高中理科数学解题方法篇(思想方法)

专题7数学思想方法目录第19讲函数与方程思想第20讲数形结合思想第21讲分类讨论思想第22讲转化与化归思想知识网络构建考情分析预测数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括，数学思想方法较之数学知识具有更高的层次，具有理性的地位，它是一种数学意识，属于思维和能力的范畴，它是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁．高考中把函数与方程的思想作为数学思想方法的重点进行考查，通过选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查；对数形结合思想的考查侧重两个方面：一方面是充分利用选择题和填空题的题型特点(只需写出结果而无需写出解答过程)，突出将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题的意识，即由“数”到“形”的转化；另一方面在解答题中以由“形”到“数”的转化为主来考查数形结合思想；对于分类与整合思想是以解答题为主进行考查的，通常是通过对含有字母参数的数学问题进行分类与整合的研究，考查考生思维的严谨性与周密性；转化与化归思想在高考中的重点是一些常用的变换方法，如一般与特殊的转化，繁与简的转化，构造转化，命题的等价转化等．纵观近几年的高考试题，都加大了对数学思想方法的考查，把数学思想方法的考查寓于各部分知识的考查之中，以知识为载体，着重考查能力与方法题目很常见．预测2011年数学高考中，仍然会在选择题、填空题、解答题中以初等数学的各个知识点为背景，考查数学思想方法，对数学思想方法的考查不会削弱，会更加鲜明，更加重视．第19讲函数与方程思想主干知识整合1．“函数与方程”思想的地位函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多．函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决．2．“函数与方程”思想的作用运用方程思想解决问题主要从四个方面着手：一是把问题中对立的已知与未知建立相等关系统一在方程中，通过解方程解决；二是从分析问题的结构入手，找出主要矛盾，抓住某一个关键变量，将等式看成关于这个主变元(常称为主元)的方程，利用方程的特征解决；三是根据几个变量间的关系，符合某些方程的性质和特征(如利用根与系数的关系构造方程等)，通过研究方程所具有的性质和特征解决；四是中学数学中常见的数学模型(如函数、曲线等)，经常转化为方程问题去解决．3．“函数与方程”思想在高中数学中的体现(1)函数与方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0.函数问题(例如求反函数，求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点．(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式．(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要．(4)函数f(x)＝(ax＋b)n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题．(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论．(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．要点热点探究► 探究点一 函数方程思想在求解最值或参数的取值范围的应用例1 已知函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ，g (x )＝x 2＋x ＋a ，若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有三个不同的交点，求实数a 的取值范围．【解答】 函数f (x )与y ＝g (x )的图象有三个不同的交点等价于方程x 3－2x 2＋x ＝x 2＋x ＋a 有三个不同的实数根，即关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数根， 令h (x )＝x 3－3x 2－a ，则h ′(x )＝3x 2－6x . 令h ′(x )<0，解得0<x <2； 令h ′(x )>0，解得x <0或x >2.所以h (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增函数，在(0,2)上为减函数． 所以h (0)为极大值，h (2)为极小值． 从而h (2)<0<h (0)，解得－4<a <0.【点评】 本题在求解参数取值范围时，利用函数的极值处理，迅速准确地使问题得到解决． 变试题如果关于实数x 的方程ax 2＋1x ＝3x 的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a 的取值范围为( )A ．{a |－2≤a ≤2}B ．{a |a ≤0或a ＝2}C ．{a |a ≥2或a <－2}D ．{a |a ≥0或a ＝－2} B 【解析】 原问题⇔a ＝3x －1x 3有且仅有一个正实数解．令1x＝t (t ≠0)，则a ＝－t 3＋3t . 令f (t )＝－t 3＋3t (t ≠0)，f ′(t )＝－3t 2＋3， 由f ′(t )＝0，得t ＝1或t ＝－1.又t ∈(－1,1)且t ≠0时，f ′(t )>0；t ∈(－∞，－1)，(1，＋∞)时，f ′(t )<0. 所以f (t )极大值＝f (1)＝2.又t →－∞，f (t )→＋∞；t →＋∞，f (t )→－∞. 结合三次函数图象即可得到答案．► 探究点二 准确认识函数关系中的主从变量，解决有关问题例2 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足：OA →－[y ＋2f ′(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →＝0.(1)求函数y ＝f (x )的表达式； (2)若x >0，证明：f (x )>2xx ＋2； (3)若不等式12x 2≤f (x 2)＋m 2－2bm －3时，x ∈[－1,1]及b ∈[－1,1]都恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】 用三点共线的充要条件构建目标函数，借助导数研究单调性，利用值域构建不等式求解参数范围问题．(1)∵OA →－[y ＋2f ′(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →＝0，∴OA →＝[y ＋2f ′(1)]OB →－ln(x ＋1)OC →， 由于A 、B 、C 三点共线，即[y ＋2f ′(1)]＋[－ln(x ＋1)]＝1， ∴y ＝f (x )＝ln(x ＋1)＋1－2f ′(1)，f ′(x )＝1x ＋1， 故f ′(1)＝12，∴f (x )＝ln(x ＋1)．(2)令g (x )＝f (x )－2x x ＋2，由g ′(x )＝1x ＋1－2(x ＋2)－2x (x ＋2)2＝x2(x ＋1)(x ＋2)2，∵x ＞0，∴g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数， 故g (x )＞g (0)＝0，即f (x )＞2xx ＋2. (3)原不等式等价于12x 2－f (x 2)≤m 2－2bm －3，令h (x )＝12x 2－f (x 2)＝12x 2－ln(x 2＋1)，由h ′(x )＝x －2xx 2＋1＝x 3－x x 2＋1＝x (x 2－1)x 2＋1，当x ∈[－1,1]时，h (x )max ＝0，∴m 2－2bm －3≥0.令Q (b )＝m 2－2bm －3，则⎩⎪⎨⎪⎧Q (1)＝m 2－2m －3≥0，Q (－1)＝m 2＋2m －3≥0，解得m ≥3或m ≤－3.变试题 对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3都成立，则实数x 的取值范围是____________．x >3或x <－1【解析】 原不等式可化为p (x －1)＋(x 2－4x ＋3)＞0，记f (p )＝p (x －1)＋x 2－4x ＋3，由已知0≤p ≤4，f (p )＞0恒成立，有⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝x 2－4x ＋3>0，f (4)＝x 2－1>0.解之得x ＞3或x ＜－1. 【点评】 反客为主，变换主元是解题的关键．► 探究点三 利用函数与方程的相互转化，解决有关问题例3 (1)设a >1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[]a ，2a ，都有y ∈[]a ，a 2满足方程log a x ＋log a y ＝c ，这时a 的取值的集合为____________．(1){2}【解析】 由log a x ＋log a y ＝c ，得y ＝acx(x ∈[a,2a ])，则当x ∈[a,2a ]时，y ∈⎣⎡⎦⎤a c －12，a c －1.又对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]， 因此⎩⎪⎨⎪⎧a c －12≥a ，a c －1≤a 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ≥2＋log a 2，c ≤3，又仅有一个常数c ，所以2＋log a 2＝3⇒a ＝2.(2)函数f (x )＝sin x 5＋4cos x(0≤x ≤2π)的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－14，14B.⎣⎡⎦⎤－13，13C.⎣⎡⎦⎤－1212D.⎣⎡⎦⎤－23，23 (2)C【解析】 由y ＝sin x5＋4cos x，得y 2＝sin 2x5＋4cos x ⇒1－cos 2x ＝5y 2＋4y 2cos x .令t ＝cos x (t ∈[－1,1])，则等价于方程t 2＋4y 2·t ＋5y 2－1＝0在[－1,1]上有实数根． 令g (t )＝t 2＋4y 2·t ＋5y 2－1， ∵g (－1)＝y 2≥0，g (1)＝9y 2≥0，故⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－1≤－2y 2≤1，⇒y 2≤14，因此值域为⎣⎡⎦⎤－12，12，选C.► 探究点四 运用函数、方程、不等式的相互转化，解决有关问题例4 若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1、x 2满足－1<x 1<0<x 2<2，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－34，0B.⎝⎛⎦⎤－340C.⎝⎛⎭⎫0，34D.⎣⎡⎭⎫0，34 A【解析】设函数f (x )＝x 2＋2kx －1，∵关于x 的方程x 2＋2k x －1＝0的两根x 1、x 2满足－1<x 1<0<x 2<2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (0)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，－1<0，4k ＋3>0，∴－34<k <0，故选择A.变试题 已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是__________．⎣⎡⎦⎤0，14 【解析】方程即⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14∈⎣⎡⎦⎤0，14， 利用绝对值的几何意义，得⎪⎪⎪⎪a －14＋a≤⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14， 可得实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，14.► 探究点五 函数方程思想在数列问题中的应用例5 [2010·全国卷Ⅰ] 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .【解答】 设数列{a n }的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1(a 3＋1)＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4.因此S n ＝12n (3n －1)，或S n ＝2n (5－n )．变试题 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，ax －6，x >7，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫94，3B.⎝⎛⎭⎫94，3 C ．[2,3) D ．(1,3) 【解析】A 依题意，数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥(3－a )×7－3，3－a >0，解得94≤a <3，选择A.教师备选习题(选题理由：均为高考中的重点：1.导数与不等式〈构造函数〉；2数列与不等式〈选择函数中恰当的主元〉)1．[2010·安徽卷] 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R. (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.【解答】(1)f ′(x )＝e x－2，所以当x ∈[ln2，＋∞)时，f (x )是增函数；当x ∈(－∞，ln2)时，f ′(x )是减函数．所以f (x )的单调递增区间是[ln2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，ln2)． 所以f (x )极小值＝f (ln2)＝2－2ln2＋2a .(2)证明：设g (x )＝e x－x 2＋2ax －1，则g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，由(1)知当a >ln2－1时，g ′(x )最小值＝2－2ln2＋2a ， 所以有g ′(x )最小值>0，即g (x )在R 上是增函数，于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)， 所以g (x )＝e x －x 2＋2ax －1>0，所以e x >x 2－2ax ＋1.2．[2010·抚州卷] 已知数列{a n }，{b n }中，a 1＝0，b 1＝1，且当n ∈N *时，a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求最小自然数k ，使得当n ≥k 时，对任意实数λ∈[0,1]，不等式(2λ－3)b n ≥(2λ－4)a n ＋(λ－3)恒成立．【解答】 (1)依题意2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1. 又∵a 1＝0，b 1＝1，∴b n ≥0，a n ≥0，且2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1， ∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)， ∴数列{b n }是等差数列， 又b 2＝4，b 3＝9， ∴b n ＝n ，n ＝1也适合． ∴b n ＝n 2，a n ＝(n －1)n .(2)将a n ，b n 代入不等式(2λ－3)b n ≥(2λ－4)a n ＋(λ－3)，整理得(2n －1)λ＋n 2－4n ＋3≥0.令f (λ)＝(2n －1)λ＋n 2－4n ＋3，则f (λ)是关于λ的一次函数，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≥0，f (1)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2－4n ＋3≥0，n 2－2n ＋2≥0，解得n ≤1或n ≥3. ∴存在最小自然数k ＝3，使得当n ≥k 时，不等式恒成立．规律技巧提炼1．函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处量变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想．(1)函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量之间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想．应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：①根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；②根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题．2)方程思想(：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或(方程组)，通过解方程(或方程组)求出它们，这就是方程思想．2．函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法来支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想．第20讲数形结合思想主干知识整合1．数形结合思想的概念数形结合思想，就是把问题的数量关系和图形结合起来考查的思想方法，即根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究．数形结合思想，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思想方法，在高考中经常考查．2．数与形转换的三条途径(1)通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解．(2)转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到形的角度来考虑．如将a2＋b2转化为勾股定理或平面上两点间的距离等．(3)构造，通过对数(式)与形特点的分析，联想相关知识构造图形或函数等．比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等．3．数形结合的主要解题方式(1)数转化为形，即根据所给出的“数”的特点，构造符合条件的几何图形，用几何方法去解决．(2)形转化为数，即根据题目特点，用代数方法去研究几何问题．(3)数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合，使问题变得简捷、直观、明了．华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．运用数形结合思想解题，不仅直观，易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，可起到事半功倍的效果．所以华先生还一语双关地告诫学生“不要得意忘形”．要点热点探究► 探究点一 代数问题几何化——以形助数例 1 (1)[2010·湖北卷] 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[－1,1＋22]B ．[1－22，1＋22]C ．[1－22，3]D ．[1－2，3] (1)C【解析】 曲线方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆．依据数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，∴|2－3＋b |2＝2，解得b ＝1＋22或b ＝1－2 2.因为是下半圆，故可得b ＝1－22， 当直线过(0,3)时，解得b ＝3， 故1－22≤b ≤3，所以C 正确．(2)[2010·全国卷Ⅰ] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)B 【解析】 画出可行域(如下图)，z ＝x －2y ⇒y ＝12x －12z ，由图可知，当直线l 经过点A (1，－1)时，z 最大，且最大值为z max ＝1－2×(－1)＝3.【点评】 本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力．求解时，将代数式赋予了几何意义，那就是直线的“在轴上的截距的2倍的相反数”，再结合图形，从而使问题得到解决．除了赋予“截距”的意义外，我们还经常将式子赋予“斜率”“两点间的距离”等．请看下面变式题．变试题(1)已知实系数方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＋n ＋1＝0的两个实根分别为x 1，x 2，且0＜x 1＜1，x 2＞1，则n m的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－2，－12 B.⎝⎛⎦⎤－2，－12 C.⎝⎛⎭⎫－1，－12 D ．(－2，－1) (1) A 【解析】 解答此题的关键是要由根的分布将条件转化为m ，n 的关系式，令f (x )＝x 2＋(m ＋1)x ＋m ＋n ＋1，则f (x )＝0的两根分别满足0<x 1<1，x 2>1，即有⎩⎨⎧f (0)＝m ＋n ＋1>0，f (1)＝2m ＋n ＋3<0，n m 即为以上区域内的动点(m ，n )和原点连线的斜率的范围(如图)，从而得到－2<n m <－12.(2)若直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1 D.1a 2＋1b 2≥1 【答案】D(3)当x ∈R 时，求函数f (x )＝x 2＋2x ＋2＋x 2－4x ＋8的最小值．(3)【解答】 从代数角度难以找到解题的途径，若把f (x )稍作变形，f (x )＝(x ＋1)2＋1＋(x －2)2＋4，可以观察到f (x )就是点P (x,0)到点A (－1，－1)、B (2，－2)的距离之和，如图，显然当P 点与坐标原点重合时f (x )mi n ＝2＋8＝3 2.高考命题者说【考查目的】 本题考查直线与圆的位置关系的判定和点到直线的距离． 【命制过程】 根据直线方程和圆的方程判断直线和圆的位置关系、确定点的轨迹方程是解析几何的重要内容．本题命制过程中希望考生通过对点的坐标的观察或曲线参数方程的认识，建立点的轨迹方程，把直线与圆有交点的几何问题转化为代数问题，得到问题的求解．当然考生也可以利用点到直线的距离或柯西不等式求解，启发鼓励学有余力的考生积极拓展知识，提高数学素养．【解题思路】 点M (cos α，sin α)的轨迹是圆x 2＋y 2＝1，从而转化为直线和圆有交点的问题；或根据直线过单位圆上一点，得到原点到直线的距离小于或等于1，利用点到直线的距离公式求解．【试题评价】 本题对考生的能力要求比较高．试题把考生熟悉的直线和圆的位置关系的判断问题巧妙设计，使问题的解答具有灵活性，考生必须深入理解数形结合的思想，从解析几何的研究方法这个角度去认识和解决问题．(引自高等教育出版社2009年大纲版的《高考理科试题分析》第87页第10题)► 探究点二 几何问题代数化——以数辅形例2 (1)[2009·山东卷] 函数y ＝e x ＋e －x e x －e －x的图象大致为( )图7－20－1A 【解析】 (1)函数有意义，需使e x －e －x ≠0，其定义域为{x |x ≠0}，排除C ，D.又因为y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x＋1e 2x －1，所以当x >0时函数为减函数，故选A. (2)[2010·安徽卷] 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )图7－20－2D 【解析】 (2)根据二次函数图象开口向上或向下，分a >0或a <0两种情况分类考虑．另外还要注意c 值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．当a >0时，b 、c 同号，C 、D 两图中c <0，故b <0，－b 2a>0，选项D 符合． (3)[2010·重庆卷] 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线(3)D 【解析】 (图形略)在边长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DC 与A 1D 1是两互相垂直的异面直线，平面ABCD 过直线DC 且平行于A 1D 1，以D 为原点，分别以DA ，DC 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设点P (x ，y )在平面ABCD 内且到A 1D 1与DC 的距离相等，则|x |＝y 2＋a 2，∴x 2－y 2＝a 2.【点评】 转换数与形的重要途径之一就是通过坐标系的建立，引入数量，化静为动，以动求解．变试题(1)[2010·湖南卷] 函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log ⎪⎪⎪⎪b a x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )图7－20－3(1)D 【解析】 函数y ＝ax 2＋bx 与x 轴的两个交点是(0,0)，⎝⎛⎭⎫－b a ，0.对于A 、B ，由抛物线的图象知－b 2a ∈⎝⎛⎭⎫0，12，则⎪⎪⎪⎪b a ∈(0,1)，所以y ＝log|b a|x 不是增函数， 排除；对于C ，由抛物线的图象知a <0且－b a<－1，所以⎪⎪⎪⎪b a >1， 所以y ＝log|b a|x 应是增函数排除C ，故选D. (2)若动直线x ＝α与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2(2)B高考命题者说【考查目的】 本题考查三角函数的最大值的求法，考查数形结合的数学思想．【命制过程】 考生对f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象是比较熟悉的．本题可以通过作图直观得到线段MN ，但要从图形的变化确定线段MN 的长度的最大值是困难的，这就必须将“形”转化为“数”．实际上|MN |＝|sin α－cos α|＝2sin α－π4.命制本题的目的是考查数形结合思想的应用和三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最大值的求解方法．【解题思路】 |MN |＝|sin α－cos α|＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4. 【试题评价】 试题以考生熟悉的三角函数图象入手，巧妙设计动态的图形变化，将“形”的问题——求|MN |的最大值，转化为“数”的问题——求函数y ＝|sin α－cos α|的最大值，不仅突出考查了三角函数的图象和性质，也考查了考生将知识迁移到不同情境中的能力，将数形结合的思想充分展现出来．(引自高等教育出版社2009年大纲版的《高考理科试题分析》第62页第8题)► 探究点三 “数”“形”互助——相得益彰例3 (1)[2010·全国卷1] 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C于点D, 且BF →＝2FD →，则C 的离心率为________． (1)33【解析】 (法一)如图，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，作DD 1⊥y 轴于点D 1， 则由BF →＝2FD →，得|OF ||DD 1|＝|BF |BD ＝23，所以|DD 1|＝32|OF |＝32c ， 即x D ＝3c 2，由椭圆的第二定义得|FD |＝e ⎝⎛⎭⎫a 2c －3c 2＝a －3c 22a .又由|BF |＝2|FD |，得a ＝2a －3c 2a ⇒e ＝33解法二：设椭圆方程为第一标准形式x 2a 2＋y 2b2＝1， 设D (x 2，y 2)，F 分BD 所成的比为2，x C ＝0＋2x 21＋2⇒x 2＝32x C ＝32c ；y C ＝b ＋2y 21＋2⇒y 2＝3y C －b 2＝3·0－b 2＝－b 2， 代入椭圆方程得9c 24a 2＋1b 24b 2＝1⇒e ＝33. (2)[2010·安徽卷] 椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12. (1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．【解答】 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1. 由e ＝12，即c a ＝12，a ＝2c ，得b 2＝a 2－c 2＝3c 2，所以椭圆方程x 24c 2＋y 23c2＝1. 将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以直线AF 1的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0；直线AF 2的方程为x ＝2. 由椭圆E 的图形知∠F 1AF 2的角平分线所在直线的斜率为正数．设P (x ，y )为∠F 1AF 2的角平分线所在直线上任一点，则|3x －4y ＋6|5＝|x －2|. 若3x －4y ＋6＝5x －10，即x ＋2y －8＝0，其斜率为负，不合题意，舍去．于是3x －4y ＋6＝－5x ＋10，即2x －y －1＝0.所以∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程为2x －y －1＝0.教师备选习题(选题理由：1,2均为数形结合，很有代表性)1．[2010·黄冈卷] 方程2sin θ＝cos θ，θ∈[0,2π)的根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】B 因为方程有根，故cos θ>0，令sin θ＝x ，(－1≤x ≤1)，则问题转化为方程2x ＝1－x 2的根的个数的问题，记C 1：y ＝2x ，C 2：y ＝1－x 2，则问题转化为两曲线交点个数的问题．在同一坐标系中画出它们的图象，如图所示，故选B.【点评】 方程根的个数与曲线交点的个数是相同的．本例先对数式换元转化，再进行数形转化，最后考查曲线交点的个数．2．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，则y x的最大值是( ) A.12 B.33 C.32D.3 【解析】 D 将y x y －0x －0的形式，这样y －0x －0就可以看成是圆(x －2)2＋y 2＝3上任意一点到定点(0,0)连线的斜率．如图，显然当连线与圆相切时取得最值，其中倾斜角为锐角的切线斜率最大，为 3.规律技巧提炼1．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则：要注意由于所作的草图不能精确刻画数量关系带来的负面效应；(2)双向性原则：即进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易失真；(3)简单性原则：不要为了“数形结合”而数形结合，而取决于是否有效、简便和更易达到解决问题的目的．2．运用数形结合思想分析解决问题时要注意：(1)两个或两个以上的函数图象在同一个坐标系内时，必须要考虑它们的相对位置关系，否则极易出错．例如方程sin x ＝lg x 有多少个实数解？很多学生由图得只有1个解，这是错误的．(2)要熟记常见函数或曲线的形状和位置，画图要比较准确．第21讲分类讨论思想主干知识整合1．分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，同时也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要的帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．2．运用分类讨论思想解题的基本步骤：(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结：将各类情况总结归纳．3．明确引起分类讨论的原因，有利于掌握用分类讨论的思想方法解决问题，分类讨论的主要原因有：(1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条直线所成的角等；(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等；(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5)由参数的变化引起的分类讨论，某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；(6)其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，应用问题等．要点热点探究► 探究点一 根据数学概念分类讨论例1 [2009·广东卷] 已知二次函数y ＝g (x )的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g (x )在x ＝－1处取得极小值m －1(m ≠0)．设f (x )＝g (x )x. (1)若曲线y ＝f (x )上的点P 到点Q (0,2)的距离的最小值为2，求m 的值；(2)k (k ∈R)如何取值时，方程f (x )－k x ＝0有解，并求出该方程的解．【解答】(1)依题可设g (x )＝a (x ＋1)2＋m －1(a ≠0)，则g ′(x )＝2a (x ＋1)＝2ax ＋2a ，又g ′(x )的图象与直线y ＝2x 平行，∴2a ＝2，a ＝1，∴g (x )＝(x ＋1)2＋m －1＝x 2＋2x ＋m ，f (x )＝g (x )x ＝x ＋m x ＋2. 设P (x 0，y 0)，则|PQ |2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋⎝⎛⎭⎫x 0＋m x 02 ＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m ＝22|m |＋2m ， 当且仅当2x 20＝m 2x 20时，|PQ |2取得最小值，即|PQ |取得最小值 2.当m >0时，(22＋2)m ＝2，解得m ＝2－1；当m <0时，(－22＋2)m ＝2，解得m ＝－2－1.(2)由y ＝f (x )－k x ＝(1－k )x ＋m x＋2＝0(x ≠0)，得(1－k )x 2＋2x ＋m ＝0 (*) 当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2； 当k ≠1时，方程(*)有两解⇔Δ＝4－4m (1－k )>0，当m >0，k >1－1m 或者m <0，k <1－1m时， 方程f (x )－kx ＝0有两解x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )； 当k ≠1时，方程(*)有一解⇔Δ＝4－4m (1－k )＝0，k ＝1－1m， 方程f (x )－kx ＝0，有一解x ＝1k －1m . 综上，当k ＝1时，方程f (x )－kx ＝0有一解x ＝－m 2当k >1－1m (m >0)，或k <1－1m(m <0)时， 方程f (x )－kx ＝0有两解x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )； 当k ＝1－1m 时，方程f (x )－kx ＝0有一解x ＝1k －1＝－m . 【点评】 本题有两次运用了数学概念进行分类，一次是根据绝对值的概念，另一次是根据一元二次方程的概念，要注意的是不能见到形如(*)式这样的方程就认定它是一元二次方程，要根据系数是否为零进行分类探究．► 探究点二 根据公式、定理、性质的条件分类讨论例2 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2，…)．(1)求q 的取值范围；(2)设b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小． 【解析】 由于涉及等比数列的前n 项和公式的应用，须分q ＝1和q ≠1讨论．欲比较S n 与T n 的大小，只需求出S n 与T n 后，再用作差法比较．【解答】 (1)因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0.当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q >0，即1－q n1－q>0，(n ＝1,2，…) 上式等价于不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q <0，1－q n <0，(n ＝1,2，…)①或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q >0，1－q n >0，(n ＝1,2，…)② 解①式得q >1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q <1.综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．（2) 由b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，得b n ＝a n ⎝⎛⎭⎫q 2－32q ，T n ＝⎝⎛⎭⎫q 2－32q S n . 于是T n －S n ＝S n ⎝⎛⎭⎫q 2－32q －1＝S n ⎝⎛⎭⎫q ＋12(q －2)． 又∵S n >0，且－1<q <0或q >0，①当－1<q <－12或q >2时T n －S n >0，即T n >S n ； ②当－12<q <2且q ≠0时，T n －S n <0，即T n <S n ； ③当q ＝－12或q ＝2时，T n －S n ＝0，即T n ＝S n . 【点评】 该题中在使用等比数列的前n 项和公式S n 时，须分q ＝1和q ≠1讨论，注意不要忽视q ＝1的情况．在第(2)问中，抓住b n ＝a a ＋2－32a n ＋1，利用等比数列的通项公式，巧妙地把b n 转化成b n ＝a n ⎝⎛⎭⎫q 2－32q ，T n ＝⎝⎛⎭⎫q 2－32q S n .最后，作差比较S n 与T n ，即T n －S n ＝S n ⎝⎛⎭⎫q 2－32q －1＝S n ⎝⎛⎭⎫q ＋12(q －2)，最后为确定差的符号，应对q 进行分类讨论．一般地，在应用带有限制条件的公式时要小心，根据题目条件确定是否进行分类讨论．变试题 求和S n ＝a ＋a 2＋…＋a n ＝________.【解析】当a ＝0时，S n ＝0.当a ≠0时，此题为等比数列求和，①若a ≠1时，则由求和公式，得S n ＝a (1－a n)1－a ； ②若a ＝1时，S n ＝n . 综合可得，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a (1－a n )1－a ，(a ≠1)，n ，(a ＝1).【点评】 由于等比数列定义本身有条件限制，等比数列求和公式是分类给出的，因此，应用等比数列求和公式时也需要讨论．这里进行了两层分类：第一层分类的依据是等比数列的概念，分为a ＝0和a ≠0；第二层分类依据是等比数列求和公式的应用条件．► 探究点三 根据参数的变化情况分类讨论例3 [2010·山东卷] 已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1(a ∈R)． (1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性． 【解答】(1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x ＋1－2x 2， 因此，f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1，又f (2)＝ln2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln2＝0.(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1， 所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)． 令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)，①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)，所以当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时函数f ′(x )>0，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a1， (i)当a ＝12时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； (ii)当0<a <12时，x 1<x 2，当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a 1时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1，1a －1上单调递增； x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞上单调递减； (iii)当a <0时，由于1a－1<0，故x 1>x 2， 当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上单调递减；x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时函数f ′(x )>0，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增；当0<a <12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减， 函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1，1a －1上单调递增，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞上单调递减； 当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 【点评】 本题分类讨论的目的是为了判定导函数的符号，正是因为a 的不同取值对导函数的符号的影响，才决定着必须进行分类讨论．讨论时要突出目的性、全面性、准确性．。