抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：

2

124

p x x =，212y y p =-。

例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：

11AF BF

+为定值。

结论二：（1）若AB 是抛物线2

2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则

22sin P AB α

=

（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）

最短。

例：已知过抛物线

29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。AB 倾斜角为

3

π或23π。

结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

例：已知AB 是抛物线

22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准

线相切。

(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线

结论四：若抛物线方程为22(0)

y px p

=>，过（2p，0）的直线与之交于A、B两点，则OA ⊥OB。反之也成立。

结论五：对于抛物线22(0)

x py p

=>，其参数方程为

2

2

2

x pt

y pt

=

⎧

⎨

=

⎩

，

，

设抛物线22

x py

=上动点P 坐标为2

(22)

pt pt

，，O为抛物线的顶点，显然

2

2

2

OP

pt

k t

pt

==，即t的几何意义为过抛物线顶点O的动弦OP的斜率．

例直线2

y x

=与抛物线22(0)

y px p

=>相交于原点和A点，B为抛物线上一点，OB和OA垂直，且线段AB长为P的值．

解析：设点A B

，分别为22

(22)(22)

A A

B B

pt pt pt pt

，，，，则

11

2

A

OA

t

k

==，

1

2

B OA

OB

t k

k

==-=-．

A B

，的坐

标分别为

(84)2p p p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，

．AB =

∴==2p =∴．

练习：

1.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则

11p q += 故11

4a p q

+=】 2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴．证明直线AC 经过原点O ．

【证明：抛物线焦点为02p F ⎛⎫

⎪⎝⎭，．设直线AB 的方程为2p x my =+，代入抛物线方程，得

2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，，则212y y p =-． BC x ∵∥轴，且点C 在准线1

2CO p

k y =

； 又由2

112y px =，得111

2AO y p

k x y =

=

， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】

3.已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．

【解：设()P x y ，

=

．

整理，得22

2880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程．

抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程

y x =．

设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是

(00)，】

备选

1.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程．

解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=．

设对称轴和准线的交点是M，可以求得

62

55

M

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

，．设焦点为F，则FM的中点是A，故得焦点

坐标为

42

55

F

⎛⎫

⎪

⎝⎭

，．再设()

P x y

，是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义

得

22

444120

x y xy x y

++--=，即为所求抛物线的方程．

例2已知A B

，为抛物线24

x y

=上两点，且OA OB

⊥，求线段AB中点的轨迹方程．

解析：设

OA

k t=，

1

OB

OB OA k

t

⊥⇒=-，据t的几何意义，可得2

2

44

(44)

A t t B

t t

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

，，，．设线段中点()

P x y

，，则

22

22

141

42

2

141

42.

2

x t t

t t

y t t

t t

⎧⎛⎫⎛⎫

=-=-

⎪ ⎪

⎪

⎝⎭⎝⎭

⎪

⎨

⎛⎫⎛⎫

⎪=+=+

⎪ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

⎩

，