双曲线、抛物线的参数方程

双曲线 、抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φy ＝a sec φ(φ为参数)．2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数)．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t (t 为参数)表示的曲线不在( )A ．x 轴上方B ．x 轴下方C ．y 轴右方D ．y 轴左方解析：选D.原参数方程可化为y 2＝8x ，故图象不在y 轴左方．选D. 2．下列不是抛物线y 2＝4x 的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2y ＝4t ，(t 为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 24y ＝t，(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t ，(t 为参数) D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝2t ，(t 为参数)解析：选D.逐一验证知D 不满足y 2＝4x . 3．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan αy ＝6sec α，(α为参数)的两焦点坐标是( )A ．(0，－43)，(0，43)B ．(－43，0)，(43，0)C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0) 解析：选A.tan α＝x 23，sec α＝y6，由sec 2α－tan 2α＝1， 得y 262－x 2(23)2＝1， 即y 236－x 212＝1. 焦点在y 轴上，且c 2＝a 2＋b 2＝48，易得双曲线的焦点坐标是(0，－43)，(0，43)． 4．双曲线x 2－y 2＝1的参数方程是____________． 解析：由x 2－y 2＝1， 又sec 2θ－tan 2θ＝1， 所以令x ＝sec θ，y ＝tan θ.故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝tan θ，(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝tan θ，(θ为参数)由参数方程求解双曲线、抛物线的几何性质(1)双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan αy ＝2cos α，(α为参数)的焦点坐标是____________．(2)将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ，化为普通方程是____________．[解析] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan αy ＝2cos α，化为y 24－x 2＝1，可知双曲线焦点在y 轴，且c ＝4＋1＝5， 故焦点坐标是(0，±5)．(2)由y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ＝2sin 2t 2cos 2t＝tan 2t ，将tan t ＝x 代入上式，得y ＝x 2，即为所求方程． [答案] (1)(0，±5) (2)y ＝x2(1)给出双曲线、抛物线的参数方程就可以化为普通方程，进而化成标准方程，然后获得相应的几何性质．(2)注意双曲线的两种标准方程、抛物线的四种标准方程对应的参数方程的区别，重视参数的取值范围对曲线形状的影响．1.如果双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝6tan θ，(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左焦点的距离是________．解析：由双曲线参数方程可知a ＝1，故P 到它左焦点F 的距离|PF |＝10或|PF |＝6. 答案：10或62．过抛物线⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2tx ＝t 2，(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________．解析：化为普通方程是：x ＝y 24，即y 2＝4x ，所以p ＝2.所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8. 答案：8双曲线参数方程的应用已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上一点P ，与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值．[解] 双曲线x2－y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝tan θ(θ为参数)，则Q (sec θ，tan θ)，又圆心C (0，2)，则|CQ |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan θ－2)2＝2(tan θ－1)2＋3. 当tan θ＝1，即θ＝π4时，|CQ |2取最小值3，此时有|CQ |min ＝ 3. 又因为|PC |＝1，所以|PQ |min ＝3－1.(1)用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θy ＝b tan θ(θ为参数)研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(a secθ，b tan θ)．这样可以将两个变量x ，y 的关系简化为一个变量θ的解析式．此外，我们可以利用θ的三角函数进行变形，使解决问题的途径更加广泛．(2)本类型题可用圆心到双曲线的距离最小值减去圆半径的方法．1.求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．证明：由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)，它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋(－a )2＝|a 2b 2(sec 2φ－tan 2φ)|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值)． 2．如图，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.证明：设P (sec φ，tan φ)，因为F 1(－2，0)，F 2(2，0)． 所以|PF 1|＝(sec φ＋2)2＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1， |PF 2|＝(sec φ－2)2＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1， |PF 1|·|PF 2|＝(2sec 2φ＋1)2－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. 因为|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， 所以|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线参数方程的应用设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．[解] 设P 点的坐标为(2pt 2，2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1tx y ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，所以点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)．当t ＝0时，M (0，0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．(2)用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．1.已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt ⇒y 2＝2px ，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N (图略)，由题意可知，△MEF 是正三角形，所以∠MFN ＝60°，在Rt △MFN 中，|FN |＝|MF |cos 60°＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 2.所以3－p 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 2⇒p ＝2.答案：22．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．解：设M (x 1，y 1)为抛物线上的动点，P (x ，y )在OM 的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2， 因为M (x 1，y 1)在抛物线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2ty 1＝2t 2， 由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x2y 1＝y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t2(t 为参数)，消去参数t 得x 2＝4y . 它表示的是抛物线．1．双曲线的参数方程中参数φ的几何意义参数φ是双曲线上的点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角称为点M 的离心角，而不是OM 的旋转角，可类比椭圆的离心角进行理解记忆，双曲线的参数φ的最大取值范围是φ∈R，且φ≠k π＋π2(k ∈Z)，最小范围是φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2.通常规定，离心角φ的取值范围是φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2.2．双曲线的普通方程与参数方程的互化双曲线的普通方程与参数方程依据公式sec 2φ－tan 2φ＝1进行互化．由x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫x a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y b 2＝1⇒令x a ＝sec φ，y b ＝tan φ可得参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ⇒⎩⎪⎨⎪⎧xa＝sec φy b ＝tan φ⇒代入sec 2φ－tan 2φ＝1得普通方程x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．3．抛物线参数方程中参数t 的几何意义t ＝1tan α(α是以射线OM 为终边的角)，即参数t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．4．抛物线的普通方程与参数方程的互化将抛物线的参数方程化为普通方程时只需一式平方与另一式相除即可，将抛物线y 2＝2px (p >0)化为参数方程时，必须令x ＝2pt 2代入y 2＝2px 中求出y ＝±2pt 后取y ＝2pt 得到的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数)．5．抛物线另外三种标准方程的参数方程y 2＝－2px (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2pt2y ＝2pt (t 为参数)，x 2＝2py (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pty ＝2pt 2(t 为参数)， x2＝－2py (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt y ＝－2pt 2(t 为参数)． 6．圆锥曲线的参数方程不是唯一的圆锥曲线的参数方程与所选定的参数有关，不同的参数求出的参数方程也不一样．1．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t ，(参数t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1C. 2 D ．2解析：选B.设Q (x ，y )为曲线上任一点，则d 2＝|PQ |2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2，由t 2≥0得d 2≥1，所以d min ＝1.2．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θy ＝3tan θ，(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0) B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0) C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0) D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0) 解析：选A.由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 3．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝2t ，(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θy ＝2tan θ，(θ为参数)，则直线l 与曲线C 的交点坐标为____________．解析：直线l 的参数方程化为普通方程为2x －y －2＝0，同理曲线C 的普通方程为y2＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12，y 2＝－1，故直线l 与曲线C 的交点坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1. 答案：(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－14．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R)，它们的交点坐标为________．解析：根据题意，两曲线分别是椭圆x 25＋y 2＝1的上半部分和开口向右的抛物线y 2＝45x ，联立易得它们的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，255[A 基础达标]1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2－1y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标是( )A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(0，－1)解析：选B.将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)，该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0，1)．2．已知某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(a ＋1a)，y ＝12(a －1a )(其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分解析：选C.将所给参数方程的两式平方后相减，得x 2－y 2＝1.并且由|x |＝12|a ＋1a |≥1，得x ≥1或x ≤－1，从而易知结果．3．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e－ty ＝e t －e －t ，(t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支D ．双曲线下支 解析：选B.因为x 2－y 2＝e 2t＋2＋e －2t－(e 2t－2＋e－2t)＝4.且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t＝2.所以表示双曲线的右支．4．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t 得y 2＝8x .所以点M (2，4)在抛物线上．所以过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条． 5．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt y ＝2pt2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1，M 2所对应的参数分别是t 1，t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2C.1t 1＋t 2D ．1t 1－t 2解析：选A.依题意M 1(2pt 1，2pt 21)，M 2(2pt 2，2pt 22) 所以k ＝2pt 21－2pt 222pt 1－2pt 2＝(t 1＋t 2)(t 1－t 2)t 1－t 2＝t 1＋t 2.6．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．解析：将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1，0)．答案：(1，0)7．双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θy ＝sec θ(θ为参数)的两条渐近线所成的角为________．解析：双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θy ＝sec θ(θ为参数)化为普通方程为y 2－x 23＝1，故a ＝1，b ＝3，渐近线方程为y ＝±33x ，则两条渐近线所夹的锐角是60°. 答案：60°8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝ty ＝t ，(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 解析：C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 所以C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1)9．已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝2t，得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x .又因为M 点的纵坐标为2，不妨令M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．又因为抛物线的准线方程为x ＝－12.所以由抛物线的定义知|MF |＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2＋12＝52. 即点M 到抛物线焦点的距离为52.10．在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.解：设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos φ－sin φcos φ＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|， 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－35.sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45.所以P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－34或⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，34.[B 能力提升]11．已知抛物线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2y ＝8t，(t 为参数)，圆C 2的极坐标方程为ρ＝r (r >0)，若斜率为1的直线过抛物线C 1的焦点，且与圆C 2相切，则r ＝( )A ．1B ．22C ． 2D ．2解析：选C.抛物线C 1的普通方程为y 2＝8x ，焦点为(2，0)，故直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2，由题意|－2|12＋(－1)2＝r ，得r ＝ 2.12．已知抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt ，(t 为参数，p >0)上的点M ，N 对应的参数值为t 1，t 2，且t 1＋t 2＝0，t 1t 2＝－p 2，则M ，N 两点间的距离为________．解析：由题知M ，N 两点的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)， 所以|MN |＝(2pt 21－2pt 22)2＋(2pt 1－2pt 2)2＝(2pt1－2pt2)2＝2p|t1－t2|＝2p(t1＋t2)2－4t1t2＝4p2.故M，N两点间的距离为4p2.答案：4p213．求证：以等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点．证明：设双曲线为x2－y2＝a2，取顶点A(a，0)，弦B′B∥Ox，B(a sec α，a tan α)，则B′(－a sec α，a tan α)．因为k B′A＝a tan α－a sec α－a，k BA＝a tan αa sec α－a，所以k B′A·k BA＝－1.所以以BB′为直径的圆过双曲线的顶点．14．(选做题)已知A为抛物线y2＝2px(p>0)上的一个定点，BC是垂直于x轴的一条弦，直线AB交抛物线的对称轴于D点，直线AC交抛物线的对称轴于E点，求证：抛物线的顶点平分线段DE.证明：设抛物线上的点A的坐标是(a22p ，a)，点B的坐标是(t22p，t)，则点C的坐标是(t22p，－t)，于是AB的方程是y－a＝t－at2－a22p(x－a22p)，即y－a＝2pt＋a(x－a22p)，AB与x轴的交点为D(－at2p，0)，同理直线AC的方程是y－a＝2pa－t(x－a22p)，所以点E的坐标为(at2p，0)，所以抛物线的顶点平分线段DE.11。