3.1 勾股定理2
3.1勾股定理(七大题型)(解析版)
（苏科版）八年级上册数学《第3章 勾股定理》3.1 勾股定理●勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.◆1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；◆2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.◆3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，则a 2 + b 2 = c 2、 a 2 = c 2 - b 2、b 2 = c 2 - a 2；22b a c +=、22b c a -=、22a c b -=.【拓展】◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边，则a 2+b 2＞c 2.◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边，则a 2+b 2＜c 2.●通过拼图证明勾股定理的思路：（1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.（3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.●下面列举几种证明方法：◆1、“赵爽弦图”证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2=12ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．◆2、我国数学家邹元治的证明方法证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+12ab×4，化简得：a2+b2＝c2．◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即12（a+b）（a+b）=12ab×2+12c2，化简得：a2+b2＝c2．【例题1】在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，则斜边的长为 ．【分析】根据勾股定理直接求出斜边的长即可．【解答】解：∵在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，=15．故答案为：15．【点评】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式1-1】已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．【分析】（1）利用勾股定理计算c=（2）利用勾股定理计算b=【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：c==＝25；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：b==＝5．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．【变式1-2】（2022秋•东方期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD 平分∠BAC ，则AD 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AD ⊥BC ，BD ＝DC =12BC ＝6，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝DC =12BC ＝6，在Rt △ABD 中，AD 8，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式1-3】（2022秋•新泰市期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则点C 到直线AB 的距离是（ ）A ．185B ．3C ．125D ．2【分析】作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．【解答】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=5，∵AC⋅BC2=AB⋅CD2，∴3×42=5CD2，解得CD＝2.4，故选：C．【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．【变式1-4】（2021春•连州市期中）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于（ ）A．10B．12C．24D．48【分析】本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE＝∠DEC＝60°∴∠AEB＝∠CDE＝30°∵30°所对的直角边是斜边的一半∴AE＝6，DE＝8又∵∠AED ＝90°根据勾股定理∴AD ＝10．故选：A ．【点评】解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．【变式1-5】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长为 ．【分析】根据勾股定理可以求得AB 的长，然后根据线段垂直平分线的判定方法可以得到MN 为线段AB 的垂直平分线，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CD 的长．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ==5，连接NA ，NB ，MA ，MB ，如图所示，∵分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，∴NA ＝NB ，MA ＝MB ，∴直线MN 垂直平分AB ，∵直线MN 交AB 于点D ，∴点D 为AB 的中点，∴CD 为Rt △ACB 斜边上的中线，∴CD =12AB =52，故答案为：52．【点评】本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-6】（2022春•河北区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．【分析】根据勾股定理求出BC即可；根据勾股定理求出AD，求出AB即可．【解答】解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△CDB中，由勾股定理得：BC=15，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=16，∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．答：AB的长为25，BC的长为15．【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是对定理的掌握和运用．【变式1-7】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5．（1）求CD的长；（2）求DE的长．【分析】（1）先证明三角形ABC是直角三角形，再根据等面积法即可求解；（2）根据勾股定理求出BD的长即可求解．【解答】解：（1）∵CE是AB边上的中线，∴AE＝BE＝5，∴AB＝10，又∵AC＝8，BC＝6，∴AC2+BC2＝82+62＝100＝AB2，∴△ABC是直角三角形，又∵CD是△ABC的高，∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=4.8；（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD=3.6，∴DE＝BE﹣BD＝5﹣3.6＝1.4．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【例题2】勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法．如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，证明中用到的面积相等关系是（ ）A．S△ABC+S△ABD＝S△AFG+S△AEFB．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEFC．S△BDH＝S△FGHD．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF+S△FGH【分析】通过用两种方法计算梯形BCEF的面积即可证明勾股定理．【解答】解：∵矩形ACBD旋转得出矩形AGFE，∴△ABC≌△FAE，∴AB＝AF，∠BAC＝∠AFE，∵∠AFE+∠EAF＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形，由题意知：S梯形BCEF =12（a+b）•（a+b）=12(a+b)2=12a2+ab+12b2，S△ABC+S△ABF+S△AEF=12ab+12ab+12c2=ab+12c2，∴12a2+ab+12b2=ab+12c2，∴a2+b2＝c2，故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形的判定，表示出图形面积的不同表达形式，建立等量关系是解题的关键．【变式2-1】（2022春•三门峡期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A 、大正方形的面积为：c 2，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+（b ﹣a ）2＝a 2+b 2，∴a 2+b 2＝c 2，故A 选项能证明勾股定理；B 、大正方形的面积为：（a +b ）2，也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a 2+b 2+2ab ，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ，∴B 选项不能证明勾股定理．C 、大正方形的面积为：（a +b ）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+c 2＝2ab +c 2，∴（a +b ）2＝2ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2，故C 选项能证明勾股定理；D、梯形的面积为：12（a+b）（a+b）=12（a2+b2）+ab，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：12ab×2+12c2＝ab+12c2，∴12（a2+b2）+ab＝ab+12c2，∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式，熟练掌握内弦图、外弦图是解题的关键．【变式2-2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A．9B．6C．4D．3【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a﹣b；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8＝4，从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，∴4×12ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3．故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．【变式2-3】（2022春•高安市期中）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（ ）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【分析】根据勾股定理和大正方形面积为25，可以判断①；根据小正方形面积为1，可以判断②；根据大正方形面积为25，小正方形面积为1，可以得到四个直角三角形的面积，从而可以得到ab的值，即可判断③；根据完全平方公式可以判断④．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2＝25，故①正确；∵小正方形面积为1，∴小正方形的边长为1，∴a﹣b＝1，故②正确；∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴12ab＝（25﹣1）÷4，解得ab＝12，故③正确；∵a2+b2＝25，ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，∴a+b＝7，故④正确；故选：D．【点评】本题考查勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形的面积，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．【变式2-4】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A ．36B ．76C ．66D ．12【分析】由题意∠ACB 为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC 延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ，则x 2＝122+52＝169，所以x ＝13，所以这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76．故选：B ．【点评】此题考查了勾股定理的证明，本题是勾股定理在实际情况中的应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．【变式2-5】用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c 2＝a 2+b 2．（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AC ＝4，BC ＝3，求CD 的长度；（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a +b ）2的值（a ＜b ）．【分析】（1）根据大正方形的面积的两种表示方法求解即可；（2）根据直角三角形的面积公式求解即可；（3）根据小正方形的为1得出2ab ＝12，再结合c 2＝13即可求解．【解答】解：（1）如图1，大正方形的面积＝c 2＝4×12ab +(b ―a )2，整理得，c2＝a2+b2；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=5，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=125；（3）∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，∴c2＝13，（b﹣a）2＝1，∴a2+b2﹣2ab＝1，∴2ab＝12，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，即（a+b）2的值为25．【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形的面积的两种表示方法是解题的关键．【变式2-6】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF 与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．【解答】证明：如图，连接BF，∵AC ＝b ，∴正方形ACDE 的面积为b 2，∵CD ＝DE ＝AC ＝b ，BC ＝a ，EF ＝BC ＝a ，∴BD ＝CD ﹣BC ＝b ﹣a ，DF ＝DE +EF ＝a +b ，∵∠CAE ＝90°，∴∠BAC +∠BAE ＝90°，∵∠BAC ＝∠EAF ，∴∠EAF +∠BAE ＝90°，∴△BAE 为等腰直角三角形，∴四边形ABDF 的面积为：12c 2+12（b ﹣a ）（a +b ）=12c 2+12（b 2﹣a 2），∵正方形ACDE 的面积与四边形ABDF 的面积相等，∴b 2=12c 2+12（b 2﹣a 2），∴b 2=12c 2+12b 2―12a 2，∴12a 2+12b 2=12c 2，∴a 2+b 2＝c 2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般利用拼图的方法，再利用面积相等证明．【例题3】如图，当正方形B的面积为64，正方形C的面积为100时，正方形A的面积为（ ）A．36B．25C．16D．6【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．【解答】解：由图可知，△DEF是直角三角形，∴DE2+DF2＝EF2，∵正方形B的面积＝DF2，正方形C的面积＝EF2，正方形A的面积＝DF2，正方形B的面积为64，正方形C的面积为100，∴正方形A的面积＝100﹣64＝36．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．【变式3-1】（2022秋•渠县期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（ ）A．8B．9C．10D．12【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：由勾股定理，得正方形E的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积，正方形E的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积，则正方形B的面积＝18﹣6﹣4＝8，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-2】（2022秋•南京期末）如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝AB、AC、BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（ ）A．8B．4C．2D．【分析】由等腰三角形的性质及勾股定理可求解AC＝CB＝2，进而可求得S△ACB＝2，再利用阴影部分的面积＝以AC为直径的圆的面积+△ACB的面积﹣以AB为直径的半圆的面积计算可求解．【解答】解：在等腰Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝∴AC 2+BC 2＝AB 2＝8，∴AC ＝CB ＝2，∴S △ACB =12AC •BC ＝2，∴S 阴影＝π（AC 2）2+S △ACB ―12π（AB 2）2＝π+2﹣π＝2，故选：C ．【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，理清阴影部分的面积＝以AC 为直径的圆的面积+△ACB 的面积﹣以AB 为直径的半圆的面积是解题的关键．【变式3-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A ＝4，S B ＝2，S c ＝2，S D ＝1，则S ＝（ ）A ．25B ．20C ．9D ．5【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【解答】解：如图，根据勾股定理的几何意义，可知：S＝S F+S G＝S A+S B+S C+S D＝4+2+2+1＝9；即S＝9；故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-4】如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S2．如果S2+S1﹣S3＝18，则阴影部分的面积为 ．【分析】由勾股定理得出S2﹣S3＝S1，再根据S2+S1﹣S3＝18即可得出S1的值，即为图中阴影部分的面积．【解答】解：由勾股定理得，BC2﹣AC2＝AB2，即S2﹣S3＝S1，∵S2+S1﹣S3＝18，∴S 1＝9，由图形可知，阴影部分的面积=12S 1，∴阴影部分的面积=92，故答案为：92．【点评】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出S 2﹣S 3＝S 1，是解题的关键．【变式3-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为 cm 2．【分析】如图根据勾股定理有S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1，S 正方形C +S 正方形D ＝S 正方形3，S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2，等量代换即可求四个小正方形的面积之和．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1，S 正方形C +S 正方形D ＝S 正方形3，S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2，∴S 正方形C +S 正方形D +S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1＝162＝256（cm 2）．故答案为：256．【点评】本题考查了勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-6】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．【分析】（1）根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立；（2）①根据AAS可以证明结论成立；②根据S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母计算即可证明结论成立．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECB，AC=CB∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由图可知：S 梯形ADEB ＝S △ADC +S △ACB +S △CEB ，∴(a b )(a b )2=ab 2+c 22+ab 2，化简，得：a 2+b 2＝c 2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【例题4】（2022秋•门头沟区期末）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．求BC 边上的高的长．【分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据等腰三角形的性质求出BD =12BC ＝4，根据勾股定理求出AD 的长即可．【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD =12BC ＝4，∴AD==3，即BC 边上的高的长为3．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理是解题的关键．【变式4-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E两点，若BE＝5，CE＝3，则AC的长为 ．【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝5，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：连接AE，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝5，∵∠C＝90°，CE＝3，∴AC==4，故答案为：4．【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式4-2】（2021春•齐齐哈尔月考）已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的长．【分析】作AD⊥BC，得∠ADC＝∠ADB＝90°，根据勾股定理和直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半计算即可．【解答】解：作AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠C＝30°，∴AD=12AC＝1，在Rt△ACD，根据勾股定理得，CD=∵∠B＝45°，∴∠DAB＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝1，则BC＝1∴AB=【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理和直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，这两个定理的应用是解题关键．【变式4-3】（2022春•阳新县期末）△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（ ）A．14B．4C．14或4D．以上都不对【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC＝BD+DC＝9+5＝14；（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．【变式4-4】如图，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．连接CD，在点D的运动过程中，当△ACD 为等腰三角形时，AD 的长为 ．【分析】分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质，分别求解即可解决问题．【解答】解：①当AD ＝AC 时，△ACD 为等腰三角形，∵AC ＝15，∴AD ＝AC ＝15．②当CD ＝AD 时，△ACD 为等腰三角形，∵CD ＝AD ，∴∠DCA ＝∠CAD ，∵∠CAB +∠B ＝90°，∠DCA +∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ，∴CD ＝BD ＝DA ＝12.5；③当CD ＝AC 时，△ACD 为等腰三角形，如图，作CH ⊥BA 于点H ，则12×AB ×CH =12×AC ×BC ，∵AC ＝15，BC ＝20，AB ＝25，∴CH ＝12，在Rt △ACH 中，AH =9，∵CD ＝AC ，CH ⊥BA ，∴DH ＝HA ＝9，∴AD ＝18，综上所述：AD 的值为15或12.5或18．故答案为：15或12.5或18．【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【例题5】如图，阴影部分表示以Rt △ABC 的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S 1和S 2．若S 1+S 2＝7，AB ＝6，则△ABC 的周长是（ ）A ．12.5B ．13C ．14D ．15【分析】根据勾股定理得到AC 2+BC 2＝AB 2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．【解答】解：由勾股定理得，AC 2+BC 2＝AB 2，∵S 1+S 2＝7，∴12×π×（AC 2）2+12×π×（BC 2）2+12×AC ×BC ―12×π×（AB 2）2＝7，∴AC ×BC ＝14，∴（AC +BC ）2＝AC 2+BC 2+2AC •BC ＝62+2×14＝64，∴AC +BC ＝8（负值舍去），∴△ABC 的周长＝AB +AC +BC ＝8+6＝14，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式5-1】如图，三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，DE⊥AB于E，已知CD=3，BD=5，求三角形ABC的周长．【分析】根据角平分线的性质得到DE=CD=3，根据勾股定理求出BE的长，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，AC=AE，∵DE⊥AB，DE=3，BD=5，根据勾股定理得，BE=4，∴AC2+82=（AE+4）2，解得AE=6，则AC=6，∴三角形ABC的周长=AC+AB+BC=24．【点评】本题考查的是角平分线的性质和勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式5-2】如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，则△BED周长为（ ）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，可求出BE，再利用勾股定理列式求出BC，最后根据三角形的周长列式计算即可得解．【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADDC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE＝6，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，由勾股定理得，BC==8，∴△BDE的周长＝BE+BD+CD＝BE+BD+CD＝BE+BC＝4+8＝12（cm）．故选：B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．【变式5-3】在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，点E为AC的中点，连接BE，DE．若DE=132，BC＝12，则△ABE的周长为 ．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边得到AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，再利用勾股定理求出AB＝5即可得到答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，∴AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，∵BC＝12，∴AB=5，∴△ABE的周长为AE+BE+AB=5+2×132=18，故答案为：18．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【例题6】（2022春•范县期中）如图，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，则阴影部分的面积是（ ）A．13B．15C．18D．19【分析】利用正方形的面积减去三角形的面积即可求出阴影部分的面积．【解答】解：∵AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，∴BE=4，∴S△ABE=12AE⋅BE=12×3×4=6，∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴S正＝5×5＝25，∴S阴影＝S正﹣S△ABE＝25﹣6＝19．故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质与勾股定理，解题的关键是用割补法求阴影部分的面积．【变式6-1】如图，在△ABC中，AC＝BC＝17，AB＝16，求△ABC的面积．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理，以及三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∵AC＝BC＝17，AB＝16，∴AD＝BD=12AB＝8，∵AD2+CD2＝AC2，∴CD=15，∴S△ABC =12AB•CD=12×16×15=120．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式6-2】（2022春•桐城市期末）如图2，在△ABC 中，AC ＝8，AB ＝4，∠BAC ＝120°，求△ABC 的面积．【分析】过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，由勾股定理求出CD 的长，利用三角形面积公式可求出答案．【解答】解：过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，∵∠BAC ＝120°，∴∠DAC ＝60°，∴∠ACD ＝30°，∵AC ＝8，∴AD =12AC ＝4，∴CD =∴S △ABC =12AB •CD =12×=【点评】此题主要考查了勾股定理，三角形面积公式，求得出AB ，CD 的长是解题的关键．【变式6-3】如图在四边形ABCD 中，∠ABC ＝120°，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝5，求该四边形的面积．【分析】延长DA 和CB 交于O ，求出∠O ＝30°，根据含30度角的直角三角形性质求出OB 和OD ，根据勾股定理求出OA 和OC ，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：延长DA 和CB 交于O ，∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，∴∠DAB ＝∠C ＝∠OAB ＝90°，∵∠D ＝60°，∴∠O ＝30°，∵AB ＝4，DC ＝5，∴OB ＝2AB ＝8，OD ＝2DC ＝10，由勾股定理得：OA ==OC =∴四边形ABCD 的面积是:S △OCD ﹣S △OAB =12×OC ×CD ―12×OA ×AB =12×5―12×【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式6-4】如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝4，BD ＝10，BC ＝8，求四边形ABCD 的面积．【分析】过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，利用勾股定理和角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝6，再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD +S △BCD 可求出四边形ABCD 的面积．【解答】解：过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，如图所示．∵∠BCD＝90°，BD＝10，BC＝8，∴BD=6，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝6，∴S四边形ABCD ＝S△ABD+S△BCD，=12AB•DE+12BC•CD，=12×4×6+12×8×6，＝36．【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．【例题7】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD．【分析】（1）根据勾股定理AB2+BC2＝AC2，得出AB2+BC2＝2AB2，进而得出AB＝BC；（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE＝BF，进而证明结论．【解答】证明：（1）连接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∵AD2+CD2＝2AB2，∴AB2+BC2＝2AB2，∴BC2＝AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC．（2）过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四边形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE与△CBF中∴∠AEB=∠BFC ∠BAE=∠CBF AB=BC，∴△BAE≌△CBF．（AAS）∴AE＝BF．∴BE＝BF+EF＝AE+CD．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是解决问题的关键．【变式7-1】已知AD是△ABC的中线，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，试说明AC2＝AE2﹣BE2．【分析】根据直角三角形的性质和勾股定理可得AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2，从而证明结论．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD．∵∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2．故AC2＝AE2﹣BE2．【点评】考查了直角三角形的性质和勾股定理，注意线段相互间的转化．【变式7-2】已知，如图，△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高，M是AD边上任意一点．求证：AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．。
鲁教版(五四制)七年级上册3.1探索勾股定理(二) 优质教案
课题鲁教版七年级数学（上）第三章 1.探索勾股定理（二）作者及工作单位教材分析《探索勾股定理》是鲁教版七年级上册第三章第一节，本节有二课时，本课是第二课时，主要内容是探索勾股定理的证明。
勾股定理是直角三角形三边之间的一种美妙关系，将数与形密切联系起来，在几何学中占有非常重要的位置。
同时勾股定理在生产、生活中也有很大的用途。
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要的结论，它有着广泛的应用，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
同时在勾股定理的探索中，让学生发展合情推理能力，为以后的学习打下基础。
因为勾股定理的出现，使数学从单一的纯计算进入了几何图形的证明，所以为了让学生感受数形结合这一数学思想，让学生亲自动手，互相协作，因此引入了“等积法”证明勾股定理。
学情分析学生经历了一年的初中学习，具备了一定的归纳、总结、类比、转化以及数学表达的能力，对现实生活中的数学知识充满了强烈的好奇心与探究欲，并能在老师的指导下通过小组成员间的互助合作，发表自己的见解。
另外，在学本节课时，通过前置知识的学习，学生对直角三角形有了初步的认识，并能从直观把握直角三角形的一些特征，为此在授课时要抓住学生的这些特点，激发学生学习数学的兴趣，建立他们的自信心，为学生空间观念的发展、数学活动经验的积累、个性的发挥提供机会。
教学目标知识与技能：1. 掌握勾股定理，初步理解割补拼接的面积证法.通过动手实践理解勾股定理的证明过程。
2. 能利用勾股定理进行简单的几何计算 过程与方法：通过实践、猜想、拼图、证明等操作深刻感受数学知识的发生发展过程 情感、态度、价值观：通过对勾股定理的历史介绍及交流，让学生体会它的文化价值，提高学习数学的兴趣和信心。
教学重点和难点重点：掌握勾股定理的内容及其初步应用 难点：勾股定理的证明教学过程教学环节教师活动学生活动和预设学生活动 设计意图一、 设情景问题， 引入课题1.名言激趣：数学是上帝用来书写宇宙的文字。
第3章《勾股定理》 ：3.1 勾股定理(2)(含答案)
23 ．据我国古代《周髀算经》记载，公元前 1120 年商高对周公说，将一根直尺 折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等 于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”． （1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；„，发现这些勾股数的勾都是奇 数， 且从 3 起就没有间断过． 计算 1 1 1 1 （9-1） 、 （9+1） 与 （25-1） 、 （25+1） ， 2 2 2 2
17 ． 如图所示， 折叠长方形的一边 AD， 使点 D 落在边 BC 的点 F 处， 已知 AB=8cm， BC=10cm，则 EC 的长为 cm．
18 ． 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC＜BC，D 为 AB 的中点，DE 交 AC 于 点 E，DF 交 BC 于点 F，且 DE⊥DF，过 A 作 AG∥BC 交 FD 的延长线于点 G． （1）求证：AG=BF； （2）若 AE=9，BF=18，求线段 EF 的长．
6 ．小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以 求出其它各边的长，若已知 CD=2，求 AC 的长．
7．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为 AB 边 上一点，求证： （1）△ACE≌△BCD； （2）AD2+DB2=DE2．
8 ．如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 B′处，点 A 落 在点 A′处； （1）求证：B′E=BF； （2）设 AE=a，AB=b，BF=c，试猜想 a，b，c 之间的一种关系，并给予证明．
S = l （3）说出（2）中结论成立的理由． （2）如果 a+b-c=m， 观察上表猜想：
及下册知识点勾股定理第2章
及下册知识点勾股定理第2章勾股定理是古希腊数学家勾股（埃拉托斯特尼·勾股）提出的定理之一，它就是指在一个直角三角形中，直角的两边的平方之和等于斜边的平方，简记为：a²+b²=c²。
一、定义：勾股定理就是指在一个直角三角形中，直角的两边（a，b）的平方之和等于斜边（c）的平方，即a²+b²=c²。
二、发现历史：勾股定理最早出现于古希腊数学家勾股（埃拉托斯特尼·勾股）所著《几何原本》一书中，他证明了直角三角形的勾股定理。
被认为是古希腊数学的高峰，是西方数学发展史上重要的里程碑。
三、应用：勾股定理的应用非常广泛，它用于地理、测量、工程等多个领域，其中一般应用在求解对角线长度、定义正多边形等。
四、推广：勾股定理不仅仅只适用于直角三角形，更拓展到其他三角形中，并且可以拓展到它的更一般化，也能够推广到更高维的空间中，由于它的公理形式，使它在数学的许多应用中非常重要。
五、勾股定理的前提条件：定理的准确性取决于它的前提条件，勾股定理的前提条件是三角形的底边和高的平方和等于斜边的平方，两底边形成直角，它只有在满足这三个前提条件的情况下，它才能正确发挥其作用。
六、勾股定理的准确性证明：天才数学家勾股提出勾股定理，使直角三角形的计算理论发展到一个新的阶段，不仅开创了三角函数的先河，而且给后来数学思想实践中提供了有力的武器。
但是，勾股定理的正确性受到了众多数学家的质疑，要想证明它的正确性，得益于欧几里德的《几何元素》中的一个定理。
欧几里德的定理表明，在一个三角形中，如果任意两角的余弦值相等，则三角形顶点三个等腰三角形的面积相等，其中顶点的三条边需要满足勾股定理的关系，这说明勾股定理是正确的。
八年级数学苏科版上册课时练第3单元《3.1勾股定理》(2) 练习试题试卷 含答案
课时练3.1勾股定理一．选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2AC ，若AC ＝6，则BC 的长为（）A ．8B ．12C ．D ．2．在Rt △ABC 中，90ACB Ð=°，3AB =，则222AB BC AC ++=（）A ．9B ．18C ．20D ．243．如图，在ABC 中，90C °Ð=，2AC =，点D 在BC 上，ADC 2B Ð=Ð，AD =则BC 的长为（）A1-B ．1+C 1D 14．如图，等边ABC 中，AD BC ^，DE AC ^，8AB =，则DE =（）A．2B ．4C ．D ．5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A ，B ，C ，D 的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E 的面积是（）A ．94B ．26C ．22D ．166.如图，数轴上点A 对应的数是0，点B 对应的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC=2，以A 为圆心，AC 为半径画弧，交数轴于点D，则点D 表示的数为（）A．2.2B．C．D．7.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x 的值可能有()．A.1个B.2个C.3个D.4个8.以面积为9cm 2的正方形对角线为边作正方形，其面积为（）A.9cm2B.13cm2C.18cm2D.24cm29．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A ．B ．C ．D ．10．等腰直角三角形的斜边长为5cm ，则它的面积是（）A ．25cm 2B ．12.5cm 2C ．10cm 2D ．6.25cm 2二．填空题11．若一个直角三角形的两边长分别是4cm ，3cm ，则第三条边长是cm ．12．如图所示，图1中x 的值为_______，图2中的y 的值为_______.13．如图，在ABC 中，90ABC Ð=°，分别以BC 、AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S =______．14．如图，AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD =17，BE =5，那么AC 的长为_______15．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为__________cm.三．解答题16．如图，∠BAC＝90°，BC＝28，AC＝14，BD＝13，AD＝15．（1）求AB的长度；（2）作DH⊥AB，并求△ADB的面积．17．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF＝2AE；（2）若CD＝2，求AD的长．18．在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab．由此推出勾股定理a2+b2＝c2这种方法可以极简单地直观推论或验证出数学规律和公式．（1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）；（2）请你用图（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2＝x2+2xy+y2．参考答案一．选择题1．C2．B3．D4．C6.D．7.B．8.C.9．D．10.D二．填空题11．5或．12．41313．214．1315．8三．解答题16．AB=25,CD=12=，连结BG、FG，17．延长ED至G，使DG DEÐ=Ð，=AD BD，ADE BDG\D@D，ADE BDGÐ=Ð，AE BG\=，A DBG\，AC BG\Ð+Ð=°，90\Ð=°，FBGC FBG180222\+=，BG BF GF=，又ED FD，ED GD^\=，EF GF222AE BF EF\+=.55 4.18．(1)；(2)20；(3)Sn(4)。
3.1 勾股定理(2)
课 题：3.1 勾股定理（2）课型：新授 主备人：董兰 审核人：凌林 授课时间：2014.10【学习目标】 1．经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合思想；2．经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值．【教学重点】通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对数形结合的思想的认识. 【教学难点】通过拼图验证勾股定理的过程，使学生获得研究问题与合作交流的方法与经验． 【预习作业】1.在Rt△ABC 中，AB=c,BC=a,AC=b, ∠C=90°, (1)已知a=3,b=4,则c=_______;(2)已知a=6,c=10,则b=_____; (3)已知a=24，b=7，则c=_______;2.在平面直角坐标系中，点（-3，-4）与原点之间的距离是______.3.一等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则此等腰三角形的面积为 。
4.一个长方形的长为12cm ，对角线长为13cm ，则该长方形的周长为 。
5、如图，在⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=10cm,BC=6cm,CD ⊥AB 与D,求 CD 的长。
【创设情境】 1、准备4张全等的直角三角形纸片。
2、把这4张纸片拼成一个以c 为边长的正方形吗？3．你能利用该图形验证勾股定理吗？二次备课4.你能用这4个直角三角形拼成其它形状的图形，用来验证勾股定理吗？【探索活动】活动一：如图，把火柴盒放倒，在这个过程中，也能验证勾股定理，你能利用这个图验证勾股定理吗？把你的想法与大家交流一下．活动二：1．观察下图的△ABC 和△DEF ，它们是直角三角形吗？ 2．观察图，并分别以△ABC 和△DEF 的各边为边向外作正方形，其中2个小正方形的面积的和等于大正方形的面积吗？二次备课ABCDEF二次备课【当堂练习】1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是 ( )A. 9,12,15B. 7,24,25C. 6,8,10D. 3,5,72、若直角三角形的三边为6、8、x，则x的长为（）A.6B.8C.10D.以上答案均不对3、求下列直角三角形中未知边的长：4、如图，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远？试利用这个图形验证勾股定理。
3.1探索勾股定理(2)-2024-2025学年第一学期数学鲁教七年级(上册)课件
美国总统证法：
D
c b
A
a
C
c a
b
B
例题 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞
到一个男孩头顶上方4 km处，过了20秒，飞机距
生 活
离这个男孩头顶5 km，求飞机飞行的速度.
中
勾
股
定
理 的
20 s后
应
C
B
用
4 km
A
拓展练习
生
活 中
1.如图是某沿江地区交通平面图，为了
勾 股
加快经济发展，该地区拟修建一条连接
(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度
是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是
1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比
1
？
，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任 何线段都可用整数或整数之比表示的基础上的几何学面临被推翻
图1
图2
b
a
a
c
1.如图，你能表示大正方形的面
c
b
积吗？能用两种方法表示吗？
（1） (a b)2
c
b
c
a
（2） c 2 4 1 ab
2
a 图1 b
2. (a b)2 么？
与
c 2 4 1 ab 2
有什么关系？为什
你能验证勾股定理了吗？
验证方法一
b
a
a
c
c b c2 1 ab 4 (a b)2 2
c c
∴ a²+b²=c²
b
a
a 图1 b
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问
3.1 探索勾股定理课件2 (新人教版八年级下)
46厘米 58厘米
小结： 1、利用数格子的方法，探索了以直角三角形三边 为边长的正方形面积的关系（即两个小正方形的 面积之和等于大正方形的面积）
2、探索了直角三角形的三边关系，得到勾股定理： 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 平方
C
c b a A
B
A的面积+B的面积=C的面积
a2+b2=c2
∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52 x2 =169-25 x2 =144 ∵x>0 ∴ x=12
想一想：
小明妈妈买了一部29 英寸（74厘米）的电视 机，小明量了电视机的 屏幕后，发现屏幕只有 58厘米长和46厘米宽， 他觉得一定是售货员搞 错了。你同意他的想法 吗？你能解释这是为什 么吗？
课前热身
如图由若干个面积 为1的小正方形围 成,你知道里面大正 方形的面积是多少 吗?与同伴交流.
32
• 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三多年前， 周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。 即“勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名 的数学著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处， 还记载了勾股定理的一般形式。 • 相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了 勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥 拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊 曾经发行了一枚纪念邮票，你能看出邮票上的图案所 反映的内容吗？
弦 勾 a 股
b
c
练习：
1、求下列图中字母所表示的正方形的面积
A =625 225
81
B =144
400
225
49) （
625 576 37 37
苏科版初中八年级数学上册3-1勾股定理第二课时勾股定理的验证课件
股定理.综上,四幅图均可以利用面积验证勾股定理.故选D.
2.(2024江苏无锡惠山期中)关于勾股定理的证明有一种简洁
方法叫做“常春证法”,将两个全等的直角△ABC和△DEF
按如图所示的方式摆放,且BC=a,AC=b,AB=c.点F落在AC上,
点C与点E重合,斜边AB与斜边DE交于点M,连接AD,BD.
HBA,∴S△CAE=S△FAB=12 1b2, 1 1
222
b2,S△CBG=S△HBA12=
a2,∴S△CAE+S△12CBG=
1 2
a2+
∴ c2= a2+ b2,即c2=a2+b2.选④:中间小正方形的边长为c,
面积为c2,大正方1 形的边长为a+b,面积为(a+b)2,四个直角三角
2
形的面积均1 为 ab,则中间小正方形的面积可以表示为
ab,还可以表示为4× 1 ab+c2=2ab+c2,
2
∴a2+b2=c2,
∴第三幅图能利用面积验证勾股定理;
第四幅图(图略):五边形的面积等于大正方形的面积加上两
个直角三角形的面积,即c2+2× 1 ab=c2+ab,五边形的面积还等
2
于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积,即a2+b2
+2× 1 ab=a2+b2+ab,∴a2+b2=c2,∴第四幅图能利用面积验证勾
中直角三角形ABC三边a、b、c关系的图有
.(先将
序号填在横线上,然后选一个序号说明理由)
解析 【问题呈现】根据长方形的面积公式,题图甲中长方 形ABCD的面积可以表示为(a+b)(a-b), 长方形ABCD的面积可以用大正方形的面积减去小正方形的 面积,即a2-b2, ∴(a+b)(a-b)=a2-b2, ∴利用题图甲可以解释的一个公式为(a+b)(a-b)=a2-b2. 【问题解决】a、b、c的数量关系为c2=a2+b2.理由:题图丙中 大正方形的边长为c,则面积可以表示为c2,
2017-2018学年苏科版八年级数学上册导学案：3.1勾股定理(2)
3.1勾股定理（2）【学习目标】1. 通过拼图,用面积的方法说明勾股定理的正确性。
巩固勾股定理的直接运用。
2. 通过简单实例应用勾股定理,培养学生的知识应用技能。
【预习研问】1. 通过面积的计算验证勾股定理：图形的面积可以整体表示，也可以表示成___________________面积之和，从而得到一个等式.2. 巩固勾股定理，勾股定理：____________________________________________.3. 勾股定理的简单应用,应用环境：___________________.4.如图，已知在△ABC中，AC＝20，BC＝15，高CD⊥AB于D，CD＝12.(1)求DB的长;(2)求AB的长.(3)求△ABC中的面积.个人或小组的预习未解决问题：【课内解问】1. 已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距km.2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（）A.26B.18C.20D.213. 若直角三角形的三边为6、8、x，则x的长为（）A.6B.8C.10D.以上答案均不对4. 等腰三角形△ABC底边BC长为10cm，腰长AB为13cm，求: (1)高AD的长；（2）高CE 的长.【课后答问】1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是( )A．13 B．26 C．47 D．944题图5题图2．一个等腰三角形的腰长为17，底边长为16，则该等腰三角形的面积为( ) A．112 B．120 C．128 D．136 3．如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝16，AB＝8，则DE的长为( ) A．12 B．10 C．8 D．64．如图所示，以Rt △ABC 中的三边向外作正方形，其面积分别8,4,,,21321==S S S S S 且,则S 3=________；5．直角三角形两条直角边的长分别为6、8，则斜边上的高为_________.6．个长方形的长为12cm ，对角线长为13cm ，则该长方形的周长为__________.7．在长方形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，AB ＝10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE .8．如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.。
勾股定理2教案
主备：许秉个备：备课组长审核：许秉日期：10月17日
课题：
3.1勾股定理（2）
课型：
新授
教材分析：
本课时主要内容是通过拼图的方式探究勾股定理的内容，并且利用勾股定理了解并解决实际问题
学情分析：
掌握情况尚可，个别学生有困难
教
学
目
标
知识和技能
1.会运用勾股定理解决实际问题
2.经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程
难点
利用数形结合的方法验证公式
教学准备
制作课件
教学策略：
复备
导入
问题导入：昨天学习了勾股定理，回忆勾股定理的内容与符号语言.
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：
在Rt△ABC中，∠ACB=90
或
讲授新课（问题引导。预习交流）
课前练习：
过程与方法
通过丰富的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题与合作交流的方法与经验，增强学生对数学学习的兴趣.
情感、态度与价值观
培养动口、动手、动脑的综合能力，并感受从具体到抽象的认知规律
重点
难点
重点
通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对数形结合的思想的认识；通过拼图验证勾股定理的过程，使学生获得一些研究问题与合作交流的方法与经验.
变式：直角三角形的两条直角边分别为5、12，其斜边上的高为______
例2.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为26cm，则底边上的高为______，腰上的高为______
验证定理：
勾股定理怎样用数学知识来证明呢?
鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.1.2勾股定理的验证与应用 导学案
鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.1.2勾股定理的验证与应用导学案【学习目标】1.掌握勾股定理及其验证,并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上,经历勾股定理的验证过程,体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.【学习过程】一、复习1.勾股定理的内容是什么?二、自学指导2002年世界数学家大会在我国北京召开,投影显示本届世界数学家大会的会标:会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形,它既标志着中国古代的数学成就,又像一只转动的风车,欢迎来自世界各地的数学家们!三、合作探究1.今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理,请你利用自己准备的四个全等的直角三角形,拼出一个以斜边为边长的正方形.(1)在一张硬纸板上画4个如图所示全等的直角三角形.并把它们剪下来.(2)用这4个直角三角形拼一拼,摆一摆,看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形,你能利用它说明勾股定理吗?2.拼出了如图所示的图形,中间是一个边长为c的正方形.要利用这个图说明勾股定理,我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即可.大正方形面积可以表示为 ,又可以表示为 .3.[例题]我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m.10 s后,汽车与他相距 500 m.你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?4.议一议前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系.那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢?5.归纳小结1.一个高3米,宽4米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为( )(A)3米(B)4米(C)5米(D)6米2.某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏,现在要在相对角的顶点间加固一条木板,则木板的长应取米.3.有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼,其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行,另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行,它们离开港口一个半小时后相距海里.4.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm,求这个三角形的面积.5.受台风影响,一棵高18 m的大树断裂,树的顶部落在离树根底部6 m处,这棵树折断后有多高?6.如图是硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是a,b,斜边长为c,和一个边长为c的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图;(2)由此图证明勾股定理.7. 如图,用四个全等的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c)拼成了3个正方形,正方形的边长分别为a,b,c,请你利用图形验证勾股定理.8.为了推广城市绿色出行,梅江区交委准备在AB路段建设一个共享单车停放点,该路段附近有两个广场C和D,如图所示,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,AB=1 700 m,CA=1 200 m,DB=500 m,试问这个单车停放点E应建在距点A多远处,才能使它到两广场的距离相等?9.如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为.10.如图,校园内有两棵树,相距8米,一棵树高13米,另一棵树高7米,一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少飞()(A)8米(B)9米(C)10米(D)11米1.如图所示,工人师傅砌墙安门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,若CE=120 cm,CF=50 cm,那么选取的木条EF的长度至少为( )(A)130 cm (B)150 cm (C)170 cm (D)200 cm2.如图,一个长为6.5米的梯子,一端放在离墙角2.5米处,另一端靠墙,则梯子顶端离墙角有( )(A)3米(B)4米(C)5米(D)6米3.下列选项中,不能用来验证勾股定理的是( )4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为mm.5.在北京召开的国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》.其中的“弦图”是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.如果直角三角形的直角边分别为a,b(a>b),斜边为c,那么小正方形的面积可以表示为6.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m,当他把绳子的下端拉开5 m后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高.7.(2019巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE ⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D.(1)求证:EC=BD;(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.【综合训练】8.如图(1)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图(2)所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是( )(A)72 (B)52 (C)80 (D)769.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )(A)9 (B)6 (C)4 (D)310.(2020济宁附中)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点D是线段BC上的一个动点(不与B,C 重合),若线段AD的长为整数,则AD的长度为( )(A)3 (B)3或4或5 (C)3或4 (D)3或511.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为BC=0.7米,顶端距离地面AC=2.4米.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面A′D=2米,求小巷的宽度.12.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=4 cm,AD=2 cm,BC=CD,E是AB上的一点,若沿CE折叠,则B,D两点重合,求△AED的面积.13.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形解决下列问题:(1)根据图形验证勾股定理;(2)如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求(a+b)2的值.【提高训练】14.如图,在△ABC中,AB=30,BC=25,AC=25,求△ABC的面积.。
鲁教版七年级上3.1探索勾股定理(2)同步测试含答案解析
知能提升作业（十六）第2课时（30分钟 50分）一、选择题(每小题4分，共12分)1.已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距( )(A)25海里(B)30海里(C)35海里(D)40海里2.如图所示，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，BC，一只蚂蚁从A高BC=6cm，点P是BC上一点，且PC=23点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是( )cm (B)4cm (C)5cm (D)7cm(A)6π3.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )(A)90 (B)100 (C)110 (D)121二、填空题(每小题6分，共12分)4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行______米.5.如图所示，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰直角三角形ADE，…，以此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长的平方是________.三、解答题(共26分)6.(8分)为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置是点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10k m，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？7.(8分)如图所示，隔湖有两点A，B，在与BA方向成直角的BC上的C点，测得CA=50米，CB=40米.求：(1)A，B两点的距离.(2)请求出B点到直线AC的最短距离.【拓展延伸】8.(10分)如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150km的B处有一台风中心正以20km/h的速度沿BC方向移动，已知城市A到BC的最短距离AD=90km.(1)台风中过多长时间从B点移到D点？(2)如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离(撤离速度为6km/h)，最好选择什么方向？答案解析1.【解析】选D.两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32(海里)，12×2=24(海里)，设两小时后两船相距x 海里，根据勾股定理得：x 2=322+242=402，x=40.故选D.2.【解析】选C.如图为圆柱的侧面展开图，AP 即为所求的最短距离，因为圆柱的底面周长为6cm ，所以AA ′=6cm ，所以AC=3cm ，又因为PC=23BC=23×6=4(cm).在Rt △APC 中，AP 2=AC 2+CP 2=32+42，所以AP=5cm.3.【解析】选C.如图，过B 作BN ⊥KL 于N.则△BNF ≌△CAB.所以BN=AC=4，NF=AB=3，同理FL=4.所以KL=KN+NF+FL=10，KJ=KE+ED+DJ=11，所以矩形KLMJ 的面积为10×11=110.4.【解析】如图，连接BD ，作DH ⊥AB 交AB于H ，则DH=AC=8米，BH=AB-AH=8-2=6(米)，在直角三角形BDH 中，BD 2=BH 2+D H 2=62+82=100，所以BD=10米，即小鸟至少要飞行10米.答案：105.【解析】第一个等腰直角三角形的斜边长的平方等于2，第2个等腰直角三角形的斜边长的平方等于4，第3个等腰直角三角形的斜边长的平方等于8，…，故第n 个等腰直角三角形的斜边长的平方等于2n .答案：2n6.【解析】设AE=xkm ，则BE=(25-x)km ；在Rt △ACE 中，由勾股定理得：CE 2=AE 2+AC 2=x 2+152；同理可得：DE 2=(25-x)2+102；若CE=DE ，则x 2+152=(25-x)2+102；解得：x=10.答：图书室E 应建在A ，B 之间，距离A 点10km 处.7.【解析】(1)由题意知△ABC 是直角三角形，由勾股定理可知AC 2=BC 2+AB 2， 又AC=50米，BC=40米，于是AB 2=502-402=900，所以AB=30米.(2)过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D.△ABC 的面积=12AB ×BC =12AC ×BD ， 则AB ×BC=AC ×BD所以BD=A B×BC AC =30×4050=1205=24(米).答：(1)A，B两点的距离为30米.(2)B点到AC的最短距离为24米. 8.【解析】(1)在直角三角形A BD中，根据勾股定理，得BD2=1502-902，故得，BD=120(km).120÷20=6(h).即台风中过6小时从B点移到D点.(2)根据题意，可得游人最好选择沿射线DA方向撤离.撤离的时间为：30÷6=5(时).又台风到点D的时间是6小时，即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，最好选择射线DA方向.。
苏教科版初中数学八年级上册3.1 勾股定理(2)PPT课件
赵爽 东汉末至三国时代吴国 人，为《周髀算经》作注， 并著有《勾股圆方圆说》．
3.1 勾股定理（2）
a2 b2
a2＋b2＝c2
3.1 勾股定理（2）
活动二：你能根据下面的图形验证勾股定理吗？
a
bc
，
c
a
．
b
3.1 勾股定理（2）
两个证明基本上完全相同！
3.1 勾股定理（2）
想一想
1．观察下图的△ABC 和△DEF，它们是直角三 角形吗？
2．观察图，并分别以△ABC和 △DEF的各边为
边向外作正方形，其中2个小正方形的面积的和等 于大正方形的面积吗？
3.1 勾股定理（2）
3.1 勾股定理（2）
巩固练习
如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部
离墙角1.5m，求梯子的顶端与地面的距离h.
3.1 勾股定理（2）
本课小结
本节课我们进一步认识了勾股定理，并用两
种方法证明了这个定理，在应用此定理解决问题 时，应注意只有直角三角形的三边才有这样的关 系，如果不是直角三角形应该构造直角三角形来 解决．
3.1 勾股定理（2）
活动三：请同学们按照演示程序剪纸．
a2
c a
b
b2
3.1 勾股定理（2）
3.1 勾股定理（2）
3.1 勾股定理（2）
3.1 勾股定理（2）
c2 a2＋b2＝c2
3.1 勾股定理（2）
如图，把火柴盒放倒，在这个过程中，也能验
证勾股定理，你能利用这个图验证勾股定理吗？把 你的想法与大家交流一下．
3.1 勾股定理（2）
活动一
活动准备：用硬纸板各剪4个完全相同的直 角三角形（不妨设两直角边分别为a、b ，且
2022秋八年级数学上册 第3章 勾股定理3.1 勾股定理 2勾股定理的实际应用授课课件苏科版
感悟新知
总结
知2－讲
几何体的表面上两点间的最短路程问题的解决方法 是将几何体表面展开，即将立体问题转化为平面问题， 然后利用“两点之间，线段最短”去确定路线，最后利用 勾股定理计算．
感悟新知
知2－练
1 如图，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直
径，高BC＝6 cm，P是母线BC上一点，且PC＝
谢谢观赏
You made my day!
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例 1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m， 宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通
知1－练
过？为什么？ 分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门
框内通过，只能试试斜着能否通过.门框
对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度.
求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2 =AB2+BC2 =12+
2 3
BC.
一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行
到点P的最短距离是( B )
A.
4
＋
6 π
cm
C．3 5 cm
B．5 cm D．7 cm
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2 【 中考·营口】如图，在△ABC中，AC＝BC， 知2－练 ∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1， 点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为( B ) A．4 B．5 C．6 D．7
(2)最长路线应该是依次经过长为5 cm，4 cm，5 cm， 4 cm，3 cm，4 cm，5 cm的棱．
感悟新知
知2－练
解：(1)将长方体与顶点A，B相关的两个面展开，共有三 种方式，如图所示．若蚂蚁沿侧面爬行，如图①， 则爬行的最短路程为 （ 5 3 ） 2 4 28 045 （ cm ） ; 若蚂蚁沿侧面和上面爬行，如图②③，
八年级数学上册第3章勾股定理3-1勾股定理第2课时勾股定理的验证习题课件新版苏科版
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解：如图③所示，作 AD ⊥ BC ，交 BC 的延长线于点
D ，则 BD ＝ BC ＋ CD ＝ a ＋ CD . 在Rt△ ABD 中，
AD2＝ AB2－ BD2，
在Rt△ ACD 中， AD2＝ AC2－ CD2，∴ AB2－ BD2＝
AC2－ CD2.∴ c2－( a ＋ CD )2＝ b2－ CD2，整理，得 a2
＋ a ( a ＋ b ＋ a )，
∴ ab ＋ c2＝ b2＋ ab ＋ a2＋ ab ，∴ a2＋ b2＝ c2.
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5. 【新考向·数学文化·2024张家界期末】意大利著名画家
达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图①的
空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空
＋ b2＝ c2－2 a ·CD .
∵ a ＞0， CD ＞0，∴ a2＋ b2＜ c2.
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＋ ab ＋ a2－ ab ＝ a2＋ b2， ∴ c2＝ a2＋ b2，
即 a2＋ b2＝ c2.
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方法二：∵ S四边形 ACBE ＝ S△ ECB ＋ S△ EAC ＝ AC ·CF ＋
§3.1 勾股定理(2)
§3.1 勾股定理(2)一、细心选一选、1、一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是 ( )A、斜边长为25；B、三角形的周长为25；C、斜边长为5；D、三角形面积为202、如图，如果将△ABC的顶点A先向下平移3格，在向左平移1格到达A'点，连接A'B，则线段A'B与线段AC的关系是( )A、垂直B、相等C、平分D、平分且垂直3、如图，已知1号，4号两个正方形的面积和为7，2号，3号两个正方形的而积和为4，则a，b，c三个方形的面积和为( )A、10B、13C、15D、224、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为 ( )A、2B、2、6C、3D、45、历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示图形，其中两个全等的直角三角形边AE，EB在一条直线上、证明中用到的面积相等关系是 ( )A、S△EDA=S△CEBB、S△EDA +S△CEB=S△CDBC、S△四边形CDAE=S△四边形CDEBD、S△EDA+S△CDE+S△CEB= S四边形ABCD6、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 ( )A、8 mB、10 mC、12 mD、14 m7、设a，b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2、5，则ab的值是 ( )A、1、5B、2C、2、5D、3二、认真填一填、8、在△ABC中，∠C= 90°，AC= 3，BC= 4，则斜边AB上的高为 .9、(1) 在Rt△ABC中，∠C= 90°、①若AB= 41，AC= 9，则BC= ；②若AC= 1、5，BC= 2，则AB= 、(2) 如图，以直角三角形三边为直径的三个半圆面积A，B，C之间的关系是：、10、如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，E是AC的中点，若AD= 6，DE=5，则CD的长等于、11、如图，在长方形纸片ABCD中，AB=12，BC= 5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为、12、如图，在一个长方形木板上截下△ABC，使AC=6 cm，BC=8 cm，则截线AB= ；点C到AB的距离= 、13、若AC=6，BC=5，将图①中的四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是、三、耐心解一解、14、如图，要修建一个育苗棚，棚高h=5 m，棚宽a=12 m，棚的长d为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜?15、如图，一个梯子AB长2、5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1、5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0、5米，则梯子顶端A下落了多少米?16、如图，直角三角形纸片的两直角边的长分别为AC=6 cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合、求CD的长、17、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F、若AE=4，FC=3，求EF长、18、如图，一圆柱高8 cm，底面半径2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，请求出蚂蚁爬行的最短路线长、(π取3)、19、如图，两种规格的钢板原料，图①的规格为l m×5 m、、图②是由5个1 m×l m的小正方形组成、电焊工王师傅准备用其中的一种钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙的正方形形状的工件 (不计加工中的损耗)，分别在图①和图②中标出裁剪线，并画出所要求的正方形形状的工件示意图(保留要焊接的痕迹)、参考答案1、C2、A3、C4、D5、D6、C7、D8、289、512、4、(1) ① 40 ② 2、5 (2) A + B=C 10、8 11、1038 cm 13、76 14、156 cm2 15、在Rt△ABC中，AB=2、5米，BC=1、5米，∴AC2=AB2－BC2=2、52－1、52=4，∴AC=2米，在Rt △ECD中，AB=DE=2、5米，CD=(1、5+0、5)米，∴EC2=DE2－CD2=2、52－22=2、25，∴EC=1、5米，故AE=AC－CE=2－1、5=0、5米、16、CD=3 17、连接BD、∵三角形ABC是等腰直角三角形，D 为AC边的中点，∴BD=DC，∠ABD=∠C=45°，BD⊥AC，∴∠BDF+∠FDC=90°，又∵DE⊥DF，∴∠BDF+∠BDE=90°，∴∠FDC=∠BDE、∴△BED≌△CFD，∴BE=FC=3，BF=BC－FC=AB－BE=AE=4，∴EF=5、 18、1019、。
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这个空白正 图② 方形的面积 你能表示出 来吗？
A 4
8-X X D1
F
B
拓展提升：1、如图，分别以Rt△ABC的三边AB，BC， CA为直径向外作半圆S1，S2，S3，则S1，S2，S3的关系 （ ）
A．S1=S2+S3 B．S1＞S2+S3 C．S1＜S2+S3 D. 无法确定
a
c b
验证方法二：
◆如图,是2002年北京国正方形. A
利用此图证明勾股 定理（我国数学史 上用此图证明了勾 股定理).
b P B Q
c a S D
R
C
验证方法三：
◆如图,这是美国第20届总统加菲尔德的构图, 其中Rt△ABC和Rt△BDE是完全相同 的.AC=BD=b,CB=DE=a,∠C=∠D=90°, AB=BE=c. a
3.1 勾股定理（2）
b c
a
验证方法一：
验证方法一：
a
b
b c
a
a b
c
c b
a
验证方法一：
a2+b2+2ab ∵S大正方形=(a+b)2=a
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
a
b
a b c
b c
a
a
1 2 =4· ab+c 2
=c c2+2ab
c b
∴a2+b2+2ab=c2+2ab 2 ∴a 2 +b 2 =c
D E
请你试用此图形验证 勾股定理的正确性.
b
c
c b A
B a
C
例题1：如图,小方格的面积为1,找出图中以格点为端
点且长度为5的线段.（课本P82习题第3题）
1、（2010年辽宁省丹东市）图①是一个边长为 ( m n ) 的正方 形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②
能验证的式子是（
ab
a2
a b
b2
ab
b
a
2、（2011浙江温州，16）我国汉代数学家赵爽为了证明 勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦 图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等 的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形 EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2，S3．若 S1+S2+S3＝10，则S2的值是__________ ．
A．
B
）
(m n)2 (m n)2 4mn
← m →←n →
m n m n
B( ． m n)2 (m2 n2 ) 2mn 2 2 2 ( m n ) 2 mn m n C． 2 2 ( m n )( m n ) m n D．
图①
2、如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D 落在D1处，求重叠部分△AFC的面积。 8