高考数学分类专题复习之三_函数性质

第三讲 函数性质
【考题回放】
1． 设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则有（ B ）
Ａ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ Ｂ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ Ｃ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
Ｄ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
一、 单调性：
1.定义：一般地，（1）对于给定区间上的函数f （x ），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1、
x 2，（2）当x 1＜x 2时，（3）都有f （x 1）＜f （x 2）〔或都有f （x 1）＞f （x 2）〕，那么就说（4）f （x ）在这个
区间上是增函数（或减函数）.
要注意定义引申：（1）、（2）、（4）⇒（3）；（1）、（3）、（4）⇒（2）
如：)(x f 是定义在),0(+∞上的递减区间，且)(x f <)32(-x f ，则x 的取值范围_____ 二、 奇偶性：
1.优先考虑定义域：定义域关于原点对称是具体奇偶性的必要条件。

2.奇函数)(x f 在0=x 处有意义，则0)0(=f 。

3.奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反。

三、 周期性： 1.若)()2(x f x f -=+，则)(x f 的周期是＿＿＿＿；2.若)
(1)1(x f x f =
+，则)(x f 的周期是＿＿＿＿；
3. 若)
(1)1(x f x f -
=+，则)(x f 的周期是＿＿＿＿；
4.若)(x f 是偶函数，且图象关于2=x 对称，则)(x f 的周期是＿＿＿＿；
★★★ 突 破 重 难 点
【范例1】设函数)(x f 定义在R 上，对于任意实数n m ,，总有)()()(n f m f n m f =+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。

（1）证明：1)0(=f ，且0<x 时1)(>x f （2）证明：函数在R 上单调递减
（1）解：令0=n ，则)0()()0(f m f m f =+，对于任意实数m 恒成立，1)0(=∴f 设0<x ，则0>-x ，由1)()())((=-=-+x f x f x x f 得
)
(1)(x f x f -=
，
当0>x 时，1)
(1,1)(0><<x f x f ∴当0<x 时, 0>-x ,1)
(1)(>-=x f x f
（2）证法一：设21x x <，则012>-x x ，
)()()[()(1121122x f x x f x x x f x f -=+-=1)(001212<-<∴>-x x f x x
∴),()()(1112x f x f x x f <-)()(21x f x f >∴,函数为减函数
证法二：设21x x <，则])[()()()(112121x x x f x f x f x f +--=- -=)(1x f )()(112x f x x f -=)(1x f )](1[12x x f --
1)(001212<-<∴>-x x f x x ,0)(,0)](1[112>>--∴x f x x f
故=-)()(21x f x f )(1x f 0)](1[12>--x x f )()(21x f x f >∴,函数为减函数 变式：已知定义在R 上的函数满足：()()()f x y f x f y +=+，当x ＜0时，f x ()<0。

（1）求证：f x ()为奇函数；（2）求证：f x ()为R 上的增函数；
（3）解关于x 的不等式：()()f ax f x f a x f a 2222->-()()。

（其中a >0且a 为常数） 解：（1）由()()()f x y f x f y +=+，令x y ==0，得： f f f ()()()000=+，即f ()00= 再令x y +=0，即y x =-，得：
f f x f x f x f x ()()()()()
0=+-∴-=-
∴f x ()是奇函数………………4分
（2）设x x R 12、∈，且x x 12<，则x x 120-< 由已知得：()f x x 120-<
()()()()()()()
∴-=+-=-<∴<f x x f x f x f x f x f x f x 121212120
即f x ()在R 上是增函数………………8分 （3） f ax f a f a x f x ()()()()2
2
22+>+ ()()∴+>+f ax a f a x x 2222 ∴+>+ax a a x x 2222 即()ax a x a 22220-++>
() a x a a x x a x a >-+⎛⎝ ⎫⎭⎪+>∴-⎛
⎝ ⎫⎭
⎪->0220
202
，
当
2a a <，即a >
2时，不等式解集为x x a x a |<>⎧⎨⎩⎫
⎬⎭
2或
当2a a =，即a =2时，不等式解集为{
}
x x |≠
2
当2a
a >，即02<<
a 时，不等式解集为x x a x a |<>⎧
⎨⎩
⎫⎬⎭或2………………13分
变式：设函数()11
ax f x x -=
+，其中a R ∈
（1）解不等式()1f x ≤-
（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间()0,+∞上是单调减函数。

解：（1）不等式()1f x ≤-即为
()11101
1
a x
ax x x +-≤-⇔
≤++
当1a <-时，不等式解集为()[),10,-∞-+∞ 当1a =-时，不等式解集为()(),11,-∞--+∞ 当1a >-时，不等式解集为(]1,0- （2）在()0,+∞上任取12x x <，则
()()()()
()()
1
2
1212121
2
1111
1
11a x x ax ax f x f x x x x x +----=
-=
++++
12121200,10,10x x x x x x <<∴-<+>+>
所以要使()f x 在()0,+∞递减即()()120f x f x ->，只要10a +<即1a <- 故当1a <-时，()f x 在区间()0,+∞上是单调减函数。