空间两直线的相关位置

X2
y2 − y1 Y1 Y2
z2 − z1 Z1 ≠ 0 ,
Z2
l2 l1
l1, l2 相交 ⇔ Δ = 0 且 v1, v2 不平行, ⇔ Δ = 0 ,且 X1 : Y1 : Z1 ≠ X 2 : Y2 : Z2 .
l1, l2 平行 ⇔ v1 v2 M1M 2 ⇔ X1 : Y1 : Z1 = X 2 : Y2 : Z2 ≠ ( x2 − x1 ) : ( y2 − y1 ) : ( z2 − z1 ) . l1, l2 重合 ⇔ v1 v2 M1M 2 ⇔ X1 : Y1 : Z1 = X 2 : Y2 : Z2 = ( x2 − x1 ) : ( y2 − y1 ) : ( z2 − z1 ) .
v2 = {X 2 ,Y2 , Z2} l2
∴l1, l2 共面 ⇔ v1, v2 , M1M 2 共面,
( ) ⇔ v1, v2, M1M 2 = 0 ,
M1
v1
x2 − x1 ⇔ Δ = X1
X2
y2 − y1 Y1 Y2
z2 − z1 Z1 = 0 ,
Z2
x2 − x1 所以 l1, l2 异面 ⇔ Δ = X1
①.异面:
x2 − x1 Δ = X1
X2
y2 − y1 Y1 Y2
z2 − z1 Z1 ≠ 0 .
Z2
②.相交: Δ = 0 ,且 X1 : Y1 : Z1 ≠ X 2 : Y2 : Z2 .
③.平行. X1 : Y1 : Z1 = X 2 : Y2 : Z2 ≠ ( x2 − x1 ) : ( y2 − y1 ) : ( z2 − z1 ) .
= ± v1 ⋅ v2 = ±
X1X 2 + Y1Y2 + Z1Z2
l2
v1
v1 v2
X1 + Y1 + Z1 X 2 + Y2 + Z2
推论： l1 ⊥ l2 ⇔ X1X 2 + Y1Y2 + Z1Z2
l1
v2
例
2．证明两直线 l1
:
x −1 −1
=
y 8
=
z−5 −3
,
l2
:
x−3 4
=
y − 21 = 5
解得 t1 = 2 ,
⎪⎩5 − 3t1 = −11−10t2
t2 = −1 ,
将 t1 = 2 代入 l1 的参数方程得 x = −1 , y = 16 , z = −1 ,求交点坐标为 (−1,16, −1) .
cos ∠(l1,l2 ) = ±
−4 + 40 + 30
=±
1+ 64 + 9 16 + 25 +100
为了求公垂线 l 的方程,将 l 看作两平面的交线,再过 l1,l 作平面 π3 ,则 π 2 ∩ π3 = l ,
设 l 的方向矢量 v = v1 × v2 = ( X ,Y , Z )
则 l 的方程为:
⎧ ⎪ ⎪
x − x1 X1
⎪⎪ X
⎨ ⎪
x
−
x2
⎪ ⎪
X2
⎪⎩ X
y − y1 Y1 Y
y − y2 Y2 Y
l1
:
⎧ ⎪ ⎨
x y
= =
x1 + X1t1 y1 + Y1t1
⎪⎩ z = z1 + Z1t1
l2
:
⎧x
⎪ ⎨
y
= =
x2 + X 2t2 y2 + Y2t2
⎪⎩ z = z2 + Z2t2
第二步:由
⎧ ⎪ ⎨
x1 + X1t1 y1 + Y1t1
= =
x2 y2
+ +
X 2t2 Y2t2
解出
t1, t2
,
⎪⎩ z1 + Z1t1 = z2 + Z2t2
第三步:将 t1 (或 t2 )代入 l1 (或 l2 )的参数方程求出交点坐标. (2).交角.
( ) ( ) 因为 ∠(l1,l2 ) = ∠ v1, v2 （或π − ∠ v1, v2 ）
( ) 所以 cos ∠(l1,l2 ) = ± cos v1, v2
§3.6 空间两直线的相关位置
空间两直线的位置关系有共面与异面,共面又分相交、平行、重合. 1. 空间两直线的相关位置
定理:
设空间两直线
l1
:
x
− x1 X1
=
y − y1 Y1
=
z − z1 Z1
,
l2
:
x
− X
x2
2
=
y − y2 Y2
=
z − z2 Z2
,
则判别 l1,l2 相关位置的充要要条件为:
z − z1 Z1 = 0 Z
z − z2 Z2 = 0 Z
l2 π3
l
π2
(2). 两异面直线间的距离
l1 π1
d=
H1H 2
=
射影 l
Байду номын сангаас
M1M
2
=
射影 v1×v2
M1M
2
( ) M1M 2 ⋅ v1 × v2
Δ
=
=
v1 × v2
Y1
Z1
2
+
Z1
X1 2 + X1
Y1 2
Y2 Z2 Z2 X 2 X 2 Y2
④.重合. X1 : Y1 : Z1 = X 2 : Y2 : Z2 = ( x2 − x1 ) : ( y2 − y1 ) : ( z2 − z1 ) .
( ) 证明: ∵ M1 x1, y1, z1 ∈ l1
v1 = {X1,Y1, Z1} l1
M2
v2
( ) M 2 x2 , y2, z2 ∈ l2
−3 = 0 , (−1) : 8 : (−3) ≠ 4 : 5 : (−10)
4 5 −10
所以 l1 与 l2 相交.
−1− 0 1−1 0 +1 ② 因为 Δ = 1 −1 0 = 3 ≠ 0
2 −1 2
所以 l1 与 l2 异面. 2. 两直线的交点、交角.
(1)交点.
第一步: 将 l1 与 l2 的方程分别写成参数式
z +11 相交，并求它们的 −10
交点和交角.
解: l1, l2 相交见例 1,
⎧
将
l1
,
l2
写成参数式的
l1
:
⎪ ⎨
x = 1− t1 y = 8t1
,
⎪⎩z = 5 − 3t1
⎧
l2
:
⎪ ⎨
x = 3 + 4t2 y = 21+ 5t2
,
⎪⎩z = −11−10t2
⎧
由
⎪ ⎨
1− t1 = 3 + 4t2 8t1 = 21+ 5t2
66 74 144
所以
∠(l1,l2 ) = arc cos
66 74 144
⎛⎜⎝π − arc cos
66 74 144
⎞ ⎟⎠
.
3. 两异面直线间的距离及公垂线的方程. 与两条异面直线都垂直相交的直线叫这两异面直线公垂线,两交点间的距离叫这两
异面直线间的距离.(公垂线的长) (1). 异面直线的公垂线方程 求公垂线立几中通常的方法为: ①过 l1 作平面 π1 l2 , ②过 l2 作平面π 2 ⊥ π1 ,π 2 ∩ π1 = a , a ∩ l1 = H1 , ③过 H1 在π 2 上作 l2 的垂线交于 H2 ,则 H1H2 为 l1, l2 的公垂线.( l )
例 1. 判别下列直线的相关位置:
①
l1
:
x −1 −1
=
y 8
=
z−5 −3
,
l2
:
x−3 4
=
y − 21 5
=
z +11 ; −10
⎧x=t
②
l1
:
⎪ ⎨
y
=
1
−
t
,
⎪⎩ z = −1
⎧x = −1+ 2t
l2
:
⎪ ⎨
y
=
1
−
t
.
⎪⎩ z = 2t
3 −1 21− 0 −11− 5
解: ① 因为 Δ = −1 8