§4.05 用拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型
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电路 拉普拉斯变换
电路拉普拉斯变换电路是电子学中的基础概念之一，它描述了电流和电压在不同元件之间的传输和转换关系。
而拉普拉斯变换则是一种用于分析电路行为的数学工具，它将时间域中的电路描述转换为复频域中的代数表达式。
本文将从电路和拉普拉斯变换两个方面分别展开，探讨它们的原理和应用。
我们来了解一下电路的基本概念。
电路由电源、元件和导线组成，其中电源提供电流源，元件则包括电阻、电容和电感等。
电路中的电流和电压遵循欧姆定律和基尔霍夫定律，根据电压和电流的关系可以推导出电路的行为和特性。
通过分析电路中的电流和电压，我们可以获得电路的稳态和暂态响应，进而了解电路的工作情况和性能。
而拉普拉斯变换则是一种用于描述电路行为的数学工具。
它将时间域中的电路描述转换为复频域中的代数表达式，从而方便我们进行分析和计算。
拉普拉斯变换的核心思想是将时域函数转换为复频域函数，通过变换后的函数来描述电路中的电流和电压。
在复频域中，我们可以方便地进行代数运算和求解，进一步分析电路的特性和行为。
通过拉普拉斯变换，我们可以得到电路的传递函数，从而了解电路的频率响应和稳态特性。
传递函数描述了输入信号和输出信号之间的关系，通过对传递函数进行分析，我们可以了解电路对不同频率的输入信号的响应情况。
通过拉普拉斯变换的技巧，我们可以方便地求解传递函数，并进一步分析电路的频率响应和稳态特性。
除了频率响应和稳态特性，拉普拉斯变换还可以帮助我们分析电路的暂态响应和稳定性。
通过拉普拉斯变换，我们可以将电路的微分方程转换为代数方程，从而方便地求解电路的暂态响应。
通过分析电路的暂态响应，我们可以了解电路在初始状态和瞬态过程中的行为和特性。
此外，拉普拉斯变换还可以帮助我们分析电路的稳定性，通过求解特征方程和判断极点位置，我们可以判断电路是否稳定并进行稳定性分析。
除了理论分析，拉普拉斯变换还有广泛的应用。
在电路设计和工程实践中，我们经常需要对电路进行建模和分析。
通过拉普拉斯变换，我们可以将电路建模为复频域中的代数表达式，从而方便地进行分析和计算。
用laplace变换法分析电路
(1) H (s) h(t )
先求出H(s)
V0 ( s) 1 H ( s) 2 E ( s) r sl 1 s 2s 1 sc 1 1 1 t h(t ) L [ H ( s)] L [ ] te 2 ( s 1) 参见p181表4-1中9号公式
1 1 20t 20t h( )d [ (t ) 10e ]dt e u (t ) 0 0 2 2 t 1 1 20t t 1 20t 20t 0 2e d 40 e |0 40 (1 e )u(t )
t t
V2 (t ) e(t ) h(t ) e (t ) h( )d
用拉氏变换分析电路的步骤如下： A.将已知的电动势、恒定电流进行拉氏变 换。 B.根据原电路图画出运算等效电路图。 C.用计算线性系统或电路稳定状态的任何 方法解运算电路，求出待求量的象函数。 D.将求得的象函数变换为原函数。
*.电路如图所示： 求：
e(t )
2
1H
1F
v0 (t )
1.冲激响应h(t)=?
2.求系统的起始状态 iL (0 ), u c (0 ) 使得 在z.I.r=h(t).
3.求系统的起始状态,使系统对u(t)的激励 时的完全响应仍为u(t).
解:
用冲激平衡法求解h(t ) d 2 vc (t ) dvc (t ) LC RC vc (t ) (t )(第二章内容) 2 dt dt
20T
if . f (T ) 0, then, T 0
'
极大值点
T 0, f (T ) 400Te
'
20T
0
所以v2 (t)在t=T时为负值.
拉普拉斯变换在电路分析中的应用S域分析法
60 K1 2. 4 ( s j 3)(s j 3) s 4 K2 K3 60 2127 ( s 4)(s j 3) s j 3 60 2 127 ( s 4)(s j 3) s j 3
i(t ) [2.4e4t 4 cos(3t 127)] (t )
Us s/R I ( s ) H ( s )U ( s ) s s 1 / RC
K1
U S C Us , K2 RC 1 R(1 RC )
16
网络函数的性质
如果N为线性时不变网络，则：
17
§12-5 线性时不变电路的叠加公式
S域下的叠加原理：
Xm(s)为施加于电路的第m个外施独立电压或电流 源激励的拉氏变换；Hem为s的函数，表明第m个 外施激励及其响应的关系，即网络函数；λ(0-)为 电路内部第n个状态变量在t=0时之值，即uc(0-)或 者iL(0-)的值，Hin为s的函数，表明第n个内部初始 状态等效电源及其响应的关系。
(3) I ( s ) K3 K1 K2 ( s 4) ( s j 3) ( s j 3)
i (t ) L1[ I ( s)] (2.4e 4t 2127e j 3t 2 127e j 3t ) (t ) (2.4e 4t 2e j (3t 127) 2e j 3t 127 ) (t ) [2.4e 4t 4 cos(3t 127)] (t )
作业
下册P222 12-7，12-12，12-18
20
动态电路的相量分析法和 s域分析法
第十二章
拉普拉斯变换在电路分析中的应用 （ S域分析法）
1
§12-1 拉普拉斯变换及其几个基本性质
第四章 拉普拉斯变换,s 域分析
1 t f τ dτ f t e st d t 0 s 0
电容元件的s域模型
iC t C
v C t
1 vC ( t ) C
t
c
i ( ) d
设LiC ( t ) I C ( s ), LvC ( t ) VC ( s )
j
3．拉氏变换对
记作 : f t F s f t 称为原函数，F s 称为象函数。
考虑到实际信号都是有起因信号：
F s L f t f t e s t d t 1 σ j 1 F s e s t d s f t L f t 2π j σ j
I C ( s ) iC ( 1 ) ( 0 ) 1 VC ( s ) C s s
1 1 I C ( s ) vC (0 ) sC s
I C s
1 ( 1 ) 1 0 iC (0 ) iC ( ) d C C vC (0 )
若L f ( t ) F ( s)，则
L f ( t ) e α t F ( s α )
证明：
L f (t ) e
α t
0
f ( t ) eα t est d t F ( s α )
六．尺度变换
证明： 若L f ( t ) F ( s), 则
三．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
Lu( t )
0
1 st 1 1 e st d t s e 0 s
α s t
2.指数函数
§4.05用拉普拉斯变换法分析电路S域元件模型
第四种情况 α ω R 较大，低 Q ，不能振 0
路 0 ， 无损 LC 回 耗 的 第一种情况：α p ω p ω 2 j 0 1 j 0 E 1 j ω t j ω t C 0 0 i t e e E sin 0t L2 j ω L 0 阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。 ω 0 ω 即 R 较小 Q 的 LC ， 回 高 路 Q ， 第二种情况： α 0 2 α 2 ω ω α 引入符号 α2 ω ω d 0 0 j d
(1) 起 始 i 状 0 0 态 A, v 0 为 0 V ０ L C (2) t 0的 s域等效模型 (3) 列方程
1 E LsI s RI s I s Cs s
1 E LsI s RI s I s Cs s E E 1 I s 1 L 2 R 1 s Ls R s s sC L LC 极点 p1, p2：
第三种情况：α ω0
R 2L 1 LC
p p α 1 2
E 1 Is 这时有重根的情况， I s 表示式为 2 L s α R t E E t L i t eα te 2 L L R 越大，阻尼大，不能产 生振荡，是临界情况
2 2 2 2 α ω E 1 0 α ω t αt t 0 i t e e e 2 2 L 2 α ω
Is ( ) c [ s U ( s ) u ( 0 ) ] c c c
I ( s ) scU ( s ) cu ( 0 ) c c c
u 0 ) 1 c( U s ) I s ) c( c( sc s
信号与系统课件(郑君里版)第四章
2 j j
F(s) L
[ f (t)]
f (t)estdt
0
f (t) L -1[F (s)]
1
j F (s)estds
2 j j
f (t) 原函数
F (s) 象函数
5
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
0
0
s j
F (s) f (t)estdt 0
单边拉氏变换
FB (s)
f (t)estdt
双边拉氏变换
4
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1(t)
f
(t )e t
1
2
F1
()e
jt
d
起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统
性能的许多规律。
2
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)
p
f (t) F(s)
d f (t) dt
sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d
s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
F(s) L
[ f (t)]
f (t)estdt
0
f (t) L -1[F (s)]
1
j F (s)estds
2 j j
f (t) 原函数
F (s) 象函数
5
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
0
0
s j
F (s) f (t)estdt 0
单边拉氏变换
FB (s)
f (t)estdt
双边拉氏变换
4
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1(t)
f
(t )e t
1
2
F1
()e
jt
d
起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统
性能的许多规律。
2
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)
p
f (t) F(s)
d f (t) dt
sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d
s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
4拉普拉斯变换连续时间系统的S域分析讲解
求出k1 , k2 , k3 kn ,即可将F s 展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数 3. 第三种情况：有重根存在 4. F(s)两种特殊情况: 含e s的非有理式 非真分式—— 化为真分式＋多项式
收敛坐标 σ0
O
σ
一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
一些常用函数的(单边)拉氏变换:P181表4-1
1.阶跃函数: F ( ) F [ f (t )] u(t )e j t dt [ 1 1 sgn( t )]e j t dt π ( ) 1
f (t )e j0t F 0
f (t ) jF ( )
f (t ) eα t F(s α)
sF ( s ) f (0 )
F ( s ) f 1 (0 ) s s
d F ( s) ds
t
f d
F ( ) πF (0) ( ) j
1 j t F F ( ) f ( t ) F ω e dω 2 以傅里叶变换为基础的频域 分析方法的优点和不足： F f (t ) F ω f (t ) e j t d t • 有清楚的物理意义 • 只能处理符合狄利克雷条件的信号-绝对可积条件： s j f t d t
2)求 e α t cos ω0t的拉氏变换.
3)求f (t ) tu(t 1)的拉氏变换 .
π 4)已知f (t ) ＝ 2 cos(t )u(t ), 求F(s)。 4
§ 4.4 拉普拉斯逆变换 拉氏逆变换的方法： (一)部分分式法 (二)利用留数定理——围线积分法
(三)数值计算方法——利用计算机 拉氏逆变换的过程：部分分式法
拉普拉斯变换在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的应用
1.电路元件参数的拉普拉斯变换
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于将电路中的元件参数转化为复
频域的表达式。
例如，电阻、电感和电容的电压和电流之间的关系可以通
过拉普拉斯变换来表示。
这种方法可以简化电路的计算和分析过程。
2.电路的传递函数
3.零极点分析
利用拉普拉斯变换，可以计算电路的传递函数的零点和极点。
零点和
极点决定了电路的频率响应和稳定性。
通过分析电路的零极点分布，可以
优化电路的性能和稳定性。
4.阻抗和导纳分析
5.信号处理和滤波器设计
总结：
拉普拉斯变换在电路分析中有广泛的应用。
通过将电路中的元件和信
号转化为复频域的表达式，拉普拉斯变换可以简化电路的计算和分析过程。
具体而言，它可以用来分析电路的传递函数、频率响应、零极点分布、阻
抗和导纳等。
此外，拉普拉斯变换还可以用于信号处理和滤波器设计。
因此，掌握和应用拉普拉斯变换对于电路工程师和电子技术人员来说是非常
重要的。
第四章拉普拉斯变换及S域分析
• 直接按电路的s域模型建立代数方程。
求解s域方程。 ，得到时域解答。
二．微分方程的拉氏变换
我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知 道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态， 求出元件的s域模型。
三．利用元件的s域模型分析电路
1.电路元件的s域模型
·电阻元件的s域模型
·电感元件的s域模型
Zl1(s)I1(s) Zll (s)Il (s) Vl (s)
系统函数求响应
则其矩阵形式为V ZI 或 I Z 1V
第k个回路电流
Ik
(s)
jk
Vj (s)
网络函数H (s)
Ykj (s)
Ik (s) Vj (s)
jk
其中为Z 方阵的行列式，称回路分析行列式或特征方程式；
E1 R1
E2 R2
1 s
s
1 1
IL (s)
IL0 (s)
E1 sR1
E2 sR2
E1 R1
E2 R2
1 s1
L1 iL (t)
E2 R2
E1 R1
E2 R2
e
t
u(t)
第六节
系统函数 （网络函数）H(s)
系统函数 1.定义
系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比
部分分式展开法
设F1 (s)
A( s ) D(s)
则F (s) F1(s) (s p1)k
分解
(s
K11 p1
)k
(s
K1i p1 )k i1
K1k s p1
部分分式展开法
其中K1i
(i
1 1)!
d i1 dsi1
F1(s) s p1
求解s域方程。 ，得到时域解答。
二．微分方程的拉氏变换
我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知 道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态， 求出元件的s域模型。
三．利用元件的s域模型分析电路
1.电路元件的s域模型
·电阻元件的s域模型
·电感元件的s域模型
Zl1(s)I1(s) Zll (s)Il (s) Vl (s)
系统函数求响应
则其矩阵形式为V ZI 或 I Z 1V
第k个回路电流
Ik
(s)
jk
Vj (s)
网络函数H (s)
Ykj (s)
Ik (s) Vj (s)
jk
其中为Z 方阵的行列式，称回路分析行列式或特征方程式；
E1 R1
E2 R2
1 s
s
1 1
IL (s)
IL0 (s)
E1 sR1
E2 sR2
E1 R1
E2 R2
1 s1
L1 iL (t)
E2 R2
E1 R1
E2 R2
e
t
u(t)
第六节
系统函数 （网络函数）H(s)
系统函数 1.定义
系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比
部分分式展开法
设F1 (s)
A( s ) D(s)
则F (s) F1(s) (s p1)k
分解
(s
K11 p1
)k
(s
K1i p1 )k i1
K1k s p1
部分分式展开法
其中K1i
(i
1 1)!
d i1 dsi1
F1(s) s p1
第四章拉普拉斯变换及s域分析详解
F[ f (t)e t ] f (t)e te jtdt f (t)e( j)tdt F ( j)
令s j,则上式为
Fb (s)
f (t)est dt
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
5
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
4 单边拉普拉斯变换
由于在实际问题中所遇到的大部分信号都是因果的， 即f(t)=0(t<0)
t
收敛区为s平面的右半平面。
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
10
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
常见函数的拉式 变换如右，这6对 变换对需牢记
u(t) 1 s
(t) ห้องสมุดไป่ตู้1
et 1
s
tn
n! s n 1
sin t
s2
2
cos t
s2
s
2
t
1 s2
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
定义单边拉式正变换为 F (s) f (t)estdt 0－
说明：
①s是复参量，s j, F(s)是以s为自变量的复变函数 ②积分下线定为0 ，包括了 (t)，从而无需计算0-到0+的跳变
③拉氏正反变换的简记形式 F (s) L[ f (t)] 或 f (t) F (s) f (t) L1[F (s)] 或 F (s) f (t)
新得到的信号满足绝对可积条件，因此其傅里叶 变换存在。
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
4
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
3 引出拉普拉斯变换
由前述可知
lim f (t)e t ( 为实数)容易收敛。
§ 4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型
1 VR (s) + sVR (s) − 2E = 0 RC
三．利用元件的s域模型分析电路
1.电路元件的s域模型 2.电路定理的推广 KCL : ∑i(t ) = 0 → ∑I(s) = 0 i(t ) ↔ I (s),
v(t ) ↔V (s)
KVL : ∑v(t ) = 0 → ∑V(s) = 0
我们采用0 系统求解瞬态电路，简便起见， 瞬态电路 我们采用 -系统求解瞬态电路，简便起见，只要知 起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态， 道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态， 求出元件的s域模型 域模型。 求出元件的 域模型。
例4-5-1
− E t < 0 已知 e(t ) = E t >0 求vC (t ), vR (t )。
2
2
逆变换
E i(t ) = e p1t − e p2t L( p1 − p2 )
(
)
设 则
R 1 α＝ ,ω = 0 2L LC
第一种情况： α LC (无损耗的 回路) 第一种情况： = 0， ω α Q 第二种情况： 较小， Q 回路， 第二种情况： < ω 即R较小，高 的LC回路， = 0 0 2α α 第三种情况 = ω 0
vC (t )
E
E • vC (t )从0−的− E充电到 ;
t
O
• 在求vC (t )时，其 0− 和0+ 符合 换路定则， 均可。 换路定则，采用 0− 和0+ 均可。
−E
求 v (t ) = ? R
1 （）vR (0− ) = 0, vR (0+ ) = 2E (2)以vR (t )为变量列微分方程
4拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
∞
•
运用傅里叶反变换对频率 进行的无穷积分求解困难
优点：求解比较简单， 优点：求解比较简单，特别是对系统的微分 方程进行变换时，初始条件被自动计入。 方程进行变换时，初始条件被自动计入。 • 缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。 缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。 本章主要内容：傅氏变换→拉氏变换、拉氏变换的性质、 本章主要内容：傅氏变换→拉氏变换、拉氏变换的性质、以拉氏变换为 •
3)查拉氏变换表求 (t) f
部分分式法: 部分分式法 1.第一种情况：单阶实数极点 1.第一种情况：单阶实数极点 第一种情况
A(s) F(s) = (s − p1 )(s − p2 )L(s − pn )
p1 , p2 , p3 Lpn为不同的实数根
F(s) = kn k1 k2 + +L+ s − p1 s − p2 s − pn
t
0−
t
c1 f1(t) + c2 f2 (t )
f (at )
c1F1(ω) + c2F2 (ω)
1 ω F a a
c1F1(s) + c2F2 (s)
1 s F a a
(a > 0)
f (t − t0 )
F(ω)e− jωt0
F(s)e−st0
f (t)e−jω0t ↔F(ω+ ω0 )
f ′(t ) jωF(ω)
f (t)e−αt ↔F(s + α)
sF(s) − f (0− )
F(s) f (−1) (0− ) + s s
d F(s) ds
∫
t
−∞
f (τ ) dτ
F(ω) + πF(0)δ (ω) jω
•
运用傅里叶反变换对频率 进行的无穷积分求解困难
优点：求解比较简单， 优点：求解比较简单，特别是对系统的微分 方程进行变换时，初始条件被自动计入。 方程进行变换时，初始条件被自动计入。 • 缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。 缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。 本章主要内容：傅氏变换→拉氏变换、拉氏变换的性质、 本章主要内容：傅氏变换→拉氏变换、拉氏变换的性质、以拉氏变换为 •
3)查拉氏变换表求 (t) f
部分分式法: 部分分式法 1.第一种情况：单阶实数极点 1.第一种情况：单阶实数极点 第一种情况
A(s) F(s) = (s − p1 )(s − p2 )L(s − pn )
p1 , p2 , p3 Lpn为不同的实数根
F(s) = kn k1 k2 + +L+ s − p1 s − p2 s − pn
t
0−
t
c1 f1(t) + c2 f2 (t )
f (at )
c1F1(ω) + c2F2 (ω)
1 ω F a a
c1F1(s) + c2F2 (s)
1 s F a a
(a > 0)
f (t − t0 )
F(ω)e− jωt0
F(s)e−st0
f (t)e−jω0t ↔F(ω+ ω0 )
f ′(t ) jωF(ω)
f (t)e−αt ↔F(s + α)
sF(s) − f (0− )
F(s) f (−1) (0− ) + s s
d F(s) ds
∫
t
−∞
f (τ ) dτ
F(ω) + πF(0)δ (ω) jω
第4章_拉普拉斯变换、连续系统的S域分析1
19
小结：(拉氏变换有三类情况)
第一类：增长的指数信号(如双曲函数等) 只有拉氏变换而无傅氏变换 第二类： 0
0 0
e
t
0
( 0)
F ( s) F ( ) S j
拉氏变换、付氏变换都存在，且 如衰减的指数信号：
e
t
1 F ( ) j
1 F ( s) s
df (t ) L[ ] dt
sF (s) f (0 )
df 2 (t ) L[ ] s 2 F ( s) sf (0 ) f (0 ) dt 2 若f(t)为有始函数,则
df (t )u (t ) f (t ) f (t )u (t ), L[ ] sF ( s) dt
第4章 拉普拉斯变换、连续系统的 S域分析
4.1 引言 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 4.3拉普拉斯变换的基本性质 4.4拉普拉斯逆变换 4.5用拉普拉斯变换法分析电路、s域的元件模型 4.6系统函数H(s) 4.7系统函数的零、极点分布决定时域特性 4.8系统函数的零、极点分布决定频域特性 4.10全通网络和最小相移函数的零极点分布 4.11线性系统的稳定性
( a)
1 dt s
由此，可导出一些常用的函数的拉氏变换
1 1 (a)令 0, L[u (t )] , 即u (t ) s s
14
e
t
1 s
(b) 单边正弦信号 sin 0t u(t )
1 jt jt L[sin t ] L[ (e e )] 2j 1 1 1 [ ] 2 j s j s j s
称 为衰减因子；称 e t为收敛因子。
5
小结：(拉氏变换有三类情况)
第一类：增长的指数信号(如双曲函数等) 只有拉氏变换而无傅氏变换 第二类： 0
0 0
e
t
0
( 0)
F ( s) F ( ) S j
拉氏变换、付氏变换都存在，且 如衰减的指数信号：
e
t
1 F ( ) j
1 F ( s) s
df (t ) L[ ] dt
sF (s) f (0 )
df 2 (t ) L[ ] s 2 F ( s) sf (0 ) f (0 ) dt 2 若f(t)为有始函数,则
df (t )u (t ) f (t ) f (t )u (t ), L[ ] sF ( s) dt
第4章 拉普拉斯变换、连续系统的 S域分析
4.1 引言 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 4.3拉普拉斯变换的基本性质 4.4拉普拉斯逆变换 4.5用拉普拉斯变换法分析电路、s域的元件模型 4.6系统函数H(s) 4.7系统函数的零、极点分布决定时域特性 4.8系统函数的零、极点分布决定频域特性 4.10全通网络和最小相移函数的零极点分布 4.11线性系统的稳定性
( a)
1 dt s
由此，可导出一些常用的函数的拉氏变换
1 1 (a)令 0, L[u (t )] , 即u (t ) s s
14
e
t
1 s
(b) 单边正弦信号 sin 0t u(t )
1 jt jt L[sin t ] L[ (e e )] 2j 1 1 1 [ ] 2 j s j s j s
称 为衰减因子；称 e t为收敛因子。
5
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第
电阻元件的s域模型
6 页
v R t RiR t
VR(s) RIR(s)
或I
R
(
s)
VR (s) R
R IR(s)
VR(s)
第
电感元件的s域模型
7 页
vL
t
L
d
iL t
dt
VL ( s) I L ( s)Ls LiL (0 )
I L s
Ls
Li
L
0
VLs
利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型：
三．利用元件的s域模型分析电路
第 5
页
1.电路元件的s域模型
2.电路定理的推广
i(t ) I (s), KCL : i(t ) 0 I (s) 0
v(t ) V (s) KVL : v(t) 0 V (s) 0
线性稳态电路分析的各种方法都适用。
3.求响应的步骤 • 画0-等效电路，求起始状态； • 画s域等效模型； • 列s域方程（代数方程）； • 解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)； • 拉氏反变换求v(t)或i(t)。
VC s
第
求响应的步骤
9
页
• 画0-等效电路，求起始状态； • 画s域等效模型； • 列s域方程（代数方程）； • 解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)； • 拉氏反变换求v(t)或i(t)。
单选题 1分
第 10
页
电感元件的电流初始值为 i (0 ) ，电感的S域模型 L
为：
A
I L s
vR(t)
R e(t) C
iC (t)
vC (t)
二．微分方程的拉氏变换
第 4
页
L
d
f d
(t t
)
sF (s)
f (0 )
d f 2(t)
L
dt2
ssF s
f 0
f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知 道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态， 求出元件的s域模型。
§ 4.5 用拉普拉斯变换法分析
电路、s域元件模型
北京邮电大学电子工程学院
主要内容
第 2
页
一. 用拉氏变换法分析电路的步骤
第 3
页
列s域方程（可以从两方面入手） • 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；
• 直接按电路的s域模型建立代数方程。
求解s域方程。 F (s) f (t ) ，得到时域解答。
I
L
(
s)
VL(s) Ls
1 s
iL
(0
)
I L s
Ls
1 s
i
L
0
VLs
第
电容元件的s域模型
8 页
vC
t
1 C
t
iC
d
t
VC
(s)
IC (s)
1 sC
1 s
vC
(0
)
电流源形式：
IC (s) sCVC (s) CvC (0 )
1
IC s sC
1 s
v
C
0
VC s
1
IC s
sC
CvC 0
LS
Li
L
0
VLs
1
B
I L s
LS
Li
L
0
VLs
1
LS
C
I L s
Ls
i(0 )
1
LS
D
我做对了吗？
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