2018高中数学苏教版选修2-2教学案：第3章 3.1 数系的扩充
《数系的扩充》高中数学选修2—2教案
数系的扩充高中数学选修2—2教案第一部分：引言数系是数学的基础，它由整数、有理数和无理数组成。
这些数形成了数轴上的无穷多个点，构成了我们熟悉的数字系统。
然而，在高中数学选修2课程中，我们将继续探索数系的扩充，进一步拓展我们的数学视野。
第二部分：综述数系在开始学习数系的扩充之前，我们需要回顾一下已经学过的数系。
整数是由正整数、负整数和零组成，它们可以进行加、减和乘法运算。
有理数则包括整数和分数，可以进行除法运算。
无理数是不能表示为两个整数之比的数，例如π和√2。
第三部分：实数系的扩充实数系是数学中最基本的数系，它包括了整数、有理数和无理数。
然而，实数系仍然存在一些限制。
为了解决这些限制，数学家们提出了一些数系的扩充。
1. 复数复数是实数系的扩充，它由实数和虚数构成。
虚数定义为负数的平方根，记作i。
复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数部分和虚数部分。
复数可以进行加、减、乘和除的运算。
2. 球面数系球面数系是通过在实数系上添加了无穷远点来扩充实数系的。
它用来描述三维空间中的点和向量，常用于几何学和物理学的研究中。
3. 四元数四元数是一种更为复杂的数系扩充，它由实数和虚数构成。
四元数可以表示为a+bi+cj+dk的形式，其中a、b、c和d为实数部分和虚数部分。
四元数可以进行加、减、乘和除的运算，被广泛应用于计算机图形学和机器人学领域。
第四部分：数系扩充的应用数系的扩充不仅仅是数学理论上的概念，它们在实际生活和科学研究中具有重要的应用价值。
1. 复数的应用复数在电路分析、信号处理和量子力学等领域中得到广泛应用。
例如，复数可以表示交流电路中的电压和电流，通过复数运算可以方便地计算电路的各种参数。
2. 球面数系的应用球面数系可以用来描述天体运动和地球的形状。
例如，使用球面数系可以计算天体的位置和速度，以及地球上各地的经纬度。
3. 四元数的应用四元数在计算机图形学和机器人学领域中起着重要作用。
例如，使用四元数可以进行三维物体旋转的运算，通过四元数插值可以实现平滑的物体动画效果。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充教学案 苏教版选修2-2-苏教版高二选修
3.1 数系的扩充[对应学生用书P52]一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果〞．它是从条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴〞或“⇒〞．(2)分析法是“执果索因〞，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近(条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法那么等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……〞或“⇐〞．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确〞的过程中，必须用“归纳假设〞，否那么就是错误的．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测二 见8开试卷 一、填空题(本大题共14个小题，每题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积． 故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大． 答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．以下说法正确的选项是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论〞形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，那么结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，那么结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．“因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ，BD 互相垂直且平分．〞以上推理的大前提是________．答案：菱形对角线互相垂直且平分5．在平面上，假设两个正三角形的边长比为1∶2，那么它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，假设两个正四面体的棱长比为1∶2，那么它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶86．(某某高考)观察分析下表中的数据：解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点〞，可类比猜想出正四面体的一个性质为________．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心 8．x ，y ∈R ＋，当x 2＋y 2＝________时，有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1. 解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1， 只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2， 即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2.只需使(1－x 2－y )2＝0， 即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1. 答案：19．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1；③那么当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，那么当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤中错误的选项是________． 解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误． 答案：③10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，假设OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，那么14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，假设OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，那么m 2，n 2的等差中项为________．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP ＝m OA ＋n OB 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －n a ，y ＝m ＋n b ，代入x 2a 2＋y 2b2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．(某某高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，那么 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案：1412．x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，那么a的值为________．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋nnxn ≥n ＋1，故a ＝n n.答案：n n13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展〞而来(n ＝1,2,3，…)，那么第n 个图形中共有________个顶点．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 那么a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…，a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6.答案：n 2＋5n ＋614．(某某高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以以下出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题总分值14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立，又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4.⎝ ⎛⎭⎪⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立∴1a ＋1b ＋1ab≥8.16．(本小题总分值14分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n (n ∈N *)，假设T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5na n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，①所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n，②由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n＝1＋15×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152×52＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n＝n ＋a n ·5n， 所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n . 17．(本小题总分值14分)观察①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α ＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋1＋cos 60°＋2α2＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α＝34. 18．(本小题总分值16分)实数a 、b 、c 满足0<a ，b ，c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不可能同时大于1.证明：假设(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1， 那么三式相乘：(2－a )b (2－b )c (2－c )a >1① 而(2－a )a ≤⎝⎛⎭⎪⎫2－a ＋a 22＝1，同理，(2－b )b ≤1，(2－c )c ≤1， 即(2－a )b (2－b )c (2－c )a ≤1， 显然与①矛盾， 所以原结论成立．19．(本小题总分值16分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)由S n ＝2n －a n ，得，a 1＝2－a 1，即a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，解得a 2＝32. S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，解得a 3＝74. S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，解得a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， 那么a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k＝2k ＋1－12k ＋1－1， 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①和②，可知猜想对任何n ∈N *都成立， 即a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．20．(本小题总分值16分)函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)．(2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n 与1的大小，并说明理由．解：(1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立， 即a k ≥2k－1；那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k－1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立， 综上所述，命题成立．(2)∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n，∴11＋a n ≤12n .∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 3.1 数系的扩充》5
《数系的扩充》教学设计一、学情分析：在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。
另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯．二、教学目标1在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。
2理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．三、重点与难点重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念．难点：复数的概念．四、教具 15-12-=x 取什么值时，复数是：（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？（4）0追问：如何说明两个复数相等？πsin ,2,6,25,3421,0,32,52i i i i i i ++--（五）反思回顾问题：你学到了什么？你还有什么疑惑？你进一步想探究的是什么？回顾本节课，i的引入者是欧拉，问题的提出者是卡当，卡当虽然没有解决问题，但他依然是大数学家，因为，发现问题比解决问题更重要，哈尔莫斯说，问题是数学的心脏．会不会还有复数以外的数呢？数学是无穷的科学，正如这无边无际的海洋．我们就是这一叶扁舟，在知识的海洋探索永无止境，屈原说“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”以此和大家共勉．（投影：问题是数学的心脏．数学是无穷的科学．路漫漫其修远兮，吾将上下而求索．）设计意图：通过学生总结、教师提炼，深化内容，让学生体会数系扩充过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．最后，以三句名言作为结束语，期望与学生产生共鸣．（六）课外作业1、上网搜索复数的发展历史和在科学技术发展中的作用。
2、能否运用类比推理由实数性质得到复数性质？。
苏教版数学高二-备课参考数学苏教版选修2-2教案 3.1 数系的扩充
1.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.
2.已知m∈R，复数z= +(m2+2m－3)i，当m为何值时，
(1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z= +4i.
答案：
1.解：方程化为(x2+mx+2)+(2x+m)i=0.∴ ，
∴x=－ ，∴ ∴m2=8，∴m=±2 .
教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用
教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立
有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所：
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N
随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 3.1 数系的扩充》4
数系的扩充江苏省奔牛高级中学 周伯明 教学目标：1、 经历数的概念的发展和数系的扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；2、 理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件﹒教学过程：一、引入投影：选修2-2 数系的扩充教师：同学们，很高兴有机会和大家一起来学习《数系的扩充》这一节知识当你看到本节课的课题时，你的第一感觉是本节课要学习什么内容呢？学生：应该是和数、数集有关系，数集的扩充吧﹒教师：你的直观感觉很正确，那我们先一起来回顾一下以前我们所学习过的数集？学生：我们已经学习了自然数集（N ）、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 等集合﹒教师：很好！那你能理出它们之间的关系吗？ 学生：N Z Q R ⊆⊆⊆ ﹒教师：很好！在上述包含关系中，能把包含符号改写成真包含符号吗？为什么呢？数集是怎样一步步扩充的呢？学生：可以！从整数集中除了自然数，还有负整数；有理数集中除了整数，还有分数；实数集中除了有理数还有无理数二、了解数集扩充的必要性教师：很好！那么同学们知道为什么以上数集要一步步扩充呢？ 具体的说？教师：人类因为计数的需要才产生了自然数，形成了自然数集但是仅有自然数是不够用的，生活和生产实践的需要也推动了数的不断发展，这里我们不妨大致回顾一下数的发展简史首先从社会生活的角度来看数的发展−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−−→−−−−−−−−−−→为了计数的需要满足测量与分配等的需要满足刻画相反意义的量的需要满足度量正方形对角线长等的需要自然数分数负数教师：这一切在今天看起来是那么的自然，然而在数学史上，每一步的跨出都充满了艰难与曲折﹒比如，“0”这个自然数的出现就比其他自然数迟了很多年；又如，在无理数诞生之前，人们发现边长为1的正方形的对角线长既不能用整数来表示，又不能用两个整数的比来表示，从而引发了一次数学危机，甚至有人为之献出了宝贵的生命有兴趣的同学，课后可以查阅相关的资料教师：我们常说数学话给我们什么启发呢？所以我们再从数学发展的内部来看看数集为何要进行扩充请同学们解以下方程：①6=5；②3-2=0;③2-2=0学生：①-1；②23；③教师：23-2=0-2=0 N Z Q R x x x −−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→为了计数的需要满足减法的需要满足解+6=5等方程的需要满足除法的需要满足非负数开方的需要满足解等方程的需要满足解等方程的需要严格的说，上述答案不够准确，因为事先没有规定在哪个数集内解这些方程在自然数集里，方程①其实是无解的﹒在自然数集中，任意两个数做加法和乘法是没有问题的，但是在做减法的时候较小的数是不能减去较大的数的，所以为了满足数的运算的需要，我们引入了负数，数集扩充到整数集﹒同理，如果在整数集中，方程②也是无解的﹒在整数集中，加法、减法和乘法总可以实施，但是，除法只能解决整除的问题，为此引入分数，数集扩充到有理数集根据以上的分析，你知道在有理数集中方程③为什么会无解吗？要想有解，该怎么办？学生：在有理数集中，加法、减法、乘法和除法（除数不为0）总可以实施但是，开方的结果可能不是有理数，所以方程③无解﹒为此引入无理数，数集扩充到实数集﹒教师：那么在实数集中所有的运算都能实行了吗？学生：四则运算都能实行，开方只能对非负数三、总结数集扩充的规律教师：现在我们回头反思一下数的发展历程，看看能不能从中获得一些启示：（1）每一次对数集进行扩充时，是如何解决矛盾的？学生：新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的﹒（2）数集扩充之后，有没有影响到原有的运算及性质？学生：没有教师：对，具体得说，将自然数集扩充到整数集的时候，我们添加了负数，那么新引进的负数可以与原来的自然数进行四则运算，而且原有的加法、乘法运算律仍然成立；将整数集扩充到有理数集时，新引进的分数可以与原来的整数进行四则运算，而且加法、乘法运算律仍然成立那么，将有理数集扩充到实数集的时候，你们能类似的表述一下吗？学生：新引进的无理数可以与原来的有理数进行四则运算，而且原有的加法、乘法运算律仍然成立﹒教师：为什么不提减法和除法的运算性质？学生：因为减法、除法可以分别转化为加法和乘法教师：很好！也就是说，数集的每一次扩充，新添加的数可以与原来的数进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立简单概括，即“运算照旧”教师：综上所述，“引进新数”和“运算照旧”可以看成是数集扩充时应遵循的两个基本原则四、扩充数系教师：回到刚才解方程的话题，数集扩充到实数集后，是不是所有的方程都有解了呢？学生：不对﹒教师：在学习过程中经常遇到一元二次方程无解的情况，其中最简单的一个无解的一元二次方程是21=0教师：新的矛盾出现了，回头看实数集中的运算，其实只是部分解决了开方运算，说明实数集也不够用了，如何解决？学生：再对实数集进行扩充（引进新数）﹒教师：（也即进行数系的扩充）那么如何再对实数集进行合理地扩充呢？这是我们这节课要研究的核心问题在刚才的分析过程中我们发现研究数集常常和相应运算联系在一起，所以我们把一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系，所以，我们今天研究的课题是——数系的扩充（板书课题）﹒教师：现在我们把目光再聚焦在这个一元二次方程上21=0﹒类似无解的一元二次方程还有很多，比如22=0,23=0等等教师：要想这些方程有解，关键是负数有平方根就行了﹒可是有很多负数，怎么办？教师：我们发现一般的-a = a ×（-1），（a > 0），所以，关键还是方程2 = -1有解，你打算怎么办？学生:引进一个新数﹒教师：很好！大数学家欧拉也是这么想的，他把这个数记为i，该字母源于英文单词“imag i nar”的第一个字母，是“假想的、虚构的”意思，在数学里，我们称之为虚数单位﹒教师：根据数系扩充的原则，你认为应该给i做哪些合理的规定先个人思考，然后再相互交流﹒学生：为解决矛盾，应规定：i2 = -1；为了“运算照旧”，应规定：实数可以与i进行四则运算，而且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立教师：板书虚数单位及规定引入虚数单位“i”，并规定：（1）i2=-1（2）实数可以和i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立教师：引进新数i后方程2=-1的解是什么呢？学生：±i教师：既然实数可以和i进行四则运算，3可以加i吗？可以减吗？可以乘吗？即有3i , 数吗？（学生讨论，交流）教师：：你能写出一个统一形式，把刚才写出来的数都包含在内吗？学生：ab i（a，b∈R）教师：很好！这些数都由两个部分复合而成，一部分是实数，另一部分是实数与虚数单位的乘积，所以我们给它们取一个很形象的名字——复数﹒我们就把ab i（a，b∈R）称为复数的代数形式由所有复数构成的集合称为复数集，用C表示，该字母教师：ab i （a，b∈R）能表示实数吗？学生：若虚部为零，此时它就是实数；若虚部不为零，就把ab i（a，b∈R）称为虚数板书：当且仅当b=0时，是实数a；当b≠0时，叫做虚数，特别地，当a=0且b≠0时，=b i叫做纯虚数问题：引进复数后，复数集C与实数集R之间的关系是什么？学生：R C⊆﹒教师：现在已知复数12.()z a bi z c di a b c d R=+=+∈，其中，，，若a c b d==，，则复数12z z，为何关系？反之成立吗？板书：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即,.a c a bi c dib d =⎧+=+⇔⎨=⎩这就是说，两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等五、反馈练习教师：学以致用，下面我们通过几条题目来巩固一下今天学习的知识﹒ 概念巩固判别下列复数是实数还是虚数？如果是虚数，则判断它们是否为纯虚数，并说明其实部和虚部12i -，2012i +，2，22i，(2i ，1()ai a R +∈，22()()()a a a a i a R -++∈追问1：1()ai a R +∈有没有可能和前面的某个复数相等？为什么？追问2：22()()()a a a a i a R -++∈能否和2012i +相等？若能，你能求出相应的实数a 的值吗？ 备用练习 练习1 实数m取什么值时，复数(1)(1)z m m m i =-+-是：（1）实数？ 2虚数？（3）纯虚数？ 练习2已知()(2)(25)(3)x y x y i x x y i ++-=-++，求实数，的值六、课堂小结教师：下面请同学回忆归纳一下今天这节课所学到的知识学生：（1）数系的扩充过程、扩充的必要性和扩充的规则；（2）复数的基本概念； （3）复数相等的条件教师：今天，我们一节课就已经掌握了复数的概念，在数学史上，这一过程经历了近300年，许多卓越的数学家为之作了重大的贡献 也许会有同学问，复数系够用了吗？还要不要再扩充？那么，我只能回答说目前的确有一些数学家正在研究这个问题，比如，有人提出了建立超复数系的设想﹒但可以明确的是，在我们中学阶段，复数系已经够用了﹒在以后的学习过程中，不加特殊说明的情况下，仍然在实数集范畴内进行研究。
高中数学苏教版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》word导学案(含解析)
第3章数系的扩充与复数的引入第1课时数系的扩充教学过程随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.一、问题情境怎样将实数集进行扩充,使得x2=-1之类方程在新的数集中有解呢?二、数学建构问题1怎样解决-1也能开平方的问题?解引入虚数单位i,规定:① i2=-1;②实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.i是-1的一个平方根.问题2根据虚数单位的规定,得到形如a+b i(a,b∈R)的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数?解①复数的定义:形如a+b i(a,b∈R)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示.②复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即z=a+b i(a,b∈R),把复数表示成a+b i的形式,叫做复数的代数形式.问题3复数与实数有什么关系?解对于复数a+b i(a,b∈R),当且仅当b=0时,复数a+b i(a,b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+b i 叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=b i叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.(图1)学生分组活动活动1复数集C和实数集R之间有什么关系?活动2如何对复数a+b i(a,b∈R)进行分类?活动3复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗?问题4a=0是z=a+b i为纯虚数的充分条件吗?解是必要不充分条件.问题5两个复数相等的充要条件是什么?解两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,如果a,b,c,d∈R,那么a+b i=c+d i⇔a=c,b=d.问题6:任何两个复数都能比较大小吗?解如果两个复数都是实数,就可以比较大小;当两个复数不全是实数时,不能比较大小.三、数学运用【例1】(教材第110页例1)写出复数4,2-3i,0,-错误！未找到引用源。
苏教版高中数学选修(2-2)-3.1《数系的扩充》参考教案1
3.1 数系的扩充【教学目标】1．经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求．2．理解复数的基本概念及复数相等的充要条件．3．使学生感悟与体会数学的科学价值与文化价值，提高学生的数学素养．【教学重点】复数的引入与复数的分类．【教学难点】复数概念的引入．【教学过程】一、问题情境：问题的提出：将数字10分成两部分，使他们的乘积等于40，求这两部分？（让学生展开讨论，提出解决问题的方案，并引导学生发现：由于负数不能开平方，从而该方程在实数范围内无解．）二、学生活动被誉为最后一位数学通才的彭加勒曾说：“若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状”．现在，还是先让我们沿着历史的足迹，重温数的发展历程即数系不断扩充的过程！（板书课题）（与学生一起回顾数学史，经历数的概念的发展和数系扩充的过程，感受数学的应用价值与文化价值，体会数学创造与发现的过程．）1．数系的扩充是生产实践与社会发展的需要．（1）计数的需要产生了自然数．（2）为了表示具有相反意义的量引入了负数，数集由自然数集扩充为整数集．（3）为了测量与分配的需要，引入了分数，数集由整数集扩充为有理数集．（4）第一次数学危机，使人们发现了无理数，数集由有理数集扩充为实数集．2．数系的扩充是数学内部发展的需求．从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的，不妨以解方程为例：x+=有自然数解吗？问题1：在自然数集中方程40x+=有自然数解吗？问题2：在整数集中方程40x-=有解吗？问题3：在整数集中方程320x-=有解吗？问题4：在有理数集中方程220点评：从自然数集、整数集、有理数集到实数集：（1）每一次数的概念的发展，新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的．（2）在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾．三、意义建构1．数集进一步扩充的必要性x+=有实数解吗？问题5：方程210x+=无解，负数不能开平方的问题，表明数的概念需要进说明：面临方程210一步发展，实数集需要进一步扩充．2．实数集扩充的方法（1）引入新数数集每一次的扩充，都引入了一种新数，使得到的新的数集包含了扩充前的旧数集．因此，实数集再扩充，就要引入新数．（2）引入虚数①历史回顾：1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了.”(((=++-=+-1055 4055“数”吗？它表示什么意义呢？②1637年，法国数学家笛卡儿给这样的新数起名为虚数，即“虚的数”与“实数”相对应．（3）认识复数①引入虚数后，数系又扩充为什么样的数集呢？=-，且称②1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”,它满足：i21为虚数单位．。
高中数学教案选修2-2《第3章 数系的扩充与复数的引入》最新修正版
目标定位：数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需要．复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．《标准》在选修1-2与选修2-2中设计了数系的扩充与复数的引入的内容，突出数系的扩充过程，实现了基础教育数学课程中数系从实数到复数的又一次扩充．《标准》强调复数的代数表示法及代数形式的加减运算的几何意义，淡化烦琐的计算和技巧性训练，从而体会数学体系的建构过程、数形结合思想以及人类理性思维在数学发展中的作用，有助于发展学生的创新意识．引进虚数，把实数集扩充到复数集，这是中学课程里数的概念的最后一次扩充．虚数的引入，虽然最先是由于数学本身的需要，但也只有当复数表示平面上的点这一几何解释出现之后，在解决实际问题中才得到广泛的应用，复数才被人们承认并且巩固了下来．复数与平面向量有着密切的联系．复数的向量形式是它的几何意义之一；借助向量，我们可以得到复数的加法法则，并赋予其几何意义；复数减法的几何意义与向量减法也是一致的．这种数形结合的思想丰富了我们研究问题和解决问题的范围和手段．同时，复数作为一种新的“数学语言”也为我们今后用代数方法解决几何问题提供了可能．数系的扩充与复数的引入与2002年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》相比，删去了复数的三角形式以及复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等内容，突出了数系的扩充过程、复数的代数表示法、代数形式的四则运算以及加减运算的几何意义．教材解读：复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《标准》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．注重提高学生的数学思维能力是高中数学课程的基本理念之一，也是高中数学教育的基本目标之一．人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程．它们是数学思维能力的具体体现．数系的扩充与复数的引入具体地综合体现了上述数学思维过程．这些使得学生可以在以往具体经历各种数学思维方式的基础上，在更高层次上加以理解．本章教学内容虽然不多，但中学阶段重要的数学思想方法都有所体现．时，常用到待定系数法建立相应的方程组来解决．这充分体现了转化化归思想和方程思想．复数包括实数和虚数两部分，虚数还分纯虚数和非纯虚数．解决与复数概念有关的问题时，对虚部b的讨论十分关键．要合理地加以分类讨论，要注意不重复且不遗漏．复数的四则运算可类比实数运算来学习，但它不是实数运算合情推理的结果，而是一种“规定”，是新的定义．复数的四则运算本身也是一个建构的过程，其前提是对虚数单位i的两个规定，从而形成了一个具有公理化结构特点的小系统．公理化思想的有机渗透，对学生体会数学精神，感悟数学本质很有教育价值．对本章的教学提出以下建议：1．数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需求．教学中，应突出数系的扩充过程，让学生通过回忆以往的学习历程，了解数集的每一次扩充，既是客观实际的需要，又是数学内部发展的需要．从数的运算和解方程的角度感悟“实数不够用了”，从而理解引入虚数的必要性．2．复数的运算是一种新的规定，它是数学体系建构过程中的重要组成部分．学生通过类比归纳、运算求解，进一步体会在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾，有利于形成对数学较为完整的认识．3．在复数运算的教学中，可以类比多项式的运算法则来理解和记忆．应注意避免烦琐的计算与技巧训练．对于有兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求x3＝1的根，介绍代数学基本定理等．4．复数的几何意义和复数加减法的几何意义，可结合平面解析几何和平面向量中的有关知识来学习，这种数形结合的思想丰富了我们研究问题和解决问题的范围和手段．。
高中数学苏教版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》word导学案(含解析)
第 3 章 数系的扩充与复数的引入第1课时 数系的扩充教学过程随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.一、 问题情境怎样将实数集进行扩充,使得x 2=-1之类方程在新的数集中有解呢?二、 数学建构问题1 怎样解决-1也能开平方的问题?解 引入虚数单位i ,规定:① i 2=-1;① 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.i 是-1的一个平方根.问题2 根据虚数单位的规定,得到形如a+b i (a ,b ∈R )的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数?解 ① 复数的定义:形如a+b i (a ,b ∈R )的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C 表示.① 复数的代数形式:复数通常用字母z 表示,即z=a+b i (a ,b ∈R ),把复数表示成a+b i 的形式,叫做复数的代数形式.问题3 复数与实数有什么关系?解 对于复数a+b i (a ,b ∈R ),当且仅当b=0时,复数a+b i (a ,b ∈R )是实数a ;当b ≠0时,复数z=a+b i 叫做虚数;当a=0且b ≠0时,z=b i 叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z 就是实数0.(图1)学生分组活动活动1 复数集C 和实数集R 之间有什么关系? 活动2 如何对复数a+b i (a ,b ∈R )进行分类? 活动3 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗? 问题4 a=0是z=a+b i 为纯虚数的充分条件吗? 解 是必要不充分条件. 问题5 两个复数相等的充要条件是什么? 解 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,如果a,b,c,d∈R,那么a+b i=c+d i∈a=c,b=d.问题6:任何两个复数都能比较大小吗?解如果两个复数都是实数,就可以比较大小;当两个复数不全是实数时,不能比较大小.三、数学运用【例1】(教材第110页例1)写出复数4,2-3i,0,-+i,5+i,6i的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.[1](见学生用书P54)[处理建议]让学生口答,根据复数的定义,学生一般能回答这个问题,指出复数由两部分组成.[规范板书]解4,2-3i,0,-+i,5+i,6i的实部分别是4,2,0,-,5,0;虚部分别是0,-3,0,, ,6.4,0是实数;2-3i,-+i,5+i,6i是虚数,其中6i是纯虚数.[题后反思]对于复数z=a+b i(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.变式实数0是复数吗?i2的实部与虚部分别是什么?[规范板书]解0是复数;由i2=-1知,i2实部为-1,虚部为0.【例2】(教材第110页例2)实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+i(m-1)是:(见学生用书P54)(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?[2][处理建议]先分析,注意字母的取值范围.由m∈R可知(m-1),m(m-1)都是实数,根据复数的分类分别确定m的值.然后让学生上黑板板书,看学生是否是先列式后求解.尤其观察学生有没有对纯虚数分实部、虚部两个方面列式.[规范板书]解(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数.(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数.(3)当m(m-1)=0,且m-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.[题后反思]判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要观察参数的取值范围,然后正确列式、解方程或不等式.变式m取何实数时,复数z=+(m2-2m-15)i 是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?[规范板书]解(1)由解得所以当m=5时,z是实数.(2)由得所以当m≠5且m≠-3时,z是虚数.(3)由得所以当m=3或m=-2时,z是纯虚数.[题后反思]判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值有意义,如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m+3≠0,就会酿成根本性的错误;其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,多与少都是不对的,解答后进行验算是很有必要的.【例3】(教材第111页例3)已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求实数x,y的值.[3](见学生用书P54)[处理建议]要让学生规范表达和书写,把复数相等转化为求实数方程组的解.[规范板书]解根据两个复数相等的充要条件,可得解得[题后反思]复数问题实数化.变式已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∈P=P,求实数m的值.[规范板书]解因为M∈P=P,所以M∈P.①由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1.①由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解得m=2.综上可知m=1或m=2.[题后反思](1)复数相等的条件,是求复数值及在复数集内解方程的重要依据.(2)根据复数相等的定义可知,在a=c,b=d中,只要有一个不成立,那么a+b i≠c+d i.所以,一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,1+i和3+5i不能比较大小.*【例4】已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,求k的值.[4][处理建议]分析条件,由z<0知z∈R且实部为负数.[规范板书]解因为z<0,k∈R,所以所以k=2.[题后反思]只有两个复数都是实数时,才能比较大小.一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,2i和3i不能比较大小.四、课堂练习1.设C={x|x为复数},A={x|x为实数},B={x|x为纯虚数},全集U=C,那么下列结论正确的是①.(填序号)①A∈B=C;①∈U A=B;①A∩∈U B=∈;①B∈∈U B=C.2.已知a,b∈R,则a=b是(a-b)+(a+b)i为纯虚数的必要不充分条件.3.已知复数z=m2(1+i)-(m+i)(m∈R),若z是实数,则m的值为±1;若z是虚数,则m的取值范围是(-∞,-1)∈(-1,1)∈(1,+∞);若z是纯虚数,则m的值为0.提示z=(m2-m)+(m2-1)i.当m2-1=0,即m=±1时,复数z是实数.当m2-1≠0,即m≠±1时,复数z是虚数.当m2-m=0,且m2-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.4.若实数x,y满足(x+y)+(x-y)i=2,则xy的值是1.提示由(x+y)+(x-y)i=2(x,y∈R)得所以所以xy=1.五、课堂小结1.本节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及有关分类问题,复数相等的充要条件等概念.2.基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识形成较完整的认识,以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题.第2课时复数的四则运算(1)教学过程一、问题情境由(2+3x)+(1-4x)=3-x类比猜想,能否按同样的法则实施复数的加法呢?例如,(2+3i)+(1-4i)=3-i是否合理?二、数学建构问题1在复数集中两个复数如何进行加法运算?解在引入虚数单位i的过程中,规定i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算.在对复数的加法进行运算时,又作一次新的规定:规定:若z1=a+b i,z2=c+d i,则z1+z2=(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d)i.问题2在实数范围内,两个数的加法满足哪些运算律?在复数范围内,能否也成立?问题3怎样理解复数的减法法则?解复数减法是复数加法的逆运算.设(a+b i)-(c+d i)=x+y i(x,y∈R),即复数x+y i为复数a+b i减去复数c+d i的差.由规定,得(x+y i)+(c+d i)=a+b i,依据加法法则,得(x+c)+(y+d)i=a+b i,依据复数相等定义,得即故(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d)i.从而记z1=a+b i,z2=c+d i,得z1-z2=(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d)i.问题4初中学习了多项式乘以多项式,你们能化简(a+b)(c+d)吗(a,b,c,d是有理数)?积还是无理数吗?若将“”换为“i”,其中i是虚数单位,能化简吗?(a,b,c,d都是实数)解(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd··=(ac+2bd)+(ad+bc).因为a,b,c,d∈Q,所以ac,2bd,ad,bc都是有理数.所以ac+2bd∈Q,ad+bc∈Q.而是无理数,当ad+bc≠0时,(a+b)(c+d)是无理数.又(a+b i)(c+d i)=ac+ad i+bc i+bd i2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(因为i2=-1,所以才能合并)因为a,b,c,d∈R,所以ac-bd∈R,ad+bc∈R.所以(ac-bd)+(ad+bc)i是复数.这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则,于是规定复数的乘法按照以下的法则进行:设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+b i)(c+d i)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.问题5实数的乘法满足哪些运算律?复数中能类比吗?解实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律.这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即z1,z2,z3∈C,有(1)z1·z2=z2·z1;(2)(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3);(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数的代数式相乘,可按多项式类似的办法进行,只是在运算过程中把i2换成-1,然后把实部与虚部分别合并,不必去记公式.问题6复数z=a+b i的共轭复数是什么?特别地,实数a的共轭复数是什么?解=a-b i;实数的共轭复数是它本身.三、数学运用【例1】(教材第114页例1)计算:(1-3i)-(2+5i)+(-4+9i).[1](见学生用书P55)[处理建议]类比多项式合并同类项法则,把实部与虚部分别相加减.[规范板书]解原式=(1-2-4)+(-3-5+9)i=-5+i.[题后反思]不要省略步骤,提高运算的正确率.变式计算(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2019+2019i)+(2019-2019i).[规范板书]解法一原式=(1-2+3-4+...-2019+2019)+(-2+3-4+5+ (2019)2019)i=(2019-1001)+(1001-2019)i=1002-1003i.解法二因为(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,…(2019-2019i)+(-2019+2019i)=-1+i,相加得(共有1001个式子):原式=1001(-1+i)+(2019-2019i)=(2019-1001)+(1001-2019)i=1002-1003i.【例2】(教材第114页例2)计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i).[2](见学生用书P56)[处理建议]3个复数相乘,先计算其中两个复数的积,再与第3个复数相乘.[规范板书]解原式=(-8+i)(-1+3i)=5-25i.[题后反思]也可以计算后两个复数的积,再与第1个复数相乘,从而验证复数乘法满足结合律.【例3】(教材第114页例3)计算(a+b i)(a-b i).[3](见学生用书P56)[处理建议]类比多项式平方差公式,要记得把i2换成-1.[规范板书]解原式=a2-(b i)2=a2+b2.[题后反思]在复数集内,两个实数的平方和也能分解因式.变式在复数范围内分解因式:(1)x2+4;(2)x4-4.[规范板书]解(1)x2+4=(x+2i)(x-2i).(2)x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x+i)(x-i)(x+)(x-).*【例4】已知z=(3i-1)i,则=-3+i.[4][处理建议]先进行乘法运算,然后根据共轭复数的定义求出结果.[规范板书]解z=(3i-1)i=-3-i,所以=-3+i.[题后反思]认清符号表示z的共轭复数.*【例5】已知z-3i=1+3i,求复数z.[5][处理建议]这是一道复数方程,利用复数相等的充要条件把复数方程转化为实数方程组.[规范板书]解设z=a+b i(a,b∈R),则a2+b2-3i(a-b i)=1+3i,所以有a2+b2-3b=1且-3a=3,解得a=-1,b=0或b=3,故z=-1或z=-1+3i.[题后反思]待定系数法解复数方程.四、课堂练习1.计算:(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=4+8i.提示(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=(6+3-5)+(6-1+3)i=4+8i.2.复数z=i2(1+i)的虚部为-1.提示z=i2(1+i)=(-1)·(1+i)=-1-i,所以虚部为-1.3.若复数z=-1+2i,则复数的虚部是-2.提示因为z=-1+2i,所以=-1-2i,所以虚部为-2.4.把复数z的共轭复数记作,i为虚数单位,若z=1+i,则(1+z)·=3-i.提示(1+z)·=(2+i)(1-i)=3-i.5.(教材第115页练习6)求满足下列条件的复数z:(1)z+i-3=3-i;(2)+(3-4i)=1;(3)(3-i)z=4+2i;(4)(-i)z=+i.解(1)z=6-2i.(2)=-2+4i,z=-2-4i.(3)z===1+i.(4)z===+i.五、课堂小结1.这节课我们学习了复数代数形式的加、减法运算及乘法运算.2.基本思想是:类比多项式的运算,理解复数的相关运算.[6]第3课时复数的四则运算(2)教学过程一、问题情境在实数中,除法运算是乘法的逆运算.类似地,可以怎样定义复数的除法运算?二、数学建构问题1复数的除法法则是什么?解设复数a+b i(a,b∈R)除以c+d i(c,d∈R),其商为x+y i(x,y∈R),其中c+d i≠0,即(a+b i)÷(c+d i)=x+y i.因为(x+y i)(c+d i)=(cx-dy)+(dx+cy)i,所以(cx-dy)+(dx+cy)i=a+b i.由复数相等的定义可知解这个方程组,得于是有(a+b i)÷(c+d i)=+i.由于c+d i≠0,所以c2+d2≠0,可见两个复数的商仍是一个复数.利用待定系数法和等价转化的思想来推导除法法则,最后再利用两个复数相等的定义解.问题2初中我们学习的化简无理分式时,采用的分母有理化的思想方法,而c+d i的共轭复数是c-d i,能否模仿分母有理化的方法对复数商的形式进行分母实数化?解====+i.所以(a+b i)÷(c+d i)=+i.三、数学运用【例1】i+i2+i3+…+i2 010+i2 011+i2 012.[1](见学生用书P57)[处理建议]i n是周期出现的,i n+i n+1+i n+2+i n+3=0(n∈N*).[规范板书]解原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2 009+i2 010+i2 011+i2 012)=0.[题后反思]可能有学生考虑用等比数列求和公式.原式==0,这个方法也很好.变式计算i+2i2+3i3+…+1 997i1 997.[规范板书]解原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+…+(1993i-1994-1995i+1996)+1 997i=499·(2-2i)+1 997i=998+999i.【例2】(教材第116页例4)设ω=-+i,求证:(1) 1+ω+ω2=0;(2)ω3=1;(3)ω2=,=ω.[2](见学生用书P57)[处理建议]先计算ω2,再做加法.[规范板书]证明(1) 1+ω+ω2=1++=+i+-2××i+=+i+-i-=0.(2)ω3==+3··i+3··+=-+i+-i=+i=1.(3)ω=1,由(2)知ω2===,同理=ω.[题后反思]对于第(2)小题,也可以这样做,要证ω3=1,只要证ω3-1=0即可.由ω3-1=(ω-1)·(ω2+ω+1)=(ω-1)·0=0,由此可知,1有3个立方根:1,ω,.变式设z=+i,求证:(1) 1-z+z2=0;(2)z3=1;(3)z2=-.[规范板书]解由例2知z=+i=-,所以=-ω.(1) 1-z+z2=1++(-)2=1++ω=0.(2)z3=(-)3=1.(3)z2=(-)2=ω=-.【例3】计算:(1+2i)÷(3-4i).[3](见学生用书P58)[处理建议]用两种方法做复数的除法运算.[规范板书]解法一设(1+2i)÷(3-4i)=x+y i,所以1+2i=(3-4i)(x+y i),1+2i=(3x+4y)+(3y-4x)i.所以3x+4y=1且3y-4x=2.所以x=-,y=.所以(1+2i)÷(3-4i)=-+i.解法二(1+2i)÷(3-4i)=====-+i.[题后反思]解法一根据复数相等的充要条件应用待定系数法求复数,是常用的方法之一;解法二体现了复数问题实数化的基本思想.变式计算.解原式======1-i.*【例4】计算+.[4][处理建议]先计算=-i,再利用i n的周期性;对于,不易发现分子与分母的关系,可先启发寻找a+b i与b-a i之间的关系.[规范板书]解原式=+=-i+(-i)1997=-2i.[题后反思]在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度.又如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,===i.变式计算:i2 007+(+i)8-+.解原式=i4×501+3+[2(1+i)2]4-+=i3+(4i)4-+i=-i+256++i=256+=256-i.*【例5】已知z2=8+6i,求复数f(z)=z3-16z-的值.[5][处理建议]利用待定系数法,求出z,再代入求f(z).[规范板书]解设z=x+y i(x,y∈R),所以由①得y=,代入①得x2-=8,所以x4-8x2-9=0,所以x2=9或x2=-1(舍去).所以x=±3.当x=3时,y=1;当x=-3时,y=-1.所以z=±(3+i).当z=3+i时,f(3+i)=(3+i)3-16(3+i)-=33+3·32·i+3·3·i2+i3-48-16i-=27+27i-9-i-48-16i-30+10i=-60+20i.当z=-3-i时,f(-3-i)=(-3-i)3-16(-3-i)-=-(27+27i-9-i)+48+16i+=60-20i.[题后反思]通过此例,会求任意一个复数的平方根,会在复数范围内求函数式的值.四、课堂练习1.复数-i+=-2i .提示-i+=-i-i=-2i.2.计算:(1);(2).解(1)===-i.(2)解法一====i.解法二===i.3.=-i.解=i2 011=i3=-i.4.在复数范围内写出方程x4=1的根.解x4-1=(x2-1)(x2+1)=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i),所以方程x4=1的根为1,-1,i,-i.五、课堂小结1.在进行复数四则运算时,我们既要做到会做,会解,更要做到快速解答.在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度,例如:(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i;若ω=-+i,则1+ω+ω2=0,ω3=1;===i.2.在进行复数的四则运算时,容易出现的错误有:(1)由于对i的性质掌握不准确致误.如“i2=1”“i4=-1”等在计算中是常见的错误.事实上,i2=-1,i4=1.(2)在计算除法运算时出错.因为复数的除法运算是四则运算中最麻烦的一种,常会出现一些计算上的错误.第4课时复数的几何意义教学过程一、问题情境实数可以用数轴上的点来表示.实数数轴上的点.类比实数的表示,复数能否也用点来表示?二、数学建构问题1怎样用平面内的点表示复数?怎样理解复平面、实轴、虚轴?解复数z=a+b i(a,b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系,而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点Z(a,b)是一一对应的,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.复数z=a+b i(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.问题2复数与从原点出发的向量是如何对应的?解复数z=a+b i(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.问题3我们知道任何一个实数都有绝对值,它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离;那么我们可以给出复数的绝对值的概念吗?复数可以用向量表示,任何一个向量都有模(或绝对值),它表示向量的长度,那么复数的模与向量的模有什么联系?复数的模的几何意义是什么?解|z|==||,表示复平面内该点到原点的距离.问题4既然复数可以用向量表示,那么复数的加法有什么几何意义呢?[1]问题5复数减法是复数加法的逆运算,怎样利用向量减法的几何意义来认识复数减法的几何意义?两个复数差的模有什么几何意义?[2]解|z1-z2|表示复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.通过该部分内容的学习,认识到复数加、减法的法则与平面向量加、减法的坐标形式是完全一致的,将数学不同知识之间建立起了联系.三、数学运用【例1】(教材第121页例1)在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.[3](见学生用书P59)[处理建议]让学生上黑板画图,体会复数z=a+b i(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,也可以用原点O为起点的向量表示.[规范板书]如图,点A,B,C,D,E分别表示复数4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.(例1)与之对应的向量可用,,,,来表示.[题后反思]了解复数的两种几何表示,常把复数z=a+b i说成点Z或向量.变式1在复平面内分别用点表示复数2-3i,5i,-3,-5+3i及其共轭复数.[规范板书]解复数2-3i,5i,-3,-5+3i表示的点分别为A,B,C,D,其对应的共轭复数表示的点分别为A',B',C',D'.作图如下:(变式)[题后反思]z,在复平面内对应的点关于x轴对称.变式2已知z=(x+1)+(y-1)i 在复平面所对应的点在第二象限,求x与y的取值范围.[规范板书]解由题得所以【例2】(教材第121页例2)已知复数z1=3+4i,z2=-1+5i,试比较它们模的大小.[4](见学生用书P60)[处理建议]要求学生口答复数模的计算公式.思考:z1,z2不能比较大小,为什么它们的模可以比较大小?[规范板书]解因为|z 1|==5,|z2|==,所以|z1|<|z2|.[题后反思]正确记忆复数模的计算公式,防止出现|z|=a2+b2;任意两个复数,它们的模都可以比较大小,但是两个复数,只要其中有一个不是实数,它们就不能比较大小.从自然数集逐步扩展到实数集,顺序性始终都是保持着的,但是在复数集中这一性质失去了.变式1已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,那么实数x的取值范围是.提示由题意知(x-1)2+(2x-1)2<10,解得-<x<2.变式2已知复数z1=a+b i,z2=1+a i(a,b∈R),若|z1|<z2,则b的取值范围是(-1,1).提示因为|z1|<z2,所以z2为实数,故a=0,所以<1,即|b|<1,-1<b<1,所以b的取值范围是(-1,1).【例3】(教材第121页例3)设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?[5](1)|z|=2;(2) 2<|z|<3.(见学生用书P60)[处理建议]区分关于复数模的等式与不等式的几何意义.[规范板书](1)因为|z|=2,即||=2,所以满足|z|=2的点Z的集合是以原点为圆心、以2为半径的圆,如图(1).(例3(1))(例3(2))(2)不等式2<|z|<3可化为不等式组,不等式|z|>2的解集是圆|z|=2外部所有点组成的集合,不等式|z|<3的解集是圆|z|=3内部所有点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解集.因此,满是条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界,如图(2).[题后反思]了解复数模的几何意义,|z|表示复平面内该点到原点的距离.关于复数模的不等式组的几何意义是圆环(要区分是否包括边界).变式已知复数z满足条件z=x+y i,x<0,y>0,且x2+y2<9,求此复数在复平面内表示的图形.[规范板书]解如图所示,所求图形是以原点O为圆心的半径为3个单位长度的扇形OAB的内部,不包括边界和半径OA,OB.(变式)*【例4】设全集U=C,A={z|||z|-1|=1-|z|,z∈C},B={z||z|<1,z∈C},若z∈A∩(∈U B),求复数z 在复平面内对应的点的轨迹.[6][处理建议]求复数z在复平面内对应的点的轨迹,由复数模的几何意义可知,只需求出|z|所满足的条件即可.而这由z∈A∩(∈U B)及集合的运算即可得出.[规范板书]解因为z∈C,所以|z|∈R,所以1-|z|∈R,由||z|-1|=1-|z|,得1-|z|≥0,即|z|≤1,所以A={z||z|≤1,z∈C}.又因为B={z||z|<1,z∈C},所以∈U B={z||z|≥1,z∈C}.因为z∈A∩(∈U B)等价于z∈A 且z∈∈U B,所以成立,则有|z|=1,由复数模的几何意义知,复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心、以1为半径的圆.[题后反思]对于复数的模,可以从以下两个方面进行理解:一是任何复数的模都表示一个非负的实数;二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离.所以复数的模是实数的绝对值概念由一维空间向二维空间的一种推广.四、课堂练习1.下面给出4个不等式,其中正确的是①.(填序号)①3i>2i;①|2+3i|>|1-4i|;①|2-i|>2i4;①i2>-i.提示由两个复数如果不都是实数就不能比较大小可知①①错误.又因为|2+3i|=== ,|1-4i|==,所以|2+3i|<|1-4i|,故①错误.|2-i|=>2i4=2,故①正确.2.复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为第四象限.提示因为z===-i,所以复数z对应的点的坐标为,在第四象限.3.若复数3-5i,1-i和-2+a i在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为5.提示复数3-5i,1-i和-2+a i在复平面内对应的点分别为(3,-5),(1,-1),(-2,a),所以由三点共线的条件可得=,解得a=5.4.已知z1,z2为复数,且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是4.提示由z1+z2=2i得z1=2i-z2,代入|z1|=1得|2i-z2|=1,所以|z2-2i|=1,即z2轨迹是以(0,2)为圆心、以1为半径的圆(如图).又z1轨迹为以原点为圆心、以1为半径的圆,故|z1-z2|为两圆上点的距离,最大值为4.(第4题)五、课堂小结1.复数z=a+b i(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,b i).2.复数z=a+b i(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.3.|z|==||.4.复数z=a+b i、点Z(a,b)和向量之间的关系如下图所示.正因如此,常把复数z=a+b i说成点Z或向量.这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),这增加了解决复数问题的途径.(图1)。
数系的扩充 学案 2017-2018学年高中数学 苏教版 选修2-2
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导1.实数系：①实数就是小数，它包括有理数(有限小数和无限循环小数)和无理数(无限不循环小数). ②数系扩充的脉络：自然数系→有理数系→实数系，即N ⊂Q ⊂R.③实数的性质：a.实数对四则运算是封闭的，即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数；b.0与1的性质：a+0=0+a=a ；1·a=a·1=a；c.加法和乘法都适合交换律、结合律，乘法对加法满足分配律.④实数系和数轴上的点可以建立一一对应关系.2.复数的概念①设a 、b 都是实数，形如a+bi 的数叫做复数，复数通常用小写字母z 表示，即z=a+bi(a ，b∈R )，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数的虚部，i 称作虚数单位.②复数a+bi(a 、b∈R )，当b=0时，复数就成为实数；除了实数以外的数，即当b≠0时，a+bi 叫做虚数.而当b≠0且a=0时，bi 叫做纯虚数.③全体复数所构成的集合叫复数集，通常用大写字母C 表示，即C={z|z=a+bi ，a∈R ，b∈R }显然，实数集R 是复数集C 的真子集，即R ⊂C.因此，复数z=a+bi 可以这样分类：⎪⎩⎪⎨⎧≠=⊃≠=)0,0(,)0(),0(b a b b z 纯虚数虚数实数复数由此可见，复数集是实数集的扩充.3.复数的相等①如果两个复数a+bi 与c+di 的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等，记作a+bi=c+di.即a+bi=c+di ⇔a=c ，且b=da+bi=0⇔a=0，且b=0.②两个实数可以比较大小.但两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小，只能说相等或不相等.案例 已知复数z=16722-+-a a a +(a 2-5a-6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.【探究】根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的a 值.解析：(1)当z 为实数时，则⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--,167,065222有意义a a a a a ∴⎩⎨⎧±≠=-=,1,6,1a a a 或∴当a=6时，z 为实数. (2)当z 为虚数时，则有⎪⎩⎪⎨⎧-+-≠--,167,065222有意义a a a a a ∴⎩⎨⎧±≠≠-≠,1,6,1a a a 且 ∴a≠±1且a≠6，∴当a ∈(-∞，-1)∪(-1，1)∪(1，6)∪(6，+∞)时，z 为虚数.(3)当z 为纯虚数时，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+-≠--,0167,065222a a a a a ∴⎩⎨⎧=≠-≠.6,6,1a a a 且∴不存在实数a 使z 为纯虚数.【规律总结】由于a ∈R ，所以复数z 的实部与虚部分别为16722-+-a a a 与a 2-5a-6.①求解第(1)小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虚它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；②求解第(2)小题时，同样要注意实部有意义问题；③求解第(3)小题时，既要考虑实部为0(当然也要考虑分母不为0)，还需虚部不为0，两者缺一不可. 活学巧用1.解方程x 2=-a(a ＞0)解析：因为(i a )2=ai 2=-a ，(i a -)2=ai 2=-a ，所以i a 与i a -都是负数-a 的平方根.方程x 2=-a 的根是x=i a 和x=i a -. 2.已知A={1，2，(a 2-3a-1)+(a 2-5a-6)i}，B={-1，3}，A∩B={3}，求实数a 的值.解析：按题意：(a 2-3a-1)+(a 2-5a-6)i=3∴⎪⎩⎪⎨⎧==31-3a -a 06-5a -a 22得a=-1. 3.设复数z=a+bi(a 、b ∈R)，则z 为纯虚数的必要不充分条件是( )A.a=0B.a=0且b≠0C.a≠0且b=0D.a≠0且b≠0解析：由纯虚数的概念可知：a=0且b≠0是复数z=a+bi(a 、b ∈R)为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件.因此，我们要选择的应该是组成且由字连接的复合命题“a=0且b≠0”的子命题，“a=0”或“b≠0”.对照各选择支的情况，我们可以发现应选择A.答案：A4.实数k 为何值时，复数(1+i)k 2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数，(2)虚数，(3)纯虚数，(4)零?解析：由z=(1+i)k 2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k 2-3k-4)+(k 2-5k-6)i.(1)当k 2-5k-6=0时，z ∈R ，即k=6或k=-1.(2)当k 2-5k-6≠0时，z 是虚数，即k≠6且k≠-1.(3)当⎪⎩⎪⎨⎧≠=06-5k -k 0,4-3k -k 22时，z 是纯虚数,解得k=4. (4)当⎪⎩⎪⎨⎧==06-5k -k 0,4-3k -k 22时，z=0,解得k=-1. 故当k=6或k=-1时，z∈R ；当k≠6且k≠-1时，z 是虚数；当k=4时，z 是纯虚数；当k=-1时，z=0.5.已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i ，求实数x 、y 的值.解析：∵x、y 为实数，∴2x -1、y+1、x-y 、-x-y 为实数.由复数相等的定义知⎩⎨⎧=+=y,--x 1y y,-x 1-2x ∴⎩⎨⎧==-2.y 3,x 6.已知关于x 的方程x 2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实根，求纯虚数m 的值.解析：设m=bi(b≠0且b∈R )，代入原方程得(x 2+x+3b)+(2x+1)i=0.∵x∈R ,b∈R ,∴⎩⎨⎧=+=++.012,032x b x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,121x a ∴m=i 121. 7.设复数z=lg(m 2-2m-2)+(m 2+3m+2)i 试求实数m 取何值时，(1)z 是纯虚数；(2)z 是实数；(3)z 对应点位于复平面的第二象限.解析：利用复数的有关概念易求得.(1)由⎪⎩⎪⎨⎧≠++=023m m 02)-2m -lg(m 22得m=3； (2)由m 2+3m+2=0得m=-1或m=-2；(3)由⎪⎩⎪⎨⎧>++<023m m 02)-2m -lg(m 22得-1＜m ＜311-<<m 或331<<+m . 8.已知m∈R ，复数z=1)2(-+m m m +(m 2+2m-1)i ，当m 为何值时：(1)z∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数.解析：(1)当m 2+2m-1=0且m-1≠0，即m=-1±2时，z 为实数.(2)当m 2+2m-1≠0且m-1≠0.即m≠-1±2且m≠1时，z 为虚数.(3)当1)2(-+m m m =0且m 2+2m-1≠0，即m=0或-2时，z 为纯虚数.。
高二数学苏教版选修2-2讲义：第3章_3.1_数系的扩充
3．1数系的扩充复数的概念及代数表示法问题1：方程2x 2－3x ＋1＝0.试求方程的整数解？方程的实数解？ 提示：方程的整数解为1，方程的实数解为1和12.问题2：方程x 2＋1＝0在实数范围内有解吗？ 提示：没有解．问题3：若有一个新数i 满足i 2＝－1，试想方程x 2＋1＝0有解吗？ 提示：有解，x ＝i.问题4：实数a 与实数b 和i 相乘的结果相加，结果记作a ＋b i ，这一新数集形式如何表示？ 提示：C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }．1．虚数单位i我们引入一个新数i ，叫做虚数单位，并规定： (1)i 2＝－1.(2)实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立． 2．复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C . 3．复数的代数形式复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与 虚部.复数的分类问题1：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ＝0时，z 是什么数？ 提示：当b ＝0时，z ＝a 为实数．问题2：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，z 是什么数？提示：当a ＝b ＝0时，z ＝0为实数；当a ＝0，b ≠0，z ＝b i 为纯虚数．1．复数z ＝a ＋b i ⎩⎪⎨⎪⎧实数 (b ＝0)，虚数 (b ≠0)，(当a ＝0时为纯虚数).2．两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．1．注意复数的代数形式z ＝a ＋b i 中a ，b ∈R 这一条件，否则a ，b 就不一定是复数的实部与虚部． 2．复数集是实数集的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小．在复数集里， 一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分．[对应学生用书P35]复数的概念[例1] 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[思路点拨] 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．[精解详析] (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.[一点通] z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是复数的基本定义，由a ，b 的取值来确定z 是实数、虚数、纯虚数还是零．在解题时，关键是确定复数的实部和虚部．1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________． 解析：∵z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0.∴x ＝－1. 答案：－12．已知复数2＋7，27i,0i,5i ＋8，i(1－3)，i 2，其中纯虚数的个数为________．解析：∵0i ＝0，i 2＝－1， ∴纯虚数有27i ，()1－3i.答案：23．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0.即m ＝2时，复数z 是实数； (2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0. 且m ≠2时， 复数z 是虚数； (3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0.即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．复数相等的充要条件[例2] 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值． [思路点拨] 因为M ∪P ＝P ，所以MP ，从而可建立关于m 的关系式，进而求得m 的值．[精解详析] ∵M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}， P ＝{－1,1,4i}，且M ∪P ＝P .∴M P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1， 或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4.∴m ＝1或m ＝2.[一点通] (1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带． (3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．4．当关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，则实数m ＝________. 解析：设实根为x 0，则x 20＋x 0＋2x 0i ＋3m ＋i ＝0. 即x 20＋x 0＋3m ＋(2x 0＋1)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3m ＝0，2x 0＋1＝0.∴m ＝112.答案：1125．已知2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ，求实数x 、y 的值． 解：∵x ，y 为实数，∴2x －1，y ＋1，x －y ，－x －y 均为实数，由复数相等的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2. 6．已知m 是实数，n 是纯虚数，且2m ＋n ＝4＋(3－m )i ，求m ，n 的值． 解：设n ＝b i(b ∈R 且b ≠0)由2m ＋n ＝4＋(3－m )i 得2m ＋b i ＝4＋(3－m )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝4，b ＝3－m . ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，b ＝1.∴m 的值为2，n 的值为i.复数概念的综合应用[例3] 若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值． [思路点拨] 分析条件→两复数均为实数→得关于m 的不等式组→求解. [精解详析] ∵m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10. 解上式得：m ＝3.[一点通] 不全为实数的两个复数没有大小的关系，只有相等或不等．由两个复数可以比较大小，知两个数必全为实数，进而根据复数的分类法列实数m 的方程(组)求解．7．已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋2＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围． 解：∵x 2－1＋(y ＋1)i>2x ＋2＋(y 2－1)i ，(x ，y ∈R )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝0，y 2－1＝0，x 2－1>2x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，x >3或x <－1. 8．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )，且z <0，求实数k . 解：∵z <0，∴z ∈R . ∴k 2－5k ＋6＝0.∴k ＝2或k ＝3.但当k ＝3时，z ＝0不符合题意． k ＝2时，z ＝－2<0符合题意． ∴k ＝2.1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数b i(b ≠0，b ∈R )不要只记形式，要注意b ≠0.2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．即a ＋b i>0(a ，b ∈R )⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0b ＝0.[对应学生用书P36]一、填空题 1．下列命题中，①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中正确的命题是________．解析：①若a ＝－1，则(a ＋1)i ＝0，①错；②复数中的虚数只能说相等或不相等，不能比较大小．②错；③中x ＝－1则x 2＋3x ＋2＝0，∴x ＝－1不适合，③错；④是正确的．答案：④2．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为________．解析：由复数相等的充要条件可知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4. 答案：－43．复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )是纯虚数，则a 的取值为________． 解析：∵复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，|a －1|－1≠0.解之得a ＝－1. 答案：－14．已知M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 解析：∵M ∩N ＝{3}，∴(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0. 解之得a ＝－1. 答案：－15．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为________． 解析：∵z 1>z 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.故a ＝0. 答案：0 二、解答题6．已知复数(2k 2－3k －2)＋(k 2－k )i ，实部小于零，虚部大于零，求实数k 的取值范围．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2k 2－3k －2<0，k 2－k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2k ＋1)(k －2)<0，k (k －1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－12<k <2，k >1或k <0. 解得－12<k <0或1<k <2.7．求适合方程xy －(x 2＋y 2)i ＝2－5i 的实数x ，y 的值．解：由复数相等的条件可知：⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝2，－(x 2＋y 2)＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.8．设复数z ＝lg(m 2－2m －14)＋(m 2＋4m ＋3)i ，试求实数m 的值，使(1)z 是实数；(2)z 是纯虚数． 解：(1)∵z 为实数，∴虚部m 2＋4m ＋3＝0，则m ＝－1或m ＝－3.而当m ＝－1时，m 2－2m －14＝1＋2－14<0(舍去)； 当m ＝－3时，m 2－2m －14＝1>0. ∴当m ＝－3时z 为实数． (2)∵z 为纯虚数，∴实部lg(m 2－2m －14)＝0， 且m 2＋4m ＋3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －14＝1，m 2＋4m ＋3≠0，解得m ＝5. ∴当m ＝5时z 为纯虚数．。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(二)学案 苏教版选修2-2-苏教版
3．2 复数的四则运算(二)1.了解复数乘方的运算性质和复数除法的分母实数化方法．2.理解i 幂性质，能熟练进行复数的乘方和除法运算． 3．掌握综合运用复数概念、共轭复数及复数的四则运算解决问题．1．复数的乘方在复数范围内，实数范围内的正整数指数幂的运算律仍然成立，即对任意的复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n 有z m z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z mn ＝(z n )m ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2．2．i 幂性质一般地，如果n ∈N *，我们有①i 4n＝1；②i 4n ＋1＝i ；③i4n ＋2＝－1；④i4n ＋3＝－i ．3．复数的除法法则(1)我们把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商，记作a ＋b ic ＋d i或(a ＋b i )÷(c ＋d i)． (2)一般地，我们有a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. (3)两个复数的商仍是一个复数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数．( ) (2)两个共轭复数的和与积是实数．( )(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2.1＋3i1－i＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i答案：B3．复数3＋ii2(i 为虚数单位)的实部等于________．答案：－34．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________．解析：因为z 为纯虚数，所以设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝b i ＋b i 2＋2＋2i 1－i2＝－b ＋2＋(b ＋2)i 2＝－b ＋22＋12(b ＋2)i ，又z ＋21－i 为实数，所以12(b ＋2)＝0，即b ＝－2.所以z ＝－2i.答案：－2i复数的乘方运算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017等于________．(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)2 017＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.故填i.(2)设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i(1－i 100)1－i－100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－100(－1＋i)2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n＋i n ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i＝i. ③1i＝－i. 1.计算：(1)2＋2i (1－i)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i2 017.解：(1)原式＝2(1＋i)－2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i4×252＝i －1＋1 ＝i.(2)法一：原式＝i(1－i 2 017)1－i ＝i －i2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i2＝i.法二：因为i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017＝i2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.复数的除法运算计算下列各题． (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i； (2)1i (2＋2i)5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 8. 【解】 (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i＝(3＋2i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i ＋13i13＝2i.(2)原式＝－i ·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(1＋i)22＋i 7＝162(－1＋i)－14－i ＝－⎝⎛⎭⎪⎫162＋14＋(162－1)i. (3)原式＝(－i)12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 12－32i 8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 12＋[(1＋i)2]4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 34＋(－8＋83i)＝1－8＋83i ＝－7＋83i.(1)复数的除法运算中，要牢记“分母实数化”(类比实数运算的分母有理化)，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，不必死记除法法则．(2)复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)．如i 的幂运算，先利用i 的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算．(3)要记住下列结果，使运算起点高． ①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫－12±32i 3＝1；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫12±32i 3＝－1. 2.计算下列各题：(1)－1＋3i 1＋i ；(2)3－4i 4＋3i ＋1＋i 1－i ；(3)(2＋2i)4(1－3i)5. 解：(1)原式＝(－1＋3i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1＋3＋(1＋3)i 2＝3－12＋3＋12i.(2)原式＝(3－4i)(4－3i)(4＋3i)(4－3i)＋(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝(12－12)－(16＋9)i 25＋2i2＝－i ＋i ＝0.(3)(2＋2i)4(1－3i)5＝24(1＋i)4(1－3i)5＝24·(2i)2(1－3i)5＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝－1＋3i.复数范围内解方程、因式分解问题在复数范围内解方程： (1)x 2－2x ＋3＝0； (2)x 3－1＝0.【解】 (1)法一：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2 ＝(x －1)2－(2i)2＝(x －1－2i)(x －1＋2i)＝0， 所以x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法二：设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为方程x 2－2x ＋3＝0的根， 则(a ＋b i)2－2(a ＋b i)＋3＝0， 整理得a 2－b 2－2a ＋3＋2b (a －1)i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－2a ＋3＝0，2b (a －1)＝0.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－ 2.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法三：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 又因为x 2－2x ＋3＝0，所以(x －1)2＋2＝0. 所以(x －1)2＝－2.所以x －1＝2i 或x －1＝－2i ， 即x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. (2)因为x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i ＝0，所以x ＝1或x ＝－12＋32i 或x ＝－12－32i.复数范围内解方程的一般思路：一是因式分解，二是对次数较低的方程依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．3.在复数范围内分解因式：(1)x 2＋x ＋1；(2)x 2－x ＋1；(3)x 6－1.解：(1)x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i . (2)x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i . (3)x 6－1＝(x 3＋1)(x 3－1)＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i .1．复数除法的认识复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后结果再写成一个复数a ＋b i(a ，b ∈R )的形式即可．2．复数范围内因式分解由于实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立，因此可以据此在复数范围内进行因式分解，而原来在实数范围内不能进行的因式分解，在复数范围内则可以进行，比如a 2＋b 2＝a 2－(b i)2＝(a ＋b i)(a －b i)．3．1的三次虚根ω的性质由方程x 3－1＝0得x 1＝1，x 2＝－1＋3i 2，x 3＝－1－3i 2.若取ω1＝－1＋3i 2，ω2＝－1－3i2，有如下性质： (1)ω31＝ω32＝1； (2)1＋ω1＋ω2＝0； (3)ω21＝ω2； (4)ω1·ω2＝1，ω1＝1ω2，ω2＝1ω1；(5)ω1＝ω2；(6)1＋ω1＋ω21＝0，1＋ω2＋ω22＝0.下列命题中错误的序号是________． ①若z ∈C ，则z 2≥0；②若z 1，z 2∈C ，且z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2. 【解析】 ①错，反例设z ＝i 则z 2＝i 2＝－1＜0.②错，反例设z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，满足z 1－z 2＝1＞0，但z 1、z 2不能比较大小． 【答案】 ①②(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，易误认为命题①正确． (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来．认为两复数差为实数则这两个复数也为实数．而误认为命题②是正确的．(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件．1．复数z ＝1－i 1＋i ，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B ．z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. 2.i －21＋2i＝________． 解析：法一：原式＝(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－2＋2)＋(1＋4)i5＝i.法二：原式＝i ＋2i 21＋2i ＝i(1＋2i)1＋2i ＝i.答案：i3．若z 是复数，且(3＋z )i ＝1(i 为虚数单位)，则z 为________． 解析：由(3＋z )i ＝1，得3＋z ＝1i ＝－i ，所以z ＝－3－i.答案：－3－i[A 基础达标]1．设复数z ＝3＋2i2－3i ，则z 的共轭复数为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选D ．z ＝3＋2i 2－3i ＝2－3i2－3i ·i ＝i ，于是z 的共轭复数为－i.2．若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D ．因为2＋a i1＋i ＝3＋i ，所以2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，又a ∈R ，所以a＝4.3．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B ．法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，从而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i)2－1－i ＝2i＝－2i.4．若复数z 满足z－1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A ．由题意z －＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选A ． 5．若ω＝－12＋32i ，则ω＋1ω＝________．解析：ω＋1ω＝－12＋32i ＋1－12＋32i ＝－12＋32i －12－32i ＝－1.答案：－16．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：因为11－7i 1－2i ＝(11－7i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝15(25＋15i)＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3. 所以a ＋b ＝5＋3＝8. 答案：87．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝________．解析：由题意可知1－a i 1＋a i ＝(1－a i)2(1＋a i)(1－a i)＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ， 因此1－a 21＋a 2＝－35. 化简得5a 2－5＝3a 2＋3，所以a 2＝4，则a ＝±2. 由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，所以a ＝－2.答案：－28．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝________．解析：因为z ＝1＋2i ，所以z －＝1－2i.所以⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝z ·z －＋1＝5＋1＝6.答案：69．计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＋(4－8i)2－(－4＋8i)24＋3i . 解：原式＝i(23i ＋1)1＋23i＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 009＋(4－8i)2－(4－8i)24＋3i＝i ＋(－i)1 009＋04＋3i＝i －i ＋0＝0. 10．已知复数z 1＝a ＋2i(a ∈R )，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，求复数z 1.解：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)25＝(3a －8)＋(6＋4a )i25，因为z 1z 2为纯虚数，所以3a －8＝0，a ＝83，z 1＝83＋2i.[B 能力提升]1．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z ＝a1－2i ＋b i(a ，b ∈R )为“理想复数”，则( )A ．a －5b ＝0B ．3a －5b ＝0C ．a ＋5b ＝0D ．3a ＋5b ＝0解析：选D ．因为z ＝a 1－2i ＋b i ＝a (1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＋b i ＝a 5＋(2a 5＋b )i.由题意知，a 5＝－2a 5－b ，则3a ＋5b ＝0. 2．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3，有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)；②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)；③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)；④z 1*z 2＝z 2*z 1.则真命题的个数是________．解析：由于ω1*ω2＝ω1ω2—，对于①，(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z －3＝z 1z －3＋z 2z －3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)，显然成立；对于②，z 1*(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1z －2＋z 1z －3＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)，显然成立；对于③，(z 1*z 2)*z 3＝(z 1z －2)z －3＝z 1z －2z －3，而z 1*(z 2*z 3)＝z 1*(z 2z －3)＝z 1z －2z 3，显然不成立；对于④，由于z 1*z 2＝z 1z －2，而z 2*z 1＝z 2z －1，显然不一定成立．答案：23．已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，求x 与y 的值． 解：根据已知条件x 是实数，y 是纯虚数，可设y ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，代入关系式(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，整理得：(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，根据复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4i.4．(选做题)求同时满足下列两个条件的所有复数：(1)z ＋10z 是实数且1＜z ＋10z≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈Z )，则z ＋10z ＝x ＋y i ＋10x ＋y i ＝x ＋y i ＋10(x －y i)x 2＋y 2∈R ，得y －10y x 2＋y 2＝0， 所以y ＝0或x 2＋y 2＝10.若y ＝0，1＜x ＋10x≤6无解，所以x 2＋y 2＝10. 从而z ＋10z＝2x ∈(1，6]．又x ，y ∈Z ，所以x ＝1或x ＝3. 若x ＝1，则y ＝±3；若x ＝3，则y ＝±1.所以z ＝1±3i 或z ＝3±i.。
高中数学苏教版选修2-2第3章《3.1 数系的扩充》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
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1教学目标
1.知识与技能目标
了解引进复数的必要性;理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等).
2过程与方法目标
通过问题情境,了解扩充数系的必要性,感受数系的扩充过程,体会引入虚数单位i和复数形式的合理性,使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识.
3.情感、态度与价值观
通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.
2学情分析
学生对数系扩充的知识并不熟悉,教学中教师需多作引导.教学中可结合具体例子,以促进对复数实质的理解.
3重点难点
重点:复数的概念,虚数单位i,复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念.
难点:虚数单位i的引进及复数的概念.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】引入新课
请同学们回答以下问题:
(1)在自然数集N中,方程x+4=0有解吗?(在自然数集中,方程x+4=0无解,为此引进负数,自然数→整数;)
(2)在整数集Z中,方程3x-2=0有解吗?(在整数集中,方程3x-2=0无解,为此引进分数,整数→有理数;)。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 3.1 数系的扩充》
数系的扩充一、教学目标1 知识与技能：了解数系扩充的必要性；理解虚数单位i的产生及意义；2 过程与方法：了解数系扩充的数学历史进程，感受人类思维与现实相联系的历程，掌握复数的分类，理解得数的四那么运算；3 情感、态度与价值观：以数系的历史开展培养学生开展的眼光；用数系扩充的数学内涵使学生正视数学文化价值与科学价值。
二、教学重点复数的概念，虚数单位i，复数的分类以及复数在实际生活中的应用三、教学难点数系扩充的过程与方法及虚数单位的引入四、学情分析高二学生在初中阶段已经经历了由自然数集到整数集到有理数集再到实数集的数系扩充，这就说明学生已有学习复数的相关知识根底，具有学习复数的可能性；同时学生在解决一元二次方程的过程中经常会遇到无解的情境，这就为进一步学习复数提供了矛盾，具有学习复数的必要性五、教材分析本章?数系的扩充与复数的引入?是中学课程里数的概念的最后一次扩展。
引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定根底。
六、教学过程〔一〕、忆一忆，翻翻“旧帐〞1现实情境：今天老师在这里做个大胆的预测，在不久的将来，咱们班上产生1位教授，2位明星，3位知名医生，4位公司老师，5位县委书记，……另外，还有0个害群之马；请问，这里的0，1，2，3，4，5…是什么数？现实情境从生活的角度来回忆数系的扩充过程2数学情境：【问题1】在自然数集中方程有解吗【问题2】在整数集中方程有解吗【问题3】在整数集中方程有解吗【问题4】在有理数集中方程有解吗数学情境从数学的角度来阐释数系的扩充过程〔二〕、研一研，探探新知【问题5】在实数集中方程有解吗【问题6】如何解决“在实数范围中开方运算不总实施的矛盾〞？1复数的概念：引入，使，规定形如的数叫做复数注意：①复数通常用字母表示，即复数可记作:把这一表示形式叫做复数的代数形式；②全体复数所组成的集合叫复数集，记作C；③复数把实数叫做复数的实部和虚部。
数系扩充与流形——高中数学选修2—2教案
数系扩充与流形——高中数学选修2—2教案教案数学是一门丰富多彩的学科，其内部的各个领域相互交融，互相支撑。
在高中数学教育中，数系的扩充和流形的概念是一个非常重要的知识点。
本文将针对这一知识点作出详尽的阐述，希望对广大学生有所启发和帮助。
一、数系的扩充在我们日常生活中，我们所说的数一般指的是实数，也就是有理数和无理数的统称。
但是在一些高级的数学领域中，实数却无法满足所有的需求，比如力学中经常出现的虚数、复数，以及拓扑学中经常出现的超实数等等。
为了满足这些需求，我们需要对实数进行扩充。
1.1 复数前面提到了，复数在力学中经常被使用到。
具体而言，当我们需要描述某一个物体或者某一个系统的运动状态时，需要用到复数。
我们将复数表示为 $z = a + bi$ 的形式，其中 $a$ 表示实部，$b$ 表示虚部。
显然，实数 $a$ 可以理解为复数的实部，虚数 $b$ 可以理解为复数的虚部。
由于其中的 $i$ 是一个虚数单位，我们可以规定$i^2=-1$，也就是说，虚数的平方等于 $-1$。
那么，两个复数相加和相乘应该怎么算呢？我们先观察两个复数$z_1 = a_1 + b_1i$ 和 $z_2 = a_2 + b_2i$ 的加法：$$\begin{aligned}z_1 + z_2 &= (a_1 + b_1i) + (a_2 + b_2i) \\&= (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i\end{aligned}$$我们可以看到，复数的加法就是分别将实部和虚部相加即可。
那么复数的乘法呢？我们还是来看两个复数 $z_1$ 和 $z_2$：$$\begin{aligned}z_1 z_2 &= (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i)\\&= a_1a_2 + a_1b_2i + b_1a_2i + b_1b_2i^2 \\&= (a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2+b_1a_2)i\end{aligned}$$通过这个式子，我们可以看到，两个复数相乘的结果仍然是一个复数，其实部为 $(a_1a_2-b_1b_2)$，虚部为 $(a_1b_2+b_1a_2)$。
(教师用书)高中数学 3.1 数系的扩充同步备课课件 苏教版选修2-2
1．数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立， 这是特别应注意的，以防思维定势． 2．在理解概念时，一定要抓住概念的本质，抓住新概 念与以前知识的不同之处，尤其是应该满足的条件，利用举 反例的形式否定一个命题是常用的方法．
下列给出的四个命题： ①若 x，y∈C，则 x＋yi＝1＋i 的充要条件是 x＝y＝1； ②若 a，b∈R 且 a＞b，则 a＋i＞b＋i； ③若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ④复数 z＝－1＋i 的虚部是 i. 其中，正确的命题个数是________．
所组成的集合叫做复数集，记作 C. (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，其中 a 与 b 分别叫做复数
实部 与________ 虚部 ． z 的______
复数的分类与复数相等
1.复数的分类 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，当 b＝0 时，z 是______ 实数 ；当
虚数 ；当________________ a＝0且b≠0 b≠0 时，z 是_____ 时，z 是纯虚数．
1．本例中，极易忽略对 m≠0 的限制，从而产生增解， 应注意严谨性． 2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分 类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式)，求 解参数时，注意考虑问题要全面．
m2＋m－6 若例题中的复数“z＝ ＋(m2－2m)i” 改为复 m a2－7a＋6 2 数“z＝ ＋ (a －5a－6)i(a∈R)”，试求当 a 为何值 a2 － 1 时，z 是实数？z 是纯虚数？
复数的分类
m2＋m－6 当实数 m 为何值时，复数 z＝ ＋(m2－ m 2m)i 为 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
【思路探究】
复数的分类标准 ―→
列出方程（不等式）（组） ―→ 解出m ―→ 结论
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[对应学生用书P52]
一、合情推理和演绎推理
1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．
2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．
二、直接证明和间接证明
1．直接证明包括综合法和分析法：
(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．
(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，
包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B ⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．
2．间接证明主要是反证法：
反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．
反证法主要适用于以下两种情形：
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；
(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
三、数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤对应阶段质量检测(二) 见8开试卷
一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市
时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．
答案：A
2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．
解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．
故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．
答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大
3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)
①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关
解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④
4．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平。