课堂02轴向拉伸与压缩
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材料力学(机械类)第二章 轴向拉伸与压缩
第
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
《轴向拉伸和压缩》课件
课程目标
掌握轴向拉伸和压缩的基 本原理和分析方法
了解轴向拉伸和压缩在实 际工程中的应用
培养学生的实验技能和实 践能力，提高解决实际问 题的能力
Part
02
轴向拉伸和压缩的基本概念
拉伸和压缩的定义
拉伸
物体在力的作用下沿力的方向伸 展或拉长的过程。
压缩
物体在力的作用下沿力的方向缩 短或压扁的过程。
拉伸和压缩的力分析
力的方向分析
在轴向拉伸和压缩过程中，力的方向 沿着杆件轴线，与杆件轴线重合。
力的作用点分析
力的作用点选择在杆件上，通常选择 在杆件的两端，以便于分析杆件受力 情况。
拉伸和压缩的变形分析
变形量分析
在轴向拉伸和压缩过程中，杆件会发生伸长或缩短的变形，变形量可以用伸长量或缩短 量来表示。
拉伸和压缩的分类
按变形程度
弹性变形和塑性变形
按外力性质
静力拉伸和压缩、动力拉伸和压缩、冲击拉伸和压缩
拉伸和压缩的物理模型
直杆拉伸与压缩模型
忽略横截面变化的简单拉伸与压缩模型。
弹性杆件模型
考虑横截面变化的弹性变形模型。
弹性体模型
考虑物体内部应力和应变的弹性变形模型。
Part
03
轴向拉伸和压缩的力学分析
2
引伸计：测量试样在拉伸
或压缩过程中的应变。
3
计算机和数据采集系统：
记录和处理实验数据。
实验步骤
准备试样
01 选择所需材料，制备标准试样
。
安装试样
02 将试样放置在试验机的夹具中
，确保试样轴线与拉伸或压缩 方向一致。
设定实验参数
03 设定初始实验条件，如加载速
材料力学 第2章轴向拉伸与压缩
15mm×15mm的方截面杆。
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
F
§2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
22
5 圣维南原理
s FN A
（2-1）
（1）问题的提出
公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作
用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非
均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就
会发生变化。 理论和实践研究表明：
不同的加力方式，只对力作
用点附近区域的应力分布有
显著影响，而在距力作用点
力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表 现出的有关变形和破坏的特性和规律。
材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；
2、标准试件：常用d=10mm，l=100 mm的试件
d
l
l =10d 或 l = 5d
36
b点是弹性阶段的最高点.
σe—
oa段为直线段，材料满足 胡克定律
sE
sp
E
se sp
s
f ab
Etana s
O
f′h
反映材料抵抗弹
性变形的能力.
40
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
F
§2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
22
5 圣维南原理
s FN A
（2-1）
（1）问题的提出
公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作
用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非
均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就
会发生变化。 理论和实践研究表明：
不同的加力方式，只对力作
用点附近区域的应力分布有
显著影响，而在距力作用点
力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表 现出的有关变形和破坏的特性和规律。
材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；
2、标准试件：常用d=10mm，l=100 mm的试件
d
l
l =10d 或 l = 5d
36
b点是弹性阶段的最高点.
σe—
oa段为直线段，材料满足 胡克定律
sE
sp
E
se sp
s
f ab
Etana s
O
f′h
反映材料抵抗弹
性变形的能力.
40
第2章 轴向拉伸与压缩
称为全应力。
法向分量 全应力 p 切向分量
正应力s
某一截面上法向分 布内力在某一点处 的集度
切应力t
某一截面上切向分 布内力在某一点处 的集度
应力量纲：ML-1T-2 应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。
Ⅱ 拉(压)杆横截面上的应力
(1) 观察到： 两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。 纵向线仍平行于轴线，且各线段均匀伸长。 (2) 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。
轴力图的要求： 1.数值、单位。 2.正负号、图名。 3.阴影线与轴线垂直。 轴力图的意义：
x
1.反映出轴力与截面位置变化关系，较直观。
2.确定出最大轴力的数值及所在横截面的位置， 即确定危险截面的位置。
3.突变值=集中荷载的大小。
请同学们思考：突变的方向？
结论：沿着从左到右的顺序，遇到向左的集中
【例2-1】试作图a所示杆的轴力图。
例题 2-1
解: 1. 用截面法分别求各段杆的轴力。为求轴力方 便，先求出约束力 FR=10 kN。
10kN
在AB段用1-1截面将杆 截开，以左端杆为分 离体（图c），由 SFx=0 得 FN1=10 kN(拉力)
例题 2-1
10kN
40kN
以图d为分离体，由SFx=0，得 FN2=50 kN(拉力)
s ( )
t ( )
t ()
k
F F F
k
45
思考： 1. 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大 值出现在什么截面上？绝对值最大的切应力又出 现在什么样的截面上？ 2. 写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力 s和切应力t与横截面上正应力s0的关系。并示出 它们在图示分离体的斜截面k-k上的指向。
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
FN 3 P
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
02轴向拉伸与压缩_5强度计算
F
iy
FN1 sin30 F 0
解得两杆轴力
FN1 2F 拉
FN2 1.73F 压
9
FN1 2F 拉
2）确定许可载荷
FN2 1.73F 压
查型钢表，得斜杆 AB 横截面面积
A1 10.86 cm2 2 21.72 cm2
横杆 AC 横截面面积
FC x
FN
FN 63 103 N 165.7 MPa 160 MPa A π 222 106 mm 2 4
但由于
[ ] 165.7 MPa 160 MPa 3.6% 5% [ ] 160 MPa
所以，钢拉杆 AB 的强度仍然符合要求
BC 段：
FN2 4 30 103 N 2 = 95.5MPa < [ ] = 130.6 MPa 2 6 2 A2 π 20 10 m
故 BC 段强度也满足要求
6
[例2] 如图，已知吊重 F = 1000 kN，两侧对称斜拉杆由圆截面的 钢杆制成，材料的许用应力 [ ] = 120 MPa， 角为 20°，试确定 斜拉杆横截面的直径。 解： 1）计算斜拉杆轴力 截取吊环的上半部分为研究 对象， 由平衡方程
第七节 拉（压）杆的强度计算
一、强度失效·极限应力·许用应力与安全因数 强度失效： 材料丧失承载能力
强度失效的两种形式：
1）塑性材料： 塑性屈服 2）脆性材料： 脆性断裂 极限应力： 材料强度失效时所对应的应力，记作 u ，应取
s / 0.2 u b / bc
塑性材料（拉、压相同）
2）强度校核 材料的许用应力
235 MPa [ ] 130.6 MPa ns 1.8
工程力学 第二章 轴向拉伸与压缩.
2 sin ( 2 cos 1 )ctg 3.9 103 m
B1 B B1 B3 B3 B
B B
B B12 B1 B 2 4.45 10 3 m
[例2-11] 薄壁管壁厚为,求壁厚变化和直径变化D。
解：1）求横截面上的正应力
dx
N ( x) l dx EA( x) l
例[2-4] 图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2 段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。 已知2段杆内的应力σ 2=-30MPa，E=210GPa，求整个 杆的伸长△L
解: P 2 A2
30 25 18.75KN
N 1l Pl l1 l2 EA 2 EA cos l1 Pl cos 2 EA
[例2-8]求图示结构结点A 的垂直位移和水平位移。
解:
N1 P, N 2 0
Pl l1 , l2 0 EA Pl y l1 EA
N1
N2
Pl x l1ctg ctg EA
F
FN
FN F
F
F
CL2TU2
2.实验现象：
平截面假设
截面变形前后一直保持为平面，两个平行的截面之 间的纤维伸长相同。 3.平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 4.应力的计算 轴力垂直于横截面，所以其应力也仅仅是正应力。按 胡克定律：变形与力成正比。同一截面上各点变形相 同，其应力必然也相同。 FN （2-1） A 式中： A横截面的面积；FN该截面的轴力。 应力的符号：拉应力为正值应力，压缩应力为负 值应力。
1. 截面法的三个步骤 切: 代: 平:
F F F F
工程力学第2章轴向拉伸压缩与剪切
拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
F
N （＋） N
F
F
N （－） N
F
轴力一般按正方向假设。
3、轴力图： 轴力沿轴线变化的图形
F
F
N
4、轴力图的意义
+ x
① 直观反映轴力与截面位置变化关系；
② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
1、低碳钢轴向拉伸时的力学性质 (四个阶段)
⑴、弹性阶段:OA
OA’为直线段； E
AA’为微弯曲线段。
p —比例极限； e —弹性极限。
一般这两个极限相差不大， 在工程上难以区分，统称为弹 性极限
低碳钢拉伸时的四个阶段
⑴、弹性阶段:OA, ⑵、屈服阶段:B’C。
s —屈服极限
屈服段内最低的应力值。
例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
N1
A
BC
D
FA
FB
FC
FD
解： 求OA段内力N1：设截面如图
X 0 FD FC FB FA N1 0
N4= F
FD
N1 2F , N2= –3F， N3= 5F， N4= F
N1 2F , N2= –3F， N3= 5F， N4= F
轴力图如下图示
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
N 2F
5F
F
N （＋） N
F
F
N （－） N
F
轴力一般按正方向假设。
3、轴力图： 轴力沿轴线变化的图形
F
F
N
4、轴力图的意义
+ x
① 直观反映轴力与截面位置变化关系；
② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
1、低碳钢轴向拉伸时的力学性质 (四个阶段)
⑴、弹性阶段:OA
OA’为直线段； E
AA’为微弯曲线段。
p —比例极限； e —弹性极限。
一般这两个极限相差不大， 在工程上难以区分，统称为弹 性极限
低碳钢拉伸时的四个阶段
⑴、弹性阶段:OA, ⑵、屈服阶段:B’C。
s —屈服极限
屈服段内最低的应力值。
例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
N1
A
BC
D
FA
FB
FC
FD
解： 求OA段内力N1：设截面如图
X 0 FD FC FB FA N1 0
N4= F
FD
N1 2F , N2= –3F， N3= 5F， N4= F
N1 2F , N2= –3F， N3= 5F， N4= F
轴力图如下图示
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
N 2F
5F
02轴向拉伸与压缩共108页
20
[例4] 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用
应力[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。
解：① 轴力：N = P =25kN
πd ② 应力： ma x N A 4 P 2 3 4 .1 2 4 0 .0 5 13 2 1 0 1 4M 62P ③ 强度校核： ma x 162M 1P7a0M
N1
2P 11
同理，求得AB、 N2 BC、CD段内力分 别为：
N2= –3P
N3= 5P
N4= P
轴力图如右图 N 2P + – 3P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
12
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的 P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的 P ， 轴力N 增量为负。
16
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定 义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。
2. 应力的表示：
① 平均应力：
P
M
pM
Δ Δ
P A
A
② 全应力（总应力）：
lim p
ΔP dP
ΔA0 ΔA dA
17
③ 全应力分解为： a.垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
5
6
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 一、内力
1、 内力的定义 内力指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内 力系的合成（附加内力）。
7
2、内力的计算 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。 截面法是求内力的一般方法。
[例4] 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用
应力[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。
解：① 轴力：N = P =25kN
πd ② 应力： ma x N A 4 P 2 3 4 .1 2 4 0 .0 5 13 2 1 0 1 4M 62P ③ 强度校核： ma x 162M 1P7a0M
N1
2P 11
同理，求得AB、 N2 BC、CD段内力分 别为：
N2= –3P
N3= 5P
N4= P
轴力图如右图 N 2P + – 3P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
12
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的 P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的 P ， 轴力N 增量为负。
16
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定 义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。
2. 应力的表示：
① 平均应力：
P
M
pM
Δ Δ
P A
A
② 全应力（总应力）：
lim p
ΔP dP
ΔA0 ΔA dA
17
③ 全应力分解为： a.垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
5
6
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 一、内力
1、 内力的定义 内力指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内 力系的合成（附加内力）。
7
2、内力的计算 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。 截面法是求内力的一般方法。
《轴向拉伸与压缩》课件
轴向拉伸的应用范围
建筑工程
轴向拉伸在钢筋混凝土结构中的应用，增加结构的承载能力。
材料制备
轴向拉伸用于制备高强度材料、纤维材料、复合材料等。
模具设计
轴向拉伸在模具设计中的应用，增强产品的形状和结构。
轴向拉伸的原理与方法
1
应力-应变关系
介绍轴向拉伸应力和应变之间的关系。
2
材料性能分析
通过实验和测试，评估材料的拉伸性能和变形行为。念 轴向拉伸的应用范围 轴向拉伸的原理与方法 轴向压缩的概念 轴向压缩的应用范围 轴向压缩的原理与方法
背景介绍
轴向拉伸和压缩是一种重要的力学变形方式，在工程应用中起着至关重要的作用。本节将介绍轴向拉伸 和压缩的背景和意义。
轴向拉伸的概念
轴向拉伸是指在材料中施加一个沿着轴向方向的拉力，使材料沿轴向伸长的 力学变形方式。
3
工程应用案例
展示轴向拉伸在工程实践中的应用案例。
轴向压缩的概念
轴向压缩是指沿着轴向方向对材料施加的压缩力，使材料沿轴向缩短的力学 变形方式。
轴向压缩的应用范围
桥梁建设
砖瓦制造
汽车制造
轴向压缩在桥梁建设中的应用， 提升桥梁的稳定性和承载能力。
轴向压缩用于砖瓦制造过程中， 提高瓦片的密度和强度。
汽车制造中的轴向压缩应用， 改善车身结构和安全性能。
轴向压缩的原理与方法
1 应变率分析
2 压缩强度测试
分析材料在轴向压缩中 的变形速率和应变过程。
通过实验和测试，评估 材料在轴向压缩条件下 的强度和稳定性。
3 工程实践案例
展示轴向压缩在工程实 践中的应用案例和成果。
材料力学之轴向拉伸与压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
§1 轴向拉伸与压缩的概念
拉伸
压缩
受力特征：外力合力的作用线与杆件的轴线重合 变形特征：轴向伸长或缩短
§2 内力、截面法、轴力及轴力图
1、内力的概念
固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理性质所决
定的.(物体在受到外力之前，内部就存在着内力)
附加内力：在原有内力的基础上，又添加了新的内力
以AB杆为研究对象
mA 0
FNFBNCBC 9101k8N 5 0
以CDE为研究对象
mE 0
FNCD 40kN
20kN 18kN 4m
FNCD sin 300 8 FNBC 8 20 4 0
30O FNCD C
FNBC
B 4m
BC
FNBC ABC
CD
FNCD ACD
书中例题
注意：1.轴力是杆横截面上分布内力系的合力，其作用线也与杆件的轴
线重合，所以称为轴力。 2.静力学中的力或力偶的可传性原理，在用截面法求内力的过程
中是有限制的。
内力的正负号规则
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相 同的正负号。
FN
FN
FN
FN
FN
FN
拉力为“正” 压力为“负”
例题 2.1
2.12
2.1×105MPa，设在结点A处悬挂一重物F＝100kN，试求
结点A的位移δA。
X 0
FNAC
FNAB
F
2 cos
FNAC sin FNAB sin 0
B1
2 C
Y 0 FNAC cos FNAB cos F 0
FNAB FNAC
αα
DLAB
§1 轴向拉伸与压缩的概念
拉伸
压缩
受力特征：外力合力的作用线与杆件的轴线重合 变形特征：轴向伸长或缩短
§2 内力、截面法、轴力及轴力图
1、内力的概念
固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理性质所决
定的.(物体在受到外力之前，内部就存在着内力)
附加内力：在原有内力的基础上，又添加了新的内力
以AB杆为研究对象
mA 0
FNFBNCBC 9101k8N 5 0
以CDE为研究对象
mE 0
FNCD 40kN
20kN 18kN 4m
FNCD sin 300 8 FNBC 8 20 4 0
30O FNCD C
FNBC
B 4m
BC
FNBC ABC
CD
FNCD ACD
书中例题
注意：1.轴力是杆横截面上分布内力系的合力，其作用线也与杆件的轴
线重合，所以称为轴力。 2.静力学中的力或力偶的可传性原理，在用截面法求内力的过程
中是有限制的。
内力的正负号规则
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相 同的正负号。
FN
FN
FN
FN
FN
FN
拉力为“正” 压力为“负”
例题 2.1
2.12
2.1×105MPa，设在结点A处悬挂一重物F＝100kN，试求
结点A的位移δA。
X 0
FNAC
FNAB
F
2 cos
FNAC sin FNAB sin 0
B1
2 C
Y 0 FNAC cos FNAB cos F 0
FNAB FNAC
αα
DLAB
轴向拉伸与压缩—轴向拉(压)杆的内力与轴力图(工程力学课件)
例题2 设一直杆AB 沿轴向受力如图示。 已知P1=2kN，P2=3kN，P3=1kN，试做轴力图。
P1
1
P2 2
P3
N
1
2kN
+
2
-
x
1kN
➢ 2.内力：由外力引起杆件内部之间的相互作用力。
➢ 3.截面法：截面法是显示和确定内力的基本方法。
截面法求内力的步骤
截取
用一个假想的截面，将 杆件沿需求内力的截面 处截为两部分；取其中 任一部分为研究对象。
代替
用内力来代替弃去部分 对选取部分的作用。
平衡
用静力平衡条件，根 据已知外力求出内力。
轴力N——轴向拉压时横截面上的内力。规定拉力为正，压力为负。
用截面法求1-1截面上的轴力：
P
N
X 0
NP0
x
N P(拉力)
例题1
设一直杆 AB 沿轴向受力如图示。
已知P1=2kN，P2=3kN，P3=1kN, 试求杆各段的轴力。
P1
1
P2 2
P3
P1
1NБайду номын сангаас
1
2
x
x
N2
P3
1-1截面： X 0, N1 P1 0,
2-2截面： X 0, N2 P3 0,
第一节 轴向拉（压）杆的内力与轴力图 第二节 轴向拉（压）杆横截面上的正应力 第三节 轴向拉（压）杆的强度计算 第四节 轴向拉（压）杆的变形计算 第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
➢ 1.轴向拉（压）杆件
• 受力特点：作用在杆件上的外力（或外力的合力）作用线与杆轴线重合。 • 变形特点：杆件沿轴向发生伸长或缩短。 • 外力：外力作用在杆件上的荷载和约束反力。
材料力学第二章轴向拉伸与压缩习题答案
3-10图示凸缘联轴节传递的力偶矩为 ，凸缘之间用四个对称分布在 圆周上的螺栓联接，螺栓的内径 ，螺栓材料的许用切应力 。试校核螺栓的剪切强度。
解：
设每个螺栓承受的剪力为 ，则由
可得
螺栓的切应力
MPa MPa
∴螺栓满足剪切强度条件。
3-11图示矩形截面木拉杆的接头。已知轴向拉力 ，截面的宽度 ，木材顺纹的许用挤压应力 ，顺纹的许用切应力 。试求接头处所需的尺寸l和a。
解：
1．求支反力，作剪力图和弯矩图。
，
2．按正应力强度条件选择工字钢型号
由 ≤ ，得到
≥
查表选 14工字钢，其
， ，
3．切应力强度校核
满足切应力强度条件。
∴选择 14工字钢。
5-17图示木梁受移动载荷 作用。已知木材的许用正应力 ，许用切应力 ， ，木梁的横截面为矩形截面，其高宽比 。试选择此梁的横截面尺寸。
≤
可得 ≤ ①
D点受力如图(b)所示，由平衡条件可得：
CD杆受压，压力为 ，由压杆的强度条件
≤
可得 ≤ ②
由①②可得结构的许用载荷为 。
3-8图示横担结构，小车可在梁AC上移动。已知小车上作用的载荷 ，斜杆AB为圆截面钢杆，钢的许用应力 。若载荷F通过小车对梁AC的作用可简化为一集中力，试确定斜杆AB的直径d。
截面上的剪力和弯矩为： ，
2．求1-1横截面上a、b两点的应力
5-10为了改善载荷分布，在主梁AB上安置辅助梁CD。若主梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为 和 ，材料相同，试求a的合理长度。
解：
1．作主梁AB和辅助梁CD的弯矩图
2．求主梁和辅助梁中的最大正应力
主梁：
辅助梁：
3．求 的合理长度
解：
设每个螺栓承受的剪力为 ，则由
可得
螺栓的切应力
MPa MPa
∴螺栓满足剪切强度条件。
3-11图示矩形截面木拉杆的接头。已知轴向拉力 ，截面的宽度 ，木材顺纹的许用挤压应力 ，顺纹的许用切应力 。试求接头处所需的尺寸l和a。
解：
1．求支反力，作剪力图和弯矩图。
，
2．按正应力强度条件选择工字钢型号
由 ≤ ，得到
≥
查表选 14工字钢，其
， ，
3．切应力强度校核
满足切应力强度条件。
∴选择 14工字钢。
5-17图示木梁受移动载荷 作用。已知木材的许用正应力 ，许用切应力 ， ，木梁的横截面为矩形截面，其高宽比 。试选择此梁的横截面尺寸。
≤
可得 ≤ ①
D点受力如图(b)所示，由平衡条件可得：
CD杆受压，压力为 ，由压杆的强度条件
≤
可得 ≤ ②
由①②可得结构的许用载荷为 。
3-8图示横担结构，小车可在梁AC上移动。已知小车上作用的载荷 ，斜杆AB为圆截面钢杆，钢的许用应力 。若载荷F通过小车对梁AC的作用可简化为一集中力，试确定斜杆AB的直径d。
截面上的剪力和弯矩为： ，
2．求1-1横截面上a、b两点的应力
5-10为了改善载荷分布，在主梁AB上安置辅助梁CD。若主梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为 和 ，材料相同，试求a的合理长度。
解：
1．作主梁AB和辅助梁CD的弯矩图
2．求主梁和辅助梁中的最大正应力
主梁：
辅助梁：
3．求 的合理长度
材料力学 第02章 轴向拉伸和压缩及连接件的强度计算
O e
弹屈 性服 阶阶 段段
强 化 阶 段
颈 缩 阶 段
33/113
2.3 材料在拉伸或压缩时的力学性能 2.3.1 低碳钢Q235拉伸时的力学性能-弹性阶段
Oa段应力与应变成正比
s Ee
s
b a
弹性模量E是直线Oa的斜率 Q235 E≈200GPa
直线部分的最高点a所对应的应力称为 比例极限，sp Oa段材料处于线弹性阶段
(2) 杆AB段上与杆轴线夹45°角(逆时针方向)斜截面上的正应力 和切应力。
A 1 300 mm B 500 kN 300 mm 2 C 3 300 kN 400 mm
26/113
D
200 kN
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 【例2-3】解
A 1 300 mm B 500 kN 300 mm 2 C
内力相同，
但是常识告诉我们，
F F
直径细的拉杆更容易破坏。
求得各个截面上的轴力后，并不能直接判断杆件是否具有足 够的强度。必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。
18/113
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 2.2.2 1 拉压杆横截面上的应力
a
F
c
c' d'
F4
D
FN4
F
x
0 FN4 F4 0
FN4 20 kN 拉
16/113
同一位置处左右侧截面上的内力分量具有相同的正负号
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 【例】解
1
FR A F1
F1=40kN，F2=55kN，F3=25kN，F4=20kN
2
F2 B
弹屈 性服 阶阶 段段
强 化 阶 段
颈 缩 阶 段
33/113
2.3 材料在拉伸或压缩时的力学性能 2.3.1 低碳钢Q235拉伸时的力学性能-弹性阶段
Oa段应力与应变成正比
s Ee
s
b a
弹性模量E是直线Oa的斜率 Q235 E≈200GPa
直线部分的最高点a所对应的应力称为 比例极限，sp Oa段材料处于线弹性阶段
(2) 杆AB段上与杆轴线夹45°角(逆时针方向)斜截面上的正应力 和切应力。
A 1 300 mm B 500 kN 300 mm 2 C 3 300 kN 400 mm
26/113
D
200 kN
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 【例2-3】解
A 1 300 mm B 500 kN 300 mm 2 C
内力相同，
但是常识告诉我们，
F F
直径细的拉杆更容易破坏。
求得各个截面上的轴力后，并不能直接判断杆件是否具有足 够的强度。必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。
18/113
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 2.2.2 1 拉压杆横截面上的应力
a
F
c
c' d'
F4
D
FN4
F
x
0 FN4 F4 0
FN4 20 kN 拉
16/113
同一位置处左右侧截面上的内力分量具有相同的正负号
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 【例】解
1
FR A F1
F1=40kN，F2=55kN，F3=25kN，F4=20kN
2
F2 B
第2章 轴向拉伸与压缩
2.5.5 塑性材料和脆性材料的主要区别
(5) 塑性材料承受动载荷的能力强，脆性材料承 受动荷载的能力很差，所以承受动载荷作用的构 件多由塑性材料制做。
2.5.5 塑性材料和脆性材料的主要区别
对于脆性材料，当应力达到其强度极限σb 时， 构件会断裂而破坏；对于塑性材料，当应力达到 屈服极限σs时，将产生显著的塑性变形，常会 使构件不能正常工作。
2.5.2 低碳钢拉伸时的力学性能
OB:弹性阶段__弹性极限σe BC:屈服阶段__屈服极限σs CD:强化阶段__强度极限σb DE:颈缩阶段
2.5.2 低碳钢拉伸时的力学性能
OB:弹性阶段---弹性极限σe OA:线性阶段---比例极限σP
σ=Eε 胡克定律
E: 弹性模量 σe≈σP
伸长率
Fbs
Fbs
Fbs
实际挤压面
挤压应力：
2.8.2 挤压和挤压强度计算
smaxBiblioteka dFbs(a)
smax
(b)
t
(b)
ssj bs
(c) (c)
挤压面 计算挤压面积 =dt
两种材料的极限应力分别是？ 许用应力=？
2.6 拉压杆的变形
2.6 拉压杆的变形
例： 已知等截面直杆横截面面积A＝500mm2,弹性模量 E＝200GPa，试计算杆件总变形量。
6KN
8KN 5KN
3KN
1m
2m
1.5m
ΔL=？
2.8 拉压杆接头的计算
2.8 拉压杆接头的计算
2.8.1 剪切和剪切强度计算
(1) 多数塑性材料在弹性变形范围内，应力与应 变成正比关系，符合胡克定律；多数脆性材料在 拉伸或压缩时σ-ε图一开始就是一条微弯曲线， 即应力与应变不成正比关系，不符合胡克定律， 但由于σ-ε曲线的曲率较小，所以在应用上假设 它们成正比关系。
02轴向拉伸与压缩1-轴力图应力
§1—5. 杆件变形的基本形式（Basic Forms of Bar’s Deformation）
四,弯曲(Bending): 在包含杆轴的纵向平面内，在杆轴两端
作用一对等值反向的力偶，则杆的横截面发 生绕垂直于杆轴的中性轴转动，变形后的杆 轴线在纵向平面内成为曲线，这种变形形式
称为弯曲。
梁式桥的横梁 和纵梁、屋顶梁、 桥式起重机的大梁、火车轮轴等受力时主要发生弯曲变形。
(+ )
10
AB段 BC段
∑ Fx = 0
FN1 = F1 = 10kN
∑ Fx = 0 FN 2 + F2 = F1
F4
25 CD段
FN 2 = F1 − F2 =
10 − 20 = −10kN
∑ Fx = 0
FN3 = F4 = 25kN
x
2、绘制轴力图。
目录
•§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
杆的受力简图为
拉伸
压缩
F
FF
F
目录
•§2-1 轴向拉伸和压缩的概念
目录
§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
外力：
按 体积力:是连续分布于物体内部各点的力
外
力
如物体的自重和惯性力
作
如油缸内壁的压力，水坝受
用 的 方
面积力:
分布力：到的水压力等均为分布力 集中力：若外力作用面积远小于物体表
式
面的尺寸，可作为作用于一点
F3
目录
§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
F
a
a
F
切、留、代、平 求内力
M
FS＝− F M = −Fa
FS
目录
•§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
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一,轴(纵)向变形 1.绝对轴向变形 1.绝对轴向变形
l = l1 l
l ε= l
ห้องสมุดไป่ตู้
2.相对轴向变形(轴向线应变,线应变) 相对轴向变形(轴向线应变,线应变) ——单位长度的线变形 单位长度的线变形 平均线应变
ε
拉伸为" ,压缩为" 拉伸为"+",压缩为"-"
x 点处的纵向线应变: 点处的纵向线应变:
Fl l ∝ A
Fl Nl l = = EA EA
F
F
E——弹性模量,由材料试验确定 .它反映材料抵 弹性模量, 弹性模量
抗拉压弹性变形的能力. 抗拉压弹性变形的能力.它和应力有相同的 量纲和单位. 量纲和单位. EA——抗拉(压)刚度,反映杆件抵抗拉伸 抗拉( 刚度, 抗拉 压缩)变形的能力,其它条件相同时, (压缩)变形的能力,其它条件相同时, EA越大,变形越小. 越大, 越大 变形越小.
F dF p = lim = A → 0 A dA
应力的概念 2)应力分量及正负号
应力σ 正应力σ : 应力分量. 为正. 与截面正交的应力分量 指向离开截面为正. 与截面正交的应力分量.
应力τ 切应力τ: 与截面相切的应力 以使分离体绕分离体内 与截面相切的应力分量. 任一点有顺时针转动趋势 任一点有顺时针转动趋势者为正.
三.横截面上内力分量 轴向分量 力: 轴力N 或FN 力矩: 力矩:扭矩 T或Mt 或 主矩
y
MO
Mz
FN
T
Fsz
O
x
My
主矢
横向分量 力:
z
剪力 Vy 或Fsy , Vz 或Fsz
Fsy
FR′
力矩: 力矩:弯矩 My,Mz
四.内力正负号规定 1.轴力 轴力N:背离截面时为正,指向截面为负. 1.轴力 :背离截面时为正,指向截面为负.即使杆微 段产生拉伸变形的轴力为正;反之为负. 段产生拉伸变形的轴力为正;反之为负. 2.剪力 : 2.剪力V:以使杆微段有绕其内部任意点有顺时针转动 剪力 趋势的剪力为正;反之为负. 趋势的剪力为正;反之为负.空间中以正面 正向为正,负面负向为正;反之为负. 正向为正,负面负向为正;反之为负. 3.扭矩T:按右手螺旋法则,四指弯曲方向与扭矩转 按右手螺旋法则, 3.扭矩 向一致, 向一致,拇指指向离开横截面的扭矩为 反之为负. 正;反之为负. 4.弯矩 :以使梁微段产生下凸变形的弯矩为正; 4.弯矩M:以使梁微段产生下凸变形的弯矩为正; 弯矩 反之为负. 反之为负. 约定:今后提到的内力如不作特殊说明, 约定:今后提到的内力如不作特殊说明,指的是 向形心简化后的合力分量
(σ α ) min =0
2 |τ α |min =0
σ (45 °斜截面上剪应力达到最大) 斜截面上剪应力达到最大) 当α = ± 45°时, | τ α |max = °
当α = 0, 90°时, °
拉压杆的变形 弹性定律 设有等直杆,长为l, 设有等直杆,长为 ,横向尺寸为b;受轴 力变形后,长为l 力变形后,长为 1 ,横向尺寸为b1 . 2-6
F k Nα
α
α
k
Nα N pα = = cos α = σ cos α Aα A
二,斜截面上的正应力和剪应力 F
k α
σα
pα
σ α = pα cos α = σ cos α pα σ τ α = pα sin α = sin 2α 2
2
α
k
τα
可见: α , τ α 都是 可见: σ
2-3
拉压杆的内力
一.拉压杆的内力—— 轴力FN或N 拉压杆的内力 二.用截面法求轴力 三.用直接法求轴力
e N = ∑ FiN
即,任一横截面上的轴力等于该横截面一侧杆 段上所有外力在轴线方向上投影的代数和. 段上所有外力在轴线方向上投影的代数和.
e FiN
四.轴力图
代数号确定: 代数号确定:
离开端截面取正, 离开端截面取正, 指向端截面取负. 指向端截面取负.
实验表明拉压杆的破坏并不一定是沿横截面, 实验表明拉压杆的破坏并不一定是沿横截面, 有时是沿斜截面发生的, 有时是沿斜截面发生的 , 为了全面研究拉压杆的 强度,须进一步讨论斜截面上的应力. 强度,须进一步讨论斜截面上的应力. 图示等直杆受轴向拉力F 作用. 图示等直杆受轴向拉力 作用. k 杆件横截面面积为A, 杆件横截面面积为 , F 斜截面面积为A 斜截面面积为 α 一.斜截面上全应力: 斜截面上全应力: 由平衡条件: 由平衡条件:Nα=F=N 实验表明: 实验表明: 斜截面上的应力也均匀分布. 斜截面上的应力也均匀分布. F k
4.应力的三要素: 4.应力的三要素: 应力的三要素 截面, 截面,点,方向 5.应力的单位: 5.应力的单位: 应力的单位 Pa(N/m2), ),kPa,Mpa,GPa ( , ,
二,拉(压)杆横截面上的应力
1.变形规律试验及平面假设: 1.变形规律试验及平面假设: 变形规律试验及平面假设
横截面
ε
d (dx) = dx
二,横向变形及泊松比 1.绝对横向变形
b = b1 b
拉伸
2.相对横向变形(横向应变) 相对横向变形(横向应变)
b ε′ = b
ε ′ 为"-",压缩ε ′ ,
为"+"
3.泊松比(Poisson9s 泊松比(
ratio)(横向变形系数) 横向变形系数)
实验表明: 实验表明:在弹性范围内
ν 是反映材料弹性性质的常数,由实验确定, 是反映材料弹性性质的常数,由实验确定,
一般在0 一般在0
~
ε′ ν= ε
或
ε ′=-νε
(σ ≤ σ p)
0.5之间. 0.5之间. 之间
三.胡克定律 (Hook9s Law) )
1.等内力等直拉压杆的胡克定律 1.等内力等直拉压杆的胡克定律 实验表明:材料在线弹性范围内时 实验表明:材料在线弹性范围内时
2-4
应力
应力集中的概念
一,应力的概念 问题提出: 1.问题提出: 内力大小不能衡量构件强度的大小. 内力大小不能衡量构件强度的大小. 应力定义: 2.应力定义: 内力在截面上的分布集度. 内力在截面上的分布集度. 3.应力的表示: 3.应力的表示: 应力的表示 1)全应力 (总应力): 总应力):
α 的函数,截面方位不同,应力就不同. 的函数,截面方位不同,应力就不同.
由上式可以知道通过构件上一点不同截面上应力变化情况. 由上式可以知道通过构件上一点不同截面上应力变化情况. 当α = 0°时, ° 当α = 90°时, °
(σ α ) max = σ (横截面上存在最大正应力) 横截面上存在最大正应力)
4.应力集中, 圣维南( 4.应力集中, 圣维南(Saint-Venant)原理 应力集中 ) 局部应力: 局部应力:截面突变处或集中力作用处某些局部小 范围内的应力. 范围内的应力. 应力集中:在截面突变处出现局部应力剧增现象. 应力集中:在截面突变处出现局部应力剧增现象. 应力集中对于塑性, 应力集中对于塑性,脆性材料的强度产生截然 不同的影响,脆性材料对局部应力的敏感性很强, 不同的影响,脆性材料对局部应力的敏感性很强,而 局部应力对塑性材料的强度影响较小. 局部应力对塑性材料的强度影响较小. Saint-Venant原理: 原理: 原理 作用于弹性体上某一局部区域的外力系, 作用于弹性体上某一局部区域的外力系,可以 用与它静力等效的力系来代替, 用与它静力等效的力系来代替,这种代替只对原力 系作用区域附近影响显著, 系作用区域附近影响显著,对稍远处其影响即可忽 略不计. 略不计. 离开载荷作用处一定距离, 离开载荷作用处一定距离,应力分布与大小不 受外载荷作用方式的影响. 受外载荷作用方式的影响.
变形前 a c F a c b d b d F
受载后
平面假设:原为平面的横截面在变形后仍为平面. 平面假设:原为平面的横截面在变形后仍为平面. 纵向纤维变形相同. 纵向纤维变形相同. 均匀材料,均匀变形,内力当然均匀分布. 均匀材料,均匀变形,内力当然均匀分布.
2.应力计算公式 2.应力计算公式
N (x ) σ = A
2.变内力变截面拉压杆的胡克定律 2.变内力变截面拉压杆的胡克定律
N ( x )d x d (d x ) = EA( x)
l =
∫
l
d (d x ) =
n
∫
l
N ( x )d x EA( x)
内力在n段等截面杆 内力在 段等截面杆 段中分别为常量时
二.截面法——求内力的基本方法 截面法 求内力的基本方法 截面法四步曲: 截,取,代,平 截面法四步曲: 截:沿横截面截开(将内力暴露作为外力) 沿横截面截开(将内力暴露作为外力) 取:取其中一部分作为研究对象 代:用作用于截面上的内力代替 弃去部分对留下部分的作用 平:对留下部分建立平衡方程并解之
二,工程实例
工程实例
2-2 内力
一.内力的概念
截面法
内力是构件因受外力而变 内力是构件因受外力而变形,其内部各部分之 是构件因受外力而 间因相对位置改变而引起的附加内力 相对位置改变而引起的附加内力. 间因相对位置改变而引起的附加内力. 众所周知,即使不受外力作用, 众所周知,即使不受外力作用,物体的各质点 之间依然存在着相互作用的力,材料力学的内力是 之间依然存在着相互作用的力,材料力学的内力是 在外力作用下上述相互作用力的变化量, 上述相互作用力的变化量 指在外力作用下上述相互作用力的变化量,是物体 内部各部分之间因外力引起的附加的相互作用力, 内部各部分之间因外力引起的附加的相互作用力, 附加内力" 即"附加内力". 它随外力的增大而增大, 它随外力的增大而增大,达到某一限度时就会引 内力与构件强度是密切相关的 起构件破坏,因而内力与构件强度是密切相关 起构件破坏,因而内力与构件强度是密切相关的.
l = l1 l
l ε= l
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2.相对轴向变形(轴向线应变,线应变) 相对轴向变形(轴向线应变,线应变) ——单位长度的线变形 单位长度的线变形 平均线应变
ε
拉伸为" ,压缩为" 拉伸为"+",压缩为"-"
x 点处的纵向线应变: 点处的纵向线应变:
Fl l ∝ A
Fl Nl l = = EA EA
F
F
E——弹性模量,由材料试验确定 .它反映材料抵 弹性模量, 弹性模量
抗拉压弹性变形的能力. 抗拉压弹性变形的能力.它和应力有相同的 量纲和单位. 量纲和单位. EA——抗拉(压)刚度,反映杆件抵抗拉伸 抗拉( 刚度, 抗拉 压缩)变形的能力,其它条件相同时, (压缩)变形的能力,其它条件相同时, EA越大,变形越小. 越大, 越大 变形越小.
F dF p = lim = A → 0 A dA
应力的概念 2)应力分量及正负号
应力σ 正应力σ : 应力分量. 为正. 与截面正交的应力分量 指向离开截面为正. 与截面正交的应力分量.
应力τ 切应力τ: 与截面相切的应力 以使分离体绕分离体内 与截面相切的应力分量. 任一点有顺时针转动趋势 任一点有顺时针转动趋势者为正.
三.横截面上内力分量 轴向分量 力: 轴力N 或FN 力矩: 力矩:扭矩 T或Mt 或 主矩
y
MO
Mz
FN
T
Fsz
O
x
My
主矢
横向分量 力:
z
剪力 Vy 或Fsy , Vz 或Fsz
Fsy
FR′
力矩: 力矩:弯矩 My,Mz
四.内力正负号规定 1.轴力 轴力N:背离截面时为正,指向截面为负. 1.轴力 :背离截面时为正,指向截面为负.即使杆微 段产生拉伸变形的轴力为正;反之为负. 段产生拉伸变形的轴力为正;反之为负. 2.剪力 : 2.剪力V:以使杆微段有绕其内部任意点有顺时针转动 剪力 趋势的剪力为正;反之为负. 趋势的剪力为正;反之为负.空间中以正面 正向为正,负面负向为正;反之为负. 正向为正,负面负向为正;反之为负. 3.扭矩T:按右手螺旋法则,四指弯曲方向与扭矩转 按右手螺旋法则, 3.扭矩 向一致, 向一致,拇指指向离开横截面的扭矩为 反之为负. 正;反之为负. 4.弯矩 :以使梁微段产生下凸变形的弯矩为正; 4.弯矩M:以使梁微段产生下凸变形的弯矩为正; 弯矩 反之为负. 反之为负. 约定:今后提到的内力如不作特殊说明, 约定:今后提到的内力如不作特殊说明,指的是 向形心简化后的合力分量
(σ α ) min =0
2 |τ α |min =0
σ (45 °斜截面上剪应力达到最大) 斜截面上剪应力达到最大) 当α = ± 45°时, | τ α |max = °
当α = 0, 90°时, °
拉压杆的变形 弹性定律 设有等直杆,长为l, 设有等直杆,长为 ,横向尺寸为b;受轴 力变形后,长为l 力变形后,长为 1 ,横向尺寸为b1 . 2-6
F k Nα
α
α
k
Nα N pα = = cos α = σ cos α Aα A
二,斜截面上的正应力和剪应力 F
k α
σα
pα
σ α = pα cos α = σ cos α pα σ τ α = pα sin α = sin 2α 2
2
α
k
τα
可见: α , τ α 都是 可见: σ
2-3
拉压杆的内力
一.拉压杆的内力—— 轴力FN或N 拉压杆的内力 二.用截面法求轴力 三.用直接法求轴力
e N = ∑ FiN
即,任一横截面上的轴力等于该横截面一侧杆 段上所有外力在轴线方向上投影的代数和. 段上所有外力在轴线方向上投影的代数和.
e FiN
四.轴力图
代数号确定: 代数号确定:
离开端截面取正, 离开端截面取正, 指向端截面取负. 指向端截面取负.
实验表明拉压杆的破坏并不一定是沿横截面, 实验表明拉压杆的破坏并不一定是沿横截面, 有时是沿斜截面发生的, 有时是沿斜截面发生的 , 为了全面研究拉压杆的 强度,须进一步讨论斜截面上的应力. 强度,须进一步讨论斜截面上的应力. 图示等直杆受轴向拉力F 作用. 图示等直杆受轴向拉力 作用. k 杆件横截面面积为A, 杆件横截面面积为 , F 斜截面面积为A 斜截面面积为 α 一.斜截面上全应力: 斜截面上全应力: 由平衡条件: 由平衡条件:Nα=F=N 实验表明: 实验表明: 斜截面上的应力也均匀分布. 斜截面上的应力也均匀分布. F k
4.应力的三要素: 4.应力的三要素: 应力的三要素 截面, 截面,点,方向 5.应力的单位: 5.应力的单位: 应力的单位 Pa(N/m2), ),kPa,Mpa,GPa ( , ,
二,拉(压)杆横截面上的应力
1.变形规律试验及平面假设: 1.变形规律试验及平面假设: 变形规律试验及平面假设
横截面
ε
d (dx) = dx
二,横向变形及泊松比 1.绝对横向变形
b = b1 b
拉伸
2.相对横向变形(横向应变) 相对横向变形(横向应变)
b ε′ = b
ε ′ 为"-",压缩ε ′ ,
为"+"
3.泊松比(Poisson9s 泊松比(
ratio)(横向变形系数) 横向变形系数)
实验表明: 实验表明:在弹性范围内
ν 是反映材料弹性性质的常数,由实验确定, 是反映材料弹性性质的常数,由实验确定,
一般在0 一般在0
~
ε′ ν= ε
或
ε ′=-νε
(σ ≤ σ p)
0.5之间. 0.5之间. 之间
三.胡克定律 (Hook9s Law) )
1.等内力等直拉压杆的胡克定律 1.等内力等直拉压杆的胡克定律 实验表明:材料在线弹性范围内时 实验表明:材料在线弹性范围内时
2-4
应力
应力集中的概念
一,应力的概念 问题提出: 1.问题提出: 内力大小不能衡量构件强度的大小. 内力大小不能衡量构件强度的大小. 应力定义: 2.应力定义: 内力在截面上的分布集度. 内力在截面上的分布集度. 3.应力的表示: 3.应力的表示: 应力的表示 1)全应力 (总应力): 总应力):
α 的函数,截面方位不同,应力就不同. 的函数,截面方位不同,应力就不同.
由上式可以知道通过构件上一点不同截面上应力变化情况. 由上式可以知道通过构件上一点不同截面上应力变化情况. 当α = 0°时, ° 当α = 90°时, °
(σ α ) max = σ (横截面上存在最大正应力) 横截面上存在最大正应力)
4.应力集中, 圣维南( 4.应力集中, 圣维南(Saint-Venant)原理 应力集中 ) 局部应力: 局部应力:截面突变处或集中力作用处某些局部小 范围内的应力. 范围内的应力. 应力集中:在截面突变处出现局部应力剧增现象. 应力集中:在截面突变处出现局部应力剧增现象. 应力集中对于塑性, 应力集中对于塑性,脆性材料的强度产生截然 不同的影响,脆性材料对局部应力的敏感性很强, 不同的影响,脆性材料对局部应力的敏感性很强,而 局部应力对塑性材料的强度影响较小. 局部应力对塑性材料的强度影响较小. Saint-Venant原理: 原理: 原理 作用于弹性体上某一局部区域的外力系, 作用于弹性体上某一局部区域的外力系,可以 用与它静力等效的力系来代替, 用与它静力等效的力系来代替,这种代替只对原力 系作用区域附近影响显著, 系作用区域附近影响显著,对稍远处其影响即可忽 略不计. 略不计. 离开载荷作用处一定距离, 离开载荷作用处一定距离,应力分布与大小不 受外载荷作用方式的影响. 受外载荷作用方式的影响.
变形前 a c F a c b d b d F
受载后
平面假设:原为平面的横截面在变形后仍为平面. 平面假设:原为平面的横截面在变形后仍为平面. 纵向纤维变形相同. 纵向纤维变形相同. 均匀材料,均匀变形,内力当然均匀分布. 均匀材料,均匀变形,内力当然均匀分布.
2.应力计算公式 2.应力计算公式
N (x ) σ = A
2.变内力变截面拉压杆的胡克定律 2.变内力变截面拉压杆的胡克定律
N ( x )d x d (d x ) = EA( x)
l =
∫
l
d (d x ) =
n
∫
l
N ( x )d x EA( x)
内力在n段等截面杆 内力在 段等截面杆 段中分别为常量时
二.截面法——求内力的基本方法 截面法 求内力的基本方法 截面法四步曲: 截,取,代,平 截面法四步曲: 截:沿横截面截开(将内力暴露作为外力) 沿横截面截开(将内力暴露作为外力) 取:取其中一部分作为研究对象 代:用作用于截面上的内力代替 弃去部分对留下部分的作用 平:对留下部分建立平衡方程并解之
二,工程实例
工程实例
2-2 内力
一.内力的概念
截面法
内力是构件因受外力而变 内力是构件因受外力而变形,其内部各部分之 是构件因受外力而 间因相对位置改变而引起的附加内力 相对位置改变而引起的附加内力. 间因相对位置改变而引起的附加内力. 众所周知,即使不受外力作用, 众所周知,即使不受外力作用,物体的各质点 之间依然存在着相互作用的力,材料力学的内力是 之间依然存在着相互作用的力,材料力学的内力是 在外力作用下上述相互作用力的变化量, 上述相互作用力的变化量 指在外力作用下上述相互作用力的变化量,是物体 内部各部分之间因外力引起的附加的相互作用力, 内部各部分之间因外力引起的附加的相互作用力, 附加内力" 即"附加内力". 它随外力的增大而增大, 它随外力的增大而增大,达到某一限度时就会引 内力与构件强度是密切相关的 起构件破坏,因而内力与构件强度是密切相关 起构件破坏,因而内力与构件强度是密切相关的.