双曲线、抛物线的参数方程

双曲线 、抛物线的参数方程

1．双曲线的参数方程

(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是⎩⎪⎨

⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ

(φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠

π2，φ≠3π

2

． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是⎩

⎪⎨

⎪⎧x ＝b tan φy ＝a sec φ(φ为参数)．

2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y

2

＝2px 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪

⎧x ＝2pt 2

y ＝2pt (t 为参数)．

(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．

1．参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2

，

y ＝4t (t 为参数)表示的曲线不在( )

A ．x 轴上方

B ．x 轴下方

C ．y 轴右方

D ．y 轴左方

解析：选D.原参数方程可化为y 2

＝8x ，故图象不在y 轴左方．选D. 2．下列不是抛物线y 2

＝4x 的参数方程的是( )

A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t

2

y ＝4t ，(t 为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝

t 2

4y ＝t

，(t 为参数) C.⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t ，(t 为参数) D ．⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2

y ＝2t ，(t 为参数)

解析：选D.逐一验证知D 不满足y 2

＝4x . 3．双曲线⎩⎨

⎧x ＝23tan α

y ＝6sec α

，(α为参数)的两焦点坐标是( )

A ．(0，－43)，(0，43)

B ．(－43，0)，(43，0)

C ．(0，－3)，(0，3)

D ．(－3，0)，(3，0) 解析：选A.tan α＝

x 23

，sec α＝y

6，

由sec 2α－tan 2

α＝1， 得y 262－x 2

(23)2＝1， 即y 236－x 2

12

＝1. 焦点在y 轴上，且c 2

＝a 2

＋b 2

＝48，易得双曲线的焦点坐标是(0，－43)，(0，43)． 4．双曲线x 2

－y 2

＝1的参数方程是____________． 解析：由x 2

－y 2＝1， 又sec 2

θ－tan 2

θ＝1， 所以令x ＝sec θ，y ＝tan θ.

故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝tan θ，(θ为参数)．

答案：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝sec θ

y ＝tan θ，(θ为参数)

由参数方程求解双曲线、抛物线的几何性质

(1)双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan αy ＝2cos α，(α为参数)的焦点坐标是____________．

(2)将方程⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝tan t y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ，化为普通方程是____________．

[解析] (1)将⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝tan αy ＝2cos α，化为y 24－x 2

＝1，

可知双曲线焦点在y 轴，且c ＝4＋1＝5， 故焦点坐标是(0，±5)．

(2)由y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ＝2sin 2

t 2cos 2t

＝tan 2

t ，

将tan t ＝x 代入上式，得y ＝x 2

，即为所求方程． [答案] (1)(0，±5) (2)y ＝x

2

(1)给出双曲线、抛物线的参数方程就可以化为普通方程，进而化成标准方程，然后获得相应的几何性质．

(2)注意双曲线的两种标准方程、抛物线的四种标准方程对应的参数方程的区别，重视参数的取值范围对曲线形状的影响．

1.如果双曲线⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝sec θ

y ＝6tan θ，(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是

8，那么P 到它的左焦点的距离是________．

解析：由双曲线参数方程可知a ＝1，

故P 到它左焦点F 的距离|PF |＝10或|PF |＝6. 答案：10或6

2．过抛物线⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝2t

x ＝t 2，(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________．

解析：化为普通方程是：x ＝y 2

4，即y 2

＝4x ，所以p ＝2.

所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8. 答案：8

双曲线参数方程的应用

已知圆C ：x 2

＋(y －2)2

＝1上一点P ，与双曲线x 2

－y 2

＝1上一点Q ，求P ，Q 两点

距离的最小值．

[解] 双曲线x

2

－y 2

＝1的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝sec θ

y ＝tan θ(θ为参数)，则Q (sec θ，tan θ)，

又圆心C (0，2)，则

|CQ |2

＝sec 2

θ＋(tan θ－2)2

＝(tan 2

θ＋1)＋(tan θ－2)2

＝2(tan θ－1)2

＋3. 当tan θ＝1，即θ＝π

4时，

|CQ |2取最小值3，此时有|CQ |min ＝ 3. 又因为|PC |＝1，所以|PQ |min ＝3－1.

(1)用⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θy ＝b tan θ(θ为参数)研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(a sec

θ，b tan θ)．这样可以将两个变量x ，y 的关系简化为一个变量θ的解析式．此外，我

们可以利用θ的三角函数进行变形，使解决问题的途径更加广泛．

(2)本类型题可用圆心到双曲线的距离最小值减去圆半径的方法．

1.求证：双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积

是一个定值．

证明：由双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲