第3讲 定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理 (1)
第3讲 定积分与微积分基本定理一、选择题1.(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A.e ＋2 B.e ＋1C.eD.e －1 解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.故选C. 答案 C2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A.2 B.3C.4D.6 解析 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a 1＝a 2＋ln a －1， ∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2.答案 A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.12g B.gC.32gD.2g 解析 电视塔高h ＝⎠⎛12gt d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 221＝32g . 答案 C4.如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.⎠⎛02|x 2－1|d x B.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02（x 2－1）d x C.⎠⎛02(x 2－1)d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x 解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .答案 A5.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1解析S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ， ∵e 2－e ＝e(e －1)＞e ＞73＞ln 2，∴S 2＜S 1＜S 3.答案 B二、填空题6.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝________. 解析 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x ) ⎪⎪⎪t 0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去). 答案 47.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________.解析 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0).因为f (x )的图象过(0，1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 答案 438.(2017·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案 49三、解答题9.计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ；(3) 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ； (4)⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ； (5)⎠⎛－22|x 2－2x |d x . 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2； (2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图象的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x ＝π2；(3)原式＝ (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－(－cos 0＋sin 0)＝2；(4)原式＝⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3)d x ＋⎠⎛－111d x ＝0＋x ⎪⎪⎪1-1＝2； (5)∵|x 2－2x |＝⎩⎨⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2， ∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪20＝8.10.求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积.解 作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图象，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)，解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)，因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2⎪⎪⎪10 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133.11.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.－13C.13D.1解析 由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪113＋2m＝m，∴m＝－1 3.＝。
34定积分与微积分基本定理
第5页
●微积分基本定理
如果f x是区间a,b上的连续函数,并且Fx f x,
那么ba f xdx FbFa,这个结论叫做微积分基本
定理,又叫做牛顿一莱布尼兹公式.为了方便,常把
FbFa记成Fx|ba,即ba f xdx Fx|ba FbFa.
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考点自测
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1.定 积 分 0cosxdx
2 形 的 面 积 为 __________. 答案:3
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题型突破
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题 型 一 tix in g yi定 积 分 的 计 算
【 例 1】 求 下 列 定 积 分 :
1
1 0
x2 x
dx;
2
2
sin
2
x 2
dx
;
2
3
2 1
3
2x
dx.
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规律方法:利用微积分基本定理求定积分,其关键是求出被积 函数的原函数,求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互 逆运算,因此应注意掌握一些常见函数的导数.此外,如果被积 函数是绝对值函数或分段函数,那么可以利用定积分的性
3.设f
x
x2 (x
2
x
x
0),
0,
则
11
f
x
dx的值是()
A. 11 x 2dx
B. 11 2xdx
C.
0 1
x
2dx
10
2xdx
D.
0 1
2xdx
10
x 2dx
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解 析 :由 分 段 函 数 的 定 义 及 积 分 运 算 的 性 质 知 1 1 fx d x 0 1 fx d x 1 0 fx d x 0 1 2 x d x 1 0 x 2 d x .
定积分的微积分基本定理
定积分的微积分基本定理微积分是数学中非常重要的一门学科，通过微积分的学习可以更好地解决现实生活中的问题。
其中，定积分是微积分中非常重要的一个概念，定积分的微积分基本定理则是定积分的核心概念。
本文将围绕这个主题进行详细讲解。
一、什么是定积分在学习定积分之前，首先需要了解什么是积分。
积分可以被理解为对函数曲线下的面积进行求和的过程。
而定积分则是指在一定范围内对函数进行积分的过程。
比如我们要求在区间$[a,b]$上函数$f(x)$的定积分，可以写作$\int_{a}^{b}f(x)dx$，其中dx表示微小的区间。
二、微积分基本定理微积分基本定理是定积分中非常重要的一个概念，它表明了某个函数的导数和积分之间存在一定的关系。
具体来说，微积分基本定理有两条，分别如下。
第一条基本定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定义在区间[a,b]上的函数F(x) = $\int_{a}^{x}f(t)dt$在[a,b]上可导，且$F'(x)=f(x)$。
这个定理说明了定积分和导数之间的关系，即如果我们知道了一个函数在某一个区间内的导数，那么我们就可以求出它在该区间内的积分。
相对于求导数，求积分的过程要更加复杂，所以这个定理对于我们来说有很大的帮助。
第二条基本定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数。
这个定理则说明了积分和原函数之间的关系。
由于在求导数的时候，我们还需要知道函数的一个原函数，而求原函数的过程又比求导数更加复杂，因此这个定理对我们的作用同样非常重要。
三、微积分基本定理的应用微积分基本定理可以应用于很多领域中的问题。
比如在物理学中，我们需要求出某个物体的位移、速度和加速度的变化率，这些都需要通过积分来求解。
而在金融学中，我们需要通过定积分来求出复利的收益率。
此外，在实际应用中，我们常常还需要通过微积分基本定理来计算某个函数在某个区间内的平均值、变化率等等。
导数的几何意义定积分与微积分基本定理
导数的几何意义定积分与微积分基本定理导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
在几何上，导数可以理解为函数图像上一点处的切线斜率。
考虑函数y=f(x)，如果在其中一点x=a处导数存在，则导数f'(a)表示该点处函数的变化率。
具体而言，对于非常小的增量Δx，函数在x=a处的导数f'(a)表示了函数在x=a处的切线的斜率，即切线与x轴正方向的夹角。
换句话说，导数可以理解为函数在其中一点的瞬时变化率。
例如，对于一条直线函数y=ax+b，其导数恒等于a，表示了该直线斜率的恒定性。
导数的几何意义不仅仅局限于切线的斜率，它还可以用来描述函数的凸凹性质。
当函数在其中一点的导数为正时，说明函数图像在该点处上升；当导数为负时，说明函数图像在该点处下降。
通过导数，我们可以了解到函数的变化趋势以及临界点的存在与性质。
定积分与微积分基本定理：定积分是微积分中的另一个重要概念，它表示了函数在一个区间上的累积变化量。
几何上，定积分可以理解为函数图像下方面积的计算。
考虑函数y=f(x)，如果在区间[a,b]上存在一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称函数F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。
根据微积分基本定理，函数f(x)在区间[a,b]上的定积分可以表示为：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)简单来说，定积分就是原函数在区间上的差值。
通过定积分，我们可以计算函数在其中一区间上的变化量，并得到一个具体的数值结果。
几何上，定积分表示了函数图像在区间[a,b]上的下方面积。
当函数f(x)表示为正值时，定积分计算的是图像在区间上的面积；当函数f(x)表示为负值时，定积分计算的是图像下方的面积。
通过定积分，我们可以计算复杂函数图像的面积，并应用于曲线的长度、体积以及其他几何问题的求解。
综上所述，导数和定积分是微积分学中两个核心概念。
导数描述了函数在其中一点的变化率，可以理解为函数图像在该点的切线斜率；定积分表示了函数在一个区间上的累积变化量，可以理解为函数图像在该区间上的下方面积。
34定积分与微积分基本定理
∴1 0
1－x2dx 几何意义为14个圆的面积．
∴1 0
1－x2dx＝14π.
探究 1 ①求定积分借助微积分基本定理，关键 是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求
一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常
用函数的导数．此外，如果被积函数是绝对值函数与
＝43t3－t2＋13在0，12单调递减，在12，1单调递增，当
t＝12时，S 取得最小值14.
授人以渔
题型一 求定积分
例 1 计算以下定积分：
(1)21(2x2－1x)dx；
(2)3( x＋ 1 )2dx；
2
x
(4)2|3－2x|dx 1
【解析】 (1)函数 y＝2x2－1x的一个原函
数是 y＝23x3－lnx，
站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？
【解析】 因列车停在车站时，速度为0，故应
先求出速度的表达式，之后令v＝0 ，求出t.再根据
v和t应用定积分求出路程．
列车速度v0＝72 km/h＝20 m/s，列车制动时获
得的加速度为a＝－0.4 m/s2，
(2)(2011·苏北四市调研)一物体以初速度 v
a
(3)如果物体在变力 F(x)的作用下做直线 运动，并且物体沿着与 F(x)的作用下做直线运 动，并且物体沿着与 F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)，则变力 F(x)所做的功 W＝b
a
F(x)dx.
教材回归
1．(2010·湖南卷，理)421xdx 等于(
)
A．－2ln2
B．2ln2
＝π－2，故选 4
A.
【答案】 A
定积分、微积分基本定理-高中数学知识点讲解
定积分、微积分基本定理1．定积分、微积分基本定理【定积分】定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积．即由所围成图（f X）[a，b] y＝0，x＝a，x＝b，y＝（f X）形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．定积分的求法：求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．【微积分基本定理】在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．其中，微积分的核心（基本）定理是푏푎F（x）＝（f x）（f x）푓(푥)푑푥= 퐹(푏)―퐹(푎)，其中，而必须在区间（a，b）内连续．2例 1：定积分|3 ―2푥|푑푥=1解：1 | 3﹣2x | dx2=321(3 ―2푥)푑푥+232(2푥―3)푑푥3＝（﹣2）1 +（x2﹣3x）|233x x |221/ 2=12通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有；第二，每一段对应的被积分函数的表dx达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．例 2：用定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥．―3解：根据定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，―3故3―39 ―푥2푑푥=12 × 휋× 32 =9휋．2这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．【考查】定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．2/ 2。
高考北师大版数学总复习课件：3.3定积分与微积分基本定理
积分上限 f(x)叫作
被积函数
．
b 2. f( x)d x 的实质
a
b (1)当 f(x)在区间[a，b]上大于 0 时， f( x)d x 表 由直线x
a
x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的 ＝ a，
面积 ，这也是定积分的几何意义．
b 由直线x (2)当 f(x)在区间[a，b]上小于 0 时， f( x)d x 表示
基 础 自 测
1 1.(2010· 湖南理) xdx 等于(
4 2
) B．2ln2 D．ln2
A．－2ln2 C．－ln2
[答案] D
1 [解析] 因为(lnx)′＝x，所以 ln2.
4 2
1 4 dx ＝ ln x | 2＝ln4 － ln2 ＝ x
1 x 2．(2011· 福建理，5) (e ＋ 2x)d x 等于(
第 i 个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为 Δxi，在这个小区间 上取一点 ξi，使 f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设 S＝f(ξ1)Δx1 ＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn. 在这个小区间上取一点 ηi，使 f(ηi)在区间[xi－1，xi]上的值 最小，设 s＝f(η1)Δx1＋f(η2)Δx2＋…＋f(ηi)Δxi＋…＋f(ηn)Δxn.
a
．这个结论叫做微积分
基本定理，又叫做牛顿 ——莱布尼兹公式．可以把 F(b)－F(a)
b b 记为 F(x)|b . 即 f ( x )d x ＝ F ( x )| a a＝F(b)－ F(a)．
a
5．利用牛顿——莱布尼兹公式求定积分的关键是 求被积
定积分与微积分基本关系
定积分与微积分基本关系微积分是数学的一个重要分支，它研究函数的变化率与连续性等概念。
而定积分则是微积分中的一种运算，可以用来计算曲线下面的面积以及求解一些与面积相关的问题。
本文将详细介绍定积分与微积分的基本关系。
一、定积分的定义与基本性质定积分是微积分中的一种重要概念，它可以用来计算曲线下面的面积。
设有函数f(x)在区间[a, b]上连续，将[a, b]平分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，选择每个小区间中任意一点ξk，并计算出相应的函数值f(ξk)，那么这个小区间的面积可以表示为f(ξk)Δx。
将所有小区间的面积加起来，取极限过程，即可得到定积分的定义：∫[a, b] f(x)dx = lim(n→∞) Σ[f(ξk)Δx]其中，Σ表示求和，ξk是[a, b]中任意一点，Δx为小区间的长度。
定积分具有以下几个基本性质：1. 若f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分∫[a, b] f(x)dx存在。
2. 定积分的值与区间的选取无关，即∫[a, b] f(x)dx = ∫[c, d] f(x)dx，其中[a, b]与[c, d]是相同长度的区间。
3. 若f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分∫[a, b] f(x)dx可以通过不断细分区间并估计相应的面积来进行计算。
当n趋于无穷大时，这个估计的值与定积分的真实值越来越接近。
二、定积分的几何意义与应用定积分不仅可以用来计算曲线下面的面积，还有许多其他的几何意义与应用。
1. 曲线下面的面积：若函数f(x)在区间[a, b]上非负连续，则∫[a, b]f(x)dx表示曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a、x=b所围成的面积。
2. 曲线长度：若函数f(x)在区间[a, b]上连续且可导，则∫[a, b]√[1+f'(x)²]dx表示曲线y=f(x)在区间[a, b]上的弧长。
3. 体积计算：若函数f(x)在区间[a, b]上非负连续且表示某个平面图形的截面积，则∫[a, b] π[f(x)]²dx表示该图形的旋转体的体积。
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理1.定积分的定义给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)：将[a，b]区间分成n份，分点为a＝x0<x1<x2<…<x n－1<x n＝b.第i个小区间为[x i－1，x i]，设其长度为Δx i，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在[x i－1，x i]上的值最大.设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δx i＋…＋f(ξn)Δx n.在这个小区间上取一点ζi，使f(ζi)在[x i－1，x i]上的值最小，设s＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋f(ζi)Δx i＋…＋f(ζn)Δx n.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时S与s同时趋于某一个固定的常数A，称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分.记作ʃb a f(x)d x，即ʃb a f(x)d x＝A.2.定积分的性质①ʃb a1d x＝b－a.②ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x.③ʃb a[f(x)±g(x)]d x＝ʃb a f(x)d x±ʃb a g(x)d x.④ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x.3.微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a).概念方法微思考ʃbf(x)d x是否总等于曲线f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积？a提示不是.函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0时，定积分ʃb a f(x)d x表示由直线x ＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.(√)(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0.(√)(3)若ʃb a f(x)d x<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.(×)(4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )题组二 教材改编2.ʃe ＋121x －1d x ＝ . 答案 1 解析 ʃe ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1. 3.ʃ0－11－x 2d x ＝ . 答案 π4解析 ʃ0－11－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝－1，y ＝0以及曲线y ＝1－x 2所围成的图形的面积，∴ʃ0－11－x 2d x ＝π4. 4.汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是 m. 答案132解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21 ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m). 题组三 易错自纠5.如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A.1B.43C. 3D.2答案 B解析 所求面积＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2|20＝－83＋4＝43. 6.一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为 m.答案494解析 由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得61361113221()d 2d 2d 1d 3s t t t t t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰v213261132149|2||(m).64t t t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494 m.7.d 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝ .答案 2 解析由题意得d 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭220(sin +cos )d (sin cos )|x x x x x ππ==-⎰＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2.题型一 定积分的计算利用微积分基本定理求下列定积分：(1)ʃ21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)ʃπ0(sin x －cos x )d x ； (3)ʃ20|1－x |d x ；(4)ʃ21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (5)ʃ1－1e |x |d x ；(6)若ʃ10(x 2＋mx )d x ＝0，求m .解 (1)ʃ21(x 2＋2x ＋1)d x ＝ʃ21x 2d x ＋ʃ212x d x ＋ʃ211d x＝x 33|21＋x 2|21＋x |21＝193. (2)ʃπ0(sin x －cos x )d x ＝ʃπ0sin x d x －ʃπ0cos x d x ＝(－cos x )|π0－sin x |π0＝2.(3)ʃ20|1－x |d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －12x 2|10+⎝⎛⎭⎫12x 2－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－2－⎝⎛⎭⎫12×12－1＝1. (4)ʃ21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝ʃ21e 2x d x ＋ʃ211xd x ＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e x d x＝－e －x |0－1＋e x |10＝－1＋e ＋e －1＝2e －2.(6)∵ʃ10(x 2＋mx )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33＋m 2x 2|10＝13＋m 2＝0，∴m ＝－23.思维升华 计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差. (2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和.题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例1 设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，则ʃ2－1f (x )d x 的值为 .答案 π2＋43解析 根据定积分性质可得ʃ2－1f (x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ，根据定积分的几何意义可知，ʃ1－11－x 2d x 是以原点为圆心，以1为半径的圆面积的12，∴ʃ1－11－x 2d x ＝π2，∴ʃ2－1f (x )d x ＝π2＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |21＝π2＋43. 命题点2 求平面图形的面积例2 (1)曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1，x ＝1所围成的封闭图形的面积为 .答案 2ln 2－12解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，则曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1，x ＝1所围成的封闭图形如图所示，所求的面积S ＝ʃ21⎝⎛⎭⎫2x －x ＋1d x＝⎝⎛⎭⎫2ln x －12x 2＋x |21＝(2ln 2－2＋2)－⎝⎛⎭⎫0－12＋1＝2ln 2－12. (2)曲线y ＝14x 2和曲线在点(2,1)处的切线以及x 轴围成的封闭图形的面积为 .答案 16解析 设曲线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线为l ，∵y ′＝12x ，∴直线l 的斜率k ＝y ′|x ＝2＝1，∴直线l 的方程为y －1＝x －2，即y ＝x －1. 当y ＝0时，x －1＝0，即x ＝1， 所围成的封闭图形如图所示，∴所求面积S ＝ʃ2014x 2d x －12×1×1＝112x 3|20－12＝16.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分. (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案.跟踪训练1 (1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为 .答案9π4解析 由定积分的几何意义知，ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积.故ʃ39－x 2d x ＝π·324＝9π4.(2)(2018·郑州模拟)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为 . 答案 23－2π3解析 令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝66(2sin 1)d x x 5ππ-⎰＝(－2cos x －x )66|5ππ=23－2π3.题型三 定积分在物理中的应用例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离是 m. 答案 4＋25ln 5解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t)d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40 ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). 思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .跟踪训练2 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 JC.433 JD.2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎣⎡⎦⎤5x －13x 3×32|21＝433， 所以F (x )做的功为433 J.1.ʃ10(1－x )d x 等于( ) A.1 B.－1 C.12 D.－12答案 C解析 ʃ10(1－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫x －12x 2|10＝12. 2.ʃ2π0|sin x |d x 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D解析 ʃ2π0|sin x |d x ＝2ʃπ0sin x d x ＝2(－cos x )|π0＝2×(1＋1)＝4.3.ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( )A.πB.π2 C.π＋1 D.π－1答案 B解析 ʃ1－1(1－x 2＋x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1x d x ＝π2+12x 2|1－1＝π2. 故选B.4.220sin d 2xx π⎰等于( ) A.0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B 解析222001cos sin d d 22x x x x ππ-=⎰⎰＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x 20|π＝π4－12. 5.若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案 A解析 由题意知ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1 ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2(舍负).6.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65 D.76答案 A解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃe 1f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋1＝43.故选A. 7.设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A.a >bB.a ＋b <1C.a <bD.a ＋b ＝1答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝ʃ10cos x d x ＝sin x |10＝sin 1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b ＝ʃ10sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos 1.∵sin 1＋cos 1>1，∴sin 1>1－cos 1，即a >b .故选A.8.已知函数y ＝f (x )的图像为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( )A.2B.－2C.1D.－1答案 D解析 由题图易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0<x ≤1，所以ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x ＝ʃ0－1(x ＋1)(－x －1)d x ＋ ʃ10(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ0－1(－x 2－2x －1)d x ＋ʃ10(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3－x 2－x |0－1＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |10＝－13－23＝－1，故选D. 9.ʃ21⎝⎛⎭⎫1x ＋2x d x ＝ . 答案 ln 2＋2ln 2解析ʃ21⎝⎛⎭⎫1x ＋2x d x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋2xln 2|21＝ln 2＋4ln 2－2ln 2＝ln 2＋2ln 2. 10.(2019·黄山模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 . 答案3解析 所求面积3333cos d sin |s x x x ππππ--==⎰＝sin π3－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝ 3. 11.设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝ . 答案 49解析 封闭图形如图所示，则332220022|033ax x a a ==-=⎰，解得a ＝49.12.(2018·郑州模拟)设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若ʃ30f (x )d x ＝3f (x 0)，x 0>0，则x 0＝ .答案 3解析 ∵f (x )＝ax 2＋b ，ʃ30f (x )d x ＝3f (x 0)， ∴ʃ30(ax 2＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋bx |30＝9a ＋3b ，则9a ＋3b ＝3ax 20＋3b ，∴x 20＝3，又x 0>0，∴x 0＝ 3.13.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13B.310C.14 D.15答案 A解析 由题意得，所求阴影部分的面积31231200211)d |333s x x x x ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰，故选A. 14.若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，试判断S 1，S 2，S 3的大小关系. 解 方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图(图略)易知S 2<S 1<S 3.15.若函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，求ʃ20f (x )d x 的值.解 因为f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1). 所以f ′(1)＝2＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－2， 所以f (x )＝x 2－4x . 故ʃ20f (x )d x ＝ʃ20(x 2－4x )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－2x 2|20＝－163.16.在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥＝ʃ10πx 2d x ＝π3x 3|10＝π3.据此类比：将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝2及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，求旋转体的体积.解 类比已知结论，将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝2及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为2e y π()＝πe y ，积分变量为y ，积分区间为[0,2]，即V ＝ʃ20πe y d y ＝πe y |20＝π(e 2－1).。
定积分和微积分基本定理 优质辅导讲义
b
v(t)dt ；
a
若 v(t) <0，则相应的时间段[a，b]上的路程为 s
b
v(t)dt
a
二、基本性质
性质 1 b1dx b a . a
性质 2
b kf (x)dx k
b
f (x)dx
(其中k是不为0的常数) （定积分的线性性质）.
a
a
性质 3
b
[
a
f1(x)
f2 (x)]dx
b a
f1(x)dx
b
a f2 (x)dx （定积分的线性性质）.
性质 4 b f (x)dx c f (x)dx b f (x)dx (其中a c b) （定积分对积分区间的可加性）
a
a
c
推广 1
b
[
a
f1(x)
f2(x)
fm (x)]dx
b a
f1(x)dx
b a
f2 (x)dx
2x A. -2 ln 2 B. 2 ln 2 C. -ln2
D. ln 2
变式 2 1(ex 2x)dx 0
A.1 B e1 . C. e D. e+1
变式 3
设函数 f x ax2 c a 0 ，若
1 f x dx
0
f x0
0 x0 1 ，则 x0 的值为
．
变式 4
i i 1,2,,n ，作和式：Sn n f (i )x i1
n i 1
ba n
f (i ) ，当 Dx
无限接近于 0（亦即 n ）时，
上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f (x) 在区间[a, b] 上的定积分．记为：
定积分与微积分基本定理
答案
解析
3 A. 4
4 B. 5
5 C. 6
6 D. 7
2 1 2 2 ʃ0f(x)dx＝ʃ0x dx＋ʃ1(2－x)dx
1 31 1 2 2 ＝ x |0＋(2x－ x )|1 3 2 1 1 1 5 ＝ ＋(4－ ×4)－(2－ )＝ . 3 2 2 6
题型二 定积分的几何意义 命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分
3 3 7 13 ＝ ×4＋4－( ＋2)＝10－ ＝ (m). 2 2 2 2
2 答案 3 4.若 ʃT x 0 dx ＝9，则常数T的值为________.
解析
1 3T 1 3 T 2 ʃ0x dx＝ x |0＝ T ＝9，∴T＝3. 3 3
x2，x∈[0，1]， 5.设 f(x)＝ 1 ，x∈1，e] x
§3.3 定积分与微积分基本定理
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时作业
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理
1.定积分的概念 在 ʃb af(x)dx中， a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积
分区间，函数 f(x) 叫做被积函数， x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积式. 2.定积分的性质
S 1 4 2 2 3 2 阴＝ʃ0(4x－x )dx＝(2x － x )|0 4
1 ＝8－ ×24＝4，故选 D. 4
3.(教材改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间 的1 s内经过的位移是 答案
13 A. m 2 B.6 m
解析
15 C. m 2
D.7 m
32 2 s＝ʃ1(3t＋2)dt＝( t ＋2t)|2 1 2
2020届高三理数一轮讲义：3.3-定积分与微积分基本定理(含答案)
[思维升华] 1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而 与积分变量用什么字母表示无关. 2.错误!f(x)dx、错误!|f(x)|dx 与|错误!f(x)dx|在几何意义上有不同的含义，由于被积函
数 f(x)在闭区间[a，b]上可正可负，也就是它的图象可以在 x 轴上方、也可以在 x 轴下方、还可以在 x 轴的上下两侧，所以 错误!f(x)dx 表示由 x 轴、函数 f(x)的曲线
4 角度 2 利用定积分计算平面图形的面积 【例 2－2】 (一题多解)由抛物线 y2＝2x 与直线 y＝x－4 围成的平面图形的面积 为________.
y2＝2x，
解析 如图所示，解方程组
得两交点为(2，－2)，(8，4).
y＝x－4，
法一 选取横坐标 x 为积分变量，则图中阴影部分的面积 S 可看作两部分面积之 和，即 S＝2错误! 2xdx＋错误!( 2x－x＋4)dx＝18.
角度 1 利用定积分的几何意义计算定积分
【例 2－1】 (1)计算：错误!(2x＋ 1－x2)dx＝________.
(2)若错误! －x2－2x dx＝π，则 m＝________. 4
解析 (1)由定积分的几何意义知，错误! 1－x2 dx 表示以原点为圆心，以 1 为半
| 径的圆的面积的1，所以错误! 1－x2 dx＝π，又 错误!2xdx＝x2
曲边梯形的面积
2.定积分的性质
(1)错误!kf(x)dx＝k错误!f(x)dx(k 为常数).
(2)错误![f1(x)±f2(x)]dx＝错误!f1(x)dx±错误!f2(x)dx.
(3)错误!f(x)dx＝错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx(其中 a＜c＜b).
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理知识点一:定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点(i=1,2,3…,n)，作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即,，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.说明:(1)定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零;(2)用定义求定积分的四个基本步骤:?分割;?近似代替;?求和;?取极限.知识点二:定积分的几何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积;在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积的相反数;在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号;在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.知识点三:定积分的性质(1)(为常数)，(2)，(3)(其中)，(4)利用函数的奇偶性求积分:若函数在区间上是奇函数，则;若函数在区间上是偶函数，则.知识点四:微积分基本定理微积分基本定理(或牛顿,莱布尼兹公式):如果在上连续，且，则。
其中叫做的一个原函数.注意:求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.由于也是的原函数，其中c为常数.知识点五:应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线，，轴(即直线)及一条曲线()围成的曲边梯形的面积:2(如图，由三条直线，，轴(即直线)及一条曲线()围成的曲边梯形的面积:3(由三条直线轴及一条曲线(不妨设在区间上，在区间上)围成的图形的面积:,，.4. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积: 知识点六:定积分在物理中的应用变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.规律方法指导1(如何正确理解定积分的概念定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即(称为积分形式的不变性)，另外定积分与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如与的值就不同。
定积分与微积分基本定理
5．定积分在物理中的简单应用 (1)作变速直线运动的物体(速度函数为 V(t)，速度方向不变) 在时间区间[a，b]上所经过的路程 S＝____________. (2)在变力 F＝F(x)的作用下，物体沿力 F 的方向作直线运动， 并且由 x＝a 运动到 x＝b(a＜b)，则力 F 对物体所做的功 W＝ ____________. (3)在变力 F＝F(x)的作用下，物体沿与力 F 的方向成 θ 角的 方向作直线运动，并且由 x＝a 运动到 x＝b(a＜b)，则力 F 对物 体所做的功 W＝____________.
(2014·江西)若 f(x)＝x2＋201f(x)dx，则 01f(x)dx＝(
)
A．－1
B．－13
C.13
D．1
解：01f(x)dx 为常数，不妨设 a＝01f(x)dx.则 f(x)＝x2
＋2a，所以
a＝01(x2＋2a)dx＝13x3＋2ax|10，所以
1 a＝3＋2a，
所以 a＝－13.故选 B.
• 3.4 定积分与微积分基 本定理
1．定积分的定义
(1)如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成 n
个 小 区 间 ， 在 每 个 小 区 间 上 任 取 一 点 ξi(i ＝ 1 ， 2 ， … ， n) 作 和 式
n
i 1
ba n
f
(i ) ．当 n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做
解：变力 F(x)＝x2＋1 使质点 M 沿 x 轴正向从 x＝1
(复习指导)3.3 定积分与微积分基本定理含解析
3.3 定积分与微积分基本定理必备知识预案自诊知识梳理1.定积分的定义如果函数f (x )的图像在区间[a ,b ]上连续,用分点a=x 0<x 1<…<x i-1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间,在每个小区间[x i-1,x i ]上任取一点ξi (i=1,2,…,n ),作和式∑i=1nf (ξi )Δx=∑i=1n b -a nf (ξi ),当n →+∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫作函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作∫baf (x )d x.2.定积分的几何意义(1)当函数f (x )的图像在区间[a ,b ]上连续且恒有f (x )≥0时,定积分∫baf (x )d x 的几何意义是由直线x=a ,x=b (a ≠b ),y=0和曲线y=f (x )所围成的曲边梯形(图①中阴影部分)的面积.图①图②(2)一般情况下,定积分∫baf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y=f (x )以及直线x=a ,x=b之间的曲边梯形(图②中阴影部分)面积的代数和,其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.3.定积分的性质(1)∫ba kf (x )d x= (k 为常数); (2)∫ba [f (x )±g (x )]d x= ;(3)∫baf (x )d x= (其中a<c<b ).4.微积分基本定理一般地,如果f (x )是图像在区间[a ,b ]上连续的函数,并且F'(x )=f (x ),那么∫baf (x )d x= .这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿—莱布尼茨公式,其中F(x)叫作f(x)的一个原函数.为了方便,我们常把F(b)-F(a)记作,即∫ba f(x)d x=F(x)|a b=F(b)-F(a).5.定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=∫ba v(t)d t.(2)变力做功:某物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=∫baF(x)d x.1.定积分与曲边梯形的面积的关系:设图中阴影部分的面积为S,则(1)如图(1),S=∫baf(x)d x;(2)如图(2),S=-∫baf(x)d x;(3)如图(3),S=∫ca f(x)d x-∫bcf(x)d x;(4)如图(4),S=∫ba[f(x)-g(x)]d x.2.设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有:(1)若f(x)是偶函数,∫a-a f(x)d x=2∫af(x)d x;(2)若f(x)是奇函数,则∫a-af(x)d x=0.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若函数y=f(x)的图像在区间[a,b]上连续,则∫ba f(x)d x=∫b a f(t)d t.()(2)若f(x)是图像连续的偶函数,则∫a-a f(x)d x=2∫af(x)d x;若f(x)是图像连续的奇函数,则∫a-af(x)d x=0.()(3)在区间[a,b]上连续的曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a≠b),y=0所围成的曲边梯形的面积S=∫ba|f(x)|d x.() (4)若∫baf(x)d x<0,则由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.()(5)已知质点移动的速度v=10t,则质点从t=0到t=t0所经过的路程是∫t010t d t=5t02.()2.已知函数f(x)={√x,1<x≤4,x|x|,-1≤x≤1,则∫4-1f(x)d x=()A.14B.143C.7D.2123.汽车以v=(3t+2)m/s做变速运动时,在第1 s至2 s之间的1 s内经过的路程是()A.5 mB.112mC.6 mD.132m4.(2020湖南师大附中测试)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2√2B.4√2C.2D.45.(2020江西南昌模拟)设a>0,若曲线y=√x与直线x=a,y=0所围成的封闭图形的面积为a2,则a=.关键能力学案突破考点定积分的计算【例1】计算下列定积分.(1)∫1(-x2+2x)d x;(2)∫π(sin x-cos x)d x;(3)∫21(e2x+1x)d x;(4)∫π2√1-sin2x d x.?解题心得计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差.(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分.(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.对点训练1(1)∫3-1(3x2-2x+1)d x;(2)∫21(x-1x)d x;(3)∫π-π(x3cos x)d x;(4)∫2|1-x|d x.考点利用定积分的几何意义求定积分【例2】已知函数f(x)={-x+2,x≤2,√1-(x-3)2,2<x≤4,则定积分∫412f(x)d x的值为()A.9+4π8B.1+4π4C.1+π2D.3+2π4?解题心得当被积函数的原函数不易求,而被积函数的图像与直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边图形形状规则,面积易求时,利用定积分的几何意义求定积分.对点训练2(2020四川成都一中测试)∫1-1(√1-x2+sin x)d x=()A.π4B.π2C.πD.π2+2考点定积分的应用(多考向探究)考向1求曲线围成的平面图形的面积【例3】(1)如图所示,曲线y=x2-1,x=2,x=0,y=0围成的阴影部分的面积为() A.∫2|x2-1|d xB.∫21(1-x2)d x+∫1(x2-1)d xC.∫2(x2-1)d xD.∫21(x2-1)d x+∫1(1-x2)d x(2)(2020云南昆明一中测试)如图是函数y=cos2x-5π6在一个周期内的图像,则阴影部分的面积是()A.34B.5 4C.3 2D.32−√34?2已知曲线围成的面积求参数【例4】(2020安徽合肥摸底)由曲线f(x)=√x与y轴及直线y=m(m>0)围成的图形的面积为83,则m的值为()B.3C.1D.8?3定积分在概率中的应用【例5】(2020山西太原联考)如图,在矩形ABCD中的曲线是y=sin x,y=cos x的一部分,点A(0,0),B(π2,0),D(0,1),在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.4π(√3-1) B.4π(√2-1) √3-1)π D.4(√2-1)π?4定积分在物理中的应用【例6】(1)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+251+t(t 的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln 5B.8+25ln 113C.4+25ln 5D.4+50ln 2(2)一物体在力F (x )={5,0≤x ≤2,3x +4,x >2(单位:N )的作用下沿与力F 相同的方向从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F (x )做的功为 J .?解题心得1.对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大致图形,然后根据图形特点,选择相应的积分变量及被积函数,并确定被积区间.2.已知图形的面积求参数,一般是先画出它的草图;然后确定积分的上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,再应用方程的思想建立关于参数的方程,从而求出参数的值.3.与概率相交汇问题.解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积,再用相应概率公式进行计算.4.利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求.对点训练3(1)如图,由两条曲线y=-x 2,y=-14x 2及直线y=-1所围成的平面图形的面积为 .(2)已知t>1,若∫t1(2x+1)d x=t 2,则t= .(3)如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC 内,曲线y=x 3(x>0)和曲线y=√x 围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A.512B.16C.14D.13(4)汽车以36 km/h 的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以加速度a=-2 m/s 2刹车,则从开始刹车到停车,汽车走的距离是 m .(5)设变力F (x )作用在质点M 上,使M 沿x 轴正向从x=1运动到x=10,已知F (x )=x 2+1,且方向和x 轴正向相同,则变力F (x )对质点M 所做的功为 J(x 的单位:m;力的单位:N).1.求定积分的方法:(1)利用定义求定积分,可操作性不强. (2)利用微积分基本定理求定积分的步骤如下: ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x );②计算F (b )-F (a ).(3)利用定积分的几何意义求定积分. 2.定积分∫baf (x )d x 的几何意义是x 轴、曲线f (x )以及直线x=a ,x=b 围成的曲边梯形的面积的代数和.在区间[a ,b ]上连续的曲线y=f (x )和直线x=a ,x=b (a ≠b ),y=0所围成的曲边梯形的面积S=∫ba |f (x )|d x.1.被积函数若含有绝对值号,应去掉绝对值号,再分段积分.2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须分清谁是被积变量.3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负.3.3 定积分与微积分基本定理必备知识·预案自诊知识梳理3.(1)k ∫ba f (x )d x(2)∫ba f (x )d x ±∫ba g (x )d x (3)∫c af (x )d x+∫bcf (x )d x4.F (b )-F (a ) F (x )|ab 考点自诊1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.B 函数f (x )={√x ,1<x ≤4,x |x |,-1≤x ≤1,则∫4-1f (x )d x=∫1-1x|x|d x+∫41√x d x=0+23x 3214=143.故选B .3.D S=∫21(3t+2)d t=(32t 2+2t) 12=92+2=132.故选D .4.D 由{y =4x ,y =x 3,得x=0或x=2或x=-2(舍),∴S=∫2(4x-x 3)d x=2x 2-14x 402=4.5.49 封闭图形如图阴影部分所示,则∫a√x d x=23x 32 0a =23a 32=a 2,解得a=49.关键能力·学案突破例1解(1)∫1(-x 2+2x )d x=∫1(-x 2)d x+∫12x d x=(-13x 3) 01+(x 2) 01=-13+1=23. (2)∫π0(sinx-cosx )dx=∫π0sinxd x-∫πcos x d x=(-cos x ) π0-sin x π0=2.(3)∫21(e 2x +1x )dx=∫21e 2x dx+∫211x x=12e d 2x12ln x 12=12e+4-12e 2+ln2ln1=e-4-12e 122+ln2. (4)∫π2√1-sin2x dx=∫π2|sinx-cos x|d x=∫π4(cos x-sin x )d x+∫π2π4(sin x-cos x )d x=(sinx+cos x ) 0π4+(-cos x-sin x ) π4π2=√2-1+(-1+√2)=2√2-2.对点训练1解(1)∫3-1(3x 2-2x+1)d x=(x 3-x 2+x )|-13=24. (2)∫21(x -1x )d x=12x 2-ln x 12=32-ln2.(3)因为y=x 3cos x 为奇函数, 所以∫π-π(x 3cos x )d x=0.(4)∫2|1-x|dx=∫1(1-x)dx+∫21(x-1)d x=(x -12x 2) 01+12x 2-x 12=(1-12)-0+12×22-2-12×12-1=1.例2A 因为f (x )={-x +2,x ≤2,√1-(x -3)2,2<x ≤4,所以∫412f (x )dx=∫212(-x+2)dx+∫42√1-(x -3)2d x ,∫212(-x+2)d x=-12x 2+2x122=98. ∫42√1-(x -3)2d x 的几何意义为以(3,0)为圆心,以r=1为半径的圆在x 轴上方的部分,因而S=12×π×12=π2, 所以∫412f (x )d x=98+π2=9+4π8.故选A .对点训练2B ∫1-1(√1-x 2+sin x )d x=∫1-1√1-x 2d x+∫1-1sin x d x ,∵y=sin x 为奇函数,∴∫1-1sin x d x=0. 又∫1-1√1-x 2d x 表示以坐标原点为圆心,以1为半径的圆的上半圆的面积,∴∫1-1√1-x 2d x=π2. ∴∫1-1(√1-x 2+sin x )d x=π2.例3(1)A (2)B (1)由曲线y=x 2-1,直线x=0,x=2和x 轴围成的封闭图形的面积为S=∫1(1-x 2)d x+∫21(x 2-1)d x.根据对称性,它和函数y=|x 2-1|,直线x=0,x=2和x 轴围成的封闭图形的面积相等,如图所示,即S=∫2|x 2-1|d x.(2)阴影部分的面积为S=-∫π6cos 2x-5π6d x+∫2π3π6cos 2x-5π6d x =-12sin 2x-5π60π6+12sin 2x-5π6π62π3= -12sin -π2-12sin -5π6+12sin π2−12sin -π2=14+1=54.故选B .例4A 由题知曲线f (x )=√x 与直线y=m 的交点为(m 2,m ),则∫m 20(m-√x )d x=mx-23x 320m 2=m 3-23m 3=83,解得m=2.例5BS 阴影=2∫π4(cos x-sin x )d x=2[sin x+cos x ] 0π4=2(√2-1),S ABCD =π2×1=π2,由测度比是面积比可得,此点取自阴影部分的概率是P=S 阴影SABCD=2(√2-1)π2=4π(√2-1).故选B .例6(1)C (2)36 (1)由v (t )=7-3t+251+t =0,可得t=4,t=-83(舍去),因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s,此期间行驶的距离为∫40v (t )d t=∫47-3t+251+t d t=7t-32t 2+25ln(1+t )04=4+25ln5(m).(2)由题意知,力F (x )所做的功为W=∫42F (x )d x=∫425d x+∫42(3x+4)d x=5×2+32x 2+4x 24=10+32×42+4×4-32×22+4×2=36(J).对点训练3(1)43 (2)2 (3)A (4)25(5)342 (1)由{y =-x 2,y =-1得交点A (-1,-1),B (1,-1).由{y =-14x 2,y =-1得交点C (-2,-1),D (2,-1).所以所求面积S=2∫2(-14x 2+1)−∫1(-x 2+1)=43.(2)∫t1(2x+1)d x=(x 2+x ) 1t =t 2+t-2,从而得方程t 2+t-2=t 2,解得t=2.(3)此题为关于面积的几何概型,边长为1的正方形AOBC 的面积为1,叶形图(阴影部分)的面积S (A )=∫1(√x -x 3)d x=(23x 32-14x 4) 01=512. 所以所求概率P (A )=512.故选A .(4)t=0时,v 0=36km/h=10m/s ,刹车后,汽车减速行驶,速度为v(t)=v 0+at=10-2t ,由v (t )=0得t=5s,所以从刹车到停车,汽车所走过的路程为∫5v(t)dt=∫5(10-2t )d t=(10t-t 2)05=25(m).(5)变力F (x )=x 2+1使质点M 沿x 轴正向从x=1运动到x=10所做的功为W=∫101F (x )d x=∫101(x 2+1)d x=(13x 3+x) 110=342(J).。
定积分与微积分基本定理.
3 ＝(x3－x2＋x)|－ 1＝24.
(2)
2 1 π
1 1 3 2 2 x－xdx＝2x －ln x|1＝ －ln 2. 2
π π
(3) (sin x－cos x)dx＝ sin xdx－ cos xdx＝
定积分与微积分基本定理
结束
2．计算下列定积分： (1) (3)
3 -1 π 0
(3x －2x＋1)dx；(2)
2
2 1 2 0
1 x－xdx； |1－x|dx.
(sin x－cos x)dx；(4)
3 -1
解：(1)
(3x2－2x＋1)dx
0 0 0 π (－cos x) |0 －sin x |π 0 ＝2.
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第十二节
定积分与微积分基本定理
结束
(4) |1－x|dx＝ (1－x)dx＋ (x－1)dx
0 0 1
2
1
2
1 2 1 1 2 ＝x－2x |0＋2x －x |2 1 1 1 1 2 2 ＝1－2－0＋2×2 －2－2×1 －1＝1.
1 0 1 1 1－x dx 的几何意义是求单位圆面积的 ，所以 0 4
如：定积分 π 1－x dx＝ . 4
2
2
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第十二节
定积分与微积分基本定理
结束
[练一练]
若 f(x)dx＝1， f(x)dx＝－1，则 f(x)dx＝________.
解析：∵ f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx， ∴ f(x)dx＝ f(x)dx－ f(x)dx＝－1－1＝－2.
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理1．定积分的概念 在⎰b af (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质 (1)⎰b akf (x )d x ＝k⎰b af (x )d x (k 为常数)；(2)⎰b a[f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎰baf 1(x )d x ±⎰b af 2(x )d x ；(3⎰b af (x )d x ＝⎰b af (x )d x ＋⎰b af (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎰baf (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数． 为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即f ⎰b a(x )d x ＝F (x ) |b a ＝F (b )－F (a )．基本积分公式表⑴C dx =⎰0 ⑵C x m dx x m m++=+⎰111 ⑶C x dx x+=⎰ln 1⑷C e dx e xx+=⎰⑸C aa dx a xx+=⎰ln ⑹⎰+=C x xdx sin cos ⑺⎰+-=C x x cos sin ⑻⎰+-=C x x x xdx ln ln 1．(2013·江西高考)若S 1＝⎰21x 2d x ，S 2＝⎰211xd x ，S 3＝⎰21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3 .C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 12．（2013北京，5分）直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直， 则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43B ．2 C.83 . D. 16233．（2013湖南，5分）若∫T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．4．（2012福建，5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取 一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ) A.14 B.15 C.16 D.175．（2012湖北，5分）已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( ) A.2π5 B.43 . C.32 D.π26．（2011湖南，5分）由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12B ．1 C.32D.3. 7．（2010山东，5分）由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.712 8.（2010湖南，5分）⎰421xd x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2.9．(2009·福建，5分)⎰-22ππ(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2.10．（2011陕西，5分）设f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧≤+>⎰0,30,lg 2x dt t x x x a 若f (f (1))＝1，则a ＝________. 11、(2008海南)由直线21=x ，x=2，曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积为（ ） A.415B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2.12、(2010海南)设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点11(,)(1,2,)x y i N =…,，再数出其中满足11()(1,2,)y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分10()f x dx ⎰的近似值为 。
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理1．定积分(1)定积分的相关概念：在∫ba f (x )d x 中，∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．(2)定积分的性质：①∫ba 1d x ＝b －a ；②⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)； ③⎠⎛a b[f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x ； ④⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x .(3)定积分的几何意义：①当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分∫ba f (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b af (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(如图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．2．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有∫ba f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个式子称为牛顿——莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即∫ba f (x )d x ＝ F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．1.()baf x dx ⎰与()baf t dt ⎰相等吗？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分[()()]baf xg x dx -⎰ (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积．1．(2013²江西高考)若S 1＝221x dx ⎰，S 2＝211dx x⎰，S 3＝21e x dx ⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 2．已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A ．10t 20 B ．5t 20 C.103t 20 D.53t 203．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2x 2xx，则11()f x dx -⎰的值是( )A.121x dx -⎰B. 112x dx -⎰ C. 021x dx -⎰＋12x dx ⎰ D. 012x -⎰d x ＋120x ⎰d x4．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________． 5．(2013²湖南高考)若20Tx dx ⎰＝9，则常数T 的值为________．[例1] (1) 120(2)x x dx -+⎰； (2) 0(sin cos )x x dx π-⎰；(3) 2211(e )x dx x+⎰; (4) 201x dx -⎰.【互动探究】若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”改为“－x 2＋2x ”，如何求解？【方法规律】 定积分的求法(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()aaf x dx -⎰＝0.1.＝________.2．若()20sin cos d x a x x π+⎰＝2，则实数a ＝________.3.x ⎰＝________.[例以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 x 3x ＋4x(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J 【方法规律】利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．一物体做变速直线运动，其v t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为________．1．利用定积分求平面图形的面积是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度偏小，属中低档题．2．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下几个命题角度：(1)知图形求曲线围成图形的面积；(2)知函数解析式求曲线围成图形的面积；(3)知曲线围成图形的面积求参数的值．[例3] (1)(2012²湖北高考)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2(2)(2011²新课标全国卷)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为A.103B．4 C.163D．6(3)(2012²山东高考)设a>0.若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略(1)知图形求面积．首先，依据函数的图象求出解析式；其次，确立被积函数；最后，利用定积分求面积．(2)知函数解析式求面积．解决此类问题应分四步：①画图；②确定积分上、下限，即求出曲线的交点坐标；③确定被积函数；④由定积分求出面积．(3)知图形的面积求参数．求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．1．曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是( ) A.13 B.23 C ．1 D.432．由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个定理——微积分基本定理利用微积分基本定理求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分互为逆运算．条结论——定积分应用的两条常用结论(1)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行； (4)f (x )在区间[－a ，a ]上连续，若f (x )为偶函数，则()d aaf x x -⎰＝2 0()d a f x x ⎰；若f (x )为奇函数，则()d aaf x x -⎰＝0.易误警示(四)利用定积分求平面图形面积的易错点[典例] (2012²上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[名师点评] 1.本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量．曲线y ＝x 2＋2与直线5x －y －4＝0所围成的图形的面积等于________．[解题指导] 根据已知条件，求出f (x )的解析式，然后利用定积分求解．[全盘巩固]1．已知f (x )是偶函数，且6()d f x x ⎰＝8，则66()d f x x -⎰＝( )A ．0B ．4C ．6D ．162．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32 D.3 3．已知f (x )＝2－|x |，则21()d f x x -⎰＝( )A ．3B ．4 C.72 D.924．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403 m D.203m 5．(2014²德州模拟)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )A.112 B.14 C.13 D.7126．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A.14B.12 C ．1 D ．2 7．(2014²西安模拟)若11(2)d ax x x+⎰＝3＋ln 2，则a 的值是________．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈，e](e 为自然对数的底数)，则()d ef x x ⎰的值为________．9．曲线y ＝12ex 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 1、l 2、y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式．11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．12．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．[冲击名校]1．一物体在变力F (x )＝5－x 2(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与F (x )成30°角的方向做直线运动，则从x ＝1处运动到x ＝2处时变力F (x )所做的功为( )A.233 J B. 3 J C.433J D ．2 3 J 2．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________．[高频滚动]已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3x －1.(1)若f (x )在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，求实数k 的取值范围；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，均存在t ∈[1,3]，使得13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln 2＋16≤f (x )，试求实数c 的取值范围．积分与微积分基本定理答案1.解析：选 B S 1＝32113x ＝83－13＝73，S 2＝2ln 1x ＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝2e 1x ＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.2.解析：选 B S ＝10t tdt ⎰＝0250t t＝5t 2.3.解析：选 D11()f x dx -⎰＝012x -⎰d x ＋12x ⎰d x .4.解析：22x dx ⎰＝32103x ＝83.答案：83 5.解析：20T x dx ⎰＝3103T x ＝13T 3＝9，解得T ＝3.答案：3例 1.[自主解答] (1) 12(2)x x dx -+⎰＝12()x dx -⎰＋12xdx ⎰＝31103x-＋210x ＝－13＋1＝23.(2) 0(sin cos )x x dx π-⎰＝0sin xdx π⎰－0cos xdx π⎰＝(cos )x π-－sin 0xπ＝2.(3)2211(e )xdx x +⎰＝221e xdx ⎰＋211dx x ⎰＝221e 12x ＋2ln 1x ＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2.(4)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x x ，x －x，故1(1)x dx -⎰＝1(1)x dx -⎰＋21(1)x dx -⎰＝2102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12＋12＝1.【互动探究】解：⎰表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x ，得(x －1)2＋y 2＝1(y≥0)，故0⎰表示圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，即⎰＝14π.解析：＝20sin cos x x dx π-⎰＝()40cos sin d x x x π-⎰＋()24sin cos d x x x ππ-⎰＝()sin cos 40x x π+＋()2cos sin 4x x ππ--＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.答案：22－22.解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x ，∴46212243(34)d 4()d 22x x x x v t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰＝(sin cos )20a x x π-＝⎝⎛ a sin π2－⎭⎪⎫cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2，∴a ＝1.3.解析：由定积分的几何意义知，0x ⎰是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝围成的封闭图形的面积，故x ⎰＝π²324＝9π4.答案：9π4[例2] [自主解答] (1)由v (t )＝7－3t ＋151＋t ＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋151＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 3＋＋t 4＝4＋25ln 5.(2)力F (x )做功为2010d x ⎰＋42(34)d x x +⎰＝10x 20＋243422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝20＋26＝46.[答案] (1)C (2)B解析：由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s＝()331122322222021022132()d d e 33363kx x x x kx x x x x x x kx x x ππ-⎡⎤''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥--=+- ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎣⎦⎰⎰则＝1122d t t ⎰＋312d t ⎰＋6311d 3t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰＝t 2112＋2t 31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16t 2＋t 63＝494.答案：494[例3] [自主解答] (1)由题意知二次函数f (x )＝－x 2＋1，它与x 轴所围图形的面积为11()d f x x -⎰＝12()d f x x ⎰＝2 120(1)d x x -+⎰＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43.(2)作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为4(2)d x x ⎤-⎦⎰＝)42d x x +⎰＝3224212032x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝23³8－12³16＋2³4＝163.(3)由题意知0x ⎰＝a 2.又332222033a x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭则＝a 2.即23a 32＝a 2，所以a ＝49.[答案] (1)B (2)C (3)491.解析：选A 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y 2＝x ，得两曲线的交点为(0,0)，(1,1)．所以)12d x x ⎰＝332121033x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝13，即曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是13.2.解析：如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1,0)和(1,0)． 所以S ＝221d x x -⎰＝()121d x x -⎰＋()2211d x x -⎰＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 331＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤83－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝2.答案：2[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为122010d x x ⎰＋()12121010d x x x -⎰＝3110230x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 2－103x 3112＝54.[答案] 54 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2，5x －y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.如图所示，当2<x <3时，直线5x －y －4＝0在曲线y ＝x 2＋2的上方，所以所求面积为()32254(2)d x x x ⎡⎤--+⎣⎦⎰＝()32256d x x x ⎡⎤--⎣⎦⎰＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－6x ⎪⎪⎪32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52³32－13³33－6³3－⎝ ⎛⎭⎪⎫52³22－13³23－6³2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－143＝16.答案：161.解析：选 D 因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以66()d f x x -⎰＝06()d f x x -⎰＋60()d f x x ⎰＝26()d f x x ⎰＝16.2.解析：选D 结合函数图象可得所求封闭图形的面积是33cos d x x ππ-⎰＝sin x 33ππ-＝ 3.3.解析：选C ∵f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x x ，2＋x x，∴21()d f x x -⎰＝()012d x x -+⎰＋()202d x x -⎰＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋x 220－1＋⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 2220＝32＋2＝72. 4.解析：选A 由v ＝40－10t 2＝0，得t ＝2(t ＝－2舍去)，则此物体达到最高时的高度为()2204010d t t -⎰＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 320＝40³2－103³8＝1603 (m)． 5.解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝1230()d xx x-⎰＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 4410＝13－14＝112.6.解析：选A 设图中阴影部分的面积为S (t )，则S (t )＝22()d ttx x -⎰＋122()d tx t x-⎰＝43t 3－t 2＋13，由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为S (t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S (t )min ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.7.解析：由11(2)d ax x x +⎰＝()x 2＋ln x 1a ＝()a 2＋ln a －(12＋ln 1)＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2(a >1)，得a 2＋ln a ＝4＋ln 2，所以a ＝2.答案：28.解析：依题意得()d ef x x ⎰＝12d x x ⎰＋11d ex x ⎰＝x 3310＋ln x 1e ＝13＋1＝43.答案：439.解析：由题意得y ′＝12e x '⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212e x ，所以曲线在点(4，e 2)处的切线斜率为12e 2，因此切线方程为y －e 2＝12e 2²(x －4)，则切线与坐标轴的交点为A (2,0)，B (0，－e 2)，所以S △AOB ＝12|－e 2|³2＝e 2(O 为坐标原点)．答案：e 210解：(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ²82＋b ²8＋c ＝0，4ac －b 24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0，故函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x ，得x 2－8x －t (t －8)＝0，∴x 1＝t ，x 2＝8－t .∵0≤t ≤2，∴直线l 2与f (x )的图象的交点坐标为(t ，－t 2＋8t )，由定积分的几何意义知：S (t )＝()2208(8)d tt t x x x⎡⎤-+--+⎣⎦⎰＋()222(8)8d tx x t t x⎡⎤-+--+⎣⎦⎰＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－t 2＋8t x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 20t ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2－－t 2＋8t x 2t＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403. 11解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝120()d x x x -⎰＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S2＝120()d kx x kx x ---⎰d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 310k -＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.12解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝101d 3x x ⎫⎪⎭⎰＋3112d 3x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎰＝322121036x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136. 1.解析：选C 由已知条件可得，F (x )所做的功为32()2215d x x -⎰＝433J. 2.解析：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )， 则()20d xkx x x -⎰＝()22d x x kx x -⎰，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 30x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 22x ， 整理得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169解：(1)f ′(x )＝2ax －bx ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3，f＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，f (x )＝2x 2－ln x ，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，则函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1<12，解得1≤k <32.k ＋1>12，故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. (2)设g (t )＝13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln 2＋16，根据题意可知g (t )min ≤f (x )min ，由(1)知f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋ln 2，g ′(t )＝t 2－(c ＋1)t ＋c ＝(t －1)(t －c )，当c ≤1时，g ′(t )≥0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递增，g (t )min ＝g (1)＝c2＋ln 2，满足g (t )min ≤f (x )min .当1<c <3时，g (t )在t ∈[1，c ]时单调递减，在t ∈[c,3]时单调递增，g (t )min ＝g (c )＝－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16，由－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16≤12＋ln 2，得 c 3－3c 2＋2≥0，(c －1)(c 2－2c －2)≥0，此时1＋3≤c <3.当c ≥3时，g ′(t )≤0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递减，g (t )min ＝g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2，g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2≤－3³32＋143＋l n 2≤12＋ln 2.综上，c 的取值范围是(－∞，1]∪[1＋3，＋∞)．。
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定积分与微积分基本定理一、知识梳理 1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ．(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．常用结论1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 二、习题改编1．(选修2-2P66T14改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( )A.⎠⎛－11x 2d xB ．⎠⎛－112x d xC.⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD ．⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x解析：选D.由分段函数的定义及定积分运算性质， 得⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x .故选D.2．(选修2-2P66A 组T14改编)⎠⎛2e ＋11x －1d x ＝________． 解析：⎠⎛2e ＋11x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1.答案：13．(选修2-2P55A 组T1改编)若⎠⎛0π2(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于________．解析：由题意知(－cos x －a sin x )⎪⎪⎪π20＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：－14．(选修2-2P60A 组T6改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________m.解析：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t 21 ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 答案：132一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎛01(x 2－x )d x .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)误解积分变量致误； (2)不会利用定积分的几何意义求定积分；(3)f (x )，g (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错． 1．定积分⎠⎛－12(t 2＋1)d x ＝________．解析：⎠⎛－12(t 2＋1)d x ＝(t 2＋1)x |2－1＝2(t 2＋1)＋(t 2＋1)＝3t 2＋3. 答案：3t 2＋3 2.⎠⎛22－x 2d x ＝________解析：⎠⎛022－x 2d x 表示以原点为圆心，2为半径的14圆的面积，故⎠⎛022－x 2d x ＝14π×(2)2＝π2.答案：π23．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2⎪⎪⎪20＝－83＋4＝43.答案：43[学生用书P53]定积分的计算(多维探究) 角度一 利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛122x d x ；(2)⎠⎛0πcos x d x ；(3)⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x . 【解】 (1)因为(ln x )′＝1x ，所以⎠⎛122x d x ＝2⎠⎛121xd x ＝2ln x ⎪⎪⎪21＝2(ln 2－ln 1)＝2ln 2.(2)因为(sin x )′＝cos x ，所以⎠⎛0πcos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪π0＝sin π－sin 0＝0.(3)因为(x 2)′＝2x ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，所以⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x ＝⎠⎛132x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫－1x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪31＋1x ⎪⎪⎪31＝223. 角度二 利用定积分的几何意义求定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛011－（x －1）2d x ；(2)⎠⎛－55(3x 3＋4sin x )d x .【解】 (1)根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－（x －1）2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图中阴影部分)．故⎠⎛011－（x －1）2d x ＝π4.(2)设y ＝f (x )＝3x 3＋4sin x ，则f (－x )＝3(－x )3＋4sin(－x )＝－(3x 3＋4sin x )＝－f (x )， 所以f (x )＝3x 3＋4sin x 在[－5，5]上是奇函数． 所以⎠⎛－50(3x 3＋4sin x )d x ＝－⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x .所以⎠⎛－55(3x 3＋4sin x )d x ＝⎠⎛－50(3x 3＋4sin x )d x ＋⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x ＝0.计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[提醒] 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．1.⎠⎛－11e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2解析：选C.⎠⎛－11e |x |d x ＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛01e x d x＝－e －x ⎪⎪⎪⎪1-1＋e x ⎪⎪⎪⎪1＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0) ＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C. 2.⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x d x ＝________． 解析：⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝14，⎠⎛011－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14利用定积分求平面图形的面积(师生共研)(一题多解)求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积． 【解】如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点的坐标分别为(2，－2)，(8，4)．法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和， 即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎫y ＋4－12y 2d y ＝18.设阴影部分的面积为S ，则对如图所示的四种情况分别有：(1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x .(4)S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .1．已知曲线C ：y ＝x 2＋2x 在点(0，0)处的切线为l ，则由C ，l 以及直线x ＝1围成的区域的面积等于________．解析：因为y ′＝2x ＋2，所以曲线C ：y ＝x 2＋2x 在点(0，0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝2，所以切线方程为y ＝2x ，所以由C ，l 以及直线x ＝1围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S ＝⎠⎛1(x 2＋2x －2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13.答案：132.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(0)＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，所以a ＝－1. 答案：－1定积分在物理中的应用(师生共研)(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.【解析】 (1)令v (t )＝0得，3t 2－4t －32＝0， 解得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去. 汽车的刹车距离是⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝[7t －32t 2＋25ln(t ＋1)]⎪⎪⎪40 ＝4＋25ln 5.(2)由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42 ＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)．【答案】 (1)C (2)36定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .1．物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t ，因为(t 3＋t －5t 2)′＝3t 2＋1－10t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t－5t 2＝5，整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.2．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ；力的单位： N)．解析：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ，因为⎝⎛⎭⎫13x 3＋x ′＝x 2＋1，所以原式＝342(J)．答案：342[学生用书P274(单独成册)][基础题组练]1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：选D.⎠⎛01(3x ＋e x )d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋e x ⎪⎪⎪10＝32＋e －1＝12＋e. 2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A.因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.3．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B.因为f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f （x ）d x |1＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 4．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]，x 2－1，x ∈（1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B ．π2＋3C.π4＋43D ．π4＋3解析：选A.⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43，故选A.5.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( ) A.13 B ．310C.14D ．15解析：选A.由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝13.故选A.6．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________．解析：⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x＝2⎠⎛1x 2d x ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.答案：237.⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ＝________．解析：因为x 2tan x ＋x 3是奇函数．所以⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ＝⎠⎛－111d x ＝x |1－1＝2.答案：28．一物体受到与它运动方向相反的力：F (x )＝110e x ＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x＝1时F (x )所做的功等于________．解析：由题意知W ＝－⎠⎛01⎝⎛⎭⎫110e x ＋x d x＝－⎝⎛⎭⎫110e x ＋12x 2⎪⎪⎪10＝－e 10－25. 答案：－e 10－259．求下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x .解：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 22⎪⎪⎪21－x 33⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e x d x＝sin x ⎪⎪⎪0－π＋e x ⎪⎪⎪－π＝1－1e π.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：因为(1，2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1，2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2，4)，O (0，0)，故y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝4－83＝43. [综合题组练]1．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭平面图形的面积为( )A.329B ．4－ln 3C ．4＋ln 3D ．2－ln 3解析：选B.画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭的平面图形如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.（舍） 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.故阴影部分的面积为⎠⎛13⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝ ⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪31＝4－ln 3. 2．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， 所以x 20＝13，x 0＝±33. 又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 答案：33 3.⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝________． 解析：⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积， 所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2. 而⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )⎪⎪⎪1－1 ＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e－2， 所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e －2. 答案：π2＋e －1e－2 4．若函数f (x )在R 上可导，f(x)＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________． 解析：因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 44－x 3⎪⎪⎪20＝－4. 答案：－45．如图，在曲线C ：y ＝x 2，x ∈[0，1]上取点P (t ，t 2)，过点P 作x 轴的平行线l .曲线C 与直线x ＝0，x ＝1及直线l 围成的图形包括两部分，面积分别记为S 1，S 2.当S 1＝S 2时，求t 的值．解：根据题意，直线l 的方程是y ＝t 2，且0＜t ＜1.结合题图，得交点坐标分别是A (0，0)，P (t ，t 2)，B (1，1)．所以S 1＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫t 2x －13x 3⎪⎪⎪t 0 ＝t 3－13t 3＝23t 3，0＜t ＜1. S 2＝⎠⎛t 1(x 2－t 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪1t＝⎝⎛⎭⎫13－t 2－⎝⎛⎭⎫13t 3－t 3＝23t 3－t 2＋13，0＜t ＜1. 由S 1＝S 2，得23t 3＝23t 3－t 2＋13， 所以t 2＝13.又0＜t ＜1，所以t ＝33. 所以当S 1＝S 2时，t ＝33.。