§1.6晶体对称性
晶体的对称性
对称性与人类思维方式的联系
对称性思维方式是人类认知世界的一 种重要方式。人们习惯于将事物进行 对称性的分类、比较和思考，从而更 好地理解和把握事物的本质和内在规 律。
VS
对称性思维方式在科学研究和工程技 术中也发挥着重要作用。科学家们利 用对称性原理探索自然界的奥秘，解 决各种复杂的科学问题。工程师们则 利用对称性设计各种结构，提高产品 的稳定性和可靠性。
晶体的对称性
• 对称性的基本概念 • 晶体中的对称元素 • 对称性和晶体结构 • 对称性在化学中的运用 • 对称性与生物学的关系 • 对称性的哲学思考
01
对称性的基本概念
Hale Waihona Puke 称性的定义对称性是指一个物体或图形在某种变 换下保持不变的性质。在晶体学中， 对称性是指晶体在空间变换下保持不 变的性质。
对称性可以通过对称操作来描述，对 称操作是指将晶体进行刚性旋转、平 移、反演等变换后仍能恢复原状的操 作。
对称性的分类
晶体可以根据其对称性进行分类，常 见的晶体分类包括立方晶系、四方晶 系、六方晶系等。
VS
不同晶系的晶体具有不同的对称性， 晶体的对称性与其内部原子或分子的 排列方式密切相关。
对称操作的数学表达
对称操作可以用数学矩阵来表示，通过矩阵变换可以描述晶体的对称性。
对称操作的数学表达包括旋转矩阵、平移矩阵、反演矩阵等，这些矩阵可以用来描述晶体在空间中的 变换。
02
晶体中的对称元素
点对称元素
定义
01
点对称元素是晶体中以某一点为中心的对称操作，包括旋转、
反演、反映等。
描述
02
点对称元素在晶体中起着关键作用，它们决定了晶体的空间群
对称性在生物医学中的应用
晶体结构的对称性
晶体的对称性1. 晶体的宏观和微观对称性晶体的对称性最直观地表现在其几何外形上，由于晶体外形为有限的几何图形，故晶体外形上所体现的对称性与分子一样为点对称性，称为宏观对称性。
有四种类型的对称操作和对称元素旋转旋转轴反映反映面(镜面)反演对称中心旋转反演反轴由于晶体内部结构为点阵结构，点阵结构是一种无限的几何对称图形。
故晶体结构具有这种基本的空间对称性(通过平移对称操作能使点阵结构复原)，常称为晶体的微观对称性。
有三种类型的对称操作和对称元素平移点阵螺旋螺旋轴滑移滑移面2. 晶体和晶体结构对称性的有关定理晶体和晶体结构的对称元素及相应的对称操作有上述七种。
晶体中点阵与对称元素的制约关系为：对称面和对称轴的取向定理在晶体结构的空间点阵图形中，对称轴必与一组直线点阵平行，并与一组平面点阵垂直；对称面则必与一组直线点阵垂直，并与一组平面点阵平行。
(对称轴包括旋转轴、反轴和螺旋轴；对称面包括反映面、滑移面)∙对称轴的轴次定理在晶体结构中存在的对称轴，其轴次只能为1、2、3、4、6这五种。
3. 7个晶系和32个晶体点群∙根据晶体的对称性，可将晶体分为7个晶系，每个晶系有它自己的特征对称元素。
晶体特征对称元素立方晶系四个按立方体的对角线取向的3重轴六方晶系唯一的6重轴四方晶系唯一的4重轴三方晶系唯一的3重轴正交晶系三个互相垂直的2重轴或二个互相垂直的对称面单斜晶系一个2重轴或对称面三斜晶系无∙由于晶体的对称性定理，限制了对称轴的轴次只能为1、2、3、4、6；又由于反轴中只有4重反轴是独立的对称元素，所以在晶体的宏观对称性中，只能找到8个独立的对称元素：1、2、3、4、6、m、i、。
∙与分子所含的对称元素相比，晶体中所含的对称元素有限，这八个对称元素按一定的组合规则组合后只能产生32个对称类型(对称元素系)，每个对称类型所具有的对称元素所对应的对称操作构成一个群。
由于晶体的宏观外形为有限图形，故各种对称元素至少要相交于一点，故称为32个晶体点群。
固体物理§1.6晶体的对称性
A′ 1
A 1
A
A′
19
例题1：立方系的对称性简析。 例题 ：立方系的对称性简析。 (1) 三 个 相 互 垂 直 的 四 度 轴
20
(2)四个三度轴 空间对角线 四个三度轴(空间对角线 四个三度轴 空间对角线)
21
(3)六个 度轴 六个2度轴 六个
22
(4)三个和四度轴垂直的对称面 三个和四度轴垂直的对称面
O(对称心 对称心 )
A
( x, y, z)
y
x
A′
(− x,− y,−z)
10
(2) 2象转轴——实际上就是对镜象 。 实际上就是对镜象m。 象转轴 实际上就是对镜象
z(u轴)
A′′
A
( x, y, z)
(− x,− y, z) −
和O-xy对称面 对称面 的操作相当。 的操作相当。
O(对称心 对称心 )
z
O
A
( x, y, z)
A′
A
y
A′
x
( x, y,−z)
O-xy 相当于镜面。 相当于镜面。
8
度旋转—反演轴 象转轴) 四、n度旋转 反演轴 象转轴 度旋转 反演轴(象转轴
1.象转轴 象转轴 (1)定义 定义 先绕u轴转动 中心反演， 先绕 轴转动2π/n，再经过中心反演，晶体自动重 轴转动 ，再经过中心反演 合，则称 轴为 度旋转 反演轴，又称为 度象转轴。 则称u轴为 度旋转—反演轴 又称为n度象转轴 轴为n度旋转 反演轴， 度象转轴。 只有1， ， ， ， 。 只有 ，2，3，4，6。 (2)符号表示 符号表示 2.n度象转轴简析 度象转轴简析 n度象转轴实际上并不都是独立的，通过下面的分 度象转轴实际上并不都是独立的， 度象转轴实际上并不都是独立的 析，可以得到象旋转轴只有 4 是独立的。 是独立的。
晶体的对称性
x1
a11 a12 a13
A= a21 a22 a23
a31
a32
a33
（x1’,x2’,x
3’)
θ （x1,x2,x3)
α
x2
由于操作前后，两点间的距离保持不变，即
x1' 2 x2' 2 x3' 2 x12 x22 x32
而 x1'2 x2' 2 x3' 2 x2' x2' AxAx x AAx x12 x22 x32 xx
立方晶系：在立方晶胞4个方向体对角线上均有三重旋转轴 (a=b=c, α=β=γ=90)
六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)
四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)
三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)
正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对 称面(α=β=γ=90;)
晶体中对称轴的度数常用不同的符号代表，如下表所示
对称轴度数的符号表
对称轴
2
3
4
6
的度数n
符号
▼
（b）n度旋转-反演轴 若绕某一固定轴u旋转2π/n角度以后，再经过中心反演（即x→ -x ，y → -y，z → -z），晶体能够自身重合，则称u为n度旋转-反演 轴 这。样的对称轴只有1，2，3，4，6度。为了区别于转轴，在轴的
1 0 0 A 0 1 0
0 0 1
（x1,x2,x3)
x2
（x1,x2,-x3)
A 1
2）基本的对称操作 （a）n度旋转对称轴
1-晶体结构及其对称性(研)
二维蜂窝格子 (非布拉菲格子)
如果将A、B两个原子看作为一 个基元，则点阵结构就如前页所示 ，格子就是布拉菲格子了。
14种布拉菲格子:
1.简单三斜； 2.简单单斜， 3.底心单斜； 4.简单正交， 5.底心正交， 6.体心正交， 7.面心正交； 8.六角； 9.三角； 10.简单四方， 11.体心四方； 12.简单立方， 13.体心立方， 14.面心立方。
（3）金刚石结构（ diamond ）：
碳的同素异构体。 经琢磨后的金刚石又称钻石。 无色透明、有光泽、折光力极强，最硬的物质。
金刚石结构是复式晶格结构，基元中有两个碳原子A、B， 布拉菲格子是面心立方。
或可视为两个面心立方子晶格，沿体对角线平移1/4 体对角 线长度套构而成，如图所示．
金刚石晶体的配位数是4, 这4个碳原子构成一个 正四面体，碳-碳键角为109º28´。
例如，简立方晶格的几个晶面表示。
注意：晶向指数与晶面指数的表示差异。
晶向指数表示晶列取向，用中括号[…]表示； 晶面指数表示晶面方向，用圆括号(…)表示。
§1.3 倒格子
一、定义
晶体的布拉菲点阵由三个原胞基矢 、a1 、a2 来a描3 述．
定义三个新矢量：
b1
2
(,a2
其中： a1 轴[100]， a2 轴[010]， a3 轴[001]，
a1 轴 [1 00] 等，其中－1的负号放在1的上面。
二、晶面和晶面指数
任意三个不共线的格点，构成一个晶面．
与晶列性质类似，晶面也具有下面三个方面的性质： 任一晶面上都有无穷多个格点； 任一晶面都有无穷多个互相平行的晶面，构成一个晶面簇； 每一个晶面簇都将晶体中所有的格点包含无遗．
晶体的对称性和分类
2
4
2 4
晶体中独立的宏观对称操作 (或对称元素)只有8种,
即：1、2、3、4、6、i、4m、 。其中数字n(1、2、
3、4、6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心
反演（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜
面这）。种表示方法属于国际符号(International not
ation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮(Ma
晶体结构可以用布拉维格子或布拉维点阵来描 述,这样以来,晶体变为无限大的空间点阵.从而, 晶体具有了平移对称性,借助于点阵平移矢量,晶 格能够完全复位.我们把考虑平移后的对称性称 为晶体的微观对称性.
由于晶体的宏观对称操作不包含平移,所以宏 观对称操作时,晶体至少保持有一个点不动,相应 的对称操作又称为点对称操作.
a23
y
z z a31 a32 a33 z
其中： r
x y
z
x
r
y
z
a11
A
a21
a31
a12 a22 a32
a13
a23
a33
x x a11 a12 a13 x
y
y
a21
a22
a23
y
z z a31 a32 a33 z
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0
0 x
y
0
cos
sin
y
z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
晶体的对称性
晶体的对称性晶体因为有了对称，所以才有了他的美丽、永恒，下面重点说下他的对称性一. 对称的概念物体（或图形）中，其相同部分之间的有规律的重复。
例：蝴蝶、花冠、建筑物、面容、服饰等。
二. 晶体对称的特点晶体的对称表现为晶面、晶棱、角顶作有规律的重复——宏观对称。
晶体的对称性是由晶体的格子构造所决定的，研究晶体的对称性对于认识晶体的各项性质和划分晶体具有重要意义。
1.完全性：所有晶体都具有对称性。
（质点在三维空间有规律的重复——格子构造所决定的）；2.有限性：晶体的对称要素是有限的。
要受到晶体对称规律的控制：不出现5次或高于6次的对称轴；3.一致性（表里如一）：晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上，即：不仅包含几何意义，还包含物理化学意义。
三。
对称操作（变换）和对称要素的概念对称操作——指能够使对称物体中的各个相同部分作有规律重复的变换动作。
如，旋转、反映、反伸、旋转反伸等。
对称要素——指在进行对称变换时所凭借的几何要素（点、线、面）。
四. 晶体宏观的对称要素1. 对称面（P）对称面为一假想的面，相对应的对称变换是反映，它使图形平分成两个镜像相等的部分。
对称面的寻找：1）垂直并平分晶面；2）垂直并平分晶棱；3）包含晶棱并穿过角顶。
注意：a. 晶体中可以没有对称面，也可以有对称面，但最多只能有9个对称面；b 必须通过晶体中心，其出现的位置多垂直并平分于晶面或晶棱；c 寻找对称面时要尽量避免转动模型，以免造成重复；d 对称面的数目写在前面：如，9P。
2. 对称轴（Ln）对称轴为一假想的直线，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转。
旋转一定角度后可使相同（等）部分重复。
轴次（n）——旋转一周重复的次数；基转角（α）——重复时所旋转的最小角度。
二者之间的关系为n = 360°/ α 。
晶体的对称定律（晶体对称的有限性所决定）：晶体中只能出现轴次为1、2、3、4、6的对称轴，而不能出现5次或高于6次的对称轴（准晶体则可以出现）。
4、晶体的对称性
(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
第 26 页
§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x
x22
x32
x~
'x'
x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'
x3'
x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
第5页
即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
第 45 页
§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
第 46 页
§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
第 21 页
§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能
高中化学竞赛【晶体的对称性】
晶面3
c
晶面2
晶面1
b a
晶面指标示例
例题: 1. 某一立方晶系晶体,晶胞的顶点位置全为
A占据,棱心为B占据, 体心为C占据。①写
出此晶体的化学组成; ②写出A、B、C的
(4)十四种空间点阵形式 立方晶系有立方简单点阵P (立方P ) 、立方
体心点阵I (立方I ) 、立方面心点阵F (立方F );四 方晶系只有四方简单点阵P (四方P ) 、四方体心 点阵I (四方I ); 正交晶系有正交P 、正交I 、正交 F 、正交C (或侧心A和B); 单斜晶系有单斜P 、 单斜C ; 三方、六方、三斜都只有素格子。可见， 晶体只有14种空间点阵型式。见下图。
晶体的对称性
1.晶体的宏观对称性 晶体的宏观对称性就是晶体外型的对称性。
也就是有限物体的对称性。
方铅矿
金绿宝石
(1)晶体的宏观对称元素: 由于习惯原因, 晶体宏观对称元素与分
子对称性中的对称元素名称、符号都不完全 相同。
对称元素 旋转轴n 反映面或镜面m 对称中心i
反轴 n
对应对称操作 旋转L(α) 反映M 倒反I 旋转倒反L(α) I
3.晶面和晶面指标 晶面:晶体中平面点阵所在的平面。 晶面指标: 晶面在三个晶轴上的倒易
截数的互质整数之比。记为: (h*k*l*) 晶面与晶面的交线称为晶棱, 晶棱与
直线点阵对应。
例如, 右图中晶面 1在3个晶轴上的截数 分别:1/2,∞,∞, 因此倒 易截数:2,0,0, 划成互质 整数比后成为: 1:0:0, 因此晶面1的晶面指标 是: (100)。
材料物理课件12晶体的宏观对称性
对称性与物理性质的关系
对称性与物理性质密切相关， 不同对称性的晶体表现出不同 的物理性质。
点对称性决定了晶体的光学、 电磁学等性质，镜面对称性则 影响晶体的热学、力学等性质 。
对称性越高，晶体的物理性质 越稳定，对称性破缺可能导致 某些物理性质的变化或异常。
02
晶体宏观对称性的表现形式
晶体宏观对称操作的种类
02
在晶体中，对称性表现为晶体在 不同方向上具有相同的晶格结构 和物理性质。
对称性的分类
晶体宏观对称性分为点对称性和 镜面对称性两类。
点对称性是指晶体在三维空间中 具有旋转、反演、倒转等对称元 素，如立方晶系的旋转轴、四方
晶系的四重轴等。
镜面对称性是指晶体在某一方向 上具有对称的平面，如单斜晶系
的b轴和c轴构成的平面。
理论计算方法
密度泛函理论
通过计算电子密度分布，推导出晶体的电子结构 和对称性。
分子力学计算
基于分子力学的原理，模拟晶体分子在平衡状态 下的构型和对称性。
群论分析方法
利用群论的原理，对晶体对称性进行分类和描述 。
计算机模拟方法
分子动力学模拟
通过模拟大量原子或分子的运动，预测晶体的结构和对称性。
蒙特卡洛模拟
材料物理课件12晶体的宏观对称 性
contents
目录
• 晶体宏观对称性的基本概念 • 晶体宏观对称性的表现形式 • 晶体宏观对称性的应用 • 晶体宏观对称性的研究方法 • 晶体宏观对称性的未来发展
01
晶体宏观对称性的基本概念
对称性的定义
01
对称性是指一个物体或系统在不 同方向上保持相同或相似形态的 性质。
对称性破缺会导致晶体物理性质的变 化，例如光学、电学、热学等方面的 性质改变。
晶体化学(晶体对称性)
划分正当晶胞或单位的原则中，主要做了两方
面的规定：
划分了七个晶系
一、应当尽量选取较规则的形状；
二、应当尽量选取含点阵点少的.
划分出十四种空间 点阵型式
立方 P, I, F
六方 H
晶 三方 R 系 四方 P，I
简单P 型 底心C 式 体心I
正交 P，C（或侧心），I，F
面心F
单斜 P，C
侧心A或B
三斜 P
∴3垂直一平面点阵
3
b3 T3
T1
a1b1
b2 a2
T2
a3
3. 晶体中对称轴的轴次 A
设晶体中有一轴次为 n 的旋转轴，通
过点阵点O垂直纸面
B
则在晶体的空间点阵中，必有一平 面点阵与 n 垂直.
取直线点阵Tm=ma，并设素向量为 a
根据点阵与平移群的关系:
点阵点
平移群
a作用于O必得A点(为点阵点)，-a作用于O 得 A'
4
对称操作
倒反
I
反映
M
旋转 旋转 旋转 旋转 旋转 旋转倒反
L(0 ) L(180 ) L(120 ) L(90 ) L(60 ) L(90 )I
二、宏观对称元素的组合和32个点群
晶体宏观对称元素的组合 晶体的独立的宏观对称元素只有八种，但在某一晶体中可以只存在 一个独立的宏观对称元素，也可能有由一种或几种对称元素按照 组合程序及其规律进行合理组合的形式存在。 晶体中，宏观对称元素组合时，必受以下两条的限制：
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：
《晶体的对称性》课件
THANKS
1 2
3
X射线晶体学原理
利用X射线在晶体中的衍射现象，分析晶体结构。
应用领域
材料科学、化学、生物学等，用于研究分子结构和晶体结构 。
优势与局限性
能够提供晶体结构的精确信息，但需要大块、完整的晶体。
电子显微镜
电子显微镜原理
利用电子替代传统显微镜的光源，提高分辨率。
应用领域
材料科学、生物学等，用于观察微观结构和表面形貌。
晶体对称性的未来发展
新材料设计
新材料设计
随着科技的发展，人们将更加深入地研究和利用晶体的对称性，以设计出具有优异性能的新材料。例 如，利用特定对称性的晶体结构，可以制造出具有高强度、轻质、耐高温等特性的新型复合材料。
新型光电子器件
利用晶体的对称性，可以设计出新型的光电子器件，如光子晶体和量子点等。这些器件在光通信、光 计算等领域具有广泛的应用前景。
对称性与生物大分子的关系
生物大分子的对称性
许多生物大分子，如蛋白质和核酸等， 都具有特定的对称性。这种对称性与生 物大分子的结构和功能密切相关，对于 理解生物大分子的性质和行为具有重要 意义。
VS
对称性与生物大分子功能
研究生物大分子的对称性，可以帮助人们 更好地理解其功能和作用机制。例如，某 些对称性的蛋白质结构可以增强其稳定性 或改变其与其它分子的相互作用方式。
出的对称特性。
微观对称性可以通过晶体结构中 的对称元素来描述，如晶格点阵 中的对称中心、旋转轴、镜面等
。
微观对称性决定了晶体在微观尺 度上的物理性质，如力学、磁学
和化学性质。
晶体点群
01
晶体点群是指在晶体结构中，围绕一个点为中 心的对称操作集合。
晶体的对称性与晶系
晶体的对称性与晶系自然界不论是宏观物体还是微观粒子，普遍存在着对称性。
晶莹的雪花、美丽的花朵、艳丽的蝴蝶都具有对称性，人体也具有对称性。
地下的矿物，如水晶、钻石、闪锌矿……也都具有对称性。
微观粒子如水分子、苯分子以及所有分子都具有对称性。
对称性显示出物体的匀称和完美，为人们所喜爱和追求，因而设计师设计的宏伟建筑如天安门、人民大会堂、长江大桥……都呈现出对称性。
本文主要介绍晶体的宏观对称性，包括旋转轴、对称面和对称中心等，以及晶体宏观对称性与晶系的关系。
晶体的宏观对称性晶体宏观对称性有旋转轴（也称对称轴）、对称面（也称镜面）和对称中心，分别介绍如下。
旋转轴 旋转轴是对称元素，绕旋转轴可做旋转操作。
n 次旋转轴记为n ，απ2=n ，α称为基转角。
例如NaCl 晶体的外形是立方体，立方体对应面中心联线方向有4次旋转轴，绕此轴每旋转90°后，晶体形状不变；立方体对角线联线方向有3次旋转轴，绕此轴每旋转120°后，晶体形状不变；立方体对应棱边中心联线方向有2次旋转轴，绕此轴每旋转180°，晶体形状不变。
图6－4示出这3种旋转轴。
可以证明在晶体宏观外形中存在的旋转轴有1，2，3，4和6次旋转轴5种，不存在5次轴和大于6次的旋转轴。
对称面 对称面是对称元素，对称面也称镜面，常用m 表示。
凭借对称面可以做反映操作，如同物体与镜子中的像是反映关系。
人的双手手心相对，平行放置，左右手就互为镜象。
许多晶体中存在对称面，NaCl 晶体有9个对称面。
对称中心 对称中心也是对称元素，常用i 表示。
通过对称中心可以做倒反操作。
例如人的双手手心相对，逆平行放置，此时左右手构成倒反关系。
NaCl 晶胞中，在体心位置存在对称中心。
因此晶胞中任意一个原子与对称中心相连，在反方向等距离处必存在同样的原子。
晶体有无对称中心对晶体的性质有较大的影响。
凭借上述三种对称元素所做的对称操作都是简单操作，如果连续做两个简单操作就成为复合操作。
4、晶体的对称性 (2)
在固体物理学中，为了从本质上分析固体的性质，经常要研究晶体中
的波。根据德布罗意在1924年提出的物质波的概念，任何基本粒子都可以 看成波，也就是具备波粒二象性。这是物理学中的基本概念，在固体物理
学中也是一个贯穿始终的概念：
在研究晶体结构时，必须分析X射线（电磁波）在晶体中的传播和衍射；
a3
b2
a1
a2
2 (i j ) 它们的关系满足： a b 2 i, j 1,2,3 b1 i j ij 0(i j ) 则称这两种格子互为正倒格子。若基矢 a1 , a2 , a3 的格子为正格子，则 b1 , b2 , b3 的格子就是倒格子。反之亦然。 Kh h1b1 h2b2 h3b3 位移矢量就构成了倒易点阵。
体结构，都有2个点阵与其相联系。 个是倒易点阵，反映了周期结构物理性质的基本特征。
第 10 页
§1.5 倒格空间
后面我们将看到： 晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。 晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。
第 11 页
§1.5 倒格空间 二、正倒格子间的关系 （1）倒格子基矢与正格子原胞基矢间关系：
F ( Kh ) expiKh Rl
即 而 相当于
F ( Kh )1 expiKh Rl 0
F (Kh ) 0 F (r ) 0
不是我们所要的结果。
第6页
§1.5 倒格空间
因此有
eiKh Rl 1(3) K h Rl 2 (4)
代表晶体中的平移矢（正格矢）。 把F(r) 展为傅里叶级数，得
F (r ) F ( K h )eiKh r (2)
第一章晶体的对称性
第一章晶体的对称性§1-1 晶体内部结构的周期性---点阵与晶格大家都知道晶体内部原子(分子、离子和原子团等，以后称质点)的排列是规则的，具有一定的周期性，这是晶体的主要特点。
不同晶体中的质点在空间中的排列规律是不同的，有许多种排列方式。
因此，在对晶体进行研究时，为了归类方便，常将构成晶体的实际质点抽象成纯粹的几何点，并称之为阵点。
这样的阵点在空间中周期性规则排列并有相同的周围环境。
这种阵点的空间排列就称为空间点阵，或晶体点阵，也称布拉法格子，简称点阵或晶格，共有14种。
§1-2 晶体的宏观对称性---点对称操作晶体内部结构不仅具有周期性，还具有比较复杂的对称性。
实际上，晶体宏观性质和外形的对称性都是其内部结构对称性的反映，与其有着密切关系。
应该说，人们最初认识晶体，是从它们丰富多彩又有规则的外部形状开始的，后来才逐步认识到，晶体外形上的规则性及其宏观性质的对称性，是与其内部微观结构的对称性密切相关的。
在本节及以下几节中，通过对晶体的宏观对称性的描述，引进群的初步概念，给出晶体的32个点群，并依据晶体对称性特征，区分晶类和晶系。
1．晶体的宏观对称性。
晶体外形上（宏观上）的规律性，突出表现在晶面的对称排列上。
如：把立方体的岩盐晶体绕其中心轴每转900后，晶体自身就会重合，而把六面柱体的石英晶体绕其柱轴每转600后，晶体亦会自身重合。
这里提到的绕轴转动称旋转操作，是一种点对称操作。
通常把经过某种点对称操作后晶体自身重合的性质称为晶体的宏观对称性。
描述晶体宏观对称性的方法，就是列举使其自身重合的所有点对称操作。
为了明确对称性和对称操作的概念，先给出以下概念：●相等图形。
如花瓣。
●等同图形。
如左右手。
相等图形属于等同图形，但等同图形不一定是相等图形。
●对称图形。
由两个或两个以上的等同图形构成的并在空间有规律排列的图形称对称图形。
2．对称性。
对称图形中各等同部分在空间排列的特殊规律性称对称性。
晶体的基本对称性
部分交错式的 C 2 H 6
D3
D nh 群
点群定义
点群表示
在Dn 群的基础上，加上一个垂直于 C n 轴的镜面s h ， 就得到 Dnh 群，它有4n个群元素.
Dnh Dn * C1h Dn * E , s h 2 … 1 (1) … n ) s s . n ( E , C n , C n , C n , C2 , , C 2 , h , h C n , 2 n s h .C n … , s h . Cn 1 , s v(1) , s v( 2 ) , …s v( n ) ,
(1)群的基本概念
一个集合G含有A、B、C、D等元素，在这 些元素之间定义一种运算（通常称为“乘法”），如果 满足下四个件，则称为集合G为群。
封闭性
结合律
有单位 元 素
G含有A、B、C、D等元素，若A和B是G中任意两个元 2 素，则有 AB C 及 A D ，C和D仍属G中的元素 G中各元素之间的运算满足乘法结合律，即三个元 素相乘其结果和乘的顺序无关，即 ( AB) C A ( BC)
3
1800
2
（3）对称面s 和反映操作 s 对称面: 对称面为一假想的平面，相应的操作为对此平面的反 映。习惯符号为P，国际符号为m。对称面将图形平分为互为镜 像的两个相等部分。如果空间一点为（x, y, z), 经过对称面的操 作后，视对称面m所包含的轴的不同，将变换到另外一点（x, y, -z），此处假设的是m包含了x, y轴，即m和xy平面一致。那么 其矩阵表达为：
BF 3 C2 H 2Cl2
有对称中心
(i)
无对称中心
（5）旋转轴 ( S )和旋转反映操作 ( S n )
1.6 晶体的对称性
m 1,3,1,0, 2
即：m只能取 -1, 0, 1, 2, 3
2
,
2
与m = - 1, 0, 1, 2, 3相应的cos 为:
1 1 cos =1 0 -1 2 2 2 2 2 2 2 , , , , n 1, 6, 4,3, 2 6 4 3 2
由于晶体周期性的限制，转角只能是:
3
4 2
6
2
4
4
6=3+m 3 3 5 1 5 1 6 2 ' 6 4 4 2
总结：旋转反演对称操作中只有4度旋转反演对 称操作是独立的。 3、概括：
独立的对称操作有8种：1，2，3，4，6，i，m，4
所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合 来完成。由以上8个独立对称操作组合，可得到32种 宏观对称类型，数学上称为32个点群。
i
1
m
二、晶体的基本对称操作：
1、n度转动对称轴：晶体绕某一对称轴旋转 = 2 n 以后自身能够重合，称该轴为n度旋转对称轴。
n 1 2 3 4 6
2、n度旋转反演轴：晶体绕某一对称轴旋转 = 2 n 后，再经中心反演自身能够重合，称该轴为n度旋 转反演轴。记作 n
n
可取值有：1
2 3 4 6
注意：以上许多的操作并不都是独立的
1 中心反演，称为对称心，记作 i 2 等价于垂直于该轴的镜像操作，记作 m
1i
1 1 2 2
2m
1
3 不是基本操作，等价于3度旋转加上对称心 i。 4 是基本操作。 6 不是基本操作，等价于3度旋转加垂直于该
轴的镜像。
3 3i
3
5
3
1 1 2
4
1.6 晶体的对称性
2度旋转对称轴
3度旋转对称轴
5度旋转对称轴 晶体不具有5度或 6度以上的旋转对 称轴！ 4度旋转对称轴 6度旋转对称轴
晶体所允许的转动操作
A ' B ' 2a cos ma
m cos 1 2 3 m 0: , ;
独立转角：
对称操作：一个晶体在某一变换后，晶体在空间的分布 保持不变，这一变换称为对称操作。 对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素： 点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等。
一些图形的对称操作：
● ●
如何科学地概括和区别四种图形的对称性？ 从旋转来看，圆形对绕中心的任何旋转都是不变的；正方形
3 只能旋转 , , 才保持不变；后2个图形只有 2 的旋转。 2 2
4个3度轴
—— 1个对称操作
5) 以上24个对称操作 加中心反演仍是对称操作 —— 立方体的对称操作共有48个
B. 中心反演的正交矩阵
C. 镜像的正交矩阵
0 1 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 )
( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 )
a12 a22 a13
a13 x a23 y z a33
{aij }, i, j 1, 2, 3
—— 矩阵是正交矩阵
A. 绕x1轴转角的正交矩阵
0 1 0 cos 0 sin
0 sin cos
2 2 2 4 5 m 1: , , , ; 3 3 3 3 m 2 : , 2 .
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B
A
B1
A
B
A1
AB是晶列上最近邻两格点的距离。
BA nAB AB ABcos BAcos AB(1 2cos )
cos n 1
n是整数。
2
2
cos n 1，且1 cos 1， n只能取值：3，2，1，0， 1。
2
n : 3 2 1 0 -1;
17
五、晶体的微观对称操作
A4
1.n度螺旋轴
晶体绕u轴每转2/n角度后，再沿
4
A3
该轴的方向平移T/n的 l 倍，则晶体中的
3
原子和相同的原子重合(其中l为小于n的
整数；T为沿u轴方向上的周期矢量)。
A2
晶体只能有1，2，3，4，6度螺旋轴。 A1
如图所示，为4度螺旋轴。晶体绕 A
2
轴转900后，再沿该轴平移a/4，能自身
z A x, y, z
A
A
O
y
x
A x, y,z O-xy 相当于镜面。
8
四、n度旋转—反演轴(象转轴)
1.象转轴
(1)定义
先绕u轴转动2/n，再经过中心反演，晶体自动重
合，则称u轴为n度旋转—反演轴，又称为n度象转轴。
只有1，2，3，4，6。
(2)符号表示
1，2，3， 4， 6
2.n度象转轴简析
晶体不能有5度或6度以上的转轴。 (2)对称轴表示方式 ①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示
C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示
1、 2、 3、 4、 6。 4
4.对称轴度数 度数 n 2
3
4
6
符号表示
符号
5
5. 长方形、
21
(3)六个2度轴
22
(4)三个和四度轴垂直的对称面 (5)六个和2度轴垂直的对称面
23
例题2：金刚石的对称性简析—正四面体的对称操作
四个原子 位于正四 面体的四 个顶角上
24
1.绕三个立方轴转动
25
2. 绕4个立方体对角线轴转动 2 , 4
33
26
3. 绕三个立方轴转动 , 3
22
(1)熊夫利符号表示——i;
x, y,z
(2)国际符号表示—— 1
例：立方体的中心就是对称中心。如果将对称心放在坐
标原点上，则有(x,y,z)点与(-x,-y,-z)点等同。
7
三、镜象(镜面反映、对称面)
1.镜象 如图所示，A和A’等同，如同镜子一样。
2.表示方式
(1)熊夫利符号表示—— ;
(2)国际符号表示——m。
§1.6 晶体的特殊对称性 对称操作 一、转动
本节主要介绍四种基本的操作——转动、反演、镜 象、象转轴。
1.转动对称操作 设晶体外形为一立方体，沿图中
所示转轴转动900，外形与原来重合。 这样的转动称为转动对称操作。该轴 称为转动轴。如果转动1800等晶体都 保持外形重合。
转动轴
1
2.转动对称操作的种类 由于受晶格周期性的限制，转动对称操作所转动的
正三角形、
正方形和正
六方形可以
在平面内周
期性重复排
列。正五边
形及其它正
n 边形则不
能作周期性
重复排列。
6
二、中心反演(中心反映)
1.中心反演
如图所示，有对称心i，晶体中
iA
任一点A过中心 i 连线Ai并延长到A'，
使Ai = A' i, A与A'是等同点， i点称
A
为对称心。
2.表示方式
x, y, z
n度象转轴实际上并不都是独立的，通过下面的分
析，可以得到象旋转轴只有 4 是独立的。
9
(1) 1 象转轴——实际上就是对称心i。
A点绕旋转轴(z轴)
z(u轴)
Ax, y, z
旋 转 3600 ， 在 经 过
中 心 反 演 到 A' 点 ， 晶体完全重合。实
பைடு நூலகம்
O(对称心)
y
际上即为中心反演
x
x, y,z
5 5
3
3
1
1
2
6
2
4
6
4
14
(3) 4 象转轴
3
1 2
2
3 1
4 4
15
3 2
3 1 1
4 2
4
16
结论： 晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称
操作：1，2，3，4，6，1, m, 4 。 这些基本的操
作组合起来，就可以得到32种不包括平移的宏观 操作类型。
熊夫利符号：C1 ,C2 ,C3 ,C4 ,C6 ,i, , S4
—— 正六面柱的对称操作有24个
29
30
1
重合。
18
2.滑移反映面
M
经过该面的镜象操作
A2
A2
以后,再沿平行于该面的某
个方向平移T/n的距离(T是
A1
A1
该方向上的周期矢量，n为
2或4)，晶体中的原子和相
A
A
同的原子重合。
M
19
例题1：立方系的对称性简析。
(1) 三 个 相 互 垂 直 的 四 度 轴
20
(2)四个三度轴(空间对角线)
cos : 1
:0
2
1
0.5 0 - 0.5 -1
2
323
2 2 2 2
643
2
2
n
n 1，2，3，4，6。 分别称 为1，2，3，4，6次( 度 )转轴。
3
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis) (1)定义
晶体绕某一固定轴u旋转角度2/n以后，能自身重
合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。n只能取1，2，3， 4，6。
加中心反演
27
4. 绕6条面对角线轴转动 加上中心反演
28
例题3 正六面柱的对称性分析
1. 绕中心轴线转动 , 2 , , 4 , 5
33 3 3
—— 5个
2. 绕对棱中点连线转动π —— 3个 3. 绕相对面中心连线转动π —— 3个
4.正交变换—— 1个
5. 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作
A
10
(2) 2 象转轴——实际上就是对镜象m。
z(u轴)
A
Ax, y, z
x, y, z
和O-xy对称面 的操作相当。
O(对称心)
y
x
x, y,z
A
11
12
(3) 3 象转轴——实际上就是3度转轴＋对称心(i)
5
3
3
5
1
1
4
6
2
4
6
2
13
(3) 6 象转轴——实际上就是6度转轴＋对称心(i)