． t t ==≈==124111416.7%,475%24624． ∴1m ≈17，2m =475(舍)． ∴m =17．……………10分 26、解：（1）333312x =⨯+=（2）03x ≤≤ ，23S x = 363x <≤，233332S x x =-+- 6312x <≤，21331113(183)S x x =-++- 12633x <≤+，239931822S x x =-+- （3）①设'CM CM x =='''FCM FMM FCM MCM S S S S ∆∆∆∆=--=211343233224x x x ⋅⋅= 化简得：2440x x -+= ∴2x = ∴'12210AM =-=②设'CM CM x == '''FCM FMM MCM FCM S S S S ∆∆∆∆=+-。
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重庆南开中学初2014级九年级（上）期末考试
数 学 试 题
一、选择题（本大题l2个小题，每小题4分，共48分）
1.3的相反数是( )。
A ．-3 B ．3 C ．31 D ．3
1- 2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )。
3.计算()23b a 的结果是( )．A.b a 6 B. 26b a C. 25b a D. 2
3b a
4.如图，AB ∥CD ，AD 平分∠BAC ，∠C = 80°，则∠D 的度数为( )。
A ．50°
B ．55°
C ．70°
D ．80°
5.计算4sin60°的结果是( )。
A.2 B ．22 C ．3 D. 23
6.已知关于x 的方程2x – m - 5 =0的解是x = -2，则m 的值为( )。
A ．9 B ．-9 C ．1 D ．-1
7.已知甲、乙、丙三个旅游团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是30岁，这三个团游客年
龄的方差分别是2甲S =1.4，2乙S =18.8．2丙S =25，导游小芳喜欢带游客年龄相近的团队，若要在这三个团 中选择一个，则她应选( )。
A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．哪一个都可以
8.已知相交两圆的半径分别为3和7，则它们的圆心距可能是( )。
A ．3
B ．4
C ．6
D ．10
9.如图，在口ABCD 中，E 是CD 上的一点，DE ：EC =2：3，连接AE 、
BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则DEF S ∆：EBF S ∆=( )。
A. 4:9
B. 2:5
C. 4:5
D. 2:3
10.如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆， 第2个图形一共有l2个花盆，第3个图形一共有20个花盆，……则第8个图形中花盆的个数为( )。
11.如图，有一个球体正好与一个足够大的平面相切。
现在固定球体不动，让平面匀速上
升，则下面能反映球体被平面所截得的圆（阴影部分）的面积S 与移动时间t 之
间关系的大致图象是( )。
12.如图，抛物线y=ax 2+ bx+c 的对称轴为直线x = -1，与x 轴交于A 、
B 两点，交y 轴于点
C ，且OB = OC ．则下列结论不正确的是( )。
A. a>1
B. c<a
C. ac+1=b
D. 1<b<2
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
13.重庆长江客运索道起于渝中区长安寺，横跨长江至南岸上新街，全长1166米，有万里长江第一条空中 走廊之称。
2014年1月1日，完成改造的长江索道重新开放，当日载客置达17850人次，创出了1987 年10月建成以来的历史新高。
将数据17850用科学计数法表示为__ 。
14.分式方程1
211-++x x 的解为__ 。
15.在一次九年级学生视力检查中，随机检查了8个人的右眼视力，结果如下：4.0，
4.2, 4.5，4.0，4.4，4.5，4.0，4.8，则这组数据的中位数是__ 。
16.临近新春，北关工艺厂新推出一种扇形纸扇，其展开图如图所示，已知外侧竹条AB 、AC 的夹角为120°， 且AB = AC = 30cm ，AD = AE = lOcm ，则阴影部分的面积是__ cm 2。
17.如图，为某立方体骰子的表面展开图。
掷此骰子一次，记朝上一面的数为x ，
朝下一面的数为y ．记作点(x ，y )。
若小华前两次掷得的两个点所确定的直线
过点P (4，7)，则他第三次掷得的点也在这条直线上的概率为__ 。
18.如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的边OA 在x 轴的正半轴上，OA=AB ，边
OB 的中点C 在双曲线x
k y =上，将△OAB 沿OB 翻折后，点A 的对应点A ′，正好 落在双曲线x
k y =上。
若△OAB 的面积为6，则k = __ 。
三、解答题（本大题2个小题，每小题7分，共14分）。
19．计算：2
201431|632|30tan 3271-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-︒+-+-
20.如图，在边长为l 的小正方形组成的网格中，四边形ABCD 的
四个顶点分别在网格的格点上。
(1)将四边形ABCD 向左平移3个单位得到四边形A 1B 1C 1D 1，请
在网格中画出四边形A 1B 1C 1D 1；
(2)连结AD 1、AC 1，将△AC 1D 1绕点C 1顺时针旋转90°得到
△A 2C 1D 2，请在网格中画出△A 2C 1D 2。
四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）
21．先化简，再求值：⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+-÷+-1122123x x x x x x ，其中x 是方程x 2 + 2x – 2 = 0的根。
22.随着中招体育考试的临近，为更好地了解同学们的锻炼情况，体育老师在初三某班抽取了部分同
学进行了一次模拟考试，并将考试结果分成“优秀”、“良好”、“一般”和“差”四类，分别用A、B、C、D表示，以下是根据考试结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
(l)一共有名同学参加了此次模拟考试，其中男生名，女生名；
(2)请将上面的条形统计图补充完整：
(3)为了共同进步，体育老师想从A类和D粪同学里分别选取一位同学进行“互帮互助”，请用列
表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是两位男生或两位女生的概率．
23.“不览夜景，未到重庆。
”乘游船夜游两江，犹如在星河中畅游，是一个近距离认识重庆的最佳窗口。
“两江号”游轮经过核算，每位游客的接待成本为30元。
根据市场调查，同一时间段里，票价为40元时，每晚将售出船票600张，而票价每涨1元，就会少售出10张船票。
(1)若该游轮怒每晚获得10000元利润的同时，适当控制游客人数，保持应有的服务水准，则票价应定为多少元？(2)春节期间，工商管理部门规定游轮船票单价不能低于44元，同时该游轮为提高市场占有率，决定每晚售出船票数量不少于540张，则票价应定为多少元，才能使每晚获得的利润最多？
24．如图，口ABCD中，E在AD边上，AE = DC，F为口ABCD外一点，连接AF、BF，连接EF交AB 于G，且∠EFB = ∠C = 60°．(1)若AB = 6，BC =8，求口ABCD的面积；(2)求证：EF= AF+ BF．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
25.如图，已知抛物线的对称轴是直线x=4，顶点A的纵坐标为2，点B(8，0)在此抛物线上。
(1)求此抛物线的解析式： (2)若此抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D(m，n)为抛物线上一动点，过点D作直线y=4的垂线，垂足为E。
①用含n的代数式表示CD2，并猜想CD2与DE2之间的数量关系，请给出证明；②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？如果存在，请求出D点坐标：如果不存在，请说明理由。
26．如图1．在Rt△ABC中，∠C= 90°，AC=9cm，BC=12cm。
在Rt△DEF中，∠DFE= 90°，EF = 6cm，DF = 8cm。
点C、B、E、F在同一直线上，且B、F两点重合。
现固定△ABC不动，将△DEF沿直线BC 以1cm／s的速庋向点C运动。
当点F到达点C时，△DEF停止运动。
设运动的时间是t(s)．其中t>0。
(l)当t=___ _时，点D落在线段AB上；
(2)设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S．请直接写出S与t的函数关系式及t的取值范围；
(3)如图2，当点F开始运动时，点P同时从点F出发，在折线FD-DE上以2cm/s的速度向点E运动，设DE、DF两边分别与AB边交于M、N两点。
①求t为何值时，△PMN为等腰三角形？②如图3，当点P在边DF上运动时，求线段CP的中点Q所经过的路径长度。