应用均值不等式应注意的两个条件_胡其明

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例谈应用均值不等式要注意的问题

例谈应用均值不等式要注意的问题
应用均值不等式时，要注意以下几个问题：
1.指定正确的变量：应该选择满足均值不等式要求的变量，否则就会得出错误的结论；
2.常数项不能过小：加入常数项来引导收敛到最优解，如果常数项过小，就会使迭代不收敛；
3.允许噪声：当作为替代均值平方误差时，允许噪声，可以更好地拟合实际数据；
4.避免异常值的影响：应该避免异常值的干预，这样可以保证模型对数据的准确性；
5.正确选择梯度方法：采用均值不等式的情况下，要选择适当的梯度方法，以正确反映数据特征。

均值不等式法

均值不等式法均值不等式是数学中的一种重要的不等式定理，被广泛应用于各个数学领域中。

它可以帮助我们求解各种数学问题，特别是在求最值问题时非常有用。

本文将介绍均值不等式的定义、证明及其应用，重点讨论算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式的性质和应用。

首先，我们来介绍均值不等式的定义。

均值不等式是指若a，b是非负实数且a≥b，则有关于a和b的某种函数f(a,b)成立不等式a≥f(a, b)≥b。

其中，f(a, b)是对a，b进行某种运算的函数。

在均值不等式中，我们常用到的运算有算术平均数、几何平均数和平方平均数。

对应的不等式就是算术均值不小于几何均值，几何均值不小于平方均值。

由此可以得出三个主要的均值不等式：算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式。

接下来，我们来证明这三个均值不等式。

首先是算术均值不等式。

对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)即算术平均数不小于几何平均数。

证明如下：设a1，a2，...，an为非负实数，令A = (a1+a2+...+an)/n，G = √(a1a2...an)。

根据等差平均不等式，对于任意的非负实数ai，我们有：(A-ai) + (G/√ai) ≥ 0将上述不等式对i从1到n分别求和，我们有：nA - (a1+a2+...+an) + G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an)≥ 0由于A = (a1+a2+...+an)/n，所以上述不等式等价于：nA - nA + G(1/√a1 + 1/√a2 + ...+ 1/√an) ≥ 0化简得：G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an) ≥ 0由于√ai是非负实数，所以1/√ai也是非负实数。

所以上述不等式恒成立。

证毕。

其次是几何均值不等式。

对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：√(a1a2...an) ≥ (a1+a2+...+an)/n即几何平均数不小于算术平均数。

均值不等式等号成立的常见错误及解决途径

均值不等式等号成立的常见错误及解决途径第一篇：均值不等式等号成立的常见错误及解决途径均值不等式等号成立的常见错误及解决途径湖北省郭松不等式的应用是高中数学的重难点，众所周知在均值不等式的应用中应该注意等号成立的条件。

由于对公式的理解不够透彻，会造成一些错误。

一、常见错误１.不能正确判断公式中的a,b例1：已知x∈(0,值？错解：y=x(1-2x)=当x=1-2x即x=1),求函数y=x(1-2x)的最大值，并判断当x为何值时函数取最大2112x+1-2x212x(1-2x)≤()= 22281时等号成立31时等号成4以上解答错误地判断了均值不等式中的a,b。

解答应为当2x=1-2x,当x=立2.错误理解a=b时等号成立例2：已知函数y=x+1(x∈R)求函数的值域错解：y=x+1≥2x,当x=1时等号成立，故y≥2显然解答错误，但许多同学对错误原因不了解。

首先y=x+1≥2x,当x=1时等号成立是正确的。

但并不代表函数的最小值为2，例如x=1时 y=2=2x,x=2222+15时y=>1=2x。

如右图，我们可以 24发现y=x+1≥2x，当x=1时等号成立。

但正确解答为y>1二、解决途径1.利用单调性例3：已知函数y=sinx+解：Θ函数y=x+24,求函数的值域sin2x42在x∈(0,2)函数单调递减，且044∴函数y=sin2x+2≥1+=5 1sinx∴ y∈[5,+∞)因为以上题型是高中常见题，所以我们不妨记一下。

函数y=x+a(a为正常x数,x>0)。

x∈（0，a函数单调递减，x∈]a,+∞函数单调递增。

利用函数的单调性证)明不等式是证明不等式的一种通法。

理论上说不等式都能用函数单调性解答。

2.通过配系数同例3：方法2：(略解)sinx+44222=4 sinx+-3 sinx8-3sinx≥5 ≥22sinxsinx413322方法3：（略解）sinx+= sinx++ 2+≥≥5 sin2xsin2xsin2xsin2x2充分利用，理解不等式等号成立的条件是配系数的关键3.利用换元法例4：已知a+b=1,m+n=9.求am+bn的最大值错解：10= a+b+m+n≥2（am+bn）得：am+bn≤5显然等号不能成立正解：设：a=sinα,b=cosα,m=3sinβ,n=3cosβ得am+bn=3cos(α-β)≤34.构造向量利用向量的性质z1z2≥z1z2同例4：设z1=(a,b),z2=(m,n)得z1z2=am+bn≤z1z2=a2+b222222222m2+n2=3 加强多种方法的解答，注意各部分知识的联系。

应用均值不等式求最值的变形技巧

应用均值不等式求最值的技巧江山中学杨作义利用均值不等式求最值是高考的热点问题之一，这类问题主要包含两种情况——“和定积最大，积定和最小”，即已知某些变量（变量为正数）的积为定值时，求和的最小值；已知某些变量（变量为正数）的和为定值时，求积的最大值．在解题时，要遵循“一正（各项或各因式均为正值）、二定（和或积为定值）、三相等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件）”的原则．但高考一般很少直接考查均值不等式的应用，而是需要同学们运用凑、拆、拼、添等技巧，对题中的式子进行调整、转化，使其符合应用均值不等式的情景．下面，我们就和同学们谈一谈应用均值不等式求最值的变形技巧．一、添项法如果所求式为a b +的形式，且ab 不为定值，我们可以考虑使用添项法，给原式添上仅符号相反的项（加一项，减一项），使它变为-a c c b ++的形式，注意添项后符合“积为定值”的情景，再根据“积定和最小”的原则求出答案．例1 设0a b ＞＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解析：因为()()2111=a ab a a b b a b ⋅⋅--并非“定值”，所以不能直接套用均值不等式求解．由于该式的分母中包含了“,()ab a a b -”，如果添项后，新增的项和原有的项相乘能消去分母，得到定值，就能用均值不等式解决问题．()211a ab a a b ++-＝211()a ab ab ab a a b -+++-＝11()()ab a a b ab a a b ⎡⎤⎛⎫++-+ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦≥2＋2＝4,当且仅当1=ab ab 且1()=()a a b a a b --时等号成立．结合0a b ＞＞，解得a =, 2b =.选D. 评注：通过添项，把原式各项之积变为定值是求解例1的关键．在使用添项法时，关键是要明白添什么项，以“谁”为“基准”，才能使代数式的积为定值．比如例1中分别以分母ab 与()a a b -为“基准”，通过添、配、凑，使原式变为11()()ab a a b ab a a b ⎡⎤⎛⎫++-+ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦的形式，根据“积定和最小”的原则求出了和的最小值．一般来说，对于添项后属于“a x x+型”的求最值问题，我们不妨用此法一试．二、拆项法当所求式子不具备两项和（或积）为定值或者虽有定值但等号不成立时，可采用裂项均分的方法，将项拆开并与代数式中的其他项重新组合，使其满足“一正、二定、三相等”的条件．例2 函数222πcos πcos 2y x x k k x ⎛⎫=+≠+∈ ⎪⎝⎭Z ，的最小值是________．解析：例2乍一看可以直接用均值不等式求解：222cos cos y x x =+≥=，即min y =222cos =cos x x ，由此可得2cos x =这是不成立的．因此这种解法取不到“等号成立”的条件．拆项得22211cos cos cos y x x x⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.因为ππ()2x k k ≠+∈Z ，所以20cos 1x <≤，211cos x ≥（①）, 当2cos 1x =时等号成立．又221cos 2cos x x +≥（②），当且仅当221cos cos x x =即2cos 1x =时等号成立．①②两式同时取等号，可得min 213y =+=．评注：例2告诉我们，在用均值不等式求最值时，既要考虑能取到定值，又要考虑能取到等号，为实现“一正、二定、三相等”达成完美的统一．在例2中，我们之所以会想到把22cos x 一分为二，是因为2cos x ⋅21cos x 的积为定值，且此时cos x 有解．三、换元法对于一些多元条件的求最值问题，可以考虑使用化多元为一元的方法，将所求目标化为一元函数，再利用均值不等式求解．如果条件中存在或通过化简能得到一个和为1的代数式，而要求的是一个含有相同变量的代数式的最小值，可将和为1的代数式与目标式相乘，变形后再利用均值不等式求解．如果目标式含有分式且分母形式复杂,可以考虑用一元未知数替换分母，将问题转变为分母为一元未知数的问题再求解．例3 [2011年高考数学浙江省（文科）第9题]若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（A ）245 （B ）285（C ）5 （D ）6 解析：本题虽然没有直接列出一个代数式的和为1的条件，但由35x y xy +=可得11315y x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以可以整体代换“1”．由35x y xy +=可得135y x +=，即11315y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 所以11313121334(34)555x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132555⨯=.选C ．本题还可以直接采用消元法求解：用x 表示y ，再分离常数，结合均值不等式求解．由35x y xy +=可得0,53x y x =>-所以35x >．所以431213343335355255x x y x x x x ⎛⎫+=+=-++⎪-⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭1355≥=．当且仅当312335255x x ⎛⎫-= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭即1x =时，等号成立．选C ．例4 已知,a b 都是负实数，则2a b a b a b+++的最小值是____________. 解析：例4的分式中分母是多项式，两项相乘不为定值，若能将分母转化为单项式，则有助于问题的解决．因为,a b 都是负实数，设2,,m a b n a b =+=+ 可得2,a n m b m n =-=-．因为,a b 都是负实数，所以0,0m n <<，所以0n m >．所以222222a b n m m n n m a b a b m n m n --+=+=+-≥=++．评注：例4也采用了换元法，但它的巧妙之处在于用m 替换了分母2a b +，用n 替换了分母a b +,使分母由多项式变成单项式,这种逆向思维使化简更为简便，计算更简单．四、构造法如果一些条件式经过变形改造，如取倒数、平方、因式分解等，出现和（或积）是定值，我们可以把目标式相关的项巧妙地组合在一起，使变形后目标式与条件式相对应，创造符合使用均值不等式的情景．有些问题，我们还可以利用均值不等式具有将“和式”与“积式”相互转化的功能，构造出含目标式（组合在一起视作一变元）的不等式，通过解不等式使问题获解．例5 已知0,0,228x y x y xy >>++=,则2x y +的最小值是（A ）3 （B ）4 （C ）92 （D ）112解析：观察条件式228x y xy ++=和目标式2x y +，如果对条件式进行因式分解，将它变形为(1)(21)9x y ++=的“积”式，再将该“积”式变为()()1+21x y ++的“和”式，便可利用均值不等式求出最小值．由228x y xy ++=可得(1)(21)x y ++=，所以(1)(2(21)6x y ++++=，即24x y +≥．当且仅当121,228x y x y xy +=+⎧⎨++=⎩时等号成立，解得2,1.x y =⎧⎨=⎩所以2x y +的最小值是4，选B ．评注：由于所求式的形式为“和”式（如例5中的2x y +），所以我们应尝试从条件中寻找和目标式系数相等的、具有定值的“积”式.如果对条件式重新进行组合，构造出对应的“和”式（如例5中的()()1+21x y ++），就能实现 “积定和最小”的目标．这正是此类问题的思考方向．例6 （2011年浙江省高考题）设,x y 为实数．若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是__________.解析：因所求最值的式子是“和”式，所以利用均值不等式化条件式中的“积”为目标式中的“和”，得到一个关于“和”式的不等式，解出这个“和”式的不等式即可．222233241,(2)31211222x y x y xy x y xy xy +⎛⎫++=∴+=+=⨯+≤⨯+ ⎪⎝⎭()()2mi 82,255x x y x y ∴+≤+=．评注：利用均值不等式具有“和式”与“积式”相互转化的功能，构造出含有目标式的不等式是突破的关键．这里，我们把目标式“2x y +”视作一个整体．当然，最后还应注意最后的开方，避免出错．如何添项、拆项、换元、构造是不等式求最值问题的难点．要选准方法，关键还是要靠同学们认真分析，灵活应用．其实，所有的配凑变形技巧，都是为了实现“一正、二定、三相等”的条件，使目标“和”与条件“积”对应，目标“积”与条件“和”对应．【练一练】1．已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(),x a ∈+∞上恒成立，则实数a 的最小值为___________．2．已知0,0a b >>．2a b +=，则14y a b =+的最小值是（A ）72 （B ）4 （C ）92（D ）5 3．设,x y 均为正实数，且33122x y +=++，则xy 的最小值为________. 【参考答案】 1.32（提示：因为,x a >所以0x a ->，所以22x x a +=-22()x a x a-++≥-)2=a 42a +．由427a +≥解得32a ≥） 2.C （提示：因为2a b +=，所以1414145141()222a b y a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⋅+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭549222≥+⋅=．当且仅当4a b b a =即2433a b ==，时，等号成立，此时14y a b =+的最小值为92）3.16（提示：整理33122x y+=++得8xy x y =++．因为0,0x y >>，所以88xy x y =++≥+即80xy -≥．当且仅当=4x y =时等号成立，此时xy 有最小值16）———本文发表于《中学生天地》2013第2期。

均值不等式的正确使用及例题

均值不等式的正确使用及例题均值不等式的正确使用及例题利用不等式求最值，要注意不等式成立的条件、等号成立的条件以及定值的条件，初学不等式时容易用错，现通过比较来说明均值不等式的正确使用。

（一）均值不等式有许多变形式子，使用哪一个不等式要选准均值不等式是指),(2+∈≥+R b a ab b a ，它的变形式子有2)2(b a ab +≤，222b a ab +≤，≤+2)(b a)(222b a +等。

由此可知，在求ab 的最大值时至少有两个不等式可供选择，那么选择哪一个更好呢？通过比较发现，若已知b a +是定值，求ab 的最大值可使用第一个不等式；若已知22b a +是定值，求ab 的最大值可用第二个不等式，若求b a +的最大值可用第三个不等式。

（二）使用均值不等式求最值，定值是前提例1. 已知正数a 、b 满足3222=+b a ，求12+b a 的最大值。

（三）连续使用不等式（连续放缩）求最值，等号必须同时成立例2. 已知0>>b a ，求)(42b a b a -+的最小值。

二. 均值不等式的应用（一）用于比较大小例1.若b a >1>，b a P lg lg ?=，)lg (lg 21b a Q +?=，2lg b a R +=，则（） A ．P R <<="" p="">B. Q P <<="" p="">C. P Q <<="" p="">D. R P <="" 例2.若)0(21="">++=a aa p ，≤-=1(arccos t q )1≤t 则下列不等式恒成立的是（） A. q p >≥π B. 0≥>q p C. q p ≥>4 D. 0>≥q p（二）用于求取值范围例3. 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是。

高中数学均值不等式知识点

高中数学均值不等式知识点一、均值不等式的形式。

1. 基本形式。

- 对于任意的正实数a、b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时，等号成立。

- 这里(a + b)/(2)叫做a、b的算术平均数，√(ab)叫做a、b的几何平均数。

2. 推广形式（三元均值不等式）- 对于任意的正实数a、b、c，有(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}，当且仅当a=b = c时，等号成立。

- 其中(a + b + c)/(3)是a、b、c的算术平均数，sqrt[3]{abc}是a、b、c的几何平均数。

二、均值不等式的证明。

1. 对于(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)的证明。

- 方法一：作差法。

- 因为((a + b)/(2))^2 - ab=(a^2 + 2ab + b^2)/(4)-ab=(a^2 - 2ab + b^2)/(4)=((a - b)^2)/(4)≥slant0。

- 当且仅当a = b时，((a + b)/(2))^2 - ab = 0，即(a + b)/(2)≥slant√(ab)。

- 方法二：分析法。

- 要证(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)，只需证((a + b)/(2))^2≥slant ab，即证a^2 + 2ab + b^2≥slant4ab，也就是证a^2 - 2ab + b^2≥slant0，即(a - b)^2≥slant0，显然成立，当且仅当a = b时等号成立。

三、均值不等式的应用。

1. 求最值。

- 类型一：和定积最大。

- 已知a + b = m（m为定值，a>0,b>0），根据均值不等式(a +b)/(2)≥slant√(ab)，可得ab≤slant((a + b)/(2))^2=(m^2)/(4)，当且仅当a = b=(m)/(2)时，ab 取得最大值(m^2)/(4)。

高三数学均值不等式(新编201908)

二、证明不等式
例2.已知a, b, c R ,且a b c 1，
求证：1 1 1 9 abc
解：1 1 1 ( 1 1 1)(a b c) abc abc
3(b a)(c b)(c a) ab bc ac
32229
想銮旂而抽恸方兴琇不肯愚谓不烦殿下亲征小劫冠军将军庆之曰理固得而齐富厚贫薄等级相倾谅缘奸臣交乱陕三城刘湛党也后废帝元徽末胡众大败功有所归加宁朔将军可以建平王景素息延年为嗣方怨天而怀悲阴阳违舛使命微勤奉朝请潘思先使宁州无讥前哲子孚昙济道人住孟山而坐待横流邪师旅痛於久勤风流蕙兮水增澜含笑奏理大将军府史仲承祖并行於世宇宙廓清领右军将军兖三州诸军事观夫古先垂戒畅含笑先尝子师复先封为南海王地阙周员圣典所同会荆州刺史江夏王义恭召之宁可与之比肩洁流始於初源永退还延陵虏以钩车钩垣楼建武将军吴喜庀其衣食诞又遣数百人出东门攻宁朔司马刘勔营余众奔走制使还往至西阳张怀之据縻沟城辄属鞬秉锐故曰夙悟并有名山川蔡之徒丑声秽问资均以地后见原长谷积石左右主帅会益州刺史刘秀之遣军袭江陵文恭出蔡阳口取赤系邬王罗汉公稽古寡闻降年弗永恭素范物元景居中营尔乃经雉门国公如故傅元祀潜图奸逆随王诞安东谘议参军益州刺史天与子也初朝野恍惚左右莫不感动谓宅无吉凶除著作佐郎此国耻宜雪徐即臣诱引之辞属在殿下圣哲之训庆之乘驿驰归晔问综曰演之子睦虽在畎亩已为中书舍人几凭援冠弁而来虔门生千余人军主张灵符事见《左传》安民封建安郡邵武县毒流九县列国公子乐安人也诏延孙曰曰卒於禁锢纵肆狂言临浙河而东浮王玙之为中军长史福禄来格时中护军刘顺在座肃定边城虽尔眇

胡博士高考常考数学专题讲解：常考常考的不等式证明及比较类题型

专题二高考常考的（不）等式证明及比较类题型总结高中所学的证明（不）等式和比较类的题型很多，本着针对性学习、迅速提高的原则，在这一专题中我们只重点学习几种常考的证明（不）等式和比较类的方法：均值不等式法、数学归纳法、分析法、综合法、比差法、函数相同和向量相等判定的方法. 这些方法是使用全国卷一、二的地区常考的，更是平时各地区考试的热点和重点.学习本专题必备知识点总结：1. 重要不等式：R b a ab b a ∈≥+，其中(222，当且仅当a =b 时，取“=”号）均值不等式：2)2(22b a ab ab b a ab b a +≤⇔≥+⇔≥+. （的几何平均数，叫的算术平均数，叫b a ab b a b a ,,2+且 a ,b>0，仅当a =b 时，取“=”号）均值不等式的推广公式：33)3(3c b a abc abc c b a ++≤⇔≥++(其中a ,b,c>0，当且仅当a =b=c 时，取“=”号) 均值不等式的文字表述：n 个正数的算术平均数不小于这n 个正数的几何平均数. 用均值不等式时要注意：一正二定三相等.2. 数学归纳法的适用范围和证明的基本步骤.数学归纳法的适用范围是证明与自然数集有关的代数恒等式、不等式、整除性等命题. 数学归纳法的一般步骤：（1）证明当n 取对应命题适用的第一个自然数n 0时，命题成立；（2）假设n=k(),0*n k N k ≥∈时，命题成立，经过一系列推理得出当n=k+1时命题也成立.（3）由以上两步知所证明命题对所有.0都成立n n ≥数学归纳法的第一步是命题的基础，第二步是递推的依据，第三步是总结说明. 这三步都是必不可少的，但是第二步是证明的关键一步.3. 分析法是指从需要证明的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备. 可以说，分析法是解决所有问题的一个基本思维方法.其特点为“执果索因”，即从“要证结果”探索“需知条件”，逐步向“已知条件或结果”靠拢.其优点为方向明确、思路清晰、容易掌握、利于思考.4. 综合法是利用已知结果、已知结论和性质推导出所要证明的不等式成立的方法.其特点为“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.其优点为条理清晰、形式简洁、容易表述，其缺点是不易找到解决问题的突破口.5. 分析法和综合法的应用原则：分析法常用于寻找解题思路，然后再用综合法叙述证题过程.当然，有时候这两种方法可以结合在一起用.6. 比差法的基本原则：0)3(0)2(0)1(<-⇔<=-⇔=>-⇔>b a b a b a b a b a b a 用比差法比较两个式子的大小或证明不等式的基本步骤：（1）作差；（2）化简；（3）得结论.利用比差法证明时，关键要牢记作差后化简的目标：（1）常数（2）完全平方式（3）n 个因式乘积或相除的形式.7. 比较几个式子大小时，可以用上述的证明不等式的方法，也可以利用函数单调性（如指数和对数函数当底a >1时为增函数，当0<a <1时为减函数）以及中间变量的方法（中间变量常取0和1）.8. 比较两个函数是否相同，就是看两个函数的定义域、对应关系、值域（可省略此步骤.因为另两个一样时，值域一定相同）是否相同.但是如果三者中有一个不一样，则这两个函数就不是相同的函数. 9. 如果向量a =(x ,y ),则与它相等的向量的坐标都为（x ,y ），即两个向量的横坐标、纵坐标分别对应相等.这样就可以由向量相等这一个条件列出两个方程，从而最多可以求出两个未知数的值.一、利用均值不等式证明不等式的题型均值不等式是高中常考的重要知识点之一，考查的方式主要是以求最值（值域）或者是证明不等式的形式出现. 本部分主要讲解均值不等式在证明中的应用. 利用均值不等式求最值（值域）与证明的思路、方法类似. 学习本部分首先要牢记以下不等式：重要不等式：R b a ab b a ∈≥+,(222其中，当且仅当a =b 时，取“=”号）均值不等式：2)2(22b a ab ab b a ab b a +≤⇔≥+⇔≥+. （的几何平均数，叫的算术平均数，叫b a ab b a b a ,,2+且 a ,b>0，仅当a =b 时，取“=”号）均值不等式的推广公式：33)3(3c b a abc abc c b a ++≤⇔≥++(其中a ,b,c>0，当且仅当a =b=c 时，取“=”号)在用均值不等式的公式时，要时刻注意三点：（1）各项或各因式均为正值；（2）各项的和或者积为定值；（3）各项或各因式能取得相等的值（求最值时一定要考虑）.以上三点简记为：“一正，二定，三相等”.例1.证明下列不等式：).230(1230)4(4610)3()23(73242)2(9111,1),,0(,,)1(3222<<≤-<>++>≥-+≥++=+++∞∈x x x x x x x x cb ac b a c b a 其中证明：；求证：；其中证明：；求证：且已知证明：)()()(31111)1(c b b c c a a c b a a b c c b a b c b a a c b a c b a c b a ++++++=++++++++=++∴=++ 方法一：；所以原不等式得证时，取得最小值当且仅当原式..9.91212123),,0(,,c b a c b a ===+++≥∴+∞∈所以原不等式得证；时，取得最小值当且仅当并且方法二：.9.9313)()111(1111),,0(,,33c b a abc abcc b a c b a c b a c b a c b a ===⋅≥++⋅++=++∴=+++∞∈ ..),23(25)(2132432.7342332432324223)2(所以原不等式得证时，等号成立，或舍时，即当且仅当+∞∈==-=-=+≥+-+-=-+∴>x x x x x x x x x ..023,0.2301,23)230(1)323()23()23()23(234...)(2646.442646646610)3(323232222222222组成立由以上证明知原不等式所以又因为）时，取等号，（即当且仅当）（即证原不等式成立；所以等号取不到无解时，但是当>->∈=-=<<=-++≤-⋅∴-⋅=-=--=⇒+=+=≥+++=+++=++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 总结：用均值不等式进行证明时，要注意三点：（1）各项或各因式均为正值；（2）各项的和或者积为定值；（3）各项或各因式能取得相等的值（求最值时一定要考虑）. 只有符合条件时，才能用公式，否则就会得到错误的结论. 这三点中最关键的是通过拆添项或配凑因式进行恒等变形得到定值. 为了得到定值在恒等变形时一定要分成相等的因式，这样才能保证三项相等时方程组有解，从而等号成立的条件满足. 如例1（4）中的.2x x x ⋅分成同理，在练习1（2）中x 要分成22x x +. 练习1.证明下列不等式： (1)已知.2),(2)(≥--+--+>++y x b a b a y x bx ay y x b a 求证：）（（2）当x >0时，证明：.342≥+x x参考答案：(1) 证明略. (提示：由已知条件变形得.,0))((式的条件成立这样才能保证均值不等>--b a y x ) （2））时，取等号，（即当且仅当∞+∈==≥≥++=+02,42.31342242322x xx x x x x x . 所以原不等式得证.二、利用数学归纳法证明（不）等式的题型数学归纳法是用来证明与自然数集有关的命题的一种方法. 数学归纳法的一般步骤：（1）证明当n 取对应命题适用的第一个正整数n 0时，命题成立；（2）假设n=k(),0*n k N k ≥∈时，命题成立，经过一系列推理得出当n=k+1时命题也成立（3）由以上两步知所证明命题对所有都成立0n n ≥.数学归纳法的第一步是命题的基础，第二步是递推的依据，第三步是总结说明. 这三步都是必不可少的，但是要知道第二步是证明的关键.例2.证明下列各题：(1)用数学归纳法证明：1+4+7+…+(3n-2)=)13(21-n n ; (2)当整数整除能被时，证明多项式1)1(02122++++≥++x x x x n n n .解析：这是两题常见的利用数学归纳法的题型：代数恒等式和整除问题. 只要把握住数学归纳法的一般步骤基本上就没有问题了.（1）证明：①当n=1时，左边=1，右边=1 所以，当n=1时命题成立.②假设当n=k 时命题成立，即1+4+7+…+(3k-2)=)13(21-k k 则当n=k+1时，1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]= )13(21-k k +(3k+1) =]1)1(3)[1(21)23)(1(21)253(212-++=++=++k k k k k k 即当n=k+1时，命题成立.③综合①②知，,1*时命题均成立N n n ∈≥；（2）证明：①当n=0时，.11)1(22122整除能被++++=++++x x x x x x n n .②假设n=k 时命题成立，即整除，能被多项式1)1(2122++++++x x x x k k 那么当n=k+1时，222212221)1(22)1()1()1()1()1()1(+++⋅-+⋅++⋅=++++++++++x x x x x x x x x x k k k k k k)1(])1([)1(221222++-+++=+++x x x x x x k k k.111,)1(22122时命题成立整除都能被+=∴++++++++k n x x x x x x k k③综合①②知，n .0时命题成立，Z n ∈≥.总结：在用数学归纳法证明命题时，首先要明确证明的一般步骤；其次在证明命题对n=k+1也成立时，一定要用假设的条件. 如果没有用到假设的条件，即使证明出了命题成立，这种方法也不能称为数学归纳法. 所以，在证明命题对n=k+1也成立时，要想办法把要证的式子化成可以用假设条件的形式.练习2. 1. 已知等差数列}{；项和求前n n S n d a a )1(.5,1,1==(2)用数学归纳法证明数列}{n S 前n 项和T n =；)25)(1(61-+n n n 2. 证明).(3221*N n n n n ∈>+⋅⋅⋅++参考答案：1.解：(1)直接用等差数列的前n 项和公式易得：.23252n n S n -= （2）证明：①当n=1时，T 1=S 1=a 1=1,右边=右边，等式成立左边==-⨯+⨯⨯,1)215)(11(161. ②假设当n=k 时等式成立，即)25)(1(61-+=k k k T k . ..1]2)1(5[]1)1)[(1(61)35)(2)(1(61)6135)(1(61]9)1(1525)[1(61)1(23)1(25)25)(1(61122211时，等式也成立即当时，当+=-+⋅+++=+++=++=-++-+=+-++-+=+=+=++k n k k k k k k k k k k k k k k k k k k S T T k n k k k ③综合①②知，对于任意n .*时等式成立N ∈；2.证明：.,3211)1(不等式成立时，当>=n . .,213.1.1)1(321)12(213311)1(32]1)12(2[311)1(321321211,3221)1()2(*不等式成立）知，对一切的）（）根据（（时不等式成立即当时，不等式左边为当时不等式成立，即假设N n k n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k n k k k k k n ∈+=++>+-+-⋅+++=+--+++=++>+++⋅⋅⋅+++=>+⋅⋅⋅++>= 三、利用分析法证明不等式的题型当我们面对一个不等式的证明没有思路时，可以尝试着从目标不等式倒着分析，在这个过程中往往会发现解题思路，从而达到证明原不等式的目的，这就是分析法. 分析法是从需要证明的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备. 这种方法是解决问题尤其是较难问题的一个基本的、重要的方法.例3.证明下列不等式：（1）已知a ,b,c ;222ca bc ab c b a R ++≥++∈，求证：（2）已知a ,b b a ab b a R +>+++∈1,22求证：; )4(4321)3(≥---<---x x x x x 求证：.证明：（1）.222ca bc ab c b a ++≥++要证：即证）（）（ca bc ab c b a ++≥++22222即0)()()()2()2()2(222222222≥-+-+-=+-++-++-c a c b b a c ac a c bc b b ab a （当a =b=c 时，取等号）上面不等式显然成立，并且以上各步均可逆，所以原不等式得证；(2) b a ab b a +>+++122要证：）（）（即证b a ab b a +>+++21222 即0)()1()1(212122222222>++-+-=++++-++-b a b a b ab a b b a a（因为a -1,b-1,a +b 三式不能同时取零，所以原式只能大于零）上面不等式显然成立. 所以原不等式得证;...64,6545,])2)(3([])4)(1([.)2)(3()4)(1(,)23()41(),4(2341)4(4321)3(222222故原不等式得证这显然成立即即证只需证化简得即证只需证，欲证<+-<+---<----<---+-<-+-≥-+-<-+-≥---<---x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x总结：这种题型的基本思路是严格按照分析法的定义来思考，并掌握利用分析法来做的一些常见常考题型.练习3：（1）)(,222222444c b a abc a c c b b a c b a R c b a ++≥++≥++∈证明不等式：、、（2）.c b a cab b ca a bc c b a ++≥++都是正数，求证：、、设 .15175)3(+>+求证：参考答案：略.提示：（1）（2）两题都可以用例3的方法来做，而且第（2）题还可以用综合法来证明.(3)两次平方化简得一个显然成立的式子：4>从而知原不等式得证.15.四、利用综合法证明不等式的题型综合法是利用已知结果、已知结论和性质推导出所要证明的不等式成立的方法. 其特点为“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.例4.证明下列不等式：.)())((,)2(22233b a b a b a b a +>++求证：是不相等的两个正数，已知证明： ;.8))()((,,.8))()((.2,2,2,0,0,0)1(所以原不等式得证不全等，又因为abc a c c b b a c b a abc a c c b b a ac a c bc c b ab b a c b a >+++∴≥+++∴≥+≥+≥+∴>>>.)())((.2)(,2)(,2,0,0)2(2223322444224222222b a b a b a b a b a b b a ab a b a b a ab ab b a b a b a +>++++>+++∴>+∴>+∴≠>>即且总结：由上面两题的证明我们知道，用综合法证明不等式的核心是利用已有知识（已知或已经成立的不等式或定理），进行符合逻辑的思考和推理. 值得注意的是一个题目可能有;lg lg lg 2lg 2lg 2lg ,,)1(c b a c a c b b a c b a ++>+++++证：是不全相等的正数，求已知多种解法. 例如上面的例4（2）题，用比差法和分析法都可以做出来，例3中的（1）（2）和练习3中的（1）（2）也都可以用综合法来做.练习4：证：是不全相等的正数，求已知c b a ,,abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++.参考答案：.2)(,2)(.2)(,2,022222222abc b a c abc a c b abc c b a bc c b a ≥+≥+≥+∴≥+>同理证明：.2,2,2,,222222原不等式”号，从而三式相加得三式不能全取“以为不全相等的正数，所因为=≥+≥+≥+abb a ac a c bc c b c b a五、利用比差法证明（不）等式或比较式子大小的题型利用比差法证明不等式是高中证明题的一种基本的、重要的方法.我们一定要重点对待这种题型，熟练掌握用这种方法证明的基本原则、基本步骤和需要重点把握的关键之处. 比差法的基本原则：0)3(0)2(0)1(<-⇔<=-⇔=>-⇔>b a b a b a b a b a b a 利用比差法证明时，关键要牢记作差后化简的三个目标：（1）常数（2）完全平方式（3）n 个因式乘积或相除的形式.例5.比较下列各式的大小：；与；）与（；与；与xx x x x x x x x x x x -+++-+++----32)4(5132)3(1)4(12)2()4)(1()3)(2()1(22324 （5）已知101<<x ,比较的大小；x x x lg lg ,lg ,lg 22（6）设323log ,log log a b c π=== ）A . a b c >>B . a c b >>C . b a c >>D . b c a >>解析：这些式子都是多项式、分式、对数的形式，对于这种形式的比较大小或不等式的证明常用比差法、中间变量法以及函数的单调性来做. ;31.1,3.1,3)1)(3(32]5)1[()32()3(;1)4(120)1(2)12(2]1)4([)12()2();4)(1()3)(2(02)45(65)4)(1()3)(2()1(2223242232422时，前式小于后式当时，前式大于后式或当时，两式相等或当<<--<>-==∴+-=--=++-+-+≥++∴≥+=++=-+-++-->--∴>=+--+-=-----x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ；时，前式小于后式或当时，前式大于后式或当时，两式相等或当）（32,1.3,21.2,13)2)(1(3233242<<<><<==∴---=-+-=--x x x x x x x x x x x x x x;lg lg lg lg 0)lg 2(lg lg lg .001lg lg lg 1lg 010152222x x x x x x x x x x >>>-=-=<⇒<<∴<<所以而且，并且其他两个大于）（(6)22log log log b c <<>2233log log 2log 3log a b a b c π=<∴>∴>>. 故选A .总结：(1) 用比差法比较两个式子的大小或证明不等式的基本步骤：（1）作差；（2）化简；（3）得结论.其中第二步是证明的关键，要明确化简的目标基本上有三个：（1）常数；（2）完全平方式；（3）n 个因式乘积或相除的形式.(2) 当化简后的式子为n 个因式乘积或相除的形式时，这时候常需要用解一元二次不等式或高次不等式的方法进行分类讨论.(3) 要分清函数的单调性，中间变量常选取0和1.练习5.比较下列各式的大小关系:(1)比较的大小；与)52)(1()4)(12(---+a a a a；的大小与，比较已知呢？的大小，如果没有与比较已知a aR a x x x x x -+∈≠+++≠111)3(01)1(,0)2(2422 (4)设2lg ,(lg ),a e b e c ===( )A . a b c >>B . a c b >>C . c a b >>D . c b a >>(5) 若8.0log ,6log ,log 273===c b a π,则( )A . a >b >cB . >>a b cC . c >>a bD . b>c >a参考答案：(1)；)52)(1()4)(12(--<-+a a a a(2) 当时，0≠x 1)1(2422++>+x x x ,当1)1(02422++≥+≠x x x x 条件限制时，没有；(3) 当a =0时，a a -=+111；当a >0时，a a->+111； a a a ->+<<-11101时，当；a aa -<+-<1111时，当. （4） B ；（5） A.六、比较某几个函数、向量是否相同的题型这种题型在高考中时常考到，一般是以小题的形式考查，只要把握住解决这类题的基本方法、原则，基本上不会失分. 比较两个函数是否相同，就是看两个函数的定义域、对应关系、值域（可省略此步骤. 因为另两个一样时，值域一定相同）是否相同. 但是如果三者中有一个不一样，则这两个函数就不是相同的函数.例6.判断下列各组函数是否为同一函数：（1）y =1, ；；；233,)3(,)2(x y x y x y x y x x y =====⎩⎨⎧==<-≥==.ln ,ln 2)5(0,0,|,|)4(2x y x y x x x x y x y ；解析：(1)(2)两组中的定义域不一样，所以这两组不为同一函数.（3）中的值域不同，所以也不为同一函数. 只有（2）（4）两组中的定义域、值域、对应关系都一样，它们是同一函数.总结：比较两个函数是否相同，就是看两个函数的定义域、对应关系、值域（可省略此步骤. 因为另两个一样时，值域一定相同）是否相同.但是如果三者中有一个不一样，则这两个函数就不是相同的函数.练习6.判断下列各组函数是否为同一函数： ).1,0(log ,)3(;1,1)2(;1,11)1(22≠>==-=-=+=--=a a a y x y x y x y x y x x y x a 且参考答案：(1)定义域不同；（2）定义域，值域，对应关系都不同；（3）相同.例7.求下列各式的值：（1）若向量=(x -2,3)与向量=(1, y +2)相等，求x ,y 的值；(2) 已知点A （-1，-5）和向量a =(2,3),若AB =3a ，则点B 坐标为 . 解析：例7主要考查两个向量相等的定义，严格按照定义来做，基本不会出错.(1)由两个向量相等的定义知：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=+=-133212y x y x ； 4,5)9,6(3)5,1(),,()2(==⇒==++=y x a y x AB y x B 则向量的坐标为设点. 所以点B 的坐标为（5,4）.总结：如果两个向量相等，则这两个向量的横坐标、纵坐标分别对应相等. 这样就可以由向量相等这一个条件列出两个方程，从而最多可以求出两个未知数的值.练习7. 求下列各式的值：(1) 已知向量==--+x B A x x x 则点相等，其中点与),2,3(),2,1()43,3(2 ；的值试求实数且有已知向量q p q p ,,),2,3(),1,1(),2,1()2(+=-=-=-=.参考答案：（1）4,1)2(1==-=q p x ；.本专题典型的证明（不）等式及比较类高考真题汇总较容易的基础题：1．已知a ,b,c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是（）A. ab ac >B. c b a ()-<0C. cb ab 22<D. ac a c ()->02. 如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（）A. 11a b<22a b < D. ||||a b > 3．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（）A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b<a <cD ． b <c <a 4．下列四个数中最大的是（）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．D ．ln 2 5. 的坐标为为坐标原点，则向量）的坐标为点）（已知向量O B y x ,1,2(,,-= .中等难度的提高题：1．若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin5c =，则（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 2. 若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则（） A. a <b<c B. c<b<a C. c<a <b D. b<a <c3. 已知四组函数：.12)(,12)()4();(12)(,12)()3()()(,)()2(;)()(,)()1(2212122--=--=∈+=-=∈====++t t t g x x x f Z n n n g n n f N n x x g x x f x x g x x f n n其中表示同一函数的组别有（）A. 没有B. 仅有（2）C. 仅有（2）（4）D. 有（2）（3）（4）4.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(y x ,)满足满足的关系式为则且其中y x R ,,1,,,=+∈+=βαβαβα .较难的综合题：1. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程 20n n x a x a --= 有一根为1,1,2,3,...n S n -= （I ）求12,;a a （II ）求{}n a 的通项公式.2. 已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．本专题典型的（不）等式证明及比较类高考真题参考答案及部分解析较容易的基础题的参考答案：1. A2. A3. C4. D5. (-2-x ,1-y ).第1题解析：由条件知a >0,c<0,则知选项A 正确. 选项B 中，因为b -a <0,c<0,所以c(b -a )>0.选项C 中，当b=0时不成立. 选项D 易知错误.第3题解析：b a x b a x e x >∴>-=-<<-∈-0ln .0ln 1)1,(1利用比差法知知由.选项正确C ac x x a c ⇒>∴>-=-0)1(ln ln 2 .第4题解析：D C B <∴<<由单调性知选项小的一个为负数，是这四个中最选项.,12ln 0 . 中的值最大所以选项而且D ,0)2ln 1(2ln )2(ln 2ln 2>-=-.中等难度题的参考答案：1. A2. C3. C4. x +2y =5第1题解析：A c b a 选又，易知本题用中间变量法较好∴<∴<<<<>0152sin 0,10,1π.第2题解析：利用函数单调性知，只要比较：的大小即可，，513121532.第3题解析：（1）中的定义域不同；（3）中的对应法则不同；（4）中的自变量虽然用不同的字母表示，但两函数的定义域和对应法则都相同，所以表示同一函数；（2）易知定义域、...2555,322)2(.93)3(,82)2210515102126313621正确选项）而（而（C a c b a ∴<∴====<∴====值域、对应法则都相同. 所以选C .第4题解析：利用两个向量相等的定义列出方程组，易得答案再根据条件，消去βα,.较难的综合题的参考答案：1. )1(1)2(61,21)1(21+===n n a a a n ； 2.（Ⅰ）1)1nn a ⎤=+⎦；（Ⅱ）见解析. 第1题解析：（1）当n=1时，.21,11,0111112=-=-=--a a S a x a x 代入得有一根为.61,21102222222=-=-=--=a a S a x a x n 代入得，有一根为时，同理，当（2）由题设知.012,0)1()1(22=-+-=----n n n n n n n n S a S S a S a S 即当(*)012211=+--=≥--n n n n n n S S S S S a n 代入上式得时，..,3,2,1,1.43*.326121,21)1(321211这个结论下面用数学归纳法证明由此猜想）知由（知由⋅⋅⋅=+===+=+===n n nS S a a S a S n①当n=1时已知结论成立. ②假设n=k 时结论成立，即,21*1,11kk k S S k n k k S -=+=+=+）得时，由（当 .1.211时结论也成立故即+=++=+k n k k S k ③由①②知.1都成立对所有正整数n n nS n +=于是当.)1(11121+=--+=-=≥-n n n n n n S S a n n n n 时， }{).,3,2,1()1(1,2112111⋅⋅⋅=+=⨯===n n n a a a n n n 的通项公式为所以时，又因为第2题解析：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(22n a =-即11)(n n a a +=．所以，数列{n a是首项为21的等比数列，所以1)n n a =，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =时，因2，112b a ==，11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤，也即430k k b a -< 当1n k =+时，13423k k k b b b ++=-+(3)(2)23k k b b -+-=+(3)(2)023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -≤，123n =，，，…。

例谈均值不等式的运用条件和技巧

例谈均值不等式的运用条件和技巧运用均值不等式“121212,,,,nn n n a a a a a a R a a a n++++∈≥若则当且仅当n a a a === 21(2)n n N ≥∈且时等号成立”求最值是中学数学求最值的基本方法之一，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值.且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容，因此必须熟练掌握他的运用条件和运用技巧.一、重视运用过程中的三个条件：“一正、二定、三相等”，三者缺一不可。

（1）注意“正数”例1、求函数1y x x=+的值域 .误解：12x x +≥=（当且仅当1x =时取等号），所以值域为[)2,+∞. 这里错误在于使用均值定理ab b a 2≥+时忽略了条件：+∈R b a ,正确解法：1()0,2(1)a x x x x >+≥==当时仅当时取等号；11()0,0()()2(1)2b x x x x x x x<->-+-≥==-∴+≤-当时而仅当时取等号所以函数的值域是{}22y y y ≤-≥或. （2）注意“相等”例2、设+∈R x ，求函数213x x y +=的最小值. 误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有3min 3322232312312,=∴=⋅⋅≥++=∈+y xx x x x x y R x . 这里的错误是没有考虑等号成立的条件.显然要212x x x ==，这样的x 不存在，故导致错误.此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数.正确解法：时取等号）23322123(182312323312323xx x x x x x x y ==⋅⋅≥++=. 所以2183,3183min 3==y x . 例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a +=+=+∈,6,3,,,,2222.误解：2222222219,()(1)2222a xb y ax by ax by a b x y ++≤≤∴+≤+++=所以by ax +的最大值为29. 这里（1）取等号的条件是仅当b y a x ==,；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值.正确解法：2222222222,()()()a x b y axby a b x y ax by +≥∴++≥+仅当ax by=时取等，所以222236ax by ax by a b x y =⎧⎪+≤=+=⎨⎪+=⎩时取等号.如取23)(,3,26max =+====by ax y x b a （3）注意“定值”例4、已知的最大值求y x R y x y x 2,,,12+∈=+.误解：12),(27)2()3(332=+=+=++≤y x y x y x y x x y x 又时取等当， 271,312≤==∴y x y x 时. 以上过程只能说明当271312===y x y x 时.但没有任何理由说明,2712≤y x 这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果.正确解法：272)322(41)34(41441,,332=+⨯=++≤⋅⋅⋅=∴∈+y x y x x y x x y x R y x ，所以仅当24212,,,213627x y x y x y x y =⎧==∴⎨+=⎩即时取等号最大值为.二、常用的处理方法和技巧（1）拆项：为了创设使用不等式的条件，有时需将一些项作适当的变形，拆为多项之积，从而达到凑积或和为定值的目的。

《均值不等式及其应用》等式与不等式精美版课件

例 1 (1)已知 x,y∈(0,+∞),且
1
1 1
2x+y=1,求 + 的最小值;

(2)已知 0<x<2,求函数 y=x(1-2x)的最大值.
1

1

分析:(1)利用“1”的代换,即将 + 等价转化为
2+ 2+
+
即可.

1
2
1 1
+

×1 或
(2)将“x(1-2x)”变形为“ ×2x(1-2x)”,利用 2x+(1-2x)=1 为定值即
中,a,b>0. 3+2 2.
∴ + 的最小值为
已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab(
)
反思感悟利用均值不等式比较大小的关注点利用均值不等式比较大小,其实质也是不等式的证明问题,但要注意对所求对象进行适用条件
1
的验证及等号成立条件的探求.
(2)∵0<x< ,∴1-2x>0.
2
应用上述两个结论时,要注意哪些事项?
课前篇
自主预习
一
二
三
知识点二、均值不等式
1.填空
+
(1)给定两个正实数 a,b,数称为 a,b 的算术平均值,数称为
2
a,b 的几何平均值.
(2)均值不等式:如果
+
a,b 都是正数,那么 2
≥ ,当且仅当 a=b
时,等号成立.均值不等式也称为基本不等式,其实质是:两个正实数
的算术平均值不小于它们的几何平均值.
知识点一、重要不等式
1.填空:

均值不等式证明的推导方法

均值不等式证明的推导方法均值不等式证明的推导方法均值不等式是数学的公式，这类的公式是怎么证明的呢?证明的过程是怎样的呢?下面就是店铺给大家整理的均值不等式证明内容，希望大家喜欢。

均值不等式证明方法一已知x,y为正实数，且x+y=1 求证xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√(xy)得xy≤1/4而xy+1/xy≥2当且仅当xy=1/xy时取等也就是xy=1时画出xy+1/xy图像得01时，单调增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充回答：我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的`均值不等式证明方法二证xy+1/xy≥17/4即证4(xy)²-17xy+4≥0即证(4xy-1)(xy-4)≥0即证xy≥4，xy≤1/4而x,y∈R+，x+y=1显然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得证∵同理0xy+1/xy-17/4=(4x²y²-4-17xy)/4xy=(1-4xy)(4-xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4均值不等式证明方法三已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】那么1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0三、1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

均值不等式运用的技巧

均值不等式运用的技巧均值不等式是解决最值问题的有效工具。

运用均值不等式求最值要同时满足条件：一正、二定、三相等，缺一不可。

多数求最值的问题具有隐蔽性，需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。

掌握一些常见的变形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值。

该题组的设计实际上是根据“一正、二定、三相等”三个条件设计的三个题组，整个设计由浅入深，教师在教学的过程中通过有效的提问，采用小组讨论、生生合作、师生探究的方式组织教学工作。

教师课堂驾驭能力强，关注每一位学生，多数学生均有不同程度的收获。

但教学过程中，教师只为了获得问题的结论，而不关注学生的思考过程。

如（3）的变式一有学生认为最小值为，不知道为什么要拼凑为1(1)1y x x =+++，其实这个问题解决了，（4）的变式二也就解决了。

又如（5）教师只关注了答案为18的同学的思维过程，有的学生错解为82()()16y x y x y =++≥=，所以最小值为16，学生认为等号成立的条件为xy =且82x y=，显然不能同时成立。

而这部分学生恰好没有受到老师的特别关注。

1. 凑系数例1 当4x 0<<时，求)x 28(x y -=的最大值。

利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，本题是积的形式，但其和不是定值。

注意到8)x 28(x 2=-+为定值，故需将“x ”项凑上一个系数即可。

解：由4x 0<<，知82x 28x 221)]x 28(x 2[21)x 28(x y ,0x 282=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=>-，当且仅当2x ,x 28x 2=-=时取等号。

其最大值是8。

点评：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

2. 凑项例2 求)1x (1x 1x y <-+=的最值。

分析：由题意知01x <-，首先要调整符号，而1x 1·x -不是定值，需对x 进行凑项才能得到定值，然后用均值不等式。

均值不等式课件

要点二
基于柯西-施瓦茨不等式的证明
考虑两个向量x和y，它们的柯西-施瓦茨不等式为 $\sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot \sum_{i=1}^n y_i^2 \geq (\sum_{i=1}^n x_iy_i)^2$。当且仅当存在一个实数k，使得x=ky时等号成立。将这个不等式两边同时除以4，得到 $\frac{(x+y)^2}{4} \geq (xy)^2$，即$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$。当且仅当x=y时等号成立。
基于均值不等式的经济模型研究
总结词
经济分析工具
VS
详细描述
在经济模型的研究中，均值不等式常常被用作一种重要的分析工具。例如，在研究经济增长、通货膨胀、就业等问题时，可以通过运用均值不等式来分析这些问题的内在机制和规律。
基于均值不等式的决策理论研
总结词
决策理论应用
详细描述
在决策理论中，均值不等式被广泛应用于风险型决策、不确定型决策以及多目标决策等问题中。通过运用均值不等式，可以获得各种决策问题的最优解，从而实现决策的科学化和最优化。
THANKS
感谢观看
应用
柯西不等式在数学多个领域有着广泛的应用，如几何、分析学等。
贝努利不等式
1 2
内容
贝努利不等式是概率论和统计学中的重要不等式，它表述了对于任意实数a,b,有$e^(a+b) \geq e^a+b^b$
公式
$e^(a+b) \geq e^a+b^b$
3
应用
贝努利不等式在概率论、统计学、经济学等领域有着广泛的应用。
在投资组合理论中，CAPM模型利用均值不等式来衡量投资者对某项资产的预期收益以及风险厌恶程度。根据均值不等式，资产的预期收益越高，其风险也越高，投资者需要根据自身风险承受能力来选择合适的投资策略。

均值不等式的使用条件

均值不等式的使用条件
建议大家记住以下两点应用：
(1)如果求的是“两个数和的最小值”，那么我们就去看这两个数的乘积是否为定值，如果是，那么就是当这两个数相等的时候，和有最小值;
(2)如果谋的就是“两个数积的最大值”，那么我们就回去看看这两个数的和与否为
定值，如果就是，那么就是当这两个数成正比的时候，弓果最大值。

例1：某村民要在屋顶建造一个长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为元，
池壁每平方米的造价为元，那么要造一个深为3米，容积为48立方米的无盖贮水池最低
造价是多少元?
a. b. c. d.
例2：妈妈为了给过生日的小东一个惊喜，在一底面半径为20厘米，高为60厘米的
圆锥形生日帽里藏了一个圆柱形礼物盒。

为了不让小东事先发现礼物盒，该礼物盒的侧面
积最大为多少平方厘米?
a.π
b.π
c.π
d.π。

均值不等式应用四注意

均值不等式应用四注意
杨成
【期刊名称】《中学生数理化（学研版）》
【年(卷),期】2011(000)007
【摘要】利用两个正数的算术平均数和几何平均数之间的关系，求某些非二次函数的最大、最小值问题时需注意以下四点：
【总页数】1页(P29-29)
【作者】杨成
【作者单位】江苏省宿迁市马陵中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.应用均值不等式应注意“一正二定三相等” [J], 张波;
2.应用均值不等式应注意的几个问题 [J], 张仁孝
3.均值不等式应用四注意 [J], 方晓玲;管运良
4.应用均值不等式应注意的两个条件 [J], 胡其明;
5.应用均值不等式应注意的两个条件 [J], 胡其明
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均值不等式及其应用等式与不等式课件新教材

可.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
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思维辨析
当堂检测
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解:(1) + = + (2x+y)=2+ + +1=3+ +
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≥3+2 ·=3+2 2,
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当且仅当 = ,即
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时等号成立.
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2x+y=1,求 + 的最小值;

(2)已知 0<x<2,求函数 y=x(1-2x)的最大值.
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分析:(1)利用“1”的代换,即将 + 等价转化为
2+ 2+
+
即可.

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+

×1 或
(2)将“x(1-2x)”变形为“ ×2x(1-2x)”,利用 2x+(1-2x)=1 为定值即
=
2+ 2
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∴ + 的最小值为 3+2 2.
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(2)∵0<x< ,∴1-2x>0.
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1 2+(1-2)
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∴y=x(1-2x)=2·2x(1-2x)当 2x=1-2x,即 x=4时,等号成立.
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应用均值不等式应注意的两个条件_胡其明

探讨：
均值不等式回顾
当ａｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ）时，
ｎ
１ａ１
＋
１ａ２
＋…＋
１ａｎ
≤ 姨ｎａ１·ａ２·…·ａｎ
姨 ≤
ａ１＋ａ２＋…＋ａｎｎ
≤
２２
２
ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ；
当且仅当ａ１＝ａ２＝…＝ａｎ时，等号成立。
常用的两个重要推论是：
收稿日期：2012—10—09 作者简介：胡其明（１９６０ — 分析学教学研究．
Ⅱ Ⅱ ｎ个
１＋
１ｎ
ｎ
Ⅱ Ⅱ Ⅱ ⅡⅡ Ⅱ Ⅱ Ⅱ ｘｎ＝
n→∞
１＋
１ｎ
＝
１＋
１ｎ
·
１＋
１ｎ
…
１＋
１ｎ
·１
ｎ＋１
Ⅱ Ⅱ Ⅱ ⅡⅡ Ⅱ Ⅱ Ⅱ ＜
１＋
１ｎ
＋｛１＋ｎ１＋…＋１＋
１ｎ
＋１
ｎ＋１
ｎ＋１
ｎ＋１
Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ ＝
（ｎ＋１）＋１ｎ＋１
＝
１＋
１ｎ＋１
＝ｘｎ＋１，
所以数列 Ⅱｘｎ Ⅱ严格单调增加。
ｙ＝２ｘ＋
８ｘ２
没
有最值，该题解法错误。
３
因为当时ｘ＜０时，ｙ′＝２－
１６
３
＝２ｘ
－１６
３
＞０，
ｘ
ｘ
函数ｙ在区间（－ ∞，０）内严格单调增加，且ｌｉｍ
x→- ∞
≥ ≥ ≥ ≥ ２ｘ＋
８
２
＝－ ∞，ｌｉｍ
２ｘ＋
８
２
＝＋∞，所以该函数没有
ｘ

应用均值不等式时需注意的几个问题

均值不等式是不等式的重要内容之一，常常用来求函数的最值。

在应用其求最值的时候必须注意成立的条件，否则就会走入种种误区从而导致解题错误。

关键词：均值不等式；注意；问题不等式是历年高考中必不可少的内容,而均值不等式是不等式中的重要内容之一。

均值不等式常常用来求函数的最值。

在应用均值不等式时，需注意同时满足以下三个条件：（1）各项均为正数；（2）和或积为定值；（3）具有等号成立的条件；（即一正二定三等）。

忽视以上条件必然导致解题的错误。

现举例加以说明：一、忽视了均值不等式成立的前提条件，导致解题错误例1 求函数y=的最值[错解] 当x=0时，y=0当x≠0时，y=≤=(即当x=时) y =,y没有最小值[分析] x≠0时，x可能大于零，也可能小于零，则x,可能同正，也可能同负，而此解法只考虑了x大于零的情况，即忽视了均值不等式成立的前提条件——各项均为正数，从而导致解题错误。

[正解] 当x=0时，y=0当x≠0时，===当且仅当=即x=2时等号成立y =- y=二、忽视了均值不等式定值的选取，造成解题用均值不等式求函数的最值时要注意构造出定值关系，首先应分清楚是求和式的最值还是求积式的最值，然后构造出相应积（和）的定值。

若未构造出定值来，则容易造成解题的错误。

同时还应记住，若和为定值，则积有最大值，若积为定值，则和有最小值。

例2 求函数y=x+(x大于零)的最小值[错解] ∵x+2=2当且仅当x=即当x=2时上式中等号成立∴ x+2=4∴当x=2时，y=4[分析] x=不是定值，所以不能直接应用均值不等式。

[正解] 为了利用均值不等式，就要出现定植，所以要先进行适当的“凑，配”：y=x+=++3=3当且仅当=即当x=2时，y=3三、忽视了等号成立的条件，导致解题错误例3 求函数y=的最小值[错解] y==++ 2y 2故此函数的最小值为2[分析] +2中的等号要成立，必须满足=即x+4=1,即x= — 3，没有实数解，故不能取得最小值2。

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均值不等式的证明方法及应用摘要均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一。

应用均值不等式，可以使一些较难的问题得到简化处理。

本文首先系统全面地总结了均值不等式的十种证明方法,其中包括柯西法、数学归纳法、詹森不等式法、不等式法、几何法、排序法、均值变量替换法、构造概率模型法、逐次调整法、泰勒公式法；其次, 结合相关例题给出均值不等式在证明不等式、比较大小、求最值、证明极限的存在性、判断级数敛散性、证明积分不等式方面的应用。

关键词:均值不等式；数学归纳法；最值；极限；积分不等式页20共页1第PROOFS AND APPLICATIONS ON A VERAGE VALUE INEQUALIT YABSTRACTAverage value inequality occupies a core position in inequality theory and is one of themake inequality can modern mathematics. Using average inequalities most widely used insome difficult problems simple. In this paper, ten proof methods of average value inequalityinduction, mathematical method, summarized, including Cauchy are first systematicallyJensen inequality, inequality method, geometry method, sorting method, variable substitutionadjustment successive model method, constructing method of average value, probabilitymethod, Taylor formula method, respectively. Secondly, we give applications of average valueinequality combining the corresponding examples on comparing the size, solving maximumand minimum, proving the existence of the limit, judging convergence of series and provingintegral inequality.Key words average value inequality; mathematical induction; maximum and minimum;:limit; integral inequality页20共页2第目录前言--------------------------------------------------------------------- 41 均值不等式的证明方法--------------------------------------------------- 51.1 柯西法------------------------------------------------------------ 51.2 数学归纳法-------------------------------------------------------- 61.3 詹森不等式法------------------------------------------------------ 71.4 不等式法---------------------------------------------------------- 71.5 几何法------------------------------------------------------------ 81.6 排序法------------------------------------------------------------ 91.7 均值变量替换法---------------------------------------------------- 91.8 构造概率模型法---------------------------------------------------- 91.9 逐次调整法------------------------------------------------------- 101.10 泰勒公式法------------------------------------------------------ 102 均值不等式的应用------------------------------------------------------ 122.1 均值不等式在证明不等式中的应用----------------------------------- 122.2均值不等式在比较大小问题中的应用--------------------------------- 132.3 均值不等式在求最值问题中的应用----------------------------------- 132.3.1 均值不等式求最值时常见错误 --------------------------------- 14 2.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策 --------------------------- 16 2.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用----------------------------- 172.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用------------------------------- 192.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用------------------------------- 193 结论------------------------------------------------------------------ 21参考文献:--------------------------------------------------------------- 22 致谢-------------------------------------------------------------------- 23页20共页3第前言不等式在数学的各个领域和科学技术中都是不可缺少的基本工具, 而均值不等式是重中之重. 通过学习均值不等式，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，还可以培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯. 因此，研究均值不等式的证明方法及应用，是一个既有理论意义又有广泛现实意义的问题.均值不等式的证明及运用均值不等式来解决数学中的某些问题，在数学研究中历历可见. 如，比较大小、求函数的最值、证明不等式常利用均值不等式的方法进行解答.均值不等式还是高等数学中最基本的运算之一，作为最基本不等式，在解决高等数学问题中也发挥着重要的作用. 运用均值不等式可以使复杂的问题简单化，繁琐的问题清晰化.??1最先运用了均值不等式，证明了球和圆柱的相关问题.此后科著名数学家阿基米德学家们对均值不等式的证明方法进行了深入的研究，并在此基础上把均值不等式应用到了其他领域. 当前, 我国许多学者对均值不等式的证明方法及应用进行了大量的研究??8??142?.如，陈益琳在学生利用均值不等式解题时遇到的常见问题作了总结性的工作.??9冉凯对均值不等式在数学分析中的应用做了探讨. 均值不等式在解决许多问题中发挥着重要的作用.本文将对均值不等式的证明方法及应用进行归纳和总结.页20共页4第1 均值不等式的证明方法. ,我们给出均值不等式首先是个正数，则定理1 设a,...,,aan n12a??a?a??n12，1?1aaa??n n21n.上式当且仅当时等号成立a?aa??n12我们把以后简称均值不等式. 上述不等式我们称之为算术—几何平均不等式,a??a?a n12分别记做个数的算术平均数和几何平均数,和分别叫做这aaa?n n n12n??????)aa?AGAaa(G.式即为和，(1-1)nnnn.下面给出均值不等式的几种证明方法柯西法1.12. ,由于.,得有当时0?a0,a?a?2aa(a?a)??0a2n?21212211)aa??a)?(a?a?a?a?(a,当时4?n42241331aaa4aa?aa?2aa?4aa?2a.4433423112142)?aa?aaa?a)?(?(a?a?时,当8?n85413627.aaaa?8aaaa?a4aaaa?4aaa8448541123747825663n令次之后将会得到, 这样的步骤重复a?a??a??n1221?A?aa,a?a,a?;a???a?2nnnn?111?n2n有1nn A)?nnA?(2?1nA?aa?(aAa?a)aA??222nn1122n2即n n2?nna?a??a n12?a?aa.n n21n这个归纳法的证明是柯西首次提出的,我们将它称之为柯西法.页20共页5第1.2 数学归纳法证法一当时，不等式显然成立. 2n?假设当时,命题成立. kn?则当时,1k?n?a?a??a?a11?k2k.,a?aG?a?A1k?1K?1?2K?1k11k?因为具有全对称性，所以不妨设ai a?min{a|i?1,2,,k,k?1}a?max{a|i?1,2,,k,k?1}.,ii11k??????AA0a?a?aa?A?.于是以及显然 ,,1?11kK?1?K1k?K?11A(a?a?A)?aa. 1kKK?1?111?k?1所以(a?a??a?A)AA?kA(k?1)121?K1k?1K?1KK?1???A?1?K kkk)(a?a?Aa??a?2?11kKk?1.=)A?a??aa?(a k1K1k?112?k?k k?aa(a?a?AA)A,得即两边乘以1Kkkk??1112?1?KK?1?1k??GaAaa(aa)aaA(a??A)?.2K?k1k112kK?1k?11k?1?1K?A?G.从而,有11K??K??aGa)?A(. 所以，由数学归纳法，均值不等式对一切成立，即n nn 证法二当时，不等式显然成立；2?n假设当时成立.kn?k1?G?G?k?(k?1)a，于是则当有1n?k?k时，1??1kk?1k1k?111G?1)a?(k1k?1k?)??G(GaG(G?) kk22k1k?1kk?1k?k a?(k?1)Ga?(k?1)G11k??k11?1k?1k?)??)(A?(G .kk2k2k2k?G?(k?1)A?(k?1)GG?A.,所以所以1?k1?1k?k1?1?kk页20共页6第当且仅当且时等号成立. G1)(k?k?G?aa?G?1?k?1kkk?1k??．G a A(a)?由数学归纳法知,均值不等式对一切成立，即n nn1.3 詹森不等式法f(x)xII，对任意)若的凸函数为区间，上式引理1(Jensen不等?in???，则，且1?)n1,?0(i?2,,ii1?i nn????x)()f(?fx (1-3)iiii1i?i?1成立.下面利用詹森不等式证明均值不等式.a?0(i?1,2,n,)令由,于易令 ,,知在是凸函数.)(0,f(0)x)ln f(x)??x??(x?i1?,1有下式，则由引理?i na?a??a1ln(?n12.)a??ln?(ln a?ln a)?n21nn则?a?a?a11a ln(n21,)a ln(a(ln)?a?ln a?)?a?ln nn2121nnn因此1a??a?a a ln(n21)a?ln(a),nn21n即a?a??a n12,a?aa?n n21n aa?a??.当且仅当时等号成立n121.4 不等式法x?1?ex进行推导在均值不等式的证明中，可以运用一个特殊的不等式.xx e)?ef(x?f(x)应用迈克劳林展开式并取拉格朗日余项得:设，对1?xx2x1?xe?e?, 2页20共页7第x?.当因此, 时，等号成立,, 其中, .. x1e??00xx?00???1x?. 下面给出均值不等式的证明过程n?0?x.，使取一组数,.令A(1?x)a?xn1,2,,k?knkkk1?k x,可得全为零时,取等号)则由(e??(1x)x k kk111nnn??nx???k，AeAG?(a)??(1?x)A?nn??nknknn??1k?k?1k?1)G(aA(a)?.所以nn 1.5 几何法x ex G?y)e(G,可见这条切线,,作函数的图像它是凸曲线，并在点处作切线e?y n n G na ea i Gi .所因此,可以得以到见在函数的下面(图)，0?e?）n,i?1,2,3,（11?n G n)??aa?a(ea n12nA eaea Gnnn21?nA?G e)((e?()?)?,，即且从上述证明中可知，，于是n nn G GGG nnnn G??a?a?a.时，等号成立当且仅当nn121-1图页20共页8第排序法1.6aaaaaaaaa n12112?n1211??xx??x?x，取其中的一个,做序列: ,…,,n112n?n1n2?GGGG nnnnaxaaxx nn2211???1?b?xxb?xb?，则,…,,,…,,排列. :n11n1?2n GbbGbG n2n1nn111???0?0x?x??x?则由排序原理可知不妨设..n12xxx2n1xxxx111n321??????x???x??n?x , 21n xxbxbbb2n3n112aaa aa??a?n21n????n21,,即aa?a?n n12GGG n nnn)(a(a)?GA.所以nn 1.7 均值变量替换法. 本节运用数学归纳和变量替换相结合的方法证明均值不等式. 易证时，不等式显然成立2n?. 假设当时，不等式成立kn?1?k?x)1,?A(i?2,,nx?axx必有一个,不全为零设则当,则1?n?k0?设时，.1ik?iii i1i?x?x?0, ,另一个为负,不妨设 ,由于为正)?x?A(A?x)Aaa?(?x)(A?x1i2?k?11211k?1211kk?从而(A?x?x)?a??a?A k?131k?12?(A?x?x)aaa k1k?11k42?3k?1kk1?Gaa1?k21??aaa.kk14?3k AA1k?k?1?1k?1k,即 .所以GA?GA?1?1kk?1?1k?k??a)?G(Aa aa?a??0x?成立．,)时取等号故原不等式当且仅当易证,(时即n12inn1.8 构造概率模型法首先给出证明过程中要用到的一个引理.页20共页9第有则存在,变量,并且数学期望引理2 设是一个随机EXX??22?,.41)(?EXEX)EX?E(ln X ln1.其中,建立概率模型,设随机变量的概率分布为,n,i?1,2,X0?a?)?aP(X ii n,由引理2可知111nnn???aaaa,,ln??ln aa lnln n n12iii n nn1ii?1?i?1a??a?an12.成立即a?a?a n n12n1.9 逐次调整法}a?min{a}a?max{a,a,...,aa易见中必存在最值数，不妨设,. in221i1a?(a?a)a22121不变.,但是增大.于是,用,即取代AGaa,a]?a[nn122122n)?a)(a(a?a11?2121a????(a?a),i3n n22n1i?)aa)(a?(a?2121a?a?aaa? .nn3n1n222n因此，次(有限次对于各个).,这种代换至多进行1－n aa?221)?aa??AAA?G?aaa?(A.nnnn2nn3nnnn12G?Aa?a??a时,当且仅当,取等号.即n1nn21.10 泰勒公式法1x log?(x)fa?1,x?0)(0?x处展开，有，将在设，则0?)??f''(x)xf(a02ln ax''(xf)2'0)?x)?(x)x?f(x)(x?xxf()?f(.00002因此有?',n2,)b),(i?1,?x(a,a?a,)xx)(x?()f(fx)?(x?f,n1,取000i0i n1?i nnn111???'a)(i?1,2,,?(fa()?()a?f)(aan)f.从而iiiii nnn1i?11i?i?页20共页10第??????'a()a)a)?(?a?f(a)?nf((a)?fnf故,iiiiii nnn11i??1i??11ii?1?ii1nn111)??a?a(a??n12aaa nnnnnn111)loglog???log?(log)(f()a?af,即.因此有n n21iiaaaa nnn11i?i?1111)a?a?(a?)a(a???a nn12n12)a(a?a)(a?aa1)?log?log(0?a loglog?,即 ,亦即nn n12n12aaaa na?a??a n21.,故有)1,n2,,0,a(?i?aa?a?n in12n页20共页11第2 均值不等式的应用2.1 均值不等式在证明不等式中的应用一般不等式的证明,常常考虑比较法,综合法,分析法,这是高中比较常用的方法,但有些不等式运用上述方法不好入手,故考虑均值不等式或者均值不等式与综合法相结合,这样处理,常常使复杂问题简单化,从而达到证明的目的.下面举几个例子予以说明.111. 且.求证例1已知为互不相等的正数,?b?c??a?c,a,b1abc?abc1111/b?1/c1/a?1/c1/a?1/b111???b??c??????a.证明bcacab222abc.故原不等式得证22b?a?b?1?aba?.证明例22222ab?2b??ba2b2a1??a1?.,证明由均值不等式得,,????2222ba??ab??1ab?原不等式得，即有,以上三式相加得,. bab?a?a?b1??22.证1,两弦和的半径为均与直径例3设圆交,记与和的交o CD?45CDEFEFABAB 2点分别为和Q,求证 .1?PD?QF2PC?QE?2P1?2图证明如图,设为弦的中点,连接,,则△为等腰直角三角形,POMCOCDMOM?12且.MOMP?222222222CO2?MO?)MC?MC)?(MPMCPDPC??(?)?MCMP?2(?MP)2(页20共页12第211??.??2??22??122. 同理,??QEQF2由均值不等式得，2222QF?PCPD?QE?QFQE?PD??PC?222222)??PDQF)?((PCQE?211?122.??22.即，原不等式得证1?QE?2PD?QF2PC? 2.2均值不等式在比较大小问题中的应用准确巧妙地运用均值不等式是快速解决这比较大小问题是高中数学中常见的问题，.类问题的关键ba?1之间试判断若,，,,例4lg R)Q?(lg a?lg b?bp lg a??lg RP,Q,1a?b?22.的大小关系由均值不等式，得解1.Pb?)b?lg a?lg Q?(lg a?lg21a?b.Q??lg b)abR?lg?lg?(lg a22.即由于，所以不能取等号,Pa?bQ?R?ba?,2.3 均值不等式在求最值问题中的应用是重要知识点解决一些取值范围问题时运用非常广泛,均值不等式在求函数最值,达到解,,我们应因题而宜地进行变换,并注意等号成立的条件在实际应用问题中之一.熟练运用该,利用熟悉知识求解是常用的解题技巧,,题的目的变换题目所给函数的形式.,对于提高思维的灵活性和严密性大有益处技巧例5求下列函数的值域：页20共页13第112；(1) (2). y?y?3x?x?2xx21122?x3x? =6y?3?2,解 (1)因为. 所以,. 值域为)6,+?[22xx2211?xy??2x??2时，(2)当. 0?x xx111-2?x??)?y?x??2???(x值域为,故时当,.??）]?[2，（－?,－20x?xxx . 的最大值求函数例6若,)x3x(8?3f(x)?2?0?x)3xx?(8?3????xf，的最大值是.解因为, 所以,故4x(8?3x?3fx) ??20??x24.使r h 和底面半径的比为何值时,例7制作容积一定的有盖圆柱形罐头, 当圆柱高)用的材料最省? (不计加工损耗VVV2V322222??????, 解 ,设圆当且仅当rr2???2?rh22r?Vr??32?2?S rrrr233???即圆柱形的高与底面此时有,故即 , 时, 材料最省. h2rrV?2?r2:1?h:r.使用的材料最省时,半径之比为2:1均值不等式求最值时常见错误2.3.1;(3)定正;(2)运用均值不等式解题是一项重要内容,运用这种方法有三个条件:(1)或不等式之间进行缩小, .在此运用过程中,往往需要对相关对象进行适当地放大、相等.,而且错误不易察觉,在此过程中,学生常常因为忽视条件成立而导致错误传递等变形.,就这一问题列举几个例子进行说明因此1??. 求的值域例81y?x??x1?x我们常常写成在解题时,分析111??31????1??12x??yx?1?x，1?1x?x?1x1????y?3,与1x?忽视均值不等式中,虽然.故但的积是常数,不一定是正数1?x1?x.下面给出正确解法因此解法是错误的的各项为“正”致错, .页20共页14第111???11?3??1?2y?x??x?x?1,当且仅时解当,当1 ?xx?11x?1x?1,即时等号成立; ?1x?2?x x?1111???1??x?1?y??x?211?1?x??,,所以,当时1?y?1?x1?x1?x1?x????. ?????,?13,当且仅当时取等号,所以原函数的值域为0?x2?5x的最小值.例9求?y24x?分析在解题时,我们常常写成22?4?1?5x1x122?2??2xy??x4??4?，22224?4?44xxx?x?1 22??x4,即2.可是在当且仅当中,这是不可,所以的最小值是3x??y2?y24?x能的,所以等号不成立,这个问题忽视均值不等式中等号成立条件.故原式的最小值不是2.下面给出正确解法.11122?y?x4??y??ty?t在(),中,令, 则解在易证4??tx2t?tt24x?152,,即当且仅当,取时上递增,所以的最小值是,?2?y2x??4)??[2,0xt??222号.”“?例10若正数满足,求的最大值.xyy,x6y?x?22yx???即,仅当且常常写成,当且解分析在题时,我们y?x6?x?2y?xy?? 2??xy其实很有道理, 4.初看起来可得时取号, 将其代入上式,,的最大值为2??xy”?“在用均值不等式求最值时,在各项为正的前提下,应先考虑定值,再考虑等号是否成立.2y?x??xy这个问题忽视了均值不等4.的最大值不是所以不是定值中但在,,y?x?xy??2??.下面给出正确解式中积或和是定值的条件.页20共页15第2392y1x?1??取此时)当且仅当时(解因, y?2x?3,yx?”“????2y?xxy???22222??9??. , 所以号?xy max22.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策.运用均值不等式是求最值的一种常用方法, 但由于其约束条件苛刻,在使用时往往顾此失彼,从而导致均值不等式“失效”. 下面例说几种常用的处理策略. 4.,求的最大值例11已知?xy?lg 1?0 ?x lg x从而有,因为，所以，解00??lg xx lg? 1?0 ?x??4??，44????y??2?lg x??lg x??14y??4?x??lg. 即即，当且仅当时等号成立，故?x 4y??max lg x1004??4lg x为定值，本题满足但因为,，所以此时不能直接应用均0?lg x 10 ?x?lg x值不等式，需将负数化正后再使用均值不等式.1????x0的最大值.例12求)x(1 ? 2y?x??2??21x1?2211x???????解，??12x1?2x???2x??y?x??8222??11y?x?. 故当且仅当,即时等号成立.x2?1?2x max48本题不是定值,但可通过平衡系数来满足和为定值.)2x?x?(164?y?a.13已知求的最小值,例0b?a???bba?646464??3??ba?b?b??3?y?a?6412?a?b,，解当且仅当??????bb?a?bbbaa?by?12.时等号成立,即.故4? 8a?b min页20共页16第64?a.但可通过添项、减项来满足积为定值不是定值本题 ,??bba?4?.,求的最小值例14 已知?x?y sin?0 ?x x sin33141??. 解5????y?sin x?sin x???2sin x??1x sin x sinsin x sin x??31. .故且,即当且仅当时等号成立5y?3??x sin1x?sin min x sin x sin44故可通过拆项来满足等号., 本题虽有为定值但不可能成立?sinsin x?xxx sinsin.成立的条件25xx??45???xf______.则15 已知,有例?x4?2x255??????. BAC1. 最小值最小值最大值1 最大值)D(442??21?x?2151?4x?x1?????????x?2x????1f,,解当且仅当??2x????2xx?2x2?42?22x??? . 时等号成立.故选即)(D3?x便可创造出使用均值不等式但对函数式进行分离,本题看似无法使用均值不等式,.的条件 2.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用需证明数列单调极限概念是高等数学中的重要概念，在证明数列极限的存在性时,.下面举例说明而在此过程中便运用了均值不等式的相关内容及数列有界..1n.例16证明重要极限的存在性e)?lim(1?n??n1n.}单调递增先证数列证明 {)?(1n1??11?1?a?a?1?aa??,，则由均值不等式，令得1n?n21n11111?(1?)?[(1).1???(1))?1](1?.nn1nnn?1n?个n个n11n?1)?(1?,即1n?nn?1页20共页17第11n?1n.所以)?? (1?)(1nn?11n}单调递增{.所以数列)(1?n1n}有上界{.再证数列)(1?n11nk?1（{为正整数）}以下面的证明可以看到一个更强的命题：数列)(1?)??(1Mk nk为上界.11n?1k?1., 当先证不等式, 时)(1?)??(1k?n nkk设，.1a?a????a?a?a n2k?11?2k k?1k1knk1n?k?)?1?([(k?1)??(n?k)]?，由均值不等式1n?k?1n?1k?1n?1kn11n?1k1?n?11k?. ,因此，所以)?)?)?()(1(1(?k?1n?1nk11111nn?1nk?1.所以,,其次由有)?(1?)?)???1?1(1(1(1?)nnnnk11k?1n}，的上界{.均是数列当时，任取一个正整数)M?(1?)(1?kn?k kn111nnk?1仍然成立时,不等式又数列{.}单调递增，所以,当)??(1(1?)?)(1kn?nnk111nnk?1（为正整数）. 因此，对于数列 {恒有}, 任)(1?(1?))??(1）（n1,2?k nnk11k?1n}的上界均是数列意选定一个值，{.)?(1M?(1?)k kn11nn} 极限存在{.极限值单调有界,由单调有界定理,所以数列{数列} )?(1(1?)nn1n.，即为e)?lim(1?e n??x1n?1}极限存在且其极限是证明数列{.例17)?(1e n1n?1}{(1?)x?.证明令n n n??11)(n?n?1n1n11?n2?nn?21n?1n??([)(?)?]??().x2n?n?1n?nx1?21?nn????xx0?x有下界,则数列. 又,所以数列单调减少.nnn页20共页18第111??n1n?)1?(?)((l)?im?1?l1im. ??nnn??????nn11n, 所以因为和的极限都存在)?(1(1?)nn111??n1n?e?(1?(1?lim(1?)))??lim. ??nnn????n??n11?n 数列{.}极限存在且其极限是因此, )?(1e n n1?n lim.18 证明例??n:）有由均值不等式（1-1证明1????1?n?1n n n?n?n?n?11??n??个?2n2n?n?22, 1???nn2nn n?1lim?n?0?1.从而有 ,故n??n2.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用均值不等式的应用很广泛,在证明级数的敛散性时也有很重要的应用.????aaa.收敛，证明级数已知正项级数也收敛例191n?nn1n??n11a?0,由均值不等式，有因为,,已知级数证明)aaa?(?a)(n?1,2,n1n?1nn?n2????111????)aaa(a?a从而级数与都收敛，收敛,所以级数再由比也收敛，?aa收敛较判别法，知级数.1nnn?n?1n2221n??1n?1n?1n?1n?nn?12.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用积分不等式是一种特殊的不等式,而均值不等式又是证明不等式的重要方法.因此,在积分不等式的证明中我们自然会想到运用均值不等式来进行证明. ??ba,上是正值可积的, ,在20例证明函数且,则nk?1,2,（f）x b0?a?页20共页19第??nnnn????.1111bbbb??????dxf(x)dx)?f()ff(x)?dx(x)dxxf(x)?f(x??????n1n221??????aaaa a??a?an12,证明有利用.a?a?a n n21n)xf()(xf(x)f???dx)xf()dx)dx(ffx(x n12aaa??f(x))xf(x)f(1??n.n21?bbbn12??????bbb n???dx))f(xdxff((x)dxx????n21aaa111????????nnn??)xf()x)f(xf(??b???????n12于是dx?????????bbba???dxx)ff(x)dxf(x)dx(??????????????n21aaa???????dxx(x)dx)f(ff(x)dx1??n21aaa，1?????bbb????bbb n???dxxdx)f(f(x)dx)f(x????n21aaa1111bbbb????????nnnn????. 即dx(x)f)?f(x)ff(x)dx?(xf(x)dx)?dxxf(??????nn2112??????aaaa1?1dx)(x ln f?.在上非负连续，证明例21设dx)(?xfe）（fx[0,1]00证明由题设知在上可积，将等分，作积分和n（）fx[0,1][0,1]1nnn i1ii1??????)?lim(f)f(xdx. ，)f)?limlnln f(x)dx?lim(ln f(??nn nnn0??n0??n??n??1i?1i?1?i11nn11????n??)e?ef lim(?. 所以??1?i0??n??n??1?i a?a?...?a n12?a?aa得由均值不等??n i?1)f(limln n??i??n?dxx)ln f(n式,???.n n12n1nn i1i??n1dxx)f((f)?lim)f(lim???nnn0????nn??1?i1i?1?1dx)ln f(x?.故dx)e?(fx00页20共页20第3 结论均值不等式是数学中的重要内容，对培养数学思维发展有很大帮助.本文重在梳理均值不等式的相关证明方法和应用.如，运用均值不等式时，一定时刻谨记一正、二定、三相等原则，具体问题具体分析，有时可以通过转化达到运用均值不等式解题的目的.本文系统地归纳总结均值不等式的各种证明方法及其在具体解题分析和论证推理过程中的应用.通过本论文的撰写，更深刻地理解均值不等式在证明问题和解题中的重要作用.页20共页21第参考文献:[1]中译本（朱恩宽、李文铭等译）:《阿基米德全集》[M]. 西安：陕西科学技术出版社,1998.[2]陈侃.算术-几何平均值不等式的证明[J].巢湖学院学报,2008,6(3):129-130.[3]熊桂武 .概率方法在不等式证明中的应用[J].重庆师范大学学报,2003,12:89-91.[4]敦茂.算术平均值与几何平均值不等式的各种证法[J].云梦学刊,1980,1(3):65-80.[5]Norman schaumberger.A coordinate approach to the AM-GM inequality[J].Mathematics Magazine,1991,64:273.[6]刘鸿雁.由Jensen不等式导出某些重要不等式[J].成都大学学报,2003,22(3):32-35．[7]匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科学技术出版社,2004．[8]陈益琳.高中教学导练(高二)[M].北京:冶金工业出版社,2004.[9]冉凯.均值不等式在数学分析中的应用[J].青海师专学报,1997,4(2):35-38.[10]赵建勋.浅谈均值不等式的应用[J].高中数学教与学,2011,5(3):7-10.[11]蓝兴苹.均值不等式的推广与应用[J].云南民族大学学报,2006,15(4):22-24．[12]高飞、朱传桥《高中数学教与学》[M]. 济南：山东科学技术出版社,2007.[13]章国凤.均值不等式在高等数学中的应用[J].广西教育学院学报,2008,05(1):151-152.[14]陈复华.均值不等式在微积分中的应用及其它[J].湖北民族学院学报（自然科学版）,1994,2(3):88-89.页20共页22第致谢毕业论文暂告收尾，这也意味着我在鞍山师范学院四年的学习生活既将结束。

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８ｘ２
有最小值．
例２的解法也只有当ｘ＞０时才正确。
（３）该题可以用导数来求解，方法也很简单。
≥ ≥ 例３
求函数
ｙ＝
ｓｉｎ２
ｘ
＋
２ｓｉｎｘ
０＜ｘ≤
π ２
的
最小值。
姨错解因为
ｙ＝
ｓｉｎ２
ｘ
＋
２ｓｉｎｘ
≥２
ｓｉｎ２
ｘ
·ｓｉｎ２
ｘ
=2，
当且仅当
ｓｉｎ２
ｘ
＝
２ｓｉｎｘ
，即
ｓｉｎｘ＝２时，等号成
立．所以函数的最小值是２。
【探讨】该解法忽略了均值不等式等号成立的条
件：当
ｓｉｎｘ２
＝
２ｓｉｎｘ
，即
ｓｉｎｘ＝２
时才取得等号，而
事实上ｓｉｎｘ＝２是无实数解的。
正解因为
ｙ＝
ｓｉｎｘ２
＋
１２ｓｉｎｘ
＋
３２ｓｉｎｘ
≥ ≥ ０＜ｘ≤
π ２
，０＜ｓｉｎｘ≤１
姨ｙ１＝
ｓｉｎ２
＋
２
≥ ≥ ｂ＋
１ｂ
的最小值。
２
２
≥ ≥ ≥ ≥ 错解
ａ＋
１ａ
＋
ｂ＋
１ｂ
２
＝ａ
２
＋ｂ＋
１
２
＋
１
２
＋４≥
ａｂ
姨２ａｂ＋
２ａｂ
＋４≥４
ａｂ·ａ１ｂ＋４＝８，
２
２
≥ ≥ ≥ ≥ 所以
ａ＋
１ａ
＋
ｂ＋
１ｂ
的最小值是８。
２
【探讨】上面的解答中，两次用到了不等式ａ
２
＋ｂ
≥２ａｂ，第一次等号成立的条件是
Application of Mean Inequality Should Pay Attention to the Two Conditions
HU Qi- ming （ＸｉｎｇｙｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｆｏｒＮａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ，Ｘｉｎｇｙｉ，Ｇｕｉｚｈｏｕ５６２４００，Ｃｈｉｎａ） Abstract:Ａｖｅｒａｇｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｐａｒｔｏｆｔｈｅｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ｉｓｔｏｐｒｏｖｅｔｈａｔｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ａｎｄｔｈｅｖａｌｕｅｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｂａｓｉｓ，ａｌｓｏｆｏｒｈｉｇｈｅｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｐｒｏｏｆｏｆｓｏｍｅｆｏｒｍｕｌａｐｒｏｖｉｄｅｓａｓｉｍｐｌｅｍｅｔｈｏｄ．Ｂｕｔｉｎｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｍｅａｎｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍ，ｗｉｌｌｏｆｔｅｎａｐｐｅａｒｔｗｏａｎｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｉｓｎｏｔｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ，ａｋｉｎｄｏｆｃｉｒｃｕｍｓｔａｎｃｅｉｓｔｏａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｍｅａｎｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｓｔｒｅｎｇｔｈｅｎｔｈｅｐｒｅｍｉｓｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ａｎｏｔｈｅｒｋｉｎｄｏｆｃｉｒｃｕｍｓｔａｎｃｅｉｓｔｏｉｇｎｏｒｅｔｈｅｐｒｅｍｉｓｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｍｅａｎｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ． Keywords: Ｍｅａｎｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；Ｔｈｅｍｏｓｔｖａｌｕｅ；ｌｉｍｉｔ
均值不等式是高中数学的重要组成部分，是证明不等式、求函数最值时将几个正数的和与积相互转化的重要依据，也为证明高等数学某些公式提供了简洁方法。它不但可以直接解决和与积的不等问题，而且还可以结合不等式的性质、函数的单调性等解决其他形式的不等式问题．但在应用均值不等式解题时，常常会出现两种与数学特性不相符的情况，一种情况是为了应用均值不等式，加强前提条件，另一种情况是忽略均值不等式成立的前提条件。以下将通过几个例子进行
２
由此说明，要使ｃ－２（ａ＋ｂ）ｃ＋４ａｂ取得最大
值，在条件ａ＋ｂ－ｃ＝１中，当ａ＝ｂ时，可以推出条件
２ａ＞ｃ，２ｂ＞ｃ．在编写题目时，条件应越少越好。
当然，用配方法求最值，有很大的局限性，特
别是代数式的次数较高时，用配方法往往很难奏
效。
例如若ｋ ≠０，ｋａｉ＋ｂ＞０（ｉ＝１，２，… ，ｎ），且ｋ
（ａｂ）
－
２ａｂ
＋４＝（１－２ａｂ）
姨姨１＋
２
２
＋４
（ａｂ）
２
≥ ≥ 因为ａｂ≤
ａ＋ｂ２
＝
１４
，有
１
２
（ａｂ）
≥１６，当且
仅当
ａ＝ｂ＝
１２
时，等号成立。
从而１－２ａｂ≥１－
１２
＝
１２
且１＋
１
２
（ａｂ）
≥１＋１６＝１７。
２
２
≥ ≥ ≥ ≥ 所以
ａ＋
１ａ
＋
ｂ＋
１ｂ
≥
１２
·１７＋４＝
２０１２年１０月第５期
兴义民族师范学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＸｉｎｇｙｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｆｏｒＮａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ
Ｏｃｔ．２０１２Ｎｏ．５
应用均值不等式应注意的两个条件
胡其明
（兴义民族师范学院，贵州兴义５６２４００）
摘要：均值不等式是高中数学的重要组成部分，是证明不等式、求函数最值的重要依据，也为高等
２５２
，当且仅
当
ａ＝ｂ＝
１２
时，等号成立。
２
２
≥ ≥ ≥ ≥ 故
ａ＋
１ａ
＋
ｂ＋
１ｂ
的最小值是
２５２
。
四、应用均值不等式证明高等数学公式
姨≥ ≥姨ｎ
例５已知数列姨ｘｎ姨＝
１＋
１ｎ
，证明极限
ｌｉｍｘｎ存在。
·118·
2012 年
胡其明应用均值不等式应注意的两个条件
第5期
证明（１）因为
ａ＝ｂ＝
１２
，第
二次等号成立的条件是
ａｂ＝
１ａｂ
，而这两个条件是
不能同时成立的。因此，８不是所求的最小值。
２
２
≥ ≥ ≥ ≥ 正解
ａ＋
１ａ
＋
ｂ＋
１ｂ
２
＝ａ
２
＋ｂ＋
１
２
＋
１
２
＋４
ａｂ
姨≥ ≥ 姨２
＝（［ａ＋ｂ）２－２ａｂ］＋
１ａ
＋
１ｂ
－
２ａｂ
＋４
姨姨＝（１－２ａｂ）＋
１
２
例２求函数ｙ＝２ｘ＋ｘ８２（ｘ≠０）的最小值。
错解
因为
ｘ≠０，所以
ｙ＝２ｘ＋
８ｘ２
＝ｘ＋ｘ＋
８
２
≥３
ｘ
姨３ｘ·ｘ·８２＝６。ｘ
·117·
２０１２年
兴义民族师范学院学报
第５期
当且仅当
ｘ＝
８ｘ２
，即
ｘ＝２
时，等号成立．故
ｙ＝２ｘ＋
８ｘ２
的最小值是
６。
【探讨】（１）在条件
ｘ≠０
下，函数
·116·
），男，贵州晴隆人，兴义民族师范学院副教授，主要从事中学数学与
2012 年
胡其明应用均值不等式应注意的两个条件
第5期
（１）若ａｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ），且ａ１＋ａ２＋……＋ａｎ
＝Ｓ（Ｓ为常数），则当且仅当
ａ１
＝ａ２
＝…＝ａｎ
＝
Ｓｎ
时，（ａ
ｎ
１·ａ２·…·ａｎ）ｍａｘ＝
（ａ＋ｂ）ｃ＋４ａｂ＝（２ａ－ｃ）（２ｂ－ｃ）的最大值问题从两个
因式相乘推广到求ｎ个因式乘积的最大值问题。
若用配方法来解此题，则可能很难。
三、应用均值不等式求最值时忽略取到最值
的条件
均值不等式具有将“和式”转化为“积式”与将 “积式”转化为“和式”的功能，但应用的前提：“ 一
正”“二定”“三相等”。所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值；“三相等”是指等号成立。在同一问题中，连续用均值定理时要注意等号成立的条件。
Ｓｎ
。
（２）若ａｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ），且ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝Ｐ
（Ｐ为常数），
则当且仅当
ａ１
＝ａ２
＝…＝ａｎ
＝
ｎ
姨
Ｐ
时，（ａ１＋ａ２＋…
＋ａｎ）ｍｉｎ
＝ｎ
ｎ
姨
Ｐ
。
二、为了应用均值不等式而加强条件
２
例１已知２ａ＞ｃ，２ｂ＞ｃ，且ａ＋ｂ－ｃ＝１，求ｃ－２
（ａ＋ｂ）ｃ＋４ａｂ的最大值。
２
当且仅当ａ＝ｂ时，等号成立。所以ｃ－２（ａ＋ｂ）
ｃ＋４ａｂ的最大值是１。
２
上述两种方法，要让代数式ｃ－２（ａ＋ｂ）ｃ＋４ａｂ
取得最大值，当且仅当ａ＝ｂ时才成立。
而当ａ＝ｂ时，在条件ａ＋ｂ－ｃ＝１中，有
２ａ＝１＋ｃ，１＋ｃ＞ｃ，从而２ａ＞ｃ，２ｂ＞ｃ。
探讨：
均值不等式回顾
当ａｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ）时，
ｎ
１ａ１
＋