[配套k12学习]人教A版高中数学必修一练习：活页作业25几类不同增长的函数模型(1)

活页作业(二十五)几类不同增长的函数模型
(时间：30分钟满分：60分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是()
A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝2x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D.
答案：D
2．某商品前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格比较，变化情况是()
A．减少7.84% B．增加7.84%
C．减少9.5% D．不增不减
解析：设原来商品价格为1个单位，
则1×(1＋20%)2×(1－20%)2＝0.921 6＝92.16%，
∴减少了7.84%.
答案：A
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y 年，则函数y＝f(x)的图象大致是()
解析：设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)．
函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象．故选D.
答案：D
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．某工厂一年中十二月份的产量是一月份的a倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是______．
解析：设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M ，则M (1＋x )11＝a ·M ，∴x ＝11
a
－1.
答案：
11a －1
5．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
(1)骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ，晚到1 h ； (2)骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； (3)骑摩托车者在出发1.5 h 后追上了骑自行车者； (4)骑摩托车者在出发1.5 h 后与骑自行车者速度一样． 其中正确信息的序号是______________．
解析：看时间轴易知(1)正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此(2)正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故(3)正确，(4)错误．
答案：(1)(2)(3) 三、解答题
6．(本小题满分10分)函数f (x )＝1.1x ，g (x )＝ln x ＋1，h (x )＝x 1
2的图象如图所示，试分别
指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a ，b ，c ，d ，e 为分界点)．
解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得 曲线C 1对应的函数是f (x )＝1.1x ， 曲线C 2对应的函数是h (x )＝x 1
2，
曲线C 3对应的函数是g (x )＝ln x ＋1.
由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；
当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；
当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；
当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；
当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．有一组实验数据如下表所示：
A．y＝log a x(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝log a x＋b(a>1)
解析：通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.
答案：C
2.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．
现给出下列说法：
①前5 min温度增加越来越快；
②前5 min温度增加越来越慢；
③5 min后温度保持匀速增加；
④5 min后温度保持不变．
其中说法正确的是()
A．①④B．②④
C．②③D．①③
解析：前5 min，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加．故说法②③正确．故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知函数y 1＝2x ，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，则当2＜x ＜4时，y 1，y 2，y 3的大小关系为________． 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2和y ＝2x 的图象，如图，在区间(2,4)内从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2＞2x ＞log 2x ，即y 2＞y 1＞y 3.
答案：y 2＞y 1＞y 3
4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (mg)与时间t (h)成正比，药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a
(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (mg)与时间t (h)之间的函数关系式为________________.
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg 以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过______h 后，学生才能回到教室．
解析：(1)∵药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y 与时间t 成正比， ∴设y ＝kt ，代入点(0.1,1)，得k ＝10. ∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)．
同理，将点(0.1,1)代入解析式y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a
， 得a ＝0.1，
综上可知y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
10t (0≤t ≤0.1)，⎝⎛⎭
⎫116t －0.1(t >0.1).
(2)令y ＝0.25，代入y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1
， 解得t ＝0.6，
∴从药物释放开始，至少需要经过0.6 h 后，学生才能回到教室． 答案：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
10t (0≤t ≤0.1)，⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)
(2)0.6 三、解答题
5．(本小题满分10分)商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：
①买一个茶壶赠送一个茶杯；②按总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)．若购买茶杯数为x (个)，付款数为y (元)，试分别建立两种优惠办法中y 与x 之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱．
解：由优惠办法(1)可得函数关系式为y 1＝20×4＋5(x －4)＝5x ＋60(x ≥4，且x ∈N )； 由优惠办法(2)可得函数关系式为y 2＝(5x ＋20×4)×92%＝4.6x ＋73.6(x ≥4，且x ∈N )． 对以上两种优惠办法比较得： y 1－y 2＝0.4x －13.6(x ≥4，且x ∈N )． 令y 1－y 2＝0，得x ＝34.
可知当购买34个茶杯时，两种付款相同； 当4≤x ＜34时，y 1＜y 2，优惠办法(1)省钱； 当x ＞34时，y 1＞y 2，优惠办法(2)省钱．。