计算机数学基础上-离散数学
计算机科学中的数学基础知识
计算机科学中的数学基础知识计算机科学与数学密切相关，数学为计算机科学提供了重要的基础知识和技能。
在计算机科学的各个领域，数学都发挥着关键作用。
本文将介绍计算机科学中的数学基础知识。
一、离散数学离散数学是计算机科学的基础，它研究离散对象及其关系，包括集合论、图论、逻辑等。
集合论是研究集合及其操作的数学分支，它在计算机科学中被广泛应用于数据结构和算法设计。
图论是研究图及其性质的数学分支，它在网络分析、图像处理等领域起着重要作用。
逻辑是研究推理和证明方法的数学分支，它是计算机科学中设计和分析算法的基础。
二、概率论与统计概率论与统计是计算机科学中用于处理不确定性的重要工具。
概率论研究随机现象的规律性，统计学研究数据的收集、分析和推断。
在机器学习、数据挖掘和人工智能等领域，概率论与统计提供了建立模型、分析数据和做出决策的方法。
例如，对于一个分类问题，我们可以使用概率论和统计学的方法来计算不同类别的概率，并根据概率做出分类决策。
三、线性代数线性代数是计算机图形学和机器学习等领域必备的数学工具。
它研究向量空间和线性变换等概念，提供了描述和解决多维数据和变换的工具。
在计算机图形学中，线性代数用于描述和处理三维图形的变换和投影。
在机器学习中，线性代数提供了处理高维数据和建立模型的基础。
四、微积分微积分是研究变化和极限的数学分支，它在计算机科学中广泛应用于优化、算法分析和模拟等领域。
在优化中，微积分提供了求解最优化问题的方法，如梯度下降和牛顿法等。
在算法分析中，微积分用于分析算法的时间复杂度和空间复杂度。
在模拟中，微积分用于描述和求解物理、生物和经济等系统的动态行为。
五、数论数论是研究整数和整数运算的数学分支，它在密码学和算法设计等领域起着重要作用。
在密码学中，数论提供了建立安全密码系统和解密密码系统的基础。
在算法设计中，数论用于设计高效的算法和数据结构。
六、离散概念与自动机离散概念与自动机是研究离散结构和自动计算的数学分支，它在编译器设计和计算理论等领域起着重要作用。
计算机科学与技术专业主要课程简介
计算机科学与技术专业主要课程简介计算机科学与技术专业是当今社会备受瞩目的高端学科之一，其创造了各种各样的机会和挑战。
在迅速发展的信息技术领域中，计算机科学与技术专业的学生被要求掌握广泛的计算机知识和技能。
本文将简要介绍计算机科学与技术专业的主要课程，以帮助读者了解该专业的学习内容和发展方向。
1. 离散数学离散数学是计算机科学与技术专业中基础且必不可少的课程之一。
它涵盖了数理逻辑、集合论、图论、代数结构等内容，培养了学生分析和解决实际问题的能力。
离散数学的学习也有助于培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。
2. 数据结构与算法数据结构与算法是计算机科学与技术专业中最重要的课程之一。
学生将学习不同的数据结构，如数组、链表、栈和队列等，并了解它们之间的联系和应用。
同时，学生还将了解常用的算法，如排序、搜索和图算法等。
数据结构与算法的学习帮助学生开发高效的程序设计能力和解决实际问题的能力。
3. 编程语言及编程基础计算机科学与技术专业要求学生精通至少一种编程语言。
常见的编程语言包括C++、Java和Python等。
学生将学习编程语言的语法、面向对象编程、软件开发流程等，并完成一系列编程实践项目。
通过编程语言的学习，学生能够熟练掌握程序设计的方法和技巧，为以后的实际应用打下坚实的基础。
4. 操作系统操作系统课程旨在帮助学生理解计算机系统的组成和工作原理。
学生将学习操作系统的各种概念和机制，如进程管理、内存管理、文件系统等。
此外，学生还将进行实践，如编写简单的操作系统模拟程序，以更深入地理解操作系统的运行机制。
5. 计算机网络计算机网络是现代社会的基础设施，也是计算机科学与技术专业中不可或缺的一门课程。
学生将学习计算机网络的基本原理、协议和技术。
课程内容包括网络体系结构、数据传输、网络安全等。
通过计算机网络课程的学习，学生能够理解和应用各种网络技术，确保计算机系统的高效和安全运行。
6. 数据库数据库管理系统是现代信息系统中重要的组成部分。
高等学校计算机规划教材：离散数学
高等学校计算机规划教材：离散数学
离散数学是高等学校计算机规划教材的重要组成部分，它可以为高校的学生提供关于计算机规划的重要基础知识和实践能力。
离散数学是一门描述和分析一些离散结构的数学学科，它是学习计算机规划的关键学科。
离散数学的研究内容包括离散结构的发展，离散函数的构造，离散计算模型的建立，以及计算机算法的分析和改进等。
离散数学涉及的知识面很广，例如布尔代数、逻辑基础学、图论、数论和组合数学等。
高等学校或大学推荐离散数学作为计算机规划的教育教材，这是为了培养学生对计算机规划基础知识的深刻理解和实践能力，结合本教材，让学生提高解决计算机科学问题的思维表达能力以及归纳演绎思维方法。
通过培养学生的计算机规划知识结构，使学生能够更加清楚的理解计算机的结构，从而更好的利用电脑资源，解决实际问题。
离散数学作为高校计算机规划教材，可以系统化地引导学生掌握基本理论知识和实践能力。
在教学过程中，课堂讲授以及课后实践工作都有助于深入理解和不断巩固，开发学生的解决问题的能力，也可以让学生更好的把握和体会计算机科学和应用的实践方法及原理。
综上所述，离散数学是高等学校计算机规划教材的重要组成部分，也是高校教育的重要内容。
它不仅能帮助学生获得计算机规划的基本理论知识，还能提高学生解决计算机科学问题的实践能力，为计算机规划起到重要作用。
计算机科学中的数学基础
计算机科学中的数学基础计算机科学是一门涉及数字和逻辑思维的学科，而数学作为计算机科学的基础之一，为计算机科学家提供了一套强大而有效的工具和方法。
数学为计算机科学中的算法、数据结构、图论、逻辑和编程语言等方面提供了关键支持。
本文将探讨计算机科学中数学的重要性以及它在不同领域中的应用。
一、离散数学离散数学是计算机科学中的基础数学分支，它研究的是离散对象和离散结构。
离散数学的许多概念和技术直接应用于计算机科学的各个领域。
例如，集合论、逻辑、图论和组合数学等都是离散数学的重要组成部分。
在计算机科学中，离散数学常被用于处理离散的数据和事件，如图形的表示与操作、网络的建模与分析、逻辑推理与证明等。
离散数学的概念和技术为计算机科学提供了一种严密的数学语言，使得计算机科学家能够精确地描述和分析问题，从而设计出高效和可靠的算法和数据结构。
二、算法与复杂性理论算法是计算机科学中的核心概念，它描述了如何解决特定问题的步骤和方法。
数学为算法的设计和分析提供了坚实的基础。
通过数学工具，计算机科学家可以衡量算法的效率和复杂性，并预测算法在不同输入规模下的表现。
在复杂性理论中，数学用于研究算法的时间复杂性和空间复杂性。
通过运用数学方法，计算机科学家能够确定某个问题是否可以在合理的时间内解决，或者它的解决方案是否存在。
这对于决策问题的解决、优化问题的求解以及算法设计的选择具有重要意义。
三、概率与统计概率论和统计学是计算机科学中另一个重要的数学基础。
概率论描述了随机现象的规律，统计学则通过对数理模型的建立来分析和预测随机变量的行为。
在计算机科学中，概率和统计扮演着重要的角色，用于处理不确定性和随机性。
概率和统计学在数据挖掘、人工智能和机器学习等领域中有广泛应用。
通过概率和统计学的方法，计算机科学家能够建立机器学习模型、评估算法性能，并从大规模的数据中挖掘出有用的信息和模式。
四、线性代数线性代数是计算机科学中另一个重要的数学分支，它研究向量空间和线性变换等概念。
离散数学 概念
离散数学概念离散数学是一门研究离散结构的学科，其中的离散结构可以表示为离散对象或离散事件。
它是计算机科学的基础学科之一，在算法设计和系统分析中有着广泛的应用和深远的影响。
离散数学中的概念包括集合、关系、函数、图论、计数等。
1.集合集合是离散数学中最基础、最重要的概念之一。
集合是指具有某种共同特征的事物的总体，用括号{}括起来表示。
例如，一个集合A包含了元素a、b、c，则A={a,b,c}。
集合的基本运算包括：并集、交集、补集和差集。
并集指的是包含两个集合中所有元素的一个新集合，交集指的是两个集合中共有的元素构成的一个集合，补集则是指一个集合相对于另一个集合的所有不包含的元素构成的集合，差集则是指一个集合中除去另一个集合中共有的元素后所剩余的元素所构成的集合。
2.关系关系是指任意两个元素之间的一种有序的二元关系，用箭头表示，例如(x,y)表示x与y之间有一种特定关系。
关系可以是等于（=）、大于（>）、小于（<）等。
根据关系的定义，关系可以分为反对称、对称、传递等几种类型。
其中反对称关系是指如果(x,y) 且(y,x)，则x=y；对称关系是指如果(x,y) ，则(y,x)；而传递关系则是指如果(x,y)且(y,z)，则(x,z)。
3.函数函数是指一个集合中的每一个元素都对应于另一个集合中的唯一元素的一种映射关系。
函数通常用f(x)来表示，其中f为函数名称，x为变量名称。
例如，用f(x)=x^2表示一个函数，当x为2时，f(x)的值为4。
函数的性质包括：单调性、奇偶性、周期性等。
其中单调性是指函数在定义域内的增减情况；奇偶性则是指函数与自身的中心对称关系；周期性则是指函数图像的重复性。
4.图论图论是离散数学中最为重要和实用的一部分，它用数学语言对各种问题进行分析和解决，例如网络连接问题、旅行商问题等。
图由点和边组成，点表示对象，边表示对象之间的关系。
常用的图有有向图和无向图，有向图是指图中的边有一个方向，无向图则是指图中的边没有方向。
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学与算法思想
离散数学与算法思想离散数学是数学的一个分支，研究离散对象以及其性质和关系的数学理论。
在计算机科学领域，离散数学是一门基础学科，与算法设计和分析密切相关。
离散数学与算法思想的结合，对于计算机科学领域的学习和研究具有重要意义。
本文将从离散数学的基本概念入手，探讨离散数学与算法思想的关系，以及它们在计算机科学中的应用。
一、离散数学基本概念离散数学是研究离散对象的数学理论，与连续数学相对应。
离散对象是指不连续、不可数的对象，如整数、图、集合等。
离散数学的基本概念包括集合论、图论、逻辑、代数结构等内容。
1. 集合论集合论是离散数学的基础，研究集合及其元素之间的关系。
集合论中常用的概念包括并集、交集、补集、子集等。
集合论为算法设计提供了基本的思维工具，例如利用集合的交、并运算来实现数据的筛选和整合。
2. 图论图论是研究图及其性质的数学理论，图由节点和边组成，用于描述对象之间的关系。
图论在算法设计中有着广泛的应用，如最短路径算法、网络流算法等都是基于图论的理论基础。
3. 逻辑逻辑是研究推理和论证的学科，离散数学中的命题逻辑和谓词逻辑是逻辑学的重要分支。
逻辑在算法设计中起着决定性的作用，通过逻辑推理可以验证算法的正确性，保证算法的有效性。
4. 代数结构代数结构是研究代数系统的数学分支，包括群、环、域等代数结构。
代数结构在算法设计中有着重要的应用，例如密码学中的置换群、线性代数中的矩阵运算等都是基于代数结构的理论基础。
二、算法思想与离散数学的关系算法是解决问题的方法和步骤的有限序列，是计算机科学的核心内容。
算法设计和分析是计算机科学中的重要课题，离散数学为算法设计提供了理论基础和方法论支持。
1. 离散数学与算法的联系离散数学中的集合论、图论、逻辑等概念为算法设计提供了基本工具和思维模式。
例如，利用集合的交、并运算可以实现数据的筛选和整合；利用图论的最短路径算法可以解决网络中的路径规划问题；利用逻辑推理可以验证算法的正确性。
计算机数学基础—离散数学谓词逻辑
第2章谓词逻辑一、教学要求1. 理解谓词、量词、个体词、个体域、原子公式、谓词公式和变元等概念。
会将不太复杂的命题符号化。
2. 掌握在有限个体域下求公式的真值和某些公式在给定解释下真值的方法，判别公式类型(永真式、永假式和可满足式)的方法。
3. 掌握谓词演算的等值式和重言蕴含式(六种情况：(1)命题公式的推广；(2)量词否定式的等值式；(3)量词辖域扩张和收缩的等值式；(4)量词与联结词∨，∧，→的等值式；(5)量词与联结词的重言蕴含式；(6)两个量词公式间的等值式与重言蕴含式)。
会进行谓词公式的等值演算。
4. 了解前束范式的概念，会求公式的前束范式。
5. 了解谓词逻辑推理的规则：全量词消去规则(US规则)；全量词附加规则(UG规则)；存在量词消去规则(ES规则)；存在量词附加规则(EG规则)本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词逻辑推理证明。
二、学习辅导在命题逻辑中，我们把原子命题作为基本研究单位，对原子命题不再进行分解，只有复合命题才可以分解，揭示了一些有效的推理过程. 但是进一步研究发现，仅有命题逻辑是无法把一些常见的推理形式包括进去. 例如“凡人要死，张三是人，张三要死”显然是正确推理. 用命题逻辑解释三段式. 设P：人要死；Q张三是人；R：张三要死。
表示成复合命题有P∧Q→R这不是重言式，即R不是前提P，Q的有效结论. 这反映了命题逻辑的局限性，其原因是把本来有内在联系的命题P，Q，R，视为独立的命题。
要反映这种内在联系，就要对命题逻辑进行分析，分析出其中的个体词、谓词和量词，再研究它们之间的逻辑关系，总结出正确的推理形式和规则，这就是谓词逻辑的研究内容。
1. 谓词与量词学习这一部分要反复理解谓词和量词引入的意义，概念的含义。
在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词。
个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念，如小张，房子，南京，大米，思想，实数2等等。
谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间的关系的词。
离散数学概述
数理逻辑简介
前提
推理（规则）
结论
集合论(set theroy)概述
20世纪数学中最为深刻的活动, 是关于数学基础的探讨。这 不仅涉及到数学的本性, 也涉及到演绎数学的正确性。数学 中若干悖论的发现, 引发了数学史上的第三次危机, 这种悖论 在集合论中尤为突出。
集合论最初是一门研究数学基础的学科, 它从一个比“数” 更简单的概念----集合出发, 定义数及其运算, 进而发展到整 个数学领域, 在这方面它取得了极大的成功。
达） 软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划
分） (各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学
的各分支）
目的和任务
由于离散数学的重要地位, 因此通过本课程的教学, 使计算机及应用专业的学生能够掌握数理逻辑、 集合论、近世代数与图论的基本概念、基本定理、 基本方法, 并且培养学生具有一定的抽象思维能力 和逻辑推理能力。同时为计算机及应用专业的其 它重要后续课程（如数据结构、操作系统、编译 原理等课程）奠定比较坚实的基础。
用数学方法来研究推理的规律称为数理逻辑。这里所指的数 学方法, 就是引进一套符号体系的方法, 在其中表达和研究推 理的规律。
数理逻辑简介
通常认为数理逻辑是由莱布尼兹(Leibniz)创立的。 数理逻辑的内容包括:
证明论、模型论、递归论、公理化集合论。 数理逻辑的应用 在形式语义学、程序设计方法学和软件工程领域。 在逻辑程序设计方面。 在数据库理论方面。 在程序自动生成、自动转换等的理论和技术研究中。 在形式语言理论、自动机理论、可计算理论、计算
图论
图论是离散数学的重要组成部分, 是近代应用数学的重要分支。
1736年是图论历史元年, 因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》, 所以 人们普遍认为欧拉是图论的创始人。
离散数学大学计算机基础知识重要内容
离散数学大学计算机基础知识重要内容离散数学作为一门基础学科，对于大学计算机专业来说，是非常重要的。
它涵盖了计算机科学领域中的许多核心概念和基本原理。
在这篇文章中，我将介绍离散数学中的一些重要内容，以及它们在计算机基础知识中的应用。
1. 集合论集合论是离散数学的基础，它描述了元素的集合以及它们之间的关系。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于数据结构和算法分析。
例如，在图论中，可以使用集合来表示图中的顶点和边。
在算法设计和分析中，集合的运算和性质经常被用来推导出算法的正确性和效率。
2. 逻辑与证明逻辑与证明是离散数学中的另一个重要主题。
它提供了一种推理和证明事实和陈述真实性的方法。
在计算机科学中，逻辑与证明被广泛运用于软件工程和人工智能领域。
例如，在软件设计中，使用形式化逻辑可以帮助验证程序的正确性。
在人工智能中，使用谓词逻辑可以表示知识和推理过程。
3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究图的结构和性质。
在计算机科学中，图论被广泛应用于网络分析，路由算法和最优化等领域。
例如，在网络分析中，使用图来表示网络拓扑结构，并通过图算法来解决网络路由和负载均衡的问题。
在最优化中，图的最短路径算法和最小生成树算法被广泛应用于解决各种实际问题。
4. 离散概率论离散概率论是研究离散事件的概率分布和随机变量的数学理论。
在计算机科学中，离散概率论广泛应用于算法设计和分析，机器学习和人工智能等领域。
例如，在算法设计和分析中，使用概率论的方法可以评估算法在不同输入分布下的性能。
在机器学习中，离散概率论的模型和算法被用来建模和处理分类和预测问题。
5. 关系代数与数据库关系代数是离散数学中描述关系和关系数据库的一种代数系统。
在计算机科学中，关系代数与数据库理论密切相关。
关系数据库是计算机科学中最常用的数据存储和管理方式之一。
通过关系代数的运算和性质，可以对数据库进行查询、更新和维护。
综上所述，离散数学中的这些重要内容在大学计算机基础知识中起着至关重要的作用。
离散数学在计算机科学中的应用
离散数学在计算机科学中的应用离散数学是计算机科学的基础学科之一，它研究离散的数学结构和离散的数学对象。
离散数学的应用广泛，对于计算机科学的发展起着重要的推动作用。
本文将探讨离散数学在计算机科学中的几个重要应用领域。
一、逻辑与布尔代数离散数学的逻辑和布尔代数是计算机科学中最基础的内容之一。
逻辑是研究命题及其推理关系的学科，它在计算机的逻辑设计中起着至关重要的作用。
计算机内部所有的运算都是基于布尔代数的，因为计算机的运算只能处理0和1两种状态。
逻辑与布尔代数为计算机提供了一套完备的逻辑基础，是计算机科学中极为重要的基础理论。
二、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究由节点和连接节点的边组成的图的性质和应用。
图论在计算机科学中被广泛应用于网络设计、路由算法、图像处理、人工智能等领域。
在网络设计中，图论可用于优化网络拓扑结构、提高网络传输效率；在路由算法中，图论可以帮助计算机找到最短的路径；而在图像处理和人工智能领域，图论被用于图像分割、模式识别等方面。
三、编码理论编码理论是研究数据的存储和传输方式的学科，它广泛应用于计算机科学中的数据压缩、错误检测和纠正等方面。
编码理论通过使用数学方法来设计编码方案，以提高数据在传输和存储过程中的可靠性和效率。
其中，哈夫曼编码和循环冗余检测（CRC）是编码理论中常用的技术，它们被广泛应用于数据压缩和数据完整性校验等领域。
四、离散结构离散数学在计算机科学中的另一个重要应用领域是离散结构的研究。
离散结构包括集合、关系、函数等，它们为计算机科学提供了一种抽象和模型化的方法。
离散结构的研究可以帮助计算机科学家更好地理解数据的存储和处理方式，从而提高计算机算法的效率和性能。
综上所述，离散数学在计算机科学中有着广泛的应用。
逻辑与布尔代数为计算机提供了基本的逻辑基础；图论在网络设计、路由算法、图像处理、人工智能等领域发挥着重要作用；编码理论在数据压缩、错误检测和纠正等方面发挥着关键作用；而离散结构的研究则为计算机科学提供了一种抽象和模型化的方法。
计算机科学中的数学基础
计算机科学中的数学基础计算机科学作为一门重要的学科，离不开数学的支持和应用。
数学作为计算机科学的基础知识，为计算机算法、数据结构等方面的发展和研究提供了必要的工具和理论基础。
本文将介绍计算机科学中的数学基础，并探讨其在计算机领域中的应用。
一. 离散数学离散数学是计算机科学中至关重要的一门学科，它研究的是离散的数学结构和离散的对象。
离散数学的主要内容包括：集合论、图论、逻辑、代数系统等。
在计算机领域，离散数学被广泛应用于算法分析、数据结构设计、计算理论等方面。
1. 集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是元素的集合及其之间的关系。
在计算机科学中，集合论常用于表示和描述数据的结构和关联关系。
例如，在数据库中，使用集合论中的交、并、差等运算来操作数据；在算法设计中，使用集合论的概念来描述问题和解决方案之间的关系。
2. 图论图论是研究图（由节点和边组成的数学结构）及其性质的学科。
在计算机科学中，图论广泛应用于图像处理、网络分析、路由算法等领域。
例如，在社交网络分析中，使用图论的概念来表示用户之间的关系；在路由算法中，使用图论的算法来确定最短路径。
3. 逻辑逻辑是研究推理和证明的学科，它在计算机科学中起到了重要的作用。
逻辑的符号表示法和推理规则可以帮助我们理解和证明计算机程序的正确性。
在软件工程中，使用逻辑的概念来描述程序的规范和验证程序的正确性。
4. 代数系统代数系统是研究数学结构和操作规则的学科，它在计算机科学中也有着广泛的应用。
在编程语言中，代数系统的概念和操作规则被用来定义数据类型和运算符。
例如，在面向对象的编程中，使用代数系统的概念来定义类和对象之间的关系；在数据库中，使用代数系统的概念和操作规则来进行数据查询和操作。
二. 概率论与统计学概率论与统计学是计算机科学中另一重要的数学基础，它研究的是不确定性和随机现象。
概率论和统计学的应用在计算机科学中非常广泛，例如在机器学习、数据挖掘、人工智能等领域起着重要的作用。
计算机离散数学基础
计算机离散数学基础计算机离散数学基础是计算机科学领域中的重要学科，它涵盖着离散数学的各个方面。
离散数学是研究许多离散结构和对象的一门数学学科，与连续数学形成鲜明对比，应用广泛，所以对于计算机科学专业的学生来说，学好计算机离散数学基础是非常重要的。
1. 初识离散数学在学习计算机离散数学基础的第一步是了解什么是离散数学。
离散数学强调离散的、离散的结构、离散的对象，是一种研究离散结构的数学学科。
这些结构包括基本代数、集合、关系、图论、离散逻辑等。
2. 了解图的基础概念在学习离散数学的过程中，图论是其中非常重要的一个分支，因此学生需要了解图论的基础概念。
图论的基础包括图的定义、边、点、路径、圈等概念。
掌握了这些基础知识，就能更好地理解图论的高级知识。
3. 掌握逻辑推理的基础知识逻辑推理也是离散数学中的一个重要领域。
计算机离散数学基础学生需要掌握一些逻辑推理的基础知识，比如命题、真值表、命题的真值、命题的逆否命题等等。
通过这些基础知识的学习，学生们能大大提高自己的逻辑推理能力，更好地完成代码设计与编写。
4. 熟悉集合的相关概念集合是离散数学的另一个重要领域。
集合与逻辑推理紧密相连，是计算机科学中广泛使用的数学工具。
学生需要掌握集合的相关概念，如交、并、差、包含、等价关系、划分等等。
通过这些概念的学习，学生们能够理解集合的概念，掌握集合的基础知识。
5. 熟练掌握数论的相关知识数论是计算机离散数学基础中另一个重要的领域，研究数学中的整数，包括整数的性质、分解、奇偶性、同余、欧几里德算法等等。
通过对数论的学习，学生能够学习到更多算法和思想，来帮助他们更好地完成代码的设计和编写。
总之，计算机离散数学基础是计算机科学领域中非常重要的一门学科。
通过以上步骤，学生们可以更好地掌握离散数学基础知识，提高代码设计与编写的能力，并为未来的计算机科学职业生涯打下坚实的基础。
离散数学的问题
离散数学的问题离散数学是计算机科学中一个关键的领域。
它用于解决计算机优化问题和理解计算机组成，它是一种重要的数学方法，用于处理问题。
离散数学是用于解决计算机问题的复杂数学方法。
它涉及计算机编程，数据结构，算法分析，离散数学结构以及如何使用这些概念来解决实际问题的技术。
一、什么是离散数学？离散数学是一种复杂的数学方法，用于解决计算机编程和数据结构问题。
它涉及离散结构，算法复杂性，离散关系，数据抽象，图论。
与其它数学分支不同，离散数学更多地关注如何使用数学工具来解决问题，而不是学习和推理的细节。
二、离散数学的用途1、软件工程。
离散数学被广泛应用于软件工程中。
它包括模型设计，项目计划，使用模型和控制工具以及模型的验证。
2、数据科学。
离散数学也被用于数据科学，其中它通常被用于处理大数据集。
它被用于机器学习，数据挖掘和模式识别，以及其他联系或推理问题。
3、优化。
离散数学也可以用于现实世界优化和自动控制。
它同样可以用来解决优化问题，保证最佳结果，并根据一组条件来提出最佳的可行解决方案。
三、离散数学的学习方法1、实践。
离散数学的最好方法是从实践中学习。
可以在练习中熟悉实际应用和应付实际的问题，从而充分理解理论知识。
2、学习算法。
离散数学涉及算法的使用，因此，学习如何设计有效的算法是必不可少的，以便在多个离散数学域中使用有效的技术。
3、学习数据结构。
数据结构是一种重要的工具，用于学习如何处理复杂问题，如何收集数据，以及如何从数据中收集有用的知识。
四、离散数学的未来趋势随着越来越多的计算云驱动的服务和应用程序，将继续推动离散数学发展。
随着对机器学习和大数据分析技术的需求，离散数学也将发挥它的作用。
离散数学将发挥重要作用，使得AI技术能够真正让人工智能发挥出它的潜力。
另外，贝叶斯网络技术也是一个重要的利器，因为它由大量隐含变量和模型定义，而离散数学能够帮助用户理解和导航贝叶斯网络以及其他机器学习技术。
计算机科学与技术学科课程《离散数学》教学思考
１ 前 言 ．
算机 软件 中的操作系统 、 程序 设计及语 言、 译系统 、 编 数据 库 及软件工程 ； 计算机应用 中包括计算机信 息管理系统 。
２２ 当前 研 究热 点 ．
《 离散数 学》 是计算机领域 的一 门专 业基础课 ， 要是为 主
专业课做铺垫 。不同于 《 高等数学》 《 ， 离散数学》 涉及 内容 多，
算机 图 形 学 ， 机 交 互 和 科 学 计 算 。其 中人 工 智 能 、 算 机 图 人 计
点 ， 用实 际例 子来描述基础 知识 ， 利 学生就会 提起学 习兴趣 ，
从 而 会 更容 易 掌握 基 本 内容 。 ３ 思 考 ． ２ （） 件 组 织 １课
形学 、人机交互和科学计算很多学校都作为计算机专业选修
掌握起 来就更加困难。尤其部分高校把 《 离散数 学》 当作一 门 纯数学课 程来 看待 ， 指派数学系老师来教 ， 从而导致学生学 习
时候 枯 燥 无 味 ， 能提 起 学 习兴 趣 。 不
为此多位 《 离散 数学》 教学人员 结合 自己的教学经验 ， 提 出改进措施 。主要表现在如下几个方面： １理论联系实际［ ； （） １ ｌ （） 学互 动 问题 ［ 】（ ） 握 学生 心 理 ， 理 安排 教 学方 ２教 ２ ；３ 把 ｌ 合
３１ 离 散 数 学 教 学 困惑 ．
与 以往 的考 虑角度不一样 ， 本文提 出的《 散课程》 学 离 教 改革方法 ， 主要基于计算机科学与技术 学科和 当前 的研 究、 应 用热点 ， 来考虑 离散数 学这 门课 的教学特 点， 分析 当前 离散数 学教学可能存在 的误区 ， 给出可行 的改进措施 ， 以供计算 机领 域的相关教师做参考 。
课程 或 者 研 究 生 课 程 来 开 设 。
计算机数学基础离散数学辅导
《计算机数学基础》离散数学辅导(6)−−第6章 几种特殊的图(2001级用) 中央电大 冯 泰本章重点：欧拉图和哈密顿图、平面图和树的基本概念.一、重点内容1. 欧拉图欧拉通路(回路)与欧拉图 通过图G 的每条边一次且仅一次，而且走遍每个结点的通路(回路)，就是欧拉通路(回路). 存在欧拉回路的图就是欧拉图.欧拉回路要求边不能重复，结点可以重复. 笔不离开纸，不重复地走完所有的边，且走过所有结点，就是所谓的一笔画.欧拉图或通路的判定(1) 无向连通图G 是欧拉图⇔G 不含奇数度结点(G 的所有结点度数为偶数):(定理1)(2) 非平凡连通图G 含有欧拉通路⇔G 最多有两个奇数度的结点；(定理1的推论)(3) 连通有向图D 含有有向欧拉回路(即欧拉图)⇔D 中每个结点的入度＝出度连通有向图D 含有有向欧拉通路⇔D 中除两个结点外，其余每个结点的入度＝出度，且此两点满足deg －(u )－deg ＋(v )＝±1. (定理2)2. 哈密顿图哈密顿通路(回路)与哈密顿图 通过图G 的每个结点一次，且仅一次的通路(回路)，就是哈密顿通路(回路). 存在哈密顿回路的图就是哈密顿图.判断哈密顿图是较为困难的.哈密顿图的充分条件和必要条件(1) 在无向简单图G =<V ,E >中∣V ∣≥3,任意不同结点V v u G v u ≥+∈)deg()deg(,,,则G 是哈密顿图.(充分条件，定理4) (2) 有向完全图D ＝<V ,E >, 若3≥V ，则图D 是哈密顿图. (充分条件，定理5推论)(3) 设无向图G =<V ,E >,∀V 1⊂V ，则P (G －V 1)≤∣V 1∣(必要条件，定理3)若此条件不满足，即∃V 1⊂V ，使得P (G －V !)>∣V 1∣,则G 一定不是哈密顿图(非哈密顿图的充分条件).3.平面图平面图 一个图能画在平面上，除结点之外，再没有边与边相交.面、边界和面的次数 由连通平面图G 的边围成的其内部不含G 的结点和边的区域是面，常用r 表示. 围成面的各边组成的回路是边界. 边界回路的长度是面的次数，记作deg(r ). 重要结论(1)平面图e r e E v V E V G r i i 2)deg(,,,,1===>=<∑=则(所有面的次数之和＝边的2倍)(定理6).(2)欧拉公式：平面图,,,,e E v V E V G ==>=< 面数为r ，则2=+-r e v (结点数与面数之和＝边数＋2)(定理7)(3)平面图633,,,,-≤≥==>=<v e v e E v V E V G ，则若(定理8)判定条件：图G 是平面图的充分必要条件是G 不含与K 3，3或K 5在2度结点内同构的子图.4. 树树 连通无回路的无向图. 树的判别 图m E n V E V T ==>=<,,,,T 是树的充分必要条件是(六个等价定义) (定理14):(1) T 是无回路的连通图； (2) 图T 无回路且m ＝n －1；(3) 图T 连通且m ＝n －1(4) 图T 无回路，若增加一条边，就得到一条且仅一条回路；(5) 图T 连通，若删去任一边，G 则不连通；(6) 图T 的每一对结点之间有一条且仅有一条通路.生成树 图G 的生成子图是树，该树就是生成树.权与带权图 n 个结点的连通图G ，每边指定一正数，称为权，每边带权的图称为带权图. G 的生成树T 的所有边的权之和是生成树T 的权，记作W (T ).最小生成树 带权最小的生成树.有向树 有向图删去边的方向为树，该有向图就是有向树.根树与树根 非平凡有向树，恰有一个结点的入度为0(该结点为树根)，其余结点的入度为1，该树为根树.每个结点的出度小于或等于2的根树为二元树(二叉树)；每个结点的出度等于0或2的根树为二元完全树(二叉完全树)；每个结点的出度等于2的根树称为正则二元树(正则二叉树).哈夫曼树 用哈夫曼算法得到的最优二叉树.4. 有关树的求法生成树的破圈法和避圈法求法；最小生成树的克鲁斯克尔求法；哈夫曼树的哈夫曼求法.二、实例例6.1 判别图6－1的两幅图是否可以一笔画出？解 在图6－1(a ) 中，deg(v 1)=deg(v 2)=deg(v 3)＝3有两个以上的结点的度为3. 故在(a )中不存在欧拉通路，不能一笔画出.在图6－1(b ) 中，deg(A )=2, deg(B ) =deg(C )= deg(D )=4，deg(E ) =deg(F )=3只有两个奇数度的结点，所以存在欧拉通路，可以一笔画出. 一条欧拉通路，如EDBEFCABCDF .例6.2 判定图6－2中，两个图是否有欧拉回路？若有请把欧拉回路写出来. 解 在图D 1中，v 1点的出度为2， 入度为0； v 5的出度为0，入度为2， 且这两点出度与入度之差不等于±1， 所以，图D 1不存在欧拉通路，图D 1 不是欧拉图. 图D 2中，各个结点的出度、入度 都相等2，所以存存欧拉回路，图D 2是欧拉图. 一个欧拉回路为v 1 a v 2 b v 3 f v 1 e v 3 c v 4 h v 2 g v 4 dv 1例6.3 指出图6－3各图是否哈密顿图，有无哈密顿通路， 回路？解 (1) 容易判断，存在哈密顿回路，故是哈密顿图.(2) 只有哈密顿通路，无哈密顿回路，故不是哈密顿图.v 4 v 5 E F A v 2 v 3 B C v 1 D （a ） (b ) 图6－1 v 1 v d v 4 v 2 v 5 f h a g e c v v v 2 b v 3 D 1 D 2 图6－2(3) 无哈密顿通路，显然不是哈密顿图.例6.4 画出具有下列条件的有5个结点的无向图. (1) 不是哈密顿图，也不是欧拉图；(2) 有哈密顿回路，没有欧拉回路； (3) 没有哈密顿回路，有欧拉回路；(4) 是哈密顿图，也是欧拉图. 解 作图如图6－4(不唯一).(1) (2) (3) (4)图6－4例6.5给定三个图如图6－5所示，试判断它们是否为欧拉图、哈密顿图、或平面图？并说明理由，ab c de f g图G 1 图G 2 图G 3图6－5解 图G 1是欧拉图，因为每个结点度数均为偶数．图G 2是哈密顿图，存在哈密顿回路，如cdgfebac ．(不惟一)图G 3是平面图．可以改画成可平面图，如图6－7．例6.6 在具有n 个结点的完全图K n 中，需要删去多少条边才能.得到树？解 n 个结点的完全图共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2n 条边，而n 个结点的树共有n －1条边. 因此需要删去 2)2)(1()1(2--=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n 条边后方可得到树.例6.7 设G 是图，无回路，但若外加任意一条边于G 后，就形成一回路. 试证明G 必为树.证明 由树的定义可知，只需证G 连通即可. 任取不相邻两点u ,v , 由题设，加上边<u ,v >就形成一回路，于是去掉边<u ,v >,从u 到v 仍有路u ,…,v ，即u ,v 连通，由u ,v 的任意性可知，G 是连通的，故G 必是树. 例6.8 如图6－8是有6个结点a ,b ,c ,d ,e ,f 的带权无向图，各边的权如图所示. 试求 (1) (2) (3) 图6－3 b • 23 1 15 c • 25 • a 4 • f 28 9 16 3d • 15 • e其最小生成树.解 构造连通无圈的图，即最小生成树，.用克鲁斯克尔算法： 第一步： 取ab ＝1；第二步： 取af =4；第三步： 取fe =3；第四步： 取ad =9；第五步： 取bc =23. 如图6－9. 权为1+4+3+9+23=30 例6.9 单项选择题 1.无向图G 是欧拉图，当且仅当( ) (A)G 的所有结点的度数为偶数(B) G 的所有结点的度数为奇数(C) G 连通且所有结点的度数为偶数 (D) G 连通且所有结点的度数为奇数答案：(C) 解答：见本章定理1.2. 设m E n V E V G ==>=<,,,为连通平面图且有r 个面，则r ＝( )(A) m －n +2 (B) n －m －2 (C) n +m -2 (D) m +n +2答案：(A)解答：见定理7欧拉公式.3. 设G 是5个结点的无向完全图，则从G 中删去( )条边可以得到树. (A) 4 (B)5 (C)6 (D)10答案：(C)解答：删去边的公式为2)2)(1()1(2--=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n . 故选择(C)正确. 4. 在5个结点的二元完全树中，若有4条边，则有 ( )片树叶。
计算机数学基础离散数学部分
离散数学复习提纲一、基本内容数理逻辑部分1．理解命题概念，会判别语句是不是命题．理解五个联结词：否定、析取、合取、条件、和双条件及其真值表，会将简单命题符号化．具有确定真假意义的陈述句称为命题．命题必须具备：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2．了解公式的概念(公式、赋值、成真指派和成假指派)和公式真值表的构造方法．能熟练地作公式真值表．理解永真式和永假式概念，掌握其判别方法．判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，其二是等价演算法.3．了解公式等价概念，掌握公式的重要等价式和判断两个公式是否等价的有效方法：等价演算法、列真值表法和主范式方法．4．理解析取范式和合取范式、极大项和极小项、主析取范式和主合取范式的概念，熟练掌握它们的求法．命题公式的范式不惟一，但主范式是惟一的． 命题公式A 有n 个命题变元，A 的主析取范式有k 个极小项，有m 个极大项，则n m k 2=+求命题公式A 的析取(合取)范式的步骤． 求命题公式A 的主析取(合取)范式的步骤． 5．要理解并掌握推理理论的规则、重言蕴含式和等价式，掌握命题公式的证明方法：真值表法、直接证法、间接证法．重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定，主析取(合取)范式，命题演算的推理理论.6．理解谓词、量词、个体词、个体域，会将简单命题符号化．原子命题分成个体词和谓词，个体词可以是具体事物或抽象的概念，分个体常项和个体变项．谓词用来刻划个体词的性质或之间的关系．量词分全称量词，存在量词. 命题符号化注意：使用全称量词，特性谓词后用；使用存在量词，特性谓词后用．7．了解原子公式、谓词公式、变元(约束变元和自由变元)与辖域等概念．掌握在有限个体域下消去公式的量词和求公式在给定解释下真值的方法．由原子公式、联结词和量词构成谓词公式．谓词公式具有真值时，才是命题．在谓词公式中，会区分约束变元和自由变元． 在非空集合D(个体域)上谓词公式A 的一个解释或赋值有3个条件． 在任何解释下，谓词公式A 取真值1，A 为逻辑有效式(永真式)；公式A 取真值0，A 为永假式；至少有一个解释使公式A 取真值1，A 称为可满足式．在有限个体域下，消除量词的规则为：设D ＝{n a a a ,...,21}，则)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∧∧∧⇔∀)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃会求谓词公式的真值，量词的辖域，自由变元、约束变元，以及换名规则、代入规则等． 掌握谓词演算的等价式和重言蕴含式．并进行谓词公式的等价演算．8．了解前束范式的概念，会求公式的前束范式的方法.若一个谓词公式F 等价地转化成 B x Q x Q x Q k k ...2211，那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式．前束范式仍然是谓词公式．9．了解谓词逻辑推理的四个规则．会给出推理证明． 谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充，命题演算中基本等价式，重言蕴含式以及P ，T ，CP 规则在谓词演算中仍然使用．谓词逻辑的推理演算引入了US 规则(全称量词指定规则)，UG 规则(全称量词推广规则)，ES 规则(存在量词指定规则)，EG 规则(存在量词推广规则)等.集合论部分1．理解集合、元素、集合的包含、子集、相等，以及全集、空集和幂集等概念，熟练掌握集合的表示方法．具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素．集合的表示方法：列举法和描述法.注意：集合的表示中元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分． 掌握集合包含(子集)、真子集、集合相等等概念．注意：元素与集合，集合与子集，子集与幂集，空集与所有集合的关系：空集是惟一的，它是任何集合的子集．集合A 的幂集P(A)＝}{A x x ⊆， A 的所有子集构成的集合．若|A|＝n ，则|P(A)|=2n ．2．熟练掌握集合A 和B 的并、交，补集 A 补集总相对于一个全集).差集A －B ，对称差等运算，并会用文氏图表示．掌握集合运算律(运算的性质).3．掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法．集合的运算问题：其一是进行集合运算；其二是运算式的化简；其三是恒等式证明． 证明方法有二：(1)要证明A ＝B ，只需证明A 是B 的子集，又B 是A 的子集；(2)通过运算律进行等式推导．4．了解有序对和笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算．有序对就是有顺序二元组，如<x, y>，x, y 的位置是确定的，不能随意放置．注意：有序对<a ，b> <b, a>，以a, b 为元素的集合{a, b}={b, a}；有序对(a, a)有意义，而集合{a, a}是单元素集合，应记作{a}． 集合A ，B 的笛卡儿积A ×B 是一个集合，规定A ×B ＝{<x,y> x A,y B}，是有序对的集合.笛卡儿积也可以多个集合合成，A1×A2×…×An ．5．理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系.掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图，掌握关系的集合运算和求复合关系、逆关系的方法．二元关系是一个有序对集合，},{B y A x y x R ∈∧∈><=，记作xRy ．关系的表示方法有三种：集合表示法，关系矩阵：R A ×B ，R 的矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎩⎪⎨⎧/==⨯n j m i b R a Rb a r r M j i j i ij n m ij R ,...,2,1,...,2,101,)(. 关系图：R 是集合上的二元关系，若<ai, bj> R ，由结点ai 画有向弧到bj 构成的图形．空关系 是唯一、是任何关系的子集的关系； 全关系},,{A b a b a E A ∈><=A A ⨯≡； 恒等关系},{A a a a I A ∈><=，恒等关系的矩阵MI 是单位矩阵．关系的集合运算有并、交、补、差和对称差． 复合关系}),,(,{2121R c b R b a b c a R R R >∈<∧>∈<∃><=∙=；复合关系矩阵：21R R R M M M ⨯=(按布尔运算)；有结合律：(R S) T ＝R (S T)，一般不可交换． 逆关系},,{1R y x x y R >∈<><=-；逆关系矩阵满足：T R R M M =-1；6．理解关系的性质(自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性的定义以及矩阵表示或关系图表示)，掌握其判别方法(利用定义、矩阵或图，充分条件)，知道关系闭包的定义和求法．注：(1)关系性质的充分必要条件：① R 是自反的；②R 是反自反的；③R 是对称的 ；④R 是反对称的；⑤R 是传递的.(2)IA 具有自反性，对称性、反对称性和传递性．EA 具有自反性，对称性和传递性．故IA ，EA 是等价关系． 具有反自反性、对称性、反对称性和传递性．IA 也是偏序关系．7．理解等价关系和偏序关系概念，掌握等价类的求法和作偏序集哈斯图的方法．知道极大(小)元，最大(小)元的概念，会求极大(小)元、最大(小)元、最小上界和最大下界．等价关系和偏序关系是具有不同性质的两个关系.⎩⎨⎧==+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+偏序关系等价关系传递性反对称性对称性自反性知道等价关系图的特点和等价类定义，会求等价类． 一个子集的极大(小)元可以有多个，而最大(小)元若有，则惟一.且极元、最元只在该子集内；而上界与下界可以在子集之外．由哈斯图便于确定任一子集的最大(小)元，极大(小)元．8．理解函数概念：函数(映射)，函数相等，复合函数和反函数．理解单射、满射和双射等概念，掌握其判别方法．函数是一种特殊的关系．集合A ×B 的任何子集都是关系，但不一定是函数．函数要求对于定义域A 中每一个元素a ，B 中有且仅有一个元素与a 对应，而关系没有这个限制．二函数相等是指：定义域相同，对应关系相同，而且定义域内的每个元素的对应值都相同．函数有：单射——若)()(2121a f a f a a ≠⇒≠；满射——f(A)=B 或,,A x B y ∈∃∈∀使得y=f(x)；双射——单射且满射．复合函数,:,:,:C A f g C B g B A f →→→ 则 即))(()(x f g x f g = ．复合成立的条件是：)(Dom )(Ran g f ⊆．一般g f f g ≠，但f g h f g h )()(=. 反函数——若f ：A B 是双射，则有反函数f －1：B A ，},)(,,{1A a b a f B b a b f ∈=∈><=-，f f g f f g ==-----11111)(,)(重点：关系概念与其性质，等价关系和偏序关系，函数. 图论部分1．理解图的概念：结点、边、有向图，无向图、简单图、完全图、结点的度数、边的重数和平行边等.理解握手定理．图是一个有序对<V ，E>，V 是结点集，E 是联结结点的边的集合． 掌握无向边与无向图，有向边与有向图，混合图，零图，平凡图、自回路(环)，无向平行边，有向平行边等概念．简单图，不含平行边和环(自回路)的图、在无向图中，与结点v( V)关联的边数为结点度数deg (v)；在有向图中，以v( V)为终点的边的条数为入度deg －(v)，以v( V)为起点的边的条数为出度deg ＋(v)，deg(v)=deg+(v) +deg －(v)．无向完全图Kn 以其边数)1(21-=n n E ；有向完全图以其边数)1(-=n n E ． 了解子图、真子图、补图和生成子图的概念．生成子图——设图G ＝<V, E>，若E E ，则图<V, E >是<V, E>的生成子图． 知道图的同构概念，更应知道图同构的必要条件，用其判断图不同构.重要定理：(1) 握手定理 设G=<V ，E>，有∑∈=V v E v 2)deg(； (2) 在有向图D ＝<V, E>中，∑∑∈+∈-=V v V v v v )(deg )(deg ；(3) 奇数度结点的个数为偶数个．2．了解通路与回路概念：通路(简单通路、基本通路和复杂通路)，回路(简单回路、基本回路和复杂回路)．会求通路和回路的长度．基本通路(回路)必是简单通路(回路)．了解无向图的连通性，会求无向图的连通分支．了解点割集、边割集、割点、割边等概念．了解有向图的强连通强性；会判别其类型．设图G ＝<V ，E>，结点与边的交替序列为通路．通路中边的数目就是通路的长度．起点和终点重合的通路为回路．边不重复的通路(回路)是简单通路(回路)；结点不重复的通路(回路)是基本通路(回路).无向图G 中，结点u, v 存在通路，u, v 是连通的，G 中任意结点u, v 连通，G 是连通图．P(G)表示图G 连通分支的个数．在无向图中，结点集V V ，使得P(G －V )>P(G)，而任意V V ,有P （G －V ）＝P(G)，V 为点割集. 若V 是单元集，该结点v 叫割点；边集E E ，使得P(G －V )>P(G)，而任意E E ，有P （G －E ）＝P(G)，E 为边割集．若E 是单元集，该边e 叫割边(桥)．要知道：强连通−−→−必是单侧连通−−→−必是弱连通，反之不成立． 3．了解邻接矩阵和可达矩阵的概念，掌握其构造方法及其应用．重点：图的概念，握手定理，通路、回路以及图的矩阵表示．4．理解欧拉通路(回路)、欧拉图的概念，掌握欧拉图的判别方法．通过连通图G 的每条边一次且仅一次的通路(回路)是欧拉通路(回路)．存在欧拉回路的图是欧拉图.欧拉回路要求边不能重复，结点可以重复．笔不离开纸，不重复地走完所有的边，走过所有结点，就是所谓的一笔画．欧拉图或通路的判定定理(1) 无向连通图G 是欧拉图 G 不含奇数度结点(即G 的所有结点为偶数度)；(2) 非平凡连通图G 含有欧拉通路 G 最多有两个奇数度的结点； (3) 连通有向图D 含有有向欧拉回路 D 中每个结点的入度＝出度． 连通有向图D 含有有向欧拉通路 D 中除两个结点外，其余每个结点的入度＝出度，且此两点满足deg －(u)－deg ＋(v)＝ 1．5．理解汉密尔顿通路(回路)、汉密尔顿图的概念，会做简单判断．通过连通图G 的每个结点一次，且仅一次的通路(回路)，是汉密尔顿通路(回路)．存在汉密尔顿回路的图是汉密尔顿图.汉密尔顿图的充分条件和必要条件(1) 在无向简单图G=<V ，E>中， V 3，任意不同结点V v u G v u ≥+∈)deg()deg(,,，则G 是汉密尔顿图．(充分条件)(2) 有向完全图D ＝<V ，E>, 若3≥V ，则图D 是汉密尔顿图. (充分条件)(3) 设无向图G=<V ，E>，任意V1 V ，则W(G －V1) V1 (必要条件)若此条件不满足，即存在V1 V ，使得P(G －V!)> V1 ,则G 一定不是汉密尔顿图(非汉密尔顿图的充分条件)．6．了解平面图概念，平面图、面、边界、面的次数和非平面图．掌握欧拉公式的应用． 平面图是指一个图能画在平面上，除结点之外，再没有边与边相交．面、边界和面的次数)deg(r 等概念．重要结论：(1)平面图e r e E v V E V G r i i2)deg(,,,,1===>=<∑=则． (2)欧拉公式：平面图,,,,e E v V E V G ==>=< 面数为r ，则2=+-r e v (结点数与面数之和＝边数＋2)(3)平面图633,,,,-≤≥==>=<v e v e E v V E V G ，则若．会用定义判定一个图是不是平面图．7．理解平面图与对偶图的关系、对偶图在图着色中的作用，掌握求对偶图的方法．给定平面图G＝〈V，E〉，它有面F1，F2，…，Fn，若有图G*＝〈V*，E*〉满足下述条件：⑴对于图G的任一个面Fi，内部有且仅有一个结点vi*∈V*；⑵对于图G的面Fi，Fj的公共边ek，存在且仅存在一条边ek*∈E*，使ek*＝(vi*，vj*)，且ek*和ek相交；⑶当且仅当ek只是一个面Fi的边界时，vi*存在一个环ek*和ek相交；则图G*是图G的对偶图．若G*是G的对偶图，则G也是G*的对偶图．一个连通平面图的对偶图也必是平面图．8．掌握图论中常用的证明方法．重点：欧拉图和哈密顿图、平面图的基本概念及判别．9．了解树、树叶、分支点、平凡树、生成树和最小生成树等概念，掌握求最小生成树的方法．连通无回路的无向图是树．树的判别可以用图T是树的充要条件(等价定义)．注意：(1) 树T是连通图；(2)树T满足m＝n－1（即边数=顶点数-1）．图G的生成子图是树，该树就是生成树．每边指定一正数，称为权，每边带权的图称为带权图．G的生成树T的所有边的权之和是生成树T的权，记作W(T)．最小生成树是带权最小的生成树．10．了解有向树、根树、有序树、二叉树、二叉完全树、正则二叉树和最优二叉树等概念．了解带权二叉树、最优二叉树的概念，掌握用哈夫曼算法求最优二叉树的方法．有向图删去边的方向为树，该图为有向树．对非平凡有向树，恰有一个结点的入度为0(该结点为树根)，其余结点的入度为1，该树为根树．每个结点的出度小于或等于2的根树为二叉树；每个结点的出度等于0或2的根树为二叉完全树；每个结点的出度等于2的根树称为正则二叉树．有关树的求法：(1)生成树的破圈法和避圈法求法；(2)最小生成树的克鲁斯克尔求法；(3) 最优二叉树的哈夫曼求法重点：树与根树的基本概念，最小生成树与最优二叉树的求法.代数结构部分1. 二元运算（定义，封闭性）、运算表2.各种定律（交换、结合、幂等、分配、吸收、消去、幺元、零元、逆元）3·代数系统、子代数、积代数（定义、特殊元素、代数常数）4·同态与同构（同态等式、证明）5·半群、独异点6·群、子群、阿贝尔群、生成子群、元素的阶（周期）、循环群（定义与证明）·环、含幺环、零因子、无零因子环、整环、除环与域7·格（两种定义）、分配格、有界格、布尔格（判断）练习题数理逻辑部分（一）1．填空题(1) 公式(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)的成真赋值为__________________；(2) 设p, r为真命题，q, s为假命题，则复合命题(p→q)↔(⌝r→s)的真值为________；(3) 设p, q均为命题，在_________________________条件下，p与q的排斥或也可以写成p与q的相容或；(4) 公式⌝(p↔q)与(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)共同的成真赋值为____________；(5) 设A为任意的公式，B为重言式，则A∨B的类型为______________.2．将下列命题或语句符号化(1) 7不是无理数是不对的；(2) 小刘既不怕吃苦，又很钻研；(3) 只有不怕困难，才能战胜困难；(4) 只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了；(5) 整数n是偶数当且仅当n能被2整除.3．求复合命题的真值p：2能整除5，q：旧金山是美国的首都，r：一年分四季.(1) ((p∨q)→r)∧(r→(p∧q))；(2) ((⌝q↔p)→(r∨p))∨((⌝p∧⌝q)∧r).4．判断推理是否正确设y=2|x|，x为实数. 推理如下：若y在x=0可导，则y在x=0连续. y在x=0连续. 所以，y在x=0可导.5．判断公式的类型(1) (⌝(p↔q)→((p∧⌝q)∨(⌝p∧q)))∨r;(2) (p∧⌝(q→p))∧(r∧q);(3) (p↔⌝r)→(q↔r).（二）1．填空题．(1) 设A为含命题变项p、q、r的重言式，则公式A∨ ((p∧q)→r)的类型为___________；(2) 设B为含命题变项p、q、r的矛盾式，则公式B∧((p↔q)→r)的类型为___________；(3) 设p、q为命题变项，则(⌝p↔q)的成真赋值为________________；(4) 设p、q为真命题，r、s为假命题，则复合命题(p↔r)↔(⌝q→s)的真值为___________；(5) 矛盾式的主析取范式为_________________；(6) 设公式A含命题变项p、q、r，又已知A的主合取范式为M0∧M2∧M3 ∧M5，则A的主析取范式为_______________________________．2．用等值演算法求公式的主析取范式或主合取范式(1) 求公式p→((q∧r)∧(p∨(⌝q∧⌝r)))的主析取范式；(2) 求公式⌝(⌝(p→q))∨(⌝q→⌝p)的主合取范式；(3) 求公式((p∨q)∧(p→q))↔(q→p)的主析取范式，再由主析取范式求出主合取范式．3．用真值表求公式(p→q)↔r的主析取范式4．将公式p→(q→r)化成与之等值且仅含{⌝, ∧}中联结词的公式．5．用主析取范式判断⌝ (p↔q) 与((p∨q)∧(⌝(p∧q))是否等值．6. 用消解原理证明p∧(⌝p∨q)∧(⌝r) ∧(⌝p∨⌝q∨r)是矛盾式.（三）1．填空题(1) (A→B)∧⌝B⇒_____________为拒取式推理定律；(2) (A∨⌝B)∧B⇒______________为析取三段论推理定律；(3) (⌝A→B)∧(B→⌝C)⇒_________________为假言三段论推理定律；(4) (⌝A→⌝B)∧⌝A⇒________________为假言推理定律．2．判断推理是否正确，并证明之（方法不限）(1) 如果王红学过英语和法语，则她也学过日语．可她没有过日语，但学过法语. 所以，她也没学过英语；(2) 若小李是文科学生，则他爱看电影．小李不是文科学生. 所以, 他不爱看电影．（3）设y=2|x|，x为实数. 推理如下：若y在x=0可导，则y在x=0连续. y在x=0连续. 所以，y在x=0可导.3．在自然推理系统P中，用直接证明法构造下面推理的证明(1) 前提：⌝(p∧⌝q), q→⌝r, r结论：⌝p(2) 前提：p→r, q→s, p,q结论：r∧s4．在自然推理系统P中，用附加前提证明法证明下面推理．(1) 前提：⌝p∨ (q→r), s→p, q结论：⌝r→⌝s(2) 前提：⌝p→q, ⌝p∨r, q→s结论：⌝s→r5．在自然推理系统P中，用归谬法证明下面推理．前提：p→(q→r), p∧q结论：r∨s6．在自然推理系统P中，构造下面用自然语言给出的推理．若小张喜欢数学，则小李或小赵也喜欢数学．若小李喜欢数学，则他也喜欢物理．小张确实喜欢数学，可小李不喜欢物理. 所以, 小赵喜欢数学．（四）1.填空题2.(1) 设F(x)：x具有性质F，G(x)：x具有性质G. 命题“对所有的x而言，若x有性质F，则x就有性质G”的符号化形式为__________________________；(2) 设F(x)：x具有性质F，G(x)：x具有性质G. 命题“有的x既有性质F、又有性质G”的符号化形式为__________________________；(3) 设F(x)：x具有性质F，G(y)：y具有性质G. 命题“若所有的x都有性质F，则所有的y都有性质G”的符号化形式为__________________________；(4) 设F(x)：x具有性质F，G(y)：y具有性质G. 命题“若存在x具有性质F，则所有的y都没有性质G”的符号化性质为__________________________；(5) 设A为任意的一阶逻辑公式，若A中_________________，则称A为封闭的公式；(6) 在一阶逻辑中将命题符号化时，若没指明个体域，则使用________________个体域.2. 用0元谓词将下列命题符号化(1) 只要4不是素数，3就是素数；(2) 只有2是偶数，4才是偶数；(3) 5是奇数当且仅当5不能被2整除.3. 在一阶逻辑中将下列命题符号化(1) 所有的整数，不是负整数，就是正整数，或者是0；(2) 有的实数是有理数，有的实数是无理数；(3) 发明家都是聪明的并且是勤劳的．王前进是发明家. 所以, 王前进是聪明的并且是勤劳的．4．在一阶逻辑中，将下列命题符号化(1) 实数不都是有理数；(2) 不存在能表示成分数的无理数．5．在一阶逻辑中，将下列命题符号化(1) 若x与y都是实数且x>y，则x+2>y+2；(2) 不存在最大的自然数．6．证明题(1) 证明∀x(F(x)→G(x))∧∃y(H(y)∧⌝R(y))为可满足式、但不是永真式；(2) 证明(∀xF(x)∨∃yG(y))∧⌝∃yG(y) →∀xF(x)为永真式．（五）1．填空题．(1) ⌝∃x∀yF(x,y)的前束范式为_______________________；(2) 由量词量词分配等值式，∃x(A(x)∨B(x))⇔________________；(3) 缩小量词的辖域, ∀x(F(x)→B)⇔ ________________；(4) 公式((∀y⌝G(x)∧∀xF(x))∧∃yG(y))→∀xF(x)的类型为_____________________；(5) 取解释I为：个体域为D={a}，F(x)：x具有性质F，在I下∀xF(x)↔∃xF(x)的真值为_________；(6) 前提：∀x∃yF(x,y)结论：∃yF(y,y)以上推理是错误的，某学生却给出了如下证明：①∀x∃yF(x,y) 前提引入②∃yF(y,y) ①∀-此证明错在_____________________．2．在有限个体域内消去量词．(1) 个体域D={1,2,3}，公式为∀x∀y(F(x)→G(y))(2) 个体域D={a,b}，公式为∀x∃y(F(x,y)→G(y,x))3．求前束范式．(1) ∀x(F(x,y)→∀y(G(x,y)→∃zH(x,y,z)))；(2) (∃xF(x,y)→∀yG(x,y,z))→∃zH(z).4．在自然推理系统N L 中，构造下面推理的证明．(1) 前提：∀x∀y(F(x)→G(y)), F(a)结论：∃xG(x)(2) 前提：∀x(F(x)→∀y(G(y)∧H(x))), ∃xF(x)结论：∃x(F(x)∧G(x)∧H(x))5．在自然推理系统F中，构造下面用自然语言描述的推理．火车都比汽车快，汽车都比轮船快，a是火车，b是汽车，c是轮船．所以，a比b快，b比c快．（六）1. 填空题(1) 设A={2,a,{3},4}, B={∅, 4,{a},3}，则A⊕B=______________________________；(2) 设A={{{1,2}},{1}}，则P(A)=__________________________________________；(3) 设X,Y,Z为任意集合，且X⊕Y={1,2,3}, X⊕Z={2,3,4}，若2∈Y, 则一定有_______；A. 1∈ZB. 2∈ZC. 3∈ZD. 4∈Z(4) 下列命题中为真的是________________________________________________；A. {a,{b}}∈{{a,{b}}}B. ∅∈P(⋃{∅,{∅}})C.{a}⊆X⇔a∈XD. X⋃Y=Y⇔X=∅E. X-Y=X⇔X⊆~Y(5) 设[0,1]和(0,1)分别表示实数集上的闭区间和开区间，则下列命题中为真的是_____________________________________；A. {0,1}⊆ (0,1)B. {0,1}⊆ [0,1]C. (0,1)⊆[0,1]D. [0,1]⊆QE. {0,1}⊆Z(6) 设[a,b], (c,d)代表实数区间，那么([0,4]⋂[2,6])-(1,3)=_________________________.2. 简答题(1) 设E={1,2,...,12}，A={1,3,5,7,9,11}, B={2,3,5,7,11}，C={2,3,6,12}, D={2,4,8}，计算：A⋃B, A⋂C, C-(A⋃B), A-B, C-D, B⊕D.(2) 设A={{a},{a,b}}, 求⋃A, ⋂A, ⋃⋃A-⋂⋃A.(3) 设A, B, C为集合，判断下列集合等式是否为恒等式，并说明理由.(A⋃B⋃C)-(A⋃B) = C, A-(B-C) = (A-B) - (A-C)(4) 找出下列集合等式成立的充分必要条件, 并简单说明理由.(A-B)⊕(A-C)=∅3. 证明题(1) A⊆B⇒C-B⊆C-A；(2) A⋃B=E⇔~A⊆B⇔~B⊆A.4. 应用题（1）一个学校有507, 292, 312和344个学生分别选了微积分、离散数学、数据结构或程序设计语言课，且有14人选了微积分和数据结构课，213人选了微积分和程序设计语言课，211人选了离散数学和数据结构课，43人选了离散数学和程序设计语言课，没有学生同时选微积分和离散数学课，也没有学生同时选数据结构和程序设计语言课。
离散数学：计算机科学的基础
离散数学是计算机科学的基础，它是研究离散对象的数学分支，如逻辑、集合、图论等。
离散数学与连续数学相对，对于处理离散性问题具有更强的适应性。
在计算机科学中，许多问题需要使用离散数学的方法来进行建模和解决，因此离散数学对于计算机科学的发展起到了重要的推动作用。
首先，离散数学中的逻辑是计算机科学中的基础。
逻辑是研究正确推理的学科，而计算机科学中的程序设计和编写同样需要正确的推理。
在计算机科学中，我们需要设计出正确、可靠的算法来完成各种任务。
而离散数学中的命题逻辑和谓词逻辑为我们提供了形式化的推理工具，使我们能够清晰地分析和描述问题，并通过数学方法进行推理和证明。
逻辑的严谨性和可靠性为计算机科学的发展提供了坚实的基础。
其次，离散数学中的集合论是计算机科学中的重要工具。
集合论研究的是集合和其运算关系，这与计算机科学中的数据结构有着密切的联系。
在计算机科学中，我们经常需要使用集合来表示和组织数据。
比如，我们可以使用集合来表示图的节点和边的集合，使用集合来表示数据库中的数据集合等。
集合论为我们提供了描述和处理这些集合的数学工具，使我们能够更加高效地进行数据的组织和处理。
另外，离散数学中的图论也是计算机科学中的关键领域之一。
图论研究的是图及其性质和运算，它广泛应用于计算机网络、算法设计和优化等领域。
在计算机科学中，我们需要处理各种各样的图，如有向图、无向图、加权图等。
而图论为我们提供了一系列的理论模型和算法，使我们能够更好地理解和解决与图相关的问题。
此外，离散数学中的数论、代数和组合数学等也在计算机科学中发挥着重要作用。
数论研究的是数字、整数和其性质，而计算机科学中的加密算法和安全技术就是建立在数论的基础之上。
代数研究的是数和其运算关系，而计算机科学中的编译器设计和程序优化也离不开代数的支持。
组合数学研究的是离散结构的排列组合，而计算机科学中的算法设计和复杂性理论中也用到了组合数学的方法和思想。
综上所述，离散数学是计算机科学的基础，它为计算机科学提供了数学工具和思维方式，使得我们能够更好地分析和解决各种计算问题。
离散数学ei
离散数学ei全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：离散数学是一门研究离散对象和离散结构的数学分支学科。
它的研究对象包括集合、函数、算法、图论、组合数学等，对计算机科学、信息技术、电子工程等领域都有着重要的影响。
在计算机科学的教育与研究工作中，离散数学ei往往是不可或缺的基础知识。
本文将介绍离散数学ei的基本概念和相关知识，帮助读者更好地了解离散数学ei 的重要性和实际应用价值。
我们来看看离散数学ei的基本概念。
离散数学ei是指离散数学（Discrete Mathematics）与电子信息（Electronics and Information）的结合。
离散数学ei主要研究离散数学如集合、关系、图论、逻辑等在电子信息领域中的应用。
它旨在研究与处理数字、二进制、逻辑门、开关和其它电子元件等，其中的数学工具主要是集合论、代数、离散数学、逻辑、图论等。
离散数学ei是计算机科学和信息技术领域的重要基础理论。
离散数学是计算机科学的理论基础，是计算机科学家们思考问题、分析问题、解决问题的基本思维方式。
离散数学ei不仅涉及理论方面的知识，还与实际应用密切相关。
在信息论、数据压缩、密码学、协议设计等领域都需要运用离散数学ei的知识。
集合论是离散数学ei的重要内容之一。
集合是指元素的无序组合。
在集合论中，我们会学习集合的运算、关系、函数等基本概念，以及集合的性质和运算法则。
集合论是很多离散数学ei的基础概念，它的应用在电子信息领域中非常广泛。
另一个重要的概念是关系。
关系是指两个集合之间元素的对应关系。
在离散数学ei中，我们会学习关系的基本性质、等价关系、偏序关系等，通过关系的研究，我们可以分析和描述不同元素之间的联系和规律。
图论也是离散数学ei中的重要内容。
图是由节点和边组成的数学结构，在离散数学ei中，我们会学习图的基本概念如路径、环、连通性等，以及图的常见算法和应用。
图论在计算机科学和通信领域中有着广泛的应用，例如网络拓扑结构、路由算法、图像处理等。
离散数学基础
解：（1）R=IA{<d,b>, <d,c>, <d,a>, <b,a>, <c,a>, <e,c>, <e,a>}
（2）集合B的极大元：c， 极小元：d、e，最大元：c， 最小元：无，上界：c、a， 上确界：c，下界：无，下 确界：无。
5、已知f：RR且f(x)=(x+4)^3-2，已知g：RR且g(x)=3*x+5， 求:(1)f与g的合成函数，并求3在f与g的合成函数下的函数值。 (2)g与f的合成函数是否存在逆函数？为什么？如果有，求它 的逆函数。
解 : (1)f°g: RR ， 且 f°g(x)=g(f(x))=3*((x+4)^32)+5=3*(x+4)^3-1
f°g(3)=3*(3+4)^3-1=1028
(2)因为g与f都是双射函数；那么，g与f的合成函数也是双射函 数。故g与f的合成函数存在逆函数。
g°f: RR，且g°f(x)=f(g(x))=3*(3*x+5)^3-2
5、函数的性质，求复合函数和逆函数。
三、例题
1、 这两个关系是否正确？ 答：正确。在中表示元素；在中表示空集。 2、求R={<1,2>, <2,3>, <3,4>}的传递闭包。 解：R的传递闭包={<1,2>, <2,3>, <3,4>, <1,3>, <2,4>,<1,4>}。
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1.3 命题定理
基本等值式：也称为命题定律或命题定理，一共
16组25个，见书P16（熟记）
常用的重要等值公式表：
1、A A 2、AAA 3、AAA 等 幂 律 双重否定律
4、ABBA
5、AB BA
交
换
律
6、(AB) C A(BC)
7、(AB)C A(BC) 8、A(B C ) (AB) ( AC) 9、A(B C ) (AB) (AC) 10、 (AB) A B 11、 (AB) A B 分 配 律 结 合 律
例
利用等值演算证明下列等值公式
(1) P(QR)(PQ)R
(2) P(PQ)(P Q) 解题思想
可以从左或右的任一个公式开始 演算；演算的每一步都要用置换 定理。
(1) P(QR)(PQ)R
解：(1) P (Q R ) ¬ P (Q R )
¬ P (¬ Q R) (¬ P ¬ Q ) R ¬ ( P Q ) R (PQ)R)
构造真值表的步骤
(1) 将变元按一定顺序排出，再按从内到外的
顺序列出公式的各个运算层次，将它们 排在表头上； (2) 如有n个变元，则所有可能的赋值有2n组， 每组可用n位的二进制数表示，按字典顺 序每行排一组 (3) 在表上由左到右填写相应的真值。
1.2 命题公式与赋值
构造命题公式的真值表
德 · 摩根律
12、 A(AB) A
13、 A(AB) A 14、 A1 1 15、 A0 0 16、 A0 A 17、 A1 A
吸收律
*
零
律
同 一 律
18、 A A 1 19、 A A 0 20、 AB AB
排 矛
中 盾
律 律 *
判定命题公式类型的方法：
真值表法:对于任给公式，列出该公式的真值表，若 真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若 真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若 真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是 可满足式. 推导法: 利用基本等值式(双重否定律、幂等律、交 换律、结合律、分配律、吸收律、摩根律、同一律、 零律、否定律、蕴含等值式、等价等值式、假言易 位和等价否定等值式等)，对给定公式进行等值推导， 若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公 式的真值为0，则该公式为永假式.
德 · 摩根律 结 合 律
(Q ¬ Q) ¬ P
1 ¬ P排源自中律1零 律
故(1)是重言式
(2) ( P ¬ P ) ((Q ¬ Q) R) 解：(2) ( P ¬ P ) ((Q ¬ Q) R)
1 ((Q ¬ Q) R)
1 ( 0 R) 1 0 ¬1 0 00
例子：P12 课堂练习：
用真值表判定公式PQ与PQ是否等值
1.2 命题公式与赋值
命题公式的分类
重言式或永真式 矛盾式或永假式 可满足式 仅可满足式
命题公式的类型
重言式或永真式： 设A是一个命题公式， 若A在各种赋值下取值
恒为真, 则A为重言式。
矛盾式或永假式：命题公式A在各种赋值下 取值均为假。 可 满 足 式：命题公式A至少存在一组 赋值为成真赋值。 仅可满足式：既不是矛盾式也不是重言式
( ？) ( ？)
( ？)
( ？) ( ？)
0
( ？)
(3) 类似(1), (2)可知：( P Q ) ¬ P ¬ P(自己做做)
1.2 命题公式与赋值
真值指派
定义：命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1， P2,…,Pn，给P1，P2,…,Pn各指定一个真值0或1，称
为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P 的值为1，则这组值为P的真指派；若使P的值为0， 则称这组值称为P的假指派. 真值表：一个公式P在所有赋值下取值情况列成的 表
置换定理：(A)是含命题公式A的命题 公式, (B)是用B置换了(A)中的A之后 得到的命题公式。 如果AB, 则(A) (B)
判断两个公式是否等值：
判断A B是否为重言式
等值演算法:可以从左或右的任一个公式开始演算； 演算的每一步都要用置换定理。
1.3 命题定理
蕴涵等值式
21、 AB(AB)(BA )
22、 ABB A
等 价 等 值 式
假 言 易 位
23、 ABB A
24、 (AB)(AB ) A
等价否定等值式 归谬论 *
以上24个等值式必须熟记，并注意其中所 含的A、B、C可以是任意的一个命题公式，因而 每个公式是一个模式，可以代表无数多个同类型 的命题公式。 利用24个基本等值式，不用真值表法也可以 推演很多的等值式来。
解题分析
真值表法可以判别公式类型 (重言、永假、可满足)，但
等值演算的方法更简捷。
(1) Q ¬ ((¬ PQ ) P )
解：(1) Q ¬ ((¬ PQ ) P )
Q ¬ ((¬ P P ) (Q P)) Q ¬ ( 0 (Q P)) Q ¬ (Q P) Q (¬ Q ¬ P) 分 配 律 矛 同 盾 一 律 律
蕴涵等值公式
蕴涵等值公式 结 德 合 律
·摩 根 律
蕴涵等值公式
(2) P(PQ)(P Q) 解：(2) P
P1 同一律
P (Q ¬ Q)
( P Q ) (P ¬ Q)
排中律
分配律
例
判别下列公式的类型 (1) Q ¬ ((¬ PQ ) P ) (2) ( P ¬ P ) ((Q ¬ Q) R) (3) ( P Q ) ¬ P