高中数学函数知识点

函数

一、函数的定义：

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f(x)，x∈A．

〔1〕其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

〔2〕与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．2．函数的三要素：定义域、值域、对应法那么

3．函数的表示方法：〔1〕解析法：明确函数的定义域

〔2〕图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、

离散的点等等。

〔3〕列表法：选取的自变量要有代表性，可以反响定义域的特征。

4、函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)

的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反

过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法

A、描点法：

B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。

〔3〕函数图像平移变换的特点：

1〕加左减右——————只对x

2〕上减下加——————只对y

3〕函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x)

4〕函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x)

5〕函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)

6〕函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得

函数y=| f(x)|

7〕函数y=f(x) 先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)

二、函数的根本性质

1、函数解析式子的求法

〔1〕、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法那么，二是要求出函数的定义域.

〔2〕、求函数的解析式的主要方法有：

1〕代入法：

2〕待定系数法：

3〕换元法：

4)拼凑法：

2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各局部都有意义的x的值组

成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

3、相同函数的判断方法：①表达式相同〔与表示自变量和函数值的字母无关〕②定义域一致(两点必须同时备)

4、区间的概念：

〔1〕区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

〔2〕无穷区间

〔3〕区间的数轴表示

5、值域〔先考虑其定义域〕

〔1〕观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；

〔2〕反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。

(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。

(4)代换法〔换元法〕：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。

6.分段函数

〔1〕在定义域的不同局部上有不同的解析表达式的函数。

〔2〕各局部的自变量的取值情况．

〔3〕分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

〔4〕常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数

7．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法那么f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f 〔对应关系〕：A〔原象〕→B〔象〕〞

对于映射f：A→B来说，那么应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数

8、函数的单调性(局部性质)及最值

〔1〕、增减函数

〔1〕设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

〔2〕如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种〔2〕、图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

〔3〕、函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

○1任取x1，x2∈D，且x1

○2作差f(x1)－f(x2)；

○3变形〔通常是因式分解和配方〕；