高数函数定义域典型例题

高数函数定义域典型例题

例1 已知()sin f x x =，2[()]1f x x ϕ=-，求()x ϕ的解析式及其定义域． 解 依题意得

sin ()x ϕ=21x -，()x ϕ=2arcsin(1)x -．

由2111x -≤-≤可知x ≤

()x ϕ=2arcsin(1)x -，[x ∈．

例2 设1,0

()2,0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩，2, 0(),0x x g x x x ⎧<=⎨-≥⎩

．求[()]f g x ．

解 （1）由()0g x ≤得()0g x x =-≤即0x ≥，所以0x ≥时[()]f g x =1x +． （2）由()0g x >即2()0g x x =>得0x <．所以0x <时，[()]f g x =22x +． 故22,0

[()]1, 0x x f g x x x ⎧+<=⎨+≥⎩

．

例3 设1,||1

()0,||1x x x ϕ≤⎧=⎨>⎩，22,||1()2, ||1

x x x x φ⎧-≤=⎨>⎩．试求[()]x ϕφ，{[()]}x ϕϕϕ．

解 （1）由于

1,|()|1

[()]0,|()|0x x x φϕφφ≤⎧=⎨

>⎩

，

且仅当||1x =时，()1x φ=；||1x ≠时，1()2x φ<≤．则

1,||1

[()]0,||1x x x ϕφ=⎧=⎨

≠⎩

．

（2）当(,)x ∈-∞+∞时，0()1x ϕ≤≤．故[()]1x ϕϕ≡，(,)x ∈-∞+∞．于是

{[()]}1x ϕϕϕ≡，(,)x ∈-∞+∞．

注 函数复合类似“代入”，但应注意定义域的变化．复合后要写下复合函数的定义域．由于复合函数是微积分研究的主要对象之一，读者应熟练掌握复合函数的概念．

例4 设()f x ，()x ϕ，()x φ均为单调递增函数，且()()()x f x x ϕφ≤≤．证明：

[()][()][()]x f f x x ϕϕφφ≤≤．

证明 由题设可知

[()][()][()]x f x f f x ϕϕϕ≤≤， [()][()][()]f f x f x x φφφ≤≤，

则由上述不等式可得

[()][()][()]x f f x x ϕϕφφ≤≤．

注 此处多次利用函数单调性的定义．

例5 下述说法中与lim n n x a →∞

=的定义等价的是（ ）．

A ．(0,1),N ε∀∈∃，当n N ≥时，有||100n x a ε-≤．

B ．1,N ε∀>∃，当n N >时，有||n x a ε-<．

C ．,0N ε∀∃>，当n N >时，有||n x a ε-<．

D ．,0N ε∃∀>，当n N >时，有||n x a ε-<．

解 lim n n x a →∞

=的定义：对于数列n x ，存在常数a ，使得对于任意给定的正数ε（不论

它多么小），存在自然数N ，使当n N >时，不等式||n x a ε-<恒成立．

A 与上述定义等价，因为0ε>具有任意性，100ε也具有任意性．

B 因为1ε>不能保证ε为任意小，从而由||n x a ε-<不能保证n x 与a 无限接近．

C 中的ε是存在性，与定义不符．

D 如果存在自然数N ，使对0ε∀>，当n N >时有||n x a ε-<，这说明数列n x 有极限a ，说明D 是上述定义的充分条件．但反之如果lim n n x a →∞

=，不一定能找到那样的N （它可能与

ε无关．这一要求比N 与ε有关的要求更高），使对任意0ε>，当n N >时，都有||n x a ε-<，

因为在定义中N 是依赖于ε的给定而确定的．因而D 不是上述定义的必要条件．故选A ．

例6（03研*） 设{}n a 、{}n b 、{}n c 均为非负数列，且

lim 0n n a →∞

=，lim 1n n b →∞

=，lim n n c →∞

=∞，

则必有（ ）． A ．n n a b <对任意n 成立． B ．n n b c <对任意n 成立． C ．lim n n n a c →∞

不存在． D ．lim n n n b c →∞

不存在．

解法1 由数列极限的定义，数列{}n a 的极限关心的是n a 在某个N （足够大）之后的性质，前面的有限多项则无关紧要．因此A 、B 中“任意n ”的条件显然不成立．“0⋅∞”型的极限是未定式，C 不成立，故选D ．

事实上，当lim 0n n b b →∞

=≠，lim n n c →∞

=∞时，由无穷大量的定义得到lim n n n b c →∞

=∞．

解法2 举反例：取2n a n =

，1n b =，2

n n

c =，则可以直接排除A 、B 、C ． 例7 当1x →时，函数1

2111

x x e x ---的极限（ ）

． A ．2． B ．0． C ．∞． D ．不存在且不为∞．

分析 左、右极限存在且相等，是函数极限存在的充要条件．本题中函数

211exp 11

x x x ---为两个因式的乘积，易求出211

lim 21x x x →-=-，所以解本题的关键是因式1

1x e -．

注：03研表示2003

年考研真题，以下同.