浙江省杭州市高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数学案(无答案)新人教A版必修1

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人教版高中数学必修1第二章基本初等函数(I)-《2.3幂函数》教案(1)

幂函数
教学目标
理解和掌握幂函数的图象和性质．
重点难点
幂函数的图象和性质．
教学过程
幂函数的图象、性质和应用
幂函数y=x n随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取
例1图2为幂函数y=x n在第一象限的图象，则C1，C2，C3，C4的大小关系为[ ]．
A．C1＞C2＞C3＞C4
B．C2＞C1＞C4＞C3
C．C1＞C2＞C4＞C3
D．C1＞C4＞C3＞C2
应选C．
评述幂函数y=x n在第一象限内的图象均过点(1，1)，在区间(1，+∞)上，n的值越小，图象越靠近x轴．
例2 比较下列各组数的大小：
(1)分析底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化成比较同一幂函数，不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了．
(3)分析为了应用幂函数的单调性，要将指数统一，底数化为正数．
即
评述此例充分显示了化归转化思想在比较幂型数大小中的运用．。

2021_2022学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数教案3新人教A版必修1

教学教法分析●三维目标1．知识与技能(1)理解幂函数的概念，会画幂函数的图象；(2)结合几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和简单性质．2．过程与方法(1)类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质．引导学生通过观察、归纳、抽象、概括幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．能运用幂函数概念解决简单的问题；(2)使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；(2)进一步渗透数形结合与类比的思想方法；(3)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．●重点难点重点：从五个具体的幂函数中认识概念和性质．难点：从幂函数的图象中概括其性质．重难点的突破：以学生熟知的函数y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x3，y＝x12为切入点，类比指数函数及对数函数的概念得出幂函数的概念．通过学生自主作图，并观察五个具体的幂函数的图象，经小组讨论并结合多媒体的直观演示，师生共同总结出函数y ＝x α的图象特征.课前自主导学课标解读1.掌握幂函数的概念、图象和性质．(重点)2．熟悉α＝1,2,3，12，－1时的五类幂函数的图象、性质及其特点．(易混点)3．能利用幂函数的性质来解决实际问题．(难点)知识1幂函数的概念【问题导思】1．函数y ＝2x 与y ＝x 2有何不同？【提示】在函数y ＝2x 中，常数2为底数，自变量x 为指数，故为指数函数；而在函数y ＝x 2中，自变量x 为底数，常数2为指数，故为幂函数．2．函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1及y ＝x 12解析式有何共同特征？【提示】指数为常数；底数是自变量，自变量的系数为1；幂x α的系数为1；只有1项．一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识2幂函数的图象及性质【问题导思】在同一平面直角坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x \f(1,2)，y ＝x －1的图象如图.1．它们的图象都过同一定点吗？【提示】是的，都过定点(1,1)．2．上述五个函数，在(0，＋∞)内是增函数的是哪几个？是减函数的呢？【提示】在(0，＋∞)内是增函数的有：y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x12. 在(0，＋∞)内是减函数的有：y ＝x －1.3．上述5个函数的图象关于原点对称，是奇函数的有哪几个？图象关于y 轴对称，是偶函数的呢？【提示】图象关于原点对称是奇函数的有：y ＝x ，y ＝x 3，y ＝x －1；图象关于y 轴对称，为偶函数的是y ＝x 2.幂函数的性质幂函数y ＝xy ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1定义域RR R [0，＋∞) {x |x ≠0}值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数性单调性在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数公共点(1,1)课堂互动探究类型1幂函数的概念已知函数y ＝(m 2＋2m －2)x m ＋2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．【思路探究】已知函数――→对照y ＝x α――→列方程组求m ，n【自主解答】 ∵函数y ＝(m 2＋2m －2)x m ＋2＋2n －3是幂函数，由幂函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝12n －3＝0，解得m ＝－3或1，n ＝32.1．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式．反之，若一个函数具有这种形式，则该函数必为幂函数．2．判断函数解析式以根式形式给出的函数是否为幂函数，要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9,3)，则f (100)＝________.【解析】由题意可知f (9)＝3，即9α＝3，∴α＝12，∴f (x )＝x 12， ∴f (100)＝10012＝10.【答案】 10类型2幂函数的图象已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图2－3－1所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c 0，b >0.由幂函数的性质知，当x >1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a >b . 综上所述，可知c 2b >2c ，又函数y ＝2x 在R 上是增函数，于是a >b >c .2．对于函数y ＝x α⎝ ⎛⎭⎪⎫α＝±1，12，2，3而言，其图象有以下特点：(1)恒过点(1,1)，且不过第四象限．(2)当α＞0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是增函数；当α＜0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是减函数．(3)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象经过的“卦限”是( )A ．④⑦B ．④⑧C ．③⑧D ．①⑤【解析】 ∵x －x ＝x (x －1)，当0<x <1时，x －x <0，即x <x <1，∴幂函数y ＝x 12的图象经过“卦限①”；当x >1时，x －x >0，即x >x >1，∴幂函数y ＝x 12的图象经过“卦限⑤”．【答案】 D类型3幂函数的性质及应用比较下列各组数的大小：(1)3－52和3.1－52；(2)－8－78和－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23和⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23； 25，3.8－23和(－1.9)－35. 【思路探究】幂的结构―――――――――――――――→借助幂函数的单调性或中间量幂的大小.【自主解答】 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978，从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978. (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23. 函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又23>π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23.25>125＝1；0<3.8－23<1－23＝1；(－1.9)－35<0，所以(－1.9)－35<3.8－2325.1．比较幂的大小的三种常用方法2．利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求函数f (x )的解析式．【解】 ∵f (x )＝x m －3在(0，＋∞)上是减函数，∴m －3<0，∴m <3. 又∵m ∈N *，∴m ∵f (x )＝x m －3是偶函数，∴m －3是偶数． ∴m ＝1.∴f (x )＝x －2.思想方法技巧巧用幂函数的性质求参数的范围(12分)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的取值范围．【思路点拨】据题中条件→列出不等式组→求出m →利用幂函数的单调性→对底数分类讨论→得a【规范解答】 ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m －9<0，解得m <3. 4分又m ∈N *，∴my 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1. 8分∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ， 10分解得23<a <32或a1．本题涉及到幂函数的单调性、奇偶性、图象等问题，解题的关键是准确把握幂函数的图象，实质上，抓住了幂函数的图象也就抓住了性质．2．分类讨论思想．本题中依“a ＋1,3－2a ”是否在同一区间为分类标准，从而做到不重不漏，学习中应注意分类意识的培养．课堂小结1．幂函数的概念是区别指数函数及处理幂函数相关问题的依据．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y ＝x α(α为常数)的形式．2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y ＝x α(α为常数)同五个函数(y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x12)图象与性质的关系． 3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题．当堂双基检测1．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝5x B ．y ＝x 5 C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋1)3【解析】函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数．【答案】 B2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 2 C ．y ＝x 3D ．y ＝x 12【解析】结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3及y ＝x 12的图象可知，幂函数y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数．【答案】 B3．若幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.【解析】设幂函数f (x )＝x α，则由题意可知f (2)＝2α＝14，∴α＝－2，∴f (x )＝x －2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4.【答案】 44．比较下列各组中两个值的大小： 3535； (2)3.5－23与5.3－23.【解】 (1)∵幂函数y ＝x 35在(0，＋∞)上单调递增，且1.5<1.6，∴3535.(2)∵幂函数y ＝x 在(0，＋∞)上单调递增，且0.6<0.7，∴.(3)∵幂函数y ＝x －23在(0，＋∞)上单调递减，且3.5<5.3，∴3.5－23>5.3－23. (4)∵幂函数y ＝x 在(0，＋∞)上单调递减，且0.18>0.15，∴.课后知能检测一、选择题1．下列函数中，定义域为R 的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 12C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1【解析】对A ，由y ＝x －2＝1x 2，知x ≠0；对B ，由y ＝x 12＝x ，知x ≥0；对D ，由y ＝x －1＝1x，知x ≠0. 故A ，B ，D 中函数的定义域均不为R ，从而选C.【答案】 C2．函数y ＝x 53的图象大致是( )【解析】 ∵函数y ＝x 53在(0,0)处有定义，且该函数为奇函数，故排除选项A 、D ，又53>1，故排除选项C.【答案】 B3．下列命题中正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域上是增函数D ．幂函数的图象不可能在第四象限【解析】当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R}，其图象为两条射线，故A 选项不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故选项B 不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C 不正确；当x >0，α∈R 时，y ＝x α>0，则幂函数的图象都不在第四象限，故选项D 正确．【答案】 D4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >bC ．a c >a【解析】 ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在R 上是减函数，又35>25，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2535<⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a 25，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即c >b ，∴a <b <c . 【答案】 C图2－3－35．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是递减的，且f (－2)＝0，如图2－3－3所示，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,2)【解析】由图可得在(－∞，0)上，f (x )<0的解集为(－2,0]．因为f (x )为偶函数，所以x 的取值范围为(－2,2)．【答案】 D二、填空题6．函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为________．【解析】 ∵函数y ＝x －2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数，故该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4. 【答案】 47．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值组成的集合为________．【解析】当α＝－1或α＝12时，所得幂函数的定义域不是R ；当α＝1或α＝3时，所得幂函数的定义域为R 且为奇函数．【答案】 {1,3}8．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，18，则满足f (x )＝－27的x 值等于________．【解析】设f (x )＝x α，由题意可知2α＝18，α＝－3，即f (x )＝x －3. 由x －3＝－27可知x ＝－13.【答案】－13 三、解答题 9．(2014·济南高一检测)已知函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 23－1为幂函数，求其解析式，并讨论函数的单调性和奇偶性．【解】由题意得m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0.∴m ＝1或m ＝2.当m ＝2时，y ＝x 13，定义域为R ， y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数且是奇函数．当m ＝1时，y ＝x －23，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．由于y ＝x －23＝1x 23＝13x 2，∴函数y ＝x －23为偶函数．又－23<0，∴y ＝x －23在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 10．点(2，2)与点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )图象上，当x 为何值时，有 (1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )?【解】设f (x )＝x α，g (x )＝x β，则(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1.∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )；②当x ＝1时，f (x )＝g (x )；③当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．11．设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2(其中a >0且a ≠1)．(1)由5＝2＋3，请你探究g (5)能否用f (2)，g (2)，f (3)，g (3)来表示；(2)如果你在(1)中获得了一个结论，请探究能否将其推广．【解】 (1)∵g (5)＝a 5－a －52，而f (2)g (3)＋g (2)f (3)＝a 2＋a －22·a 3－a －32＋a 2－a －22·a 3＋a －32＝14(a 5＋a －a －1－a －5＋a 5－a ＋a －1－a －5)＝12(a 5－a －5)， ∴g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)由(1)可得g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．证明：f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2·a y ＋a －y 2＝14(a x ＋y ＋a y －x －a x －y －a －y －x ＋a x ＋y －a y －x ＋a x －y －a －x －y ) ＝12(a x ＋y －a －x －y )＝g (x ＋y ).。

2019高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数导学案新人教A版必修1

§2.3 幂函数学习目标：1、了解幂函数的概念，会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．学习重点、难点：幂函数的定义和性质，以及幂函数定义域的求解自主预习：知识梳理：一、阅读课本，完成下列题目二、自我检测 1、幂函数的定义一般地，我们把形如的函数叫做幂函数，其中为自变量，为常数. 特征：（1）以为底；（2）幂指数为；（3）幂的系数为；幂函数定义域：使得幂函数有意义的自变量的取值集合. 2、幂函数的性质作出下列函数的图象：x y =， 2x y =，3x y =， 21x y =，1-=x y .幂函数性质归纳:（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴自我检测：1．判断下列函数是否是幂函数；（）(1) y = 2 x 2 (2) y = x -1/3 (3) y = x 3/4 (4) y = （x – 1）3(5) y = x 3 – 1 (6) y = 2x2．在函数1,,2,1222=+===y x x y x y xy 中，幂函数的个数为：（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 三、学点探究探究1：幂函数的单调性例1、证明幂函数x x f =)(在[0,)∞+上是增函数探究2、幂函数的性质例2、利用单调性判断下列各值的大小（1）34与35（2）212与213方法小结2：比较幂值的大小，可以构造幂函数，利用其图想或性质比较大小，若底数不同，指数不同，需引入中间量。

必修1第二章基本初等函数数学：2.3《幂函数》教案(新人教A必修1)

2.3幂函数教学目的:使学生掌握幂函数的概念,会画幂函数的图象,能判定一个幂函数是增函数还是减函数,能判断一个幂函数的奇偶性。

教学重点:幂函数的图象、幂函数的增减性的证明。

教学难点:幂函数增减性的证明。

教学过程一、新课引入课本P90,p=w, S=a 2, V=a 3 ,a=S 21,v=t -1,上述问题中的函数具有什么共同特征？二、新课上述问题中涉及的函数,都是形如y ＝x a 的函数。

一般地,函数y ＝x a 叫做幂函数(power function)。

其中x 是自变量,a 是常数。

当a ＝1,2,3,21,－1时,得到下列的幂函数,画出它们的图象,并观察图象, 将你发现的结论写在下表中:y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 21y ＝x －1 定义域 R R R ［0,＋∞) (－∞,0)∪(0,＋∞) 值域 R ［0,＋∞) R ［0,＋∞) (－∞,0)∪(0,＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增［0,＋∞)增增增 (－∞,0)减(－∞,0)减［0,＋∞)减定点 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)例1、证明幂函数f(x)＝x 在［0,＋∞)上是增函数。

证明:任取1x 、2x ∈［0,＋∞),且1x ＜2x ,则f(1x )－f(2x )＝21x x -＝212121))((x x x x x x ++-＝2121x x x x +-因为1x －2x ＜0,21x x +＞0,所以,f(1x )＜f(2x )即幂函数f(x)＝x 在［0,＋∞)上是增函数。

注意:证明函数的单调性时既可以用作差的方法,也可以用作比的方法,应用用比的方法时应注意分母不为零,及去母时考虑符号问题。

作业:P92 1、2、3。

高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数教案新人教A版必修(1)

幂函数【教学目标】1．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质；2．了解几个常见的幂函数的性质，了解幂函数和指数函数的本质区别；3．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力．【重点难点】重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质．难点：画幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难．【教学过程】一、情景设置1．①如果正方体的边长为a，则正方体的体积V随a变化的函数关系是_______．②如果正方形的面积为S，则正方形的边长a随S变化的函数关系是_______．a=S 12③如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度v随t变化的函数关系是_______．以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，①你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？②它们是否都为指数函数？2．你能画出函数y=x，y=x2，y=x 12，y=x1，y=x3的图象吗？3．通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有？哪个象限可能有？这时可通过什么途径来判断？4．通过对以上五个函数图象的观察，你能得出它们的性质吗？(2) y=x，y=x3，y=x1是奇函数，y=x2是偶函数，y=x 12是非奇非偶函数；(3)在区间(0,+∞)上，y=x，y=x2，，y=x3，y=x 12都是增函数，y=x1是减函数；(4)在第一象限内，y=x1向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；(5)在第一象限内，y=x2，，y=x3向下凸，y=x 12向上凸．二、教学精讲例1．判断下列函数哪些是幂函数？①y=0.2x ；②y=2x 2；③y=x 2+x ；④y=-x 3；⑤y=x3 例2．已知y=(m 2)x 1m 21+2n 3是幂函数，求m ，n 的值．得⎩⎪⎨⎪⎧m 2+2m 2=1m 21≠02n 3=0解得⎩⎪⎨⎪⎧m=3n=32为例3．求下列幂函数的定义域，指出其奇偶性、单调性，并画它们的大致图象．①y=x 13；②y=x2；③y=21-x例4．比较下列各组数的大小： ①253-和251.3-；②4.125，328.3-，(-1.9)35 ：①253- >251.3-；②(-1.9)35<328.3-<4.125三、探索研究四、课堂练习1．若幂函数y=f(x)的图象过点(9,13)，则f(25)的值是______．152．作出函数y=32-x的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质． 3．比较大小 ①211.1-, 219.0- ②4316.0-,235.0-, 6.2538 ①211.1-<219.0- ②6.2538<235.0-<4316.0-【教学后记】。

高中数学第二章基本初等函数(I)2.3 幂函数复习学案新人教A版必修1

2.3 幂函数自主复习考点清单：幂函数及其性质考点详情：幂函数及其性质1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，12y x=，y＝x－1的性质．y＝x y＝x2y＝x312y x=y＝x－1图象定义域R R R [0，＋∞) (－∞，0)U(0，＋∞) 值域R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)U(0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递学在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1) 3．幂函数y＝xα在第一象限的特征α的范围过定点单调性α＞0[α＞1(0,0)，(1,1)下凸递增0＜α＜1 上凸递增α＜0(1,1) 递减，且以两坐标轴为渐近线4．求幂函数定义域的方法：幂函数的定义域随α的取值不同而不同，求幂函数的定义域时可分四种情况：①α为正整数；②α为负整数；③α为正分数；④α为负分数．若是分数指数型幂函数应先化为根式，再由根式的性质求定义域．例题：1．已知幂函数()y f x =的图象过点2(2,)2，则(4)f 的值为（） A ．1 B ．2C ．12D ．8 【答案】C【解析】根据幂函数的定义，设幂函数()af x x =，将点2(2,)代入()a f x x =，得到12a =-，因此121(4)42f -==2．若函数()()ax m x f 1-=是幂函数，则函数()()m x x g a -=log （其中a ＞0，a ≠1）的图象过定点A 的坐标为．【答案】()3,0名师导学： 1．幂函数的奇偶性巩固练习1．设253()5a =,352()5b =,252()5c =,则a,b,c 的大小关系是( )A. a>c>bB. a>b>cC. c>a>bD. b>c>a2．函数13y x =的图象是( )A. B. C.D.3．已知幂函数()f x kx α=),(R R k ∈∈α的图像过点11,24⎛⎫⎪⎝⎭，则k α+=_________________；函数()32y x f x =--的定义域为_________________．4．若()121a -+<()1232a --,则a 的取值范围是 .5．已知4213332,3,25a b c ===，则（） A ．b a c <0时是增函数,所以a>c,所以a>c>b,所以选择A. 2.【答案】B【解析】由幂函数的图象规律可知选B.3．【答案】3 []1,3-【解析】幂函数中系数1k =，代入点11,24⎛⎫⎪⎝⎭得2a = 3k α∴+=，()23232y x f x x x =--=--的定义域需满足232031x x x --≥∴-≤≤4．【答案】23,32⎛⎫⎪⎝⎭5.【答案】A【解析】因为3116=a ，319=b ，3125=c ，031>，所以幂函数31x y =在（0，+∞）上是增函数，因为25＞16＞9，所以c a b <<，故选A.。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数学案新人教A版必修1(2021年整理)

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2。

3 错误!预习课本P77~78，思考并完成以下问题(1）幂函数是如何定义的？(2）幂函数的解析式具有什么特点？（3）常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？错误!1．幂函数的概念函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量,α是常数．[点睛］幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．2．常见幂函数的图象与性质解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝错误!y＝x错误!图象定义域R R R｛x｜x≠0｝［0，＋∞）值域R［0，＋∞）R｛y|y≠0｝[0,＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝错误!y＝x错误!单调性在(－∞，＋∞）上单调递增在(－∞，0]上单调递减,在(0，＋在（－∞，＋∞）上单调递增在(－∞，0）上单调递减，在（0,在[0，＋∞)上单调递增∞)上单调递增＋∞）上单调递减定点(1，1)[点睛］幂函数在区间(0,＋∞）上，当α〉0时，y＝xα是增函数；当α<0时,y＝xα是减函数．错误!1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数． ( ）(2）幂函数的图象必过点（0，0)(1，1）． ( ）（3)幂函数的图象都不过第二、四象限．（)答案：(1)√(2)×（3）×2．下列函数中不是幂函数的是（）A．y＝x B．y＝x3C．y＝2x D．y＝x－1答案：C3．已知f（x）＝(m－1）x22m m＋是幂函数，则m＝（）A．2 B．1C．3 D．0答案：A4．已知幂函数f（x）＝xα图象过点错误!，则f（4)＝________。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数教学设计数学教案

§2.3幂函数一、教学目标：⑴ 通过实例，了解幂函数的概念；结合函数x y =,2x y =, 3x y =,21x y =,1-=x y 的图像，了解幂函数的图象和性质它们的变化情况。

⑵ 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．并能进行简单的应用．二、教学重难点：重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．三、教具：多媒体四、学法指导：数形结合，从特殊到一般五、教学过程：组织探究材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如αxy=的函数称为幂函数，其中x为自变量，α为常数．下面我们举例学习这类函数的一些性质．画出下列函数的图象：（1）xy=；（2）21xy=；（3）2xy=；（4）1-=xy；（5）3xy=．[解] ○1列表（略）○2图象师：说明：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．生：利用所学知识和方法尝试画出五个具体幂函数的图象，观察图象，体会幂函数的变化规律．师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．师生共同分析，强调画图象易犯的错误．环节教学内容设计设计意图六、教学反思：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。

学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成。

因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。

在方法上，我们应注意从特殊到一般进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习。

将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。

所以本人建议，逐个画出五个函数的图象，从定义域、值域、奇偶性、单调性、过定点等方面进行分析、探究，得到各自的性质，从而再归纳出幂函数的基本性质。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数教学设计新人教A版必修1

2.3 幂函数整体设计教学分析幂函数作为一类重要函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究又一类根本初等函数．学生已经有了学习指数函数与对数函数图象与性质学习经历，幂函数概念引入以及图象与性质研究便水到渠成．因此，学习过程中，引入幂函数概念之后，尝试放手让学生自己进展合作探究学习．本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要函数模型，通过研究y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝x－1，y＝12x等函数性质与图象，让学生认识到幂指数大于零与小于零两种情形下，幂函数共性：当幂指数α＞0时，幂函数图象都经过点(0,0)与(1,1)，且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时，幂函数图象都经过点(1,1)，且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线．在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进展类比研究幂函数性质，并注意与指数函数进展比照学习．将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数性质．其中，学生在初中已经学习了y＝x，y＝x2，y＝x－1等三个简单幂函数，对它们图象与性质已经有了一定感性认识．现在明确提出幂函数概念，有助于学生形成完整知识构造．学生已经了解了函数根本概念、性质与图象，研究了两个特殊函数：指数函数与对数函数，对研究函数已经有了根本思路与方法．因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数一般思想方法是另一目，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径．学习中学生容易将幂函数与指数函数混淆，因此在引出幂函数概念之后，可以组织学生对两类不同函数表达式进展辨析．三维目标1．通过生活实例引出幂函数概念，会画幂函数图象，通过观察图象，了解幂函数图象变化情况与性质，加深学生对研究函数性质根本方法与流程经历，培养学生概括抽象与识图能力，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生学习兴趣．2．了解几个常见幂函数性质，通过这几个幂函数性质，总结幂函数性质，通过画图比拟，使学生进一步体会数形结合思想，利用计算机等工具，了解幂函数与指数函数本质差异，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界过程中作用，从而激发学生学习欲望．3．应用幂函数图象与性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力，了解类比法在研究问题中作用，渗透辩证唯物主义观点与方法论，培养学生运用具体问题具体分析方法去分析与解决问题能力．重点难点教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数概念与性质．教学难点：根据幂函数单调性比拟两个同指数指数式大小．课时安排1课时教学过程导入新课思路11．如果张红购置了每千克1元水果w千克，那么她需要付钱数p(元)与购置水果量w(千克)之间有何关系？根据函数定义可知，这里p是w函数．2．如果正方形边长为a，那么正方形面积S＝a2，这里S是a 函数．3．如果正方体边长为a，那么正方体体积V＝a3，这里V是a 函数．4．如果正方形场地面积为S，那么正方形边长a＝12S，这里a 是S函数．5．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车速度v＝t－1 km/s，这里v是t函数．以上是我们生活中经常遇到几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量)．(适当引导：从自变量所处位置这个角度)(引入新课，书写课题：幂函数)．思路2．我们前面学习了三类具体初等函数：二次函数、指数函数与对数函数，这一节课我们再学习一种新函数——幂函数，教师板书课题：幂函数．推进新课新知探究提出问题(1)给出以下函数：y＝x，y＝12x，y＝x2，y＝x－1，y＝x3，考察这些解析式特点，总结出来，是否为指数函数？(2)根据(1)，如果让我们起一个名字话，你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性结论．(3)我们前面学习指对数函数性质时，用了什么样思路？研究幂函数性质呢？(4)画出y＝x，y＝12x，y＝x2，y＝x－1，y＝x3五个函数图象，完成以下表格.(5)通过对以上五个函数图象观察，哪个象限一定有幂函数图象？哪个象限一定没有幂函数图象？哪个象限可能有幂函数图象，这时可以通过什么途径来判断？(6)通过对以上五个函数图象观察与填表，你能类比出一般幂函数性质吗？活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数学习、研究有了一定经历与根本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数根本内容与方法为暗线，教学过程中同时展开，学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，学生作图，教师巡视，学生小组讨论，得到结论，必要时，教师利用几何画板演示．讨论结果：(1)通过观察发现这些函数变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们变量都在底数位置上，不符合指数函数定义，所以都不是指数函数．(2)由于函数指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过幂形式，因此我们称这种类型函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数指数，就能得到一般式子，即幂函数定义：一般地，形如y＝xα函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．如y＝x2，y＝12x，y＝x3等都是幂函数，幂函数与指数函数、对数函数一样，都是根本初等函数．(3)我们研究指数、对数函数时，根据图象研究函数性质，由具体到一般；一般要考虑函数定义域、值域、单调性、奇偶性；有时也通过画函数图象，从图象变化情况来看函数定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，研究幂函数性质也应如此．(4)学生用描点法，也可应用函数性质，如奇偶性、定义域等，画出函数图象．利用描点法，在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝12x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1图象．列表：图1让学生通过观察图象，分组讨论，探究幂函数性质与图象变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数方法研究幂函数性质．通过观察图象，完成表格.(5)第一象限一定有幂函数图象；第四象限一定没有幂函数图象；而第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数定义域与奇偶性来判断．(6)幂函数y＝xα性质．①所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)(原因：1x＝1)；②当α＞0时，幂函数图象都通过原点，并且在[0，＋∞)上是增函数(从左往右看，函数图象逐渐上升)．特别地，当α＞1时，x∈(0,1)，y＝xα图象都在y＝x图象下方，形状向下凸，α越大，下凸程度越大．当0＜α＜1时，x∈(0,1)，y＝xα图象都在y＝x图象上方，形状向上凸，α越小，上凸程度越大．③当α＜0时，幂函数图象在区间(0，＋∞)上是减函数．思路1应用例如例1 判断以下函数哪些是幂函数．①y x；②y＝x－3；③y＝x－2；④y＝15x.活动：学生独立思考，讨论答复，教师巡视引导，及时评价学生答复．根据幂函数定义判别，形如y＝xα函数称为幂函数，变量x系数为1，指数α是一个常数，严格按这个标准来判断．解：①y x底数是0.2，因此不是幂函数；②y＝x－3底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；③y＝x－2底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；④y＝15x底数是变量，指数是常数，因此是幂函数．点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.例2(1)23y x=；(2)32y x-=；(3)y＝x－2.活动：学生思考，小组讨论，教师引导，学生展示思维过程，教师评价．根据你学习经历，回忆求一个函数定义域方法，判断函数奇偶性、单调性方法．判断函数奇偶性、单调性方法，一般用定义法．解决有关函数求定义域问题时，可以从以下几个方面来考虑：列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数定义域．解：(1)要使函数23y x=有意义，只需y＝3x2有意义，即x∈R.所以函数23y x=定义域是x∈R.又f(－x)＝f(x)，所以函数23y x=是偶函数，它在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)要使函数32y x-=有意义，只需y＝12x3有意义，即x∈R＋，所以函数32y x-=定义域是R＋，由于函数32y x-=定义域不关于原点对称，所以函数32y x-=是非奇非偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数．(3)要使函数y＝x－2有意义，只需y＝1x2有意义，即x≠0，所以函数y＝x－2定义域是x≠0，又f(－x)＝f(x)，所以函数y＝x－2是偶函数，它在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．点评：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们解析式化成根式，根据“偶次根号下非负〞这一条件来求出对应函数定义域；当函数解析式幂指数为负数时，根据负指数幂意义将其转化为分式形式，根据分式分母不能为0这一限制条件来求出对应函数定义域，求函数定义域本质是解不等式或不等式组．例3 证明幂函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．活动：学生先思考或讨论，再答复，教师根据实际，可以提示引导．证明函数单调性一般用定义法，有时利用复合函数单调性．证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，那么f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2，因为x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞0，所以x 1－x 2x 1＋x 2f (x 1)＜f (x 2)，即f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．点评：证明函数单调性要严格按步骤与格式书写，利用作商方法比拟大小，f (x 1)与f (x 2)符号要一致．思路2例1 函数y ＝122(2)x x --定义域是( ) A ．{x |x ≠0，或x ≠2} B ．(－∞，0)∪(2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．(0,2)解析：函数y ＝122(2)x x --化为y ＝1x 2－2x ，要使函数有意义需x 2－2x ＞0，即x ＞2或x ＜0，所以函数定义域为{x |x ＞2，或x ＜0}．答案：B(1),－0.2,0.3,0.3,.活动：学生先思考或回忆，然后讨论交流，教师适时提示点拨．比拟数大小，常借助于函数单调性．对(1)(2)可直接利用幂函数单调性．对(3)只利用幂函数单调性是不够，还要利用指数函数单调性，事实上，这里可作为中间量．解：(1)由于要比拟数指数一样，所以利用幂函数单调性，考察函数y＝x单调性，在第一象限内函数单调递增，又因为1.1＜1.2，所以.(2)由于要比拟数指数一样，所以利用幂函数单调性，考察函数y ＝x.(3)首先比拟指数一样两个数大小，考察函数y ＝x 单调性，在第一象限内函数单调递增，又因为0.2＜0.3，所以.再比拟同底数两个数大小，考察函数y x 单调性，在定义域内函数单调递减，又因为0.2＜0.3，所以.另外，此题还有图象法，计算结果等方法，留作同学们自己完成．点评：指数一样幂大小比拟可以利用幂函数单调性；底数一样幂大小比拟可以利用指数函数单调性．知能训练1．以下函数中，是幂函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x 3C ．y ＝1xD ．y ＝2x 2．以下结论正确是( )A ．幂函数图象一定过原点B ．当α＜0时，幂函数y ＝x α是减函数C ．当α＞0时，幂函数y ＝x α是增函数D ．函数y ＝x 2既是二次函数，也是幂函数3．以下函数中，在(－∞，0)是增函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝x 2C ．y ＝1xD ．32y x = 4．某幂函数图象经过点(2，2)，那么这个函数解析式为__________．答案：1．C 2．D 3．A 4．12y x =拓展提升分别在同一坐标系中作出以下函数图象，通过图象说明它们之间关系．①y＝x－1，y＝x－2，y＝x－3；②12y x-=，13y x-=；③y＝x，y＝x2，y＝x3；④12y x=，13 y x =.活动：学生思考或交流，探讨作图方法，教师及时提示，必要时，利用几何画板演示．解：利用描点法，在同一坐标系中画出上述四组函数图象如图2、图3，图4、图5.图2 图3图4 图5①观察图2得到：函数y＝x－1、y＝x－2、y＝x－3图象都过点(1,1)，且在第一象限随x增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴，指数越小，向右无限接近x轴图象在下方，向上离y轴越远．②观察图3得到：函数12y x-=、13y x-=图象都过点(1,1)，且在第一象限随x增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴，指数越小，向右无限接近x轴图象在下方，向上离y轴越远．③观察图4得到：函数y＝x、y＝x2、y＝x3图象过点(1,1)、(0,0)，且在第一象限随x增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数，指数越大图象下凸越大，从第一象限来看，图象向上离y轴近，向下离x轴近．④观察图5得到：函数12y x=、13y x=图象过点(1,1)、(0,0)，且在第一象限随x增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数，指数越小图象上凸越大，从第一象限来看，图象在点(1,1)左边离y轴近，在点(1,1)右边离x轴近．根据上述规律可以判断函数图象分布情况．课堂小结1．幂函数概念．2．幂函数性质．3．幂函数性质应用．作业课本习题2.3 1,2,3.设计感想幂函数作为一类重要函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究又一类根本初等函数，课本内容较少，但高考内容不少，应适当引申，所以设计了一些课本上没有题目类型，以扩展同学们视野，同时由于作图内容较多，建议抓住关键点作图，要会熟练地运用计算机或计算器作图，强化对知识理解．备课资料历史上数学计算方面三大创造你知道数学计算方面三大创造吗？这就是阿拉伯数字、十进制与对数．研究自然数遇到第一个问题是计数法与进位制问题，我们采用十进制是中国人一大创造．在商代中期甲骨文中已有十进制，其中最大数是3万，印度最早到六世纪末才有十进制．但是，目前使用计数法与阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开场使用，后来传到阿拉伯，由阿拉伯人传到欧洲，并被欧洲人所承受．十进制位置计数法诞生，是自然数开展史上一次飞跃，同一个数字由于它所在位置不同而有不同值．无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭，所有自然数都可以方便清楚地表示出来．16世纪前半叶，由于实际需要，对计算技术改良提出了前所未有要求．这一时期计算技术最大改良是对数创造与应用，它产生主要是由于天文与航海计算迫切需要．为了简化天文航海方面所遇到繁杂数值计算，自然希望将乘除法归结为简单加减法．苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,1550—1617)在球面天文学三角学研究中，首先创造了对数方法.1614年他在题为?奇妙对数定理说明书?一书中，阐述了他对数方法，对数使用价值为纳皮尔朋友——英国数学家布里格斯(H.Birggs,1561—1630)所认识，他与纳皮尔合作，并于1624年出版了?对数算术?一书，公布了以10为底14位对数表，并称以10为底对数为常用对数．常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大奉献，而自然对数以及以e为底指数函数成了研究科学、了解自然必不可少工具．恩格斯曾把对数创造与解析几何创始，微积分学建立并称为17世纪数学三大成就．法国著名数学家、天文学家拉普拉斯曾说：“对数创造以其节省劳力而延长了天文学家寿命．〞一直到18世纪，瑞士数学家欧拉(L.Euler,1707—1783)才发现了指数与对数关系，他指出“对数源出于指数〞，这个见解很快被人们所承受．。

高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数导学案无答案新人教A版必修

探究：幂函数的图像能经过第四象限吗？为什么？
【探究点一】
1 2 3
在同一坐标系内作出幂函数 y x, y x y x , y x 2 , y x 的图像
1
1
【探究点二】证明幂函数 f ( x)
x 在 [0,) 上是增函数.
〖课堂检测〗练习 1：已知点 ( A. 奇函数 C. 定义域内的减函数
一般地，把函数知识点二
幂函数的图像与性质上都有定义，并且图像都通过点 . .
1、所有幂函数在区间
2、当 0 时，幂函数的图像通过原点，并且在区间 (0,) 上是当 0 时，幂函数在区间 (0,) 上是
，图像不通过原点，且在第轴，当 x 趋向与正
一象限内，当 x 从右边趋向与原点时，图像无线接近于无穷时，图像无线接近与轴.
1 3
B.
3
C. 3
D. 9
4、若幂函数 f ( x) (m2 4m 4) x m （） A.1 或 3 B. 1
2
6m8
在 (0,) 上为减函数，则 m 的值为
C. 3
D. 2
5、下列结论中正确的是（
）
A. 当 0 时，函数 y x 的图像是一条直线 B. 幂函数的图像都经过 (0,0) 和 (1,1) 两点 C. 幂函数的图像不可能出现在第三象限 D. 图像不经过点 (1,1) 的幂函数，一定不是偶函数
3
8、已知函数 f ( x) 是幂函数，其图像过点（2,8），定义在 R 上的函数 y g ( x) 是奇函数，当 x 0 时， g ( x) f ( x) 1 （1）求幂函数 f ( x) 的解析式；（2）求 g ( x) 在 R 上的解析式.

高中数学第二章基本初等函数I2.3幂函数学案2无答案新人教版必修

1 《幂函数》
在初中，我们已经学习了这些函数：y=x ，y=x 2，y=x -1前面我们还见过如：y=x 4，y=x -2等函数，那么，这些函数有怎样的共同特征呢？能否类似指（对）数函数，把它们归为某一类函数呢？学习了本节课后你就会对这些函数有更深的理解。

一、学习任务：掌握幂函数的定义，及五个具体幂函数的图像及基本性质。

二、探究新知：：阅读教材P 77、P 78，并完成下列问题：
1、通过阅读教材，你能写出幂函数的定义吗？
2、在同一平面直角坐标系内作出y=x,y=x 2,y=x 2,y=x -1，y=21x ,y=x 3
的图象。

3、我们研究一类函数，就是要研究这一类函数所具有的共同特征，你能联系指（对）数函数的研究方法。

4、下列函数中是幂函数的是 _______________
①y=2x 5 ②y= 3x ③y=22x ④y=x 2 +x
⑤y=（x+2）2 ⑥y=1 ⑦y=x 0 ⑧y=2
1x
必做题：P 79 1； P 82 10
选做题1、比较下列各组中两个值的大小。

<1>-878-与 87)91
(- <2>25
251.33--与 <3>0.2
0.6与 0.30.4 2、判断并证明幂函数f （x ）=x 3的奇偶性和单调性
三、本节课收获：⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧。

2019-2020学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ) 2.3 幂函数教案新人教A版必修1

2．3 幂函数[目标] 1.记住幂函数的定义，熟悉α＝1,2,3，12，－1时幂函数的图象及性质；2.记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题．[重点] 幂函数的定义、图象和性质． [难点] 利用幂函数的性质解决有关问题.知识点一幂函数的概念[填一填]一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．[答一答]1．下列函数：①y ＝2x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝(x ＋1)3是幂函数吗？提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数． 2．幂函数y ＝x α与指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)有何区别？提示：幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y ＝a x中，底数是常数，指数是自变量．知识点二幂函数的图象[填一填]五种常见幂函数的图象幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x12 的图象如下图．[答一答]3．幂函数y＝xα的图象在第一象限内有何特征？提示：(1)α>1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2.(2)0<α<1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝x 12 .(3)α<0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1.4．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？提示：当x>0时，y＝xα>0，不可能出现y<0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．知识点三幂函数的性质[填一填]五类幂函数的性质[答一答]5．对于幂函数y＝xα(α是常数，x是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？提示：α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数；α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数．类型一幂函数的概念[例1] (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m －13为幂函数，则m 等于( )A ．1B ．2C ．1或2D ．－2[答案] (1)B (2)C[解析] (1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.(2)由幂函数的定义可知m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0.解得m ＝1或m ＝2.故选C.幂函数解析式的结构特征：(1)解析式是单项式；(2)幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.[变式训练1] (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( C )A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)已知函数y ＝(m 2＋2m －2)xm ＋2＋2n －3是幂函数，则m ＝－3或1，n ＝32.解析：(1)由幂函数定义知k ＝1，把⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入y ＝x α得α＝12，∴k ＋α＝32.选C.(2)因为函数y ＝(m 2＋2m －2)xm ＋2＋2n －3是幂函数，由幂函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得m ＝－3或1，n ＝32.类型二幂函数的图象[例2] 下图是幂函数y ＝x m、y ＝x n与y ＝x －1在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n <0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1 [答案] B[解析] 由y ＝x m 的图象是横卧抛物线形，知0<m <1；由y ＝x n的图象是双曲线，知n <0.作直线x ＝x 0(0<x 0<1)，与y ＝x n 、y ＝x －1的图象分别交于点A 、B ，由“点低指数大”知n <－1.故选B.在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．[变式训练2] 幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x 12的图象经过的区域对应的序号有( D )A．④⑦ B．④⑧C．③⑧ D．①⑤解析：∵x－x＝x(x－1)，当0<x<1时，x－x<0，即x<x<1，∴幂函数y＝x 12的图象经过区域①；当x>1时，x－x>0，即x>x>1，∴幂函数y＝x 12的图象经过区域⑤.类型三幂函数的性质应用[例3] 比较下列各组中三个数的大小．[分析] 本题考查幂函数及指数函数的单调性．比较幂值大小的方法[变式训练3] 比较下列各组中两个值的大小：1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( B ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝x －3C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－12．如果幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为( D ) A.12B ．2C ．1D ．4 解析：设f (x )＝x α.∵f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴12＝4α，解得α＝－12.∴f (x )＝x －12 ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＝4. 3．函数y ＝x 13的图象是( B)解析：∵函数y ＝x13是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A ，D.当x >1,0<α<1时，y ＝x α在直线y ＝x 下方，排除C ，选B.4．幂函数y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值为－12.解析：∵y ＝x －1在(－∞，0)上单调递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值是－12.5．比较下列各题中两个幂的值的大小：解：(1)∵y ＝x 12 为[0，＋∞)上的增函数，又1.1>0.9，∴1.1 12 >0.9 12.——本课须掌握的三大问题1．幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1.(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α<0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．学习至此，请完成课时作业22学科素养培优精品微课堂与幂函数有关的简单不等式问题开讲啦与幂函数有关的不等式是形如[f (x )]α>[g (x )]α的不等式，通常利用幂函数y ＝x α的定义域和单调性将其转化为关于x 的不等式组来求解．[典例] 已知幂函数y ＝xp －3(p ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1) p 3 <(3－2a ) p3的实数a 的取值范围．[分析] 先根据y ＝x p －3的单调性和奇偶性及p ∈N *确定p 的值，再利用函数y ＝x p3 的单调性列不等式求解．[解] 因为函数y ＝x p －3在(0，＋∞)上是减函数，所以p －3<0, 即p <3，又因为p ∈N *，所以p ＝1或p ＝2.因为函数y ＝xp －3的图象关于y 轴对称，所以p －3是偶数，所以p ＝1，即y ＝x －2，(a＋1) 13 <(3－2a ) 13 .因为函数y ＝x 13 在(－∞，＋∞)上是增函数，所以a ＋1<3－2a ，即a <23，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23. [对应训练] 已知f (x )＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3)．解：由条件知1－n 2＋2n ＋3>0，∴－n2＋2n＋3>0，解得－1<n<3. 又n＝2k，k∈Z，∴n＝0或n＝2.当n＝0或n＝2时，f(x)＝x 13 .∵f(x)＝x 13在R上单调递增，∴f(x2－x)>f(x＋3)等价于x2－x>x＋3.解得x<－1或x>3.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．。

高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数教案新人教版

2.3幂函数1.知识与技能(1)理解幂函数的概念,会画幂函数的图象;(2)结合几个幂函数的图象,了解幂函数图象的变化情况和简单性质.2.过程与方法(1)类比研究一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的过程与方法,研究幂函数的图象和性质.引导学生通过观察、归纳、抽象,概括幂函数的性质,培养学生概括抽象和识图能力.能运用幂函数的概念解决简单的问题;(2)使学生领会数形结合的数学思想方法,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.3.情感、态度与价值观(1)通过生活实例引出幂函数的概念,使学生体会到数学在实际生活中的应用,激发学生的学习兴趣;(2)进一步渗透数形结合与类比的思想方法;(3)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.难点:从幂函数的图象中概括其性质.重难点的突破:以学生熟知的函数y=x,y=x2,y=,y=x3,y=为切入点,类比指数函数及对数函数的概念得出幂函数的概念.通过学生自主作图,并观察五个具体的幂函数的图象,经小组讨论并结合多媒体的直观演示,师生共同总结出函数y=xα的图象特征.“幂”的由来数学史上很早就借用“幂”字,起先用于表示面、面积,后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811—1882)译成《代微积拾级》一书,创设了不少数学专有名词,如函数、极限、微分、积分等,并把“Power”这个词译为“幂”,这样“幂”就转译为若干个相同数之积.大约到15世纪,人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积,直到17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势.1636年,苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法,他用罗马数字表示指数,写在底数的右上角,如以A iii表示A3,这种记法与现在相比较,除了数字采用罗马数字外,其他完全一样.一年以后,法国数学家笛卡儿进行了改进,将罗马数字改用阿拉伯数字,成了今天的样子.此后由英国数学家渥里斯、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指数幂的概念及符号,从而使幂的概念及符号发展的更完善了.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》(263年)中使用了“幂”字,一直用到现在.一数自乘,中国古代称之为“方”,“乘方”一语是宋代以后开始使用的.一个数的乘方指数在中国古代是用这个数在筹算(或记录筹算的图表)中的位置来确定的,某个位置上的数要自乘多少次是固定的,也可以认为这是最早的指数记号.。

浙江省杭州市高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数学案(无答案)新人教A版必修1

2.3《幂函数》课前阅读材料（幂函数的前世）：幂乃土生土长的数学概念，距今已有两千年左右的历史。

幂的古体字是冖，《说文解字》：“幂，覆也。

从一下垂也。

”它的繁体字是幂，原义是遮盖东西用的布，后来衍义为面积，刘歆用幂这个词表示面积。

〈〈九章算术〉〉方田章刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂。

”后来又广义为多次乘方的结果，如元代朱世杰〈〈算学启蒙〉〉总括：“自相乘之曰幂”。

到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂。

清末，李善兰翻译《代微积拾级》时，先将power 译为方，后来改译为幂。

从此就将一个数的若干次方的结果理解为幂。

我们现在定义y=x 为幂函数，源于此。

一、“没有目标而学习，恰如没有罗盘而航行”：1、通过生活实例引出幂函数的概念，学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

2、学生能理解幂函数的概念，会画幂函数,,,,2132x y x y x y x y ====1-=x y的图象；学生能结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质。

3、学生通过观察，总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力，让学生进一步体会数形结合的思想；二、课堂学习：（幂函数的今生） (1)、“温故而知新，可以为师矣”：思考1：对于等式ba N =，我们知道：（1）如果a 一定，则N 随着b 的变化而变化，我们建立了指数函数xa y = ；（2）如果a 一定，则b 随着N 的变化而变化，我们建立了对数函数x a y log =；那么，如果b 一定，则N 随着a 的变化而变化，是否也能确定一个函数呢？（2）、“万丈高楼平地起”： 1、实例探究：阅读下面的5个实例，填写完整。

根据实例中的函数模型，你能总结出它们有什么共同特征吗？问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要付的钱数 p = 元，这里p 是w 的函数.问题2：如果如果正方形的桌面边长为a ，那么该桌面的面积S = ，这里S 是a 的函数.yO问题3：如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积V = ，这里V 是a 的函数.问题4：如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长a = ，这里a 是S 的函数. 问题5：如果t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v = km/s ，这里v 是t 的函数.思考2：若将它们的自变量全部用x 来表示，函数值用y 来表示，则它们的函数关系式将是：。

人教版高中数学必修1第二章基本初等函数(I)-《2.3幂函数》教案(6)

2.3幂函数教学目标：知识与技能：通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行简单的应用。

过程与方法：能够类比研究一般函数、指数函数的过程与方法,来研究幂函数的图象和性质。

情感、态度、价值观：体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。

教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。

教学难点：画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律。

教学过程：一．温故知新复习指数函数、对数函数的定义形如)1,0(≠>=a a a y x 的函数称指数函数；形如)1,0(log ≠>=a a x y a 的函数称指数函数。

提问：之前还学过哪些函数？生答：一次函数、二次函数、反比例函数、正比例函数。

将这些函数的特殊形式写出：12,,-===x y x y x y提问：这些是指数函数吗？若不是说出它们与指数函数的相同点与不同点。

生答：相同点：幂的形式。

不同点：自变量x 的位置。

引出上述三个函数的一般形式αx y =，从而引出课题-------幂函数二．幂函数定义1．幂函数的定义：一般地，形如)(R x y ∈=αα的函数叫称为幂函数(power function), 其中x 是自变量，α是常数。

概念辨析：在下列函数中哪些是幂函数？（1）x y 2= （2）x x y -=3 （3）2)2(-=x y （4）41xy = 同桌讨论，给出观点例1：已知幂函数y=f(x)的图像过点（4，2），试求出这个函数的解析式。

解：设αx y =，又过（4，2），所以212124x y =⇒=⇒=αα 三．探究幂函数图象与性质可通过研究几个常见幂函数的图象与性质------在同一坐标系中画出21312,,,,x y x y x y x y x y =====-函数的图象，然后观察图象，归纳特征。

学生活动：在事先发给他们的作图纸上通过描点法画图。

教师巡视并辅导。

师生一起校对所画图象的正确性，并根据图象编成幂函数操，（帮助学生记图的同时，也提高学生学习的兴趣）。

高中数学第二章 2.3 幂函数导学案(无答案)新人教A版必修1(2021年最新整理)

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2.3 幂函数2。

3 幂函数学习目标1．通过具体实例了解幂函数的概念；2．会画幂函数y x=，2y x=，3y x=，1y x-=，12y x=的图象,并通过其图象了解幂函数的图象和性质；重点难点会用常见的幂函数的性质解决比较大小等问题．类比研究一般函数、指数函数、对数函数的方法【幂函数的概念】(1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p元，这里是的函数．（2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S，这里是的函数．（3)如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V，这里是的函数．（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝，这里是的函数．(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝km/s，这里是的函数．问题1 上面5个问题中函数的对应法则分别是什么？问题2 上面5个问题中的5个函数有什么共同特征？上面5个问题中涉及到的函数，都是形如：y＝xα,其中是自变量，是常数．【幂函数定义】一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．【注意】只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x,指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x ）3，y ＝42x ⎛⎫⎪⎝⎭ （填“是"或“不是”)幂函数．问题4 观察下列两组函数,说出它们的共同点与不同点：（1）y ＝x 2，y ＝x 3，12y x =，y ＝x －1;(2）y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝（错误!)x ，y ＝0.3x .共同点：均是幂的形式．不同点：第一组: 是自变量，第二组：是自变量．例1 写出下列函数的定义域,并分别指出它们的奇偶性：(1) 3y x =；（2)12y x = ；（32y x -=.训练1 已知221(22)23m y m m x n -=+-+-是定义域为R 的幂函数，求m ，n 的值．求幂函数的定义域时，通常要对幂的指数做变形,把负指数变成正指数，把分数指数变成根式的形式,这样易于看出自变量的受限程度．【幂函数的图象和性质】如下图在同一坐标系内作出函数y x =； 2y x =； 3y x =； 12y x =； 1y x -=的图象，思考下列问题:-6-6661122334455-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5x y o-6-6661122334455-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5xyo训练2 证明幂函数f (x )＝x 3在定义域上是增函数．例3 比较大小:(1) 215.1，217.1；(2）（－1.2)3，（－1。

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2.3《幂函数》
课前阅读材料（幂函数的前世）：幂乃土生土长的数学概念，距今已有两千年左右的历史。

幂的古体字是冖，《说文解字》：“幂，覆也。

从一下垂也。

”它的繁体字是幂，原义是遮盖东西用的布，后来衍义为面积，刘歆用幂这个词表示面积。

〈〈九章算术〉〉方田章刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂。

”后来又广义为多次乘方的结果，如元代朱世杰〈〈算学启蒙〉〉总括：“自相乘之曰幂”。

到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂。

清末，李善兰翻译《代微积拾级》时，先将power 译为方，后来改译为幂。

从此就将一个数的若干次方的结果理解为幂。

我们现在定义y=x 为幂函数，源于此。

一、“没有目标而学习，恰如没有罗盘而航行”：
1、通过生活实例引出幂函数的概念，学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

2、学生能理解幂函数的概念，会画幂函数,,,,2
1
3
2x y x y x y x y ====1-=x y 的图象；学生能结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质。

3、学生通过观察，总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力，让学生进一步体会数形结合的思想；
二、课堂学习：（幂函数的今生） (1)、“温故而知新，可以为师矣”：思考1：对于等式b
a N =，我们知道：
（1）如果a 一定，则N 随着b 的变化而变化，我们建立了指数函数x
a y = ；（2）如果a 一定，则
b 随着N 的变化而变化，我们建立了对数函数x a y log =；那么，如果b 一定，则N 随着a 的变化而变化，是否也能确定一个函数呢？
（2）、“万丈高楼平地起”： 1、实例探究：
阅读下面的5个实例，填写完整。

根据实例中的函数模型，你能总结出它们有什么共同特征吗？问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要付的钱数 p = 元，这里p 是w 的函数.
问题2：如果如果正方形的桌面边长为a ，那么该桌面的面积S = ，这里S 是a 的函数.
y
O
问题3：如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积V = ，这里V 是a 的函数.
问题4：如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长a = ，这里a 是S 的函数. 问题5：如果t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v = km/s ，这里v 是t 的函数.
思考2：若将它们的自变量全部用x 来表示，函数值用y 来表示，则它们的函数关系式将是：。

2、函数定义：
一般地，函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

思考：你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
3、牛刀小试：判断下列函数是否为幂函数.
2
1
2
24.4.31.2.1x y x
y x y x y =-=== x
y y x y x y
1
.81.71.62.532=
=+==
小结:对幂函数的几点认识：
（3）、“有图有真相”：研究1,2
1
,
3,2,1-=α的情形 1、在同一平面直角坐标系中（用不同颜色的笔）画出函数y x =，2
y x =，3
y x =，12
y x =的图
象列表：
2、在同一平面直角坐标系中（用不同颜色的笔）画出函数1y x -=，2
y x -=的图象列表：
问题1：
（1）、注意到以上所有的幂函数图像都不经过第四象限，并且都经过第一象限，你觉得这是偶然还是必然？
（2）、第二象限和第三象限的的图像是哪些函数的图像？你能总结出规律吗？
（3）、在第一象限内，哪些函数是增函数，哪些函数是减函数？你能总结出规律吗？
y
O
问题2：观察幂函数1
2
13
2
,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，并将发现的
结论填写在下表内。

适当归纳性质:
（4）、“过关斩将”： 1、幂函数的表达式：
例1、已知幂函数)(x f y =的图象过点),2(2，.式试求出这个函数的解析
变式：已知幂函数)()(3
22
*--∈=N m x x f m m 的图象关于y 轴对称，且在),0(+∞上是减函数，求m
的值。

2、幂函数的单调性：
例2、证明幂函数x x f =)(在［0，+∞）上是增函数。

变式：如图所示，曲线是幂函数k x x f =)(在第一象限内的图象，已知分别取
2,2
1
,1,1-=k 四个值，则相应图象依次为:________
（5）、反思总结：（1）、幂函数的定义；（2）、幂函数的性质；（3）、幂函数的简单应用。

（6）、“功在课堂，成在作业”：《作业本》：2.3.幂函数。