《对数函数》(第1课时) 练习2
高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 对数函数的概念、图象及性质
4.4 对数函数学习目标1.通过对数函数的概念及对数函数图象和性质的学习，培养数学抽象、直观想象素养.2.通过对数函数图象和性质的应用，培养逻辑推理、数学运算素养.第1课时对数函数的概念、图象及性质1.对数函数的概念一般地，函数y=log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞).2.对数函数的图象与性质我们可以借助指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质:对数函数的概念[例1] (1)下列函数是对数函数的是( )A.y=lg 10xB.y=log3x2C.y=ln xD.y=lo g13(x-1)(2)若函数f(x)=log a x+(a2-4a-5)是对数函数，则实数a= . 解析:(1)由对数函数的定义，得y=log a x(a>0，a≠1)是对数函数，由此得到y=ln x是对数函数.故选C.(2)由对数函数的定义可知，{a2-4a-5=0,a>0,a≠1,解得a=5.答案:(1)C (2)5判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如y=log a x(a>0，且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件: (1)系数为1.(2)底数为大于0，且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x.针对训练1:(1)若函数y=log a x+a 2-3a+2为对数函数，则a 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为 .解析:(1)因为函数y=log a x+a 2-3a+2为对数函数，所以{a 2-3a +2=0,a >0,a ≠1,解得a=2.故选B. (2)设函数f(x)=log a x(x>0，a>0，且a ≠1)，因为对数函数的图象过点M(9，2)，所以2=log a 9，所以a 2=9，又a>0， 解得a=3.所以此对数函数的解析式为y=log 3x. 答案:(1)B (2)y=log 3x对数型函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域.(1)y=log a (3-x)+log a (3+x)(a>0，且a ≠1); (2)f(x)=1log 12(2x+1).解:(1)由{3-x >0,3+x >0,得-3<x<3，所以函数的定义域是{x|-3<x<3}.(2)由题意有{2x +1>0,2x +1≠1,解得x>-12，且x ≠0，则函数的定义域为(-12，0)∪(0，+∞).(1)求解含对数式的函数定义域，若自变量在底数和真数上，要保证真数大于0，底数大于0，且不等于1. (2)对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞).(3)形如y=log g(x)f(x)的函数，定义域由{f (x )>0,g (x )>0,g (x )≠1来确定.(4)形如y=f(log a x)的复合函数在求定义域时，必须保证每一部分都要有意义.针对训练2:函数f(x)=√lgx +lg(5-3x)的定义域是( ) A.[0，53) B.[0，53]C.[1，53) D.[1，53]解析:函数f(x)=√lgx +lg(5-3x)的定义域是{x|{x >0,lgx ≥0,5-3x >0}，即{x|1≤x<53}.故选C.对数函数的图象类型一 对数型函数图象过定点问题[例3] (1)函数y=log a (x-3)+1(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是()A.(4，1)B.(3，1)C.(4，0)D.(3，0)(2)若函数y=log a (x-1)+8(a>0，且a ≠1)的图象过定点P ，且点P 在幂函数f(x)=x α(α∈R)的图象上，则f(12) = .解析:(1)令x-3=1，求得x=4，y=1， 可得它的图象恒过定点P(4，1).故选A. (2)令x-1=1，解得x=2，此时y=8，此函数图象过定点P(2，8). 由点P 在幂函数f(x)=x α(α∈R)的图象上知， 2α=8，解得α=3，所以f(x)=x 3， 所以f(12)=( 12) 3=18.答案:(1)A (2)18涉及与对数函数有关的函数图象过定点问题的一般规律:若f(x)=klog a g(x)+b(a>0，且a ≠1)，且g(m)=1，则f(x)图象过定点P(m ，b).针对训练3:(1)(多选题)下列四个函数中过相同定点的函数有( ) A.y=ax+2-a B.y=x a-2+1C.y=a x-3+1(a>0，a ≠1)D.y=log a (2-x)+1(a>0，a ≠1)(2)已知函数f(x)=log a(x-m)+n的图象恒过定点(3，5)，则lg m+lg n 的值是.(3)函数y=log a(2x-1)+3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是.解析:(1)由于函数y=ax+2-a=a(x-1)+2，令x=1，可得y=2，故该函数经过定点(1，2)，由于函数y=x a-2+1，令x=1，可得y=2，故该函数经过定点(1，2)，由于y=a x-3+1(a>0，a≠1)，令x-3=0，求得x=3，y=2，故该函数经过定点(3，2)，由于y=log a(2-x)+1(a>0，a≠1)，令2-x=1，求得x=1，y=1，故该函数经过定点(1，1).故选AB.(2)函数f(x)=log a(x-m)+n的图象恒过定点(1+m，n)，又函数f(x)的图象恒过定点(3，5)，故1+m=3，n=5，即m=2，n=5，所以lg m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1.(3)令2x-1=1，得x=1，y=3，所以函数的图象恒过定点P(1，3). 答案:(1)AB (2)1 (3)(1，3)类型二对数型函数图象的识别[例4] 函数y=-lg |x+1|的大致图象为( )解析:法一函数y=-lg |x+1|的定义域为{x|x≠-1}，可排除A，C;当x=1时，y=-lg 2<0，显然只有D符合题意.故选D.法二y=-lg |x+1|={-lg(x+1),x>-1, -lg(-x-1),x<-1,又x∈(-1，+∞)时，y=-lg(x+1)是减函数.故选D.对数型函数图象的识别一定要注意利用对数式的真数大于0确定函数的定义域，注意利用对数型函数图象所过定点，同时结合单调性进行判断，也可以利用函数图象的变换进行判断.针对训练4:(1)(2021·河南开封期末)函数y=|lg(x+1)|的图象是( )(2)如图，①②③④中不属于函数y=log2x，y=log0.5x，y=-log3x的一个是( )A.①B.②C.③D.④解析:(1)函数的定义域为(-1，+∞)，图象与x轴的交点是(0，0).故选A.(2)根据函数的图象，函数y=log a x(a>0，且a≠1)的底数决定函数的单调性，当底数a>1时，函数单调递增，当0<a<1时，函数单调递减，当底数a>1，x>1时，满足底数越大函数的图象越靠近x轴，故①对应函数y=log2x的图象，根据对称性，④对应函数y=log0.5x的图象，③对应函数y=-log3x的图象，②与函数的图象相矛盾，故②不符合题意.故选B.类型三根据图象求解析式中的参数的范围[例5] 已知函数y=log a(x+c)(a，c为常数.其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a>1，c>1B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1D.0<a<1，0<c<1解析:因为函数单调递减，所以0<a<1.当x=1时，log a(x+c)=log a(1+c)<0，即1+c>1，所以c>0，当x=0时，log a(x+c)=log a c>0，所以0<c<1.故选D.根据图象求解析式中的参数的范围和图象识别的方法是一致的，也是主要利用函数的单调性和图象上特殊点的坐标的大小建立有关参数的不等式.针对训练5:(1)如图，若C1，C2分别为函数y=log a x和y=log b x的图象，则( )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1(2)已知定义在R上的函数f(x)=log2(a x-b+1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )A.0<1a <1b<1 B.0<1b<a<1C.0<b<1a <1 D.0<1a<b<1解析:(1)由对数的性质log a a=1(a>0，且a≠1)，画一条直线y=1，如图所示，由图可知0<b<a<1.故选B.(2)由函数单调性可知，a>1，f(0)=log2(1-b+1)，故0<log2(1-b+1)<1，解得0<b<1，由log2(a-1-b+1)<0可得a-1<b，所以0<1a<b<1.故选D.典例探究:如图，直线x=t与函数f(x)=log3x和g(x)=log3x-1的图象分别交于点A，B，若函数y=f(x)的图象上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则t的值为( )A.√3+22B.3√3+32C.3√3+34D.3√3+3解析:由题意A(t ，log 3t)，B(t ，log 3t-1)，|AB|=1， 设C(x ，log 3x)，因为△ABC 是等边三角形，所以点C 到直线AB 的距离为√32，所以t-x=√32，x=t-√32，所以C(t-√32，log 3(t-√32))， 根据中点坐标公式可得log 3(t-√32) =log 3t+log 3t -12=log 3t-12=log 3√3，所以t-√32=√3，解得t=3√3+34.故选C.应用探究:已知正方形ABCD 的面积为36，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y=3log a x ，y=2log a x 和y=log a x(其中a>1)的图象上，则实数a 的值为( ) A.√3 B.√6 C.√36D.√63解析:设B(x ，2log a x)，因为BC 平行于x 轴，所以C(x ′，2log a x)，即log a x ′=2log a x ，所以x ′=x 2，所以正方形ABCD 的边长|BC|=x 2-x=6，解得x=3.由已知，AB 垂直于x 轴，所以A(x ，3log a x)，正方形ABCD 的边长|AB|=3log a x-2log a x=log a x=6，即log a 3=6，a 6=3，a=√36.故选C.1.函数f(x)=log 2(3+2x-x 2)的定义域为( C ) A.[-1，3] B.(-∞，-1)∪(3，+∞) C.(-1，3) D.(-∞，-1)∪[3，+∞)解析:由3+2x-x 2>0，得-1<x<3，所以f(x)的定义域为(-1，3).故选C.2.已知对数函数f(x)的图象过点(4，12)，则f(x)等于( A )A.log 16xB.log 8xC.log 2xD.lo g 116x解析:由题意设f(x)=log a x(a>0，且a ≠1)，由函数图象过点(4，12)可得f(4)=12，即log a 4=12，所以4=a 12，解得a=16，故f(x)=log 16x.故选A.3.如图所示的曲线是对数函数y=log a x ，y=log b x ，y=log c x ，y=log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为 .解析:由题图可知函数y=log a x ，y=log b x 的底数a>1，b>1，函数y=log c x ，y=log d x 的底数0<c<1，0<d<1.过点(0，1)作平行于x 轴的直线l(图略)，则直线l 与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c ，d ，a ，b ，显然b>a>1>d>c>0. 答案:b>a>1>d>c4.已知函数y=log a (x+3)+89(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f(x)=3x -b 的图象上，则b= . 解析:对于y=log a (x+3)+89，令x+3=1，得x=-2，则y=89，所以函数y=log a (x+3)+89(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A(-2，89)，又点A 也在函数f(x)=3x -b 的图象上， 则89=3-2-b ，求得b=-79.答案:-79[例1] 已知函数y=f(x)的定义域是[0，2]，那么g(x)=f (x 2)1+lg (x+1)的定义域是( )A.(-1，-910)∪(-910，√2]B.(-1，√2]C.(-1，-910)D.(-910，√2)解析:依题意，{0≤x 2≤2,x +1>0,1+lg (x +1)≠0,解得-1<x<-910或-910<x ≤√2.故选A.[例2] 已知函数y=log 3x 的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且线段AB 的中点在x 轴上，则x 1·x 2= .解析:因为函数y=log 3x 的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 所以y 1=log 3x 1，y 2=log 3x 2.根据中点坐标公式得y1+y2=0，即log3x1+log3x2=0，所以log3(x1x2)=0，x1·x2=1.答案:1[例3] (1)求函数f(x)=log a(a x-1)(a>0，且a≠1)的定义域;(2)求函数f(x)=log a[(a-1)x-1]的定义域.解:(1)由a x-1>0，即a x>1，当a>1时，f(x)的定义域为(0，+∞)，当0<a<1时，f(x)的定义域为(-∞，0).(2)由题意(a-1)x-1>0，且a>0，a≠1，当a>1时，x>1;a-1.当0<a<1时，x<1a-1所以当a>1时，f(x)的定义域为(1，+∞);a-1当0<a<1时，f(x)的定义域为(-∞，1).a-1[例4] 已知函数f(x)=lg(a x-b x)(a>1>b>0).(1)求y=f(x)的定义域;(2)证明f(x)是增函数;(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，+∞)上恒取正值?(1)解:要使函数有意义，必有a x-b x>0，a>1>b>0，可得(a) x>1，解得x>0，b函数的定义域为(0，+∞).(2)证明:设g(x)=a x-b x，再设x1，x2是(0，+∞)上的任意两个数，且x1<x2，则g(x1)-g(x2)=a x1-b x1-a x2+b x2=(a x1-a x2)+(b x2-b x1)，对于函数y=a x为增函数，y=b x为减函数，所以a x1-a x2<0，b x2-b x1<0，所以g(x1)-g(x2)<0，所以g(x)在(0，+∞)上为增函数，因为y=lg x在(0，+∞)上为增函数，所以f(x)在(0，+∞)上为增函数.(3)解:因为f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以命题f(x)恰在(1，+∞)取正值等价于f(1)≥0，所以a-b≥1.选题明细表基础巩固1.函数f(x)=ln(x+2)+的定义域为( B )√2-xA.(2，+∞)B.(-2，2)C.(-∞，-2)D.(-∞，2)解析:由题意可知{x +2>0,2-x >0,解得-2<x<2.故选B.2.已知f(x)=a -x ，g(x)=log a x ，且f(2)·g(2)>0，则函数f(x)与g(x)的图象是( D )解析:因为f(2)·g(2)>0，所以a>1，所以f(x)=a -x 与g(x)=log a x 在其定义域上分别是减函数与增函数.故选D.3.已知函数f(x)=a x-1+log b x-1(a>0，且a ≠1，b>0，且b ≠1)，则f(x)的图象过定点( C ) A.(0，1) B.(1，1) C.(1，0) D.(0，0)解析:当x=1时，f(1)=a 0+log b 1-1=1+0-1=0，所以f(x)的图象过定点(1，0).故选C.4.(多选题)函数f(x)=log a (x+2)(0<a<1)的图象过( BCD ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析:作出函数f(x)=log a (x+2)(0<a<1)的大致图象如图所示，则函数f(x)的图象过第二、第三、第四象限.故选BCD.5.已知f(x)为对数函数，f(12)=-2，则f(√43)= .解析:设f(x)=log a x(a>0，且a ≠1)， 则log a 12=-2，所以1a2=12，即a=√2，所以f(x)=lo g √2x ，所以f(√43)=lo g √2 √43=log 2(√43)2=log 2243=43.答案:436.(2021·江苏启东期末)已知函数f(x)=log a (x+b)(a>0，a ≠1，b ∈R)的图象如图所示，则a= ，b= .解析:由图象得{log a (0+b )=2,log a (-2+b )=0,解得{a =√3,b =3.答案:√3 3能力提升7.已知函数y=lg(x 2-3x+2)的定义域为A ，y=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为B ，则( D ) A.A ∩B= B.A=BC.A ⫋BD.B ⫋A解析:由x 2-3x+2>0，解得x<1或x>2， 所以A=(-∞，1)∪(2，+∞);由{x -1>0,x -2>0,解得x>2，所以B=(2，+∞).故B ⫋A.故选D.8.已知等式log 2m=log 3n ，m ，n ∈(0，+∞)成立，那么下列结论:①m=n;②n<m<1;③m<n<1;④1<n<m;⑤1<m<n.其中可能成立的是( B ) A.①② B.①②⑤ C.③④ D.④⑤解析:当m=n=1时，有log 2m=log 3n ，故①可能成立;当m=14，n=19时，有log 2m=log 3n=-2，故②可能成立;当m=4，n=9时，有log 2m=log 3n=2，此时1<m<n ，故⑤可能成立.可能成立的是①②⑤.故选B. 9.如图，四边形OABC 是面积为8的平行四边形，OC ⊥AC ，AC 与BO 交于点E.某对数函数y=log a x(a>0，且a ≠1)的图象经过点E 和点B ，则a= .解析:设点E(b ，c)，则C(b ，0)，A(b ，2c)，B(2b ，2c)， 则{2bc =8,log a b =c ,log a (2b )=2c ,解得b=c=2，a=√2.答案:√210.已知f(x)=|log 3x|. (1)画出函数f(x)的图象;(2)讨论关于x 的方程|log 3x|=a(a ∈R)的解的个数. 解:(1)f(x)={log 3x ,x ≥1,-log 3x ,0<x <1,函数f(x)的图象如图所示.(2)设函数y=|log 3x|和y=a ，当a<0时，两图象无交点，原方程解的个数为0个. 当a=0时，两图象只有1个交点，即原方程只有1个解. 当a>0时，两图象有2个交点，即原方程有2个解. 11.已知函数f(x)=log 2[ax 2+(a-1)x+14].(1)若定义域为R ，求实数a 的取值范围; (2)若值域为R ，求实数a 的取值范围.解:(1)要使f(x)的定义域为R ，则对任意实数x 都有t=ax 2+(a-1)x+14>0恒成立.当a=0时，不合题意;当a ≠0时，由二次函数图象(图略)可知{a >0,Δ=(a -1)2-a <0,解得3-√52<a<3+√52.故所求实数a 的取值范围为(3-√52，3+√52).(2)要使f(x)的值域为R ，则有t=ax 2+(a-1)x+14的值域必须包含(0，+∞).当a=0时，显然成立;当a ≠0时，由二次函数图象(图略)可知，其图象必须与x 轴相交，且开口向上， 所以{a >0,Δ=(a -1)2-a ≥0, 解得0<a ≤3-√52或a ≥3+√52.故所求a 的取值范围为[0，3-√52]∪[3+√52，+∞).应用创新12.已知函数f(x)=|log 2x|，正实数m ，n 满足m<n ，且f(m)=f(n)，若f(x)在区间[m 2，n]上的最大值为2，则n+m= . 解析:根据题意并结合函数f(x)=|log 2x|的图象知，0<m<1<n ，所以0<m 2<m<1.根据函数图象易知，当x=m 2时函数f(x)取得最大值，所以f(m 2)=|log 2m 2|=2.又0<m<1，解得m=12.再结合f(m)=f(n)求得n=2，所以n+m=52.答案:52。
课件21：2.2.2 对数函数及其性质 第一课时
2
2.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象特征和性质
a>1
0<a<1
图 象
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
性
(3)当 x＝1 时，y＝0，即过定点_(_1_,0_)__
质 (4)当 x>1 时，__y＞__0__；
【问题探究】 1.比较下列两组数的大小： (1)log108与log1015； (2)log0.50.9与log0.50.6. 答案：(1)log1015>log108；(2)log0.50.6>log0.50.9.
2.求下列函数的定义域： (1)y＝loga(2x＋8)； (2)y＝1－l1og32x. 答案：(1)x>－4；(2)x>0，且 x≠32.
2
2
A.y<x<1
B.x<y<1
C.1<x<y
D.1<yg 1 y⇒x>y，log 1 y<0⇒y>1，即 1<y<x.
2
2
2
5.下列关系式成立的是( C ) A.0.32＜log20.3＜20.3 B.0.32＜20.3＜log20.3 C.log20.3＜0.32＜20.3 D.log20.3＜20.3＜0.32
【变式与拓展】
2.函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( A )
A.(0，＋∞)
B.[0，＋∞)
C.(1，＋∞)
D.[1，＋∞)
解析：∵3x>0,3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>0.
高中数学第三章Ⅰ3.2对数与对数函数1第二课时同步练习新人教B版必修1
3.2 对数与对数函数（1）第2课时1．对于a>0，a≠1，下列说法中正确的是… ( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①与③ B．②与④ C ．② D．①②③④2．log 28＋log 218等于( )A.103B.83C ．0D ．6 3．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y ，下列式子中正确的个数是( ) ①log a x·log a y ＝log a (x ＋y)； ②log a x －log a y ＝log a (x －y)；③log a xy＝log a x÷log a y ；④log a xy ＝log a x·log a y. A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若a ＝log 32，则用a 表示log 38－2log 36为________． 5．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.1．若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N *,则下列各式中：①(log a x)n ＝n·log a x ；②(log a x)n ＝log a x n；③log a x ＝－log a 1x ；④log a x log a y ＝log a x y ；⑤n log a x ＝1n ·log a x ；⑥1n log a x ＝log a n x ；⑦log a x ＝loga n x n；⑧log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y.其中成立的有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．若y ＝log 56·log 67·log 78·log 89·log 910，则有( ) A ．y∈(0,1) B．y∈(1,2) C ．y∈(2,3) D．y ＝13．已知a 、b 、c 为非零实数，且3a ＝4b ＝6c，那么……( )A.1c ＝1a ＋1bB.2c ＝2a ＋1bC.1c ＝2a ＋2bD.2c ＝1a ＋2b4．若lg(x －y)＋lg(x ＋2y)＝lg2＋lgx ＋lgy ，则xy＝________.5．若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________.6．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求lg 45的值．7．已知log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)，求x.1．(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5的值为( ) A ．4 B ．1 C ．6 D ．32．若lnx －lny ＝a ，则ln(x 2)3－ln(y 2)3等于( )A.a 2 B ．a C.3a2D ．3a 3．如果方程lg 2x ＋(lg2＋lg3)lgx ＋lg2·lg3＝0的两根为lgx 1、lgx 2，那么x 1·x 2的值为… ( )A ．lg2·lg3 B．lg2＋lg3 C.16D ．－64.若x·log 34＝1，则4x ＋4－x等于( ) A.103 B ．6 C.83 D.1635．已知函数f(x)＝alog 2x ＋blog 3x ＋2且f(1200)＝4，则f(200)＝________.6．lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋lg 22＝________.7．a>1，b>1，p ＝log b (log b a)log b a ，则a p＝________.8．设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y的值．9．如果lgx ＋lgy lgx ＋lgx ＋lgy lgy ＋[lg(x －y)]2lgx·lgy＝0，求x ，y 及log 2(xy)的值．10．设a>0，a≠1，x 、y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，用log a x 表示log a y ，并求出当x 为何值时，log a y 取得最小值．答案与解析课前预习1．C 在①中，当M ＝N≤0时，log a M 与log a N 无意义，故①不成立；在②中，当log a M＝log a N 时，必有M ＝N>0成立，故②成立；在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M≠0，N≠0，且M 2＝N 2，即|M|＝|N|，但未必有M ＝N ，例如：M ＝2，N ＝－2时，有log a M 2＝log a N 2，但M≠N，∴③不成立；在④中，若M ＝N ＝0时，log a M 2与log a N 2均无意义，∴④不成立．2．C log 28＋log 218＝log 28×18＝log 21＝0.3．A4．a －2 log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.5．9 log 34·log 48·log 8m ＝lg4lg3·lg8lg4·lgm lg8＝lgmlg3，又log 416＝2，∴lgmlg3＝2.∴lgm＝2lg3＝lg32＝lg9.∴m＝9. 课堂巩固1．B 其中③⑥⑦⑧正确．①式中nlog a x ＝log a x n；②式中log a x n＝n·log a x ；④式中log a x y ＝log a x －log a y ；⑤式中1nlog a x ＝log a n x.2．B y ＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝1lg5，∵lg5≈0.699 0，∴y≈1.43∈(1,2)．3．B 设3a ＝4b ＝6c＝k ，则a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，得1a ＝log k 3，1b ＝log k 4，1c＝log k 6.所以2c ＝2a ＋1b.4．2 由对数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧x －y>0，x ＋2y>0，x>0，y>0，又由原式可得(x －y)(x ＋2y)＝2xy ，即x 2－xy －2y 2＝0，∴(x y )2－xy －2＝0， 解得x y ＝2或xy ＝－1(舍去)．5.2a ＋b 1－a log 512＝lg12lg5＝lg4＋lg3lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a ＋b 1－a. 6．解：方法一：lg 45＝12lg45＝12lg 902＝12(lg90－lg2) ＝12(lg9＋lg10－lg2) ＝12(2lg3＋1－lg2) ＝lg3＋12－12lg2＝0.477 1＋0.5－0.150 5 ＝0.826 6.方法二：lg 45＝12lg45＝12lg(5×9)＝12(lg5＋lg9) ＝12(lg5＋2lg3)＝12(1－lg2＋2lg3) ＝12－12lg2＋lg3 ＝0.826 6. 点评：运算过程中要注意对数运算法则的正确运用，体会lg2＋lg5＝1性质的灵活运用．7．解：原方程可化为log 9(x －1)2＝log 9(x ＋5)，∴(x－1)2＝x ＋5. ∴x 2－3x －4＝0.∴x＝－1或x ＝4.将x ＝－1，x ＝4分别代入方程检验知：x ＝－1不合题意，舍去，∴x＝4.点评：对简单的对数方程，同底法是最基本的求解方法，利用log a N ＝loga n N n(N>0，n≠0)可得，计算过程中要注意等价变形，如本题中将log 3(x －1)化为log 9(x －1)2实质上是非等价变形，扩大了x 的取值范围，因此在解对数方程后要验根． 课后检测1．B 原式＝(lg2＋lg5)(lg 22－lg2·lg5＋lg 25)＋3lg2·lg5＝lg 22－lg2·lg5＋lg 25＋3lg2·lg5＝(lg2＋lg5)2－3lg2·lg5＋3lg2·lg5 ＝1.2．D ln(x 2)3－ln(y 2)3＝3(ln x 2－ln y2)＝3(lnx －ln2－lny ＋ln2)＝3(lnx －lny)＝3a.3．C 由已知得lgx 1＝－lg2，lgx 2＝－lg3，∴x 1＝12，x 2＝13，∴x 1·x 2＝16.4．A ∵x·log 34＝1，∴x＝log 43，则4x ＋4－x＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝103.5．0 由f(1200)＝a·log 21200＋blog 31200＋2＝－alog 2200－blog 3200＋2＝4得alog 2200＋blog 3200＝－2，∴f(200)＝a·log 2200＋blog 3200＋2＝0.6．3 原式＝lg25＋lg823＋lg 102·lg(10×2)＋lg 22＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋lg 22＝lg100＋lg 210－lg 22＋lg 22＝2＋1＝3.点评：对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值过程中，要注意公式的正用和逆用．7．log b a 由对数换底公式，得log b (log b a)log b a＝log a (log b a)，∴p＝log a (log b a)．∴a p＝log b a.8．解：由3x ＝4y＝36， 得x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log 336＝log 363，1y ＝1log 436＝log 364. ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1. 9．解：去分母得lgy(lgx ＋lgy)＋lgx(lgx ＋lgy)＋[lg(x －y)]2＝0，即(lgx ＋lgy)2＋[lg(x －y)]2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧lgx ＋lgy ＝0，lg(x －y)＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，x －y ＝1. ∴x，－y 是方程t 2－t －1＝0的两个实根． 又x ，y>0，且x≠1，y≠1，x>y ，∴x＝5＋12，y ＝5－12.∴log 2(xy)＝log 21＝0.10．解：由换底公式得log a x ＋3·1log a x －log a y log a x ＝3，整理得log 2a x ＋3－log a y ＝3log a x ，∴log a y ＝log 2a x －3log a x ＋3＝(log a x －32)2＋34.∴当log a x ＝32，即x ＝a 32时，log a y 取最小值34.。
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2对数与对数函数(1)第一课时同步练习新人教B版必修1
3．2.1 对数及其运算第1课时1．若a 2＝N(a>0且a≠1)，则有( )A ．log 2N ＝aB ．log 2a ＝NC ．log N a ＝2D ．log a N ＝22．若log x 7y ＝z ，则( )A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x3．21＋log 272的值等于( )A ．272B ．7 C.47D ．144．若log 16x ＝－14，则x ＝________；若(2)x＝12，则x ＝________.5．若log 2(x 2－4x ＋6)＝1，则x ＝________.1．有下列说法：①零和负数无对数；②3log 3(－5)＝－5成立；③任何一个指数式都可以化为对数式；④以10为底的对数叫做常用对数．其中正确命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( )A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与912＝3D ．log 55＝1与51＝53．在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围为…( ) A ．a>5或a<2 B ．2<a<5 C ．2<a<3或3<a<5 D ．3<a<44．计算3log 35＋3log315＝________.5．已知log 7[log 3(log 2x)]＝0，那么x －12＝________.6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n的值．7．求alog a b·log b c·log c N 的值．1．给出下列式子：①5log 512＝12；②πlogπ3－1＝13；③4log 4(－3)＝－3；④xlog x 6＝6.其中不正确的是( )A ．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 2．下列命题正确的是( )①对数式log a N ＝b(a>0，且a≠1)和指数式a b＝N(a>0，且a≠1)是同一关系式的两种不同表达形式；②在同底条件下，对数式log a N ＝b 与指数式a b＝N 可以互相转化；③若a b＝N(a>0，且a≠1)，则alog a N ＝N 一定成立； ④对数的底数是任意正实数． A ．①② B．①②③④ C ．①②③ D．④3．以6为底，216336的对数等于( )A.73B.113C.92D ．2 4.设5lgx＝25，则x 的值等于( ) A ．10 B ．±10 C．100 D ．±100 5．log 6(log 4(log 381))＝________.6．log 3(1－2x9)＝1，则x ＝________.7．(1)求对数值：log 4381＝________；log 354625＝________.(2)求真数：log 3x ＝－34，则x ＝________；log 2x ＝78，则x ＝________.(3)求底数：log x 3＝－35，则x ＝________；log x 2＝78，则x ＝________.8．已知二次函数f(x)＝(lga)x 2＋2x ＋4lga 的最大值是3，求a 的值．9．已知log a b ＝log b a(a>0，a≠1；b>0，且b≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b.10．已知lga 和lgb 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两个根，而关于x 的方程x 2－(lga)x －(1＋lga)＝0有两个相等的实数根，求实数a ，b 和m 的值．答案与解析课前预习1．D 由对数式与指数式的互化易得．2．B log x 7y ＝z ⇔x z ＝7y ，∴x 7z＝y.3．B 21＋log 272＝2·2log 272＝2·72＝7.4.12 －2 log 16x ＝－14⇔x ＝16－14＝12，(2)x ＝12⇔x ＝log 212＝log 2(2)－2＝－2. 5．2 由log 2(x 2－4x ＋6)＝1得x 2－4x ＋6＝2，即x 2－4x ＋4＝0，即(x －2)2＝0，∴x ＝2. 课堂巩固1．B ③错误，如(－1)2＝1就不能写成对数式．②错误，log 3(－5)无意义．2．C log 39＝2的指数式应为32＝9. 3．C 由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧5－a>0，a －2>0，a －2≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<5，a>2，a≠3，∴2<a<3或3<a<5.4.655 ∵3log 35＝5，3log 315＝(3log 315)12＝(15)12＝55. ∴原式＝5＋55＝655. 5.24由已知得log 3(log 2x)＝1， ∴log 2x ＝3，则x ＝23.∴x－12＝2－32＝122＝24.6．解：∵log a 2＝m ，∴a m＝2.又log a 3＝n ，∴a n＝3. ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12.7．解：原式＝(alog a b)log b c·log c N ＝blog b c·log c N ＝(blog b c)log c N ＝clog c N ＝N. 点评：重复使用对数恒等式即可得解；对数恒等式alog a N ＝N 中要注意书写格式． 课后检测1．C ③不正确，log 4(－3)无意义，∵负数和零无对数；④不正确，应在条件“x>0，且x≠1”的前提下计算．2．C ④中的底数应满足“大于0且不等于1”．3．A ∵216336＝63623＝63－23＝673，∴log 6216336＝log 6673＝73.4．C 5lgx ＝25，∴lgx＝2，即102＝x. ∴x＝100.5．0 原式＝log 6[log 4(log 334)] ＝log 6(log 44) ＝log 61＝0.6．－13 由已知得1－2x9＝3，∴x＝－13.7．(1)16 3 (2)1427278 (3)3－53 287(1)(43)16＝34＝81，∴log 4381＝16；∵(354)3＝625，∴log 354625＝3.(2)由题意可得x ＝3－34＝1427；由已知得x ＝278.(3)由已知得x －35＝3，∴x＝3－53；x 78＝2，∴x＝287.点评：对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可求另外一个，关键是指数式与对数式的互化．8．解：∵f(x)的最大值为3，∴⎩⎪⎨⎪⎧lga<0，16lg 2a －44lga＝3⇒(4lga ＋1)(lga －1)＝0.∴lga＝1(舍去)或lga ＝－14.∴a＝10－14.9．证明：设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k，从而有b ＝(b k )k ＝bk 2.∵b>0，b≠1，∴k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b；当k ＝1时，a ＝b.∴a＝b 或a ＝1b ，命题得证．10．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ lga ＋lgb ＝1，lga·lgb＝m ，(lga)2＋4(1＋lga)＝0，①②③由③得(lga ＋2)2＝0，∴lga＝－2.∴a ＝1100.代入①得lgb ＝1－lga ＝3，∴b＝103＝1 000. 代入②得m ＝lga·lgb＝(－2)×3＝－6.∴a＝1100，b ＝1 000，m ＝－6.。
2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质
探究1：对数函数的定义 一般地，我们把函数_y_=_l_o_g_a_x_(_a_>_0_,_且__a_≠_1_)_叫
做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 _〔__0_，__+_∞__〕__．__ 注意:〔1〕对数函数定义的严格形式;
〔2〕对数函数对底数的限制条件：
a 0且a 1.
思考1.对数函数的解析式具有什么样的结构特征呢？ 提示：对数函数的解析式具有以下三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数； (2)真数位置是自变量x，且x的系数是1； (3)logax的系数是1.
1
2
4
……
y=2x
反过来，1个细胞经过多少次分裂，大约可以 等于1万个、10万个细胞？细胞个数y，如何求细 胞分裂次数x？得到怎样一个新的函数？
1
2
4 ……
y=2x
x=? x log2 y y 2x
现在就让我们一起进入本节的学习来解决这些 问题吧！
1.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图像与 性质.〔重点〕 2.知道对数函数是一类重要的函数模型； 3.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函 数〔a>0,且a≠1)．〔难点〕
4,
1 2
.
①求f(x)的解析式; ②解方程f(x)=2. 分析:(1)根据对数函数的形式定义确定参数m所满足的条件求解 即可;(2)根据设出函数解析式,代入点的坐标求出对数函数的底数; 然后利用指对互化解方程.
变式训练1(1)假设函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,那么 a= .
所以函数 y 1 的定义域为{x|x>0,且x≠1}. log2 x
〔3〕因为
《对数函数》同步练习2(苏教版必修1)
高一数学对数函数练习【同步达纲练习】一、选择题1.函数y=(0.2)-x+1的反函数是( )A.y=log5x+1B.y=klog x5+1C.y=log5(x-1)D.y=log5x-12.函数y=log0.5(1-x)(x＜1＝的反函数是( ).A.y=1+2-x(x∈R)B.y=1-2-x(x∈R)C.y=1+2x(x∈R)D.y=1-2x(x∈R)3.当a＞1时，函数y=log a x和y=(1-a)x的图像只可能是( )4.函数f(x)=lg(x2-3x+2)的定义域为F，函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)定义域为G，那么( )A.F∩G=B.F=GC.FGD.GF5.已知0＜a＜1,b＞1，且ab＞1，则下列不等式中成立的是( )A.log b＜log a b＜log aB.log a b＜log b＜log aC.log a b＜log a＜log bD.log b＜log a＜log a b6.函数f(x)=2logx的值域是［-1，1］，则函数f-1(x)的值域是( )A.［，］B.［-1，1］C.［，2］D.(-∞， )∪，+∞)7.函数f(x)=log (5-4x-x2)的单调减区间为( )A.(-∞，-2)B.［-2，+∞］C.(-5，-2)D.［-2，1］8.a=log0.50.6，b=log0.5，c=log，则( )A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.c＜a＜b二、填空题1.将()0，，log2,log0.5由小到大排顺序：2.已知函数f(x)=(logx)2-logx+5,x∈［2，4］，则当x= ，f(x)有最大值；当x= 时，f(x)有最小值 .3.函数y=的定义域为，值域为 .4.函数y=log2x+logx的单调递减区间是 .三、解答题1.求函数y=log(x2-x-2)的单调递减区间.2.求函数f(x)=log a(a x+1)(a＞1且a≠1)的反函数.3.求函数f(x)=log2 +log2(x-1)+log2(p-x)的值域.【素质优化训练】1.已知正实数x、y、z满足3x=4y=6z(1)求证：-=；(2)比较3x,4y,6z的大小2.已知log m5＞log n5，试确定m和n的大小关系.3.设常数a＞1＞b＞0，则当a,b满足什么关系时，lg(a x-b x)＞0的解集为｛x｜x＞1｝.【生活实际运用】美国的物价从1939年的100增加到40年后1979年的500.如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几?(注意：自然对数lnx是以e=2.718…为底的对数.本题中增长率x＜0.1，可用自然对数的近似公式：ln(1+x)≈x,取lg2=0.3，ln10=2.3来计算＝【知识探究学习】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数x(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年).解：(1)1年后该城市人口总数y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)2年后该城市人口总数为y =100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)2同理，3年后该市人口总数为y＝100×(1+1.2%)3.x年后该城市人口总数为y＝100×(1+1.2%)x；(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1+1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1+1.2%)x=120,x=log1.012 =log1.0121.20≈15(年)【同步达纲练习】一、1.C 2.B 3.B 4.D 5.B 6.A 7.C 8.B二、1.log0.5＜(log2)＜()0＜ 2.4，7，2， 3.( ，1)∪［-1，-］，［0，+∞］ 4.(0，)三、1.( ，+∞) 2.(i)当a＞1时，由a x-1＞0x＞0；log a(a x+1)的反函数为f-1(x)=log a(a x-1)，x＞0；当0＜a＜1时，f-1(x)=log a(a x-1)，x＜0. 3.(-∞，2log2(p+1)-2］.【素质优化训练】1.解：(1) -=log t6-log t3=log t2=log t4= (2)3x＜4y＜6z.2.得n＞m＞1，或0＜m ＜n＜1，或0＜n＜1＜m.3.a=b+1【生活实际运用】美国物价每年增长约百分之四.。
高一数学对数函数经典题及详细答案(2)(2021年整理)
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高一数学对数函数经典练习题一、选择题:（本题共12小题，每小题4分，共48分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ )A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a -答案A 。
∵3a =2→∴a=log 32则: log 38-2log 36=log 323—2log 3（2*3） =3log 32—2［log 32+log 33］ =3a-2(a+1） =a-22、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B.∵2log a （M —2N ）=log a M+log a N,∴log a （M-2N)2=log a （MN ）,∴（M-2N ）2=MN ，∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2—5mn+4n 2=0(两边同除n 2）→（n m )2—5n m +4=0，设x=nm→x 2-5x+4=0→（x 2⎩⎨⎧==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M —2N 〉0 M>0 N>0∴n m =1即答案为：4 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1log (1),log ,log 1y a aa x m n x+==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()12m n -答案D 。
高中数学第二章2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数练习(含解析)新人教版必修1
2.2.1 对数与对数运算第一课时对数1.有下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫做常用对数;④=-5成立.其中正确命题的个数为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:②错误,如(-1)2=1,不能写成对数式;④错误,log3(-5)没有意义.2.有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x,则x=100;④若e=ln x,则x=e2.其中正确的是( C )(A)①③ (B)②④ (C)①② (D)③④解析:lg(lg 10)=lg 1=0,①正确;ln(ln e)=ln 1=0,②正确;10=lg x得x=1010,③错误;e=ln x,x=e e,④错误.故选C.3.已知log x9=2,则x的值为( B )(A)-3 (B)3 (C)±3 (D)解析:由log x9=2得x2=9,又因为x>0且x≠1,所以x=3.故选B.4.若log a=c,则下列各式正确的是( A )(A)b=a5c (B)b=c5a (C)b=5a c(D)b5=a c解析:由log a=c得a c=,所以b=a5c.故选A.5.已知log a=m,log a3=n,则a m+2n等于( D )(A)3 (B)(C)9 (D)解析:由已知得a m=,a n=3.所以a m+2n=a m×a2n=a m×(a n)2=×32=.故选D.6.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:由题知log3(log2x)=1,则log2x=3,解得x=8,所以===.故选D.7.已知f(2x+1)=,则f(4)等于( B )(A)log25 (B)log23(C)(D)解析:令2x+1=4,得x=log23,所以f(4)=log23,选B.8.已知x2+y2-4x-2y+5=0,则log x(y x)的值是( B )(A)1 (B)0 (C)x (D)y解析:x2+y2-4x-2y+5=0,则(x-2)2+(y-1)2=0,所以x=2,y=1.log x(y x)=log212=0.故选B.9.已知对数式log(a-2)(10-2a)(a∈N)有意义,则a= .解析:由对数定义知得2<a<5且a≠3,又因为a∈N,所以a=4.答案:410.方程log2(1-2x)=1的解x= .解析:因为log2(1-2x)=1=log22,所以1-2x=2,所以x=-.经检验满足1-2x>0. 答案:-11.已知=,则x= .解析:由已知得log2x=log9=log9=-,所以x==.答案:12.若f(10x)=x,则f(3)= .解析:令10x=3,则x=lg 3,所以f(3)=lg 3.答案:lg 313.计算下列各式:(1)10lg 3-(+e ln 6;(2)+.解:(1)原式=3-()0+6=3-1+6=8.(2)原式=22÷+3-2·=4÷3+×6=+=2.14.(1)已知10a=2,10b=3,求1002a-b的值; (2)已知log4(log5a)=log3(log5b)=1,求的值.解:(1)1002a-b=104a-2b===.(2)由题得log5a=4,log5b=3,则a=54,b=53,所以==5.15.(1)求值:0.1-2 0150+1+; (2)解关于x的方程(log2x)2-2log2x-3=0.解:(1)原式=0.-1++=()-1-1+23+=-1+8+=10.(2)设t=log2x,则原方程可化为t2-2t-3=0,(t-3)(t+1)=0,解得t=3或t=-1,所以log2x=3或log2x=-1,所以x=8或x=.16.()的值为( C )(A)6 (B)(C)8 (D)解析:()=()-1·()=2×4=8.故选C.17.若a>0,=,则lo a等于( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:因为=,a>0,所以a=()=()3,则lo a=lo()3=3.故选B.18.计算:lo(+)= .解析:因为(-)·(+)=n+1-n=1,所以+=(-)-1,所以原式=-1.答案:-119.已知log x27=,则x的值为.解析:log x27==3·=3×2=6,所以x6=27,所以x6=33,又x>0,所以x=. 答案:20.设x=,y=(a>0且a≠1),求证:z=.证明:由已知得log a x=,①log a y=, ②将②式代入①式,得log a z=, 所以z=.。
2_2_2对数函数及其性质
课题：2.2对数函数（第1课时）授课人：授课时间:教学目标：掌握对数函数的定义、图象和性质，会使用对数函数的定义域求函数的定义域，会利用单调性比较两个对数的大小.教学重点：掌握对数函数的定义、图象和性质.教学难点：对数函数单调性的应用。
教学过程：1、复习对数的相关性质及运算法则。
2、分析对数函数的定义探究对数函数的图象、性质.函数y = log a x （a>1）y = log a x (0<a<1)图像定义域R+R+值域R R单调性增函数减函数过定点（1，0）（1，0）取值范围0<x<1时，y<0x>1时，y>00<x<1时，y>0 x>1时，y<03、例子例1 求以下函数的定义域：(其中a>0,a≠1)(1)y=log a x2 (2)y=log a(4-x) 练习1 求函数y=log a(9-x2)的定义域例2 比较以下各组数中两个值的大小：(1) log23.4 , log28.5 ⑵log0.31.8 , log0.32.7⑶log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , 且a≠1 ) 练习2: 比较以下各题中两个值的大小:⑴log106 log108 ⑵log0.56 log0.54⑶log0.10.5 log0.10.6 ⑷log1.50.6 log1.50.4练习3：已知以下不等式，比较正数m，n 的大小：(1) log3 m < log3n (2) log0.3m > log0.3n(3) log a m < log a n (0<a<1)(4) log a m > log a n (a>1) 例3 填空题：(1)log20.3____0 (2)log0.75____ 0(3)log34____ 0 (4)log0.60.5____ 0思考：log a b>0时a、b的范围是____________,log a b<0时a、b的范围是____________。
对数函数及其性质(一,二课时)
练习．比较下列各组数中两个值的大小： 练习．比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log 2 3.4, log2 8.5
(2) log 0.3 1.8, log 0.3 2.7
(3) log a 5.1, log a 5.9(a > 0, a ≠ 1)
( 4 ) log6 7, log 7 6
3.已知， 3.已知， m (π 已知 log
− 3) < logn (π − 3) < 0
m,n
为不等于1的正数，则下列关系中正确的是（ 为不等于 的正数，则下列关系中正确的是（ ） 的正数 （A）1<m<n ） (C)1<n<m (B)m<n<1 (D)n<m<1
4.画出下列函数的图象 4.画出下列函数的图象
质
x>1时, y>0 时 (5) 在(0,+∞)上是增函数 上是增函数
例1：求下列函数的定义域（a＞0且a≠1） ：求下列函数的定义域（ ＞ 且 ）
（1） y ）
= log ( 2 x −1) ( 3 x − 2)
1 (2) y = log 3 (3x − 1)
（3）y ）
= log 0.2 ( x − 2)
宏翔高级中学 薛志刚
1、复习指数函数的图象和性质 、 y = a x (a > 0且a ≠ 1) 的图象和性质： 的图象和性质：
a>1 图 象
1
6 5
0<a<1
6 5 4
4
3
3
2
2
1
1
1
-4 -4 -2
-2
0
-1
2
4
精品【苏教版】高一数学必修一：3.2.2《对数函数第一课时》同步练习(含答案)
苏教版数学精品资料2.3.2 对数函数 第一课时1．函数y ＝1－x ＋lgx 的定义域为__________．2．函数f(x)＝log (a －1)x 是减函数，则a 的取值范围是__________． 3．已知函数f(x)＝lg 1－x1＋x，若f(a)＝b ，则f(－a)＝__________.4．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是单调增函数的个数是__________． ①y ＝5x ②y ＝lgx ＋2 ③y ＝(12)x ④y ＝x 2＋1⑤y ＝log 12x5．已知函数f(x)＝11－x的定义域为M ，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N ，则M ∩N ＝__________.6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a ＞0且a ≠1)恒过定点P ，则P 点的坐标为__________．7.下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3、43、35、110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 的值依次是__________．8．下列不等式成立的序号是__________．①log 32＜log 23＜log 25 ②log 32＜log 25＜log 23 ③log 23＜log 32＜log 25 ④log 23＜log 25＜log 329．(1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，2x ，x ≤0.若f(a)＝12，则a ＝__________；(2)若函数f(x)＝log a x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝__________. 10．记函数f(x)＝(12)－x 的反函数为f －1(x)，则函数y ＝f －1(x －1)的图象可由函数y ＝log 2x经过向__________平移__________个单位而得到．11．(1)已知log 0.7(2m)<log 0.7(m －1)，则m 的取值范围是__________；(2)已知log a 25<1，则a 的取值范围是__________．12．画出函数f(x)＝|log 2x|的图象．13．求下列函数的定义域：(1)y＝log2(3x－2)x－3；(2)y＝log0.5(4x－3)；(3)y＝log(x＋1)(2－x)．14．已知函数y＝lg(x2＋1－x)，求其定义域，并判断函数的奇偶性、单调性．15．下列四图，当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的大致图象的序号是__________．16．若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a>0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值是__________．17．三个数a ＝30.7，b ＝log 30.7，c ＝0.73按从大到小的顺序排列为__________． 18．若函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝ln x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则f(x)＝__________.19．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≤0，log 2(x ＋2)，x ＞0，若f(x 0)≥2，则x 0的取值范围是__________．20．设a ＝log 34，b ＝log 43，c ＝log 3(log 43)，则a 、b 、c 的大小关系是__________．21．(1)已知函数f(x)＝log a x 满足f(9)＝2，则a ＝__________；(2)如果函数f(x)＝(3－a)x ，g(x)＝log a x 的单调性相同，则a 的取值范围是__________． 劲草敢做疾风，险峰只迎闯将。
《对数的概念》教案、导学案与同步练习
《第四章 指数函数与对数函数》 《4.3.1对数的概念》教案【教材分析】对数与指数是相通的，本节在已经学习指数的基础上通过实例总结归纳对数的概念，通过对数的性质和恒等式解决一些与对数有关的问题.【教学目标与核心素养】 课程目标1、理解对数的概念以及对数的基本性质；2、掌握对数式与指数式的相互转化； 数学学科素养1.数学抽象：对数的概念；2.逻辑推理：推导对数性质；3.数学运算：用对数的基本性质与对数恒等式求值；4.数学建模：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质. 【教学重难点】重点：对数式与指数式的互化以及对数性质； 难点：推导对数性质．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】 一、情景导入已知中国的人口数y 和年头x 满足关系中，若知年头数则能算出相应的人口总数。
反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿......”，该如何解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本122-123页，思考并完成以下问题 1.对数的定义是什么？底数和真数又分别是什么？ 2.什么是常用对数和自然对数？13 1.01xy =⨯3.如何进行对数式和指数式的互化？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1．对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．[点睛] log a N 是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg_N ，log e N 简记为ln_N .3．对数与指数的关系若a ＞0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x .对数恒等式：a log a N ＝N ；log a a x ＝x (a ＞0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为零； (2)底的对数为1； (3)零和负数没有对数． 四、典例分析、举一反三 题型一对数式与指数式的互化 例1将下列指数式与对数式互化:(1)lo g 1327=-3; (2)43=64;(3)e -1=1e ; (4)10-3=0.001.【答案】(1)(13)-3=27. (2)log 464=3.(3)ln 1e =-1. (4)lg0.001=-3. 解题技巧：（对数式与指数式的互化）1.(a>0,且a≠1)是等价的,表示a,b,N 三者之间的同一种关系.如下图:2.根据这个关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需log ba Nb a N ==与将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.跟踪训练一1. 将下列指数式与对数式互化: (1)2-2=14; (2)102=100; (3)e a =16;(4)log 6414=-13; (5)log x y=z (x>0,且x ≠1,y>0).【答案】(1)log 214=-2. (2)log 10100=2,即lg100=2.(3)log e 16=a ,即ln16=a. (4) 64-13=14.(5)x z=y(x>0,且x≠1,y>0).题型二利用对数式与指数式的关系求值 例2求下列各式中x 的值: (1)4x=5·3x; (2)log 7(x+2)=2; (3)lne 2=x; (4)log x 27=32;(5)lg0.01=x.【答案】（1）x=lo g 435（2）x=47（3）x=2（4）x=9（5）x=-2【解析】(1)∵4x=5·3x,∴4x3x =5,∴(43)x=5,∴x=lo g 435.(2)∵,∴x+2=49,∴x=47. (3)∵,∴,∴x=2.(4)∵,∴x 32=27,∴x=2723=32=9. (5)∵lg0.01=x,∴,∴x=-2. 解题技巧：（利用对数式与指数式的关系求值）指数式ax=N 与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N 之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.跟踪训练二1.求下列各式中的x 值:7log (2)2x +=2ln e x =2x e e =3log 272x =2100.0110x -==(1)log 2x=12;(2)log 216=x ;(3)log x 27=3. 【答案】（1）x=√2（2）x=4（3）x=3 【解析】(1)∵log 2x=12,∴x=212,∴x=√2. (2)∵log 216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4. (3)∵log x 27=3,∴x 3=27,即x 3=33,,∴x=3. 题型三利用对数的基本性质与对数恒等式求值 例3求下列各式中x 的值:（1）; (2);(3)3log 3√x =9. 【答案】（1）x=2（2）x=100（3）x=81【解析】(1)∵,∴,∴x=2. (2)∵,∴lgx=2,∴x=100. (3)由3log 3√x =9得√x =9,解得x=81.解题技巧：（利用对数的基本性质与对数恒等式求值） 1.在对数的运算中,常用对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)log a 1=0(a>0,a≠1);(3)log a a=1(a>0,a≠1)进行对数的化简与求值.2.对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒等式=N(a>0,且a≠1,N>0)的结构形式:(1)指数中含有对数式;(2)它们是同底的;(3)其值为对数的真数.跟踪训练三1. 求下列各式中x 的值:(1)ln(lg x )=1;(2)log 2(log 5x )=0;(3)32+log 35=x. 【答案】（1）（2）x=5（3）x=45 【解析】(1)∵ln(lgx)=1,∴lgx=e,∴； (2)∵log 2(log 5x )=0,∴,∴x=5. (3)x=32×3log 35=9×5=45. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧2ln(log )0x =2log (lg )1x =2ln(log )0x =2log 1x =2log (lg )1x =log a N a 10e x =10e x =5log 1x =六、板书设计七、作业课本126页习题4.3中1题2题 【教学反思】本节主要学习了一类新的数：对数。
对数函数(第1课时)同步练习高一上学期数学人教A版(2019)必修一
《4.4 对数函数》同步练习（第1课时 对数函数的概念与图象）一、基础巩固1.已知函数f (x )=log a (x+2),若图象经过点(6,3),则f (2)的值为( )A.12B.-12C.-2D.2 2.已知f (x )=log 5x ,则f (5)=( )A.5B.25C.0D.13.函数y=√log 2x 的定义域是( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(0,1]D.(0,+∞)4.已知点(m ,n )在函数y=lg x 的图象上,则下列各点也在该函数的图象上的是( )A.(m+10,n+1)B.m 10,n+1C.(m 2,2n )D.(10m ,10n ) 5.若函数f (x )=a x-1的图象经过点(2,4),则函数g (x )=log a 1x+1的图象是( )6.已知函数y=f (x )的图象如图所示,则函数g (x )=lo g √2f (x )的定义域是 .7.已知函数f (x )=log 2x+2,则f (1)的值为 .8.已知函数f (x )=√log 2(x -1)的定义域为A ,函数g (x )=(12)x (-1≤x ≤0)的值域为B. (1)求A ∩B ;(2)若C={y|y ≤a-1},且B ⊆C ,求a 的取值范围.9.求下列函数的定义域:(1)y=√log 12(2-x ).(2)y=1lg (x+1)-3;二、能力提升1.设a ,b ,c 均为正数,且e a =-ln a ,e -b =-ln b ,e -c =ln c ,则( )A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<b<a 2.若|log a 14|=log a 14,且|log b a|=-log b a ,则a ,b 满足的关系式是( )A.a>1,且b>1B.a>1,且0<b<1C.0<a<1,且b>1D.0<a<1,且0<b<13.若函数f (x )=lg(x 2-2ax+a )的值域是R ,则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)4.已知2x ≤256且log 2x ≥12,则函数f (x )=log 2x 2·lo g √2√x 2的最大值为 ,最小值为 .5.设函数f (x )=log a x (a>0,且a ≠1),若f (x 1x 2…x 2 022)=8,则f (x 12)+f (x 22)+…+f (x 2 0222)= . 6.当x 1≠x 2时,有f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2,则称函数f (x )是“严格下凸函数”,下列函数是“严格下凸函数”的是 (填序号).①y=x ;②y=|x|;③y=x 2;④y=log 2x.7.已知f (x )=log a 1+x 1-x (a>0,且a ≠1),(1)求f (x )的定义域;(2)若f (12)=1,求a 的值.8.设全集U=R ,函数f (x )=√x -a +lg(a+3-x )的定义域为集合A ,集合B={x |14≤2x ≤32}.命题p :若 ,则A ∩B ≠⌀.从①a=-5;②a=-3;③a=2这三个条件中选择一个条件补充到上面的命题p 中,使命题p 为真命题,说明理由,并求A ∩(∁U B ).参考答案一、基础巩固1.D 将点(6,3)的坐标代入函数f (x )的解析式,得3=log a (6+2)=log a 8,即a 3=8,∴a=2. ∴f (x )=log 2(x+2),∴f (2)=log 2(2+2)=2.2.D f (5)=log 55=1.3.B 由{log 2x ≥0,x >0,得{log 2x ≥log 21,x >0,解得x ≥1. 4.C ∵点(m ,n )在函数y=lg x 的图象上,∴lg m=n.当x=m 2时,lg x=lg m 2=2lg m=2n , ∴点(m 2,2n )也在该函数的图象上,故A 符合题意;当x=10m 时,lg x=lg(10m )=1+lg m=n+1,故B 不符合题意;当x=m+10时,lg x=lg(m+10)≠n+1,故C 不符合题意;当x=m 10时,lg x=lg m 10=lg m-1=n-1,故D 不符合题意.故选C .5.B 依题意,f (x )=a x-1的图象经过点(2,4),所以4=a 2-1,故a=4,所以g (x )=log 41x+1.当x=0时,g (0)=0,所以g (x )的图象过原点,排除A,B;又函数y=1x+1在区间(-1,+∞)内单调递减,y=log 4x 在区间(0,+∞)内单调递增,根据复合函数的单调性可知,g (x )为减函数,排除C,故选D .6.{x|2<x ≤8} 由题意知,g (x )的定义域为f (x )>0时的解集,由题中图象可知f (x )>0的解集为{x|2<x ≤8}.7.28.解 (1)由题意知,{x -1>0,log 2(x -1)≥0,解得x ≥2. ∴A={x|x ≥2}.∵-1≤x ≤0,∴1≤g (x )≤2,∴B=[1,2].∴A ∩B={2}.(2)由(1)知B=[1,2],要使B ⊆C ,则有a-1≥2,∴a ≥3.故a 的取值范围为[3,+∞).9.解 (1)由题意可知,{log 12(2-x )≥0,2-x >0,∴{log 12(2-x )≥log 121,2-x >0,∴{2-x ≤1,2-x >0,解得1≤x<2. 故函数的定义域为{x|1≤x<2}.(2)由{lg (x +1)-3≠0,x +1>0,得{x +1≠103,x >-1, 解得x>-1,且x ≠999,故函数的定义域为{x|x>-1,且x ≠999}.二、能力提升1.C 函数y=e x ,y=e -x ,y=ln x ,y=-ln x 的图象如图所示,a 是y=e x 与y=-ln x 的图象交点的横坐标,b 是y=e -x 与y=-ln x 的图象交点的横坐标,c 是y=e -x 与y=ln x 的图象交点的横坐标,由图可得a<b<c.故选C .2.C 依题意有log a 14≥0,∴0<a<1.又log b a<0,∴b>1.3.D 由题意得,二次函数y=x 2-2ax+a 有零点,因此Δ=4a 2-4a ≥0,解得a ≤0或a ≥1.故选D .4.2 -14 由2x ≤256得x ≤8,所以log 2x ≤3.又log 2x ≥12,所以12≤log 2x ≤3.又f (x )=log 2x 2·lo g √2√x 2=(log 2x-1)·(log 2x-2)=log 2x-322-14, ∴当log 2x=32时,f (x )min =-14,当log 2x=3时,f (x )max =2.5.16 f (x 12)+f (x 22)+f (x 32)+…+f (x 2 0222)=log a x 12+log a x 22+log a x 32+…+log a x 2 0222 =log a (x 1x 2x 3…x 2 022)2=2log a (x 1x 2x 3…x 2 022)=2f (x 1x 2x 3…x 2 022),∵f (x 1x 2…x 2 022)=8,∴原式=2×8=16.6.③ 对于①②,y=x 为线性函数,故不满足f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2,故①②不是“严格下凸函数”;对于③,函数y=f (x )=x 2,当x 1≠x 2时,有f (x 1+x 22)=(x 1+x 2)24=x 12+x 22+2x 1x 24,f (x 1)+f (x 2)2=x 12+x 222,显然满足f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2,故③是“严格下凸函数”; 对于④,当x 1≠x 2时,有f (x 1+x 22)=log 2x 1+x 22,f (x 1)+f (x 2)2=12(log 2x 1+log 2x 2)=12log 2(x 1x 2)=log 2√x 1x 2,所以f (x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2,故④不是“严格下凸函数”.故答案为③.7.解 (1)∵f (x )=log a 1+x 1-x ,∴1+x1-x >0, ∴-1<x<1.∴函数f (x )的定义域为(-1,1).(2)∵f (12)=log a 1+121-12=log a 3, ∴log a 3=1,∴a=3.8.解 要使函数f (x )有意义,只需{x -a ≥0,a +3-x >0,解得a ≤x<a+3,即A=[a ,a+3). 由14≤2x≤32,得-2≤x ≤5,即B=[-2,5].选择第①个条件:当a=-5时,A=[-5,-2), ∴A ∩B=⌀,不满足条件.选择第②个条件:当a=-3时,A=[-3,0),∴A ∩B=[-2,0),满足条件.∵∁U B=(-∞,-2)∪(5,+∞), ∴A∩(∁U B)=[-3,-2).选择第③个条件:当a=2时,A=[2,5),∴A∩B=[2,5),满足条件.∵∁U B=(-∞,-2)∪(5,+∞), ∴A∩(∁U B)=⌀。
对数函数的性质与图象(第一课时)-2023学年高一数学精品教学课件(人教B版2019 必修第二册)
练习1:
比较下列各题中两个值的大小:
(1) log106 ＜ log108
(2) (3) (4)
llloooggg001...551601..65＜＞ ＞lollgoo0gg.5014..5101..46
-1 1
0 0
2
y
描
2
点
1 11
42
0 1 23 4
连
-1
线
-2
2 4 ….. 1 2… -1 -2
y log 2 x
x
y log 1 x
2
想 一 想 ？
底数a对对数函数y=logax的 图象有什么影响？
y log a x
1
y log a x
1
y log a x
1
y log a x
(a 0且a 1, y 0, x R) 而习惯上自变量用x表示，y表示函数，所以 这个函数就写成 y loga x(a 0且a 1)
我们把 y loga x(a 0且a 1) 就叫作对数函数，
其中定义域是 0, ,值域是 R ,a 叫作对数函数
的底数.
10为底的对数函数 y=lgx
对数函数的图像和性质 y=log2x图象
列
x … 1 112 4 … 42
表 y log2 x … -2 -1 0 1 2 …
y
描2
Noy log2 x
Image 点 1 11
42
0 1 23 4
x
连 -1
线 -2
2019年高中数学第二章2.2对数函数2.2.1第1课时对数优化练习新人教A版必修1
精品2.2.1 第1课时 对 数[课时作业][A 组 基础巩固]1．已知log x 8＝3，则x 的值为( )A.12B ．2C ．3D ．4解析：∵log x 8＝3，∴x 3＝8，∴x ＝2.答案：B 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( ) A ．log 913＝－2 B.log 139＝－2 C ．log 13 (－2)＝9D ．log 9(－2)＝13解析：a x ＝N ⇔x ＝log a N .答案：B3．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0，②ln(ln e)＝0，③若lg x ＝10，则x ＝100，④若ln x ＝e ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B.②④ C ．①② D ．③④解析：①lg(lg 10)＝0，正确．②ln(ln e)＝0，正确．若lg x ＝10，则x ＝1010，③不正确．若ln x ＝e ，则x ＝e e ，故④不正确．所以选C.答案：C4．若对数log (x －1)(4x －5)有意义，则x 的取值范围( )A.54≤x ＜2 B.54＜x ＜2 C.54＜x ＜2或x ＞2 D ．x ＞54解析：由log (x －1)(4x －5)有意义得 ⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x －1≠1，4x －5＞0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞54，x ≠2. 答案：C 5．如果f (10x )＝x ，则f (3)＝( )A ．log 310B.lg 3精品 C ．103 D ．310解析：设10x ＝3，则x ＝lg 3，∴f (3)＝f (10lg 3)＝lg 3.答案：B6．lg 1 000＝________，ln 1＝________.解析：∵103＝1 000，∴lg 1 000＝3；e 0＝1，∴ln 1＝0.答案：3 07．方程log 2(5－x )＝2，则x ＝________.解析：5－x ＝22＝4，∴x ＝1.答案：18．已知log 2[log 3(log 5x )]＝0，则x ＝________.解析：令log 3(log 5x )＝t 1，则t 1＝20＝1.令log 5x ＝t 2，则t 2＝31＝3.∴log 5x ＝3，∴x ＝53＝125.答案：1259．求下列各式x 的取值范围．(1)log (x －1)(x ＋2)；(2)log (x ＋3)(x ＋3)．解析：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －1>0，x －1≠1.解得x >1且x ≠2，故x 的取值范围是(1,2)∪(2，＋∞)．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x ＋3≠1，解得x >－3且x ≠－2.故x 的取值范围是(－3，－2)∪(－2，＋∞)．10．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y 的值．解析：log 12x ＝m ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＝x ，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m . log 14y ＝m ＋2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2＝y，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ＋4.∴x 2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m －(2m ＋4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. [B 组 能力提升]1．若a >0，a 23＝49，则log 23a 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：∵a 23＝49，a >0，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4932＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，设log 23a ＝x ，∴(23)x＝a .∴x ＝3.答案：B2．已知log x y ＝2，则y －x 的最小值为( )A ．0 B.14 C ．－14 D ．1解析：∵log x y ＝2，∴y ＝x 2(x >0且x ≠1)，∴y －x ＝x 2－x ＝(x －12)2－14，∴x ＝12时，y －x 有最小值－14.答案：C3．若f (2x ＋1)＝log 213x ＋4，则f (17)＝________.解析：f (17)＝f (24＋1)＝log 213×4＋4＝log 2116＝－8.答案：－84．方程4x －6×2x －7＝0的解是________．解析：原方程可化为(2x )2－6×2x －7＝0.设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可化为：t 2－6t －7＝0.解得：t ＝7或t ＝－1(舍)，∴2x ＝7，∴x ＝log 27，∴原方程的解为： x ＝log 27.答案：x ＝log 27 5．计算下列各式：(1)10lg 3－10log 41＋2log 26；(2)22＋log 23＋32－log 39.解析：(1)10lg 3－10log 41＋2log 26＝3－0＋6＝9.(2)22＋log 23＋32－log 39＝22×2log 23＋323log 39＝4×3＋99＝12＋1＝13.6．已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最大值为3，求a 的值． 解析：原函数式可化为f (x )＝lg a (x ＋1lg a )2－1lg a ＋4lg a .∵f (x )有最大值3，∴lg a <0，且－1lg a ＋4lg a ＝3，整理得4(lg a )2－3lg a －1＝0，解之得lg a ＝1或lg a ＝－14.又∵l g a <0，∴lg a ＝－14.∴a ＝1014 .。
对数函数方程---解法练习(4个常见方法)及例题
对数函数方程---解法练习(4个常见方法)及例题1. 概述对数函数方程是数学中常见的一类方程，在解决实际问题时经常会遇到。
本文将介绍四种常见的解法方法，并结合例题进行练，帮助读者更好地掌握如何解决对数函数方程。
2. 解法方法2.1. 变底法变底法是解决对数函数方程的一种常见方法。
通过将底数变换成相同的底数，将方程转化成一个简单的等式，从而求解。
具体步骤如下：步骤 1: 确定底数，使得方程两边的底数一致。
步骤 2: 将方程转化成一个等式。
步骤 3: 解方程。
步骤 4: 检验解是否符合原方程。
2.2. 换元法换元法是另一种解决对数函数方程的常见方法。
通过引入一个新的变量，将方程转化成一个简单的等式，从而求解。
具体步骤如下：步骤 1: 选择适当的变量进行代换。
步骤 2: 转化方程为一个等式。
步骤 3: 解方程。
步骤 4: 还原变量，得出最终解。
步骤 5: 检验解是否符合原方程。
2.3. 消元法消元法是解决对数函数方程的一种常用方法。
通过对方程进行合并、整理、消去一些变量，将方程转化成一个简单的等式，从而求解。
具体步骤如下：步骤 1: 合并同类项。
步骤 2: 整理方程，将对数函数移到一边。
步骤 3: 消去变量。
步骤 4: 解方程。
步骤 5: 检验解是否符合原方程。
2.4. 图像法图像法是解决对数函数方程的一种直观方法。
通过绘制对数函数的图像，并分析函数图像与方程的交点，求解方程。
具体步骤如下：步骤 1: 绘制对数函数的图像。
步骤 2: 分析图像与方程的交点。
步骤 3: 求解方程。
步骤 4: 检验解是否符合原方程。
3. 例题练例题 1: 解方程 $3\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=2$。
> 解答:解答:> 使用变底法：> 步骤 1: 将底数变为2，得到 $2^{3\log_2(x-1)}\cdot2^{\log_2(x+1)}=2^2$。
> 步骤 2: 运用指数与对数的相互关系，得到 $(x-1)^3\cdot(x+1)=4$。
《对数及其对数函数》练习题
对数及其对数函数考点一：对数运算1．计算2log63＋log64的结果是()(A)log62 (B)2 (C)log63 (D)3B解析：2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.故选B.2.计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________．解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2.3.(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________．解析：由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.4.若a＝log43，则2a＋2－a＝________．答案：4 335.计算下列各式：Ⅰlg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；Ⅰlg27＋lg 8－3lg10lg 1.2；Ⅰ(lg 5)2＋lg 2·lg 50；Ⅰ(log32＋log92)·(log43＋log83)．答案：(1)10(2)Ⅰ0Ⅰ32Ⅰ1Ⅰ54考点2.两个数比较大小1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a解析：选 B.因为a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3Ⅰ(0，1)，所以a<c<b.故选B.2．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为() A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b解析：选 A.a＝log52<log55＝12，而c＝0.50.2>0.51＝12，故a<c；b＝log0.50.2>log0.50.25＝2，而c＝0.50.2<0.50＝1，故c<b.所以a<c<b.3.(2019·福建五校第二次联考)已知a＝log372，b＝3141）（，c＝51log31，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b【解析】 (1)a ＝log 3 72，c ＝log 1315＝log 35，由对数函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上单调递增，可得log 35＞log 372＞log 33，所以c ＞a ＞1. 借助指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x的图象易知b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413Ⅰ(0，1)，故c ＞a ＞b ，选D.4．已知a ＝314，b ＝31log 41，c ＝log 314，则( ) (A)a ＞b ＞c (B)b ＞c ＞a (C)c ＞b ＞a (D)b ＞a ＞cA 解析：因为a ＝413＞1，0＜b ＝log 1413＝log 43＜1，c ＝log 314＜0，所以a ＞b ＞c ，5．(2019·广州调研)已知实数a ＝2ln 2，b ＝2＋2ln 2，c ＝(ln 2)2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b解析：选B.因为0＜ln 2＜1，所以a ＝2ln 2Ⅰ(1，2)，c ＝(ln 2)2Ⅰ(0，1)．又b ＝2＋2ln 2＝2＋ln 4Ⅰ(3，4)，故c ＜a ＜b .故选B. 考点3 解对数不等式1．函数y ＝2－log 2x 的定义域是( )(A)(4，＋∞) (B)[4，＋∞) (C)(0，4] (D)(0，4)C 解析：由题意可知⎩⎨⎧2－log 2x ≥0x ＞0Ⅰ⎩⎨⎧log 2x ≤2x ＞0Ⅰ⎩⎨⎧log 2x ≤log 24x ＞0Ⅰ0＜x ≤4.2.函数y ＝log 0.5（4x －3）的定义域为________．解析：要使函数有意义，须满足⎩⎨⎧4x －3>0，log 0.5（4x －3）≥0，解得34<x ≤1.3.函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)．4．方程log 2(9x －1－5)＝log 2(3x －1－2)＋2的解为________． 答案：25．(2018泸州高中)若实数a 满足log a 23＞1＞log 34a ，则a 的取值范围是( )(A)⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫23，34 (C)⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 C 解析：根据对数函数的性质，由log a 23＞1，可得23＜a ＜1，由log 34a ＜1，得a＞34，综上34＜a ＜1，Ⅰa 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1，故选C.6．(2018宜宾模拟)已知log a 2＜1(a ＞0且a ≠1)，则a 的取值范围是( ) (A)(2，＋∞) (B)(0，1) (C)(0，12)Ⅰ(2，＋∞) (D)(0，1)Ⅰ(2，＋∞) D 解析：因为log a 2＜log a a ，(1)0＜a ＜1时，函数是减函数，a ＜2，即0<a <1； (2)a ＞1时，函数是增函数，a ＞2. 综上，0＜a ＜1或a ＞2，故选D. 7．设x >0，且1<b x <a x ，则( )A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b 解析：选C.因为1<b x ，所以b 0<b x ， 因为x >0，所以b >1， 因为b x<a x，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1，因为x >0，所以ab >1， 所以a >b ，所以1<b <a .故选C. 8.如果0log log 2121<<y x ，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D.由log 12x <log 12y <0，得log 12x <log 12y <log 121，所以x >y >1.考点4 图像问题1.已知a>0，a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象可能是()解析：选B.函数y＝log a(－x)的图象与y＝log a x的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.2.函数y＝log a x与y＝－x＋a在同一坐标系中的图象可能是()解析：(1)A当a＞1时，函数y＝log a x的图像为选项B，D中过点(1，0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图像与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，选项B，D中的图像都不符合要求；3.函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()C函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2log4(1－x)的定义域上单调递减，排除D.选C.。
高中数学沪教版 1 对数函数的定义与图像 课后练习、课时练习
一、单选题1. 已知函数，则下列选项哪一个图象为函数的图象（）A．B．C．D．2. 已知，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．3. 在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=x a(x>0)，g(x)=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．4. 已知函数恒过定点，则的最小值为（）．A．B．C．3 D．5. 函数是上的奇函数，满足，当时，有，则（）A．0 B．1 C．D．6. 设且，函数，，则函数在同一平面直角坐标系内的图像可能为（）A．B．C．D．二、多选题7. 已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A．函数为增函数B．函数为偶函数C．若，则D．若，则.8. 已知函数f(x)＝，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（）A．-1 B．0 C．2 D．3三、填空题9. 如图，函数的图像为折线，则不等式的解集为__________.10. 给出下列结论：①，的值域是；②幂函数图象一定不过第四象限；③函数的图象过定点；④若，则的取值范围是；⑤若,则.其中正确的序号是_______________.11. 若函数，且在区间上的最大值为6，则a的一个取值为______.12. 已知对数函数过点，则的解析式为____________.四、解答题13. 已知函数.(1)在给定的坐标系中作出在上的图象；(2)若函数（，且），且当时，的图象始终在的图象上方，求的取值范围.14. 判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（常数）．15. 已知对数函数求的值.16. 画出函数的图像，并根据图像写出函数的单调区间.。
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指数函数
1.下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A.y=和y=()2
B.｜y｜=｜x｜和y3=x3
C.y=log a x2和y=2log a x
D.y=x和y=log a a x
【解析】由y=log a a x=x·log a a=x即y=x,定义域、值域两函数也相同.
【答案】D
2.函数f(x)＝lg(x2－3x＋2)的定义域为F，函数g(x)＝lg(x－1)＋lg(x－2)的定义域为G，则F与G的关系为( )
A.F∩G＝
B.F＝G
C.FG
D.F G
【解析】F＝｛x｜x2－3x＋2＞0｝＝(－∞，1)∪(2，＋∞)
G＝｛x｜｝＝(2，＋∞)∴F G
【答案】D
3.若f(x)的定义域为[0，1），则F(x)=f[log(3-x)]的定义域为（）
A.[0，1）
B.[2，）
C.[0，）
D.（-∞，3）
【解析】由0≤log(3-x)<1,得<3-x≤1，解得2≤x<。
【答案】B
4.函数y=的定义域是（）
A.（-∞，1-）∪[1+，+∞）
B.（-1，3）
C.[1+，3）∪（-1，1-]
D.[1-，1+]
【解析】由log(3+2x-x2)≥0，得3x+2x-x2≤1。
整理得x2-2x-2≥0。
解得x≥1+或x≤1-。
又∵2x+3-x2>0,即x2-2x-3<0,解得-1<x<3。
综上两条件下的解集为{x|-1<x≤1-或1+≤x<3}。
【答案】C
5.比较大小：将“＞”或“＜”填在“______”上
(1)log1.12.3______log1.12.2,(2)log524______2.
【解析】(1)∵y=log1.1x在(0,+∞)上是增函数.
∴log1.12.3＞log1.12.2
(2)∵y=log5x在(0，+∞)上是增函数.
∴log524＜log525=2.
【答案】(1)＞ (2)＜
6.函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域是 .
【解析】由x≥1，则log2x≥0，∴y≥2
函数y＝2＋log2x，x≥1的值域是［2，＋∞).
【答案】［2，＋∞)
7.已知1<x<10，试比较（lgx）2,lgx2,lg(lgx)的大小。
【解】由1<x<10知1<x2<100,0<lgx<1。
因此（lgx）2>0,且lgx2>0,lg(lgx)<0。
又<1，∴（lgx）2<lgx2。
因此lg(lgx)<(lgx)2<lgx2。
8.比较下列各组数中的大小关系：
(1)log1.12.3与log1.22.2;
(2)log0.30.7与log2.12.9;
(3)log a b与log b(0＜a＜1).
【解】 (1)log1.12.3＞log1.12.2＞log1.22.2;
(2)log0.30.7＜1＜log2.12.9;
(3)当b＞1时，log b＞log a b；
当0＜b＜1时，log b＜log a b.
9.已知y1＝log a(2x2－3x＋1)，y2＝log a(x2＋2x－5)，若0＜a＜1，则当x取什么值时，有y1＞y2？
【解】由y1＞y2即log a(2x2－3x＋1)＞log a(x2＋2x－5).
又0＜a＜1,
，
即
整理得，
解得2＜x＜3
10.(1)求函数y=log a(a x－1)(a＞0且a≠1)的定义域.
(2)求函数y=log x－1(3－x)的定义域.
【解】 (1)由a x－1＞0，得a x＞1
若a＞1，则x＞0
若0＜a＜1,则x＜0
∴当a＞1时，函数定义域为(0，+∞).
当0＜a＜1时，函数定义域为(－∞，0).
(2)由即
∴1＜x＜3且x≠2.
∴此函数定义域为{x|1＜x＜3且x≠2＝.。