2018届浙江省嘉兴市高三4月模拟测试数学试题(解析版附后)
浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末考试数学试题(WORD版,有答案)
嘉兴市2017—2018学年第一学期期末检测高三数学 试题卷 （2018.1）参考公式第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） 1．已知集合}1|{<=x x P ，}0|{>=x x Q ，则A ．Q P ⊆B ．P Q ⊆C ．⊆P ∨Q RD ．∨Q P ⊆R2．若复数i 2-=z ，i 为虚数单位，则=-+)1)(1(z zA ．i 42+B ．i 42+-C ．i 42--D ．4-3．点)0,1(-到直线01=-+y x 的距离是A ．2B ．22 C ．1 D ．21 4．已知y x ,是非零实数，则“y x >”是“yx 11<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-+≤00121ky x y x x ，若y x z +=3的最小值为1，则正实数=kA ．2B ．1C ．21D ．41 6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的表面积(单位：2cm )是A ．22436+B ．51236+C ．22440+D ．51240+7．函数x x y -=3的图象与直线2+=ax y 相切，则实数=aA ．1-B ．1C ．2D ．48．若c bx x x f ++=2)(在)1,1(+-m m 内有两个不同的零点，则)1(-m f 和)1(+m fA ．都大于1B ．都小于1C ．至少有一个大于1D ．至少有一个小于19．设点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与圆2222b a y x +=+在第一象限的交点，21,F F 是双曲线的两个焦点，且||3||221PF PF =，则双曲线的离心率为 A ．13B ．213C ．13D ．213 10．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，F E ,分别是棱11,CC AA 的中点，过EF 的平面与棱11,DD BB 分别交于点H G ,.设x BG =，]1,0[∈x ．①四边形EGFH 一定是菱形；1D FH1A 1B 1C （第6题）121俯视图12212正视图侧视图②//AC 平面EGFH ；③四边形EGFH 的面积)(x f S =在区间]1,0[上具有单调性； ④四棱锥EGFH A -的体积为定值. 以上结论正确的个数是 A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，多空题6分，单空题4分，共36分）11．各项均为实数的等比数列}{n a ，若11=a ，95=a ，则=3a ▲ ，公比=q ▲ ． 12．已知6622106)1(x a x a x a a x ++++=-Λ，则2x 项的二项式系数是 ▲ ；=++++||||||||6210a a a a Λ ▲ .13．已知函数|)|4(log )(4x x f -=，则)(x f 的单调递增区间是 ▲ ；=+)2(4)0(f f ▲ ．14．直角ABC ∆中，2==AC AB ，D 为AB 边上的点，且2=DBAD，则=⋅CA CD ▲ ；若CB y CA x CD +=，则=xy ▲ ．15．在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若B C 2=，则bc的取值范围是 ▲ ． 16．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中取出3个，则取出的编号互不相同的概率是 ▲ ．17．已知实数y x ,满足194=+y x ,则1132+++y x 的取值范围是 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本题14分）已知函数)2||,0,0()sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示.（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）设函数]2,0[,sin 4)()(2π∈+=x x x f x g ，求)(x g 的值域．Oxy 2（第18题）127π3π19．（本题15分）已知函数)1(e )(2++⋅=ax x x f x ，R ∈a （e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若e =x 是)(x f 的极值点，求实数a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调递增区间．20．（本题15分）如图，在矩形ABCD 中，点E 在线段CD 上，3=AB ，2==CE BC ，沿直线BE 将BCE ∆翻折成E BC '∆，使点'C 在平面ABED 上的射影F 落在直线BD 上.（Ⅰ）求证：直线⊥BE 平面'CFC ； （Ⅱ）求二面角D BE C --'的平面角的余弦值.ABCD'C E F（第20题）21．（本题15分）如图，AB 为半圆)0(122≥=+y y x 的直径，点P D ,是半圆弧上的两点，AB OD ⊥，︒=∠30POB ．曲线C 经过点P ，且曲线C 上任意点M 满足：||||MB MA +为定值.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 交于不同的两点F E ,，求OEF ∆面积最大时的直线l 的方程．22．（本题15分）已知数列}{n a 满足11=a ，)2(11≥-=-n a n na n n ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：对任意的*∈N n ，都有 ①33212232221<++++na n a a a Λ；② 1)1(21111121+->++++-++k k a a a a nk n n n Λ（*∈≥N ,2k k ）．xyO ABDP（第21题）嘉兴市2017—2018学年第一学期期末检测高三数学 参考答案（2018.1）一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．D ； 5．C ； 6．B ；7．C ；8．D ；9．A ；10．B二、填空题（本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．3，3±； 12．15，64； 13．]0,4(-，3； 14．4，92；15．)3,2(；16．74；17．]13,2(．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本题14分）（Ⅰ）由图象得,2=A 周期πππ=-=)3127(4T ，所以2=ω； 又由232πϕπ=+⋅，得6πϕ-=；所以)62sin(2)(π-=x x f .（Ⅱ）22cos 32sin 3)2cos 1(22cos 2sin 3sin 4)()(2+-=-+-=+=x x x x x x x f x g2)32sin(32+-=πx ，因为]2,0[π∈x ，]32,3[32πππ-∈-x ，]1,23[)32sin(-∈-πx ， 所以)(x g 的值域为]322,1[+-． 19．（本题15分）（Ⅰ）]1)2([)('2++++⋅=a x a x e x f x )1)(1(+++=a x x e x 由0)('=e f ，得1--=e a ，此时e x =是)(x f 的极小值点. （Ⅱ）由0)('=x f ，得1-=x 或1--=a x .①当0=a 时，11-=--a ，)(x f 的单调递增区间是),(+∞-∞； ②当0<a 时，11->--a ，)(x f 的单调递增区间是),1(),1,(+∞----∞a ； ③当0>a 时，11-<--a ，)(x f 的单调递增区间是),1(),1,(+∞----∞a .20．（本题15分）如图，在矩形ABCD 中，点E 在线段CD 上，3=AB ，2==CE BC .沿直线BE 将BCE ∆翻折成E BC '∆，使点'C 在平面ABED 上的射影F 落在直线BD 上.（Ⅰ）求证：直线⊥BE 平面'CFC ；CD'C E（Ⅱ）求二面角D BE C --'的平面角的余弦值.20．（Ⅰ）证明：在线段AB 上取点G ，使2=BG ，连接CG 交BE 于点H .Θ正方形BCEG 中，CG BE ⊥，∴翻折后，H C BE '⊥，GH BE ⊥，又ΘH GH H C =I '，∴⊥BE 平面HG C '， 又Θ⊂BE 平面ABED ，∴平面⊥ABED 平面HG C ' 又Θ平面I ABED 平面HG C 'GC =，∴点'C 在平面ABED 上的射影F 落在直线GC 上，又Θ点'C 在平面ABED 上的射影F 落在直线BD 上，∴点F 为直线BD 与GC 的交点，∴平面'CFC 即平面HG C '，∴直线⊥BE 平面'CFC ；（Ⅱ）由（Ⅰ）得HF C '∠是二面角D BE C --'的平面角的平面角.Θ2'==CH H C ，在矩形ABCD 中，可求得524=FG ，∴52=FH .在FH C Rt '∆中，51252''cos ===∠H C FH HF C ， ∴二面角D BE C --'的平面角的余弦值为51. 21．（本题15分）如图，AB 为半圆)0(122≥=+y y x 的直径，点P D ,是半圆弧上的两点，AB OD ⊥，︒=∠30POB ．曲线C 经过点P ，且曲线C 上任意点M 满足：||||MB MA +为定值.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 交于不同的两点F E ,，求OEF ∆面积最大时的直线l 的方程．21．（Ⅰ）根据椭圆的定义，曲线C 是以)0,1(),0,1(B A -为焦点的椭圆，其中22=c ，)21,23(P . 2222)21()123()21()123(||||2+-+++=+=PB PA a 3232-++=， ∴232=a ，212=b ，曲线C 的方程为1212322=+y x ；（Ⅱ）设过点D 的直线l 的斜率为k ，则1:+=kx y l .ABCD'C E FGHxyOAB DPFExyO ABDP（第21题）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,362,122y x kx y 得0312)62(22=+++kx x k ，0)13(243)62(4)12(222>-=⋅+⋅-=∆k k k ，,623,6212221221k x x k k x x +=⋅+-=+∴22221262)13(241||1||k k k x x k EF +-⋅+=-⋅+=，又Θ点O 到直线l 的距离211kd +=，∴OEF ∆的面积=⋅⋅=d EF s ||212262)13(6k k +-.令0,132>=-λλk ，则4322621262126212=⋅≤+⋅=+⋅=λλλλs . 当且仅当λλ2=，即1,213,22±==-=k k λ时，OEF ∆面积取最大值43. 此时直线l 的方程为1+=x y 或1+-=x y ． 22．（本题15分）已知数列}{n a 满足11=a ，)2(11≥-=-n a n na n n ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：对任意的*∈N n ，都有 ①33212232221<++++na n a a a Λ；② 1)1(21111121+->++++-++k k a a a a nk n n n Λ（*∈≥N ,2k k ）．22．（Ⅰ）Θ当2≥n 时，11111===-=-an a n a n n Λ， ∴当2≥n 时，n a n =．又Θ11=a ，∴n a n =，*∈N n ．（Ⅱ）①证明：当1=n 时，31<成立；Θ当2≥n 时，)1)(1(111232-+<⋅==n n n nn na n n 111))1(1)1(1(--+⋅+--=n n n n n nn n n n n 211)1111(-++⋅+--=1111+--<n n∴2232221321n a n a a a ++++Λ)1111()121()6141()5131()4121()311(1+--+--++-+-+-+-+<n n nn Λ31112111<+--++=n n∴33212232221<++++na n a a a Λ②1121211*********-+-++++++=++++-++nk nk n n n a a a a nk n n n ΛΛ 设112121111-+-++++++=nk nk n n n s Λ，则nn nk nk s 1112111++++-+-=Λ， )111()1121()2111()111(2nnk n nk nk n nk n s +-+++-++-+++-+=ΛΘ当0,0>>y x 时，42)11)((≥++=++y x x y y x y x ，∴y x y x +≥+411，当且仅当y x =时等号成立．∴当*∈≥N ,2k k 时，kk nk k n nk nk n s +->-+-=-⋅-+>1)1(411)1(4)(142， ∴1)1(2+->k k s ．即1)1(21111121+->++++-++k k a a a a nk n n n Λ．。
浙江省嘉兴市第一高中2018-2019学年高三数学理月考试题含解析
浙江省嘉兴市第一高中2018-2019学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则下列说法不正确的是（）A.为上的偶函数B.为的一个周期C.为的一个极小值点D. 在区间上单调递减参考答案：D2. 若圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是A.2B.3C.4D.6参考答案：C圆的标准方程为，所以圆心为，半径为。
因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，所以，即。
点到圆心的距离为，所以当时，有最小值。
此时切线长最小为，所以选C.3. 如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A4. 若,则等于A．B． C．D．参考答案：C5. 设集合A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合B={x|x﹣1＞0}；则A∩B（）A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]参考答案：B6. 已知向量=（1，﹣2），=（1，1），=+， =﹣λ，如果⊥，那么实数λ=（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由平面向量坐标运算法则先分别求出，再由⊥，能求出实数λ．【解答】解：∵量=（1，﹣2），=（1，1），∴=+=（2，﹣1），=﹣λ=（1﹣λ，﹣2﹣λ），∵⊥，∴ =2（1﹣λ）+（﹣1）（﹣2﹣λ）=0，解得实数λ=4．故选：A．7. 函数的定义域为,对定义域中的任意的，都有,且当时,,那么当时, 的递减区间是 A． B． C．D．参考答案：C8. 已知函数f（x）=lg x+（a﹣2）x﹣2a+4（a＞0），若有且仅有两个整数x1，x2使得f（x1）＞0，f（x2）＞0，则a的取值范围是（）A．（0，2﹣lg3] B．（2﹣1g3，2﹣lg2]C．（2﹣lg2，2）D．（2﹣lg3，2]参考答案：A9. 满足，且的集合的个数是A．1 B．2 C．3D．4参考答案：B略10. 设函数f(x)=x3+(a－1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为A.y=－2xB. y=－xC. y=2xD. y=x参考答案：D解答：∵为奇函数，∴，即，∴，∴，∴切线方程为：，∴选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为参考答案：412. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=8，，则棱锥O-ABCD的体积为__________．略13. 公差为1的等差数列满足，则的值等于。
2018届高三4月教学质量检测(二模)数学试题 含答案
2018学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ） A ．{0,1,2} B ．{1,1,2}- C ．{1,0,2}- D ．{1,0,1}-2.设1iz i =-（i 为虚数单位），则1||z =（ ）A B ．12 D ．23.设α，β是两个不同的平面，m 是一条直线，给出下列命题：①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥；②若//m α，αβ⊥，则m β⊥.则（ ） A ．①②都是假命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①是假命题，②是真命题D ．①②都是真命题4.设1k ，2k 分别是两条直线1l ，2l 的斜率，则“12//l l ”是“12k k =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.设方程ln()x ax -（0a ≠，e 为自然对数的底数），则（ ） A ．当0a <时，方程没有实数根B. 当0a e <<时，方程有一个实数根C. 当a e =时，方程有三个实数根D. 当a e >时，方程有两个实数根 6.若实数a ，b ，c ，满足对任意实数x ，y 有345x y ax by c +-≤++≤345x y ++，则（ ）A. a b c +-的最小值为2B. a b c -+的最小值为-4C. a b c +-的最大值为4D. a b c -+的最大值为67.设倾斜角为α的直线l 经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方.若||||AF m BF =，则cos α的值为（ ）A ．11m m -+ B ．1m m + C.1m m - D 8.设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和.若正整数i ，j ，k ，l 满足()i l j k i j k l +=+≤≤≤，则（ ）A ．i l j k a a a a ≤B ．i l j k a a a a ≥ C.i l j k S S S S ≤ D ．i l j k S S S S ≥9.设函数2()f x x ax b =++(,)a b R ∈的两个零点为1x ，2x ，若12||||2x x +≤，则（ ） A ．||1a ≥ B ．||1b ≤ C. |2|2a b +≥ D ．|2|2a b +≤10.在等腰直角ABC ∆中，AB AC ⊥，2BC =，M 为BC 中点，N 为AC 中点，D 为BC 边上一个动点，ABD ∆沿AD 翻折使BD DC ⊥，点A 在面BCD 上的投影为点O ，当点D 在BC 上运动时，以下说法错误的是（ ）A. 线段NO 为定长B ．||[1CO ∈C. 180AMO ADB ∠+∠>︒ D ．点O 的轨迹是圆弧非选择题部分（共110分）二、填空题：（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题4分，共36分）11.双曲线2212y x -=的渐近线方程为 ；离心率等于 ． 12.若21(2)nx x-的展开式中所有二项式系数和为64，则n = ；展开式中的常数项是 ．13.已知随机变量ξ的概率分布列为：则E ξ= ，D ξ= .14.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ，表面积是 2cm.15.设P 为ABC ∆所在平面上一点，且满足34PA PC mAB +=(0)m >.若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积为 .16.设a ，b ，c 分别为ABC ∆三内角A ，B ，C 的对边，面积212S c =.若ab =222a b c ++的最大值是 .17.设函数22cos ,||1,()21,||1x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，若|()(f x f x lf x f x++-+-+2(l ≥>对任意实数x 都成立，则l 的最小值为 .三、解答题 ：（本大题共5小题，共74分）18.设函数()2cos (cos )f x x x =()x R ∈. （1）求函数()y f x =的周期和单调递增区间； （2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值.19.如图，已知ABCD 是矩形，M ，N 分别为边AD ，BC 的中点，MN 与AC 交于点O ，沿MN 将矩形MNCD 折起，设2AB =，4BC =，二面角B MN C --的大小为θ.（1）当90θ=︒时，求cos AOC ∠的值；（2）点60θ=︒时，点P 是线段MD 上一点，直线AP 与平面AOC 所成角为α.若sin 7α=，求线段MP 的长.20. 设函数()f x =. （1）求函数()f x 的值域；（2）当实数[0,1]x ∈，证明：21()24f x x ≤-. 21. 如图，设点A ，1F ，2F 分别为椭圆22143x y +=的左顶点和左，右焦点，过点A 作斜率为k 的直线交椭圆于另一点B ，连接2BF 并延长交椭圆于点C .（1）求点B 的坐标（用k 表示）； （2）若1FC AB ⊥，求k 的值. 21. 已知数列{}n a 的各项均为非负数，其前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，都有212n n n a a a +++≤. （1）若11a =，5052017a =，求6a 的最大值；（2）若对任意*n N ∈，都有1n S ≤，求证：+120(1)n n a a n n ≤-≤+.2018学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1-5:BBBCD 6-10:AAABC二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题4分，共36分）11.y =；240 13.1，1214.4015.1416.417.三、解答题18.解：（1）因为()2cos (cos )f x x x x ==2sin(2)16x π++.2226k x πππ-≤+≤22k ππ+，36k x k ππππ∴-≤≤+，∴函数()y f x =的单调递增区间为：(,)36k k ππππ-+()k Z ∈；（2）[0,]3x π∈，72[,]666x πππ∴+∈，1sin(2)[,1]62x π∴+∈-，()2sin(2)16f x x π∴=++的最大值是3.19.解：如图，设E 为AB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）当90θ=︒时，(2,1,0)A -，(0,1,2)C ，(2,1,0)OA ∴=-，(0,1,2)OC =，1cos 5||||OA OC AOC OA OC ⋅∴∠==-⋅.（2）由60θ=︒得(1,1C，(1,1D -，(0,1,0)M -，(1MD ∴=，设(01)MP MD λλ=≤≤，则(,1)OP OM MP λ=+=-，()AP OP OA λ∴=-=-，设平面AOC 的法向量为(,,)n x y z=，0n OA ⋅=，0n OC ⋅=，20x y x y -=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，取(1,2,n =， 由题意，得14||7||||AP n AP n ⋅=⋅，即231030λλ-+=， 13λ∴=或3λ=（舍去）， ∴在线段MD 上存在点P ，且1233MP MD ==.20.解：（1）函数()f x的定义域是[1,1]-，'()f x =，当'()0f x ≥时，解得0x ≤，()f x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,0)-上单调递减，min ()(1)(1)f x f f ∴==-=max ()(0)2f x f ==，∴函数()f x 的值域为.（2）设21()24h x x =-，[0,1]x ∈，(0)0h =， 1122111'()(1)(1)222h x x x x --=--+++，1[12x =，=2，'()0h x ∴≤.()h x ∴在(0,1)上单调递减，又(0)0h =，21()24f x x ∴≤-. 21.解：（1）设点(,)B B B x y ，直线AB 的方程为(2)y k x =+，联立22143x y +=得， 2222(34)1616120k x k x k +++-=，221612234B k x k -∴-=+，即228634B k x k -+=+，212(2)34B B ky k x k ∴=+=+，即2228612(,)3434k k B k k-+++. （2）易知2(1,0)F ，22414BF k k k =-，11BF k k=-， 所以直线2BF ，1CF 方程分别为24(1)14k y x k =--，1(1)y x k=-+， 由21(1)4(1)14y x k k y x k ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得2(81,8)C k k --，代入22143x y +=， 得4219220890k k +-=，即22(241)(89)0k k -+=，得2124k =，所以k =. 22.解：（1）由题意知121n n n n a a a a +++-≤-，设1i i i d a a +=-(1,2,,504)i =，则123504d d d d ≤≤≤≤，且1235042016d d d d ++++=，1255d d d +++≤67504409d d d +++=1252016()409d d d -+++，所以12520d d d +++≤，61125()21a a d d d ∴=++++≤.（2）若存在*k N ∈，使得1k k a a +<，则由212n n n a a a +++≤， 得112k k k k a a a a +++≤-≤，因此，从n a 项开始，数列{}n a 严格递增， 故12n a a a +++≥1k k n a a a ++++≥(1)k n k a -+，对于固定的k ，当n 足够大时，必有121n a a a +++≥，与题设矛盾，所以{}n a 不可能递增，即只能10n n a a +-≥. 令1k k k b a a +=-，*()k N ∈，由112k k k k a a a a +++-≥-，得1k k b b +≥，0k b >， 故121n a a a ≥+++=122()n b a a a ++++=12332()n b b a a a +++++，122n n b b nb na ==++++(1)(12)2n n n n n b b +≥+++=， 所以2(1)n b n n ≤+，综上，对一切*n N ∈，都有120(1)n n a a n n +≤-≤+.。
2018年4月浙江省普通高中学业水平模拟考试数学仿真模拟试题B(解析版加考试版)
为
A． x 3 x 3 B． x 3 x 2
C． x
【答案】 C
3x2
D． x 1 x 3
【解析】 M x 1 x 2 , N
x1
2．函数 y
的定义域为
ln x
A． 0，
C． ，1 1，
【答案】 D
,M N
B． 1， D ． 0，1 1，
· 1·
，故选 C．
【解析】
3．已知
π
的终边上有一点
1, 2 ，则 sin
5．同时满足下列三个条件的函数为
①在 0 , π 上是增函数；②为 R 上的奇函数；③最小正周期为 π．
2
A ． y tan x
【答案】 A
B． y cosx
x C． y tan
2
D． y sin x
【解析】选项 B, D 中所给函数都是偶函数，不符合；选项 C 中所给的函数的周期为 2π，不符合 .故
选 A．
6．设 f x
2x , x 0 ,
，则 f 2
f f x 2 ,x 0
A．2 【答案】 A
B．1
1
C．
4
1
D．
2
【解析】
7．已知直线 l : x a y 1 0 的横截距与纵截距相等，则直线 l 的倾斜角为
· 2·
4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内， 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
作图时可先使用 2B
选择题部分
一、选择题 （本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合 题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．设全集为实数集 R ，已知集合 M x 1 x 2 , N x x2 3 ，则图中阴影部分所表示的集合
【数学】浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟测试数学试题
2018年高考模拟测试数学试题卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵集合，，∴，故选B.2. 已知，，，，那么的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】此题可采用特值法，∵，故可取，此时，，，即成立，故选A.3. 某几何体的三视图如图（单位：），则该几何体的体积是（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面的底边长为，底面的高，即为三视图的宽，故底面面积，棱锥的高即为三视图的高，故，故棱锥的体积，故选A.4. 在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线斜率的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如图：分析可知当点与点重合时直线的斜率最小为.故C正确.考点：线性规划.视频5. 已知：不等式的解集为，：，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵:不等式的解集为，由一元二次不等式的性质可得，又∵为的真子集，所以是的充分不必要条件，故选A.6. 已知两个平面和三条直线，若，且，，设和所成的一个二面角的大小为，直线和平面所成的角的大小为，直线所成的角的大小为，则（）A. B.C. ，D. ，【答案】D【解析】如图所示，在平行六面体中，令面为，面为，则为，再令为，为，故和所成的一个二面角的大小为钝角，直线和平面所成的角的大小为锐角，直线所成的角的大小为直角，只有C选项满足，故选C.7. 已知数列为等差数列，且，则的最小值为（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】设数列的公差为，∵，∴，由分段函数的性质可得的最小值为1，故选C.点睛：本题主要考查了等差数列的概念，分段函数的最值问题，属于基础题；对于绝对值函数主要利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想，将其用分段函数进行表示，再求最值.8. 若双曲线：的右顶点为，过的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且，则直线的斜率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】由双曲线的标准方程为可得双曲线的渐近线方程为，又，设直线的方程，由，解得，由解得，故，，由得，解得，故选D.9. 已知（），则的最小值为（）A. B. 9 C. D.【答案】B...............点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．10. 已知函数，集合，集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，(为的两根)，因为，所以且，，于是，，或，令，，即，所以，即，即，故选A.点睛：本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题；设集合，根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系结合，得出和，即可求出实数的取值范围.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11. 若复数满足（为虚数单位），则________；________．【答案】 (1). (2).【解析】∵，∴，，故答案为，.12. 已知直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹方程是_______；轨迹为________．【答案】 (1). (2). 一个圆【解析】设点，由题意：得：，整理得到点P的轨迹方程为，即，其轨迹为圆.点睛：本题考查曲线轨迹方程的求法，考查计算能力，直接列方程是关键；常见的方法有：1、直接法；2、定义法；3、相关点法；4、待定系数法；5、参数法；6、交轨法，该题中利用的是直接法.13. 展开式中，项的系数为________；所有项系数的和为________．【答案】 (1). (2).【解析】由于的展开式的通项公式为，令，，的展开式中的系数为20，令，解得，可得的展开式中的系数为，可得的展开式中的系数为；令可得所有项系数的和为，故答案为，.14. 设△的三边所对的角分别为，已知，则________;的最大值为________．【答案】 (1). (2).【解析】∵，由余弦定理得为钝角，∴；即，∵，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，∴的最大值为，故答案为，.15. 某市的5所学校组织联合活动，每所学校各派出2名学生．在这10名学生中任选4名学生做游戏，记“恰有两名学生来自同一所学校”为事件，则________．【答案】【解析】在这10名学生中任选4名学生共包含个基本事件，事件“恰有两名学生来自同一所学校”包含，故，故答案为.16. 已知，向量满足.当的夹角最大时，________．【答案】【解析】设，，即，所以，此时，故答案为.17. 椭圆，直线，直线，为椭圆上任意一点，过作且与直线交于点，作且与交于点，若为定值，则椭圆的离心率为________.【答案】点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系以及椭圆离心率的求法，属于中档题；设，根据平行四边形知识可将为定值得到椭圆方程，即可得到离心率.三、解答题（本大题共5小题，共74分）18. 已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设△的三边所对的角分别为，若，，，求的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）先利用两角和的余弦公式展开，再结合辅助角公式可将化为，即可得函数最大值和周期；（2）结合（1）可得，再利用余弦定理即可得到的值.试题解析：（1），所以的最大值为，．（2）因为，．由余弦定理可得：，因为，所以．19. 如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面为正三角形且二面角为．（Ⅰ）设侧面与的交线为，求证：；（Ⅱ）设底边与侧面所成角的为，求的值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）通过得到侧面，再通过线面平行性质定理可得结论；（2）取中点、中点，连、，根据二面角定义可得，以为原点，为轴，为轴，如图建立右手空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据可得结果.试题解析：（1）因为，所以侧面．又因为侧面与的交线为，所以．（2）取中点、中点，连、，则、．所以是侧面与底面成二面角的平面角．从而．作于，则底面．因为，，所以，．以为原点，为轴，为轴，如图建立右手空间直角坐标系．则，，．设是平面的法向量，则，．取．则．20. 已知函数．（Ⅰ）求函数在处的切线方程；（Ⅱ）证明：仅有唯一的极小值点.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，求出和，利用直线的点斜式可得切线方程；（2）令，对其求导得与0的关系，继而得与0的关系，结合以及在上单调递增可得结论.试题解析：（1）因为，所以．又因为，所以切线方程为：，即．（2）令，则，所以时，时．当时，易知，所以，在上没有极值点．当时，因为，所以，在上有极小值点．又因为在上单调递增，所以仅有唯一的极小值点.点睛：本题主要考查了导数的几何意义以及导数与函数单调性、极值点之间的关系，难度中档；导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，由，得函数单调递增，得函数单调递减，根据单调性可得极值.21. 点为抛物线上一定点，斜率为的直线与抛物线交于两点.（Ⅰ）求弦中点的纵坐标;（Ⅱ）点是线段上任意一点（异于端点），过作的平行线交抛物线于两点，求证：为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（1）将两点间斜率计算公式与相结合可得，故而可得弦中点的纵坐标；（2）设，得直线：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式可得，，由（1）得，，代入即可得结论.试题解析：（1）（*）所以，.（2）设，直线：，联立方程组，所以，，同理.由（*）可知：，所以，即所以，即.22. 已知数列满足，.（Ⅰ）判断数列的单调性；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）证明证明：.【答案】（Ⅰ）单调递增；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.【解析】试题分析：（1）作差，利用数学归纳法证，即数列单调递增；（2）由（1）的结论易知时，故，即可得结论；（3）对（2）中的结论两边同时取对数得，根据得到，利用累加思想，化简即可得结果.试题解析：（1）因为．当时，．假设时，，所以时，．从而对于一切，．所以，即数列单调递增．（2）证明：因为，所以．又因为由（1）可知，所以时．，即．（3）证明：由（2）得．所以．由得：．．所以．所以，即．经验证也成立，即得证．2018年高考考前猜题卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足iii z 2|2|++=，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．102．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（ ）A ．}1|{≤x xB ．}121|{≤<-x xC ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π-B ．43C ．63π D ．414．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2 6．已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,12(π-对称C ．关于直线12π=x 对称 D ．关于直线12π-=x 对称7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A.32 B.43C. 2D. 411 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）A ．160B ．160-C ．350D ．320- 9．已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,(-∞C ．)22,(--∞D ．)22,22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π20C ．π65D ．π465 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若n n a a a c b ==++1111,2，2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-22，则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）21．已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)332,1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=282422321m S m S m S ，)(R m ∈，从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比223==a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)121121(21)12)(12(1+--⨯=-+=n n n n b n ∴)1211215131311(2121+--++-+-⨯=+++=n n b b b T n n 12+=n n. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；12011)(310==C B P ，10312036)(3102416===C C C C P ，2112060)(3101426===C C C D P ，6112020)(31036===C C E P∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则181)|(2912==C C F G P .（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为由题意得，若要不亏本，则03212103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为030，∴030=∠ABO设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n 设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则46||||||,cos |sin ==><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42020=+y x ， 则)24,2(),2,2(0000y x F y x E +--， ∴41164164164244242020020000021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则144122412221=+⇒-=+⋅-⇒-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为1422=+y x （0≠y ） （2）联立⎩⎨⎧=++=4422y x mx y 消去y ，得0448522=-++m mx x ， 设),(),,(2211y x Q y x P ，则544,5822121-=-=+m x x m x x ， 由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m ∴22221221255245444)58(24)(11||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=， 易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=， ∴22)3(554||||m m ST PQ S S OST OPQ+-===∆∆λ，令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ， 则45)431(4544654222+--⨯=-+-=t t t t λ， 当431=t ，即43=t 时，λ取得最大值552，此时35-=m . 21．解：（1）x a x y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得322=-a ，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 212+= 对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立， 令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 21)(2-+=在),0(+∞上为增函数 2)('-+=xa x x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立， 所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞.（3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+等价于0000ln 1x a x a x x -<+， 整理得01ln 000<++-x a x a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m2222)1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--= 因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得)1ln(11+<++a a a （*） 令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为t t t ln 11<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++-=e a a e e m 解得112-+>e e a . 综上所述，实数a 的取值范围是),11()2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，4)2(22=++y x∵090=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b .（2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2>=a ay x ，直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 04212>+=∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ，∴||||22N C M C 为定值8.23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x 解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ，故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立 ⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒50a a 5≥⇒a .。
优质金卷：浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟测试数学试题(解析版)
1．B 【解析】∵集合，，∴，故选B.2．A 【解析】此题可采用特值法，∵，故可取，此时，，，即成立，故选A.4．C 【解析】试题分析：画出可行域如图：分析可知当点M 与点()3,1A -重合时直线OM 的斜率最小为101303--=--.故C 正确. 考点：线性规划. 5．A 【解析】∵:不等式的解集为，由一元二次不等式的性质可得，又∵为的真子集，所以是的充分不必要条件，故选A.6．D 【解析】如图所示，在平行六面体中，令面为，面为，则为，再令为，为，故和所成的一个二面角的大小为钝角，直线和平面所成的角的大小为锐角，直线所成的角的大小为直角，只有C 选项满足，故选C.7．C【解析】设数列的公差为，∵，∴，由分段函数的性质可得的最小值为1，故选C.点睛：本题主要考查了等差数列的概念，分段函数的最值问题，属于基础题；对于绝对值函数主要利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想，将其用分段函数进行表示，再求最值.9．B【解析】，两边同时乘以“”得：，所以，当且仅当时等号成立，令，所以，解得或，因为，所以，即，故选B.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．10．A【解析】设，(为的两根)，因为，所以且，，于是，，或，令，，即，所以，即，即，故选A.点睛：本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题；设集合，根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系结合，得出和，即可求出实数的取值范围.11．【解析】∵，∴，，故答案为，.12．一个圆【解析】设点，由题意：得：，整理得到点P的轨迹方程为，即，其轨迹为圆.点睛：本题考查曲线轨迹方程的求法，考查计算能力，直接列方程是关键；常见的方法有：1、直接法；2、定义法；3、相关点法；4、待定系数法；5、参数法；6、交轨法，该题中利用的是直接法.14．【解析】∵，由余弦定理得为钝角，∴；即，∵，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，∴的最大值为，故答案为，.15．【解析】在这10名学生中任选4名学生共包含个基本事件，事件“恰有两名学生来自同一所学校”包含，故，故答案为.点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系以及椭圆离心率的求法，属于中档题；设，根据平行四边形知识可将为定值得到椭圆方程，即可得到离心率.17．【解析】设，，即，所以，此时，故答案为. 18．（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）先利用两角和的余弦公式展开，再结合辅助角公式可将化为，即可得函数最大值和周期；（2）结合（1）可得，再利用余弦定理即可得到的值.试题解析：（1），所以的最大值为，．（2）因为，．由余弦定理可得：，因为，所以．19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.（2）取中点、中点，连、，则、．所以是侧面与底面成二面角的平面角．从而．作于，则底面．因为，，所以，．以为原点，为轴，为轴，如图建立右手空间直角坐标系．则，，．设是平面的法向量，则，．取．则．20．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.试题解析：（1）因为，所以．又因为，所以切线方程为：，即．（2）令，则，所以时，时．当时，易知，所以，在上没有极值点．当时，因为，所以，在上有极小值点．又因为在上单调递增，所以仅有唯一的极小值点.点睛：本题主要考查了导数的几何意义以及导数与函数单调性、极值点之间的关系，难度中档；导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，由，得函数单调递增，得函数单调递减，根据单调性可得极值.21．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（1）将两点间斜率计算公式与相结合可得，故而可得弦中点的纵坐标；（2）设，得直线：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式可得，，由（1）得，，代入即可得结论.试题解析：（1）（*）所以，.（2）设，直线：，联立方程组，所以，，同理.由（*）可知：，所以，即所以，即.22．（Ⅰ）单调递增；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.试题解析：（1）因为．当时，．假设时，，所以时，．从而对于一切，．所以，即数列单调递增．（2）证明：因为，所以．又因为由（1）可知，所以时．，即．．所以，即．经验证也成立，即得证．。
2018届高三4月联考数学试题(有答案,有附加题)
2018届高三联考数 学2018.04.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.若i z 231-=，)(12R a ai z ∈+=，21z z ⋅为实数，则=a _____.2.某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从中抽取40辆汽车进行测速分析,得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图,时速在h km /70以下的汽车有_____.3.已知命题411:＞a p ，01,:2＞++∈∀ax ax R x q ，则p 成立是q 成立的_____.（选“充分必要”，“充分不必要”，“既不充分也不必要”填空）.4.从甲、乙、丙、丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率是_____.5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____.6.设y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+-≥+-02023201y y x y x ，则y x z 43+-=的最大值是_____.7.若)(x f 是周期为2的奇函数，当)1,0(∈x 时，308)(2+-=x x x f ，则=)10(f _____.8.正方形铁片的边长为cm 8，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为4π的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积为____.9.已知函数)cos()(ϕω+=x A x f 的图象如图所示，32)2(-=πf ，则=)0(f ____.10.平面直角坐标系xOy 中，双曲线)0,0(1:22221＞＞b a by a x C =-的渐近线与抛物线)0(2:22＞p py x C =交于点B A O ,,,若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为____.11.已知点)2,1(),0,3(---B A ，若圆)0()2(222＞r r y x =+-上恰有两点N M ,，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是____.12.设E D ,分别为线段AC AB ,的中点,且0=⋅CD BE ,记α为AB 与AC 的夹角,则α2cos 的最小值为____.13.已知函数x a a x e e x x x x f --++--=4ln 32)(2，其中e 为自然对数的底数,若存在实数0x 使3)(0=x f 成立，则实数a 的值为____.14.若方程0|12|2=---t x x 有四个不同的实数根4321,,,x x x x ，且4321x x x x ＜＜＜，则)()(22314x x x x -+-的取值范围是____.二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知b c a 222=-，且C A C A sin cos 3cos sin =.（1）求b 的值； （2）若4π=B ，S 为ABC ∆的面积，求C A S cos cos 28+的取值范围.16.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在棱BC 上，D C AD 1⊥,点F E ,分别是111,B A BB 的中点.（1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证:∥EF 平面1ADC .17.科学研究证实,二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A 市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨,否则将采取紧急限排措施.已知A 市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少%10.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量m 万吨)0(＞m .（1）求A 市2019年的碳排放总量(用含m 的式子表示）； （2）若A 市永远不需要采取紧急限排措施,求m 的取值范围.18.已知椭圆)0(1:2222＞＞b a by a x C =+的左顶点，右焦点分别为F A ,，右准线为m .（1）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形,求椭圆离心率的取值范围；（2）在(1)的条件下，当e 取最大值时，A 点坐标为)0,2(-，设N M B ,,是椭圆上的三点，且ON OM OB 5453+=,求:以线段MN 的中点为圆心,过F A ,两点的圆的方程.19.设函数x ax x f ln 121)(2--=，其中R a ∈. （1）若0=a ，求过点)1,0(-且与曲线)(x f y =相切的直线方程；（2）若函数)(x f 有两个零点21,x x . ①求a 的取值范围；②求证：0)()(21＜x f x f '+'.20.设+⊆N M ，正项数列}{n a 的前n 项的积为n T ，且M k ∈∀，当k n ＞时，k n k n k n T T T T =-+都成立.（1）若}1{=M ，31=a ，332=a ，求数列}{n a 的前n 项和； （2）若}4,3{=M ，21=a ，求数列}{n a 的通项公式.附加题21B .选修4-2：矩阵与变换(本题满分10分)已知矩阵1 1a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵A ； （2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l的方程．21C .选修4-4：坐标系与参数方程(本题满分10分)圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A (异于极点O )，求直线CA 的极坐标方程.22.（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2,--其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ23．(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足123012323C C C C 222n n n n na +++=++++…*C 2nn nn n ++∈N ，． （1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．联考数学试题Ⅰ一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．若132z i =-，21()z ai a R +∈=，12·z z 为实数，则a = ▲ ．232．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取40辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h 以下的汽车有 ▲ 辆． 163．已知命题11:>4p a ，命题210q x R ax ax +∀∈+>：，，则p 成立是q 成立的 ▲ 条件（选“充分必要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”填空）． 充分不必要4．从甲、乙、丙、丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率为▲ ．235．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ▲ ．456．设,x y 满足约束条件10232020x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩,则34z x y =-+的最大值是 ▲ ．57．已知()f x 是周期为2的奇函数且当()0,1x ∈时()2830f x x x =-+,则()10f= ▲ ．24- 8．正方形铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为4π的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积为▲ ．π79．已知函数()()f x Acos x ωϕ=＋的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f = ▲ ．2310．平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若O A B ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为▲ ．3211．已知点3,0()1),2(A B ---，，若圆()222(2)0x y r r +=->上恰有两点M N ，，使得MAB∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是 ▲ ．292(,)2212．设D ，E 分别为线段AB ，AC 的中点，且BE ―→·CD ―→＝0，记α为AB ―→与AC ―→的夹角，cos 2α 的最小值为 ▲ ．72513．已知函数2()23ln 4x aa x f x x x x ee --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为 ▲ ． 1ln 2-14. 若方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则41322()()x x x x -+-的取值范围是 ▲ . (8,45]二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知222a c b -=，且3sinAcosC cosAsinC = .（1）求边b 的值；（2）若4B π=，S 为ABC ∆的面积，求82cos S AcosC +的取值范围．解：（1）由正弦定理sin sin a c A C = ，余弦定理222222cos ,cos 22a b c b c a C A ab bc+-+-== sin cos 3cos sin A C A C =可等价变形为222222322a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅化简得2222b a c -= ……………………3分222a c b -= 4b ∴=或0(b =舍）……………………6分若求范围： （2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin 82sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=382cos 82cos()82cos(2)4S AcosC A C A π=-=-∴+……………………10分在ABC ∆中，由3040202A A C A Cπππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪<<⎪⎪⎪>⎩ 得3(,)82A ππ∈ 32(0,)44A ππ∴-∈，32cos(2)(,1)42A π∴-∈ 82cos (8,82)S AcosC ∈∴+……………………14分若求定值：由sin cos 3cos sin A C A C =得tan 3tan A C = 故2tan tan 4tan tan tan()11tan tan 13tan A C CB AC A C C+=-+=-=-=-- 解得27tan 3C ±=2220a c b -=>27tan 3C +∴=故tan 27A =+ 由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin 82sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=382cos 82cos()82cos(2)8(sin 2cos 2)4S AcosC A C A A A π∴+=-=-=- 2222sin 2cos 22tan 1tan 8()8sin cos tan 1A A A A A A A --+==⋅++ 解得82cos 47S AcosC +=……………………14分16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在棱BC 上，D C AD 1⊥，点E ，F分别是1BB ，11B A 的中点． （1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．解：（1） 正三棱柱111C B A ABC -，∴⊥C C 1平面ABC ，又⊂AD 平面ABC ，∴AD C C ⊥1，又D C AD 1⊥，111C C C D C = ∴⊥AD 平面11B BCC ，………………………………………………………3分 又 正三棱柱111C B A ABC -，∴平面ABC ⊥平面11B BCC ，∴⊥AD BC ，D 为BC 的中点．………6分（2） 连接B A 1，连接C A 1交1AC 于点G ，连接DG 矩形11ACC A ，∴G 为C A 1的中点， 又由(1)得D 为BC 的中点，∴△BC A 1中，B A DG 1//…………………9分 又 点E ，F 分别是1BB ，11B A 的中点，∴△B B A 11中，B A EF 1//，∴DG EF //，……12分 又⊄EF 平面1ADC ，⊂DG 平面1ADC ∴//EF 平面1ADC ．………14分17．（本小题满分14分）AA 1BCB 1C 1DEF AA 1BCB 1C 1DEF G科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响.环境部门对A 市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A 市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m 万吨（m >0）.（Ⅰ）求A 市2019年的碳排放总量(用含m 的式子表示)； （Ⅱ）若A 市永远不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围. 解：设2018年的碳排放总量为1a ，2019年的碳排放总量为2a ，… （Ⅰ）由已知，14000.9a m =⨯+,220.9(4000.9)4000.90.9a m m m m =⨯⨯++=⨯++=324 1.9m +. （4分）（Ⅱ）230.9(4000.90.9)a m m m =⨯⨯+++324000.90.90.9m m m =⨯+++,…124000.90.90.90.9n n n n a m m m m --=⨯+++⋅⋅⋅+10.94000.94000.910(10.9)10.9nnn n m m -=⨯+=⋅+--(40010)0.910n m m =-⋅+.（8分） 由已知有*,550n n N a ∀∈≤（1）当400100m -=即40m =时,显然满足题意；（9分）（2）当400100m ->即40m <时，由指数函数的性质可得:(40010)0.910550m m -⨯+≤，解得190m ≤.综合得40m <；（11分）（3）当400100m -<即40m >时，由指数函数的性质可得:10550m ≤，解得55m ≤,综合得4055m <≤.（13分） 综上可得所求范围是(0,55]m ∈. （14分）18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m ．（1）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围;（2）在（1）的条件下，当e 取最大值时，A 点坐标为(2,0)-，设B 、M 、N 是椭圆上的三点，且3455OB OM ON =+，求：以线段MN 的中点为圆心，过,A F 两点的圆方程．解： （1）设直线m 与x 轴的交点是Q ，依题意FQ FA ≥，即2a c a c c -≥+,22a a c c≥+,12a c c a ≥+,112e e ≥+,2210e e +-≤102e <≤…………………………………………4分 （2）当12e =且(2,0)A -时， (1,0)F ，故2,1a c ==， …………………………………………5分所以3b =，椭圆方程是：22143x y += …………………………………………6分 设1122()()M x y N x y ，，， ，则2211143x y +=，2222143x y +=． 由3455OB OM ON =+，得 12123434(,)5555B x x y y ++． 因为B 是椭圆C 上一点，所以2212123434()()5555+=143x x y y ++ …………………8分 即222222112212123434()()()()2()14354355543x y x y x xy y ++++⋅⋅+=1212043x x y y += ………① …………………10分 因为圆过,A F 两点， 所以线段MN 的中点的坐标为121 (,)22y y +- …………11分 又2222212121212121111()(2)[3(1)3(1)2]24444y y y y y y x x y y +=++=-+-+………② …………12分 由①和②得222212121212111313121()[3(1)3(1)3()][2()](2)24442444416y y x x x x x x +=-+-+-=-+=⋅-=所以圆心坐标为121(,)24-±…………14分 （少一解扣一分） 故所求圆方程为 2212157()()2416x y ++±= ………………16分 19．（本小题满分16分）设函数21()1ln 2f x ax x =--，其中a R ∈ ． （1）若0a =，求过点(0,1)-且与曲线()y f x =相切的直线方程； （2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，① 求a 的取值范围；② 求证：12'()'()0f x f x +<．解（1）当a ＝0时，f (x )＝－1－ln x ，f ′(x )＝－1x ．设切点为T (x 0，－1－ln x 0)，则切线方程为：y ＋1＋ln x 0＝－1x 0( x －x 0)． …………………… 2分因为切线过点(0，－1)，所以 －1＋1＋ln x 0＝－1x 0(0－x 0)，解得x 0＝e ．所以所求切线方程为y ＝－1e x －1． …………………… 4分 （2）①f ′(x )＝ax －1x ＝ax 2－1x ，x ＞0．(i) 若a ≤0，则f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，从而函数f (x )在(0，＋∞)上至多有1个零点，不合题意． …………………… 5分(ii)若a ＞0，由f ′(x )＝0，解得x ＝1a．当0＜x ＜1a 时， f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ＞1a时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )min ＝f (1a )＝12－ln 1a －1＝－12－ln 1a．要使函数f (x )有两个零点，首先 －12－ln 1a＜0，解得0＜a ＜e ． …………… 7分当0＜a ＜e 时，1a ＞1e＞1e ．因为f (1e )＝a 2e 2＞0，故f (1e )·f (1a)＜0．又函数f (x )在(0，1a )上单调递减，且其图像在(0，1a)上不间断，所以函数f (x )在区间(0，1a)内恰有1个零点． …………………… 9分考察函数g (x )＝x －1－ln x ，则g′(x )＝1－1x ＝x －1x ．当x ∈(0，1)时，g′(x )＜0，函数g (x )在(0，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g′(x )＞0，函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (1)＝0，故f (2a )＝2a －1－ln 2a ≥0．因为2a －1a ＝2－a a ＞0，故2a ＞1a ．因为f (1a )·f (2a )≤0，且f (x )在(1a ，＋∞)上单调递增，其图像在(1a，＋∞)上不间断，所以函数f (x )在区间(1a ，2a ] 上恰有1个零点，即在(1a，＋∞)上恰有1个零点．综上所述，a 的取值范围是(0，e)． …………………… 11分②由x 1，x 2是函数f (x )的两个零点(不妨设x 1＜x 2)，得 ⎩⎨⎧12ax 12－1－ln x 1＝0，12ax 22－1－ln x 2＝0，两式相减，得 12a (x 12－x 22)－ln x 1x 2＝0，即12a (x 1＋x 2) (x 1－x 2)－ln x 1x 2＝0，所以a (x 1＋x 2)＝2ln x 1x2x 1－x 2． …………………… 13分f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0等价于ax 1－1x 1＋ax 2－1x 2＜0，即a (x 1＋x 2)－1x 1－1x 2＜0，即2ln x 1x2x 1－x 2－1x 1－1x 2＜0，即2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1x 2＞0． 设h (x )＝2ln x ＋1x －x ，x ∈(0，1)．则h ′(x )＝2x －1x 2－1＝2x －1－x 2x 2＝－(x －1)2x 2＜0， 所以函数h (x )在(0，1)单调递减，所以h (x )＞h (1)＝0．因为x 1x 2∈(0，1)，所以2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1x 2＞0，即f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0成立． …………………… 16分20．(本小题满分16分)设M ⊂≠*N ，正项数列{}n a 的前项积为n T ，且k M ∀∈，当n k >时，n k n k n k T T T T +-=都成立． (1)若{1}M =，13a =，233a =，求数列{}n a 的前n 项和；(2)若}4{3M =，，12a =，求数列{}n a 的通项公式． 解：(1)当n ≥2时，因为M ＝{1}，所以T n ＋1T n －1＝T n T 1，可得a n ＋1＝a n a 12，故a n ＋1a n＝a 12＝3(n ≥2)．又a 1＝3，a 2＝33，则{a n }是公比为3的等比数列，…………2分故{a n }的前n 项和为3(1－3n )1－3＝32·3n －32．…………4分(2)当n ＞k 时，因为T n ＋k T n －k ＝T n T k ，所以T n ＋1＋k T n ＋1－k ＝T n ＋1T k ，所以T n ＋k T n －kT n ＋1＋k T n ＋1－k＝T n T kT n ＋1T k，即a n ＋1＋k a n ＋1－k ＝a n ＋1，…………6分 因为M ＝{3，4}，所以取k ＝3，当n ＞3时，有a n ＋4a n －2＝a n ＋12； 取k ＝4，当n ＞4时，有a n ＋5a n －3＝a n ＋12．…………8分 由a n ＋5a n －3＝a n ＋12知，数列a 2，a 6，a 10，a 14，a 18，a 22，…，a 4n －2，…，是等比数列，设公比为q ．………① 由a n ＋4a n －2＝a n ＋12 知，数列a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，…，a 3n －1，…，是等比数列，设公比为q 1，………② 数列a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，a 18，…，a 3n ，…，成等比数列，设公比为q 2，………③ 数列a 4，a 7，a 10，a 13，a 16，a 19，a 22，…，a 3n ＋1，…，成等比数列，设公比为q 3，…④由①②得，a 14a 2＝q 3，且a 14a 2＝q 14，所以q 1＝q 34；由①③得，a 18a 6＝q 3，且a 18a 6＝q 24，所以q 2＝q 34；由①④得，a 22a 10＝q 3，且a 22a 10＝q 34，所以q 3＝q 34；所以q 1＝q 2＝q 3＝q 34．…………12分由①③得，a 6＝a 2q ，a 6＝a 3q 2，所以a 3a 2＝qq 2＝q 14，由①④得，a 10＝a 2q 2，a 10＝a 4q 32，所以a 4a 2＝q 2q 32＝q 12，所以a 2，a 3，a 4是公比为q 14的等比数列，所以{a n }(n ≥2)是公比为q 14的等比数列． 因为当n ＝4，k ＝3时，T 7T 1＝T 42T 32；当n ＝5，k ＝4时，T 9T 1＝T 52T 42， 所以(q 14)7＝2a 24，且(q 14)10＝2a 26，所以q 14＝2，a 2＝22．…………14分又a 1＝2，所以{a n }(n ∈N *)是公比为q 14的等比数列．故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1·2．…………16分21A .选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，210CD =，3AB BC ==，求BD 以及AC 的长．解：由切割线定理得:2DB DA DC ⋅=， ………………………2分2()DB DB BA DC +=， 04032=-+DB DB ，5=DB ． …………6分A B C D ∠=∠，∴ DBC ∆∽DCA ∆， …………………………………8分∴BC DBCA DC = ，得5106=⋅=DB DC BC AC ． ……………………………10分21B .选修4-2：矩阵与变换(本题满分10分)已知矩阵1 1a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵A ； （2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l的方程．OABCD解：（1）12211 12a b a A b α+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎡⎤⎢⎦⎣⎥-⎣⎦⎦，1242λλαλ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2422a b +=⎧∴⎨-+=⎩ 解得24a b =⎧⎨=⎩ 故12 14A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦…………4分 （2）设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(',')x y则 '122'4 14x x x y y y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, '2'4x x y y x y =+⎧∴⎨=-+⎩ 2''3''6x y x x y y -⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩4x y -= ∴''8x y -= ∴直线l 的方程为80x y --=…………10分21C .选修4-4：坐标系与参数方程(本题满分10分)圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A (异于极点O )，求直线CA 的极坐标方程.解：圆C ：θρθρπθρρsin 2cos 24cos 22+=⎪⎭⎫⎝⎛-= 所以02222=--+y x y x …………………4分所以圆心⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,22C ，与极轴交于()0,2A …………………6分直线CA 的直角坐标方程为2=+y x …………………8分即直线CA 的极坐标方程为14cos =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ． …………………10分 21D .选修4-5：不等式选讲(本题满分10分) 证明：n n12131211222-<++++ (n ≥2，*n N ∈). 证明：n n n )1(13212111131211222-++⨯+⨯+<++++………5分nn 11131212111--++-+-+= n12-=． ………10分 22.（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2,--其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ23．(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足123012323C C C C 222n n n n na +++=++++…*C 2n n nn n ++∈N ，． （1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明． 23．(本小题满分10分)解：（1）12a =，24a =，38a =． …… 3分 （2）猜想：2n n a =． 证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； …… 5分 ②假设n k =时结论成立， 则有123012323C C C C C 22222k k k k k k k k kk a ++++=+++++=．则1n k =+时，12311112131111231C C C C C2222k+k k k+k+k+k k k+a ++++++++=+++++． 由111C C C k k kn nn +++=+得 102132112233123C C C C C C C 222k k k k k k k ka ++++++++++=++++11111C C C 22k k -k+k+k k+k k+k+k k+++++ 0121112311231C C C C C 222222k k+k k k k k k k+k+k k+-+++++=++++++， 12110231111121C C C C 12(C )22222k k+k k k k k k+k+k k k k a -++++++-=++++++ 121102311111121C C C C C 12(C )22222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k+-+++++++-=++++++． 又111111(21)!(22)(21)!(21)!(1)12C C !(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!2k+k+k+k k+k k k k k k =k k k k k k k ++++++++===+++++ 12110231111111211C C C C C 12(C )222222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k k -++++++++-+=+++++++， 于是11122k k k a a ++=+．所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立．由①②得，2n n a =*n ∈N ，． …… 10分。
2018届浙江高考数学仿真试卷四含答案
2018届浙江高考数学仿真试卷四考试时间：120分钟一、单选题1．【（衡水金卷）2018年普通高校招生全国卷 I 】已知集合{}1,0,2,4A =-， {}2|20B x N x x =∈-+≥，则（ ）A. {}2A B ⋂=B. {}2,4A B ⋂=C. {}1,0,2,4A B ⋃=-D. {}1,0,1,2,4A B ⋃=- 【答案】D【解析】因为{}2|20B x N x x =∈-+≥ {}{}{}=0,1,20,2,1,0,1,2,4A B A B ∴⋂=⋃=- ,所以选D.【回扣点睛】1.集合的基本运算；2.简单不等式的解法. 2．【2018届高三第一次全国大联考】若复数满足（为虚数单位），则下列说法正确的是A. 复数的虚部为1B.C. D. 复平面内与复数对应的点在第二象限【答案】C【回扣点睛】1.复数的概念及运算；2.复数的几何意义. 3．【2018届宁夏银川高三4月检测】是两个平面，是两条直线，则下列命题中错误的是（ ）A. 如果，那么B. 如果，那么C. 如果，那么D. 如果，那么【答案】D【解析】对于A ，如果则∥或，因为，则，故正确；对于B ，如果，那么与无公共点，则，故正确；对于C ，如果，则，故正确；对于D ，如果，那么与的关系不确定，故错误. 故选D.【回扣点睛】1.三视图；2.几何体的体积.4．若满足约束条件,则的最小值为( )A. 1B.C. 5D. 9 【答案】B 【解析】【回扣点睛】1.简单线性规划；2.直线与圆的位置关系. 5．【2018届河南省高三4月高考适应性考试】已知等差数列的前项和为，且，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B.C.D.【答案】D 【解析】在等差数列中，由，得，，其对称轴方程为，要使数列在内为递增数列，则，即，故选D.【回扣点睛】1.等差数列；2.二次函数的图象和性质.6．【2018届内蒙古呼和浩特市高三第一次调研】函数()()sin f x A x B ωφ=++的部分图象如图所示，将函数()f x 图象向右平移1个单位得到函数()g x 的图象，则()()415g g -+=（ ）A. 3B. 32C. 2D.12【答案】B【回扣点睛】1.诱导公式；2.三角函数的图象和性质.7．【2018届四川省德阳市高三二诊】已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为（）A. 3B. 1C.D. 2【答案】D【解析】双曲线的离心率为，则故其一条渐近线不妨为，圆的圆心，半径为2，双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为，可得圆心到直线的距离为：故选D．【回扣点睛】1.双曲线的几何性质；2.直线和圆的位置关系.8.【2018届陕西省西安市八校高三上学期第一次联考】设()2f x x ax b =++（,a b R ∈），当[]1,1x ∈-时，()f x 的最大值为m ，则m 的最小值为 （ ） A.12 B. １ C. 32D. ２ 【答案】A【回扣点睛】本题考查绝对值不等式的应用。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(四)数学(理)含答案
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（四）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2|M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则MN =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．B ．i -C ．1i -+D ．1i --3．已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则312f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ）ABC．D．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A ．5B ．6C ．7D ．86．已知函数()()sinωϕ=+f x A x (0,0,)2ωϕπ>><A在一个周期内的图象如图所示，则4π⎛⎫= ⎪⎝⎭f （ ）A ．2-B ．2C D ．7．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．21;n n -B ．21;1n n -+C ．121;n n +-D ．121;1n n +-+8．若P 是圆()()22:331C x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的最大值（ ） A ．4B ．6C ．D ．9．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的的取值范围是（ ）A ．()(),10,3-∞-B ．()()1,03,-+∞C ．()(),11,3-∞-D ．()()1,01,3-10．已知,x y ∈R ，在平面直角坐标系xOy 中，点,)x y （为平面区域2040⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥≥y x y x 内任一点，则坐标原点与点,)x y （连线倾斜角小于3π的概率为（ ） A ．116B．CD11．某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ 的长为，CQ 的长度为关于的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B．C ．D ．12．设双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，122F F c =，过2F 作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭，22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232+>PF PQ F F 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A．2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．71,6⎛⎫⎪⎝⎭C．762⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D．1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟测试数学
浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟测试数学试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知集合}0|{≥=y y M ，}1|{2+-==x y y N ，则=N M IA ．()1,0B ．[]1,0C ．[)∞+,0D ．[)∞+,12．已知)43,2(ππα∈ ，αsin =a ，αcos =b ，αtan =c ，那么c b a ,,的大小关系是A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>3．某几何体的三视图如图（单位：m ），则该几何体的体积是A ．323mB ．343m C ．2 3mD ．4 3m4．在平面直角坐标系xoy 中，M 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥--083012022y x y x y x 所表示的平面区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为 A ．2B ．1C ．31-D ．21- 5．已知p ：不等式0)1)(1(>--x ax 的解集为)1,1(a，q ：21<a ，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知两个平面βα,和三条直线b a m ,,，若m =βαI ，α⊂a 且m a ⊥，β⊂b ，设α和β所成的一个二面角的大小为1θ，直线a 和平面β所成的角的大小为2θ，直线b a ,所成的角的大小为3θ，正视图侧视图俯视图 （第3题）则A ．321θθθ≥=B ．213θθθ=≥C ．31θθ≥，32θθ≥D ．21θθ≥，23θθ≥7．已知数列}{n a 为等差数列，且18=a ，则||||2109a a +的最小值为A ．3B ．2C ．1D ．08．若双曲线C ：122=-y x 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于Q P ,两点，且AQ PA 2=，则直线l 的斜率为A ．31B ．32C ．2D ．39．已知841++=+yx y x （0,>y x ），则y x +的最小值为A ．35B ．9C ．264+D ． 1010．已知函数b ax x x f ++=2)(，集合}0)(|{≤=x f x A ，集合}45))((|{≤=x f f x B ，若∅≠=B A ，则实数a 的取值范围是A ．]5,5[B ．]5,1[-C ．]3,5[D ．]3,1[-第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．若复数z 满足()i 2i 3-=+z （i 为虚数单位），则=z Ⅰ ；=||z Ⅰ ．12．已知直角坐标系中)0,2(-A ，)0,2(B ，动点P 满足||2||PB PA =，则点P 的轨迹方程是Ⅰ ；轨迹为 Ⅰ ．13．6)1)(2(++x x 展开式中，3x 项的系数为 Ⅰ ；所有项系数的和为 Ⅰ ． 14．设ⅠABC 的三边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,，已知2222c b a =+，则=ACtan tan Ⅰ ;B tan 的最大值为 Ⅰ ．15．某市的5所学校组织联合活动，每所学校各派出2名学生．在这10名学生中任选4名学生做游戏，记 “恰有两名学生来自同一所学校”为事件A ，则=)(A P Ⅰ ． 16．已知2||=c ，向量b 满足c b c b ⋅=-||2.当c b ,的夹角最大时，=||b Ⅰ ． 17．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，直线x y l 21:1-=，直线x y l 21:2=，P 为椭圆上任意一点，过P 作1//l PM 且与直线2l 交于点M ，作2//l PN 且与1l 交于点N ，若22||||PN PM +为定值，则椭圆的离心率为 Ⅰ .三、解答题（本大题共5小题，共74分） 18．（本题14分）已知函数()2)cos (sin 3)32cos(x x x x f ++π+=． （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设△ABC 的三边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,，若2=a ，7=c ，3)24(=+Cf π，求b 的值．19．（本题15分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧面PCD 为正三角形且二面角A CD P --为︒60．（Ⅰ）设侧面PAD 与PBC 的交线为m ，求证：BC m //；（Ⅰ）设底边AB 与侧面PBC 所成角的为θ，求θsin 的值．20．（本题15分）已知函数xe xf x 2)(+=．（Ⅰ）求函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅰ）证明：)(x f 仅有唯一的极小值点.PABCD （第19题）21．（本题15分）点)1,1(P 为抛物线x y =2上一定点，斜率为21-的直线与抛物线交于B A ,两点. （Ⅰ）求弦AB 中点M 的纵坐标;（Ⅰ）点Q 是线段PB 上任意一点（异于端点），过Q 作PA 的平行线交抛物线于F E ,两点，求证：||||||||QB QP QF QE ⋅-⋅为定值.22．（本题15分）已知数列}{n a 满足231=a ，)1(2)311(1+++=+n n a a n n n )(*∈N n （Ⅰ）判断数列}{n a 的单调性； （Ⅰ）证明：)1(323111+++≤+n n a a n n n )2(≥n ； （Ⅰ）证明：e a n 3<.（第21题）2018年高考模拟测试 数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．B ； 2．A ； 3．A ； 4．C ； 5．A ； 6．D ； 7．C ；8．D ；9．B ；10．A ．9．提示：yx y x y x y x 418841+=-+⇒++=+， 两边同时乘以“y x +”得：))(41())(8(y x yx y x y x ++=+-+ 所以9)45())(8(≥++=+-+yx x y y x y x ，当且仅当x y 2=时等号成立. 令y x t +=，所以9)8(≥⋅-t t ，解得1-≤t 或9≥t 因为0>+y x ，所以9≥+y x ，即9)(min =+y x10．提示：设})(|{}45))((|{n x f m x x f f x B ≤≤=≤=，(n m ,为45)(=x f 的两根) ．因为∅≠=B A ，所以0=n 且)(min x f m ≤，042≥-=∆b a ． 于是45)0()(==f n f ，45=b ．052≥-=∆a ⇔5-≤a 或5≥a ． 令)(x f t =，0454545)(45))((2≤≤-⇒≤++⇒≤⇒≤t a at t t f x f f ． 即a m x f a x n x f m x x f f x B -=⇒≤≤-=≤≤=≤=}0)(|{})(|{}45))((|{．所以)(min x f a ≤-，即]5,1[)2(-∈⇒-≤-a af a ．故]5,5[∈a ．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．i 2121-=z ；22； 12．041222=+-+x y x ；一个圆；13．55；192； 14．3-;33； 15．74； 16．22；17．23．16．提示：设,,θ>=<c b 222)(||48||4||2⋅=+⋅-⇒⋅=-， 即θθθθθsin 4||sin ||cos 4016cos ||16sin ||4222≥+=⇔=+-b b b b ．所以4max πθ=，此时22||=．17．提示：令t PN PM =+22||||（t 为常数），设)21,(),21,(2211x x N x x M -， 由平行四边形知识，t x x ON OM PN PM =+=+=+)(45||||||||22212222．设点),(y x P ，因为)2121,(2121x x x x ON OM OP -+=+=．所以t x x y x x x y x x x 58)(2421212221222121=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+=，此方程即为椭圆方程，即23=e ．三、解答题（本大题共5小题，共74分） 18．（本题14分）已知函数()2)cos (sin 3)32cos(x x x x f ++π+=． （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设△ABC 的三边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,，若2=a ，7=c ，3)24(=+Cf π，求b 的值． 解答：（Ⅰ）)2sin 1(32sin 232cos 21)(x x x x f ++-=3)62sin(++=πx ， 所以，)(x f 的最大值为31+，π=T ．（Ⅱ）因为33)6cos(3)62sin()24(=++=+++=+ππππC C C f ， 30)6cos(ππ=⇒=+⇒C C ．由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=可得：0322=--b b ，因为0>b ，所以3=b ．19．（本题15分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧面PCD 为正三角形且二面角A CD P --为︒60．（Ⅰ）设侧面PAD 与PBC 的交线为m ，求证：BC m //； （Ⅱ）设底边AB 与侧面PBC 所成角的为θ，求θsin 的值．解答：（Ⅰ）因为AD BC //，所以//BC 侧面PAD ． 又因为侧面PAD 与PBC 的交线为m ，所以BC m //．（Ⅱ）解法一：向量方法取CD 中点M 、AB 中点N ，连PM 、MN ， 则CD PM ⊥、CD MN ⊥．所以PMN ∠是侧面PCD从而︒=∠60PMN ．作MN PO ⊥于O ，则⊥PO 底面ABCD ． 因为2=CM ，32=PM ， 所以3=OM ，3=OP ．以O 为原点，ON 为x 轴，OP 为z 轴，如图建立右手空间直角坐标系． 则)0,4,0(=AB ，)3,2,34(--=PB ，)3,2,3(--=PC ． 设),,(z y x n =是平面PBC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-0323032)34(z y x z y x ⇒0=x ，z y 32=．取)2,3,0(=n ． A （第19题）则θsin |,cos |><=AB n 41312⨯=13133=． 解法二：几何方法取CD 中点M 、AB 中点N ，连PM 、MN ，则CD PM ⊥、CD MN ⊥． 所以PMN ∠是侧面PCD 与底面成二面角的平面角． 从而︒=∠60PMN ．作MN PO ⊥于O ，则⊥PO 底面ABCD ．因为2=CM ，32=PM ，所以3=OP ． 作AB OE //交BC 于E ，连PE ． 因为PO BC ⊥，OE BC ⊥，所以⊥BC 平面POE ．从而平面⊥POE 平面PBC ． 所以PEO ∠就是OE 与平面PBC 所成的角，θ=∠POE ． 在△POE 中，23tan ==OE PO θ．故θsin 13133=．20．（本题15分）已知函数xe xf x 2)(+=．（Ⅰ）求函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）证明：)(x f 仅有唯一的极小值点.解答：（Ⅰ）因为22)1()(x x e x f x --='，所以2)1(-='=f k ．又因为2)1(+=e f ，所以切线方程为：)1(2)2(--=+-x e y ，即042=--+e y x ．（Ⅱ）令2)1()(--=x e x h x ，则x e x h x ⋅=')(， 所以)0,(-∞∈x 时0)(<'x h ，),0(∞+∈x 时0)(>'x h ． ① 当)0,(-∞∈x 时，易知0)(<x h ，PA BCD（第19题）NM OE所以0)(<'x f ，)(x f 在)0,(-∞上没有极值点．② 当),0(∞+∈x 时，因为02)2(,02)1(2>-=<-=e h h ， 所以0)2(,0)1(>'<'f f ，)(x f 在)2,1(上有极小值点．又因为)(x h 在),0(∞+上单调递增，所以)(x f 仅有唯一的极小值点.21．（本题15分）点)1,1(P 为抛物线x y =2上一定点，斜率为21-的直线与抛物线交于B A ,两点. （Ⅰ）求弦AB 中点M 的纵坐标;（Ⅱ）点Q 是线段PB 上任意一点（异于端点），过Q 作PA 的平行线交抛物线于F E ,两点，求证：||||||||QB QP QF QE ⋅-⋅为定值. 解答：（Ⅰ）211-=+=--=B A B A B A AB y y x x y y k （*）所以2-=+B A y y ，12-=+=BA M y y y . （Ⅱ）设),(00y x Q ，直线EF ：(010y y t x x -=-联立方程组0)(001122010=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-x y t y t y x y y y t x x ，所以0011,x y t y y t y y F E F E -=⋅=+，||)1(||1||1||||02021021021x y t y y t y y t QF QE F E -+=-+⋅-+=⋅，同理||)1(||||02022x y t QB QP -+=⋅.由（*）可知：P A PA EFy y k k t +===111，P B PBy y k t +==12 所以0222)(21=+-=++=+P B A y y y t t ，即222121t t t t =⇒-=所以||||||||QB QP QF QE ⋅=⋅，即0||||||||=⋅-⋅QB QP QF QE22．（本题15分）（第21题）已知数列}{n a 满足231=a ，)1(2)311(1+++=+n n a a n n n )(*∈N n （Ⅰ）判断数列}{n a 的单调性； （Ⅱ）证明：)1(323111+++≤+n n a a n n n )2(≥n ； （Ⅲ）证明：e a n 3<.解答：（Ⅰ）因为)1(2311++=-+n n a a a n n n n ．当1=n 时，0231>=a ． 假设k n =时，0>k a ，所以1+=k n 时，0)1(2)311(1>+++=+k k a a k k k ． 从而对于一切*∈N n ，0>n a ． 所以0)1(2311>++=-+n n a a a n nn n ，即数列}{n a 单调递增 ． （Ⅱ）证明：因为231=a ，所以32=a ． 又因为由（Ⅰ）可知n n a a >+1，所以2≥n 时3≥n a ． 3)1(2)311()1(2)311(1n n nn n n a n n a n n a a ⋅+++≤+++=+， 即)1(323111+++≤+n n a a n n n )2(≥n ． （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得])1(32311ln[ln 1+++≤+n n a a n n n )2(≥n ． 所以])1(32311ln[ln ln 1+++≤-+n n a a n n n )2(≥n ． 由x x <+)1ln()0(>x 得：)1(3231ln ln 1++<-+n n a a n n n )2(≥n ． )ln (ln )ln (ln )ln (ln ln ln 232112a a a a a a a a n n n n n -++-+-=----Λ)3(≥n ． 所以))1(1431321(32)313131(ln ln 1322n n a a n n ⋅-+⨯+⨯+++<--ΛΛ 213161)121(32311])31(1[912=+<-+--=-n n )3(≥n ． 所以3ln 21ln +<n a )3(≥n ，即e a n 3<)3(≥n ． 经验证21,a a 也成立，即得证e a n 3<．。
浙江省嘉兴市天凝中学2018年高三数学理模拟试题含解析
浙江省嘉兴市天凝中学2018年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，则（）A. 0B. 3C. 4D. 3或4参考答案：D3或42. 已知集合，，则（）A．[0,3] B．[0,1) C．[1,3] D．(1,3]参考答案：C∵集合集合∴故选C3. 将正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角，则异面直线AB和CD所成的角是（）A、30°B、45°C、60°D、90°参考答案：C4. 已知函数,若,且,则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：D5. 已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.若函数，且，，则实数的取值范围是（）A. B. C.D.参考答案：D【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12解析：因为且，即在是增函数，所以.而在不是增函数，而，所以当是增函数时，有，所以当不是增函数时，有.综上所述，可得的取值范围是.【思路点拨】由已知可得在不是增函数，而，所以当是增函数时，有，所以当不是增函数时，有.综上所述，可得的取值范围是.6. 若集合A={0，2，x}，B={x2}，A B=A，则满足条件的实数x有 ( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个参考答案：B7. 已知椭圆M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C 的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝A．4 B．8 C．12 D．16参考答案：【知识点】椭圆的定义;椭圆的基本性质的应用.H5【答案解析】B 解析：如图：MN的中点为Q，易得|QF2|＝|NB|，|QF1|＝|AN|，∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=4，∴|AN|+|BN|=8．故选B．【思路点拨】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．8. 某厂的某种产品的产量去年相对于前年的增长率为，今年相对于去年的增长率为，且．如果这种产品的产量在这两年中的平均增长率为x，则（）A． B． C．D．参考答案：A设这种产品前年的产量为a，则今年的产量为，得，∴，∴．9. 复数，其中i是虚数单位，则( )A. B. 1C. 3D. 5参考答案：A【分析】根据复数模的定义求解.【详解】，选A.【点睛】本题考查复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.10. 已知是函数的零点，若的值满足（） A． B．C． D．的符号不确定参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则实数的取值范围是。
2018学年第一学期嘉兴市高三期末教学质量检测数学卷
注意事项： 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密 封线内填写学校、班级、学号、姓名; 2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 6 页，全卷满 分 150 分，考试时间 120 分钟．
▲
，
z = 2 x + y 的取值范围是
▲
． ▲ ．
15．已知正实数 x, y 满足 x + 2 y = 4 ，则 2 x ( y + 1) 的最大值为
16．浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物 理、化学、生物、技术这 7 门高中学考科目中选择 3 门作为高考选考科目，成绩计入 高考总分．已知报考某高校 A、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业： 物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术．考生小李今年打算报考该高校这两 个专业的选考方式有 ▲ 种． （用数字作答）
17．已知点 P 是抛物线 y 2 = 4 x 上的一点，过 P 作直线 x = −2 的垂线，垂足为 H ，直线 l 经过原点， 由 l 上的一点 Q 向圆 C : ( x + 5) 2 + ( y − 3) 2 = 2 引两条切线， 分别切圆 C 于
M , N 两点，且△ MQN 为直角三角形，则 | PQ | + | PH | 的最小值是
6
A． 36 3 B． 54 C． 72 3 D． 108
（第 4 题）
3
3
3 3
5．已知等比数列 {a n } 的各项均为正，且 5a 3 , a 2 , 3a 4 成等差数列，则数列 {a n } 的公比是 A．
2018嘉兴数学一模答案
嘉兴市2018年第一次高职模拟考试数学答案一、单项选择题（本大题共20小题，1-12小题每小题2分，13-20小题每小题3分，共48分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）三、解答题（本大题共9小题，共74分，解答应写出文字说明及演算步骤） 28.(6分) 解：原式=344112--+22lg100⨯1 …………………5分 3242== ………………… 1分29.(7分) 解：22(1)7x y ++=圆方程可化为:（-2）,故可设圆心为M （2，-1） ……………………………2分 则直线PM 即为最长弦所在直线，31122PM k +==--- …………………………2分 :1(2)PM l y x +=--…………………………2分即最长弦所在直线方程为：10x y +-=……………………1分30.(8分) 解：（1）3-1233a a =---由题意得：……………………………2分 2a ∴= …………………………………1分故B （0，3）抛物线方程为212x y =，………………………………2分（2）A(3，2)，过A 点且平行于X 轴的直线为2y =……………1分 它与直线的交点坐标为43（,2）………………………………2分 31.(8分) 解：（1）212()()r n r r r n T C x x-+=-…………………………2分 23(2)r r n r n C x -=- ………………………1分故22(2)144n C -=，解得9n =……………………2分（2）由（1）知，18319(2)r r r r T C x -+=-令18-306r r ==，则…………………2分故常数项为667619(2)5376T T C +==-=…………………1分32.(9分) 解：（1）()sin 2cos 2f x x x =-2分)4x π=-2分故 55())sin()2424462f ππππ=⨯-==1分（2）max sin(2)1()4x f x π-==当时， ……………… 2分 此时，2=2,42x k k Z πππ-+∈即：{}3=,8x x k k Z ππ+∈时，()f x ……… 2分33.(9分) 解：（1）由正弦定理得： 2222222b a c ac =++，即 222a c b ac +-=-……………………2分2221cos 222a cb ac B ac ac +--===- …………………………… 2分 120B ∴=︒ …………………………………………………… 1分(2)21sin ,sin120sin 2C C ==︒由得又120B =︒ ==30A C ∴︒，三角形为等腰三角形，2a c ==…………………………2分11sin 22222ABC S ac B ∆==⋅⋅=………… 2分 34.(9分) （1）解：由题意知，后一个正方形的面积是前一个正方形面积的2倍，由此各正方形面积形成了一个以4为首项，以2为 公比的等比数列。
【数学】浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟测试试题(word附答案解析版)
浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟测试数学试题第Ⅰ卷一、选择题1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. 已知，，，，那么的大小关系是（）A. B. C. D.3. 某几何体的三视图如图（单位：），则该几何体的体积是（）A. B. C. 2 D. 44. 在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线斜率的最小值为（）A. B. C. D.5. 已知：不等式的解集为，：，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知两个平面和三条直线，若，且，，设和所成的一个二面角的大小为，直线和平面所成的角的大小为，直线所成的角的大小为，则（）A. B.C. ，D. ，7. 已知数列为等差数列，且，则的最小值为（）A. 3B. 2C. 1D. 08. 若双曲线：的右顶点为，过的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且，则直线的斜率为（）A. B. C. 2 D. 39. 已知（），则的最小值为（）A. B. 9 C. D.10. 已知函数，集合，集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题11. 若复数满足（为虚数单位），则________；________．12. 已知直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹方程是_______；轨迹为________．13. 展开式中，项的系数为________；所有项系数的和为________．14. 设△的三边所对的角分别为，已知，则________;的最大值为________．15. 某市的5所学校组织联合活动，每所学校各派出2名学生．在这10名学生中任选4名学生做游戏，记“恰有两名学生来自同一所学校”为事件，则________．16. 已知，向量满足.当的夹角最大时，________．17. 椭圆，直线，直线，为椭圆上任意一点，过作且与直线交于点，作且与交于点，若为定值，则椭圆的离心率为________.三、解答题18. 已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设△的三边所对的角分别为，若，，，求的值．19. 如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面为正三角形且二面角为．（Ⅰ）设侧面与的交线为，求证：；（Ⅱ）设底边与侧面所成角的为，求的值．20. 已知函数．（Ⅰ）求函数在处的切线方程；（Ⅱ）证明：仅有唯一的极小值点.21. 点为抛物线上一定点，斜率为的直线与抛物线交于两点.（Ⅰ）求弦中点的纵坐标;（Ⅱ）点是线段上任意一点（异于端点），过作的平行线交抛物线于两点，求证：为定值.22. 已知数列满足，.（Ⅰ）判断数列的单调性；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）证明：.【参考答案】第Ⅰ卷一、选择题1. 【答案】B【解析】∵集合，，∴，故选B.2. 【答案】A【解析】此题可采用特值法，∵，故可取，此时，，，即成立，故选A.3. 【答案】A【解析】已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面的底边长为，底面的高，即为三视图的宽，故底面面积，棱锥的高即为三视图的高，故，故棱锥的体积，故选A.4. 【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如图：分析可知当点与点重合时直线的斜率最小为.故C正确.5. 【答案】A【解析】∵:不等式的解集为，由一元二次不等式的性质可得，又∵为的真子集，所以是的充分不必要条件，故选A.6. 【答案】D【解析】如图所示，在平行六面体中，令面为，面为，则为，再令为，为，故和所成的一个二面角的大小为钝角，直线和平面所成的角的大小为锐角，直线所成的角的大小为直角，只有C选项满足，故选C.7. 【答案】C【解析】设数列的公差为，∵，∴，由分段函数的性质可得的最小值为1，故选C.8. 【答案】D【解析】由双曲线的标准方程为可得双曲线的渐近线方程为，又，设直线的方程，由，解得，由解得，故，，由得，解得，故选D.9. 【答案】B10. 【答案】A【解析】设，(为的两根)，因为，所以且，，于是，，或，令，，即，所以，即，即，故选A.第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】(1). (2).【解析】∵，∴，，故答案为，.12.【答案】(1). (2). 一个圆【解析】设点，由题意：得：，整理得到点P 的轨迹方程为，即，其轨迹为圆.13.【答案】(1). (2).【解析】由于的展开式的通项公式为，令，，的展开式中的系数为20，令，解得，可得的展开式中的系数为，可得的展开式中的系数为；令可得所有项系数的和为，故答案为，.14. 【答案】(1). (2).【解析】∵，由余弦定理得为钝角，∴；即，∵，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，∴的最大值为，故答案为，.15.【答案】【解析】在这10名学生中任选4名学生共包含个基本事件，事件“恰有两名学生来自同一所学校”包含，故，故答案为.16.【答案】【解析】设，，即，所以，此时，故答案为.17.【答案】三、解答题18.解：（Ⅰ），所以的最大值为，．（Ⅱ）因为，．由余弦定理可得：，因为，所以．19. 解：（Ⅰ）因为，所以侧面．又因为侧面与的交线为，所以．（Ⅱ）取中点、中点，连、，则、．所以是侧面与底面成二面角的平面角．从而．作于，则底面．因为，，所以，．以为原点，为轴，为轴，如图建立右手空间直角坐标系．则，，．设是平面的法向量，则，．取．则．20.（Ⅰ）解：因为，所以．又因为，所以切线方程为：，即．（Ⅱ）证明：令，则，所以时，时．当时，易知，所以，在上没有极值点．当时，因为，所以，在上有极小值点．又因为在上单调递增，所以仅有唯一的极小值点.21.解：（Ⅰ）（*）所以，.（Ⅱ）设，直线：，联立方程组，所以，，同理.由（*）可知：，所以，即所以，即.22.（Ⅰ）解：因为．当时，．假设时，，所以时，．从而对于一切，．所以，即数列单调递增．（Ⅱ）证明：因为，所以．又因为由（1）可知，所以时．，即．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得．所以．由得：．．所以．所以，即．经验证也成立，即得证．。
2018届浙江省嘉兴市高三4月二模考试理科数学试题及答
2018年嘉兴市高三教学测试（二）高三数学试题卷（理科）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容，并正确涂黑相关标记;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概 率是p ，那么n 次独立重复试验中 事件A 恰好发生k 次的概率),,2,1,0()1()(n k p p C k P k n kk n n =-=- ．球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334R V π=， 其中R 表示球的半径．棱柱的体积公式Sh V =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高． 棱锥的体积公式Sh V 31=， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 棱台的体积公式)(312211S S S S h V ++=， 其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合}3,2,1{=A ，}9,3,1{=B ，A x ∈，且B x ∉，则=x A ．1 B ．2 C ．3 D ．9 2．在复平面内，复数i1i 31-+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若10<<a ，x x a a log )1(log <-，则A ．10<<xB ．21<x C ．210<<x D ．121<<x4．函数x x y 2sin 2cos +=，R ∈x 的值域是A ．]1,0[B ．]1,21[ C ．]2,1[- D ．]2,0[5．在5)1)(21(x x +-的展开式中，3x 的系数是A ．20B ．20-C ．10D ．10- 6．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2则该几何体的体积为 A ．π334+B ．π33832+C ．π3332+ D ．π3334+7．在平面直角坐标系中，不等式2|2|≤≤-x y 表示的平面区域的面积是 A ．24 B ．4C ．22D ．28．若b a ,表示直线，α表示平面，且α⊂b ，则“b a //”是“α//a ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．设m 是平面α内的一条定直线，P 是平面α外的一个定点，动直线n 经过点P 且与m 成︒30角，则直线n 与平面α的交点Q的轨迹是正视图侧视图俯视图 （第6题）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 10．设}{n a 是有穷数列，且项数2≥n ．定义一个变换η： 将数列n a a a ,,,21 变成143,,,+n a a a ，其中211a a a n ⋅=+．从数列20132,,3,2,1 开始，反复实施变换η，直到只剩下一项而不能变换为止．则变换所产生的所有项的乘积．．．．．．．．．．．．为 A ．20132013)!2( B ．20122013)!2( C ．2012)!2013( D ．)!!2(2013非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共711．设数列}{n a 满足11=a ，n n a a 31=+1213．将函数x y sin =再横坐标伸长为原来的2的函数解析式为 ▲ ．14．从点A 到点B 不同的最短路径共有 ▲ 条．15．设△ABC 的三边长分别为c b a ,,，重心为G ， 则=++222||||||G G G ▲ ．16．设R ,,∈c b a ，有下列命题：①若0>a ，则b ax x f +=)(在R 上是单调函数； ②若b ax x f +=)(在R 上是单调函数，则0>a ； ③若042<-ac b ，则 03≠++c ab a ； ④若03≠++c ab a ，则042<-ac b ． 其中，真命题的序号是 ▲ ．17．已知点)0,3(-A 和圆O ：922=+y x ，AB 是圆O 的直径，M 和N 是AB的三等分点，P （异于B A ,）是圆O 上的动点，AB PD ⊥于D ，)0(>=λλED PE ，直线PA 与BE 交于C，则当=λ ▲ 时，||||CN CM +为定值．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足CA B A bc a sin sin sin sin --=+．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求cb a +的取值范围．19．（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X 为取出3球中白球的个数，已知215)3(==X P ． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望．20．（本题满分15分）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC ==，点P 在AB 上，BC PE //交AC于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC．（Ⅰ）求证：//'C B 平面PE A '．（Ⅱ）设λ=PBAP ，当λ为何值时，二面角P B A C --''的大小为︒60？21．（本题满分15分）BF PAF C'B 'A E（第20题）如图，已知抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=x y C 上，点P是抛物线1C 上的动点．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数)1(ln )(--=x a x x f ． （Ⅰ）若11-=e a ，求函数|)(|xf y =的极值点； （Ⅱ）若不等式exea a eax x f )21()(22-++-≤恒成立，求a 的取值范围．（e 为自然对数的底数）（第21题）2018年高三教学测试（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B；2．B；3．C；4．A；5．D；6．A ； 7．B ； 8．D ； 9．C ； 10．A ． 第9题提示：动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、以平行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面α的交线．第10题提示：数列20132,,3,2,1 共有20132项，它们的乘积为!22013．经过20122次变换，产生了有20122项的一个新数列，它们的乘积也为!22013．对新数列进行同样的变换，直至最后只剩下一个数，它也是!22013，变换终止．在变换过程中产生的所有的项，可分为2018组，每组的项数依次为01201120122,2,,2,2 ，乘积均为!22013，故答案为20132013)!2(． 二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11．81； 12．5； 13．)121sin(+=x y ； 14．22；15．3222c b a ++； 16．①③； 17．81．第17题提示：设),(00y x P ，则)11,(00y x E λ+，)3(3:00++=x x y y PA …① )3(311:00--+=x x y y BE λ…② 由①②得)9()9)(1(220202--+=x x y y λ， 将2029x y -=代入，得119922=++λy x ．由1199=+-λ，得到81=λ． 三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分） 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足CA B A bc a sin sin sin sin --=+．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求cb a +的取值范围．解：（Ⅰ）CA BA bc a sin sin sin sin --=+ca ba --=，化简得222c ab b a =-+， …4分 所以212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=C ． …7分 （Ⅱ）C B A c b a sin sin sin +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6sin(2π+=A ． (11)分因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ．故，cba +的取值范围是]2,1(． (14)分19．（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X 为取出3球中白球的个数，已知215)3(==X P ． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望．解：（Ⅰ）设袋中有白球n 个，则215)3(393===C C X P n，…4分即215789)2)(1(=⨯⨯--n n n ，解得6=n ． …7分（Ⅱ）随机变量X 的分布列如下：…11分221532815214318410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ．…14分20．（本题满分15分）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC ==，点P 在AB 上，BC PE //交AC于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC．（Ⅰ）求证：//'C B 平面PE A '．（Ⅱ）设λ=PBAP ，当λ为何值时，二面角P B A C --''的大小为︒60？解：（Ⅰ）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '． …BF PAF C'B 'A E（第20题）2分因为平面⊥PE A '平面ABC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '． …6分（Ⅱ）以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图．…7分 则)0,0,0(C ，)1,1,0('++λλλa a A ， )1,0,1('++λλλa a B ，)0,1,1(++λλλaa P ．)1,1,0('++=λλλa a CA ， )1)1(,1,1('+-+-+=λλλλλaa a B A ，)1,1,0('+-+=λλa a P B ．平面''B CA 的一个法向量)1,,1(-=λλm ， …9分 平面''B PA 的一个法向量)1,1,1(=n ． …11分 2160cos 311|11|||||22=︒=⋅++-+=λλλλn m ， (13)分（第20题）化简得0988122=+--+λλλλ，解得2537±=λ． (15)分21．（本题满分15分）如图，已知抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=x y C 上，点P是抛物线1C 上的动点．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d解：（Ⅰ）1C 的焦点为)2,0(p F ， …2分所以102+=p，2=p ． …4分故1C 的方程为y x 42=，其准线方程为1-=y ． …6分（Ⅱ）设),2(2t t P ，)121,(211+x x M ，)121,(222+x x N ，则PM 的方程：)()121(1121x x x x y -=+-，所以12122112+-=x tx t ，即02242121=-+-t tx x ．（第21题）同理，PN ：121222+-=x x x y ，02242222=-+-t tx x ． …8分 MN 的方程：)()121(121)121(121222121x x x x x x x y --+-+=+-， 即))((21)121(12121x x x x x y -+=+-．由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-0224022422222121t tx x t tx x ，得t x x 421=+，21211221t tx x -=-． …10分所以直线MN 的方程为222t tx y -+=． …12分 于是222222241)1(241|24|t t tt t t d ++=+-+-=．令)1(412≥+=s t s ，则366216921=+≥++=s s d （当3=s 时取等号）． 所以，d 的最小值为3． …15分22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数)1(ln )(--=x a x x f ． （Ⅰ）若11-=e a ，求函数|)(|xf y =的极值点； （Ⅱ）若不等式exea a e ax x f )21()(22-++-≤恒成立，求a 的取值范围．（e 为自然对数的底数） 解：（Ⅰ）若11-=e a ，则11ln )(---=e x x xf ，111)('--=e x x f ． 当)1,0(-∈e x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增；当),1(+∞-∈e x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减． …2分又因为0)1(=f ，0)(=e f ，所以当)1,0(∈x 时，0)(<x f ；当)1,1(-∈e x 时，0)(>x f ；当),1(e e x -∈时，0)(>x f ；当),(+∞∈e x 时，0)(<x f ． …4分 故|)(|x f y =的极小值点为1和e ，极大值点为1-e ． …6分（Ⅱ）不等式exea a e ax x f )21()(22-++-≤，整理为0)21(ln 22≤++-+a e xa eax x ．…（*） 设a e xa eax x x g ++-+=)21(ln )(22， 则eaeax xx g 2121)('2+-+=（0>x ） xe e ex a ax 222)21(2++-=xe e ax e x 2)2)((--=． …8分①当0≤a 时，02<-e ax ，又0>x ，所以，当),0(e x ∈时，0)('>x g ，)(x g 递增； 当),(+∞∈e x 时，0)('<x g ，)(x g 递减． 从而0)()(max==e g x g ．故，0)(≤x g 恒成立． …11分②当0>a 时，xe e ax e x x g 2)2)(()('--=)12)((2exe a e x --=．令2212e a ex e a =-，解得a ex =1，则当1x x >时，2212e a ex e a >-；再令1)(2=-e ae x ，解得e a e x +=22，则当2x x >时，1)(2>-ea e x ．取),max(210x x x =，则当0x x >时，1)('>x g ．所以，当),(0+∞∈x x 时，00)()(x x x g x g ->-，即)()(00x g x x x g +->． 这与“0)(≤x g 恒成立”矛盾．综上所述，0≤a ． …14分。
18年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷理(四)
2018年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷 理（四）本试题卷共14页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·丹东期末]设集合{}2|M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则M N =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-【答案】C【解析】由题意{}0,1M =，∴{}0,1M N =．故选C ．2．[2018·南阳一中]设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．i B ．i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A 【解析】()21f x x x =-+，()()()()i 11i i 12ii i 1i 11i 2z +--+-====-----，()()()()2i i i 1i f z f ∴=-=---+=，故选A ．3．[2018·郴州一中]已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则312f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-【答案】B【解析】()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，223131sin log 1232f f ⎡⎤π⎛⎫⎛⎫⎢⎥∴+=⨯+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2115sin 5log 26422π⎛⎫⎛⎫=π++=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ．4．[2018·衡水金卷]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ）ABC．D．【答案】C【解析】由等差数列的性质可得：()19959692+=π==a a S a ，∴523π=a，则52tan tan3π==a C ． 5．[2018·承德期末]执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】2+5+14+41+122100S =>，故输出5n =．6．[2018·漳州调研]已知函数()()sin ωϕ=+f x A x (0,0,)2ωϕπ>><A 在一个周期内的图象如图所示，则4π⎛⎫=⎪⎝⎭f （ ）A ．2-B ．2C D ．【答案】C【解析】由图象可知，2A =，5ππππ2882T ω=-==，所以2ω=，由π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 得ππ22π82k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，解得π2π4k ϕ=+，k ∈Z ，因为π2ϕ<，所以π4ϕ=，所以πππ2sin 2444f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选C ． 7．[2018·云南联考]图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．21;nn - B ．21;1nn -+C ．121;n n +- D ．121;1n n +-+【答案】D【解析】当1n =时，正方形的个数有0122+个；当2n =时，正方形的个数有012222++个；，则0121222221n n n S +=++++=-个，最大的正方形面积为1，当1n =时，由勾股定理知正方形面积的和为2，以此类推，所有正方形面积的和为1n +，故选D ．8．[2018·六安一中]若P 是圆()()22:331C x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的最大值（ ） A ．4 B ．6C． D．【答案】B【解析】由题意得直线1l y kx =-：过定点()0,1A -．圆()()22:331C x y ++-=的圆心为()3,3C -，半径1r =．由几何知识可得当直线l 与直线CA 垂直时，圆心C 到直线l 的距离最大，此时()31433CA k --==--，故34k =，直线l 方程为314y x =-，即3440x y --=．所以圆心C 到直线l 的最大距离为5d ==．故点P 到直线1y kx =-距离的最大值为516d r +=+=．选B ．9．[2018·唐山期末]已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的x 的取值范围是（ ）A ．()(),10,3-∞-B ．()()1,03,-+∞C ．()(),11,3-∞-D ．()()1,01,3-【答案】A【解析】∵偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且()20f -=， ∴函数()f x 在(),0-∞单调递增，且()20f =．结合图象可得不等式()10xf x ->等价于()010>->⎧⎨⎩x f x 或()010<-<⎧⎨⎩x f x ，即013>-<⎨<⎧⎩x x 或01<<-⎧⎨⎩x x ，解得03x <<或1x <-．故x 的取值范围为()(),10,3-∞-．选A ．10．[2018·西北师大附中]已知,x y ∈R ，在平面直角坐标系xOy 中，点,)x y （为平面区域2040y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥≥内任一点，则坐标原点与点,)x y （连线倾斜角小于3π的概率为（ ） A ．116BCD【答案】D【解析】不等式组区域2040y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥≥表示的平面区域为M ，即为图中的抛物线2=y x 、y 轴、直线4y =在第一象限内围成的区域，)A，倾斜角小于3π的区域为图中红色阴影部分，()220164d 3S x x '=-=⎰，)20d S x x =-=S P S=='，故选D ．11．[2018·海南期末]某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ 的长为x ，CQ 的长度为关于x 的函数()f x ，则()yf x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】如图所示，设AOQ θ∠=，则弧长AQ x =，线段()CQ f x =，5x θ=， 作OH BQ ⊥于H 当Q 在半圆弧AQB 上运动时，1()2QOH θ∠=π-，2sin2cos 22BQ OQ OQ θθπ-=⨯=⨯，CQ ===即()f x =由余弦函数的性质知当5=πx 时，即运动到B 点时y 有最小值10， 只有A 选项适合，又由对称性知选A ，故选A ．12．[2018·商丘期末]设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭，22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232+>PF PQ F F 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A．⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．71,6⎛⎫⎪⎝⎭C．76⎛⎝⎭D．⎛⎝⎭【答案】B【解析】令x =c代入双曲线的方程可得2b y a=±±，由|F 2Q |>|F 2A |，可得232a b a >，即为32a >22b =2(2c −2a )，即有c e a =<又11232PF PQ F F +>恒成立，由双曲线的定义，可得223++>a PF PQ c c 恒成立， 由2F ，P ，Q 共线时，2PF PQ +取得最小值232a F Q =，可得3322ac a <+，即有76c e a =<②，由e >1，结合①②可得，e 的范围是71,6⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B ． 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2018届浙江省嘉兴市高三4月模拟测试数学试题（解析版附后）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. 已知，，，，那么的大小关系是（）A. B. C. D.3. 某几何体的三视图如图（单位：），则该几何体的体积是（）A. B. C. 2 D. 44. 在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线斜率的最小值为（）A. B. C. D.分析可知当点与点重合时直线的斜率最小为.故C正确.考点：线性规划.5. 已知：不等式的解集为，：，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知两个平面和三条直线，若，且，，设和所成的一个二面角的大小为，直线和平面所成的角的大小为，直线所成的角的大小为，则（）A. B.C. ，D. ，7. 已知数列为等差数列，且，则的最小值为（）A. 3B. 2C. 1D. 08. 若双曲线：的右顶点为，过的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且，则直线的斜率为（）A. B. C. 2 D. 39. 已知（），则的最小值为（）A. B. 9 C. D.10. 已知函数，集合，集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11. 若复数满足（为虚数单位），则________；________．12. 已知直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹方程是_______；轨迹为________．13. 展开式中，项的系数为________；所有项系数的和为________．14. 设△的三边所对的角分别为，已知，则________;的最大值为________．15. 某市的5所学校组织联合活动，每所学校各派出2名学生．在这10名学生中任选4名学生做游戏，记“恰有两名学生来自同一所学校”为事件，则________．16. 已知，向量满足.当的夹角最大时，________．17. 椭圆，直线，直线，为椭圆上任意一点，过作且与直线交于点，作且与交于点，若为定值，则椭圆的离心率为________.三、解答题（本大题共5小题，共74分）18. 已知函数．（△）求函数的最大值和最小正周期；（△）设△的三边所对的角分别为，若，，，求的值．19. 如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面为正三角形且二面角为．（△）设侧面与的交线为，求证：；（△）设底边与侧面所成角的为，求的值．20. 已知函数．（△）求函数在处的切线方程；（△）证明：仅有唯一的极小值点.21. 点为抛物线上一定点，斜率为的直线与抛物线交于两点.（△）求弦中点的纵坐标;（△）点是线段上任意一点（异于端点），过作的平行线交抛物线于两点，求证：为定值.22. 已知数列满足，.（△）判断数列的单调性；（△）证明：；（△）证明证明：.2018届浙江省嘉兴市高三4月模拟测试数学试题（解析版）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵集合，，∴，故选B.2. 已知，，，，那么的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】此题可采用特值法，∵，故可取，此时，，，即成立，故选A.3. 某几何体的三视图如图（单位：），则该几何体的体积是（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面的底边长为，底面的高，即为三视图的宽，故底面面积，棱锥的高即为三视图的高，故，故棱锥的体积，故选A.4. 在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线斜率的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如图：分析可知当点与点重合时直线的斜率最小为.故C正确.考点：线性规划.5. 已知：不等式的解集为，：，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵:不等式的解集为，由一元二次不等式的性质可得，又∵为的真子集，所以是的充分不必要条件，故选A.6. 已知两个平面和三条直线，若，且，，设和所成的一个二面角的大小为，直线和平面所成的角的大小为，直线所成的角的大小为，则（）A. B.C. ，D. ，【答案】D【解析】如图所示，在平行六面体中，令面为，面为，则为，再令为，为，故和所成的一个二面角的大小为钝角，直线和平面所成的角的大小为锐角，直线所成的角的大小为直角，只有C选项满足，故选C.7. 已知数列为等差数列，且，则的最小值为（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】设数列的公差为，∵，∴，由分段函数的性质可得的最小值为1，故选C.点睛：本题主要考查了等差数列的概念，分段函数的最值问题，属于基础题；对于绝对值函数主要利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想，将其用分段函数进行表示，再求最值.8. 若双曲线：的右顶点为，过的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且，则直线的斜率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】由双曲线的标准方程为可得双曲线的渐近线方程为，又，设直线的方程，由，解得，由解得，故，，由得，解得，故选D.9. 已知（），则的最小值为（）A. B. 9 C. D.【答案】B...............点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．10. 已知函数，集合，集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，(为的两根)，因为，所以且，，于是，，或，令，，即，所以，即，即，故选A.点睛：本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题；设集合，根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系结合，得出和，即可求出实数的取值范围.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11. 若复数满足（为虚数单位），则________；________．【答案】(1). (2).【解析】∵，∴，，故答案为，.12. 已知直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹方程是_______；轨迹为________．【答案】(1). (2). 一个圆【解析】设点，由题意：得：，整理得到点P 的轨迹方程为，即，其轨迹为圆.点睛：本题考查曲线轨迹方程的求法，考查计算能力，直接列方程是关键；常见的方法有：1、直接法；2、定义法；3、相关点法；4、待定系数法；5、参数法；6、交轨法，该题中利用的是直接法.13. 展开式中，项的系数为________；所有项系数的和为________．【答案】(1). (2).【解析】由于的展开式的通项公式为，令，，的展开式中的系数为20，令，解得，可得的展开式中的系数为，可得的展开式中的系数为；令可得所有项系数的和为，故答案为，.14. 设△的三边所对的角分别为，已知，则________;的最大值为________．【答案】(1). (2).【解析】∵，由余弦定理得为钝角，∴；即，∵，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，∴的最大值为，故答案为，.15. 某市的5所学校组织联合活动，每所学校各派出2名学生．在这10名学生中任选4名学生做游戏，记“恰有两名学生来自同一所学校”为事件，则________．【答案】【解析】在这10名学生中任选4名学生共包含个基本事件，事件“恰有两名学生来自同一所学校”包含，故，故答案为.16. 已知，向量满足.当的夹角最大时，________．【答案】【解析】设，，即，所以，此时，故答案为.17. 椭圆，直线，直线，为椭圆上任意一点，过作且与直线交于点，作且与交于点，若为定值，则椭圆的离心率为________.【答案】点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系以及椭圆离心率的求法，属于中档题；设，根据平行四边形知识可将为定值得到椭圆方程，即可得到离心率.三、解答题（本大题共5小题，共74分）18. 已知函数．（△）求函数的最大值和最小正周期；（△）设△的三边所对的角分别为，若，，，求的值．【答案】（△），；（△）.【解析】试题分析：（1）先利用两角和的余弦公式展开，再结合辅助角公式可将化为，即可得函数最大值和周期；（2）结合（1）可得，再利用余弦定理即可得到的值.试题解析：（1），所以的最大值为，．（2）因为，．由余弦定理可得：，因为，所以．19. 如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面为正三角形且二面角为．（△）设侧面与的交线为，求证：；（△）设底边与侧面所成角的为，求的值．【答案】（△）证明见解析；（△）.【解析】试题分析：（1）通过得到侧面，再通过线面平行性质定理可得结论；（2）取中点、中点，连、，根据二面角定义可得，以为原点，为轴，为轴，如图建立右手空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据可得结果.试题解析：（1）因为，所以侧面．又因为侧面与的交线为，所以．（2）取中点、中点，连、，则、．所以是侧面与底面成二面角的平面角．从而．作于，则底面．因为，，所以，．以为原点，为轴，为轴，如图建立右手空间直角坐标系．则，，．设是平面的法向量，则，．取．则．20. 已知函数．（△）求函数在处的切线方程；（△）证明：仅有唯一的极小值点.【答案】（△）；（△）证明见解析.【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，求出和，利用直线的点斜式可得切线方程；（2）令，对其求导得与0的关系，继而得与0的关系，结合以及在上单调递增可得结论.试题解析：（1）因为，所以．又因为，所以切线方程为：，即．（2）令，则，所以时，时．当时，易知，所以，在上没有极值点．当时，因为，所以，在上有极小值点．又因为在上单调递增，所以仅有唯一的极小值点.点睛：本题主要考查了导数的几何意义以及导数与函数单调性、极值点之间的关系，难度中档；导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，由，得函数单调递增，得函数单调递减，根据单调性可得极值.21. 点为抛物线上一定点，斜率为的直线与抛物线交于两点.（△）求弦中点的纵坐标;（△）点是线段上任意一点（异于端点），过作的平行线交抛物线于两点，求证：为定值.【答案】（△）；（△）证明见解析.【解析】试题分析：（1）将两点间斜率计算公式与相结合可得，故而可得弦中点的纵坐标；（2）设，得直线：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式可得，，由（1）得，，代入即可得结论.试题解析：（1）（*）所以，.（2）设，直线：，联立方程组，所以，，同理.由（*）可知：，所以，即所以，即.22. 已知数列满足，.（△）判断数列的单调性；（△）证明：；（△）证明证明：.【答案】（△）单调递增；（△）证明见解析；（△）证明见解析.【解析】试题分析：（1）作差，利用数学归纳法证，即数列单调递增；（2）由（1）的结论易知时，故，即可得结论；（3）对（2）中的结论两边同时取对数得，根据得到，利用累加思想，化简即可得结果.试题解析：（1）因为．当时，．假设时，，所以时，．从而对于一切，．所以，即数列单调递增．（2）证明：因为，所以．又因为由（1）可知，所以时．，即．（3）证明：由（2）得．所以．由得：．．所以．所以，即．经验证也成立，即得证．。