选修4-4：2.2双曲线的参数方程抛物线的参数方程
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(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参 数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参 数的意义．
(2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是 sec φ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec φ， 则焦点在y轴上．
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1．如果双曲线xy＝＝6setacnθ，θ (θ 为参数)上一点 P 到它的右焦点 的距离是 8，那么 P 到它的左焦点距离是________． 解析：由双曲线参数方程可知a＝1， 故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6. 答案：10或6
φ， φ.
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2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为xy＝＝22pptt2， t∈R. (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与 原点连线的斜率的倒数．
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1、参数方程的概念：
探究P21
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度 作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面 （不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？
y 500
o
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
思考：
（1）沿ox对作于初一速般的为抛1物00线m，/怎x的样建匀立速相直应的线参运数动； （2）沿oy反方向作自方由程落呢体？ 运动。
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x， 垂直高度为y，所以
x 100t,
x
y
500
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当 =0时，t=0.
几何意义为： 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=
x y
.
思考：P21
பைடு நூலகம்
怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p>0)的
[思路点拨] 由条件可知，M点是线段OP的中点，利 用中点坐标公式，求出点P的轨迹方程，再判断曲线类 型．
返回
[解] 设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在 OM 的延长线上，且 M 为线段 OP 的中点，抛物线的参数方程 为xy＝＝22tt2， 用中点公式得xy00＝＝44tt2，.
, .
(
为参数)
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数)
思考：参数t的几何意义是什么？
当t 0时，参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0）。
所以，xy=2p2tp2t,.(t为参数，t R)表示整条抛物线。
返回
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
变形为 y0＝14x20，即 P 点的轨迹方程为 x2＝4y. 表示抛物线．
返回
在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题 时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表 示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及 曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示 点的坐标．
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1 2
gt
（g=9.8m/s2 2.
)
返回
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
设M（x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，
以射线OM为终边的角记作。
因为点M（x,y）在的终边上，根据三角函数定义o 可得
y x
H tan.
x
解又如出设果x抛设,y物t得=线到ta普1抛n通物,方t线程（(-为不y,包20=)括2p顶(x0.点,+）)的,则参有数方程：xy=tta2an2pn2p
标是________．
x＝tan t，
(2)将方程y＝11－ ＋ccooss
2t 2t
化为普通方程是________．
[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解；(2)利 用代入法消去 t.
返回
[解析] (1)将xy＝＝62se3ctαan α， 化为3y62 －1x22 ＝1， 可知双曲线焦点在 y 轴，且 c＝ 36＋12＝4 3， 故焦点坐标是(0，±4 3)． (2)由 y＝11－ ＋ccooss 22tt＝22csions22tt＝tan2t， 将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2，即为所求方程． [答案] (1)(0，±4 3)；(2)y＝x2.
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1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－by22＝1 的参
数方程是xy＝＝batsaenc
φ， φ
规定参数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)
且 φ≠π2，φ≠32π. (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线ay22－xb22＝1 的参
数方程是yx＝＝absteacn
A M
则OM =（x,y），OA=(2pt12,2pt1),
uuur
uuur
O
x
OB=(2pt22,2pt2)，AB=(2p(t22 -t12),2p(t2 -t1)).
uur uuur uur uuur
Q OA uuur
OB,OAgOB uuur uuur uuur
0,即(2pt1t2 )2 +（2p）2t1t2 =0,t1t2
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2．过抛物线yx＝＝2t2t， (t 为参数)的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果 x2＋x2＝6.则|AB|＝ ________. 解析：化为普通方程是：x＝y42即 y2＝4x，∴p＝2. ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8. 答案：8
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[例2] 连结原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长 OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它 是何曲线．
参数方程？
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例3、 如图，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2 =2px(p>0)上
异于顶点的两动点，且OA OB，OM AB并与AB相交于点M，
求点M的轨迹方程。
解： 根据条件，设点M，A，B的坐标分别为
y
uuur（x,y）,(2uputr 12,2pt1),(2pt22,2pt2)(t1 t2,且t1 t2 0）.
（x-2pt12 )(2pt2 -y）=(y-2pt1)(2pt22 -x)，
化简，得y(t1 +t2 y(- y )+2p-x=0,
)-2pt1t2 -x=0. 即x2 y2 2
将t1t2
=-1，t1
+t2
=-
y x
代入，得到
px 0(x 0)，这就是点M的轨迹方程。
x
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[例 1] (1)双曲线xy＝＝62se3ctαan α， (α 为参数)的焦点坐
1。
B
Q OM AB,OM gAB 0,即2px(t22-t12)2+2py(t2-t1)=0,x(t1+t2) y 0。
uuur
即t1 +t2 uuur
y x
(x
0)。
因为AM =（x-2pt12,y-2pt1），MB=（2pt22-x,2pt2-y）,且A，M，B三点共线，
(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参 数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参 数的意义．
(2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是 sec φ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec φ， 则焦点在y轴上．
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1．如果双曲线xy＝＝6setacnθ，θ (θ 为参数)上一点 P 到它的右焦点 的距离是 8，那么 P 到它的左焦点距离是________． 解析：由双曲线参数方程可知a＝1， 故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6. 答案：10或6
φ， φ.
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2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为xy＝＝22pptt2， t∈R. (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与 原点连线的斜率的倒数．
返回
1、参数方程的概念：
探究P21
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度 作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面 （不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？
y 500
o
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
思考：
（1）沿ox对作于初一速般的为抛1物00线m，/怎x的样建匀立速相直应的线参运数动； （2）沿oy反方向作自方由程落呢体？ 运动。
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x， 垂直高度为y，所以
x 100t,
x
y
500
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当 =0时，t=0.
几何意义为： 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=
x y
.
思考：P21
பைடு நூலகம்
怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p>0)的
[思路点拨] 由条件可知，M点是线段OP的中点，利 用中点坐标公式，求出点P的轨迹方程，再判断曲线类 型．
返回
[解] 设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在 OM 的延长线上，且 M 为线段 OP 的中点，抛物线的参数方程 为xy＝＝22tt2， 用中点公式得xy00＝＝44tt2，.
, .
(
为参数)
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数)
思考：参数t的几何意义是什么？
当t 0时，参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0）。
所以，xy=2p2tp2t,.(t为参数，t R)表示整条抛物线。
返回
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
变形为 y0＝14x20，即 P 点的轨迹方程为 x2＝4y. 表示抛物线．
返回
在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题 时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表 示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及 曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示 点的坐标．
返回
1 2
gt
（g=9.8m/s2 2.
)
返回
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
设M（x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，
以射线OM为终边的角记作。
因为点M（x,y）在的终边上，根据三角函数定义o 可得
y x
H tan.
x
解又如出设果x抛设,y物t得=线到ta普1抛n通物,方t线程（(-为不y,包20=)括2p顶(x0.点,+）)的,则参有数方程：xy=tta2an2pn2p
标是________．
x＝tan t，
(2)将方程y＝11－ ＋ccooss
2t 2t
化为普通方程是________．
[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解；(2)利 用代入法消去 t.
返回
[解析] (1)将xy＝＝62se3ctαan α， 化为3y62 －1x22 ＝1， 可知双曲线焦点在 y 轴，且 c＝ 36＋12＝4 3， 故焦点坐标是(0，±4 3)． (2)由 y＝11－ ＋ccooss 22tt＝22csions22tt＝tan2t， 将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2，即为所求方程． [答案] (1)(0，±4 3)；(2)y＝x2.
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1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－by22＝1 的参
数方程是xy＝＝batsaenc
φ， φ
规定参数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)
且 φ≠π2，φ≠32π. (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线ay22－xb22＝1 的参
数方程是yx＝＝absteacn
A M
则OM =（x,y），OA=(2pt12,2pt1),
uuur
uuur
O
x
OB=(2pt22,2pt2)，AB=(2p(t22 -t12),2p(t2 -t1)).
uur uuur uur uuur
Q OA uuur
OB,OAgOB uuur uuur uuur
0,即(2pt1t2 )2 +（2p）2t1t2 =0,t1t2
返回
2．过抛物线yx＝＝2t2t， (t 为参数)的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果 x2＋x2＝6.则|AB|＝ ________. 解析：化为普通方程是：x＝y42即 y2＝4x，∴p＝2. ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8. 答案：8
返回
[例2] 连结原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长 OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它 是何曲线．
参数方程？
返回
例3、 如图，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2 =2px(p>0)上
异于顶点的两动点，且OA OB，OM AB并与AB相交于点M，
求点M的轨迹方程。
解： 根据条件，设点M，A，B的坐标分别为
y
uuur（x,y）,(2uputr 12,2pt1),(2pt22,2pt2)(t1 t2,且t1 t2 0）.
（x-2pt12 )(2pt2 -y）=(y-2pt1)(2pt22 -x)，
化简，得y(t1 +t2 y(- y )+2p-x=0,
)-2pt1t2 -x=0. 即x2 y2 2
将t1t2
=-1，t1
+t2
=-
y x
代入，得到
px 0(x 0)，这就是点M的轨迹方程。
x
返回
[例 1] (1)双曲线xy＝＝62se3ctαan α， (α 为参数)的焦点坐
1。
B
Q OM AB,OM gAB 0,即2px(t22-t12)2+2py(t2-t1)=0,x(t1+t2) y 0。
uuur
即t1 +t2 uuur
y x
(x
0)。
因为AM =（x-2pt12,y-2pt1），MB=（2pt22-x,2pt2-y）,且A，M，B三点共线，