2. 轴向的拉伸与压缩

4）根据几何关系求出位移。
H
BB1
l1
FN1l1 E1 A1
Fl1
E1A1 tan
2.11mm
V
BB1
BD BF
l2
sin
l1
l2 cos tan
3.82mm
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
已知：A1 320mm 2 , A2 1050mm 2 , E1 E2 200GPa, F 60kN
工程力学系
4、圣维南原理
第二章 轴向拉伸与压缩
力作用于杆端的分布方式，只 影响杆端局部范围的应力分布，影 响区的轴向范围约离杆端1-2个杆的 横向尺寸。
圣维南像
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
§2-3材料在拉伸与压缩时的力学性能
材料的力学性能——材料在外力作用下表现出来的变 形、破坏等方面的特性。
段范围内，直至试样最后断裂。
颈缩
工程力学系
四个阶段试件的变化：
第二章 轴向拉伸与压缩
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
两个塑性指标
1、延伸率：
l1 l 100%
l
式中：l1——试样拉断后标距的长度； l ——试样原标距的长度；
塑性材料与脆性材料的量化标准：
5%的材料称为塑性材料。如低碳钢和青铜等；
利：提高了材料在弹性阶段内的σ
σ
承载能力。
利之用：用冷加工的方法来提高
材料的强度 。
弊：降低了材料的塑性。
弊之屏：进行退火处理 。
O
O
ε
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
2、其它塑性材料拉伸时的力学性能
这些材料与低碳钢相同之处 是断裂前要经历大量塑性变
形，不同之处是没有明显的
屈服阶段。
。
b
名义屈服极限：对于没有。 明显屈服阶段的塑性材料， 0.2 通常以产生 0.2%塑性应变。 时的应力作为屈服极限。。
第二章 轴向拉伸与压缩
拉（压）杆横截面上的应力分析 观察拉压杆受力时的变形特点：
F
F
观察结果：1. 纵线与横线仍为直线，横线仍垂直于纵线； 2. 横线沿轴线方向平移。
假设： 横截面仍保持为平面，且仍垂直于杆件轴线；
平面假设
工程力学系
平面假设
第二章 轴向拉伸与压缩
横截面上没有切应变 正应变沿横截面均匀分布
实验标准：国家标准《金属拉力试验法》 (GB 228—87)； 实验条件：常温（室温）、
静载（加载的速度要平稳缓慢）； 实验设备：对试件施加载荷的万能材料试验机；
测量试样变形的引伸仪。
实验记录：拉伸图：横坐标—Δl，纵坐标—P； 应力—应变图：横坐标—ε ，纵坐标—σ 。
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
l
——纵向线应变，拉应变为正，压应变为负。
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
2、虎克定律
实验证明：
l FN l EA
式中： E ——表示材料弹性性质的一个常数，称为 拉压弹性模量，亦称杨氏模量。
EA ——反映杆件抵抗拉伸（或压缩）变形的 能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。
虎克定律的适用条件：
（1）材料在线弹性范围内工作，即 P 。
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
工程实例
液压传动机构
房屋支承结构
桁架机构
工程力学系
计算简图
第二章 轴向拉伸与压缩
轴向拉伸
轴向压缩
杆件受力特点： 外力或其合力的作用线沿杆件轴线 轴向载荷
杆件变形特点： 轴向伸长或缩短
拉压杆：以轴向拉压为主要变形的杆件
轴向拉伸 或压缩
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
3、轴向拉（压）杆横截面上的应力
思考：杆AB与杆A1 B1材料相同，杆A1 B1的截面积大于
杆AB的横截面积。
1、若所挂重物的重量相同，哪根杆危险？
2、若 C 1 的重量大于C的重量，哪根杆危险？
A 细 杆
B
A1 粗 杆
B1
C
C1
FN ? FN1
A
A1
工程力学系
实验试件：(a)圆截面标准试件：l 10d 或l 5d
(b)矩形截面标准试件(截面积为A）：l 11.3 A 或 l 5.65 A
工程力学系
实验原理：
第二章 轴向拉伸与压缩
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
1、低碳钢的拉伸实验
低炭钢——含炭量在0.25%以下的碳素钢。
e
d
b c
a a
s p e
工程力学系
思考：
第二章 轴向拉伸与压缩
1、建立强度条件时，为什么要引入安全系数，安全 系数如何选择？
2、为什么强度极限的安全系数大于屈服极限的安全 系数？
工程力学系
第二章 轴向拉伸与Fra Baidu bibliotek缩
§2-5 拉伸或压缩时的变形
1、纵向变形 F
b1 F
l
b
l1
纵向的绝对变形
l l1 l
纵向的相对变形
l
（2）在计算杆件的伸长l 时，l 长度内其 FN，E，A 均应为常数，否则应分段计算或进行积分。
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
3、横向变形
横向的绝对变形： b b b1
b1
横向的相对变形（横向线变形）： b
b
b
实验证明：
或
——横向变形系数或称泊松比，其值随材料而异。
工程力学系
a a
s p e
e f
b
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
三个阶段 弹性阶段 屈服阶段 强化阶段
实验表象
参考值
1、只有弹性变形；
2、有符合虎克定理σ=Eε的线性阶段；
3、试样无明显表象。
比例极限：σp 弹性极限：σe
1、同时存在塑性和弹性变形； 2、应力不明显波动，应变快速增加； 3、试样被压扁。
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
铸铁拉伸应力—应变图
实验表象
1、以弹性变形为主，且很小； 2、应力-应变曲线近似符合虎克定律，并以
割线的斜率作为弹性模量； 3、断裂时，断口处的横截面积几乎没有变化。
参考值
强度极限： b
b
o
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
5、脆性材料在压缩时的力学性能
1、同时存在弹性和塑性变形，塑性 变形较大；
5%的材料称为脆性材料。如铸铁、混凝土等。 2、截面收缩率：
A A1 100%
A
式中：A ——试样原横截面面积； A1 ——试样断裂处的横截面面积 。
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
一个概念
卸载定律：在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。
冷作硬化：应力超过屈服极限后卸载，再次加载，材 料的比例极限提高，而塑性降低的现象。
2、拉压实验只获得了正应力的许用值[σ]，剪应力 的许用值[τ]如何得到？
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
§2-4 许用应力 强度条件
1、安全系数与许用应力
失效：由于各种原因使结构丧失其正常工作能力的现象。。
极限应力：材料破坏时的应力，用 0表示。
许用应力：保证构件安全可靠工作所允许的最大应力值。
屈服极限：σs
1、同时存在塑性和弹性变形； 2、应力随应变非线性增长；
无
3、试样被明显压扁成鼓形，但并不破坏。
实验结论 对于大多数塑性材料，可用拉伸实验代替压缩实验 来测出所需的参考值。
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
4、脆性材料在拉伸时的力学性能
实验标准 实验条件 实验试样
实验设备 实验记录
与塑性材料的拉伸试验相同
FN BC
y
3
FN BC 2F A钢 钢 600106 160106 N 96kN 所以从钢杆来看 F 70 kN 40.4kN
30
B
FN AB
F
x
3
只有木杆与钢杆均满足强度条件时，吊架才安全，故吊架的 。
许可载荷应取为 40.4 kN 。 许可载荷是由最先达到许可内力的那根杆的强度决定。
第二章 轴向拉伸与压缩
4、桁架的节点位移
桁架的变形通常用节点的位移表示，现以图示桁架 为例，说明节点位移的分析方法，求B点的位移。
解：1）利用平衡条件求内力
FN1 FN 2 cos 0
FN 2 sin F 0
FN1
F
tan
，FN 2
F
sin
2）沿杆件方向绘出变形：拉力伸长；压力缩短 3）以切线代替圆弧，交点即为节点新位置。
实验表象 2、应力随应变非线性增长。非线性
不可由线性虎克定理近似代替；
3、破坏形式为出现与轴线成45度角
的裂纹。
c
参考值 强度极限： c
b
o
实验结论 不可用拉伸实验代替压缩实验来测出所需的参
考值，因为 c 2 ~ 5 b
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
思考：
1、试解释铸铁在轴向压缩破坏时断裂面与轴线成 45 的原因（材料内摩擦不考虑）。
a a
e p
用 0.2 表示。
。
o
0.2%
e f
b
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
3、塑性材料在压缩时的力学性能
实验标准 、实验条件 、实验设备、实验记录同拉伸 试验。 实验试样：高度约为直径的1.5 ~ 3倍的圆柱体或立方体。
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
低碳钢压缩时的应力-应变曲线
d
b c
问题：下列哪些杆件是拉压杆？
F F q
q
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
§2-2 横截面上的内力和应力
1、横截面上的内力
由截面法得：FN F
内力：相互作用力，作用线与 杆件轴线重合，称轴力
轴力的符号规定：拉力为正， 压力为负。
思考：取左段轴力向右，右段轴力 向左，不是相反吗？
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
0 const
0 const
A FN
FN
A
符号规定：拉应力为正，压应力为负
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
讨论：如图所示两根杆件的正应力分布情况。
F
F (x) F
A( x)
x q
F ( x) 2qx
A
q x
( x) FN ( x)
A( x)
工程力学系
F
第二章 轴向拉伸与压缩
时，杆件就可以安全正常地进行工作，即：
max
FN A
max
可以解决三类问题：
1）校核强度：
max
FN A
max
2）设计截面:
A
FN max
3）确定许可载荷： FNmax A
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
例:如图所示为一吊架，AB 为木杆其横截面面积 A木 104 mm 2，许用应力 木 7MPa，BC 杆为钢杆，A钢 600mm 2 ， 钢 160MPa，试求许可载荷F 。
解:假想地将吊架截开，保留部分如图所示。由保留
C
部分的平衡
Y 0 FN BC sin 300 F 0 X 0 FN AB FN BC cos 300 0
由强度条件得：
FN BC 2F
FN AB 3F
30
B
A
F
FN AB 3F A木 木 104 106 7 106 N 70kN 所以从木杆来看 F 70 kN 40.4kN
2、内力图——轴力图
轴力图：表示轴力沿杆轴变化的图 例：画出图示杆件的轴力图。
解：（1）计算各段轴力 AB 段： FN1 F BC段： FN2 F CD段： FN3 2F
（2）绘轴力图 选截面位置为横坐标；相应截
面上的轴力为纵坐标，根据适当比 例，绘出图线。
设正法 求轴力时，外力不能沿作用线随意移动 截面不能刚好截在外力作用点处
比例极限：σp 弹性极限： σe
1、同时存在塑性和弹性变形； 2、应力小幅波动，应变快速增加； 3、试样表面出现与轴线成45度角滑移线
1、同时存在塑性和弹性变形； 2、应力随应变非线性增长； 3、试样被明显强化。
屈服极限：σs或σ0.2 滑移线
强度极限：σb
1、同时存在塑性和弹性变形； 2、应力随应变非线性减少； 3、变形多集中在横截面积迅速收缩的某一小
F
x
=2.8o
锥度5o时， max 与 av 的相对误差<5%
=5.8o =11o
两端受均匀分布载荷时锥形杆x方向正应力分布情况
工程力学系
q
q x
第二章 轴向拉伸与压缩
F
一般l/h5时，可近似 使用拉压杆应力公式
FN 的适用范围：
A
1.等截面直杆受轴向载荷； (一般也适用于锥度较小( 5o)的变截面杆) 2.若轴向载荷沿横截面非均匀分布，则所取截面应 远离载荷作用区域
f
b
o
o1 o2
o3 o4
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
四个阶段
塑性材料拉伸性能
两个指标 一个概念
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
四个阶段 弹性阶段
（oa段）
屈服阶段
（ac段）
强化阶段
（ce段）
颈缩阶段
（ef 段）
实验表象
参考值
1、只有弹性变形；
2、有符合虎克定理σ=Eε的线性阶段；
3、试样无明显表象。
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
第二章 轴向拉伸与压缩
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7
轴向拉伸与压缩的概念与实例 横截面上的内力和应力 材料在拉伸与压缩时的力学性能 许用应力、强度条件 拉伸或压缩时的变形 拉伸或压缩时的静不定问题 应力集中的概念
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
构件材料
失效形式 极限应力 许用应力
塑性材料
屈服
0 s
s
ns
脆性材料
断裂
0 b
b
nb
ns、nb 分别为对应于屈服极限及强度极限的安全系数
静载时常取： ns 1.2 ~ 2.5
nb 2 ~ 3.5
工程力学系
第二章 轴向拉伸与压缩
1、强度条件 当受拉或受压杆件横截面上的最大应力不大于许用应力