宁夏银川市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理

2017/2018学年度(上)高二期末考试数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足i i z -=+1)1(（i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z = A ．i - B ．i 2- C ．i D ．i 22．演绎推理是A ．部分到整体，个别到一般的推理B ．特殊到特殊的推理C ．一般到一般的推理D ．一般到特殊的推理3．用数学归纳法证明：“1+a +a 2+…+a 2n+1=aa n --+1112(a ≠1)”，在验证n =1时，左端计算所得项为A ．1+aB ．1+a +a 2+a 3C ．1+a +a 2D ．1+a +a 2+a 3+a 4 4．双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是（0，－3），则k 的值是 A ．1B ．－1C ．315D ．－315 5．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是AD 的中点，则异面直线C 1E 与BC 所成的角的余弦值是 A ．510B ．1010C ．31D ．3226．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=7．曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 A ．2eB ．eC ．2D ．18．已知函数f (x )=x 2(ax +b )(a ,b ∈R )在x =2时有极值，其图象在点(1,f (1))处的切线与直线3x +y =0平行，则函数f (x )的单调减区间为A ．（－∞，0）B ．（0，2）C ．（2，+∞）D ．（－∞，+∞） 9．已知函数53)(23-+-=x ax x x f 在区间[1，2]上单调递增，则a 的取值范围是 A ．]5,(-∞B ．)5,(-∞C ．]437,(-∞ D ．]3,(-∞10．设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，A ．有极大值,无极小值B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值11．设双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点， 若),(R ∈+=μλμλ，163=λμ，则该双曲线的离心率为 A ．332 B ．553 C ．223 D ．8912．已知函数f (x )=1a x x ⎛⎫-⎪⎝⎭-2lnx (a ∈R )，g (x )=a x -，若至少存在一个x 0∈[1，e ]，使得f (x 0)>g (x 0)成立，则实数a 的取值范围为A ．[1，+∞) B．(1，+∞) C．[0，+∞) D．(0，+∞) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．观察下列不等式213122+< 231151233++<， 474131211222<+++……照此规律，第五个．．．不等式为 .14．已知抛物线)0(22>=p px y ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 . 15．若⎰+=12)(2)(dx x f x x f ，则⎰=1)(dx x f .16．已知椭圆12222=+by a x (0)a b >>的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆的上顶点，B是直线 A F 2与椭圆的另一个交点，且B AF AF F 1021,60∆=∠的面积为340，则a 的值是 .三、解答题：(本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本大题满分10分）已知动圆C 过点A (－2，0)，且与圆M ：(x －2)2+y 2=64相内切求动圆C 的圆心的轨迹方程.18．（本大题满分12分）已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值 (1)求a ，b 的值与函数f （x ）的单调区间(2)若对x 〔－1，2〕，不等式f （x ）c 2恒成立，求c 的取值范围19．（本大题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D角坐标系。

（1）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （2）求二面角1A A D B --的正弦值； （3）求点C 到平面1A BD 的距离．20．（本大题满分12分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE //AB ，△ACD 是正三角形，AD =DE =2AB ，且F 是CD 的中点。

（1）求证：AF //平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小.21．（本大题满分12分）设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e =22,点A 是椭圆上的一点,且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上一动点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求1143y x -的取值范围.22．（本小题满分12分）已知函数(1)()ln .1a x f x x x -=-+ （1）若函数()(0,)f x +∞在上为单调增函数，求a 的取值范围； （2）设,,,:.ln ln 2m n m nm n m n m n +-+∈≠<-R 且求证高二期末数学(理科)试卷参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,13. 6116151413121122222<+++++14. x= -1 15. 31- 16. 10 17.（本小题满分10分）定圆M 圆心M （2,0）,半径r=8,因为动圆C 与定圆M 内切,且动圆C 过定点A （-2,0）|MA|+|MB|=8．所以动圆心C 轨迹是以B 、A 为焦点,长轴长为8的椭圆．C=2,a=4,b 2=12,动圆心轨迹方程1121622=+y x18．（本小题满分12分）解：（1）f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，（x ）＝3x 2＋2ax ＋b 由（23－）＝124a b 093－＋＝，（1）＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝12－，b ＝－2（x ）＝3x 2－x －2＝（3x ＋2）（x －1），函数f （x ）的单调区间如下表：（－，－23）（1，＋）所以函数f （x ）的递增区间是（－，－3）与（1，＋）递减区间是（－3，1） （2）f （x ）＝x 3－12x 2－2x ＋c ，〔－1，2〕，当x ＝－23时，f （x ）＝2227＋c 为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值 要使f （x ）2（〔－1，2〕）恒成立，只需c 2f （2）＝2＋c解得－1或19（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点，1B O BD ∴⊥，1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥，1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF AD ⊥于F ， 连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．1AF A D ∴⊥，AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得AF =又112AG AB ==，sin AG AFG AF ∴===∠所以二面角1A A D B --的正弦值为410． （Ⅲ）1ABD △中，111A BD BD A D A B S ===∴=△1BCD S =△． 在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B 设点C 到平面1A BD 的距离为d ． 由11A BCD C A BD V V --=得111333BCD A BD S S d=△△，1A BD d ∴==△．∴点C 到平面1A BD解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ． 取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(02A ，(00A ，1(120)B ，，， 1(12AB ∴=，，(210)BD =-，，，1(12BA =-．12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥． 1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．(11AD =-，，1(020)AA =，，． AD ⊥n ，1AA ⊥n ，100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，，nn 020x y y ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，． 令1z =得(=，n 为平面1A AD 的一个法向量．由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，1AB ∴为平面1A BD 的法向量． cos <n，1113222AB AB AB ->===n n ．∴所以二面角1AA DB --的正弦值为410． （Ⅲ）由（Ⅱ），1AB 为平面1A BD 法向量，1(200)(12BC AB =-=，，，，．∴点C 到平面1A BD 的距离112BC AB d AB -==20(（本小题满分12分）解（I ）取CE 中点P ，连结FP 、BP ，∵F 为CD 的中点，∴FP//DE，且FP=.21DE 又AB//DE ，且AB=.21DE ∴AB//FP，且AB=FP ， ∴ABPF 为平行四边形，∴AF//BP。

又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ， ∴AF//平面BCE 。

（II ）∵△ACD 为正三角形，∴AF⊥CD。