【最新整理】不等式解法大全
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式的所有公式及常用解法1.加减法不等式公式：若a>b，则a+/-c>b+/-c，其中c为任意实数。
2.乘法不等式公式：若a>b且c>0，则a*c>b*c；若a>b且c<0，则a*c<b*c。
3.幂次不等式公式：对任意非零实数a和b若a>b且n>0且n为正整数，则a^n>b^n；若a>b且0<n<1，则a^n<b^n。
4.倒数不等式公式：若a>b>0，则1/a<1/b。
5.奇偶性不等式公式：若a>0且n为正整数，则a^n>0。
若a<0且n为奇数整数，则a^n<0。
常用的解基本不等式的方法有：1.用数轴法解：将不等式绘制在数轴上，根据不等式的性质找出符合条件的x的取值范围。
2.用代数方法解：针对不等式上的加减法、乘法、幂次或倒数等，利用基本不等式公式进行运算，化简不等式，最终得到x的取值范围。
3.用平方差、立方差或更高次差法解：对于特定形式的不等式，如二次函数不等式（即含有二次项的不等式），可使用平方差公式将其转化为不等式的标准形式；同样，对于三次函数不等式（即含有三次项的不等式），可使用立方差公式将其转化为不等式的标准形式。
通常，对高次不等式的解法需要更高级的数学知识，此处不再详细介绍。
4.用函数图像解：对于一些特定函数，如一次函数、二次函数等，可通过绘制函数图像来判断不等式的解集。
5.用不等式链解：若能将一个不等式化为多个简单的不等式，即不等式的解集满足一系列条件，可通过每个条件对应的不等式求解解集。
以上是基本不等式的一些公式和常用解法。
对于不同的不等式，我们需要根据具体情况选择合适的解法。
希望以上内容对您有所帮助。
不等式的方法与技巧
不等式的方法与技巧解不等式是数学中的一个重要问题，也是解决实际问题的基础。
在解不等式时，常常需要运用一些方法和技巧来简化和求解。
下面将介绍一些常用的方法和技巧。
1.转化为等价不等式：有时候，我们可以通过转化为等价不等式来简化求解过程。
例如，对于不等式x>3和x≥2，可以分别转化为等价不等式x-3>0和x-2≥0。
这样一来，我们只需要求解x-3>0和x-2≥0即可。
2.合并同类项：当不等式中存在同类项时，可以通过合并同类项来简化不等式。
例如，对于不等式3x+4>2x-1，可以合并同类项得到x>-5、这样一来，不等式中只剩下一个未知数，求解起来更加方便。
3.交换两边的值：当不等式中的大小关系不确定时，可以通过交换两边的值来确定不等式的方向。
例如，对于不等式3x<2x+1，可以交换两边的值得到2x>1、这样一来，不等式中的x的系数变小了，可以更加方便地求解。
4.乘除同一个正数：当不等式中存在未知数的乘除项时，可以通过乘除同一个正数来简化不等式。
例如，对于不等式2x+1>3，可以先将两边同时减去1，得到2x>2，然后再除以2，得到x>1、这样一来，不等式的系数就被消去了，求解起来更加方便。
5.乘除同一个负数：当不等式中存在未知数的乘除项时，可以通过乘除同一个负数来改变不等式的方向。
例如，对于不等式2x+1<3，可以先将两边同时减去1，得到2x<2，然后再除以2，得到x<1、这样一来，不等式的方向被改变了，求解起来更加方便。
6.分段讨论法：当不等式中存在多组解时，可以将不等式拆分成多个子区间，然后分别讨论每个子区间上的不等式。
例如，对于不等式，x-2，<3，可以分别讨论x<2，2≤x<5和x≥5三个子区间上的不等式。
这样一来，不等式的解集就可以根据每个子区间的解集来确定了。
7.图像法：当不等式中存在绝对值函数、二次函数等特殊函数时，可以通过绘制函数的图像来求解不等式。
不等式解法的精辟总结
不等式解法一、一元二次不等式解法1、 ax 2+bx+c>0 (或ax 2+bx+c<0) (a>0) 形式解题步骤：① 转化为一元二次方程ax 2+bx+c=0，并求此方程的解；② 根据方程ax 2+bx+c=0解的情况，结合f(x)= ax 2+bx+c 的图像写出解集；③ x 2+bx+c>0 (a<0) 的情况首先转化为-ax 2-bx-c<0，再利用上表进行解答。
2、 经典练习1) x 2-4x-21≤0 2) 3x 2+x-14>0 3) -5x 2+3x+14>04) 06222>-+x x 5) 033442<-+-x x 6) 12x 2-8x-15≤0二、高次不等式1、高中阶段只解决比较简单的高次不等式，举例如下：例题1 x 3-6x 2+11x-6>0解： ① 试根，令x 3-6x 2+11x-6=0，将1带入成立，则此三次式可分解出因式（x-1）② 多项式除法将x 3-6x 2+11x-6分解为（x-1）（x 2-5x+6），再将x 2-5x+6分解为 （x-2）(x-3)， 最终分解为：（x-1）（x-2）(x-3)=0，③④ 写出解集，x 3-6x 2+11x-6>0的解集为：{x ∣1< x<2或x>3}.(注：写成集合) 方法归纳如下：① 试根，一般取[-3,3]之间的整数② 用多项式除法分解因式将其分解为（x-a ）（x-b ）(x-c)……=0的形式③ 用数轴标根法，在数轴上依次标出所有根④ 写出解集，> 0取x 轴上方部分，< 0取x 轴下方部分2、经典练习：1) x 3-3x 2+2x ≤0 2) x 3-x 2-x+1>0 (二重根情况的处理)。
不等式求解方法归纳
一、不等式基本知识1、基本性质性质一：a b b a <⇔>（对称性）性质二：c a c b b a >⇒>>,,（传递性）性质三：c b c a b a +>+⇔>性质四：bc ac c b a bc ac c b a <⇔<>>⇔>>0,;0,2、运算性质d b c a d c b a +>+⇒>>,（加法法则）；bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（乘法法则）n n b a N n b a >⇒∈>>+,0（乘方法则）；n n b a N n b a >⇒∈>>+,0（开方法则） 3、常用不等式（1）ab b a b a ≥+≥+222)2(2 （2）||222ab b a ≥+ 取等号条件：一正、二定、三相等（3）2|1|≥+x x （4）若ma mb a b m b a ++<>>>,0,0 （5）n n n x x x n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅+++21321(0≥i x )二、不等式的证明方法常用的方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、反证法、类比法、放缩法、换元法、判别式法、导数法、几何法、构造函数、数轴穿针法等。
1、比较法例1、若,0,0>>b a 求证：b a ba ab +≥+22。
证明：abb a b a b a ab b ab a b a b a b a a b 22222))(()())(()(-+=+-+-+=+-+0≥，∴b a a b b a +≥+22。
2、分析法例2已知y x b a ,,,都是正实数，且.,11y x b a >>求证：yb y x a x +>+。
解： y x b a ,,,都是正实数，∴要证yb y x a x +>+，只要证)()(x a y y b x +>+，即证ay bx >，也就是ab ay ab bx >，即,b y a x >而由.,11y x b a >>，知by a x >成立，原式得证。
常见不等式的解法--高考数学【解析版】
专题04 常见不等式的解法所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．【重点知识回眸】（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠（3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()00f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指数、对数不等式的解法：（1）利用函数的单调性：1a >时，x y > log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y > log log (,0)x y a a a a x y x y ⇔<⇔<>（2）对于对数的两点补充：① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁6、利用换元法解不等式利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围（二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.（三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图象均可作出.再由()()f x g x <可知()f x 的图象在()g x 图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.【典型考题解析】热点一 简单不等式的解法【典例1】（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.【典例2】（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【典例3】（2017·上海·高考真题）不等式11x x ->的解集为________【答案】(,0)-∞【解析】【详解】由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞. 【典例4】（2020·江苏·高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x << 所以解集为：2(2,)3- 【典例5】解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x --->（2）()()()21230x x x +--< 【答案】（1）()()1,23,+∞；（2）()()1,22,3-. 【解析】（1）解：()()()()123f x x x x =---则()0f x =的根1231,2,3x x x ===作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分.以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.所以图象的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化.【规律方法】1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.热点二 含参数不等式问题【典例6】（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（ ）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤ 【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a ≤≤-≤，故选：D ．【典例7】（2020·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ）A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【典例8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；②当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-； 由于()221a a a+--=，于是 当20a -<<时，21x a≤≤-； 当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤． 综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a-∞-⋃+∞； 当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【总结提升】关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.关于含参数的一元二次不等式问题：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．热点三 函数不等式问题【典例9】（2018·全国·高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】【分析】 分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .【典例10】（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f (x )=()212log ,0log ,0x xx x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a>，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >.故选：C【典例12】（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B ．（0，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f x g x x =的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可 【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'= ∵当x ＞0时，有()()0xf x f x '->，∴当x ＞0时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f （x ）是奇函数，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，g （x ）在（﹣∞，0）上递减，由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0，∵不等式f （x ）＞0⇔x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D ．【总结提升】关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：（1）利用函数的奇偶性、单调性.（2）借助于函数的图象（数形结合法）.（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.【精选精练】一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）不等式|21|3x -<的解集是（ ）A ．{}2x x <B ．{}1x x >-C ．{}12x x -<<D ．{1x x <-或}2x >【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.【详解】由|21|3x -<可得：3213x -<-<，解得：12x -<<， 所以原不等式的解集为：{}12x x -<<，故选：C.3．（2021·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合{}11A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x <<【答案】C【解析】【分析】根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B ，再进行交集运算即可.【详解】 由题意得，{}{}2log 102B x x x x =<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<≤，故选：C.4．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合{}230A x x x =-<，{}|33x B x =≥，则A B =（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(2 D ．()1,3【答案】B【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】 集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}1332x B x x x ⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭， 则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.5.（天津·高考真题（理））设x ∈R ，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】 由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得2x <-或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（ ）A ．4B ．3C ．9D ．94【答案】C【解析】【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系，然后根据不等式的解集可得()f x c =的两个根为,6m m +，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即Δ＝a 2﹣4b ＝0则b 24a =， 不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax 24a +＜c 解集为（m ，m +6）， 则x 2+ax 24a +-c ＝0的两个根为m ，m +6 ∴|m +6﹣m |22444a a c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6 解得c ＝9故选：C ．7．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x >的解集是（ ）A ．()()1,00,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当0x <时，函数()f x 的函数解析式，再分0x <和0x >两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =当0x <时，则0x ->，则()()22x f x f x --=-=-，所以当0x <时，()22x f x -=-+，则()0220x x f x >⎧⎨=->⎩，解得1x >，()0220x x f x -<⎧⎨=-+>⎩，解得10x -<<，所以不等式()0f x >的解集是()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <． 即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 故选：C9．（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞， 【答案】D【解析】【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ， 由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组230,340.x x x ->⎧⎨-->⎩的解集为_________. 【答案】()4,+∞【解析】【分析】解一元二次不等式取交集即可.【详解】原不等式组化简为3034(4)(1)041x x x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨-+>><-⎩⎩或 故答案为：()4,+∞.12．（2019·浙江·高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a =【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤， 由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．【答案】(1，2]【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴()1f x x'=＋e x －cos x . ∵x >0，∴e x >1，∴()f x '>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，则原不等式的解集为(1，2]．故答案为：(1，2]三、双空题14．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）111()12x x x x -≤⎧⎪=⎨⎪⎩，，＞，则()()2f f ＝__，不等式()()32f x f -<的解集为__．【答案】12## 0.5 {x |x 72＜或x ＞5} 【解析】【分析】第一空先求出()2f 的值，再求()()2f f 的值；第二空将3x -分为大于1或小于等于1两种情况讨论，分别解出不等式，写出解集即可.【详解】解：f （2）211122-⎛⎫== ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()122f f =， 当x ﹣3＞1时，即x ＞4时，311122x --⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，解得x ＞5， 当x ﹣3≤1时，即x ≤4时，x ﹣312＜，解得x 72＜， 综上所述不等式f （x ﹣3）＜f （2）的解集为752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 故答案为：12，752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或． 四、解答题16．（2020·山东·高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3；（2）35a -<<.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a -的取值范围，再代入分段函数解析式，得到()13f a -<的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10>，所以()12153f =⨯-=-，因为30-<，所以()()()()2133233f f f =-=-+⨯⎤⎦-⎣=⎡.（2）因为10a -≥， 则()1215f a a -=--， 因为()13f a -<，所以2153a --<， 即14a -<，解得35a -<<.17．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6， 当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a =时，()|1||3|f x x x =-++．当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-；当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解；当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥．综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. [方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解．当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-． 综上，a 的取值范围为32a >-． [方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-， 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ， 由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()2f x x ax =++，R a ∈．(1)若不等式()0f x 的解集为[1，2]，求不等式2()1f x x -的解集；(2)若对于任意的[1x ∈-，1]，不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1(,3]2有解，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(-∞，1][12，)∞+ (2)13a ≤ (3)[0，1）．【解析】【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出a ，然后解一元二次不等式即可；（2）问题转化为222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）利用参数分离法进行转化求解即可．（1）解：若不等式()0f x 的解集为[1，2]，即1，2是方程220x ax ++=的两个根，则123a +=-=，即3a =-，则2()32f x x x =-+，由2()1f x x -得，22321x x x -+-即22310x x -+得(21)(1)0x x --，得1x 或12x ，即不等式的解集为(-∞，1][12，)∞+． （2）解:不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，即222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，则2242()(2)x x h x x -+'=-，令()0h x '=，解得：22x =，故()h x 在[1-，22)递增，在(221]递减，故()min h x h =（1）或1()h -，而h （1）1=，1(1)3h -=，故13a ． （3）解：由()()f x g x =得22(2)12ax a x x ax +++=++，2(1)210a x x ∴-+-=，即2(1)12a x x -=-，若方程()()f x g x =在1(2，3]有解，等价为2212121x a x x x --==-有解，设22121()(1)1h x x x x =-=--，1(2x ∈，3]，∴11[3x ∈，2)，即1()0h x -<，即110a --<，则01a <，即实数a 的取值范围是[0，1)．。
各类不等式的解法
各类不等式的解法一、不等式的基本性质 不等式的基本性质有：(1)对称性或反身性：a>b ⇔b<a ； (2)传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ；(3)可加性：a>b ⇒a+c>b+c ，此法则又称为移项法则； (4)可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。
不等式运算性质：(1)同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ；(2)正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。
特例：(3)乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； (4)开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n1n1b a >；(5)倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。
例1： 1)、5768--与的大小关系为 .2）、设1->n ,且,1≠n 则13+n 与n n +2的大小关系是 .3）已知,αβ满足11123αβαβ-+⎧⎨+⎩≤≤≤≤, 试求3αβ+的取值范围.例2.比较()21+a 与12+-a a 的大小。
例3.解关于x 的不等式m x x m +>+)2(。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 或 )0.(02><++a c bx ax 的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。
0=∆0<∆c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=21.解下列不等式：（1）02322≥--x x (2)01692>++x x (3)542<-x x (4)0122≤++x x2.解不等式组（1）22371002520x x x x ⎧--≤⎨-+>⎩ （2）2223054x x x x ⎧-->⎨->⎩3.若不等式02>++c bx ax 的解集为(-2,3),求不等式02<-+b ax cx 的解集.4.当k 为何值时，不等式08322<-+kx kx 对于一切实数x 都成立？ 三、分式不等式与高次不等式的解法1.分式不等式解法⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥<⇔<>⇔>0)(0)()(0)()(0)(0)()(0)()(0)()(0)()(0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f2.高次不等式解法：数轴标根法（奇穿偶切）典型例题例1解下列不等式（1）x －3x ＋7 ＜0 （2）3＋2x ＜0 （3）4x －3 ＞2－x 3－x －3 （4） 3x ＞1例2 解下列不等式：（1）(x+1)(x-1)(x-2)>0 （2）（-x-1)(x-1)(x-2)<0(3) x(x-1)2(x+1)3(x+2)≤0 （4）（x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)>0（5） （6）．（7） （8）四、无理不等式的解法解无理不等式的基本方法就是将其转化为有理不等式组，在转化过程中一定要注意等价变换015223>--x x x 0)2()5)(4(32<-++x x x 22123+-≤-x x 12731422<+-+-x x x x题型Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)()0)(()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 例1 解不等式⑴0231≤---x x ⑵125->-x x 题型Ⅱ：⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 例2 解不等式x x x 211322+>+- 题型Ⅲ：⎪⎩⎪⎨⎧>>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型例3解不等式x x x 211322+<+-例4解不等式1112-+>+x x例5解不等式36922>-+-x x x五、绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法关键就在于去掉绝对值,而去掉绝对值,则需要对绝对值中的零点进行讨论,一般来说一个零点分两个范围,两个零点分三个零点,依次类推. （1）含有一个绝对值：不等式)0(><a a x 的解集是{}a x a x <<-; 不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式)0(><+c c b ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ;不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或 （2）含有多个绝对值：零点分段法例1 解不等式（1）5500≤-x . （2）752>+x （3）32≥-x（4）1≤ | 2x-1 | < 5. （5） |4x-3|>2x+1例2解不等式：（1）|x -3|-|x +1|<1. （2）|x |－|2x ＋1||＞1．例3 已知函数f (x )=|x -2|-|x -5|． （I ）证明：-3≤f (x )≤3；（II ）求不等式f (x )≥x 2-8x +15的解集．六、指数不等式与对数不等式利用指数函数及对数函数的单调性转化为代数不等式()()()()()1.(1)()();(01)()()2.(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>()0log ()log ()(1)()0;()()()0log ()log ()(01)()0()()a a a a f x f x g x a g x f x g x f x f x g x a g x f x g x >⎧⎪>>⇔>⎨⎪>⎩>⎧⎪><<⇔>⎨⎪<⎩例1.解不等式66522252.0-+---≥x x x x例2.解不等式154log <x .例3.解不等式：)10(log 31log ≠<-<-a x x a a例4．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 12>++-+x x x x aa a七、基本不等式（也叫均值不等式） 1．基本不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b2)2(a ，b ∈R) (3)a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值设x ，y 都是正数．(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P.(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14S 2.练习1．已知两个正数a ，b 的等差中项为4，则a ，b 的等比中项的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．162．若a ，b ∈R ，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b≥2ab C.1a ＋1b ≥2ab D.b a ＋ab ≥23．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是( ) A ．4 B ．8 C ．22 D ．4 24.当x>1时，求函数f(x)＝x ＋1x －1的最小值________．5．已知x ，y>0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．6．某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________.7. 已知a 、b 、c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.八、不等式的证明 （一）比较法：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 例1 求证：x 2 + 3 > 3x例2 a ,b ∈ R +，且a b ≥，求证：a b b a b a b a ab b a ≥≥+2)(（二）综合法1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学 定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
不等式的解法
7．指数不等式与对数不等式的解法 (1)当 a＞1 时，af(x)＞(＜)ag(x) ⇔f(x)＞(＜)g(x) (2)当 0＜a＜1 时，af(x)＞(＜)ag(x) ⇔f(x)＜(＞)g(x) (3)当 a＞1 时，logaf(x)＞(＜)logag(x)
fx＞0 ⇒gx＞0 fx＞＜gx
典 例 对 对 碰 题型一 一元二次不等式的解法 例 1 已知不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解为 0＜α＜x＜β，求不等式 cx2＋bx＋a＞0 的解集．
因不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解为 0＜α＜x＜β， 所以 a＜0， b c 2 且方程 ax ＋bx＋c＝0 的两根为 α、 β.所以 α＋β＝－ ＞0， β＝ ＞ α· a a c b 0，所以 ＞0， ＜0，又 a＜0，所以 c＜0. a a 设方程 cx2＋bx＋a＝0 的两根为 x1 与 x2， 由韦达定理 b －b －a x1＋x2＝ ＝ c c a α＋β 1 1 ＝ ＝ ＋ ； α· β α β a 1 1 11 x1·2＝ ＝ ＝ ＝ · x c c α· α β β a 解析
(4)当 0＜a＜1 时，logaf(x)＞(＜)logag(x)
fx＞0 ⇔gx＞0 fx＜＞gx
解指数不等式与对数不等式时首先要保证不等式有意义，然后 化为同底幂或同底对数形式，去对数符号时要注意底数 a 的范围， 从而判断不等号方向是否关键，也是难点， 常用函数的单调性去“f ”，另外注意保证 f(x)有意义.
5．解高次不等式与分式不等式需注意 (1)根据多项式理论，每个一元多项式都可以分解为一些一次、 二次因式的乘积，其中二次因式恒正或恒负，因此高次不等式都可 转化为一些一次因式的乘积的不等式，然后采用数轴标根法完成． (2)有些高次不等式因式分解后，可能会出现重因式，由于奇次 重因式的符号与一次因式的符号一致，因此奇次重因式可以直接改 写为一次因式；如果是偶次重因式，则分偶次重因式等于 0 和大于 0 两种情形讨论． (3)大部分分式不等式转化为整式不等式后， 实际上就是转化成 了高次不等式，用高次不等式的解法求解即可． (4)对于右边不为零的分式不等式的求解， 一般是通过不等式两 边加上同一个数(或式)使右边变为 0， 然后采用以上方法求解， 切忌 将左边的分母不讨论符号直接乘到右边，进行去分母． (5)分解的各个因式中，x 的系数须为正数． (6)画曲线遵循“从右至左，自上而下”的原则．
不等式求解技巧大全
不等式求解技巧大全不等式是数学中的一种重要的关系表达式，解不等式是我们在数学中常常会遇到的问题。
在解不等式时，我们常常需要使用一些技巧和方法来求解。
下面是一些常见的不等式求解技巧。
1.化简法：对于一些较为复杂的不等式，我们可以先进行化简，将不等式转化为一个简单的形式，再进行求解。
例如，对于不等式2(x-1)>3x+4，可以先将其化简为2x-2>3x+4，再继续求解。
2.移项法：不等式的基本思想是找到使不等式成立的数的范围。
在移项法中，我们可以将不等式中的变量项移到同一边，并用0替代不等式。
例如，对于不等式2x+3>5x+2，可以将其改写为0>3x-2，然后继续求解。
3.分情况讨论法：有时候，不等式的解集与变量的取值范围有关。
在这种情况下，我们可以将不等式根据变量的取值范围进行分情况讨论，然后求解每一个情况。
例如，对于不等式，x-1，>2，可以将其分为两个情况讨论：x-1>2或者x-1<-2，然后分别求解。
4.绝对值法：绝对值是求解不等式时常常会遇到的一个概念。
在解绝对值不等式时，我们可以将绝对值分成两部分，然后分别求解每一部分。
例如，对于不等式，2x-1，>3，可以将其分为两个不等式2x-1>3或者2x-1<-3，然后分别求解。
5.图像法：有些时候，我们可以利用图像来求解不等式。
例如，对于不等式x^2-4x+3>0，我们可以通过绘制函数y=x^2-4x+3的图像，找到使不等式成立的区间。
6.数列法：数列法是一种递归思想，如果不等式中的变量之间存在其中一种特殊关系，我们可以通过构造一个数列来求解不等式。
例如，对于不等式x^2-3x-4>0，我们可以构造数列{a_n}，其中a_n=a_{n-1}^2-3a_{n-1}-4，然后通过求解这个数列的极限值来求解不等式。
7.寻找最值：有时候，我们可以通过寻找不等式中的最值来求解不等式。
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x x 2 或 x 3 .
（2） log1 (x2 3x 4) log1 (2x 10)
3
3
解: ∵ log1 (x2 3x 4) log1 (2x 10)
x2
3x
3
4பைடு நூலகம்
0
3
∴ 2x 10 0
x
2
3x
4
2x
10
解得 2 x 1 或 4 x 7
∴原不等式的解集为x 2 x 1 或 4 x 7 .
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 题型二 题型三 题型四
含参二次不等式的解法
怎样解含字母的不等式:
例 4 解关于 x 的不等式： ax2 2(a 1)x 4 0
解 (1) a 0 x 2
（C）{x| x<2} （D）R
15．不等式
(3x
4)(2x 1) (x 1)2
0 的解集
为 {x| 1 x 4 且x≠1}
2
3
.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 题型二 题型三 题型四
含绝对值的不等式
题型一 题型二 题型三 题型四
6．不等式(1－|x|)(1+x)>0的解集为（ D ） （A）(－1，1) （B）(－∞，1) （C）(0，1) （D）(－∞，－1)∪(－1，1)
(log2 x 4)(log2 x 1) 0
4 log2 x 1
1 x2 16
对所对应方程根的个数进行讨论
例2：解关于x的不等式 x2 2x m 0
对所对应方程根的大小进行讨论
例3：解关于 x的不等式 x2 (a a2 )x a3 0
综合题型I
例4：解关于 x的不等式： ax2 (2a 1)x 2 0
一元二次不等式的解法
例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
所以,原不等式的解集是
x
|
x
1 2
, 或x
2.
若改为:不等式 2x2－3x－2 < 0 .
则不等式的解集为: 1 x 2 2
3．不等式 x2 3x 3 1的解集为（
x2 2x 5
C
）
（A）{x| 0<x<2} （B）{x| x>2}
Ax2＋Bx＋C>0的解集为R，则满足
A
0 0
或A=0，Ｂ=0，C>0
Ax2＋Bx＋C>0的解集为φ，则满足
A 0 0
或A=0,B=0,C0
(a 2)x2 (2a 4)x 4 0
a 4 0 (2a 4)2 16(a 2) 0
或 a2
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 题型二 题型三 题型四
例６不等式ax2+bx+c＞0的解集为 {x|α＜x＜β}其中β＞α＞0，求不等式 cx2+bx+a＜0的解集。
例７设A {x | x2 4x 3 0}, B {x | x2 4x a 8 0}
且 A B ，求a的取值范围.
变式:设 A {x | x2 4x 3 0}, B {x | x2 4x a 8 0}
(2) a 0 ,原不等式化为：(ax-2)(x-2)>0 a(x 2)(x 2) 0 a
a0 2 x2 a
0 a 1 x 2 或 x 2 a
a 1 x 2
a 1 x 2 或 x 2 a
例3若不等式ax2+2ax- 4<2x2+4x对于任意的 实数x均成立，求实数a的取值范围。
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 题型二 题型三 题型四
1~5 6~9 10 11
12
1~5 6~9 10 11
12
1~5 6~9 10 11
12
1~5 6~9 10 11
12
例５不等式ax2+bx+c<0的解集为
{x | x 2或x 1} 2
其中a,b为实数,求不等式ax2-bx+c>0的 解集。
(3) 4x 3 2x 4 0
令2x t t2 3t 4 0 (t 1)(t 4) 0
t 4 或 t 1 (舍) 2x 4 x 2
(4) log2 2x log2 4x 6
原式化为:(log2x 1)(log2 x 2) 6
(log2 x)2 3log2 x 4 0
且 B A ，求a的取值范围.
例８若不等式2x-1＞m(x2-1)对于满足m 2
的所有m都成立，求x的取值范围。
• 对数与指数不等式
例 9 试解下列不等式:
⑴ 2x2 5x5 1
2
2 解:∵ x2 5x5 1 2
2 ∴ x2 5x5 21 ∴ x2 5x 5 1
∴ (x 2)(x 3) 0
作业
1：已知不等式(m2 4m 5)x2 4(m 1)x 3 0 对于一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
2：解关于x的不等式x2 2x 1 m2 0
3：解关于 x的不等式 ax2 (a 1)x 1 0
对二次项系数进行讨论
例1：设函数f (x) mx2 mx 1 0对于一切实数x恒成立 求实数m的取值范围.
综合题型II
例5：解关于x的不等式ax2 2x a 0
小结与归纳
• 含参数的一元二次不等式需讨论一般分为 • 1：对二次项系数进行讨论； • 2：对所对应方程根的个数进行讨论； • 3：对所对应方程根的大小进行讨论； • 注意：因不确定所以需要讨论，在讨论时需
清楚在哪讨论；怎样讨论.讨论要不重不漏,通 过讨论后化不确定为确定.