广西南宁市2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题理

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广西省南宁市第三中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(理)试题(含参考答案)

南宁三中2018~2019学年度下学期高二月考（一）理科数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1. 某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A. 3种B. 6种C. 9种D. 18种【答案】C【解析】试题分析：由题意该同学选课方式有A类选一门，B类选2门或A类选2门，B类选1门共有种．考点：组合问题．2.从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(已知口袋中的红球、绿球数都大于2)，那么互斥而不对立的两个事件是( )A. 至少有一个是红球，至少有一个是绿球B. 恰有一个红球，恰有两个绿球C. 至少有一个红球，都是红球D. 至少有一个红球，都是绿球【答案】B【解析】【分析】列举事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【详解】基本事件为：一个红球一个绿球；两个红球，两个绿球.选项A：这个事件既不互斥也不对立；选项B，是互斥事件，但是不是对立事件；选项C，既不互斥又不对立；选项D，是互斥事件也是对立事件.故答案为：B.【点睛】本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题3.某运动员投篮命中率为0.6.他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为，得分为，则，分别为（）A. 0.6，60B. 3，12C. 3，120D. 3，1.2【答案】C【解析】本题考查离散型随机变量的分布列,二项分布的期望和方差及性质.若则，其中是常数根据题意知，则故选C4.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.2【答案】C【解析】由正太分布的概率的性质可得，则，应选答案C。

点睛：解答本题的思路是借助正太分布的函数图像的对称性，巧妙将问题进行等价转化，先求得，再借助所有概率之和为1的性质求得，从而使得问题巧妙获解。

2017-2018学年(新课标)最新广西南宁市高二下期末数学试卷(理)(有答案)-精品试题

2017-2018学年广西南宁市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．每小题有且只有一个正确答案．）1．全称命题：∀x∈R，x2+5x=4的否定是（）A．∃x∈R，x2+5x=4 B．∀x∈R，x2+5x≠4 C．∃x∈R，x2+5x≠4 D．以上都不正确2．i是虚数单位，复数等于（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．椭圆+=1的焦点坐标是（）A．（±5，0）B．（0，±5）C．（0，±12）D．（±12，0）4．函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）5．双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．6．曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+27．已知点A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C为线段AB上一点，且3||=||，则点C的坐标是（）A． B．C． D．8．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A．2个 B．1个 C．3个 D．4个9．若向量=（1，x，0），=（2，﹣1，2），，夹角的余弦值为，则x等于（）A．﹣1 B．1 C．1或7 D．﹣1或﹣710．若（2x+）dx=3+ln2，则a的值是（）A．6 B．4 C．3 D．211．由y=，x轴及x=1，x=2围成的图形的面积为（）A．ln2 B．lg2 C．D．112．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．设复数z满足，则z= ．14．抛物线y2=﹣8x的焦点坐标是．15．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为．16．用数学归纳法证明等式时，第一步验证n=1时，左边应取的项是三、解答题：（本大题共70分）17．已知z∈C，表示z的共轭复数，若z•+i•z=，求复数z．18．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，试确定点F 的位置，使得D1E⊥平面AB1F．19．设函数y=4x3+ax2+bx+5在x=与x=﹣1时有极值．（1）写出函数的解析式；（2）指出函数的单调区间．20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+b在x=1处有极值2．求函数f（x）=x2﹣2ax+b在闭区间[0，3]上的最值．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．22．已知a∈R，函数f（x）=（﹣x2+ax）e x（x∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分．每小题有且只有一个正确答案．）1．全称命题：∀x∈R，x2+5x=4的否定是（）A．∃x∈R，x2+5x=4 B．∀x∈R，x2+5x≠4 C．∃x∈R，x2+5x≠4 D．以上都不正确【考点】全称命题；命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴∀x∈R，x2+5x=4的否定是：∃x∈R，x2+5x≠4．故选：C．2．i是虚数单位，复数等于（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的除法运算进行化简计算．【解答】解：．故选B．3．椭圆+=1的焦点坐标是（）A．（±5，0）B．（0，±5）C．（0，±12）D．（±12，0）【考点】椭圆的简单性质．【分析】由a，b，c的关系即可得出焦点坐标．【解答】解：椭圆的方程+=1中a2=169，b2=25，∴c2=a2﹣b2=144，又该椭圆焦点在y轴，∴焦点坐标为：（0，±12）．故选：C．4．函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x）令其小于0即可得到函数是减函数的区间．【解答】解：由f′（x）=3x2﹣6x＜0，得0＜x＜2∴函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（0，2）．故答案为D．5．双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的离心率为==，化简得到结果．【解答】解：由双曲线的离心率定义可得，双曲线的离心率为===，故选B．6．曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选A．7．已知点A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C为线段AB上一点，且3||=||，则点C的坐标是（）A． B．C． D．【考点】空间向量的数乘运算．【分析】C为线段AB上一点，且3||=|||，可得，利用向量的坐标运算即可得出．【解答】解：∵C为线段AB上一点，且3||=|||，∴，∴=（4，1，3）+（﹣2，﹣6，﹣2），=．故选：C．8．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A．2个 B．1个 C．3个 D．4个【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值．【解答】解：如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值，∵在点B的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，且f′（x B）=0．∴函数f（x）在点B处取得极小值．故选：B．9．若向量=（1，x，0），=（2，﹣1，2），，夹角的余弦值为，则x等于（）A．﹣1 B．1 C．1或7 D．﹣1或﹣7【考点】空间向量的数量积运算．【分析】由已知利用cos＜＞==，能求出x的值．【解答】解：∵向量=（1，x，0），=（2，﹣1，2），，夹角的余弦值为，∴cos＜＞===，解得x=1．故选：B．10．若（2x+）dx=3+ln2，则a的值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【考点】定积分．【分析】将等式左边计算定积分，然后解出a．【解答】解：因为（2x+）dx=3+ln2，所以（x2+lnx）|=a2﹣1+lna=3+ln2，所以a=2；故选D．11．由y=，x轴及x=1，x=2围成的图形的面积为（）A．ln2 B．lg2 C．D．1【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用定积分的几何意义将所求首先利用定积分表示，然后计算．【解答】解：由y=，x轴及x=1，x=2围成的图形的面积为：=lnx|=ln2﹣ln1=ln2；故选：A．12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解答】解：以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系（图略），则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），C 1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB 1D 1D 的一个法向量．∴cos ＜，＞═=．∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为故答案为D ．二、填空题（每小题5分，共20分）13．设复数z 满足，则z= 2﹣i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接化简复数方程，复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，求出复数z 即可．【解答】解：，可得z=故答案为：2﹣i14．抛物线y 2=﹣8x 的焦点坐标是（﹣2，0）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线的标准方程，可判断出焦点所在的坐标轴和p ，进而求得焦点坐标．【解答】解：∵抛物线方程y 2=﹣8x ， ∴焦点在x 轴，p=4，∴焦点坐标为（﹣2，0）故答案为（﹣2，0）．15．曲线y=x 3在点（1，1）处的切线与x 轴、直线x=2所围成的三角形的面积为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=x 3，∴y'=3x 2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为： y ﹣1=3×（x ﹣1），即3x ﹣y ﹣2=0．令y=o得：x=，∴切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为：S=×（2﹣）×4=故答案为：．16．用数学归纳法证明等式时，第一步验证n=1时，左边应取的项是1+2+3+4【考点】用数学归纳法证明不等式．【分析】本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，由等式，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案．【解答】解：在等式中，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4故答案为：1+2+3+4三、解答题：（本大题共70分）17．已知z∈C，表示z的共轭复数，若z•+i•z=，求复数z．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设出复数的代数形式，利用两个复数的乘法法则和两个复数相等的条件建立方程组，用待定系数法求复数．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a﹣bi，z•+i•z=（a+bi）（a﹣bi）+i（a+bi）=a2+b2+ai﹣b=（a2+b2﹣b）+ai．又∵z•+i•z=，∴（a2+b2﹣b）+ai==3﹣i．根据复数相等的充要条件得解得或∴z=﹣1﹣i或z=﹣1+2i．18．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，试确定点F 的位置，使得D1E⊥平面AB1F．【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】建立空间直角坐标系，表示出直线D1E所在的向量与AF，AB1所在的向量，利用线面垂直关系得到向量的数量积为0，进而得到答案．【解答】（本小题满分12分）解：如图建立空间直角坐标系：则A（1，0，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），E（，1，0）．设F（0，y，0），则=（0，1，1），=（﹣1，y，0），=（，1，﹣1），要使D1E⊥平面AB1F，只需：，即：，即：y=．∴当F为CD中点时，有D1E⊥平面AB1F．19．设函数y=4x3+ax2+bx+5在x=与x=﹣1时有极值．（1）写出函数的解析式；（2）指出函数的单调区间．【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）先求出函数的导函数f′（x），然后根据在x=与x=﹣1时有极值，导数值为0，结合韦达定理可得a，b的值，进而得到函数的解析式；（2）分析导函数在定义域各个子区间上的符号，可得函数的单调区间．【解答】解：（1）∵y=4x3+ax2+bx+5，∴y′=12x2+2ax+b，又∵函数y=4x3+ax2+bx+5在x=与x=﹣1时有极值，故x=与x=﹣1为方程y′=12x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定理得：﹣1==﹣=，×（﹣1）==，解得a=﹣3，b=﹣18，故y=4x3﹣3x2﹣18x+5，（2）由（1）得y′=12x2﹣6x﹣18=6（2x﹣3）（x+1），当x∈（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）时，y′＞0，当x∈（﹣1，）时，y′＜0，故函数y=4x3﹣3x2﹣18x+5的单调调增区间为：（﹣∞，﹣1），（，+∞）；单调递减区间为：（﹣1，）．20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+b在x=1处有极值2．求函数f（x）=x2﹣2ax+b在闭区间[0，3]上的最值．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由已知得f′（x）=2x﹣2a，且，由此利用导数性质能求出函数f（x）=x2﹣2ax+b在闭区间[0，3]上的最值．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2ax+b，∴f′（x）=2x﹣2a，∵f（x）在x=1时有极值2，∴，解方程组得：a=1，b=3，∴f（x）=x2﹣2x+3，…．当x∈[0，1]时，f′（x）＜0，∴f（x）单调递减，当x∈[1，3]时，f′（x）＞0，∴f（x）单调递增，且f（0）=3，f（1）=2，f（3）=6，∴f（x）的最大值为6，f（x）最小值为2．…21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）由题意，得由此能够得到椭圆C的方程．（2）设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由消y得，3x2+4mx+2m2﹣8=0，再由根的判断式结合题设条件能够得到m的值．【解答】解：（1）由题意，得解得∴椭圆C的方程为．（2）设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由消y得，3x2+4mx+2m2﹣8=0，△=96﹣8m2＞0，∴﹣2＜m＜2．∴=﹣，．∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=1上，∴，∴．22．已知a∈R，函数f（x）=（﹣x2+ax）e x（x∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．【分析】（Ⅰ）求导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）f′（x）=[﹣x2+（a﹣2）x+a]e x，若f（x）在（﹣1，1）内单调递增，即当﹣1＜x＜1时，f′（x）≥0，即﹣x2+（a﹣2）x+a≥0对x∈（﹣1，1）恒成立，分离参数求最值，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=（﹣x2+2x）e x，f′（x）=﹣（x2﹣2）e x令f′（x）＞0，得x2﹣2＜0，∴﹣＜x＜∴f（x）的单调递增区间是（﹣，）；（Ⅱ）f′（x）=[﹣x2+（a﹣2）x+a]e x，若f（x）在（﹣1，1）内单调递增，即当﹣1＜x＜1时，f′（x）≥0，即﹣x2+（a﹣2）x+a≥0对x∈（﹣1，1）恒成立，即a≥对x∈（﹣1，1）恒成立，令y=，则y′=∴y=在（﹣1，1）上单调递增，∴y＜1+1﹣=∴当a=时，当且仅当x=0时，f′（x）=0∴a的取值范围是[，+∞）．。

广西南宁市第三中学1718学年度高二下学期第一次月考—

广西南宁市第三中学2017—2018学年度下学期第一次月考高二数学理试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案。

）1．下列不等式中错误的是（） A ．若，则 B ．若，则 C ．若，则 D ．若，则2．等差数列的前n 项和为，若，则（） A ．8 B ．10 C ．14 D ．12 3．命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是（） A ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠- B ．(0,),ln 1x x x ∀∉+∞=-C ．000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠-D ．000(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=-4．若，则（） A ．1 B ． C ． D ． 5．直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A ．B ．C ．D ． 6．甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话：甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了.” 乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了.” 丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了.”结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是（） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 丙、丁 D. 甲、丁 7．已知，数列的前n 项和为，则的最小值为（） A ．0 B ．1 C ． D ．8．在中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若角A,B,C 成等差数列，边a,b,c 成等比数列，则的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 9．在平面直角坐标系中，若x,y 满足不等式组22x y x≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩，则的最大值是（）A ．2B ．C ．D ．2010．“”是“函数22cos ()sin ()y ax ax =-的最小正周期为4”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D 四点，四边形ABCD 的面积的最大值为（） A ．8 B ． C ．4 D ．1612．设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ＜1，ln x ，x ＞1 图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(0，2) C ．(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设复数，则。

2017_2018学年高二数学下学期第一次月考试题文

广西南宁市第三中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案。

）1．已知集合{}{}221,30A x x B x x x =-<<=-<，那么A B =（）A. {}23x x -<< B. {}01x x <<C. {}20x x -<<D. {}13x x <<2．已知i 是虚数单位，则复数21i=+（）A. 2i -B. 2iC. 1i -D. 1i +3．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图。

已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（） A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温C. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D. 最低气温低于0℃的月份有4个4．已知曲线()322f x x ax =-+在点()()1,1f 处切线的倾斜角为34π，则a 等于（）A. 2B. 2-C. 3D. 1-5．在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边长，1cos b cA c++=，则三角形的形状为（） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形C. 正三角形D. 直角三角形6．设实数,x y 满足不等式组22 0y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则4y x +的取值范围是（）A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．设R b a ∈,，则“22b a >”是“033>>b a ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图所示，程序框图的输出值S =（）A ．15B ．22C ．24D ．28第8题图第9题图9．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（）cm 3A. 6+32π B. 623π+C. 4+32π D. 4+23π 10．已知函数()f x 对一切实数,a b 满足()()()fa b f a f b+=⋅,且()12f =,若()()()()2*221n f n f n a n N f n ⎡⎤+⎣⎦=∈-,则数列{}n a 的前n 项和为( )A. nB. 2nC. 4nD. 8n11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭B. ()1,2C. 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. ()2,+∞12．已知函数3ln ,1()1,1xx f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩，若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A. (],0-∞B. 1(0,)eC. 1(,)e-∞D. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{}n a 的678a a a ++=9，则前13项的和为_____________.14．若θ为锐角，sin θ=sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________． 15．设数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知S n =2n －a n （n∈N +），通过计算数列的前四项，猜想n a =___.16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()10f =，()()20(0)xf x f x x x ->>'，则不等式()0xf x >的解集是__________．三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余小题各12分，共70分）17．（本题10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，满足()cos 2cos 0c B a b C ++= （1）求角C ；（2）若c =ABC ∆面积的最大值.18．（本题12分）已知等差数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,且255,35.a S == （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n T ,求n T .19．（本题12分）某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其余人员不喜欢运动．（1）根据以上数据完成2×2列联表，并说明是否有95%的把握认为性别与喜欢运动有关；（2）如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责处理应急事件，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率.附：K2＝()()()()()2n ad bca b c d a c b d-++++，20．（本题12分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，BC =AC =D 为线段AB 上的点，且2AD DB =，PD AC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABC ；（2）若4PAB π∠=，求点B 到平面PAC 的距离.21．（本题12分）在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到两点()),的距离之和等于4,设动点P 的轨迹为曲线C ,直线L 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ,B 两点. （1）求曲线C 的方程;（2）ΔAOB 的面积是否存在最大值?若存在,求此时ΔAOB 的面积,若不存在说明理由.22．（本题12分）已知函数()x xf x e=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：12ln x x e ex>-.南宁三中2017~2018学年度下学期高二月考（一）文科数学试题答案1．A 【解析】∵{}{}{}21,03,23A x x B x x AB x x =-<<=<<∴=-<<，故选：A 。

广西壮族自治区南宁市新智中学高二数学理月考试卷含解析

广西壮族自治区南宁市新智中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. =（）A．1 B．e-1 C．e D．e+1参考答案：C2. 已知两直线：互相平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．参考答案：D略3. F1，F2是双曲线的左、右焦点，过左焦点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．参考答案：A略4. 如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则+(+)等于（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】空间向量的加减法．【分析】先求出则（+）=，根据向量的加法运算法则计算即可．【解答】解：∵G是CD的中点，∴=+=，故选：D．【点评】本题考查了数形结合思想，考查向量的运算性质，是一道基础题．5. 已知点A（﹣1，0）、B（1，0），P（x0，y0）是直线y=x+2上任意一点，以A、B为焦点的椭圆过点P．记椭圆离心率e关于x0的函数为e（x0），那么下列结论正确的是( )A．e与x0一一对应B．函数e（x0）无最小值，有最大值C．函数e（x0）是增函数D．函数e（x0）有最小值，无最大值参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由题意可得c=1，椭圆离心率e=，由椭圆的定义可得PA+PB=2a，a=，再由PA+PB 有最小值而没有最大值，从而得出结论．【解答】解：由题意可得c=1，椭圆离心率e==．故当a取最大值时e取最小，a取最小值时e取最大．由椭圆的定义可得PA+PB=2a，a=．由于PA+PB 有最小值而没有最大值，即a有最小值而没有最大值，故椭圆离心率e 有最大值而没有最小值，故B正确，且 D不正确．当直线y=x+2和椭圆相交时，这两个交点到A、B两点的距离之和相等，都等于2a，故这两个交点对应的离心率e相同，故A不正确．由于当x0的取值趋于负无穷大时，PA+PB=2a趋于正无穷大；而当当x0的取值趋于正无穷大时，PA+PB=2a也趋于正无穷大，故函数e（x0）不是增函数，故C不正确．故选B．【点评】本题主要考查椭圆的定义、以及简单性质的应用，属于中档题．6. 已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）参考答案：D【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），构造为g（x+1）＞g（x2﹣1），问题得以解决．【解答】解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，∵f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），x∈（0，+∞），∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x﹣1）f（x2﹣1），∴（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），∴g（x+1）＞g（x2﹣1），∴x+1＜x2﹣1，解得x＞2．故选：D．7. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）与参考答案：D8. 设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )参考答案：D9. 已知点F1(－4,0)、F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，则该曲线的方程为( )A.－＝1(x≥3)B.－＝1C.－＝1(y≥3)D.－＝1参考答案：A略10. 曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．【解答】解：曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．故选D．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.参考答案：－612. 若正三棱柱的棱长均相等，则与侧面所成角的正切值为___.参考答案：13. 由下列事实：，，，,可得到合理的猜想是。

广西壮族自治区南宁市市第一中学高二数学理月考试题含解析

广西壮族自治区南宁市市第一中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知平面，，直线，，且有，，则下列四个命题正确的个数为（）．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；A．B．C．D．参考答案：A若，则，又由，故，故①正确；若，，则或，故②错误；若，则与相交、平行或异面，故③错误；若，则与相交，平行或，故④错误．故四个命题中正确的命题有个．故选．2. 在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B略3. 已知命题，则（） A． B．C． D．参考答案：C略4. 方程表示的图形是（）Ａ．以为圆心，为半径的圆Ｂ．以为圆心，为半径的圆Ｃ．以为圆心，为半径的圆Ｄ．以为圆心，为半径的圆参考答案：D5. 若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是( )A． B．C． D．参考答案：A略6. 若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga?lgb的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．参考答案：B【考点】基本不等式．【分析】先根据a＞1，b＞1判断lga、lgb的符号，再由基本不等式可求得最小值．【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴lga＞0，lgb＞0∴lga?lgb≤（）2=（）2=1当且仅当a=b=10时等号成立即lga?lgb的最大值是1故选B．【点评】本题主要考查基本不等式的应用．在应用基本不等式时一定要注意“一正、二定、三相等”的要求．7. 若函数在处取最小值，则a等于()A.1＋B.1＋C.3D.4参考答案：C因为，所以，所以＝4，当且仅当，即时等号成立，所以，故选C．8. 阅读如图的程序框图．若输入n=1，则输出k的值为( )A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：B考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：第一次执行循环体后，n=4，不满足退出循环的条件，k=2；再次执行循环体后，n=13，不满足退出循环的条件，k=3；再次执行循环体后，n=40，不满足退出循环的条件，k=4；再次执行循环体后，n=121，满足退出循环的条件；故输出的k值为4，故选：B点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9. 双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．参考答案：A由双曲线可得：即，∴双曲线的渐近线方程是故选：A10. 将函数y=sinx图象上所有的点向左平移个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为A． B．C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线的准线方程是y=﹣1，则抛物线的标准方程是．参考答案：x2=4y【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据准线方程为y=﹣1，可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为x2=2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案．【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，设抛物线标准方程为：x2=2py（p＞0），∵抛物线的准线方程为y=﹣1，∴=1，∴p=2，∴抛物线的标准方程为：x2=4y．故答案为：x2=4y．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质．属基础题．12. 已知矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E，F分别在线段AD，BC上，且AE=1，BF=3．如图所示，沿EF将四边形AEFB翻折成，则在翻折过程中，二面角的正切值的最大值为▲．参考答案：13. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为8．参考答案：8略14. 四棱锥中，底面是边长为的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的平面角为_____________。

2017_2018学年高二数学下学期第一次月考试题理(5)

广西桂梧高中2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题理卷面满分：150分考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。

每小题只有一个正确答案） 1. 函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上( )．A ．增函数B ．减函数C ．有最大值D ．有最小值2. 把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是（）A ．27B ．28C ．29D ．303. 用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( )A ．三个内角中至少有一个钝角B ．三个内角中至少有两个钝角C ．三个内角都不是钝角D ．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角4. 用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式是( )．A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋45. 三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )( )．A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，(S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h ，(h 为四面体的高)6.设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )．A ．S 4＜S 5B ．S 4＝S 5C ．S 6＜S 5D ．S 6＝S 57.设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )．A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋28. 由曲线和围成图形的面积S 表示为( )A ．∫ln20e xdx B ．2ln2－∫ln20e xdx C ．∫ln20(2＋e x)dxD ．以上都不对9.某汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)时的速度为v(t)＝t 2＋2t(单位：km/h)，那么它在3≤t ≤4这段时间内行驶的路程s(单位：km)可表示为( )A ．B ．C.D ．10. 抛物线在点处的切线与其平行直线的距离是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．11. 曲线y ＝4－x2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周，所得球的体积是( )．A.643π B ．10π C.323π D ．11π 12.函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.103二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分。

南宁市高二下学期数学第一次月考测试卷(II)卷

南宁市高二下学期数学第一次月考测试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）对于独立性检验，下列说法错误的是（）A . 两事件频数相关越小，就越小B . 两事件频数相关越小，就越大C . 时，事件A与事件B无关D . ＞时，有99%的把握说事件A与事件B有关2. （2分）(2018·淮南模拟) 已知（为虚数单位），则复数的虚部为（）A .B . 1C .D . 23. （2分） (2019高二下·蓝田期末) 复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分）已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A .B .C .D .5. （2分）用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（）A . n=1成立B . n=2成立C . n=3成立D . n=4成立6. （2分） (2019高二下·宁夏月考) “因为对数函数y=logax是减函数（大前提），而y=log2x是对数函数（小前提），所以y=log2x是减函数（结论）”.上面推理是（）A . 大前提错，导致结论错．B . 小前提错，导致结论错C . 推理形式错，导致结论错．D . 大前提和小前提都错，导致结论错．7. （2分） (2017高二下·邢台期末) 两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们对应的R2=1﹣的值如下，其中拟合效果最好的模型是（）A . 模型1对应的R2=0.48B . 模型3对应的R2=0.15C . 模型2对应的R2=0.96D . 模型4对应的R2=0.308. （2分） (2015高三上·厦门期中) 设a，b为实数，若复数，则a﹣b=（）A . ﹣2B . ﹣1C . 1D . 29. （2分）用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为 a 是实数，所以a2>0 ”，你认为这个推理（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 是正确的10. （2分） (2019高二上·洛阳期中) 在中，角的对边分别为，已知，点是的中点，若，则面积的最大值为（）A .B .C .D .11. （2分）类比结论“平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，在空间可得如下结论：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行．则正确结论的序号是（）A . ②③B . ②④C . ②③④D . ①②③④12. （2分）仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是（）A . 13B . 14C . 15D . 16二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知，为虚数单位，若，则 ________．14. （1分）甲、乙、丙、丁4位同学各自对 A ， B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和，如下表：甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103则________同学的试验结果体现拟合A ， B两变量关系的模型拟合精度最高.15. （1分）某个命题的结论是“实数a，b都不大于2”，如果用反证法证明，正确的反设为________16. （1分） (2018高二下·大连期末) 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得决自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则 ________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （5分） (2019高二下·宁夏月考) 用分析法证明：．18. （15分） (2018高二下·张家口期末) 已知复数，是的共轭复数，且为纯虚数，在复平面内所对应的点在第二象限，求 .19. （10分） (2017高一上·舒兰期末) 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．（1）已知AB=BC，AF=CF，求证：AC⊥平面BEF；（2）已知G、H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．20. （10分） (2016高二下·河南期中) 为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：男女总计需要帮助40m70不需要帮助n270s总计200t500（1）求m，n，s，t的值；（2）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（3）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别有关．参考公式：随机变量K2= ，n=a+b+c+d在2×2列联表：y1y2总计x1a b a+bx2c d c+d总计a+c b+d a+b+c+dP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.7063.841 5.0246.6357.87910.82821. （10分） (2016高一下·郑州期末) 某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系如下表x3456789y66697381899091（1）求纯利y与每天销售件数x之间的回归方程；（2）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？已知： x =280， y =45309， xiyi=3487， = ， = ﹣．22. （15分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°；②sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°；③sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；④sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°；⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。

广西南宁市第八中学20172018学年高二数学下学期期末考试试题理

广西南宁市第八中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合}0{},20{2>-=≤≤=x x x B x x A ，则AB =( )（A ）(,1](2,)-∞+∞ （B ）(,0)(1,2)-∞（C ）)2,1[ （D ）]2,1(（2）若复数z 满足i iz 21+=，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（）（A ）)1,2(-- （B ）)1,2(- （C ）)1,2(- （D ）)1,2( （3）执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（）（A ）0 （B ）1- （C ）21-（D ）23- （4）如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF ＝( ) （A ）AD AB 3121- （B ）AD AB 2141+ （C ）AD AB 2131+ （D ）AD AB 3221-（5）在射击训练中,某战士射击了两次，设命题p 是“第一次射击击中目标”, 命题q 是“第二次射击击中目标”,则命题“两次射击中至少有一次没有．．击中目标”可表示为（）（A ）()()p q ⌝∨⌝ （B ）()p q ∨⌝ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）p q ∨（6）已知 1.22a =，8.02=b ，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为( )．（A ）c b a << （B ）c a b << （C ）b a c << （D ）b c a <<（7）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线012=++y x 垂直，则双曲线的离心率为( ) （A ）3 （B ）25（C ）5 （D ）2 n 开始0,1S n ==cos3S S π=+2n n =+5?n >S输出结束是否（8）等差数列}{n a 的前9项的和等于前4项的和，若0,141=+=a a a k ，则=k （）（A ）3 （B ）7 （C ）10 （D ）4（9）已知函数)0,0)(sin()(<<->+=ϕπωϕωx x f 的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则函数)sin()(ϕω+=x x f （）（A ）在区间[,]63ππ-上单调递减（B ）在区间[,]63ππ-上单调递增（C ）在区间[,]36ππ-上单调递减（D ）在区间[,]36ππ-上单调递增（10）在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成角为︒60，E 为PC的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为（）（A ）90 （B ）60 （C ）45 （D ）30（11）设关于y x ,的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-<+>+-00012m y m x y x 表示的平面区域内存在点),(00y x P 满足2200=-y x ，则m 的取值范围是（）（A ）)34,(--∞ （B ）)0,32(-（C ）)31,(--∞ （D ）)32,(--∞（12）定义在R 上的函数)(x f y =满足)()3(x f x f =-，0)(')23(<-x f x ，若21x x <，且321>+x x ，则有( )（A ）)()(21x f x f > （B ）)()(21x f x f < （C ）)()(21x f x f = （D ）不确定第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2017-2018年广西南宁三中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年广西南宁三中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案．）1．（5分）下列不等式中错误的是（）A．若a＞b，则b＜a B．若a＞b，b＞c，则a＞cC．若a＞b，则a+c＞b+c D．若a＞b，则ac＞bc2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于（）A．8B．10C．12D．143．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是（）A．∀x∉（0，+∞），lnx＝x﹣1B．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1C．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1D．∃x0∉（0，+∞），lnx0＝x0﹣14．（5分）若z＝1+2i，则＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i5．（5分）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2D．46．（5分）甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话：甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了．”乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了．”丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了．”结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是（）A．甲、乙B．乙、丙C．丙、丁D．甲、丁7．（5分）已知a n＝（2x+1）dx，数列{}的前n项和为S n，则S n的最小值为（）A．0B．1C．D．﹣18．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若A、B、C成等差数列，且a，b，c成等比数列，则△ABC一定是：（）A．不等边三角形B．钝角三角形C．等腰直角三形D．等边三角形9．（5分）在平面直角坐标系中，若x，y满足不等式组，则x2+y2的最大值是（）A．2B．2C．D．2010．（5分）“a＝dx”是“函数y＝cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为4”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知双曲线﹣＝1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积的最大值为（）A．8B．2C．4D．1612．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△P AB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设复数z＝，则|z|＝．14．（5分）观察下列式子：13＝12，13+23＝32，13+23+33＝62，13+23+33+43＝102，…，根据以上式子可猜想：13+23+33+…+n3＝．15．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A、B两点，连结AF、BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝．16．（5分）已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余小题各12分，共70分）17．（10分）已知数列{a n}的第1项a1＝，且a n+1＝（n＝1，2，3，…），求a2、a3、a4的值，由此猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．18．（12分）已知a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边，且角A不是△ABC的最大内角，且20cos2＝．（1）求cos A的值；（2）若△ABC的面积是3，求边长a的最小值．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面P AB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：AB⊥PE；（2）求二面角A﹣PB﹣E的大小．20．（12分）设数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，且a1＝b1，a3+b5＝21，a5+b3＝13，（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和为S n．21．（12分）已知椭圆C1：+＝1的左，右焦点分别为F1，F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M．（1）求点M的轨迹C2的方程；（2）设C2与x轴交于点Q，C2上不同于点Q的两点R、S，且满足•＝0，求||的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（2）若函数f（x）在x＝1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；（3）当x＞y＞e﹣1时，求证：．2017-2018学年广西南宁三中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案．）1．（5分）下列不等式中错误的是（）A．若a＞b，则b＜a B．若a＞b，b＞c，则a＞cC．若a＞b，则a+c＞b+c D．若a＞b，则ac＞bc【解答】解：若a＞b，则b＜a，故A正确；若a＞b．b＞c，则a＞c，故B正确；若a＞b，则a+c＞b+c，故C正确；若a＞b，c＝0，则ac＝bc；若c＞0，可得ac＞bc；若c＜0，可得ac＜bc．故D错误．故选：D．2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于（）A．8B．10C．12D．14【解答】解：由题意可得S3＝a1+a2+a3＝3a2＝12，解得a2＝4，∴公差d＝a2﹣a1＝4﹣2＝2，∴a6＝a1+5d＝2+5×2＝12，故选：C．3．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是（）A．∀x∉（0，+∞），lnx＝x﹣1B．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1C．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1D．∃x0∉（0，+∞），lnx0＝x0﹣1【解答】解：命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1”故选：B．4．（5分）若z＝1+2i，则＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【解答】解：z＝1+2i，则＝＝＝i．故选：C．5．（5分）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2D．4【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y＝x3与直线y＝4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx＝（2x2﹣x4）＝8﹣4＝4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．6．（5分）甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话：甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了．”乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了．”丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了．”结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是（）A．甲、乙B．乙、丙C．丙、丁D．甲、丁【解答】解；（1）假设甲乙中奖，此时甲说的对，此时乙说的错误，丙说的对，不满足题意．（2）假设乙丙中奖，此时甲说错，乙说的对，丙说的错，不满足题意．（3）假设丙丁中奖，此时甲说的对，乙说的对，丙说的对，满足题意．（4）假设甲丁中奖，此时甲说错，乙说的对，丙说的错．故选：C．7．（5分）已知a n＝（2x+1）dx，数列{}的前n项和为S n，则S n的最小值为（）A．0B．1C．D．﹣1【解答】解：a n＝（2x+1）dx＝（x2+x）|＝n2+n，＝＝＝﹣，前n项和为S n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣，由{1﹣}随着n的增大而增大，可得S n的最小值为S1＝．故选：C．8．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若A、B、C成等差数列，且a，b，c成等比数列，则△ABC一定是：（）A．不等边三角形B．钝角三角形C．等腰直角三形D．等边三角形【解答】解：∵三个角A，B，C成等差数列，∴A+C＝2B，又∵A+B+C＝180°，∴B＝60°．∵三条边成等比数列，可得：ac＝b2，由余弦定理得：cos B＝＝，∴a2+c2﹣b2＝ac．即a2+b2﹣2ac＝0，∴（a﹣c）2＝0，即a＝c，∴△ABC是等边三角形．故选：D．9．（5分）在平面直角坐标系中，若x，y满足不等式组，则x2+y2的最大值是（）A．2B．2C．D．20【解答】解：由约束条件画可行域如图，由可知A（2，4），可行域是三角形，易知C（2，0），B（0，2），x2+y2表示可行域内的点到原点的距离的平方，由可行域知，平面内点A（2，4）到（0，0）的距离最大，所以x2+y2最大值为20．故选：D．10．（5分）“a＝dx”是“函数y＝cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为4”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：利用微积分的几何意义知，a＝dx表示的是单位圆的面积的，因此a＝．函数y＝cos2ax﹣sin2ax＝cos2ax，其周期T＝＝＝4，解得a＝．∴“a＝dx”是“函数y＝cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为4”的充分非必要条件．故选：A．11．（5分）已知双曲线﹣＝1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积的最大值为（）A．8B．2C．4D．16【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，与圆x2+y2＝4在第一象限内的交点为A（m，n），则，消n，解得m＝，∴n＝，∴四边形ABCD的面积：2n•2m＝4＝≤8，当且仅当b＝2时取“＝”号．故选：A．12．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△P AB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）＝，当x＞1时，f′（x）＝，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2＝1．直线l1：，l2：．取x＝0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|＝|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|＝|2﹣（lnx1+lnx2）|＝|2﹣lnx1x2|＝2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x＝，∴|AB|•|x P|＝＝．∵函数y＝x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△P AB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设复数z＝，则|z|＝1．【解答】解：∵z＝＝，∴|z|＝1，故答案为：1．14．（5分）观察下列式子：13＝12，13+23＝32，13+23+33＝62，13+23+33+43＝102，…，根据以上式子可猜想：13+23+33+…+n3＝（）2．【解答】解：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23＝（1+2）2＝32，13+23+33＝（1+2+3）2＝62，13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝102，…归纳可得：13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝（）2，故答案为：（）215．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A、B两点，连结AF、BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝5．【解答】解：在△AFB中，由余弦定理可得|AF|2＝|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，从而可得（|BF|﹣8）2＝0，解得|BF|＝8．设F′为双曲线的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|＝6，|FF′|＝10．∴2a＝|8﹣6|，2c＝10，解得a＝1，c＝5．∴e＝＝5．故答案为：5．16．（5分）已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是（﹣4，﹣2）．【解答】解：对于①∵g（x）＝2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）＝2x﹣2＜0恒成立∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，（ii）当m＝﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．故答案为：（﹣4，﹣2）．三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余小题各12分，共70分）17．（10分）已知数列{a n}的第1项a1＝，且a n+1＝（n＝1，2，3，…），求a2、a3、a4的值，由此猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【解答】解：∵a1＝，a n+1＝．∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝．可猜想a n＝，证明：①当n＝1时，由a1＝得结论成立；②假设n＝k（k∈N*）时结论成立，即a k＝．当n＝k+1时，a k+1＝＝＝＝．∴当n＝k+1时结论成立．由①②可知，a n＝对任意正整数n都成立．18．（12分）已知a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边，且角A不是△ABC的最大内角，且20cos2＝．（1）求cos A的值；（2）若△ABC的面积是3，求边长a的最小值．【解答】解：（1）由20cos2＝可得20cos2＝，即2cos（10sin cos﹣3）＝0，又∵cos≠0，∴10sin cos＝3，∴5sin A＝3，即sin A＝，而A不是△ABC的最大内角，∴A为锐角，∴cos A＝．（2）∵S△ABC＝bc sin A＝bc＝3，∴bc＝10，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣16≥2bc﹣16＝20﹣16＝4，等号当且仅当b＝c＝时成立，故所求的边长a的最小值为2．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面P AB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：AB⊥PE；（2）求二面角A﹣PB﹣E的大小．【解答】证明：（1）连结PD，∵P A＝PB，∴PD⊥AB．∵DE∥BC，BC⊥AB，DE⊥AB．PD∩DE＝D，∴AB⊥平面PDE，∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE．…………………………（6分）解：（2）解法一：∵平面P AB⊥平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AB，PD⊥AB，PD⊥平面ABC．则DE⊥PD，又ED⊥AB，PD∩AB＝D，DE⊥平面P AB，过D做DF垂直PB与F，连接EF，则EF⊥PB，∠DFE为所求二面角的平面角则：DE＝，DF＝，则tan∠DFE＝＝，故二面角的A﹣PB﹣E大小为60°．解法二：∵平面P AB⊥平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AB，PD⊥AB，PD⊥平面ABC．如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），P（0，0，），E（0，，0），∴＝（1，0，﹣），＝（0，，﹣）．设平面PBE的法向量＝（x，y，z），则，令z＝，得＝（3，2，）．∵DE⊥平面P AB，∴平面P AB的法向量为＝（0，1，0）．设二面角的A﹣PB﹣E大小为θ，由图知，cosθ＝cos＜＞＝＝，∴θ＝60°，即二面角A﹣PB﹣E大小为60°．…………………………（12分）20．（12分）设数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，且a1＝b1，a3+b5＝21，a5+b3＝13，（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和为S n．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0，且，解得d＝q＝2，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，b n＝2n﹣1；（2）＝（2n﹣1）•（）n﹣1，前n项和为S n＝1•（）0+3•（）1+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，①S n＝1•（）+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n，②由①﹣②可得S n＝1+2[（）+（）2+（）3+…+（）n﹣1]﹣（2n﹣1）•（）n＝1+2•﹣（2n﹣1）•（）n，化简可得S n＝6﹣（2n+3）•（）n﹣1．21．（12分）已知椭圆C1：+＝1的左，右焦点分别为F1，F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M．（1）求点M的轨迹C2的方程；（2）设C2与x轴交于点Q，C2上不同于点Q的两点R、S，且满足•＝0，求||的取值范围．【解答】解：（1）因为|MP|＝|MF2|，所以动点M到定直线l1：x＝﹣1的距离等于它到定点F2（1，0）的距离，所以动点M的轨迹是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，所以M的轨迹C2的方程为y2＝4x；（2）Q（0，0），设、，则、，因为，所以，因为y1≠y2，y1≠0，，∴，故，当且仅当时，即当y1＝±4时，等号成立．，又因为，所以当时，即当y2＝±8时，取最小值．故的取值范围是．22．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（2）若函数f（x）在x＝1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；（3）当x＞y＞e﹣1时，求证：．【解答】解：（Ⅰ），当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点；当a＞0时，f'（x）＜0得，f'（x）＞0得，∴f（x）在上递减，在上递增，即f（x）在处有极小值．∴当a≤0时f（x）在（0，+∞）上没有极值点，当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．（4分）（注：分类讨论少一个扣一分．）（Ⅱ）∵函数f（x）在x＝1处取得极值，∴a＝1，…（5分）∴，…（6分）令，可得g（x）在（0，e2]上递减，在[e2，+∞）上递增，…（8分）∴，即．（9分）（Ⅲ）证明：，（10分）令，则只要证明g（x）在（e﹣1，+∞）上单调递增，又∵，显然函数在（e﹣1，+∞）上单调递增．（12分）∴，即g'（x）＞0，∴g（x）在（e﹣1，+∞）上单调递增，即，∴当x＞y＞e﹣1时，有．（14分）。

南宁市数学高二下学期理数第一次阶段考试试卷D卷

南宁市数学高二下学期理数第一次阶段考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U=R，集合A＝{1,2,3,4,5｝,B＝[3，十），则图中阴影部分所表示的集合为（）A . {0，1，2}B . {0，1}，C . {1，2}D . ｛1｝2. （2分）(2017·怀化模拟) 设复数z=1﹣ i（i是虚数单位），则 + =（）A . + iB . ﹣ iC . iD . ﹣ i3. （2分）曲线y=x3+x 2在点P0处的切线平行于直线y=4x，则点P0的坐标是（）A . (0,1)B . (1,0)C . (1,4)或（1,0）D . (1,4)4. （2分）“函数”是“可导函数f(x)在点处取到极值”的条件。

（）A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 既不充分也不必要5. （2分） (2018高二下·陆川月考) 点A(a,1)在椭圆的内部，则a的取值范围是（）A . － <a<B . a<－或a>C . －2<a<2D . －1<a<16. （2分）执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（）A . 8B . 6C . 3D . 27. （2分）函数的一段图象如图所示，则它的一个周期T、初相依次为（）A . ,B . ,C . ,D . ,8. （2分）成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1 ， y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（）A . 5千米处B . 4千米处C . 3千米处D . 2千米处9. （2分）已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一上·奉新期末) 已知函数f（x）= ，若不等式f（﹣2m2+2m﹣1）+f（8m+ek）＞0（e是自然对数的底数），对任意的m∈[﹣2，4]恒成立，则整数k的最小值是（）A . 2B . 3C . 4D . 511. （2分）抛物线y2=8x上一点P到焦点F的距离为6，在y轴上的射影为Q，O为原点，则四边形OFPQ的面积等于（）A .B .C . 20D .12. （2分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且满足f（x+2）=f（﹣x）．若当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1，则f（log 10）的值为（）A . 3B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·资阳期末) 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知每种产品各生产1吨所需原料及每天原料的可用限额如下表所示，如果生产1吨甲产品可获利润3万元，生产1吨乙产品可获利4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元．甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）12814. （1分）若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则k的取值范围是________15. （1分） (2017高三下·静海开学考) 如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为________．16. （1分） (2017高二下·三台期中) 已知f（x）= ，则f′（1）=________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）且f'（0）=﹣1，（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜ex．18. （5分）(2017·襄阳模拟) 已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN= π，在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c= ，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．19. （10分）(2017·成都模拟) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，AB=BC=2，∠ACB=30°，∠C1CB=120°，BC1⊥A1C，E为AC的中点．（1）求证：A1C⊥平面C1EB；（2）求二面角A1﹣AB﹣C的余弦值．20. （10分） (2017高二下·呼伦贝尔开学考) 在数列{an}中，已知a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N• ．（1）设bn=an﹣n，求证：数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．21. （10分） (2017高二下·孝感期中) 已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：△PF2Q 的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．22. （15分） (2016高一上·无锡期末) 已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

广西南宁市宾阳县高二数学下学期第一次月考试题理

广西南宁市宾阳县2016-2017学年高二数学下学期第一次月考试题理选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题四个选项中有且只有一个正确.）1. 集合},1|{},21|{<=≤≤-=x x B x x A 则=⋂B C A R ( )A.}1|{>x xB.}1|{≥x xC.}21|{≤<x xD.}21|{≤≤x x 2.下面使用类比推理恰当的是（）A ．若3=3a b ⋅⋅，则a b =，类比推出：若0=0a b ⋅⋅，则a b =B ．“()a bc a c b c +=+”，类比推出：“()a b c ac bc ⋅=⋅”C ．“()a bc a c b c +=+”，类比推出：“a b a bc c c+=+” D ．“()nn nab a b =”，类比推出：“()nnna b a b +=+”3．已知双曲线离心率为2，焦点坐标为()()4,0,4,0-，则该双曲线方程为（）A ．112422=-y xB ．141222=-y xC ．161022=-y x D ．110622=-y x4.设x R ∈,向量()(),1,4,2a x b ==-，且//a b ，则a b +=（）A ．．．85 5．已知函数)(x f y =的导函数)(x f y '=A ．函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点B ．函数)(x f 有2个极大值点，2个极小值点C ．函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点D ．函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点6.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）.A.7.已知F 是抛物线24y x =的焦点， A B ，是该抛物线上的两点，则12AF BF +=,则线段AB 的中点到y 轴的距离为（）A.1B.3C.5D.78．已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（）A. 9. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若b cos C = (2a - c )cos B ，则B =（）．A.30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒10. 若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是（）A. (],2-∞-B. (],1-∞-C. [)2,+∞D. [)1,+∞11.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12 F F ，，过2F 作x 轴的垂线交椭圆C 于点P ，若121sin 3PF F ∠=，则（）A.aB.2a b =C.a =D.3a b =12．抛物线()21:20C x py p =>的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线在第一象限内与1C 交于点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =（）A ．16 B ．8 C. 3 D ．3二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡题中横线上）14.已知函数()ln(1)xf x e x =++的图像在()()0,0f 处的切线与直线40x ny -+=垂直，则n 的值为．15.已知椭圆221169144x y +=的两个焦点为1F 、2F ，椭圆上有一点P 到1F 的距离为10，则12PF F ∆的面积为．16.设函数()(0)2x f x x x =>+，观察：1()()2x f x f x x ==+，21()(())34xf x f f x x ==+，32()(())78x f x f f x x ==+，43()(())1516x f x f f x x ==+，……，根据以上事实，当*∈N n 时，由归纳推理可得：=)1(n f ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-．（1）求sinB 的值；（2）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18. 设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．19.设函数2()ln(23)f x x x =++（1）求()f x 的单调性；（2）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．20．如图，三棱柱111C B A ABC -中，D 是1AA 的中点，E 为BC 的中点. （1）求证：直线AE ∥平面D BC 1；（2）若三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱， 2=AB ，41=AA ，求平面D BC 1与平面ABC 所成二面角（锐角）的正弦值.21.已知函数)(123)(23R x x ax x f ∈+-=，其中0>a . （1）若1=a ，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程；（2）若对]21,1[-∈∀x ，不等式2)(a x f <恒成立，求a 的取值范围.22.))(,(000a x y x P ±≠是双曲线E ：)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，N M ,分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PN PM ,的斜率之积为51. （1）求双曲线E 的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于B A ,两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上的一点，满足+=λ，求λ的值.2017年春学期3月月考高二数学理科参考答案一、选择题：（每题5分，共60分）· 1-6 DCAAAD 7-12 CABDAD 二、填空题（每题5分，共20分）13、 2π+ 14、 -2 15、48 16、1121n +-三、解答题：17．（Ⅰ）解：在ABC △中，3sin 5A ===，由正弦定理，sin sin BC AC A B =．所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=．……………4分（Ⅱ）解：因为4cos 5A =-，cos 5B ===，217cos 22cos 121525B B =-=⨯-=2sin 22sin cos 25B B B ==⨯=．sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭17125252=⨯=10分 18．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，．又37S =，可知2227q q ++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．……6分（2）由于31ln 12n n b a n +==，，，，由（1）得3312nn a +=3ln 23ln 2n n b n ∴==，又13ln 2n n b b +-={}n b ∴是等差数列．12n n T b b b ∴=+++1()(3ln 23ln 2)3(1)ln 2.222n n b b n n n +++===故3(1)ln 22n n n T +=． ……12分 19．解：()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞．（Ⅰ）224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++．当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．从而，()f x 在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞单调递增，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减 …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0<．所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……12分20.（1）证明：设BC 1的中点为F ，连接EF ，DF ，则EF 是△BCC 1的中位线，根据已知得EF ∥DA ，且EF=DA ， ……2分 ∴四边形ADFE 是平行四边形，所以AE ∥DF ，∵DF ⊂平面BDC 1，AE ⊄平面BDC 1∴直线AE ∥平面BDC 1。

广西南宁市高二数学10月月考试题(无答案)

2017秋季学期高二年级10月份月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将其选出后用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1、数列}{n a 中，如果n a ＝3n(n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是 ( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列D ．首项为1的等比数列2、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，若3=a ，2b =，︒=45B ，则角A 等于（）A ． 45° B.30°或105° C.60° D.60°或120°3、一个数列，它的前4项分别是21，43，85，167，这个数列的一个通项公式是（）A ．n n a n 212-=B ．n n n a 212-=C ．n n a n 212+=D ．n nn a 212+=4、已知等差数列}{n a 中，1697=+a a ，14=a ，则12a 的值是( )．A ． 15B ．30C ．31D ．645、在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于（） 2A.32B.31C.3 1D.46、设数列{}n a 是由正数组成的等比数列， n S 为其前n 项和，若241a a =， 37S =，则5S =（）A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ． 8D ． 77、在△ABC 中，∠A=60°，a=错误！未找到引用源。

，b=4，则满足条件的△ABC （） A. 有两个 B. 有一个 C. 不存在 D. 有无数多个 8、在△ABC 中, 三内角A B C 、、所对的边分别是,,a b c ,若()221a b c bc--= ，则角A=（）A. 060B. 0120C. 030D. 01509、已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若150S >， 160S <，则n S 最大值是( ) A. 1S B. 7S C. 8S D. 15S10、△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B=60°，ac b =2，则△ABC 一定是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形11、在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( )12、数列}{n a 是以a 为首项,q 为公比的等比数列,数列}{n b 满足)3,21(1321 ，，=+++++=n a a a a b n n ，数列}c {n 满足)3,21(2c 321 ，，=+++++=n b b b b n n 若}c {n 为等比数列,则a +q =( )A. 错误！未找到引用源。

2018-2019学年广西南宁三中高二下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年广西南宁三中高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种B．6种C．9种D．18种【答案】C【解析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果【详解】可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有1223C C种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有2123C C种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有122123239C C C C+=种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C.2．从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(其中红球和绿球都多于2个)，那么互斥而不对立的两个事件是()A．至少有一个红球，至少有一个绿球B．恰有一个红球，恰有两个绿球C．至少有一个红球，都是红球D．至少有一个红球，都是绿球【答案】B【解析】由于从口袋中任取2个球有三个事件，恰有一个红球，恰有两个绿球,一红球和一绿球.所以恰有一个红球，恰有两个绿球是互斥而不对立的两个事件.因而应选B.3．某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分，命中次数为X，得分为Y，则,EX DY分别为（）A．0.6，60 B．3，12 C．3，120 D．3, 1.2【答案】C【解析】本题考查离散型随机变量的分布列,二项分布的期望和方差及性质.若(,),B n p ξ:则2,(1),(),()E np D np P E a b aE b D a b a D ξξξξξξ==-+=++=，其中,a b 是常数根据题意知(5,0.6)X B :，则250.63,(10)1010050.6(10.6)120.EX DY D X DX =⨯====⨯⨯-=故选C4．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()04P ξ<<=( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【答案】A【解析】分析：根据随机变量服从正态分布()22,N σ，求得其图象的对称轴2x =，再根据曲线的对称性，即可求解答案．详解：由题意，随机变量服从正态分布()22,N σ，所以2μ=，即图象的对称轴为2x =，又由()40.8P ξ<=，则()410.80.2P ξ≥=-=，则()04P ξ<<=()140.6P ξ-≥=，故选A ．点睛：本题主要考查了正态分布的应用，其中熟记正态分布的图象关于x μ=对称，利用图象的对称性求解相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与论证能力． 5．若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是( ) A ．112B ．16C ．14D ．12【答案】B【解析】有2位老师，2位学生站成一排合影共有4424A =种站法；每位老师都不站在两端的站法有22224A A =种；所以每位老师都不站在两端的概率是41.246=故选B6．曲线2cos (1x y sin θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数)的对称中心( ) A ．在直线12y x =上 B ．在直线12y x =-上 C ．在直线1y x =-上 D ．在直线1y x =+上【答案】B【解析】先将参数方程化为普通方程，得到圆的方程，进而得到圆心，验证选项可得到结果. 【详解】曲线2(1x cos y sin θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数)化为一般方程是：()()22211x y -++=，是一个圆，圆心为（2，-1），通过验证选项得到：在直线12y x =-上. 故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了参数方程化为普通方程，以及圆的对称性,题目比较基础.7．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．$0.4 2.3y x =+ B ．$2 2.4y x =- C ．$29.5y x =-+ D ．$0.3 4.4y x =-+【答案】A【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B ；故选A ．【考点】线性回归直线.8．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24 B．18 C．12 D．9【答案】B【解析】【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．故选B．【考点】计数原理、组合【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．9．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10 种B．20 种C．36 种D．52 种【答案】A【解析】根据题意，可得1号盒子至少放一个，最多放2个小球，即分两种情况讨论，分别求出其不同的放球方法数目，相加可得答案．【详解】由题意得，把4个颜色不相同的球分为两类：一类是：一组1个，一组3个，共有13434C C 种，按要求放置在两个盒子中，共有4种不同的放法；另一类：两组各两个小球，共有2242223C C A =种不同的放法，按要求放置在两个盒子中，共有2236A ⨯=种.所以共有4610+=种不同的放法. 故选：A.10．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576【答案】B【解析】A 1、A 2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A 1、A 2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B. 【考点】相互独立事件的概率.11．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）． A ．122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D【解析】因为(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．【考点】二项式系数，二项式系数和．12．下列四个命题：①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型拟合的效果越好； ③散点图中所有点都在回归直线附近；④随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小可用来衡量预报精确度．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】根据回归分析中相关指数，残差平方和的意义，以及回归直线的原理，依次判断选项即可. 【详解】根据回归方程的性质得到①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故正确；②用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越靠近1，说明拟合效果越好，越靠近0，拟合效果越不好，故②不正确；③散点图中所有点都在回归直线附近，不正确，应该是大部分点都在回归直线附近，而不是所有点；故不正确；随机误差e 满足E （e ）=0，其方差D （e ）的大小用来衡量预报的精确度，④正确；故答案为B. 【点睛】本题考查了两个变量间的线性相关和线性回归方程，以及拟合效果好坏的几个量的大小反映拟合效果的好坏问题，是基础题．二、填空题13．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有____________种不同的分派方法．【答案】90【解析】根据题意得到，先分组再全排列即：222364233390C C C A A ⨯=. 【详解】6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，每个学校去2个人，先平均分组，再全排列即可：222364233390C C C A A ⨯=. 故答案为90. 【点睛】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．14．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________. 【答案】【解析】试题分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A 的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB 的概率，然后直接利用条件概率公式求解．解：P （A ）=，P （AB ）=．由条件概率公式得P （B|A ）=．故答案为．点评：本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题．15．某校为了研究学生的性别与对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用22⨯列联表进行独立性检验，经计算2 6.669K =，则所得到的统计学结论是：有______%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”. 附：()20P K k ≥ 0.100 0.050 0.025 0.010 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 10.828【答案】99【解析】根据2K 的值，结合参考表格，计算出犯错的概率，即可求得有把握的概率. 【详解】因为6.669大于表格中的数据6.635，所以得到的统计学结论是：有10.0100.9999%-==的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”，故答案为：99. 【点睛】本题考查独立性检验时，由2K 的值，如何读取结果，属基础题.16．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是1{3x t y t =+=-（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为____________．【答案】【解析】分析：先求出直线的普通方程，再求出圆的直角坐标方程，再利用公式求直线被圆C 截得的弦长.详解：由题意得直线l 的方程为x-y-4=0,圆C 的方程为(x-2)2+y 2=4.则圆心到直线的距离=，故弦长==故答案为.点睛：（1）本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的弦长的计算，意在考查学生对这些问题的掌握水平.(2)求直线被圆截得的弦长常用公式l =三、解答题17．在ABC V 中， ,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且满足3cos a b C =. (1)求tan tan CB的值； (2)若3a =， tan 3A =，求ABC V 的面积. 【答案】（1）tan 2tan CB=；（2）3．【解析】试题分析：（1）由正弦定理，得sin 3sin cos A B C =，再利用A B C π++=及三角恒等变换的公式，即可求得tan tan CB的值；（2）由A B C π++=，得： 23tan 312tan BB=--，解得tan 1B =进而求得tan ,tan C A 的值，得到sin ,sin ,sin A B C 的值，再利用正弦定理，即可求b 的值，进而求出ABC ∆的面积. 试题解析：（1）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，可得： 2sin 32sin cos R A R B C =⨯∵A B C π++=，∴()sin sin 3sin cos A B C B C =+=, 即， sin cos cos sin 3sin cos B C B C B C += ∴cos sin 2sin cos B C B C =，∴cos sin 2sin cos B C B C =，故tan 2tan CB=（2）（法一）由A B C π++=，得()()tan tan 3B C A π+=-=-,即tan tan 31tan tan B C B C +=--⨯，将tan 2tan C B =，代入得： 23tan 312tan BB=-- 解得tan 1B =或1tan 2B =-，根据tan 2tan C B =,得tan ,tan C B 同正，所以tan 1B =， tan 2C =.则tan 3A =，可得sin B =sin C =sin A =，2=，∴b =所以11sin 3322ABC S ab C ∆==⨯=. （法二）由A B C π++=得()()tan tan 3B C A π+=-=-，即tan tan 31tan tan B C B C +=--⨯，将tan 2tan C B =，代入得： 23tan 312tan BB=--，解得tan 1B =或1tan 2B =-，根据tan 2tanC B =,得tan ,tan C B 同正，所以tan 1B =， tan 2C =.又因为3cos 3a b C ==，所以cos 1b C =， ∴cos 3ab C = ∴cos tan 6ab C C = ∴11sin 6322ABC S ab C ∆==⨯= 【考点】正弦定理；三角形的面积公式.【方法点晴】本题主要考查了解三角形的综合应用，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、三角形的面积公式和三角函数基本关系式的考查，解答中利用三角形的正弦定理，把题设条件转化为三角恒等变换，求解角,,A B C 的正弦值是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力和转化思想.18．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n T .试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+，当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+．设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b db d=+=+，可解得14,3b d ==，所以31n b n =+．（2）由（1）知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221n n n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19．2016年1月6日北京时间上午11时30分，朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”，再次震动世界，此事件也引起了我国公民热议，其中丹东市（丹东市和朝鲜隔江）某QQ 聊天群有300名网友，乌鲁木齐市某微信群有200名网友，为了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名网友，先分别统计了他们在某时段发表的信息条数，再将两地网友发表的信息条数分成5组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[]80,90，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求丹东市网友的平均留言条数（保留整数）；（2）为了进一步开展调查，从样本中留言条数不足50条的网友中随机抽取2人，求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率；（3）规定“留言条数”不少于70条为“强烈关注”. ①请你根据已知条件完成下列22⨯的列联表：强烈关注非强烈关注合计丹东市乌鲁木齐市合计②判断是否有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关？附：临界值表及参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++. ()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.0722.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）64条；（2）1328；（3）①表格见详解；②没有，原因见详解.【解析】（1）用每个长方形的面积乘以底边中点对应的值，再求和，即为平均数的估计值；（2）先计算所有的可能情况，再计算出满足题意的情况，用古典概型的概率计算公式进行计算；（3）①根据频率分布直方图，即可求出表格中的数据；②根据①中所求数据，计算出2K，再根据参考表格进行判断.【详解】（1）根据频率分布直方图，容易得丹东市网友的平均留言条数为：450.0110550.02510650.0410750.0210850.0051063.564⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=≈所以丹东市网友的平均留言条数是64条.（2）留言条数不足50条的网友中，丹东市网友有3000.01101006300200⨯⨯⨯=+（人），乌鲁木齐市网友有2000.005101002300200⨯⨯⨯=+（人），从中随机抽取2人共有2828C=种可能结果，其中至少有一名乌鲁木齐市网友的结果共有11226212113C C C+=+=种情况，所以至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率为1328 P=.（3）①列联表如下：②2K的观测值()2 10015251545251.796040307014⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关.【点睛】本题考查计算频率分布直方图的平均数，古典概型的概率计算，独立性检验，涉及排列组合，分层抽样，属统计和概率中的综合性基础题.20．设12,F F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅u u u v u u u u v的最大值和最小值； (2)设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，且AOB ∠为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率的取值范围．【答案】（1）2-,1；（2）332,,2k ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎝∈⎪⎝⎭. 【解析】(1)设出点P 的坐标，向量坐标化得到12PF PF ⋅u u u v u u u u v的表达式，进而得到最值；（2）AOB ∠为锐角即0OA OB ⋅>u u u r u u u r，设出点AB 的坐标，向量坐标化得到点积的表达式为：x 1x 2＋y 1y 2,联立直线和椭圆方程，由韦达定理得到结果. 【详解】(1)由已知得，F 1(－，0)，F 2(，0)，设点P (x ，y )，则＋y 2＝1，且－2≤x ≤2．所以·＝(－－x ，－y )·(－x ，－y )＝x 2－3＋y 2＝x 2－3＋1－＝x 2－2，当x ＝0，即P (0，±1)时，(·)min ＝－2；当x ＝±2，即P (±2，0)时，(·)max ＝1．(2)由题意可知，过点M (0，2)的直线l 的斜率存在．设l 的方程为y ＝kx ＋2，由消去y ，化简整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0，Δ＝(16k )2－48(1＋4k 2)＞0，解得k 2>．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，又∠AOB 为锐角，所以·＞0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0，有x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)·＋2k ·＋4＞0，解得k 2＜4，所以＜k 2＜4，即k ∈332,2⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．设函数()1,xf x e ax a R =--∈．(1)若函数()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)当0a >时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求证：()0g a ≤； (3)求证：对任意的正整数n ，都有11111123(1)n n n n n n n +++++++++<+L ．【答案】（1）(],0-∞；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】(1) 题意知f ′(x )＝e x －a ≥0对x ∈R 恒成立,e x ＞0进而得到结果；（2）由a ＞0，及f ′(x )＝e x －a ，得到函数的单调性，故得到函数f (x )的最小值为g (a )＝f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1，再对这个函数求导得到函数的单调性和最值，进而得到结果；（3）由前一问得到(x ＋1)n ＋1＜(e x )n ＋1＝e(n ＋1)x令111x n +=+，得到111n n e n +-⎛⎫< ⎪+⎝⎭，再赋值：231,1....11x x n n+=+=++依次代入上述不等式，做和,放缩,利用等比数列求和公式可得到结果. 【详解】(1)由题意知f ′(x )＝e x －a ≥0对x ∈R 恒成立，且e x ＞0，故a 的取值范围为(－∞，0]． (2)证明：由a ＞0，及f ′(x )＝e x －a ，可得函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )的最小值为g (a )＝f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1，则g ′(a )＝－ln a ，故当a ∈(0，1)时，g ′(a )＞0，当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＜0，从而可知g (a )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且g (1)＝0，故g (a )≤0．(3)证明：由(2)可知，当a ＝1时，总有f (x )＝e x －x －1≥0，当且仅当x ＝0时等号成立．即当x ＋1＞0且x ≠0时，总有e x ＞x ＋1．于是，可得(x ＋1)n ＋1＜(e x )n ＋1＝e (n ＋1)x ．令x ＋1＝，即x ＝－，可得111n n e n +-⎛⎫< ⎪+⎝⎭；令x ＋1＝，即x ＝－，可得()1121n n e n +--⎛⎫< ⎪+⎝⎭；令x ＋1＝，即x ＝－，可得()1231n n e n +--⎛⎫< ⎪+⎝⎭；…… 令x ＋1＝，即x ＝－，可得111n n e n +-⎛⎫< ⎪+⎝⎭．累加可得()()11111211231111n n n n n n n n e e e e n n n n ++++------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L()111111111n nnn e e ee ee e e ------===<<----．故对任意的正整数n ，都有()111111231n n n n n n n +++++++++<+L ．【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为5cos (5x y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数)，直线l 经过点()3,2P ，且倾斜角为3π．(1)写出直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；(2)设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．【答案】（1）13232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，2225x y +=；（2）12.【解析】(1)根据参数方程与普通方程的互化可得到圆的直角坐标方程，由直线的参数方程的写法得到直线的参数方程；（2）；联立直线的参数方程和圆的普通方程，得到|P A |·|PB |＝|t 1t 2|可得到结果. 【详解】(1)把圆C 的参数方程(θ为参数)化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝25．由条件可得直线l 的参数方程为即 (t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的方程化简可得t 2＋(3＋2)t －12＝0，所以t 1t 2＝－12，故|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12．【点睛】这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t 的几何意义，一般t 的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故PA PB +，PA PB -，PA PB 均可用t 来表示，从而转化为韦达定理来解决.。

广西南宁市第三中学2018-2019学年高二数学下学期第一次月考试题理

广西南宁市第三中学2018-2019学年高二数学下学期第一次月考试题理一、选择题（每小题5分，共60分）1．某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门，若要求每类课程至少选一门，则不同的选法共有( )A ．3种B ．6种C ．9种D ．18种2．从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(已知口袋中的红球、绿球数都大于2)，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个是红球，至少有一个是绿球B ．恰有一个红球，恰有两个绿球C ．至少有一个红球，都是红球D ．至少有一个红球，都是绿球3．某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X ，得分为Y ，则E (X )，D (Y )分别为( ) A ．0.6，60B ．3，12C ．3，120D ．3，1.24．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)＝0．8，则P (0<X <2)＝( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.25．若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是( )A ．112B ．16C ．14D ．126．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝－1＋sin θ (θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝12x 上B ．在直线y ＝－12x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上7．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3．5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A ．yˆ＝0．4x ＋2.3 B ．y ˆ＝2x －2.4 C ．y ˆ＝－2x ＋9.5 D ．y ˆ＝－0.3x ＋4.48．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24 B．18 C．12 D．99．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A．10种B．20种C．36种D．52种10．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为( )A．0.960 B．0. 864 C．0.720 D．0.57611．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A．212B．211C．210D．2912．下列四个命题：①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型拟合的效果越好；③散点图中所有点都在回归直线附近；④随机误差e满足E(e)＝0，其方差D(e)的大小可用来衡量预报精确度．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题5分，共20分）13．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有____________种不同的分派方法．14．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝____________．15．某校为了研究学生的性别与对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝6.669，则所得到的统计学结论是：有______%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．附：16．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为_________．三、解答题（共70分）17．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且满足a ＝3b cos C ．(1)求tan Ctan B的值；(2)若a ＝3，tan A ＝3，求△ABC 的面积．18．(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n＝()()112n n nn a b +++．求数列{c n }的前n 项和T n ．19．(12分)2016年1月6日北京时间上午11时30分，朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”，再次震动世界，此事件也引起了我国公民热议，其中丹东市(丹东市和朝鲜隔江)某QQ 聊天群有300名网友，乌鲁木齐市某微信群有200名网友，为了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名网友，先分别统计了他们在某时段发表的信息条数，再将两地网友发表的信息条数分成5组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求丹东市网友的平均留言条数(保留整数)； (2)为了进一步开展调查，从样本中留言条数不足50条的网友中随机抽取2人，求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率；(3)规定“留言条数”不少于70条为“强烈关注”．①请你根据已知条件完成下列2×2的列联表：②判断是否有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关？附：临界值表及参考公式：K 2＝2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++， n ＝a ＋b ＋c ＋d ．20．(12分)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1→·PF 2→的最大值和最小值；(2)设过定点M (0，2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率的取值范围．21．(12分)设函数f (x )＝e x－ax －1，a ∈R ．(1)若函数f (x )在R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)当a ＞0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证：g (a )≤0； (3)求证：对任意的正整数n ，都有11111)1(321++++++<++++n n n n n n n ．22．(10分)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (3，2)，且倾斜角为π3．(1)写出直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．高二月考（一）理科数学参考答案1．解：可分以下两种情况：①A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有C 12C 23种不同选法；②A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有C 22C 13种不同选法．所以根据分类加法计数原理知不同的选法共有：C 12C 23＋C 22C 13＝6＋3＝9(种)．故选C ．2．解：选项A ，C 中两事件可以同时发生，故不是互斥事件；选项B 中两事件不可能同时发生，因此是互斥的，但两事件不对立；选项D 中的两事件是对立事件．故选B ． 3．解：X ～B (5，0．6)，Y ＝10X ，所以E (X )＝5× 0．6＝3，D (X )＝5×0．6×0．4＝1．2，D (Y )＝ 100D (X )＝120．故选C ．4．解：由P (X <4)＝0．8，得P (X ≥4)＝0．2，由题意知正态曲线的对称轴为直线x ＝2，P (X ≤0)＝P (X ≥4)＝0．2，所以P (0<X <4)＝1－P (X ≤0)－P (X ≥4)＝0．6，所以P (0<X <2)＝12P (0<X <4)＝0．3．故选C ．5．解：依题意，所求概率为P ＝A 22A 22A 44＝16．故选B ．6．解：由已知消参得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，所以其对称中心为(2，－1)．显然该点在直线y ＝－12x 上．故选B ．7．解：x 与y 正相关，排除C ，D ；B 中方程不过样本点的中心(x ，y )，故选A ．8．解：由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短有6条路，再从F 处到G 处最短共有3条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6× 3＝18(条)．故选B ．9．解：1号盒子可以放1个或2个球，2号盒子可以放2个或3个球，故不同的放球方法有 C 14C 33＋C 24C 22＝10种．故选A ．10．解法一：由题意知K ，A 1，A 2正常工作的概率分别为P (K )＝0．9，P (A 1)＝0．8，P (A 2)＝0．8，因为K ，A 1，A 2相互独立，所以A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝(1－0．8)×0．8＋0．8×(1－0．8)＋0．8×0．8＝0．96．所以系统正常工作的概率为P (K )(P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2))＝0．9×0．96＝0．864．解法二：A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为1－P (A 1 A 2)＝1－(1－0．8)(1－0．8)＝0．96，故系统正常工作的概率为P (K )(1－P (A 1 A 2))＝0．9×0．96＝0．864．故选B ．11．解：因为(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，得n ＝10，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1．所以二项式(1＋x )10中奇数项的二项式系数和为29．故选D ．12．解：②中R 2越大，拟合效果越好；③中回归直线同样可以远远偏离变异点；①④正确．注意④，e 是随机变量，其方差衡量预报精度．故选B ．13．解：先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法．故填90．14．解：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝14．故填14．15．解：因为6．669与附表中的6．635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0．010＝0．99＝99%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．故填99． 16．解：圆ρ＝4cos θ在直角坐标系下的方程为(x －2)2＋y 2＝4，直线的普通方程为x －y －4＝0，圆心到直线的距离是|2－0－4|2＝2，弦长为222－（2）2＝22．17．解：(1)因为正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝3sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝3sin B cos C ，所以cos B sin C ＝2sin B cos C ，即cos B sin C sin B cos C ＝2．故tan Ctan B ＝2．(2)由A ＋B ＋C ＝π得tan(B ＋C )＝tan(π－A )＝－3，即tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－3,将tan C ＝2tan B 代入得3tan B 1－2tan 2B ＝－3，解得tan B ＝1或tan B ＝－12，根据tan C ＝2tan B 得tan C ，tan B 同正，所以tan B ＝1，tan C ＝2．可得sin B ＝22，sin C ＝255，sin A ＝31010，代入正弦定理可得331010＝b22，所以b ＝5，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×5×255＝3．18．解：(1)因为数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，所以a 1＝11，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2＋8n －3(n －1)2－8(n －1)＝6n ＋5，又a n ＝6n ＋5对n ＝1也成立，所以a n ＝6n ＋5．又因为{b n }是等差数列，设公差为d ，则a n ＝b n ＋b n ＋1＝2b n ＋d ．当n ＝1时，2b 1＝11－d ；当n ＝2时，2b 2＝17－d ，解得d ＝3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝a n －d2＝3n ＋1．(2)由c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝(3n ＋3)·2n ＋1，于是T n ＝6×22＋9×23＋12×24＋…＋(3n ＋3)×2n ＋1，两边同乘以2，得2T n ＝6×23＋9×24＋…＋(3n )×2n ＋1＋ (3n ＋3)×2n ＋2，两式相减，得－T n ＝6×22＋3×23＋3×24＋…＋3×2n ＋1－(3n ＋3)×2n ＋2＝3×22＋3×22（1－2n）1－2－(3n ＋3)×2n ＋2，所以T n ＝－12＋3×22(1－2n )＋(3n ＋3)×2n ＋2＝3n ·2n ＋2．19．解：(1)45×0．01×10＋55×0．025×10＋65×0．04×10＋75×0．02×10＋85×0．005×10＝63．5≈64．所以丹东市网友的平均留言条数是64条．(2)留言条数不足50条的网友中，丹东市网友有0．01×10×100×300300＋200＝6(人)，乌鲁木齐市网友有0．005×10×100×200300＋200＝2(人)，从中随机抽取2人共有C 28＝28种可能结果，其中至少有一名乌鲁木齐市网友的结果共有C 12C 16＋ C 22＝12＋1＝13种情况，所以至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率为 P ＝1328．(3)①列联表如下：②K 2的观测值k ＝100×（15×25－15×45）60×40×30×70＝2514≈1．79．因为1．79<2．706，所以没有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关． 20．解：(1)由已知得，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设点P (x ，y )，则x 24＋y 2＝1，且－2≤x ≤2．所以PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2－3＋y 2＝x 2－3＋1－x 24＝34x 2－2，当x ＝0，即P (0，±1)时，(PF 1→·PF 2→)min ＝－2；当x ＝±2，即P (±2，0)时，(PF 1→·PF 2→)max ＝1． (2)由题意可知，过点M (0，2)的直线l 的斜率存在．设l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 2＝1消去y ，化简整理得 (1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0，Δ＝(16k )2－48(1＋4k 2)＞0，解得k 2>34．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，又∠AOB 为锐角，所以OA →·OB →＞0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0，有x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)·121＋4k 2＋2k ·－16k 1＋4k2＋4＞0，解得k 2＜4，所以34＜k 2＜4，即k ∈)2,23()23,2( --． 21．解：(1)由题意知f ′(x )＝e x －a ≥0对x ∈R 恒成立，且e x＞0，故a 的取值范围为(－∞，0]．(2)证明：由a ＞0，及f ′(x )＝e x－a ，可得函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )的最小值为g (a )＝f (ln a )＝e ln a－a ln a －1＝a －a ln a －1，则g ′(a )＝－ln a ，故当a ∈(0，1)时，g ′(a )＞0，当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＜0，从而可知g (a )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且g (1)＝0，故g (a )≤0．(3)证明：由(2)可知，当a ＝1时，总有f (x )＝e x－x －1≥0，当且仅当x ＝0时等号成立．即当x ＋1＞0且x ≠0时，总有e x＞x ＋1．于是，可得(x ＋1)n ＋1＜(e x )n ＋1＝e(n ＋1)x．令x ＋1＝1n ＋1，即x ＝－n n ＋1，可得n n e n -+<+1)11(；令x ＋1＝2n ＋1，即x ＝－n －1n ＋1，可得)1(1)12(--+<+n n e n ；令x ＋1＝3n ＋1，即x ＝－n －2n ＋1，可得)2(1)13(--+<+n n e n ； ……令x ＋1＝nn ＋1，即x ＝－1n ＋1，可得11)1(-+<+e n nn ．累加可得1)2()1(1111)1()13()12()11(------++++++++<++++++++e e e e n n n n n n n n n n n n11111111)1(<-<--=--=--=---e e e e e e e e n n n n ．故对任意的正整数n ，都有11111)1(321++++++<++++n n n n n n n ．22．解：(1)把圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝25．由条件可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的方程化简可得t 2＋(3＋23)t －12＝0，所以t 1t 2＝－12，故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12．。