抛物线的参数方程

φ， φ.
[例 1] (1)双曲线xy＝＝62se3ctαan α， (α 为参数)的焦点坐
标是________．
x＝tan t，
(2)将方程y＝11－ ＋ccooss
2t 2t
化为普通方程是________．
[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解；(2)利 用代入法消去 t.
(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参 数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参 数的意义．
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2．过抛物线yx＝＝2t2t， (t 为参数)的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果 x2＋x2＝6.则|AB|＝ ________. 解析：化为普通方程是：x＝y42即 y2＝4x，∴p＝2. ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8.
答案：8
[例2] 连结原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长 OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它 是何曲线．
(2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是 sec φ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec φ， 则焦点在y轴上．
1．如果双曲线xy＝＝6setacnθ，θ (θ 为参数)上一点 P 到它的右焦点 的距离是 8，那么 P 到它的左焦点距离是________．
解析：由双曲线参数方程可知a＝1， 故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6. 答案：10或6
1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线ax22－by22＝1 的参
数方程是xy＝＝batsaenc
φ， φ
规定参数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)
且 φ≠π2，φ≠32π. (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线ay22－xb22＝1 的参
数方程是xy＝＝abstaecn
[思路点拨] 由条件可知，M点是线段OP的中点，利 用中点坐标公式，求出点P的轨迹方程，再判断曲线类 型．
在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题 时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表 示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及 曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示 点的坐标．
3．设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦 点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
证明：如图，设双曲线上的动点为 P(x，y)，
焦点 F1(－ 2，0)，F2( 2，0)，双曲线的参
数方程为xy＝＝tsaenc
θ， θ.
4．如图所示，O是直角坐标原点，A，B是 抛物线y2＝2px(p＞0)上异于顶点的两动 点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求 点M的轨迹方程．