七年级数学下册平方差公式专项训练 (16)

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初中数学同步训练必刷题(人教版七年级下册16

初中数学同步训练必刷题（人教版七年级下册16.2 二次根式的乘除）一、单选题（每题3分，共30分）1．（2022八下·威县期末）下列根式是最简二次根式的是（）A．√0.5B．√8C．√17D．−√3 2．（2022八下·顺平期末）下列二次根式中，不是最简二次根式的为（）A．√6B．√7C．√8D．√10 3．（2022八下·巴彦期末）下列计算中，正确的是（）A．√5−√3=√2B．√3×√2=√5C．√8÷√2=2D．√(−3)2=−3 4．（2022八下·安宁期末）下列无理数中，与√24相乘积为有理数的是（）A．√2B．√3C．√5D．√6 5．（2022八下·伊通期末）计算√8×√2的结果是（）A．√10B．4C．2D．2√2 6．（2022八下·西宁期末）下列计算中，正确的是（）A．√25=±5B．√(−3)2=−3C．√8÷√2=2D．(2√5)2=50 7．（2022八下·黄州期中）下列各数中，化为最简二次根式后能与√3合并的是（）A．√18B．√12C．√23D．√298．（2022八下·滨江期末）计算√2×√6=()A．3√2B．2√3C．2√2D．√39．（2022八下·荔湾期末）下列二次根式中，最简二次根式是()A．√8B．√a2−b2C．√1x−1D．√153 10．（2022八下·越城期末）已知n是一个正整数，若√135n是整数，则n的最小值是（）A．3B．5C．15D．25二、填空题（每题3分，共30分）11．（2022八下·洮北期末）计算：√3÷√6=12．（2022八下·自贡期末）在二次根式√15，√20，√23，√0.4中，最简二次根式有个．13．（2022八下·湘桥期末）计算：√2×√52=．14．（2022八下·嘉兴期末）当x＝1时，二次根式√3+x的值为．16．若√a(a−1)=√a⋅√a−1成立，则a的取值范围是.17．计算：4√ab3·12√a3b=18．（2022八下·舟山期末）已知√10的小数部分是a，则1a+3的值是.19．（2022八下·盐城期末）直角三角形的两条直角边长分别为√2、√6，则这个直角三角形的面积为.20．（2022八下·靖西期末）若二次根式√2x+7是最简二次根式，则x可取的最小整数是．三、解答题（共6题，共60分）21．计算：（1）√0.4×√3.6（2）√14×√144（3）√2×√6√3（4）√415÷√7 10（5）√5×√92022．（2022八下·新昌期末）计算：（1）√2×√32（2）（√5+1）（√5-1）23．阅读题目：计算√3×√6小明同学是这样计算的√3×√6=√3×6=√3×3×2=√9×√2=3√2，小刚同学是这样计算的√3×√6=√3×√3×2=√3×√3×√2=3√2，问题填空：（1）两位同学的做法正确的是，A．小明正确B．小刚正确C．小明和小刚都正确D．小明和小刚都不正确（2）小明同学在计算时用到了公式①√a×√b=(a≥0,b≥0)②√a2=(a≥0).小刚同学在计算时用到了公式①√ab=(a≥0,b≥0)②(√a)2=(a≥0).24．（2022八下·北部湾月考）先化简，再求值：√x2−2x+1，其中x＝﹣2.25．（2020八下·甘井子月考）现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否在这块木板上截出两个面积是8dm2和18dm2的正方形木板？26．（2022八下·澄城期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛出的物体下落（不考虑风速的影响）.的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足t=√ℎ5（1）从200m高空抛物到落地所需时间t是多少？（2）从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是多少？答案解析部分1．【答案】D【知识点】最简二次根式【解析】【解答】解：A、√0.5=√12=√22，故本选项不符合题意；B、√8=2√2，故本选项不符合题意；C、√17=√77，故本选项不符合题意；D、−√3是最简二次根式，故本选项符合题意；故答案为：D．【分析】利用最简二次根式的定义对每个选项计算求解即可。

人教版七年级数学下册期末测试题 (16)

山东省菏泽市单县启智学校2017-2018学年七年级（下）期末数学试卷(解析版)一、选择题1．把多项式2x2﹣8分解因式，结果正确的是（）A．2（x2﹣8）B．2（x﹣2）2C．2（x+2）（x﹣2）D．2x（x﹣）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：2x2﹣8=2（x2﹣4）=2（x﹣2）（x+2）．故选：C．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式分解因式是解题关键．2．下列计算正确的是（）A．x3+x3=x6B．x3÷x4=C．（m5）5=m10D．x2y3=（xy）5【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方．【分析】直接利用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的除法的性质求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、x3+x3=2x3，故本选项错误；B、x3÷x4=x﹣1=，故本选项正确；C、（m5）5=m25，故本选项错误；D、（xy）5=x5y5，故本选项错误．故选B．【点评】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的除法．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．3．若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．6【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据多边形的外角和定理作答．【解答】解：∵多边形外角和=360°，∴这个正多边形的边数是360°÷45°=8．故选C．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：任何一个多边形的外角和都为360°．4．如果等腰三角形的一个外角等于110°，则它的顶角是（）A．40°B．55°C．70°D．40°或70°【考点】KH：等腰三角形的性质．【分析】题目给出了一个外角等于110°，没说明是顶角还是底角的外角，所以要分两种情况进行讨论．【解答】解：（1）当110°角为顶角的外角时，顶角为180°﹣110°=70°；（2）当110°为底角的外角时，底角为180°﹣110°=70°，顶角为180°﹣70°×2=40°；故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．5．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x+1 C．x2+2x﹣1 D．x2﹣2x﹣1【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：A、x2+x+1，无法分解因式，故此选项错误；B、x2+2x+1=（x+1）2，故此选项正确；C、x2+2x﹣1，无法分解因式，故此选项错误；D、x2﹣2x﹣1，无法分解因式，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．6．用加减法解方程组时，（1）×2﹣（2）得（）A．3x=﹣1 B．﹣2x=13 C．17x=﹣1 D．3x=17【考点】98：解二元一次方程组．【分析】此题考查的是加减消元法，消元时两方程相减，要注意是方程的左边减去左边、方程的右边减去右边．【解答】解：（1）×2﹣（2），得2（5x+y）﹣（7x+2y）=2×4﹣（﹣9），去括号，得10x+2y﹣7x﹣2y=2×4+9，化简，得3x=17．故选D．【点评】本题要求同学们要熟悉二元一次方程组的解法：加减消元法和代入消元法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．7．在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣4），B（4，﹣3），C（5，0），O是坐标原点，则四边形ABCO的面积为（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】D5：坐标与图形性质；K3：三角形的面积．【分析】作出图形，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，然后把四边形ABCD的面积转化为△OAD、梯形ADEB、△BEC的面积和，再根据三角形的面积和梯形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，则S四边形ABCD=S△OAD+S梯形ADEB+S△BEC=×3×4+（3+4）×1+×1×3=6++=6+5=11．故选C．【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，把四边形分解成规则的三角形和梯形是解题的关键，作出图形更形象直观．8．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4的度数为（）A．100° B．180° C．360° D．无法确定【考点】K7：三角形内角和定理；L3：多边形内角与外角．【分析】把原图形化为两个三角形，然后根据三角形内角和定理求解．【解答】解：如图，，∠1+∠2+∠3+∠4=2×180°=360°．故选C．【点评】本题考查了三角形内角和定理：记住三角形内角和是180°．9．若（1﹣2x）0=1，则（）A．x≠0 B．x≠2C．x≠D．x为任意有理数【考点】6E：零指数幂．【分析】根据非零的零次幂等于1，可得答案．【解答】解：由（1﹣2x）0=1，得1﹣2x≠0．解得x≠，故选：C．【点评】本题考查了零指数幂，利用非零的零次幂等于1得出不等式是解题关键．10．多项式4x2+mxy+25y2是完全平方式，则m的值是（）A．20 B．10 C．10或﹣10 D．20或﹣20【考点】4E：完全平方式．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．【解答】解：∵4x2+mxy+25y2是完全平方式，∴m=±20，故选D【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．二、填空题11．分解因式：3x2﹣27= 3（x+3）（x﹣3）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】观察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．【解答】解：3x2﹣27，=3（x2﹣9），=3（x+3）（x﹣3）．故答案为：3（x+3）（x﹣3）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．12．点P（﹣5，1）到x轴距离为 1 ．【考点】D1：点的坐标．【分析】根据点P（x，y）到x轴距离为|y|求解．【解答】解：点P（﹣5，1）到x轴距离为1．故答案为1．【点评】本题考查了点的坐标：直角坐标系中点与有序实数对一一对应；在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0；记住各象限点的坐标特点．13．已知a+b=2，ab=﹣10，则a2+b2= 24 ．【考点】4C：完全平方公式．【分析】此题可将a2+b2变形为（a+b）2﹣2ab，再代入求值即可．【解答】解：∵a+b=2，ab=﹣10，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab，=22﹣2×（﹣10），=4+20=24．故答案为：24．【点评】本题考查了因式分解的应用，注意应用因式分解对a2+b2变形是解决此题的关键．14．若5x=18，5y=3，则5x﹣2y= 2 ．【考点】48：同底数幂的除法；47：幂的乘方与积的乘方．【分析】利用同底数的幂的除法的性质，以及幂的乘方的性质，所求的式子可以变形=，代入即可求解．【解答】解：原式====2．故答案是：2．【点评】本题考查了幂的除法的性质，以及幂的乘方的性质，正确对所求的式子进行变形是关键．15．若代数式x2﹣（a﹣2）x+9是一个完全平方式，则a= 8或﹣4 ．【考点】4E：完全平方式．【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值．【解答】解：∵代数式x2﹣（a﹣2）x+9是一个完全平方式，∴﹣（a﹣2）x=±2•x•3，解得：a=8或﹣4，故答案为：8或﹣4．【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要，注意：完全平方公式为①（a+b）2=a2+2ab+b2，②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．16．（﹣）2015×22014= ﹣．【考点】47：幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的乘法，可得积的乘方，根据积的乘方，可得答案．【解答】解：原式=（﹣）×[（﹣）2014×22014]=﹣×（﹣×2）2014=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了积的乘方，利用积的乘方是解题关键．17．蔬菜种植专业户王先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请甲、乙两种贷款，共13万元，王先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲、乙两种贷款分别是6.1 万元和 6.9 万元．【考点】9A：二元一次方程组的应用．【分析】设甲、乙两种贷款分别是x、y万元，根据甲、乙两种贷款，共13万元可以列出方程x+y=13，根据王先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为 3.5%可以列出方程6%x+3.5%y=0.6075，联立两个方程组成方程组，解方程组即可求出甲、乙两种贷款的数目．【解答】解：设甲、乙两种贷款分别是x、y万元，则6075元=0.6075万元，依题意得，解之得，答：甲、乙两种贷款分别是6.1万元，6.9万元．【点评】此题主要考查了利率、利息和本金之间的关系，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．18．如图，已知∠1=∠2，∠B=40°，则∠3= 40°．【考点】JB：平行线的判定与性质．【分析】由∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”得AB∥CE，再根据两直线平行，同位角相等即可得到∠3=∠B=40°．【解答】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CE，∴∠3=∠B，而∠B=40°，∴∠3=40°．故答案为40°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．19．已知是方程kx﹣2y﹣1=0的解，则k= 3 ．【考点】92：二元一次方程的解．【分析】根据二元一次方程解的定义，直接把代入方程kx﹣2y﹣1=0中，得到关于k的方程，然后解方程就可以求出k的值．【解答】解：把代入方程kx﹣2y﹣1=0，得5k﹣14﹣1=0，则k=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二元一次方程的解的定义，利用定义把已知的解代入原方程得到关于k的方程，解此方程即可．20．（2015﹣π）0+（﹣）﹣2= 10 ．【考点】6F：负整数指数幂；6E：零指数幂．【分析】首先根据零指数幂的运算方法：a0=1（a≠0），求出（2015﹣π）0的值是多少；然后根据负整指数幂的运算方法：a﹣p=，求出（﹣）﹣2的值是多少；最后把求出的（2015﹣π）0、（﹣）﹣2的值相加，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（2015﹣π）0+（﹣）﹣2=1+9=10．故答案为：10．【点评】（1）此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a ≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．三、计算题（20分）21．（10分）分解因式：（1）3a3﹣6a2+3a．（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】（1）原式提取3a，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式=3a（a2﹣2a+1）=3a（a﹣1）2；（2）原式=（x﹣y）（a2﹣b2）=（x﹣y）（a﹣b）（a+b）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．（10分）计算：（1）4x2﹣（﹣2x+3）（﹣2x﹣3）（2）（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2．【考点】4I：整式的混合运算．【分析】（1）先利用平方差公式，再利用整式混合运算的顺序求解即可，（2）先利用完全平方公式及多项式乘多项式的方法，再利用整式混合运算的顺序求解即可．【解答】解：（1）4x2﹣（﹣2x+3）（﹣2x﹣3）=4x2﹣（4x2﹣9）=4x2﹣4x2+9=9；（2）（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2=x2+4xy+4y2﹣3x2+xy﹣3xy+y2﹣5y2=﹣2x2+2xy．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟记平方差，完全平方公式及整式混合运算的顺序．四、解答题23．（9分）将一副直角三角板如图放置，已知AE∥BC，求∠AFD的度数．【考点】JA：平行线的性质．【分析】根据平行线的性质及三角形内角定理解答．【解答】解：由三角板的性质，可知∠EAD=45°，∠C=30°，∠BAC=∠ADE=90°．因为AE∥BC，所以∠EAC=∠C=30°，所以∠DAF=∠EAD﹣∠EAC=45°﹣30°=15°，所以∠AFD=180°﹣∠ADE﹣∠DAF=180°﹣90°﹣15°=75°．【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等．24．（9分）先化简再求值：（a+2b）（2a﹣b）﹣（a+2b）2﹣（a﹣2b）2，其中．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．【分析】利用多项式乘以多项式法则和完全平方公式法化简，然后把给定的值代入求值．【解答】解：原式=2a2+3ab﹣2b2﹣（a2+4ab+4b2）﹣（a2﹣4ab+4b2），=2a2+3ab﹣2b2﹣a2﹣4ab﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2，=3ab﹣10b2，当时，原式=3×（﹣）×（﹣3）﹣10×（﹣3）2=3﹣90=﹣87．【点评】考查的是整式的混合运算，主要考查了公式法、多项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点．25．（10分）某儿童服装店欲购进A、B两种型号的儿童服装．经调查：B型号童装的进货单价是A型号童装的进货单价的两倍，购进A型号童装60件和B型号童装40件共用去2100元．求A、B两种型号童装的进货单价各是多少元？【考点】9A：二元一次方程组的应用．【分析】可设A型号童装进货单价为x元，则B型号童装进货单价为y元，则y=2x；再利用购进A型号童装60件和B型号童装40件共用2100元．则60x+40y=2100，联立方程组解答．【解答】解：设A型号童装进货单价为x元，则B型号童装进货单价为y元，依题意得：，解得．答：A型号童装进货单价为15元，则B型号童装进货单价为30元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．二元一次方程组的应用问题的解答关键是审题，找出题干中的相等关系，设未知数，列关系式解答．26．（12分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．将△ABC向右平移5个单位后再向下平移3个单位得到△A1B1C1（1）写出经平移后△A1B1C1点A1、B1、C1的坐标；（2）作出△A1B1C1；（3）求△ABC的面积．【考点】Q4：作图﹣平移变换．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用（1）中所求进而得出答案；（3）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：A1（3，0），B1（2，﹣1），C1（4，﹣2）；（2）如图所示：△A1B1C1即为所求；（3）△ABC的面积为：2×2﹣×1×1﹣×1×2﹣×1×2=1.5．【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．专项训练二概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A．通常加热到100℃时，水沸腾 B．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( )A.316B.38C.58D.1316第7题图第8题图8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________．三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格：事件A 必然事件随机事件m 的值 ________ ________(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15．解：(1)4 2或3 (2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14；(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16；(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13； (2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 5 22 23 2 5 2 32 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。

初中数学平方差公式自主学习基础达标训练题(附答案)

初中数学平方差公式自主学习基础达标训练题（附答案）一．选择题（共12小题）1．下面计算正确的是（）A．x3+4x3＝5x6B．a2•a3＝a6C．（﹣2x3）4＝16x12 D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y22．下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（）A．（m﹣n）（﹣m﹣n）B．（﹣1+mn）（1+mn）C．（﹣m+n）（m﹣n）D．（2m﹣3）（2m+3）3．下列算式能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（2b﹣a）B．（﹣2x﹣1）（﹣2x﹣1）C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）4．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）5．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成为一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，可以验证的等式是（）A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）6．如图，若将图（1）中的阴影部分剪下来，拼成如图（2）所示的长方形，比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣abC．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）27．运用乘法公式计算（m﹣2）2的结果是（）A．m2﹣4B．m2﹣2m+4C．m2﹣4m+4D．m2+4m﹣48．已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2＝（）A．29B．37C．21D．339．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．2ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b210．如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．a（a+b）＝a2+ab11．已知4y2+my+9是完全平方式，则m为（）A．6B．±6C．±12D．1212．若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）A．4或﹣6B．4C．6或4D．﹣6二．填空题（共12小题）13．若x+y＝2，x2﹣y2＝6，则x﹣y＝．14．若2a+b＝﹣3，2a﹣b＝2，则4a2﹣b2＝．15．（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）＝899，则a+b＝．16．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的周长为．17．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是．18．根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是．19．（﹣x﹣2y）2＝．20．已知a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为．21．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为．22．图1可以用来解释：（2a）2＝4a2，则图2可以用来解释：．23．已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于．24．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于．三．解答题（共10小题）25．运用乘法公式进行简便计算：1232﹣122×124．26．利用乘法公式计算：99×101．（写出计算过程）27．观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1（1）根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝；（2）你能否由此归纳出一般规律（x﹣1）（x n+x n﹣1+……+x+1）＝；（3）根据以上规律求32018+32017+32016+…32+3+1的结果．28．乘法公式的探究及应用．（1）如左图，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是．（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）29．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．30．计算：4（x+1）2﹣（2x﹣5）（2x+5）31．（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）32．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．33．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是．（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，则x﹣y＝．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．34．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．参考答案:一．选择题（共12小题）1．解：A、x3+4x3＝5x3，故本选项错误；B、a2•a3＝a5，故本选项错误；C、（﹣2x3）4＝16x12，故本选项正确；D、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，故本选项错误；故选：C．2．解：A、原式＝n2﹣m2，不符合题意；B、原式＝m2n2﹣1，不符合题意；C、原式＝﹣（m﹣n）2＝﹣m2+2mn﹣n2，符合题意；D、原式＝4m2﹣9，不符合题意，故选：C．3．解：（﹣m﹣n）（﹣m+n）＝（﹣m）2﹣n2＝m2﹣n2，故选：D．4．解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2﹣b2，拼成的矩形的面积是：（a+b）（a﹣b），∴根据剩余部分的面积相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：B．5．解：由题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：D．6．解：由图可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：C．7．解：（m﹣2）2＝m2﹣4m+4，故选：C．8．解：把a+b＝5两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25，将ab＝﹣4代入得：a2+b2＝33，则a2﹣ab+b2＝33﹣（﹣4）＝37．故选：B．9．解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，则面积是（a﹣b）2．故选：C．10．解：∵长方形ABCD面积＝两个小长方形面积的和，∴可得a（a+b）＝a2+ab故选：D．11．解：∵4y2+my+9是完全平方式，∴m＝±2×2×3＝±12．故选：C．12．解：∵x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴m+1＝±5，解得：m＝4或m＝﹣6，故选：A．二．填空题（共12小题）13．解：∵x+y＝2，x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝6，∴x﹣y＝3，故答案为：3．14．解：∵2a+b＝﹣3，2a﹣b＝2，∴4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）＝（﹣3）×2＝﹣6，故答案为：﹣6．15．解：已知等式整理得：9（a+b）2﹣1＝899，即（a+b）2＝100，开方得：a+b＝±10，故答案为：±1016．解：∵（2m+3）2＝4m2+12m+9，拼成的长方形一边长为m，∴长方形的长为：[4m2+12m+9﹣（m+3）2]÷m＝3m+6．∴这个长方形的周长为：2（3m+6+m）＝8m+12．故答案为：（8m+12）．17．解：左边图形中，阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中，阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），∵两个图形中的阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．18．解：如图所示：由图1可得，图形面积为：（a+b）（a﹣b），由图2可得，图形面积为：a2﹣b2．故这个公式是：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．19．解：（﹣x﹣2y）2＝x2+4xy+4y2．故应填x2+4xy+4y2．20．解：a2﹣b2+6b＝（a+b）（a﹣b）+6b＝3（a﹣b）+6b＝3a+3b＝3（a+b）＝9．故答案是：9．21．解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，2ab＝12，所以a2+b2＝13，故答案为：13．22．解：如图2：整体来看：可看做是边长为（a+b）的正方形，面积为：（a+b）2；从部分看，可看作是有四个不同的长方形构成的图形，其中两个带阴影的长方形面积是相同的，面积为：a2+2ab+b2；∴a2+2ab+b2＝（a+b）2．故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b223．解：∵x2+16x+k是完全平方式，∴k＝64．故答案为：6424．解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，∴2（m﹣3）x＝±2•x•4，解得：m＝7或﹣1，故答案为：7或﹣1．三．解答题（共10小题）25．解：1232﹣122×124＝1232﹣（123﹣1）×（123+1）＝1232﹣（1232﹣12）＝1．26．解：由平方差公式，得99×101，＝（100﹣1）（100+1），＝1002﹣12，＝10000﹣1，＝9999．27．解：（1）根据题意得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；（2）根据题意得：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝x n+1﹣1；（3）原式＝×（3﹣1）×（1+3+32+…+32017+32018）＝．故答案为：（1）x7﹣1；（2）x n+1﹣128．解：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出：a2﹣b2；（2）它的宽是a﹣b，长是a+b，面积是（a+b）（a﹣b）；（3）根据题意得出：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）①10.3×9.7＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝100﹣0.09＝99.91；②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）＝[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]＝4m2﹣（n﹣p）2＝4m2﹣n2﹣p2+2np．29．解：（1）∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2，剩余部分面积为a2﹣b2；图（2）长方形面积为（a+b）（a﹣b）；∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）故答案为：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，且x+3y＝4∴x﹣3y＝3（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）＝（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）＝×＝＝30．解：原式＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣25）＝4x2+8x+4﹣4x2+25＝8x+29．31．解：（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）＝x2+4x+4﹣x2+1＝4x+5．故答案为：4x+5．32．解：（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，…（2分）故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；…（4分）（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，∴，∴x+y+z＝9，故答案为：9；…（6分）（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．…（8分）33．解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，则x﹣y＝±5；（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）．故答案为：（m﹣n）2、（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2、±5、（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）．34．解：原式＝（x+y）2﹣a（x+y）+52，∵原式为完全平方式，∴﹣a（x+y）＝±2×5•（x+y），解得a＝±10。

2019年春七年级数学下册第4章因式分解4.3第1课时用平方差公式分解因式练习新版浙教版

4.3 用乘法公式分解因式第1课时用平方差公式分解因式知识点1平方差公式分解因式把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，得a2－b2＝(a＋b)(a－b)．两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式，这种方法叫运用平方差公式法．1．把下列多项式分解因式：(1)x2－36；(2)36－25y2；(3)(x＋p)2－(x＋q)2.一提公因式与平方差公式综合运用把下列各式分解因式：(1)18a2－8b2；(2)a5－81ab4.[归纳总结] (1)用平方差公式分解因式的条件：①二次(能写成平方的形式)；②异号．(2)对于多项式中的两部分不是很明显的平方形式，应先变形为平方形式，再运用公式进行因式分解，以免出现16a2－9b2＝(16a＋9b)·(16a－9b)的错误．(3)还要注意不要出现分解后又乘开的现象．(4)因式分解应遵循：一提二公式．同时因式分解需彻底．二尝试用平方差公式进行简便运算教材作业题第3题变式题用简便方法计算：(1)3142－2142；(2)3.14×752－3.14×252.探究三平方差公式分解因式的应用教材补充题如图4－3－1所示，在半径为R的大圆内部挖去四个半径为r的小圆．(1)用含R，r的式子表示剩余部分的面积S；(2)当R＝35 cm，r＝12.5 cm时，应用分解因式的知识计算剩余部分的面积(结果保留π)．图4－3－1[反思] 判断下列分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．①4a2－1＝(4a－1)(4a＋1)；②(x－y)2－4x2＝x2－2xy＋y2－4x2＝－3x2－2xy＋y2.1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是( )A．－m4－n4B．－16x2＋y2C．1.21－a2D．9a2－64b22．将整式9－x2分解因式的结果是( )A．(3－x)2B．(3＋x)(3－x)C．(9－x)2D．(9＋x)(9－x)3．将多项式x3－xy2分解因式，结果正确的是( )A．x(x2－y2) B．x(x－y)2C．x(x＋y)2D．x(x＋y)(x－y)4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，则这个多项式是( )A．4a2－b2B．4a2＋b2C．－4a2－b2D．－4a2＋b25．观察下面4个分解因式的过程：(1)(x－3)2－y2＝x2－6x＋9－y2；(2)a2－4b2＝(a＋4b)(a－4b)；(3)4x6－1＝(2x3＋1)(2x3－1)；(4)m4n2－9＝(m2n＋3)(m2n－3)；(5)－a2－b2＝(－a＋b)(－a－b)．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．某同学粗心大意，在分解因式时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )A．8，1 B．16，2C．24，3 D．64，8二、填空题7．xx·嘉兴、舟山分解因式：a2－9＝__________．8．xx·长沙分解因式：x2y－4y＝________．9．xx·荆门分解因式：(m＋1)(m－9)＋8m＝________．10．xx·株洲因式分解：x2(x－2)－16(x－2)＝____________________．11．已知58－1能被20～30之间的两个整数整除，则这两个整数是________．三、解答题12．分解因式：(1)a3－16a；(2)16(a＋b)2－9(a－b)2；(3)m4(m－2)＋16(2－m)．13.用简便方法计算：(1)6.42－3.62；(2)1.42×16－2.22×4.14．设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．n(m>2n)的小正方形．(1)用含m，n的式子表示剩余部分的面积S；(2)当m＝13.2厘米，n＝3.4厘米时，利用分解因式计算剩余部分的面积．图4－3－2详解详析【预习效果检测】1．解：(1)x2－36＝x2－62＝(x＋6)(x－6)．(2)36－25y2＝62－(5y)2＝(6＋5y)(6－5y)．(3)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q)．【重难互动探究】例1[解析] 分解因式时，要先观察多项式，有公因式的要先提取公因式再考虑是否符合公式．解：(1)18a2－8b2＝2(9a2－4b2)＝2(3a＋2b)(3a－2b)．(2)a5－81ab4＝a(a4－81b4)＝a(a2＋9b2)(a2－9b2)＝a(a2＋9b2)(a＋3b)(a－3b)．例2解：(1)原式＝(314＋214)×(314－214)＝52800.(2)原式＝3.14×(752－252)＝3.14×(75＋25)×(75－25)＝15700.例3[解析] 剩余部分的面积为大圆面积减去四个小圆的面积．解：(1)剩余部分的面积为S＝πR2－4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r)．(2)当R＝35 cm，r＝12.5 cm时，S＝π(R＋2r)(R－2r)＝π(35＋2×12.5)×(35－2×12.5)＝π·60×10＝600π(cm2)．【课堂总结反思】[反思] 两个均不正确．改正：①4a2－1＝(2a)2－12＝(2a－1)(2a＋1)．②(x－y)2－4x2＝(x－y)2－(2x)2＝(x－y－2x)·(x－y＋2x)＝－(x＋y)(3x－y)．【作业高效训练】[课堂达标]1．A 2.B3．[解析] D x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x＋y)(x－y)．4．D 5.B 6.B7．[答案] (a＋3)(a－3)8．[答案] y(x＋2)(x－2)9．[答案] (m－3)(m＋3)10．[答案] (x－2)(x－4)(x＋4)11．[答案] 26，24[解析] 58－1＝(54＋1)(52＋1)(52－1)，因为52＋1＝26，52－1＝24，所以这两个数是26，24. 12．解：(1)原式＝a(a＋4)(a－4)．(2)原式＝(7a＋b)(a＋7b)．(3)原式＝m4(m－2)－16(m－2)＝(m－2)(m4－16)＝(m－2)(m2＋4)(m2－4)＝(m－2)(m2＋4)(m＋2)(m－2)＝(m－2)2(m＋2)(m2＋4)．13．[解析] 利用平方差公式简化计算过程．解：(1)6.42－3.62＝(6.4＋3.6)(6.4－3.6)＝10×2.8＝28.(2)1.42×16－2.22×4＝(1.4×4)2－(2.2×2)2＝5.62－4.42＝(5.6＋4.4)(5.6－4.4)＝10×1.2＝12.14．解：原式＝(2n＋1)2－52＝(2n＋1＋5)(2n＋1－5)＝(2n＋6)(2n－4)＝4(n＋3)(n－2)，即(2n＋1)2－25能被4整除．[数学活动][解析] 剩余部分的面积为大正方形的面积减去四个小正方形的面积．解：(1)S＝m2－4n2＝(m＋2n)(m－2n)．(2)当m＝13.2厘米，n＝3.4厘米时，S＝(m＋2n)(m－2n)＝(13.2＋3.4×2)(13.2－3.4×2)＝20×6.4＝128(厘米2)．所以剩余部分的面积为128平方厘米．。

七年级数学下册因式分解—平方差公式专项练习题

七年级数学下册因式分解—平方差公式专项练习题做基础一选择题1. 化简: (a+2b)(a-2b)正确的是( )A. a²-2b²B. -a²-2b²C. -a²-4b²D. a²-4b²2. 下列各式不能用平方差公式计算的是( )A. (x-y)(-x+y)B. (-x+y)(-x-y)C. (-x-y)(x-y)D. (x+y)(-x+y)3. 下列算式能用平方差公式计算的是( )A. (2a+b)(2b-a)B. (12x+1)(-12-1)C. (3x-y)(-3x+y)D. (-m-n)(-m+n) 4. 如果(2x-3y)(M)=4x²-9y², 则M 表示的式子为( )A. -2x+3yB. 2x-3yC. -2xy-3yD. 2x+3y5. 下列运算正确的是( )A. (5-m)(5+m)=m²-25B. (1-3m)(1+3m)=1-3m²C. (-4-3n)(-4+3n)=-9n²+16D. (2ab-n)(2ab+n)=4ab²-n²6. 下列各式中，运算结果是x²-16y²的是( )A. (-4y+x)(-4y-x)B. (-4y+x)(4y-x)C. (4y+x)(4y-x)D. (4y-x)(-4y-x)7. 为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，则改造后的长方形草坪的面积与原来的正方形草坪面积相比( )A. 增加6m²平方米B. 增加9m²平方米C. 减少9m²平方米D. 保持不变二填空8. 在运用平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²进行计算时，常需判断式子中哪部分相当于a, 哪部分相当于b, 请就下面的式子进行判断，然后写成计算结果⑴在(-x+1)(-x-1)中，相当于公式中a 的是_____，相当于公式中b 的是______，计算结果是___________ ⑵在(-xy+1)(xy+1)中，相当于公式中a 的是_____，相当于公式中b 的是_____，计算结果是___________9. 已知m+n=12, m-n=2, 则m²-n²=_________; 若m²-n²=6, m-n=3, 则m+n=_________10. (1+a)(1-a)+a(a-2)=______________; (a-b)(a+b)(a²+b²)=_______________11. 如图甲，从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形，如图乙⑴图甲中阴影部分的面积是________ ⑵图乙中拼成的平行四边形的底边长是______，对应的高是_______，四边形面积是__________(3)因为甲乙两个图形中阴影部分面积相等，可以发现等式_______________，这就是平方差公式。

初中数学沪科版七年级下册-8.3-完全平方公式与平方差公式-同步分层作业(含解析)

8.3 完全平方公式与平方差公式简记为：“首平方，尾平方，积的 2 倍放中间”两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式.公式特征：1. 积为二次三项式；2. 积中的两项为两数的平方；3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；4. 公式中的字母 a ，b 可以表示数、单项式和多项式.注意：1. 项数、符号、字母及其指数2. 不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号，变形成符合公式的形式才行。

3. 弄清完全平方公式和平方差公式的区别（公式结构特点及结果）常用结论：a 2 +b 2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab ，4ab = (a + b)2 - (a - b)2.平方差公式：(a + b)(a − b) = a 2 − b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用基础过关练一、单选题1．已知非负实数,,a b c 满足24,0a b a b c +=-+<，则下列结论一定正确的是（）A ．()2222a b a ab b +=++B C ．()()224a b a b ab -=+-D 二、填空题11．如图，用四个长为a ，宽为b 的长方形大理石板不重叠地拼成一个大正方形拼花图案，正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形，当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多6时，大正方形的面积+=12．已知x y13．化简：(x-14．定义：若三个正整数培优提升练三、解答题19．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题（1）已知7a b +=，12ab =，求22a b +的值；（2）已知()()202420222023x x --=，求()()2220242022x x -+-的值．拓展运用：如图3，点C 是线段AB 上一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形积分别是1S 和2S ．若AB m =，12S S S =+，则直接写出Rt ACF 的面积．（用(1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含方法一：；方法二：；(2)【得出结论】22(2)()23a b a b a ab b ++=++．(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为______；(2)已知等式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++，请你画出一个相应的几何图形加以解释．故选：C ．8．C【分析】根据积的乘方、合并同类项、平方差公式、单项式的除法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：A ．()326-=-b b ，故选项错误，不符合题意；B ．3332a a a +=，故选项错误，不符合题意；C ．()()22224x y x y x y +-=-，故选项正确，符合题意；D ．62422÷=a a a ，故选项错误，不符合题意．故选：C ．9．D【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m 的值．【详解】解：216x mx ++ 是完全平方式，8m ∴=±．故选：D ．10．D【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图中阴影部分的面积，再关键两幅图阴影部分面积相等即可得到答案．【详解】解：左边一幅图阴影部分面积为22a b -，右边一幅图阴影部分面积为()()a b a b +-，∵两幅图阴影部分面积相等，∴()()22a b a b a b -=+-，故选：D ．11．2【分析】本题考查用图象法验证完全平方公式，准确识图列出()22(4)a b b b a a +--=是解题关键．分别表示出每个长方形石板的面积和图中大、小正方形的面积，然后列出等量关系计算求解．【详解】解：每个长方形石板的面积为ab ，中间小正方形的边长为a b -，面积为2()a b -；大正方形的边长为a b +，面积为2()a b +，所以()22(4)a b b b a a +--=；当()()6460a b a b ab +--=⎧⎨=⎩时，解得53a b =⎧⎨=⎩，∴2a b -=，故答案为：2．12．22x y m n x y m n +=+⎧∴⎨-=-⎩或x y m n x y n m+=+⎧⎨-=-⎩解得x m y n =⎧⎨=⎩或x n y m=⎧⎨=⎩．故都有2006200620062006x y m n +=+．21．（1）2x xy +，6；（2）244 24m m -，．【分析】本题考查了整式乘法混合运算，求代数式的值．（1）分别用乘法公式及单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项，最后代值求解即可；（2）用平方差公式展开再合并同类项，由已知得26m m -=，然后整体代入求值即可．【详解】解：（1）2()()()()x y x x y x y x y +-++-+222222x xy y x xy x y =++--+-2x xy =+，当2x =-，1y =-时，原式2(2)(2)(1)6=-+-⨯-=；（2）2(2)(2)(4)m n m n n m +-+-22244m n n m=-+-244m m =-，由260m m --=，得26m m -=，原式24()4624m m =-=⨯=．22．(1)()24m n mn +-；()2m n -(2)()()224m n mn m n +-=-(3)6a b -=或6a b -=-．【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察．（1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即()24m n mn +-，图②中的阴影部分正方形的边长等于m n -，即面积为()2m n -；（2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系；（3）由（2）中的等量关系即可求解．【详解】（1）解：方法一：()24m n mn +-；方法二：()2m n -，故答案为：()24m n mn +-；()2m n -；（2）解：代数式()2m n +，()2m n -，mn 之间的等量关系为：。

2021-2022学年苏科版七年级数学下册《9-4乘法公式-平方差公式》同步练习题(附答案)

2021-2022学年苏科版七年级数学下册《9-4乘法公式-平方差公式》同步练习题（附答案）一．选择题1．运用乘法公式计算（4+x）（x﹣4）的结果是（）A．x2﹣16B．x2+16C．16﹣x2D．﹣x2﹣162．若（x+3）（x﹣3）＝55，则x的值为（）A．8B．﹣8C．±8D．6或83．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（）A．8B．3C．﹣3D．104．若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，则a+b的值为（）A．5B．2C．10D．无法计算5．下列算式中不能利用平方差公式计算的是（）A．（x+y）（x﹣y）B．（x﹣y）（﹣x﹣y）C．（x﹣y）（﹣x+y）D．（x+y）（y﹣x）6．下列运算正确的是（）A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n27．计算（x+1）（x﹣1）（x2+1）的结果是（）A．x2﹣1B．x3﹣1C．x4+1D．x4﹣18．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣abC．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）二．填空题9．计算：（2a﹣b）（2a+b）＝．10．计算：（a+1）（1﹣a）＝．11．计算（x+y）（x﹣y）+16＝．12．若x2﹣y2＝16，x+y＝8，则x﹣y＝．13．当a＝﹣1时，代数式（2a+1）（2a﹣1）＝．14．化简：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a﹣2）＝．三．解答题15．计算（2+y）（y﹣2）+（2y﹣4）（y+3）．16．计算：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）．17．计算：（3x+2）（3x﹣2）（9x2+4）．18．计算：（1）|﹣3|+（）2017×（﹣3）2018﹣（π﹣4）0；（2）（2x+3y）（2x﹣3y）﹣（x﹣2y）（4x+y）．19．已知a+b＝2，求代数式a2﹣b2+4b的值．20．如果﹣3x2+mx+nx2﹣x+3的值与x的取值无关，求（m+n）（m﹣n）的值．21．若（x﹣2）（x2+ax﹣8b）的展开式中不含x的二次项和一次项．（1）求b a的值；（2）求（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1）+1的值．22．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…（1）根据以上结果，写出下列各式的结果．①（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝；②（x﹣1）（x9+x8+x7+…+x+1）＝；③（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）＝（n为正整数）；（2）（x﹣1）•m＝x11﹣1．则m＝；（3）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．参考答案一．选择题1．解：（4+x）（x﹣4）＝（x+4）（x﹣4）＝x2﹣42＝x2﹣16，故选：A．2．解：（x+3）（x﹣3）＝55，x2﹣9＝55，x2＝64，x＝±8．故选：C．3．解：∵a+b＝﹣3，a﹣b＝1，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣3）×1＝﹣3．故选：C．4．解：∵a2﹣b2＝10，∴（a+b）（a﹣b）＝10，∵a﹣b＝2，∴a+b＝5．故选：A．5．解：A、原式＝x2﹣y2，不符合题意；B、原式＝y2﹣x2，不符合题意；C、原式＝﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2，符合题意；D、原式＝y2﹣x2，不符合题意．故选：C．6．解：A、（5﹣m）（5+m）＝25﹣m2，错误；B、（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣9m2，错误；C、（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16，正确；D、（2ab﹣n）（2ab+n）＝4a2b2﹣n2，错误；7．解：原式＝（x2﹣1）（x2+1）＝x4﹣1．故选：D．8．解：根据图1和图2可得阴影部分的面积为：a2﹣b2和（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．二．填空题9．解：（2a﹣b）（2a+b）＝4a2﹣b2．故答案为：4a2﹣b2．10．解：（a+1）（1﹣a）＝（1+a）（1﹣a）＝12﹣a2＝1﹣a2．故答案为：1﹣a2．11．解：（x+y）（x﹣y）+16＝x2﹣y2+16．故答案为：x2﹣y2+16．12．解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝16，x+y＝8，∴x﹣y＝16÷8＝2．故答案为：2．13．解：∵a＝﹣1，∴（2a+1）（2a﹣1）＝4a2﹣1＝4×（﹣1）2﹣1＝4﹣1＝3．故答案为：3．14．解：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a﹣2）＝（a+2）（a﹣2）（a2+4）（a4+16）＝（a2﹣4）（a2+4）（a4+16）＝（a4﹣16）（a4+16）＝a8﹣256．故答案为：a8﹣256．15．解：原式＝y2﹣4+2y2+6y﹣4y﹣12＝3y2+2y﹣16．16．解：原式＝9x2﹣4+x2﹣2x＝10x2﹣2x﹣4．17．解：（3x+2）（3x﹣2）（9x2+4）＝（9x2﹣4）（9x2+4）＝81x4﹣16．18．解：（1）|﹣3|+（）2017×（﹣3）2018﹣（π﹣4）0＝3+（）2017×32017×3﹣1＝3+×3﹣1＝3+12017×3﹣1＝3+3﹣1＝5；（2）（2x+3y）（2x﹣3y）﹣（x﹣2y）（4x+y）＝（2x）2﹣（3y）2﹣（4x2+xy﹣8xy﹣2y2）＝4x2﹣9y2﹣4x2﹣xy+8xy+2y2＝7xy﹣7y2．19．解：∵a+b＝2，∴a2﹣b2+4b＝（a+b）（a﹣b）+4b＝2（a﹣b）+4b ＝2a﹣2b+4b＝2a+2b＝2（a+b）＝4．20．解：﹣3x2+mx+nx2﹣x+3＝（﹣3+n）x2+（m﹣1）x+3，∵﹣3x2+mx+nx2﹣x+3的值与x的取值无关，∴﹣3+n＝0，m﹣1＝0，解得：n＝3，m＝1，故（m+n）（m﹣n）＝（1+3）×（1﹣3）＝4×（﹣2）＝﹣8．21．解：（1）（x﹣2）（x2+ax﹣8b）＝x2+ax2﹣8bx﹣2x2﹣2ax+16b＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a+8b）x+16b，∵展开式中不含x的二次项和一次项，∴，解得：，所以：；（2）当a＝2时，（a+1）（a2+1）（a4+1）⋅⋅⋅（a32+1）+1＝（2+1）（22+1）（24+1）⋅⋅⋅（232+1）+1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）⋅⋅⋅（232+1）+1＝264﹣1+1＝264．22．解：观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…得：①（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；②（x﹣1）（x9+x8+x7+…+x+1）＝x10﹣1；③（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）＝x n﹣1（n为正整数）；（2）∵（x﹣1）（x10+x9+x8+•+x+1）＝x11﹣1．∴m＝x10+x9+x8+•+x+1．故答案为：x10+x9+x8+•+x+1．（3）226+225+…+2+1＝（2﹣1）（226+225+…+2+1）＝227﹣1．。

第一章第6讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册

第06讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推导和应用；2.理解平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.知识点01平方差公式平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²公式的几种变化：①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²a b-③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=44④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²a b-⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=44⑥公式逆运算：a²-b²=(a+b)(a-b)知识点02完全平方公式完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.即完全平方和(a +b )²=a ²+2ab +b ²完全平方差(a -b )²=a ²-2ab +b ²（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍（2）公式的变化：①a ²+b ²=(a +b )²-2ab ；②a ²+b ²=(a -b )²+2ab ；③(a +b )²=(a -b )²+4ab ；④(a -b )²=(a +b )²-4ab ⑤(a +b )²-(a -b )²=4ab知识点03平方差和完全平方差区别平方差公式:(a +b )(a -b )=a ²-b ²完全平方差公式：(a -b )²=a ²-2ab +b ²平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍题型01判断是否可用平方差公式运算.【例题】下列各式中不能用平方差公式计算的是（）1．下列能使用平方差公式的是（）A ．()()33x x ++B ．()()x y x y -+-C ．()()55m n m n +--D ．()()33m n m n +-2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A ．()()22x y x y -+B ．()()x y x y -+-C ．()()b a b a -+D ．()()x y y x ---题型02运用平方差公式进行运算.【变式训练】题型03利用平方差公式进行简便运算.【例题】（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）用简便方法计算：(1)498502⨯(2)2202220232021-⨯【变式训练】题型04平方差公式与几何图形.【例题】（2023上·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．(1)图1中图形的面积为22a b -，图2中图形的面积为(2)由（1）可以得到等式：．(3)根据你得到的等式解决下列问题：①计算：2268.531.5-．②若42m n +=，求()()()222212121m m n n --+++-【变式训练】（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：______；【应用探究】（3）利用（2）中验证的公式简便计算：4995011⨯+；（4）计算：22222111111111123420232024⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）．A ．()2a ab a a b +=+B ．()()22a b a b a b -=-+C ．()2222a ab b a b -+=-(2)请应用上面的公式完成下列各题：①已知22424a b -=，26a b +=，则2a b -=______；②计算：222222229897.1.....43009921-+-++-+-；③计算：()()()()()2222222221212.....4321223n n n n n -+-+-+----+≥题型05运用完全平方公式进行运算【例题】（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算(1)2()x y z ++(2)()()2323x y x y -+-+【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()27x y +；(2)()245a b -+；(3)()22m n --；(4)()()2323x y x y +--．2．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()()22x y z x y z +--+；(2)()2523a b c +-；(3)()()532536a b c a b c +--+．题型06利用完全平方公式进行简便运算【变式训练】1．用简便算法计算(1)2201720162018-⨯(2)2220220219698⨯++题型07通过对完全平方公式变形求值【例题】（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）已知：3a b +=-，2ab =，求下列各式的值：(1)22a b +；(2)2()a b -．【变式训练】1．已知4m n -=-，2mn =，求下列代数式的值．(1)22m n +(2)()()11m n +-题型08求完全平方式中的字母系数题型09完全平方式在几何图形中的应用【例题】（2023上·江苏·九年级专题练习）我们已经学习了乘法公式()2222a b a ab b ±=±+的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式245x x ++的最小值．解答如下：解：()2224544121x x x x x ++=+++=++，()220x +≥，∴当2x =-时，()22x +的值最小，最小值是0，∴()2211x ++≥，∴当()220x +=时，()221x ++的值最小，最小值是1，∴245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题．(1)知识再现：当x =______时，代数式2415x x -+的最小值是______；(2)知识运用：若2615y x x =-+-，当x =______时，y 有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；(3)知识拓展：若25100x x y -+++=，求y x +的最小值．【变式训练】1．例：求代数式245x x +-的最小值.解： ()22245444529x x x x x +-=++--=+-，()220x +≥，∴()2299x +-≥-，∴当2x =-时，代数式245x x +-有最小值9-，(1)代数式241-+有最（填大或小）值，这个值x x(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为①用含x的式子表示花圃的面积；题型10完全平方公式在几何图形中的应用【例题】现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：【变式训练】2．如图①，正方形ABCD是由两个长为一、单选题A ．12B ．11C ．10D ．9二、填空题9．（2023上·黑龙江牡丹江·八年级统考阶段练习）设四个推断：①**a b b a =；②()222**a b a b =；③(-的序号是．10．（2023上·甘肃兰州·七年级兰州市第五十五中学校考开学考试）对于任意的代数式定一种新运算：a a c db b dc =-．根据这一规定，计算三、解答题11．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算：(1)()243x y -；(2)()()11x y x y +++-；(3)()()()22322x y x y x y +-+-；(4)()()325x y xy -⋅．12．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）利用乘法公式计算下列各题(1)()()22m n m n ---(2)()23x y -+(3)2210397+16．（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，图1为边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ，则1S =______，2S =______（请用含a ，b 的代数式表示，只需表示，不必化简）．(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是______(3)运用（2）中得到的公式，计算：()()()()24821212121+⨯+⨯+⨯+．17．（2023上·甘肃武威·八年级校考期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b 、宽为a 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：2()a b +，22a b +，ab 之间的等量关系；(2)若要拼出一个面积为()()2a b a b ++的矩形，则需要A 号卡片多少张，B 号卡片多少张，C 号卡片多少张．(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：5a b +=，2211a b +=，求ab 的值；②已知22(2021)(2023)20x x -+-=，求2022x -的值．18．（2023上·河南周口·八年级校考期中）若x 满足()()604020x x --=，求()()226040x x +--的值．解：设60x a -=，40x b -=，则20ab =，604020a b x x +=-+-=．∴()()226040x x +--22a b =+。

湘教版数学七年级下册_《平方差公式》拓展训练

《平方差公式》拓展训练一、选择题1．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2=a2+2ab+b22．下列各式：①（﹣a﹣2b）（a+2b）；②（a﹣2b）（﹣a+2b）；③（a﹣2b）（2b+a）；④（a﹣2b）（﹣a﹣2b），其中能用平方差公式计算的是（）A．①②B．①③C．②③D．③④3．若a2﹣b2=，a+b=，则a﹣b的值为（）A．﹣B．C．1D．24．下列各式计算正确的是（）A．（x+2）（x﹣5）=x2﹣2x﹣3B．（x+3）（x﹣）=x2+x﹣1C．（x﹣）（x+）=x2﹣x﹣D．（x﹣2）（﹣x﹣2）=x2﹣45．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）=a2﹣ab6．计算（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（）A．B．C．D．7．化简（a﹣1）（a+1）（a2+1）﹣（a4﹣1）的结果为（）A．0B．2C．﹣2D．2a48．若a2﹣4b2=12，a﹣2b=2，则a b的值为（）A．4B．﹣4C．﹣D．9．下列计算正确是（）A．（x+2）（2﹣x）=x2﹣4B．（2x+y2）（2x﹣y2）=4x2﹣y4C．（3x2+1）（3x2﹣1）=9x2﹣1D．（x+2）（x﹣3）=x2﹣610．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8=32﹣12，16=52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255054B．255064C．250554D．255024二、填空题11．计算：2008×2010﹣20092=．12．化简（2b+3a）（3a﹣2b）﹣（2b﹣3a）（2b+3a），当a=﹣1，b=2时，原式的值是．13．已知a为实数，若有整数b，m，满足（a+b）（a﹣b）=m2，则称a是b，m 的弦数．若a＜15且a为整数，请写出一组a，b，m，使得a是b，m的弦数：．14．阅读材料后解决问题：计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据以上解决问题的方法，试着解决：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=15．先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．请借鉴小黄的方法计算：（1+）××××××，结果是．三、解答题16．阅读下文件，寻找规律：已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）=1﹣x5…（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=．（2）根据你的猜想计算：①1+2+22+23+24+...+22018②214+215+ (2100)17．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+118．（1）计算并观察下列各式：第1个：（a﹣b）（a+b）=；第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）=；第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=；……这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n ﹣2+b n﹣1）=；（3）利用（2）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1=．（4）拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=．19．乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：公式2：（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．20．请先观察下列算式，再填空：32﹣12=8×1，52﹣32=8×2．①72﹣52=8×；②92﹣（）2=8×4；③（）2﹣92=8×5；④132﹣（）2=8×；…（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？《平方差公式》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2=a2+2ab+b2【分析】边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积=a2﹣b2，新的图形面积等于（a+b）（a﹣b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：B．【点评】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．2．下列各式：①（﹣a﹣2b）（a+2b）；②（a﹣2b）（﹣a+2b）；③（a﹣2b）（2b+a）；④（a﹣2b）（﹣a﹣2b），其中能用平方差公式计算的是（）A．①②B．①③C．②③D．③④【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【解答】解：①（﹣a﹣2b）（a+2b）=﹣（a+2b）2=﹣a2﹣4ab﹣4b2；②（a﹣2b）（﹣a+2b）=﹣（a﹣2b）2=﹣a2+4ab﹣4b2；③（a﹣2b）（2b+a）=a2﹣4b2；④（a﹣2b）（﹣a﹣2b）=4b2﹣a2，故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．3．若a2﹣b2=，a+b=，则a﹣b的值为（）A．﹣B．C．1D．2【分析】根据a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a+b=即可求得a﹣b的值．【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a+b=，∴a﹣b=÷=，故选：B．【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的结构特点．4．下列各式计算正确的是（）A．（x+2）（x﹣5）=x2﹣2x﹣3B．（x+3）（x﹣）=x2+x﹣1C．（x﹣）（x+）=x2﹣x﹣D．（x﹣2）（﹣x﹣2）=x2﹣4【分析】利用多项式乘多项式法则，以及平方差公式判断即可．【解答】解：A、原式=x2﹣3x﹣10，不符合题意；B、原式=x2+x﹣1，不符合题意；C、原式=x2﹣x﹣，符合题意；D、原式=4﹣x2，不符合题意，故选：C．【点评】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．5．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）=a2﹣ab【分析】分别计算出两个图形中阴影部分的面积即可．【解答】解：图1阴影部分面积：a2﹣b2，图2阴影部分面积：（a+b）（a﹣b），由此验证了等式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故选：A．【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．6．计算（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（）A．B．C．D．【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而计算得出答案．【解答】解：原式（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）=××××××…××=．故选：C．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确应用公式是解题关键．7．化简（a﹣1）（a+1）（a2+1）﹣（a4﹣1）的结果为（）A．0B．2C．﹣2D．2a4【分析】先把前面两项利用平方差公式计算得原式=（a2﹣1）（a2+1）﹣a4+1，然后再利用平方差公式展开，最后合并即可．【解答】解：原式=（a2﹣1）（a2+1）﹣a4+1=a4﹣1﹣a4+1=0．【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．8．若a2﹣4b2=12，a﹣2b=2，则a b的值为（）A．4B．﹣4C．﹣D．【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出所求的值．【解答】解：∵a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）=12，a﹣2b=2①，∴a+2b=6②，联立①②，解得：a=4，b=1，则原式=4，故选：A．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．9．下列计算正确是（）A．（x+2）（2﹣x）=x2﹣4B．（2x+y2）（2x﹣y2）=4x2﹣y4C．（3x2+1）（3x2﹣1）=9x2﹣1D．（x+2）（x﹣3）=x2﹣6【分析】根据平方差公式和多项式乘以多项式法则求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、结果是4﹣x2，故本选项不符合题意；B、结果是4x2﹣y4，故本选项符合题意；C、结果是9x4﹣1，故本选项不符合题意；D、结果是x2﹣x﹣6，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了平方差公式和多项式乘以多项式法则，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．10．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8=32﹣12，16=52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255054B．255064C．250554D．255024【分析】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n≤2017，解得n≤252，可得在不超过2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解．【解答】解：由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n≤2017，解得n≤252，则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+ (5052)5032=5052﹣12=255024．故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．二、填空题11．计算：2008×2010﹣20092=﹣1．【分析】先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出即可．【解答】解：原式=（2009﹣1）×（2009+1）﹣20092=20092﹣1﹣20092=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平方差公式，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键．12．化简（2b+3a）（3a﹣2b）﹣（2b﹣3a）（2b+3a），当a=﹣1，b=2时，原式的值是﹣14．【分析】先利用平方差公式化简计算，合并同类项后再代入数据计算即可．【解答】解：（2b+3a）（3a﹣2b）﹣（2b﹣3a）（2b+3a），=（3a）2﹣（2b）2﹣（2b）2+（3a）2，=2×9a2﹣2×4b2，=18a2﹣8b2．当a=﹣1，b=2时，原式=18×（﹣1）2﹣8×22=﹣14．【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键，计算时，要注意符号的处理．13．已知a为实数，若有整数b，m，满足（a+b）（a﹣b）=m2，则称a是b，m 的弦数．若a＜15且a为整数，请写出一组a，b，m，使得a是b，m的弦数：5，4，3．【分析】根据题中弦数的定义判断即可．【解答】解：∵（5+4）×（5﹣4）=9×1=32，∴5是4，3的弦数，故答案为：5，4，3【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中的新定义是解本题的关键．14．阅读材料后解决问题：计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据以上解决问题的方法，试着解决：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=．故答案为：．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．15．先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．请借鉴小黄的方法计算：（1+）××××××，结果是2﹣．【分析】在前面乘一个2×（1﹣），然后再连续利用平方差公式进行计算即可．【解答】解：原式=2×（1﹣）×（1+）××××××=2×（1﹣）××××××=2×（1﹣）×××××…=2×（1﹣）×（1+）=2×（1﹣）=2﹣故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了平方差公式的运用，正确应用公式是解题关键．对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．三、解答题16．阅读下文件，寻找规律：已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）=1﹣x5…（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=．1﹣x n+1（2）根据你的猜想计算：①1+2+22+23+24+...+22018②214+215+ (2100)【分析】（1）依据变化规律，即可得到（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=1﹣x n+1．（2）①依据（1）中的规律，即可得到1+2+22+23+24+…+22018的值；②将214+215+…+2100写成（1+2+22+23+24+…+2100）﹣（1+2+22+23+24+…+213），即可运用①中的方法得到结果．【解答】解：（1）由题可得，（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=1﹣x n+1．故答案为：1﹣x n+1；（2）①1+2+22+23+24+ (22018)=﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+ (22018)=﹣（1﹣22019）=22019﹣1；②214+215+…+2100=（1+2+22+23+24+...+2100）﹣（1+2+22+23+24+ (213)=﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+...+2100）+（1﹣2）（1+2+22+23+24+ (213)=﹣（1﹣2101）+（1﹣214）=2101﹣214．【点评】此题考查了平方差公式，认真观察、仔细思考，善用联想，弄清题中的规律是解决这类问题的方法．17．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；（2）根据面积相等可得（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．【解答】解：（1）∵图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，∴S1=a2﹣b2，S2=（a+b）（a﹣b）；（2）依据阴影部分的面积相等，可得（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（3）原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1=（28﹣1）（28+1）+1=（216﹣1）+1=216．【点评】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．18．（1）计算并观察下列各式：第1个：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；……这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n﹣2+b n﹣1）=a n﹣b n；（3）利用（2）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1=2n﹣1．（4）拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=．【分析】（1）根据多项式乘多项式的乘法计算可得；（2）利用（1）中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差；（3）将原式变形为2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1═（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1），再利用所得规律计算可得；（4）将原式变形为3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=×（3﹣1）（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1），再利用所得规律计算可得．【解答】解：（1）第1个：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；故答案为：a2﹣b2、a3﹣b3、a4﹣b4；（2）若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n﹣2+b n ﹣1）=a n﹣b n，故答案为：a n﹣b n；（3）2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1==（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1）=2n﹣1n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1．（4）3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=×（3﹣1）（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1）=×（3n﹣1n）=，故答案为：．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，观察等式发现规律是解题关键．19．乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是a+b，宽是a﹣b，面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；反过来也成立；（4）把10.3×9.7写成（10+0.3）（10﹣0.3），利用公式求解即可．【解答】解：（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；故答案为：a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）、（2）得到，公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（4）10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=102﹣0.32=100﹣0.09=99.91．【点评】本题考查了平方差公式的几何表示，利用不同的方法表示图形的面积是解题的关键．20．请先观察下列算式，再填空：32﹣12=8×1，52﹣32=8×2．①72﹣52=8×3；②92﹣（7）2=8×4；③（11）2﹣92=8×5；④132﹣（11）2=8×6；…（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？【分析】（1）从上式中可以发现等式左边：两数的平方差，前一个数比后一个数大2；等式右边：前一个因数是8，后一个是等式左边两数的和除4，所以可写成：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n；（2）运用平方差公式计算此式，证明它成立．【解答】解：①3；②7；③11；④11，6．（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n；（2）原式可变为（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）=8n．【点评】（1）题的关键是找出各数之间的关系．（2）题的关键是利用平方差公式计算此式，证明它成立．。

湘教版数学七年级下册_《平方差公式》提高训练

《平方差公式》提高训练一、选择题1．如图，从边长为（a+2）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的小正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的周长为（）A．（4a+4）cm B．（4a+6）cm C．（4a+8）cm D．（8a+4）cm 2．若（2﹣x）（2+x）（4+x2）=16﹣x n，则n的值等于（）A．6B．4C．3D．23．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1的值是（）A．1024B．28+1C．216+1D．2164．若（x+1）（x﹣1）（x2+1）（x4+1）=x n﹣1，则n等于（）A．16B．8C．6D．45．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a+b）=a2+abC．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2二、填空题6．计算：（3a﹣b）（﹣3a﹣b）=．7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式．8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是．9．已知2a+b=2，2a﹣b=﹣4，则4a2﹣b2=．10．已知m+n=2019，m﹣n=，则m2﹣n2的值为．三、解答题11．计算：（a+1）（a﹣1）（a2﹣2）12．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个小长方形．拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新长方形．（1）用含m和n的代数式表示拼成的新长方形的周长；（2）根据两个图形的面积关系，得到一个数学公式，请你写出这个数学公式．13．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1；……（1）猜想（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=．运用上述规律，试求：（2）219+218+217+…+23+22+2+1．（3）52018+52017+52016+…+53+52+5+1．14．计算：（1）12502﹣1248×1252（用公式计算）（2）（﹣1）8×（0.2）5×（0.6）6×（﹣5）4 15．观察后填空①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（1）填空：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=．（2）请利用上面的结论计算①（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1②若x3+x2+x+1=0，求x2016的值．《平方差公式》提高训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，从边长为（a+2）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的小正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的周长为（）A．（4a+4）cm B．（4a+6）cm C．（4a+8）cm D．（8a+4）cm 【分析】先根据图形求出长方形的长和宽，再求出周长即可．【解答】解：长方形的宽为（a+2）﹣（a﹣1）=3cm，长为（a+2）+（a﹣1）=（2a+1）cm，所以长方形的周长为2（2a+1+3）=（4a+8）cm．故选：C．【点评】本题考查了平方差公式的应用，能正确根据图形表示出采访中的长和宽是解此题的关键．2．若（2﹣x）（2+x）（4+x2）=16﹣x n，则n的值等于（）A．6B．4C．3D．2【分析】把等号左边利用平方差公式进行计算，再根据x的指数相等求解．【解答】解：（2﹣x）（2+x）（4+x2）=（4﹣x2）（4+x2）=16﹣x4，∵（2﹣x）（2+x）（4+x2）=16﹣x n，∴16﹣x4=16﹣x n，则n=4，故选：B．【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．3．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1的值是（）A．1024B．28+1C．216+1D．216【分析】原式前面配上（2﹣1）这个因数，再依次利用平方差公式计算可得．【解答】解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1=（28﹣1）（28+1）+1=216﹣1+1=216，故选：D．【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．4．若（x+1）（x﹣1）（x2+1）（x4+1）=x n﹣1，则n等于（）A．16B．8C．6D．4【分析】根据平方差公式计算（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，（x2﹣1）（x2+1）=x4﹣1，（x4﹣1）（x4+1）=x8﹣1，即可得到答案．【解答】解：（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，（x2﹣1）（x2+1）=x4﹣1，（x4﹣1）（x4+1）=x8﹣1=x n﹣1，即n=8，故选：B．【点评】本题考查平方差公式，正确掌握平方差公式是解题的关键．5．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a+b）=a2+abC．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2【分析】根据面积相等，列出关系式即可．【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选：D．【点评】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，能根据根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键．二、填空题6．计算：（3a﹣b）（﹣3a﹣b）=﹣9a2+b2．【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．依此即可求解．【解答】解：（3a﹣b）（﹣3a﹣b）=﹣9a2+b2．故答案为：﹣9a2+b2．【点评】考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是解决问题的关键．8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是2693．【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），因为m，n是正整数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．【解答】解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）2﹣k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2﹣（k﹣1）2（k=2，3，…）．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），其中x，y为正整数，当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x﹣y）被4整除，而4k+2不被4整除；当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x﹣y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x，y使得x2﹣y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．因为2017=（1+3×672），4×（672+1）=2692，所以2693是第2018个“智慧数”，故答案为：2693．【点评】本题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．9．已知2a+b=2，2a﹣b=﹣4，则4a2﹣b2=﹣8．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：当2a+b=2，2a﹣b=﹣4时，原式=（2a+b）（2a﹣b）=﹣8故答案为：﹣8【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．10．已知m+n=2019，m﹣n=，则m2﹣n2的值为2018．【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：∵m+n=2019，m﹣n=，∴m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=2019×=2018．故答案为：2018．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．三、解答题11．计算：（a+1）（a﹣1）（a2﹣2）【分析】直接利用平方差公式以及多项式乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式=（a2﹣1）（a2﹣2）=a4﹣a2﹣2a2+2=a4﹣3a2+2．【点评】此题主要考查了整式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．12．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个小长方形．拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新长方形．（1）用含m和n的代数式表示拼成的新长方形的周长；（2）根据两个图形的面积关系，得到一个数学公式，请你写出这个数学公式．【分析】（1）根据题意和矩形的性质列出代数式解答即可．（2）根据阴影部分的面积相等，即可得到平方差公式．【解答】解：（1）新长方形的周长=2[（m+n）+（m﹣n）]=4m．（2）由题意：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）．【点评】本题考查平方差公式、长方形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法解决实际问题．13．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1；……（1）猜想（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=x n+1﹣1．运用上述规律，试求：（2）219+218+217+…+23+22+2+1．（3）52018+52017+52016+…+53+52+5+1．【分析】（1）根据已知算式得出的规律求出即可；（2）先变形，再根据已知算式得出的规律求出即可；（3）先变形，再根据已知算式得出的规律求出即可．【解答】解：（1）（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=x n+1﹣1，故答案为：x n+1﹣1；（2）219+218+217+…+23+22+2+1=（2﹣1）×（219+218+217+…+23+22+2+1）=220﹣1；（3）52018+52017+52016+…+53+52+5+1=（5﹣1）×（52018+52017+52016+…+53+52+5+1）×=（52019﹣1）．【点评】本题考查了平方差公式、数字的变化类、多项式乘以多项式等知识点，能灵活运用规律进行计算是解此题的关键．14．计算：（1）12502﹣1248×1252（用公式计算）（2）（﹣1）8×（0.2）5×（0.6）6×（﹣5）4【分析】（1）先利用平方差公式的计算1248×1252，再计算即可；（2）根据积的乘方的逆用，直接计算即可．【解答】解：（1）12502﹣1248×1252=12502﹣（1250﹣2）×（1250+2）=12502﹣（12502﹣22）=12502﹣12502+22=4；（2）（）8×（0.2）5×（0.6）6×（﹣5）4=（）8×（）5×（）6×54=（）2×=．【点评】本题主要考查平方差公式及积的乘方，解决此类计算题熟记公式是关键．15．观察后填空①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（1）填空：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100﹣1．（2）请利用上面的结论计算①（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1②若x3+x2+x+1=0，求x2016的值．【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案．（2）①根据（x﹣1）（x50+x49+……+x+1）=x51﹣1，令x=﹣2代入即可求出答案．②根据条件可求出x4=1，从而可求出答案．【解答】解：（1）由题意给出的规律可知：x100﹣1（2）①由给出的规律可知：（x﹣1）（x50+x49+……+x+1）=x51﹣1∴令x=﹣2，∴（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1=，②∵x3+x2+x+1=0，∴（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1=0，∴x4=1，∴x2016=（x4）504=1【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是根据题意找出规律，本题属于中等题型．。

9.4 平方差公式苏科版七年级数学下册精讲精练基础篇(含答案)

专题9.11 平方差公式（基础篇）（专项练习）一、单选题1．计算的结果是（）A．B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．下列能使用平方差公式的是（）A．B．C．D．4．若，则等于（）A．B．C．D．5．如果，那么代数式的值为（）A．6B．5C．2D．6．已知，，则mn的值为（）A．10B．﹣6C．﹣2D．27．对于任何整数m，多项式都能被（）整除．A．8B．m C．D．8．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如8=32-12，16=52-32，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（）A．20B．22C．30D．329．如图①，阴影部分是边长为的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形．若将阴影部分通过割、拼，形成新的图形②．则下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（）A．B．C．D．10．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是（）A．B．C．D．二、填空题11．计算：________．12．若，，则______．13．已知，则的值是______．14．已知，则代数式的值为___________．15．若，则m的值为______________．16．从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉栽种．过了一年，他对张老汉说：“我把你这块地的一边减少3米，另一边增加3米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何?”张老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道张老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下张老汉租用的土地面积比之前少了___________平方米．17．若对于任意正整数x均满足y＝1．则当x分别取2，3，…，2021时，所对应y值的乘积是_____．18．如图，图为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形．（1）以上两个图形反映了等式：______；（2）运用（1）中的等式，计算______．三、解答题19．计算：（1）（x+2y）（2x﹣y）（2）（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）20．简便计算：(1) ；(2) ．21．先化简，再求值：，其中，．22．已知，求代数式的值．23．观察下列各式：；；；；……（1）用你发现的规律填空：______×______，______×______；（2）计算：．24．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是________（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是_______，长是________，面积是___________（写成多项式乘法的形式）；（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式__________（用式子表达）；（4）运用你所得到的公式，计算下题：参考答案1．A【分析】根据平方差公式进行计算即可．解：，故A正确．故选：A．【点拨】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．2．D【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则，平方差公式逐项计算，即可判断．解：和不是同类项，不能合并，故A计算错误，不符合题意；，故B计算错误，不符合题意；，故C计算错误，不符合题意；，故D计算正确，符合题意．故选D．【点拨】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，平方差公式．熟练掌握各运算法则是解题关键．3．D【分析】根据能用平方差公式计算的式子特点：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数进行分析即可．解：A、不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；B、不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；C、不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；D、能用平方差公式计算，故此选项符合题意；故选：D．【点拨】此题主要考查了平方差公式，关键是掌握能用平方差公式计算的式子特点．4．B【分析】根据平方差公式以及积的乘方与幂的乘方解决此题．解：．∵，∴．∴．∴．故选：B．【点拨】本题主要考查平方差公式、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握平方差公式、积的乘方与幂的乘方是解决本题的关键．5．A【分析】先将所求式子去括号、合并同类项，将变成，再整体代入计算即可求解．解：，∵，∴，∴原式=2+4=6，故选：A．【点拨】本题考查整式的混合运算－化简求值，解题的关键是把所求式子化简，变形后整体代入．6．C【分析】根据题意通过平方差公式进行化简，即可得到mn的值．解：∵，，∴两式相减得：=10-2，∴(m-n+m+n)( m-n-m-n)=8，∴2m(-2n)=8，∴mn=-2，故选：C．【点拨】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的相关计算方法是解决本题的关键．7．A【分析】直接套用平方差公式，整理即可判断．解：因为所以原式能被8整除．故选A．【点拨】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．8．D【分析】根据“创新数”的定义，利用平方差公式逐一判断即可．解：设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n·2＝8n，∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．∵20、22、30都不是8的倍数，∴它们不是“创新数”，∵32是8的倍数，∴32是“创新数”，且32＝92﹣72，故选：D．【点拨】本题考查平方差公式，理清“创新数”的定义是解答本题的关键．9．D【分析】用代数式分别表示图1、图2阴影部分的面积即可．解：图1中，阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即，拼成的图2，是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，故选：D．【点拨】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示阴影部分的面积是正确解答的关键．10．B【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．解：拼成的长方形的面积，，，∵拼成的长方形一边长为，∴另一边长是．故选：B．【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，表示出剩余部分的面积是解题的关键．11．-9【分析】利用平方差公式即可求解．解：【点拨】本题考查了平方差公式，掌握是解题关键．12．2022【分析】根据平方差公式，即可求解．解：∵，，∴．故答案为：2022【点拨】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．13．4【分析】根据，对化简，再把代入，即可．解：∵∴．故答案为：．【点拨】本题考查平方差的知识，解题的关键是掌握平方差公式：．14．【分析】根据平方差公式，单项式乘以多项式计算方法展开，合并同类项后把已知式子的值代入即可求解．解：，∵，∴原式；故答案为：．【点拨】本题主要考查整式的混合运算，已知代数式的值求整式的值，掌握整式的混合原式是解题的关键．15．±6【分析】先利用平方差公式计算右边，再由相应字母的系数相同求解即可．解：右边(x+my)(x-my)==，∴，∴m=±6，故答案为：±6．【点拨】题目主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题关键．16．9【分析】由题意可知道原来正方形土地的面积是平方米，而现在这块地的一边减少3米，另一边增加3米后的面积是平方米，然后用减去算出答案即可．解：原来正方形土地的边长为x米，面积是平方米，现在这块地的一边减少3米，另一边增加3米后的面积是平方米，平方米，张老汉租用的土地面积比之前少了9平方米，故答案为：9．【点拨】本题考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，然后熟练的运用平方差公式进行计算．17．【分析】分别将x=2，3，…，2021代入，利用平方差公式因式分解得：解：当x＝2时，y＝1（1）（1），当x＝3时，y＝1（1）（1），当x＝4时，y＝1（1）（1），当x＝2021时，y＝1（1）（1），∴．故答案为：．【点拨】本题考查了代入求值和平方差公式的运用，数字类规律问题，正确代入并利用平方差公式得到规律是本题的关键．18． 1【分析】根据图和图中阴影部分的面积相等列式进行计算即可得出答案；原式可化为，再根据中的结论进行计算即可得出答案．解：根据题意可得，图中阴影部分的面积为：，图中长方形的长为，宽为，面积为：，则两个图形阴影部分面积相等，；故答案为：；（2）．故答案为：．【点拨】本题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式的几何背景问题的解决方法进行求解是解决本题的关键．19．（1）；（2）【分析】（1）根据整式的乘法运算法则即可求解；（2）根据平方差公式即可求解．解：（1）（x+2y）（2x﹣y）＝2x2-xy+4xy﹣2y2=2x2+3xy﹣2y2；（2）（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）＝（﹣3b）2﹣（2a）2＝9b2﹣4a2．【点拨】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知平方差公式．20．(1)150(2)【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可；（2）根据平方差公式进行计算即可．（1）解：；（2）解：．【点拨】本题主要考查了利用平方差公式进行计算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．21．4a2-4ab+b2，49．【分析】先提公因式，再利用平方差公式化简，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．解：（a+b）•（2a-b）+（2a-b）（a-2b）=（2a-b）（a+b+a-2b）=（2a-b）（2a-b）=4a2-4ab+b2，当a=-2，b=3时，原式=4×（-2）2-4×（-2）×3+32=4×4+24+9=16+24+9=49．【点拨】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．22．9．【分析】原式利用单项式乘多项式以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式整理后代入计算即可求出值．解：，∵，∴，∴原式=3×3=9．【点拨】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．（1），，，；（2）【分析】（1）利用平方差公式把原式转化为两个分数的乘积的形式；（2）利用（1）的方法得到原式=，然后约分即可．解：（1）；，故答案为：，，，；（2）===【点拨】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a-b）=a2-b2．也考查了实数的运算．24．（1）；（2），，；（3）；（4）9991．【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；（3）建立等式就可得出；（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积；故答案为：；（2）由图可知矩形的宽是，长是，所以面积是；故答案为：，，；（3）（等式两边交换位置也可）；故答案为：；（4）原式；【点拨】此题主要考查了平方差公式，熟悉相关性质是解题的关键．。

北师版七年级数学下册优秀作业课件(BS) 第一章整式的乘除平方差公式第1课时平方差公式的认识

6．(4 分)计算(3a－12 )(9a2＋14 )(3a＋12 )的结果是( B )
A．81a4＋116
B．81a4－116
C．81a4－92 a2＋116
D．81分)运用平方差公式计算： (1)(14 a－1)(14 a＋1)；解：原式＝116 a2－1 (2)(－3a－12 b)(3a－12 b)；解：原式＝14 b2－9a2 (3)(－3x2＋y2)(y2＋3x2)；
【素养提升】 15．(13分)(内江中考)(1)填空： (a－b)(a＋b)＝_a_2－__b_2_； (a－b)(a2＋ab＋b2)＝_a_3_－__b_3； (a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝_a_4－__b__4 ； (2)猜想： (a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝_a_n－___b_n ；(其中n为正整数，且n≥2) (3)利用(2)猜想的结论计算： 29＋28＋27＋…＋23＋22＋2＋1. 解：(3)原式＝(2－1)(29＋28＋27＋26＋25＋24＋23＋22＋2＋1)＝210－110＝1 023
二、填空题(每小题5分，共15分)
10．(1)(m＋n)(_－__m__＋__n)＝n2－m2； (2)(－xy－1)(_－__x_y_＋__1_)＝x2y2－1.
11．已知2x＋y＝3，2x－y＝－4，则4x2－y2＝_－__1_2_． 12．补全运算式子： (1)(m2 _－__n2__)(__m_2__＋n2 )＝m42 －n42 ； (2)(5a_＋__3_b_)(__5_a_－3b)＝25a2－9b2.
3．(4分)(宜阳期末)计算(x＋2y)(x－2y)的结果是( D ) A．x2－2y2 B．x2＋2y2 C．x2＋4y2 D．x2－4y2 4．(4分)与3x－y2相乘的积等于y4－9x2的多项式为(C ) A．3x－y2 B．3x＋y2 C．－3x－y2 D．y2－3x

专题2.11 平方差公式(知识讲解)-2020-2021学年七年级数学下册基础知识专项讲练(湘教版)

专题2.11 平方差公式（知识讲解）【学习目标】1. 掌握平方差公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如【典型例题】类型一、运用平方差公式进行计算1、（2020·南阳市第三中学八年级月考）先化简再求值：26(21)(32)(2)(2)x x x x x ---+-+，其中x=-2【答案】276x x +-，－16【分析】根据多项式乘法的计算法则和平方差公式化简原式后再把x 的值代入计算即可．解：原式22226672476x x x x x x =-+-+-=+-∴当2x =-时，原式=()()22726414616-+⨯--=--=-．【点拨】本题考查整式的化简求值，根据多项式乘法的计算法则和平方差公式对原式进行化22()()a b a b a b +-=-b a ,()()a b b a +-+(35)(35)x y x y +-3232()()m n m n +-()()a b a b ---()()m n p m n p ++-+2244()()()()a b a b a b a b -+++简是解题关键．举一反三：【变式1】（2021·全国七年级）已知2540x x --=，求代数式(2)(2)(21)(2)x x x x +----的值．【答案】－10【分析】先算乘法，再合并同类项，最后整体代入求出即可．解： (2)(2)(21)(2)x x x x +----＝224(252)x x x ---+＝224252x x x --+-＝256x x -+-．∴ 2540x x --=，∴ 254x x -=．∴ 原式＝2(5)64610x x ---=--=-．【点拨】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，用了整体代入思想，难度适中．【变式2】（2020·山东枣庄市·七年级期末）通过学习，我们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷，相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195205⨯．解：195205⨯()()20052005=-+①222005=-②39975=（1）例题求解过程中，第②步变形是利用（填乘法公式的名称）；（2）用简便方法计算：911101⨯⨯．【答案】（1）平方差公式；（2）9999【分析】（1）利用平方差公式的特征进行判断；（2）把9×11×101化为（100-1）（100+1），然后利用平方差公式计算．解：（1）由题意可得：第②步变形是利用平方差公式，故答案为：平方差公式；（2）9×11×101=99×101=（100-1）（100+1）=10000-1=9999．【点拨】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．2（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）2483221212121 【答案】64213- 【分析】原式看成分子为1的分数，分子和分母同时乘以221，再利用平方差公式依次计算即可．解：原式2248322212121212121 448322212121212164213-= 【点拨】本题考查利用平方差公式计算．能将原式变形，凑成平方差公式是解题关键．举一反三：【变式】（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）224488a b ab a b a b a b【答案】1616a b 【分析】利用平方差公式计算即可．解：原式＝22224488(-)()()()a b a b a b a b +++＝444488(-)()()a b a b a b ++＝8888(-)()a b a b +＝1616-a b ．【点拨】本题考查平方差公式，熟悉平方差公式的形式是关键．类型二、运用平方差公式解决面积问题3（2020·岳阳市第十中学七年级期中）从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2)． ()1上述操作能验证的等式是；(请选择正确的一个）A ．2222a ab b a b B ．()2b ab b a b +=+ C ．()()22a b a b a b -=+- D ．()2a ab a a b +=+()2应用你从()1选出的等式，完成下列各题：∴已知2241224x y x y -=+=，，求x 的值．∴计算：22222111111111123420152016⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）C ；（2）∴x=72；∴20174032【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；（2）∴把x 2﹣4y 2利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把x+2y=4代入即可求出x －2y ，然后联立方程组即可求出x 的值；∴利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解．解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a 2﹣b 2，第二个图形的面积是（a+b ）（a ﹣b ），则a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）．故选C ；（2）∴∴x 2﹣4y 2=（x+2y ）（x ﹣2y ），∴12=4（x ﹣2y ）得：x ﹣2y=3联立2423x y x y +=⎧⎨-=⎩①②∴＋∴，得2x=7 解得：x=72； ∴22222111111111123420152016⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=（1﹣12）（1+12）（1﹣13）（1+13）（1﹣14）（1+14）…（1﹣12015）（1+12015）（1﹣12016）（1+12016） 13243520142016201520172233442015201520162016=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯⨯⨯ =12×20172016 =20174032．【点评】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．举一反三：【变式1】（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）（1）∴如图1，从动长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，设图1中的阴影部分面积为s ，则s =______（用含a ，b 代数式表示）∴若把图1中的图形，沿着线段AB 剪开（如图2），把剪成的两张纸片拼成如图3的长方形，请写出上述过程你所发现的乘法公式．（2）下列纸片中有两张是边长为a的正方形，三张是长为a，宽为b的长方形纸片，一张是边长为b的正方形纸片，你能否将这些纸片拼成一个长方形，请你画出草图，并写出相应的等式．【答案】（1）∴a2-b2；∴a2-b2=(a+b)(a-b)；（2）能，图见解析，(b+2a)(a+b)=b2+3ab+2a2【分析】（1）∴利用正方形的面积公式，阴影部分的面积=大正方形的面积-空白部分小正方形的面积；∴利用长方形的面积公式得图3的面积，与∴中的阴影面积建立等式即可；（2）拼成长方形的长为b+2a，宽为a+b，计算长方形的面积即可得到结论．解：（1）∴阴影部分的面积s=a2-b2，故答案为：a2-b2；∴∴图3中s=(a+b)(a-b)，∴a2-b2=(a+b)(a-b)；（2）拼接的长方形如图所示，长为(b+2a)，宽为a+b，面积为b2+3ab+2a2，所以，得到的等式为(b+2a)(a+b)=b2+3ab+2a2．【点拨】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示面积是解题的关键．【变式2】（2020·福建莆田市·七年级期中）在边长为a 的正方形的一角减去一个边长为b 的小正方形（a b >），如图∴（1）由图∴得阴影部分的面积为_______________；（2）沿图∴中的虚线剪开拼成图∴，则图∴中阴影部分的面积为_________________；（3）由（1）（2）的结果得出结论：______________=_________________；（4）利用（3）中得出的结论计算：2220202019-【答案】（1）22a b -；（2）()()a b a b +-；（3）22a b -，()()a b a b +-；（4）4039【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到结论；（2）根据梯形的面积公式即可得到结论；（3）由（1）（2）的结论即可得到结果；（4）根据平方差公式计算即可．解：（1）由图∴得阴影部分的面积为22a b -；故答案为：22a b -；（2）沿图∴中的虚线剪开拼成图∴，则图∴中阴影部分的面积为()()()()12a 2b ?a b a b a b 2+-=+-；故答案为：()()a b a b +-；（3）由（1）（2）的结果得出结论：22a b -=()()a b a b +-；故答案为：22a b -，()()a b a b +-；（4）2220202019-()()20202019202020194039=+-=．【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．【变式2】（2020·山西临汾市·八年级期中）实践与探索如图1，边长为a 的大正方形有一个边长为b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）（1）上述操作能验证的等式是__________；（请选择正确的一个）A ．()()22a b a b a b -=+-B ．()2222a ab b a b -+=-C ．()2a ab a a b +=+ （2）请应用这个公式完成下列各题：∴已知22424a b -=，26a b +=，则2a b -=__________．∴计算：222222221009998974321-+-++-+-【答案】（1）A ；（2）∴4；∴5050【分析】（1）图1表示22a b -，图2的面积表示()()a b a b +-，根据两个图形阴影面积相等即可判断；（2）∴将原式变形为()()22a b a b +-，代入即可求解；∴将原式每两项应用平方差公式进行变型，然后即可求解．解：（1）图1表示22a b -，图2的面积表示()()a b a b +-，两个图形阴影面积相等，得到()()22a b a b a b -=+-故选A ；（2）∴()()2242224a b a b a b -=+-= ∴26a b +=∴()6224a b -=，解得24a b -=∴原式=（1002-992）+（982-972）+…+（42-32）+（22-12）=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1） =100+99+98+97+…+4+3+2+1=101×50=5050【点拨】本题考查了平方差公式的几何证明，题目较为简单，需要利用正方形和长方形的面积进行变形求解．。

14.2平方差专项训练题

14.2平方差一、选择题（每小题5分，共30分）1. 下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（） A. (1+x)(x+1) B. (0.5a+b)(b-0.5a) C. (-m+n)(m-n) D. (m+2n)(-2n-m)2. 计算（3a-bc ）(-bc-3a)的结果为（）A. b c +9aB. b c -3aC. -b c -9aD. -9a +b c 3. 下列运算正确的等式是（）A. (5-m)(5+m)=m -25B. (1-3m)(1+3m)=1-3mC. (-4-3n)(-4+3n)= -9n +16D. (2ab-n)(2ab+n)=4ab-n 4. 与x -4y 相等的式子是（）A. (-2y+x)(-2y-x)B. (-2y+x)(2y-x)C. (x+y)(x-4y)D. (-2y-x)(2y-x) 5. (a+2)(a +4)(a-2) 的计算结果为（） A. a +16 B. a -16 C. -a -16 D. 16-a6. 设x+y+z=6，x+y-z=7，则（x+y）-z 的值是（） A. 13 B. 42 C. 1 D. 307. 下列可以用平方差公式计算的是（）A. (2a-3b)(-2a+3b)B. (- 4b-3a)(-3a+4b)C. (a-b)(b-a)D. (2x-y) (2y+x) 8. 若x≠y,则下列各式不能成立的是（）A. (x-y)=(y-x)B. (x-y)=-(y-x) C. (x+y)(y-x)=(x+y)(x-y) D.(x+y)=(-x-y)9. 下列式子中，计算结果是4x -9y 的是（）A. (2x-3y)B. (2x+3y)(2x-3y)C. (-2x+3y)D. (3y+2x)(3y-2x) 10. 已知a+b=4,a-b=3,则a -b =( ) A. 4 B. 3 C. 12 D. 111. 下列算式能用平方差公式计算的是（）A. （2a+b ）(2b-a)B. (x+1)(- -1) C. (3x-y)(-3x+y) D. (-x-y)(-x+y) 12. 计算（a+b ）(-a+b )的结果是（） A. b-a B. a-b C. -a -2ab+b D. -a +2ab+b 13. 计算（x-3）(x+3)的结果是（） A. x -9 B. x -3 C. x -6 D. 9-x14. 计算2009×2011-2010的结果是（） A. 1 B. -1 C. 2008 D. -200815. 若三角形的底边长为2a+1,高为2a-1,则此三角形的面积为（） A. 4a -1 B. 4a -4a+1 C. 4a +4a+1 D. 2a -二、填空题（每小题5分，共25分）16. （-1-3x ）(____________)=1-9x17. (a+1)(a-1)(a +1)=_________________________ 18. (a+b)(-b+a)=________19. (x+1)(x-1)-(x-2)(x+2)=___________20. 已知a+b=3,a-b=5,则代数式a-b 的值是__________三、解答题（每题10分，共50分）21. 计算9x -4y，当x=1，y=1时的结果22. 计算（a+b ）（a-b）23. 计算：(a+b-1)（a-b+1）24. 求30×29的值.25. 已知一个长方体的长为2a，宽也是2a，高为h.(1)用a 、h的代数式表示该长方体的体积与表面积.(2)当a=3，h=时，求相应长方体的体积与表面积.(3)在(2)的基础上，把长增加x，宽减少x，其中0＜x＜6，问长方体的体积是否发生变化，并说明理由.答案一、选择题（每小题5分，共30分）1. 下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（）A. (1+x)(x+1)B. (0.5a+b)(b-0.5a)C. (-m+n)(m-n)D.(m+2n)(-2n-m)【答案】B 【解析】解：A．（1+x）（x+1），x，1的符号相同，∴不能用平方差公式计算，故此选项错误；B．（0.5a+b）（b—0.5a），b符号相同，0.5a符号相反，∴能用平方差公式计算，故此选项正确；C．（-m+n）（m-n），m，n的符号相反，∴不能用平方差公式计算，故此选项错误；D．（m+2n）（-2n—m），m，2n的符号相反，∴不能用平方差公式计算，故此选项错误；故选B．2. 计算（3a-bc）(-bc-3a)的结果为（）A. b c +9aB. b c -3aC. -b c -9aD. -9a +b c【答案】D【解析】解：（3a-bc）（-bc-3a）=（3a-bc）[-（3a+bc）]==故选D．学+科+网...学+科+网...3. 下列运算正确的等式是（）A. (5-m)(5+m)=m-25B. (1-3m)(1+3m)=1-3mC. (-4-3n)(-4+3n)= -9n+16D. (2ab-n)(2ab+n)=4ab -n【答案】C【解析】解：A．（5-m）（5+m）= 25-m2，所以此选项是错误的；B．（1-3m）（1+3m）=1-9m2，所以此选项是错误的；C．（-4-3n）（-4+3n）= -9n2+16，此选项是正确；D．（2ab-n）（2ab+n）=4a2b2-n2，所以此选项是错误的；故选C．4. 与x -4y相等的式子是（）A. (-2y+x)(-2y-x)B. (-2y+x)(2y-x)C. (x+y)(x-4y)D. (-2y-x)(2y-x)【答案】D【解析】解：x2-4y2=（x-2y）（x+2y）=（-2y-x）（2y-x）．故选D．5. (a+2)(a+4)(a-2) 的计算结果为（）A. a+16B. a-16C. -a-16D. 16-a【答案】B【解析】解：（a+2）（a2+4）（a-2）=[（a+2）（a-2）]（a2+4）=（a2-4）（a2+4）= a4-16．故选B．6. 设x+y+z=6，x+y-z=7，则（x+y）-z的值是（）A. 13B. 42C. 1D. 30【答案】B【解析】解：（x+y）2-z2=（x+y+z）（x+y-z）=42．故选B．7. 下列可以用平方差公式计算的是（）A. (2a-3b)(-2a+3b)B. (- 4b-3a)(-3a+4b)C. (a-b)(b-a)D. (2x-y) (2y+x)【答案】B【解析】解：A．（2a-3b）（-2a+3b），2a，3b的符号相反，∴不能用平方差公式计算，故此选项错误；B．（- 4b-3a）（-3a+4b），3a，符号相同，4b符号相反，∴能用平方差公式计算，故此选项正确；C．（a-b）（b-a），a，b的符号相反，∴不能用平方差公式计算，故此选项错误；D．（2x-y）（2y+x），2x和x不是相同项，2y和y不是相同项，∴不能用平方差公式计算，故此选项错误．故选B．8. 若x≠y,则下列各式不能成立的是（）A. (x-y)=(y-x)B. (x-y)=-(y-x)C. (x+y)(y-x)=(x+y)(x-y)D.(x+y)=(-x-y)【答案】C【解析】解：A．（x-y）2=（y-x）2计算正确；B．（x-y）3=-（y-x）3计算正确；C．（x+y）（y-x） ≠（x+y）（x-y），故本题错误；D．（x+y）2=（-x-y）2计算正确；故选C．9. 下列式子中，计算结果是4x -9y 的是（）A. (2x-3y)B. (2x+3y)(2x-3y)C. (-2x+3y)D. (3y+2x)(3y-2x) 【答案】B【解析】解：4x 2-9y 2=（2x -3y ）（2x +3y ）．故选B ．10. 已知a+b=4,a-b=3,则a -b =( ) A. 4 B. 3 C. 12 D. 1 【答案】C【解析】利用平方差公式把原式变形，将已知a+b=4，a ﹣b=3代入计算即可．解：∵a+b=4，a ﹣b=3， ∴原式=（a+b ）（a ﹣b ）=12，故选C ．11. 下列算式能用平方差公式计算的是（）A. （2a+b ）(2b-a)B. (x+1)(- -1) C. (3x-y)(-3x+y) D. (-x-y)(-x+y) 【答案】D【解析】平方差公式为（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2，A.不能用平方差公式进行计算，故本选项错误；B.不能用平方差公式进行计算，故本选项错误；C.不能用平方差公式进行计算，故本选项错误；D.能用平方差公式进行计算，故本选项正确；故选：D.12. 计算（a+b ）(-a+b )的结果是（） A. b-a B. a-b C. -a -2ab+b D. -a +2ab+b 【答案】A【解析】解：（a +b ）（-a +b ）=（b +a ）（b -a ）= b 2-a 2．故选A ．13. 计算（x-3）(x+3)的结果是（） A. x -9 B. x -3 C. x -6 D. 9-x 【答案】A【解析】解：（x -3）（x +3）=x 2-9．故选A ．14. 计算2009×2011-2010的结果是（） A. 1 B. -1 C. 2008 D. -2008 【答案】B考点：平方差公式．15. 若三角形的底边长为2a+1,高为2a-1,则此三角形的面积为（） A. 4a -1 B. 4a -4a+1 C. 4a +4a+1 D. 2a - 【答案】D【解析】解：三角形面积为：．故选D ．点睛：本题考查了平方差公式，解题的关键是根据三角形的面积公式列出算式并利用平方差公式进行正确的计算．二、填空题（每小题5分，共25分）16. （-1-3x）(____________)=1-9x【答案】-1+3x【解析】解：（-1-3x）（-1+3x）=1-9x2．故答案为：-1+3x．17. (a+1)(a-1)(a+1)=_________________________【答案】a-1【解析】解：（a+1）（a-1）（a2+1）=（a2-1）（a2+1）= a4-1．故答案为：a4-1．点睛：本题考查了平方差公式．解题的关键是逐步运用平方差公式．18. (a+b)(-b+a)=________【答案】a- b【解析】解：（a+b）（ -b+a）=．故答案为：．19. (x+1)(x-1)-(x-2)(x+2)=___________【答案】3【解析】解：原示=（x2-1）-（x2-4）= x2-1-x2+4=3．故答案为：3．20. 已知a+b=3,a-b=5,则代数式a-b的值是__________【答案】15【解析】解：=（a+b）（a-b）=3×5=15．故答案为：15．点睛：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式和逆用平方差公式是解答本题的关键．三、解答题（每题10分，共50分）21. 计算9x -4y，当x=1，y=1时的结果【答案】5【解析】试题分析：先逆用平方差公式，然后代入求值即可．试题解析：解：9x-4y=（3x+2y）（3x-2y）当x=1，y=1时，原式=5×1=5．22. 计算（a+b ）（a-b）【答案】a-b【解析】试题分析：运用平方差公式计算即可．试题解析：解：（a+b ）（a-b）=．23. 计算：(a+b-1)（a-b+1）【答案】a-b-1+2b【解析】试题分析：先把原式变成两项和乘以这两项的差的形式，再用平方差公式和完全平方公式计算即可．试题解析：解：（a+b-1）（a-b+1）= [a+（b-1）] [a-（b-1）]===．点睛：解答本题首先要能把原式变成（a+b）（a-b）的形式，再运用平方差公式和完全平方公式．熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．24. 求30×29的值.【答案】899【解析】试题分析：把原式变成（a-b）（a+b）的形式，符合平方差公式的结构，再利用平方差公式进行计算即可．试题解析：解：原式==．点睛：本题主要考查了平方差公式的运用，构造成公式的结构形式是利用公式的关键，运用公式可以简便运算．25. 已知一个长方体的长为2a，宽也是2a，高为h.(1)用a 、h的代数式表示该长方体的体积与表面积.(2)当a=3，h=时，求相应长方体的体积与表面积.(3)在(2)的基础上，把长增加x，宽减少x，其中0＜x＜6，问长方体的体积是否发生变化，并说明理由.【答案】(1) 体积=a h；表面积=8a+8ah ；(2)体积是18，表面积是84；(3)18-x＜18，体积缩小了.【解析】试题分析：（1）根据长方体的体积与表面积公式进行计算即可；（2）把a，h代入（1）的关系式进行计算；（3）根据长方体的体积与表面积公式进行计算即可；试题解析：解：（1）长方体体积=2a×2a×h=4a2h，长方体表面积=2×2a×2a+4×2ah=8a2+8ah；（2）当a=3，h =时，长方体体积=4×32×=18；长方体表面积=8×32+8×3×=84．（3）当长增加x，宽减少x时，长方体体积=×（6+x）（6-x）= ＜18，故长方体体积减小了．点睛：本题考查了代数式求值，列代数式和平方差公式．熟记长方体的体积与面积公式是解题的关键．。

平方差公式、完全平方公式-2021-2022学年七年级数学下册精讲与精练高分突破(北师大版)

1.5-1.6 平方差公式、完全平方公式1、平方差公式两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。

即：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。

()()22b a b a b a -=-+2、完全平方公式两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。

()ab b a b a 2222++=+ ()ab b a b a 2222-+=-常见错误：()222b a b a +=+ ()222b a b a -=-题型一：运用平方差公式进行运算1．（2022·全国·七年级）已知（2x ＋3y ）2＝15，（2x ﹣3y ）2＝3，则3xy ＝（） A ．1B ．32C ．3D ．不能确定2．（2022·全国·七年级）下列各式，能用平方差公式计算的是（） A ．（2a ＋b ）（2b ﹣a ） B ．（﹣a ﹣2b ）（﹣a ＋2b ） C ．（2a ﹣3b ）（﹣2a ＋3b ）D ．（113a +）（﹣113a -）3．（2021·黑龙江大庆·七年级期中）记()()()()()2481212121212nx =++++⋯+，且12812x +=，则n =（）．A ．128B ．32C ．64D ．16题型二：平方差公式与几何图形4．（2022·上海金山·七年级期中）根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（）A ．()2222a b a ab b +=++B ．()2222a b a ab b -=-+C ．()()22a b a b a b +-=-D ．()2a ab a ab -=-．5．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）如图，阴影部分是边长为a 的大正方形中剪去一个边长为b 的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．（2021·广东深圳·七年级期中）有两个正方形A ，B ．现将B 放在A 的内部得图甲，将A ，B 构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A 和两个正方形B 得图丙，则阴影部分的面积为（）A ．28B ．29C ．30D ．31题型三：运用完全平方公式进行运算7．（2021·江苏淮安·七年级期末）计算：2(2)x y -=（）A ．2244x xy y -+B ．2242x xy y -+C ．224x yD ．224x y +8．（2021·浙江湖州·七年级期末）已知()28a b +=，()22a b -=，则22a b +的值是（） A ．3B ．5C ．6D ．109．（2022·江苏·七年级专题练习）式子()2a b +加上哪一项后得()2a b -（） A ．2ab -B ．3ab -C ．4ab -D ．0题型四：完全平方公式的变形求值10．（2022·福建省诏安县第一实验中学七年级阶段练习）已知225a b +=，2ab =-，则()2a b +的值为（） A ．1B ．9C ．3D ．1-11．（2022·江苏·七年级专题练习）已知2x y -=，12xy =，那么32233x y x y xy ++的值为（） A ．3B ．6C ．132D ．13412．（2021·辽宁·辽阳石油化纤公司教师学校七年级期中）若4a b +=，2ab =-，则22a ab b -+的值是（） A ．-11B ．11C ．22D ．-22题型五：完全平方公式在几何图形的应用13．（2022·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）如图，已知点C 是线段AB 上的一动点，分别以AC ，BC 为边向两边作正方形ACDE 与正方形CFGB ，若AB ＝8，且两正方形的面积和为S 1＋S 2＝36．则图中阴影部分的面积为（）A ．7B ．7.5C ．14D ．1514．（2021·山东威海·七年级期中）如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a 、b 表示直角三角形的两直角边（a ＞b ），则下列说法：①a 2+b 2=25，①a －b =1，①ab =12，①a +b =7．正确的是（）A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①15．（2022·江苏·七年级专题练习）有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（）A ．4B ．8C ．12D ．16题型六：完全平方式16．（2022·广东·深圳市龙岗区实验学校七年级阶段练习）若2924a ab k ＋＋是完全平方式，则k 的值为（） A ．16b 2B ．4b 2C ．±8b 2D ．±16b 217．（2021·上海奉贤·七年级期末）若二次三项式x 2+kx +9是完全平方式，则k 的值是（） A ．6B ．﹣6C ．±6D ．±318．（2021·四川达州·七年级期末）若代数式x 2﹣16x +k 2是完全平方式，则k 等于（） A ．6B ．64C ．±64D ．±8一、单选题19．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学七年级期中）下列能用平方差公式计算的是（） A ．()()a b a b --+B ．()()a b a b --+C ．()()a b b a -+-+D ．()()-+--a b b a20．（2022·河北石家庄·八年级期末）计算()()0.10.30.10.3x y x y +-的结果为（） A ．220.010.09x y - B ．220.010.9x y - C ．220.10.9x y -D ．220.10.3x y -21．（2021·山东威海·期中）计算24(1)(1)(1)(1)a a a a +-++的结果是（） A ．81a -B ．8+1aC ．161a -D ．161a +22．（2022·福建漳州·八年级期末）如图，正方形中阴影部分的面积为（）A ．a 2﹣b 2B ．a 2+b 2C ．abD ．2ab23．（2022·重庆·模拟预测）下列运算正确的是（） A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2 B ．（a 3）2＝a 5 C ．a 5÷a 3＝a 2D ．a 3+a 2＝a 524．（2022·福建漳州·期末）下列计算正确的是（） A ．（m 3）2＝m 5B ．3m 2n •mn ＝3m 3n 2C ．（m ﹣2）（m +1）＝m 2﹣m +2D ．（m ﹣1）（1﹣m ）＝m 2﹣125．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，在边长分别为a ，b 的两个正方形组成的图形中，剪去一个边长为（a -b ）的正方形，通过用两种不同的方法计算剪去的正方形的面积，可以验证的乘法公式是（）A ．2()a a b a ab +=+B ．22()()a b a b a b +-=-C ．222()2a b a ab b +=++D ．222()2a b a ab b -=-+26．（2022·吉林·长春市第八十七中学一模）先化简，再求值：2b 2+（a +b ）（a ﹣b ）﹣（a ﹣b ）2，其中a ＝13，b ＝﹣6．27．（2022·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）用乘法公式计算： (1)1002－200×99＋992； (2)(x －2y ＋3z )(x －2y －3z )．一：选择题28．（2022·湖南岳阳·七年级期末）已知a ，b 为实数，满足ab >0，且||20a b +-=，当a －b 为整数时，ab 的值为（）A ．14或34B ．1或14C ．34或1D ．14或1229．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级开学考试）如果281x kx -+是一个完全平方式，那么k 的值是（） A ．9B ．±9C ．18D ．±1830．（2022·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）下列乘法公式运用正确的是（） A ．(a ＋b )(b －a )＝a 2－b 2 B ．(m ＋1)(m －1)＝m 2－1 C ．(2x －1)2＝2x 2＋4x －1 D ．(a ＋1)2＝a 2＋131．（2022·广东·深圳市龙华中学七年级阶段练习）下列式子中一定成立的是（） A ．（x ＋2y ）2＝x 2＋4y 2 B ．（x ＋5）（x －2）＝x 2－10 C ．（－x ＋y ）2＝（x －y ）2D ．（x ＋2y ）（x －2y ）＝x 2－2y 2 32．（2022·广东广州·八年级期末）小张利用如图①所示的长为a 、宽为b 的长方形卡片4张，拼成了如图①所示的图形，则根据图①的面积关系能验证的恒等式为（）A ．()2222a b a ab b +=++ B ．()222244a b a ab b +=++ C ．()()224a b a b ab +=-+D ．()2222a b a ab b -=-+33．（2022·广东中山·八年级期末）如图，两个正方形的边长分别为a 、b ，若7a b +=，3ab =，则阴影部分的面积是（）A ．40B ．492C ．20D ．2334．（2022·山东临沂·八年级期末）已知2211244m n n m +=--，则22m n - 的值等于（）A ．1B ．﹣1C ．-2D ．1435．（2022·天津和平·八年级期末）下列计算正确的是（） A ．（a +2）（a ﹣2）＝a 2﹣2 B ．（﹣3a ﹣2）（3a ﹣2）＝9a 2﹣4 C ．（a +2）2＝a 2+2a +4 D ．（a ﹣8）（a ﹣1）＝a 2﹣9a +836．（2022·黑龙江·云山农场中心学校七年级期末）在幼发拉底河岸的古代庙宇图书馆遗址里，曾经发掘出大量的黏土板，美索不达米亚人在这些黏土板上刻出来乘法表、加法表和平方表．用这些简单的平方表，美索不达米亚人这样计算：第一步：（103+95）÷2＝99，第二步（103﹣95）÷2＝4；第三步：查平方表；知99的平方是9801，第四步：查平方表，知4的平方是16，第五步：980116978595103. 设两因数分别为a 和b ，写出蕴含其中道理的整式运算（） A ．22()()2a b a b ab +--=B ．222()()2a b a b ab +-+=C ．22()()22a b a b ab +-+= D ．22()()22a b a b ab +--= 二、填空题37．（2022·福建漳州·八年级期末）若a 2﹣b 2＝6，a +b ＝2，则a ﹣b ＝_____．38．（2022·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）计算：12－22＋32－42＋52－62＋…＋1992－2002＝________． 39．（2022·山东淄博·八年级期末）已知，实数a 满足(1)1a a +=，则2120211a a ++=+_______． 40．（2022·福建省诏安县第一实验中学七年级阶段练习）若216x mx ++是关于x 的完全平方式，则m =________． 41．（2022·河北石家庄·八年级期末）已知x ，y 满足2()2()10x y x y ---+=．（1）x y -的值为___________；（2）若226x y +=，则xy 的值为___________．42．（2022·重庆九龙坡·八年级期末）已知关于x ，y 的多项式x 2﹣2kxy +16y 2是完全平方式，则k ＝_____． 43．（2022·重庆永川·八年级期末）已知x 、y 均为实数，且5x y +=，2211x y +=，则xy =______．44．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，点C 是线段AB 上一点，以AC 、BC 为边向两边作正方形ACDE 和BCFG ，已知AB ＝10，两正方形的面积和S 1+S 2＝60，则图中阴影部分的面积为 _____．三、解答题45．（2022·吉林长春·八年级期末）先化简，再求值：2（a +1）（a ﹣1）﹣a （2a ﹣3），其中a =16．46．（2022·福建省诏安县第一实验中学七年级阶段练习）用简便方法计算下列各题： (1)2103102104-⨯； (2)299．47．（2022·广东·深圳市龙华中学七年级阶段练习）简答下列各题：(1)已知a2＋b2＝2，ab＝1，求a＋b和a－b的值；(2)若a＋1a ＝3，那么a2＋21a＝_____；若a－1a＝3，那么a4＋41a＝_____．48．（2022·江西·南昌市外国语学校八年级期末）已知5a b+=，94 ab=．(1)求22a b+的值；(2)求-a b的值．49．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C 种纸片两张可拼成如图2的大正方形．(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）．方法1 ；方法2 ．(2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，àb之间的等量关系为；(3)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为a2+3ab+2b2的长方形，这个长方形相邻两边长为；(4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；①已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．50．（2022·福建泉州·八年级期末）乘法公式222()2a b a ab b+=++给出了a b+、22a b+与ab的数量关系，灵活的应用这个关系，可以解决一些数学问题．(1)若5a b +=，3ab =，求22a b +的值；(2)若m 满足22(11)(9)10m m -++=，求(11)(9)m m -+的值；(3)如图，点E 、G 分别在正方形ABCD 的边AD 、AB 上，且1BG DE =+，以AG 为一边作正方形AGJK ，以AE 的长为边长过点E 作正方形GFIH ，若长方形AEFG 的面积是2116，求阴影部分的面1．B 【解析】【分析】根据平方差公式即可求出答案．【详解】解：2(23)15x y +=，2(23)3x y -=，22(23)(23)12x y x y ∴+--=，(2323)(2323)12x y x y x y x y ∴+-+++-=， 6412y x ∴⋅=，332xy ∴=，故选：B ．【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型． 2．B 【解析】【分析】根据平方差公式为22()()a b a b a b +-=-逐项判断即可．【详解】A ．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B ．原式[][]()2()2a b a b =---+，符合平方差公式，故本选项符合题意；C ．原式(23)(23)a b a b =---，只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；D ．原式11(1)(1)33a a -++只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式为22()()a b a b a b +-=-是解答本题的关键． 3．C【分析】先在前面添加因式(2−1)，再连续利用平方差公式计算求出x ，然后根据指数相等即可求出n 值．【详解】解:()()()()()2481212121212n x =++++⋯+= ()()()()()()248211212121212n-++++⋯+=()()()()()22482112121212n -+++⋯+=()()2112n n -+=221n -， ①12812x +=, ①21282112n -+=，即 212822n =， ①2128n =， ①n =64. 故答案为：C. 【点睛】本题考查了平方差公式，关键是乘一个因式(2−1)然后就能依次利用平方差公式计算了． 4．C 【解析】【分析】根据拼图中各个部分面积之间的关系可得答案．【详解】解：如图，由于S 长方形B =S 长方形C ，因此有S 长方形A +S 长方形B =S 长方形A +S 长方形C ，而S 长方形A +S 长方形B =（a +b ）（a -b ），S 长方形A +S 长方形C =S 长方形A +S 长方形C +S 长方形D -S 长方形D ， =a 2-b 2，①有（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2，【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握拼图中各个部分面积之间的关系是解决问题的关键． 5．A 【解析】【分析】图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为a b +、宽为-a b ）的面积即可得；图①：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得；图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为a b +、宽为-a b ）的面积即可得；图①：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得．【详解】解：图①：左边图中阴影部分面积为22a b -，右边图中阴影部分面积为()()a b a b +-，则有22()()a b a b a b -=+-；图①：左边图中阴影部分面积为22a b -，右边图中阴影部分是一边长为a b +，这条边上的高为-a b 的平行四边形，其面积为()()a b a b +-，则有22()()a b a b a b -=+-；图①：左边图中阴影部分面积为22a b -，右边图中阴影部分面积为()()a b a b +-，则有22()()a b a b a b -=+-；图①：左边图中阴影部分面积为22a b -，右边图中阴影部分是一边长为a b +，这条边上的高为-a b 的平行四边形，其面积为()()a b a b +-，则有22()()a b a b a b -=+-；综上，能够验证平方差公式的有4个，故选：A ．【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握各图形的面积之间的联系是解题关键． 6．B 【解析】【分析】设正方形,A B 的边长分别为,a b ，由图甲和图乙，建立关系式，再根据图丙的阴影部分面积结合关系式即可求得．【详解】设正方形,A B 的边长分别为,a b （0a b >>），由图甲可得2()1a b -= 由图乙可得：222()12a b a b +--= 即212ab =6ab = 2()1a b -=221213a b ab +=+=222()2131225a b a b ab ∴+=++=+=5a b ∴+=±，1a b -=± 0a b >>5a b ∴+=，1a b -= 图丙的阴影部分面积为： 222(2)32a b a b +-- 22224432a ab b a b =++--224a ab b =+-()()4a b a b ab =+-+5146=⨯+⨯29=．故选：B ．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，求一个数的平方根，平方差公式，完全平方式与几何面积，解题的关键是掌握完全平方公式． 7．A 【解析】根据完全平方公式展开即可得．【详解】解：()()22222222?2?44x y x x y y x xy y -=-+=-+，故选：A ．【点睛】题目主要考查整式乘法中的完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 8．B 【解析】【分析】根据完全平方公式得到2228a ab b ++=①，2222a ab b -+=①，然后把两个等式相加即可得出结论．【详解】解：①()28a b +=， ①2228a ab b ++=①， ①()22a b -=， ①2222a ab b -+=①， ①＋①得，222210a b +=， ①225a b +=，故选：B ．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟知222()2a b a ab b ±=±+是解题的关键． 9．C 【解析】【分析】根据完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+ ，即可求出答案．【详解】解：由于()()224a b a b ab +=-+ ， ①()()()224a b ab a b ++-=- ，【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+，本题属于基础题型． 10．A 【解析】【分析】根据完全平方公式进行计算即可．【详解】解：225a b +=，2ab =-，222()252(2)1a b a b ab ∴++=+⨯-+==，故选：A ．【点睛】此题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握：222()2a b a ab b ±=±+． 11．D 【解析】【分析】根据完全平方公式求出225x y +=，再把原式因式分解后可代入求值．【详解】解：因为2x y -=，12xy =，所以()24x y -=， 22425x y xy +=+=所以32233x y x y xy ++()223xy x xy y =++115322134⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭=故选：D 【点睛】考核知识点：因式分解的应用．灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键． 12．C 【解析】【分析】把4a b +=两边平方，利用完全平方公式化简，将2ab =-代入计算即可求出2220a b +=，由此即可求得答案．【详解】解：①4a b +=①两边平方得：2()16a b +=，即：22216a b ab ++=，又①2ab =-，①2216220a b ab +=-=， ①2220(2)22a ab b -+=--= 故选：C ．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解本题的关键． 13．A 【解析】【分析】设大正方形边长a ，小正方形边长b ，利用完全平方公式的展开求ab 的值，再求阴影面积；【详解】解：设AC =a ，BC =b ，则a ＋b =8， ①()2222a b a b ab +=++=64， ①两正方形的面积和为S 1＋S 2＝36， ①22a b +=36，①2ab =64-36=28，即ab =14， ①阴影部分面积=12ab ⨯=7故选：A 【点睛】此题考查完全平方公式()2222a b a b ab +=++的几何运用，熟记公式是解题关键．14．D 【解析】【分析】由大的正方形的边长为,c 结合勾股定理可判断①，由小的正方形的边长为,a b - 结合小正方形的面积可判断①，再利用2221,a ab b -+= 结合2225,a b +=可判断①，再由2222524,a ab b ++=+可判断①，从而可得答案. 【详解】解：由题意得：大正方形的边长为,c∴ 22225,a b c +== 故①符合题意；用a 、b 表示直角三角形的两直角边（a ＞b ），则小正方形的边长为：,a b - ()21,a b ∴-= 则1a b -=（负值不合题意舍去）故①符合题意；()21,a b -=2221,a ab b ∴-+= 而2225,a b +=2521,ab ∴-=12,ab ∴= 故①符合题意；2225,a b +=2222524,a ab b ∴++=+()249,a b ∴+=7a b ∴+=（负值不合题意舍去）故①符合题意；故选D 【点睛】本题考查的是以勾股定理为背景的几何面积问题，同时考查了完全平方公式的应用，熟练的应用完全平方公式的变形求值是解本题的关键. 15．B 【解析】【分析】设出长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案．【详解】解：设长方形的长为a ，宽为b ，由图1可得，（a +b ）2-4ab =35，即a 2+b 2=2ab +35①，由图2可得，（2a +b ）（a +2b ）-5ab =102，即a 2+b 2=51①，由①①得，2ab +35=51，所以ab =8，即长方形的面积为8，故选：B ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个图形的面积，利用面积之间的关系得到答案是常用的方法． 16．A 【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k 的值．【详解】解：①2924a ab k ＋＋是完全平方式， ①216k b =，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 17．C 【解析】【分析】根据完全平方公式的结构进行求解即可．k 为首位两数乘积的2倍．【详解】∵x 2+kx +9＝x 2+kx +32，x 2+kx +9是完全平方式， ∴kx ＝23x ±⋅⋅，解得k ＝±6．故选：C ．【点睛】本题考查的是完全平方公式，两数平方和再加上或减去它们乘积的2倍，是完全平方式的主要结构特征，本题要熟记完全平方公式，注意积的2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解． 18．D 【解析】【分析】根据完全平方公式解答即可．【详解】解：①x 2﹣16x +k 2是一个完全平方式， ①x 2﹣16x +k 2=x 2﹣16x +64， ①k =±8．故选：D ．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数． 19．D 【解析】【分析】根据平方差公式的特点要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，只有具备以上特点才能进行运算，即可求解．【详解】解：A 、()()()()()2a b a b a b a b a b --+=---=--，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B 、()()()()()2a b a b a b a b a b --+=-++=-+，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C 、()()()()()2a b b a a b a b a b -+-+=--⨯-=--，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D 、()()()()()()22a b b a a b a b a b a b a b -+--=--⨯-+=-+=-⎡⎤⎣⎦，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；故选：D 【点睛】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式()()22a b a b a b -+=-是解此题的关键．20．A 【解析】【分析】根据平方差公式直接计算即可．【详解】解：原式＝（0.1x ）2﹣（0.3y ）2 ＝0.01x 2﹣0.09y 2，故选：A ．【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． 21．A 【解析】【分析】按照从左到右的顺序依次利用平方差公式进行计算．【详解】解：（a +1）（a -1）（a 2+1）（a 4+1）， =（a 2-1）（a 2+1）（a 4+1）， =（a 4-1）（a 4+1）， =a 8-1．故选：A ．【点睛】本题主要考查了平方差公式，难点在于连续利用公式进行运算． 22．D 【解析】【分析】根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可．【详解】解：阴影部分的面积为：()2221122222a b a b ab +-⨯-⨯=，故选：D ．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各个部分面积之间的关系是正确解答的关键．23．C【解析】【分析】根据整式乘法、幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，即本选项错误，不符合题意；B、（a3）2＝a6，即本选项错误，不符合题意；C、a5÷a3＝a2，即本选项正确，符合题意；D、a3，a2不是同类项，不能合并，即本选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了整式乘法、幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式、幂的乘方、同底数幂除法的性质，从而完成求解．24．B【解析】【分析】根据幂的乘方、整式的乘法、多项式乘多项式、完全平方公式即可求出答案．【详解】解：A、原式=m6，故A不符合题意．B、原式=3m3n2，故符合题意．C、原式=m2-m-2，故C不符合题意．D、原式=-（m-1）（m-1）=-m2+2m-1，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查幂的乘方、整式的乘法、多项式乘多项式、完全平方公式，本题属于基础题型．25．D【解析】【分析】从整体直接列式和从部分和差计算列式表示出所剪去的正方形的面积，可得到此题的结果．【详解】即（a -b ）2=a 2-2ab +b 2，故选：D ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景的应用能力，关键是能根据图形列出不同整式表示其面积． 26．2ab ，4-．【解析】【分析】先计算平方差公式与完全平方公式，再计算整式的加减，然后将,a b 的值代入计算即可得．【详解】解：原式()()2222222b a b a ab b +---+=2222222b a b a ab b =+--+-2ab =，将1,63a b ==-代入得：原式()122643ab =⨯⨯-=-=．【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键． 27．(1)1(2)x 2－4xy ＋4y 2－9z 2 【解析】【分析】（1）逆用完全平方公式计算即可；（2）先用平方差公式，再用完全平方公式计算． (1)解：原式=1002－2×100×99＋992=(100-99)2=1； (2)解：原式=(x －2y ＋3z )(x －2y －3z ) =(x -2y )2-(3z )2 = x 2－4xy ＋4y 2－9z 2．【点睛】此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是(a ±b )2=a 2±2ab +b 2；平方差公式是28．C 【解析】【分析】根据20a b +-=，可得2(a b)4+=，变形得出2()44a b ab -=-．设222(2)a b a ab b t -=-+=，可得到44tab -=，根据a −b 为整数，ab >0，即可确定t 为0或1，问题得解．【详解】解：①20a b +-=， ①2(a b)4+=， ①2()44a b ab -=-．设()2a b t -=，则44ab t -=，即44tab -=． ①a −b 为整数，ab >0， ①t 为0或1，当t =0时，ab =1；当t =1时，ab =34；故选：C 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式并根据题意确定相应字母的取值范围是解题关键． 29．D 【解析】【分析】根据完全平方公式形式，这里首末两项是x 和9这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和9乘积的2倍．【详解】解：281x kx -+是一个完全平方式，∴首末两项是x 和9这两个数的平方，2918kx x x ∴-=±⨯=±，解得18k =±．故选：D ．本题是完全平方公式的应用，两数平方和再加上或减去它们乘积的2倍，是完全平方式的主要结构特征，本题要熟记完全平方公式，注意积得2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解．30．B【解析】【分析】根据平方差公式、完全平方公式逐项计算即可．【详解】解：A、（a＋b）（b－a）＝b2－a2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（m＋1）（m－1）＝m2－1，原计算正确，故此选项符合题意；C、（2x－1）2＝4x2－4x＋1，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（a＋1）2＝a2＋2a＋1，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2；平方差公式是(a+b)(a-b)=a2-b2．31．C【解析】【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式、平方差公式逐项排查即可解答．【详解】解：A、（x＋2y）2＝x2＋4xy＋4y2，故本选项错误；B、（x＋5）（x－2）＝x2＋3x－10，故本选项错误；C、（－x＋y）2＝（x－y）2，故本选项正确；D、（x＋2y）（x－2y）＝x2－4y2，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了完全平方公式、多项式乘多项式、平方差公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．32．C【解析】整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用1个小正方形的面积加上4个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可．【详解】①大正方形边长为：()a b +，面积为：()2a b +；1个小正方形的面积加上4个矩形的面积和为：()24a b ab -+； ①()()224a b a b ab +=-+．故选：C ．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键． 33．C 【解析】【分析】根据阴影部分面积等于2个正方形面积减去2个空白部分的三角形面积，进而根据完全平方公式的变形求解即可【详解】解：阴影部分面积等于()2221122a b a a b b +--+22111222a b ab =+- ()21322a b ab =+- ①7a b +=，3ab =，①阴影部分面积等于213732022⨯-⨯=故答案为：C 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求图形面积，掌握完全平方公式是解题的关键． 34．C 【解析】【分析】先将原式变形为221111044m m n n +++-+=，再根据完全平方公式，可得221111022m n ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得到1110,10m n +=-= ，进而得到2,2m n =-= ，即可求解．【详解】解：①2211244m n n m +=--，①22112044m n m n ++-+=， ①221111044m m n n +++-+=， ①221111022m n ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， ①1110,1022m n +=-= ，解得：2,2m n =-= ， ①2222222m n m n ----===-．故选：C 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 35．D 【解析】【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式、多项式乘多项式分别计算，进而判断得出答案．【详解】解：A ．（a +2）（a ﹣2）＝a 2﹣4，故此选项不合题意； B ．（﹣3a ﹣2）（3a ﹣2）＝4﹣9a 2，故此选项不合题意； C ．（a +2）2＝a 2+4a +4，故此选项不合题意；D ．（a ﹣8）（a ﹣1）＝a 2﹣9a +8，故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】此题主要考查了乘法公式和多项式相乘，正确运用乘法公式计算是解题关键． 36．D 【解析】【分析】先观察题干实例的运算步骤，发现103,95对应的数即为,,a b 从而可得出结论.解：由题意得：22222222()()2244a b a b a ab b a ab b +-++-+-=-4.4abab故选D【点睛】本题考查的是利用完全平方公式进行运算，掌握“()2222a b a ab b ±=±+”是解本题的关键. 37．3 【解析】【分析】根据平方差公式：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2即可得出答案．【详解】解：①a 2-b 2=6， ①（a +b ）（a -b ）=6， ①a +b =2， ①a -b =3，故答案为：3．【点睛】本题考查了平方差公式，掌握（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2是解题的关键． 38．－20100 【解析】【详解】原式＝(12)(12)(34)(34)(56)(56)(199200)(199200)-++-++-+++-+(123456199200)=-++++++++(1200)2002+⨯=-=－20100，故答案为：－20100 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，运用平方差公式进而转化为若干个连接自然数的和是解题的关键．这里还用到了若干个连续自然数的和的计算方法：12(首项+末项)×项数．【分析】由(1)1a a +=得21a a =-，对2120211a a +++化简，将2a 用1a -多次等量替换，计算求解即可．【详解】解：①(1)1a a += ①21a a =-2120211a a +++ 1120211a a =-+++ ()()11120211a a a -⨯++=++2220211a a -=++ ()2120211a a --=++120211a a +=++ 2022=故答案为：2022．【点睛】本题考查了平方差，代数式求值．解题的关键在于2a 的等量替换． 40．8± 【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值．【详解】解：216x mx ++是关于x 的完全平方式，(24)8m ∴=±⨯=±，故答案为：8±．【点睛】此题考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 41． 1； 52（1）把x −y 看成一个整体，利用完全平方公式求解；（2）利用（1）的结果，变形完全平方公式得结论．【详解】（1）()()2210x y x y ---+=，()210x y ∴--=⎡⎤⎣⎦，()10x y ∴--=， 1x y ∴-=；（2）()2222x y x xy y -=-+，()22222615xy x y x y ∴=+--=-=，52xy ∴=．故答案为：（1）1；（2）52．【点睛】本题考查了完全平方公式等知识点．掌握完全平方公式的变形是解决本题的关键． 42．4或-4 【解析】【分析】根据平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式即可确定出k 值．【详解】解：①()222221624x kxy y x kxy y -+=-+， ①2248kxy x y xy -=±⋅=±，解得：k ＝±4．故答案为：4和−4．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键． 43．7 【解析】根据5x y +=可得出2()25x y +=，再展开，将2211x y +=代入，即可求出xy 的值．【详解】解：①5x y += ①2()25x y +=， ①22225x y xy ++=，将2211x y +=代入上式，得：11225xy += ①7xy =．故答案为：7．【点睛】本题考查完全平方公式和代数式求值．利用整体代入的思想是解题的关键． 44．10 【解析】【分析】设AC =m ，BC =n ，可得m +n =10，m 2+n 2=60，然后根据完全平方公式求出12mn 即可．【详解】解：设AC ＝m ，BC ＝n ， ①AB ＝10， ①m +n ＝10，又①S 1+S 2＝60， ①m 2+n 2＝60，由完全平方公式可得，（m +n ）2＝m 2+2mn +n 2， ①102＝60+2mn ， ①mn ＝20，①S 阴影部分＝12mn ＝10，即：阴影部分的面积为10．故答案是：10．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是解答本题的关键．45．3a-2，-32．【解析】【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后合并同类项进行化简，最后代入求值．【详解】解：2（a+1）（a﹣1）﹣a（2a﹣3）=2（a2-1）-2a2+3a=2a2-2-2a2+3a=3a-2，当a=16时，原式=3×16 -2=12 -2=-32．【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握单项式乘多项式的运算法则，平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的结构是解题关键．46．(1)1(2)9801【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行求解即可；（2）利用完全平方差公式进行求解即可．(1)解：2103102104-⨯，2103(1031)(1031)=--⨯+，221031031=-+，1=；(2)解：299，2(1001)=-，100002001=-+， 9801=．【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方差公式，解题的关键是掌握相应的公式进行变形． 47．(1)a ＋b ＝±2；a －b ＝0 (2)7，119 【解析】【分析】（1）根据完全平方公式计算，将代数式的值代入求解即可；（2）将已知等式利用完全平方公式变形求值即可 (1)解：①a 2＋b 2＝2，ab ＝1，①（a ＋b ）2＝a 2＋b 2＋2ab ＝2＋2＝4，即a ＋b ＝±2；（a －b ）2＝a 2＋b 2－2ab ＝2－2＝0，即a －b ＝0． (2)解：①a ＋1a＝3，①219a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭22129a a ∴++= 2217a a∴+=若 a －1a＝3， ①219a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22129a a ∴+-= 22111a a ∴+= 2221121a a ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭441119a a ∴+= 故答案为：7,119 【点睛】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式变形求值是解题的关键． 48．(1)412(2)4± 【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． (1)解：①5a b +=，94ab =， ①22()5a b +=， ①22225a ab b ++=， ①22252a b ab +=-， ①2292524a b +=-⨯， ①22412a b +=． (2)解：①22412a b +=，94ab =， ①22419221624a b ab +-=-⨯=， ①2()16a b -=， ①4a b -=±．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，正确运用完全平方公式是解题的关键． 49．(1)2()a b +，222a ab b ++ (2)2()a b +=222a ab b ++ (3)a +b ，a +2b (4)①11；①16【解析】【分析】（1）方法1 由图知，大正方形的边长为a +b ，则可求得正方形的面积；方法2 由图知，大正方形由两个边长分别为a 与b 的两个小正方形及两个长为b 、宽为a 的长方形组成，从而可求得大正方形的面积；（2）由（1）知，可得（a +b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；（3）由于()22232()a a a b a b b b =++++，从而可得长方形相邻两边的长；（4）①由（2）中的等量关系式即可求得ab 的值；①考虑到2020比2021小1，2022比2021大1，则x −2020=(x −2021)+1，x −2022=(x −2021)−1，利用（2）中的等量关系即可求得结果． (1)方法1 由图知，大正方形的边长为a +b ，则大正方形的面积为2()a b +；方法2 由图知，大正方形由两个边长分别为a 与b 的小正方形及两个长为b 、宽为a 的长方形组成，所以大正方形的面积为222a ab b ++；故答案为：方法1 2()a b +；方法2 222a ab b ++ (2)由（1）知：2()a b +、222a ab b ++均表示同一正方形的面积，所以2()a b +=222a ab b ++ 故答案为：2()a b +=222a ab b ++ (3)由于()22232()a a a b a b b b =++++所以面积为a 2+3ab +2b 2的长方形相邻两边长为a +b ，a +2b 故答案为：a +b ，a +2b (4)①①2()a b +=222222a ab b a b ab ++=++ 即26142ab =+ ①ab =11①①x −2020=(x −2021)+1，x −2022=(x −2021)−1 ①[][]22(2021)1(2021)134x x -++--=。

3.4.1 平方差公式浙教版数学七年级下册素养提升练习(含解析)

第3章　整式的乘除3.4　乘法公式第1课时　平方差公式基础过关全练知识点1　平方差公式1.(2020浙江杭州中考)(1+y)(1-y)=( )A.1+y2B.-1-y2C.1-y2D.-1+y22.(2023浙江杭州下城期中)下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是( )m―n m+12n B.(-m-n)(m+n)C.(m-2)(m+2)D.(m-n)(n-m)3.利用平方差公式计算(3a-2)(-3a-2)的结果是( )A.4-9a2B.9a2-4C.9a2-2D.9a2+44.下列各式中,计算结果正确的是( )A.(x-3)(3+x)=x2-3B.(3x+2)(3x-2)=3x2-4C.(5ab-c)(c+5ab)=25a2b2-c2D.(-6y+x)(6y+x)=x2-36y5.计算:(1)(5+6x)(6x-5)= ;(2) -13m+n-13m―n= .6.(2023浙江温州龙湾期中)若x2-y2=44,x-y=11,则x+y= .7.(2023浙江宁波中考)计算:(a+3)(a-3)+a(1-a).知识点2　平方差公式的应用8.为了美化城市,经统一规划,将一正方形草坪的一组对边增加4 m,另一组对边缩短4 m,则改造后的长方形草坪的面积比原来的面积( )A.增加8 m2B.增加16 m2C.减少16 m2D.保持不变9.解方程:(2a+1)(2a-1)-4a(a-1)=7.10. 用简便方法计算:(1)3 003×2 997;　(2)1102-109×111.11.如图,大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,大正方形与小正方形的面积之差是60,求阴影部分的面积.能力提升全练12.若a2-b2=4,则(a+b)2(a-b)2的值是( )A.24B.16C.8D.413.(2023江苏南京期中,5,★★☆)若(a+b)(p+q)能运用平方差公式计算,则p,q满足的条件可能是　( )①p=a,q=b;②p=a,q=-b;③p=-a,q=b;④p=-a,q=-b.A.①③B.①④C.②③D.②④14.(2020浙江衢州中考,12,★☆☆)定义:a※b=a(b+1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8,则(x-1)※x的结果为 .15.若3(a+2023)2=81,则(a+2 022)(a+2 024)= .16.若(2a+2b-1)(2a+2b+1)=63,求a+b的值.17.探究:如图①,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成如图②所示的长方形.比较两图阴影部分的面积,可以得到乘法公式: (用字母a、b表示).图①图②应用:请应用这个公式完成下列各题:(1)已知2m-n=3,2m+n=4,则4m2-n2的值为 ;(2)计算:(x-3)(x+3)(x2+9).18.(2022北京通州期中,25,★★☆)在整式(x-2)■(x+2)+▲中,“■”表示运算符号“-”“×”中的某一个,“▲”表示一个整式.(1)计算:(x-2)-(x+2)+(-5+y);(2)若(x-2)(x+2)+▲=3x2+6,求出整式“▲”;(3)若(x-2)■(x+2)+▲的计算结果是二次单项式,请直接写出一组满足条件的“■”和“▲”.素养探究全练19.【运算能力】先阅读,后计算.为了计算4×(5+1)×(52+1)的值,小黄把4改写成(5-1),然后可以连续运用平方差公式.计算过程如下:4×(5+1)×(52+1)=(5-1)×(5+1)×(52+1)=(52-1)×(52+1)=(52)2-1=624.请你借鉴小黄的方法计算:1×1+1+1+1+1+1+1+2答案全解全析基础过关全练1.C 根据平方差公式可得(1+y)(1-y)=1-y2.故选C.2.C (m-2)(m+2)=m 2-22,符合平方差公式,故本选项符合题意,故选C.3.A 原式=(-2+3a)(-2-3a)=(-2)2-(3a)2=4-9a 2,故选A.4.C (x-3)(3+x)=x 2-32=x 2-9,所以A 选项错误;(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x 2-4,所以B 选项错误;(5ab-c)(c+5ab)=(5ab)2-c 2=25a 2b 2-c 2,所以C 选项正确;(-6y+x)(6y+x)=x 2-(6y)2=x 2-36y 2,所以D 选项错误.故选C.5.答案　(1)36x 2-25　(2)19m 2-n 2解析　(1)原式=(6x+5)(6x-5)=(6x)2-52=36x 2-25.(2)原式 =-13m 2-n 2=19m 2-n 2.6.答案　4解析　∵(x+y)(x-y)=x 2-y 2,x 2-y 2=44,x-y=11,∴11(x+y)=44,∴x+y=4.7.解析　(a+3)(a-3)+a(1-a)=a 2-9+a-a 2=a-9.8.C 设正方形草坪的边长为x m,则面积为x 2 m 2.将该正方形草坪的一组对边增加4 m,另一组对边缩短4 m,则改造后的长方形草坪的长为(x+4)m,宽为(x-4)m,则改造后长方形草坪的面积为(x 2-16)m 2,故比原来的面积减少16 m 2.故选C.9.解析去括号,得4a 2-1-4a 2+4a=7,移项、合并同类项,得4a=8,系数化为1,得a=2.10.解析　(1)原式=(3 000+3)×(3 000-3)=3 0002-32=9 000 000-9=8 999 991.(2)1102-109×111=1102-(110-1)×(110+1)=1102-(1102-1)=1.11.解析　阴影部分的面积为12AE·BC+12AE·DB=12AE(BC+DB)=12(a-b)(a+b)=12(a 2-b 2)=12×60=30,∴阴影部分的面积为30.能力提升全练12.B　(a+b)2(a-b)2=[(a+b)(a-b)]2=(a2-b2)2,∵a2-b2=4,∴原式=42=16.故选B.13.C　∵(a+b)(p+q)能运用平方差公式计算,∴p=a,q=-b或p=-a,q=b或p=-b,q=a或p=b,q=-a,故选C.14.答案　x2-1解析　∵a※b=a(b+1),∴(x-1)※x=(x-1)(x+1)=x2-12=x2-1.15.答案　3解析　∵3(a+2023)2=81,∴3(a+2023)2=34,∴(a+2 023)2=4,∴(a+2 022)(a+2 024)=(a+2 023-1)(a+2 023+1)=(a+2 023)2-1=4-1=3.16.解析　∵(2a+2b-1)(2a+2b+1)=63,∴[2(a+b)-1][2(a+b)+1]=63,∴4(a+b)2-1=63,∴4(a+b)2=64,∴(a+b)2=16,∴a+b=±4.17.解析　探究:(a+b)(a-b)=a2-b2.应用:(1)12.(2)(x-3)(x+3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81.18.解析　(1)原式=x-2-x-2-5+y=y-9.(2)根据题意得整式“▲”=3x2+6-(x-2)(x+2)=3x2+6-(x2-4)=3x2+6-x2+4=2x2+10.(3)答案不唯一.如:“■”表示的运算符号是“×”,“▲”表示的整式是4.详解:∵“■”表示的运算符号是“×”,∴原式=(x-2)(x+2)+▲=x2-4+▲,∵计算结果是二次单项式,∴“▲”表示的整式是4.素养探究全练19.解析　1×1+1+1+1+1+1+1+2=1―1+1+1+1+1+1+1+=1―1+1+1+1+1+1+=1―1+1+1+1+1+=1―1+1+1+1+=1―1+1+1+=1―1+1+.=1―1+=1-12128。

2022-2023学年北师大版七年级数学下册1

2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1.5平方差公式》自主达标测试题（附答案）一．选择题（共7小题，满分35分）1．下列能用平方差公式计算的是（）A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）2．（5a2+4b2）（）＝25a4﹣16b4，括号内应填（）A．5a2+4b2B．5a2﹣4b2C．﹣5a2﹣4b2D．﹣5a2+4b2 3．已知a+b＝10，a﹣b＝6，则a2﹣b2的值是（）A．12B．60C．﹣60D．﹣124．已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（）A．4B．5C．6D．75．（﹣a+1）（a+1）（a2﹣1）等于（）A．a4﹣1B．﹣a4+1C．﹣a4+2a2﹣1D．1﹣a46．若，则下列a，b，c 的大小关系正确的是（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a7．如图，边长为（m+n）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为n，则长方形的面积是（）A．2m+2n B．m+2n C．2m2+n D．2mn+n2二．填空题（共7小题，满分35分）8．已知m2﹣n2＝20，m+n＝5，则m﹣n＝．9．如果（x+y+1）（x+y﹣1）＝8，那么x+y的值为．10．计算：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝．11．计算：20222﹣2021×2023＝．12．（3+2a）（﹣3+2a）＝．13．（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）+1的结果是．14．如图，从边长为（a+b）的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣b）的正方形（a＞b＞0），剩余部分又沿虚线剪开拼成一个长方形（无重叠无缝隙），则此长方形的周长为．三．解答题（共6小题，满分50分）15．运用平方差公式计算：（a+3b）（a﹣3b）．16．计算：（﹣2+y）（y+2）﹣（y﹣1）（y+5）．17．计算：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）．18．探究与应用我们学习过（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，那么（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）计算结果呢？完成下面的探究：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；……（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝；应用：计算2+22+23+24+ (22022)19．探究如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）应用：请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为．（2）计算：20222﹣2023×2021．拓展：（3）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．20．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．参考答案一．选择题（共7小题，满分35分）1．解：∵（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x+y）（x﹣y）；∴选项A符合题意；∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，∴选项B不符合题意；∵（x+2）（2+x）＝（x+2）2，∴选项C不符合题意；∵（2x+3）（3x﹣2）不是（a+b）（a﹣b）的形式，∴选项D不符合题意，故选：A．2．解：∵（5a2+4b2）（5a2﹣4b2）＝25a4﹣16b4，∴括号内应填5a2﹣4b2，故选：B．3．解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，a+b＝10，a﹣b＝6，∴a2﹣b2＝10×6＝60，故选：B．4．解：∵a﹣b＝2，∴a2﹣b2﹣4b＝（a+b）（a﹣b）﹣4b＝2（a+b）﹣4b＝2a+2b﹣4b＝2（a﹣b）＝2×2＝4．故选：A．5．解：（﹣a+1）（a+1）（a2﹣1）＝﹣（a﹣1）（a+1）（a2﹣1）＝﹣（a2﹣1）2＝﹣（a4﹣2a2+1）＝﹣a4+2a2﹣1，故选：C．6．解：∵a＝20220＝1，b＝（2022+1）×（2022﹣1）﹣20222＝20222﹣1﹣20222＝﹣1，c＝（﹣×）2022×＝（﹣1）2022×＝，∴b＜a＜c，故选：A．7．解：由题意得，拼成的长方形的面积为：S大正方形﹣S小正方形＝（m+n）2﹣m2＝2mn+n2，故选：D．二．填空题（共7小题，满分35分）8．解：∵m2﹣n2＝20，∴（m+n）（m﹣n）＝20，∵m+n＝5，∴5（m﹣n）＝20，∴m﹣n＝4，故答案为：4．9．解：设x+y＝m，原方程变形为（m+1）（m﹣1）＝8，m2﹣1＝8，m2＝9，m＝±3，x+y±3，故答案为：±3．10．解：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝（1﹣4a2）（1+4a2）＝1﹣16a4．故答案为：1﹣16a4．11．解：原式＝20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1，故答案为：1．12．解：原式＝（2a）2﹣32＝4a2﹣9．故答案为：4a2﹣9．13．解：原式＝﹣（1﹣2）（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）+1＝﹣（1﹣22）（1+22）（1+24）（1+28）+1＝﹣（1﹣24）（1+24）（1+28）+1＝﹣（1﹣28）（1+28）+1＝﹣（1﹣216）+1＝﹣1+216+1＝216．故答案为：216．14．解：由拼图可知，所拼成的长方形的长为a+b+（a﹣b）＝2a，宽为a+b﹣（a﹣b）＝2b，所以长方形的周长为（2a+2b）×2＝4a+4b，故答案为：4a+4b．三．解答题（共6小题，满分50分）15．解：（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣（3b）2＝a2﹣9b2．16．解：原式＝y2﹣4﹣（y2+5y﹣y﹣5）＝y2﹣4﹣y2﹣5y+y+5＝﹣4y+1．17．解：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）＝x2﹣4﹣6x2+18x＝﹣5x2+18x﹣4．18．解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1，故答案为：x3﹣1；（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣x﹣1＝x4﹣1，故答案为：x4﹣1；（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7+x6+x5+x4+x3+x2+x﹣x6﹣x5﹣x4﹣x3﹣x2﹣x﹣1＝x7﹣1，故答案为：x7﹣1；应用：∵（2﹣1）×（22022+22021+22020+ (1)＝22023﹣1，∴2+22+23+24+……+22022＝22023﹣2．19．解：【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，∴2m﹣n＝3．故答案为：3．（2）20222﹣2023×2021．＝20222﹣（2022+1）×（2022﹣1）＝20222﹣（20222﹣1）＝20222﹣20222+1＝1；【拓展】1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）＝199+195+…+7+3＝5050．20．解：（1）根据题意，由图1可得，阴影部分的面积为：a2﹣b2，由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，∵x+3y＝4∴x﹣3y＝3（3）＝＝＝．。

专题8.26 利用平方差公式解决几何问题(专项练习)-七年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)

专题8.26 利用平方差公式解决几何问题（专项练习）一、单选题1.（2021八上·丹江口期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1所示)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2所示).根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（）图1图2A.(a−b)2=a2−2ab+b2B.a(a−b)=a2−abC.b(a−b)=ab−b2D.a2−b2=(a+b)(a−b)2.（2020八上·渝北月考）如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（）A.a2−b2=(a+b)(a−b)B.(a+b)2-(a−b)2=4abC.(a+b)2=a2+2ab+b2D.(a-b)2=a2-2ab+b23.（2020八上·重庆月考）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，从图形的面积关系得到的数学公式是（）A.(a+b)(a−b)=a2−b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a−b)2=a2−2ab+b2D.a2−ab=a(a−b)4.（2020八上·朔城月考）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b(a>b)的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（）A.a2−b2=(a+b)(a−b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a−b)2=a2−2ab+b2D.a2−ab=a(a−b)5.（2020八上·城厢期中）如图（1）所示在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把拿下的部分剪拼成一个矩形如图（2）所示，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是()A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2D.(a+2b)(a﹣b)=a2+ab﹣2b26.（2020八上·长春月考）从下图的变形中验证了我们学习的公式（）A.a2−b2=(a−b)2B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a−b)2=a2−2ab+b2D.a2−b2=(a+b)(a−b)7.（2020八上·广西月考）把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是（）A.a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B.（a+b）2=a2+2ab+b2C.（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D.（a+2b）（a﹣b）=a2+ab+b28.（2020·郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A.x2−2x+1=(x−1)2B.x2−1=(x+1)(x−1)C.x2+2x+1=(x+1)2D.x2−x=x(x−1)9.（2020八下·宝安月考）如图，在边长为6.75cm的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为（）A.3.5cm2B.12.25cm2C.27cm2D.35cm210.（2020七下·涡阳月考）如图①，边长为a的大正方形中四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成一个长方形，（如图①）则这个长方形的面积为（）A.(a+2b)(a−2b)B.(a+b)(a−b)C.(a+2b)(a−b) D.(a+b)(a−2b)11.（2020七下·哈尔滨月考）如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y(其中x＞y)表示小矩形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中错误的是()A.x+y=7B.x﹣y=2C.x2﹣y2=4D.4xy+4=4912.（2020七下·长兴期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长（x>y），则①x-y=n；①xy= m 2−n24；①x2-y2=mn；①x2+y2= m2−n22中，正确的是（）A.①①①B.①①①C.①①①D.①①①①13.（2020·迁安模拟）通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是()A.(a-b)2=a2-2ab+b2B.(a+b)2=a2+2ab+b²C.2a(a+b)=2a2+2abD.(a+b)(a-b)=a2-b²14.（2020八下·襄阳开学考）如图通过将左图裁剪、用两块梯形拼接成右图，体现了什么数学公式（）A.a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B.（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C.a（a+b）＝a2+abD.（a+b）2＝a2+2ab+b215.（2020八上·绵阳期末）如图所示，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a > b) ，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（）A.a2- b2= (a + b)(a - b)B.(a + b) 2= a2 + 2ab + b2C.(a - b) 2= a2- 2ab + b2D.(a + 2b)(a - b) = a2 + ab - 2b216.（2020八上·德城期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）,把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A.a2-b2=（a+b）（a-b）B.（a+b）2=a2+2ab+b2C.（a-b）2=a2-2ab+b2D.a2-ab=a（a-b）17.（2020七下·天府新期末）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是()A.a2﹣2ab+b2＝(a﹣b)2B.a2﹣ab＝a(a﹣b)C.a2﹣b2＝(a﹣b)2D.a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)18.（2020七下·泗辖期中）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图①中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是()A.a2－b2＝(a＋b)(a－b)B.(a－b)2＝a2－2ab＋b2C.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D.(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b219.（2020七下·福田期中）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形.根据图形能验证的等式为（）A.a2−b2=(a−b)2B.a2−b2=(a+b)(a−b)C.(a−b)2=a2−2ab+b2D.(a+b)2=a2+2ab+b220.（2020七下·太仓期中）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是()A.(a+b)(a−b)=a2−b2B.(a−b)2=a2−b2C.b(a−b)=ab−b2D.ab−b2=b(a−b)二、填空题（共22题；共25分）21.（2020七下·天桥期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．①图2中的阴影部分的面积为________；①观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是________；，则（x﹣y）2=________；①根据（2）中的结论，若x+y=5，x•y= 94①实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你发现的等式是________．22.（2019八上·黄梅月考）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为________.23.（2020七上·平山期中）如图，边长为（m＋3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是________．24.（2020七下·太原期中）如图，利用图①和图①的阴影面积相等，写出一个正确的等式________．25.（2020七下·高新期中）如图，大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,若用x,y表示四个小长方形两边长（x>y），观察图案以下关系式正确的是________. （填序号）① xy=m2−n24；① x+y=m;① x2−y2=m⋅n；① x2+y2=m2+n2226.（2020八上·通辽期末）如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是________27.（2020八上·丰台期末）如图，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a的正方形（a>0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为________．28.（2019八上·孝感月考）如图，从边长为a+5的正方形纸片中剪去一个边长为a+2的正方形（a>0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为________ m2.29.（2019八上·江汉期中）如图，边长为n的正方形纸片剪出一个边长为n -3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若该长方形一边的长为3,则另一边的长为________.30.（2019七下·萧县期末）在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图（1）），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图（2）），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是________．（用字母表示）31.（2019七下·北区期末）如图1，把一个边长为（a+b）的大正方形切成4个全等的长方形和1个小正方形，大正方形的面积是49，中间小正方形的面积为16．图2中两个正方形的边长分别为a、b，则阴影部分的面积为________．32.（2019七下·即墨期末）如图，有两个大小不同的正方形A和B，现将A、B并列放置后构造新的正方形得到图①，其阴影部分的面积为16；将B放在A的内部得到图①，其阴影部分（正方形）的面积为4，则正方形A、B的面积之差为________.33.（2019·北京模拟）如图，从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b（a＞b）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是________（用含a，b的等式表示）．34.（2019·平谷模拟）如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是________．35.（2019七下·西安期中）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是________.36.（2018七下·长春月考）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为________．37.（2017·孝感）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为S1，S2，可化简为________．则S1S238.（2017七下·大石桥期末）如图所示，把三张边长均为2√5cm的正方形卡片A,B,C叠放在一个底面为正方形的盒底上，若底面未被卡片覆盖（阴影部分）的面积为5cm²,则盒底的边长是________.39.（2017·顺义模拟）如图的四边形均为矩形或正方形，根据图形的面积，写出一个正确的等式：________．40.（2018八上·黑龙江期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），由两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证________（填写序号）．① (a+b)2=a2+2ab+b2① (a−b)2=a2−2ab+b2① a2−b2=(a+b)(a−b)① (a+2b)(a−b)=a2+ab−2b241.（2018八上·兴义期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式________42.（2017七下·昌平期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为________三、综合题（共8题；共75分）43.（2020七下·溧水期末）如图①是由边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形.我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图①）.（1）探究：上述操作能验证的等式的序号是________.① a2＋ab＝a（a+b）① a2－2ab＋b2＝（a－b）2 ① a2－b2＝（a＋b）（a－b）（2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知4x2－9y2＝12，2x＋3y＝4，求2x－3y的值；①计算(1-122)×(1-132)×(1-142)×(1-152)×⋯×(1-11002)44.（2020七下·肃州期末）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是________，长是________，面积是________.（写成多项式乘法形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式________.（4）请应用这个公式完成下列各题：①已知4m2−n2=12，2m+n=4，则2m−n=________.①计算：20202−2018×2022________①计算：(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−120192)(1−120202)________45.（2020七下·北京期末）如图，有足够多的边长为a的小正方形(A类)、长为a宽为b的长方形(B类)以及边长为b的大正方形(C类)，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图①可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）取图①中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为(2a+b)(a+2b)，在虚框中画出图形．．．．，并根据图形回答(2a+b)(a+2b)=________（2）若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式________（3）如图①，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x>y），观察图案，指出以下正确的关系式___________填写选项）．A.xy = m2−n24B.x+y=mC.x2－y2=m·nD.x2+y2 = m2+n2246.（2020七下·新昌期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是________.（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形.这一过程你能发现什么代数公式？（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式.如果不能，请说明理由.47.（2020七上·鹿城月考）如图，一个长方形运动场被分隔成A,B,A,B,C共5个区，A区是边长为am的正方形，C区是边长为bm的正方形.（1）列式表示整个长方形运动场的面积，并将式子化简（2）如果a=50,b=30，求整个长方形运动场的面积.48.（2020八上·德化月考）用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；（2）利用（1）中的结论计算：a+b=2，ab=34，求a−b；（3）根据（1）中的结论，直接写出x+1x 和x−1x之间的关系；若x2−3x+1=0，分别求出x+1x 和(x−1x)2的值．49.（2020七下·扬州期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.（1）探究：上述操作能验证的等式是：（请选择正确的一个）A. a2−b2=(a+b)(a−b)B. a2+ab=a(a+b)C. a2−2ab+b2=(a−b)2（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知4x2−9y2=24，2x+3y=8，求2x−3y的值；①计算：(1−122)×(1−132)×(1−142)×(1−152)×⋅⋅⋅×(1−120202).50.（2020七下·西乡期末）乘法公式的探究及应用.（1）如左图，可以求出阴影部分的面积是________（写成两数平方差的形式）；（2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是________，长是________，面积是________（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式________（用式子表达）. （4）运用你所得到的公式，计算下列各题：① 10.3×9.7① (2m−n−p)(2m−n+p)参考答案一、单选题1.【考点】平方差公式的几何背景【解析】【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2−b2，第二个图形的面积是(a+b)(a−b)，则a2−b2=(a+b)(a−b).故答案为：D.【分析】利用正方形的面积公式和长方形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可.2.【考点】完全平方公式的几何背景，平方差公式的几何背景【解析】【解答】解：①左边阴影面积为a2−b2=(a+b)(a−b)右边梯形面积为(2a+2b)(a−b)2① a2−b2=(a+b)(a−b)故答案为：A.（上底+【分析】由第一个图可知，S阴影部分=S大正方形-S小正方形，由第二个图可知，S梯形=12下底）高，由题意可得S阴影部分=S梯形，整理即可判断求解.3.【考点】平方差公式的几何背景【解析】【解答】解：左边图形的面积可以表示为：（a＋b）（a−b），右边图形的面积可以表示为：（a−b）b＋a（a−b），①左边图形的面积＝右边图形的面积，①（a＋b）（a−b）＝（a−b）b＋a（a−b）= a2−b2，即：（a＋b）（a−b）＝a2−b2.故答案为：A.【分析】观察图形，分别表示两个图形的面积，然后根据两个图形的面积相等即可判断求解.4.【考点】平方差公式的几何背景【解析】【解答】解：左图阴影部分的面积＝大正方形的面积−小正方形的面积＝a2−b2；右图中矩形的长＝a＋b，宽＝a−b，右图的面积＝（a＋b）（a−b）．所以a2−b2=(a+b)(a−b)．故答案为：A．【分析】由于左图阴影部分的面积＝大正方形的面积−小正方形的面积＝a2−b2；右图长方形的长＝a＋b，宽＝a−b，可得长方形的面积=长×宽（a＋b）（a−b），由于阴影面积相等，即可得出结论.5.【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：由题可得：a2﹣b2=(a﹣b)(a+b)．故答案为：A．【分析】由图（1）得阴影部分的面积为a2﹣b2=，由图（2）得阴影部分的面积为(a﹣b)(a+b)，根据阴影部分的面积相等即得结论.6.【考点】平方差公式的几何背景【解析】【解答】解：左边正方形中有颜色部分的面积为a2-b2，右边长方形的面积为（a+b）（a-b），根据正方形中有颜色部分的面积=长方形的面积可得a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：D．【分析】根据正方形中有颜色部分的面积=长方形的面积可得．7.【考点】平方差公式的几何背景【解析】【解答】解：第一个图形剩下的部分面积为a2−b2，第二个图形的矩形面积为(a+b)(a−b)，则有a2−b2=(a+b)(a−b)，故答案为：A.【分析】第一个图形剩下的部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，再根据其与第二个图形的矩形面积相等即可得.8.【考点】列式表示数量关系，平方差公式的几何背景【解析】【解答】第一个图形空白部分的面积是x2-1，第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．则x2-1=（x+1）（x-1）．故答案为：B．【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．9.【考点】平方差公式及应用，正方形的性质【解析】【解答】图中阴影部分的面积S＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，即S＝6.752﹣3.252＝（6.75+3.25）×（6.75﹣3.25）＝10×3.5＝35cm2故答案为：D．【分析】根据图中阴影部分的面积S＝大正方形的面积﹣小正方形的面积分析即可得出答案．10.【考点】平方差公式的几何背景【解析】【解答】解：由图可知，长方形的长为a+2b，宽为a−2b，因此其面积为(a+2b)(a−2b).故答案为：A.【分析】根据图形，求出长方形的长和宽的表达式即可求出面积.11.【考点】平方差公式的几何背景【解析】【解答】A、因为正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，故此选项不符合题意；B、中间小正方形的边长为2，同时根据长方形长宽也可表示为x-y，故此选项不符合题意；C、根据A、B可知x+y=7，x-y=2，则x2-y2=（x+y）（x-y）=14，故此选项符合题意；D、因为正方形图案面积从整体看是49，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），即4xy+4=49，故此选项不符合题意；故答案为：C．【分析】分别根据大正方形边长、小正方形边长的不同表示可判断A、B，由A、B结论利用平方差公式可判断C，根据大正方形面积的整体与组合的不同表示可判断D．12.【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：小正方形边长为n；小正方形边长又可以为x-小长方形的宽，即x-y；①x-y=n；故①正确；S大正方形=m2，S大正方形=S小正方形+4S小长方形=n2+4xy①m2=n2+4xy即xy=m2−n2；4故①正确；x2-y2 =（x+y）（x-y）x+y为大正方形的边长m;x-y为小正方形的边长n；①x2-y2 =mn;故①正确；x2+y2=m2−n2；2m2-n2=2（x2+y2）①S大正方形-S小正方形=4xy；故①错误；故答案为：A.【分析】根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积和平方差公式可以判断。

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