高数函数定义域典型例题
求函数的定义域例题
求函数的定义域例题
当我们要找出一个函数的定义域时，我们主要是确定该函数中所有表达式都有意义的输入值的集合。
以下是一些关于求函数定义域的例题：
例题1：基本函数
求函数 f(x)=x−2 的定义域。
解：
要使 f(x) 有意义，需满足 x−2≥0。
解得 x≥2。
所以，函数的定义域是 [2,+∞)。
例题2：分式函数
求函数 f(x)=x−31 的定义域。
解：
要使 f(x) 有意义，需满足 x−3=0。
解得 x=3。
所以，函数的定义域是 (−∞,3)∪(3,+∞)。
例题3：根式与分式组合函数
求函数 f(x)=x−14−x2 的定义域。
解：
要使 f(x) 有意义，需满足以下条件：
1.4−x2≥0（根号内部非负）
2.x−1=0（分母不为零）
解第一个不等式得−2≤x≤2。
结合第二个条件得 x=1。
所以，函数的定义域是 [−2,1)∪(1,2]。
例题4：对数函数
求函数 f(x)=log2(x+1) 的定义域。
解：
要使 f(x) 有意义，需满足 x+1>0（对数函数的真数必须大于零）。
解得 x>−1。
所以，函数的定义域是 (−1,+∞)。
以上这些例题涵盖了求不同类型函数定义域的基本方法。
在解题时，关键是找出使函数表达式有意义的所有输入值的集合。
定义域试题及答案
定义域试题及答案1. 已知函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \)，请找出该函数的定义域。
答案：函数 \( f(x) \) 的定义域是除了 \( x = \pm 2 \) 以外的所有实数。
因为当 \( x = \pm 2 \) 时，分母为零，函数无定义。
2. 函数 \( g(x) = \sqrt{2x - 3} \) 的定义域是什么？答案：函数 \( g(x) \) 的定义域是 \( x \geq \frac{3}{2} \)。
因为根号下的表达式必须非负，所以 \( 2x - 3 \geq 0 \)。
3. 确定函数 \( h(x) = \log_2(x - 1) \) 的定义域。
答案：函数 \( h(x) \) 的定义域是 \( x > 1 \)。
因为对数函数的自变量必须大于零，所以 \( x - 1 > 0 \)。
4. 函数 \( p(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} \) 的定义域是什么？答案：函数 \( p(x) \) 的定义域是所有实数，除了 \( x = 3 \)。
因为分母 \( x^2 - 6x + 9 \) 可以分解为 \( (x - 3)^2 \)，当 \( x = 3 \) 时分母为零。
5. 求函数 \( q(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处的定义域。
答案：函数 \( q(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的定义域是 \( x \neq 0 \)。
因为 \( x = 0 \) 时分母为零，所以 \( x = 0 \) 不在定义域内。
6. 函数 \( r(x) = \sqrt[3]{x^3 - 8} \) 的定义域是什么？答案：函数 \( r(x) \) 的定义域是所有实数。
因为立方根函数对所有实数都有定义。
7. 确定函数 \( s(x) = \frac{1}{x - 1} + 2 \) 的定义域。
函数定义域(高一数学函数题100道)
原创不容易，【关注】店铺，不迷路！指数函数1的定义域和值域。
指数函数R的定义域，即实数集。
2.指数函数的取值范围对于所有指数函数来讲，当a满足a0且a≠1时，值域为(0,+∞)；a=1时也可以，此时值域为{1}。
3.函数定义域的确定自然定义域使解析函数有意义的自变量的所有值[例子]求f(x)=lg(x－1)+lg(3－x)定义域[分析]there4;函数的定义域为（１，３）总结：求函数的定义域一般归结为解不等式或混合系统。
四、函数的值域[例题]求以下函数的值域：⑵y=x+[分析]Let=t(t≥0)然后Y=(t≥0)there4;函数的值域为（－∞，1]摘要：代换方法[例题]求下列函数的值域：y=|2x+1|+|x－2|[分析]y=|2x+1|+|x－2|如图，此函数的范围是[摘要：此问题的解法。
原文链接：（【素材积累】岳飞应募参军，因战功累累不断升职，宋高宗亲手写了“精忠岳飞”四个字，制成旗后赐给他。
又召他到寝阁，对他说：“中兴的大事，全部委托给你了。
”金人攻打拱州、亳州，刘锜向朝廷告急，宋高宗命令岳飞火速增援，并在赐给岳飞的亲笔信中说：“设施之事，一以委卿，朕不遥度。
”岳飞于是调兵遣将，分路出战，自己率领轻装骑兵驻扎在郾城，兵锋锐气十足。
但是，后来高宗和秦桧决定与金议和，向金称臣纳贡。
就在岳飞积极准备渡过黄河收复失地的时候，高宗和秦桧却连发12道金字牌班师诏，命令岳飞退兵。
后岳飞被以“莫须有”的罪名毒死于临安风波亭，时年仅39岁。
高中数学求函数定义域练习题
1. 函数定义域的求法
①分母不为零；②偶次方根下非负；③对数函数真数大于零；④00
≠=x x y ，， 2. 定义域求解练习题
(1) ()x x f -=1的定义域为 .
(2) ()23x x x f -=的定义域为 .
(3) 函数()2-61
x x x f -=的定义域为 .
(4) 函数()013
2-+-+=x x x y 的定义域为 . (5) 函数()()13lg -132
++=x x
x x f 的定义域为 . (6) 函数()312-1++
=x x f x 的定义域为 . (7) 2322+-=x x y 的定义域为 .
(8) 函数()()12log 1
2---=x x x f 的定义域为 .
(9) 已知函数()()11-22-+-=
x a ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围为 .
(10) 函数()1
2+-=
x x x f 的定义域为 .
☆ 复合函数求定义域的方法：对于一个复合函数()[]x g f 来说，其定义域是x 的取值范围而不是()x g 的取值范围.
(11) 已知()x f 的定义域为[]5,1-，求()53-x f 的定义域.
(12) 已知()x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21
，求()x f 2log 的定义域.
(13) 已知()222+-x x f 的定义域为[]3,0，求()x f 的定义域.
(14) 已知()[]1lg +=x f y 的定义域为{}90≤≤x x ，则()x f y =的定义域为 .
(15) ()1+=x f y 的定义域为[]3,2-，则()12-=x f y 的定义域为 .。
高中定义域试题及解析及答案
高中定义域试题及解析及答案1. 函数 \(f(x) = \sqrt{x - 3}\) 的定义域是什么？2. 若 \(g(x) = \frac{1}{x - 2}\)，求 \(g(x)\) 的定义域。
3. 函数 \(h(x) = \frac{3x - 5}{x^2 - 4}\) 在哪些 \(x\) 值下是有定义的？4. 已知 \(k(x) = \log_{2}(x + 4)\)，求 \(k(x)\) 的定义域。
5. 函数 \(m(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}\) 在哪些 \(x\) 值下是有定义的？解析与答案1. 对于函数 \(f(x) = \sqrt{x - 3}\)，我们需要保证根号内的表达式非负，即 \(x - 3 \geq 0\)。
解得 \(x \geq 3\)。
因此，\(f(x)\) 的定义域是 \([3, +\infty)\)。
2. 对于函数 \(g(x) = \frac{1}{x - 2}\)，分母不能为零，所以\(x \neq 2\)。
因此，\(g(x)\) 的定义域是 \((-\infty, 2) \cup (2, +\infty)\)。
3. 对于函数 \(h(x) = \frac{3x - 5}{x^2 - 4}\)，分母 \(x^2 -4\) 不能为零，即 \(x \neq \pm 2\)。
因此，\(h(x)\) 的定义域是\((-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)\)。
4. 对于函数 \(k(x) = \log_{2}(x + 4)\)，对数函数的自变量必须大于零，即 \(x + 4 > 0\)。
解得 \(x > -4\)。
因此，\(k(x)\) 的定义域是 \((-4, +\infty)\)。
5. 对于函数 \(m(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}\)，根号内的表达式必须非负，即 \(x + 2 \geq 0\)，同时分母不能为零，即 \(x \neq 1\)。
高一必修一定义域练习题
高一必修一定义域练习题一、基础题1. 求函数f(x) = √(x 1)的定义域。
2. 求函数g(x) = 1/(x^2 4)的定义域。
3. 求函数h(x) = (x + 2)/(x^2 9)的定义域。
4. 求函数k(x) = |x 3|的定义域。
5. 求函数m(x) = log₂(x 2)的定义域。
二、提高题1. 求函数f(x) = √(4 x^2)的定义域。
2. 求函数g(x) = √(x^2 5x + 6)的定义域。
3. 求函数h(x) = 1/√(x^2 3x + 2)的定义域。
4. 求函数k(x) = (x 1)^2/(x^2 2x)的定义域。
5. 求函数m(x) = log₃(x^2 4x + 3)的定义域。
三、综合题1. 已知函数f(x) = √(3x 2)/(x^2 5x + 6)，求其定义域。
2. 已知函数g(x) = (x + 1)/(√(x^2 2x 3))，求其定义域。
3. 已知函数h(x) = log₄(√(x^2 6x + 9))，求其定义域。
4. 已知函数k(x) = √(4 x^2) + 1/(x 2)，求其定义域。
5. 已知函数m(x) = √(x^2 5x + 6) log₂(x 3)，求其定义域。
四、应用题1. 一个正方形的边长是x厘米，如果边长增加2厘米，面积增加20平方厘米，求x的取值范围。
2. 某企业的成本函数为C(x) = 3x^2 2x + 10，其中x为生产的产品数量，求C(x)的定义域。
3. 一辆汽车以每小时x公里的速度行驶，行驶了t小时后，其油耗量为y升，已知油耗量与速度的关系为y = x^2/20，求x的取值范围。
4. 某商品的价格为p元，需求量q与价格p的关系为q = 100 p，求该商品的需求量q的定义域。
5. 一个等腰三角形的底边长为2x厘米，腰长为x厘米，求x的取值范围。
五、拓展题1. 求函数f(x) = √(x^3 x^2 6x)的定义域。
高中函数定义域、值域经典习题及答案
高中函数定义域、值域经典习题及答案1、求函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3}-\frac{3}{x-1}$首先要注意分母不能为0，所以$x\neq-3$和$x\neq1$。
又因为分式中有$x-1$的项，所以还要满足$x\neq1$。
所以函数的定义域为$x\in(-\infty,-3)\cup(-3,1)\cup(1,+\infty)$。
⑵ $y=1-\frac{1}{x+1}$分母不能为0，所以$x\neq-1$。
所以函数的定义域为$x\in(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)$。
⑶ $y=\frac{1}{1+\frac{1}{x-1}}+\frac{2x-1}{2-x^2}$分母不能为0，所以$x\neq1$。
分式中有$x-1$的项，所以还要满足$x\neq1$。
分母不能为0，所以$x\neq\pm\sqrt{2}$。
所以函数的定义域为$x\in(-\infty,-\sqrt{2})\cup(-\sqrt{2},1)\cup(1,\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$。
2、设函数$f(x)$的定义域为$[0,1]$，则函数$f(x+2)$的定义域为$[2,3]$；函数$f(2x)$的定义域为$[0,\frac{1}{2}]$。
3、若函数$f(x+1)$的定义域为$[-2,3]$，则函数$f(2x-1)$的定义域为$[-\frac{5}{2},2]$；函数$f(-2)$的定义域为$[-3,-1]$。
4、知函数$f(x)$的定义域为$[-1,1]$，且函数$F(x)=f(x+m)-f(x-m)$的定义域存在，求实数$m$的取值范围。
由于$F(x)$的定义域存在，所以$f(x+m)$和$f(x-m)$的定义域都存在，即$x+m\in[-1,1]$，$x-m\in[-1,1]$。
解得$-1-m\leq x\leq1-m$，$m-1\leq x\leq m+1$。
高中数学函数的定义域测试题(含答案)
高中数学函数的定义域测试题(含答案)高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的定义域与值域、单调性与奇偶性二. 教学目标：理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。
三. 教学重点：函数性质的运用．四. 教学难点：函数性质的理解。
［学习过程］一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：①换元法（注意新元的取值范围）②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）③整体代换（配凑法）④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。
（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。
2. 求函数的定义域求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.3. 求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4. 求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法：（3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
函数定义域、值域经典习题及答案
函数定义域、值域经典习题及答案1、求函数的定义域⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3-3}$，化简得 $y=\frac{x-5}{x-3}$，所以定义域为 $(-\infty,-3)\cup(3,5)\cup(5,\infty)$。
⑵$y=1-\frac{1}{x-1}$，要使分母不为0，所以$x\neq1$，即定义域为 $(-\infty,1)\cup(1,\infty)$。
⑶ $y=\frac{1}{1+x-1}+\frac{2x-1+4-x^2}{2}$，化简得$y=\frac{5-2x-x^2}{2(1+x-1)}=\frac{-x^2-2x+5}{2x}$，要使分母不为0，所以 $x\neq0$，即定义域为 $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$。
2、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[-1,1]$，则 $f(x^2)$ 的定义域为 $[0,1]$，$f(x-2)$ 的定义域为 $[-3,-1]$。
若函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[-2,3]$，则 $f(2x-1)$ 的定义域为 $[-\frac{1}{2},2]$，$f(-2)$ 的定义域为 $[-3,-1]$。
3、根据复合函数的定义，要使 $f(x+1)$ 有定义，$x+1$ 必须在定义域 $[-2,3]$ 中，即 $-2\leq x+1\leq 3$，解得$-4\leq x\leq 2$。
同理，要使 $f(2x-1)$ 有定义，$2x-1$ 必须在$[-2,3]$ 中，即 $-\frac{1}{2}\leq 2x-1\leq 3$，解得 $-\frac{1}{2}\leq x\leq 2$。
要使 $f(-2)$ 有定义，$-2$ 必须在 $[-2,3]$ 中，即 $-2\leq -2\leq 3$，显然成立。
根据 $f(x)$ 的定义域为 $[-1,1]$，$f(x+m)$ 和 $f(x-m)$ 的定义域也必须在 $[-1,1]$ 中，即 $-1\leq x+m\leq 1$，$-1\leq x-m\leq 1$，解得 $-m-1\leq x\leq m-1$。
高三函数定义域典型例题解析
函数定义域典型例题解析1.函数的定义域是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】由题意得10,10,0,x x x ->⎧⎪+>⎨⎪≠⎩解得10x -<<或01x <<.所以原函数的定义域为(1,0)(0,1)-.故选：C.2.设函数的定义域为A ，函数的定义域为B ，则A ∩B 等于（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】函数y {}2160x x -≥，即{}44A x x =-≤≤，函数ln(1)y x =-的定义域为{}10x x ->，则{}1B x x =<， 所以{}41A B x x ⋂=-≤<， 故选：C.3.函数12log (1tan )y x =-的定义域为（ ）A ．,,24k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭B ．2,2,24k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭C ．,,42k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭D ．2,2,42k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭【答案】A 【解析】函数12log (1tan )y x =-有意义，则()1tan 02x x k k Z ππ->⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩， 解得()24k x k k Z ππππ-+<<+∈，1y x=[1,0)(0,1)-[1,0)(0,1]-⋃(1,0)(0,1)-(1,0)(0,1]-⋃y =ln(1)y x =-(1,4)(1,4][4,1)-(4,1)-所以函数的定义域为,,24k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭.故选：A3.求函数的定义域．【答案】当1a >时，函数的定义域为{|0}x x >；当01a <<时，函数的定义域为{|0}x x <． 【解析】要使原式有意义需要满足10x a ->，即01x a a >= 当1a >时，xy a =是R 上的增函数，所以0x >； 当01a <<时，x y a =是R 上的减函数，所以0x <； 综上所述，当1a >时，函数的定义域为{|0}x x >；当01a <<时，函数的定义域为{|0}x x <．4.若函数()f x =R ，则实数a 取值范围是（ ）A ．[]2,2- B ．()2,+∞ C ．(),2-∞ D ．()2,2- 【答案】A【解析】由于函数()f x =的定义域为R ，所以210x ax ++≥在R 上恒成立，即方程21=0x ax ++至多有一个解，所以240a ∆=-≤，解得22a -≤≤，则实数a 取值范围是[]2,2-．故选A ．5.已知函数f （x ）=的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．012≤<-a B ．012<<-a C ．31>a D ．31≤a 【答案】A【解析】函数()f x =的定义域为R ，只需分母不为0即可，所以0a =或()2430a a a ≠∆=-⨯-<⎧⎨⎩，可得120a -<≤，故选A ． 6.已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．log (1)(01)xa y a a a =->≠且31323-+-ax ax x ()f x []1,0-()()()g x f x a f x a =+--a 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题意可得1010x a x a -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得11a x aa x a --≤≤-⎧⎨-≤≤⎩．因为()g x 有定义，所以当0a <时，由1a a --≤，得102a -≤<；当0a >时，由1a a -≤-，得102a <≤； 当0a =时，10x -≤≤，恒成立． 综上，实数a 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：D ．7.已知函数()f x =()11f x x -+的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞--D ．()(),11,1-∞--【答案】D【解析】令24x x >，即21x <，解得0x <.若()11f x x -+有意义，则10,10x x -<⎧⎨+≠⎩，即()(),11,1x ∈-∞-⋃-.故选：D.8.已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______． 【答案】(]1,2【解析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+，1y x x =-在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤，()f x ∴的定义域为(]1,2.9.用长为的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）．若矩形底边长为，求此框架围成的面积与关于的函数解析式，并求出它的定义域．22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭[)1,+∞()y f x =L 2x y x【答案】242y x Lx π+=-+，函数的定义域为 【解析】如图，设，则= ，于是22L x xAD π--=，因此22222L x x x y x ππ--=⨯+，即242y x Lx π+=-+，再由题得20202x L x x π>⎧⎪⎨-->⎪⎩，解之得02L x π<<+，所以函数解析式是242y x Lx π+=-+，函数的定义域是 ． 1．设函数的定义域A ，函数的定义域为B ，则A B ⋂=（A ）（1，2） （B ） （C ）（-2，1） （D ）[-2，1)【答案】D2．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【答案】D【解析】 y ＝10lg x ＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D 满足题意． 3． 函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A ．)21,0(B ．),2(+∞C ．),2()21,0(+∞D ．),2[]21,0(+∞【答案】C(0,)2L π+2AB x =CD x π(0,)2Lπ+【解析】由已知得22(log )10,x ->即2log 1x >或2log -1x <，解得2x >或102x <<，故选C ． 4．函数的定义域是（ ）(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】由解得或，故选D ．5．函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】．【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解之得，即函数的定义域为，故应选．6.函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________． 【答案】(0,)+∞【解析】要使得函数1()ln 1f x x x =++有意义，则100x x +≠⎧⎨>⎩，即0x >，∴定义域为(0,)+∞． 【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养．7．已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += ．【答案】32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数，所以1110a b b -⎧+=-⎨+=⎩，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数，所以1011a b b -⎧+=⎨+=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以32a b +=-．8．函数y =的定义域是 ▲ ．22(x)log (x 2x 3)f [3,1](3,1)(,3][1,)-∞-+∞(,3)(1,)-∞-+∞0)1)(3(0322>-+⇒>-+x x x x 3-<x 1>x 256()lg 3x x f x x -+-(2,3)(2,4](2,3)(3,4](1,3)(3,6]-C ()y f x =()f x 2564||0,03x x x x -+-≥>-22,2,3x x x -≤≤>≠()f x (2,3)(3,4]C【答案】[1,7]-【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域．由已知得2760x x +-≥，即2670x x --≤，解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-． 9．函数的定义域为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】要使函数有意义，只需21020x x x -≠⎧⎨->⎩，解得102x x ≠⎧⎨<<⎩，即函数定义域为{|01x x <<或12}x <<.故选D.10．设函数y =A ，函数12x y -=的值域为B ，则A B =( )A ．()0,1B ．(]0,1 C ．()1,1- D ．[]1,1-【答案】A【解析】函数定义域满足：210x ->，即11x -<<，所以{}11A x x =-<<， 函数12x y -=的值域{}0B y y =>，所以()0,1AB =，故选：A. 11．函数） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】欲使函数有意义，则0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩，即012x x x >⎧⎪≠⎨⎪≤⎩，解得()(]0,11,2x ∈⋃，故选：C .12．设函数y =A ，函数ln(3)y x =-的定义域为B ，则A B =（ ）A ．(,3)-∞B ．(8,3)--C ．{3}D ．[3,3)-【答案】D()()221log 21f x x x x =+--()1,2()(),02,-∞+∞()(),11,2-∞()()0,11,21()lg f x x=+(0,2](0,2)(0,1)(1,2]⋃(,2]-∞【解析】由题意，对于函数y =290x -≥，解得33x -≤≤，即[]3,3A =-； 对于函数ln(3)y x =-，30x ->，解得3x <，即(),3B =-∞， 所以AB =[3,3)-.故选：D.13．已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题设有402y x =-，由4020402x x x x ->⎧⎨+>-⎩得1020x <<，故选A.14．函数2()lg 2x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭的定义域为( )A ．[1,2]B ．[2,)+∞C ．[1,2)D ．(1,2]【答案】C【解析】解：根据函数()f x 解析式，有(2)(2)00ln 0x x x x +->⎧⎪>⎨⎪⎩，解得[1,2)x ∈，所以函数()f x 的定义域为[1,2)x ∈，故选：C.15．若函数()f x =R ，则实数m 取值范围是（ ）A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞ 【答案】A【解析】∵函数f （x ）的定义域为R ，∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ， ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩＞，解得0＜m <8． 综上得，实数m 的取值范围是[0,8)，故选A ．16．函数的定义域是__________． 【答案】[)1,4- 【解析】()()lg 4f x x =-，40cm ()y cm ()x cm ()10,20()0,10()5,10[)5,10()()lg 4f x x -1040x x +≥⎧∴⎨->⎩，解得14x -≤<，故函数的定义域为[)1,4-. 故答案为：[)1,4-.17．函数的定义域为______．【答案】(1,0)(0,2]-⋃；【解析】由题意，函数()f x =有意义，则满足2401011x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得12x -<≤且0x ≠，所以函数()f x 的定义域为(1,0)(0,2]-⋃.18．函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 【答案】553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，所以33,66x k x k k Z ππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩，解得536x π-≤<-或66x ππ-<<或536x π<≤. 故答案为：553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦19．函数_____. 【答案】(0,1]【解析】依题意知，函数有意义，则需1020x x -≥⎧⎨>⎩，解得01x <≤，故定义域为(0,1]．20．（2021·贵州省思南中学高三一模（理））函数的定义域为________. 【答案】(4,1]-【解析】由题意，要使函数()ln(4)f x x +有意义，则满足44040x x ⎧-≥⎨+>⎩，()f x ()ln(2)f x x =+()ln(4)f x x +解得41x -<≤，即函数()f x 的定义域为(4,1]-.21．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出y =“同域函数”的解析式为____________.【答案】23xy =-，[]1,2x ∈（答案不唯一）【解析】由1020x x -≥⎧⎨-≥⎩得：12x ≤≤ y ∴=[]1,2又y =∴值域为[]1,1-y ∴=的一个“同域函数”为23x y =-，[]1,2x ∈故答案为：23xy =-，[]1,2x ∈（答案不唯一）22．已知函数(21)f x -的定义域为(1,2)-，则函数(23)f x -的定义域为________. 【答案】15,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】因为(21)f x -的定义域为(1,2)-，即12x -<<。
函数经典题型50道
函数经典题型50道一、函数定义域题型（10道）1. 求函数y = (1)/(√(x - 1))的定义域。
- 解析：要使函数有意义，则分母不为零且根号下的数大于零。
对于√(x - 1)，x-1>0，解得x > 1。
所以函数的定义域为(1,+∞)。
2. 求函数y=√(2x + 3)的定义域。
- 解析：根号下的数必须大于等于零，即2x+3≥0，2x≥ - 3，解得x≥-(3)/(2)。
定义域为[-(3)/(2),+∞)。
3. 函数y=(√(x + 2))/(x - 1)的定义域是多少？- 解析：分子中根号下x + 2≥0，解得x≥ - 2；分母x-1≠0，即x≠1。
所以定义域为[ - 2,1)∪(1,+∞)。
4. 求函数y=log_2(x^2-4)的定义域。
- 解析：对数函数中真数大于零，即x^2-4>0，(x + 2)(x-2)>0。
解得x < - 2或x>2。
定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞)。
5. 求函数y = (1)/(ln(x - 2))的定义域。
- 解析：分母ln(x - 2)≠0且x-2>0。
由ln(x - 2)≠0得x-2≠1，即x≠3；由x - 2>0得x>2。
所以定义域为(2,3)∪(3,+∞)。
6. 函数y=√(log_frac{1){2}(3x - 2)}的定义域。
- 解析：首先3x - 2>0，解得x>(2)/(3)。
又因为log_(1)/(2)(3x -2)≥0=log_(1)/(2)1，由于对数函数y = log_(1)/(2)x是减函数，所以3x-2≤1，3x≤3，x≤1。
综合得(2)/(3)，定义域为((2)/(3),1]。
7. 求函数y=(1)/(1 - tan x)的定义域。
- 解析：分母1-tan x≠0，即tan x≠1，且x≠ kπ+(π)/(2),k∈ Z。
由tan x≠1得x≠ kπ+(π)/(4),k∈ Z。
函数定义域习题及答案解析
函数定义域 习题1、函数()f x =_______________.2、函数()f x =的定义域_______________./ 3、函数2()ln(3)f x x x=++的定义域_______________. 4、函数1()3f x x =+−_______________. 5、函数(10)()sin (03)1(3)x x f x xx x x −−≤<⎧⎪=≤<⎨⎪+≥⎩的定义域_______________. 6、函数()2f x x =+−_______________. 7、函数()ln(1)f x x =+的定义域_______________. 8、函数2()log 1f x x =−的定义域_______________. 9、函数()f x =的定义域_______________. 10、函数()lgarccos 25x x f x x =−+的定义域_______________. 11、函数()arccos(2)f x x =−的定义域_______________.12、函数()f x =的定义域_______________. 13、函数21()arcsin(1)ln(2)3f x x x =−−−的定义域_______________.14、函数2()ln(1)f x x =+−的定义域_______________. 15、函数1()arcsin 3x f x −=−的定义域_______________.16、函数2()ln(3)f x x x=++的定义域_______________.17、函数3()arccos 3x f x −=+的定义域_______________.18、函数()sin 2x f x acr =_______________.19、函数lg(1)y x =+的定义域为 .20、函数sin(21)y x =+的定义域为 .21、 函数223,42()1,23x x f x x x +−≤≤⎧=⎨−<≤⎩的定义域为 . 22、 函数1arcsin(1)3x y x −=+−的定义域为 .23、函数2log x y −=的定义域为 . 24、函数1y x x=−的定义域为 . 25、函数1()21f x x =+−的定义域为 . 26、设函数()cos f x arc x =，()ln g x x =，则[()]f g x 的定义域为 .函数定义域 答案及解析1、 答案：()()1,00,1− 解析：由题意知，2001110x x x x ⎧>≠⎧⎪⇒⎨⎨−<<−>⎩⎪⎩，函数的定义域为()()1,00,1− 2、 答案：[)(]3,11,3−解析：由题意知，21013390x x x x −≠≠⎧⎧⇒⎨⎨−≤≤−≥⎩⎩，函数的定义域为[)(]3,11,3− 3、 答案：()3,0(0,)−+∞解析：由题意知，00303x x x x ≠≠⎧⎧⇒⎨⎨+>>−⎩⎩，函数的定义域为()3,0(0,)−+∞4、 答案：[)1,3(3,)+∞解析：由题意知，2303log 01x x x x −≠≠⎧⎧⇒⎨⎨≥≥⎩⎩，函数的定义域为[)1,3(3,)+∞ 5、 答案：[)1−+∞， 解析：由题意知，()f x 的定义域取各分段函数自变量取值范围的并集，函数的定义域为[)1−+∞， 6、 答案：[)(]1,22,5解析：由题意知，202505lg 01x x x x x x −≠≠⎧⎧⎪⎪−≥⇒≤⎨⎨⎪⎪≥≥⎩⎩，函数的定义域为[)(]1,22,5 7、 答案：(1,3)−解析：由题意知，101303x x x x +>>−⎧⎧⇒⎨⎨−><⎩⎩，函数的定义域为(1,3)−8、 答案：()(]0,22,3解析：由题意知，226002023log 10x x x x x x ⎧−+−≥<<⎧⎪>⇒⎨⎨<≤⎩⎪−≠⎩，函数的定义域为()(]0,22,3 9、 答案：(](),1212,−∞−+∞解析：由题意知，21212144012120x x x x −≤≤⎧−≥⎧⇒⎨⎨≠−≠⎩⎩，函数的定义域为(](),1212,−∞−+∞10、答案：[)(]5,20,5−− 解析：由题意知，002220255115x x x x x x x x ⎧>⎪><−⎧+⎪⎪+≠⇒≠−⎨⎨⎪⎪−≤≤⎩⎪−≤≤⎩或，函数的定义域为[)(]5,20,5−− 11、答案：[]1,3解析：由题意知，12113x x −≤−≤⇒≤≤，函数的定义域为[]1,312、答案：[)1,3(3,)+∞解析：由题意知，2202303log 01x x x x x x +≥≥−⎧⎧⎪⎪−≠⇒≠⎨⎨⎪⎪≥≥⎩⎩，函数的定义域为[)1,3(3,)+∞13、答案：0⎡⎣解析：由题意知，2106111320x x x x ⎧≤≤⎧−≤−≤⎪⎪⇒⎨⎨<<⎪⎩⎪−>⎩0⎡⎣ 14、答案：[)(]2,11,2−−解析：由题意知，2222401110x x x x x ⎧−≤≤−≥⎧⎪⇒⎨⎨><−−>⎪⎩⎩或，函数的定义域为[)(]2,11,2−−解析：由题意知，211124344160x x x x −⎧−≤≤−≤≤⎧⎪⇒⎨⎨−<<⎩⎪−>⎩，函数的定义域为[)2,4− 16、答案：(3,0)(0,)−+∞解析：由题意知，00303x x x x ≠≠⎧⎧⇒⎨⎨+>>−⎩⎩，函数的定义域为(3,0)(0,)−+∞ 17、答案：[]0,6 解析：由题意知，230611311202log (12)00x x x x x x −⎧≤≤−≤≤⎧⎪⎪⎪⎪+>⇒>−⎨⎨⎪⎪+≥≥⎪⎪⎩⎩，函数的定义域为[]0,6 18、答案：[]2,2− 解析：由题意知，11222ln(3)02303x x x x x x ⎧−≤≤⎪−≤≤⎧⎪⎪+≥⇒≥−⎨⎨⎪⎪+>>−⎩⎪⎩，函数的定义域为[]2,2−19、答案：()(]1,00,3−解析：要使函数有意义，应满足2903310,1110x x x x x x ⎧−≥−≤≤⎧⎪⎪+>⇒>−⎨⎨⎪⎪+≠≠⎩⎩，解得13x −<≤且0x ≠，所以函数的定义域为()(]1,00,3− 20、答案：(][),23,−∞−+∞解析：要使函数有意义，应满足260x x −−≥，解得2x ≤−或3x ≥，两者取交集得函数的定义域为(][),23,−∞−+∞解析：分段函数的定义域取各段自变量取值范围的并集，故函数定义域[](]4,22,34,3−=−⎢⎥⎣⎦，所以函数的定义域为[]4,3−22、答案：[)(]3,11,3− 解析：要使函数有意义，应满足3311,3110x x x x ⎧−≤≤−≤≤⎧⎪⇒⎨⎨≠⎩⎪−≠⎩，两者取交集得函数的定义域为[)(]3,11,3−23、答案：()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭解析：要使函数有意义，应满足12102211,132023x x x x x x ⎧>⎪−>⎧⎪⎪−≠⇒≠⎨⎨⎪⎪−>⎩⎪>⎩，解得23x >且1x ≠，所以函数的定义域为()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭24、答案：(),0−∞解析：要使函数有意义，应满足0x x −≠，解得x x ≠，则0x <，所以函数的定义域为(),0−∞25、答案：(),3(3,1)(1,)−∞−−−−+∞ 解析：要使函数有意义，应满足210x +−≠，解得3x ≠−且1x ≠−，所以函数的定义域为(),3(3,1)(1,)−∞−−−−+∞26、答案：1,e e −⎡⎤⎣⎦ 解析：由题意知，()arccos f x x =的定义域为11x −≤≤，则[()]f g x 的定义域为1ln 1x −≤≤，解得1e x e −≤≤，所以函数的定义域为1,e e −⎡⎤⎣⎦。
高中数学-函数定义域练习题
高中数学-函数定义域练习题1.函数f(x)=3x^2+lg(3x+1)的定义域是( -1/3.+∞ )。
2.已知f(x)=1/(x+1)，则函数f(f(x))的定义域是{x|x≠-1且x≠-2}。
3.函数y=kx^2-6x+k+8的定义域为R，则k的取值范围是k≤-9或k≥1.4.函数f(x)=3x-x^2的定义域为(0,3)。
5.若函数f(x)的定义域为[a,b]，且b>-a，则函数g(x)=f(x)-f(-x)的定义域是[-b,b]。
6.已知函数f(x)的定义域为[0,4]，求函数y=f(x+3)+f(x^2)的定义域为[-1,2]。
7.若函数f(x)的定义域为[-2,2]，则函数f(x)的值域是[0,4]。
8.已知函数f(x)=lg(1+x)/(1-x)的定义域为A，函数g(x)=lg(1+x)-___(1-x)的定义域为B，则不正确的关系是A⊊B。
9.函数y=(1-x^2-3x+4)/x的定义域为(-4,0)∪(0,1]。
10.若函数f(x)=(a^2-2a-3)x^2+(a-3)x+1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是a3.11.已知函数y=2/(2-x)的定义域是R，则实数a的范围是a≠1.12.求下列函数的定义域：(1) f(x)=(x-5)/(x-1)+2；(2)y=3x/(x-1)。
13.(1) 已知函数f(log2x)的定义域是[2,4]，则函数f(x^2-3)的定义域是[√3,√7]；(2) 已知函数f(2x-3)的定义域是(-1,4)，则函数f(1-3x)的定义域是(-1/3,1].14.求下列函数的定义域：(1) f(x)=(3x-x^2)/(x-1)-1；(2)y=x/(3x-x^2)。
1.首先，我们需要确定函数f(x) = (2-x)²/(x-1)的定义域。
2.如果我们要求函数F(x) = (x+x)/(2-x)²的定义域，该怎么做呢。
高一数学求函数定义域专项训练(含解析)
求函数定义域专项训练（含解析）一、求定义域（共23题；共51分）1.（2020高一上·江西月考）函数的定义域为（）A. B. C. D.2.（2020高二上·北京月考）函数的定义域是（）A. B. C. D.3.（2020高一上·台州期末）函数的定义域是（）A. B. C. D.4.（2020高一上·安庆期中）函数的定义域是（）A. B. C. D.5.（2020高一上·江苏月考）函数的定义域是（）A. [-1,+∞)B. [1,+∞)C. [-1,1]D. (1,+∞)6.（2020高一上·徐州期中）函数的定义域是（）A. B. C. D.7.（2020高一上·吉安月考）函数y= 的定义域为（）A. (-∞，1]B. (-∞，0)∪(0，1)C. (-∞，0)∪(0，1]D. [1，+∞)8.（2020高一上·晋州月考）函数的定义域是（）A. B. C. D.9.（2020高一上·曲靖月考）函数的定义域是（）A. [ ，1]B. [ ，＋∞]C. （，0）∪（0，1]D. （，0）∪（0，1）10.（2020高一上·吕梁期中）函数y＝＋的定义域为（）A. B. C. D.11.（2020高一上·黄石月考）函数的定义域为（）A. B. C. D.12.（2020高一上·黄陵期中）函数的定义域为（）A. B. C. D. 且13.（2020高一上·宿州期中）函数的定义域是（）A. B. C. D.14.（2020高一上·重庆月考）函数f(x)= 的定义域是（）A. B. C. D.15.（2020高一上·苏州期中）函数的定义域是（）A. B. C. D.16.（2020高一上·麻城期中）函数的定义域为（）A. 或B.C.D.17.（2020高一上·遵义期中）函数的定义域为（）A. B.C. 且D. 且18.（2020高一上·成都月考）函数的定义域为（）A. B. C. D.19.（2020高一上·胶州期中）若函数的定义域为集合，则（）A. B. C. D.20.（2020高一上·南通月考）函数的定义域为________.21.（2020高三上·北京期中）函数的定义域是________.22.（2020高一上·上海月考）函数的定义域为________.23.（2020高一上·江西月考）求下列函数的定义域（1）（2）答案解析部分一、求定义域1.【答案】D【解析】【解答】对于函数，由，解得，因此，函数的定义域为，故答案为：D.【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法，从而求出函数的定义域。
函数定义域值域经典习题及答案练习题
函数定义域值域经典习题及答案练习题1.求函数的定义域1) 求下列函数的定义域：a) $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3-3}$b) $y=1-\frac{1}{x-1}$c) $y=\frac{1}{1+(x-1)}+\frac{(2x-1)+4-x^2}{2}$2) 设函数$f(x)$的定义域为$[0.1]$，则函数$f(x^2)$的定义域为$[0.1]$；函数$f(x-2)$的定义域为$[-2.1]$；函数$f(x+1)$的定义域为$[-2.3]$，则函数$f(2x-1)$的定义域为$[0.5]$；函数$f(-2)$的定义域为$[0.1]$。
3) 已知函数$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$，则函数$f\left(\frac{1}{x}\right)$的定义域为$x\neq0$。
2.求函数的值域5) 求下列函数的值域：a) $y=x^2+2x-3$，$x\in\mathbb{R}$b) $y=x^2+2x-3$，$x\in[1.2]$c) $y=\frac{3x-1}{x+1}$d) $y=\begin{cases}0.& x<5\\ \frac{1}{x+1}。
& x\geq 5\end{cases}$e) $y=\frac{5x^2+9x+4}{x^2-1}$f) $y=x-3+x+1$g) $y=x^2-x$h) $y=-x^2+4x+5$i) $y=4-\frac{x^2+4x+5}{x^2-1}$6) 已知函数$f(x)=\frac{2x^2+ax+b}{x^2+1}$的值域为$[1.3]$，求$a$和$b$的值。
3.求函数的解析式1) 已知函数$f(x-1)=x^2-4x$，求函数$f(x)$和$f(2x+1)$的解析式。
2) 已知$f(x)$是二次函数，且$f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x$，求$f(x)$的解析式。
高数300题(一)
解：构造函数 f (x) = x3 + x -1 ， f (0) = -1 < 0 ， f (1) = 1 > 0 ，根据零点定理知，在(0,1)
内至少有一个实根；又 f ¢(x) = 3x2 +1 > 0 ，即函数 f (x) 是单调的。由此可知，已知方程
在 (0,1) 内只有一个实根。选 B.
39、下列方程在区间 (0,1) 内至少有一个实根的为
8、设 y = f (sin x) = cos2 x + 2 ，求 f ( x) ．
解：因为 f (sin x) = 1 - sin 2 x + 2 = 3 - sin 2 x ，所以 f (x) = 3 - x 2 ．
9、设函数
f
(x)
=
1-
2x
，
g
[
f
(x)]
=
1x
x
，则
g
æ çè
1 2
ö ÷ø
k
=
ïîarcsin x + k, x ³ 1
（）
A、 - 2 p
B、 2 p
C、 p 2
D、 - p 2
解：因为函数处处连续，所以在 x = 1 处也连续，又 lim sin p (x -1) = p ， x®1- x - 1
lim (arcsin x + k ) = p + k ，从而可知 k = p .选 C.
图像关于 y 轴对称； f (x) - f (- x) 奇函数，图像关于原点对称；另两个无法确定.应选 C. 16、若 f (x) (x Î R) 为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是
A． f (2x)
B． f (-x + 2)
求函数定义域的例题
求函数定义域的例题
例题1：求函数y = (1)/(x - 1)的定义域。
嘿呀，要找这个函数的定义域呢，就是要看看x能取哪些值。
你看啊，这个函数是个分式，分式有个小忌讳，分母不能为0哦。
要是分母x - 1 = 0，那这个式子可就没意义啦，就像你不能把一个东西分成0份一样奇怪。
那啥时候分母为0呢？就是当x = 1的时候。
所以啊，x除了1以外啥数都能取，那这个函数的定义域就是x ≠ 1，用区间表示就是(-∞,1)∪(1,+∞)。
例题2：求函数y = √(x + 2)的定义域。
这函数里有个根号呢。
咱知道啊，根号下面的数得是个非负数，要是负数的话，这在实数范围内可就没意义啦，就像你不能说有个东西的长度是-2厘米一样。
所以呢，x+2≥slant0，那x就必须大于等于- 2。
这个函数的定义域就是x≥slant - 2，用区间表示就是[-2,+∞)。
例题3：求函数y=log_2(x - 3)的定义域。
这个对数函数呀，对数函数的真数得是大于0的。
为啥呢？你想啊，要是真数是0或者负数，那这个对数可就不知道该咋算了，就像你不能说2的几次方等于0或者负数（在实数范围内哦）。
所以对于y=log_2(x - 3)，就得让x - 3>0，那x就得大于3啦。
这个函数的定义域就是(3,+∞)。
高考数学之函数专项重点突破-专题01 函数的定义域(解析版)
专题01函数的定义域专项突破一具体函数的定义域1．函数()3f x x =-的定义域为（）．A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．()1,3D ．[)()1,33,⋃+∞【解析】要是函数有意义，必须1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解之得1,3x x ≥≠则函数()f x 的定义域为[)()1,33,⋃+∞，故选：D 2．函数()()2log 21f x x =-的定义域为（）A ．112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C ．112x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D ．112x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【解析】由题意可得21010x x ->⎧⎨-≥⎩，所以121x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩，即112x <≤，故函数的定义域为112x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.故选：C3．函数()f x =）A ．[2,0)(0,2]-B ．[0,2]C ．[2,2]-D ．(0,2]【解析】使得函数()f x 则0x >且240x - ，解得2(]0,x ∈，故选：D4．函数()2021y x =+-的定义域为（）A ．1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．11,,322⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,,322⎛⎫⎛⎤-∞⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦【解析】要使函数()2021y x =+-有意义，则有30210x x ->⎧⎨-≠⎩，解得3x <且12x ≠，所以其定义域为11,,322⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C.5．已知函数()()ln 3f x x =+()f x 的定义域为（）A ．()3,+∞B ．[)3,3-C ．(),3-∞-D ．(],3-∞【解析】由题意得3030x x +>⎧⎨->⎩，解集为()3,+∞，故选：A6．函数()f x）A ．1|2x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭B ．{1|2x x >-或1x ≠}C ．1|12x x x ⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭,D ．1|12x x x ⎧⎫>-≠⎨⎬⎩⎭,【解析】由题设可得2210210x x x +≥⎧⎨--≠⎩，解得12x >-且1x ≠，故定义域为：1|12x x x ⎧⎫>-≠⎨⎬⎩⎭,，故选：D.7．函数()14f x x -的定义域是（）A ．{}2,4x x x ≥±≠且B ．{}2,4x x x ≤±≠且C ．(][)(),22,44,-∞-+∞ D ．[]2,2-【解析】由题设，24040x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得2x -≤或2x ≥且4x ≠，所以函数定义域为x ∈(,2][2,4)(4,)-∞-⋃⋃+∞.故选：C 8．函数()()1ln 1f x x =-）A ．(]1,3B ．()]1,22,3⋃C ．()()1,33,⋃+∞D ．(),3-∞【解析】由题意知101130x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪-≥⎩，∴12x <<或23x <≤，所以函数的定义域为()(]1,22,3⋃.故选：B9．函数0()lg(1)(1)=+++-f x x x 的定义域为（）A ．[1,3]-B ．(1,3]-C ．[]1,13(]1,⋃-D ．(),13]1(1,-⋃【解析】函数0()lg(1)(1)=++-f x x x 有意义，则301010x x x -≥⎧⎪+>⎨⎪-≠⎩，解得11x -<<或13x <≤，所以函数()f x 的定义域是(),13]1(1,-⋃.故选：D 10．函数y＋lg(5－3x )的定义域是（）A ．50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．51,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题设，0lg 0530x x x >⎧⎪≥⎨⎪->⎩，可得513x ≤<.所以函数定义域为51,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B11．函数()f x =）A ．[8,2)-B ．(8,2)-C ．(,2)-∞D ．[3,2)-【解析】由()201lg 20x x ->⎧⎨--≥⎩，即2210x x <⎧⎨-≤⎩，解得82x -≤<，所以函数()f x [8,2)-，故选：A.12．函数y =）A ．,,4k k k Zπππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦B ．,,4k k k Zπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．,,24k k k Zππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦D ．[,),42k k k Zππππ++∈【解析】1tan 0,tan 1,,,24x x x k k k ππππ⎛⎤-∴∈-+∈ ⎥⎝⎦Z．故选：C.13．函数()()ln e 2xf x -=-）A ．()1,2B ．()ln 2,2C ．()()ln 2,11,2⋃D ．[)(]ln 2,11,2⋃【解析】因为()()ln e 2x f x =-e 201020x x x ⎧->⎪-≠⎨⎪->⎩，解得ln 22x <<且1x ≠，所以函数的定义域为()()ln 2,11,2⋃；故选：C14．函数()xf x =的定义域是（）A ．1[0,2B ．1(,)2-∞C ．1(,]2-∞D ．(,1)-∞【解析】由题意得：310log (12)0120x x x ->⎧⎪--≥⎨⎪->⎩，解得：102x ≤<，所以函数()f x 的定义域是1[0,2，故选：A15．函数f (x )2的定义域为（）A ．[12，34)B ．(12，34)∪(34，＋∞)C ．(－2，12)D ．[－2，＋∞)【解析】()2124()021133210,,22441log 21034x x x x x x x ∞⎧⎧⎪⎪--⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫->⇒>⇒∈⋃+⎨⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪+-≠⎪⎪≠⎪⎪⎩⎩.故选：B.16．函数()()lg 6x f x =-的定义域为______.【解析】由已知可得1060x x -≥⎧⎨->⎩，解得16x ≤<，故函数()f x 的定义域为[)1,6.17．函数y =的定义域为___________.【解析】依题意，1sin 02x ->，即1sin 2x >，解得522,Z 66k x k k ππππ+<<+∈，所以所求定义域为5(2,2)(Z)66k k k ππππ++∈.18．函数1()1f x x =-的定义域为______．【解析】根据题意，由2101x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得0x ≥且1x ≠，因此定义域为[)()0,11,+∞ .19．函数1ln3y x =-的定义域为_________.【解析】由题设，23030x x -≥⎧⎨->⎩，可得3x >，所以函数定义域为(3,)+∞.20．函数()2f x x =-的定义域是______．【解析】要使函数()2f x x =-有意义，只需21020x x ⎧-≥⎪⎨-≠⎪⎩，解得[)()0,22,x ∈+∞ .21．函数()f x =的定义域为______．【解析】由函数的解析式可知：21602024ln(2)0x x x x ⎧-≥⎪->⇒<≤⎨⎪-≠⎩且3x ≠，所以函数的定义域为：()(]2,33,4 ，22．函数1lg sin y x =+______．【解析】由题意，要使函数有意义，则sin 0lg sin 01cos 02x x x >⎧⎪⎪≠⎨⎪-≥⎪⎩，即sin 0sin 11cos 2x x x >⎧⎪⎪≠⎨⎪≥⎪⎩，解得()()()22,2,222,33k x k k Z x k k Z k x k k Z πππππππππ⎧<<+∈⎪⎪≠+∈⎨⎪⎪-+≤≤+∈⎩，所以()223k x k k Z πππ<≤+∈所以函数的定义域为|22,3x k x k k Z πππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭.23．函数2log (1)y x =+的定义域是_________【解析】由题意得：301010x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪+>⎩，解得：()(]1,11,3x ∈- 24．函数()()log 6=-+f x x x 定义域为____.【解析】由题意得0160120x x x sinx >≠⎧⎪->⎨⎪-≥⎩且，即01612x x x sinx ⎧⎪>≠⎪<⎨⎪⎪≤⎩且，解得06x π<≤或566x π≤<，从而函数的定义域为0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦∪5,66π⎡⎫⎪⎢⎣⎭.25．函数()lgcos f x x =的定义域为______．【解析】由题意得2cos 0250x x >⎧⎨-≥⎩，解得22,2255k x k k Zx ππππ⎧-+<<+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩，令k =-1，解得35,2x π⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，令k =0，解得,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令k =1，解得3,52x π⎛⎤∈⎥⎝⎦，综上，定义域为335,,,52222ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦ .26．求下列函数的定义域：(1)()2f x x =-；(2)()f x =(3)()f x =【解析】(1)()2f x x =-有意义，满足10x +≥且20x -≠，解得()f x 定义域为{|1x x ≥-且x ≠2}；(2)()f x 有意义，满足11()03x -≥，即011(1()33x =≤，∵1()3xy =为减函数，故()f x 定义域为{}|0x x ≥；(3)()f x ()2log 1010x x ⎧->⎨->⎩，解得21x x >⎧⎨>⎩，故()f x 定义域为{}|2x x >.27．求下列函数的定义域：(1)2132x y x x -=-+；(2)y =(3)11y x =-【解析】(1)21132(1)(2)x x y x x x x --==-+--，要使函数有意义，即分式有意义，则x -1≠0且x-2≠0，即1x ≠且2x ≠，故函数的定义域为{x ∈R |x ≠1且x ≠2}．(2)要使函数有意义，则221010x x ⎧-≥⎨-≥⎩，所以x 2＝1，故函数的定义域为{x |x ＝±1}＝{1，－1}．(3)要使函数有意义，则21010x x ⎧-≥⎪⎨-≠⎪⎩，得1x <-或1x >.故函数的定义域为{x |1x <-或1x >}．28．求下列函数的定义域：(1)y ＝2＋32x -；(2)y(3)y ＝(x －1)0y =【解析】(1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数y ＝2＋32x -有意义，所以这个函数的定义域为()(),22,-∞+∞ .(2)函数有意义，当且仅当3010x x -≥⎧⎨-≥⎩解得13x ≤≤，所以这个函数的定义域为[]1,3.(3)函数有意义，当且仅当1020110x x x -≠⎧⎪⎪≥⎨+⎪+≠⎪⎩解得x >－1，且x ≠1，所以这个函数的定义域为()()1,11,-+∞ .(4)函数的定义域由不等式组220,10,10x x x ⎧--≥⎪+≥⎨≠确定解不等式组，得21,1,0x x x -≤≤⎧⎪≥-⎨⎪≠⎩即[1,0)(0,1]x ∈-⋃.所以函数y =[1,0)(0,1]-⋃.29．求下列函数的定义域：(1)()f x (2)()lg cos f x x =【解析】(1)要使函数()f x 有定义，需满足()222cos sin 121sin sin 10x x x x +-=-+-≥，即22sin sin 10x x --≤，可得1sin 12x -≤≤，解得()72266k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数()f x =722,66x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.(2)由已知可得2cos 0250x x >⎧⎨-≥⎩，可得()222255k x k k Z x ππππ⎧-<<+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩，的335,,,52222x ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤∈---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦.故函数()lg cos f x x =的定义域为335,,,52222ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦.专项突破二抽象函数的定义域1．函数()y f x =的定义域是[]2,5，则函数()21y f x =+的定义域为（）A ．[]2,5B ．[]2,1--C ．[][]2,11,2-- D ．[]22-,【解析】()f x 的定义域是[]2,5，得2215x ≤+≤，故21x -≤≤-或12x ≤≤，所以函数()21y f x =+的定义域为[][]2,11,2-- .故选：C.2．若函数()f x =()1f x -的定义域为（）A ．()1,1-B ．[]2,0-C ．[]1,1-D ．[]0,2【解析】要使原函数有意义，则1010x x -≥⎧⎨+≥⎩，解得11x -≤≤．由111x -≤-≤，得02x ≤≤．∴函数(1)f x -的定义域为[0,2]．故选：D ．3．已知函数()f x 定义域为()0,+∞，则函数()()2F x f x =++）A ．(]2,3-B ．[]2,3-C ．(]03,D ．()0,3【解析】由题设，20820xx +>⎧⎨-≥⎩，解得23x -<≤，∴()F x 的定义域为(]2,3-.故选：A.4．已知f (x )的定义域是[0,)+∞，则函数0((2)1)x f x -+-的定义域是（）A ．[0,2)(2,)+∞B ．[)(1,22),⋃+∞C ．[)1,2),(2-⋃+∞D ．[1,)+∞【解析】因f (x )的定义域是[0,)+∞，则在0((2)1)x f x -+-中有：2010x x -≠⎧⎨-≥⎩，解得1≥x 且2x ≠，所以函数0((2)1)x f x -+-的定义域是[)(1,22),⋃+∞.答案：B 5．已知函数()y f x =的定义域为[8,1]-，则函数(21)()2f xg x x +=+的定义域是（）A ．(,2)(2,3]-∞-⋃-B ．[8,2)(2,1]--⋃-C ．9[,2]2--D ．](9[,2)2,02--⋃-【解析】由题意得：8211x -+，解得902x - ，由20x +≠解得2x ≠-，故函数的定义域是9,2)(2,02⎡⎤--⋃-⎢⎥⎣⎦.故选：D6．已知函数()ln f x x =()2f x 的定义域为（）A ．()01，B ．()12，C ．(]04，D ．(]02，【解析】要使函数()ln f x x =+01620xx >⎧⎨-≥⎩，解得04x <≤，()f x 的定义域为(]0,4，由024x <≤，解得02x <≤，()2f x 的定义域为(]0,2，故选D.7．已知函数(+1)f x 的定义域为[1,2]，则(23)f x -+的定义域为（）A ．[1,2]B ．1[0,]2C ．[1,1]-D ．1[,1]2【解析】因为函数(+1)f x 的定义域为[1,2]，所以12x ≤≤，则2+13x ≤≤，所以22+33x ≤-≤，解得102x ≤≤，所以(23)f x -+的定义域为1[0,]2，故选：B8．已知()21f x -的定义域为⎡⎣，则()f x 的定义域为（）A ．[]22-,B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．⎡⎣【解析】因为2(1)f x -的定义域为[，所以x ≤≤2112x -≤-≤，所以()f x 的定义域为[1,2]-．故选：C9．已知函数(1)f x +的定义域为[1,5]，则(2)f x 的定义域为（）A ．[1,3]B ．[1,4]C ．[2,5]D ．[2,6]【解析】∵函数(1)f x +的定义域为[1,5]，∴15x ≤≤，则216x ≤+≤，即()f x 的定义域为[2,6]，由226x ≤≤，得13x ≤≤，∴(2)f x 的定义域是[1,3]，故选：A 10．已知函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，则y =）A ．[]2,5-B ．(]2,3-C ．[]1,3-D ．(]2,5-【解析】因函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，即()21f x -中[]2,3x ∈-，则21[5,5]x -∈-，因此，y =5520x x -≤≤⎧⎨+>⎩，解得25x -<≤，所以y =(]2,5-.故选：D11．已知函数(2)x y f =的定义域为[]1,1-．则函数2(lo )g y f x =的定义域为（）A ．[－1，1]B ．[12，2]C ．[1，2]D ．4]【解析】因为[]1,1x ∈-，所以1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故21,2log 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得：4x ⎤∈⎦.故选：D 12．已知函数()21xf +的定义域为()3,5，则函数()21f x +的定义域为（）A ．()1,2B ．()9,33C ．()4,16D ．()3,5【解析】当()3,5x ∈时，()219,33x+∈，故92133x <+<，解得416x <<.故选：C.13．已知函数(21)y f x =+的定义域为[]1,2-，则函数(1)=-y f x 的定义域为_________.【解析】函数(21)y f x =+的定义域为[]12-，，即12x -≤≤，所以1215x -≤+≤，所以115x -≤-≤，即06x ≤≤，所以函数的定义域为[]0,6.14．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()lg g x f x =的定义域为______．【解析】()f x 的定义域为[]02，，lg 0，2x ⎡⎤∴∈⎣⎦，1，100x ⎡⎤∴∈⎣⎦，即()(lg )g x f x =的定义域为1，100⎡⎤⎣⎦15．若函数()f x 的定义域为[]22-,，则函数(21)f x -的定义域是___________【解析】因为函数()f x 的定义域为[]22-,，所以22x -≤≤，所以2212x -≤-≤，解得：1322x -≤≤，所以函数(21)f x -的定义域是13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．函数()f x 的定义域为[]0,1，则函数()cos f x 的定义域为______．【解析】∵()f x 的定义域为[]0,1，∴0cos 1x ≤≤，∴ππ2π2π22k x k -+≤≤+，k ∈Z ．故答案为：()2π,2π22ππk k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .17．若函数()f x 定义域为[]22-,，则函数(2)ln(1)y f x x =⋅+的定义域为_______.【解析】由题意可得22210x x -≤≤⎧⎨+>⎩，11x ∴-<≤，即函数(2)ln(1)y f x x =⋅+的定义域为(]1,1-.18．若函数()y f x =的定义域为[],a b ，且0b a >->，则()()()F x f x f x =--的定义域是______．【解析】因为0b a >->，所以0a <，因为函数()y f x =的定义域为[],a b ，则所以a x ba xb ≤≤⎧⎨≤-≤⎩，解得a x a ≤≤-，即函数()()()F x f x f x =--的定义域是[],a a -.19．求下列函数的定义域：(1)已知函数()f x 的定义域为[]22-,，求函数()21y f x =-的定义域.(2)已知函数()24y f x =+的定义域为[]0,1，求函数()f x 的定义域.(3)已知函数()f x 的定义域为[]1,2-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域.【解析】(1)令－2≤2x －1≤2得－1≤2x ≤3，即0≤2x ≤3x∴函数2(1)y f x =-的定义域为[.(2)∵(24)y f x =+的定义域为[0,1]，即在(24)y f x =+中x ∈[0,1]，令24t x ＝＋，x ∈[0,1]，则t ∈[4,6]，即在()f t 中，t ∈[4,6]，∴()f x 的定义域为[4,6].(3)由题得2112112x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩＋，1x ≤≤，∴函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域为[.20．求下列函数定义域（1）已知函数()f x 的定义域为()0,1，求2()f x 的定义域.（2）已知函数()21f x +的定义域为()0,1，求()f x 的定义域（3）已知函数()1f x +的定义域为[]2,3-，求2(22)f x -的定义域.（4）设函数()f x 的定义域为[]3,1-()()()g x f x f x =+-的定义域.（5）若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域【解析】（1）由条件可知201x <<，得10x -<<或01x <<，所以函数()2f x 的定义域是()()1,00,1-U ；（2）函数()21f x +的定义域为()0,1，即01x <<，1213x <+<，所以函数()f x 的定义域是()1,3；（3）函数()1f x +的定义域为[]2,3-，即23x -≤≤，即114x -≤+≤，所以函数()f x 的定义域是[]1,4-，令21224x -≤-≤，即2132x ≤≤，解得：22⎡-⋃⎢⎣⎦⎣，所以函数()222f x -的定义域是22⎡-⋃⎢⎣⎦⎣；（4）由条件可知3131x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得：11x -≤≤，所以函数()()()g x f x f x =+-的定义域是[]1,1-.（5）由条件可知353255x x -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩，解得：40x -≤≤，所以函数()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域是[]4,0-.专项突破三利用定义域求参1．已知函数()f x =的定义域为(,1]-∞，则实数a 的取值集合为（）A ．{1}B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞⋃+∞【解析】由0a x -≥可得x a ≤，即()f x 的定义域为(,]a -∞，所以1a =，则实数a 的取值集合为{}1.故选：A.2．若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则=a （）A ．1B ．－1C ．2D ．无法确定【解析】函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞，即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-.故选：B.3．已知函数()f x =的定义域与值域均为[]0,4，则=a （）A ．4-B ．2-C ．1-D ．1【解析】∵20ax bx c ++≥的解集为[]0,4，∴方程20ax bx c ++=的解为0x =或4，则0c =，4b a =-，0a <，∴()f x =又因函数的值域为[]0,44=，∴4a =-.故选：A.4．已知函数f (x的定义域是一切实数，则m 的取值范围是（）A ．(]0,4B ．[]0,1C ．[)4+∞，D ．[]0,4【解析】由函数f (x )的定义域为一切实数，即210mx mx ++≥在R 上恒成立，当m =0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则240m m m >⎧⎨∆=-≤⎩，解得04m <≤.综上可得04m ≤≤，故选：D .5．若函数2()lg(2)4a f x ax x =-+的定义域为R ，则a 的取值范围是（）A ．(--2)∞，B ．(-2)∞，C ．(2)，+∞D ．(-2)+∞，【解析】∵函数2()lg(24a f x ax x =-+的定义域为R ，所以2204aax x -+>恒成立，当0a =时，20x ->显然不合题意，当0a ≠时，则20(2)404a a a >⎧⎪⎨∆=--⨯⨯<⎪⎩，∴2a >综上所述(2)a ∈+∞，，故选：C.6．若函数y =的定义城为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．[0，1]B ．[0，1）C ．[0，12]D ．[0，12）【解析】要满足题意，只需2420ax ax -+>在R 上恒成立即可.当0a =时，显然满足题意.当0a >时，只需2Δ1680a a =-<，解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.综上所述，10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选：D.7．若函数()22112()ln 2xxa f x a+++=+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(2,1)(1,)--⋃-+∞【解析】因为2122xa a ++≥+，()f x 的定义域为R ，所以首先满足20a +>恒成立，2a >-∴，再者满足()2211ln 2021xxa a +++≠⇒+≠，变形得到[)221121,22,12xxa a ++≠-∈+∞∴-< 1a ∴>-，最终得到1a >-.故选：B.8．已知函数()f x 是定义在[]2,1-上的增函数，且(1)(13)f t f t -<-，则实数t 的取值范围是（）A ．1(,1]2B ．1[0,2C ．1(,2-∞D ．1(,)2+∞【解析】由题意知：12131113t t t t-≥-⎧⎪-≤⎨⎪-<-⎩，解得102t ≤<，故选：B9．若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是（）A ．(0,4]B ．254,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】223253424y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ，当32x =时，254y =-；当0x =或3时，4y =-.因此当332m ≤≤时，函数234y x x =--在区间[]0,m 上的最小值为254-，最大值为4-，所以，实数m 的取值范围是3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.10．函数()f x =()1,10，则实数a 的值为（）AB ．3C ．9D ．13【解析】由题意，函数()f x =有意义，满足2log (1)010a x x -->⎧⎨->⎩，又由函数()f x 的定义域为()1,10，所以log (101)2a -=，解得3a =．故选：B ．11．若函数y =[2,1]--上有意义，则实数a 的取值范围是（）A ．2a ≤B ．1a ≤C ．01a ≤≤D ．02a ≤≤【解析】若函数y =[2,1]--上有意义等价于1a x +在区间[2,1]--上大于等于010aa x x+≥∴≤-在区间[2,1]--恒成立，1a ∴≤，故答案选B 12．已知()2()ln 1f x x ax =-+的定义域为R ，那么a 的取值范围为_________．【解析】依题可知，210x ax -+>的解集为R ，所以240a ∆=-<，解得22a -<<．故答案为：(2,2)-．13．设函数()f x =()f x 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________.【解析】因为函数()f x =的定义域为R ，所以不等式x x a ++-≥12在R 上恒成立，转化为()min,R x x a x ++-≥∈12.因为()x x x x ++-≥+--=12123，当且仅当12x -≤≤时等号成立，所以实数a 的取值范围是(],3-∞.14．函数()f x =()1,10，则实数a 的值为________【解析】由题意，函数()f x =有意义，满足2log (1)010a x x -->⎧⎨->⎩，即2log (1)2log 1a a x a x ⎧-<=⎨>⎩，又由函数()f x 的定义域为()1,10，21,110a a ∴>+=，解得3a =．15．已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是___________.（参考公式：()()3322a b a b a ab b +=+-+）【解析】由函数()f x =R ，可得66sin cos sin 20x x a x ++≥在R 上恒成立，整理得2222222(sin cos )[(sin cos )3sin cos ]sin 20x x x x x x a x ++-+≥因为22sin cos 1x x +=，所以231sin 2sin 204x a x -+≥，令sin 2[1,1]t x =∈-，则23104t at -+≥，及23104t at --≤在[1,1]-上恒成立，由2314y t at =--为开口向上的抛物线，所以31043104a a ⎧--≤⎪⎪⎨⎪+-≤⎪⎩，解得1144a -≤≤.故答案为：11[,]44-。
高数定义域例题
高数定义域例题嘿，朋友！咱今天来聊聊高数里那让人又爱又恨的定义域例题。
你说这定义域，就像是给一个调皮的孩子划定活动范围，出了这个范围，他就撒欢不成啦！比如说，有这么个函数 f(x) = 1 / (x - 1) ，那这x 能随便来吗？当然不能！要是 x 等于 1 ，分母不就成 0 啦，那可就乱套喽！这不就好比你去参加跑步比赛，规定不能踩线，踩线就算犯规，这 x = 1 对于这个函数来说，就是那条不能踩的线。
再看这个，f(x) = √(x + 2) ，这里边 x 得大于等于 -2 ，为啥？你想想，根号下面的数总不能是负数吧，就像大冬天你不能穿着短袖短裤往外跑，会冻坏的呀！要是 x 小于 -2 ，那这个式子就没意义啦。
还有那种分式和根式混在一起的，就更得小心啦。
好比走在布满陷阱的小路上，得左瞧右看，一步都不能错。
比如说f(x) = √(x + 1) / (x - 2) ，这时候既要保证根号下的 x + 1 大于等于 0 ，又得保证分母 x - 2不等于 0 ，是不是感觉脑袋都要大啦？其实啊，做这些定义域的例题就跟玩解谜游戏一样。
你得细心观察，找出那些隐藏的规则和限制。
每一个函数就像是一个独特的密码锁，而定义域就是打开它的钥匙。
你要是找错了钥匙，那这锁可就打不开喽！咱们来具体解个例题看看。
比如说 f(x) = ln(x - 3) ，这时候 x 得大于 3 。
因为啥？因为对数函数的真数必须大于 0 呀，就好像你肚子饿了要吃东西，这真数要是小于等于 0 ，那这对数函数就得“饿肚子”，没饭吃啦！再比如说，f(x) = 1 / √(4 - x²) ，这可得好好琢磨琢磨。
根号下 4 - x²得大于 0 ，解出来就是 -2 < x < 2 。
这就像是在一个区间里寻宝，只有在这个特定的区间里，才能找到宝贝，出了这个区间，啥都没有！所以说，解高数定义域例题，得有耐心，得细心，还得有点小智慧。
高考复习资料函数定义域、值域及解析式训练题
函数定义域、值域及解析式训练题一．函数的定义域问题： 1.求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-2.设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为 ；函数f x ()-2的定义域为 ；3.若函数)1(2-x f 的定义域为[]3,1，则)(x f 的定义域为 .4.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 .5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围. 二、函数的值域问题：6.求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥⑸y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-⑼ y = ⑽ 4y = ⑾y x =- （12）21x x y -+= (13)x x y ++-=31 (14)3cos 2sin -+=x x y (15)()41122+-++=x x y7.已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值.三.函数的解析式问题：1.已知函数2(1)4f x x x -=-，则函数()f x = ，(21)f x += ..2.已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，则()f x 的解析式为=)(x f .3.已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = .4.设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =()f x 在R 上的解析式为 .5.设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式.6.已知1)0(=f ,()12)()(+--=-y x y x f y x f ,求)(x f 的解析式.7.已知函数)(x f 对任意实数y x ,都有1)(2)()()(++++=+y x y y f x f y x f ,且1)1(=f ,若*N x ∈,求)(x f 的表达式.8.已知2)()(2)1(+=+x f x f x f ,1)1(=f ,*N x ∈,求)(x f 的表达式四.巩固训练：1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A ⑴、⑵B ⑵、⑶C ⑷D ⑶、⑸2.若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是（ ）A 、(－∞,+∞)B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0,43)3.若函数()f x 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）(A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D)04m <≤4.对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是 （ ）(A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D)11x -<< 5.函数()f x =的定义域是（ ）A 、[2,2]-B 、(2,2)-C 、(,2)(2,)-∞-+∞D 、{2,2}- 6.函数1()(f x x x=+≠是 （ ）A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数7.函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩ ，若()3f x =，则x =8.已知函数f x ()的定义域是(]01，，则g x f x a f x a a ()()()()=+⋅--<≤120的定义域为 .9.已知函数21mx ny x +=+的最大值为4，最小值为 —1 ，则m = ，n = 10.把函数11y x =+的图象沿x 轴向左平移一个单位后，得到图象C ，则C 关于原点对称的图象的解析式为11.求函数12)(2--=ax x x f 在区间[ 0 , 2 ]上的最值.12.若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，求函数()g t 当∈t [-3,-2]时的最值.函数定义域、值域及解析式训练题参考答案一．函数定义域：1、（1）{|536}x x x x ≥≤-≠-或或 （2）{|0}x x ≥ （3）1{|220,,1}2x x x x x -≤≤≠≠≠且2、[1,1]-； [4,9 3.[]80，4.5[0,];2 11(,][,)32-∞-+∞ 5.11m -≤≤ 二．函数值域：6.（1）{|4}y y ≥- （2）[0,5]y ∈ （3）{|3}y y ≠ （4）7[,3)3y ∈（5） [3,2)y ∈- （6）1{|5}2y y y ≠≠且 （7）{|4}y y ≥ （8）y R ∈（9） [0,3]y ∈ （10）[1,4]y ∈ （11）1{|}2y y ≤ (12)[]2.1-(13) []222， (14) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-433,433 (15)[)∞+，10 7. 2,2a b =±= 三．函数解析式：1、2()23f x x x =-- ； 2(21)44f x x +=- 2、2()21f x x x =-- 3、4()33f x x =+4、()(1fx x =；(10)()(10)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ 5、21()1f x x =-2()1xg x x =-6. 1)(2++=x x x f7.()*233)(N x x x x f ∈-+=，8.12)(+=x x f 四．巩固训练 1. C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.B8.(,1]a a -+ 9.4m =± 3n = 10.12y x =- 11.解：对称轴为x a = （1）0a ≤时，min ()(0)1f x f ==- ， max ()(2)34f x f a ==-;（2）01a <≤时，2min ()()1f x f a a ==-- ，max ()(2)34f x f a ==-;（3）12a <≤时，2min ()()1f x f a a ==--，max ()(0)1f x f ==-;（4）2a >时，min ()(2)34f x f a ==- ，max ()(0)1f x f ==-12解：221(0)()1(01)22(1)t t g t t t t t ⎧+≤⎪=<<⎨⎪-+≥⎩(,0]t ∈-∞时，2()1g t t =+为减函数∴ 在[3,2]--上，2()1g t t =+也为减函数 ∴min ()(2)5g t g =-=，max ()(3)10g t g =-=。
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高数函数定义域典型例题例1 已知()sin f x x =，2[()]1f x x ϕ=-，求()x ϕ的解析式及其定义域． 解 依题意得sin ()x ϕ=21x -，()x ϕ=2arcsin(1)x -．由2111x -≤-≤可知x ≤()x ϕ=2arcsin(1)x -，[x ∈．例2 设1,0()2,0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩，2, 0(),0x x g x x x ⎧<=⎨-≥⎩．求[()]f g x ．解 （1）由()0g x ≤得()0g x x =-≤即0x ≥，所以0x ≥时[()]f g x =1x +． （2）由()0g x >即2()0g x x =>得0x <．所以0x <时，[()]f g x =22x +． 故22,0[()]1, 0x x f g x x x ⎧+<=⎨+≥⎩．例3 设1,||1()0,||1x x x ϕ≤⎧=⎨>⎩，22,||1()2, ||1x x x x φ⎧-≤=⎨>⎩．试求[()]x ϕφ，{[()]}x ϕϕϕ．解 （1）由于1,|()|1[()]0,|()|0x x x φϕφφ≤⎧=⎨>⎩，且仅当||1x =时，()1x φ=；||1x ≠时，1()2x φ<≤．则1,||1[()]0,||1x x x ϕφ=⎧=⎨≠⎩．（2）当(,)x ∈-∞+∞时，0()1x ϕ≤≤．故[()]1x ϕϕ≡，(,)x ∈-∞+∞．于是{[()]}1x ϕϕϕ≡，(,)x ∈-∞+∞．注 函数复合类似“代入”，但应注意定义域的变化．复合后要写下复合函数的定义域．由于复合函数是微积分研究的主要对象之一，读者应熟练掌握复合函数的概念．例4 设()f x ，()x ϕ，()x φ均为单调递增函数，且()()()x f x x ϕφ≤≤．证明：[()][()][()]x f f x x ϕϕφφ≤≤．证明 由题设可知[()][()][()]x f x f f x ϕϕϕ≤≤， [()][()][()]f f x f x x φφφ≤≤，则由上述不等式可得[()][()][()]x f f x x ϕϕφφ≤≤．注 此处多次利用函数单调性的定义．例5 下述说法中与lim n n x a →∞=的定义等价的是（ ）．A ．(0,1),N ε∀∈∃，当n N ≥时，有||100n x a ε-≤．B ．1,N ε∀>∃，当n N >时，有||n x a ε-<．C ．,0N ε∀∃>，当n N >时，有||n x a ε-<．D ．,0N ε∃∀>，当n N >时，有||n x a ε-<．解 lim n n x a →∞=的定义：对于数列n x ，存在常数a ，使得对于任意给定的正数ε（不论它多么小），存在自然数N ，使当n N >时，不等式||n x a ε-<恒成立．A 与上述定义等价，因为0ε>具有任意性，100ε也具有任意性．B 因为1ε>不能保证ε为任意小，从而由||n x a ε-<不能保证n x 与a 无限接近．C 中的ε是存在性，与定义不符．D 如果存在自然数N ，使对0ε∀>，当n N >时有||n x a ε-<，这说明数列n x 有极限a ，说明D 是上述定义的充分条件．但反之如果lim n n x a →∞=，不一定能找到那样的N （它可能与ε无关．这一要求比N 与ε有关的要求更高），使对任意0ε>，当n N >时，都有||n x a ε-<，因为在定义中N 是依赖于ε的给定而确定的．因而D 不是上述定义的必要条件．故选A ．例6（03研*） 设{}n a 、{}n b 、{}n c 均为非负数列，且lim 0n n a →∞=，lim 1n n b →∞=，lim n n c →∞=∞，则必有（ ）． A ．n n a b <对任意n 成立． B ．n n b c <对任意n 成立． C ．lim n n n a c →∞不存在． D ．lim n n n b c →∞不存在．解法1 由数列极限的定义，数列{}n a 的极限关心的是n a 在某个N （足够大）之后的性质，前面的有限多项则无关紧要．因此A 、B 中“任意n ”的条件显然不成立．“0⋅∞”型的极限是未定式，C 不成立，故选D ．事实上，当lim 0n n b b →∞=≠，lim n n c →∞=∞时，由无穷大量的定义得到lim n n n b c →∞=∞．解法2 举反例：取2n a n =，1n b =，2n nc =，则可以直接排除A 、B 、C ． 例7 当1x →时，函数12111x x e x ---的极限（ ）． A ．2． B ．0． C ．∞． D ．不存在且不为∞．分析 左、右极限存在且相等，是函数极限存在的充要条件．本题中函数211exp 11x x x ---为两个因式的乘积，易求出211lim 21x x x →-=-，所以解本题的关键是因式11x e -．注：03研表示2003年考研真题，以下同.解 因211lim 21x x x →-=-，而111lim x x e +-→=+∞，111lim 0x x e --→=．故 12111lim 1x x x e x +-→-=+∞-，12111lim 01x x x e x --→-=-．所以选D ． 例8求n →∞．分析 所求极限中有根式．通常需要对分子或分母有理化．有时甚至需要对分子分母同时有理化．本题需对分子有理化．解n →∞=n=n=n =2．例9求x →解法1 分子分母有理化．则有x →21123333))))x →=2122333)))x →=32． 解法2 注意到该极限属于型，可用洛必达法则，从而x →11222203311(1)(1)(1)22lim 11(1)(1)(1)33x x x x x --→--+--⋅-+--⋅- =1122223311(10)(10)(1)2211(10)(10)(1)33----+--⋅-+--⋅-=32． 注 解法2用到的洛必达法则属于第三章的内容． 例10求limx分析 所求极限中分子与分母都有根式，通常需要有理化，但本题如果对分子分母同时有理化则很难求解，注意到该极限属于∞∞型．考虑分子分母同时除以x 的最高次幂．解法1 由于x →-∞||x x ==-．函数的分子分母同时除以x -得limx=limx =1．解法2 运用变量代换，令x t =-，则lim x=limt=lim t 1． 错误解答limxlimx 3．错解分析 错误的原因在于没有注意到x 的变化过程，而将被求极限函数分子分母同时除以x 导致错误出现．在解题过程中，最好用解法2则可避免出错．例11已知lim (51x x →+∞=．试求常数a 、b 、c 中的a 和b ．分析 本题极限中出现根式可优先考虑有理化．然后利用极限运算性质来分析极限运算过程，尤其是无穷小与无穷大的相关运算性质，即可解决问题．解法1 分子有理化可得lim (5x x →+∞=2limx=(25)limx ca xb -+-=1，如果25a ≠，则lim[(25)]x ca xb x→+∞-+-=∞， 故要使lim (51x x →+∞=，必须有25a =1=，得25a =，10b =．解法2由题意有lim (51x x →+∞⋅=．当x →+∞时，由于lim (5x →+∞=5，若50≠，则lim (51x x →+∞⋅=∞≠．所以50，即25a =．由lim (51x x →+∞=⇒limx c b -=1，可得110b=．所以25a =，10b =． 例12求n →∞．分析 当n →∞时，的极限都不存在．尽管出现了根式，但无法直接有理化．应先利用三角函数的和差化积，然后再求解．解 因为=，又|2≤，即为有界量．且n →∞n →∞=n 0，即为n →∞时的无穷小量．根据有界量与无穷小的乘积仍为无穷小这一性质可知：n →∞-=0．例13 求下列极限： （1）0sin limx x x →； （2）01lim sin x x x→⋅；（3）sin limx x x →∞； （4）1lim sin x x x→∞⋅；（5）11lim sin x x x →∞⋅； （6）011lim sin x x x →⋅．解 （1）由重要极限知0sin lim 1x xx→=．（2）0x →时，1sin x 为有界量．故01lim sin x x x→⋅=0．（3）x →∞时，1x 为无穷小量，sin x 为有界变量．故sin lim x xx→∞=0．（4）解法1 x →∞时，11sinx x ．故1lim sin x x x→∞⋅=1．解法2 令1x t =，则由x →∞知0t →．故1lim sin x x x →∞⋅=0sin lim 1t tt →=．（5）解法1 x →∞时，10x →，1sin x 为有界量．故11lim sin x x x→∞⋅=0．解法2 x →∞时，10x →．11sinx x ．故11lim sin x x x→∞⋅=0． （6）0x →时，1x →∞．1sin x 不定．取子列12n x n π=，则n →∞时0n x →，11sin 0n nx x ⋅=．另取子列122n y n ππ=+，则n →∞时，0n y →，11sin 22n n n y y ππ⋅=+→∞． 故011lim sin x x x→⋅不存在． 注 在求极限时，一看自变量的变化过程，二看函数的变化趋势，准确判断极限类型，正确使用重要极限公式，充分利用有界量与无穷小的乘积仍为无穷小这一性质，对解题将大有帮助．例14 求下列极限：（1）30tan sin lim x x xx →-； （2）01sin cos lim1sin cos x x x px px →+-+-，其中p 为常数且0p ≠； （3）0lim x +→分析 极限若为型，且含有三角函数或反三角函数，可尝试运用重要极限 0sin lim1x xx→=．解 （1）解法1 运用重要极限0sin lim1x xx→=．30tan sin limx x x x →-=30tan (1cos )limx x x x →- =230sin 2sin 2limcos x xx x x →⋅=20sinsin 12lim ()2cos 2x x x x x x →⋅⋅=12．解法2 30tan sin lim x x x x →-=30tan (1cos )lim x x x x →-=2302lim x x x x →⋅=12． 解法3 运用洛必达法则，则30tan sin lim x x xx→-=220sec cos lim 3x x x x →-=32201cos lim 3cos x x x x →-⋅=32011cos lim 3x x x →-⋅ =2013cos (sin )lim 32x x x x →-⋅-⋅=201cos sin lim 2x x x x →⋅⋅=12． 错误解答 0x →时，tan sin x x x ，故30tan sin lim x x x x →-=30limx x xx →-=0． 错解分析 错误原因在于错误地使用了等价代换．tan sin x x -并不与x x -等价，而是与32x等价．在极限的和差运算中要慎重使用等价代换，一定要确保所做代换是等价代换．（2）解法1运用重要极限sinlim1xxx→=．1sin coslim1sin cosxx xpx px→+-+-=sin1coslimsin1cosxx xx xpx pxx x→-+-+=2022sinsin2lim2sinsin2xxxx xpxpxppx x→+⋅+=222sinsin2()22limsinsin2()22xxx xxxpxpx p xppxpx→+⋅⋅+⋅=10p++=1p．解法2利用无穷小的等价替换：0x→时，sin x x，21cos2xx-．01sin coslim1sin cosxx xpx px→+-+-=sin1coslimsin1cosxx xx xpx pxx x→-+-+=0000sin1coslim limsin1coslim limx xx xx xx xpx pxx x→→→→-+-+=2002002lim lim()2lim limx xx xxxx xpxpxx x→→→→++=10p++=1p．解法3利用()oαββαα⇔=+．由于当0x →时，sinx x，21cos2xx-从而有sin()x x o x=+，sin()px px o px=+，222()1cos()22px p xpx o-=+．01sin coslim1sin cosxx xpx px→+-+-=222222()()22lim()()22xx xx o x op x p xpx o px o→++++++=2222()()212lim()()22xxoo x xx xp xoo px p xpx x→++++++=10001000p p+++=+++．解法4 用洛必达法则．01sin cos lim 1sin cos x x x px px →+-+-=00cos sin 1lim 0cos sin x x x p px p px p →++=++．（3） 解法1 运用重要极限0sin lim1x xx→=．0lim x +→0lim x +→=202sin lim x x+→=2200sin /2()lim x x x x +→→⋅=12． 解法2 利用等价无穷小的替换定理．0lim x +→0lim x +→=20(cos 1)2lim 2x x x +→--=2202lim x x x +→=12． 解法3 利用分子有理化和等价无穷小的替换定理．0lim x +→0lim x +→=200lim lim x x x ++→→=12． 解法4 分母先作等价替换，然后用洛必达法则．0lim x +→0lim x +→=1201(cos )(sin )2lim x x x x +-→-- =1201(cos )()2lim x x x x +-→--=12． 注 一般地，能够用重要公式0sin lim 1x xx→=来解决的问题，一般也可以通过恒等变形后作等价替换，在求极限时能用多种方法综合求解时多种方法一起使用，往往能使计算非常简便．例15（00研） 求1402sin lim()||1xx xexx e→+++． 分析 求带有绝对值的函数的极限一定要注意考虑左、右极限． 解 因为1434402sin 2sin lim()lim()011||11xxxx x xx e x e e xx xee ++--→→-+++=+=+=++，114402sin 2sin lim()lim()211||11xxx x xxe x e xx xee --→→+++=-=-=++， 所以1402sin lim()1||1xx xe xx e→++=+． 错误解答 因为 1402lim1xx xe e→++和0sin lim||x xx →均不存在，故原来的极限不存在．错解分析 如果lim ()x af x →和lim ()x ag x →均不存在，但lim[()()]x af xg x →+可能存在．用极限的四则运算来求极限时要注意条件，即参与极限四则运算的各部分的极限均要存在．例16 设2lim()8xx x a x a→∞+=-．求a 的值．分析 所求极限的函数为幂指函数．可用幂指函数的极限求法来求解．关于幂指函数()lim ()v x u x 的极限的求法参见内容提要．解法1 运用重要极限1lim(1)x x e x→∞+=．2lim()x x x a x a →∞+-=2lim(11)x x x a x a→∞++--=333lim(1)x a a x a x a x a x a -⋅⋅-→∞+-=3lim x axx ae →∞-=3a e ， 得3a e =8，故ln2a =．解法2 2lim()x x x a x a →∞+-=2(1)lim(1)x x x a x a x →∞+-=2lim(1)lim(1)xx xx a x a x→∞→∞+-=2a a e e -=3a e =8，故ln2a =． 解法3 2lim()x x x a x a →∞+-=2limexpln()x x x a x a →∞+-=2exp(lim ln )x x ax x a→∞+-=3exp[lim ln(1)]x a x x a →∞+-=3exp(lim )x ax x a→∞⋅-=3a e =8，故ln2a =．例17 求21lim(sin cos )x x x x →∞+．解法1 121(sin cos 1)22sin cos 12121lim(sincos )lim[1(sin cos 1)]x x x x x xx x x x x x⋅+-+-→∞→∞+=++-，又因为21sincos 121lim (sincos 1)lim1x x x x x x xx →∞→∞+-⋅+-=21sin cos 1lim()20211x x x x x→∞-=+=+=， 故21lim(sin cos )x x x x→∞+2e =．解法2 21lim(sin cos )x x x x →∞+21limexp[ln(sin cos )]x x x x →∞=+21exp[lim ln(sin cos )]x x x x→∞=+21ln(sin cos )exp[lim]1x x x x→∞+= 0ln(sin 2cos )exp[lim ]t t t t→+=(令1t x =)0ln(1sin 2cos 1)exp[lim]t t t t →++-=0sin 2cos 1exp(lim)t t t t →+-=(用到这里In （1+x ）=x)00sin 2cos 1exp(limlim )t t t t t t→→-=+2e =．解法3 21lim(sin cos )x x x x →∞+21limexp[ln(sin cos )]x x x x →∞=+21exp[lim ln(sin cos )]x x x x→∞=+21ln(sin cos )exp[lim]1x x x x→∞+= 0ln(sin 2cos )exp[lim ]t t t t →+=(令1t x =)202cos2sin exp(lim)sin 2cos t t te t t→-==+．例18（03研） 21ln(1)0lim(cos )x x x +→=_______．分析 极限属于1∞的类型，既可用重要极限，又可用求幂指函数的极限的方法． 解法1 用等价代换．21ln(1)lim(cos )x x x +→201exp[limln(cos )]ln(1)x x x →=+，而2200ln(cos )ln(1cos 1)lim limln(1)x x x x x x →→+-=+=22200cos 12lim lim x x x x x x →→--==12-， 故21ln(1)0lim(cos )x x x +→e1=． 解法2 先用等价代换，然后用洛必达法则．21ln(1)lim(cos )x x x +→ 201exp[limln(cos )]ln(1)x x x →=+，而22000sin ln(cos )ln cos 1cos lim lim lim()ln(1)22x x x xx x x x x x →→→==-=-+， 故21ln(1)lim(cos )x x x +→e1=． 例19 求11112lim ()xxxnxnx a a a n→+∞+++，其中1a ，2a ，，n a 均为正实数．分析 该极限属于1∞型，可采用例16的解法1与解法3． 解法1 11112lim ()x xxnx nx a a a n→+∞+++=11112lim (11)xxxnx nx a a a n→+∞++++-=111121111211112lim (1)x x x n x x x n a a a n nnxnx xxa a a nn x a a a nn+++-⋅⋅+++-→+∞+++-+=11112exp(lim)x xxn x a a a nnx n→+∞+++-⋅=11112(1)(1)(1)exp[lim]1xxxn x a a a x →+∞-+-++-=11112111exp(lim lim lim)111xxxn x x x a a a x xx→+∞→+∞→+∞---+++=12111ln ln ln exp(lim lim lim )111n x x x a a a x x x x x x→+∞→+∞→+∞+++ =12exp(ln ln ln )n a a a +++=12n a a a ⋅⋅．解法2 11112lim ()xxxnx nx a a a n→+∞+++=11112lim exp(ln)xxxnx a a a nx n →+∞+++⋅=11112exp(lim ln)xxxnx a a a nx n→+∞+++⋅=11112exp{lim ln[(1)1]}x xxnx a a a nx n→+∞+++⋅-+=11112exp[lim (1)]xxxnx a a a nx n→+∞+++⋅-=11112exp{lim [(1)(1)(1)]}xxxn x x a a a →+∞⋅-+-++-=12exp(ln ln ln )n aa a +++=12n a a a ⋅⋅．例20 求226n n n→∞++++．分析 此类和式极限，不容易求出它的有限项的和的一般式，可考虑用夹逼准则． 解 由于≤≤1,2,,k n =． 得222nnnk k k ===≤≤，1,2,,k n =．又2lim nn k →∞==1(1)(21)n n n n ++=13．同理2lim nn k →∞=13． 所以由夹逼准则得226n n n →∞++=13． 例21 求极限112lim()nnn nk n a a a →∞+++，其中1a ，2a ，，k a 均为正实数，k 为自然数．解 记a =12max{,,,}k a a a ，则11112()()()n n nn n nn nk a a a a ka ≤+++≤．而1lim 1n n k →∞=，1lim()n nn a a →∞=．所以112lim()n nn nk n a a a →∞+++=a =12max{,,,}k a a a ．例22 []x 表示x 的取整函数．试求01lim []x x x→⋅．分析 充分利用不等式1[]x x x -<≤是求解本题的关键．解 对任一x R ∈，有1[]x x x -<≤，则当0x ≠时有1111[]x x x-<≤．于是 （1）当0x >时，111(1)[]x x x x x x -<⋅≤⋅，由夹逼准则得01lim []1x x x +→⋅=；（2）当0x <时，111[](1)x x x x x x ⋅≤⋅<-，由夹逼准则得01lim []1x x x-→⋅=．所以01lim []1x x x→⋅=．例23 设110x =，1n x +=1,2,n =．试证数列}{n x 极限存在，并求此极限．分析 用单调有界准则来证明，先证明单调性，再证明有界性．解 用数学归纳法证明此数列的单调性．由110x =及24x ==可得12x x >． 假设{1,2,}n ∈，有1+>n n x x ，则21166+++=+>+=n n n n x x x x ．由数学归纳法知，对一切N n ∈都有1+>n n x x ．即数列}{n x 单调递减．又0(1,2,)n x n >=显然成立，即}{n x 有下界，由单调有界准则知}{n x 存在极限，设A x n n =∞→lim ，对n n x x +=+61两边取极限，有A = 即 260A A --=．所以3A =或2A =-（舍去），即3lim =∞→n n x ．例24 设0a >，1x =2x =，1n x +=其中1,2,n =，求lim n n x →∞．分析 需先用单调有界准则证明数列极限存在．单调性易证，但上界或下界却不易估计．为此则可先假设lim n n x A →∞=，并由A A =，此即为数列的一个上界，但此上界形式较复杂，论证不太方便．可将其适当放大化简：1<= 解 先用数学归纳法证明数列{}n x 单调递增．由0a >知，210x x =>．假设10n n x x ->>成立，则1n n x x +==，所以数列{}n x 单调递增．下证有界性．下证1为数列{}n x 的上界．假设1n x <+11n x +=故01n x <<+{}n x 有界．根据单调有界准则知lim n n x →∞存在．不妨设为A ，则有A 解得A =或A =．故lim n n x →∞=注1 讨论数列{}n x 的单调性和有界性时，数学归纳法是一种简洁有效的方法．注2 如果数列{}n x 的上界（或下界）不易直接看出时，则可以先假定数列{}n x 的极限存在并求出极限值A ，据此就可以找到数列{}n x 的上界（或下界），再进一步证明其确实是数列{}n x 的上界（或下界）．例25 求下列极限：（1）lim 1)n n →∞； （2）n n →∞； （3）1121lim (33)n n n n +→∞-．分析 含有指数函数或指数函数的差，一般考虑换底或提出公因子，然后结合等价替换求解．解 （1）lim 1)n n →∞=1ln lim (1)a nn n e→∞⋅-=1lim ln n n a n→∞⋅=ln a ．（2）n n →∞=limexp[1)]n n →∞⋅=exp[lim 1)]n n →∞⋅=exp[lim n n →∞=exp(lim lim n n n n →∞→∞=1exp (ln5ln7)2+（3）1121lim (33)n n n n +→∞-=112(1)1lim 3[31]n n n n n ++→∞⋅-=ln32(1)lim [1]n n n n e+→∞-=2ln 3lim (1)n n n n →∞⋅+=ln3．注 本题用到了1n =（0a >），11ln na na e=以及当0x →时ln(1)x x +，1x e x-等结果．例26 当0x →时，试将21x e -，ln(1)x +，21cos x -，tan sin x x -按低阶到高阶的无穷小顺序排列．分析 注意将考虑对象均与x 进行比较，充分利用常用的等价替换关系式． 解 当0x →时，由于221x e x -， ln(1)x x +， 2242()1cos 22x x x-=，且tan sin x x -=1sin (1)cos x x-=2sin (1cos )cos 2x x x x x -⋅=32x ， 故将其按低阶到高阶的无穷小顺序排列为ln(1)x +，21x e -，tan sin x x -，21cos x -．例27 设2tan (1cos )lim2ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-，其中220a c +≠，则必有（ ）． A ．4b d =． B ．4b d =-． C ．4a c =．D ．4a c =-．分析 由于0x →，极限式中含有tan x ，21x e --，ln(12)x -，1cos x -这些无穷小量，因此要考虑运用无穷小量的有关知识．解法1 2tan (1cos )lim ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+--+-=20tan (1cos )lim ln(12)(1)x x x x abx x x e c dx x-→-+--+ =20000tan (1cos )limlimln(12)(1)lim limx x xx x x x a b x x x e c d x x→→-→→-+--+=22a c -=， 即4a c =-．选D ．解法2 利用关系式()o αββαα⇔=+．因为当0x →时，tan x x ， 1xx e -， ln(1)x x +， 21cos 2x x-， 所以tan ()x x o x =+， 1()x e x o x -=+， ln(1)()x x o x +=+， 221cos ()22x x x o -=+．则20tan (1cos )lim ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+--+-=22220(())(())22lim (2())(())x x x a x o x b o c x o x d x o x →+++-+++=22a c -=，即4a c =-．选D ． 解法3 用洛必达法则．22200sin tan (1cos )cos lim lim 222ln(12)(1)212x x x xab x a x b x a xc c c xde dxe x -→→-++-==-=--+-+-，即4a c =-．选D ． 例28（97研） 2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+=++_______． 分析 由于0x →，该极限属于0型，极限式中含有三角函数以及无穷小量ln(1)x +，因此要考虑运用无穷小量的有关知识．解 因为0x →时，x x ~)1ln(+，所以2013sin coslim (1cos )ln(1)x x x x x x →+++ 20013sin cos1lim lim(1cos )x x x x x x x→→+=⋅+ 01sin 1lim(3cos )2x x x x x →=⋅+13(310)22=⋅+=． 例29 已知0()ln[1]sin lim321x x f x x →+=-，求20()lim x f x x →．分析 因为0x →时，21ln 2x x -，由已知条件可知()ln[1]sin f x x +是无穷小量，而且()sin f x x与x 是同阶的无穷小．解法1 利用极限与无穷小量的关系．由题意得()ln[1]sin 321x f x x α+=+-， 其中0lim 0x α→=．即 ()ln[1](21)(3)sin x f x xα+=-+， 又因为021lim ln 2x x x→-=，故21ln 2()x x o x -=+．于是()ln[1]sin f x x+=(ln 2())(3)x o x α++=3ln 2()x o x +，则有()1sin f x x+=3ln 2()x o x e +，即 ()sin f x x=3ln 2()1x o x e +-=3ln 2()x o x ++(3ln 2())o x o x +． 所以 20()limx f x x →=01()sin lim sin x f x x x x x →⋅⋅=03ln 2()sin lim x x o x xx x →+⋅=3ln2． 解法2 利用等价无穷小替换．由于0x →时，21ln 2x x -，ln(1)x x +，sin xx ．则()ln[1]sin lim21x x f x x →+-=0()sin lim ln 2x f x x x →=0()lim sin ln 2x f x x x →⋅⋅=3， 故 20()limx f x x →=0()sin lim ln 2sin ln 2x f x xx x x→⋅⋅⋅⋅=3ln2．注1 解法1用到了如下常用结论：a ．0lim ()()x x f x A f x A α→=⇔=+，其中0lim 0x x α→=；b ．()o αββαα⇔=+；c ．当0x →时，()()k o x o x ⋅=，()()()o x ko x o x +=，()()o x o x α⋅=，其中k 为常数，lim 0x α→=．注2 本章求极限常用如下一些方法：a ．利用极限四则运算法则求极限;b ．利用两个重要极限求极限;c ．利用夹逼准则求极限;d ．利用单调有界准则求极限;e ．利用无穷小的性质求极限;f ．利用函数的连续性求极限．例30 讨论函数2()lim n nn nn x x f x x x +--→∞-=+的连续性．分析 该函数为含有参数的极限式，应该先求出极限得()f x ，再讨论其连续性． 解 显然当0x =时()f x 无意义．故当0x ≠时21, 0<||1()0, ||1, ||1x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪>⎩，，．而()f x 在区间(,1)-∞-，(1,0)-，(0,1)，(1,)+∞上是初等函数，故()f x 在这些区间上连续．又1lim ()1x f x +→=，1lim ()1x f x -→=-， 0lim ()1x f x →=-，1lim ()1x f x +→-=-，1lim ()1x f x -→-=，所以1x =±及0x =为()f x 的第一类间断点，其中0x =为()f x 的可去间断点，1x =±为()f x 的跳跃间断点．例31 讨论函数2(2), 0,sin ()sin , 01x x x x n n N xf x x x x π+⎧<≠-∈⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩,的间断点及其类型．解 0x =是该分段函数的分界点．并且当0x <时x n ≠-，当0x ≥时1x ≠． （1）由于(2)lim ()lim sin x x x x f x x π--→→+==2π，200sin lim ()lim 1x x xf x x +-→→=-=0， 所以0x =为()f x 的第一类间断点中的跳跃间断点．（2）当x n →-（2n ≠）时，(2)lim ()limsin x nx n x x f x xπ→-→-+==∞．所以x n =-（2n ≠）为()f x 的第二类间断点中的无穷间断点．（3）当2x →-时，由于22(2)lim ()limsin x x x x f x xπ→-→-+==0(2)limsin t t t t π→-=2π-（令2t x =+）．所以2x =-为()f x 的第一类间断点中的可去间断点．（4）由于211sin lim ()lim1x x xf x x →→=-=∞，所以1x =为()f x 的第二类间断点中的无穷间断点．综上所述，0x =为()f x 的跳跃间断点，1x =与x n =-（2n ≠）为()f x 的无穷间断点，2x =-为()f x 的可去间断点．例32 证明方程323910x x x --+=在开区间(0,1)内有唯一实根．分析 问题等价于证明函数32()391f x x x x =--+在开区间(0,1)内有唯一的零点，既要证明存在性，又要证明唯一性．存在性通常用零点定理来证明，唯一性常用单调性或用反证法来证明．证法1 令32()391f x x x x =--+．由于(0)10f =>，(1)100f =-<．又()f x 在[0,1]上连续．由零点定理知：至少存在一点1(0,1)x ∈使得1()0f x =．下证唯一性．对于唯一性下面给出三种证明方法．证法1 若有2(0,1)x ∈使得2()0f x =，于是12()()0f x f x ==，得12()()0f x f x -=．即2212112221()[()3()9]0x x x x x x x x -++-+-=，而1(0,1)x ∈，2(0,1)x ∈，所以221122213()90x x x x x x ++-+-<，则120x x -=，即12x x =．从而方程323910x x x --+=在开区间(0,1)内有唯一实根．证法2 若有2(0,1)x ∈且21x x ≠，使得2()0f x =．不妨设21x x >．可知12()()0f x f x ==，显然，()f x 在闭区间12[,]x x 上连续，在开区间12(,)x x 上可导．由罗尔定理知，至少存在一点12(,)(0,1)x x ξ∈∈使得()0f ξ'=，即23690ξξ--=，解得1ξ=-或3ξ=，于是(0,1)ξ∉，与假设矛盾．唯一性证得．证法3 由于2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-．当(0,1)x ∈时，有()0f x '<即()f x 在(0,1)上单调递减．故()f x 在开区间(0,1)上零点唯一．证毕．证法2 令32()391f x x x x =--+，则由于(0)10f =>，(1)100f =-<，lim ()x f x →-∞=-∞，lim ()x f x →+∞=+∞，而()f x 在(,)-∞+∞上连续．所以由零点定理知()f x 在区间(,0)-∞，(0,1)，(1,)+∞上至少各有一个零点．即一元三次方程323910x x x --+=在各区间(,0)-∞，(0,1)，(1,)+∞内恰有一实根，即所给方程在(0,1)区间内有唯一实根．证毕．注1 证法1中唯一性的证法2和证法3涉及到微分中值定理和导数的应用等知识，这将在第三章重点讨论，它们是证明函数的零点或方程的根的唯一性的常用的两种方法．注2 零点定理在证明方程根的存在性的问题中应用较广泛．当函数()f x 在(,)a b （a 可以为-∞，b 可以为+∞）内连续，lim ()x af x +→存在（或者为-∞，或者为+∞，但不为∞），lim ()x b f x -→存在（或者为+∞，或者为-∞，但不为∞）．分别记它们为()f -∞和()f +∞，且()()0f f -∞⋅+∞<．此时零点定理同样成立．例33 设函数()f x 在[,]a b 上连续，[,]i x a b ∈，0i t >（1,2,,i n =），且01ni i t ==∑．试证至少存在一点(,)a b ξ∈使得1122()()()()n n f t f x t f x t f x ξ=++⋅⋅⋅+．分析 用介值定理来证明，只需证明1122()()()n n t f x t f x t f x ++⋅⋅⋅+介于()f x 的最大值与最小值之间即可．证明 由于函数()f x 在[,]a b 上连续，所以由最值定理可知()f x 的最大值与最小值存在，令max{()|[,]}M f x x a b =∈，min{()|[,]}m f x x a b =∈，于是对任何[,]x a b ∈都有()m f x M ≤≤．由于[,]i x a b ∈，0i t >（1,2,,i n =）．所以 111()nnni i i i i i i m mt t f x Mt M ====≤≤=∑∑∑，从而由介值定理知至少存在一点(,)a b ξ∈使得1122()()()()n n f t f x t f x t f x ξ=++⋅⋅⋅+．证毕．注 利用闭区间上的连续函数的性质证明与介值相关的命题，通常有两种方法： （1）直接法（利用介值定理和最值定理）．解题步骤：a ．从要证的等式中整理出连续函数()f x 所需取得的值()f ξ；b ．说明()f ξ介于()f x 在相应区间上的最大值与最小值之间；c ．利用介值定理得到命题的结论．如例33．（2）间接法（利用零点定理）．解题步骤：a ．作辅助函数：将要证的等式整理为左边=右边=0的形式，而左边设为辅助函数．b ．寻找区间，使辅助函数在该区间端点处的函数值异号，用零点定理，如例32．。