2、双曲线的参数方程

二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
张家界市一中 高二数学组
一、复 习
1、椭圆的参数方程
x y 椭圆的标准方程： 2 2 1 a b
2 2
x2 y2 2 1 2 b a
椭圆的参数方程：
x acos , x bcos , 焦点在X轴 焦点在Y轴 y bsin . y asin .
C1 A C2 O B
B M A
图2 10

所以，点M的轨迹的参数方程为 x a sec 为参数 ③ y b tan
2 sin 2 2 1 因为 2 1，即sec tan 1， 2 cos cos
所以，从③消去参数 后得到点M的轨迹的普通 方程为②，这是中心在原点，焦点在x轴上的双 曲线. 所以③就是双曲线②的参数方程 .
用双曲线的普通方程直接求解例2，并由 此体会参数方程的作用.
例3、已知圆O : x ( y 2) 1上一点P与双曲线
2 2
x 2 y 2Baidu Nhomakorabea 1上一点Q，求P、Q两点距离的最小值
解：设双曲线上点的坐 标为Q (sec , tan ) 先求圆心到双曲线上点 的最小距离 OQ sec (tan 2)
1 y x 3
例 2 如图 2 11，设 M 为双曲 2 2 y 线 x2 2 1 a ，b 0 上任意 a b 一点， O为原点， 过点M 作双曲 线两渐近线的平行线，分别与 两渐近线交于A， B两点. 探求平 行四边形 MAOB 的面积，由此 可以发现什么结论 ?
2 2 2
tan2 1 tan2 4 tan 4 2(tan 1) 2 3 5 当tan 1, 即 或 时, OQ min 3 4 4 PQ min 3 1
小 结：
1、双曲线参数方程的形式
2、双曲线参数方程中参数的意义
双曲线的参数方程
x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
a
y
A B' o B

•M
A' x
说明：
3 通常规定 [o,2 )且 ， 。 2 2
x a sec (为参数) y b tan
b
x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 2 2 1 与三角恒等式 a b 2 2
C2 O
双曲线的参数方程推导1
设Ox为始边，OA为终 边的角为，点M的坐 标为 x， y . 那么点A 的坐标为 x， 0 ，点B 的坐标为 b， y.
C1 A C2 O B
B M A
图2 10 因为点A在圆C1上，由圆 的参数方程得点A 的坐标 为 a cos ， b sin ，所以OA a cos ，b sin ， AA x a cos ， a sin .
双曲线的参数方程
x2 y2 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b
x＝asec φ， 数方程是 y＝btan φ
规定参数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)
π 3π 且 φ≠ ，φ≠ . 2 2 y2 x2 (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b
⑴ 这里参数
叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
sec 1 tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程
的实质是三角代换.
x 2 3 sec 例1、（1）求双曲线 的两个焦点坐标。 y 4 3 tan
(2 15,0)
x 3sec （2）双曲线 (为参数)的渐近线 y tan 方程为 ______________
x＝btan φ， 数方程是 y＝asec φ.
作 业
P34
习题2.2 第3题
2、在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆 的长半轴长和短半轴长. a>b
另外,
称为离心角,通常规定参数的取值范围
是：
[0, 2 )
3、椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:y
A
φ
x
椭圆的标准方程:
O
B
M N
椭圆的参数方程:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
4、从几何变换角度看椭圆 参数方程的推导
通过伸缩变换 1 x x 2 2 x y a { 则椭圆的方程 2 2 1可以变成 1 a b y y b 2 2 x ＋y 1.利用圆的参数方程 x cos { (为参数)可以得到椭圆 的参数 y sin x acos 方程为{ y bsin
1 cos
r 1 y sin csc a __________
二、双曲线的参数方程
类似于探究椭圆参数方程的方法，我们来探究 2 2 y 双曲线 x2 2 1 a 0， b 0 ② a b B M 的参数方程. C1 A
如图2 10，以原点O为圆 B A 心，a ， b a 0， b 0 为半 径分别作同心圆C1 ， C2 . 设 A为圆C1上任一点，作直 图2 10 线OA，过点A作圆C1的切 线AA与x轴交于点A，过 圆C 2与x轴的交点B作圆C 2的切线BB 与直线OA交于 点 B . 过点 A，B 分别作 y 轴，x 轴的平行线A M， B M 交于点M .
5、三角函数的定义的补 充：
y x tan a _________
余切:
y r sin a ________ x r cos a ________
1 tan sec
2 2
正割: 余割:
r sec a _________ x

x y cot a _________
y
A
M
O
B
x
图2 11
解：双曲线的渐近线方程为 y b x . 不妨设 M 为 a 双曲线右支上一点，其坐标为 a sec ，b tan ，
则直线MA的方程为 y b tan b x a sec . ④ a 将y b x代入④，解得点A 的横 a 坐标为x A a sec tan . 2
b

•M
A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | tan b tan .
x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
x2 y2 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
在双曲线的参数方程③中，通常规定参数的范 3 围为 0， 2 ，且 ， . 2 2
思考 类比椭圆的参数方程，从双曲线的参数方 程中可以得出哪些结论 ?
由图 2 10 或通过动画演示 可以看到， 参数 是点M 所对应 B M 的圆的半径 OA 的旋 C1 A 转角 (称为点 M 的离 C2 心角)，而不是OM的 O B A 旋转角.
y
xA xB sin2 cos cos
a sec tan
2 2 2
A
M
4cos
2
sin 2
O
B
x
a tan a b ab . 2 2 a 2
2
2
图2 11
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值， 与点M在双曲线上的位置无关.
因为OA AA，所以OA AA 0，从而
a cos x a cos a sin 0.
2
解得 x
a . 记 cos
1 sec ，则x a sec . cos
因为点B在角的终边上，由 y 三角函数定义有 tan ， b 即y b tan .
y
A
M
O
B
x
同理可得点B 的横坐标为 图2 11 x B a sec tan . 2 设AOx ，则 tan b . a 所以，平行四边形MAOB的面积为
S平行四边形MAOB | OA | | OB | sin2
S平行四边形MAOB | OA | | OB | sin2
与椭圆类似，双曲线 图2 10 2 2 y x 1上任意一点的坐标可以设为 2 2 a b a sec ，b tan ，这是解决与双曲线有关 的问题的重要方法 .
双曲线的参数方程推导2
设M ( x, y)
a
y
A o B
B'
在OAA '中，x
| OA | a | OA ' | a sec , cos cos