双曲线的参数方程课件

sin2 cos2
1，即sec2

tan2

1，
所以，从③消去参数 后得到点M的轨迹的普通
方程为②，这是中心在原点，焦点在x轴上的双 曲线. 所以③就是双曲线②的参数方程.
在双曲线的参数方程③中，通常规定参数的范
围为
0，2
，且


2
，

3
2
.
思考 类比椭圆的参数方程，从双曲线的参数方 程中可以得出哪些结论?
由图2 10或通过动画演示 可以看到，
参数 是点M 所对应
的圆的半径 OA的旋 转角 (称为点 M 的离 心角)，而不是OM的 旋转角.
B M C1C2 A
O B A
与椭圆类似，双曲线
图2 10
x2 a2

y2 b2
1上任意一点的坐标可以设为
a sec，b tan ，这是解决与双曲线有关
圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB与直线OA交于 点 B. 过点 A，B分别作 y 轴，x 轴的平行线AM，
BM交于点M .
双曲线的参数方程推导1
设Ox为始边，OA为终
边的角为，点M的坐
标为 x，y . 那么点A 的坐标为 x，0，点B 的坐标为b，y .
B M C1C2 A
(为参数)
通常规定 [o,2 )且

，

3
。
b
22
说明：
o B A' x
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵ 双曲线的参数方程可以由方程
x2 a2

y2 b2
1 与三角恒等式
sec2 1 tan2 相比较而得到，所以双曲线的参数方程
的实质是三角代换.
则直线MA的方程为
y
y

b
tan


b a

x

a
sec

.
④
将y b x代入④，解得点A的横 a
坐标为xA

a 2
sec

tan
.
A
M
O
x
B
同理可得点B的横坐标为
xB

a 2
sec

tan
.
图2 11
二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
张家界市一中 高二数学组
一、复 习
1、椭圆的参数方程
椭圆的标准方程：
x2 a2

y2 b2
1
椭圆的参数方程：
x2 y2 1 b2 a2
焦点在X轴 xy

a cos b sin
, .
焦点在Y轴 xy

b cos , asin .
O B A
因为点A在圆C1上，由圆 的参数方程得点A 的坐标
图2 10
为a cos ，bsin ，所以OA a cos，bsin ，
AA x a cos ， a sin .
因为OA AA，所以OA AA 0，从而
a cos x a cos a sin 2 0.
例1、（1）求双曲线
x

2
3 sec 的两个焦点坐标。
y 4 3 tan
(2 15 ,0)
（2）双曲线
x y

3 sec tan
(为参数)的渐近线
方程为 ______________
y 1 x 3
例2 如图 2 11，设 M 为双曲
y
线 x2 a2
2、在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆
的长半轴长和短半轴长. a>b
另外, 称为离心角,通常规定参数的取值范围
是：
[0, 2)
3、椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:y
椭圆的标准方程:
Aφ
B
M
O
Nx
椭圆的参数方程:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
4、从几何变换角度看椭圆参数方程的推导
解得
x

a
cos
.
记
1
cos

sec ，则x

a sec .
因为点B在角的终边上，由
三角函数定义有 tan

y， b
即y b tan .
B M C1C2 A
O B A
图2 10
所以，点M的轨迹的参数方程为
x y

a b
sec tan

为参数
③
因为 1
cos2

y2 b2
1a，b
0上任意
一点，O为原点，过点M 作双曲
线两渐近线的平行线 ，分别与
两渐近线交于A，B两点. 探求平
行四边形 MAOB 的面积 ，由此
可以发现什么结论?
A
M
O
x
B
图2 11
解：双曲线的渐近线方程为 y b x. 不妨设 M为 a
双曲线右支上一点，其坐标为a sec ，btan ，
的问题的重要方法 .
双曲线的参数方程推导2
y
设M (x, y)Baidu Nhomakorabea
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | a a sec,
cos cos
b

o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | tan b tan.
所以M的轨迹方程是
x

y

a sec b tan
(为参数)
消去参数后，得
x2 a2
-
y2 b2
=1,
这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
SUCCESS
THANK YOU
•
双曲线的参数方
程x2
a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为：
y
a

A B' • M
x

y

a b
sec tan
通过伸缩变换
x {
y
1 a 1
x y
则椭圆的方程x2 a2
b

y2 b2
1可以变成
x2＋y2 1.利用圆的参数方程
{x y

scions(为参数)可以得到椭圆的参数
x 方程为{

acos
y bsin
5、三角函数的定义的补充：
y
sin a ____r____
x
cosa ___r_____
y
1 tan2 sec2
tan a ___x______ 正割: r
余切: x
cota ___y______
seca _____x____

1
cos
余割:
csca

___ry____s_in1__
二、双曲线的参数方程
类似于探究椭圆参数方程的方法，我们来探究
双曲线
x2 a2

y2 b2
1a

0，b
0
的参数方程.
如图2 10，以原点O为圆
心，a，b a 0，b 0 为半
②
B M C1C2 A
O B A
径分别作同心圆C1 ，C2 . 设 A为圆C1上任一点，作直 线OA，过点A作圆C1的切 线AA与x轴交于点A，过
图2 10