2011届高考数学第一轮点拨复习测试题24

有关函数模型的应用问题
江苏 周宝金
数学应用问题中函数模型方面的问题占大多数，弄清它们的实际背景有助于我们提高解决实际问题的能力.
1．成本和利润问题
例1、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿平均售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.
（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式)(t f p =；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式()Q g t =；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ （注：市场售价与种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）
分析：这是一道需通过图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，要注意分段函数的特点.
解：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
300, 0t 200, ()2300 200<t 300
t f t t -≤≤⎧=⎨-≤⎩ 由图二可得种植成本与时间的函数关系为
300t 0 ,100)150(20
1)(2≤≤+-=t t g （2）设t 时刻的纯收益为)(t h ，则由题意得
)(t h =)(t f )(t g -，即
)(t h =2211175, 0t 200,20022171025-, 200<t 300200
22t t t t ⎧-++≤≤⎪⎪⎨⎪+-≤⎪⎩
① 当2000≤≤t 时，配方整理得
)(t h =100)50(200
12+--t 所以，当50=t 时，)(t h 取得区间[0，200]上的最大值100；
② 当200300t <≤时，配方整理得
)(t h =100)350(200
12+--t 所以，当300=t 时，)(t h 取得区间（200，300）上的最大值87.5
综上，由10087.5>可知，)(t h 在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时50=t ，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.
说明：解成本与利润问题应弄清成本的构成及利润的计算式子，而对于最值的求解还应注意函数的特点，此题要由分段函数分别求最值才能得出正确结果.
2．有关运费问题
例2、甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.
（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域.
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：这也是一道需建立函数关系求最值的问题，注意文字语言转化为数学语言.
解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s v
，全程运输成本为
2()s s a y a bv s bv v v v
=⨯+=+ 故所求函数及其定义域为 (),(0,]a y S bv v c v
=+∈
（2）依题意知S ，a ，b ，v 都为正数，故有 ()2a S bv v
+≥
当且仅当a bv v =，即v =.
c ≤
，则当v =y 最小；
c >，当(0,]v c ∈时，有 ()()[()()]()()a a a v S bv S bc S bv bc v c v c S c v a bcv vc
+-+=-+-=-- 因为0c v -≥，且2a bc >，故有 20a bvc a bc -≥-> 故有()()a a S bv S bc v c
+≥+，当且仅当v c =时等号成立. 即当v c =，全程运输成本y 最小.
综上知，为使全程运输成本y
c ≤
时，行驶速度应为v =；
c >时，行驶速度应为v c =. 说明：此题函数关系的建立需从题目的文字语言中寻找，而求最值又要用到求函数最值的一些方法，如不等式法、函数单调性法.
3．经济问题的一些最值问题
例3、20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜，棉花、水稻，这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表，应怎样计划才能使每亩地都能种上作物（水稻必种），所有劳力都有工作且作物预计总产值达最高？
解：设种x 亩水稻(0＜x ≤50)，y 亩棉花(0≤y ＜50)时，总产值为h 且每个劳力都有工作
∴0.30.50.6[50()]h x y x y =++-+且x 、y 满足1[50()]20432
x y x y ++-+=
即32720
h x =-+，4≤x ≤50，x N ∈ 欲使h 为最大，则x 应为最小，故当x = 4（亩）时，max 26.4h =万元，此时y = 24（亩），
故安排：1人种4亩水稻，8人种24亩棉花，11人种22亩蔬菜时农作物产值最高且每个劳力都有工作.
说明：题中显示“产值最高”的语句，属于函数类问题，应从构造有关产值的函数关系入手.
4．建筑造价最值问题
例4、某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有一面14m 的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126m 2的厂房（不考虑墙高），工程造价是：（1）修1米旧墙费用是造1米新墙费用的25%；（2）拆去1米旧墙用所得的材料来建1米新墙的费用是建1米新墙费用的50%，问如何利用旧墙才能使建墙费用最低。

解：设保留旧墙x(m)，即拆去旧墙14－x(m)修新墙，所以设建一米新墙费用为a ，则有 修旧墙的费用为1125%4
y x a ax =⋅= 拆旧墙的费用为21(14)50%(14)2y x a a x =-⋅=
- 建新墙的费用为3252(214)y x a x
=+- 所以总费用为1237252[()7]4y y y y a x x
=++=+-
≥7]35a a = 当且仅当72524x x
=，即x = 12时，等式成立， 故保留12m 旧墙总费用最低.
说明：了解建筑造价上的一些实际背景有助于建立该问题的函数.。