高中数学人教A版选修4-4 2.2.3 抛物线的参数方程 测试(教师版)

2.2.3 抛物线的参数方程 （检测教师版）
时间:50分钟 总分：80分
班级： 姓名：
一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1、圆锥曲线2
x t y 2t ⎧=⎨=⎩
(t 为参数)的焦点坐标是( ) A.(1,1) B.(1,2) C.(1,0) D.(2,0) 【答案】C
【解析】本题考查参数方程,抛物线的几何性质. 代入法消参,得到圆锥曲线的方程为y 2
=4x,
其焦点坐标为(1,0). 选C.
2.
参数方程242x y cos πθ⎧=⎪
⎨⎛⎫=-⎪ ⎪
⎝⎭⎩
(θ 为参数，02πθ≤≤)所表示的曲线是( ) A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分，且过点112⎛⎫- ⎪⎝⎭，
D.抛物线的一部分，且过点112⎛⎫
⎪⎝⎭
，
【答案】D
【解析】由21cos 1sin 2cos 4222y πθπθθ⎛⎫+- ⎪
+⎛⎫⎝⎭=-=
= ⎪⎝⎭ ,可得 sin 21y θ=- ,由
x = ,21sin x θ-=
,∴参数方程可化为普通方22x y
=,
又
x ⎡=⎣ .故选D 。

3、参数方程()cos sin 22
11sin ? 2x y θθ
θ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
， (0≤θ＜2π)表示( )
A.双曲线的一支，这支过点112⎛⎫ ⎪⎝⎭，
B.抛物线的一部分，这部分过点112⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
C.双曲线的一支，这支过点112⎛⎫- ⎪⎝⎭，
D.抛物线的一部分，这部分过点112⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
【答案】B
【解析】因π
24x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，0x ⎡∈⎣，()11sin 2y θ=+ ，故[] 01y ∈， . 因为21sin x θ=+ ，所以2sin 1x θ=-，代入()
11sin 2y θ=
+ 中得2
12
y x = ， 即2 2?x y =
，(
)
01x y ≤≤≤≤表示抛物线的一部分，又1212⨯=，故过点1 12⎛⎫
⎪⎝⎭
， .
故选B 。

4、点P (1,0)到曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t
2
y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )
A ．0
B ．1 C. 2
D ．2
【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B
5、下列参数方程能与方程2
y x =表示同一曲线的是（ ）
A. 2
{(x t
t y t ==为参数) B. 2sin {(x t
t y sint
==为参数)
C. {
x t t y ==
为参数) D. 1cos2{
(1cos2t
x t t y tant
-=
+=为参数) 【答案】D
【解析】A. 2
y x = ；B. ()201y x x =≤≤ ；C. 2
y x =
()
x R ∈ ；D.
222
1cos22sin tan 1cos22cos t t x t t t
-===+ ，即2
y x = ，故选D. 6．曲线1xy =的一个参数方程是（ ）
A. 12
12
,{
x t y t
-== B. 2{
2
t t
x y -== C. 22log {
log
t t
x y == D. {
1sin x sin y α
α
==
【答案】C
【解析】选项A 、B 、D 定义域和值域均不符合，故选C. 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7．设曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t ，
y ＝t 2
(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
【解析】 ⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t ，
y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐
标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.
【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝0
8、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧
x ＝t ，
y ＝t (t 为参数)和
⎩⎨
⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ
(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t ，得y ＝x ，又由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝1，
即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1)
9
、已知两曲线参数方程分别sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数，0θπ≤< )和254x t y t
⎧=⎪⎨⎪=⎩ (t 为参
数)，它们的交点坐标为
【答案】1⎛ ⎝⎭
【解析】参数方程sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩，化为普通方程为2
215x y +=，因为0πθ≤< ，故
0y ≥，参数方程254x t y t
⎧=⎪⎨⎪=⎩化为普通方程为2
45y x =，由2
221545x y y x ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
得1x = ，
y =
，故它们的交点坐标为1⎛ ⎝⎭
. 10
、已知两曲线参数方程分别为()0sin x y θθπθ⎧=⎪
≤<⎨=⎪⎩和()254R x t t y t
⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交
点坐标为___________．
【答案】⎛ ⎝⎭
【解析】两曲线参数方程化成普通方程联立方程得：2
22
15
54x y x y ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩ ，解方程组得交点坐标
为1,5⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
. 三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）
11、如图2­2­2所示，连接原点O 和抛物线y ＝1
2x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使
|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？
图2­2­2
【答案】y ＝1
4
x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．
【解析】 抛物线标准方程为x 2
＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2t ，
y ＝2t 2
，
得M (2t,2t 2)．
设P (x ，y )，则M 是OP 中点．
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
2t ＝x ＋02，2t 2
＝y ＋02，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4t y ＝4t 2
(t 为参数)，
消去t 得y ＝1
4
x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．
12、已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过顶点的两弦OA ⊥OB ，求分别以OA 、OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹．
【答案】另一交点Q 的轨迹是以(p ，0)为圆心，p 为半径的圆．
【解析】设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)，则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 2
1x
－2pt 1y ＝0，以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 22x －2pt 2y ＝0，即t 1、t 2为方程2pxt 2＋2pty －x 2－y 2＝0的两根．
∴t 1t 2＝－x 2＋y 22px .又OA ⊥OB ，
∴t 1t 2＝－1，x 2＋y 2－2px ＝0.
∴另一交点Q 的轨迹是以(p ，0)为圆心，p 为半径的圆．
13．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA 、OB (如下图)．
(1)设OA 的斜率为k ，试用k 表示点A 、B 的坐标； (2)求弦AB 中点M 的轨迹过程．
【答案】(1)A ⎝⎛⎭⎫2p k
2，2p k ，B (2pk 2，－2pk )．(2) y 2＝px －2p 2 【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，
y 2＝2px ，
解得x A ＝2p k 2，y A ＝2p
k
.
以－1k 代替上式中的k ，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k
x ，y 2＝2px ，
得x B ＝2pk 2，y B ＝－2pk . ∴A ⎝⎛⎭⎫2p k
2，2p k ，B (2pk 2，－2pk )． (2)设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝p ⎝⎛⎭⎫
k 2
＋1
k 2
，
y ＝p ⎝⎛⎭
⎫1
k －k ，
消去参数k ，得y 2＝px －2p 2，此即为点M 轨迹的普通方程．。