17.1勾股定理2
八年级数学下册 第17章 勾股定理 17.1 勾股定理(第2课时)课件 (新版)新人教版.pptx
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【例题】
【例2】一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC
的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端
B也外移0.4m吗？
A
【解析】在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°,
—— 托尔斯泰
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D
∴ AC2+ BC2＝AB2，即 2.42+ BC2＝2.52，
∴BC＝0.7m.
由题意得：DE＝AB＝2.5m，
C
BE
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2(m).
在Rt△DCE中，∵∠DCE=90°, ∴ DC2+ CE2＝DE2 ，即22+ CE2＝2.52, ∴CE＝1.5m, ∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m.
4米 【解析】如图，根据勾股
定理，得 32 43;5=9（米）.
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4.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进 去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时， 两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？
【解析】设竹竿长x米,则城门高为 (x－1)米.
D
C 【解析】∵在Rt△ ABC中，∠B=90°,
AB=BC=50dm, ∴由勾股定理可知：
AC AB2 BC2
A 50dm B
502 502 5000 71(dm)
7
【跟踪训练】
如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成直角的AC方向 上的一点，测得CB=60m，AC=20m ，你能求出A,B两点间的 距离吗？（结果保留整数）
AC AB2 BC 2 12 22 5 m
人教版 八年级下册数学 第17章勾股定理 17.1.2勾股定理的实际运用(课件)(共18张PPT)
17.1.2 勾股定理
（勾股定理的实际运用）
知识回顾 ：
勾股定理:
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，
B b，斜边长为c，那么 a2 b2 c2 .
c a
b
C
A
知识回忆 ：
在△ABC中，∠C=90°.
(1)若b=8，c=10，则a= 6
;
(2)若a=5，b=10，则c = ������ ������ ;
B
c a
30°
C
b
A
（5）∵ ∠A=30°， ∴ c =2a
设a =x，则c = 2x ∵������������ + ������������ = ������������ ∴������������ + ������������ = (������������)������ 解得： ������ = ������ ������ ∴ ������ = ������ ������，������ = ������ ������
A
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC= ������������������ + ������������������= ������������������ + ������������=13cm
答：吸管至少要做 13+4.6=17.6cm．
C
Hale Waihona Puke B练习提高6. 如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同 时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5小时后相距30海里， 问乙船每小时航行多少海里？
30 24
练习提高
7．如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的底端B外移了2米，那么梯子的顶端A沿墙下滑了多少米？
人教版八年级数学下册17.1勾股定理(2)
解：由题意 得： AB= （90-40）2 （160-40）2
16900 13（0 毫米）
答两孔中心A、B距离 为130毫米
第5题图
解：设AE= x km， 则 BE=（25-x）km
根据勾股定理，得
D
AD2+AE2=DE2
BC2+BE2=CE2
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又 ∵ DE=CE
∴ AD2+AE2= BC2+BE2 即：152+x2=102+（25-x)2
2厘米
解：（2）木棒沿长方体的体对角线放置在纸盒中 。
因为 正方形的面积为100平方厘米
所以 底面正方1形0的2 边1长02是1100cm2,则底面对角线为
：
152 (10 2)2 2 5 17 2
所以 长方体的体对角线为：
5 17 2
综上可知，这个木棒长度的取值范围为
17cm ≤ X ≤ (
17.1 勾股定理(2)
勾股定理：如果直角三角形的两条直
角边长分别为 a, b,斜边长为 c，那么
a2 b2 c2.
如果在Rt△ ABC中，∠C=90°, B
那么 a2 b2 c2 .
ac
C bA
B
a
c
C
b
A
c2 = a2 + b2
在RtΔABC中，根据勾股定理， AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5. ห้องสมุดไป่ตู้以，AC＝ 5 ≈2.24.
解:设水池的深度AC为x米, 则芦苇高AD为 (x +1)米. 根据题意得: BC2+AC2=AB2 ∴52+ x 2 =(x +1)2 25+ x 2= x 2+2 x +1
(完整版)17.1勾股定理
17．1 勾股定理（1）一、教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理． 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习．二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明． 2．难点：勾股定理的证明．3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要．在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志．水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积．几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具．本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明．其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变． 三、例题的意图分析例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手．激发学生的民族自豪感，和爱国情怀．例2（补充）使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变．进一步让学生确信勾股定理的正确性． 四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等．我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的．这个事实可以说明勾股定理的重大意义．尤其是在两千年前，是非常了不起的成就．让学生画一个直角边为3 cm 和4 cm 的Rt △ABC ，用刻度尺量出斜边AB 的长．以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连接得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五．”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5．再画一个两直角边为5和12的Rt △ABC ，用刻度尺量斜边AB 的长．你是否发现32+42和52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2．对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例1 （补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c ． 求证：a 2＋b 2=c 2．分析：⑴让学生准备多个三角形模型，拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明．⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正，则 4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证．A B⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明．⑷勾股定理的证明方法，达300余种．这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手．激发学生的民族自豪感，和爱国情怀．例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c ． 求证：a 2＋b 2=c 2． 分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等． 左边S=4×21ab ＋c 2，右边S=（a+b ）2，左边和右边面积相等，即 4×21ab ＋c 2=（a+b ）2，化简可证．六、课堂练习1．勾股定理的具体内容是： ． 2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ； ⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： ．3．△ABC 的三边a 、b 、c ，若满足b 2= a 2＋c 2，则 =90°；若满足b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是 角； 若满足b 2＜c 2＋a 2，则∠B是 角．4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理．七、课后练习1．已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= ．（已知a 、b ，求c ） ⑵a= ．（已知b 、c ，求a ） ⑶b= ．（已知a 、c ，求b ）2．如下表，表中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b ，c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来．bbbbaa AB b E B3．在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=310cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直．4．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在CB 的延长线上． 求证：⑴AD 2－AB 2=BD·CD⑵若D 在CB 上，结论如何，试证明你的结论．参考答案六、课堂练习1．略.2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=21AB ；⑶AC=21AB ；⑷AC 2+BC 2=AB 2． 3．∠B ，钝角，锐角；4．提示：因为S 梯形ABCD = S △ABE + S △BCE + S △EDA ，又因为S 梯形ACDG =21（a+b ）2， S △BCE = S △EDA =21 ab ，S △ABE =21c 2, 21（a+b ）2=2×21 ab ＋21c 2． 七、课后练习1．⑴c=22a b -；⑵a=22c b -；⑶b=22a c +2．⎩⎨⎧+==+1222b c c b a ；则b=212-a ，c=212+a ；当a=19时，b=180，c=181．3．5秒或10秒．4．提示：过A 作AE ⊥BC 于E ．D CB17．1 勾股定理（2）一、教学目标1．会用勾股定理进行简单的计算．2．树立数形结合的思想、分类讨论思想．二、重点、难点1．重点：勾股定理的简单计算．2．难点：勾股定理的灵活运用．3．难点的突破方法：⑴数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用．⑵分类讨论，让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力.⑶作辅助线，勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力．⑷优化训练，在不同条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度．三、例题的意图分析例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边．并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边．例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法．让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力．四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形．学习勾股定理重在应用．五、例习题分析例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c．⑵已知a=1,c=2, 求b．⑶已知c=17,b=8, 求a．⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a．⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c．分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理．⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式．⑷⑸已知一边和两边比，求未知边．通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边．后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想．例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算．让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．例3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm ．⑴求等边△ABC 的高．⑵求S △ABC ．分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法．欲求高CD ，可将其置身于Rt △ADC 或Rt △BDC 中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=21AB=3cm ，则此题可解． 六、课堂练习1．⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= ． ⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= ． ⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= ．⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 ． ⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 ． 2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长．3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积． 七、课后练习1．在Rt △ABC ，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b= ． ⑵如果∠A=30°，a=4，则b= ． ⑶如果∠A=45°，a=3，则c= ． ⑷如果c=10，a-b=2，则b= ．⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则a+b+c= ． ⑹如果b=8，a ：c=3：5，则c= ．2．已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ， AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ，求BC 的长．参考答案六、课堂练习 1．17；7； 6，8； 6，8，10； 4或34； 3，3；2．8； 3．48． 七、课后练习1．24； 43； 32； 6； 12； 10； 2．332.DBA ABB17．1 勾股定理（3）一、教学目标1．会用勾股定理解决简单的实际问题．2．树立数形结合的思想．二、重点、难点1．重点：勾股定理的应用．2．难点：实际问题向数学问题的转化．3．难点的突破方法：数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性．三、例题的意图分析例1（教科书例1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题．例2（教科书例2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其他两边的变化．四、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用．勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试．五、例习题分析例1 分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角．⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法．⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣．例2 分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB．⑵在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD．则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC．⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD．A BC六、课堂练习 1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米．2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米．2题图 3题图 4题图3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 ．4．如图，原计划从A 地经C 地到B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？ 七、课后练习 1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 ．2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米． 3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米．4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E 、F 分别为BD 、CD 中点，试求B 、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度．（精确到1米）参考答案六、课堂练习1．2250； 2．6， 32； 3．18米； 4．11600. 七、课后练习 1．350米； 2．22； 3．20； 4．83米，48米，32米.ACB Q ABDEF17．1 勾股定理（4）一、教学目标1．会用勾股定理解决较综合的问题． 2．树立数形结合的思想． 二、重点、难点1．重点：勾股定理的综合应用． 2．难点：勾股定理的综合应用． 3．难点的突破方法：⑴数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质．⑵分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力．⑶作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力．⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度．三、例题的意图分析例1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用．目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2，两对相等锐角，四对互余角，及 30°或45°特殊角的特殊性质等．例2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角．让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题．使学生清楚作辅助线不能破坏已知角．例3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差．在转化的过程中注意条件的合理运用．让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力．例4 让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论． 四、课堂引入复习勾股定理的内容．本节课探究勾股定理的综合应用． 五、例习题分析例1（补充）已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长．分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用．目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等．要求学生能够自己画图，并正确标图．引导学生分析：欲求AB ，可由AB=BD+CD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1．或欲求AB ，可由22BC AC AB +=，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6．C D例2（补充）已知：如图，△ABC 中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？分析：由于本题中的△ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°．在学生充分思考和讨论后，发现添置AB 边上的高这条辅助线，就可以求得AD ，CD ，BD ，AB ，BC 及S △ABC ．让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题．并指出如何作辅助线？ 解略．例3（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2．求：四边形ABCD 的面积．分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连接AC ，或延长AB 、DC 交于F ，或延长AD 、BC 交于E ，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单．教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会．解：延长AD ，BC 交于点E ． ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°． ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4.∴BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48，BE=48=34．∵DE 2= CE 2-CD 2=42-22=12，∴DE=12=32． ∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =21AB·BE-21CD·DE=36. 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差． 例4 在数轴上画出表示13的点.分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论．变式训练：在数轴上画出表示22,13--的点．六、课堂练习1．△ABC 中，AB=AC=25 cm ，高AD=20 cm ，则BC= ，S △ABC = ． 2．△ABC 中，若∠A=2∠B=3∠C ，AC=32cm ，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，BC= ，S △ABC = ． 3．△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ，S △ABC = ．4．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17， 求S △ABC ． C ADBCC七、课后练习1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，AB= ． 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c=13，且a ＜b ，则a= ，b= ． 3．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22，求（1）AB 的长；（2）S △ABC ． 4．在数轴上画出表示－52,5 的点．参考答案六、课堂练习1．30cm ，300cm 2； 2．90，60，30，4，32； 3．2，3，3，1，32；4．作BD ⊥AC 于D ，设AD=x ，则CD=17-x ，252-x 2=262-（17-x ）2，x=7，BD=24， S △ABC =21AC·BD=254. 七、课后练习 1．4； 2．5，12；3．提示：作AD ⊥BC 于D ，AD=CD=2，AB=4，BD=32，BC=2+32，S △ABC = =2+32； 4．略．C。
17.1 勾股定理(2)勾股定理的应用 参考解析
17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
八年级数学人教版下册勾股定理勾股定理2
数学来源于 生活，勾股定理 的应用在生活中 无处不在……
D
C
A
B
1m
2m
人教版八年级数学 下册
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
学习目标
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问 题。
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模 型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长。
B3
解：由题意知有三种展开
方法，如图.由勾股定理得
B1
高三数学复习中的几个注意点
AB12 =102 +（6+8）2 =296，
4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B AB = 8 +（10+6） =320， 29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
D
C
B
A
课 结堂
总
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业 1.整理本节知识点 2.选做题： 同步检测题
一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。
由题意可知：AC=6千米，BC=8千米
距离及路径最短问题
检测目标
1．若等腰三角形中相等的两边长为 10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的
高为 ( D)
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
检测目标
2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成
由飞题机意 在可空知中：水平AC飞=6行千，米某，一B时C=刻8刚千好米飞到一个男孩头顶上方3千米处，过了20秒，C飞机距离这个男？孩头顶5千米.
【最新】人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理(第2课时)》公开课课件.ppt
（）
A. 4 3 B. 3 C.2 3 D.3
5. 如图，已知一根长8 m的竹竿在 离地3 m处断裂，竹竿顶部抵着地面， 此时，顶部距底部有 m. 6. 如图，每个小方格的边长都为1．求图中四边 形ABCD的周长. D
A
C
B
7. 直角三角形的两条边长分别是1和2，则第三边 长是多少？
本课我们学习了哪些知识？ 用了哪些方法？ 你有哪些体会？
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
[来源:Z|xx|]
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020
八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时勾股定理在实际生活中的应用7
第十七章勾股定理
在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角
两点间的距离.
上任意两点
处放上了点儿火腿肠粒，你
的西8km北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多
求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.
第1题图第2题图
如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是
的长度可能是（）
A.9cm
B.12cm
C.15cm
D.18cm
10cm和6cm，A和B是。
人教版八年级下册数学《勾股定理》说课复习(第2课时勾股定理的应用)
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
10km
藏宝点B的距离是________．
课程讲授
构造直角三角形解决实际问题
例4
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要
开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该
工厂的厂门?说明理由.
解：在Rt△OCD中，∠CDO=90°,由
C
A
O
勾股定理，得
CD＝ OC 2 OD 2 1 0.82 0.6(米).
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
D
B
2.3米
2
答：卡车能通过厂门．
M
2米
H
N
课程讲授
2
构造直角三角形解决实际问题
练一练：
(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，
一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行( B )
A．8米
B．10米
C．12米
练一练：
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB
一样长.已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,
AE的长度为（x－1）m,
17.1勾股定理第2课时(课件)八年级数学下册(人教版)
B 10
6
C8 A
2
1 C
30° A
3
17
A
8 C
C
2
2
2 45° A
典例精析
人教版数学八年级下册
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析: 1、由题干内容可知，门的高是2米，宽1米，木板 横着 或
竖着 都不能通过，只能试试 斜着 能否通过. 2、门框对角线DB是斜着的最大长度，只要计算出 AC 的 长度，再与木板的 宽 比较，只要__A_C_>_2_._2,就知道能否 通过.
C
人教版数学八年级下册
A′
B C′
B′
互动新授
人教版数学八年级下册
探究 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤： 1.在数轴上找到点A，使OA=3；
13
2
2.作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2;
l3 B
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧学八年级下册
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8
米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少
飞行多少？ B
解：如图，过点A作AC⊥BC于点C.
由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)， C
A
AB AC2 BC2 10米.
答：小鸟至少飞行10米.
与数轴交于C点，则点C即为表示 13 的点.
O 0
1
2 A•3 C4
互动新授
人教版数学八年级下册
类似地，利用勾股定理可以作出长为 2, 3, 5 线段.
17.1勾股定理的应用2
∵ AB=A’B’，AC= A’C’; ∴BC= B’C’; ∴ Rt△ABC≅Rt△A’B’C’(SSS)
练习：
1.直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为 6 cm，则它的斜边长( ) A.4 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
2. 直角三角形两条直角边的差为3,积为12，则斜边为______. 3.如图，以Rt△ABC的三边为边作正方形，其面积分别为S1、 S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB长为_____. 4.等腰三角形的腰长为10,底长为12,底边上的高为____
直角边的长为正整数2，3的直角三角形的斜边是多少？ 作法：(如图)在数轴上找出表示3的点A，则OA=3， 过点A作直线l垂直于OA， 在l上取点B，使AB=2，
1 l 1B 1 1
O
1
2
A C 3
作法：(如图)在数轴上找出表示4的点A，则OA=4， 过点A作直线l垂直于OA， 在l上取点B，使AB=1， l
1 1B 1 1
A C O 1 2 3
练习：如图，等边三角形的边长是6. 求： (1) 高AD的长； (2) 这个三角形的面积.
练习：如图，等边三角形的边长是6. 求： (1) 高AD的长； (2) 这个三角形的面积.
解：AB=AC=BC=6 根据等边三角线“三线合一” (1) 在Rt△ABD中， (2) 这个三角形的面积：
17.1.2勾股定理(教案)
-在证明勾股定理时，学生可能会对如示、动画等多种方式，逐步引导学生理解证明过程中的每一步。
-在解决实际问题时，学生可能会因为题目中没有直接给出直角三角形的直角边和斜边而感到困惑。教师需要教授学生如何识别隐藏的直角三角形，并运用勾股定理。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式和应用这两个重点。对于难点部分，如定理的证明，我会通过图示和实际操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用纸片制作直角三角形，验证勾股定理。
此外，在学生小组讨论环节，我发现有些学生发言不够积极，可能是他们对自己的观点不够自信。针对这个问题，我会鼓励学生们大胆表达自己的想法，培养他们的自信心。同时，也要关注那些默默无闻的学生，给他们更多的关注和鼓励。
最后，总结回顾环节，我觉得自己的表达可能还不够精炼，有些地方可以进一步简化。在今后的教学中，我要尽量用简练的语言进行总结，帮助学生更好地巩固所学知识。
-设计实际情景题目，如测量距离、计算建筑物高度等，让学生练习使用勾股定理进行计算。
-引导学生通过拼图、折叠等实际操作，体验勾股定理的证明过程，加深对定理的理解。
2.教学难点
-理解勾股定理的逻辑推理过程，特别是对于证明方法的理解。
-在实际问题中识别并运用勾股定理，特别是在非标准直角三角形的情况下。
-理解勾股定理在不同情境下的变式和拓展。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了勾股定理，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先，关于导入新课的部分，我通过提出与日常生活相关的问题来激发学生的兴趣，这是一个好的开始。但在实际操作中，我发现有些学生对这个问题并没有太大的反应。我意识到，可能是因为问题设置得不够具体或者不够贴近他们的生活实际。在今后的教学中，我需要更加关注问题的设计，让它更具针对性和吸引力。
人教版初中数学八年级下册精品教学课件 第17章 勾股定理 17.1 勾股定理 第2课时
关闭
10
答案
互动课堂理解
勾股定理的实际应用
【例题】 有一正方体礼盒如图所示,在底部A处有一只壁虎,C'处
有一只蚊子,壁虎急于捕捉到蚊子充饥.
(1)试确定壁虎所爬行的最短路线;
(2)若正方体礼盒的棱长为20 cm,壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子,
第2课时
勾股定理的实际应用
快乐预习感知
1.某城市一区域的示意图如图所示,建立平面直角坐标系后,学校
和体育场的坐标分别是(3,1),(4,-2),下列各地点中,离原点最近的是
(
)
A.超市
B.医院
C.体育场
D.学校
关闭
A
答案
快乐预习感知
2.如图,有两棵树,一棵高为12 m,另一棵高为6 m,两树相距8 m,一
多少厘米?
关闭
解 设CB长为x cm,
则AC为(x+10)cm,即CD=(x+10)cm.
在Rt△BCD中,由勾股定理,
得x2+402=(x+10)2,解得x=75.
因此,荷花入水部分BC长为75 cm.
答案
则梯子顶端距离墙角 (
)
A.0.2 m
B.0.4 m
C.2 m
D.4 m
关闭
C
答案
轻松尝试应用
1
2
3
4
5
6
2.如图,一根长度为17 cm的筷子,斜放在底面半径为3 cm的圆柱形
水杯内,量得露在水杯外面的部分AD的长为7 cm,则水杯的高AC是
(
)
A.10 cm B.8 cm
初中八年级数学课件 17.1 勾股定理(二)
历史因你而改变 学习因你而精彩
回顾活动1
勾股定理：直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方．
如果在Rt△ ABC中，∠C=90°,
那么 a2 b2 c2 .
B
ac
C bA
结论变形
B
a
c
C
b
A
c2 = a2 + b2
练习
（1）求出下列直角三角形中未知的边．
在RtΔABC中，根据勾股定理： AB2＝BC2-AC2＝602-202 ＝ 3200 所以，AC＝ 3200 ≈ 57 A，B两点间的距离约为57
2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，
DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，
现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D
由题意可知:EF=DE=X, AF=AD=10
∵∠B=90°
∴ AB2+ BF2＝AF2
A
10
82+ BF2＝102
D
∴BF＝6
X ∴CF＝BC－BF＝10－6＝4
8
10 X
E
(8-
X)
∴
∵∠C=90° CE2+CF2＝EF2
B 6 F 4C
(8－ X)2+42=X2
16X=80
64 －16X+X2+16=X2
X=5
80 －16X=0
5： 如图，边长为1的正方体中，一
只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外
表面爬到顶点B的最短B 距离是（ ）.
（A）3 （B )√ 5 （C）2
（D）1 B
C
17.1勾股定理第2课时勾股定理在求距离中应用同步练习
17.1勾股定理第2课时勾股定理在求距离中应⽤同步练习17.1 勾股定理第2课时勾股定理在求距离中应⽤基础训练知识点1 长度的计算1.(2016·哈尔滨)如图,⼀艘轮船位于灯塔P的北偏东60°⽅向,与灯塔P 的距离为30海⾥的A处,轮船沿正南⽅向航⾏⼀段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°⽅向上的B处,则此时轮船所在的位置B处与灯塔P之间的距离为( )A.60海⾥B.45海⾥C.20海⾥D.30海⾥2.如图,有两棵树,⼀棵⾼10⽶,另⼀棵⾼4⽶,两树相距8⽶,⼀只⼩鸟从⼀棵树的树顶飞到另⼀棵树的树顶,⼩鸟⾄少飞⾏( )A.8⽶B.10⽶C.12⽶D.14⽶3.如图,⼀棵树在离地⾯4.5 m处断裂,树的顶部落在离底部6 m处.则这棵树折断之前⾼( )A.10.5 mB.7.5 mC.12 mD.8 m4.如图,⼀架梯⼦AB长2.5⽶,顶端A靠在墙AC上,这时梯⼦底端B 与墙脚C的距离为0.7⽶,如果梯⼦滑动后停在DE的位置,测得BD 长为0.8⽶,则梯⼦顶端A下滑了( )A.0.4⽶B.0.3⽶C.0.5⽶D.0.2⽶知识点2 最短距离的计算5.如图,⼀只蚂蚁沿着棱长为2的正⽅体表⾯从点A出发,经过3个⾯爬到点B,如果它运动的路径是最短的,则AC的长为 .6.将⼀根长为24 cm的筷⼦置于底⾯直径为15 cm,⾼为8 cm的圆柱形⽔杯中,如图所⽰,设筷⼦露在杯⼦外的长度为h cm,则h的取值范围是( )A.h≤17B.h≥8C.15≤h≤16D.7≤h≤167.如图,⼀圆柱形油罐的底⾯周长为12 m,⾼为5 m,要以点A为底端环绕油罐做⼀圈梯⼦,正好顶端在点A的正上⽅点B处,那么梯⼦最短需( )A.17 mB.7 mC.13 mD.12 m易错点求最短路径时对⽴体图形展开情况考虑不全⾯导致错解8.如图,正四棱柱的底⾯边长为5 cm,侧棱长为8 cm,⼀只蚂蚁欲从正四棱柱底⾯上的顶点A沿棱柱的表⾯爬到点C'处吃⾷物,那么它需要爬⾏的最短路程是多少?提升训练考查⾓度1 利⽤勾股定理借助⽔中物体变化情况求⽔深9.在波平如镜的湖⾯上,有⼀朵盛开的美丽的红莲,它⾼出⽔⾯3尺(如图).突然⼀阵⼤风吹过,红莲被吹⾄⼀边,花朵刚好齐及⽔⾯,如果知道红莲移动的⽔平距离为6尺,请问⽔深多少?考查⾓度2 利⽤勾股定理借助等距变化求树⾼(⽅程思想)10.如图,在⼀棵树的10 m⾼的B处有两只猴⼦,其中⼀只猴⼦爬下树,⾛到离树20 m处的池塘A处,另⼀只猴⼦爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它经过的路线为直线),如果两只猴⼦所经过的路程相等,求这棵树的⾼.探究培优拔尖⾓度1 利⽤勾股定理解答实际⽣活中综合应⽤问题11.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°.点A处有⼀所中学,AP=160 m.假设⼀拖拉机在公路MN上沿PN⽅向⾏驶,周围100 m以内(包括100 m)会受到噪⾳的影响.(1)该学校是否会受到噪⾳的影响?请说明理由.(2)若受影响,已知拖拉机的速度为18 km/h,则学校受到影响的时间有多长?拔尖⾓度2 利⽤勾股定理解最短距离问题(对称法)12.如图,A,B两村在河边CD的同侧,两村到河边的距离分别为AC=1 km,BD=3 km,且CD=3 km.现要在河边CD上建⼀⽔⼚向A,B 两村输送⾃来⽔,铺设⽔管的⼯程费⽤为每千⽶2 000元.请你在CD上选择⽔⼚位置O,使铺设⽔管的费⽤最省,并求出此时铺设⽔管的总费⽤.参考答案1.【答案】D 解：由题意可得∠B=30°,AP=30海⾥,∠APB=90°,故AB=2AP=60海⾥,则此时轮船所在的位置B处与灯塔P之间的距离为BP==30海⾥.故选D.2.【答案】B 解：=10(⽶),∴⼩鸟⾄少飞⾏10⽶.3.【答案】C4.A 解：在Rt△ABC中,AC===2.4(⽶),在Rt△CDE中,CE====2(⽶),∴AE=AC-CE=2.4-2=0.4(⽶).5. 解：沿过点A的侧棱将正⽅体的侧⾯展开,如图.AB==2,∴AC=.6.【答案】D 解：设筷⼦在杯⼦中的最⼤长度为a cm,则由a2=152+82=289=172,得a=17,易知筷⼦在杯⼦中的最短长度为8 cm,则筷⼦露在杯⼦外⾯的长度h cm的范围为24-17≤h≤24-8,即7≤h≤16,故选D.7.【答案】C8.解:(1)沿棱A'B'将上底⾯A'B'C'D'和侧⾯A'ABB'展开,如图①,连接AC'.在Rt△ABC'中,AB=5,BC'=BB'+B'C'=8+5=13,由勾股定理,得AC'2=AB2+BC'2=52+132=194,∴AC'=.(2)沿侧棱BB'将侧⾯A'ABB'和侧⾯B'BCC'展开,如图②,连接AC'.在Rt△ACC'中,AC=AB+BC=5+5=10,CC'=8,由勾股定理,得AC'2=AC2+CC'2=102+82=164,∴AC'==2.∵>=2,∴蚂蚁需要爬⾏的最短路程是2 cm.解：在将空间图形中最短路程问题转化为平⾯图形来解决的同时,还必须全⽅位考虑各种可能情况,只有这样才能得到正确的答案.9.解:设⽔深h尺.如图,在Rt△ABC中,AB=h尺,AC=(h+3)尺,BC=6尺.由勾股定理得AC2=AB2+BC2,即(h+3)2=h2+62.解得h=4.5.所以⽔深4.5尺.10.解:设BD=x m,由题意知BC+AC=BD+AD,∴AD=(30-x)m,∴(10+x)2+202=(30-x)2,解得x=5,∴x+10=15,即这棵树⾼15 m.11.分析:如图,过点A作AB⊥PN于点B,根据垂线段最短可知若AB>100 m,则不受影响;若AB≤100m,则受影响.若受影响,则⾸先需要找出受影响时拖拉机⾏驶的路段,再构建直⾓三⾓形并利⽤勾股定理求出该路段的长,进⽽可求出受影响的时间.解:(1)如图,过点A作AB⊥PN,垂⾜为点B,则有∠ABP=90°. ∵AP=160 m,∠QPN=30°,∴AB=AP=×160=80(m).∵80 m<100 m,∴学校会受到噪⾳的影响.(2)如图,以A为圆⼼,100 m为半径作弧,交PN于点C,D(C,D分别在BP,BN上),连接AC,AD.即当拖拉机在公路MN上沿PN⽅向⾏驶到点C处时,学校开始受到噪⾳的影响,直到拖拉机⾏驶到点D以外时,学校才不受拖拉机噪⾳的影响.在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC2=AC2-AB2=1002-802=3 600. ∴BC==60(m).同理BD=60 m.∴CD=BC+BD=60+60=120(m). ∴学校受噪⾳影响的时间为(120÷1 000)÷18=(h)=24(s).12.分析:铺设⽔管的费⽤与⽔管的长有关,所以本题的关键是使点O到点A,B的距离之和最⼩.此时可考虑作点A关于CD的对称点,根据“两点之间线段最短”先确定点O的位置,再利⽤勾股定理进⾏求解.解:如图所⽰,作点A关于CD的对称点A',连接A'B交CD于点O,则点O即为⽔⼚的位置.连接AO,过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E,则A'E=CD=3 km,DE=A'C=AC=1 km.∴BE=BD+DE=3+1=4(km). 在Rt△A'EB中,A'B===5(km). ∴OA+OB=OA'+OB=A'B=5 km.∴总费⽤为5×2 000=10 000(元).。
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今有方池一丈， x 葭生其中央，出水 水池 一尺，引葭赴岸， 尺 适与岸齐。 5尺 问：水深、葭长各 几何？
葭生池中 1尺
练习：6.矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处， 已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长.
A 8 10
D
X 10 X E
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
C
练习：7.郑凯想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的 绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后， 发现下端刚好接触地面，你能帮他算出旗杆的高吗？ A
D
15
C
10
A
x
E
25-x
B
练习：5.在我国古代数学著作 《九章算术》中记载了一道有趣 的问题. 这个问题意思是：有一个水池， 水面是一个边长为10尺的正方 形,在水池的中央有一根新生 的芦苇，它高出水面1尺，如 果把这根芦苇拉向岸边，它的 顶端恰好到达岸边的水面，问 这个水池的深度和这根芦苇的 长度各是多少尺？
A
D
C
B
E
练习：3.一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木 杆底端4m处。木杆折断之前有多高？
练习：4.如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸, 求两孔中心A、B之间的距离 21 A 40 B C 60 21
例3：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在 要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村 到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
x米
(X+1)米
C
5米
B
1.有一个长方体盒子，它的长，宽，高分别为40cm， 30cm,50cm.现在有一根长为71cm的木条，请问这根木条 能放进这个盒子里吗？
50
30 40
2.已知三角形ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC边上的 高线AD。
A
B
D
C
什么是勾股定理？ 勾股定理：直角三角形两直角边长的平方和等 于斜边长的平方．
如图，如果在Rt△ ABC中，∠C=90°, 那么 B
a b c .
2 2 2
a
C
c
b A
练习
1.求出下列直角三角形中未知的边．
B
A
6
C
10
A
8
C
45°
2
30°
回答：
②直角三角形哪条边最长？
2
①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？
练习：1.有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一 个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果 保留整数）
D
A
50dm
B
练习：2.如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成 直角的AC方向上的一点，测得CB=60m，AC=20m ，你能 求出A,B两点间的距离吗？（结果保留整数）
例2：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这 时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那 么梯子底端B也外移0.4m吗？
练习
2. 若正方形的面积为3cm2，则它的对角线长是
6
.
3. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边 长分别为 6,8,10 。
例1. 一个门框尺寸如图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板， 问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？ ③若薄木板长3米，宽2.2米能从此 门通过吗？为什么？