【精准解析】吉林省梅河口市第五中学2020届高三上学期期中考试数学(文)试题
2020年吉林省通化市梅河口五中高考数学七模试卷(文科)(有解析)
2020年吉林省通化市梅河口五中高考数学七模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.复数z=(1+i)2(2−i)的虚部为()A. −4B. 2C. 4D. 4i2.已知集合A={x|x>2}，B={x|x2−3x<0}，则A∪B=()A. (0,3)B. (2,3)C. (0,+∞)D. (2,+∞)3.如图，是某班50名学生身高的频率分布直方图，那么身高在区间[150,170)内的学生人数为()A. 16B. 20C. 22D. 264.不等式x2−x−2<0成立的一个充分不必要条件是a<x<a2+1，则a的取值范围为()A. −1≤a≤1B. −1≤a<1C. −1<a<1D. −1<a≤15.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则C=()A. π3B. 2π3C. 3π4D. 5π66.方程√(x+5)2+y2−√(x−5)2+y2=6的化简结果为()A. x216−y29=1 B. x29−y216=1C. D.7.若实数x，y满足不等式，且的最大值为5，则实数m的值为()A. 0B.C.D.8.函数f(x)=(21+e x−1)cosx的部分图象大致为()A.B.C.D.9. 将函数f(x)=sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的一个可能取值为( )A. 3π4B. π4C. 0D. −π410. 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性 14C ，动植物死亡后，停止新陈代谢， 14C 不再产生，且原有的 14C 会自动衰变．经科学测定， 14C 的半衰期为5730(设 14C 的原始量为1，经过x 年后， 14C 的含量f(x)=a x ，即f(5730)= 12.现有一古物，测得 14C 为原始量的79.37%，则该古物距今约多少年?( )(参考数据：√123≈0.7937，√125730≈0.9998)A. 1910B. 3581C. 9168D. 1719011. 设椭圆x 2a 2+y 23=1(a >√3)的右焦点为F ，右顶点为A.已知1|OF |+1|OA |=3e|FA |，其中O 为原点，e为椭圆的离心率．则e =( )A. √32B. 12C. √22D. √3−112. 已知f(x)=|3x −1|+1，若关于x 的方程[f(x)]2−(2+a)f(x)+2a =0有三个实根，则实数a 的取值范围是( )A. 1<a <2B. a >2C. 2<a <3D. a >1二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 若sin(π3−α)=45，则cos(2α+π3)= ______ ．14. 已知曲线f(x)=(x +a)lnx 在点(1,f(1))处的切线与直线2x −y +2=0平行，则实数a =______ ．15.给出下列等式：√2=2cosπ4,√2+√2=2cosπ8,√2+√2+√2=2cosπ16,......,请从中归纳出第n个等式：___________．16.曲线y=(x−1)e−x在点(0,−1)处的切线方程为__________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.正项数列{a n}满足：a n2−(2n−1)a n−2n=0．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)令b n=1(n+1)a n ，求数列{b n}的前n项和T n.并求使T n>511成立的最小正整数n的值．18.在6件产品中，有3件一等品，2件二等品，1件三等品，产品在外观上没有区别，从这6件产品中任意抽检2件，计算：(1)两件中至多有1件是二等品的概率；(2)两件产品的等级不同的概率．19.在底面为正方形的四棱锥S−ABCD中，SD⊥平面ABCD，E、F是AS、BC的中点，(Ⅰ)求证：BE//平面SDF；(Ⅱ)若AB=5，求点E到平面SDF的距离．20.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的正半轴上，且抛物线的焦点到准线的距离为2．(Ⅰ)求抛物线的标准方程；(Ⅱ)若直线l:y=2x+1与抛物线相交于A、B两点，求|AB|．21.设函数f(x)=lnx−(a+1)x,(a∈R)．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当函数f(x)有最大值且最大值大于3a−1时，求a的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cos θy =2sin θ(θ为参数)已知点Q(4,0)，点P 是曲线C 1上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；(2)已知直线l:y =kx 与曲线C 2交于A ，B 两点，若OA⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求k 的值．23. 已知函数f(x)=|x −1|−|x +2|．(1)求不等式f(x)≤2的解集M ．(2)当x ∈M 时，|f(x)|>a 2−a ，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵z=(1+i)2(2−i)=2i(2−i)=2+4i，∴z=(1+i)2(2−i)的虚部为4．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：本题主要考查集合的并集运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．解一元二次不等式化简集合B，再利用并集的定义求解即可．解：集合A={x|x>2}，B={x|x2−3x<0}={x|0<x<3}，则A∪B={x|x>0}．故选C．3.答案：B解析：根据频率分布直方图求出对应的频率，再计算对应的频数即可．本题考查了根据频率分布直方图求频率以及频数的应用问题，是基础题目．解：根据频率分布直方图得，身高在区间[150,170)内的频率为：(0.01+0.03)×10=0.4，所求学生的人数为：50×0.4=20．故选：B．4.答案：D解析：解：由不等式x 2−x −2<0，得−1<x <2．∵不等式x 2−x −2<0成立的一个充分不必要条件是a <x <a 2+1， ∴(a,a 2+1)⫋(−1,2)，则{a <a 2+1a ≥−1a 2+1≤2且a ≥−1与a 2+1≤2的等号不同时成立，解得−1<a ≤1． ∴a 的取值范围为−1<a ≤1． 故选：D ．求解一元二次不等式可得x 2−x −2<0的解集，再由题意得关于a 的不等式组求解． 本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题．5.答案：B解析：本题考查正弦，余弦定理，属于基础题． 由正弦定理化简可得a =53b ，c =7b 3，结合余弦定理可解C 的值．解：由正弦定理3sinA =5sinB ，可得3a =5b ，a =53b ， 代入b +c =2a ，c =7b 3，由余弦定理，，．故选B ．6.答案：C解析：本题考查了双曲线的定义问题，解题时应根据题意得出方程表示的几何意义是什么，从而得到化简的结果，是基础题．设A(−5,0)，B(5,0)，|PA|−|PB|=6，故点P 到定点A(−5,0)与到定点B(5,0)的距离差为6，由双曲线的定义可得答案．解：设A(−5,0)，B(5,0)，由于动点P(x,y)的轨迹方程为√(x +5)2+y 2−√(x −5)2+y 2=6， 则|PA|−|PB|=6，故点P 到定点A(−5,0)与到定点B(5,0)的距离差为6， 则动点M(x,y)的轨迹是以(±5,0)为焦点，以6为实轴长的双曲线的右支， 由于2a =6，c =5，则b 2=c 2−a 2=25−9=16，故M 的轨迹的标准方程为：．故选C ．7.答案：D解析： 【试题解析】本题考查简单的线性规划，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题． 画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数的最大值为5，确定约束条件中m 的值即可．解：画出约束条件{2x +y +2≥0x +y −1≤0y ≥m，的可行域，如图：x −y 的最大值为5，由图形可知，z =x −y 经过可行域的A 时取得最大值5， 由{x −y =5x +y =1⇒A(3,−2)是最优解， 直线y =m 过点A(3,−2)，所以m =−2， 故选D ．8.答案：B解析：解：函数f(x)=(21+e x−1)cosx =1−e x1+e x ⋅cosx ， 可知：f(−x)=1−e −x 1+e−x cos(−x)=−e x −1e x +1⋅cosx =−f(x)，函数是奇函数．排除A 、C ，当x ∈(0,π2)时，f(x)<0，排除D ， 故选：B ．判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊点的位置判断即可．本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性与特殊点位置是判断函数的图形的常用方法．9.答案：B解析：解：将函数f(x)=sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位， 可得到的函数y =sin[2(x +π8)+φ)]=sin(2x +π4+φ)的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，可得π4+φ=kπ+π2，即φ=kπ+π4，k ∈z ， 则φ的一个可能取值为π4， 故选：B ．由条件利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值． 本题主要考查y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．10.答案：A解析：解：设 14C 的原始量为1，经过x 年后， 14C 的含量f(x)=a x ， 由题意可知：f(5730)=12，即a 5730=12， ∴a =√125730，令f(x)=0.7937，得：a x =0.7937， ∴x =log a 0.7937=lg0.7937lga=lg √123lg√12=13lg 1215730lg 12=57303=1910，∴该古物距今约1910年． 故选：A ．由f(5730)=12可得a =√125730，令f(x)=0.7937，得x =log a 0.7937，利用换底公式结合对数的运算性质即可求出x 的值．本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，是中档题．11.答案：B解析：本题考查了椭圆的性质，考查了椭圆的离心率的求法，是基础题．把|OF|、|OA|、|FA|代入1|OF |+1|OA |=3e|FA |，转化为关于a ，c 关系式，进而求得c 值，进一步求出a 值，则椭圆的离心率e 可求． 解：设F(c,0)，由1|OF |+1|OA |=3e|FA |， 即1c +1a =3ca (a−c )，可得a 2−c 2=3c 2， 又a 2−c 2=b 2=3， ∴c 2=1，因此a 2=4． ∴e 2=c 2a 2=14，则e =12．故选：B ．12.答案：A解析：方程[f(x)]2−(2+a)f(x)+2a =0的解为f(x)=2或f(x)=a ，作出函数f(x)的图象，观察即可得解．本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题． 解：方程[f(x)]2−(2+a)f(x)+2a =0的解为f(x)=2或f(x)=a ， 作函数f(x)=|3x −1|+1的草图如下，由图可知，f(x)=2有一个解，则f(x)=a有两个解，故1<a<2．故选：A．13.答案：725解析：本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．由条件利用诱导公式求得cos(π6+α)的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos(2α+π3)的值．解：∵sin(π3−α)=cos(π6+α)=45，∴cos(2α+π3)=2cos2(α+π6)−1=2×1625−1=725，故答案为：725．14.答案：1解析：本题考查导数的几何意义，求切线的斜率，考查两直线平行的条件，斜率相等，正确求导是解题的关键，求得f(x)的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件，斜率相等，解方程即可得到所求值，属于基础题．解：f(x)=(x+a)lnx的导数为f′(x)=lnx+x+ax，曲线f(x)=(x+a)lnx在点(1,f(1))处的切线斜率为k=ln1+1+a=1+a，由切线与直线2x−y+2=0平行，可得1+a=2，解得a=1．故答案为：1．15.答案：解析：本题考查合情推理中的归纳推理，属简单题．解：第1个式子：，第2个式子：，第3个式子：，⋯⋯⋯故可归纳出第n个等式：，故答案为．16.答案：y=2x−1解析：本题考查求曲线的切线方程，导数的几何意义，属于基础题．结合导数的几何意义先求切线斜率，再写切线方程即可．解：因为y=(x−1)e−x=x−1e x，y′=2−xe x，当x=0时，y′=2，所以切线的斜率为2，切点为(0,−1)，所以切线的点斜式方程为y+1=2x，即y=2x−1．故答案为y=2x−1．17.答案：解：(1)∵a n2−(2n−1)a n−2n=0，∴(a n−2n)(a n+1)=0，又∵各项为正，∴a n=2n．(2)∵b n=1(n+1)a n =12n(n+1)=12(1n−1n+1)，∴数列{b n}的前n项和T n=12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=12(1−1n+1)，若T n >511，即12(1−1n+1)>511，解得n >10，即使T n >511成立的最小正整数n =11．解析：(1)根据数列的递推关系，即可求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求出b n =1(n+1)an 的通项公式，利用裂项法即可得到结论．本题主要考查数列的通项公式以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键． 18.答案：解：(1)两件中至多有1件是两件中没有二等品或两件中恰有1件二等品，两件中没有二等品的概率p 1=C 42C 62=25， 两件中恰有1件二等品的概率p 2=C 21C 41C 62=815，∴两件中至多有1件是二等品的概率p =p 1+p 2=25+815=1415．(2)两件产品的等级不同的概率：p 2=C 31C 21+C 31C 11+C 21C 11C 62=1115．解析：(1)两件中至多有1件是两件中没有二等品或两件中恰有1件二等品，由此能求出两件中至多有1件是二等品的概率．(2)先求出从这6件产品中任意抽检2件的基本事件个数，再求出两件产品的等级不同的基本事件个数，由此能求出两件产品的等级不同的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式和等可能事件概率计算公式的合理运用．19.答案：证明：(Ⅰ)取SD 的中点Q ，连接QF 、QE ，由于点E 为侧棱AS 的中点，Q 为SD 的中点，故在△DAS 中，QE = //12AD ， 由于F 是BC 的中点故BF=//12AD，则QE=//BF，故BFQE为平行四边形，故BE//QF，又QF⊂平面SDF，BE⊄平面SDF，故BE//平面SDF；解：(Ⅱ)由DS⊥面ABCD，又AB⊂面ABCD，故D S⊥AB又AB⊥AD，AD∩DS=D，AD，DS⊂面ADS，故AB⊥面ADS，又BC//面ADS，故F到面ADS的距离为AB的长，即为5．设点E到平面SDF的距离为h．又V F−SED=V E-SDF，故53×12×12SD×5=13ℎ×12SD×5√52，解得ℎ=√5，所以点E到平面SDF的距离ℎ=√5．解析：本题考查线面平行的判定，考查等体积方法求点到平面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)取SD的中点Q，连接QF、QE，证明BFQE为平行四边形，可得BE//QF，即可证明：BE//平面SDF；(Ⅱ)若AB=5，利用等体积方法求点E到平面SDF的距离．20.答案：解：(Ⅰ)由题意，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2，可知p=2．∴抛物线标准方程为：x2=4y；(Ⅱ)直线l：y=2x+1过抛物线的焦点F(0,1)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴|AB|=y1+y2+p=y1+y2+2，联立{y =2x +1x 2=4y，得x 2−8x −4=0， ∴x 1+x 2=8，∴|AB|=y 1+y 2+2=2x 1+1+2x 2+1+2=2(x 1+x 2)+4=20．解析：本题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，正确运用抛物线的定义是解答本题的关键，属基础题．(Ⅰ)利用抛物线的定义，求出p ，即可求抛物线的标准方程．(Ⅱ)直线l ：y =2x +1与抛物线联立，利用韦达定理及抛物线的定义，即可求AB 的长度． 21.答案：解：(Ⅰ)由题得函数f (x )的定义域为，，①当a +1≤0，即a ≤−1时，f′(x )>0，函数f (x )在区间(0,+∞)内单调递增；②当a +1>0时，令f′(x )=0，解得x =1a+1，当0<x <1a+1时，f′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1a+1时，f′(x )<0，f (x )单调递减，综上，当a ≤−1时，f (x )在区间(0,+∞)内单调递增； 当a >−1时，f (x )在区间(0,1a+1)内单调递增，在区间(1a+1,+∞)内单调递减；(Ⅱ)由(1)得，当a >−1时，，则， 即， 令， 因为g (0)=0，且g (a )在区间(−1,+∞)内单调递增，所以由得，故a 的取值范围为(−1,0)．解析：本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题． (Ⅰ)先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；(Ⅱ)先求出函数的最大值，再构造函数，根据函数的单调性即可求出a 的范围． 22.答案：解：(1)设P(2cosθ,2sinθ)，M(x,y)，因为点Q(4,0)，点M 为PQ 的中点， 所以整理得(x −2)2+y 2=1．即x 2+y 2−4x +3=0，化为极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+3=0．(2)设直线l ：y =kx 的极坐标方程为θ=α．设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即4ρ1=3ρ2． 联立整理得ρ2−4cosα·ρ+3=0， 则， 解得． 所以，则k =±√157．解析：本题考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用，属于中档题．(1)利用中点坐标公式，与同角三角函数的平方关系，消去参数可得曲线C 2的普通方程，由互化公式ρ2=x 2+y 2,ρcosθ=x,ρsinθ=y 再化为极坐标方程；(2)联立直线与C2的极坐标方程，整理得ρ2−4cosα·ρ+3=0.则，解得，由，求得k．23.答案：解：(1)f(x)=|x−1|−|x+2|={3,x⩽−2−2x−1,−2<x<1−3,x⩾1,当x≥1时，f(x)≤2恒成立，当−2<x<1时，由−2x−1≤2得x⩾−32，当x≤−2时，3≤2不成立，综上所述，不等式f(x)≤2的解集M为{x|x⩾−32}．(2)由(1)得，当x∈M时，f(x)≤2，那么|f(x)|≥0，从而可得a2−a<0，即实数a的取值范围是(0,1)．解析：本题考查绝对值不等式．属中档题．(1)将f(x)写成分段函数，分别求解即可；(2)当x∈M时，f(x)≤2，那么|f(x)|≥0，从而可得a2−a<0，解得实数a的取值范围．。
2020年3月吉林省梅河口市第五中学2020届高三高考模拟考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前吉林省梅河口市第五中学2020届高三毕业班下学期3月高考模拟考试数学(文)试题1、已知集合A ={1,2,3},B ={x(x +1)(x -2 )≤0}，则A⋂B 等于( )A. {1}B. {1, 2}C. {0,1, 2, 3}D. {-1,0,1,2,3}2、已知复数z 在复平面内对应点是(1, -2),i 为虚数单位,则z + 2 =( )z -1A. -1 -iB. 1+i3C. 1-i2D. 1+3 i23、命题"∀x∈ R, x3 -x2 +1≤ 0 "的否定是( )4、已知向量a =(4,-1),b =(-5,2),且(a +b) / /(ma -b),则实数m =（）A. 1B. -1C. 75D. -755、已知a = 21.2 ,b =⎛1 ⎫⎝⎭-0.8,c =2log52,则a,b,c 的大小关系为()2⎪A. c < b < aB. c < a < bC. b < a < cD. b < c < a6、数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长四尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图,是源于其思想的一个程序框图.若输入的 a , b 分别为 8, 2 , 则输出的 n = ()A.2B.3C.4D.57、在△ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 A = 30︒, b 2 = 2ac ,则 b sin B = c （ ） A. 1 B. 2 C. 1 2D.28、在区间[- π , π ] 上随机取一个数 x ,则sin 2x 的值介于 0 到 之间的概率为 4 4 2（） A. 3 4D. 1 3 B. 2 3 C. 1 29、已知直线 y = kx (k ≠ 0) 与双曲线 x 2 y 2 -= 1(a > 0, b > 0) 交于 A , B 两点,以 AB 为直。
梅河口市第五中学2020届高三数学第六次模拟考试试题文含解析
A。 B。 C。 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由导函数为偶函数，得出 ，由 ，得出 ，将问题转化为当直线 与函数 在区间 上的图像有两个交点时，求实数 的取值范围,然后作出函数 在区间 上的图象,利用数形结合思想求出实数 的取值范围．
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49
A. 13B。 23C。 24D。 09
A。 B. C。 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先算任取一卦的所有等可能结果，再算事件恰有2根阳线和1根阴线的基本事件，从而利用古典概型的概率求解计算。
【详解】先算任取一卦的所有等可能结果共8卦，
其中恰有2根阳线和1根阴线的基本事件有3卦,
∴概率为 。
故选：C。
【点睛】本题以数学文化为问题背景，考查古典概型，考查阅读理解能力。
【答案】B
【解析】
【分析】
根据随机数表中的取数原则可得选项。
【详解】根据题意及随机数表可得5个被选中的号码依次为16，06 ，09,13 ,23。所以第5个被选中的号码为23。
故选:B.
【点睛】本题考查随机数表抽样,考查考生的数据处理能力，考查的核心素养是数据分析，属于基础题.
3。 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有刍甍，下广三丈，袤四丈,上袤二丈,无广，高二丈,问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈､长4丈，上棱长2丈，高2丈,问：它的体积是多少？"已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的侧视图的周长为（ ）
吉林省梅河口五中(实验班)等联谊校高三上学期期中数学(文)试题(解析版)
2020届吉林省梅河口五中（实验班）等联谊校高三上学期期中数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|50A x x x =->，则C R A =（） A ．{|05}x x ≤≤ B ．{|0}x x < C ．{|5}x x >D ．{|50}x x -≤≤【答案】A【解析】求出集合A 后，根据补集定义求得结果. 【详解】{}{2500A x x x x x =-=<或}5x > {}05R C A x x ∴=≤≤本题正确选项：A 【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.2．设复数z 满足(2)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为 A ．35B ．35-C ．35iD ．35i -【答案】B【解析】把已知等式变形,根据复数的除法运算求得复数z ，再得复数z 的共轭复数，得解. 【详解】因为(2)1z i i -=+，1(1)(2)1332(21)(2)555i i i i z i i i i ++++∴====+--+, 所以复数z 的共轭复数为1355i -，所以复数z 的共轭复数的虚部为35-， 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数和复数虚部的概念,属于基础题. 3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B =A ．4B ．13C ．40D ．41【答案】C【解析】运行程序，进行计算，当5A >时退出循环，输出B 的值. 【详解】1B =，2A =；4B =，3A =；13B =，4A =；40B =，5a =.因为54>，所以输出40B =. 【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果. 4．已知等差数列{a n },若a 2=10,a 5=1,则{a n }的前7项和为 A ．112 B ．51C ．28D ．18【答案】C【解析】根据等差数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组，解出数列的首项和公差，再根据等差数列的前n 项和可得解. 【详解】由等差数列的通项公式结合题意有: 21511041a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：1133a d =⎧⎨=-⎩，则数列{}n a 的前7项和为: 7176771321(3)282S a d ⨯=+=⨯+⨯-=， 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项公式，属于基础题. 5．已知，，，若，则（ ）A ．-5B ．5C ．1D ．-1【答案】A【解析】通过平行可得m 得值，再通过数量积运算可得结果. 【详解】 由于，故，解得，于是，，所以.故选A.【点睛】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C【解析】若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，而两人的说法互相矛盾，据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了. 本题选择C 选项.7．已知tan θ＝3，则cos 3(2)2πθ+＝ A ．－45B ．－35C ．35D ．45【答案】C【解析】利用诱导公式化简得sin 2 θ，再利用22 1sin cos θθ+=，可得sin2222 sin cos sin cos θθθθθ=+，分子分母同时除以2cos x 即可得解. 【详解】 ∵tan θ＝3，∴cos 322πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin 22222263 sin cos 1915sin cos tan tan θθθθθθθ====+++， 故选C. 【点睛】本题主要考查了诱导公式及同角三角函数的关系的应用，巧用22sin cos 1θθ+=解题，属于基础题.8．若0,0,21,m n m n >>+=则11m m n++的最小值为 A ．4B ．5C ．7D ．6【答案】C【解析】由已知得12m n =-代入11m m n ++中化简得122m n+-，而()12122225n mm n m n m n m n⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式可得最小值，得解. 【详解】由已知，m ，0n >，21m n +=，得12m n =-， 所以()121111122n m m n m n m n-+++=+=+-,那么()1212222559n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13m n ==时取得等号， 所以11122927m m n m n ++=+-≥-=，即11m m n ++的最小值为7，故选:C. 【点睛】本题主要考查基本不等式,关键在于先化简已知表达式，巧用“1”构造基本不等式，属于基础题。
2020届吉林省梅河口市第五中学高三上学期期中数学(文)试题
2020届吉林省梅河口市第五中学高三上学期期中数学（文）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若集合 A ＝{x |0＜x ＜6}，B ＝{x |x 2+x ﹣2＞0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜6} B ．{x |x ＜﹣2或x ＞0} C ．{x |2＜x ＜6} D ．{x |x ＜﹣2或x＞1}2．命题“正方形的两条对角线相等”的否定为（ ） A ．每个正方形的对角线都不相等 B ．存在不是正方形的四边形对角线不相等 C ．存在对角线不相等的正方形D ．每个不是正方形的四边形对角线都相等3．已知函数()()30f x f x x '=+，则()1f =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．24．函数||3()(0)1x f x x x x-+=≠+的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．5．设0.341(),1010a b c log ===，则( ) A ．a c b << B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a b c <<6．函数()2ln 6f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,37．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ）A ．2B ．3C ．-2D ．-38．设{}n a 是公差大于零的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则“20a >”是“1n n S S +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．曲线33y x x =++上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π D ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．已知命题()0:0,p x ∃∈+∞，00122019x x +=；命题:q 在ABC ∆中，若sin sin A B >，则cos cos A B <．下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∨⌝D ．()p q ∧⌝11．函数()2log ,0,2,0,xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．612．已知定义在R 上的函数()()522222x x x x f x --=----，则不等式()()2324f x f x ++-≥-的解集为（ ）A ．()0,1B ．(]0,1C ．(],1-∞D ．[)1,+∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知函数()f x 的定义域为[]1,1-，则函数()1f x -的定义域是_________． 14．若函数()32221x x f x x a =++-有两个极值点，则a 的取值范围是_________．15．已知函数()ln e xf x x ax =--在()1,2上不单调，则a 的取值范围是_________．16．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______.三、解答题17．已知函数()f x =．（1）求()f x 的定义域与值域；（2）若()()22log 3f a f =，求22a +的值．18．已知全集U =R ，集合{}2|340A x x x =+-≤，{}|11B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =，求()UA B ；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围. 19．已知函数()()ln 1f x x x a x =--． （1）若0a =时，求()f x 的极值点；（2）若()1,2a ∈，求()f x 在[]1,e 上的最小值．20．已知()1222x x af x ++=-是其定义域上的奇函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若()()225228f tf tt -->-+-，求t 的取值范围.21．已知函数()2e21xf x x =--．（1）证明：()0f x ≥．（2）()00,x ∃∈+∞，使得()001f x ax <-成立，求a 的取值范围． 22．已知函数21()(1)2f x x a x alnx =-++． （1）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（2）若不等式22()(1)22a xf x a x x e ++++-对1[x e ∈，]e 恒成立，求正数a 的取值范围.参考答案1．B 【解析】 【分析】可以求出集合B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】∵B ＝{x |x ＜﹣2或x ＞1}，A ＝{x |0＜x ＜6}， ∴A ∪B ＝{x |x ＜﹣2或x ＞0}． 故选：B ． 【点睛】本题考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算,是基础题 2．C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题得到答案. 【详解】解：命题：“正方形的两条对角线相等”可改写为“所有的正方形，其两条对角线相等”是全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可知其否定为“有些正方形，其两条对角线不相等”即“存在对角线不相等的正方形” 故选：C ． 【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】首先求出()f x 的导函数，再令0x =即可求得()0f '，则函数解析式可求，最后代入求值即可. 【详解】 解：()()30f x f x x '=+()()2301f x f x ''∴=+ ()01f ∴'=()3f x x x ∴=+ ()31112f ∴=+=故选：D 【点睛】本题考查导数的计算，以及函数值的计算，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】根据函数解析式可判断函数的奇偶性，对称性可排除B 、D ，再由特殊值可排除C ，即可得到答案. 【详解】 解：因为||3()(0)1x f x x x x-+=≠+，所以()()f x f x -=-，即()f x 为奇函数，函数图象关于原点对称，排除B 、D ，当3x >时，()0f x <，排除C 故选：A 【点睛】本题考查函数的图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题. 5．A 【解析】 【分析】利用有界性分别得出0.341()1,10210log <<，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】0.3011()()11010<=2>=，4441log 4log 10log 162=<<=， a c b ∴<<．故选：A ．【点睛】考查指数函数、对数函数的单调性，幂函数的单调性，以及增函数、减函数的定义． 6．D 【解析】 【分析】利用零点存在定理可判断出函数()y f x =的零点所在的区间. 【详解】易知函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，又()150f =-<，()2ln 220f =-<，()3ln330f =+>， 故函数()y f x =的零点所在区间为()2,3． 故选：D. 【点睛】本题考查函数零点所在区间的判断，一般利用零点存在定理来判断，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】根据(1)3f '=求出2,a =再根据(1,)a b +也在直线32y x =-上，求出b 的值，即得解. 【详解】 因为1()f x a x'=+，所以(1)3f '= 所以13,2a a +==，又(1,)a b +也在直线32y x =-上， 所以1a b +=， 解得2,1,a b ==- 所以3a b -=. 故选：B 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．C 【解析】 【分析】由1n n S S +>得出10n a +>，再结合等差数列的性质以及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】110n n n S S a ++>⇔>，由{}n a 是公差大于零的等差数列，且20a >，可得10n a +>，即1n n S S +>； 反之，若1n n S S +>，则当1n =时，21S S >，即20a >． 因此，“20a >”是“1n n S S +>”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也涉及了等差数列基本性质的应用，考查推理能力，属于中等题. 9．D 【解析】 【分析】求出导函数值的取值范围，即可得出曲线23y x x =++上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围. 【详解】33y x x =++，2311y x '∴=+≥，即曲线323y x x =++上任意一点切线的斜率的取值范围是[)1,+∞，所以切线的倾斜角的取值范围是,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象上切线倾斜角的取值范围，解答的关键就是求出导函数值的取值范围，考查计算能力，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】判断出命题p 、q 的真假，即可判断出各选项中命题的真假，进而可得出结论. 【详解】函数()2xf x x =+在()0,+∞上单调递增，()()1012019f x f ∴>=>，即命题p 是假命题； 又sin sin A B >，根据正弦定理知a b >，可得A B >，余弦函数cos y x =在()0,π上单调递减，cos cos A B ∴<，即命题q 是真命题． 综上，可知()()p q ⌝∨⌝为真命题，p q ∧、()p q ∨⌝、()p q ∧⌝为假命题. 故选：C. 【点睛】本题考查复合命题真假的判断，解答的关键就是判断出各简单命题的真假，考查推理能力，属于中等题. 11．A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准． 12．C 【解析】 【分析】设()()22g x f x ++=，判断()g x 为奇函数，且在R 上为减函数，不等式转化为()()214g x g x +≥-+，计算得到答案.【详解】()()()52222222x x x f x x --=------，令()()52222xx x x g x x f -+=--+-=，则()()()()552222xxx x g x x x x x --=-----=-----()g x =-，即()g x 为奇函数，且在R 上为减函数. 不等式()()2324f x f x ++-≥-，等价于()()()(){}2122422fx f x +++≥--++，即()()()2144g x g x g x +≥--=-+，则214x x +≤-+，解得1x ≤. 故选：C 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，构造函数()()22g x f x ++=是解题的关键.13．[]0,2【解析】【分析】由题意可得出111x -≤-≤，进而可解得函数()1y f x =-的定义域.【详解】由题意可得出111x -≤-≤，解得02x ≤≤．因此，函数()1y f x =-的定义域为[]0,2.故答案为：[]0,2.【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解，求解抽象函数定义域时要注意以下两点：（1）中间变量取值范围一致；（2）定义域为自变量的取值范围.考查计算能力，属于基础题.14．,33⎛- ⎝⎭【解析】【分析】由题意得出()2234f x x x a '=++有两个零点，可得出>0∆，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】因为()32221x x f x x a =++-，所以()2234f x x x a '=++． 又因为函数()y f x =有两个极值点，所以函数()2234f x x x a '=++有两个零点，则216120a ∆=->，解得a <<．因此，实数a 的取值范围是,33⎛- ⎝⎭.故答案为：33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用函数的极值点个数求参数，解题时要理解函数的极值点与导函数零点之间的关系，考查计算能力，属于基础题.15．21,12e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意知，函数()y f x =在区间()1,2上存在极值点，利用导函数在区间()1,2上单调，可得出有关实数a 的不等式组，解出即可.【详解】()ln x f x x ax e =--，()1x f x a e x∴=--'，则函数()y f x ='在()1,2上单调递减， 因为函数()y f x =在()1,2上不单调，所以()0f x '=在()1,2上有解，所以()()21101202f a e f a e ⎧=-->⎪⎨=--<''⎪⎩，解得2112e a e -<<-. 因此，实数a 的取值范围是21,12e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故答案为：21,12e e ⎛⎫--⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查利用函数在区间上不单调求参数的取值范围，一般转化为函数在区间上有极值点，考查运算求解能力，属于中等题.16．0【解析】【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值.【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.17．（1）定义域为(],2-∞，值域为[)0,2；（2）15.【解析】【分析】（1）解不等式420x -≥可得出函数()y f x =的定义域，再由20x >结合不等式的基本性质可得出函数()y f x =的值域；（2）由()()22log 3f a f =可得出2a 的值，进而可计算出22a +的值．【详解】（1）由420x -≥，得2x ≤，所以，函数()y f x =的定义域为(],2-∞．因为0424x ≤-<，则02≤<，所以，函数()y f x =的值域为[)0,2；（2）因为()2log 31f ===，所以()21f a =，即()12f a =，所以1424a -=，即1524a =， 故224215a a +=⨯=．【点睛】 本题考查指数型函数的定义域和值域的求解，同时也考查了指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题.18．（1）(){}|40U B A x x =-≤<；（2）[]3,0-【解析】【分析】（1）分别求出U B 和A ,再取交集，即可．（2）因为B A ⊆且11m m -<+恒成立，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解出即可． 【详解】解：（1）若1m =，则{}|02B x x =≤≤，所以{|0U B x x =<或}2x >，又因为{}|41A x x =-≤≤，所以(){}|40U B A x x =-≤< ．（2）由（1）得，{}|41A x x =-≤≤，又因为B A ⊆，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得[]3,0m ∈-． 【点睛】 本题考查了交、补集的混合运算，考查了利用集合间的关系求参数的取值问题，解答此题的关键是对集合端点值的取舍，是基础题．19．（1）1x e =是函数()y f x =的极小值点，不存在极大值点；（2）最小值为1a a e --. 【解析】【分析】（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式，求出导数，解方程()0f x '=，并利用导数分析函数()y f x =的单调性，即可求出函数()y f x =的极值点；（2）利用导数求出函数()y f x =在区间[]1,e 上的极小值，即可得出结果.【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x =，()0,x ∈+∞，则()ln 1f x x '=+，由()0f x '=，得1x e =， 令()0f x '>，得1x e >，所以，函数()y f x =在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；令()0f x '<，得10x e <<，所以，函数()y f x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 所以，1x e=是函数()y f x =的极小值点，不存在极大值点； （2）()()ln 1f x x x a x =--，则()ln 1f x x a '=+-，由()0f x '=，得1a x e -=． 当10a x e -<<时，()0f x '<；当1a x e ->时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在()10,a e -上单调递减，在()1,a e -+∞上单调递增．因为()1,2a ∈，所以11a e e -<<，由于[]1,e x ∈，当1a x e -=时，函数()y f x =取得最小值，即()()()1111111ln 11a a a a a a a f e e e a e a e ae a a e -------=--=--+=-．所以，函数()y f x =在[]1,e 上的最小值为()11a a f ea e --=-．【点睛】 本题考查利用导数求函数的极值点与最值，解答的关键就是利用导数研究函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．（1）()12122x x f x ++=-（2）1t >或3t <-. 【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域，根据()()110f f -+=列方程，解方程求得a 的值，进而求得函数解析式.（2）先判断树函数的单调性，然后根据单调性将不等式()()225228f t f t t -->-+-的函数符号去掉，再解不等式求得t 的取值范围.【详解】解：（1）因为()f x 是奇函数，其定义域为()(),00,-∞⋃+∞，所以()()110f f -+=，即122012a a +++=-， 所以1a =，经检验，1a =符合题意.所以()12122x x f x ++=-.（2）由（1）知()1211122212x x x f x ++==+--，因为函数2x y =在R 上是增函数， 所以()f x 在(),0-∞上单调递减，因为22520,280t t t --<-+-<，所以225228t t t --<-+-，解得1t >或3t <-.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用函数的单调性解函数不等式，属于中档题. 21．（1）详见解析；（2）()2e 2,-+∞.【解析】【分析】(1)求导,可证得()f x 在,0上单调递减,在0,上单调递增,且()()min 00f x f ==,即可证得结论.(2)由题意可知即为2e 2xx ax -<在()0,x ∈+∞内有解, 即2e 2x x a x ->有解,构造()2e 2x x g x x-=,通过求导求得()min g x ,即a 大于()g x 在()0,x ∈+∞的最小值即可. 【详解】（1）证明：()22e 2x f x '=-，令0f x ，得0x =．当(),0x ∈-∞时，0f x ； 当()0,x ∈+∞时，0f x ． 所以()f x 在,0上单调递减，在0,上单调递增， 且()()min 00f x f ==，所以()2e 210x f x x =--≥恒成立．（2）解：()00,x ∃∈+∞，使得()001f x ax <-成立，即2e 2x x ax -<在()0,x ∈+∞内有解， 即2e 2x x a x->有解，令()22e 2e 2x xx g x x x -==-，即a 大于()g x 在()0,x ∈+∞的最小值．()()2221e x x g x x -'=， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0g x ，()g x 为减函数； 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0g x ，()g x 为增函数，()min 12e 22g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以2e 2a >-， 即a 的取值范围是()2e 2,-+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值,利用导数解决能成立问题中参数取值范围问题,考查考生的推理论证能力和运算求解能力,难度较大.22．（1）见解析（2）(]02，【解析】【分析】（1）求函数的导数，当0a >时，分类讨论a 也可求得()f x 的单调性；（2）若不等式22()(1)22a x f x a x x e ++++-对1[x e ∈，]e 恒成立，将原问题等价于对任意的1[x e ∈，]e 有22a x alnx e --成立，设()a g x x alnx =-，1[x e ∈，]e ，0a >，求函数的最值从而可求正数a 的取值范围．【详解】解：函数21()(1)2f x x a x alnx =-++． 所以2(1)(1)()()1a x a x a x x a f x x a x x x-++--'=--+==． （1）①当1a =时，()0f x '，()f x 在(0,)+∞上单调递增，②当01a <<时，(0,)x a ∈，()0f x '>，()f x 在(0,)a 上单调递增，(,1)x a ∈，()0f x '<．()f x 在(,1)a 上单调递减；(1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增．③当1a >时，(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 在(0,1)上单调递增，(1,)x a ∈，()0f x '<，()f x 在(1,)a 上单调递减；(,)x a ∈+∞，()0f x '>．()f x 在(,)a +∞上单调递增；（2）若不等式22()(1)22a x f x a x x e ++++-对1[x e ∈，]e 恒成立， 原问题等价于对任意的1[x e∈，]e 有22a x alnx e --成立， 设()a g x x alnx =-，1[x e∈，]e ，0a >， 1(1)()a a a a x g x ax x x--'=-+=， 令()0g x '<，得：01x <<；令()0g x '>，得：1x >．所以函数()g x 在1[e，1)上单调递减，在(1，]e 上单调递增， 1()()a max g x g a e e-==+与()a g e a e =-+中的较大者， 设()()1()2a a h a g e g e e a e-=-=--，(0)a >则()220a a h a e e -'=+->=，所以()h a 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h a h >=，即()1()g e g e>， 从而()()a max g x g e a e ==-+，故22a a e e -+-，即220x e a e --+．设()22(0)x a e a e a ϕ=--+>，则有()10a a e ϕ'=->，所以()a ϕ在(0,)+∞上单调递增，又因为()20ϕ=，所以2220e a e --+，可得：2a ，因为0a >，所以a 的取值范围为：(0，2]．【点睛】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，考查构造新函数，函数的单调性与利用函数单调性求最值，属于中档题．。
吉林省梅河口市第五中学2020届高三第七次模拟考试数学(文)试题
吉林省梅河口市第五中学2020届高三第七次模拟考试数学（文）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．设()2i 1i z =-，则复数z 的实部和虚部之和为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．1-2．设集合2{|2,},{|10},x A y y x R B x x ==∈=-<则A B ⋃=A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞3．2019年是中华人民共和国成立70周年，党中央、中央军委决定组织首都天安门阅兵，这是国家重大纪念日阅兵的制度化安排．参加受阅的徒步方队队员应身体健康、体型协调、反应敏捷．通常男性士兵的身高普遍在175cm 至185cm 之间，女性士兵的身高在163cm 至175cm 之间．某连队现有男性士兵120人，则根据男性士兵的身高得到的频率分布直方图如图．若a ，b ，c 成等差数列，且c b a >>，4b a =，则该连队男性士兵的身高符合国庆阅兵标准的人数为（ ）A ．48B ．54C ．60D ．664．已知p ：220x x -->，q ：2210x x -+≤，则q 是p ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若8a =，7b =，60B =︒，则sin C =（ ）ABCD ．11146．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题转化为点(),A x y 与点(),B a b之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程4=的解为（ ）A ．65± B ．5± C ．5± D ． 7．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =，()1,b m y =-，则满足a b ⊥的实数m 的最小值为（ ）A ．125B ．125-C ．32D ．32- 8．函数()e 1sin e 1x x f x x -=⋅+的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．函数()()2sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后所得图象关于直线8x π=对称，则函数()f x 的一个递增区间是（ ） A ．5,243ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．7,424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1931,2424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 10．“开车不喝酒，喝酒不开车．”近日，公安部交通管理局下发《关于2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型0.540sin 13,02()39014,2x x x f x e x π-⎧⎛⎫+≤<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⋅+≥⎩，则该人喝一瓶啤酒后至少经过（ ）小时才可以驾车？（参考数据：ln15 2.71,ln30 3.40≈≈）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值A ．5B ．6C ．7D ．811．已知经过原点O 的直线与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于M ，N 两点（M 在第二象限），A ，F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF 平分线段AN ，且4AF =，则该椭圆的方程为（ ）A ．22195x y += B ．221364x y += C ．2213632x y += D ．2212524x y+= 12．已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122344x x x x x -++的取值范围是（ ） A ．(]6,9B ．()6,9 C．()+∞ D．)⎡+∞⎣ 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知1cos()43α+=，则sin 2α=__________． 14．已知曲线()ln f x x x x =+在点()00,A x y 处的切线平行于直线319y x =+，则点A 的坐标为________．15．中国古代有一块著名的“传国玉玺”，印文为“受命于天既寿永昌”，是中国历代正统皇帝的信物．相传西汉末年王莽篡汉，进宫索要玉玺，太后怒而掷之，破其一角，王莽令工匠以黄金补之．现有人想利用“3D 打印”技术还原“传国玉玺”，做的模型图如图．已知黄金的比重是319.32 g /cm （20C ︒），若使用黄金（约）50g 修补破损的一角（假设破损部分为14圆锥体），则该部分底面半径约为________（结果保留小数点后一位）．（注： 3.14π=18= 5.74=）16．定义两条曲线的“正交点”：曲线1l 与曲线2l 交于点()000,X x y ，且在0X 处的切线互相垂直．下列各组曲线存在“正交点”的是________（填序号）．①3y x =与13y x =；②e x y =与y x b =-+，()1,b ∈+∞；③221x y +=与2y x t =+，()1,1t ∈-三、解答题17．已知正项数列{}na 的前n 项和为n S ，且21122n n n S a a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()2112n n nn b S +=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M ，当85M ≥时，产品为一级品；当7585M ≤<时，产品为二级品；当7075M ≤<时，产品为三级品.现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（1）从A 配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率； （2）若这种新产品的利润率y 与质量指标M 满足如下条件：22,85,5,7585,,7075,t M y t M t M ≥⎧⎪=≤<⎨⎪≤<⎩，其中10,7t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大?19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的对角线互相垂直，且BC CD =，PB PD =，PA ⊥平面ABCD ．（1）若Q 为PD 的中点，求证：//OQ 平面PAB ；（2）若AB BC ⊥，112AB PA AC ===，点M 在PC 上，且12PM PC =，求点A 到平面MBD 的距离． 20．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到直线:l y x =-．（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，若1,02N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l '与抛物线C 相交于,A B 两点，与直线l 相交于点M ，且||||AM MB =，求ABN 面积的取值范围．21．已知函数()()()21ln 2x f x a x a -=-∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()1f x x ≤-对1x >恒成立，求a 的取值范围．22．已知在平面直角坐标系xoy中，曲线112:1x C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知()1,1M ，曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点,试求点M 到弦AB 的中点N 的距离. 23．设函数()2f x ax b =+．（1）若()3f x ≤的解集为[]1,4，求实数a ，b 的值；（2）当1a =，2b =时，若存在0x ∈R ，使得()200215f x x m m +-≤+-成立的m的最大值为M ，且实数p ，q 满足33p q M +=，证明：02p q <+≤．参考答案1．B【解析】【分析】利用复数的乘法可得z ，从而可得其实部和虚部之和.【详解】()2i 1i 2i z =-=--，故其实部为2-，虚部为1-，两者的和为3-，故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法以及复数的虚部和实部，注意复数i(,)a b a b +∈R 的虚部为b ，本题属于基础题.2．C【解析】A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}＝{y |y >0}．B ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |x >0}∪{x |－1<x <1}＝{x |x >－1}，故选C ．3．D【解析】【分析】根据已知条件和概率的性质列式可解得0.01,0.04,0.07a b c ===，再用身高在175cm 至185cm 之间的概率乘以样本容量可得结果.【详解】依题意可得24(0.0150.025)51b a c b a a b b c =+⎧⎪=⎨⎪+++++⨯=⎩，解得0.010.040.07a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以男性士兵的身高在175cm 至185cm 之间的人数为(0.040.07)512066+⨯⨯=人， 即该连队男性士兵的身高符合国庆阅兵标准的人数为66人.故选：D.【点睛】本题考查了等差中项的应用，考查了概率的性质，考查了频率分布直方图的应用，属于基础题.4．A【解析】【分析】考虑两个条件对应的集合的包含关系后可得两者的条件关系.【详解】p ：220x x -->等价于:1p x <-或2x >.故p ⌝：12x -≤≤.又q ：2210x x -+≤等价于:1q x =.因为{1}为{12}xx -≤≤∣的真子集， 故q 是p ⌝的充分不必要条件.故选：A.【点睛】（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应的集合是p 对应集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应集合的真子集；（3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应的集合与q 对应的集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应的集合互不包含. 5．C【解析】【分析】先求出sin A ，再利用两角和的正弦计算sin C 即可.【详解】由正弦定理可得sin sin a b A B =，故8sin A =sin A =， 若A 为锐角，则1cos 7A =， 故()()sin sin sin sin cos cos sin C AB A B A B A B π=--=+=+1127=+=. 若A 为钝角，则1cos 7A =-，故sin C=1127-=. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，一般地，知道三角形中的两边及一边所对的角，则可以用正弦定理求出另外两个角，注意对角分类讨论，本题属于中档题. 6．C 【解析】 【分析】由|4-=，得4=，其几何意义为平面内动点(,2)x 与两定点(3,0)-，(3,0)距离差的绝对值为4，求出平面内动点与两定点(3,0)-，(3,0)距离差的绝对值为4的点的轨迹方程，取2y =求得x 值即可． 【详解】由|4-=，得4=，其几何意义为平面内动点(,2)x 与两定点(3,0)-，(3,0)距离差的绝对值为4． 平面内动点与两定点(3,0)-，(3,0)距离差的绝对值为4的点的轨迹是双曲线，由题得222243a c c a b ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解之得2,a b ==.所以平面内动点与两定点(3,0)-，(3,0)距离差的绝对值为4的点的轨迹方程是22145x y -=． 联立222145y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得5x =±．【点睛】本题主要利用考查双曲线的定义求方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．B 【解析】 【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =，()1,b m y =-， 由a b ⊥得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 8．A 【解析】先判断函数为偶函数，再根据0x π≤≤时，()01f x ≤<可得正确的选项. 【详解】()f x 的定义域为R .因为()()()e 11e sin sin e 1e 1x xx x f x x x f x -----=⋅-=-⋅=++，所以()f x 为偶函数，故排除D.当0x π≤≤时，有011xxe e ≤-<+，故1011x x e e -≤<+，而0sin 1x ≤≤，故()01f x ≤<，从而排除B 、C. 故选：A. 【点睛】本题考查函数图象识别，一般地，要结合函数的奇偶性、单调性、特殊点处的函数值的正负来判断，本题属于基础题. 9．C 【解析】 【分析】先根据()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得图象关于直线8x π=对称，求得ϕ，再求()f x 的递增区间，对k 赋值，求得答案.【详解】()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得图象的解析式为2sin(2)3y x πϕ=++， 又其图象关系直线8x π=对称，,432k k Z πππϕπ++=+∈，得,12k k Z πϕπ=-∈，又02πϕ-<<，得12πϕ=-，得()2sin(2)12f x x π=-， 令222,2122k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得572424k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，令1k =，得x ∈1931,2424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即函数()f x 的一个递增区间是1931,2424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数的图象变换，对称性和单调性，属于中档题. 10．B 【解析】 【分析】先根据散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，故根据0.59014202x e x -⎧⋅+<⎨≥⎩的解可得正确的选项. 【详解】由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，令0.59014202x e x -⎧⋅+<⎨≥⎩，故0.51152x e x -⎧<⎪⎨⎪≥⎩， 所以2ln152 2.71 5.42x >≈⨯=， 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数在实际中的应用，注意根据散点图选择合适的函数解析式来进行计算，本题属于基础题. 11．C 【解析】 【分析】设(,),(,),0,0M m n N m n m n -->>，又(,0),(,0)A a F c ，则4a c -=，再根据,M F 过AN 的中点，得到,a c 的又一关系式，解出,,a b c ，求得椭圆的方程.【详解】设(,),(,),0,0M m n N m n m n -->>，又(,0),(,0)A a F c ，则4a c -=， 又AN 的中点(,)22m a nP +-，又MF 过AN 的中点P ， 得MFPF k k =，得22n n m am c c -=+---，得3a c =， 解得6,2,a c ==得22232b a c =-=，则椭圆的方程为2213632x y +=. 故选：C. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，根据关系求基本量,,a b c ，属于中档题. 12．A 【解析】 【分析】先根据函数()f x 解析式，作出函数图像，根据方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，求出12x x +与34x x ，化简所求式子，构造函数，再根据3x 的范围，用导数的方法研究新函数的单调性，即可得出结果. 【详解】作出函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图像如下：因为方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 所以有122x x +=-，341x x =，故()31232343442x x x x x x x -++=+， 再由2log 1x =可得2x =或12x =， 即3112x ≤<， 令4()2g x x x =+，(112x ≤<)， 则24()2g x x'=-，因为112x ≤<，所以24()20g x x '=-<，即函数4()2g x x x =+在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减， 又1()1892g =+=，(1)246g =+=， 所以(]()6,9g x ∈. 即()3122344x x x x x -++的取值范围是(]6,9 故选A 【点睛】本题主要考查根据方程的根求取值范围的问题，通常需要结合函数图像求解，灵活运用数形结合的思想即可，属于常考题型. 13．79【解析】【分析】根据二倍角公式求得cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用诱导公式求得结果. 【详解】1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 114992ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又cos 2sin 22παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 7sin 29α∴= 本题正确结果：79【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式的应用，属于基础题. 14．(,2)e e 【解析】 【分析】先利用导数的几何意义求出点A 的横坐标，再求出点A 的纵坐标. 【详解】由题得切线的斜率为3，所以0()3f x '=.由题得()ln 2f x x '=+，所以()000ln 2=3,f x x x e '=+∴=， 所以()0ln 2f x e e e e =+=， 所以点A 的坐标为(,2)e e . 故答案为：(,2)e e . 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．1.8(cm) 【解析】 【分析】利用密度和质量算出破损部分的体积后可得底面半径满足的方程，求出其解后可得所求的半径. 【详解】破损部分的体积为35019.32cm ，设底面半径为r ， 所以2115034319.32r π⨯⨯⨯⨯=，故181.810r =≈=≈=≈=（cm).故答案为：1.8(cm). 【点睛】本题考查圆锥的体积，注意根据给出的近似计算值合理计算近似值，本题属于基础题. 16．③ 【解析】 【分析】分别对各选项利用导数研究函数的切线，即可得解； 【详解】解：①联立得方程组313y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或00x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，设()3f x x =，()13g x x =，则()23f x x '=，()3213g x x -'=，当01x =时()13f '=，()113g '=，此时两切线不垂直，当00x =时()10f '=，()10g '=，此时两切线不垂直，当01x =-时()13f '-=，()113g '-=，此时两切线不垂直，综上3y x =与13y x =不存在“正交点”；②e x y =与y x b =-+，()1,b ∈+∞，所以e xy '=，因为直线y x b =-+的斜率为1-，所以001|e xx x y ==='解得00x =，故切点坐标为()0,1，又因为()1,b ∈+∞，所以点()0,1不在直线y x b =-+上，故不存在“正交点”③221x y +=与2y x t =+，()1,1t ∈-，假设两曲线存在“正交点”，如图设()200,P x x t+()00x >为正交点，直线1l 为圆的切线，直线2l 为抛物线的切线，由题意，得直线2l 需过原点，对2y x t =+求导，得2y x '=，所以220002l x tk x x +==，解得0x =（负值舍去），所以)Pt ，将点P 坐标代入221x y +=，得241t t +=，因为方程241t t +=在()1,1-上有解，所以两曲线存在“正交点”； 故答案为：③【点睛】本题以新定义“正交点”为载体，考查导数的运算及导数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.17．（1）n a n =；（2）()111n nT n -=-++.【解析】 【分析】（1）先求得11a =，根据21122n n n S a a =+可得11n n a a --=，根据等差数列的通项公式可求{}n a 的通项公式. （2）利用裂项相消法可求n T . 【详解】（1）令1n =，则21111122a a a =+，结合10a >可得11a =.又21111122n n n S a a ---=+，故221111112222n n n n n a a a a a --+-=-， 整理得到2211n n n n a a a a --+=-，因为10n n a a ->+，故11n n a a --=，故{}n a 为首项为1，公差为1的等差数列， 故()111n a n n =+-⨯=即n a n =. （2）由（1）得21122n S n n =+， 故()()()221211111112nn n n n n n n n b S n n ++=-⋅=-=-+⎛⎫⋅⋅+ ⎪+⎝⎭， 所以()111111112233141nn T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-⎭()111n n =--++即()111n nT n -=-++. 【点睛】本题考查数列通项的求法以及数列前n 项和的求法，一般地，数列的通项{}n a 与前n 项和n S的关系式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的相互转化.而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 18．（1）35（2）A 配方生产的产品平均利润率为220.6t t +，B 配方生产的产品平均利润率为21.30.7t t +，投资B 配方的产品平均利润率较大 【解析】 【分析】（1）按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为a ，b ，有3件为一级品，记为x ，y ，z ，可得从这5件产品中任取3件的取法及恰好取到1件的取法，可得答案；（2）分别将()E A 与()E B 用t 表示，计算出()()E A E B -的值，由10,7t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得哪种配方的产品平均利润率较大. 【详解】解：（1）由题知，按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为a ，b ，有3件为一级品，记为x ，y ，z ，从5件产品中任取3件共有10种取法，枚举如下：(,,)a b x ，(,,)a b y ，(,,)a b z ，(,,)a x y ，(,,)a x z ，(,,)a y z ，(,,)b x y ，(,,)b x z ，(,,)b y z ，(,,)x y z其中恰好取到1件二级品共有6种取法，所以恰好取到1件二级品的概率为63105=. （2）由题知A 配方生产的产品平均利润率22(1030)5(4020)()20.6100t tE A t t +⨯++==+，B 配方生产的产品平均利润率2225(1015)5(3040)() 1.30.7100t t tE B t t ++⨯++⨯==+，所以2()()0.70.10.1(71)E A E B t t t t -=-=-， 因为107t <<，所以()()E A E B <，所以投资B 配方的产品平均利润率较大. 【点睛】本题主要考查概率的求法，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，属于中档题.19．（1）见解析（2）4d = 【解析】 【分析】（1）首先证明Rt PAB Rt PAD ≅AB AD ∴=结合底面ABCD 的对角线互相垂直，BC CD =可得O 为BD 的中点.利用三角形PAB 的中位线以及直线平行平面的判定定理可得.（2）通过建立空间坐标系，点到平面的距离公式可得. 【详解】 （1）PA ⊥平面ABCD ,且AB 平面ABCD ，AD ⊂ 平面ABCD,PA AB PA AD ∴⊥⊥又PB PD =，PA 为公共边，所以Rt PAB Rt PAD ≅,AB AD ∴=,且底面ABCD 的对角线互相垂直，BC CD =，所以O 为BD 的中点.因为Q 为PD 的中点，连接OQ ,//PB,PB OQ ⊂平面PAB ，OQ ⊄平面PAB ，所以//OQ 平面PAB .（2）由（1）可知AB AD =，AB BC ⊥112AB PA AC ===，Rt ABC ∴中，131,3,,,22AB BC CD AC AO CO BO =======以O 为原点，以OB 为x 轴，以OC 为x 轴，过O 做直线平行于PA ,以此直线为z 轴建立空间直角坐标系.11311(0,,0),(0,,0),(0,,0),(((0,,)2222222A P C B D M ∴---1311(0,,0),(.,).(3,0,0)2222AO MB DB ∴==--=设平面MBD 的法向量为(,,)n x y z = ,由011001(0,1,1)222010x x y z n MB y n n DB z =⎧⎧--=⋅=⎪⎪⇒⇒=∴=-⎨⎨⋅=⎩⎪=-=⎩ 所以点A 到平面MBD 的距离为24AO n d n==【点睛】本题考查直线平行平面的判定定理，线面垂直的性质定理，空间向量法求点面距，属于中档题.20．（1）2x y =；（2）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）写出抛物线的焦点坐标，根据点到直线的距离公式列方程，解方程可得p 的值，即得抛物线的方程；（2）设(,)(0)M m m m ->，直线:()(1)l y m k x m k '-=+≠-，()()1122,,,A x y B x y .将直线l '的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得2k m =-.求出点N 到直线AB 的距离d ，根据弦长公式求出AB ，故ABN 的面积1||2ABNSAB d =，可求面积的取值范围． 【详解】（1）抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，焦点到直线:l y x =-，1482p ==∴=. ∴抛物线C 的方程为2x y =．（2）由题意可设(,)(0)M m m m ->，直线:()(1)l y m k x m k '-=+≠-，将直线l '的方程代入抛物线的方程2x y =，消去y ，得20x kx km m ---=．直线l '与抛物线C 相交于,A B 两点，224()440k km m k km m ∴∆=---=++>．设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x k +=.||||,AM MB M =∴是线段AB 的中点，122,2k x m x m ∴+∴=-=-，代入2440k km m ∆=++>，解得01m <<． 又1k ≠-，21m ∴-≠-，12m ∴≠， 102m ∴<<或112m <<． ∴直线l '的方程为222y mx m m =--+.点N 到直线AB的距离d ==，又2122x x m m =-，12||AB x ∴=-==21||22ABNSAB d m m ∴=⋅=-令t =32ABNSt =．102m <<或112m <<，102t ∴<<3120,4t ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即10,4ABN S⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． ABN ∴△面积的取值范围为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于较难的题目． 21．（1）见解析（2）1a ≤ 【解析】 【分析】（1）求得()f x 的定义域为(0,)+∞，且2()1a x x af x x x x-++'=-+=，令2()u x x x a =-++，则14a ∆=+，若>0∆，则()0u x =的根为12x ±=，还需考虑根与0的大小，故分14a -≤，104a -<<，0a ≥讨论，得到函数()f x 的单调性； （2）令()()1g x f x x =-+=2(1)ln 12x a x x ---+，1x >，求出2()a x g x x-'=，分1a ≤和1a >讨论，利用导数判断()g x 的最小值是否恒小于等于零，得到答案. 【详解】（1）由题()f x 的定义域为(0,)+∞，且2()1a x x af x x x x-++'=-+=，令2()u x x x a =-++，则14a ∆=+， 当14a -≤时，()0u x ≤，则()0f x '≤，()f x 在(0,)+∞上递减；当104a -<<时，则()(u x x x =---，则当102x -<<或12x +>时，()0u x <，即()0f x '<，当12a -<<()0u x >，即()0f x '>则()f x 在，)+∞递减，在递增.当0a ≥时，()(u x x x =---，则(0x --<，则当0x <<时，()0u x >，则()0f x '>，当x >12+时，()0u x <，则()0f x '<，则()f x 在递增，在)+∞递减.综上可得，当14a -≤时，()f x 在(0,)+∞上递减；当104a -<<时，则()f x 在，)+∞递减，在11(,22+递增；当0a ≥时，则()f x 在1(0,2+递增，在1()2++∞递减.（2）令()()1g x f x x =-+=2(1)ln 12x a x x ---+，1x >，则2()a x g x x-'=，当1a ≤时，()0g x '<，则()g x 在(1,)+∞上递减，则()(1)0g x g <=，即()1f x x ≤-对1x >恒成立.当1a >时，2()a x g x x -'==，则当x ∈时，()0g x '>，当x ∈)+∞时，()0g x '<，即()g x 在递增，)+∞递减，则(1)0g g >>，即存在x =()1f x x >-成立.综上可得，若()1f x x ≤-对1x >恒成立，则1a ≤. 【点睛】本题考查了利用导数研究含参函数的单调性，不等式恒成立求参数的范围，考查了学生分析推理能力，运算能力，难度较大.22．（1）sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()2224x y -+=；（2 【解析】 【分析】（1）消去参数得到20x y +-=，再利用极坐标公式化简得到答案. （2）根据直线过圆心得到()2,0，计算得到答案. 【详解】（1）曲线1:C 1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得20x y +-=， 其极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 4cos ρθ=，24cos ρρθ=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）由题意及（1）知直线1C 过圆2C 的圆心()2,0，则点N 的坐标为()2,0， 又()1,1M，所以MN ==.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，线段长度，意在考查学生的计算能力.23．（1）15a b =⎧⎨=-⎩或15a b =-⎧⎨=⎩；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）就0a =、0a <、0a >分类求解后结合已知的解集可得,a b 的值；（2）利用绝对值不等式求得2212x x +-+最小值为3，解不等式235m m ≤+-后可得2M =，最后利用综合法和分析法可证02p q <+≤.【详解】（1）()3f x ≤即为23ax b +≤，所以323ax b -≤+≤. 若0a =，()f x b =，()3f x ≤的解集不可能为[]1,4，舍. 当0a >时，()3f x ≤的解为3322b bx a a+--≤≤，所以312342b ab a+⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得15a b =⎧⎨=-⎩. 当0a <时，()3f x ≤的解为3322b bx a a-+≤≤-， 所以342312bab a+⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得15a b =-⎧⎨=⎩. 综上，15a b =⎧⎨=-⎩或15a b =-⎧⎨=⎩. （2）当1a =，2b =时，()21222122213f x x x x x x +-=++-≥+-+=， 当且仅当()()22210x x +-≤时等号成立，故253m m +-≥即220m m --≤，故12m -≤≤，所以2M =. 故332p q +=.因为3320p q +=>，故()33p q >-，所以p q >-即0p q +>.要证：2p q +≤，即证：2p q ≤-，即证：()332p q ≤-，也就是即证：3238126p q q q ≤-+-，即证：228126q q ≤-+，也就是即证：2120q q -+≥，因为()210q -≥恒成立，故2120q q -+≥必成立，故2p q +≤. 综上，02p q <+≤. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解、绝对值不等式的应用，还考查了不等式能成立问题和不等式的证明，其中能成立问题可转化为函数的最值来讨论，不等式的证明应根据题设条件和要证明的结论之间的次数关系采用合适的证明方法，本题综合性较强.。
2020届吉林省梅河口市第五中学等校高三上学期8月联考数学(文)试题
绝密★启用前 2020届吉林省梅河口市第五中学等校高三上学期8月联考数学（文)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．若集合{}|1A x x =<，{}|21x B x =>，则A B =I （ ） A ．{}|1x x < B ．{}|1x x > C ．{}1|0x x << D ．{}|10x x -<< 2．若复数121i z i i -=++，则||z =（ ） A ．0 B ．1 C D ．2 3．已知sinα−2cosαsinα+cosα=2，则sin2α= A ．917 B ．−917 C ．817 D ．−817 4．若双曲线22221x y a b -=的离心率为43，且过点(，则该双曲线的实轴长为（ ） A ．4 B ．C ．D ．6 5．若函数()f x 是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在[2)+∞，上是减函数，则（ ） A ．(2)(3)(4)f f f --＜＜ B ．(3)(2)(4)f f f --＜＜ C ．(4)(3)(2)f f f --＜＜ D ．(3)(4)(2)f f f --＜＜………装…订…………○………请※※不※※要※内※※答※※题※※ ………装…订…………○………6．在平行四边形ABCD 中，E 是AD 中点，2AD =，3AB =，则BE CE ⋅=u u u r u u u r （ ） A ．8 B ．6 C ．5 D ．4 7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则上面第1节的容量为 A ．1322升 B ．1433升 C ．2633升 D ．1升 8．给出一个如图所示的程序框图，若输出的y 值为1，则输入的x 值是A ．1B ．2C ．-1或2D ．1或-29．在圆柱1OO 中，O 是上底面圆心，AB 是下底面圆的直径，点C 在下底面圆周上，若OAB ∆是正三角形，OC AB ⊥，则OC 与平面OAB 所成角为（ ）A ．15︒B ．30°C ．45︒D ．60︒10．函数())(0)f x x ωϕω=+>的部分图像，如图所示，120ABC ∠=︒，则ω等于A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π11．设抛物线24y x =的焦点为F ，A 、B 两点在抛物线上，且A 、B 、F 三点共线，过AB 的中点M 作y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点N ，若3||2NF =，则||AB =（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1012．已知()y f x =是(0,)+∞上的可导函数，满足[](1)2()()0x f x xf x '-+>（1x ≠）………外……………内……数a 等于（ ） A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．设函数()()2x f x =，则21(log )6f 的值等于__________． 14．已知实数x ，y 满足210,10,0,x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则3z x y =-的最大值为______. 15．已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3564a a =，则10S 的值为______. 16．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球O 的球面上，且AB =6，BC =2√5，则棱锥O −ABCD 的侧面积为__________． 三、解答题 17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos A =，sin B =（1）求证：ABC ∆的内角B 是锐角. （2）若ABC ∆ABC ∆的面积. 18．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AA A D =，AB BC =，120ABC ∠=︒. （1）证明：1AD BA ⊥.31,5425x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）. （1）求1C 的直角坐标方程； （2）设P 坐标为(1,2)-，1C 与2C 的公共点为A ，B ，求||||PA PB ⋅的值. 23．已知0a >，0b >，0c >，111123a b c++=. （1）证明：92abc ≥； （2）证明：1211993a b c ++≥.参考答案1．C【解析】【分析】利用指数函数的单调性求出集合B,由集合的交运算求解即可.【详解】由题意知,{}|0B x x =>，因为集合{}|1A x x =<由集合的交运算可得，{}|01A B x x ⋂=<<.故选:C【点睛】本题考查集合的交运算及指数函数单调性;属于基础题.2．B【解析】【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．【详解】 解：1(1)(1)2221(1)(1)i i i z i i i i i i i i ---=+=+=-+=+-+， 则||1z =．故选：B ．【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力，属于基础题． 3．D【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求出tan a 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin a •cos a 的值．【详解】由sinα−2cosαsinα+cosα=2，可得tana−2tana+1=2，即tan a ＝−4，而sin2α= 2sin a •cos a =2sina⋅cosa sin 2a+cos 2a =2tana tan 2a+1=−817故选：D【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，考查正余弦齐次式求值，属于基础题． 4．D【解析】【分析】利用双曲线的离心率与双曲线经过的点，列出方程求出a ，即可得到结果．【详解】解：双曲线22221x y a b -=的离心率为43，且过点(， 可得43c a =，221871a b-=，222c a b =+，解得3a =，所以26a =． 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．5．C【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可．【详解】解：∵f （x ）是偶函数，且函数f （x ）在[2，+∞）上是减函数，∴f （4）＜f （3）＜f （2），即f （﹣4）＜f （3）＜f （﹣2），故选：C ．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．6．A【分析】利用向量的和与差的关系，把所求向量表示为AD u u u r 与AB u u u r，然后利用向量的数量积求解即可．【详解】 解：在平行四边形ABCD 中，E 是AD 中点，所以12BE BA AE AB AD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 12CE CD DE AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴221118224BE CE AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫=-+--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ． 故选：A ．【点睛】本题考查向量的基本运算，向量的数量积的求法，考查计算能力，属于基础题．7．A【解析】【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差.【详解】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a 1，a 2，…，a 9，且为等差数列，根据题意得：a 1+a 2+a 3+a 4＝3，a 7+a 8+a 9＝4，即4a 1+6d ＝3①，3a 1+21d ＝4②，②×4﹣①×3得：66d ＝7，解得d =766，把d =766代入①得：a 1=1322，故选：A ．【点睛】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题． 8．C【解析】本题中所给的框图是一个选择结构，其对应的函数关系是y ={x 2，x ≤02x −3，0＜x ≤12x，x ＞1 ，由题输出的结果y 的值为1，由此关系建立方程求出自变量的值即可.【详解】解：由图知，此框图对应的函数关系是y ={x 2，x ≤02x −3，0＜x ≤12x，x ＞1 ， 又输出的y 的值为1若x ≤0，由x 2＝1得x =−1，符合题意若0＜x ≤1，则有2x −3＝1，解得x ＝2（舍），若x ＞1，则有2x ＝1，解得x ＝2，由此知输入的x 的值的集合为{−1，2}故选：C ．【点睛】本题考查选择结构，解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值．本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案．9．B【解析】【分析】 以1O 为原点，1O C 为x 轴，1O B 为y 轴，1O O 为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出OC与平面OAB 所成角．【详解】解：以1O 为原点，1O C 为x 轴，1O B 为y 轴，1O O 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AB a =，则2OA a =．111O A O B O C a ===，1OO ∴==，2OC a =，1CO AB ⊥Q ，11CO OO ⊥，11AB OO O =I ， 1CO ∴⊥平面AOB ，1COO ∴∠是OC 与平面OAB 所成角，111sin 2CO COO CO ∠==，130COO ∴∠=︒， OC ∴与平面OAB 所成角为30°．故选：B ．【点睛】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 10．B 【解析】 【分析】通过解三角形可求得周期，由此即可求得ω值． 【详解】过B 作BD ⊥x 轴于点D ，则BD =在△ABD 中∠ABD ＝60°，BD =AD ＝3， 所以周期T ＝3×4＝12，所以ω2126ππ==． 故选B ． 【点睛】本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想，属于基础题.11．B 【解析】 【分析】求出抛物线焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-．设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，直线AB 的方程为(1)y k x =-，由AB 方程与抛物线方程消去y 得关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系算出N 的坐标，根据||NF ，利用两点间的距离公式解出22k =，从而算出124x x +=，进而得到答案． 【详解】解：Q 抛物线方程为24y x =，∴抛物线的焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 的方程为(1)y k x =-， 代入抛物线方程消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=，212224k x x k+∴+=，121=x x ， Q 过AB 的中点M 作准线的垂线与抛物线交于点N ，∴设N 的坐标为0(x ，0)y ，可得0121()2y y y =+，11(1)y k x =-Q ，22(1)y k x =-，212122244()22k y y k x x k k k k k+∴+=+-=-=g ，得到02y k=，所以021x k =，可得21(N k ，2)k ，3||2NF =Q ，∴32=，解得22k =， 因此2122244k x x k++==， 12||6AB x x P ∴=++=，故选：B ．【点睛】本题主要考查了抛物线的性质．利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，把线段长度的转化为点的横坐标的问题，属于中档题． 12．C 【解析】 【分析】根据题意构造函数2()()F x x f x =,对函数()F x 进行求导,判断()F x 单调性和极值点,由极值点处导数值为0,间接求出()'1f 即可求解.【详解】令2()()F x x f x =，则[]2()2()()2()()F x xf x x f x x f x xf x '''=+=+.由题可知,当1x >时，()0F x '>，()F x 在(1,)+∞上单调递增； 当01x <<时，()0F x '<，()F x 在(0,1)上单调递减； 所以1x =为()F x 的极值点，所以(1)0F '=，即2(1)(1)0f f '+=，因为(1)2f =，所以(1)4f '=-， 所以曲线()f x 在点(1,2)处的切线方程为24(1)y x -=--， 即()46g x x =-+，因为()10g a =, 所以4610a -+=，解得1a =-. 故选:C 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程及判断函数的极值点;考查转化与化归能力和知识的灵活运用能力;构造函数2()()F x x f x =,通过()F x 的极值点处导数为零间接求出()'1f 是求解本题的关键;属于中档题. 13．6 【解析】 【分析】 把21log 6代入函数表达式，结合指对运算性质得到结果. 【详解】∵()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()1112()66221log 162111log 22626log log f ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6， 故答案为6 【点睛】本题考查指数函数的函数值，指数、对数的运算法则，属于基础题． 14．7 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到z 的最大值． 【详解】解：实数x ，y 满足210,10,0,x y x y y -+⎧⎪--⎨⎪⎩…„…，对应的平面区域如图：由3z x y =-得3y x z =-，平移直线3y x z =-，则由图象可知当直线3y x z =-经过点A 时直线3y x z =-的截距最小，此时z 最大，21010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得(3,2)A ，此时点A 在3z x y =-，解得7z =， 故答案为：7．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 15．1023. 【解析】 【分析】利用等比数列的性质：若m n p q +=+则m n p q a a a a ⋅=⋅,求出4a ,然后利用等比数列通项公式求出公比q ,代入等比数列前n 项和公式求解即可. 【详解】因为3564a a =，由等比数列的性质可得2464a =，又因为数列{}n a 的各项都为正数，所以48a =， 设等比数列{}n a 的公比为q，则2q ===， 由等比数列前n 项和公式可得,()1010112102312S -==-.故答案为:1023 【点睛】本题考查利用等比数列的通项公式及其性质求等比数列前n 项和;考查学生的运算求解能力和知识的灵活运用能力;等比数列性质的运用是求解本题的关键;属于基础题. 16．44 【解析】 【分析】设点O 到矩形ABCD 所在平面的距离为h ，可得h =√52−(12√62+(2√5)2)2．再利用侧面积与三角形面积计算公式即可得出． 【详解】解：设点O 到矩形ABCD 所在平面的距离为h ，则h =√52−(12√62+(2√5)2)2=√11．∴棱锥O ﹣ABCD 的侧面积＝2×(12×6×√(√11)2+(√5)2+12×2√5×√(√11)2+32)=44．故答案为：44． 【点睛】本题考查了等腰三角形的面积计算公式、侧面积的计算公式、勾股定理、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（1）证明见解析（2）52【解析】 【分析】（1）根据ABC ∆中，sin sin A B A B >⇔>判断B 为锐角；（2）求出C 的值，判断ABC ∆的最短边为b ，利用正弦定理求得a ，再计算ABC ∆的面积． 【详解】解：（1）证明：ABC ∆中，cos A =，(0,)A π∈，sin A ∴==sin B Q (0,)B π∈，cos B ∴== 由于sin sin A B >，A B ∴>，B ∴为锐角；（2）由（1）知，cos 10B =； cos cos()C A B π∴=--cos()A B =-+cos cos sin sin A B A B =-+=+2=-， (0,)C π∈，34C π∴=， C A B ∴>>，ABC ∆∴的最短边为b =由sin sin a b A B=，得sin sin b Aa B===，ABC ∆∴的面积为115sin 222S ab C ===．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用问题，属于中档题．18．（1）证明见解析；（2）d =【解析】 【分析】（1）取AD 的中点O ，连接OB ，1OA ,利用线面垂直的判定定理证明AD ⊥平面1A OB ，再由线面垂直的性质定理即可证明1AD BA ⊥;（2）由面面垂直的性质知,1A O ⊥平面ABCD ,设点A 到平面1A BD 的距离为d ， 由11B A B A D A D A V V --=,利用等体积法间接求出d 即可. 【详解】（1）证明:如图所示: 取AD 的中点O ，连接OB ，1OA ,∵11AA A D =，∴1AD OA ⊥，又120ABC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形,BC AB =， ∴ABD ∆是等边三角形，∴AD OB ⊥，1AO OB O =Q I ,∴AD ⊥平面1A OB ， ∵1A B ⊂平面1A OB ，∴1AD BA ⊥. （2）∵平面11ADD A ⊥平面ABCD ， 平面11ADD A ⋂平面ABCD AD =， 又1A O AD ⊥，∴1A O ⊥平面ABCD ， 由12A D AB ==知，1A AD ∆，ABD ∆都是边长为2的等边三角形，∴1AO BO ==1Rt AOB ∆中,由勾股定理得,1A B ===∴ABD ∆面积为ABD S ∆=1A BD ∆的面积为1A BDS ∆=122=,设点A 到平面1A BD 的距离为d ， 由11B A B A D A D A V V --=得,111133A BD ABD S d AO S ∆∆⋅⋅=⋅⋅,即1133=d =所以点A 到平面1A BD . 【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质及面面垂直的性质和等体积法求点到面的距离;熟练掌握线面垂直的判定与性质及面面垂直的性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 19．（1）0.6；（2）2()5P B =. 【解析】 【分析】（1）用综合指标S x y z =++计算出10件产品的综合指标并列表表示,求出一等品率即可; （2）利用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能的结果和在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4的所有情况,代入古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】（1）计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中4S ≤的有1A ，2A ，4A ，5A ，7A ，9A ，共6件， 故样本的一等品率为0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6. （2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为：{}12,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}17,A A ，{}19,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}27,A A ，{}29,A A ，{}45,A A ，{}47,A A ，{}49,A A ，{}57,A A ，{}59,A A ，{}79,A A 共15种.在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为1A ，2A ，5A ，7A . 则事件B 发生的所有可能结果为{}12,A A ，{}15,A A ，{}17,A A {}25,A A ，{}27,A A ，{}57,A A ，共6种，由古典概型的概率计算公式得,62()155P B ==， 【点睛】本题考查利用样本估计总体和古典概型及其概率计算公式;利用列举法不重不漏的列出所有的基本事件和事件B 包含的基本事件是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.20．（1）22110025x y +=（2）512【解析】 【分析】（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，得到关于a ，b 的方程组，求解可得a ，b 的值，则椭圆的方程可求；（2）由（1）知，F ，0)，由题意可知AB 的方程，与椭圆方程联立，化为关于x 的一元二次方程，由M ，A ，B 在椭圆上及根与系数的关系可得22215λμλμ++=，再由基本不等式求最值． 【详解】解：（1）∵椭圆过点(8,3)-与(6,4)-，∴226491a b +=，2236161a b +=. ∴2100a =，225b =，∴椭圆的方程为22110025x y +=.（2）由（1）知()F ，由题意可知AB 的方程为y x =- 椭圆的方程可化为224100x y +=，②将①代入②消去y，得252000x -+=，③设()11,A x y ，()22,B x y，则有12x x +=，1240x x =，设(,)M x y ，由OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r 得()()()11221212(,),,,x y x y x y x x y y λμλμλμ=+=++，∴1212,,x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩又点M 在椭圆上， ∴()()2222121244x y x x y y λμλμ+=+++()2222222222111122242x x x x y y y y λμλμλμλμ=+++++()()()222222112212124424100x y x y x x y y λμλμ=+++++=，④ 又A ，B 在椭圆上，故有11224100x y +=，22224100x y +=，⑤而(1212121244x x y y x x x x +=+--)12125300x x x x =-++54030020=⨯-=，⑥ 将⑤⑥代入④可得22215λμλμ++=， ∵22221212555λμλμλμλμλμ=++≥+=， ∴512λμ≤，当且仅当λμ=时取“=”，则λμ的最大值为512. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中档题．21．（1）见解析；（2）)2e ⎡+∞⎣.【解析】【分析】 ()1根据题意,求函数()f x 的定义域和导数()'f x ,在定义域范围内判断函数()f x 的单调性求出极值即可；()2根据题意,求出函数()g x 的表达式,利用导数判断函数()g x 在21,e e x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上的单调性,求出函数()g x 的最大值,由题意知,max ()23e g x m ≤-,解不等式即可.【详解】 ()1由题意知,()f x 定义域为(0,)+∞，因为函数()221()2ln 2f x x x x x =-+ 所以()(22)ln 2f x x x x x '=-+-+即()()()'21ln 1f x x x =-+，所以当()'0f x =时,1x e=或1， 因为当10x e <<或1x >时，()0f x '>， 当11x e<<时，()0f x '<， 所以函数()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦和[)1,+∞上单调递增,在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减， ∴当1x e =时,()f x 有极大值为222112121(1)22f e e e e e e ⎛⎫⎛⎫=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当1x =时,()f x 有极小值为1(1)2f =. ()2因为函数()221()2ln 2f x x x x x =-+， 所以()2221()()2ln 2g x f x x x x x x x x =+-=-+-， 当21,x e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23g x m e ≤-恒成立等价于 当21,x e e ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，max ()23e g x m ≤-， 因为()(1)(32ln )g x x x '=-+，令()0g x '=得1x =或32x e -=，又21x e e <≤， 所以当32211x e e <<或1x e <≤时,()'0f x >, 当3211x e <<时,()'0f x <,所以函数()g x 在322,e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭和(]1,e 上单调递增，在32,1e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 因为3332222132222()22g e e e e e e e g e ----⎛⎫⎛⎫=-+<<<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即32()g e g e -⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以2max ()(e)2e 3e g x g ==-， 所以22323m e e e -≥-，即2m e ≥，故实数m 的取值范围为)2e ⎡+∞⎣.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性求函数的极值及导数在恒成立求参问题中的应用;考查学生的运算求解能力和转化与化归能力;利用导数判断函数的单调性求极值、最值是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.22．（1）22(1)(1)2x y -++=（2）1 【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系，利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【详解】解：（1）由2cos 2sin 4πρθθθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 得22cos 2sin ρρθρθ=-，∴2222x y x y +=-，即22(1)(1)2x y -++=，∴1C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -++=. （2）将31,5425x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22(1)(1)2x y -++=，得229412255t t ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， ∴28105t t --=，∴1285t t +=，121t t =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则||||PA PB ⋅=121t t ===. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．23．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）运用三元均值不等式，化简即可得证；（2）运用乘“1”法和二元均值不等式，化简即可得证．【详解】证明：（1）∵0a >，0b >，0c >，111123a b c++=， ∴10≥>，当且仅当23a b c ==时，取得等号， 27106abc ∴≥>，∴92abc ≥. （2）111123a b c++=，又a ，b ，c 是正实数， 所以11123(23)23a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭223332332a a b b c c b c a c a b =++++++232332332a b a c b c b a c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32229≥+++= 当且仅当23a b c ==时取等号，即1211993a b c ++≥. 【点睛】本题考查不等式的证明，考查均值不等式的运用，注意等号成立的条件，考查推理能力，属于中档题．。
梅河口市第五中学2020届高三数学第五次模拟考试试题文含解析
15。已知函数 ，则使不等式 成立的x的取值范围为___________________。
【答案】
【解析】
【分析】
对自变 进行分类讨论,解两个不等式，再取并集，即可得答案;
【详解】 ，由 得,
当 时,由 ，得 ；
当 时， ,此时无解。
综上所述，不等式 的解集为 。
故答案为： .
【点睛】本题考查利用分类讨论解不等式,考运算求解能力，求解时注意交集与并集的运用.
所以
故选：B
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用,两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题.
7。为了求得椭圆 的面积，把该椭圆放入一个矩形当中，恰好与矩形相切，向矩形内随机投入 共n个不同的点，其中在椭圆内的点恰好有 个。若矩形的面积是2,则可以估计椭圆的面积为( ）
A。 B. C. D。
故选：B。
【点睛】本题考查统计图之饼图的读取与理解，并对所反应的数据进行分析和判断,属于基础题。
4。已知向量 ， ， ，若 ,则实数 （ ）
2020届吉林省梅河口市第五中学高三上学期期中数学(文)试题
…………外……………内…绝密★启用前2020届吉林省梅河口市第五中学高三上学期期中数学（文)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若集合 A ＝{x |0＜x ＜6}，B ＝{x |x 2+x ﹣2＞0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜6} B ．{x |x ＜﹣2或x ＞0} C ．{x |2＜x ＜6} D ．{x |x ＜﹣2或x＞1}2．命题“正方形的两条对角线相等”的否定为（ ） A ．每个正方形的对角线都不相等 B ．存在不是正方形的四边形对角线不相等 C ．存在对角线不相等的正方形D ．每个不是正方形的四边形对角线都相等3．已知函数()()30f x f x x '=+，则()1f =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．24．函数||3()(0)1x f x x x x-+=≠+的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．…○………○……D．5．设0.341(),1010a b c log===，则( )A．a c b<<B．b a c<<C．c b a<<D．a b c<<6．函数()2ln6f x x x=+-的零点所在区间为（）A．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C．()1,2D．()2,37．已知函数()lnf x x ax b=++的图象在点(1,)a b+处的切线方程是32y x=-，则a b-=（）A．2 B．3 C．-2 D．-38．设{}n a是公差大于零的等差数列，n S为数列{}n a的前n项和，则“20a>”是“1n nS S+>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．曲线33y x x=++上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（）A．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦U B．,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．已知命题():0,p x∃∈+∞，0122019x x+=；命题:q在ABC∆中，若sin sinA B>，则cos cosA B<．下列命题为真命题的是（）A．p q∧B．()p q∨⌝C．()()p q⌝∨⌝D．()p q∧⌝11．函数()2log,0,2,0,xx xf xx⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x=-+的零点个数是（）A．5B．4C．3D．612．已知定义在R上的函数()()522222x x x xf x--=----，则不等式()()2324f x f x++-≥-的解集为（）A ．()0,1B ．(]0,1C ．(],1-∞D ．[)1,+∞第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知函数()f x 的定义域为[]1,1-，则函数()1f x -的定义域是_________． 14．若函数()32221x x f x x a =++-有两个极值点，则a 的取值范围是_________．15．已知函数()ln e xf x x ax =--在()1,2上不单调，则a 的取值范围是_________．16．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______.三、解答题17．已知函数()f x =．（1）求()f x 的定义域与值域；（2）若()()22log 3f a f =，求22a +的值．18．已知全集U =R ，集合{}2|340A x x x =+-≤，{}|11B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =，求()U A B I ð； （2）若B A ⊆，求m 的取值范围. 19．已知函数()()ln 1f x x x a x =--． （1）若0a =时，求()f x 的极值点；（2）若()1,2a ∈，求()f x 在[]1,e 上的最小值．20．已知()1222x x a f x ++=-是其定义域上的奇函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若()()225228f tf tt -->-+-，求t 的取值范围.21．已知函数()2e21xf x x =--．（1）证明：()0f x ≥．（2）()00,x ∃∈+∞，使得()001f x ax <-成立，求a 的取值范围． 22．已知函数21()(1)2f x x a x alnx =-++． （1）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（2）若不等式22()(1)22a xf x a x x e ++++-…对1[x e ∈，]e 恒成立，求正数a 的取值范围.参考答案1．B 【解析】 【分析】可以求出集合B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】∵B ＝{x |x ＜﹣2或x ＞1}，A ＝{x |0＜x ＜6}， ∴A ∪B ＝{x |x ＜﹣2或x ＞0}． 故选：B ． 【点睛】本题考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算,是基础题 2．C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题得到答案. 【详解】解：命题：“正方形的两条对角线相等”可改写为“所有的正方形，其两条对角线相等”是全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可知其否定为“有些正方形，其两条对角线不相等”即“存在对角线不相等的正方形” 故选：C ． 【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】首先求出()f x 的导函数，再令0x =即可求得()0f '，则函数解析式可求，最后代入求值即可. 【详解】解：()()30f x f x x '=+Q()()2301f x f x ''∴=+ ()01f ∴'=()3f x x x ∴=+ ()31112f ∴=+=故选：D 【点睛】本题考查导数的计算，以及函数值的计算，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】根据函数解析式可判断函数的奇偶性，对称性可排除B 、D ，再由特殊值可排除C ，即可得到答案. 【详解】 解：因为||3()(0)1x f x x x x-+=≠+，所以()()f x f x -=-，即()f x 为奇函数，函数图象关于原点对称，排除B 、D ，当3x >时，()0f x <，排除C 故选：A 【点睛】本题考查函数的图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题. 5．A 【解析】 【分析】利用有界性分别得出0.341()1,10210log <<，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】0.3011()()11010<=Q2>=，4441log 4log 10log 162=<<=， a c b ∴<<．故选：A ．【点睛】考查指数函数、对数函数的单调性，幂函数的单调性，以及增函数、减函数的定义． 6．D 【解析】 【分析】利用零点存在定理可判断出函数()y f x =的零点所在的区间. 【详解】易知函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，又()150f =-<，()2ln 220f =-<，()3ln330f =+>， 故函数()y f x =的零点所在区间为()2,3． 故选：D. 【点睛】本题考查函数零点所在区间的判断，一般利用零点存在定理来判断，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】根据(1)3f '=求出2,a =再根据(1,)a b +也在直线32y x =-上，求出b 的值，即得解. 【详解】 因为1()f x a x'=+，所以(1)3f '= 所以13,2a a +==，又(1,)a b +也在直线32y x =-上， 所以1a b +=， 解得2,1,a b ==- 所以3a b -=. 故选：B 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．C 【解析】 【分析】由1n n S S +>得出10n a +>，再结合等差数列的性质以及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】110n n n S S a ++>⇔>Q ，由{}n a 是公差大于零的等差数列，且20a >，可得10n a +>，即1n n S S +>； 反之，若1n n S S +>，则当1n =时，21S S >，即20a >． 因此，“20a >”是“1n n S S +>”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也涉及了等差数列基本性质的应用，考查推理能力，属于中等题. 9．D 【解析】 【分析】求出导函数值的取值范围，即可得出曲线23y x x =++上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围. 【详解】33y x x =++Q ，2311y x '∴=+≥，即曲线323y x x =++上任意一点切线的斜率的取值范围是[)1,+∞，所以切线的倾斜角的取值范围是,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象上切线倾斜角的取值范围，解答的关键就是求出导函数值的取值范围，考查计算能力，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】判断出命题p 、q 的真假，即可判断出各选项中命题的真假，进而可得出结论. 【详解】Q 函数()2x f x x =+在()0,+∞上单调递增，()()1012019f x f ∴>=>，即命题p 是假命题；又sin sin A B >Q ，根据正弦定理知a b >，可得A B >，余弦函数cos y x =在()0,π上单调递减，cos cos A B ∴<，即命题q 是真命题． 综上，可知()()p q ⌝∨⌝为真命题，p q ∧、()p q ∨⌝、()p q ∧⌝为假命题. 故选：C. 【点睛】本题考查复合命题真假的判断，解答的关键就是判断出各简单命题的真假，考查推理能力，属于中等题. 11．A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准． 12．C 【解析】 【分析】设()()22g x f x ++=，判断()g x 为奇函数，且在R 上为减函数，不等式转化为()()214g x g x +≥-+，计算得到答案.【详解】()()()52222222x x x f x x --=------，令()()52222xx x x g x x f -+=--+-=，则()()()()552222xxx x g x x x x x --=-----=-----()g x =-，即()g x 为奇函数，且在R 上为减函数. 不等式()()2324f x f x ++-≥-，等价于()()()(){}2122422fx f x +++≥--++，即()()()2144g x g x g x +≥--=-+，则214x x +≤-+，解得1x ≤. 故选：C 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，构造函数()()22g x f x ++=是解题的关键.13．[]0,2【解析】【分析】由题意可得出111x -≤-≤，进而可解得函数()1y f x =-的定义域.【详解】由题意可得出111x -≤-≤，解得02x ≤≤．因此，函数()1y f x =-的定义域为[]0,2.故答案为：[]0,2.【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解，求解抽象函数定义域时要注意以下两点：（1）中间变量取值范围一致；（2）定义域为自变量的取值范围.考查计算能力，属于基础题.14．,33⎛- ⎝⎭【解析】【分析】由题意得出()2234f x x x a '=++有两个零点，可得出>0∆，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】因为()32221x x f x x a =++-，所以()2234f x x x a '=++． 又因为函数()y f x =有两个极值点，所以函数()2234f x x x a '=++有两个零点，则216120a ∆=->，解得a <<．因此，实数a 的取值范围是,33⎛- ⎝⎭.故答案为：33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用函数的极值点个数求参数，解题时要理解函数的极值点与导函数零点之间的关系，考查计算能力，属于基础题.15．21,12e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意知，函数()y f x =在区间()1,2上存在极值点，利用导函数在区间()1,2上单调，可得出有关实数a 的不等式组，解出即可.【详解】()ln x f x x ax e =--Q ，()1x f x a e x∴=--'，则函数()y f x ='在()1,2上单调递减， 因为函数()y f x =在()1,2上不单调，所以()0f x '=在()1,2上有解，所以()()21101202f a e f a e ⎧=-->⎪⎨=--<''⎪⎩，解得2112e a e -<<-. 因此，实数a 的取值范围是21,12e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故答案为：21,12e e ⎛⎫--⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查利用函数在区间上不单调求参数的取值范围，一般转化为函数在区间上有极值点，考查运算求解能力，属于中等题.16．0【解析】【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值.【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.17．（1）定义域为(],2-∞，值域为[)0,2；（2）15.【解析】【分析】（1）解不等式420x -≥可得出函数()y f x =的定义域，再由20x >结合不等式的基本性质可得出函数()y f x =的值域；（2）由()()22log 3f a f =可得出2a 的值，进而可计算出22a +的值．【详解】（1）由420x -≥，得2x ≤，所以，函数()y f x =的定义域为(],2-∞．因为0424x ≤-<，则02≤<，所以，函数()y f x =的值域为[)0,2；（2）因为()2log 31f ===，所以()21f a =，即()12f a =，所以1424a -=，即1524a =， 故224215a a +=⨯=．【点睛】 本题考查指数型函数的定义域和值域的求解，同时也考查了指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题.18．（1）(){}|40U B A x x =-≤<I ð；（2）[]3,0- 【解析】【分析】（1）分别求出U B ð和A ,再取交集，即可。
吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高三上学期开学考试 数学试卷+答案
梅河口市第五中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）1.在等比数列{}n a 中，已知11a =，23a =，则4a =（）A.27- B.27C.64- D.642.设()f x 是可导函数，且()()Δ01Δ1lim 2Δx f x f x→+-=，则()1f '=（）A.1B.1- C.2D.2-3.已知由小到大排列的5个样本数据,12,16,19,23a 的极差是15，则a 的值为（）A .6B.7C.8D.94.若圆22:()(2)1C x m y m -+-=被直线:210l x y -+=平分，则m =（）A.-2B.23-C.12D.135.下列函数既是奇函数又在()0,1上单调递增的是（）A.2y x x =- B.2x y =C.sinπy x= D.33y x x =+6.等差数列{}n a 前n 项和为7,4n S a =，则13S =（）A.44B.48C.52D.567.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为（）A.3y x =±B.y =C.y x=±D.y =8.已知12,x x 分别是函数()()333,log 3xf x xg x x x =+-=+-的零点，则1323log xx +=（）A.3e ln3+ B.9ln3+ C.3 D.4二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若随机变量()23,X N σ 且()()P X a P X b ≤=≥，则下列选项正确的是（）A .()132P X ≥=B.()()33P X P X σσ≥+>≤-C.22a b +的最小值为18D.()217E X +=10.某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有,,,,,,A B C D EFG 共7个节目，则下列结论正确的是（）A.若节目A 与节目B 相邻，则共有1440种不同的安排方法B.若节目E 与节目F 不相邻，则共有3600种不同的安排方法C.若节目C 在节目D 之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法D.若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法11.已知函数()()1ln f x x x =-，下列选项正确的是（）A.()f x 有最大值B.31e e f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.若e x ≥时，()()e 0f x a x --≤恒成立，则1a ≤D.设12,x x 为两个不相等的正数，且121221ln ln 11x x x x x x -=-，则12112x x +>三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知函数1)4f x +=-，则()f x =______.13.曲线()()1e x f x x =+在点()()0,0f 处的切线方程为______.14.已知函数()e e 12024e e 2x x x xf x x ---=+++，且满足()1ln 11f x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，则实数x 的值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在数列{}n a 中，已知111134n n n n a a a a a ++=+=，．（1）证明：12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若()1212n n c n a ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前n 项和n S ．16.某公司生产甲、乙两种产品，在该公司的仓库中有甲产品7万件、乙产品3万件，按甲、乙产品的数量比例，用分层随机抽样的方法从这10万件产品中抽取一个容量为10的样本，对样本中的每件产品进行质量检测，测得样本中甲产品的优质品率为47，乙产品的优质品率为23．（1）若从样本中再随机抽取3件进行深度测试，求至少抽到2件乙产品的概率；（2）若从样本中的甲产品和乙产品中各随机抽取2件，将抽到的这4件产品中优质品的件数记为X ，求X 的分布列和数学期望．17.在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，csin cos C c c B -=．（1）求B ；（2）若3b =，求ABC 的周长l 的取值范围．18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()241n n S a =+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：112ni iS =<∑．19.已知函数()ln xf x x=.（1）若方程()f x kx =有两解，求实数k 的取值范围；（2）若对任意的()0,x ∈+∞，不等式()1e xf x a x--≥恒成立，求实数a 的取值范围.BCCD DCBC 9ACD 10ABC11ACD12()2231x x x --≥1321y x =+14115（1）由题意知0n a ≠，1134n n n n a a a a +++=，两边同除以1n n a a +，得1134n na a +=+，111232n n a a +⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭，11a = ，则11230a +=≠，根据等比数列的定义知，12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为3，公比为3的等比数列，123n n a ∴+=，132n n a ∴=-；（2）()1313n n S n +=+-16（1）1160（2）()5221E X =，分布列见解析由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有7447⨯=件优质品，有743-=件不是优质品，乙产品中有2323⨯=件优质品，有321-=件不是优质品，则X 的所有可能取值为1，2，3，4．()2113122273C C C 21C C 21P X ===，()2211113243122273C C C C C C 32C C 7P X +===，()1122114324122273C C C C C C 83C C 21P X +===，()22422273C C 24C C 21P X ===，X ∴的分布列为X1234P22137821221()2382521234217212121E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．17（1）π3B =（2）(]6,9．18（1）21n a n =-（2）证∵()21212n n n S n +-==，∴1n =时，111112S a ==<，2n ≥时，()21111111n S n n n n n =<=---，∴22222111111111111112212312231ni iSn n n n==++++<+-+-++-=-<-∑ ∴112ni iS =<∑成立．19（1）10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）(],1-∞.。
2020届吉林省梅河口五中(实验班)等联谊校高三上学期期中数学(文)试题(解析版)
2020届吉林省梅河口五中（实验班）等联谊校高三上学期期中数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|50A x x x =->，则C R A =（） A ．{|05}x x ≤≤ B ．{|0}x x < C ．{|5}x x >D ．{|50}x x -≤≤【答案】A【解析】求出集合A 后，根据补集定义求得结果. 【详解】{}{2500A x x x x x =-=<或}5x > {}05R C A x x ∴=≤≤本题正确选项：A 【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.2．设复数z 满足(2)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为 A ．35B ．35-C ．35iD ．35i -【答案】B【解析】把已知等式变形,根据复数的除法运算求得复数z ，再得复数z 的共轭复数，得解. 【详解】因为(2)1z i i -=+，1(1)(2)1332(21)(2)555i i i i z i i i i ++++∴====+--+, 所以复数z 的共轭复数为1355i -，所以复数z 的共轭复数的虚部为35-， 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数和复数虚部的概念,属于基础题. 3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B =A ．4B ．13C ．40D ．41【答案】C【解析】运行程序，进行计算，当5A >时退出循环，输出B 的值. 【详解】1B =，2A =；4B =，3A =；13B =，4A =；40B =，5a =.因为54>，所以输出40B =. 【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果. 4．已知等差数列{a n },若a 2=10,a 5=1,则{a n }的前7项和为 A ．112 B ．51C ．28D ．18【答案】C【解析】根据等差数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组，解出数列的首项和公差，再根据等差数列的前n 项和可得解. 【详解】由等差数列的通项公式结合题意有: 21511041a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：1133a d =⎧⎨=-⎩，则数列{}n a 的前7项和为: 7176771321(3)282S a d ⨯=+=⨯+⨯-=， 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项公式，属于基础题. 5．已知，，，若，则（ ）A ．-5B ．5C ．1D ．-1【答案】A【解析】通过平行可得m 得值，再通过数量积运算可得结果. 【详解】 由于，故，解得，于是，，所以.故选A.【点睛】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C【解析】若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，而两人的说法互相矛盾，据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了. 本题选择C 选项.7．已知tan θ＝3，则cos 3(2)2πθ+＝ A ．－45B ．－35C ．35D ．45【答案】C【解析】利用诱导公式化简得sin 2 θ，再利用22 1sin cos θθ+=，可得sin2222 sin cos sin cos θθθθθ=+，分子分母同时除以2cos x 即可得解. 【详解】 ∵tan θ＝3，∴cos 322πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin 22222263 sin cos 1915sin cos tan tan θθθθθθθ====+++， 故选C. 【点睛】本题主要考查了诱导公式及同角三角函数的关系的应用，巧用22sin cos 1θθ+=解题，属于基础题.8．若0,0,21,m n m n >>+=则11m m n++的最小值为 A ．4B ．5C ．7D ．6【答案】C【解析】由已知得12m n =-代入11m m n ++中化简得122m n+-，而()12122225n mm n m n m n m n⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式可得最小值，得解. 【详解】由已知，m ，0n >，21m n +=，得12m n =-， 所以()121111122n m m n m n m n-+++=+=+-,那么()1212222559n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13m n ==时取得等号， 所以11122927m m n m n ++=+-≥-=，即11m m n ++的最小值为7，故选:C. 【点睛】本题主要考查基本不等式,关键在于先化简已知表达式，巧用“1”构造基本不等式，属于基础题。
2020届吉林省梅河口市第五中学高三11月月考数学(文)试题(解析版)
2020届吉林省梅河口市第五中学高三11月月考数学（文）试题一、单选题1．设集合{}0,1,3,5A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ） A ．{}3,5 B ．{}2,3C ．{}3D ．{}5【答案】A【解析】利用交集的定义可计算出集合A B I . 【详解】因为{}0,1,3,5A =，{}2,3,4,5B =，所以{}3,5A B =I . 故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2．在等差数列{}n a 中，21a =-，3716a a +=，则{}n a 的公差d =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据等差数列的性质，由3716a a +=得到5a ，再由公式n ma a d n m-=- 求解.【详解】因为3716a a +=， 所以58a =， 所以()52813523a a d ---===-. 故选：C 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，还考查了转化，运算求解的能力，属于基础题. 3．在等比数列{}n a 中，若253a a +=，586a a +=，则11a =（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】由253a a +=，586a a +=，得到358252a a q a a +==+，再由()325213a a a q +=+=，求得2a ，最后由通项公式求解.【详解】因为253a a +=，586a a +=，所以358252a a q a a +==+，因为()325213a a a q +=+=，所以21a =，所以()93311223128===⨯=a a q a q .故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．抛物线214y x =的准线方程为（ ） A ．1y = B ．116x =C ．1y =-D ．116x =- 【答案】C【解析】将方程转为标准方程，即可得到准线方程y=-2p . 【详解】 由214y x =，得24x y =， 所以准线方程为1y =-, 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程以及简单的几何性质，属于简单题.5．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A ．27π B ．36πC ．54πD ．81π【答案】B【解析】由圆柱的轴截面为正方形可知，底面圆直径与圆柱的高相等，根据圆柱的体积公式，可求得底面圆的半径，再由圆柱的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．【点睛】设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则侧面积=2S rh π侧，体积2V Sh r h π==.6．设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，则下列判断正确的是() A ．若n α⊥，m α⊥，则m n ⊥ B ．若αβ∥，m α⊥，则m β⊥C ．若αβ⊥，l αβ=I ，m l ⊥，则m β⊥D ．若m n P ，m αP ，则n αP 【答案】B【解析】选项A 由线面垂直的性质定理可得；选项B ，由面面平行的定义找两组相交直线，结合线面垂直的判定定理即可证明；选项C,D ，找到反例即可. 【详解】A 选项不正确，根据垂直于同一个平面的两个直线平行，可得m n P ；B 选项正确，若αβ∥，则存在,,a b a b αα⊂⊂⋂，在平面β内存在',',''a a b b a b ⋂∥∥，由m α⊥，可得,','m a m b m a m b ⊥⊥⇒⊥⊥ ，由线面垂直的判定定理可得m β⊥；C 选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“m 在平面α内或者平行于α”这个条件，才能判定m β⊥；D 选项不正确，直线n 可能在平面α上． 【点睛】解决平行、垂直关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，3534S S +=，则9S =（ ） A ．63 B ．64C ．80D ．81【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意得出关于1a 与d 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的求和公式可计算出9S 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则21351381334a a d S S a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，因此，91989899128122S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列求和，解题的关键就是建立首项和公差的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于基础题.8．若x ，y 满足约束条件0210x y x y x -⎧⎪+⎨⎪+⎩„„…，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．-5B ．-3C ．1D ．2【答案】C【解析】画出可行域，向下平移基准直线20x y -=到可行域边界位置，由此求得z 的最大值. 【详解】画出可行域，由图可知，直线2z x y =-过点(1,1)A 时，z 取得最大值2111⨯-=. 故选：C【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 9．函数()()21()1x xe f x x e -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数()f x 的奇偶性和在0x >时函数值的特点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 因为()()21()1x xe f x x e -=+是偶函数，所以排除A ，C ，当0x >时，()0f x >恒成立，所以排除D. 故选:B. 【点睛】本题考查函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想以及推理论证能力. 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．56234+B ．32234+C ．5683+D ．3282+【答案】A【解析】由三视图画出原图，根据几何体的结构，计算出几何体的表面积. 【详解】该几何体的直观图如图所示.易知,,5,42,8,3PB BC PD DC PD PA AD AB PE ⊥⊥=====，所以145102PBC PCD S S ∆∆==⨯⨯=1114217234,8312,(48)424222PAD PAB ABCD S S S =⨯⨯==⨯⨯==⨯+⨯=V V ，所以该几何体的表面积56234S =+.故选：A 【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.11．古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G 信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现5G 商用，已知甲、乙两地相距4公里，丙、甲两地距离是丙、乙两3则这个三角形信号覆盖区域的最大面积（单位：平方公里）是（ ） A ．3B ．3C ．36D ．6【答案】B【解析】建立平面直角坐标系，利用两点间的距离公式列方程，化简后求得丙地的轨迹方程，由此根据三角形的面积公式，求得三角形信号覆盖面积的最大值. 【详解】由题意不妨设甲、乙两地坐标为(2,0),(2,0)-，丙地坐标为(,)x y ，则2222(2)3(2)x y x y ++=⋅-+，整理得()22(4)120x y x -+=≠，半径23r =，所以最大面积为1423432⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题考查数学文化与圆的运用，考查化归与转化的数学思想.12．已知函数1,02()2ln ,24x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩剟…，若存在实数12,x x 满足1204x x <剟，且()()12f x f x =，则21x x -的最大值为（ ）A ．22e-B ．1C ．2ln2+D ．2ln 2-【答案】A【解析】画出()f x 的图像，利用()()12f x f x =将2x 表示成1x 的关系式，将21x x -化为只含1x 的表达式，利用换元法，结合导数，求得21x x -的最大值. 【详解】作出31,02()2,24x x x f x ex -⎧<⎪=⎨⎪⎩„剟的图象如图所示.因为()()12f x f x =，所以2311e 2x x -=，即123ln 2x x =+.由图可知1112xe <„，则12113ln2x x x x -=+-，令11,1,()ln 232e x t g t t t ⎡⎫=∈=-+⎪⎢⎣⎭.则112()2t g t t t '-=-=.易知函数()ln 23g t t t =-+在11,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以max 11()ln 132ln 222g t g ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题考查导数的综合应用，考查学生数形结合、转化与化归的数学思想.二、填空题13．已知平面向量(2,7),(1,2),(1,1)a b c =-=-=v v v，若()//a b c λ+v v v ，则实数λ=_____________.【答案】3【解析】根据向量的坐标运算与平行公式求解即可. 【详解】由已知得(2,72)a b λλλ+=--+r r ,又()//a b c λ+r r r,所以(2)(72)0λλ---+=, 解得3λ=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查平面向量坐标运算和平面向量共线的知识,考查运算求解能力.14．在等差数列{}n a 中，若38137a a a ++=，2111411a a a ++=，则{}n a 的前16项和为________. 【答案】48【解析】首先根据等差数列下角标的性质求出8a 与9a ，然后根据等差数列求和公式即可求出{}n a 的前16项和. 【详解】因为3813837a a a a ++==，211149311a a a a ++==， 所以89711633a a +=+=， 所以{}n a 的前16项和为()()116891616684822a a a a ++==⨯=.故答案为：48. 【点睛】本题考查了等差数列下角标的性质，等差数列的求和公式，属于基础题.15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为______.【答案】196π【解析】平移两条异面直线，使得其相交，根据夹角的余弦值，求得长方体的高，再利用长方体外接球半径的计算公式求得半径和表面积. 【详解】如图，连接AC ，交DB 于点O ，取1CC 的中点为E ，连接OE ，BE ，因为1//AC OE ，所以BD 与1AC 所成的角为∠BOE . 令EC h =，在BEO ∆中，由8AB =，6AD =，得5OB =. 又225OE h =+236BE h =+1cos 5BOE ∠=， 由余弦定理得222125OE OB BE OE BO +-=⋅⋅，解得26h =所以146CC =则22111009619614AC AC CC ++==， 即214R =，从而24196S R ππ==表. 故答案为：196π. 【点睛】本题考查由异面直线的夹角求解线段的长度，以及长方体外接球半径的求解，属综合性基础题.16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过点()4,2M -，左、右顶点分别为1A 、2A ，设直线:20l x y ++=分别与直线x a =-和直线x a =依次交于点1M 、2M ，若11224M A M A ⋅=，则该双曲线的离心率为_______.6【解析】求出点1M 、2M 的坐标，由11224M A M A ⋅=可求出a 的值，再由点M 在双曲线上可得出b 的值，进而可求出该双曲线的离心率的值. 【详解】联立20x ax y =-⎧⎨++=⎩，得2x a y a =-⎧⎨=-⎩，则()1,2M a a --，同理可得()2,2M a a --，所以，211222244M A M A a a a ⋅=-⋅--=-=，0a >Q ，a ∴= 将点M 的坐标代入双曲线的方程得216418b-=，得2b =，因此，双曲线的离心率为e ===故答案为：2【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，根据题意求出a 、b 、c 的值是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知数列{}n a 是各项都为正数的等比数列，且3452a a a +=，121a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若22log 3log n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）123n n a -=；（2）22n n nS -=. 【解析】（1）首先根据题中已知条件求出等比数列的两个基本量1a 和q ，然后即可求出数列的通项公式；（2）首先求出数列{}n b 的通项公式，然后即可求出数列{}n b 的前n 项和. 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，则3452a a a +=可变形为2341112a q a q a q +=，化简为220q q --=， 解得2q =或1q =-（舍去），因为121a a +=，所以1121a a +=，解得113a =， 所以数列{}n a 的通项公式为1112233n n n a --=⨯=；（2）因为()12222log 3log log 3log 21n n n n b a a n -=+===-，所以数列{}n b 是首项为10b =，公差为1的等差数列，所以()2122n n n b b n nS +-==. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求解，等差数列的前n 项和公式，属于基础题. 18．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1sin 2a Bb =. （1）求A ；（2）若b c +=ABC ∆的面积为2，求a .【答案】（1）6A π=（2）2【解析】（1）首先对1sin 2a Bb =进行边角转化，然后根据锐角ABC ∆限定的角的范围即可求出角A ；（2）根据ABC ∆的面积为2求出bc 的值，再结合b c +=a 的值. 【详解】（1）因为1sin 2a B b =，所以1sin sin sin 2A B B =， 即1sin 2A =，因为ABC ∆为锐角三角形， 所以02A π<<，所以6A π=；（2）因为ABC ∆的面积为2， 所以1sin 22bc A =，即8bc =，因为b c +=所以22222cos ()2(1cos )16a b c bc A b c bc A =+-=+-+=-，故1)2a ====.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于一般题.19．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11111A B A D ==，1111BC C D ==13AA =，AB AD ⊥.（1）证明：111B D AC ⊥； （2）求四棱锥1111A A B C D -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）连接11A C ，交11B D 于点1E ，证明111111A B C A D C ∆≅∆，可得出11A C 为111B A D ∠的角平分线，利用等腰三角形三线合一的性质得出1111B D A C ⊥，再由直棱柱的定义得出1AA ⊥平面1111D C B A ，可得出111⊥B D AA ，通过证明11B D ⊥平面11AAC C 得出111B D AC ⊥；（2）计算出四边形1111D C B A 的面积，然后利用锥体的体积公式可计算出四棱锥1111A A B C D -的体积.【详解】（1）连接11A C ，交11B D 于点1E .因为11111A B A D ==，11115BC C D =1111AC AC =，111111A B C A D C ∴∆≅∆ 所以11111145B A C D A C ∠=∠=o .在等腰111A B D ∆中，因为11A E 是顶角111B A D ∠的平分线，所以1111B D A C ⊥. 又因为1111ABCD A B C D -是直四棱柱，1AA ∴⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂Q 平面1111D C B A ，所以111⊥B D AA .因为1111A C AA A =I ，所以11B D ⊥平面11AAC C ， 因为1AC ⊂平面11AAC C ，所以111B D AC ⊥；（2）由（1）可知，221111112B D A B A D =+=，111122A E D E ==，()221123252C E ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以11111122AC A E C E =+=. 所以四边形1111D C B A 的面积1111122S AC B D =⨯⨯=， 故四棱锥1111A A B C D -的体积11123233V S AA =⋅=⨯⨯=.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了锥体体积的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知椭圆22:221(0)x y C a b a b+=>>，圆心为坐标原点的单位圆O 在C 的内部，且与C 有且仅有两个公共点，直线22x +=与C 只有一个公共点. （1）求C 的标准方程；（2）设不垂直于坐标轴的动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 的中垂线交x 轴于点P ，求||PFAB 的值. 【答案】(1) 2212x y += (2) ||2||4PF AB =【解析】（1）利用单位圆的性质求得b ，利用直线22x +=和椭圆联立方程后关于y 的方程只有一个解，判别式为0列方程，由此求得2a .进而求得椭圆的标准方程.（2）设出直线l 的方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，求得AB 中点Q 的坐标，利用中垂线的斜率列方程，求得P 点的横坐标，由此求得PF .利用弦长公式求得AB ，进而求得PF AB的值.【详解】（1）依题意，得1b =将2x =代入椭圆的方程，得()222240a y a +-+-= 由()()22324240a a∆=-+-=，解得22a=所以椭圆的标准方程为2212x y +=（2）由（1）可得左焦点(1,0)F -由题意设直线l 的方程为1(0)x my m =-≠， 代入椭圆方程，得()222210m y my +--= 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122221,22m y y y y m m -+==++ 所以()12122422x x m y y m -+=+-=+,AB 的中点为222,22m Q m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭设点()0,0P x ，则()222PQ mk m m x -==-++， 解得0212x m -=+ 所以2021||12m PF x m +=+=+又)21221||2m AB y m +=-==+所以||||4PF AB =【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查垂直平分线的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()()212ln 22f x a x x x x =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）10ln 21a <<-【解析】（1）求出函数的定义域以及导函数，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论0a ≤，02a <<，2a =，2a >，可求得()f x 的单调性（2）由（1）求得在0a ≤，02a <<，2a =，2a >时，函数的单调区间，讨论出零点的个数，从而求得实数a 的取值范围． 【详解】解析：（1）()()()()211220f x a x x a x x x x'=--⎛⎫+=-- ⎪⎝>⎭ ①0a ≤，0a x -<，(0,2)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；(2,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减②02a <<，()02f x x '=⇒=或x a =，当(0,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；(),2x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；()2,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减③2a =，()()2120f x x x'=--<，()f x 在()0,∞+单调递减 ④2a >，()02f x x '=⇒=或x a =，当()0,2x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；()2,x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增； (),x a ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减（2）由（1）得当0a =时，()2122f x x x =-+在定义域上只有一个零点 0a <，由（1）可得，要使()f x 有两个零点，则()()()20222ln220f f a >⇒=-+>∴10ln 21a <<-下证()f x 有两个零点取1ax e =，21111112202a a a af e a e e e a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()120af e f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，故()f x 在()0,2有且只有一个零点()()442ln40f a =-<，满足()()240f f <，故()f x 在()2,+∞有且只有一个零点当02a <<时，由（1）可得()0,2x ∈，()()()()22112ln 221ln 022f x f a a a a a a a a a ≥=--+=+->，故()f x 在()0,2无零点，又因为()f x 在()2,+∞单调递减，∴()f x 在()0,∞+至多一个零点，不满足条件当2a >时，()0,x a ∈，()()()222ln 220f x f a ≥=-+>故()f x 在()0,a 上无零点，又因为()f x 在(),a +∞单调递减，∴()f x 在()0,∞+至多一个零点，不满足条件 ∴满足条件a 的取值范围10ln 21a <<-【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断，考查学生的计算能力，属于难题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为612x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（2）若射线():0l θαρ=≥分别交1C 、2C 于A 、B 两点，求OB OA 的最大值.【答案】（1）1:C ρ=，2:4cos C ρθ=；（2）23. 【解析】（1）将曲线1C 、2C 的方程化为普通方程，再由222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩可将两曲线的方程化为极坐标方程；（2）设点A 、B 的极坐标分别为(),A ρα、(),B ρα，求出A ρ和B ρ，利用三角恒等变换思想化简BA OB OAρρ=关于α的表达式，利用正弦型函数的有界性可得出OB OA的最大值. 【详解】（1）曲线1C的参数方程为6212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t，得90x +-=，转化为极坐标方程为cos sin 9ρθθ+=，即ρ=.曲线2C 的参数方为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ，得22(2)4x y -+=，即224x y x +=，转化为极坐标方程为4cos ρθ=；（2）设点A 、B 的极坐标分别为(),A ρα、(),B ρα， 因为射线():0l θαρ=≥分别交1C 、2C 于A 、B 两点，所以A OA ρ==，4cos B OB ρα==，所以()224cos 2cos cos 9B A OB OA ρααααρ===+)222cos 212sin 21996πααα⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当6πα=时，OB OA取最大值23. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程之间的相互转化，同时也考查了利用极坐标方程解决最值问题，考查计算能力，属于中等题. 23．已知1()2f x x a =-.（1）若不等式()1f x „的解集为{|26}x x 剟，求a 的值； （2）在（1）的条件下，若2(2)2()43f x f x m m +--…对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.【答案】(1) 2a =. (2) [1,5]-【解析】（1）利用绝对值不等式的解法化简()1f x ≤，根据不等式()1f x ≤的解集，求得a 的值.（2）先求得(2)2()f x f x +的最小值，由此解一元二次不等式求得m 的取值范围. 【详解】 （1）因为112x a -„，所以1112x a --剟 所以2222a x a -+剟，即()1f x „的解集为{|2222}x a x a -≤≤+ 又不等式()1f x „的解集为{|26}x x 剟， 所以222226a a -=⎧⎨+=⎩解得2a =.（2）因为62,2(2)2()242,2426,4x x f x f x x x x x x -<⎧⎪+=-+-=<⎨⎪-≥⎩„易知(2)2()f x f x +的最小值是2.因为2(2)2()43f x f x m m +--…对任意x ∈R 恒成立， 所以2432m m --≤，即2450m m --≤.解得15m -剟，即m 的取值范围为[1,5]- 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
【名校复习专用】吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文
梅河口市第五中学2017～2018学年度第一学期期中高二年级数学（文数）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“二孩政策”的出台，给很多单位安排带来新的挑战，某单位为了更好安排下半年的工作，该单位领导想对本单位女职工做一个调研，已知该单位有女职工300人，其中年龄在40岁以上的有50人，年龄在[3040]，之间的有150人，30岁以下的有100人，现按照分层抽样取30人，则各年龄段抽取的人数分别为（）.A．5，15，10 B．5，10，15 C．10，10，10 D．5，5，202.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（）.A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与303.已知直线1l：(3)(4)10k x k y-+-+=与2l：2(3)230k x y--+=平行，则k的值是（）. A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或24.．一组数据中的每一个数据都乘2，再减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（）.A．40.6，1.1 B．48.8，4.4 C.81.2，44.4 D．78.8，75.65.设tan3α=，则sin()cos()sin()cos()22αππαππαα-+-=-++（）.A．3 B．2 C.1 D．1-6.．已知两圆的圆心距3d=，两圆的半径分别为方程2530x x-+=的两根，则两圆的位置关系是（）.A．相交 B．相离 C.相切 D．内含7.图中给出的是计算111124620++++L的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）.A ．21i ≤B ．11i ≤ C.21i ≥ D ．11i ≥ 8.对于直线m ，n 和平面α，以下结论正确的是（ ）. A ．如果m α⊂，n α⊄，m ，n 是异面直线，那么n α∥ B ．如果m α⊂，n 与α相交，那么m ，n 是异面直线 C ．如果m α⊂，n α∥，m ，n 共面，那么m n ∥ D ．如果m α∥，n α∥，m ，n 共面，那么m n ∥ 9.定义行列式运算12142334a a a a a a a a =-，将函数3sin ()1cos x f x x=的图象向左平移n （0n >）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（ ）. A ．6π B ．56π C.3π D ．23π10.曲线214y x =+-与直线(2)4y k x =-+有两个交点,则实数k 的取值范围（ ）.A ．5(0)12，B ．5()12+∞， C.13(]34， D ．53(]124，11.某一简单几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积是（ ）.A ．13πB ．16π C.25π D ．27π12.已知AB AC ⊥u u u r u u u r ，1||AB t=u u u r ，||AC t =u u u r ，若P 点是ABC △所在平面内一点，且4||||AB ACAP AB AB =+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，则PB PC u u u r u u u r g 的最大值等于（ ）. A ．13 B ．15 C.19 D ．21二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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A. 每个正方形的对角线都不相等
B. 存在不是正方形的四边形对角线不相等
C. 存在对角线不相等的正方形
D. 每个不是正方形的四边形对角线都相等
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题得到答案.
【详解】解：命题：“正方形的两条对角线相等”可改写为“所有的正方形，其两条对角线
相等”是全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可知其否定为“有些正方形，其两条
所以切线的倾斜角的取值范围是
4
,
反之，若 Sn1 Sn ，则当 n 1 时， S2 S1 ，即 a2 0 ．
-4-
因此，“ a2 0 ”是“ Sn1 Sn ”的充要条件.
故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也涉及了等差数列基本性质的应用，考查推理 能力，属于中等题.
9.曲线 y x3 x 3 上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（ ）ຫໍສະໝຸດ “ Sn1 Sn ”的（ ）
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
由 Sn1 Sn 得出 an1 0 ，再结合等差数列的性质以及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】 Sn1 Sn an1 0 ，
由 an 是公差大于零的等差数列，且 a2 0 ，可得 an1 0 ，即 Sn1 Sn ；
（） A. 2 【答案】B 【解析】 【分析】
B. 3
C. -2
D. -3
根据 f (1) 3 求出 a 2, 再根据 (1, a b) 也在直线 y 3x 2 上，求出 b 的值，即得解. 【详解】因为 f (x) 1 a ，所以 f (1) 3
x 所以1 a 3, a 2 ，
数学试题（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1.若集合 A＝{x|0＜x＜6}，B＝{x|x2+x﹣2＞0}，则 A∪B＝（ ）
A. {x|1＜x＜6}
B. {x|x＜﹣2 或 x＞0} C. {x|2＜x＜6}
D. {x|x＜﹣
2 或 x＞1}
【答案】B
【解析】
【分析】
可以求出集合 B，然后进行并集的运算即可．
【详解】∵B＝{x|x＜﹣2 或 x＞1}，A＝{x|0＜x＜6}，
∴A∪B＝{x|x＜﹣2 或 x＞0}．
故选 B．
【点睛】本题考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算,是基础题
2.命题“正方形的两条对角线相等”的否定为（ ）
故函数 y f x 的零点所在区间为 2,3 ．
故选：D. 【点睛】本题考查函数零点所在区间的判断，一般利用零点存在定理来判断，考查计算能力 与推理能力，属于基础题.
-3-
7.已知函数 f (x) ln x ax b 的图象在点 (1, a b) 处的切线方程是 y 3x 2 ，则 a b
又 (1, a b) 也在直线 y 3x 2 上，
所以 a b 1， 解得 a 2,b 1,
所以 a b 3 .
故选：B
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8.设an 是公差大于零的等差数列， Sn 为数列an 的前 n 项和，则“ a2 0 ”是
A.
4
,
2
2
,
3 4
B.
4
,
C.
0,
4
D.
4
,
2
【答案】D 【解析】 【分析】
求出导函数值的取值范围，即可得出曲线 y x2 x 3 上任意一点处的切线的倾斜角的取值
范围.
【详解】 y x3 x 3 ， y 3x2 1 1 ，
即曲线 y x3 2x 3 上任意一点切线的斜率的取值范围是 1, ，
对角线不相等”即“存在对角线不相等的正方形”
故选： C ．
【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.
-1-
3.已知函数 f x f 0 x3 x ，则 f 1 （ ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出 f x 的导函数，再令 x 0 即可求得 f 0 ，则函数解析式可求，最后代入求值即
【详解】 ( 1 )0.3 10
( 1 )0 10
1，
3
10
3
8
2
，1
log4 4
log 410
log 416
2
，
a c b ．
故选：A．
【点睛】考查指数函数、对数函数的单调性，幂函数的单调性，以及增函数、减函数的定义．
6.函数 f x ln x x 2 6 的零点所在区间为（ ）
A.
0,
1 2
B.
1 2
,1
C. 1, 2
D. 2,3
【答案】D 【解析】 【分析】
利用零点存在定理可判断出函数 y f x 的零点所在的区间.
【详解】易知函数 y f x 在 0, 上单调递增，
又 f 1 5 0 ， f 2 ln 2 2 0 ， f 3 ln 3 3 0 ，
【解析】
【分析】
根据函数解析式可判断函数的奇偶性，对称性可排除 B 、 D ，再由特殊值可排除 C ，即可得
到答案.
【详解】解：因 为
f (x)
| x
x | 3 1
(
x
0)
，所以
f (x) f (x) ，即
f (x) 为奇函数，函数
x
-2-
图象关于原点对称，排除 B 、 D ，当 x 3 时， f (x) 0 ，排除 C
可.
【详解】解： f x f 0 x3 x
f x 3 f 0 x2 1
f 0 1
f x x3 x
f 1 13 1 2
故选： D
【点睛】本题考查导数的计算，以及函数值的计算，属于基础题.
4.函数
f
(x)
| x | 3 x 1
(x
0)
的部分图象大致为（
）
x
A.
B.
C.
D.
【答案】A
故选： A
【点睛】本题考查函数的图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.
5.设
a
( 1 )0.3, b 10
3
10, c
log410
，则(
)
A. a c b
B. b a c
C. c b a
D.
abc
【答案】A
【解析】
【分析】
利用有界性分别得出 ( 1 )0.3 10
1, 3 10
2,1 log410 2 ，从而得出 a，b，c 的大小关系．