中考一轮复习 第5讲 数的开方与二次根式
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数学中考一轮复习专题05二次根式课件
典型例题
【例14】（3分）（202X•天津6/25）估计 17 的值在（ ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小． 【分析】本题需先根据 17 的整数部分是多少，即可求出它的范围． 【解答】解：∵ 17 4.12 ， ∴ 17 的值在4和5之间． 故选：C． 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，在解题时确定无理数的整数部分即 可解决问题．
典型例题
知识点1 ：数的乘方与开方
【例3】若a满足 a 3 a ，则a的值为（ ）
A. 1
B. 0
C. 0或1
D. 0或1或–1
【分析】∵ a 3 a ，∴a为0或1． 故选C． 【答案】C ．
知识点梳理
知识点2：二次根式的概念和性质
1. 二次根式：形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
2. 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0 ．
202X年中考数学一轮复习
05 二次根式
中考命题说明
考点
课标要求
考查角度
了解平方根、算术平方根、
会用平方运算求百以内整数的平方根，会
立方根的概念，会用根号
乘方与
用立方运算求百以内整数（对应的负整数）
1
表示数的平方根、算术平
开方
的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
方根、立方根．了解乘方
常以选择、填空题为主.
知识点3 ：非负性
典型例题
【例7】（3分）（202X•云南9/23）已知a，b都是实数．若 a 1 (b 2)2 0 ，
则a-b=
．
【解答】解：∵ a 1 (b 2)2 0 ， a 1 0，(b-2)2≥0， ∴a+1=0，b-2=0， 解得a=-1，b=2， ∴a-b=-1-2=-3． 故答案为：-3． 【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值； （2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其 中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
【例14】（3分）（202X•天津6/25）估计 17 的值在（ ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小． 【分析】本题需先根据 17 的整数部分是多少，即可求出它的范围． 【解答】解：∵ 17 4.12 ， ∴ 17 的值在4和5之间． 故选：C． 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，在解题时确定无理数的整数部分即 可解决问题．
典型例题
知识点1 ：数的乘方与开方
【例3】若a满足 a 3 a ，则a的值为（ ）
A. 1
B. 0
C. 0或1
D. 0或1或–1
【分析】∵ a 3 a ，∴a为0或1． 故选C． 【答案】C ．
知识点梳理
知识点2：二次根式的概念和性质
1. 二次根式：形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
2. 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0 ．
202X年中考数学一轮复习
05 二次根式
中考命题说明
考点
课标要求
考查角度
了解平方根、算术平方根、
会用平方运算求百以内整数的平方根，会
立方根的概念，会用根号
乘方与
用立方运算求百以内整数（对应的负整数）
1
表示数的平方根、算术平
开方
的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
方根、立方根．了解乘方
常以选择、填空题为主.
知识点3 ：非负性
典型例题
【例7】（3分）（202X•云南9/23）已知a，b都是实数．若 a 1 (b 2)2 0 ，
则a-b=
．
【解答】解：∵ a 1 (b 2)2 0 ， a 1 0，(b-2)2≥0， ∴a+1=0，b-2=0， 解得a=-1，b=2， ∴a-b=-1-2=-3． 故答案为：-3． 【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值； （2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其 中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
中考数学一轮复习讲数的开方与二次根式PPT课件
故本选项错误；
3 D.
－8＝－2，故本选项正确．
故选 D.
答案 D
【例题2】 (2011·广东茂名)已知：一个正数的两个平 方根分别是2a－2和a－4，则a的值是________． 解析 ∵正数有两个平方根，它们互为相反数， ∴2a－2＋a－4＝0，解得a＝2. 答案 2
(1)正数 a 的平方根是± a，
2010年
简单二次根式的化简 与计算(3分)
江省
中考 2011年 二次根式的化简(3分)
情况
选择题 填空题
容易 容易
2012年
二次根式被开方数的 非负性(3分)
填空题
容易
网 络构 建
6个概念：“三根”和“三式”； 4条性质：二次根式的性质；
考 点梳 理
平方根、立方根及算数平方根
平方根、算术平方根与立方根： 若 x2＝a(a≥0)，则称 x 为 a 的_平__方__根__，记为＋ a或－
名师助学 求平方根有两个，互为相反准没错； 正的叫做算术根，零都得零别放过．
二次根式及其性质
1．二次根式：式子 a_≥_0__叫二次根式，其中 a 叫被__开___ 方___数_．
2．最简二次根式：满足下面两个条件的二次根式是 最简二次根式． (1)被开方数中不含能___开__得__尽__方_的因数或因式； (2)被开方数中不含有_分__母__．
(3)混合运算：与实数的混合运算顺序相同． 状元笔记 (1)加减运算：需先化简，再合并； (2)乘除运算：可先乘除，后化简．
对 接中 考
对接点一：平方根、立方根及算数平方根
常考角度 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
【例题1】 (2012·浙江宁波)下列计算正确的是( )．
2020年春数学中考一轮复习5.重庆数学 第5讲数的开方与二次根式
＝0”时，每个部分
3.二次根式运算时，一定要先化简，再运算.步骤是先乘方开方，再乘除， 最后加减；有括号的由内到外、由小到大进行计算. 4.重要技巧：y＝ x－a+ a－x＋1. 解：∵x－a≥0，a－x≥0(保证二次根式有意义，才能运算)， ∴x≥a，且x≤a，即x＝a， ∴y＝1.
03 考场 ·笑傲全国题
10.(2019·梧州)计算：3 8=____2_.
11.(2019·内江)若|1001-a|+ a−1002=a，则a-10012＝__1_0_0_2__. 1
12.(2019·重庆模拟)已知y= x−3+ 3−x-2，则xy的值为__9___.
13.(2019·扬州)计算：( 5-2)2018( 5+2)2019的结果是____5_+_2__.
第一单元 数与式
第5讲 数的开方与二次根式
01 考点 ·梳理知识点
考标点击
1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会表示数的平方根、算术平 方根、立方根. 2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会 用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根. 3.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 4.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数) 加、减、乘、除运算法则，会用它数的开方
样题1 (2019·重庆A)估计(2 3+6 2)× 13的值应在( C )
A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间
［解析］先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算.
(2
3+6
2)×
1 3
＝2+6
23＝2+
36×
中考复习之 数的开方与二次根式
(1)[2012· 雅安] 9的平方根是( C ) A．3 B．－3 C．±3 D．6 (2)[2011· 日照] (－2)2的算术平方根是( A ) A．2 B. ±2 C．－2 D. 2
[解析] 9的平方根是± 3，(－2)2的算术平方根是2.
第5讲┃ 归类示例
(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平 方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和 0，立方根等于本身的数是1、－1和0；(3)一个数的立方根 与它同号；(4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化 简再进行开方运算．
2 1 1 2 计算： ×( 3－1) ＋ ＋ 3－ －1. 2 2 2－1 4－2 3 解：原式＝ ＋ 2＋1＋ 3－ 2 2 ＝2－ 3＋ 2＋1＋ 3－ 2＝3.
第5讲┃ 归类示例
利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然 后进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结 合在一起考查．
第5讲┃ 考点聚焦 考点5 把分母中的根号化去
常用形式 及方法
1· a 1 a (1) ＝ ＝ a a· a a a＋b 1 (2) ＝ a＋b a＋b
第5讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度： 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
第5讲┃ 归类示例
[2012· 巴中] 先化简，再求值：
1 1 x x2＋2x＋1 1 － ，其中x＝ . x x＋1· 2 2 2 x＋1 －x－1
x x＋1 x＋1 1 解：原式＝ · ＝ . 4x xx＋1 4xx＋1 1 ①当x＋1＞0时，原式＝ ； 4x 1 ②当x＋1＜0时，原式＝－ . 4x 1 ∵当x＝ 时，x＋1＞0， 2 1 ∴原式＝ . 2
[解析] 9的平方根是± 3，(－2)2的算术平方根是2.
第5讲┃ 归类示例
(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平 方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和 0，立方根等于本身的数是1、－1和0；(3)一个数的立方根 与它同号；(4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化 简再进行开方运算．
2 1 1 2 计算： ×( 3－1) ＋ ＋ 3－ －1. 2 2 2－1 4－2 3 解：原式＝ ＋ 2＋1＋ 3－ 2 2 ＝2－ 3＋ 2＋1＋ 3－ 2＝3.
第5讲┃ 归类示例
利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然 后进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结 合在一起考查．
第5讲┃ 考点聚焦 考点5 把分母中的根号化去
常用形式 及方法
1· a 1 a (1) ＝ ＝ a a· a a a＋b 1 (2) ＝ a＋b a＋b
第5讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度： 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
第5讲┃ 归类示例
[2012· 巴中] 先化简，再求值：
1 1 x x2＋2x＋1 1 － ，其中x＝ . x x＋1· 2 2 2 x＋1 －x－1
x x＋1 x＋1 1 解：原式＝ · ＝ . 4x xx＋1 4xx＋1 1 ①当x＋1＞0时，原式＝ ； 4x 1 ②当x＋1＜0时，原式＝－ . 4x 1 ∵当x＝ 时，x＋1＞0， 2 1 ∴原式＝ . 2
数的开方、二次根式复习
值范围常转化为不等式（组）.
二 二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 2.已知x,y为实数,且 x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
方法：分母有理化
4．二次根式的运算 a b ＝___a_b__(a≥0，b≥0)；
a b
a ＝__b__(a≥0，b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__， 再将__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
考点分类
一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
∵16﹤17﹤25
∴4﹤ 17 ﹤5
则 - 5﹤ 17 ﹤- 4 所以b = - 4
∴a – b = 5 - ( - 4 ) = 9 a – b的平方根为±３
知识梳理
二 次 根 式
二次根式
三个概念 最简二次根式
两个公式
两个性质 四种运算
同类二次根式
1. ab a ba 0,b 0
4、实数与数轴：
知 识
无限不循环小数叫做无理数。
如：2，3，5，，3 2，3 3 ,2.030030003……等。
要 5.有理数与无理数统 有理数有限小数或无限循环小数
实数
负有理数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
A.3
B.-3
C.1
D.-1
二 二次根式的非负性的应用
4. 若实数 x，y，m 满足等式 3x 5y 3 m +（2x+3y﹣m）2=
2019年中考数学总复习第一单元数与式第05课时数的开方与二次根式课件湘教版
������������= ������· ������(a
������ ������
≥0 ,b ≥0 )
≥0 )
= (a
������
������
>0 ,b
课前双基巩固
考点四 二次根式的运算
二次根式的加减 二次根式的乘法 二次根式的除法 先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并 ������· ������= ������������(a
课前双基巩固
考点三 二次根式的性质
二次 根式 的性 质 二次根式的双重非 负性 ������⑩
≥
0,a
≥ ≥0
);
0
(1)( ������)2=a(a 两个重要的性质 (2) ������2 = ������ = ⑬
a
(������ ≥ 0), (������ < 0)
⑭ -a
ห้องสมุดไป่ตู้
二次根式 的性质
积的算术平方根 商的算术 平方根
课堂考点探究
探究二 二次根式的性质
【命题角度】 (1)利用二次根式的性质化简;
[答案] 2a [解析] 当-1<a<0 时, (������ + ) -4- (������- ) + 4= (������- ) ������ ������ ������
1 2 ������
(2)二次根式的性质与数轴相结合的综合题;
加减运算时,将被开方数相加减;进行二次根式混合运算时,弄错运算顺序.
6.9 的平方根是 ( A ) A.± 3 7.若代数式 A.x≠1 C.x≠0
1 ������ -1
B.±
1 3
C.3
D.-3
中考数学(北京专版)总复习课件 第5课时 数的开方与二
考点聚焦
京考探究
第5课时┃ 数的开方与二次根式 热考二 二次根式的混合运算 例 3 [2012·南通] 计算： 48÷ 3－ 12· 12＋ 24. 解：原式＝ 16－ 6＋ 24＝4－ 6＋2 6＝4＋ 6.
考点聚焦
京考探究
第5课时┃ 分式
方法点析
二次根式分母有理化的常规基本法：
(1)自乘法．
第5课时 数的开方与二次根式
第5课时┃ 数的开方与二次根式
考点聚焦
考点1 平方根与立方根
2
相反数 0
不存在
1
1
正值 0
正数 0
不存在
负数
考点聚焦
京考探究
第5课时┃ 数的开方与二次根式 考点2 二次根式的意义与性质
考点聚焦
a
a
|a|
a· b a b
a≥0 a
－a
a≥0
b≥0
a≥0
b>0
京考探究
第5课时┃ 数的开方与二次根式 考点3 二次根式的运算
2n 的值为( C ) A．－4 C．0
B．－1 D．4
[解析] 因为和(n－1)2都是非负数，且它们的和
为0，所以＝0，且(n－1)2＝0，解得m＝－2，n＝1， 所以m＋2n＝0.故选C.
考点聚焦
京考探究
第5课时┃ 分式
方法点析 对于 a，若在实数范围内有意义，必须 a≥0，不妨叫做
第一非负性；在 a≥0 的情况下， a表示 a 的算术平方根， 因此 a≥0，不妨叫做第二非负性．于是 a具有双重非负 性．一般地，几个非负数的和等于 0，则这些非负数都等于 0.这是根据算术平方根的非负性得出的一个重要结论，利用 这个结论可以解决许多看似无法解决的问题．
2013届中考数学考前热点冲刺《第5讲 数的开方及二次根式》课件 新人教版
第5讲┃ 归类示例
此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式 的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不 等式组，转化为求不等式组的解集．
第5讲┃ 归类示例 ► 类型之三 根式的化简与计算
命题角度： 1. 二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平方 根，商的算术平方根； 2. 二次根式的加减乘除运算．
[点析] 在进行二次根式化简求值时，常常用到整体思 想．把 x＋y、x－y、xy 当作整体进行代入．
第5讲┃ 回归教材
中考变式
a2－4a＋4 a＋1 2 [2012· 苏州] 先化简，再求值： ＋ 2 · ，其 a－1 a －1 a－2 中 a＝ 2＋1.
a－22 a＋1 a－2 2 2 a 解：原式＝ ＋ · ＝ ＋ ＝ . a－1 a＋1a－1 a－2 a－1 a－1 a－1 2＋1 2＋ 2 当 a＝ 2＋1 时，原式＝ ＝ . 2 2
第5讲┃ 考点聚焦 考点3 二次根式的性质
两个重要 的性质 ( a)2＝a(a________) ≥0 a ＝a
2
二 次 根 积的算术 式 平方根 的 性 商的算术 质 平方根
＝
a -a
a≥0 a<0
ab＝ a· b(a______(a________， >0 a a b________) ≥0
立方 一个数x的________等于a，那么x叫做 立方 根 3 数a的立方根，记作 a
第5讲┃ 考点聚焦 考点2 二次根式的有关概念
二 次 根 式 最简 二次 根式
定义 防错 提醒
形如 a(________)的式子叫做二次根式 a≥0 a中的 a 可以是数或式， a 一定要大于 但 或等于 0
【鲁教版】山东省中考数学一轮复习三《数的开方与二次根式》说课稿
【鲁教版】山东省中考数学一轮复习三《数的开方与二次根式》说课稿一. 教材分析《数的开方与二次根式》是山东省中考数学一轮复习三的内容，主要包括数的开方法则、二次根式的性质和运算。
这一部分内容是初中数学的基础知识，也是中考的热点考点。
在教材中，数的开方与二次根式被安排在同一章节，目的是让学生通过对比学习，更好地理解和掌握这两个概念。
二. 学情分析在学习数的开方与二次根式之前，学生已经学习了实数、有理数和无理数等基础知识，对数学运算有一定的了解。
但部分学生对数的开方与二次根式的概念理解不深，容易混淆。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，引导学生深入理解概念，熟练掌握运算方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握数的开方与二次根式的定义、性质和运算方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.教学重点：数的开方与二次根式的定义、性质和运算方法。
2.教学难点：二次根式的混合运算，以及数的开方与二次根式在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、数学软件等，辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活实例引入数的开方与二次根式，激发学生的学习兴趣。
2.讲解数的开方：讲解数的开方的定义、性质和运算方法，引导学生通过观察、分析、归纳总结出规律。
3.讲解二次根式：讲解二次根式的定义、性质和运算方法，引导学生对比学习，加深理解。
4.二次根式的混合运算：通过典型例题，讲解二次根式的混合运算方法，引导学生学会运用所学知识解决实际问题。
5.数的开方与二次根式在实际问题中的应用：通过实际问题，引导学生运用数的开方与二次根式知识解决问题，提高学生的应用能力。
第5讲 数的开方及二次根式
ab(a≥0，b≥0) a· b(a≥0，b≥0)
； ； ；
a b(a≥0，b＞0)
a b＝
a (a≥0，b＞0) b
．
5．最简二次根式 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根式， 需满足两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式． 6．二次根式的估值 根式估值时，一般先对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开 得尽方的整数， 并对其进行开方， 就可以确定这个根式在哪两个整数之间． 例 如，估算 17在哪两个整数之间时，先对 17平方，找出与 17 相邻的两个开 得尽方的整数 16 和 25，因为 16<17<25，所以 16< 17< 25，即 4< 17<5.
[对应训练] 5 －1 2 介于( C ) A．0.4 与 0.5 之间 B．0.5 与 0.6 之间 C．0.6 与 0.7 之间 D．0.7 与 0.8 之间 5．(1)(2015· 南京)估计 (2)(2015· 新疆)估算 27－2 的值( C ) A．在 1 到 2 之间 B．在 2 到 3 之间 C．在 3 到 4 之间 D．在 4 到 5 之间 (3)已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值．
【点评】 (1)一个正数的算术平方根是正数； (2)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
[对应训练] 1．(1)(2016· 杭州) 9＝( B ) A．2 B．3 C．4 D．5
3 ． (2)(2016· 宁波)实数－27 的立方根是－ ____ 2 (3)已知一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－4，则 a 的值是____ ．
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝ (a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c
中考数学考点总复习课件第5节数的开方与二次根式(共29张PPT(完整版)9
13．(2017·包头)下列说法中正确的是（ D ）
A．8 的立方根是±2
B. 8是一个最简二次根式 C．函数 y＝x－1 1的自变量 x 的取值范围是 x＞1 D．在平面直角坐标系中，点 P(2，3)与点 Q(－2，3)关于 y 轴对称
14．(导学号 65244023)计算 32× A．6 和 7 之间 B．7 和 8 之间
1 9．(2017·呼和浩特)若式子 1 有意义，则 x 的取值范围是 x<___2___．
1－2x
10．计算：
(1)(2017·南京) （－3）2＝__3____； (2)(2017·青岛)( 24＋ 16)× 6＝___1_3___； (3)(2017·黄冈) 27－6－ 13＝___83___3_－_6___．
____n_2_－__2______．(用含 n 的代数式表示)
20．(导学号 65244027)(2016·黄石)观察下列等式：
第 1 个等式：a1＝ 1 ＝ 2－1， 1＋ 2
第 2 个等式：a2＝ 1 ＝ 3－ 2， 2＋ 3
第 3 个等式：a3＝ 1 ＝2－ 3， 3＋2
第 4 个等式：a4＝ 1 ＝ 5－2， 2＋ 5
b，c，则该三角形的面积为 S＝ 1[a2b2－（a2＋b2－c2）2].现已知△ABC 的三边长分别为 1，
4
2
2， 5，则△ABC 的面积为_1___．
19．(导学号65244026)下面是一个按某种规律排列的数阵：
根 据 数 阵排 列 的规 律 ， 第 n(n 是整 数 ，且 n ＞ 3) 行从 左 向右 数 第 n－ 2 个数 是
解：原式＝－1－( 10－3)＋2 5× 22－(2 017＋1－2 2 017) ＝－1＋3－ 10＋ 10－2 018＋2 2 017 ＝－2 016＋2 2 017.
2024年中考第一轮复习 数的开方与二次根式 课件
A. 16=±4
3
B. -8=2
( D )
C.-a
1
=
-
D.- 64=-8
■ 知识梳理
正数 a
平方根
0
负数 b
等于其本身的数
0
没有
0
0
没有
0,1
0± (一正一来自)算术平方根立方根
3
3
0,1,-1
考点二
二次根式的相关概念及性质
4.[2020·济宁]下列各式是最简二次根式的是 ( A )
个数据应是 -3 (结果需化简).
7.[2020·湖州]计算: 8+| 2-1|.
解:原式=2 2 + 2-1=3 2-1.
最简二
(1)被开方数中的因数是整数,因式是整式;
次根式
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式
(1) ≥0,a≥0(双重非负性);
二次根式
(3)
2 =|a|=
的性质
② a ( ≥ 0),
(4) =④
③ -a ( < 0);
(5)
=⑤
(2)( )2=① a
(a≥0,b>0)
(a≥0);
求百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
考点一
平方根与立方根
1.[2020·南京]3 的平方根是
A.9
( D )
B. 3
2.[2020·常州]8 的立方根是
C.- 3
D.± 3
( C )
A.2 2
B.±2 2
C.2
D.±2
3
B. -8=2
( D )
C.-a
1
=
-
D.- 64=-8
■ 知识梳理
正数 a
平方根
0
负数 b
等于其本身的数
0
没有
0
0
没有
0,1
0± (一正一来自)算术平方根立方根
3
3
0,1,-1
考点二
二次根式的相关概念及性质
4.[2020·济宁]下列各式是最简二次根式的是 ( A )
个数据应是 -3 (结果需化简).
7.[2020·湖州]计算: 8+| 2-1|.
解:原式=2 2 + 2-1=3 2-1.
最简二
(1)被开方数中的因数是整数,因式是整式;
次根式
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式
(1) ≥0,a≥0(双重非负性);
二次根式
(3)
2 =|a|=
的性质
② a ( ≥ 0),
(4) =④
③ -a ( < 0);
(5)
=⑤
(2)( )2=① a
(a≥0,b>0)
(a≥0);
求百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
考点一
平方根与立方根
1.[2020·南京]3 的平方根是
A.9
( D )
B. 3
2.[2020·常州]8 的立方根是
C.- 3
D.± 3
( C )
A.2 2
B.±2 2
C.2
D.±2
2019年中考数学复习数的开方及二次根式(共15张PPT)
类型二.二次根式的性质 【典例2】(2016·自贡)若 ������-1 +b2-4b+4=0,则ab的值等于 ( D ) A.-2 B.0 C.1 D.2
解析：b2-4b+4=(b-2)2,由非负数的特征,可知a-1=0,b-2=0,进而可得
a与b的值.
解析:由 ������-1+b2-4b+4=0,得 ������-1+(b-2)2=0.又 ������-1≥0,(b-2)2≥0,
乘法 ������ · ������=⑩ ������������ (a≥0,b≥0).
除法
������ ������
=
������
������ (a>0,b≥0).
【温馨提示】二次根式运算的结果必须是最简二次根式,若含有分 母,则分母中不能含有根号.
真题反馈
【典例 1】(1)(2018·安顺) 4的算术平方根是( B )
2019中考数学复习 数的开方及二次根式
考点一、数的开方
1.算术平方根:非负数x满足x2=a(a≥0),则x叫做a的算术平方根,记 作① ������ .
2.平方根:若x2=a(a≥0),则x叫做a的平方根,记作② ± ������ .
3.立方根:如果x3=a,那么x叫做a的立方根(或三次方根),记作 ③ 3 ������ .
∴a-1=0,b-2=0,a=1,b=2.∴ab=2.
总结： 若几个非负数的和为0,则这几个数均为0.常见的非负数形式为 ������ |a|,a2, (a≥0).
【变式训练】
2.(1)(2018·桂林)若|3x-2y-1|+ ������ + ������-2=0,则 x,y 的值为 ( D )
人教版初中数学中考复习 一轮复习-数的开方与二次根式
C 2
伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. 5
B.4
C.2 5
D.5
知识点四、二次根式-二次根式的运算
解：p a b c a b 4 5
2
2
所以a b 6, a 6 b
s pp ap bp c 55 a5 b5 4
55 (6 b)5 b1 5 b 15 b
3 的结果是______.
3 12
解： 3 1 1 1 3 12 1 4 1 2 3
5. 化简： 1 1 49
解： 1 1 9 4 13 13 4 9 36 36 36 6
知识点三、二次根式-二次根式的性质
D 1.[2019·济宁]下列计算正确的是 ( )
A. 3 2 3
解：原式 9 — 1 8 22
9 2 — 1 2 2 2 22 22
3 2 — 2 2 2 22
3 — 1 2 2 2 2
3 2
知识点四、二次根式-二次根式的运算
2、（2021. 铜仁）计算（ 27 — 18）（ 3 — 2）
解：原式 （3 3 - 3 2）（ 3 - 2） 9-3 6 -3 6 6 15- 6 6
一轮复习
数的开方与二次根式
课标要求
1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方 根 、 .立方根。 2. 了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求
百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根. 3. 能用有理数估计一个无理数的大致范围. 4. 了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、
5 4 b3 2
伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. 5
B.4
C.2 5
D.5
知识点四、二次根式-二次根式的运算
解：p a b c a b 4 5
2
2
所以a b 6, a 6 b
s pp ap bp c 55 a5 b5 4
55 (6 b)5 b1 5 b 15 b
3 的结果是______.
3 12
解： 3 1 1 1 3 12 1 4 1 2 3
5. 化简： 1 1 49
解： 1 1 9 4 13 13 4 9 36 36 36 6
知识点三、二次根式-二次根式的性质
D 1.[2019·济宁]下列计算正确的是 ( )
A. 3 2 3
解：原式 9 — 1 8 22
9 2 — 1 2 2 2 22 22
3 2 — 2 2 2 22
3 — 1 2 2 2 2
3 2
知识点四、二次根式-二次根式的运算
2、（2021. 铜仁）计算（ 27 — 18）（ 3 — 2）
解：原式 （3 3 - 3 2）（ 3 - 2） 9-3 6 -3 6 6 15- 6 6
一轮复习
数的开方与二次根式
课标要求
1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方 根 、 .立方根。 2. 了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求
百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根. 3. 能用有理数估计一个无理数的大致范围. 4. 了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、
5 4 b3 2
中考数学全程复习方略第五讲二次根式ppt课件
【核心突破】 【例2】(2018·广州中考)如图,数轴上点A表示的数为 a,化简:a+ a2 4a 4 =____2____.
【明·技法】 理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) a (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② a 本身非负.
(2) a2 与( a )2的异同: a2 中的a可以取任何实数,而( a )2中的a必须取非
2＝|
a
|
_a__(a 0)， __a__(a＜0)
积的算术平 方根
ab＝__a__ ___b_(a 0，b 0).
商的算术平 方根
a＝__a_ (a 0，b 0). b __b_
【微点警示】 应用二次根式的性质化简时,注意挖掘题目中的隐含条 件,如“化简 4x2 4x 1 （ 1 3x）2 ”时,题目中隐含 着:“1-3x≥0”这个条件.
负数,只有当a取非负数时, a2 =( a )2才成立.
【题组过关】
1.(2019·北京海淀区期末)把 8a3 化为最简二次根 式得 ( A )
A.2a 2a
B.4 2a3
C.2 2a3
D.2a 4a
2.(2019·上海浦东新区月考)如图所示,数轴上点A与 点B分别对应实数a,b,下列四个等式中正确的个数有
第五讲 二次根式
考点一 二次根式的意义 【主干必备】
二次根式 一般地,形如___a_(a___0_)_的式子叫做二次根式.
最简二次 根式
必须同时满足: (1)被开方数不含_分__母__.
(2)被开方数不含能开得尽方的_因__数__或__因__式__.
【微点警示】 (1)二次根式必须注意被开方数a≥0这一条件.其结果 也是一个非负数,即 a ≥0. (2)二次根式 a (a≥0)中,a既可以表示数,也可以是 一切符合条件的代数式.
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第5讲 数的开方与二次根式
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 平方根与立方根
正数有______个平方根，且 两 它们互为________； 相反数 0的平方根是____； 0 负数______平方根 没有 正 正数有一个____的立方根； 0 0的立方根是____； 负 负数有一个____的立方根
第4讲┃ 二次根式
8.下列运算正确的是( D ) A. （－5）2＝－5 C. 18÷ 2＝9
B．4 3－ 27＝1 D. 24· 3 ＝6 2
9．若x＝ m－n ________．
m －
n ，y＝
m ＋
n ，则xy的值是
第4讲┃ 二次根式
10．计算：(1)[2012· 南通]
48÷ 3－
1 × 12＋ 24； 2
第4讲┃ 二次根式
x－3 5.若代数式 有意义，则自变量x的取值范围是( C ) x－4 A．x≥3 B．x＞3且x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x＞3
6．已知a为实数，那么 －a2等于( D ) A．a B．－a C．－1 D．0
[解析] 根据非负数的性质知a2≥0，根据二次根式的意义， －a2≥0，故只有a＝0时， －a2有意义，所以 －a2＝0.故选D.
原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6.
(2)(3 12－2
1 ＋ 48)÷2 3. 3
2 28 14 原式＝ 6 3－3 3＋4 3÷2 3＝ 3÷2 3＝ . 3 3
第4讲┃ 二次根式
2 7．在 16x 、－ 、－ 0.5、 3 的个数是( A ) A．1 B．2 C．3
3
a 3 x 、 25中，最简二次根式 D．4
第4讲┃ 二次根式
第4讲┃ 二次根式
考点3
二次根式的运算
最简二次根式 二次根式 先将二次根式化成_____________，再 的加减法 _________其中的同类二次根式 合并 二次根式 a· b＝______(a≥0，b≥0) ab 的乘法 二次根式 a a ＝______(a≥0，b＞0) b b 的除法 把分母的 通常是将分子、分母同时乘分母的 有理化因式 根号化去 ________，化去分母的根号 二次根式的 运算顺序 与实数的混合运算顺序相同 混合运算 注意事项 正确把握运算法则平方根如果x2＝a源自则x 叫做a的平方根立方根
如果x3＝a，则x 叫做a的立方根
第4讲┃ 二次根式
1.[2012· 泸州] 25的算术平方根是( A ) A．5 B．－5 C．±5 D. 5
2. 16的平方根是( C ) A．±4 B．4
C．±2
D．2
3.（2012．湛江）若二次根式 ＿
x 1
有意义，则 x 的取值范围是＿
x 1
4.(2012 梅州) m 2有意义的最小整数是＿ ＿＿ 2
第4讲┃ 二次根式
考点2
二次根式的有关概念及性质
整式 ①被开方数是______；②被开方 最简二 数中不含__________因数或因 能开得尽方的 二次根式 次根式 式 的概念 同类二 被开方数______的______二次 相同 最简 次根式 根式 非负性 a(a≥0)______ ≥0 a a· b 二次根式 运算性质 ( a)2＝______， ab＝______， a 的性质 (a≥0， a ＝______， a2＝______ b b b>0)
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 平方根与立方根
正数有______个平方根，且 两 它们互为________； 相反数 0的平方根是____； 0 负数______平方根 没有 正 正数有一个____的立方根； 0 0的立方根是____； 负 负数有一个____的立方根
第4讲┃ 二次根式
8.下列运算正确的是( D ) A. （－5）2＝－5 C. 18÷ 2＝9
B．4 3－ 27＝1 D. 24· 3 ＝6 2
9．若x＝ m－n ________．
m －
n ，y＝
m ＋
n ，则xy的值是
第4讲┃ 二次根式
10．计算：(1)[2012· 南通]
48÷ 3－
1 × 12＋ 24； 2
第4讲┃ 二次根式
x－3 5.若代数式 有意义，则自变量x的取值范围是( C ) x－4 A．x≥3 B．x＞3且x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x＞3
6．已知a为实数，那么 －a2等于( D ) A．a B．－a C．－1 D．0
[解析] 根据非负数的性质知a2≥0，根据二次根式的意义， －a2≥0，故只有a＝0时， －a2有意义，所以 －a2＝0.故选D.
原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6.
(2)(3 12－2
1 ＋ 48)÷2 3. 3
2 28 14 原式＝ 6 3－3 3＋4 3÷2 3＝ 3÷2 3＝ . 3 3
第4讲┃ 二次根式
2 7．在 16x 、－ 、－ 0.5、 3 的个数是( A ) A．1 B．2 C．3
3
a 3 x 、 25中，最简二次根式 D．4
第4讲┃ 二次根式
第4讲┃ 二次根式
考点3
二次根式的运算
最简二次根式 二次根式 先将二次根式化成_____________，再 的加减法 _________其中的同类二次根式 合并 二次根式 a· b＝______(a≥0，b≥0) ab 的乘法 二次根式 a a ＝______(a≥0，b＞0) b b 的除法 把分母的 通常是将分子、分母同时乘分母的 有理化因式 根号化去 ________，化去分母的根号 二次根式的 运算顺序 与实数的混合运算顺序相同 混合运算 注意事项 正确把握运算法则平方根如果x2＝a源自则x 叫做a的平方根立方根
如果x3＝a，则x 叫做a的立方根
第4讲┃ 二次根式
1.[2012· 泸州] 25的算术平方根是( A ) A．5 B．－5 C．±5 D. 5
2. 16的平方根是( C ) A．±4 B．4
C．±2
D．2
3.（2012．湛江）若二次根式 ＿
x 1
有意义，则 x 的取值范围是＿
x 1
4.(2012 梅州) m 2有意义的最小整数是＿ ＿＿ 2
第4讲┃ 二次根式
考点2
二次根式的有关概念及性质
整式 ①被开方数是______；②被开方 最简二 数中不含__________因数或因 能开得尽方的 二次根式 次根式 式 的概念 同类二 被开方数______的______二次 相同 最简 次根式 根式 非负性 a(a≥0)______ ≥0 a a· b 二次根式 运算性质 ( a)2＝______， ab＝______， a 的性质 (a≥0， a ＝______， a2＝______ b b b>0)